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6.3: Exponentialgleichungen und Ungleichungen - Mathematik


Im Abschnitt ef{ExpEquations} haben wir Gleichungen und Ungleichungen mit Exponentialfunktionen mit einer von zwei grundlegenden Strategien gelöst. Wir wenden uns nun Gleichungen und Ungleichungen mit logarithmischen Funktionen zu, und es überrascht nicht, dass wir zwei grundlegende Strategien zur Auswahl haben. Angenommen, wir möchten (log_{2}(x) = log_{2}(5)) lösen. Satz ef{explogsonetoone} sagt uns, dass die extit{only}-Lösung dieser Gleichung (x=5) ist. Angenommen, wir wollen (log_{2}(x) = 3) lösen. Wenn wir Satz ef{explogsonetoone} verwenden wollen, müssen wir (3) als Logarithmusbasis (2) umschreiben. Wir können Satz ef{invpropslogs} verwenden, um genau das zu tun: (3 = log_{2}left(2^{3} ight) = log_{2}(8)). Unsere Gleichung wird dann (log_{2}(x) = log_{2}(8)), so dass (x = 8). Wir hätten jedoch in weniger Schritten zur gleichen Antwort kommen können, indem wir Theorem ef{invpropslogs} verwendet hätten, um die Gleichung (log_{2}(x) = 3) umzuschreiben als (2^{3} = x) oder (x=8). Wir fassen die beiden gebräuchlichen Methoden zum Lösen von Log-Gleichungen im Folgenden zusammen.

Schritte zum Lösen einer Gleichung mit logarithmischen Funktionen

  1. Isolieren Sie die logarithmische Funktion.
  2. Geben Sie nach Bedarf beide Seiten als Logs mit derselben Basis aus und setzen Sie die Argumente der Log-Funktionen gleich.
  3. Andernfalls schreiben Sie die Log-Gleichung in eine Exponentialgleichung um.

Beispiel (PageIndex{1}):

Lösen Sie die folgenden Gleichungen. Überprüfen Sie Ihre Lösungen grafisch mit einem Taschenrechner.

  1. (log_{117}(1-3x) = log_{117}left(x^2-3 ight))
  2. (2 - ln(x-3) = 1)
  3. (log_{6}(x+4) + log_{6}(3-x) = 1)
  4. (log_{7}(1-2x) = 1 - log_{7}(3-x))
  5. (log_{2}(x+3) = log_{2}(6-x)+3)
  6. (1 + 2 log_{4}(x+1) = 2 log_{2}(x))

Lösung

  1. Da wir auf beiden Seiten der Gleichung (log_{117}(1-3x) = log_{117}left(x^2-3 ight) dieselbe Basis haben, setzen wir den Inhalt der Logs gleich um (1-3x = x^2-3) zu erhalten. Auflösen von (x^2+3x-4 = 0) ergibt (x=-4) und (x=1). Um diese Antworten mit dem Taschenrechner zu überprüfen, verwenden wir die Änderung der Basisformel und des Graphen (f(x) = frac{ln(1-3x)}{ln(117)}) und (g (x) = frac{lnleft(x^2-3 ight)}{ln(117)}) und wir sehen, dass sie sich nur bei (x=-4) schneiden. Um zu sehen, was mit der Lösung (x=1) passiert ist, setzen wir sie in unsere ursprüngliche Gleichung ein, um (log_{117}(-2) = log_{117}(-2)) zu erhalten. Diese Ausdrücke sehen zwar identisch aus, sind aber keine reelle Zahl,footnote{Sie repräsentieren jedoch dieselbe extbf{Familie} komplexer Zahlen. Wir stoppen an dieser Stelle und verweisen den Leser auf einen guten Kurs in Komplexe Variablen.} was bedeutet, dass (x=1) nicht im Bereich der ursprünglichen Gleichung liegt und keine Lösung ist.

item Unser erstes Ziel bei der Lösung von (2 - ln(x-3) = 1) besteht darin, den Logarithmus zu isolieren. Wir erhalten (ln(x-3)=1), was als Exponentialgleichung (e^{1} = x-3) ist. Wir erhalten unsere Lösung (x=e+3). Auf dem Taschenrechner sehen wir den Graphen von (f(x) = 2 - ln(x-3)) schneidet den Graphen von (g(x) = 1) bei (x = e+3 ca. 5,718).

