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Entwurf einer benutzerdefinierten Version MAT 131 College Algebra - Mathematik


Entwurf einer benutzerdefinierten Version MAT 131 College Algebra - Mathematik

MATLAB ® kombiniert eine Desktop-Umgebung, die auf iterative Analyse- und Designprozesse abgestimmt ist, mit einer Programmiersprache, die Matrix- und Array-Mathematik direkt ausdrückt. Es enthält den Live-Editor zum Erstellen von Skripts, die Code, Ausgabe und formatierten Text in einem ausführbaren Notizbuch kombinieren.

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Mathematik-Übungsfragen 1

1. C: Die gleichung, x-0.10x-0.15(x-0.10x)=306, kann zur Lösung des Problems verwendet werden. Auflösen nach x ergibt 0,90x – 0.15x + 0.015x = 306, wobei x = 400. Somit betrug der ursprüngliche Preis 400 $.

2. B: Die Gleichung kann gelöst werden, indem man zuerst die ja über den Ausdruck, x – 1, auf der linken Seite der Gleichung. Dies gibt: xjaja = Z. Hinzufügen ja auf beiden Seiten der Gleichung ergibt: xja = Z + ja. Schließlich Division beider Seiten der Gleichung durch ja gibt: x=(Z+ja)/ja oder x=Z/ja+1.

3. B: Dieses Problem veranschaulicht die Verteilungseigenschaft der Multiplikation über die Addition. Der zu verteilende Faktor darf sich nicht ändern.

4. D: Das Maß des dritten Winkels des Dreiecks ist gleich 180°-(15° + 85°) oder 80°.

5. C: Da 2 Pfund 32 Unzen (16 Unzen = 1 Pfund) sind, kann das folgende Verhältnis geschrieben werden: 5/140 = 32/x . Auflösen nach x gibt x = 896. Somit sind 896 Gramm in 2 Pfund Fleisch enthalten.

6. E: Die größte Anzahl von Kindern, die in einem Jahr Schwimmunterricht nahmen, betrug 1995 500.

7. C: Der einzige Rückgang bei der Zahl der Kinder, die Schwimmunterricht nahmen, war von 1992 bis 1993 mit einem Rückgang von 200 Kindern.

8. B: Der Durchschnitt kann als (200+250+400+200+300+500)/6 geschrieben werden, was ungefähr 308 entspricht.

9. EIN: Eine Verschiebung des Dezimalpunkts um zwei Stellen nach links ergibt 0,0593.

10. C: Der folgende Anteil kann zur Lösung des Problems verwendet werden: 1/20 = 6,2/x. Auflösen nach x gibt x = 124, also liegen tatsächlich 124 Meilen zwischen den beiden Städten.

11. EIN: Das richtige Diagramm sollte ein Liniensegment zwischen 1 und 4 anzeigen, einschließlich der Punkte 1 und 4.

12. D: Das Volumen der Dose beträgt 972 in”. Das Volumen jedes Fudgestücks beträgt 27 in”. 972 ÷ 27 = 36.

13. B: Das folgende Gleichungssystem kann verwendet werden, um das Problem zu lösen: (so=2b@sob=15). Ersetzen von 2b zum so, in der zweiten Gleichung ergibt: 2bb = 15, wobei b = 15. Der jüngere Bruder ist 15 Jahre alt.

14. C: Die Multiplikation von Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs mit 5 ergibt den Bruch 25/30, der äquivalent ist.

15. B: Wenn man Fuß in Yard umwandelt, können die Abmessungen in 4 Yard mal 6 2/3 Yard umgeschrieben werden. Somit beträgt die Fläche des Bodens 26 2/3 yd’. Die Multiplikation dieser Fläche mit den Kosten pro Quadratmeter ergibt den Ausdruck 26 2/3-8,91, was 237,6 entspricht. Somit betragen die Kosten 237,60 $.

16. C: Die folgende Gleichung kann gelöst werden nach x: 6000=1/2 x. Auflösen nach x gibt x = 12.000. Somit belief sich das ausgeschüttete Preisgeld auf 12.000 US-Dollar.

17. D: Der Abstand kann bestimmt werden, indem die folgende Gleichung geschrieben und gelöst wird nach c: 50 2 +120 2 =c 2 . c = 130, also beträgt die Entfernung 130 Fuß.

18. D: Der durchschnittliche Preis für die Hin- und Rückfahrt ist die zurückgelegte Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtreisezeit. Zurückgelegte Strecke=2x. Reisezeit=x/10+x/8=4x/40+5x/40=9x/40. Durchschnittliche Geschwindigkeit = 2xx9x/40=(2xx40)/9x=80/9 = ungefähr 8,9 mph.

19. E: Die Länge beträgt 216 Zoll. Die Breite beträgt 36 Zoll. So kann die Länge von 18 12-Zoll-Steinen bedeckt werden, während die Breite von 3 12-Zoll-Steinen bedeckt werden kann. Für eine Schicht werden insgesamt 42 Steine ​​benötigt, für zwei Schichten werden 84 Steine ​​benötigt. Die Multiplikation von 84 mit 2,32 $ ergibt 194,88. Die Gesamtkosten betragen somit 194,88 USD.

20. E: Die Gleichung kann gelöst werden nach x indem man zuerst 6 . subtrahiertx von beiden Seiten der Gleichung. Dies gibt -3x = -15, wobei x = 5. Ersetzen von 5 für x in den zweiten Ausdruck ergibt 5 + 8, was gleich 13 ist.

21. B: In 1 Liter sind 1.000 Milliliter.

22. D: Das Problem kann mit der Gleichung 6,50 = 5,00 + 0,50 . modelliert werdenx, wo x steht für die Anzahl der Passagiere. Auflösen nach x gibt x = 3. Somit befanden sich 3 Passagiere plus 1 Fahrer für insgesamt 4 Personen im Fahrzeug.

23. C: Dieses Problem kann als 1/9 dargestellt werden. 9, was gleich 1 ist.

24. D: Wenn er 3 von jeder Farbe herausnimmt, wird sichergestellt, dass er 1 von jeder Farbe hat. Somit muss er insgesamt 9 Murmeln herausnehmen.

25. E: 0,20 % = 0,002 und 1/500 = 0,002.

26. D: Der Anstieg von Laufzeit zu Laufzeit ist doppelt so hoch wie in den beiden vorherigen Laufzeiten. Somit beträgt der Anstieg von 19 auf den fehlenden Term 20 oder das Doppelte des Anstiegs von 10. Somit ist der fehlende Term gleich 19 + 20 oder 39.

27. C: Die Lösung kann durch den Ausdruck 0,25(2490) modelliert werden. So sah ihr Budget im April 2001 622,50 US-Dollar für den Wohnungsbau vor.

28. E: Der Durchschnitt kann als (0,10(2578)+0,10(2432)+0,10(2668)+0,10(2490)+0,10(2622)+0,10(2555))/6 dargestellt werden, was vereinfacht als (257,80+243,20+266,80+ .) 249,00+262,20+255,50)/6 oder 255,75. Der durchschnittliche Haushaltsbetrag für Kleidung betrug in den ersten sechs Monaten des Jahres 2001 255,75 US-Dollar.

29. EIN: Der Betrag, den sie gespart hat, kann durch den Ausdruck 0,25(2622) – 0,20(2622) dargestellt werden, was 131,10 entspricht. So sparte sie 131,10 US-Dollar.

30. B: Das Problem kann mit der Gleichung 1/40+1/30+1/24=1/ modelliert werden.t. Auflösen nach t gibt t = 10. Zusammen können sie also das gleiche Dokument in 10 Minuten eingeben.

31. D: Der Bruch, 3/5, entspricht 0,6, was weniger als 2/3 ist.

32. C: Das Verhältnis kann als 6/14 geschrieben werden, was sich auf 3/7 reduziert.

33. B: Der Geldbetrag, den sie verdient hat, kann durch den Ausdruck 90 + 0,12 . dargestellt werdenx, wo x stellt die Verkaufssumme dar. Ersetzen von 3000 für x ergibt 90 + 0,12 (3000), was 450 entspricht. Also hat sie diese Woche $450 verdient.

34. EIN: Zuerst kann die Umfangsmessung in Fuß umgewandelt werden. Die Multiplikation von 25 1/3 Yards mit 3 ergibt eine äquivalente Messung von 76 Fuß. Somit kann die folgende Gleichung geschrieben werden: 76 = 2(22) + 2w, was vereinfacht zu 76 = 44 + 2w, wo w = 16. Die Breite des Hauses beträgt 16 ft.

35. EIN: Das Problem kann mit dem Ausdruck 15.000 + 0,15 (15.000) modelliert werden, was 17.250 entspricht. So verkaufte er das Boot für 17.250 Dollar.

36. EIN: 3/2000 = 0,0015, was 0,15% entspricht.

37. D: Verschieben des Dezimalpunkts um 4 Stellen nach rechts ergibt 63.340.

38. C: Auflösen der gegebenen Gleichung nach x gibt x = -1. Ersetzung von -1 für x, in der zweiten Gleichung ergibt -1 + 1 = 0.

39. EIN: Der Innenwinkel misst eine Dreieckssumme zu 180°. Somit ist das Maß des dritten Winkels gleich der Differenz von 180° und 120° oder 60°.

40. B: Cups ist ein geeignetes Maß für die Kapazität für Zucker.


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Inhalt

Stafford wurde in Tampa, Florida, als Sohn von John und Margaret Stafford geboren. Er lebte in Dunwoody, Georgia, während sein Vater die Graduiertenschule an der University of Georgia besuchte. Er hat ein Geschwisterchen, eine ältere Schwester namens Page. Seine Familie zog dann nach Dallas, Texas, und Stafford besuchte die Highland Park High School mit dem Pitcher Clayton Kershaw der Los Angeles Dodgers. [3] Er wurde von Randy Allen trainiert und galt weithin als einer der besten High-School-Quarterbacks in den Vereinigten Staaten in der Klasse von 2006, [4] vor Tim Tebow. [5]

Im Jahr 2005 führte er sein Team zu einem perfekten 15-0-Rekord und gewann die UIL 4A Division I State Championship. Während der Playoffs schlug Stafford Ryan Malletts Texarkana Texas 38-31, sowie Jevan Sneads Stephenville 41-38. Stafford hatte über 4.000 Yards Passspiel, obwohl er in den ersten drei Spielen der Saison aufgrund einer Knieverletzung nicht spielte. Stafford erhielt zahlreiche Auszeichnungen, darunter die Ernennung zum Parade All-America-Team und die USA heute Pre-Season Super 25 im Jahr 2005. [9] Er gewann auch die Auszeichnungen MVP und Best Arm beim EA Sports Elite 11 Quarterback Camp 2005 und wurde 2005 zum EA Sports National Player of the Year ernannt. [10] Von Rivals.com als Fünf-Sterne-Rekrut angesehen, wurde Stafford von Rivals.com als Nr. 1-Quarterback-Anwärter im Profistil in der Klasse von 2006 aufgeführt. [11]

Bevor er überhaupt ein Spiel auf College-Ebene begonnen hatte, sagte Analyst Mel Kiper Jr. richtig voraus, dass Stafford schließlich die erste Wahl im NFL-Draft sein würde. [12]

  • Hinweis: In vielen Fällen können Scout, Rivals, 247Sports und ESPN in ihren Angaben zu Größe und Gewicht in Konflikt geraten.
  • In diesen Fällen wurde der Durchschnitt genommen. ESPN-Noten liegen auf einer 100-Punkte-Skala.
  • "Georgia Football Commitments". Rivalen.com. Abgerufen am 17. Dezember 2011 .
  • "2006 Georgia Football Commits". Scout.com. Abgerufen am 17. Dezember 2011 .
  • "ESPN". ESPN.com. Abgerufen am 17. Dezember 2011 .
  • "Scout.com Team-Recruiting-Rangliste". Scout.com. Abgerufen am 17. Dezember 2011 .
  • "Teamwertung 2006". Rivalen.com. Abgerufen am 17. Dezember 2011 .

Saison 2006 Bearbeiten

Fußballanalyst Mel Kiper, Jr. on ESPN-Radio im September 2006. [13]

Stafford schloss die High School vorzeitig ab und schrieb sich im Januar an der University of Georgia ein, wo er der erste echte Freshman-Quarterback war, der seit Quincy Carter im Jahr 1998 für die Georgia Bulldogs-Fußballmannschaft antrat, und der erste Absolvent der High School seit Eric Zeier in 1991. Stafford trug die Nummer 7 in Georgia. Er absolvierte fünf von 12 Pässen für 102 Yards und einen Touchdown in einem Georgia-Frühlingsspiel. [14]

Stafford debütierte spät im Saisonauftakt der Saison 2006 gegen Western Kentucky und ging 3 von 5 für 40 Yards und einen Touchdown-Pass beim 48-12-Sieg. [15] Während des dritten Spiels der Saison, gegen South Carolina, wurde Quarterback Joe Tereshinski III verletzt, was Stafford zwang, von der Bank zu kommen. Obwohl er nur 8 von 19 Pässen für 171 Yards und drei Interceptions absolvierte, gewann Georgia das Spiel mit 18-0. [17] Gegen die University of Alabama Birmingham in der folgenden Woche machte Stafford seinen ersten College-Start. Georgien gewann 34-0. Siege über Colorado und Ole Miss verbesserten Georgias Rekord auf 5-0, aber das Herzstück des Konferenzplans ragte auf. [19]

Der Rest der Saison war für Stafford und die Bulldogs inkonsistent. Nach Heimniederlagen gegen Tennessee und Vanderbilt ernannte Cheftrainer Mark Richt Stafford zum Starter für den Rest der Saison vor Tereshinski. Stafford absolvierte 20 von 32 Pässen für 267 Yards und zwei Touchdowns in einem 27-24 Sieg über Mississippi State und wurde für seine Bemühungen zum SEC Freshman of the Week ernannt. [22] Statistisch gesehen hatte er sein bestes Spiel der Saison gegen die #5 Auburn Tigers. Stafford beendete das Spiel 14 von 20 für 219 Yards und einen Touchdown und fügte 83 Rushing Yards und einen Touchdown auf sieben trägt in Georgias 37-15 umgekipptem Sieg hinzu. [23] In der folgenden Woche führte Stafford die Bulldogs auf einem 12-Spiel-, 64-Yard-Laufwerk und warf den spielgewinnenden Touchdown-Pass in Georgias 15-12-Sieg über die #16 Georgia Tech. [24]

Stafford beendete seine Freshman-Saison, indem er Georgia zu einem 31-24-Sieg von hinten über Virginia Tech im Chick-fil-A Bowl führte, nachdem die Bulldogs zur Halbzeit 21-3 zurücklagen. Stafford warf 129 Yards und einen Touchdown in der zweiten Hälfte, um das Comeback zu entfachen und Georgia zu ermöglichen, die Saison mit einem 9-4-Rekord zu beenden. Stafford beendete mit 1.749 Passing Yards, sieben Touchdowns und 13 Interceptions. [26]

Saison 2007 Bearbeiten

Stafford warf für 234 Yards und zwei Touchdowns, als die Bulldogs die Oklahoma State Cowboys 35-14 im Saisonauftakt besiegten. [27] Gegen Alabama vermieden die Bulldogs einen 0-2 Start im SEC-Spiel, indem sie dem Bryant-Denny-Stadion mit einem Überstundensieg entkamen. Stafford verband sich mit Senior Wide Receiver Mikey Henderson auf dem ersten Spiel der Bulldogs aus Scrimmage in der Verlängerung um den Siegtreffer. [29] Beim Sieg über #9 Florida absolvierte er 11 von 18 Pässen für 217 Yards und drei Touchdowns, darunter einen karrierelangen Touchdown-Pass von 84 Yards an Mohamed Massaquoi und einen 53-Yard-Touchdown-Pass an Henderson. [30] [31] Die Siege über Florida, Auburn und Georgia Tech waren das erste Mal seit 1982, dass Georgia alle drei Rivalen in derselben Saison besiegt hatte. [32] [33]

Stafford hatte 175 Yards Pass und einen Touchdown-Pass während Georgias 41-10 Niederlage gegen die #10 Hawaii Warriors im Sugar Bowl 2008. Er absolvierte 194 von 348 Pässen für 2.523 Yards (194.1/Spiel) und 19 Touchdowns sowie zwei rauschende Touchdowns für die Saison. [35] Er beendete den fünften Platz in der SEC in den Pass-Vervollständigungen und den sechsten in den Pass-Touchdowns. Stafford trug dazu bei, Georgia zu einem 11-2 Rekord zu führen, ihrer besten Note seit der Saison 2002. [37]

Saison 2008 Bearbeiten

Stafford wurde ausgewählt Athlon-Sport ' Vorsaison Heisman Favoriten Andere zur Beobachtungsliste. [9] Georgia wurde sowohl in der Vorsaison-Trainer-Umfrage als auch in der AP-Umfrage auf Platz 1 geführt, was das erste Mal markiert, dass Georgia in der Vorsaison-Version einer der beiden Umfragen auf Platz 1 steht. Das Team trat auch in die Saison 2008 mit der längsten aktiven Siegesserie unter den 66 BCS-Konferenzteams ein, nachdem es seine letzten sieben Spiele der Saison 2007 gewonnen hatte. Er trug dazu bei, sie in ihren ersten vier Spielen zu Siegen zu führen, um die Siegesserie auf 11 zu verschieben. Stafford und die Bulldogs erlitten ihren ersten Rückschlag in einer 41–30-Niederlage gegen #8 Alabama. Stafford erholte sich, indem er half, das Team zu Siegen in fünf der nächsten sechs Spiele zu führen, die einzige Ausnahme war eine 49-10-Niederlage gegen #5 Florida. [40] In dieser Strecke warf er über 300 Yards in Siegen über Tennessee und Kentucky. [41] [42] Im letzten Spiel der regulären Saison gegen Georgia Tech absolvierte Stafford 24 von 39 Versuchen für 407 Yards und fünf Touchdowns und setzte damit persönliche College-Höhen für das Passieren von Yards und Touchdowns in einem einzigen Spiel, wenn auch 45-42 Verlust. Stafford beendete die Saison mit einem Conference-führenden 235 Pass-Abschlüssen für 3.459 Yards, dem zweitmeisten in der Schulgeschichte, und 25 Touchdowns, dem Single-Saison-Rekord für das Passen von Touchdowns. Er stürmte auch für einen Touchdown im Jahr 2008. Er führte die SEC in Passversuchen und Passing Completionen, während er Dritter für das Passen von Touchdowns wurde. [45] [46] Georgia beendete die reguläre Saison mit 9-3 und qualifizierte sich für den Capitol One Bowl. [47] Nachdem er Michigan State 24-12 besiegt und den MVP des Capital One Bowl 2009 gewonnen hatte, beendete Stafford seine drei Jahre in Georgia mit einem 3-0-Rekord in Bowl-Spielen und einem 6-3 Rekord in Rivalitätsspielen (1–2 .). gegen Florida, 3-0 gegen Auburn und 2-1 gegen Georgia Tech). [48] ​​Stafford verzichtete auf seine Senior-Saison und trat 2009 in den NFL Draft ein. [49]

Auszeichnungen und Ehrungen Bearbeiten

  • In der Saison 2006 zweimal zum SEC Freshman of the Week ernannt
  • Für seine Leistung gegen Auburn am 11. November 2006 zum National Freshman of the Week von Rivals.com ernannt
  • Ausgezeichnet mit dem Offensive Newcomer of the Year Award 2006 der University of Georgia
  • Ernennung zum All-Freshman-Team der SEC-Trainer 2006 [50]
  • Ernennung zum Offensiv-MVP des Chick-fil-A-Bowls 2006
  • 2008 von Pro Football Weekly zu All-America ernannt[51]
  • Benannt in das zweite Team All-SEC im Jahr 2008
  • MVP des Capital One Bowl 2009[53]

Statistik Bearbeiten

  • Staffords 25 Touchdown-Pässe im Jahr 2008 brachen den vorherigen Georgia-Rekord von 24, aufgestellt von D. J. Shockley (2005) und Eric Zeier (1993, 1994).
  • Staffords 3.459 Yards, die 2008 passierten, waren die zweitmeisten in der Geschichte von Georgia, übertroffen nur von Zeiers 3.525 Yards im Jahr 1993. [55]

Im April 2008 sagten mehrere NFL-Analysten voraus, dass Stafford die Nummer 1 im NFL-Draft 2009 sein würde, wenn er sich dafür entscheiden würde, die Schule vorzeitig zu verlassen. Er tat es schließlich, und am 24. April 2009 stimmte er zu, Vertragsbedingungen mit den Detroit Lions aufzunehmen, um die erste Gesamtauswahl des NFL-Entwurfs 2009 zu werden, einen Tag bevor der Entwurf stattfand.[58] Der Sechsjahresvertrag enthielt Berichten zufolge 41,7 Millionen US-Dollar an garantiertem Geld (die höchste Garantie für jeden Spieler in der Geschichte der NFL bis zum 30. Juli 2010, als Quarterback Sam Bradford einen Vertrag mit garantierten 50 Millionen US-Dollar unterzeichnete) und hatte einen Gesamtwert von bis zu auf 78 Millionen Dollar. Detroit hat am 24. April 2009, weniger als 24 Stunden vor dem Entwurf, einen Deal mit Stafford ausgehandelt. [59]

Detroit Lions Bearbeiten

Saison 2009 Bearbeiten

Am 6. September 2009 gab Lions-Cheftrainer Jim Schwartz bekannt, dass Stafford der Quarterback der Lions vor der Saison sein würde. [63] [64] [65] Er war der erste Lions-Rookie-Quarterback, der in Woche 1 seit Greg Landry im Jahr 1968 startete. [66] Er absolvierte 16 von 37 Pässen für 205 Yards und drei Interceptions. Er lief in einem One-Yard-Touchdown zu Beginn des dritten Viertels. Im folgenden Spiel, einer 27-13-Niederlage gegen die Minnesota Vikings, warf Stafford seinen ersten Touchdown-Pass seiner Karriere auf einen Acht-Yard-Abschluss an Calvin Johnson. Er verzeichnete seinen ersten Sieg als Lion im nächsten Spiel gegen die Washington Redskins. Er ging für 241 Yards und einen Touchdown in den 19-14 Sieg. [69] Der Sieg war für die Lions von Bedeutung, da er eine 19-Spiele-Niederlage bis in die Saison 2007 schnappte. In Woche 9 gegen die Seattle Seahawks verzeichnete Stafford 203 Passing Yards, zwei Passing-Touchdowns und fünf Interceptions auf Karrierehöhe in der 32-20-Niederlage. [71]

Am 22. November 2009 warf Stafford fünf Touchdowns in einem 38-37-Sieg über die Cleveland Browns und wurde damit der jüngste Quarterback, der dies jemals tat. Er war mehr als ein Jahr jünger als der ehemalige Rekordhalter Dan Marino. [72] In einem aufregenden Ende erhielt Stafford großen Beifall, als er trotz des Drangs der Teamärzte, nach einer abgetrennten Schulter im vorherigen Spielzug aufs Feld zurückzutreten, und nach Ablauf der Zeit den letzten Touchdown-Pass warf. Zusätzlich zu den fünf Touchdown-Pässen sammelte Stafford 422 Yards, ein Rekord für einen Rookie zu dieser Zeit. Für seine Leistung gewann Stafford den NFC Offensive Player of the Week und Pepsi Rookie of the Week. [73] [74] Stafford wurde für das Spiel mikrofoniert für NFL-Filme. Der Schöpfer der Show, Steve Sabol, sagte, es sei die dramatischste Leistung, die er in der 30-jährigen Geschichte der Show gesehen habe. [75] Um Woche 12 am Thanksgiving Day zu beginnen, ging Stafford 20 von 43 für 213 Yards mit einem Touchdown-Pass, warf aber vier Interceptions in der 34-12-Niederlage gegen die Green Bay Packers. In Woche 13 ging Stafford 11 von 26 für 143 Yards mit einem Touchdown, warf aber zwei Interceptions in der 23-13 Niederlage bei den Cincinnati Bengals. [77]

Stafford wurde am 24. Dezember wegen der leichten Knieverletzung in die Verletztenreserve versetzt. Stafford beendete seine Rookie-Saison mit 2.267 Yards, 13 Touchdowns und 20 Interceptions. In allen 10 Spielen, die er für die Lions startete, warf er oder lief für einen Touchdown, obwohl die Lions die Saison 2-8 in den Spielen beendeten, in denen er begann. Die Lions gewannen kein weiteres Spiel ohne Stafford und beendeten mit einem 2 –14 Gesamtrekord. [79]

Saison 2010 Bearbeiten

Nachdem er in der ersten Hälfte 83 Yards geworfen hatte, verletzte sich Stafford bei der Saisoneröffnung 19-14 am 12. September gegen die Chicago Bears am 12. September seine rechte Schulter. [80] Stafford kehrte am 31. Oktober in Woche 8 gegen die Washington Redskins zurück und warf für 212 Yards, vier Touchdowns und eine Interception führten die Lions zu einem 37-25-Sieg. Im nächsten Spiel verletzte sich Stafford erneut seine rechte Schulter im vierten Viertel der Lions 23-20 Overtime-Verluste gegen die New York Jets, nachdem er 240 Yards, zwei Touchdowns geworfen und einen rauschenden Touchdown aufgenommen hatte. [82] Die Lions gaben bekannt, dass Dr. James Andrews eine Operation an Staffords Wurfschulter durchgeführt hatte, die eine AC-Gelenkreparatur und eine Schlüsselbeinrasur umfasste. Die Operation beendete seine Saison 2010 und ließ die Lions bei 1-2 in Spielen, die er begann, und brachte seine Karriere bei den Lions auf 3-10. Die Lions beendeten die Saison 2010 mit einem 6-10-Rekord und verpassten die Playoffs. [85]

Saison 2011 Bearbeiten

Die Lions eröffneten die Saison am 11. September gegen die Tampa Bay Buccaneers mit hohen Erwartungen. Stafford spielte gut und warf 305 Yards, drei Touchdowns und eine Interception in einem 27-20-Sieg, dem ersten Saisonauftakt, den die Lions seit 2007 gewonnen hatten. [87] Eine weitere starke Leistung folgte, mit Stafford wirft für vier Touchdowns , 294 Yards und eine Interception gegen die Kansas City Chiefs in Woche 2, was die Lions zu einem 48-3 Blowout-Sieg führte, der größten Gewinnspanne in der Teamgeschichte. [88] Stafford gewann für seine Leistung den FedEx Air NFL Player of the Week. In den Wochen 3 und 4 führte Stafford das Team zu aufeinanderfolgenden Comeback-Siegen, einem 26-23-Comeback-Sieg über die Minnesota Vikings nach einem Rückstand von 20-0 zur Halbzeit in Woche 3 und einem 34-30-Sieg über die Dallas Cowboys nachdem er 27-3 mit 12:27 im dritten Viertel hinter sich gelassen hatte. [90] [91]

In Woche 5 orchestrierte Stafford einen 24-13-Sieg gegen die Chicago Bears und ging 19 von 26 für 219 Yards und zwei Touchdowns. Dies war das erste Mal seit 1956, dass die Lions 5-0 gewannen, dem Jahr bevor sie ihre letzte NFL-Meisterschaft gewannen. In Woche 10 gegen die Bären warf Stafford vier Interceptions, darunter zwei, die für Touchdowns auf aufeinanderfolgenden Drives zurückgegeben wurden. [93] [94] Das Spiel wurde durch eine Schlägerei getrübt, die begann, als Stafford Bears Cornerback D. J. Moore während eines Blocks bei einem Abfang-Return mit seinem Helm zu Boden warf. Als Reaktion darauf griff Moore Stafford an und es kam zu einer Schlägerei zur Seitenlinie. [95] Stafford wurde für seine Rolle in der Schlägerei mit einer Geldstrafe von 7.500 US-Dollar belegt. [96]

Am 20. November warf Stafford 335 Yards und verband seine Karriere mit fünf Touchdowns, als die Lions die Carolina Panthers in einem weiteren Comeback 49-35 besiegten, nachdem sie im zweiten Quartal 24-7 zurücklagen. [97] Stafford war der erste Quarterback seit mindestens 1950, der nach einem Rückstand von mindestens 20 Punkten aufeinanderfolgende Spiele gewann, der erste, der drei Spiele in einer Saison mit einem Rückstand von mindestens 17 Punkten gewann, und der erste, der vier Spiele gewann in einer Saison nach einem Rückstand von mindestens 13 Punkten laut STATS, LLC. (Daten vor 1950 sind unvollständig.)

