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2.5: Sterne und Balken - Mathematik


Untersuchen!

Angenommen, Sie haben eine Anzahl identischer Zauberwürfel, die Sie an Ihre Freunde verteilen können. Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit einer einzelnen Reihe von Würfeln.

  1. Finden Sie die verschiedenen Möglichkeiten, wie Sie die bereitgestellten Cubes verteilen können:
    1. Du hast 3 Würfel, die du 2 Leuten geben kannst.
    2. Du hast 4 Würfel, die du 2 Personen geben kannst.
    3. Du hast 5 Würfel, die du 2 Leuten geben kannst.
    4. Du hast 3 Würfel, die du an 3 Personen geben kannst.
    5. Du hast 4 Würfel, die du 3 Leuten geben kannst.
    6. Du hast 5 Würfel, die du an 3 Personen geben kannst.
  2. Stellen Sie eine Vermutung auf, auf wie viele verschiedene Arten Sie 7 Würfel an 4 Personen verteilen könnten. Erklären.
  3. Was wäre, wenn jede Person verpflichtet wäre, zu bekommen mindestens ein Würfel? Wie würden sich Ihre Antworten ändern?

Betrachten Sie das folgende Zählproblem:

Sie haben 7 Kekse, die Sie 4 Kindern geben können. Auf wie viele Arten können Sie dies tun?

Nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um darüber nachzudenken, wie Sie dieses Problem lösen könnten. Sie können davon ausgehen, dass es akzeptabel ist, einem Kind keine Cookies zu geben. Außerdem sind die Cookies alle identisch und die Reihenfolge, in der Sie die Cookies ausgeben, spielt keine Rolle.

Bevor Sie das Problem lösen, hier eine falsche Antwort: Sie könnten vermuten, dass die Antwort (4^7) lauten sollte, denn für jeden der 7 Kekse gibt es 4 Möglichkeiten von Kindern, denen Sie den Keks geben können. Das ist vernünftig, aber falsch. Betrachten Sie einige mögliche Ergebnisse, um zu sehen, warum: Wir könnten die ersten sechs Kekse Kind A und das siebte Keks Kind B zuweisen. Ein anderes Ergebnis würde das erste Keks Kind B und die sechs verbleibenden Kekse Kind A zuweisen. Beide Ergebnisse sind in der Antwort (4^7) enthalten. Aber für unser Zählproblem sind beide Ergebnisse wirklich gleich – Kind A bekommt sechs Kekse und Kind B bekommt einen Keks.

Wie sehen die Ergebnisse tatsächlich aus? Wie können wir sie repräsentieren? Ein Ansatz wäre, ein Ergebnis als eine Folge von vier Zahlen wie folgt zu schreiben:

egin{equation*} 3112, end{equation*}

die das Ergebnis darstellen, bei dem das erste Kind 3 Kekse bekommt, das zweite und dritte Kind jeweils 1 Keks und das vierte Kind 2 Kekse. Auf diese Weise dargestellt, ist die Reihenfolge, in der die Zahlen auftreten, von Bedeutung. 1312 ist ein anderes Ergebnis, weil das erste Kind einen Eins-Keks statt 3 bekommt. Jede Zahl in der Zeichenfolge kann eine ganze Zahl zwischen 0 und 7 sein. Aber die Antwort ist nicht (7^4 ext{.}) We braucht die Summe der Zahlen 7 sein.

Eine andere Möglichkeit, Ergebnisse darzustellen, besteht darin, eine Zeichenfolge aus sieben Buchstaben zu schreiben:

egin{equation*} mbox{ABAADCD} , end{equation*}

Das bedeutet, dass das erste Cookie an Kind A geht, das zweite Cookie an Kind B geht, das dritte und vierte Cookie an Kind A geht und so weiter. Tatsächlich ist dieses Ergebnis identisch mit dem vorherigen – A erhält 3 Kekse, B und C erhalten jeweils 1 und D erhält 2. Jeder der sieben Buchstaben in der Zeichenfolge kann einer der 4 möglichen Buchstaben sein (einer für jedes Kind). , aber die Anzahl solcher Strings ist nicht (4^7 ext{,}), weil hier die Reihenfolge nicht Angelegenheit. Tatsächlich ist eine andere Möglichkeit, das gleiche Ergebnis zu schreiben:

egin{gleichung*} mbox{AAABCDD} . end{gleichung*}

Dies ist die bevorzugte Darstellung des Ergebnisses. Da wir die Briefe in beliebiger Reihenfolge schreiben können, können wir sie auch in alphabetisch zum Zählen bestellen. Also schreiben wir zuerst alle A's, dann alle B's und so weiter.

