Artikel

15.8: Der Divergenzsatz - Mathematik


Lernziele

  • Erklären Sie die Bedeutung des Divergenzsatzes.
  • Verwenden Sie den Divergenzsatz, um den Fluss eines Vektorfeldes zu berechnen.
  • Wenden Sie den Divergenzsatz auf ein elektrostatisches Feld an.

Wir haben mehrere Versionen des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung in höheren Dimensionen untersucht, die das Integral um einen orientierten Rand eines Gebiets mit einer „Ableitung“ dieser Entität auf dem orientierten Gebiet in Beziehung setzen. In diesem Abschnitt geben wir den Divergenzsatz an, den letzten Satz dieser Art, den wir untersuchen werden. Der Divergenzsatz hat viele Anwendungen in der Physik; insbesondere wird das Divergenztheorem auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen verwendet, um Gleichungen abzuleiten, die den Wärmefluss und die Massenerhaltung modellieren. Wir verwenden das Theorem, um Flussintegrale zu berechnen und auf elektrostatische Felder anzuwenden.

Übersicht der Theoreme

Bevor wir den Divergenzsatz untersuchen, ist es hilfreich, mit einem Überblick über die von uns diskutierten Versionen des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung zu beginnen:

  1. Der fundamentale Satz der Infinitesimalrechnung: [int_a^bf'(x), dx = f(b) - f(a).] Dieser Satz bezieht das Integral der Ableitung (f') über das Geradensegment ( [a,b]) entlang der (x)-Achse auf eine Differenz von (f) am Rand berechnet.
  2. Der Fundamentalsatz für Linienintegrale: [int_C vecs abla fcdot dvecs r = f(P_1) - f(P_0),] wobei (P_0) der Anfangspunkt von (C ) und (P_1) ist der Endpunkt von (C). Der Fundamentalsatz für Linienintegrale erlaubt, dass Pfad (C) ein Pfad in einer Ebene oder im Raum ist, nicht nur ein Liniensegment auf der (x)-Achse. Wenn wir uns den Gradienten als Ableitung vorstellen, dann bezieht dieser Satz ein Integral der Ableitung ( abla f) über den Weg (C) auf eine Differenz von (f), die am Rand von (C ).
  3. Satz von Green, Zirkulationsform: [iint_D (Q_x - P_y),dA = int_C vecs F cdot dvecs r.] Da (Q_x - P_y = ext{curl } vecs F cdot mathbf{hat k}) und curl eine Art Ableitung ist, bezieht der Satz von Green das Integral der Ableitung curl (vecs F) über den ebenen Bereich (D) auf ein Integral von (vecs F ) über den Rand von (D).
  4. Satz von Green, Flussform: [iint_D (P_x + Q_y),dA = int_C vecs F cdot vecs N, dS.] Da (P_x + Q_y = ext{div }vecs F ) und Divergenz eine Art Ableitung ist, bezieht die Flussform des Satzes von Green das Integral der Ableitung div (vecs F) über den ebenen Bereich (D) auf ein Integral von (vecs F) über die Grenze von (D).
  5. Satz von Stokes: [iint_S curl , vecs F cdot dvecs S = int_C vecs F cdot dvecs r.] Wenn wir uns die Curl als eine Art Ableitung vorstellen, dann ist Stokes‘ Theorem bezieht das Integral der Ableitung curl (vecs F) über die Fläche (S) (nicht unbedingt planar) mit einem Integral von (vecs F) über den Rand von (S).

Aufstellung des Divergenzsatzes

Der Divergenzsatz folgt dem allgemeinen Muster dieser anderen Sätze. Wenn wir uns Divergenz als eine Art Ableitung vorstellen, dann bezieht der Divergenzsatz ein Tripelintegral der Ableitung div (vecs F) über einen Festkörper auf ein Flussintegral von (vecs F) über den Rand des Festkörpers . Genauer gesagt bezieht der Divergenzsatz ein Flussintegral des Vektorfeldes (vecs F) über eine geschlossene Fläche (S) auf ein Tripelintegral der Divergenz von (vecs F) über den von eingeschlossenen Festkörper (S).

Der Divergenzsatz

Sei (S) eine stückweise glatte geschlossene Fläche, die den Festkörper (E) im Raum einschließt. Nehmen wir an, (S) sei nach außen orientiert, und sei (vecs F) ein Vektorfeld mit stetigen partiellen Ableitungen auf einem offenen Bereich, der (E) enthält (Abbildung (PageIndex{1})) . Dann

[iiiint_E ext{div}vecs F, dV = iint_S vecs F cdot dvecs S. label{divtheorem}]

Denken Sie daran, dass die Flussform des Satzes von Green besagt, dass

[ iint_D ext{div}vecs F , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS.]