Am 1. Januar 2012 wurde Stafford der vierte Quarterback in der NFL-Geschichte und der dritte in der Saison 2011, zusammen mit Tom Brady und Drew Brees, um in einer Saison 5.000 Yards zu werfen, nachdem er ein Karrierehoch von 520 Yards gegen das Green aufgezeichnet hatte Bay Packers in einer 45-41-Niederlage in Woche 17. [98] In diesem Spiel warf Stafford eine Interception auf einen versuchten 37-Yard-Touchdown-Pass, der, wenn er erfolgreich gewesen wäre, Norm Van Brocklins Rekord für die meisten Yards gebrochen hätte in einem Spiel. Die Leistung machte Stafford im Alter von 23 Jahren und 328 Tagen zum zweitjüngsten Quarterback in der Geschichte der NFL und erreichte 5.000 Yards hinter Dan Marino. [100] [101] Stafford war der erste Spieler in der Lions-Franchise-Geschichte, der zwei Spiele in einer einzigen Saison mit mindestens fünf Pass-Touchdowns absolvierte. In den letzten vier Spielen der regulären Saison 2011 wurde Stafford der einzige Quarterback in der NFL-Geschichte, der über eine Spanne von vier Spielen für über 1.500 Yards (1.511) und 14 Touchdowns reichte. [103] Stafford und die Lions beendeten die reguläre Saison mit einem 10-6-Rekord, gut genug für die Lions, um ihren ersten Playoff-Auftritt seit 1999 zu machen. [104] [105]

Während der Wild Card Round in den Playoffs gegen die New Orleans Saints warf Stafford mit drei Touchdown-Pässen 380 Yards und fügte einen rauschenden Touchdown hinzu. Er warf jedoch im vierten Quartal zwei späte Interceptions, die den Verlust für die Lions besiegelten, als sie mit 45:28 besiegt wurden. [106]

Stafford wurde nach der NFL-Saison 2011 zum Pro Bowl-Alternativen für die NFC ernannt. Er wurde später zum Pro Football Weekly Comeback Player of the Year 2011, AP Comeback Player of the Year und NFL Alumni Quarterback of the Year ernannt. [108] Er wurde von seinen Mitspielern auf Platz 41 der NFL Top 100 Players of 2012 platziert. [109]

Saison 2012 Bearbeiten

Während sich die Saison 2011 als die beste Saison in Staffords junger Karriere erwies, war 2012 eine voller Rückschläge. Während des Eröffnungsspiels gegen die St. Louis Rams warf Stafford drei Interceptions und einen Touchdown-Pass. Allerdings gewannen die Löwen das Spiel 27-23. Stafford und die Lions verloren die nächsten drei Spiele gegen die San Francisco 49ers, Tennessee Titans und Minnesota Vikings. In den folgenden Wochen gelang es den Lions, drei Spiele zu gewinnen, darunter beeindruckende Comeback-Siege gegen die Seattle Seahawks und Philadelphia Eagles sowie eine dominierende Leistung gegen die Jacksonville Jaguars. [114] [115] [116] Dies waren die letzten Siege der Saison 2012, da sie die Saison mit einer Pechsträhne von acht Spielen und einem 4-12-Rekord beendeten. [117] Ein Höhepunkt in der Pechsträhne war ein Spiel gegen die Atlanta Falcons, in dem Stafford einen Karrierehoch von 37 Abschlüssen für 443 Yards und eine Interception in der 31-18 Niederlage verzeichnete. [118]

Stafford beendete die Saison mit 20 Touchdown-Pässen, deutlich weniger im Vergleich zu den 41 Touchdowns, für die er in der Saison 2011 bestanden hat 17 Interceptions, eine mehr als 2011 und die zweitmeisten in seiner Karriere seit seiner Rookie-Saison 4.967 Yards bei 727 Versuchen (ein NFL Rekord der vorherige Rekord war 691 von Drew Bledsoe) und ein QB-Rating von 79,8, das niedrigste seit seiner Rookie-Saison. Er stürmte für ein Karrierehoch von 126 Yards und vier rauschende Touchdowns bei 35 Carrys. [119] Er war auf Platz 76 unter seinen Mitspielern in den NFL Top 100 Players of 2013. [120]

Saison 2013 Bearbeiten

Am 7. Juli 2013 stimmte Stafford mit den Lions einer Verlängerung um drei Jahre um 53 Millionen US-Dollar zu. Bis 2017 wurden ihm 41,5 Millionen US-Dollar garantiert. [121]

Stafford absolvierte 23 von 35 Pässen für 242 Yards, einen Touchdown und eine Interception am 29. September bei einem 40-32-Sieg gegen die Chicago Bears. [122] Das gab ihm 14.069 Yards in 49 Spielen und übertraf Kurt Warner (13.864) für den besten 50-Spiele-Start einer Karriere. [123]

"Ich könnte (darüber nachdenken), wenn ich eines Tages mit dem Spielen fertig bin", sagte Stafford. "Ich hatte keine Ahnung davon oder dass es kommen würde. Es ist etwas, auf das ich wahrscheinlich zurückblicken werde, wenn ich fertig bin und merke, dass es etwas ganz Besonderes war." [124]

Stafford stellte mit 1.214 einen Rekord für Abschlüsse über 50 Spiele auf, gegenüber 1.115 von Marc Bulger. Er ist Zweiter in seiner Karriere mit 300-Yard-Passleistungen in 50 Spielen mit 19 Jahren, gefolgt von Warners 29. [125]

Stafford führte die Lions zu einem 5-3 Rekord, der in der Mitte der Saison auf Wiedersehen eintrat. Stafford besiegte die Cowboys im letzten Spiel mit 31-30 im letzten Spiel vor dem Freilos und warf 488 Yards und einen Touchdown trotz zweier Interceptions 30-24 mit nur 62 Sekunden zu arbeiten und ohne Timeouts Stafford absolvierte einen 23-Yard-Pass an Calvin Johnson die Cowboys 1-Yard-Linie, die er das Team an die Linie drängte, als ob er den Ball spießen würde, aber stattdessen sprang er über die Linie für den siegreichen Touchdown mit 14 Sekunden vor Schluss, um zum 5-3 zu gehen. [126] [127]

Die Lions würden jedoch den Rest des Weges mit 2-6 beenden, um mit einem Rekord von 7-9 zu beenden. [128] Lions-Cheftrainer Jim Schwartz wurde später nach der Saison entlassen. Stafford beendete die Saison 2013 mit 4.650 Passing Yards, mit 29 Touchdowns und 19 Interceptions. [130] Er wurde auf Platz 100 der NFL-Top-100-Spielerliste 2014 platziert. [131]

Saison 2014 Bearbeiten

Am 14. Januar 2014 gaben die Lions Jim Caldwell als ihren neuen Cheftrainer bekannt. [132] Die Lions erholten sich von einer enttäuschenden Kampagne 2013, indem sie mit einem 11-5-Rekord abschlossen und damit den 6. Samen der NFC verdienten, ihren ersten Playoff-Auftritt seit 2011. [133] In Woche 13 gegen die Chicago Bears wurde er für a Saisonhoch 390 Yards und zwei Touchdowns beim 34-17 Sieg. Er begann die Saison 2014 stark mit 346 Yards und zwei Touchdowns in einem 35-14 Sieg über die New York Giants. [135] Er führte die NFL mit fünf spielgewinnenden Laufwerken. Stafford beendete die Saison 2014 mit 4.257 Passing Yards, 22 Passing-Touchdowns und 12 Interceptions, um mit einem QB-Rating von 85,7 einherzugehen. [137]

Am 4. Januar 2015 traten Stafford and the Lions in der Wild Card Round der Playoffs gegen die Dallas Cowboys an. Nachdem die Lions im dritten Viertel eine 20-7-Führung hatten, erzielten die Cowboys 17 unbeantwortete Punkte, um 24-20 zu gewinnen. Im vierten Quartal warf Stafford mit den Lions 20-17 einen Pass zum Tight End Brandon Pettigrew. Der Ball traf Cowboys Linebacker Anthony Hitchens auf dem Rücken. Passstörung wurde zunächst bei den Cowboys genannt. Die Beamten kehrten jedoch den Aufruf zu der Serie zurück, der am Ende entscheidend war, da die Lions später auf der Fahrt gezwungen waren, zu stochern. [138] Stafford warf 323 Yards, einen Touchdown und eine Interception im Verlust. [139]

Am 19. Januar 2015 wurde bekannt gegeben, dass Stafford für den Pro Bowl 2015 ausgewählt wurde, seinen ersten Pro Bowl-Auftritt. [140] Er ersetzte Peyton Manning von den Denver Broncos, wegen einer Quad-Verletzung. Für das Spiel wurde er Pro Bowl Offensive MVP genannt, mit 316 Passing Yards, zwei Touchdowns und einer Interception. [142]

Saison 2015 Bearbeiten

Die Saison 2015 begann hart für Stafford und die Lions mit einem 0-5-Start. In der Strecke ging Stafford für sechs Touchdowns und acht Interceptions, um zusammen mit einem Durchschnitt von 241 Yards pro Spiel zu gehen. Die Lions erzielten ihren ersten Sieg gegen die Chicago Bears in Woche 6, wobei Stafford 405 Passing Yards, vier Pässe Touchdowns und eine Interception in der 37-34 Overtime Ergebnis aufzeichnete. In Woche 12, gegen die Philadelphia Eagles, ging Stafford für 337 Yards und fünf Passing-Touchdowns in den 45-14 Sieg. Es war das vierte Mal in Staffords Karriere mit einem Spiel mit fünf Touchdowns und wurde damit der zehnte Spieler in der Geschichte der NFL, der dieses Kunststück vollbrachte. [147] Am 13. Dezember 2015, in Woche 14 gegen die St. Louis Rams, erreichte Stafford in seinem 90. Karrierespiel 25.000 Passing Yards und wurde der schnellste Quarterback, der diesen Meilenstein erreichte, und übertraf damit den bisherigen Rekord von Dan Marino von 92 Spielen . Am 21. Dezember veröffentlichte Stafford eine Single-Game-Karriere mit hohem Passer-Rating und brach Jon Kitnas Single-Game-Franchise-Rekord mit einem Abschlussprozentsatz von 88,0. Er absolvierte 22 von 25 Pässen für 254 Yards und drei Touchdowns, um ihm eine Karriere-hohe 148,6 Passer-Bewertung in Woche 15 35-27 Sieg über die New Orleans Saints zu geben. [150] Stafford war der erste Quarterback in der Geschichte der NFL, der in allen 16 Spielen 60 Prozent oder mehr seiner Pässe absolvierte. [151] [152] Trotz des Erfolgs von Stafford beendeten die Lions mit einem 7-9-Rekord und verpassten die Playoffs. [153]

Saison 2016 Bearbeiten

Stafford startete die Saison 2016 mit einer starken Leistung gegen die Indianapolis Colts. In 39-35 Sieg beendete er mit 340 Yards und drei Touchdowns. Die Lions folgten darauf mit drei Niederlagen in Folge, bevor sie einen knappen 24-23-Sieg über die Philadelphia Eagles erzielten, um einen 2-3-Rekord zu haben. Beim Sieg über die Eagles war Stafford 19-von-25 für 180 Yards und drei Touchdowns. Im nächsten Spiel, gegen die Los Angeles Rams, hatte er 270 Yards und vier Touchdowns im 31-28 Sieg. [156] Am 11. Dezember 2016 brach Stafford Peyton Mannings NFL-Rekord der meisten Comebacks im vierten Quartal in einer Saison mit acht. In seiner Karriere hat er 25 solcher Siege erzielt, die meisten in der NFL seit seinem Debüt im Jahr 2009. [157] Stafford brachte die Lions zu einem 9-4-Start, aber er erlitt in Woche 14 eine Handverletzung und verlor die letzten drei Spiele der Saison 9-7 zu beenden. [158] [159] Sie schafften es, den sechsten Samen in den Playoffs zu bekommen, nur um in der Wild Card Round gegen die Seattle Seahawks 26-6 zu verlieren. Stafford passte für 206 Yards ohne Touchdowns oder Interceptions im Verlust. Stafford beendete die Saison mit 4.327 Passing Yards, 24 Touchdowns und 10 Interceptions – seine sechste Saison in Folge mit mindestens 4.000 Passing Yards. [161] Er erreichte auch den Meilenstein von 30.000 Yards. Er wurde von seinen Kollegen auf Platz 31 der NFL Top 100 Players of 2017 gewählt. [162]

Saison 2017 Bearbeiten

Am 28. August 2017 unterzeichnete Stafford eine 5-jährige Verlängerung um 135 Millionen US-Dollar mit einer Garantie von 92 Millionen US-Dollar, was ihn zum damals bestbezahlten Spieler in der NFL-Geschichte machte. [163] [164]

Am 10. September, in Woche 1 gegen die Arizona Cardinals, beendete Stafford mit 292 Yards, vier Touchdowns und einer Interception, als sich die Lions sammelten und mit einem Ergebnis von 35-23 gewannen. Es war sein 27. Comeback im vierten Viertel/Überstunden seit 2011, das meiste in der Liga. [166] In Woche 2, am Montagabend Fußball, warf Stafford seinen 193. Karriere-Touchdown-Pass in einem Sieg über die New York Giants und überholte Bob Griese für den 48. Platz auf der All-Time-Touchdown-Pass-Liste. [167] Am 29. Oktober, in Woche 8 gegen die Pittsburgh Steelers, wurde Stafford der einzige Spieler in der Geschichte der NFL, der in zwei verschiedenen Spielen mehr als 400 Yards und keine Touchdowns werfen konnte. [168] Am 6. November, in Woche 9 gegen die Green Bay Packers, verzeichnete Stafford seinen 200. Karriere-Touchdown im ersten Viertel des Spiels und wurde der vierte Quarterback in der NFL-Geschichte, der dies vor seinem 30. Dan Marino und Peyton Manning. In Woche 13 gegen die Baltimore Ravens hatte Stafford 292 Yards, einen Touchdown und eine Interception, bis er das Spiel mit einer verletzten rechten Hand verließ. Die Löwen verloren 20-44. [170] Am 31. Dezember, in Woche 17 gegen die Green Bay Packers, verzeichnete Stafford seinen 3.000. Karriereabschluss in seinem 125. Karrierespiel und wurde der schnellste Spieler, der den Meilenstein in der NFL-Geschichte erreichte. Die Lions beendeten mit einem 9-7-Rekord, der sich nicht für die Playoffs qualifizieren konnte. Stafford beendete die Saison mit 4.446 Passing Yards, 29 Touchdowns und 10 Interceptions – seine siebte Saison in Folge mit mindestens 4.000 Passing Yards. [173] Er führte die NFC 2017 im Vorbeifahren an. [174] Er wurde von seinen Kollegen zum zweiten Mal in Folge auf Platz 31 der Liste der Top 100 NFL-Spieler des Jahres 2018 platziert. [175]

Saison 2018 Bearbeiten

Zu Beginn der Saison 2018 hatte Stafford mit Matt Patricia einen neuen Cheftrainer. [176] Ein Montagabend Fußball Am 10. September gegen die New York Jets, seinen Saisonauftakt, hatte Stafford vier Interceptions und die Lions verloren das Spiel mit einem Score von 48-17. Er erholte sich statistisch im folgenden Spiel, eine 30-27-Niederlage gegen die San Francisco 49ers, mit 347 Yards und drei Touchdowns. [178] Die Lions holten ihren ersten Saisonsieg im folgenden Spiel gegen die New England Patriots auf NBC Sunday Night Football als Stafford 262 Yards, zwei Touchdowns und eine Interception beim 26-10-Sieg aufzeichnete. [179] Insgesamt war der Rest der Saison für Stafford und die Lions inkonsistent. Er hat für den Rest der Saison in keinem Spiel mehr als zwei Touchdowns bestanden, da die Lions mit einem 6-10-Rekord abschlossen.[180] [181] Ein denkwürdiges Spiel für die Lions war ein 31-0 Shutout gegen ihren Rivalen, die Green Bay Packers, mit Stafford Pass für 266 Yards und zwei Touchdowns in Woche 17. [182] Insgesamt beendete Stafford mit 3.777 Yards , 21 Touchdowns und 11 Interceptions. [183]

Saison 2019 Bearbeiten

In Woche 1 gegen die Arizona Cardinals warf Stafford für 385 Yards und drei Touchdowns im 27-27-Tie-Spiel. In Woche 2 gegen die Los Angeles Chargers warf Stafford 245 Yards, zwei Touchdowns und zwei Interceptions, als die Lions 13-10 gewannen. [185] In Woche 3 gegen die Philadelphia Eagles warf Stafford für 201 Yards und einen Touchdown und vervollständigte 18 von 32 Pässen beim 27-24-Sieg. In Woche 4, gegen die Kansas City Chiefs, ging er für 289 Yards und drei Touchdowns in der 34-30 Niederlage. [187] Am 20. Oktober 2019 warf Stafford gegen die Minnesota Vikings 364 Yards, vier Touchdowns und eine Interception in der 42-30-Niederlage. Im Spiel erreichte Stafford in seinem 147. Karrierespiel 40.000 Passing Yards und wurde damit der schnellste Quarterback, der den Meilenstein erreichte. In einem Spiel der Woche 8 gegen die New York Giants hatte er 342 Yards, drei Passing-Touchdowns und eine Interception beim 31-26-Sieg. [190] Am 10. November 2019 verpasste Stafford sein erstes Spiel seit 2010 und beendete damit seine Serie von 136 aufeinanderfolgenden regulären Saisonstarts. Staffords Streak war der sechstlängste für einen Quarterback in der Geschichte der Liga. [191] [192] Es wurde schließlich enthüllt, dass bei Stafford nicht verschobene Frakturen in seiner oberen Brustwirbelsäule diagnostiziert wurden, wodurch er mehr Zeit als gewöhnlich verpasste. [193] Am 18. Dezember 2019 wurde Stafford in die verletzte Reserve gestellt, nachdem er die letzten sechs Spiele verpasst hatte und die Lions die Playoffs zum dritten Mal in Folge verpasst hatten. [194]

Saison 2020 Bearbeiten

Zu Beginn des Trainingslagers stand Stafford aufgrund eines falsch positiven Tests vorübergehend auf der Reserve/COVID-19-Liste. [195] [196]

Stafford kehrte in Woche 1 gegen die Chicago Bears von einer Verletzung zurück. Während des Spiels warf Stafford 297 Yards, einen Touchdown und eine Interception, als die Lions 27-23 verloren. In Woche 3 gegen die Arizona Cardinals warf Stafford für 270 Yards und zwei Touchdowns während des 26-23-Siegs. Dies war der erste Sieg der Lions seit dem 27. Oktober 2019. [198] In Woche 7 gegen die Atlanta Falcons warf Stafford 340 Yards und den Spielgewinn zum Tight End TJ Hockenson ohne Zeit auf der Uhr während des 23- 22 gewinnen. [199] In Woche 8 gegen die Indianapolis Colts warf Stafford für 336 Yards, 3 Touchdowns und eine Interception kehrte für einen Touchdown während der 41-21-Niederlage zurück. [200]

Am 4. November 2020 wurde Stafford erneut auf die Reserve-/COVID-19-Liste gesetzt, nachdem er einen engen Kontakt mit einer Person mit hohem Risiko hatte, die nicht zum Team gehörte, die positiv auf COVID-19 getestet wurde. [201] [202] Am 7. November 2020 wurde Stafford von der COVID-19-Liste gestrichen, nachdem er für das Virus negativ ausgefallen war und für das Lions-Spiel der Woche 9 gegen die Minnesota Vikings freigegeben wurde. Gegen die Vikings warf Stafford für 211 Yards, einen Touchdown und zwei Interceptions, bevor er das Spiel im 4. Viertel verließ und für eine Gehirnerschütterung ausgewertet wurde. Die Lions würden 34-20 verlieren. [205] [206]

Stafford kehrte in der folgenden Woche im Spiel gegen das Washington Football Team von einer Verletzung zurück. Während des Spiels warf Stafford 276 Yards und drei Touchdowns während des 30-27-Sieges. [207] In Woche 13 gegen die Chicago Bears hatte er 402 Yards, drei Passing-Touchdowns und eine Interception beim 34-30-Sieg. In Woche 16, gegen die Tampa Bay Buccaneers, wurde Stafford gezwungen, das Spiel im ersten Viertel aufgrund einer Knöchelverletzung zu verlassen und kehrte während der 47-7-Niederlage nicht zurück. [209] Insgesamt begann Stafford in der Saison 2020 alle 16 Spiele und beendete sie mit 4.084 Passing Yards, 26 Touchdowns und 10 Interceptions. [210]

Los Angeles Rams Bearbeiten

Am 18. März 2021 wurde Stafford in einem Paket mit Jared Goff, einem 2021-Drittrunden-Pick und zwei Erstrunden-Picks in den Jahren 2022 und 2023, an die Rams gehandelt. [211]

Reguläre Saison Bearbeiten

Jahr Mannschaft Spiele Vorbeigehen Eile Säcke Fummelt
GP GS Aufzeichnung Komp Att Pct Yds Durchschn TD Int Bewertung Att Yds Durchschn TD Sck SckY Rauch Hat verloren
2009 DET 10 10 2−8 201 377 53.3 2,267 6.0 13 20 61.0 20 108 5.4 2 24 169 4 1
2010 DET 3 3 1−2 57 96 59.4 535 5.6 6 1 91.3 4 11 2.8 1 4 36 2 1
2011 DET 16 16 10−6 421 663 63.5 5,038 7.6 41 16 97.2 22 78 3.5 0 36 257 5 1
2012 DET 16 16 4−12 435 727 59.8 4,967 6.8 20 17 79.8 35 126 3.6 4 29 212 6 4
2013 DET 16 16 7−9 371 634 58.5 4,650 7.3 29 19 84.2 37 69 1.9 2 23 168 12 4
2014 DET 16 16 11−5 363 602 60.3 4,257 7.1 22 12 85.7 43 93 2.2 2 45 254 8 3
2015 DET 16 16 7−9 398 592 67.2 4,262 7.2 32 13 97.0 44 159 3.6 1 44 251 4 2
2016 DET 16 16 9−7 388 594 65.3 4,327 7.3 24 10 93.3 37 207 5.6 2 37 216 3 2
2017 DET 16 16 9−7 371 565 65.7 4,446 7.9 29 10 99.3 29 98 3.4 0 47 283 11 7
2018 DET 16 16 6−10 367 555 66.1 3,777 6.8 21 11 89.9 25 71 2.8 0 40 255 6 4
2019 DET 8 8 3−4−1 187 291 64.2 2,499 8.6 19 5 106.0 20 66 3.3 0 18 137 5 3
2020 DET 16 16 5−11 339 528 64.2 4,084 7.7 26 10 96.3 29 112 3.9 0 38 254 2 1
Werdegang 165 165 74−90−1 3,898 6,224 62.6 45,109 7.3 282 144 89.9 345 1,198 3.5 14 385 2,496 68 33

Nachsaison Bearbeiten

Jahr Mannschaft Spiele Vorbeigehen Eile Säcke Fummelt
GP GS Aufzeichnung Komp Att Pct Yds Durchschn TD Int Bewertung Att Yds Durchschn TD Sck SckY Rauch Hat verloren
2011 DET 1 1 0−1 28 43 65.1 380 8.8 3 2 97.0 2 1 0.5 1 0 0 0 0
2014 DET 1 1 0−1 28 42 66.6 323 7.7 1 1 87.7 1 9 9.0 0 3 16 2 2
2016 DET 1 1 0−1 18 32 56.3 205 6.4 0 0 75.7 3 15 5.0 0 3 23 0 0
Werdegang 3 3 0−3 74 117 63.2 908 7.8 4 3 87.8 6 25 4.2 1 6 39 2 2