Überlegen Sie nun, wie Sie ein solches Ergebnis spezifizieren könnten. Wir müssen nur sagen, wann wir von einem Buchstaben zum nächsten wechseln sollen. In Bezug auf Cookies müssen wir sagen, nach wie vielen Cookies wir aufhören, dem ersten Kind Cookies zu geben und dem zweiten Kind Cookies zu geben. Und nach wie vielen wechseln wir dann zum dritten Kind? Und nach wie vielen wechseln wir zum vierten? Eine weitere Möglichkeit, ein Ergebnis darzustellen, ist also wie folgt:

egin{equation*} ***|*|*|** end{equation*}

Drei Kekse gehen an das erste Kind, dann wechseln wir und geben dem zweiten Kind ein Keks, dann wechseln, eins an das dritte Kind, wechseln, zwei an das vierte Kind. Beachten Sie, dass wir 7 Sterne und 3 Balken benötigen – einen Stern für jeden Keks und einen Balken für jeden Wechsel zwischen Kindern, also einen Balken weniger, als es Kinder gibt (wir müssen nicht nach dem letzten Kind wechseln – wir sind fertig) .

Warum haben wir das alles getan? Ganz einfach: Um die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen, 7 Kekse an 4 Kinder zu verteilen, müssen wir nur zählen, wie viele Sterne und Bars Diagramme gibt es. Aber a Sternen- und Balkendiagramm ist nur eine Reihe von Symbolen, einigen Sternen und einigen Balken. Wenn wir anstelle von Sternen und Balken 0 und 1 verwenden würden, wäre es nur eine kleine Zeichenfolge. Wir wissen, wie man diese zählt.

Bevor wir uns zu sehr aufregen, sollten wir das wirklich sicherstellen irgendein Eine Reihe von (in unserem Fall) 7 Sternen und 3 Balken entspricht einer anderen Art, Kekse an Kinder zu verteilen. Betrachten Sie insbesondere eine Zeichenfolge wie diese:

egin{gleichung*} |***||**** end{gleichung*}

Entspricht das einer Cookie-Verteilung? Ja. Es stellt die Verteilung dar, in der Kind A 0 Kekse bekommt (weil wir vor allen Sternen zu Kind B wechseln), Kind B drei Kekse bekommt (drei Sterne vor dem nächsten Balken), Kind C 0 Kekse bekommt (keine Sterne vor dem nächsten Balken) und Kind D bekommt die restlichen 4 Kekse. Egal wie die Sterne und Balken angeordnet sind, wir können Cookies auf diese Weise verteilen. Außerdem können wir die Verteilung von Cookies mit einem Stern- und Balkendiagramm darstellen. Die Verteilung, bei der Kind A 6 Kekse und Kind B 1 Keks bekommt, hat zum Beispiel das folgende Diagramm:

egin{gleichung*} ******|*|| end{gleichung*}

Nach all der Arbeit sind wir endlich bereit zu zählen. Jede Art der Verteilung von Cookies entspricht einem Sternen- und Balkendiagramm mit 7 Sternen und 3 Balken. Es gibt also 10 Symbole, und wir müssen 3 davon als Balken auswählen. So:

egin{equation*} mbox{ Es gibt } {10 choose 3}mbox{ Möglichkeiten, 7 Kekse an 4 Kinder zu verteilen.} end{equation*}

Wenn wir schon dabei sind, können wir auch eine verwandte Frage beantworten: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 Kekse an 4 Kinder zu verteilen, damit jedes Kind mindestens einen Keks bekommt? Was können Sie zu den entsprechenden Sternen- und Balkendiagrammen sagen? Die Charts müssen mit mindestens einem Stern beginnen und enden (damit Kinder A und D Kekse bekommen) und es dürfen auch keine zwei Balken nebeneinander liegen (damit Kinder B und C nicht übersprungen werden). Eine Möglichkeit, dies sicherzustellen, besteht darin, nur Balken in die Zwischenräume zu setzen zwischen die Sterne. Bei 7 Sternen gibt es 6 Punkte zwischen den Sternen, also müssen wir 3 dieser 6 Punkte auswählen, um sie mit Balken zu füllen. Es gibt also ({6 choose 3}) Möglichkeiten, 7 Kekse an 4 Kinder zu verteilen und jedem Kind mindestens einen Keks zu geben.

Eine andere (und allgemeinere) Möglichkeit, dieses modifizierte Problem anzugehen, besteht darin, jedem Kind zunächst ein Cookie zu geben. Nun können die restlichen 3 Kekse ohne Einschränkungen an die 4 Kinder verteilt werden. Wir haben also 3 Sterne und 3 Balken für insgesamt 6 Symbole, von denen 3 Balken sein müssen. Wir sehen also wieder, dass es ({6 choose 3}) Möglichkeiten gibt, die Cookies zu verteilen.

Sterne und Balken können bei anderen Zählproblemen als Kindern und Keksen verwendet werden. Hier ein paar Beispiele:

Beispiel (PageIndex{1})

Ihre liebste mathematische Pizzakette bietet 10 Beläge. Wie viele Pizzen können Sie machen, wenn Sie 6 Beläge haben? Die Reihenfolge der Beläge spielt keine Rolle, aber jetzt sind Wiederholungen erlaubt. Eine mögliche Pizza ist also dreifache Wurst, doppelte Ananas und Zwiebeln.