Daher ist der Divergenzsatz eine Version des Satzes von Green in einer höheren Dimension.

Der Beweis des Divergenzsatzes würde den Rahmen dieses Textes sprengen. Wir betrachten jedoch einen informellen Beweis, der ein allgemeines Gefühl dafür gibt, warum der Satz wahr ist, aber den Satz nicht mit voller Strenge beweist. Diese Erklärung folgt der informellen Erklärung, warum der Satz von Stokes wahr ist.

Beweis

Sei (B) ein kleiner Kasten mit Seiten parallel zu den Koordinatenebenen innerhalb von (E) (Abbildung (PageIndex{2a})). Der Mittelpunkt von (B) habe die Koordinaten ((x,y,z)) und die Kantenlängen seien (Delta x, , Delta y) und (Delta z) . (Abbildung (PageIndex{1b})). Der Normalenvektor aus der Oberseite der Box ist (mathbf{hat k}) und der Normalenvektor aus der Unterseite der Box ist (-mathbf{hat k}). Das Skalarprodukt von (vecs F = langle P, Q, R angle) mit (mathbf{hat k}) ist (R) und das Skalarprodukt mit (-mathbf{ hatk}) ist (-R). Die Fläche der Oberseite der Box (und der Unterseite der Box) (Delta S) ist (Delta x Delta y).

Der Fluss aus dem oberen Teil der Box kann angenähert werden durch (R left(x,, y,,z + frac{Updelta z}{2} ight) ,Updelta x, Delta y) (Abbildung (PageIndex{2c})) und der Fluss aus dem Boden der Box ist (- R left(x,, y,, z - frac{Delta z }{2} echts) ,Delta x ,Delta y). Wenn wir die Differenz zwischen diesen Werten als (Delta R) bezeichnen, dann kann der Nettofluss in vertikaler Richtung durch (Delta R, Delta x ,Delta y) angenähert werden. Jedoch,

[Updelta R,Updelta x,Updelta y = left(frac{Updelta R}{Updelta z} ight) ,Updelta x,Updelta y Updelta z approx left(frac{partial R}{partial z} ight) ,Delta V. onumber]

Daher kann der Nettofluss in vertikaler Richtung durch (left(frac{partial R}{partial z} ight)Delta V) angenähert werden. Ebenso kann der Nettofluss in (x)-Richtung durch (left(frac{partial P}{partial x} ight),Delta V) und den Nettofluss in die (y)-Richtung kann durch (left(frac{partial Q}{partial y} ight),Delta V) angenähert werden. Die Addition der Flüsse in alle drei Richtungen ergibt eine Näherung des Gesamtflusses out of the box:

[ ext{Gesamtfluss}approx left(frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z } ight) Updelta V = ext{div}vecs F,Updelta V. onumber]

Diese Näherung nähert sich dem Wert des Gesamtflusses willkürlich an, wenn das Volumen der Box auf Null schrumpft.

Die Summe von ( ext{div}vecs F,Delta V) über alle kleinen Kästchen, die (E) approximieren, ist ungefähr (iiiint_E ext{div}vecs F ,dV) . Andererseits ist die Summe von ( ext{div}vecs F,Updelta V) über alle kleinen Kästchen, die sich an (E) annähern, die Summe der Flüsse über all diese Kästchen. Genau wie im informellen Beweis des Stokes-Theorems führt das Addieren dieser Flüsse über alle Kästchen zur Streichung vieler Terme. Wenn ein approximierender Kasten eine Fläche mit einem anderen approximierenden Kasten teilt, dann ist der Fluss über einer Fläche das Negativ des Flusses über die gemeinsame Fläche des benachbarten Kastens. Diese beiden Integrale heben sich auf. Wenn man alle Flüsse addiert, sind die einzigen Flussintegrale, die überleben, die Integrale über den Flächen, die sich dem Rand von (E) annähern. Da die Volumina der Approximationsboxen auf Null schrumpfen, nähert sich diese Approximation dem Fluss über (S) beliebig an.

(Box)

Beispiel (PageIndex{1}): Überprüfung des Divergenzsatzes

Verifizieren Sie den Divergenzsatz für das Vektorfeld (vecs F = langle x - y, , x + z, , z - y angle) und die Fläche (S), die aus Kegel (x^2 .) besteht + y^2 = z^2, , 0 leq z leq 1) und die kreisförmige Spitze des Kegels (siehe folgende Abbildung). Angenommen, diese Oberfläche ist positiv orientiert.