NFL-Rekorde Bearbeiten

  • Die meisten Passing-Touchdowns in einem einzigen Spiel von einem Rookie-Quarterback: 5 (mit Ray Buivid, Jameis Winston, Deshaun Watson und Daniel Jones) [212]
  • Jüngster Quarterback, der in einem einzigen Spiel mindestens fünf Touchdowns erzielt (21 Jahre, 288 Tage) (22. November 2009 gegen die Cleveland Browns) [213]
  • Erster Spieler in der NFL-Geschichte, der 60 % oder mehr aller Pässe in jedem Spiel in einer Saison absolviert (2015) [214]
  • Die meisten Spiele mit mindestens einem Touchdown-Pass in einer Saison: 16 (2011, NFL-Rekord ungleich) [215]
  • Die meisten aufeinander folgenden 350+ Yards Passspiele: 4 (2011–2012, punktgleich mit Drew Brees) [216]
  • Die meisten geworfenen Passing Yards in einem einzigen Spiel ohne Touchdown-Pass: (443, 22. Dezember 2012 gegen die Atlanta Falcons) [217]
  • Meiste Passversuche in einer Saison: 727 (2012) [218]
  • Meiste Passversuche pro Spiel, Saison: 45.44, 2012 [219]
  • Meiste Spiele mit 40+ Passversuchen in einer Saison: 13 (2012) [220]
  • Schnellster Spieler, der 15.000 Yards in der Karriere erreicht (53 gespielte Spiele) [221]
  • Schnellster Spieler, der 20.000 Yards in der Karriere erreicht (71 gespielte Spiele) [222]
  • Schnellster Spieler, der 25.000 Yards in der Karriere erreicht (90 gespielte Spiele) [223]
  • Schnellster Spieler, der 30.000 Yards in der Karriere erreicht hat (109 gespielte Spiele) [224]
  • Schnellster Spieler, der 40.000 Yards in der Karriere erreicht (147 gespielte Spiele) [189]
  • Schnellster Spieler mit 3.000 Abschlüssen (125 gespielte Spiele) [225]
  • Die meisten Passing Yards in den ersten 100 Spielen (27.890) [226]
  • Die meisten Comebacks im vierten Quartal in einer Saison: 8 (2016)
  • Die meisten Spielgewinne in einer einzigen Saison: 8 (2016)

Lions-Franchise-Rekorde Bearbeiten

  • Die meisten Karriereabschlüsse – 3.559 (2009-heute) [227]
  • Meist bestandene Abschlüsse in einer einzigen Saison – 435 (2012) [228]
  • Die meisten Karrieredurchgangsversuche – 5.696 (2009-heute) [229]
  • Meiste Passversuche in einer einzigen Saison – 727 (2012) [230]
  • Meiste Passversuche in einem Spiel – 63 (13. November 2011 gegen die Chicago Bears) [231]
  • Höchster Berufsabschluss – 62,48 % (2009–heute) [232]
  • Höchster Fertigstellungsgrad in einer einzigen Saison – 67,2 (2015) [233]
  • Höchster Abschlussprozentsatz in einem Spiel – 88,0 (21. Dezember 2015 vs. New Orleans Saints) [234]
  • Die meisten Laufbahnhöfe – 41.025 (2009-heute) [235]
  • Die meisten Überholmanöver in einer einzigen Saison – 5.038 (2011) [233]
  • Die meisten Passing Yards in einem Spiel – 520 (1. Januar 2012 vs. Green Bay Packers)
  • Die meisten Karriere 4.000 Yard Saisons – 7 [236]
  • Die meisten aufeinander folgenden Spielzeiten mit 4.000 Passing Yards – 7 (2011–2017) [237]
  • Die meisten Karrierespiele mit 400+ Passing Yards – 8 (2009-heute) [238]
  • Die meisten Karrierespiele mit 300+ Passing Yards – 44 (2009-heute) [239]
  • Die meisten Spiele mit über 300 Passing Yards in einer einzigen Saison – 8 (2011 und 2012)
  • Die meisten Touchdowns in einer einzigen Saison – 41 (2011) [233]
  • Die meisten Pass-Touchdowns in einem Spiel – 5
  • Die meisten Touchdowns in der Karriere – 256 (2009-heute) [240]
  • Die meisten Spiele in einer Saison mit mindestens einem Pass-Touchdown – 16 (2011)
  • Niedrigster Prozentsatz der Unterbrechung der Karriere – 2,35% (2009-heute) [241]
  • Die meisten Karriere-Yards pro Spiel – 275,3 (2009-heute)
  • Die meisten Yards pro Spiel in einer einzigen Saison – 314,9 (2011)
  • Höchste Karriere-Passer-Bewertung – 89,3 (2009-heute)
  • Höchste Passantenwertung in einer einzigen Saison – 99,3 (2017)
  • Die meisten Comeback-Siege im vierten Quartal der Karriere – 28 [242]
  • Die meisten Comeback-Siege im vierten Quartal in einer einzigen Saison – 8 (2016) (NFL-Rekord)
  • Die meisten spielgewinnenden Fahrten in der Karriere – 34 [242]
  • Die meisten Spielgewinne in einer einzigen Saison – 8 (2016) (NFL-Rekord)
  • Die meisten aufeinanderfolgenden abgeschlossenen Passversuche in einem Spiel – 14 (4. Dezember 2016 vs. New Orleans Saints) [243]

In Georgia traf Stafford die Cheerleaderin Kelly Hall, die Schwester des ehemaligen NFL-Spielers und aktuellen Buffalo Bills Wide Receiver-Trainer Chad Hall. Sie heirateten am 4. April 2015 [244] und haben vier Töchter. [245] [246] [247] Im April 2019 enthüllte Kelly Stafford auf Instagram, dass sie einen Hirntumor hatte. [248] Sie unterzog sich am 21. April einer 12-stündigen Operation. [249] Stafford nahm sich eine Auszeit von den Lions, da das Trainingslager kurz nach Kellys Operation begann. [250]


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Mathematik am Gymnasium am Arbeitsplatz: Aufsätze und Beispiele für die Bildung aller Schüler (1998)

Überblick

Mathematik ist der Schlüssel zu Chancen. Mathematik ist nicht mehr nur die Sprache der Wissenschaft, sondern trägt jetzt auf direkte und grundlegende Weise zu Wirtschaft, Finanzen, Gesundheit und Verteidigung bei. Für Studierende öffnet es Türen zum Berufsleben. Für Bürgerinnen und Bürger ermöglicht es fundierte Entscheidungen. Für Nationen bietet es Wissen, um in einer technologischen Gemeinschaft zu konkurrieren. Um voll an der Welt der Zukunft teilhaben zu können, muss Amerika die Kraft der Mathematik nutzen. (NRC, 1989, S. 1)

Die obige Aussage gilt auch heute noch, obwohl sie vor fast zehn Jahren im Bericht des Mathematical Sciences Education Board (MSEB) geschrieben wurde Jeder zählt (NRZ, 1989). Bei der Vorstellung einer Zukunft, in der allen Studierenden solche Möglichkeiten geboten werden, erkennt das MSEB die entscheidende Rolle von Formeln und Algorithmen an und schlägt vor, dass algorithmische Fähigkeiten flexibler, leistungsfähiger und dauerhafter sind, wenn sie von einem Ort der Bedeutung und des Verständnisses stammen. Dieser Band geht davon aus, dass alle Studierenden mathematisches Verständnis entwickeln können, indem sie mit mathematischen Aufgaben aus dem Arbeits- und Alltagskontext arbeiten. Die Aufsätze in diesem Bericht begründen diese Prämisse und diskutieren einige der folgenden Themen und Fragen. Die Aufgaben in diesem Bericht beleuchten einige der Möglichkeiten, die der Arbeitsplatz und der Alltag bieten.

Kontexte aus der Mathematik können auch mächtige Orte für die Entwicklung des mathematischen Verständnisses sein, wie professionelle und Amateurmathematiker bestätigen werden. Es gibt viele gute Quellen für überzeugende Probleme innerhalb der Mathematik, und eine breite Mathematikausbildung umfasst Erfahrungen mit Problemen aus Kontexten sowohl innerhalb als auch außerhalb der Mathematik. Die Aufnahme von Aufgaben in diesen Band soll besonders drängende Probleme hervorheben, deren Kontext außerhalb der Mathematik liegt, nicht aber ein Curriculum vorschlagen.

Das entscheidende Wort in der obigen Prämisse ist "kann". Das Verständnis, das Schüler aus jeder Begegnung mit Mathematik entwickeln, hängt nicht nur vom Kontext ab, sondern auch von den Vorerfahrungen und Fähigkeiten der Schüler, ihrer Denkweise, ihrer Beschäftigung mit der Aufgabe, der Umgebung, in der sie die Aufgabe erforschen, einschließlich des Lehrers, die Schüler und die Werkzeuge und die Arten von Interaktionen, die in dieser Umgebung auftreten, und das System interner und externer Anreize, die mit der Aktivität verbunden sein könnten. Lehren und Lernen sind komplexe Aktivitäten, die von sich entwickelnden und selten artikulierten Wechselbeziehungen zwischen Lehrern, Schülern, Materialien und Ideen abhängen. Kein Rezept für ihre Verbesserung kann einfach sein.

Dieser Band kann vorteilhafterweise als Neuformulierung und Ausarbeitung eines Prinzips gesehen werden, das in Schulmathematik neu gestalten:

Prinzip 3: Relevante Bewerbungen sollten fester Bestandteil des Curriculums sein.

Die Studierenden müssen mathematische Ideen in dem Kontext erleben, in dem sie selbstverständlich entstehen&ndash vom einfachen Zählen und Messen bis hin zu Anwendungen in Wirtschaft und Wissenschaft. Rechner und Computer machen es jetzt möglich, realitätsnahe Anwendungen im gesamten Curriculum einzuführen.

Das entscheidende Kriterium für die Eignung einer Bewerbung ist, ob sie das Potenzial hat, die Interessen der Studierenden zu wecken und ihr mathematisches Denken anzuregen. (NRC, 1990, S. 38)

Mathematische Probleme können als Motivationsquelle für Schüler dienen, wenn die Probleme die Interessen und Bestrebungen der Schüler betreffen. Mathematische Probleme können auch als Quellen für Bedeutung und Verständnis dienen, wenn die Probleme die Schüler zum Denken anregen. Natürlich motiviert eine mathematische Aufgabe, die für einen Schüler sinnvoll ist, mehr als eine Aufgabe, die keinen Sinn ergibt. Der Grund für das obige Kriterium ist, dass sowohl Bedeutung als auch Motivation erforderlich sind. Erwähnenswert sind die Motivationsvorteile, die durch Arbeitsplatz- und Alltagsprobleme entstehen können, denn obwohl einigen Studierenden bewusst ist, dass bestimmte Mathematikkurse für den Einstieg in bestimmte Berufswege notwendig sind, ist vielen Studierenden nicht bewusst, wie bestimmte Themen oder Problemlösungen Ansätze werden an jedem Arbeitsplatz von Bedeutung sein. Die Macht, Arbeits- und Alltagsprobleme für den Mathematikunterricht zu nutzen, liegt jedoch nicht so sehr in der Motivation,

Text allein wird alle Schüler motivieren. Die wahre Kraft liegt in der Verbindung mit dem Denken der Schüler.

In der Literatur gibt es zunehmend Hinweise darauf, dass problemzentrierte Ansätze&mdash, einschließlich mathematischer Kontexte, "real world"-Kontexte oder beides&mdash das Erlernen von Fähigkeiten und Konzepten fördern können. In einer vergleichenden Studie zum Beispiel mit einem High-School-Curriculum, das reichhaltige angewandte Problemsituationen enthielt, schnitten die Schüler bei algebraischen Verfahren etwas besser ab als Vergleichsschüler und bei konzeptionellen und problemlösenden Aufgaben signifikant besser (Schoen & Ziebarth, 1998). Dieses Ergebnis wurde durch aufgabenbasierte Interviews weiter verifiziert. Studien, die überlegene Leistungen von Schülern in problemzentrierten Klassenzimmern zeigen, sind nicht auf Gymnasien beschränkt. Wood und Sellers (1996) fanden beispielsweise ähnliche Ergebnisse bei Zweit- und Drittklässlern.

Forschungen mit erwachsenen Lernenden scheinen darauf hinzudeuten, dass "die Variation von Kontexten (sowie der Gesamtaufgabenansatz) dazu neigt, die Entwicklung eines allgemeinen Verständnisses in einer Weise zu fördern, die eine Konzentration auf wiederholte routinemäßige Anwendungen von Algorithmen nicht kann und kann" (Strämlsser, Barr, Evans &. Wolf, 1991, S. 163). Diese Schlussfolgerung steht im Einklang mit der Vorstellung, dass die Verwendung einer Vielzahl von Kontexten die Chance erhöhen kann, dass die Schüler ihr Wissen zeigen können. Durch die Erhöhung der Anzahl potenzieller Verbindungen zu den vielfältigen Kenntnissen und Erfahrungen der Studierenden haben mehr Studierende die Möglichkeit, sich zu übertreffen, d.

Es gibt auch Belege dafür, dass das Erlernen von Mathematik durch Anwendungen zu außergewöhnlichen Leistungen führen kann. Beispielsweise haben Schüler der North Carolina School of Science and Mathematics mit einem Curriculum, das Modellierung und Anwendungen betont, wiederholt siegreiche Arbeiten beim jährlichen College-Wettbewerb Mathematical Contest in Modeling eingereicht (Cronin, 1988 Miller, 1995).

Die Beziehungen zwischen Lehrern, Schülern, Lehrplanmaterialien und pädagogischen Ansätzen sind komplex. Dennoch unterstützt die Literatur die Prämisse, dass Arbeitsplatz- und Alltagsprobleme können das mathematische Lernen zu verbessern, und schlägt vor, dass Schüler, die sich mit mathematischem Denken beschäftigen, Gelegenheiten haben, Verbindungen und damit Bedeutung und Verständnis aufzubauen.

Dale Parnell argumentiert in seinem einleitenden Essay, dass dem traditionellen Unterricht Gelegenheiten für Verbindungen fehlen: zwischen Fach und Kontext, zwischen akademischer und beruflicher Bildung, zwischen Schule und Leben, zwischen Wissen und Anwendung und zwischen Fachdisziplinen. Er schlägt vor, dass sich der Unterricht ändern muss, wenn mehr Schüler Mathematik lernen sollen. Es stellt sich also die Frage, wie die Chancen für Verbindungen zwischen High School Mathematik und Arbeitsplatz und Alltag genutzt werden können.

Rol Fessenden zeigt beispielhaft die Bedeutung der Mathematik in der Wirtschaft, insbesondere bei Marketingentscheidungen. Sein Essay beginnt mit einem Dialog zwischen den Mitarbeitern eines Unternehmens, das seine Geschäftstätigkeit erweitern möchte

Japan, und weist dann auf viele der Anwendungen von Mathematik, Datensammlung, Analyse und nicht-mathematischem Urteilsvermögen hin, die bei solchen Geschäftsentscheidungen erforderlich sind.

In seinem Essay schlägt Thomas Bailey vor, dass sowohl die berufliche als auch die akademische Bildung von der Integration profitieren könnten, und nennt mehrere Trends, um diesen Vorschlag zu unterstützen: Veränderungen und Unsicherheit am Arbeitsplatz, ein erhöhtes Bedürfnis der Arbeitnehmer, die konzeptionellen Grundlagen der wichtigsten akademischen Fächer zu verstehen ein Trend in der Pädagogik zu kollaborativen, offenen Projekten. Darüber hinaus stellt er fest, dass School-to-Work-Erfahrungen, die zunächst für Studenten gedacht waren, die kein vierjähriges College besuchen wollten, zunehmend als nützlich angesehen werden, um Studenten auf solche Colleges vorzubereiten. Er bespricht mehrere solcher Programme, die arbeitsbezogene Anwendungen verwenden, um akademische Fähigkeiten zu vermitteln und Studenten auf das College vorzubereiten.Die Integration von akademischer und beruflicher Bildung, argumentiert er, kann dem doppelten Ziel dienen, "akademische Standards im realistischen Kontext der Arbeitsplatzanforderungen zu verankern und einen breiteren Blick auf den potenziellen Nutzen akademischer Fähigkeiten auch für Berufsanfänger zu schaffen".

Angesichts der Bedeutung und des Nutzens der Mathematik für Berufe in Wissenschaft, Gesundheit und Wirtschaft plädiert Jean Taylor für eine kontinuierliche Betonung von Themen wie Algebra, Schätzung und Trigonometrie in der High School. Sie schlägt vor, dass Arbeitsplatz- und Alltagsprobleme nützliche Wege sein können, diese Ideen für alle Studenten.

Es gibt zu viele verschiedene Arten von Arbeitsplätzen, um auch nur die meisten davon in den Klassenzimmern darzustellen. Darüber hinaus erfordert die Lösung mathematischer Probleme aus einigen Arbeitskontexten mehr Kontextwissen, als vernünftig ist, wenn das Ziel darin besteht, Mathematik zu lernen. (Die Lösung einiger anderer Probleme am Arbeitsplatz erfordert mehr mathematische Kenntnisse, als in der High School angemessen ist.) Daher müssen Kontexte sorgfältig ausgewählt werden, um Sinn zu machen. Aber auch für Studierende, die über arbeitsplatzbezogene Kenntnisse verfügen, gibt es Möglichkeiten für mathematische Verbindungen. Daniel Chazan und Sandra Callis Bethell beschreiben in ihrem Essay einen Ansatz, der solche Möglichkeiten für Schüler in einem Algebra-Kurs für 10. bis 12. Klasse schafft, von denen viele eine „schwere Last negativer Erfahrungen“ über Mathematik mit sich trugen. Da der traditionelle Algebra-I-Lehrplan bei diesen Schülern äußerst erfolglos war, entschieden sich Chazan und Bethell, etwas anderes zu machen. Ein Ziel war es, den Schülern zu helfen, Mathematik in der Welt um sie herum zu sehen. Mit Hilfe von Sponsoren aus der Gemeinde baten Chazen und Bethell die Schüler, am Arbeitsplatz nach Mathematik zu suchen und diese Mathematik und ihre Anwendungen dann ihren Klassenkameraden zu beschreiben.

Die Aufgaben im ersten Teil ergänzen die in den Essays gemachten Punkte, indem sie direkte Bezüge zum Arbeitsplatz und zum Alltag herstellen. Notrufe (S. 42) zeigt einige Möglichkeiten der Datenanalyse und -darstellung anhand der Reaktionszeiten zweier Rettungsdienste. Schätzungen auf der Rückseite des Umschlags (S. 45) zeigt, wie schnell grobe Schätzungen und Berechnungen

sind nützlich, um geschäftliche Entscheidungen zu treffen. Fahrstuhlplanung (S. 49) zeigt, wie einige vereinfachende Annahmen und einige sorgfältige Überlegungen zusammengebracht werden können, um das schwierige Problem der optimalen Planung von Aufzügen in einem großen Bürogebäude zu verstehen. Schließlich wurde im Rahmen eines Gesprächs mit einem Kunden eines Energieberatungsunternehmens Heizgrad-Tage (S. 54) beleuchtet die Mathematik hinter einem gemeinsamen Modell des Energieverbrauchs beim Heizen von Wohnungen.

Verweise

Cronin, T.P. (1988). Gymnasiasten gewinnen den „College“-Wettbewerb. Konsortium: Der Newsletter des Konsortiums für Mathematik und ihre Anwendungen, 26, 3, 12.

Miller, D.E. (1995). North Carolina fegt MCM '94.SIAM-Nachrichten, 28 (2).

Nationaler Forschungs Rat. (1989). Jeder zählt: Ein Bericht an die Nation zur Zukunft des Mathematikunterrichts. Washington, DC: National Academy Press.

Nationaler Forschungs Rat. (1990). Schulmathematik neu gestalten: Eine Philosophie und ein Rahmen für den Lehrplan. Washington, DC: National Academy Press.

Schoen, H.L. &. Ziebarth, S.W. (1998). Beurteilung der mathematischen Leistung der Schüler (Ein Core-Plus-Mathematik-Projekt-Fortschrittsbericht zum Feldtest). Iowa City: Site zur Evaluierung des Core Plus-Mathematikprojekts, University of Iowa.

Strößer, R., Barr, G. Evans, J. & Wolf, A. (1991). Fähigkeiten versus Verständnis. In M. Harris (Hrsg.), Schule, Mathematik und Arbeit (S. 158-168). London: Die Falmer-Presse.

Wood, T. &. Sellers, P. (1996). Bewertung eines problemzentrierten Mathematikstudiums: 3. Klasse. Zeitschrift für Forschung in der Mathematikdidaktik, 27(3), 337-353.

1&ndashMathematik als Tor zum Studienerfolg

Das Studium der Mathematik ist in vielerlei Hinsicht ein Tor zum Erfolg der Schüler in der Bildung. Dies gilt umso mehr, als unsere Gesellschaft unaufhaltsam in das technologische Zeitalter eintaucht. Daher ist es wichtig, dass mehr Schüler ein höheres Kompetenzniveau in Mathematik entwickeln. 1

Die Anforderungen und Erwartungen an die Studierenden müssen hoch sein, aber das ist nur die Hälfte der Gleichung. Die wichtigere Hälfte ist die Entwicklung von Lehrtechniken und -methoden, die allen Schülern (und nicht nur einigen Schülern) helfen, diese höheren Erwartungen und Standards zu erreichen. Dies erfordert einige Änderungen in der Art und Weise, wie Mathematik unterrichtet wird.

Effektive Bildung muss einen klaren Fokus darauf legen, den realen Kontext mit den fachlichen Inhalten für den Schüler zu verbinden, und dies erfordert ein stärker vernetztes Mathematikprogramm. In vielen der heutigen Klassenzimmer, insbesondere in Sekundarschulen und Colleges, ist der Unterricht eine Frage von a Schüler in Klassenzimmer mit der Aufschrift „Englisch“, „Geschichte“ oder „Mathematik“ zu bringen und dann zu versuchen, ihren Kopf durch Vorlesungen, Lehrbücher und dergleichen mit Fakten zu füllen. das Element des kontextbezogenen Lehrens und Lernens fehlt, und es wird wenig versucht, das Gelernte mit der Welt zu verbinden, in der sie arbeiten und ihr Leben verbringen sollen.

Informationen, die den Schülern angeboten werden, sind von geringem Nutzen oder Nutzen, außer um einen Test zu bestehen.

Was wir in den meisten traditionellen Klassenzimmern tun, ist, von den Schülern zu verlangen, dass sie sich isoliert von jeder praktischen Anwendung ein wenig Wissen ins Gedächtnis einprägen. Für viele Studierende kommt „später“ nie an. Man könnte dies durchaus als „Freezer-Ansatz“ für das Lehren und Lernen bezeichnen. Tatsächlich verteilen wir Informationen an unsere Schüler und sagen: "Legen Sie das einfach in Ihren mentalen Gefrierschrank, Sie können es später auftauen, wenn Sie es brauchen." Mit Ausnahme einer Minderheit von Studenten, die Abstraktionen mit wenig Kontexterfahrung gut beherrschen, kaufen Studenten dieses Angebot nicht. Die vernachlässigte Mehrheit der Schüler sieht wenig persönliche Bedeutung in dem, was sie lernen sollen, und sie lernen es einfach nicht.

Vor kurzem hatte ich Gelegenheit, 75 Schüler aus sieben verschiedenen High Schools im Nordwesten zu interviewen. In fast allen Fällen handelte es sich bei den Schülern um Junioren, die als Berufs- oder allgemeinbildende Schüler identifiziert wurden. Der Kommentar eines Schülers steht stellvertretend für das, was mir die meisten dieser Schüler auf die eine oder andere Weise gesagt haben: "Ich weiß, es liegt an mir, eine Ausbildung zu machen, aber oft ist die Schule einfach so langweilig und langweilig. &hellip You geh zu dieser Klasse, geh zu dieser Klasse, lerne ein bisschen von diesem und ein bisschen von dem, und nichts verbindet. &hellip Ich möchte wirklich verstehen und die Anwendung für das, was ich lerne, kennen." Immer wieder fragten Schüler: "Warum muss ich das lernen?" mit wenigen vernünftigen Antworten von den Lehrern.

Meine eigene langjährige Erfahrung als Präsident eines Community College bestätigt die Gedanken dieser Studenten. An den meisten Community Colleges besuchen heute ein Drittel bis die Hälfte der eintretenden Studenten eine entwicklungsorientierte (Förder-)Bildung, um das nachzuholen, was sie in früheren Bildungserfahrungen nicht gelernt haben. Eine große Mehrheit dieser Studenten kommt mit begrenzten mathematischen Fähigkeiten und Fähigkeiten ans Community College, die kaum über das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit ganzen Zahlen hinausgehen. Darüber hinaus wird der Sanierungsbedarf in unterschiedlichem Ausmaß auch an vierjährigen Hochschulen und Universitäten erlebt.

Was ist die größte Sünde, die heute im Mathematikunterricht begangen wird? Es ist das Versäumnis, den Schülern zu helfen, die großartige Kraft des Gehirns zu nutzen, um Verbindungen zwischen den folgenden herzustellen:

  • inhaltlicher Inhalt und Nutzungskontext
  • akademische und berufliche Bildung
  • Schule und andere Lebenserfahrungen
  • Wissen und Anwendung von Wissen und
  • eine Fachdisziplin und eine andere.

Warum ist ein solches Versagen so kritisch? Denn die Idee verstehen, die Verbindung zwischen fachlichem Inhalt und Anwendungskontext herzustellen

ist das, was Schüler aller Bildungsstufen dringend benötigen, um in unserer schnelllebigen, anspruchsvollen und sich schnell verändernden Welt zu überleben und erfolgreich zu sein.

Bildungspolitische Entscheidungsträger und Führungskräfte können zu längeren Schultagen und -jahren eine Vielzahl von Positionspapieren, standortbasiertes Management, mehr Leistungstests und bessere Bewertungspraktiken und andere "heiße" Themen der Zeit herausgeben, aber solche Papiere allein werden nicht das entscheidende Unterschied in dem, was die Schüler wissen und können. Der Unterschied wird ausmachen, wenn Klassenlehrer beginnen, das Lernen auf neue, angewandte Weise mit realen Erfahrungen zu verbinden, und wenn Bildungsreformer beginnen, sich auf das Lernen für Sinn zu konzentrieren.

Ein Schüler kann sich Formeln zum Bestimmen der Oberfläche und zum Messen von Winkeln merken und diese Formeln in einem Test richtig anwenden, wodurch die vom Lehrer festgelegten Verhaltensziele erreicht werden. Aber wenn man mit dem Bau eines Gebäudes oder der Reparatur eines Autos konfrontiert wird, kann es passieren, dass derselbe Student auf See bleibt, weil er die Verbindung zwischen den Formeln und ihrer praktischen Anwendung nicht hergestellt hat. Wenn die Schüler gebeten werden, den Satz des Pythagoras zu berücksichtigen, warum nicht den Unterricht aktiv gestalten, in dem die Schüler tatsächlich den Grundstein für ein kleines Gebäude wie einen Lagerschuppen legen?