  1. item Wir können beginnen, (log_{6}(x+4) + log_{6}(3-x) = 1) zu lösen, indem wir die Produktregel für Logarithmen verwenden, um die Gleichung in (log_{ 6}links[(x+4)(3-x) echts] = 1). Schreiben wir dies in eine Exponentialgleichung um, erhalten wir (6^{1} = (x+4)(3-x)). Dies reduziert sich auf (x^2+x-6 = 0), was (x=-3) und (x=2) ergibt. Graphische Darstellung von (y=f(x) = frac{ln(x+4)}{ln(6)} + frac{ln(3-x)}{ln(6)}) und (y=g(x) = 1), wir sehen, dass sie sich zweimal schneiden, bei (x=-3) und (x=2).
  1. item In Anlehnung an das vorherige Problem beginnen wir, (log_{7}(1-2x) = 1 - log_{7}(3-x)) zu lösen, indem wir zuerst die Logarithmen auf derselben Seite sammeln, (log_{7}(1-2x) + log_{7}(3-x) = 1), und dann mit der Produktregel (log_{7}[(1-2x)( 3-x)] = 1). Das Umschreiben in eine Exponentialgleichung ergibt (7^{1} = (1-2x)(3-x)), was die quadratische Gleichung (2x^2-7x-4=0) ergibt. Beim Auflösen finden wir (x = -frac{1}{2}) und (x=4). Graphisch finden wir (y = f(x) = frac{ln(1-2x)}{ln(7)}) und (y=g(x) = 1 - frac{ln (3-x)}{ln(7)}) schneiden sich nur bei (x=-frac{1}{2}). Die Überprüfung von (x=4) in der ursprünglichen Gleichung ergibt (log_{7}(-7) = 1 - log_{7}(-1)), was eine klare Domänenverletzung ist.
  2. item Beginnend mit (log_{2}(x+3) = log_{2}(6-x)+3) legen wir die Logarithmen beiseite und erhalten (log_{2}(x +3) - log_{2}(6-x) = 3). Wir verwenden dann die Quotientenregel und konvertieren in eine Exponentialgleichung [log_{2}left(frac{x+3}{6-x} ight) = 3 iff 2^{3} = frac{ x+3}{6-x} ] Dies reduziert sich auf die lineare Gleichung (8(6-x) = x+3), die uns (x = 5) liefert. Wenn wir (f(x) = frac{ln(x+3)}{ln(2)}) und (g(x) = frac{ln(6-x)}{ ln(2)} + 3), finden wir, dass sie sich bei (x=5) schneiden.
  1. item Beginnend mit (1 + 2 log_{4}(x+1) = 2 log_{2}(x)), sammeln wir die Logs auf einer Seite, um die Gleichung (1 = 2 log_ {2}(x) - 2 log_{4}(x+1)). Bevor wir die Logarithmen jedoch kombinieren können, brauchen wir eine gemeinsame Basis. Da (4) eine Potenz von (2) ist, verwenden wir die Basisänderung, um [log_{4}(x+1) = frac{log_{2}(x+1)} umzuwandeln. {log_{2}(4)} = frac{1}{2} log_{2}(x+1)] Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung

[ egin{array}{rclr} 1 & = & 2 log_{2}(x) - 2 left(frac{1}{2} log_{2}(x+1) ight) & 1 &= & 2log_{2}(x) - log_{2}(x+1) & 1 & = & log_{2}left(x^2 ight) - log_ {2}(x+1) & ext{Machtregel} 1 & = & log_{2}left( dfrac{x^{2}}{x+1} ight) & ext{ Quotientenregel} end{array}]

Schreiben wir dies in Exponentialform um, erhalten wir ( frac{x^{2}}{x+1} = 2) oder (x^2 -2x-2 = 0). Mit der quadratischen Formel erhalten wir (x = 1 pm sqrt{3}). Graphische Darstellung von (f(x) = 1 + frac{2ln(x+1)}{ln(4)}) und (g(x) = frac{2 ln(x)}{ ln(2)}), sehen wir, dass sich die Graphen nur bei (x = 1 + sqrt{3} approx 2.732) schneiden. Die Lösung (x = 1 - sqrt{3} < 0), was bedeutet, wenn in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt, der Term (2 log_{2}left(1 - sqrt{3} ight) ) ist nicht definiert.