Lösung

Wir erhalten 6 Beläge (mögliche Wiederholungen zählen). Stellen Sie jeden dieser Beläge als Stern dar. Denken Sie daran, das Menü nacheinander durchzugehen: Sie sehen zuerst Sardellen und springen zur nächsten, Wurst. Sie sagen 3x Ja zu Wurst (verwenden Sie 3 Sterne) und wechseln dann zum nächsten Belag auf der Liste. Du überspringst so lange, bis du zur Ananas kommst, zu der du zweimal ja sagst. Noch ein Schalter und du bist bei Zwiebeln. Du sagst einmal ja. Dann wechselst du so lange, bis du zum letzten Belag kommst und sagst nie wieder Ja (da du schon 6 mal Ja gesagt hast. Es stehen 10 Beläge zur Auswahl, also müssen wir von einem Belag zum nächsten 9 Mal wechseln. Dies sind die Bars.

Nachdem wir nun überzeugt sind, dass wir die richtige Anzahl an Sternen und Balken haben, beantworten wir die Frage einfach: Es gibt 6 Sterne und 9 Balken, also 15 Symbole. Wir müssen 9 davon als Bars auswählen, also ist die Anzahl der Pizzen möglich

egin{gleichung*} {15 choose 9}. end{gleichung*}


2018 AMC 10A Probleme/Problem 11Problem

Wann fairer Standard -seitige Würfel geworfen werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den oberen Flächen kann geschrieben werden als wo ist eine positive ganze Zahl. Was ist ?


Herausgegeben von

PRESH TALWALKAR

Ich betreibe den MindYourDecisions-Kanal auf YouTube, der über 1 Million Abonnenten und 200 Millionen Aufrufe hat. Ich bin auch der Autor von The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking und mehreren anderen Büchern, die bei Amazon erhältlich sind.

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Zur Geschichte habe ich 2007 den Blog Mind Your Decisions gestartet, um ein wenig über Mathematik, persönliche Finanzen, persönliche Gedanken und Spieltheorie zu berichten. Es war eine ziemliche Reise! Ich danke allen, die meine Arbeit geteilt haben, und ich bin sehr dankbar für die Berichterstattung in der Presse, einschließlich der Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics und vielen anderen beliebten Medien.

Ich habe Wirtschaftswissenschaften und Mathematik an der Stanford University studiert.

Die Leute fragen oft, wie ich die Videos mache. Wie viele YouTuber verwende ich gängige Software, um meine Videos vorzubereiten. Sie können auf YouTube nach Tutorials für Animationssoftware suchen, um zu erfahren, wie Sie Videos erstellen. Seien Sie vorbereitet – Animationen sind zeitaufwändig und Software kann teuer sein!

Senden Sie mir gerne eine E-Mail [email protected] . Ich bekomme so viele E-Mails, dass ich vielleicht nicht antworte, aber ich speichere alle Vorschläge für Rätsel/Videothemen.

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Mathe-Puzzles Band 1 bietet klassische Denksportaufgaben und Rätsel mit vollständigen Lösungen für Probleme in den Bereichen Zählen, Geometrie, Wahrscheinlichkeit und Spieltheorie. Band 1 wird bei 75 Rezensionen mit 4,4/5 Sternen bewertet.

Mathe-Puzzles Band 2 ist ein Fortsetzungsbuch mit mehr großen Problemen. (bewertet mit 4,3/5 Sternen bei 21 Bewertungen)

Mathe-Puzzles Band 3 ist der dritte in der Reihe. (bewertet mit 4,3/5 Sternen bei 17 Bewertungen)

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Äpfel verteilen: Mindestens einer an jeden

Das nächste Problem hat eine kleine Wendung.

Was wir bisher besprochen haben, lässt die Möglichkeit zu, dass einige Urnen leer sind. Was ist, wenn wir das nicht zulassen?

Offensichtlich werden die (ununterscheidbaren) Äpfel durch Sterne dargestellt und die (vermutlich unterscheidbaren) Kinder sind die Behälter. Doktor Anthony nahm das zuerst:

Das sieht nach der gleichen Idee aus, aber etwas ist anders. Doktor Mitteldorf sah, dass eine weitere Erklärung sinnvoll wäre:

Wir haben die gleiche Darstellung wie zuvor, aber mit der neuen Anforderung, dass kein Kind mit leeren Händen sein darf, müssen wir fordern, dass keine zwei Balken benachbart sein dürfen. Sie müssen durch Sterne getrennt werden. Anstatt also einfach überall Balken frei zu platzieren, denken wir jetzt an Lücken zwischen Sternen und platzieren nur einen Balken (falls vorhanden) in jeder Lücke. Bei 8 Sternen und 4 Urnen (3 Balken) können wir Balken in jeden der 7 Zwischenräume zwischen den Sternen setzen (nicht außen, denn das würde eine leere Urne hinterlassen):

Dies entspricht der Anordnung:

Diese Methode führt zu der allgemeinen Formel (für (b) Kugeln in (u) Urnen wiederum, wo wir (u-1) Balken in (b-1) Lücken setzen) $<wählen> ext< oder ><wählen>.$

Auch hier können wir unsere Arbeit überprüfen, indem wir entweder alle Möglichkeiten auflisten oder uns dies vorstellen und einige Abkürzungen verwenden:


2.5: Sterne und Balken - Mathematik

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Editor für mathematische Ausdrücke

Wir verwenden das Inklusions-Ausschluss-Prinzip, um Mengen aufzuzählen.