Welchen Unterschied könnte der Mathematikunterricht für die Schüler machen, wenn er sowohl den Anwendungskontext als auch den Wissensinhalt hervorhebt und das Problemlösungsmodell gegenüber dem Freezer-Modell umsetzt. Der Unterricht nach dem vernetzten Modell würde mehr Schülern helfen, sowohl mit ihrem denkenden Gehirn als auch mit ihrem Gedächtnishirn zu lernen und die Kompetenzen und Werkzeuge zu entwickeln, die sie benötigen, um in unserer komplexen, vernetzten Gesellschaft zu überleben und erfolgreich zu sein.

Ein Schritt in Richtung dieses Ziels ist die Entwicklung mathematischer Aufgaben, die fachliche Inhalte in den Anwendungskontext integrieren und auf die Berufs- und Hochschulreife vorbereiten. Da viele Mathematiklehrer nur über begrenzte Berufserfahrung am Arbeitsplatz verfügen, brauchen sie viele gute Beispiele dafür, wie mathematisches Wissen auf reale Situationen angewendet werden kann. Der Trick bei der Entwicklung mathematischer Aufgaben für den Unterricht besteht darin, die Aufgaben mit realen Lebenssituationen in Verbindung zu bringen, die der Schüler erkennt. Die Aufgaben sollten nicht nur eine erfundene Übung sein, sondern möglichst nahe an der Lösung gemeinsamer Probleme bleiben.

Warum bitten Sie die Schüler beispielsweise nicht, die Kosten für 12 Jahre Schulbesuch an einer öffentlichen Schule zu berechnen? Es ist eine traurige Ironie, dass die meisten Schüler, die öffentliche Schulen besuchen, nach 12 Jahren Schulzeit keine Ahnung haben, was ihre Schulzeit kostet oder wie ihre Ausbildung finanziert wurde. Kein Wunder, dass einige öffentliche Schulen Schwierigkeiten haben, finanzielle Unterstützung zu bekommen! Die Personen, die von den Schulen betreut werden, wurden nie mit dem realen Kontext konfrontiert, wer für die Schulen bezahlt und warum. Irgendwann im Mathematikunterricht wurde diese Gelegenheit zum Lernen aus dem wirklichen Leben zusammen mit vielen anderen ähnlichen kontextbezogenen Beispielen verpasst.

Die mathematischen Aufgaben in Mathematik am Gymnasium bei der Arbeit Schülern (und Lehrern) eine Fülle von realen mathematischen Problemen zu bieten und

Herausforderungen im Alltag und Beruf. Die Herausforderung für die Lehrkräfte wird darin bestehen, diese Aufgaben so zu entwickeln, dass sie möglichst nah am Wohn- und Arbeitsort der Schüler sind.

Verweise

Parnell, D. (1985). Die vernachlässigte Mehrheit. Washington, DC: Community College-Presse.

Parnell, D. (1995). Warum muss ich das lernen? Waco, TX: CORD-Kommunikation.

Hinweis

Für eine weitere Diskussion dieser Fragen siehe Parnell (1985, 1995).

DALE PARNELL ist emeritierter Professor der School of Education der Oregon State University. Er war Universitätsprofessor, College-Präsident und zehn Jahre lang Präsident und Chief Executive Officer der American Association of Community Colleges. Er war Berater der National Science Foundation und hat in vielen nationalen Kommissionen mitgewirkt, wie etwa der Arbeitsministerkommission zur Erreichung notwendiger Fähigkeiten (SCANS). Er ist der Autor des Buches Die vernachlässigte Mehrheit die die Grundlage für das staatlich finanzierte Tech Prep Associate Degree Program bildete.

2&ndashMarkteinführung

"Okay, die Tagesordnung des Treffens besteht darin, den Status unseres Starts in Japan zu überprüfen. Sie können die Themen und Referenten auf der Liste vor Ihnen sehen. Gregg, können Sie mit einer Strategieüberprüfung beginnen?"

"Glücklicherweise, Bob. Wir haben die Möglichkeiten, Kosten und Kapitalrendite der Eröffnung von Laden- und Kataloggeschäften in anderen Ländern bewertet. Frühe Untersuchungen haben gezeigt, dass sowohl Japan als auch Deutschland gute Kandidaten sind. Insbesondere zeigen die Daten eine hohe Präferenz für Waren von guter Qualität und eine überdurchschnittliche Neigung zu einem aktiven Outdoor-Lebensstil in beiden Ländern. Bildungs-, Alters- und Einkommensdaten unterscheiden sich stark von unserem Zielmarkt in den USA, aber wir glauben nicht, dass dies relevant sein wird, weil die Kulturen sind so unterschiedlich.Außerdem zeigen die japanischen Daten, dass sie eine hohe Vorliebe für amerikanische Dinge haben, und wie Sie wissen, sind wir ein klassisches amerikanisches Unternehmen. Der Bekanntheitsgrad unseres Unternehmens ist mit 14% weit höher als bei jedem unserer anderen Amerikanische Konkurrenz in Japan Europäische Mitbewerber werden praktisch nicht erkannt und andere fernöstliche Mitbewerber werden als qualitativ minderwertiger wahrgenommen als wir selbst. Die Daten zu diesen Themen sind ziemlich eindeutig.

„Trotzdem muss man verstehen, dass die Entscheidung, sich auf Japan zu konzentrieren, viel Urteilsvermögen erfordert. Die Analysen sind begrenzt, weil die Kulturen unterschiedlich sind und wir unterschiedliche Verhaltenstreiber erwarten.

Viele der Daten, die wir in Japan brauchen, sind einfach nicht verfügbar, weil der japanische Markt weniger gut entwickelt ist als in den USA. Führerscheindaten, Einkommensdaten, Lifestyle-Daten sind hier alltäglich und dort nicht verfügbar. Amerikanische Einzelhändler haben in beiden Ländern bisher wenig Durchdringung, daher können wir auf keine Erfahrung zurückgreifen. Wir alle haben gehört, wie schwierig es sein wird, Vertriebsaktivitäten in Japan zu eröffnen, aber die jüngsten Verkaufstrends bei Computerverkäufern und Autoteileverkäufen deuten auf eine Lockerung der Schwierigkeiten hin.

„Der Plan sieht vor, jährlich drei Geschäfte mit jeweils 5.000 Quadratmetern zu eröffnen. Wir erwarten, dass wir 700 US-Dollar pro Quadratfuß erwirtschaften, was mehr als das Doppelte der Erfahrung amerikanischer Einzelhändler in den USA ist, aber 45 % weniger als unsere Geschäfte wird um 20 % höher sein, um die Kosten für Grundstücke und Gebäude auszugleichen. Die Kosten für Vermögenswerte sind ungefähr doppelt so hoch wie in den USA, aber die Arbeitskosten sind etwas geringer. Die Leistungen werden von der Regierung umfassender abgedeckt. Natürlich gibt es eine Menge Unsicherheit in die von uns geplanten Verkaufsmengen Die Preisgestaltung wird einen Teil der Unsicherheit abdecken, liegt aber immer noch unter der vergleichbaren Qualitätsware, die bereits in Japan angeboten wird.

"Lassen Sie mich zum Wettbewerb übergehen und Ihnen sagen, was wir gelernt haben. Wir haben langfristige Beziehungen zu 500 bis 1000 Familien in jedem Land aufgebaut. Dies ist vergleichbar mit unserer Praxis in den USA. Diese Familien wissen nicht, dass sie speziell arbeiten." mit unserem Unternehmen, da dies ihre Berichterstattung verzerren würde. Sie halten uns über ihre Katalog- und Einkaufserlebnisse auf dem Laufenden, unabhängig von dem Unternehmen, bei dem sie einkaufen. Die Stichprobengröße ist groß genug, um signifikant zu sein, aber Sie müssen natürlich vorsichtig sein über kleine Unterschiede.

„Alle Familien erhalten unseren Katalog und unsere Kataloge von mehreren unserer Mitbewerber. Sie entsprechen den demografischen Profilen von Lebensstil, Einkommen und Bildung der Menschen, die wir als Kunden haben möchten. Sie sind erfahrene Katalogkäufer, und dies wird ihr Feedback im Vergleich verzerren für neue Katalogkäufer.

„Ein Wettbewerber schickt pro Quartal einen 100-seitigen Katalog. Die Produktpalette ist ziemlich schmal&ndash200 Produkte aus einem inländischen Sortiment von 3.000. Sie haben Artikel ausgewählt, die wahrscheinlich keine Passformprobleme bereiten: hauptsächlich Oberbekleidung und Strickhemden, nicht viele Hosen , hauptsächlich Herrenwaren, keine Damenwaren. Ihr Katalogexemplar ist in Kanji, aber der Stil ist uns ein bisschen gestelzt, wahrscheinlich weil es auf Englisch geschrieben und übersetzt wurde, aber wir müssen diese Hypothese testen. Im Gegensatz dazu haben wir einfach schickte ihnen den gleichen Katalog, den wir in den USA verwenden, sogar in englischer Sprache.

"Die Kundenfeedbacks waren ziemlich eindeutig. Sie bevorzugen unser breiteres Sortiment im Verhältnis 3:1, obwohl sie die meisten Produkte nicht kaufen. Wie die Wettbewerber herausgefunden haben, konzentriert sich der Verkauf auf Oberbekleidung und Strickwaren, aber wir bekommen mehr Umsatz, anscheinend weil sie gerne in den Katalog schauen und mehr Zeit damit verbringen. Auch hier brauchen wir weitere Tests. Eine andere Hypothese ist, dass unser Markenname einfach bekannter ist.

„Interessanterweise bevorzugen sie unsere englischsprachige Version, weil sie es als Abenteuer empfinden, den Katalog in einer anderen Sprache zu lesen. Das ist wahrscheinlich

eine eingebaute Voreingenommenheit unserer Sampling-Technik, da wir speziell Personen ausgewählt haben, die Englisch sprechen. Wir erwarten nicht, dass sich dieser Trend in einem allgemeinen Mailing halten wird.

„Die englische Sprache verursacht eine Fehlerquote von 8 % bei Bestellungen, aber die Bestellungen sind 25 % größer und 4 % häufiger. Wenn wir sie telefonisch zur Bestellung bringen können, können wir die Fehler sofort während des Anrufs korrigieren.

„Das breitere Sortiment führt, wie gesagt, zu einer deutlich höheren Bestellneigung, mehr Stück pro Bestellung und den gleichen durchschnittlichen Stückkosten. Natürlich steigen die Papier- und Portokosten durch den größerformatigen Katalog Auf der anderen Seite ergibt sich eine Produktionseffizienz durch die Verwendung der gleichen Version wie der Inlandskatalog. Die Nettoauswirkungen, selbst unter Berücksichtigung der Fehlerquote, stellen eine erhebliche Umsatzsteigerung dar. Andererseits führen die Fehler in den meisten Fällen dazu, dass wir die falscher Artikel, der dann auf unsere Kosten zurückgesendet werden muss, was bei den Kunden den Eindruck erweckt, dass wir nicht gut organisiert sind, obwohl der ursprüngliche Fehler bei ihnen lag.

"Schlusspunkt: Der größere Katalog wird vom Kunden durchschnittlich 70 Tage aufbewahrt, während der kleinere Katalog nur durchschnittlich 40 Tage aufbewahrt wird. Angenommen, wir müssen dies testen, und die Aufbewahrungsdauer des Katalogs ist proportional zum Verkaufsvolumen." , das sind gute Nachrichten. Wir müssen die Gesamtauswirkungen sorgfältig abschätzen, aber es scheint, dass es eine beträchtliche Bevölkerung gibt, für die eine englischsprachige Version sehr profitabel wäre."

"Danke, Gregg, gutes Update. Jennifer, was hast du über Kundenrecherchen?"

„Bob, wir müssen viel mehr wissen, als wir herausfinden konnten. Wir haben gelernt, dass Japan in Sachen Kleidung sehr modisch und von amerikanischen Waren fasziniert ist. Wir erwarten, dass die Verkäufe anfangs in die Höhe schnellen und dann sinken.“ wie ein Stein. Später wird sich die Nachfrage auf einem profitablen Niveau einpendeln. Die Grafiken auf Seite 3 [Abbildung 2-1] zeigen die Nachfrage nach Woche für 104 Wochen, und wir haben mehrere Szenarien bewertet. Sie alle zeigen ein gutes zugrunde liegendes Geschäft, aber die Ungewissheit liegt im ersten Start.Die besten Daten basieren auf dem italienischen Modeboom, den Japan Ende der 80er Jahre erlebte. Es ist nicht genau analog, weil es sich um Kleider statt um unsere Freizeit- und Wochenendkleidung drehte. Es ist jedoch die beste verfügbare Information.

ABBILDUNG 2-1: Verkaufsprognosen nach Woche, Szenario A

ABBILDUNG 2-2: Größenverteilungen, USA vs. Japan

„Unsere Effektivität bei der Positionierung des Inventars für diesen anfänglichen Anstieg wird entscheidend für unseren langfristigen Erfolg sein. Es gibt ausgezeichnete Daten von MITI, die ich hinzufügen möchte, die zeigen, dass japanische Kunden Unternehmen, die ihre hohen Serviceerwartungen erfüllen, sehr loyal sein können Wir haben mehrere Szenarien vorbereitet. Natürlich, wenn wir Lagerbestände für das hohe Szenario positionieren und wir das niedrige erleben, werden wir aufgrund von Liquidationen einen erheblichen Verlust erleiden. Wir analysieren jedoch noch die langfristigen Auswirkungen. Es kann immer noch sein Es lohnt sich, das Risiko einzugehen, wenn der 2-Jahres-ROI 1 ausreicht.

„Wir haben solide Informationen über ihre Größenskalen [Abbildung 2-2]. Siebzig Prozent sind klein und mittelgroß. Im Vergleich dazu sind 70 % der Amerikaner groß und extra groß. Dies wird eine Herausforderung sein, aber es wird ein paar Dollar sparen Stoff.

"Wir kennen auch ihre Farbpräferenzen und sie unterscheiden sich stark von den Amerikanern. Unsere inländischen Kunden sind sehr unterschiedlich in ihrem Geschmack, aber 80% der japanischen Kunden kaufen eine oder zwei Farben aus einem Angebot von 15 Farben Wahlmöglichkeiten, aber es variiert stark zwischen Hosen und Hemden und zwischen Männern und Frauen. Wir sind zuversichtlich, dass wir Muster finden können, aber wir wissen auch, dass es leicht ist, auf diesem Markt falsch zu raten. Wenn wir falsch raten, betragen die Liquidationskosten sehr hoch.

"Schlechte Nachrichten an der Bestellannahmefront. Sie bestellen nicht gerne per Telefon. &hellip"

Analyse

In diesem sehr kurzen Austausch zwischen Entscheidungsträgern beobachten wir den Einsatz vieler kritisch wichtiger Fähigkeiten, die ursprünglich in öffentlichen Schulen erlernt wurden. Die vielleicht wichtigste ist eine, die nicht oft erwähnt wird, und das ist die Fähigkeit, eine wichtige Geschäftsfrage in eine geeignete mathematische umzuwandeln, das mathematische Problem zu lösen und dann die Implikationen der Lösung für das ursprüngliche Geschäftsproblem zu erklären. Diese Fähigkeit, gleichzeitig die Geschäftswelt und die mathematische Welt zu bewohnen, zwischen beiden zu übersetzen und als Folge davon Klarheit in komplexe, reale Sachverhalte zu bringen, ist von außerordentlicher Bedeutung.

Darüber hinaus verstanden und interpretierten die Teilnehmer dieses Gesprächs Grafiken und Tabellen, berechneten, approximierten, geschätzt, interpoliert, extrapoliert, verwendeten probabilistische Konzepte, um Schlussfolgerungen zu ziehen, verallgemeinert aus

von kleinen Stichproben bis hin zu großen Populationen, identifizierte die Grenzen ihrer Analysen, entdeckte Beziehungen, erkannte und verwendete Variablen und Funktionen, analysierte und verglich Datensätze und erstellte und interpretierte Modelle. Ein weiterer sehr wichtiger Aspekt ihrer Arbeit war, dass sie zusätzliche Fragen identifizierten und Wege vorschlugen, diese Fragen durch zusätzliche Analysen zu beleuchten.

Es gab zwei allgemeine Themen in diesem Gespräch, die mathematische Perspektiven erforderten. Die erste bestand darin, einen möglichst rigorosen und kosteneffektiven Prozess zur Datenerhebung und -analyse zu entwickeln. Es waren vielleicht 10 verschiedene Analysten daran beteiligt, die das Problem aus verschiedenen Blickwinkeln betrachteten. Der Prozess erforderte auch die Integration der mathematischen Erkenntnisse aller 10 Analysten und die Übersetzung der Ergebnisse in eine für Nicht-Mathematiker verständliche Geschäftssprache.

Die zweite große Frage bestand darin, aus der Perspektive der Entscheidungsträger, die der Präsentation zuhörten, zu verstehen, welche Ergebnisse am zuverlässigsten waren, welche Neuinterpretationen unterzogen wurden, welche Urteile tatsächlich nicht durch eine angemessene Analyse gestützt wurden und welche Hypothesen wirklich erforderlich waren mehr Forschung. Darüber hinaus würden diese Geschäftsleute wahrscheinlich Synergien im Research erkennen, die von den Analysten nicht in Betracht gezogen wurden. Diese Synergien müssen analysiert werden, um festzustellen, ob sie mathematisch &ndash real waren. Am offensichtlichsten war, dass die Bestandsanalysten sagten, dass die Kunden nicht gerne das Telefon verwenden, um Bestellungen aufzugeben. Dies ist eine schlechte Nachricht für die Vertriebsanalysten, die auf die telefonische Datenerfassung zählen, um Fehler zu korrigieren, die durch Sprachprobleme verursacht werden. Natürlich brauchen wir mehr Informationen, um das Ausmaß und sogar die Existenz des Problems zu kennen.

Kurz gesagt, die dem Dialog vorausgehenden Analysen können in der Geschäftswelt jeweils als mathematische Aufgabe betrachtet werden:

  • Eine Kostenanalyse von Ladengeschäften und Katalogen wurde unter Verwendung von Daten bestehender amerikanischer und möglicherweise anderer Betriebe durchgeführt.
  • Die Kundenpräferenzenforschung wurde analysiert, um Präferenzen in Bezug auf Qualität und Lebensstil zu bestimmen. Die Datenerhebung selbst könnte von einem Abiturienten ohne Anleitung nicht durchgeführt werden, aber 80% der Analyse könnten.
  • Kulturelle Unterschiede wurden als Ursachen für analytische Fehler erkannt. Eine sorgfältige Analyse erforderte ein Urteil. Darüber hinaus wurden Datenquellen in den USA identifiziert, und vergleichbare Quellen wurden in Japan nicht gefunden. Es wurde nach anderen vergleichbaren Einzelhandelserfahrungen gesucht, aber keine gefunden. Zum anderen wurden Verkaufsdaten von Autoteilen und Computern auf Relevanz bewertet.
  • Änderungsraten sind wichtig, um zu verstehen, wie sich japanische und amerikanische Geschäfte unterscheiden. Umsatz pro Quadratmeter, Preiserhöhungen,
  • Anlagenkosten, Arbeitskosten usw. wurden mit amerikanischen Standards verglichen, um festzustellen, ob ein Geschäft mit Sitz in Japan ein lebensfähiges Geschäft wäre.
  • Zur Datenerhebung wurden Bewertungen im „Nielsen“-Stil von 1000 Familien verwendet. Stichprobengröße und Fehlerschätzungen wurden erwähnt. Es wurden Schlüsselfaktoren des Verhaltens (Lebensstil, Einkommen, Bildung) genannt, aber diese Liste ist möglicherweise nicht vollständig. Was muss über diese Familien bekannt sein, um ihr Kaufverhalten vorherzusagen? Was beinhaltet "Lebensstil"? Wie würden wir einige dieser Variablen quantifizieren?
  • Es wurde die Hypothese aufgestellt, dass Kataloggröße und Produktvielfalt zu höheren Umsätzen führen. Was müssen wir wissen, um die Gültigkeit dieser Hypothese zu beurteilen? Eine weitere Hypothese wurde über die Qualität der Übersetzung aufgestellt. Was war der Beweis für diese Hypothese? Ist das eine mathematische Frage? Der Umsatz kann auch proportional zu der Zeit sein, die ein potenzieller Kunde den Katalog aufbewahrt. Wie könnte man das feststellen?
  • Trotz der Fülle an Daten bleibt viel Unsicherheit darüber, was von den Verkäufen in den ersten beiden Jahren zu erwarten ist. Mit den Daten könnte eine Analyse über die möglichen Folgen der Inventarisierung durch die Wahl des falschen Szenarios durchgeführt werden.
  • Man könnte sich über die Unsicherheit in Größenskalen wundern. Was ist so schwierig daran, die Farben zu identifizieren, die Japaner bevorzugen? Können diese Präferenzen vorhergesagt werden? Wird dies die Komplexität der Bestandsverwaltungsaufgabe erhöhen?
  • Können wir vorhersagen, wie viele Menschen Telefone nicht benutzen werden? Was verwenden sie stattdessen?

Aus mathematischer Sicht kann die Geschäftswelt eine reichhaltige, komplexe und im Wesentlichen grenzenlose Quelle faszinierender Fragen sein.

Hinweis

ROL FESSENDEN ist Vice-President of Inventory Planning and Control bei L. L. Bean, Inc. Er ist außerdem Co-Principal Investigator und stellvertretender Vorsitzender der State Systemic Initiative von Maine und Vorsitzender des Strategic Planning Committee. Zuvor war er Mitglied des Mathematical Science Education Board und der National Alliance for State Science and Mathematics Coalitions (NASSMC).

3&ndashIntegration von beruflicher und akademischer Bildung

In der Gymnasialausbildung werden die Berufsvorbereitung unmittelbar nach dem Abitur und die Vorbereitung auf die weiterführende Schule traditionell als unvereinbar angesehen. Berufsgebundene Gymnasiasten enden in berufsbildenden Bildungsgängen, in denen in der Regel spezifische Fähigkeiten betont werden, ohne dass die zugrunde liegenden theoretischen und konzeptionellen Grundlagen berücksichtigt werden. 1 College-Studenten durchlaufen traditionelle akademische disziplinbasierte Kurse, in denen sie Englisch, Geschichte, Naturwissenschaften, Mathematik und Fremdsprachen lernen, mit nur schwachen und oft erfundenen Hinweisen auf die Anwendung dieser Fähigkeiten am Arbeitsplatz oder in der Gemeinschaft außerhalb der Schule Schule. Zwar vermitteln viele Berufsschullehrer grundlegende Konzepte, und viele Hochschullehrer motivieren ihren Unterricht mit Beispielen und Verweisen auf die Welt außerhalb des Klassenzimmers. Aber diese Bereicherungen sind meist Schnickschnack und weder für den Inhalt noch für die Pädagogik der Sekundarschulbildung zentral.

Berufliche und akademische Bildung neu denken

Das pädagogische Denken in den Vereinigten Staaten hat traditionell Priorität auf die College-Vorbereitung gelegt. Daher wurde die eigenständige Berufsausbildung als Option für diejenigen Schüler angesehen, die in der wünschenswerteren akademischen Spur als nicht erfolgsfähig erachtet werden. Als Berufsausbildungen einen Ruf erlangten

als "Abladeplatz" wurde ein starker Hintergrund in berufsbildenden Studiengängen (insbesondere wenn sie die Kreditpunkte in den akademischen Kernkursen reduzierten) als Bedrohung für die Hochschulbestrebungen von Sekundarschülern angesehen.

Dieser Gedanke wurde durch den sehr einflussreichen Bericht von 1983 mit dem Titel Eine Nation in Gefahr (National Commission on Excellence in Education, 1983), die das US-amerikanische Bildungssystem dafür kritisierte, sich von einer Betonung der akademischen Kernfächer zu entfernen, die dem Bericht zufolge die Grundlage eines zuvor erfolgreichen amerikanischen Bildungssystems gewesen waren. Berufsbildungskurse wurden als Ablenkung von Gymnasiasten von ihren akademischen Kernaktivitäten angesehen. Trotz der zweifelhaften empirischen Fundierung der Schlussfolgerungen des Berichts erhöhten spätere Reformen in den meisten Staaten die Zahl der für den Abschluss erforderlichen akademischen Kurse und verringerten die Möglichkeiten für Studenten, berufsbildende Kurse zu belegen.

Die Unterscheidung zwischen Berufsschülern und College-Studenten hatte schon immer einen konzeptionellen Fehler. Die große Mehrheit der Studierenden, die ein vierjähriges College besuchen, ist zumindest in erheblichem Maße durch berufliche Ziele motiviert. 1994 wurden fast 247.000 Bachelor-Abschlüsse in Betriebswirtschaftslehre verliehen. Das waren nur 30.000 weniger als die Gesamtzahl (277.500) der 1994 verliehenen Bachelor-Abschlüsse in Englisch, Mathematik, Philosophie, Religion, Naturwissenschaften und Naturwissenschaften, Bio- und Biowissenschaften, Sozialwissenschaften und Geschichte kombiniert. Darüber hinaus sind diese "akademischen" Bereiche auch berufsbildend, da viele Absolventen mit diesen Abschlüssen beabsichtigen, in diesen Bereichen ihren Lebensunterhalt zu verdienen.