Lösung

Sei (E) der von (S) eingeschlossene feste Kegel. Um den Satz für dieses Beispiel zu verifizieren, zeigen wir, dass

[iiiint_E ext{div} vecs F ,dV = iint_S vecs F cdot dvecs S onumber]

indem jedes Integral separat berechnet wird.

Um das Tripelintegral zu berechnen, beachte, dass ( ext{div} vecs F = P_x + Q_y + R_z = 2), und daher ist das Tripelintegral

[ egin{align*} iiint_E ext{div } vecs F , dV &= 2 iiiint_E dV [4pt] &= 2 , (Volumen , von , E). end{ausrichten*}]

Das Volumen eines geraden Kreiskegels ist gegeben durch (pi r^2 frac{h}{3}). In diesem Fall gilt (h = r = 1). Deshalb,

[iiiint_E ext{div} vecs F ,dV = 2 , (Volumen , von , E) = frac{2pi}{3}. onumber]

Um das Flussintegral zu berechnen, beachte zunächst, dass (S) stückweise glatt ist; (S) kann als Vereinigung glatter Flächen geschrieben werden. Daher teilen wir das Flussintegral in zwei Teile auf: ein Flussintegral über die kreisförmige Spitze des Kegels und ein Flussintegral über den restlichen Teil des Kegels. Nennen Sie den kreisförmigen Kreisel (S_1) und den Teil unter dem Kreisel (S_2). Wir beginnen mit der Berechnung des Flusses über die kreisförmige Spitze des Kegels. Beachten Sie, dass (S_1) eine Parametrierung hat

[vecs r(u,v) = langle u , cos v, , u , sin v, , 1 angle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2pi. onumber]

Dann sind die Tangentenvektoren (vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 0 angle ) und (vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 angle). Daher ist der Fluss über (S_1)

[ egin{align*} iint_{S_1} vecs F cdot dvecs S &= int_0^1 int_0^{2pi} vecs F (vecs r ( u,v)) cdot (vecs t_u imes vecs t_v) , dA [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} langle u, cos v - u, sin v, , u , cos v + 1, , 1 - u , sin v angle cdot langle 0,0,u angle , dv, du [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} u - u^2 sin v , dv du [4pt] &= pi. end{ausrichten*}]

Wir berechnen nun den Fluss über (S_2). Eine Parametrisierung dieser Fläche ist

[vecs r(u,v) = langle u , cos v, , u , sin v, , u angle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2pi. onumber]

Die Tangentenvektoren sind (vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 1 angle ) und (vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 angle ), also ist das Kreuzprodukt

[vecs t_u imes vecs t_v = langle - u , cos v, , -u , sin v, , u angle. onumber]

Beachten Sie, dass die negativen Vorzeichen der (x)- und (y)-Komponenten die negative (oder nach innen gerichtete) Ausrichtung des Kegels bewirken. Da die Fläche positiv orientiert ist, verwenden wir den Vektor (vecs t_v imes vecs t_u = langle u , cos v, , u , sin v, , -u angle) im Fluss Integral. Der Fluss über (S_2) ist dann

[ egin{align*} iint_{S_2} vecs F cdot dvecs S &= int_0^1 int_0^{2pi} vecs F ( vecs r ( u,v)) cdot (vecs t_u imes vecs t_v) , dA [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} langle u, cos v - u, sin v, , u , cos v + u, , u , - usin v angle cdot langle u , cos v, , u, sin v, , -u angle, dv,du [4pt] &= int_0^1 int_0^{2pi} u^2 cos^2 v ​​+ 2u^2 sin v - u^2 ,dv,du [4pt] &= -frac{pi}{3} end{align*}]

Der Gesamtfluss über (S) ist

[iint_{S} vecs F cdot dvecs S = iint_{S_1}vecs F cdot dvecs S + iint_{S_2} vecs F cdot dvecs S = frac{ 2pi}{3} = iiiint_E ext{div} vecs F ,dV, onumber]

und wir haben den Divergenzsatz für dieses Beispiel verifiziert.

Übung (PageIndex{1})

Verifizieren Sie den Divergenzsatz für das Vektorfeld (vecs F (x,y,z) = langle x + y + z, , y, , 2x - y angle) und die Fläche (S) gegeben durch der Zylinder (x^2 + y^2 = 1, , 0 leq z leq 3) plus die kreisförmige Ober- und Unterseite des Zylinders. Nehmen Sie an, dass (S) positiv orientiert ist.

Hinweis

Berechnen Sie sowohl das Flussintegral als auch das Tripelintegral mit dem Divergenzsatz und stellen Sie sicher, dass sie gleich sind.