Erinnern Sie sich an das Inklusions-Ausschluss-Prinzip für zwei Sätze:

In diesem Abschnitt werden wir dies auf Sets verallgemeinern, aber zuerst wollen wir es von zwei Sets auf drei Sets erweitern.

Beweis Betrachten Sie als einen Satz und als den zweiten Satz und wenden Sie das Einschluss-Ausschluss-Prinzip für zwei Sätze an. Wir haben: Als nächstes verwenden Sie das Einschluss-Ausschluss-Prinzip für zwei Mengen im ersten Term und verteilen den Schnittpunkt über die Vereinigung im dritten Term, um zu erhalten: Verwenden Sie nun das Einschluss-Ausschluss-Prinzip für zwei Mengen im vierten Term, um zu erhalten: Schließlich ist der Satz im letzten Term nur , also haben wir die endgültige Form des Inklusions-Ausschluss-Prinzips für drei Sätze:

Wir erweitern nun das De Morgansche Gesetz auf drei Sätze.

Der Beweis, dass das De Morgansche Gesetz für zwei Mengen zweimal verwendet wird, ergibt das Ergebnis:

Das nächste Beispiel verwendet das De Morgansche Gesetz (für drei Sätze) in Verbindung mit der Regel für Komplemente und dem Inklusions-Ausschluss-Prinzip (für drei Sätze).

Sei die Menge der Passwörter, die keine Ziffern enthält, sei die Menge der Passwörter, die keine Sonderzeichen enthält, und sei die Menge der Passwörter, die keine Großbuchstaben enthalten. Da unsere Passwörter eine Ziffer, ein Sonderzeichen und einen Großbuchstaben enthalten müssen, suchen wir nach . Nach De Morgans Gesetz (für drei Sätze), Dann nach der Regel für Ergänzungen, wo ist der Satz aller möglichen Passwörter ohne Einschränkungen. Kombinieren Sie die beiden obigen Gleichungen mit dem Inklusions-Ausschluss-Prinzip (für drei Sätze), so haben wir Jeder der Terme auf der rechten Seite kann mit dem Grundprinzip des Zählens berechnet werden. Da es insgesamt 70 verschiedene Zeichen mit 10 Ziffern, 8 Sonderzeichen und 26 Großbuchstaben gibt, ist die Anzahl der akzeptablen Passwörter

Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole MATH, I, S, F, U, N. Da dies 6 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole M, A, T, H, IS, F, U, N. Da dies 8 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole M, A, T, H, I, S, FUN. Da dies 7 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole MATH, IS, F, U, N. Da dies 5 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole MATH, I, S, FUN. Da dies 4 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole M, A, T, H, IS, FUN. Da dies 6 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist die Anzahl der Permutationen der Symbole MATH, IS, FUN. Da dies 3 verschiedene Symbole sind, . Die Anzahl der Elemente in ist . Daher ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten, die Buchstaben in der Phrase MATH IS FUN zu permutieren, die keines der Wörter MATH, IS oder FUN enthalten,

Beachten Sie, dass wir bei unserer Berechnung die Tatsache ausgenutzt haben, dass bestimmte Mengen die gleiche Anzahl von Elementen haben.

Für vier Sets besagt das Inklusions-Ausschluss-Prinzip:

An dieser Stelle wird die Anzahl der Terme ziemlich groß, daher ist die Summationsnotation zu bevorzugen:

Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip (für vier Mengen) ergibt nun: Da die Bedingungen für die vier Variablen gleich sind (), ist die Anzahl der Elemente in jedem Schnittpunkt einer bestimmten Anzahl von Mengen gleich. Also für die sechs Schnittpunkte dieses Formulars für die vier Schnittpunkte dieses Formulars und . Daher,

Wir sind nun bereit, den allgemeinen Fall des Inklusions-Ausschluss-Prinzips darzulegen und zu beweisen.

Beweis Wir beweisen den Satz durch Induktion über die Anzahl der Mengen, . Der Basisfall wurde in Abschnitt 2.1 bewiesen. Für die Induktionshypothese nehmen wir an, dass das Ergebnis für eine Anzahl von Mengen gilt. Wir wollen nun zeigen, dass das Ergebnis für Mengen gilt. Wir werden dies auf ähnliche Weise tun, wie wir in diesem Abschnitt begonnen haben, indem wir das Einschluss-Ausschluss-Prinzip für drei Sätze als Folge des Ergebnisses für zwei Sätze erhalten. Wir betrachten also die Vereinigung der ersten Mengen als eine einzige Menge und erhalten: Im letzten Term können wir den Schnittpunkt über die Vereinigungen verteilen, um eine Vereinigung von Mengen zu erhalten: Wir können die Induktionshypothese anwenden, die Anzahl der Elemente in Diese Vereinigung, und beachtend dass , erhalten wir Wenn wir dies wieder in die erste Gleichung einsetzen und die Induktionshypothese auf den ersten Term in dieser Gleichung anwenden, erhalten wir

Wir präsentieren nun einen zweiten Beweis, der ein Zählargument verwendet, das im Beweis des Zweimengen-Falls verwendet wird.