Mehrere aktuelle Wirtschafts-, Technologie- und Bildungstrends stellen diese scharfe Unterscheidung zwischen der Vorbereitung auf das College und der unmittelbaren Arbeit nach der High School in Frage oder stellen insbesondere die Vorstellung in Frage, dass Schüler, die nach der High School arbeiten möchten, kaum akademische Fähigkeiten benötigen, während College-Studenten ist am besten durch eine abstrakte Ausbildung mit nur schwachem Kontakt zur Arbeitswelt gedient:

  1. Erstens argumentieren viele Arbeitgeber und Analysten, dass traditionelle Ansätze zur Vermittlung beruflicher Fähigkeiten aufgrund von Veränderungen in der Art der Arbeit in Zukunft möglicherweise nicht mehr wirksam sind. Angesichts des zunehmenden Wandels und der Unsicherheit am Arbeitsplatz werden junge Menschen auch auf Einstiegspositionen und sicherlich auf spätere Positionen besser vorbereitet, wenn sie ein grundlegendes Verständnis für die wissenschaftlichen, mathematischen, sozialen und sogar kulturellen Aspekte der Arbeit, die sie tun werden. Dies hat zu einer zunehmenden Betonung der Integration von akademischer und beruflicher Bildung geführt. 2
  2. Die Ansichten über Lehre und Pädagogik haben sich zunehmend in Richtung eines offeneren und kollaborativeren "studentenzentrierten" oder "konstruktivistischen" Unterrichtsstils bewegt, der großen Wert darauf legt, dass die Studenten an komplexen, ergebnisoffenen Projekten zusammenarbeiten. Diese Reformstrategie wird nun weitgehend durch die Bemühungen von Organisationen wie der Coalition of Essential Schools, dem National Center for Restructuring Education, Schools and Teaching at widely umgesetzt
  • Teachers College und dem Center for Education Research der University of Wisconsin in Madison. Befürworter dieses Ansatzes hatten nicht viel Kontakt mit Berufspädagogen und haben sicherlich keine Betonung der direkten Vorbereitung von Gymnasiasten auf die Arbeit befürwortet. Dennoch passt der Ansatz gut zu einer reformierten Ausbildung, die berufliche und akademische Fähigkeiten durch authentische Anwendungen integriert. Solche Anwendungen bieten Möglichkeiten, mathematische, wissenschaftliche, historische, literarische, soziologische, wirtschaftliche und kulturelle Themen zu erforschen und zu kombinieren.
  • In einem ähnlichen Trend definiert das Bundesgesetz über die Möglichkeiten von der Schule zur Arbeit von 1994 eine Bildungsstrategie, die konstruktivistische pädagogische Reformen mit angeleiteten Erfahrungen am Arbeitsplatz oder in anderen außerberuflichen Umgebungen kombiniert. Im besten Fall könnte Schule-zu-Arbeit durch entsprechend gestaltete Arbeitserfahrungen akademisches und berufliches Lernen weiter integrieren.
  • Die Integration von beruflicher und akademischer Bildung und die durch das Schule-in-Beruf-Chancengesetz geförderten Initiativen wurden ursprünglich als Strategien zur Vorbereitung auf die Berufstätigkeit nach dem Abitur oder der Volkshochschule verstanden. Einige Pädagogen und politische Entscheidungsträger sind immer mehr davon überzeugt, dass diese Ansätze auch für die Vermittlung akademischer Fähigkeiten und die Vorbereitung der Studenten auf ein vierjähriges College wirksam sein können. Die Vermittlung von akademischen Fähigkeiten im Kontext realistischer und komplexer Anwendungen aus dem Arbeitsplatz und der Gemeinschaft kann einen Motivationsvorteil bieten und ein tieferes Verständnis des Materials vermitteln, indem den Studierenden gezeigt wird, wie die akademischen Fähigkeiten tatsächlich eingesetzt werden. Die Bewahrung kann auch dadurch verbessert werden, dass den Schülern die Möglichkeit gegeben wird, das Wissen anzuwenden, das sie oft nur in abstrakter Form lernen. 3
  • In den letzten zwanzig Jahren sind die Reallöhne von Hochschulabsolventen gesunken und die Kluft zwischen den Löhnen von Hochschul- und Hochschulabsolventen hat sich deutlich vergrößert. Erwachsene ohne Bildung über die High School hinaus haben nur sehr geringe Chancen, genug Geld zu verdienen, um eine Familie mit einem moderaten Lebensstil zu ernähren. 4 Angesichts dieser Lohnentwicklung erscheint es angemessen und gerecht, dass jeder Gymnasiast zumindest auf das College vorbereitet wird, auch wenn einige direkt nach der High School arbeiten möchten.

Innovative Beispiele

Es gibt viele Beispiele für Programme, die berufsbezogene Anwendungen verwenden, um sowohl akademische Fähigkeiten zu vermitteln als auch Studenten auf das College vorzubereiten. Ein Ansatz besteht darin, High-School-Programme in breiten Industrie- oder Berufsbereichen wie Gesundheit, Landwirtschaft, Gastgewerbe, Fertigung, Verkehr oder Kunst zu organisieren. Diese weiten Bereiche bieten viele Möglichkeiten für breitgefächerte Curricula in allen wissenschaftlichen Disziplinen. Sie bieten auch Möglichkeiten zur Zusammenarbeit von Lehrenden unterschiedlicher Fachrichtungen. Spezifische Fähigkeiten können weiterhin in diesem Format vermittelt werden, jedoch so, dass breitere wissenschaftliche und theoretische Themen motiviert werden. Innovative Programme finden sich mittlerweile in vielen Berufsfeldern

High Schools in großen Städten, wie die Aviation High School in New York City und die High School of Agricultural Science and Technology in Chicago. Andere Schulen haben Schulen-in-Schulen organisiert, die auf breiten Industriebereichen basieren.

Landwirtschaftliche Aktivitäten wie 4H und Future Farmers of America nutzen seit vielen Jahren die landwirtschaftliche Umgebung und das Interesse der Schüler an der Landwirtschaft, um eine Vielzahl von Fähigkeiten zu vermitteln. Es braucht nur wenig Fantasie, um sich vorzustellen, wie man die gesellschaftlichen, wirtschaftlichen und wissenschaftlichen Grundlagen der Landwirtschaft nutzen kann, um Fähigkeiten und Wissen aus allen wissenschaftlichen Disziplinen zu motivieren und zu veranschaulichen. Viele Schulen nutzen inzwischen Praktika und Projekte, die auf lokalen Geschäftsaktivitäten basieren, als Lehrmittel. Ein Beispiel unter vielen ist das integrierte Programm der Thomas Jefferson High School for Science and Technology in Virginia, das Biologie, Englisch und Technologie durch ein Umweltforum verbindet. Die Schüler arbeiten als Partner mit Ressourcenmanagern im Mason Neck National Wildlife Refuge und im Mason Neck State Park zusammen, um Daten zu sammeln und die täglichen Aktivitäten verschiedener Arten, die die Region bewohnen, zu überwachen. Sie durchsuchen aktuelle Literatur, um eine Hypothese zu einem realen Problem zu erstellen, entwerfen ein Experiment, um ihre Hypothese zu testen, führen das Experiment durch, sammeln und analysieren Daten, ziehen Schlussfolgerungen und erstellen ein schriftliches Dokument, das die Ergebnisse des Experiments kommuniziert. Die Studierenden sind sogar dafür verantwortlich zu bestimmen, welche Informationen und Ressourcen benötigt werden und wie sie darauf zugreifen können. Zu den Schülerprojekten gehörten die Planung von öffentlichen Bildungsprogrammen zu Umweltfragen, die Suche nach Lösungen für Probleme, die durch die eingreifende Landentwicklung verursacht wurden, und Vorschläge für den Umgang mit dem Überangebot an Hirschen in der Region.

Diese Beispiele weisen auf das Potenzial hin, das eine stärker integrierte Bildung für alle Schüler haben könnte. Eine weiterhin scharfe Trennung zwischen beruflichem und akademischem Unterricht in der Oberstufe dient daher nicht den Interessen vieler Schüler, die auf ein vier- oder zweijähriges College gehen oder nach der High School arbeiten wollen. Arbeitsgebundene Schüler werden besser auf die Arbeit vorbereitet, wenn sie über stärkere akademische Fähigkeiten verfügen, und ein hochwertiger Lehrplan, der schulisches Lernen in Arbeits- und Gemeinschaftsanwendungen integriert, ist eine effektive Möglichkeit, vielen Schülern akademische Fähigkeiten zu vermitteln.

Trotz der vielen Beispiele innovativer Initiativen, die das Potenzial für eine integrierte Sichtweise nahelegen, beeinflussen das Erbe der Dualität zwischen beruflicher und akademischer Bildung und der geringe Stellenwert des berufsbezogenen Studiums in der Sekundarstufe weiterhin die Bildungs- und Bildungsreform. Im Allgemeinen werden Programme, die von der traditionellen Organisation und dem Format der College-Vorbereitung abweichen, von Eltern und Lehrern, die sich auf ein vierjähriges College konzentrieren, immer noch mit Misstrauen betrachtet. Tatsächlich begünstigen die Zulassungspraktiken für Hochschulen immer noch die traditionellen Ansätze. Interdisziplinäre Studiengänge, "angewandte" Studiengänge, Praktika und andere Arten von Arbeitserfahrungen, die die Schule-zu-Arbeit-Strategie charakterisieren, oder Programme, die akademische und berufliche Bildung integrieren, passen oft nicht gut zu den Zulassungsvoraussetzungen für Hochschulen.

Verbinden von Arbeit und Lernen

Welche Auswirkungen hat dies auf die vom National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) entwickelten Mathematikstandards? Das allgemeine Prinzip sollte darin bestehen, Standards zu entwickeln, die die Unterscheidung zwischen beruflichem und akademischem Unterricht eher in Frage stellen als verstärken. Akademische Mathematiklehrer und diejenigen, die akademische Standards setzen, müssen weiterhin versuchen, den Einsatz der Mathematik am Arbeitsplatz und im Alltag zu verstehen. Ein solches Verständnis würde Einsichten bieten, die eine Reform des traditionellen Lehrplans nahelegen könnten, aber auch eine bessere Grundlage für den Mathematikunterricht mit realistischen Anwendungen bieten.Die Beispiele in diesem Band sind besonders lehrreich, weil sie die Bedeutung von Problemlösung, Logik und Vorstellungskraft nahelegen und zeigen, dass dies alles wichtige Bestandteile mathematischer Anwendungen in realistischen Arbeitsumgebungen sind. Aber diese sind nur ein Anfang.

Um diesen Ansatz zu entwickeln, wäre es hilfreich, wenn die NCTM-Standardautoren eng mit Gruppen zusammenarbeiten, die Industriestandards festlegen. 5 Dies würde es beiden Gruppen ermöglichen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Inhalte der Arbeit zu entwickeln.

Die Curriculum-Standards des NCTM für die Klassen 9-12 umfassen sowohl Kernstandards für alle Schüler als auch zusätzliche Standards für "college-beabsichtigte" Studenten. Das in diesem Essay vorgebrachte Argument legt nahe, dass das NCTM auf die Unterscheidung zwischen College- und Nicht-College-Studierenden verzichten sollte. Die meisten der zusätzlichen Standards, die nur für "Hochschulstudenten" bestimmt sind, bieten Hintergrundinformationen, die für die Kalkülsequenz notwendig oder nützlich sind. Eine Neubewertung der Rolle der Infinitesimalrechnung im Lehrplan der High School kann angebracht sein, aber die Infinitesimalrechnung sollte nicht als Keil dienen, um College-gebundene von nicht-collegegebundenen Schülern zu trennen. Natürlich werden einige High-School-Studenten Rechnen lernen, obwohl viele College-Studenten weder in der High School noch im College Rechnen lernen werden. In der Praxis ist Kalkül also kein Merkmal, das zwischen denen unterscheidet, die auf das College gehen oder nicht. Vielleicht könnten Standards für eine Vielzahl von Optionen jenseits des Kerns angeboten werden. Mathematikstandards sollten festgelegt werden, um stärkere Fähigkeiten für alle Schüler zu fördern und die Leistungsfähigkeit und Nützlichkeit der Mathematik in vielen Situationen zu veranschaulichen. Sie sollten nicht dazu verwendet werden, zweifelhafte Unterscheidungen zwischen Studierendengruppen zu institutionalisieren.

Verweise

Bailey, T. & Merritt, D. (1997).Schule-zu-Arbeit für die College-gebundenen. Berkeley, CA: Nationales Zentrum für Berufsbildungsforschung.

Hoachländer, G. (1997). Mathematikunterricht rund um die Arbeit organisieren. Im L. A. Steen (Hrsg.), Warum Zahlen zählen: Quantitative Bildung für das Amerika von morgen, (S. 122-136). New York: College-Aufnahmeprüfungsausschuss.

Levy, F. & Murnane, R. (1992). US-Verdienstniveau und Einkommensungleichheit: Ein Überblick über die jüngsten Trends und vorgeschlagene Erklärungen. Zeitschrift für Wirtschaftsliteratur, 30, 1333-1381.

Nationale Kommission für Exzellenz in der Bildung. (1983). Eine Nation in Gefahr: Der Imperativ für eine Bildungsreform. Washington, DC: Autor.

Anmerkungen

Die Berufsbildung ist seit der Verabschiedung des ersten Berufsbildungsgesetzes im Jahr 1917 durch die Bundesgesetzgebung geprägt. Nach der aktuellen Gesetzgebung, dem Carl D. Perkins Vocational and Technical Education Act von 1990, sind Berufsschüler diejenigen, die kein Abitur anstreben, also Sie umfassen sowohl Schüler, die direkt nach der High School arbeiten möchten, als auch diejenigen, die ein Community College besuchen möchten.

Dieser Standpunkt liegt den Reformen zugrunde, die in der Neuzulassung des Carl Perkins Vocational and Technical Education Act (VATEA) von 1990 zum Ausdruck kamen. VATEA förderte auch ein Programm mit dem Namen "Tech-Prep", das formale Verbindungen zwischen den Lehrplänen der Sekundarschule und der Volkshochschule herstellte.

Dieses Argument wird in Bailey &. Merritt (1997) überprüft. Für ein Argument, wie Bildung um allgemeine Arbeitsthemen herum organisiert werden kann, kann das Lernen in Mathematik verbessert werden, siehe Hoachlander (1997).

Diese Lohndaten werden in Levy & Murnane (1992) überprüft.

Der Goals 2000: Educate America Act zum Beispiel gründete 1994 das National Skill Standards Board, um als Katalysator bei der Entwicklung eines freiwilligen nationalen Systems von Qualifikationsstandards, Bewertungen und Zertifizierungen für Unternehmen und Industrie zu dienen.

THOMAS BAILEY ist außerordentlicher Professor für Wirtschaftspädagogik am Teachers College der Columbia University. Er ist außerdem Direktor des Instituts für Bildung und Wirtschaft und Direktor des Community College Research Center, beide am Teachers College. Außerdem ist er im Vorstand des Nationalen Zentrums für Berufsbildungsforschung.

4&ndashDie Bedeutung von Arbeitsplatz- und Alltagsmathematik

Unsere Industriegesellschaft basiert seit Jahrzehnten auf fossilen Brennstoffen. In der heutigen wissensbasierten Gesellschaft ist Mathematik die Energie, die das System antreibt. Mit den Worten der neuen WQED-Fernsehserie: Leben in Zahlen, um Wissen zu schaffen, "brennen wir Mathematik". Mathematik ist mehr als ein festes Werkzeug, das auf bekannte Weise angewendet wird. In den Wirtschaftswissenschaften, im Finanzwesen, in den Materialwissenschaften, in der Physik, in der Biologie, in der Medizin werden ständig neue mathematische Techniken und Analysen und sogar konzeptionelle Rahmen benötigt.

So wie alle wissenschaftlichen Berufe und Berufe im Gesundheitswesen mathematisch begründet sind, so sind es auch viele andere. Die Interaktion mit Computern ist zu einem Teil von immer mehr Berufen geworden, und gute analytische Fähigkeiten verbessern die Computernutzung und die Fehlerbehebung. Darüber hinaus erfordern praktisch alle Managementebenen und viele unterstützende Positionen in Wirtschaft und Industrie ein gewisses mathematisches Verständnis, einschließlich der Fähigkeit, Grafiken zu lesen und andere visuell dargestellte Informationen zu interpretieren, Schätzungen effektiv zu verwenden und mathematische Argumente anzuwenden.

Was sollten Schüler für die Welt von heute lernen?

Bildung in Mathematik und die Fähigkeit, ihre Vorhersagen zu kommunizieren, ist wichtiger denn je, um von schlecht bezahlten Jobs in besser bezahlte Jobs zu wechseln. Zum Beispiel meine Lokalzeitung, Die Zeiten von Trenton, hatte einen Abschnitt "Fokus

on Careers" am 5. Oktober 1997, in dem die meisten Anzeigen für High-Tech-Karrieren bestimmt waren (viel mehr als beispielsweise für Vertrieb und Marketing).

Aber welche Mathematik sollen die Schüler in der Schule genau lernen? Mathematiker und Mathematikpädagogen diskutieren diese Frage seit Jahrzehnten. Dieser Aufsatz präsentiert einige Gedanken zu drei Bereichen der Mathematik, Trigonometrie und Algebra und dann einige Gedanken zum Lehren und Lernen.

Schätzen ist eine der am schwersten zu erlernenden Fähigkeiten, auch wenn sie mit anderen Aspekten der Mathematik relativ wenig Schwierigkeiten haben. Viele Studierende betrachten Mathematik als einen Satz präziser Regeln, die genaue Antworten liefern, und fühlen sich unwohl mit der Vorstellung von ungenauen Antworten, insbesondere wenn der Genauigkeitsgrad der Schätzung vom Kontext abhängt und selbst nicht durch eine Regel gegeben ist. Es ist jedoch sehr wichtig, ein ungefähres Gefühl für die Größe einer Antwort zu erhalten, um die Genauigkeit einer Berechnung grob zu überprüfen (ich habe es persönlich in Geschäften verwendet, um festzustellen, dass ich zweimal für denselben Artikel in Rechnung gestellt wurde, sowie oft in meiner eigenen mathematischen Arbeit), als Machbarkeitsschätzung oder als Schätzung für Tipps.

Die Trigonometrie spielt in den Wissenschaften eine bedeutende Rolle und kann uns helfen, Phänomene im Alltag zu verstehen. Trigonometrie wird oft als Studie zur Dreiecksmessung eingeführt und kann zur Vermessung und zur Bestimmung von Baumhöhen verwendet werden, aber ihr Nutzen geht weit über diese dreieckigen Anwendungen hinaus. Die Schüler können die Macht der Mathematik erleben, indem sie Sinus und Kosinus verwenden, um periodische Phänomene zu modellieren, wie z. B. das Gehen im Kreis, das Ein- und Ausgehen bei Gezeiten, die Überwachung von Temperatur- oder Smogkomponenten, die sich in einem 24-Stunden-Zyklus ändern, oder das Radfahren von Raubtieren -Beutepopulationen.

Kein Pädagoge argumentiert, dass die Algebra für Schüler, die eine mathematisch fundierte Laufbahn anstreben, wichtig ist, da sie die Grundlage für die spätere Spezialausbildung bietet. Algebra ist jedoch auch für diejenigen Schüler wichtig, die derzeit keine mathematischen Berufe anstreben, zum Teil, weil ein Mangel an algebraischen Fähigkeiten eine Obergrenze für die Arten von Karrieren setzt, die ein Schüler anstreben kann. Der ehemalige Bürgerrechtler Robert Moses ist ein gutes Argument für jeden Schüler, der Algebra lernt, um Schüler zu stärken und Ziele, Fähigkeiten und Möglichkeiten zu bieten. Die gleiche Idee wurde im Film auf das Lernen von Infinitesimalrechnung angewendet Stehen und liefern. Wie können wir dann allen Schülern helfen, Algebra zu lernen?

Für mich persönlich war der Anstoß zum Erlernen der Algebra zumindest teilweise das Erlernen von Lösungsmethoden für Rätsel. Angenommen, Sie haben 39 Gläser auf drei Regalen. Auf dem zweiten Regal stehen doppelt so viele Gläser wie auf dem ersten und auf dem dritten Regal vier Gläser mehr als auf dem zweiten Regal. Wie viele Gläser befinden sich auf jedem Regal? Solche Probleme sind an sich nicht wichtig, aber wenn sie den Schülern die Kraft einer Idee zeigen, indem sie ihnen ermöglichen, Rätsel zu lösen, die sie lösen möchten, dann haben sie einen Wert. Wir können nicht erwarten, dass solche Probleme alle Studenten interessieren. Wie können wir dann mehr Studierende erreichen?

Arbeitsplatz- und Alltagseinstellungen als sinnvolle Möglichkeit

Eines der gängigen Werkzeuge in Wirtschaft und Industrie zur Untersuchung mathematischer Fragestellungen ist die Kalkulationstabelle, die eng mit der Algebra verwandt ist. Eine Regel zu schreiben, um die Elemente bestimmter Zellen zu kombinieren, um die Menge zu erzeugen, die in eine andere Zelle fließt, ist Algebra, obwohl die Variablennamen eher Zellennamen sind als x oder ja. Daher erfordert das Einrichten von Tabellenkalkulationsanalysen einige der Überlegungen, die die Algebra erfordert.

Durch die Erforschung der Mathematik anhand von Aufgaben, die aus dem Arbeitsumfeld und dem Alltag stammen, und mit Hilfe gängiger Tools wie Tabellenkalkulationen erkennen die Schüler die Relevanz der Mathematik eher und lernen sie eher auf eine für sie persönlich sinnvolle Weise, als wenn sie wird abstrakt dargestellt und nur dann angewendet, wenn es die Zeit zulässt. Daher argumentiert dieser Aufsatz, dass Arbeitsplatz- und Alltagsaufgaben für den Mathematikunterricht und insbesondere für den Algebraunterricht verwendet werden sollten. Es wäre jedoch ein Fehler, sich ausschließlich auf solche Aufgaben zu verlassen, genauso wie es ein Fehler wäre, anstelle von Algebra nur Tabellenkalkulationen zu unterrichten.

Die Kommunikation der Ergebnisse einer Analyse ist ein grundlegender Bestandteil jeder Anwendung von Mathematik im Beruf. Am Arbeitsplatz wird immer mehr Wert auf Gruppenarbeit und die Fähigkeit gelegt, Ideen an Kollegen und Kunden zu kommunizieren. Aber auch die Kommunikation mathematischer Ideen ist ein mächtiges Werkzeug für das Lernen, da der Schüler oft verschwommene Ideen schärfen muss.

Einige der Aufgaben in diesem Band können die Art von Gelegenheiten bieten, von denen ich spreche. Ein weiteres Problem mit klaren Verbindungen zur realen Welt ist das Folgende, das dem Buch mit dem Titel entnommen wurde: Betrachten Sie eine kugelförmige Kuh: Ein Kurs zur Lösung von Umweltproblemen, von John Harte (1988). Es stellt sich die Frage: Wie erfolgt die Biomagnifikation eines Spurenstoffs? Wie reichern sich beispielsweise Pestizide in der Nahrungskette an und konzentrieren sich auf Raubtiere wie Kondore? Identifizieren Sie insbesondere die kritischen ökologischen und chemischen Parameter, die die Biokonzentrationen in einer Nahrungskette bestimmen, und leiten Sie anhand dieser Parameter eine Formel für die Konzentration eines Spurenstoffs in jedem Glied einer Nahrungskette ab. Diese Aufgabe kann auf mehreren Ebenen durchgeführt werden. Die Analyse in Hartes Buch ist auf einem ziemlich hohen Niveau, obwohl sie immer noch nur die Algebra als mathematisches Werkzeug beinhaltet. Die Aufgabe könnte auf einer einfacheren Ebene angegangen werden, oder sie könnte auf der anderen Seite, wie in weiteren Übungen in diesem Buch vorgeschlagen, ausgearbeitet werden. Und die Ergebnisse ihrer Analysen konnten die Schüler sich gegenseitig sowie der Lehrkraft mündlich oder schriftlich präsentieren.

Konzepte oder Verfahren?

Im Mathematikunterricht ist es leicht, so viel Zeit und Energie auf die Verfahren zu verwenden, dass den Konzepten wenig Beachtung geschenkt wird. Im Algebra-Unterricht lernen die Studierenden oft die Verfahren zur Anwendung der quadratischen Formel oder zum Lösen simultaner Gleichungen, ohne an Schnittpunkte von Kurven und Geraden zu denken und ohne die Verfahren in ungewohnten Umgebungen anwenden zu können. Sogar

Bei der Konzentration auf Wortaufgaben lernen die Schüler oft die Verfahren zur Lösung von "Münzproblemen" und "Zugproblemen", sehen aber nicht den größeren algebraischen Kontext. Die Formeln und Verfahren sind wichtig, aber nicht ausreichend.

Bei der Nutzung von Arbeitsplatz- und Alltagsaufgaben für den Mathematikunterricht dürfen wir vermeiden, in die gleiche Falle zu tappen, die Verfahren auf Kosten der Konzepte zu fokussieren. Die Falle zu umgehen ist jedoch nicht einfach, denn wie viele Aufgaben in der Schulalgebra haben auch mathematisch basierte Arbeitsplatzaufgaben häufig Standardverfahren, die ohne Verständnis der zugrunde liegenden Mathematik verwendet werden können. Um ein Verfahren an ein sich änderndes Geschäftsklima anzupassen, auf Änderungen der Steuergesetze zu reagieren oder ein Verfahren anzuwenden oder zu modifizieren, um einer ähnlichen Situation Rechnung zu tragen, ist jedoch ein Verständnis der mathematischen Ideen hinter den Verfahren erforderlich. Insbesondere sollte ein Student in der Lage sein, die Verfahren zur Bewertung des Energieverbrauchs für Heizung (wie in Heizgrad-Tage, s. 54), um den Energieverbrauch für die Kühlung im Sommer zu bewerten.

Um unsere Studierenden darauf vorzubereiten, solche Modifikationen selbst vorzunehmen, ist es wichtig, sich sowohl auf die Konzepte als auch auf die Verfahren zu konzentrieren. Arbeits- und Alltagsaufgaben können den Schülern die Möglichkeit bieten, den mathematischen Berechnungen und Verfahren einen Sinn zu verleihen. Wenn ein Schüler ein Problem zunächst ohne Algebra löst, kann ihm das Denken, das in seine Lösung eingeflossen ist, helfen, algebraische Ansätze, die später vom Lehrer oder anderen Schülern präsentiert werden, zu verstehen. Ein solcher Ansatz ist besonders für den Algebra-Unterricht geeignet, da unser Algebra-Unterricht mehr Schüler erreichen muss (zu oft wird dies von Schülern als bedeutungslose Symbolmanipulation angesehen) und weil algebraisches Denken am Arbeitsplatz immer wichtiger wird.

Ein Beispiel: Das Student/Professor-Problem

Um die Komplexität des Algebra-Lernens sinnvoll zu veranschaulichen, betrachten Sie das folgende Problem aus einer Studie von Clement, Lockhead, &. Monk (1981):

Schreiben Sie eine Gleichung für die folgende Aussage: "An dieser Universität gibt es sechsmal so viele Studenten wie Professoren." Benutzen S für die Anzahl der Schüler und P für die Zahl der Professoren. (S. 288)

Die Autoren fanden heraus, dass von 47 nichtwissenschaftlichen Hauptfächern, die College-Algebra studierten, 57 % falsch verstanden. Überraschender ist jedoch, dass 37% von 150 Schülern auf dem Niveau der Infinitesimalrechnung das Problem verfehlten.