Antworten

Beide Integrale sind gleich (6pi).

​​Erinnern Sie sich, dass die Divergenz des stetigen Feldes (vecs F) im Punkt (P) ein Maß für die „Ausflussfähigkeit“ des Feldes an (P) ist. Wenn (vecs F) das Geschwindigkeitsfeld eines Fluids darstellt, dann kann man sich die Divergenz als die Geschwindigkeit pro Volumeneinheit des ausströmenden Fluids abzüglich der Geschwindigkeit pro einströmenden Volumeneinheit vorstellen. Der Divergenzsatz bestätigt diese Interpretation. Um dies zu sehen, sei (P) ein Punkt und (B_{ au}) eine Kugel mit kleinem Radius (r) um (P) zentriert (Abbildung (PageIndex{3 })). Sei (S_{ au}) die Randsphäre von (B_{ au}). Da der Radius klein und (vecs F) stetig ist, gilt ( ext{div}vecs F(Q)approx ext{div}vecs F(P)) für alle anderen Punkte ( Q) im Ball. Daher kann der Fluss über (S_{ au}) mit dem Divergenzsatz angenähert werden:

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie den Divergenzsatz, um das Flussintegral [iint_Svecs Fcdot dvecs S, onumber] zu berechnen, wobei (S) der Rand der Box ist, die durch (0leq x leq 2, , 0 leq y leq 4, , 0 leq z leq 1) und (vecs F = langle x^2 + yz, , y - z, , 2x + 2y + 2z rangle ) (siehe folgende Abbildung).

Hinweis

Berechnen Sie das entsprechende Tripelintegral.

Antworten

40

Beispiel (PageIndex{3}): Anwendung des Divergenzsatzes

Sei (vecs v = leftlangle - frac{y}{z}, , frac{x}{z}, , 0 ight angle) das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Sei (C) der durch (1 leq x leq 4, , 2 leq y leq 5, , 1 leq z leq 4) gegebene Würfel und sei (S ) sei die Grenze dieses Würfels (siehe folgende Abbildung). Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit über (S).

Lösung

Die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit über (S) ist (iint_S vecs v cdot dvecs S). Bevor wir dieses Flussintegral berechnen, besprechen wir den Wert des Integrals. Basierend auf Abbildung (PageIndex{4}) sehen wir, dass, wenn wir diesen Würfel in die Flüssigkeit legen (solange der Würfel den Ursprung nicht umfasst), die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die in den Würfel eindringt, dieselbe ist wie die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die den Würfel verlässt. Das Feld ist rotatorischer Natur und für einen gegebenen Kreis parallel zur (xy)-Ebene, der einen Mittelpunkt auf der hat z-Achse, die Vektoren entlang dieses Kreises sind alle gleich groß. So können wir sehen, dass die Flussrate beim Betreten und Verlassen des Würfels gleich ist. Die Strömung in den Würfel hebt sich mit der Strömung aus dem Würfel heraus auf, und daher sollte die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit durch den Würfel Null sein.

Um diese Intuition zu überprüfen, müssen wir das Flussintegral berechnen. Um das Flussintegral direkt zu berechnen, muss das Flussintegral in sechs separate Flussintegrale aufgeteilt werden, eines für jede Seite des Würfels. Wir müssen auch Tangentenvektoren finden und ihr Kreuzprodukt berechnen. Mit dem Divergenzsatz geht diese Berechnung jedoch viel schneller:

[ egin{align*} iint_S vecs v cdot dvecs S &= iiiint_C ext{div}vecs v , dV [4pt]
&= iiiint_C 0 , dV = 0.end{ausrichten*}]

Daher ist der Fluss erwartungsgemäß null.

Übung (PageIndex{3})

Sei (vecs v = leftlanglefrac{x}{z}, , frac{y}{z}, , 0 ight angle) das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit über (S).

Hinweis

Verwenden Sie den Divergenzsatz und berechnen Sie ein Tripelintegral

Antworten

(9, ln (16))

Das Beispiel illustriert eine bemerkenswerte Konsequenz des Divergenzsatzes. Sei (S) eine stückweise glatte geschlossene Fläche und (vecs F) ein Vektorfeld, das auf einem offenen Gebiet definiert ist, das die von (S) eingeschlossene Fläche enthält. Hat (vecs F) die Form (F = langle f (y,z), , g(x,z), , h(x,y) angle), dann ist die Divergenz von (vecs F) ist null. Nach dem Divergenzsatz ist auch der Fluss von (vecs F) über (S) null. Dadurch sind bestimmte Flussintegrale unglaublich einfach zu berechnen. Angenommen, wir möchten das Flussintegral (iint_Svecs F cdot dvecs S) berechnen, wobei (S) ein Würfel ist und

[vecs F = langlesin(y),e^{yz},,x^2z^2,,cos(xy),e^{sinx} angle.]