Beweis (kombinatorischer Beweis)
Nehmen wir an, das ist ein Element der Mengen, . Wir müssen zeigen, dass die vorgeschlagene Formel genau einmal berücksichtigt. Wir werden die Buchhaltung für Begriff für Begriff analysieren. Der erste Term des Inklusions-Ausschluss-Prinzips ist und dieser Term entspricht genau den Zeiten, da er ein Element der Mengen in der Summe ist. Beachten Sie, dass auch . Der zweite Term des Inklusions-Ausschluss-Prinzips ist und dieser Term entspricht genau den Zeiten, denn um in zu sein, müssen beide Sets zu den Sets gehören, die enthalten. Ähnlich ist der dritte Begriff des Inklusions-Ausschluss-Prinzips und dieser Begriff entspricht genau den Zeiten. Schließlich umfasst der Begriff des Inklusions-Ausschluss-Prinzips die Schnittmengen der Mengen. In diesem Begriff wird mal abgerechnet. Die verbleibenden Terme der Einschluss-Ausschluss-Formel enthalten mehr als Schnittmengen und werden daher überhaupt nicht (oder null Mal) berücksichtigt. Insgesamt wird die Anzahl der Fälle, in denen die Einschluss-Ausschluss-Formel berücksichtigt wird, aus dem Binomialsatz mit und und ersetzt und mit bzw. ersetzt. Somit wird die Einschluss-Ausschluss-Formel wie gewünscht berücksichtigt.


Lösung 4 (Alcumus-Lösung 1)

Die Zahlen der drei Arten von Cookies müssen eine Summe von sechs haben. Mögliche Mengen ganzer Zahlen, deren Summe sechs ist, sind Jede Bestellung jedes dieser Sets bestimmt eine andere Auswahl an Cookies. Es gibt 3 Bestellungen für jedes der Sets Es gibt 6 Bestellungen für jedes der Sets Es gibt nur eine Bestellung für . Somit beträgt die Gesamtzahl der Sortimente von sechs Keksen .


Mathcounts Notizen

Bitte schauen Sie sich an, worum es bei diesem Programm geht. Es ist Teamarbeit, Problemlösung, Spaß, Aufbau von Freundschaften und vieles mehr. Die meisten Studenten, die wir bei den Mathcounts Nationals kennengelernt haben, haben alle die ausgewählten Colleges besucht und gedeihen dort.

Prime – eine Zahl, die nicht durch andere Zahlen als 1 und sich selbst geteilt werden kann.

Faktoren – alle ganzen Zahlen, die eine gegebene Zahl gleichmäßig teilen können

Faktorisieren von – die Aufteilung einer beliebigen Zahl in ihre Primkomponenten

Größter gemeinsamer Faktor ( GCF )– die größte Zahl, die ein Faktor von zwei oder mehr gegebenen Zahlen ist

Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Nenner (LCM)– die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von zwei oder mehr gegebenen Zahlen ist

Relativ Prime – zwei Zahlen mit einem GCF von 1

Eine Primzahl ist, wie in der Liste der nützlichen Definitionen angegeben, eine Zahl, die durch keine anderen Zahlen als 1 und sich selbst geteilt werden kann. Die kleinste Primzahl ist 2. [Oder, wie manche Leute behaupten, die seltsamste Primzahl.]

Ganze Zahlen, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzt. Die kleinste zusammengesetzte Zahl ist 4.

1 ist die Ausnahme: Sie gilt weder als Primzahl noch als zusammengesetzte Zahl.

Bei einem Diagramm der ganzen Zahlen 2-100 sind die Primzahlen leicht zu erkennen:

Am einfachsten ist es, sich die kleinsten Primzahlen – nämlich 2, 3, 5, 7 – anzusehen und alle Vielfachen von ihnen aus dem Diagramm zu kreuzen.

Die am häufigsten mit Primzahlen verwechselten Zahlen sind 51, 57 und 91 . Die ersten beiden (51 und 57) sind, wie man durch Aufsummieren der Ziffern zeigt, durch 3 teilbar, während 91 gleich 7x13 ist.

Um zu entscheiden, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, ziehen Sie ihre Quadratwurzel und versuchen Sie, die ursprüngliche Zahl durch alle Primzahlen kleiner als die Quadratwurzel zu teilen. Ist sie durch keines teilbar, ist die Zahl eine Primzahl.


Planungscurriculum

Verbindungen nach Common Core State Standards

ELA/Lesekompetenz

  • RI.5.1 - Zitieren Sie genau aus einem Text, wenn Sie explizit erklären, was der Text sagt, und wenn Sie Rückschlüsse aus dem Text ziehen. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)
  • RI.5.7 - Nutzen Sie Informationen aus mehreren gedruckten oder digitalen Quellen, um die Fähigkeit zu demonstrieren, schnell eine Antwort auf eine Frage zu finden oder ein Problem effizient zu lösen. (5-ESS1-1)
  • RI.5.8 - Erklären Sie, wie ein Autor Gründe und Beweise verwendet, um bestimmte Punkte in einem Text zu unterstützen, und identifizieren Sie, welche Gründe und Beweise welche(n) Punkt(e) stützen. (5-ESS1-1)
  • RI.5.9 - Integrieren Sie Informationen aus mehreren Texten zum gleichen Thema, um das Thema sachkundig zu schreiben oder zu sprechen. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)
  • SL.5.5 - Fügen Sie Multimedia-Komponenten (z. B. Grafiken, Ton) und visuelle Anzeigen in Präsentationen ein, wenn dies angebracht ist, um die Entwicklung von Hauptideen oder Themen zu verbessern. (5-ESS1-2)
  • W.5.1 - Schreiben Sie Meinungsartikel zu Themen oder Texten und unterstützen Sie einen Standpunkt mit Gründen und Informationen. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)