Eine erste Reaktion auf die häufigste falsche Antwort, 6S = P, besteht darin, dass die Schüler die Wörter der Aufgaben einfach in mathematische Symbole übersetzten, ohne tiefer über die Situation oder die Variablen nachzudenken. (Die Autoren weisen darauf hin, dass einige Lehrbücher die Schüler anweisen, eine solche Übersetzung zu verwenden.)

Durch die Analyse von Transkripten von Interviews mit Studierenden fanden die Autoren diesen Ansatz und einen anderen (fehlerhaften) Ansatz. Diese Studenten zeichneten oft ein Diagramm mit sechs Studenten und einem Professor. (Beachten Sie, dass wir die Schüler oft anweisen, beim Lösen von Textaufgaben Diagramme zu zeichnen.) Argumentation

aus dem Diagramm und bezüglich S und P als Einheiten kann der Schüler 6 . schreibenS = P, genau wie wir richtig 12 in. = 1 ft schreiben würden. Eine solche Argumentation ist durchaus vernünftig, obwohl sie die grundlegende Absicht in der Problemstellung verfehlt, dass S soll die Anzahl der Studenten repräsentieren, nicht einen Studenten.

Somit können zwei allgemeine Vorschläge für die Schüler&mdashwort-für-Wort-Übersetzung und das Zeichnen eines Diagramms&mdash zu einer falschen Antwort auf dieses scheinbar einfache Problem führen, wenn die Schüler nicht tiefer darüber nachdenken, was die Variablen darstellen sollen. Die Autoren fanden heraus, dass Schüler, die die richtige Antwort geschrieben und erklären konnten, S = 6P, stützte sich auf ein besseres Verständnis dessen, was die Gleichung und die Variablen darstellen.

Es ist also klar, dass wir die Schüler ermutigen müssen, über die Bedeutung von Variablen nachzudenken. Ein Teil der Macht und Effizienz der Algebra liegt jedoch gerade darin, dass man Symbole unabhängig von ihrer Bedeutung manipulieren und dann aus den Schlussfolgerungen, zu denen die symbolischen Manipulationen führen, eine Bedeutung ziehen kann. So erfordert ein stabiles, langfristiges Erlernen des algebraischen Denkens sowohl die Beherrschung von Verfahren als auch ein tieferes analytisches Denken.

Fazit

Paradoxerweise tritt die Notwendigkeit eines schärferen analytischen Denkens mit einer geringeren Notwendigkeit für routinemäßige arithmetische Berechnungen ein. Taschenrechner und Computer erleichtern Routinerechnungen, schnell und genau Kassen in Fastfood-Restaurants haben manchmal Kassen für Wechselgeld mit Strichcode-Lesegeräten und die Zahlung erfolgt mit Kreditkarten oder Geldkarten.

Daher ist die Ausbildung in mathematischem Denken, in der Anwendung mathematischer Berechnungen, in der Einschätzung, ob eine Antwort vernünftig ist, und in der Kommunikation der Ergebnisse entscheidend. Der Mathematikunterricht über Arbeitsplatz- und Alltagsprobleme ist ein Ansatz, der Mathematik für alle Schüler sinnvoller machen kann. Es ist jedoch wichtig, über die spezifischen Details einer Aufgabe hinauszugehen, um mathematische Ideen zu lehren. Dieser Ansatz ist zwar besonders wichtig für Studierende, die eine Karriere in den mathematischen Wissenschaften anstreben, führt aber auch zu einem tieferen mathematischen Verständnis für alle Studierenden.

Verweise

Clement, J., Lockhead, J., &. Monk, G. (1981). Übersetzungsschwierigkeiten beim Erlernen von Mathematik. Amerikanische mathematische Monatszeitschrift, 88, 286-290.

Harte, J. (1988). Stellen Sie sich eine kugelförmige Kuh vor: Ein Kurs zur Lösung von Umweltproblemen. York, PA: Wissenschaftsbücher der Universität.

JEAN E. TAYLOR ist Professor für Mathematik an der Rutgers State University of New Jersey. Sie ist derzeit Mitglied des Board of Directors der American Association for the Advancement of Science und war zuvor Vorsitzende des Nominierungsausschusses der Sektion A. Sie war Vizepräsidentin und Mitglied des Rates der American Mathematical Society sowie Mitglied des Exekutivausschusses und des Nominierungsausschusses. Sie war auch Mitglied des Joint Policy Board for Mathematics und Mitglied des Beirats des Geometry Forum (jetzt The Mathematics Forum) und der WQED-Fernsehserie. Leben in Zahlen.

5&ndashArbeiten mit Algebra

Michigan State University

Einen Mathematikunterricht zu unterrichten, in dem nur wenige Schüler erfolgreich waren, ist eine schwierige Aufgabe. Viele Lehrer vermeiden solche Aufgaben, wenn möglich. Einerseits mögen Mathematiklehrer an Gymnasien wie Bertrand Russell Mathematik lieben und etwa Folgendes glauben:

Mathematik besitzt, richtig gesehen, nicht nur Wahrheit, sondern höchste Schönheit. Kalte und strenge Schönheit wie die der Skulptur, ohne Anklang an irgendeinen Teil unserer schwächeren Natur, ohne die prächtigen Insignien der Malerei oder Musik, aber dennoch erhaben rein und fähig zu einem Strenge Vollkommenheit, wie sie nur die größte Kunst zeigen kann. &hellip Fern von menschlichen Leidenschaften, fern sogar von den erbärmlichen Tatsachen der Natur, haben die Generationen nach und nach einen geordneten Kosmos geschaffen, in dem der reine Gedanke wohnen kann wie in seiner Naturheimat, und wo wenigstens einer unserer edleren Impulse aus der Welt entfliehen kann tristes Exil der Natur. (Russell, 1910, S. 73)

Auf der anderen Seite haben die Studenten unter ihren Umständen möglicherweise nicht den Luxus, diese Schönheit zu schätzen. Viele von ihnen sehen sich vielleicht nicht als Denker, weil die Kontemplation sie von ihrem Primären abbringen würde

Fokus: wie man in einer Welt zurechtkommt, die nicht für sie geschaffen wurde. Stattdessen fragen sie vielleicht wie Jamaica Kincaid:

Was bringt die Welt dazu, sich gegen mich und alle, die wie ich aussehen, zu wenden? Ich habe nichts gewonnen, ich überblicke nichts, wenn ich diese Frage stelle, streckt sich der Luxus einer Antwort, die Bände füllen wird, nicht vor mir aus. Wenn ich diese Frage stelle, ist meine Stimme voller Verzweiflung. (Kincaid, 1996, S. 131-132)

Unsere Lehre und Probleme, die sie aufgeworfen hat

Während der Schuljahre 1991-92 und 1992-93 unterrichteten wir (ein Gymnasiallehrer und ein Hochschullehrerausbildner) eine Algebra-I-Klasse der unteren Klasse für Schüler der 10. bis 12. Klasse. 1 Die meisten unserer Schüler waren schon einmal in Mathematik durchgefallen, und viele mussten Algebra I bestehen, um ihre Mathematikanforderungen für die Oberstufe zu erfüllen. Mathematik war für unsere Schüler zu einem spannungsgeladenen Fach geworden, das eine schwere Last negativer Erfahrungen mit sich brachte. Viele unserer Studierenden waren davon überzeugt, dass weder sie noch ihre Mitschüler in Mathematik erfolgreich sein könnten.

Nur wenige unserer Studenten schnitten in anderen akademischen Fächern gut ab, und nur wenige gingen auf zwei- oder vierjährige Colleges. Aber die Schüler unterschieden sich in ihrer Zugehörigkeit zum Gymnasium. Einige, von anderen "Preppies" oder "Jocks" genannt, nahmen aktiv an den Aktivitäten der Schule teil. Andere, "Raucher" oder "Kiffer", rebellierten in unterschiedlichem Maße gegen die Schule und allgemein gegen die Gesellschaft. Es gab starke Spannungen zwischen Mitglieder dieser Gruppen

Der Unterricht in dieser Umgebung verleiht den typischen Fragen des Lehrplans und der Motivation, die in den meisten Algebra-Klassen vorkommen, zusätzliche Bedeutung und Dringlichkeit. In unserer Lehre gingen wir Fragen wie den folgenden nach:

  • Was wollen wir wirklich von Highschool-Studenten, insbesondere solchen, die keine College-Absicht haben, in Algebra zu lernen und warum?
  • Welche Rolle spielen die manipulativen Fähigkeiten der Algebra in einer Welt mit Grafikrechnern und Computern? Wie geben die manipulativen Fähigkeiten, die im traditionellen Lehrplan vermittelt werden, den Schülern eine neue Perspektive und einen neuen Einblick in unsere Welt?
  • Wenn unsere Lehrbemühungen von den Investitionen der Schüler in das Lernen abhängen, aus welchen Gründen können wir sie implizit oder explizit um Energie und Anstrengung bitten? Wie können wir Schülern mit breiten Interessen und Talenten, von denen viele keine Hochschulabsicht haben, in einem nachverfolgten, obligatorischen Umfeld helfen, den Wert einer gemeinsamen Erforschung der Algebra zu erkennen?

Ein Ansatz zur Schulalgebra

Als Ergebnis dieser Überlegungen wollten wir in unserem Unterricht vermeiden, dass wir die Schüler ermahnen, die Schönheit oder Nützlichkeit der Algebra zu schätzen. Unsere Schüler waren offen gesagt skeptisch gegenüber Argumenten, die auf

Nützlichkeit. Sie sahen nur wenige Menschen in ihrer Gemeinde, die Algebra verwendeten. Wir hatten auch den Glauben an die Macht von extrinsischen Belohnungen und Bestrafungen verloren, wie zum Beispiel fehlgeschlagene Noten. Viele unserer Schüler standen der Macht des Abiturs, ihre Lebensumstände grundlegend zu verändern, skeptisch gegenüber. Wir wollten, dass die Schüler die mathematischen Objekte, über die wir diskutieren, in der Welt um sie herum finden und so lernen, die Perspektive zu schätzen, die ihnen diese Mathematik auf ihre Welt geben könnte.

Um uns bei dieser Aufgabe zu helfen, fanden wir es nützlich, in der Schulalgebra einen Ansatz zu verfolgen, den wir "Beziehungen zwischen Mengen" nennen. Bei diesem Ansatz sind die grundlegenden mathematischen Studienobjekte in der Schulalgebra Funktionen, die durch tabellarische Ein- und Ausgaben dargestellt oder skizziert oder in Graphen aufgetragen werden können, sowie Berechnungsverfahren, die mit algebraischen Symbolen geschrieben werden können. 3 Teilweise angeregt durch das folgende Zitat von August Comte, betrachteten wir diese Funktionen als mathematische Darstellungen von Theorien, die Menschen entwickelt haben, um Beziehungen zwischen Größen zu erklären.

Angesichts der bisherigen Erfahrungen müssen wir einräumen, dass es unmöglich ist, die meisten Höhen und Entfernungen, die wir wissen möchten, durch direkte Messung zu bestimmen. Es ist diese allgemeine Tatsache, die die Wissenschaft der Mathematik notwendig macht. Denn indem der menschliche Geist in fast allen Fällen auf die Hoffnung verzichtete, große Höhen oder Entfernungen direkt zu messen, musste er versuchen, sie indirekt zu bestimmen, und so wurden die Philosophen dazu gebracht, die Mathematik zu erfinden. (Zitiert in Serres, 1982, S. 85)

Das „Sponsor“-Projekt

Mit dieser Herangehensweise an den Funktionsbegriff haben wir im Schuljahr 1992-93 ein einjähriges Projekt für unsere Schüler konzipiert. Das Projekt bat Studentenpaare, die mathematischen Objekte zu finden, die wir am Arbeitsplatz eines Gemeindesponsors studierten. Die Schüler besuchten den Arbeitsplatz des Sponsors während des Jahres viermal – drei Besuche nach der Schule und einen Tag lang entschuldigte Abwesenheit von der Schule. Bei diesen Besuchen lernten die Studierenden den Arbeitsplatz kennen und lernten die Arbeit des Sponsors kennen. Anschließend baten wir die Schüler, einen Bericht zu schreiben, der den Arbeitsplatz des Sponsors beschreibt und Fragen zur Art der mathematischen Aktivität am Arbeitsplatz beantwortet. Die Fragen sind in Tabelle 5-1 geordnet.

Verwenden dieser Fragen

Um herauszufinden, wie die Interviews strukturiert werden könnten und um den Studenten ein Modell zur Verfügung zu stellen, haben wir Sandras Ehemann John Bethell interviewt, der Beschichtungsinspektor für ein Ingenieurbüro ist. Auf die Frage nach seinem Job antwortete John: "Ich streite für meinen Lebensunterhalt." Anschließend beschrieb er seine tägliche Arbeit bei der Inspektion von Auftragnehmern, die Wassertürme streichen. Da die meisten Kommunen bei der Lackierung eines Wasserturms Verträge mit dem niedrigsten Bieter schließen, beauftragen sie oft ein Ingenieurbüro, um sicherzustellen, dass der Auftragnehmer gemäß den Spezifikationen arbeitet. Da der Auftragnehmer ein niedriges Gebot abgegeben hat, gibt es starke

TABELLE 5-1: Fragen am Arbeitsplatz

  • Welche Mengen werden von den interviewten Personen gemessen oder gezählt?
  • Welche Werkzeuge werden zum Messen oder Zählen verwendet?
  • Warum ist es wichtig, diese Größen zu messen oder zu zählen?
  • Welche Größen berechnen oder berechnen sie?
  • Welche Tools werden für die Berechnung verwendet?
  • Warum ist es wichtig, diese Größen zu berechnen?
  • Welche Informationen werden bei der Berechnung einer Größe benötigt und welche Berechnungen werden durchgeführt, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten?
  • Gibt es verschiedene Möglichkeiten, dasselbe zu berechnen?
  • Wie werden Mengen verfolgt oder in diesem Arbeitsbereich dargestellt?
  • Sammeln Sie Beispiele für Grafiken, Diagramme, Tabellen usw., die im Unternehmen verwendet werden.
  • Wie werden Informationen Kunden oder anderen, die im Unternehmen arbeiten, präsentiert?
  • Welche Arten von Vergleichen werden mit berechneten Größen angestellt?
  • Warum sind diese Vergleiche wichtig?
  • Welche Aktionen werden durch die Interpretation der Berechnungen in Gang gesetzt?

finanzielle Anreize für den Auftragnehmer, Kompromisse bei der Qualität einzugehen, um Gewinn zu erzielen.

In seiner Arbeit führt John verschiedene Arten von Inspektionen durch. Er hat zum Beispiel ein magnetisches Instrument, um die Dicke der Farbe nach dem Auftragen auf den Turm zu überprüfen. Wenn es einen "dünnen" Messwert ergibt, stellen Auftragnehmer die Technologie oft in Frage. Um für die Ablesung zu argumentieren, verwendet John die Oberfläche des Tanks, die Anzahl der verwendeten Farbdosen, das Farbvolumen in der Dose und ein Verständnis des Prozentsatzes dieses Volumens, der verdunstet, um die durchschnittliche Dicke der trockenen Beschichtung zu berechnen . Andere Beispiele aus seiner Arbeitswelt sind die Verwendung von Tischen und Messgeräten unterschiedlicher Art.

Einige Beispiele für studentische Arbeiten Students

Als die Schule begann, begannen die Schüler an ihren Projekten zu arbeiten. Obwohl viele der Sponsoren anfangs angaben, dass ihre Arbeit keine mathematischen Dimensionen habe, konnten die Studenten den Sponsoren oft Orte zeigen, an denen die Mathematik, die wir studierten, zu finden war. Jackie arbeitete zum Beispiel mit einem Pflanzen- und Bodenwissenschaftler zusammen. Sie war fasziniert von der Art und Weise, wie die Gewichtsmessung verwendet wird, um Samen zu zählen. Zuerst würde ihr Sponsor eine Testcharge von 100 Samen wiegen, um ein Benchmark-Gewicht zu generieren. Dann würde der Wissenschaftler, anstatt eine große Anzahl von Samen zu zählen, eine Menge Samen wiegen und die Anzahl der Samen berechnen, die ein solches Gewicht enthalten würde.

Rebecca arbeitete mit einem Teppichleger zusammen, der bei der Kostenschätzung die Abmessungen rechteckiger Räume aus dem Bauplan eines Architekten ablieste, multiplizierte, um die Fläche des Raums in Quadratmetern zu ermitteln (wo nötig Umbauten vornahm), dann mit den Kosten pro Quadratmeter multiplizierte ( die von der Art des Teppichs abhingen), um die Kosten des Teppichs zu berechnen. Der Zweck dieser Schätzungen bestand darin, dem Architekten ein Angebot zu erstellen, bei dem das Angebot so niedrig wie möglich sein sollte, ohne den Auftrag unrentabel zu machen. Rebecca verwendete eine Tabelle (Tabelle 5-2), um der Klasse dieses Verfahren zu erklären.

Joe und Mick, die ebenfalls auf dem Bau arbeiten, fanden heraus, dass es beim Verlegen von Rohren eine Faustregel "eins nach dem anderen" gibt. Beim Ausheben eines Grabens für die Verlegung des Rohrs müssen die nicht parallelen Seiten des trapezförmigen Querschnitts eine Neigung von 1 Fuß nach unten für jeden Fuß im Durchmesser aufweisen. Dieses Verhältnis garantiert, dass der Schmutz im Loch nicht auf sich selbst herunterrutscht. Wenn also am Boden des Lochs das Trapez eine bestimmte Breite haben muss, um in das Rohr zu passen, muss das Loch auf Bodenhöhe diese Breite plus die doppelte Tiefe des Lochs haben. Im Voraus zu wissen, wie breit das Loch sein muss, vermeidet langwieriges und kostspieliges Ausprobieren.

Andere Studenten stellten fest, dass Funktionen oft in kulturelle Artefakte eingebettet waren, die am Arbeitsplatz gefunden wurden. Zum Beispiel brachte ein Student, der eine Arztpraxis aufsuchte, ein Instrument zur Vorhersage des Geburtstermins von Schwangeren mit und lieferte Informationen über das durchschnittliche fetale Gewicht und die durchschnittliche Länge des Fötus (Abbildung 5-1).

TABELLE 5-2: Arbeitsblatt Teppichkosten

ABBILDUNG 5-1: Schwangerschaftsrad

Fazit

Während die Komplexität der Organisation dieser Art von Projekt nicht minimiert werden sollte&mdass die Vermittlung von Sponsoren, die Einholung der elterlichen Erlaubnis und die Besorgnis der Administratoren und der Eltern über die Notwendigkeit von außerschulischen Tätigkeiten&mdass wir nach wie vor fasziniert sind vom Potenzial solcher Projekte, Schülern zu helfen, Mathematik zu sehen, in der Welt um sie herum. Die Idee, zentrale mathematische Objekte für einen Kurs zu identifizieren und dann Wege zu entwickeln, um diese Objekte in der Erfahrung der Schüler zu identifizieren, scheint eine wichtige Alternative zur Verwendung von anwendungsbasierten Materialien zu sein, die von Entwicklern geschrieben wurden, deren Leben und soziale Welt sich möglicherweise stark von denen anderer unterscheiden Studenten.

Verweise

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Eckert, P. (1989). Jocks und Burnouts: Soziale Kategorien und Identität im Gymnasium. New York: Teachers College Press.

Fey, J.T., Heid, M.K., et al. (1995). Konzepte in der Algebra: Ein technologischer Ansatz. Dedham, MA: Janson-Publikationen.

Kieran, C., Boileau, A., & Garancon, M. (1996). Einführung der Algebra durch einen technologiegestützten, funktionalen Ansatz. In N. Bednarz et al. (Hrsg.), Ansätze zur Algebra, (S. 257-293). Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, Niederlande.

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Russell, B. (1910). Philosophische Essays. London: Longmans, Grün.

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Serres, M. (1982). Mathematik und Philosophie: Was Thales sah &hellip In J. Harari & D. Bell (Hrsg.), Hermes: Literatur, Wissenschaft, Philosophie , (S. 84-97). Baltimore, MD: Johns Hopkins.

Thompson, P. (1993). Quantitatives Denken, Komplexität und additive Strukturen. Erziehungswissenschaft in Mathematik, 25, 165-208.

Yerushalmy, M. & Schwartz, J.L. (1993). Die Chance ergreifen, Algebra mathematisch und pädagogisch interessant zu machen. In T. A. Romberg, E. Fennema & T. P. Carpenter (Hrsg.), Integration der Forschung zur grafischen Darstellung von Funktionen, (S. 41-68). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Anmerkungen

Für weitere Details siehe Chazan (1996).

Näheres zu den sozialen Gruppen von Gymnasiasten findet sich bei Eckert (1989).

Unsere Ideen wurden stark von Schwartz & Yerushalmy (1992) und Yerushalmy & Schwartz (1993) beeinflusst und entsprechen dem Ansatz von Fey, Heid et al. (1995), Kieran, Boileau & Garancon (1996), Nemirovsky (1996) und Thompson (1993).

DANIEL CHAZAN ist Associate Professor für Lehrerbildung an der Michigan State University. Zur Unterstützung seiner Forschung im Bereich des Lehrens und Lernens in Mathematik hat er Algebra auf Gymnasialniveau unterrichtet. Zu seinen Interessen gehören der Mathematikunterricht durch die Untersuchung der Ideen der Schüler, der Einsatz von Computern zur Unterstützung der Schülerforschung und das Potenzial der Geschichte und Philosophie der Mathematik, den Unterricht zu beeinflussen.

SANDRA CALLES IST BETHELL unterrichtet seit 10 Jahren Mathematik und Spanisch an der Holt High School. Darüber hinaus hat sie Diplomarbeiten an der Michigan State University und der Western Michigan University abgeschlossen. Sie hat Interesse an der Mathematikreform, insbesondere daran, den Bedürfnissen unterschiedlicher Lernender in Algebrakursen gerecht zu werden.

Notrufe

Aufgabe

Eine Stadt wird von zwei verschiedenen Ambulanzunternehmen bedient. Stadtprotokolle zeichnen das Datum, die Uhrzeit des Anrufs, das Krankenwagenunternehmen und die Reaktionszeit für jeden Notruf auf (Tabelle 1). Analysieren Sie diese Daten und schreiben Sie einen Bericht an den Stadtrat (mit unterstützenden Diagrammen und Grafiken), in dem Sie darüber informiert werden, welches Krankenwagenunternehmen die 911-Betreiber für Anrufe aus dieser Region entsenden sollten.

TABELLE 1: Krankenwagen-Versandprotokollblatt, 1. Mai und 30. Mai

DATUM DES ANRUFS

Kommentar

Dieses Problem konfrontiert den Studenten mit einer realistischen Situation und einer Datensammlung zu den Reaktionszeiten zweier Rettungswagen auf Notrufe. Die Daten, die dem Schüler zur Verfügung gestellt werden, sind normalerweise "unordentlich" - nur ein Protokoll der Anrufe und Antwortzeiten, chronologisch geordnet. Die Frage ist, wie man sie versteht. Das Auffinden von Mustern in Daten wie diesen erfordert eine produktive Mischung aus gesundem Mathematikverstand und intellektueller Detektivarbeit. Es ist die Art von Argumentation, die Schüler in der Lage sein sollten, zu argumentieren, die sich in der realen Welt auszahlt.

Mathematische Analyse

In diesem Fall ist eine numerische Analyse nicht besonders aussagekräftig. Im Durchschnitt liegen die Unternehmen in etwa gleichauf: Arrow hat eine durchschnittliche Reaktionszeit von 11,4 Minuten gegenüber 11,6 Minuten bei Metro. Auch die Verbreitung der Daten ist wenig hilfreich. Die Verteilungsbereiche sind genau gleich: von 6 Minuten bis 19 Minuten. Die Standardabweichung der Reaktionszeit von Arrow ist etwas länger (4,3 Minuten gegenüber 3,4 Minuten bei Metro), was darauf hindeutet, dass die Reaktionszeiten von Arrow etwas stärker schwanken.

Graphen der Reaktionszeiten (Abbildungen 1 und 2) zeigen interessante Merkmale. Beide Unternehmen, insbesondere Arrow, scheinen eine bimodale Verteilung zu haben, das heißt, es gibt zwei Datencluster ohne viele Daten dazwischen.

ABBILDUNG 1: Verteilung der Reaktionszeiten von Arrow

ABBILDUNG 2: Verteilung der Reaktionszeiten von Metro

Die Verteilungen für beide Unternehmen deuten darauf hin, dass noch andere Faktoren am Werk sind. Könnte ein bestimmter Treiber das Problem sein? Könnten die langsamen Reaktionszeiten für eines der beiden Unternehmen an bestimmten Wochentagen oder zu bestimmten Tageszeiten liegen? Diagramme der Reaktionszeit im Vergleich zur Tageszeit (Abbildungen 3 und 4) geben Aufschluss über diese Fragen.

ABBILDUNG 3: Pfeil-Antwortzeiten nach Tageszeit

ABBILDUNG 4: Reaktionszeiten der Metro nach Tageszeit

Diese Grafiken zeigen, dass die Reaktionszeiten von Arrow schnell waren, außer zwischen 5:30 Uhr und 9:00 Uhr, als sie im Durchschnitt etwa 9 Minuten langsamer waren. Ebenso waren die Reaktionszeiten von Metro schnell, außer zwischen 15:30 Uhr und 18:30 Uhr, als sie etwa 5 Minuten langsamer waren. Vielleicht machen die Standorte der Unternehmen Arrow anfälliger für die morgendliche Rushhour und Metro anfälliger für die nachmittags Rushhour. Auf der anderen Seite sind die Mitarbeiter in der Frühschicht von Arrow oder der Nachmittagsschicht von Metro möglicherweise nicht effizient. Um langsame Antworten zu vermeiden, könnte man dem Stadtrat empfehlen, morgens Metro und nachmittags Arrow zu rufen. Ein wenig Detektivarbeit in den Quellen der Unterschiede zwischen den Unternehmen kann eine bessere Empfehlung ergeben.