Die direkte Berechnung des Flussintegrals wäre mit den zuvor untersuchten Techniken schwierig, wenn nicht unmöglich. Zumindest müssten wir das Flussintegral in sechs Integrale aufteilen, eines für jede Seite des Würfels. Da die Divergenz dieses Feldes jedoch null ist, zeigt der Divergenzsatz sofort, dass das Flussintegral null ist.

Wir können nun den Divergenzsatz verwenden, um die physikalische Interpretation der Divergenz zu rechtfertigen, die wir zuvor diskutiert haben. Denken Sie daran, dass, wenn (vecs F) ein stetiges dreidimensionales Vektorfeld und (P) ein Punkt im Bereich von (vecs F) ist, die Divergenz von (vecs F) bei (P) ist ein Maß für die „Ausströmung“ von (vecs F) bei (P). Wenn (vecs F) das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit darstellt, dann ist die Divergenz von (vecs F) bei (P) ein Maß für die Nettoströmungsgeschwindigkeit aus dem Punkt (P) ( der Flüssigkeitsstrom aus (P) abzüglich des Flüssigkeitsstroms nach (P)). Um zu sehen, wie der Divergenzsatz diese Interpretation rechtfertigt, sei (B_{ au}) eine Kugel mit sehr kleinem Radius r mit Mittelpunkt (P) und nehmen an, dass (B_{ au}) im Bereich von (vecs F) liegt. Nehmen Sie außerdem an, dass (B_{ au}) eine positive, nach außen gerichtete Orientierung hat. Da der Radius von (B_{ au}) klein und (vecs F) stetig ist, ist die Divergenz von (vecs F) auf (B_{ au}) näherungsweise konstant. Das heißt, wenn v (P') ein beliebiger Punkt in (B_{ au}) ist, dann ( ext{div} vecs F(P) approx ext{div} vecs F(P ')). Sei (S_{ au}) die Randsphäre von (B_{ au}). Wir können den Fluss über (S_{ au}) mit dem Divergenzsatz wie folgt approximieren:

[egin{align*} iint_{S_{ au}} vecs F cdot dvecs S &= iiiint_{B_{ au}} ext{div}vecs F , dV [4pt]
&approx iiiint_{B_{ au}} ext{div} vecs F(P), dV[4pt]
&= ext{div} vecs F(P), V(B_{ au}). end{ausrichten*}]

Da wir den Radius (r) über einen Grenzwert auf Null schrumpfen, kommt die Größe ( ext{div}vecs F(P), V(B_{ au})) dem Fluss beliebig nahe. Deshalb,

[ ext{div}vecs F(P) = lim_{ au ightarrow 0} frac{1}{V(B_{ au})} iint_{S_{ au}} vecs F cdot dvecs S]

und wir können die Divergenz bei (P) als Maß für die Nettorate des nach außen gerichteten Flusses pro Volumeneinheit bei (P) betrachten. Da „Outflowing-ness“ ein informeller Begriff für die Nettorate des ausgehenden Flusses pro Volumeneinheit ist, haben wir die zuvor diskutierte physikalische Interpretation der Divergenz gerechtfertigt und den Divergenzsatz verwendet, um diese Begründung zu geben.

Anwendung auf elektrostatische Felder

Das Divergenztheorem hat viele Anwendungen in der Physik und im Ingenieurwesen. Es erlaubt uns, viele physikalische Gesetze sowohl in integraler als auch in differentieller Form zu schreiben (ähnlich wie der Satz von Stokes uns erlaubte, zwischen einer integralen und einer differentiellen Form des Faradayschen Gesetzes zu übersetzen). Studienbereiche wie Fluiddynamik, Elektromagnetismus und Quantenmechanik haben Gleichungen, die die Erhaltung von Masse, Impuls oder Energie beschreiben, und der Divergenzsatz ermöglicht es uns, diese Gleichungen sowohl in integraler als auch in differentieller Form anzugeben.

Eine der häufigsten Anwendungen des Divergenzsatzes ist die elektrostatische Felder. Ein wichtiges Ergebnis in diesem Thema ist Gaußsches Gesetz. Dieses Gesetz besagt, dass, wenn (S) eine geschlossene Fläche im elektrostatischen Feld (vecs E) ist, der Fluss von (vecs E) über (S) die von ( S) (dividiert durch eine elektrische Konstante). Wir verwenden nun den Divergenzsatz, um den Spezialfall dieses Gesetzes zu rechtfertigen, bei dem das elektrostatische Feld durch eine stationäre Punktladung im Ursprung erzeugt wird.