Mathematik

  • 5.G.A.2 - Stellen Sie reale und mathematische Probleme dar, indem Sie Punkte im ersten Quadranten der Koordinatenebene grafisch darstellen und Koordinatenwerte von Punkten im Kontext der Situation interpretieren. (5-ESS1-2)
  • 5.NBT.A.2 - Erklären Sie Muster in der Anzahl der Nullen des Produkts, wenn eine Zahl mit Zehnerpotenzen multipliziert wird, und erklären Sie Muster in der Platzierung des Dezimalpunkts, wenn eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz multipliziert oder dividiert wird. Verwenden Sie ganzzahlige Exponenten, um zu bezeichnen Potenzen von 10. (5-ESS1-1)
  • MP.2 - Gründe abstrakt und quantitativ. (5-ESS1-1), (5-ESS1-2)
  • MP.4 - Modell mit Mathematik. (5-ESS1-1), (5-ESS1-2)

Modellkurszuordnung

Erstbesucher


PERMUTATION

Eine Konditorei verkauft 4 Sorten Gebäck. Wie viele verschiedene Sets mit 7 Gebäckstücken kann man kaufen?

7,0,0,0
0,0,7,0 Wir können sehen, dass die Reihenfolge wichtig ist, da sie jeden einzelnen Satz bestimmt. Wenn also die Reihenfolge wichtig ist, sollte es eine Permutation sein.
Ich habe die Sterne-und-Bars-Methode durchlaufen. Aber ich möchte wissen, ob die Summe auf Permu oder Combo steht?

Elite-Mitglied

Dr.Peterson

Elite-Mitglied

Eine Konditorei verkauft 4 Sorten Gebäck. Wie viele verschiedene Sets mit 7 Gebäckstücken kann man kaufen?

7,0,0,0
0,0,7,0 Wir können sehen, dass die Reihenfolge wichtig ist, da sie jedes einzelne Set bestimmen. Wenn also die Reihenfolge wichtig ist, sollte es eine Permutation sein.
Ich habe die Sterne-und-Bars-Methode durchlaufen. Aber ich möchte wissen, ob die Summe auf Permu oder Combo steht?

Bitte zeigen Wie Sie wenden Sterne und Balken an. Was bedeuten die Sterne und die Balken in Ihrem Modell des Problems?

Welche Bedeutung hat die Reihenfolge in Ihrer Beschreibung?

Ich möchte sehen, was Sie auf eine Permutation oder Kombination anwenden zu, die die Frage für Sie beantworten sollte. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu beschreiben, die entweder Permutationen oder Kombinationen beinhalten können. Schreiben Sie mit Ihrer Antwort zurück, und ich zeige Ihnen, was ich meine. Aber ich möchte mit dem beginnen, was Ihnen speziell beigebracht wurde.

Saumyojit

Vollmitglied

Zunächst einmal weiß ich nicht, wie man bei Problemen Sterne und Balken anwendet.

Welche Möglichkeiten der Anordnung gibt es?
C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Wie wir sehen können, ist die Bestellung von Kuchen wichtig. Wenn die Bestellung keine Rolle spielte, sollten zuerst 3 Arrangements als eine betrachtet werden.
Ordnen bedeutet Permutation.
Beweise jetzt meine Logik falsch mit einer einfachen detaillierten Erklärung

Kubistisch

Vollmitglied

Sie müssen die Anzahl der Möglichkeiten herausfinden, wie die Sterne und Balken in PKAs Post angeordnet werden können.

Andere Wege könnten sein (entsprechend Ihren Beispielen):-

Wie viele Sterne gibt es? Wie viele Balken? Können Sie jetzt die gesamten möglichen Kombinationen berechnen?

Saumyojit

Vollmitglied

SAGEN SIE MIR ZUERST, WAS hier falsch ist?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Wie wir sehen können, ist die Bestellung von Kuchen wichtig. Wenn die Bestellung keine Rolle spielte, sollten zuerst 3 Arrangements als eine betrachtet werden.
Ordnen bedeutet Permutation.

Elite-Mitglied

Saumyojit

Vollmitglied

@pka
SAGEN SIE MIR ZUERST, WAS hier falsch ist?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Wie wir sehen können, ist die Bestellung von Kuchen wichtig. Wenn die Bestellung keine Rolle spielte, sollten zuerst 3 Arrangements als eine betrachtet werden.
Ordnen bedeutet Permutation.