Erweiterungen

Vergleiche zwischen zwei Stichproben in unterschiedlichen Kontexten und Reaktionszeiten für verschiedene Dienste (Taxis, Computer-Helpdesks, 24-Stunden-Hotlines bei Automobilherstellern) sind eine Klasse unter vielen. Je nach den Umständen können die Daten sehr unterschiedliche Geschichten erzählen. Selbst in der obigen Situation, wenn das zweite Diagrammpaar nicht so klare Erklärungen geliefert hätte, hätte man argumentieren können, dass die Reaktionszeiten für Arrow zwar im Durchschnitt besser waren, aber der Spread größer war, was ihre "Extreme" riskanter machte. Die Grundidee besteht darin, verschiedene Analyse- und Darstellungstechniken zu verwenden, um Daten einen Sinn zu geben, wenn die wichtigen Faktoren nicht unbedingt im Voraus bekannt sind.

Schätzungen auf der Rückseite des Umschlags

Aufgabe

Üben Sie "hinter dem Umschlag" Schätzungen basierend auf groben Näherungen, die aus gesundem Menschenverstand oder alltäglichen Beobachtungen abgeleitet werden können. Beispiele:

  • Stellen Sie sich einen Mathematiklehrer an einer öffentlichen High School vor, der der Meinung ist, dass die Schüler fünf Nächte pro Woche arbeiten sollten, durchschnittlich etwa 35 Minuten pro Nacht, konzentrierte, aufgabenbezogene Arbeiten erledigen und alle Hausaufgaben mit Kommentaren und Korrekturen benoten möchten. Was ist eine angemessene Stundenzahl pro Woche, die ein solcher Lehrer für die Benotung der Hausaufgaben aufwenden sollte?
  • Wie viel Papier kostet Die New York Times in einer Woche verwenden? Ein Papierunternehmen, das sich als Alleinlieferant bewerben möchte, muss wissen, ob es derzeit über ausreichende Kapazitäten verfügt. Wenn das Unternehmen einen zweiwöchigen Zeitungsvorrat lagern würde, wird dann sein leeres 14.000 Quadratmeter großes Lager groß genug sein?

Kommentar

Vor etwa 50 Jahren fragte der Physiker Enrico Fermi seine Studenten an der University of Chicago: "Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?" Durch solche Fragen wollte Fermi, dass seine Schüler Schätzungen anstellten, die grobe Näherungen beinhalteten, damit ihr Ziel nicht die Präzision, sondern die Größenordnung ihres Ergebnisses war. Daher nennen viele Menschen diese Art von Fragen heute "Fermi-Fragen". Diese meist groben Berechnungen erfordern oft nicht viel mehr als gesunden Menschenverstand, alltägliche Beobachtungen und einen Zettel, etwa die Rückseite eines gebrauchten Briefumschlags.

Wissenschaftler und Mathematiker verwenden die Idee von Größenordnung, normalerweise ausgedrückt als nächste Zehnerpotenz, um einen groben Eindruck von der Größe einer Größe zu geben. In alltäglichen Gesprächen verwenden die Leute eine ähnliche Idee, wenn sie davon sprechen, "im richtigen Stadion zu sein". Ein Vollzeitjob zum Mindestlohn bringt zum Beispiel ein Jahreseinkommen in der Größenordnung von 10.000 US-Dollar oder 10 4 US-Dollar. Einige Führungskräfte von Unternehmen und Profisportler machen Jahresgehälter in der Größenordnung von 10.000.000 US-Dollar oder 10 7 US-Dollar. Um zu sagen, dass sich diese Gehälter um den Faktor 1000 oder 10 3 unterscheiden, kann man sagen, dass sie sich um drei Größenordnungen unterscheiden. Ein solcher Mangel an Präzision mag unwissenschaftlich oder unmathematisch erscheinen, aber solche Näherungen sind sehr nützlich, um festzustellen, ob eine genauere Messung möglich oder notwendig ist, welche Art von Maßnahmen erforderlich sein könnte oder ob das Ergebnis einer Berechnung "im richtigen Rahmen" liegt ." Bei der Wahl einer Strategie zum Schutz einer vom Aussterben bedrohten Art planen Wissenschaftler beispielsweise anders, wenn es 500 Tiere gibt, als wenn es 5000 gibt. Auf der anderen Seite ist es nicht notwendig zu bestimmen, ob 5.200 oder 6.300 eine bessere Schätzung sind, da die Strategien wahrscheinlich die gleichen sein werden.

Sorgfältiges Argumentieren mit alltäglichen Beobachtungen kann in der Regel zu Fermi-Schätzungen führen, die innerhalb einer Größenordnung der genauen Antwort (sofern vorhanden) liegen. Fermi-Schätzungen ermutigen die Schüler, mit ungefähren Mengen und unsicheren Informationen kreativ zu argumentieren. Erfahrungen mit einem solchen Verfahren können einer einzelnen Funktion im täglichen Leben helfen, die Angemessenheit von numerischen Berechnungen, von Situationen oder Ideen am Arbeitsplatz oder einer vorgeschlagenen Steuersenkung zu bestimmen. Eine kurze Schätzung eines umsatz- oder gewinnsteigernden Programms kann zeigen, dass die Idee vergleichbar ist mit dem Vorschlag, dass General Motors in den Sommerlimonadenmarkt in Ihrer Nachbarschaft einsteigt. Eine schnelle Schätzung könnte weitere Untersuchungen anregen oder die Begründung liefern, die Idee zu verwerfen.

Fast jede numerische Behauptung kann als Fermi-Frage behandelt werden, wenn dem Problemlöser nicht alle notwendigen Hintergrundinformationen zur Verfügung stehen. In einer solchen Situation kann man die relevanten Zahlen grob schätzen, einige Berechnungen durchführen und dann Schätzungen erstellen.

Mathematische Analyse

Die Beispiele werden unten separat gelöst.

Hausaufgaben benoten

Obwohl viele Komponentenfaktoren von Lehrer zu Lehrer oder sogar von Woche zu Woche stark variieren, sind grobe Berechnungen nicht schwer. Einige wichtige Faktoren, die für den Lehrer zu berücksichtigen sind, sind: wie viele Klassen er oder sie unterrichtet, wie viele Schüler in jeder Klasse sind, wie viel Erfahrung hat der Lehrer im Allgemeinen und hat der Lehrer die Klassen zuvor unterrichtet und sicherlich, wie Teil des Unterrichtsstils, die Art der Hausaufgaben, die der Lehrer vergibt, ganz zu schweigen von der Effizienz des Lehrers bei der Benotung.

Angenommen, der Lehrer hat 5 Klassen mit durchschnittlich 25 Schülern pro Klasse. Da der Lehrer beabsichtigt, Korrekturen und Kommentare zu schreiben, nehmen Sie an, dass die Arbeiten der Schüler mehr als eine Liste von Antworten enthalten und sie zeigen einige Schülerarbeiten und erklären möglicherweise einige der Lösungen. Die Benotung solcher Arbeiten kann jeweils bis zu 10 Minuten oder vielleicht sogar länger dauern. Unter der Annahme, dass der Lehrer sie jeweils innerhalb von 3 Minuten benoten kann, beträgt die Benotungszeit des Lehrers im Durchschnitt:

Dies ist eine beeindruckend hohe Zahl, insbesondere für einen Lehrer, der bereits fast 25 Stunden pro Woche im Unterricht verbringt, etwas zusätzliche Zeit in der Vorbereitung und etwas Zeit für die Begegnung mit einzelnen Schülern. Ist es vernünftig, von Lehrern zu erwarten, dass sie so viel Zeit investieren? Welche Kompromisse oder andere Änderungen könnte der Lehrer machen, um die Zeit zu reduzieren? Die obige Berechnung bietet vier Möglichkeiten: Reduzieren Sie den Zeitaufwand für die einzelnen Hausaufgaben, reduzieren Sie die Anzahl der Schüler pro Klasse, reduzieren Sie die Anzahl der Unterrichtsstunden pro Tag oder reduzieren Sie die Anzahl der Tage pro Woche, an denen Hausaufgaben gesammelt werden. Wenn die Lehrkraft beschließt, jeden Abend höchstens 2 Stunden mit der Benotung zu verbringen, für wie viele Schüler sollte die Lehrkraft insgesamt verantwortlich sein? Diese Berechnung ist eine teilweise Umkehrung der obigen:

Wenn der Lehrer noch 5 Klassen hat, wären das 8 Schüler pro Klasse!

Die New York Times

Die Beantwortung dieser Frage erfordert zwei vorläufige Schätzungen: die Auflage von the Die New York Times und die Größe der Zeitung. An Sonntagen werden die Antworten wahrscheinlich anders ausfallen. Obwohl Die New York Times ist eine überregionale Zeitung, die Zahl der Abonnenten außerhalb des Großraums New York ist im Vergleich zur Zahl innerhalb der Metropolregion wahrscheinlich gering. Die Bevölkerung der Metropolregion New York beträgt etwa zehn Millionen Menschen. Da die meisten Familien höchstens ein Exemplar kaufen und nicht alle Familien kaufen Die New York Times, könnte die Auflage etwa 1 Million Zeitungen pro Tag betragen. (Eine Auflage von 500.000 erscheint mir zu klein und 2 Millionen zu groß.) Die Sonntags- und Wochentagsausgaben haben wahrscheinlich unterschiedliche

Zirkulationen, gehen aber davon aus, dass sie gleich sind, da sie sich wahrscheinlich um weniger als einen Faktor von zwei oder weniger als eine Größenordnung unterscheiden. Im gefalteten Zustand ist eine Wochentagsausgabe des Papiers etwa 1/2 Zoll dick, etwas mehr als 1 Fuß lang und etwa 1 Fuß breit. Eine Sonntagsausgabe des Papiers hat die gleiche Breite und Länge, aber vielleicht 2 Zoll dick. Eine Woche lang würden die Papiere dann 6 × 1/2 + 2 = 5 Zoll dick gestapelt, für ein Gesamtvolumen von ungefähr 1 Fuß × 1 Fuß × 5/12 Fuß = 0,5 Fuß 3 .

Der gesamte Umlauf würde dann etwa 1/2 Million Kubikfuß Papier pro Woche oder etwa 1 Million Kubikfuß für einen zweiwöchigen Vorrat erfordern.

Ist das Lager des Unternehmens groß genug? Das Papier wird auf Rollen geliefert, aber um die Schätzungen zu vereinfachen, nehmen Sie an, dass es gestapelt ist. Wenn es 10 Fuß hoch gestapelt wäre, würde die Versorgung 100.000 Quadratmeter Bodenfläche erfordern. Die 14.000 Quadratmeter große Lagerhalle des Unternehmens wird wahrscheinlich nicht groß genug sein, da ihre Größe um fast eine Größenordnung von der Schätzung abweicht. Die Auflagenschätzung und die Größe der Zeitungsschätzung sollten jeweils innerhalb eines Faktors von 2 liegen, was bedeutet, dass die Schätzung von 100.000 Quadratfuß höchstens um einen Faktor 4 und weniger als eine Größenordnung abweicht.

Wie groß wird ein Lager benötigt? Ein Morgen ist 43.560 Quadratfuß groß, also werden ungefähr zwei Morgen Land benötigt. Alternativ würde eine Lagerhalle mit einer Größe von 300 ft x 300 ft (der Länge eines Fußballfelds in beide Richtungen) 90.000 Quadratfuß Grundfläche umfassen, was eine ungefähre Vorstellung von der Größe gibt.

Erweiterungen

Nachdem sie einige Erfahrungen mit solchen Problemen gesammelt haben, können die Schüler ermutigt werden, den Einheiten große Aufmerksamkeit zu schenken und bereit zu sein, Behauptungen über die Genauigkeit ihrer Schätzungen aufzustellen und zu unterstützen. Auf Einheiten zu achten und Einheiten als algebraische Größen in Berechnungen einzubeziehen, ist eine gängige Technik in den Ingenieurwissenschaften und den Naturwissenschaften. Über eine Formel nachzudenken, indem nur die Einheiten beachtet werden, wird als Dimensionsanalyse bezeichnet.

Manchmal ist es hilfreich, statt einer einzelnen Schätzung Schätzungen der Ober- und Untergrenzen vorzunehmen. Ein solcher Ansatz verstärkt die Idee, dass eine genaue Antwort nicht das Ziel ist. In vielen Situationen könnten die Schüler zuerst Ober- und Untergrenzen schätzen und dann einige reale Daten sammeln, um festzustellen, ob die Antwort zwischen diesen Grenzen liegt. Beim traditionellen Spiel zum Erraten der Anzahl von Jelly Beans in einem Glas beispielsweise sollten alle Schüler in der Lage sein, innerhalb einer Größenordnung oder vielleicht innerhalb eines Faktors von zwei zu schätzen. Die genaueste Vermutung birgt jedoch einen gewissen Zufall.

Fermi-Fragen sind außerhalb des Arbeitsplatzes nützlich. Einige Fermi-Fragen haben politische Auswirkungen:

  • Wie viele Kilometer Straßen gibt es in Ihrer Stadt oder Gemeinde? Der Polizeichef erwägt, die Polizeipräsenz zu erhöhen, damit jede Straße mindestens alle 4 Stunden mit dem Auto patrouilliert wird.
  • Wann wird Ihre Stadt ihre Deponie füllen? Ist dies eine sehr dringende Angelegenheit, die das Abfallwirtschaftspersonal der Stadt eingehend prüfen muss?
  • In seiner Rede zur Lage der Nation 1997 erneuerte Präsident Clinton seine Forderung nach einem Steuerabzug von bis zu 10.000 US-Dollar für die Studiengebühren. Er schätzt, dass 16,5 Millionen Studenten davon profitieren werden. Ist dies eine vernünftige Schätzung der Zahl derer, die den Steuerabzug in Anspruch nehmen könnten? Wie viel kostet der Abzug an entgangenen Bundeseinnahmen?

Das Erstellen von Fermi-Problemen ist einfach. Stellen Sie einfach quantitative Fragen, für die es keine praktische Möglichkeit gibt, genaue Werte zu ermitteln. Die Schüler könnten ermutigt werden, sich selbst zu erfinden. Beispiele sind: „Wie viele Eichen gibt es in Illinois?“ oder „Wie viele Menschen in den USA haben letzte Nacht Hühnchen zum Abendessen gegessen?“ „Wenn alle Menschen auf der Welt ins Meer springen würden, wie viel würde es? den Wasserstand erhöhen?" Geben Sie den Schülern die Möglichkeit, ihre eigenen Fermi-Probleme zu entwickeln und sie miteinander zu teilen. Dies kann zu echtem mathematischen Denken anregen.

Fahrstuhlplanung

Aufgabe

In einigen Gebäuden können alle Aufzüge zu allen Stockwerken fahren, während die Aufzüge in anderen darauf beschränkt sind, nur auf bestimmten Stockwerken zu halten. Was ist der Vorteil von Aufzügen, die nur zu bestimmten Etagen fahren? Wann lohnt es sich, dies einzuführen?

Kommentar

Die Planung von Aufzügen ist ein häufiges Beispiel für ein Optimierungsproblem, das in allen Bereichen der Wirtschaft und Industrie Anwendung findet. Eine optimale Planung im Allgemeinen kann nicht nur Zeit und Geld sparen, sondern auch zur Sicherheit beitragen (z. B. in der Luftfahrtindustrie). Das Aufzugsproblem veranschaulicht ferner ein wichtiges Merkmal vieler wirtschaftlicher und politischer Argumente - das Dilemma, gleichzeitig mehrere unterschiedliche Bedürfnisse zu optimieren.

Politiker versprechen oft eine Politik, die am wenigsten teuer ist, die meisten Leben rettet und die beste für die Umwelt ist. Denken Sie zum Beispiel an Hochwasserschutz- oder Arbeitsschutzregeln. Wenn wir Glück haben, können wir vielleicht eine Strategie mit den geringsten Kosten finden, eine Strategie, die die meisten Leben rettet oder die Umwelt am wenigsten schädigt. Dies sind jedoch möglicherweise nicht dieselben Strategien: Im Allgemeinen kann man nicht zwei oder mehr unabhängige Optimierungsbedingungen gleichzeitig erfüllen. Dies ist eine wichtige Botschaft für die Schüler, um besser ausgebildete und kritischere Verbraucher und Bürger zu werden.

Bei der Aufzugsproblematik kann die Kundenzufriedenheit durch die Minimierung der durchschnittlichen Aufzugszeit (Wartezeit plus Fahren) für Mitarbeiter in einem Bürogebäude betont werden. Die Minimierung der Wartezeit während der Hauptverkehrszeiten bedeutet, viele Menschen schnell zu befördern, was möglicherweise durch Füllen der Aufzüge und wenige Haltestellen erreicht werden kann. Außerhalb der Stoßzeiten bedeutet die Minimierung der Wartezeit jedoch eine Maximierung der Verfügbarkeit der Aufzüge. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass diese beiden Ziele die gleiche Strategie ergeben. Die beste Strategie für jede Strategie zu finden ist ein mathematisches Problem. Die Wahl einer der beiden Strategien oder eine Kompromissstrategie ist eine Managemententscheidung, keine mathematische Ableitung.

Dieses Beispiel dient der Einführung in ein komplexes Thema, dessen Analyse in der Reichweite von Gymnasiasten liegt. Obwohl die Berechnungen kaum mehr als Arithmetik erfordern, legt die Aufgabe großen Wert auf die Erstellung vernünftiger alternativer Strategien. Die Schüler sollten erkennen, dass einige Konfigurationen (z. B. alle bis auf einen Aufzug in die oberste Etage und der eine in alle anderen) nicht in Betracht gezogen werden müssen, während andere plausibel sind. Um die optimale Lösung zu finden, ist in der Regel eine systematische Bewertung aller möglichen Konfigurationen erforderlich. Eine solche systematische Suche nach dem möglichen Lösungsraum ist in vielen Modellierungssituationen wichtig, in denen eine formal optimale Strategie nicht bekannt ist. Das Erstellen und Bewerten vernünftiger Strategien für die Aufzüge ist für die Mathematik von Gymnasiasten durchaus angemessen und eignet sich gut für durchdachte Gruppenanstrengungen. Wie erfinden Sie neue Strategien? Woher wissen Sie, dass Sie alle plausiblen Strategien in Betracht gezogen haben? Dies sind mathematische Fragen, und sie eignen sich besonders für Gruppendiskussionen.

Die Studierenden sollen in der Lage sein, die Techniken, die zuerst bei der Lösung eines einfachen Falls mit nur wenigen Stockwerken und wenigen Aufzügen entwickelt wurden, anzuwenden, um realistischere Situationen (z. B. 50 Stockwerke, fünf Aufzüge) anzugehen. Die Verwendung der Ergebnisse eines ähnlichen, aber einfacheren Problems, um ein komplizierteres Problem zu modellieren, ist eine wichtige Möglichkeit, in der Mathematik zu argumentieren. Studenten

Sie müssen feststellen, welche Daten und Variablen relevant sind. Beginnen Sie mit der Errichtung der Art von Gebäude&mdasha Hotel, einem Bürogebäude, einem Mehrfamilienhaus? Wie viele Personen befinden sich auf den verschiedenen Etagen? Was sind ihre normalen Ziele (z. B. in erster Linie das Erdgeschoss oder vielleicht ein Dachrestaurant). Was passiert während der Stoßzeiten?

Um bei der Aufzugsaufgabe erfolgreich zu sein, müssen die Schüler zunächst ein mathematisches Modell des Problems entwickeln. Das Modell kann eine grafische Darstellung für jeden Aufzug sein, wobei die Zeit auf der horizontalen Achse und die Stockwerke auf der vertikalen Achse dargestellt sind, oder eine tabellarische Darstellung, die die in jedem Stockwerk verbrachte Zeit anzeigt. Die Schüler müssen die relevanten Variablen identifizieren und vereinfachende Annahmen darüber treffen, welche der möglichen Etagen ein Aufzug besuchen wird.

Mathematische Analyse

In diesem Abschnitt werden einige Details in einem besonders einfachen Fall durchgearbeitet. Stellen Sie sich ein Bürogebäude mit sechs belegten Etagen vor, in dem 240 Mitarbeiter beschäftigt sind, und einem Erdgeschoss, das nicht geschäftlich genutzt wird. Angenommen, es gibt drei Aufzüge, von denen jeder 10 Personen aufnehmen kann. Nehmen Sie weiter an, dass jeder Aufzug im Erdgeschoss ungefähr 25 Sekunden braucht, um sich zu füllen, dann 5 Sekunden braucht, um zwischen den Stockwerken zu wechseln und 15 Sekunden, um sich in jedem Stockwerk zu öffnen und zu schließen, auf dem er hält.

Szenario eins

Was passiert morgens, wenn alle zur Arbeit kommen? Angenommen, alle kommen ungefähr zur gleichen Zeit an und betreten die Aufzüge im Erdgeschoss. Wenn alle Aufzüge alle Stockwerke erreichen und die 240 Personen gleichmäßig auf alle drei Aufzüge verteilt sind, muss jeder Aufzug 8 Fahrten mit jeweils 10 Personen machen.

Wenn Sie eine einzelne Fahrt mit einem Aufzug betrachten, nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass 10 Personen den Aufzug im Erdgeschoss besteigen und dass er auf dem Weg nach oben in jeder Etage hält, da möglicherweise ein Insasse in jede Etage fährt. Addiert man 5 Sekunden, um sich zu jeder Etage zu bewegen, und 15 Sekunden, um zu stoppen, ergeben sich 20 Sekunden für jede der sechs Etagen. Auf dem Weg nach unten, da niemand abgeholt oder abgelassen wird, hält der Aufzug nicht an und dauert 5 Sekunden für jede der sechs Etagen, insgesamt 30 Sekunden. Diese Hin- und Rückfahrt ist in Tabelle 1 dargestellt.

TABELLE 1: Fahrzeit des Aufzugs, Szenario eins

Erdgeschoss

Da jeder Aufzug 8 Fahrten macht, beträgt die Gesamtzeit 1400 Sekunden oder 23 Minuten, 20 Sekunden.

Szenario 2

Nehmen wir nun an, dass ein Aufzug die Stockwerke 1&ndash3 bedient und aufgrund der längeren Fahrt den Stockwerken 4&ndash6 zwei Aufzüge zugewiesen sind. Die Aufzüge nach oben

TABELLE 2: Fahrzeiten des Aufzugs, Szenario zwei

Erdgeschoss

Etagen spart 15 Sekunden für jede der Etagen 1&ndash3, indem sie nicht anhält. Der Aufzug, der die unteren Stockwerke bedient, spart 20 Sekunden für jedes der oberen Stockwerke und spart auch Zeit auf der Rückfahrt. Die Zeiten für diese Fahrten sind in Tabelle 2 aufgeführt.

Unter der Annahme, dass die Mitarbeiter gleichmäßig auf die Etagen verteilt sind (40 Personen pro Etage), befördert Aufzug A 120 Personen mit 12 Fahrten, und die Aufzüge B und C transportieren 120 Personen mit jeweils 6 Fahrten. Diese Fahrten dauern 1200 Sekunden (20 Minuten) für Aufzug A und 780 Sekunden (13 Minuten) für Aufzüge B und C, was zu einer geringen Zeitersparnis (ca. 3 Minuten) gegenüber dem ersten Szenario führt. Da die Aufzüge B und C so viel früher fertig sind als Aufzug A, gibt es wahrscheinlich eine effizientere Lösung.

Szenario 3

Die beiden Umlaufzeiten in Tabelle 2 unterscheiden sich nicht wesentlich, da sich die Aufzüge schnell zwischen den Stockwerken bewegen, aber relativ langsam in den Stockwerken halten. Diese Beobachtung legt nahe, dass eine effizientere Anordnung darin bestehen könnte, jeden Aufzug einem Paar von Stockwerken zuzuordnen. Die Zeiten für ein solches Szenario sind in Tabelle 3 aufgeführt.

Unter der Annahme von 40 Mitarbeitern pro Etage wird jeder Aufzug 80 Personen befördern, was 8 Fahrten erfordert, die insgesamt höchstens 920 Sekunden dauern. Somit ergibt diese Zuweisung von Aufzügen eine Zeitersparnis von fast 35% gegenüber den 1400 Sekunden, die es dauern würde, alle Mitarbeiter über nicht zugewiesene Aufzüge zu befördern.

TABELLE 3: Fahrzeiten des Aufzugs, Szenario 3

Vielleicht ist dies die optimale Lösung. Wenn ja, dann legt die obige Analyse dieses einfachen Falls zwei Hypothesen nahe:

  1. Die optimale Lösung weist jedes Stockwerk einem einzelnen Aufzug zu.
  2. Wenn die Zeit zum Anhalten ausreichend länger ist als die Zeit zum Bewegen zwischen den Stockwerken, sollte jeder Aufzug die gleiche Anzahl von Stockwerken bedienen.

Mathematisch könnte man versuchen zu zeigen, dass diese Lösung optimal ist, indem man alle möglichen Aufzugszuordnungen ausprobiert oder sorgfältig argumentiert, vielleicht indem man zeigt, dass die obigen Hypothesen richtig sind. Praktisch aber egal, denn diese Lösung berücksichtigt nur den morgendlichen Berufsverkehr und ignoriert Zeiten geringer Nutzung.

Die Zuordnung ist in Zeiten geringer Nutzung eindeutig nicht optimal, und ein Großteil der Ineffizienz hängt mit der ersten Hypothese zur Rushhour-Optimierung zusammen: dass jede Etage von einem einzigen Aufzug bedient wird. Unter dieser Bedingung, wenn ein Angestellter im Stockwerk 6 zum Beispiel im Erdgeschoss kurz nach dem Abfahren des Aufzugs C ankommt, muss er oder er fast zwei Minuten warten, bis der Aufzug C zurückkehrt, selbst wenn die Aufzüge A und B frei sind. Es gibt andere Ineffizienzen, die durch die Konzentration auf die Hauptverkehrszeit nicht berücksichtigt werden. Da jede Etage von einem einzigen Aufzug bedient wird, muss ein Mitarbeiter, der beispielsweise von Etage 3 in Etage 6 fahren möchte, über das Erdgeschoss gehen und die Aufzüge wechseln. Die meisten Mitarbeiter würden mehr Flexibilität bevorzugen als einen einzelnen Aufzug, der jede Etage bedient.

In Zeiten, in denen die Aufzüge nicht alle besetzt sind, bieten nicht zugewiesene Aufzüge die schnellste Reaktion und die größte Flexibilität.

Da diese optimale Lösung im Konflikt mit der optimalen Rush-Hour-Lösung steht, sind einige Kompromisse erforderlich. In diesem einfachen Fall könnte Aufzug A vielleicht alle Stockwerke bedienen, Aufzug B könnte die Stockwerke 1-3 bedienen und Aufzug C könnte die Stockwerke 4-6 bedienen.