Wenn ((x,y,z)) ein Punkt im Raum ist, dann ist der Abstand vom Punkt zum Ursprung (r = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}). Sei (vecs F_{ au}) das radiale Vektorfeld (vecs F_{ au} = dfrac{1}{ au^2} leftlangle dfrac{x}{ au} , , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle).Der Vektor an einer gegebenen Position im Raum zeigt in Richtung des Einheitsradialvektors ( leftlangle dfrac{x}{ au}, , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle) und wird mit der Größe ( 1/ au^2). Daher ist die Größe eines Vektors an einem bestimmten Punkt umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung des Vektors vom Ursprung. Angenommen, wir haben eine stationäre Ladung von (q) Coulomb im Ursprung, die in einem Vakuum existiert. Die Ladung erzeugt ein elektrostatisches Feld (vecs E) gegeben durch

[vecs E = dfrac{q}{4piepsilon_0}vecs F_{ au},]

wobei die Näherung (epsilon_0 = 8,854 imes 10^{-12}) Farad (F)/m eine elektrische Konstante ist. (Die Konstante (epsilon_0) ist ein Maß für den Widerstand, der bei der Bildung eines elektrischen Feldes im Vakuum auftritt.) Beachten Sie, dass (vecs E) ein radiales Vektorfeld ähnlich dem in [link] beschriebenen Gravitationsfeld ist. . Der Unterschied besteht darin, dass dieses Feld nach außen zeigt, während das Gravitationsfeld nach innen zeigt. weil

[vecs E = dfrac{q}{4piepsilon_0}vecs F_{ au} = dfrac{q}{4pi epsilon_0}left(dfrac{1}{ au^ 2} leftlangle dfrac{x}{ au}, , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle ight),]

wir sagen, dass elektrostatische Felder einem inversen quadratischen Gesetz gehorchen. Das heißt, die elektrostatische Kraft an einem bestimmten Punkt ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von der Ladungsquelle (die in diesem Fall am Ursprung liegt). Mit diesem Vektorfeld zeigen wir, dass der Fluss über die geschlossene Oberfläche (S) null ist, wenn die Ladung außerhalb von (S) ist, und dass der Fluss (q/epsilon_0) ist, wenn die Ladung innerhalb von . liegt (S). Mit anderen Worten, der Fluss über S ist die Ladung innerhalb der Oberfläche geteilt durch die Konstante (epsilon_0). Dies ist ein Spezialfall des Gaußschen Gesetzes, und hier verwenden wir den Divergenzsatz, um diesen Spezialfall zu rechtfertigen.

Um zu zeigen, dass der Fluss durch (S) die Ladung innerhalb der Oberfläche dividiert durch die Konstante (epsilon_0) ist, benötigen wir zwei Zwischenschritte. Zuerst zeigen wir, dass die Divergenz von (vecs F_{ au}) Null ist und dann zeigen wir, dass der Fluss von (vecs F_{ au}) über jede glatte Oberfläche (S) entweder Null oder (4pi). Dann können wir diesen Sonderfall des Gaußschen Gesetzes begründen.

Beispiel (PageIndex{4}): Die Divergenz von (F_{ au}) ist Null

Verifizieren Sie, dass die Divergenz von (vecs F_{ au}) Null ist, wo (vecs F_{ au}) definiert ist (vom Ursprung weg).

Lösung

Wegen ( au = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) liefert uns die Quotientenregel

[ egin{align*} dfrac{partial}{partial x} left( dfrac{x}{ au^3} ight) &= dfrac{partial}{partial x} left( dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} ight) [4pt]
&= dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - xleft[dfrac{3}{2} (x^2+y^2+z^2) ^{1/2}2x ight]}{(x^2+y^2+z^2)^3} [4pt]
&= dfrac{ au^3 -3x^2 au}{ au^6} = dfrac{ au^2 - 3x^2}{ au^5}. end{ausrichten*}]

Ähnlich,

[dfrac{partial}{partial y} left(dfrac{y}{ au^3} ight) = dfrac{ au^2 - 3y^2}{ au^5} , und , dfrac{partial}{partial z} left( dfrac{z}{ au^3} ight) = dfrac{ au^2 - 3z^2}{ au^5 }. keine Nummer ]

Deshalb,

[ egin{align*} ext{div} vecs F_{ au} &= dfrac{ au^2 - 3x^2}{ au^5} + dfrac{ au^2 - 3y ^2}{ au^5} + dfrac{ au^2 - 3z^2}{ au^5} [4pt]
&= dfrac{3 au^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{ au^5} [4pt]
&= dfrac{3 au^2 - 3 au^2}{ au^5} = 0. end{align*}]

Beachten Sie, dass, da die Divergenz von (vecs F_{ au}) null ist und (vecs E) (vecs F_{ au}) skaliert um eine Konstante ist, die Divergenz des elektrostatischen Felds (vecs E) ist ebenfalls null (außer im Ursprung).