Dr.Peterson

Elite-Mitglied

SAGEN SIE MIR ZUERST, WAS hier falsch ist?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Wie wir sehen können, ist die Bestellung von Kuchen wichtig. Wenn die Bestellung keine Rolle spielte, sollten zuerst 3 Arrangements als eine betrachtet werden.
Ordnen bedeutet Permutation.

Erstens, da Sie sagten, "Ich habe die Sterne-und-Balken-Methode durchlaufen", ging ich davon aus, dass Sie wussten, wie man sie anwendet, und es vielleicht versucht hatte. Sie verwenden nicht die Methode, die die geeignete Methode ist. Die Hauptsache, die hier falsch ist, ist, dass Sie noch nichts tun, um es zu lösen. Welche Antwort hast du bekommen?

Die Sortierung von Sorten ist wichtig, die Bestellung einzelner Torten innerhalb einer Sorte jedoch nicht. Sie können hier also keine gewöhnlichen Permutationen oder Kombinationen direkt verwenden.

Hier ist, wie die Methode mit Sternen und Balken hier angewendet wird: Wenn wir Kuchen mit * kennzeichnen und sie in Kästchen für die Typen einfügen, werden Ihre vier Beispiele durch dargestellt

wo | ist eine Trennwand zwischen den Boxen.

Ohne Leerzeichen zu ignorieren, ist dies:

Elite-Mitglied

Kubistisch

Vollmitglied

Du könntest es tun LANGER WEG wenn du es wirklich willst. Sie erhalten die gleiche Antwort. Aber hoffentlich wird es dich davon überzeugen verwandelnd das Problem in Balken und Streifen ist viel schneller und das Ergebnis ist gleichwertig.

Wählen Sie immer c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4, um diese Kombinationen einzigartig zu halten, wenn sie permutiert werden.

Saumyojit

Vollmitglied

Du könntest es tun LANGER WEG wenn du es wirklich willst. Sie erhalten die gleiche Antwort. Aber hoffentlich wird es dich davon überzeugen verwandelnd das Problem in Balken und Streifen ist viel schneller und das Ergebnis ist gleichwertig.

Wählen Sie immer c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4, um diese Kombinationen einzigartig zu halten, wenn sie permutiert werden.

Saumyojit

Vollmitglied

Du könntest es tun LANGER WEG wenn du es wirklich willst. Sie erhalten die gleiche Antwort. Aber hoffentlich wird es dich davon überzeugen verwandelnd das Problem in Balken und Streifen ist viel schneller und das Ergebnis ist gleichwertig.

Wählen Sie immer c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4, um diese Kombinationen einzigartig zu halten, wenn sie permutiert werden.

Kubistisch

Vollmitglied

Wenn ich die Multisets ausschreibe, hast du
2 von '1'
1 von '0'
1 von '5'

Permutationen = 4! / ( 2! * 1! * 1!) = 4!/2!=12 oder aufgelistet.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

Saumyojit

Vollmitglied

Wenn ich die Multisets ausschreibe, hast du
2 von '1'
1 von '0'
1 von '5'

Permutationen = 4! / ( 2! * 1! * 1!) = 4!/2!=12 oder aufgelistet.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

Kubistisch

Vollmitglied

Sie haben nach der Zeile "5 1 1 0" gefragt. Dies bedeutet c1=5, c2=1, c3=1,c4=0 bedeutet 5 Kuchen des Typs "c1", 1 Kuchen des Typs "c2", 1 Kuchen des Typs "c3" und KEINE Kuchen des Typs "c4"

Es gibt 12 Möglichkeiten, diese Mengen zum Kauf von Kuchen zu verwenden. Eine der anderen Möglichkeiten ist beispielsweise "0151" -> KEINE Kuchen vom Typ "c1", 1 Kuchen vom Typ "c2", 5 Kuchen vom Typ "c3" und 1 Kuchen vom Typ "c4".

Saumyojit

Vollmitglied

Sie haben nach der Zeile "5 1 1 0" gefragt. Dies bedeutet c1=5, c2=1, c3=1,c4=0 bedeutet 5 Kuchen des Typs "c1", 1 Kuchen des Typs "c2", 1 Kuchen des Typs "c3" und KEINE Kuchen des Typs "c4"

Es gibt 12 Möglichkeiten, diese Mengen zum Kauf von Kuchen zu verwenden. Eine der anderen Möglichkeiten ist beispielsweise "0151" -> KEINE Kuchen vom Typ "c1", 1 Kuchen vom Typ "c2", 5 Kuchen vom Typ "c3" und 1 Kuchen vom Typ "c4".

Kubistisch

Vollmitglied

Sie beantworten die Frage "Wie viele Möglichkeiten kann ich 3 Kuchensorten von 4 Kuchensorten kaufen".

Aber um die Berechnung in Post#11 durchzuführen, lautet die Frage: "Auf wie viele Arten kann ich 5 Kuchen einer Kuchensorte zusammen mit einer Torte einer anderen Sorte UND einer Torte einer anderen anderen Sorte kaufen?".

Wenn Sie dies nicht verstehen, empfehle ich Ihnen, sich von jemandem persönlich unterrichten zu lassen.

Dr.Peterson

Elite-Mitglied

Ein paar von uns haben Multisets erwähnt. Genau das ist in diesem Fall (5,1,1,0) es handelt sich nicht um eine Menge, für die die Standardpermutationsmethode funktioniert.