Die zweite obige Hypothese verdient weitere Überlegungen. Die Effizienz der Rush-Hour-Lösung Tabelle 3 liegt unter anderem an der gleichmäßigen Aufteilung der Mitarbeiter auf die Etagen. Bei einer ungleichmäßigen Verteilung der Mitarbeiter mit beispielsweise 120 der 240 Personen, die in den oberen beiden Etagen arbeiten, müsste Aufzug C 12 Fahrten mit einer Gesamtzeit von 1380 Sekunden machen, was gegenüber nicht zugewiesenen Aufzügen fast keinen Vorteil bringt. Somit muss eine effiziente Lösung in einem realen Gebäude die Verteilung der Mitarbeiter auf die Etagen berücksichtigen.

Da die Haltezeit in jedem Stockwerk dreimal so groß ist wie die Fahrzeit zwischen den Stockwerken (15 Sekunden gegenüber 5 Sekunden), ignoriert diese Lösung die Fahrzeit effektiv, indem jedem Aufzug die gleiche Anzahl von Mitarbeitern zugewiesen wird. Bei höheren Gebäuden wird die Fahrzeit bedeutender. In diesen Fällen sollten den Aufzügen, die die oberen Stockwerke bedienen, weniger Mitarbeiter zugewiesen werden als den Aufzügen, die die unteren Stockwerke bedienen.

Erweiterungen

Das Problem kann noch schwieriger gemacht werden, indem die Anzahl der Aufzüge, die Anzahl der Stockwerke und die Anzahl der Personen, die auf jedem Stockwerk arbeiten, geändert werden. Die Bewegungsgeschwindigkeit von Aufzügen kann durch die Beobachtung von Gebäuden in der Umgebung bestimmt werden. Einige Aufzüge fahren schneller als andere. Ein- und Ausstiegszeiten könnten auch von Schülern gemessen werden, die sammeln

Daten zu lokalen Aufzügen. In ähnlicher Weise könnte die Anzahl der Arbeiter, Aufzüge und Stockwerke aus dem lokalen Kontext entnommen werden.

Eine damit verbundene Frage ist, wohin sollen die Aufzüge gehen, wenn sie nicht benutzt werden? Ist es das Beste für sie, ins Erdgeschoss zurückzukehren? Sollen sie dort bleiben, wo sie zuletzt geschickt wurden? Sollen sie sich gleichmäßig auf die Böden verteilen? Oder sollten sie in Stockwerke mit erwartetem starkem Verkehr gehen? Die Antworten hängen von der Art des Gebäudes und der Tageszeit ab. Ohne Analyse wird es überhaupt nicht klar sein, welche Strategie unter bestimmten Bedingungen am besten ist. In einigen Gebäuden werden die Aufzüge von Computerprogrammen gesteuert, die "lernen" und dann die Verkehrsmuster im Gebäude antizipieren.

Ein anderes Beispiel, das die Schüler leicht im Detail untersuchen können, ist das Problem der Lage einer Feuerwache oder einer Notaufnahme in einer Stadt. Hier geht es vor allem um die Fahrzeiten in die bediente Region mit widersprüchlichen Optimierungszielen: durchschnittliche Zeit vs. maximale Zeit. Ein Standort, der die maximale Reaktionszeit minimiert, erzeugt möglicherweise nicht die geringste durchschnittliche Reaktionszeit. Pendler stehen bei der Wahl des Arbeitsweges oft vor ähnlichen Entscheidungen. Sie möchten möglicherweise die durchschnittliche Zeit, die maximale Zeit oder möglicherweise die Abweichung minimieren, damit ihre Abfahrts- und Ankunftszeiten besser vorhersehbar sind.

Die meisten der bisher diskutierten Optimierungsbedingungen wurden in Zeiteinheiten ausgedrückt. Manchmal ergeben jedoch zwei Optimierungsbedingungen Strategien, deren Ergebnisse in unterschiedlichen (und manchmal inkompatiblen) Maßeinheiten ausgedrückt werden. In vielen Fragen der öffentlichen Ordnung (z. B. Krankenversicherung) sind die Einheiten Leben und Geld. Bei Umweltfragen sind die Einheiten selbst manchmal schwer zu identifizieren (z. B. Lebensqualität).

Wenn eine der Einheiten Geld ist, ist es leicht, teure Strategien zu finden, aber unmöglich, solche zu finden, die praktisch keine Kosten verursachen. In einigen Situationen, z. B. bei der Flugsicherheit, bei der Menschenleben gegen Dollar abgewogen werden, gibt es keine Strategie zur Minimierung verlorener Menschenleben (da zusätzliche Dollars immer zu einer leichten Erhöhung der Sicherheit führen), und die Strategie zur Minimierung von Dollar liegt bei . Es ist offensichtlich, dass ein gewisser Kompromiss erforderlich ist. Die Arbeit mit Modellen verschiedener Lösungen kann den Schülern helfen, die Konsequenzen einiger Kompromisse zu verstehen.

Heizgrad-Tage

Aufgabe

Ein Energieberatungsunternehmen, das Isolierungen und ähnliche Energiespargeräte empfiehlt und installiert, hat eine Kundenreklamation erhalten. Letzten Sommer zahlte sie 540 US-Dollar, um ihren Dachboden zu isolieren, mit der Vorhersage, dass sie damit 10 % ihrer Erdgasrechnungen sparen würde. Ihre Gasrechnung war jedoch höher als im Winter zuvor, und jetzt will sie die Kosten für die Isolierung zurückerstattet bekommen. Sie gibt zu, dass dieser Winter kälter war als der letzte, aber sie hatte immer noch mit Einsparungen gerechnet.

Die Fakten: Diesen Winter hat die Kundin 1.102 Thermen verbraucht, im letzten Winter nur 1.054 Thermen. Dieser Winter war kälter: 5.101 Heizgradtage in diesem Winter im Vergleich zu 4.201 Heizgradtagen im letzten Winter. (Siehe Erläuterung unten.) Wie erklärt ein Vertreter des Energieberatungsunternehmens diesem Kunden, dass die akkumulierten Heizgradtage messen, wie viel kälter dieser Winter war, und erklärt dann, wie er seine erwarteten und seine tatsächlichen Einsparungen berechnen kann.

Kommentar

Das Erklären der Mathematik hinter einer Situation kann eine Herausforderung sein und erfordert eine echte Kenntnis des Kontexts, der Verfahren und der zugrunde liegenden mathematischen Konzepte. Eine solche Kommunikation mathematischer Ideen ist ein leistungsstarkes Lernmittel für Mathematikstudenten sowie eine wichtige Fähigkeit für den Arbeitsplatz. Obwohl das Verfahren für dieses Problem nur Proportionen beinhaltet, erfordert eine gründliche Erklärung der Mathematik hinter dem Verfahren ein Verständnis der linearen Modellierung und der damit verbundenen algebraischen Argumentation, der Akkumulation und anderer Vorläufer der Infinitesimalrechnung sowie ein Verständnis des Energieverbrauchs bei der Hausheizung.

Mathematische Analyse

Der Kunde scheint zu verstehen, dass ein direkter Vergleich des Gasverbrauchs die zusätzlichen Kosten des kälteren Wetters, die erheblich sein können, nicht berücksichtigt. Vor der Berechnung erwarteter oder tatsächlicher Einsparungen benötigt der Kunde jedoch ein gewisses Verständnis der Heizgradtage. Wetterdienste und Öl- und Gasunternehmen verwenden seit vielen Jahren Heizgradtage, um den Energieverbrauch zu erklären und vorherzusagen und um Energieeinsparungen von Isolierungen und anderen Geräten zu messen. Ähnliche Gradtagseinheiten werden auch bei der Untersuchung von Insektenpopulationen und des Pflanzenwachstums verwendet. Das Konzept bietet ein einfaches Maß für die akkumulierte Menge an kaltem oder warmem Wetter über die Zeit. In der folgenden Diskussion werden alle Temperaturen in Grad Fahrenheit angegeben, obwohl der Prozess auch mit Grad Celsius funktioniert.

Angenommen, die Mindesttemperatur in einer Stadt an einem bestimmten Tag beträgt 52 Grad und die Höchsttemperatur 64 Grad. Die Durchschnittstemperatur für den Tag wird dann mit 58 Grad angenommen. Zieht man dieses Ergebnis von 65 Grad (dem Abschaltpunkt für das Heizen) ab, erhält man 7 Heizgrad-Tage für den Tag. Durch das Aufzeichnen von hohen und niedrigen Temperaturen und Berechnen ihres Tagesdurchschnitts können Heizgradtage über einen Monat, einen Winter oder einen beliebigen Zeitraum als Maß für die Kälte dieses Zeitraums akkumuliert werden.

An fünf aufeinanderfolgenden Tagen, zum Beispiel, wenn die Durchschnittstemperaturen 58, 50, 60, 67 und 56 Grad Fahrenheit betrugen, ergibt die Berechnung 7, 15, 5, 0 bzw. 9 Heizgrad-Tage für eine Gesamtakkumulation von 36 Heizgradtagen für die fünf Tage. Beachten Sie, dass der vierte Tag 0 Heizgrad-Tage zur Gesamtsumme beiträgt, da die Temperatur über 65 Grad lag.

Die Beziehung zwischen Durchschnittstemperaturen und Heizgradtagen ist in Abbildung 1 grafisch dargestellt. Die Durchschnittstemperaturen sind entlang des durchgezogenen Liniendiagramms dargestellt. Die Fläche jedes schattierten Rechtecks ​​stellt die Anzahl der Heizgrad-Tage für diesen Tag dar, da die Breite jedes Rechtecks ​​einen Tag beträgt und die Höhe jedes Rechtecks ​​die Gradzahl unter 65 Grad beträgt. Die Summe der Flächen der Rechtecke im Zeitverlauf stellt die Anzahl der Heizgradtage dar, die sich während des Zeitraums angesammelt haben. (Lehrer der Analysis werden Zusammenhänge zwischen diesen Ideen und der Integralrechnung erkennen.)

Die Aussage, dass akkumulierte Heizgradtage proportional zum Gas- bzw kein Gas- oder Heizölverbrauch sein Zweitens sollte ein Tag mit einer Durchschnittstemperatur von 25 Grad (40 Heizgrad-Tage) doppelt so viel Heizleistung erfordern wie ein Tag mit einer Durchschnittstemperatur von 45

ABBILDUNG 1: Tägliche Heizgradtage

Grad (20 Heizgrad-Tage), da die Temperaturdifferenz zur 65-Grad-Grenze doppelt so hoch ist.

Die erste Annahme ist vernünftig, da die meisten Menschen ihre Heizung nicht einschalten würden, wenn die Außentemperatur über 65 Grad liegt. Die zweite Annahme stimmt mit dem Newtonschen Abkühlungsgesetz überein, das besagt, dass die Geschwindigkeit, mit der sich ein Objekt abkühlt, proportional zum Temperaturunterschied zwischen dem Objekt und seiner Umgebung ist. Das heißt, ein Haus, das 40 Grad wärmer ist als seine Umgebung, kühlt doppelt so schnell (und verbraucht daher doppelt so viel Energie, um sich warm zu halten) wie ein Haus, das 20 Grad wärmer ist als seine Umgebung.

Der Kunde, der das Heizgrad-Tage-Modell als Maß für den Energieverbrauch akzeptiert, kann den Verbrauch dieses Winters mit dem des letzten Winters vergleichen. Da 5.101/4.201 = 1,21 war, war dieser Winter 21% kälter als im letzten Winter, und daher sollte jedes Haus 21% mehr Wärme benötigen als im letzten Winter. Wenn diese Kundin die Isolierung nicht installiert hätte, hätte sie 21 % mehr Wärme benötigt als im letzten Jahr, oder etwa 1.275 Therms. Stattdessen benötigte sie nur 5 % mehr Wärme (1.102/1.054 = 1,05), was eine Einsparung von 14 % gegenüber dem, was erforderlich gewesen wäre (1.102/1.275 = 0,86), ergab.

Ein anderer Ansatz wäre, dass die Kundin letztes Jahr 1.054 Therm/4.201 Heizgrad-Tage = 0,251 Therm/Heizgrad-Tag verwendet hat, während sie dieses Jahr 1.102 Therm/5.101 Heizgrad-Tage = . verwendet hat .216 Therm/Heizgrad-Tag, eine Einsparung von 14% nach wie vor.

Erweiterungen

Wie gut ist das Heizgrad-Tage-Modell bei der Vorhersage des Energieverbrauchs? In einem Haus, das ein Thermometer und einen Gaszähler oder ein Manometer an einem Tank hat, könnten die Schüler tägliche Daten zum Gasverbrauch und zu hohen und niedrigen Temperaturen aufzeichnen, um die Genauigkeit des Modells zu testen. Die Datenerhebung würde nur wenige Minuten pro Tag erfordern, wenn die Schüler ein elektronisches Innen-/Außenthermometer verwenden, das hohe und niedrige Temperaturen misst. Natürlich muss das Gas zum Kochen und Erhitzen von Wasser berücksichtigt werden. Für Häuser, in denen der Gastank keine Anzeige hat oder nicht genau genug Daten liefert, könnte ein ähnliches Experiment durchgeführt werden, das die akkumulierten Heizgradtage mit dem Gas- oder Ölverbrauch zwischen den Tankvorgängen in Beziehung setzt.

Es stellt sich heraus, dass in gut abgedichteten modernen Häusern die Abschalttemperatur für das Heizen aufgrund der Hitze, die von Glühbirnen, Geräten, Kochen, Menschen und Haustieren erzeugt wird, unter 65 Grad (manchmal bis zu 55 Grad) liegen kann. Bei Temperaturen, die ausreichend unterhalb des Cutoffs liegen, erweist sich die Linearität als gute Annahme. Die lineare Regression der täglichen Nutzungsdaten (wie oben vorgeschlagen gesammelt) sollte eine Gleichung wie etwa . finden U = -.251(T - 65), wobei T ist die Durchschnittstemperatur und U ist der Gasverbrauch. Beachten Sie, dass die Steigung -.251 der Gasverbrauch pro Heizgrad-Tag und 65 der Grenzwert ist. Beachten Sie auch, dass die Akkumulation von Heizgradtagen eine lineare Gleichung annimmt und sie in eine Proportion umwandelt. Es gibt einige wichtige Datenanalyseprobleme, die durch eine solche Untersuchung angegangen werden könnten. Es ist zum Beispiel manchmal gefährlich, Linearität mit nur wenigen Datenpunkten anzunehmen, doch dieses weit verbreitete Modell geht im Wesentlichen von Linearität nur von einem Datenpunkt aus, der andere Punkt hat Koordinaten von 65 Grad, 0 Gasverbrauch.

Über welchen Temperaturbereich, wenn überhaupt, ist dies eine vernünftige Annahme? Ist die Standardmethode zur Berechnung der Durchschnittstemperatur eine gute Methode? Wenn beispielsweise ein Tag meist nahe 20 Grad ist, sich aber nachmittags für kurze Zeit auf 50 Grad erwärmt, sind 35 Heizgrad-Tage dann ein gutes Maß für den Heizbedarf an diesem Tag? Die Berechnung von Mittelwerten von Funktionen über die Zeit ist ein Standardproblem, das mit Integralrechnung gelöst werden kann. Bei Kenntnis typischer und extremer Temperaturänderungsgeschwindigkeiten könnte dies zu einem Rechenproblem oder einem Problem für die näherungsweise Lösung durch graphische Methoden ohne Kalkül werden, was Hintergrunderfahrungen für einige der wichtigen Ideen in der Infinitesimalrechnung liefert.

Die Schüler könnten auch die tatsächlichen Einsparungen nach der Isolierung eines Hauses in ihrem Schulbezirk untersuchen. Ein Kunde kann in der Regel 8-10% Einsparungen bei der Dämmung von Dächern erzielen. Wenn das Haus jedoch so gestaltet ist, dass die Wände wie Kamine wirken und die Luft aus dem Haus und dem Keller in den Dachboden leiten, können nur sehr geringe Einsparungen erzielt werden. Die Beseitigung erheblicher Leckagen kann hingegen Einsparungen von bis zu 25 % erzielen.

Einige Studien des US-Energieministeriums diskutieren die Beziehung zwischen Heizgradtagen und Leistung und stellen fest, dass die Abschalttemperatur in einigen modernen Häusern niedriger ist. Auch die Landesenergieämter verfügen über nützliche Unterlagen.

Welche Beziehung besteht zwischen Heizgradtagen, die mit Grad Fahrenheit berechnet wurden, wie oben, und Heizgradtagen, die mit Grad Celsius berechnet wurden? Um zu zeigen, dass die richtige Umrechnung eine direkte Proportion ist und nicht die Standard-Umrechnungsformel Fahrenheit-Celsius, erfordert einiges sorgfältiges und anspruchsvolles mathematisches Denken.


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  • Kapitel 1: Grundlagen
    • 1.1: Reelle Zahlen (107)
    • 1.2: Exponenten und Radikale (142)
    • 1.3: Algebraische Ausdrücke (146)
    • 1.4: Rationale Ausdrücke (119)
    • 1.5: Gleichungen (144)
    • 1.6: Komplexe Zahlen (101)
    • 1.7: Modellieren mit Gleichungen (97)
    • 1.8: Ungleichungen (138)
    • 1.9: Die Koordinatenebenengraphen von Gleichungskreisen (151)
    • 1.10: Linien (110)
    • 1.11: Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen (76)
    • 1.12: Modellierungsvariation (63)
    • 1: Kapitelrückblick
    • 1: Kapiteltest (24)
    • 1: Fokus auf Modellierung (12)
    • 2.1: Funktionen (117)
    • 2.2: Funktionsgraphen (109)
    • 2.3: Informationen aus dem Graphen einer Funktion erhalten (83)
    • 2.4: Durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (54)
    • 2.5: Lineare Funktionen und Modelle (55)
    • 2.6: Transformationen von Funktionen (128)
    • 2.7: Funktionen kombinieren (101)
    • 2.8: Eins-zu-Eins-Funktionen und ihre Umkehrungen (120)
    • 2: Kapitelrückblick
    • 2: Kapiteltest (23)
    • 2: Fokus auf Modellierung (32)
    • 3.1: Quadratische Funktionen und Modelle (95)
    • 3.2: Polynomfunktionen und ihre Graphen (103)
    • 3.3: Dividieren von Polynomen (92)
    • 3.4: Reale Nullstellen von Polynomen (124)
    • 3.5: Komplexe Nullstellen und der Fundamentalsatz der Algebra (78)
    • 3.6: Rationale Funktionen (119)
    • 3.7: Polynomiale und rationale Ungleichungen (58)
    • 3: Kapitelrückblick
    • 3: Kapiteltest (16)
    • 3: Fokus auf Modellierung (6)
    • 4.1: Exponentialfunktionen (75)
    • 4.2: Die natürliche Exponentialfunktion (44)
    • 4.3: Logarithmische Funktionen (112)
    • 4.4: Gesetze der Logarithmen (98)
    • 4.5: Exponentielle und logarithmische Gleichungen (115)
    • 4.6: Modellierung mit Exponentialfunktionen (36)
    • 4.7: Logarithmische Skalen (23)
    • 4: Kapitelrückblick
    • 4: Kapiteltest (13)
    • 4: Fokus auf Modellierung (11)
    • 4: Kumulativer Überprüfungstest
    • 5.1: Der Einheitskreis (78)
    • 5.2: Trigonometrische Funktionen reeller Zahlen (118)
    • 5.3: Trigonometrische Grafiken (99)
    • 5.4: Weitere trigonometrische Grafiken (84)
    • 5.5: Inverse trigonometrische Funktionen und ihre Graphen (59)
    • 5.6: Modellieren harmonischer Bewegungen (69)
    • 5: Kapitelrückblick
    • 5: Kapiteltest (15)
    • 5: Fokus auf Modellierung (9)
    • 6.1: Winkelmessung (113)
    • 6.2: Trigonometrie rechter Dreiecke (86)
    • 6.3: Trigonometrische Funktionen von Winkeln (98)
    • 6.4: Inverse trigonometrische Funktionen und rechte Dreiecke (64)
    • 6.5: Das Sinusgesetz (55)
    • 6.6: Das Kosinusgesetz (67)
    • 6: Kapitelrückblick
    • 6: Kapiteltest (21)
    • 6: Fokus auf Modellierung (8)
    • 7.1: Trigonometrische Identitäten (145)
    • 7.2: Additions- und Subtraktionsformeln (90)
    • 7.3: Doppelwinkel-, Halbwinkel- und Produktsummenformeln (129)
    • 7.4: Grundlegende trigonometrische Gleichungen (69)
    • 7.5: Weitere trigonometrische Gleichungen (78)
    • 7: Kapitelrückblick
    • 7: Kapiteltest (22)
    • 7: Fokus auf Modellierung (8)
    • 7: Kumulativer Überprüfungstest
    • 8.1: Polarkoordinaten (85)
    • 8.2: Graphen von Polargleichungen (75)
    • 8.3: Polarform komplexer Zahlen Satz von De Moivre (127)
    • 8.4: Ebenenkurven und parametrische Gleichungen (75)
    • 8: Kapitelrückblick
    • 8: Kapiteltest (9)
    • 8: Fokus auf Modellierung (8)
    • 9.1: Vektoren in zwei Dimensionen (84)
    • 9.2: Das Punktprodukt (60)
    • 9.3: Dreidimensionale Koordinatengeometrie (29)
    • 9.4: Vektoren in drei Dimensionen (56)
    • 9.5: Das Kreuzprodukt (42)
    • 9.6: Gleichungen von Linien und Ebenen (39)
    • 9: Kapitelrückblick
    • 9: Kapiteltest (11)
    • 9: Fokus auf Modellierung (19)
    • 9: Kumulativer Überprüfungstest
    • 10.1: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen (84)
    • 10.2: Lineare Gleichungssysteme in mehreren Variablen (53)
    • 10.3: Matrizen und lineare Gleichungssysteme (77)
    • 10.4: Die Algebra der Matrizen (67)
    • 10.5: Inverse von Matrizen und Matrizengleichungen (65)
    • 10.6: Determinanten und Cramersche Regel (80)
    • 10.7: Teilbrüche (51)
    • 10.8: Systeme nichtlinearer Gleichungen (54)
    • 10.9: Ungleichheitssysteme (85)
    • 10: Kapitelrückblick
    • 10: Kapiteltest (12)
    • 10: Fokus auf Modellierung (16)
    • 11.1: Parabeln (69)
    • 11.2: Ellipsen (76)
    • 11.3: Hyperbeln (63)
    • 11.4: Versetzte Kegelschnitte (71)
    • 11.5: Drehung der Achsen (46)
    • 11.6: Polare Kegelschnittgleichungen (58)
    • 11: Kapitelrückblick
    • 11: Kapiteltest (17)
    • 11: Fokus auf Modellierung (6)
    • 11: Kumulativer Überprüfungstest
    • 12.1: Sequenzen und Summationsnotation (97)
    • 12.2: Arithmetische Folgen (93)
    • 12.3: Geometrische Folgen (109)
    • 12.4: Finanzmathematik (33)
    • 12.5: Mathematische Induktion (39)
    • 12.6: Der Binomialsatz (63)
    • 12: Kapitelrückblick
    • 12: Kapiteltest (13)
    • 12: Fokus auf Modellierung (9)
    • 13.1: Grenzen numerisch und grafisch finden (39)
    • 13.2: Grenzen algebraisch finden (54)
    • 13.3: Tangentenlinien und Ableitungen (49)
    • 13.4: Grenzen bei unendlichen Grenzen von Folgen (46)
    • 13.5: Bereiche (25)
    • 13: Kapitelrückblick
    • 13: Kapiteltest (7)
    • 13: Fokus auf Modellierung (5)
    • 13: Kumulativer Überprüfungstest
    • 14.1: Zählen (95)
    • 14.2: Wahrscheinlichkeit (69)
    • 14.3: Binomiale Wahrscheinlichkeit (44)
    • 14.4: Erwarteter Wert (32)
    • 14.5: Deskriptive Statistik (numerisch) (47)
    • 14.6: Deskriptive Statistik (grafisch) (33)
    • 14.7: Einführung in das statistische Denken (41)
    • 14.8: Einführung in die Inferenzstatistik (31)
    • 14: Kapitelrückblick
    • 14: Kapiteltest (20)
    • 14: Fokus auf Modellierung (7)

    Precalculus: Mathematics for Calculus, 7. Auflage vermittelt den Studierenden eine solide Grundlage in den Prinzipien des mathematischen Denkens. Problemlösung und mathematische Modellierung werden im gesamten Text verstärkt. Die WebAssign-Erweiterung dieses Lehrbuchs bietet den Schülern sofortiges Feedback, umfangreiche Tutorial-Inhalte und ein interaktives, anpassbares eBook.

    • Lies es Links unter jeder Frage springen schnell zum entsprechenden Abschnitt eines vollständigen, interaktiven eBook Dadurch können die Schüler beim Lesen markieren und Notizen machen.
    • Schau es dir an Links bieten Schritt-für-Schritt-Anleitungen mit kurzen, ansprechenden Videos, die sich ideal für visuelle Lerner eignen.
    • Vortragsvideos stehen als Lehrbuch zur Verfügung.
    • Master-It-Tutorials (MI) Zeigen Sie, wie ein ähnliches Problem in mehreren Schritten gelöst werden kann, indem Sie Anweisungen und Ableitungen bereitstellen, damit die Schüler die Konzepte und die Argumentation hinter der Problemlösung verstehen.
    • Videobeispiele (VE) Bitten Sie die Schüler, sich ein Videosegment auf Abschnittsebene anzusehen und dann eine Frage zu diesem Video zu beantworten. Ziehen Sie in Erwägung, das Videobeispiel als Überprüfung vor dem Unterricht oder als Überprüfung der Lektion vor einem Quiz oder Test zuzuweisen.
    • Ausgewählte Fragen enthalten detaillierte Lösungen auf das Problem, verfügbar für Studenten nach Ihrem Ermessen.
    • Fokus auf Modellierung (FoM) Fragen veranschaulichen Modellierungstechniken, um den Schülern beizubringen, wie sie ihre eigenen mathematischen Modelle erstellen können, anstatt vorgefertigte Formeln zu verwenden.
    • Erforsche es (EI) Module helfen den Studierenden, die komplexen Themen des Kurses durch praktische Erkundung und interaktive Simulation zu visualisieren.


    Schau das Video: Schulmathematik vs. Uni Mathematik. Informatikstudium (November 2021).