Flussmittel über eine glatte Oberfläche

Sei (S) eine zusammenhängende, stückweise glatte geschlossene Fläche und sei (vecs F_{ au} = dfrac{1}{ au^2} leftlangledfrac{x}{ au} , , dfrac{y}{ au}, , dfrac{z}{ au} ight angle). Dann,

[iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = egin{cases}0, & ext{wenn }S ext{ den Ursprung nicht umfasst} 4pi, & ext {wenn }S ext{ den Ursprung umfasst.} end{cases}]

Mit anderen Worten, dieser Satz besagt, dass der Fluss von (vecs F_{ au}) über jede stückweise glatte geschlossene Fläche (S) nur davon abhängt, ob der Ursprung innerhalb von (S) liegt.

Beweis

Die Logik dieses Beweises folgt der Logik von [link], nur verwenden wir den Divergenzsatz anstelle des Satzes von Green.

Nehmen wir zunächst an, dass (S) den Ursprung nicht umfasst. In diesem Fall liegt der von (S) eingeschlossene Körper im Bereich von (vecs F_{ au}), und da die Divergenz von (vecs F_{ au}) Null ist, ist kann sofort den Divergenzsatz anwenden und feststellen, dass [iint_Svecs Fcdot dvecs S] null ist.

Nehmen wir nun an, dass (S) den Ursprung umfasst. Wir können den Fluss nicht einfach mit dem Divergenzsatz berechnen, da das Feld nicht im Ursprung definiert ist. Sei (S_a) eine Kugel mit Radius ein innerhalb von (S) im Ursprung zentriert. Das nach außen gerichtete normale Vektorfeld auf der Kugel in Kugelkoordinaten ist

[vecs t_{phi} imes vecs t_{ heta} = langle a^2 cos heta,sin^2 phi,,a^2 sin heta,sin ^2 phi, , a^2 sin phi , cos phi angle]

(siehe [Link]). Auf der Kugeloberfläche ist also das Skalarprodukt (vecs F_{ au} cdot vecs N) (in Kugelkoordinaten)

[ egin{align*} vecs F_{ au} cdot vecs N &= left langle dfrac{sin phi, cos heta}{a^2}, , dfrac {sinphi,sin heta}{a^2},,dfrac{cosphi}{a^2} ight anglecdotlangle a^2cos heta, sin^2 phi, a^2 sin heta, sin^2 phi, , a^2 sin phi, cos phi angle [4pt]
&= sin phi ( langle sin phi , cos heta, , sin phi , sin heta, , cos phi angle cdot langle sin phi , cos heta, sin phi , sin heta, , cos phi angle ) [4pt]
&= sinphi. end{ausrichten*}]

Der Fluss von (vecs F_{ au}) über (S_a) ist

[iint_{S_a}vecs F_{ au} cdot vecs N dS = int_0^{2pi} int_0^{pi} sinphi,dphi,d heta = 4pi.]

Denken Sie daran, dass uns der Fluss über (S) interessiert, nicht unbedingt der Fluss über (S_a). Um den Fluss über (S) zu berechnen, sei (E) der Körper zwischen den Flächen (S_a) und (S). Dann besteht der Rand von (E) aus (S_a) und (S). Bezeichnen Sie diese Grenze mit (S - S_a), um anzuzeigen, dass (S) nach außen gerichtet ist, aber jetzt (S_a) nach innen gerichtet ist. Wir möchten den Divergenzsatz auf feste (E) anwenden. Beachten Sie, dass der Divergenzsatz, wie gesagt, keinen Körper wie (E) verarbeiten kann, weil (E) ein Loch hat. Der Divergenzsatz kann jedoch erweitert werden, um Körper mit Löchern zu behandeln, genauso wie der Satz von Green erweitert werden kann, um Bereiche mit Löchern zu behandeln. Dies erlaubt uns, den Divergenzsatz wie folgt anzuwenden. Nach dem Divergenzsatz gilt

[ egin{align*} iint_{S-S_a} vecs F_{ au} cdot dvecs S &= iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S - iint_{S_a } vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= iiiint_E ext{div} vecs F_{ au}, dV [4pt]
&= iiiint_E 0 , dV = 0. end{align*}]

Deshalb,

[iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = iint_{S_a} vecs F_{ au} cdot dvecs S = 4pi, onumber]

und wir haben unser gewünschtes Ergebnis.