Wenn Sie Probleme haben, bei denen Sie nach der Anzahl der Wörter gefragt werden, die Sie aus einem Wort mit doppelten Buchstaben bilden können, z. B. GUT, müssen Sie dies hier tun. Die Formel lautet (displaystyle frac), wobei (displaystyle n) die Gesamtzahl der Buchstaben und (displaystyle n_i) die Anzahl der Kopien derselben ist ichBrief aus k unterschiedliche Buchstaben. Dies wurde in Beitrag #14 demonstriert.

Saumyojit

Vollmitglied

Ein paar von uns haben Multisets erwähnt. Genau das ist in diesem Fall (5,1,1,0) es handelt sich nicht um eine Menge, für die die Standardpermutationsmethode funktioniert.

Wenn Sie Probleme haben, bei denen Sie nach der Anzahl der Wörter gefragt werden, die Sie aus einem Wort mit doppelten Buchstaben bilden können, z. B. GUT, müssen Sie dies hier tun. Die Formel lautet (displaystyle frac), wobei (displaystyle n) die Gesamtzahl der Buchstaben und (displaystyle n_i) die Anzahl der Kopien derselben ist ichBrief aus k unterschiedliche Buchstaben. Dies wurde in Beitrag #14 demonstriert.

Ich habe es verstanden, was du sagst. 5,1,1,0
Sie sagen, dass Sie aufgrund der Wiederholung von 2 Einsen 2fact von allen 4 Faktenwegen trennen müssen.
Aber in 5,1,1,0 sind zwei Einsen von zwei verschiedenen Kuchen. wie 5 von c1 1 von c2 1 von c3

und in 5,0,1,1 5 sind der erste Kuchen, Null von Kuchen 2, einer von Kuchen 3, einer von Kuchen 4 .
Sie sind von verschiedenen Kuchen.

sagst du das : 5,0,1,1 & 0,5,1,1
beinhalten diese beiden einzigartigen Anordnungen in beiden Fällen die Replikation von c3 und c4?


Kann mir bitte jemand die Methode 'Stars and Bars' zum Zählen von Arrangements mit Wiederholungen erklären?

Nehmen wir an, ich möchte die Anzahl der möglichen Lösungen bestimmen, die diese Gleichung erfüllen könnte.

x ist nur nicht negative ganze Zahlen.

Also okay, ich kann dieses Zeug in die nette, bezaubernde Formel stecken und die Antwort bekommen, aber ich weiß es nicht wirklich erhalten wie die Formel von Sternen und Balken funktioniert. Werfen Sie mir einen Bordsteinball mit einer Ungleichung oder einer anderen Einschränkung und ich bin ratlos. Wie gehe ich diese Probleme an?

Sie können wahrscheinlich eine visuelle Erklärung online finden.

Ich kann einen Beweis ohne Sterne und Balken geben. Zuerst stelle ich den Satz fest: mit k>0, n>=0 gibt es C(n+k-1,k-1) k-Tupel (x1. xk) in Z k, die x1 erfüllen. xk>=0 und x1+. +xk = n.

Ich induziere auf n+k, mit den Basisfällen n=0 oder k=1. Bei n=0 gibt es nur Lösung (0,0. 0) und C(0+k-1,k-1) = 1. Bei k=1 gibt es nur Lösung (n) und C (n+1,1-1,1-1) = 1.

Dann teilen Sie mit n>0 und k>1 die Lösungen in zwei Fälle auf, x1=0 oder x1>0. Im ersten Fall entsprechen Lösungen (0,x2,x3. xk) Lösungen (x2,x3. xk) desselben Problems mit n und k-1, und induktiv gibt es C(n+k-2,k- 2) Lösungen. In the second case, solutions (x1,x2. xk) correspond to solutions (x1-1,x2. xk) of the problem with n-1 and the same k, so C(n+k-2,k-1) solutions.

Using Pascal's recurrence for binomial coefficients,

This is beautifully done however I wouldn't be able to do any proofs by induction until. six more weeks. :-)

Bookmarked and will refer to it once I get to the point of being allowed to use induction on tests.

Here is an "easy" proof for stars and bars.

First, let us represent the equation sum(k-tuple X)=n (xi >= 0 is integer) in graphical form: n objects placed in k boxes.

And again, let's represent that in a different way: as stars (objects) and bars (separations between boxes) in a sequence. As an example, with k = 4 and n = 5, we have 3 bars and 5 stars:
**||**|*
This represents 2 objects in the first box, 0 in the second, 2 in the third, and 1 in the fourth.

We can count the number of possible orderings of stars and bars assuming both stars and bars are distinct: (n + k - 1)!
This is simply because there are (n) + (k - 1) distinct objects.
However, neither stars nor bars are distinct, so to get the number of possible orderings of stars and bars, we need to divide this ordering by (n)! and (k - 1)!, which are the number of orders of distinct stars and bars respectively.

Thus, the number of orderings of stars and bars, and thus the number of solutions to the equation, is (n + k - 1)!/(n)!(k - 1)!, which is equal to C(n + k - 1, k - 1).


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