(Box)

Wir kehren nun zur Berechnung des Flusses über eine glatte Oberfläche im Kontext des elektrostatischen Feldes (vecs E = dfrac{q}{4pi epsilon_0} vecs F_{ au}) einer Punktladung am Ursprung. Sei (S) eine stückweise glatte geschlossene Fläche, die den Ursprung umschließt. Dann

[ egin{align*} iint_S vecs E cdot dvecs S &= iint_S dfrac{q}{4pi epsilon_0} vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= dfrac{q}{4pi epsilon_0} iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S [4pt]
&= dfrac{q}{epsilon_0}. end{ausrichten*}]

Wenn (S) den Ursprung nicht umfasst, dann

[iint_S vecs E cdot dvecs S = dfrac{q}{4pi epsilon_0} iint_S vecs F_{ au} cdot dvecs S = 0. onumber]

Daher haben wir die Behauptung, die wir begründen wollten, gerechtfertigt: Der Fluss über die geschlossene Oberfläche (S) ist null, wenn die Ladung außerhalb von (S) liegt, und der Fluss ist (q/epsilon_0) wenn die Ladung innerhalb von (S) liegt.

Diese Analyse funktioniert nur, wenn am Ursprung eine einzelne Punktladung vorhanden ist. In diesem Fall besagt das Gaußsche Gesetz, dass der Fluss von (vecs E) durch (S) die von (S) eingeschlossene Gesamtladung ist. Das Gaußsche Gesetz kann erweitert werden, um mehrere geladene Festkörper im Raum zu behandeln, nicht nur eine einzelne Punktladung im Ursprung. Die Logik ist der vorherigen Analyse ähnlich, würde aber den Rahmen dieses Textes sprengen. Ganz allgemein besagt das Gaußsche Gesetz, dass, wenn (S) eine stückweise glatte geschlossene Fläche und (Q) die Gesamtladungsmenge innerhalb von (S) ist, der Fluss von (vecs E ) über (S) ist (Q/epsilon_0).

Beispiel (PageIndex{5}): Verwendung des Gaußschen Gesetzes

Angenommen, wir haben vier stationäre Punktladungen im Raum, alle mit einer Ladung von 0,002 Coulomb (C). Die Ladungen befinden sich bei ((0,0,1), , (1,1,4), (-1,0,0)) und ((-2,-2,2)) . Sei (vecs E) das elektrostatische Feld, das von diesen Punktladungen erzeugt wird. Wenn (S) die Kugel mit dem Radius (2) ist, die nach außen gerichtet und im Ursprung zentriert ist, dann finde

[iint_S vecs E cdot dvecs S. onumber]

Lösung

Nach dem Gaußschen Gesetz ist der Fluss von (vecs E) durch (S) die Gesamtladung innerhalb von (S) geteilt durch die elektrische Konstante. Da (S) den Radius (2) hat, beachten Sie, dass nur zwei der Ladungen innerhalb von (S) liegen: die Ladung bei (0,1,1)) und die Ladung bei (( -1,0,0)). Daher ist die von (S) eingeschlossene Gesamtladung (0,004) und nach dem Gaußschen Gesetz

[iint_S vecs E cdot dvecs S = dfrac{0,004}{8.854 imes 10^{-12}} approx 4.418 imes 10^9, V - m. keine Nummer]

Übung (PageIndex{4})

Bearbeiten Sie das vorherige Beispiel für die Fläche (S), die eine Kugel mit Radius 4 ist, die im Ursprung zentriert und nach außen gerichtet ist.

Hinweis

Verwenden Sie das Gaußsche Gesetz.

Antworten

(ca. 6.777 mal 10^9)

Divergenzsatz
ein Satz, der verwendet wird, um ein schwieriges Flussintegral in ein einfacheres Dreifachintegral umzuwandeln und umgekehrt
Gaußsches Gesetz
wenn S eine stückweise glatte geschlossene Fläche im Vakuum und (Q) die gesamte stationäre Ladung innerhalb von (S) ist, dann ist der Fluss des elektrostatischen Feldes (vecs E) über (S) (Q/epsilon_0)
inverses quadratisches Gesetz
die elektrostatische Kraft an einem bestimmten Punkt ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung von der Ladungsquelle


Schau das Video: Oberflächenintegrale 2. ArtFlussintegral vektoriell. Einfach erklärt! (November 2021).