Nicht zuletzt demonstriert Beispiel ef{LogEqnsEx1}, wie wichtig es ist, auf Fremdlösungen zu prüfenfootnote{Erinnern Sie sich daran, dass eine Fremdlösung eine analytisch erhaltene Antwort ist, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt.} bei der Lösung von Gleichungen mit Logarithmen. Obwohl wir unsere Antworten grafisch überprüft haben, sind überflüssige Lösungen leicht zu erkennen - jede vermeintliche Lösung, die eine negative Zahl in einem Logarithmus verursacht, muss verworfen werden. Wie bei den Gleichungen in Beispiel ef{expeqnsex1} kann man viel lernen, wenn man alle Antworten in Beispiel ef{LogEqnsEx1} analytisch überprüft. Wir überlassen dies dem Leser und richten unser Augenmerk auf Ungleichungen mit logarithmischen Funktionen. Da logarithmische Funktionen auf ihren Domänen stetig sind, können wir Vorzeichendiagramme verwenden.

Beispiel (PageIndex{2}):

Löse die folgenden Ungleichungen. Überprüfen Sie Ihre Antwort grafisch mit einem Taschenrechner.

  1. (dfrac{1}{ln(x)+1} leq 1)
  2. (left(log_{2}(x) ight)^2 < 2 log_{2}(x) + 3)
  3. (xlog(x+1)geqx)

Lösung

item Wir beginnen (frac{1}{ln(x)+1} leq 1) zu lösen, indem wir (0) auf einer Seite der Ungleichung erhalten: (frac{1}{ln (x)+1} - 1 leq 0). Einen gemeinsamen Nenner zu erhalten ergibt (frac{1}{ln(x)+1} - frac{ln(x)+1}{ln(x)+1} leq 0), was sich auf reduziert (frac{-ln(x)}{ln(x)+1} leq 0), oder ( frac{ln(x)}{ln(x)+1} geq 0). Wir definieren (r(x) = frac{ln(x)}{ln(x)+1}) und machen uns daran, den Definitionsbereich und die Nullstellen von (r) zu finden. Wegen des Auftretens des Termes (ln(x)) benötigen wir (x > 0). Um den Nenner von Null fernzuhalten, lösen wir (ln(x)+1 = 0), also (ln(x) = -1), also (x = e^{-1} = frac{1}{e}). Der Definitionsbereich von (r) ist also (left(0, frac{1}{e} ight) cup left(frac{1}{e}, infty ight)) . Um die Nullstellen von (r) zu finden, setzen wir (r(x) = frac{ln(x)}{ln(x)+1} = 0), sodass (ln(x ) = 0), und wir finden (x = e^{0} = 1). Um ohne den Taschenrechner Testwerte für (r) zu bestimmen, müssen wir Zahlen zwischen (0), (frac{1}{e}) und (1) finden, die1 haben eine Basis von (e). Da (e approx 2,718 > 1), (0 < frac{1}{e^2} < frac{1}{e} < frac{1}{sqrt{e}} < 1

  1. item Verschiebt man alle von Null verschiedenen Terme von (left(log_{2}(x) ight)^2 < 2 log_{2}(x) + 3) auf eine Seite der Ungleichung, dann gilt (left(log_{2}(x) ight)^2 - 2 log_{2}(x) - 3 < 0). Definieren wir (r(x) = left(log_{2}(x) ight)^2 - 2 log_{2}(x) - 3), erhalten wir den Definitionsbereich von (r) is ((0, infty)), wegen der Anwesenheit des Logarithmus. Um die Nullstellen von (r) zu finden, setzen wir (r(x) =left(log_{2}(x) ight)^2 - 2 log_{2}(x) - 3= 0 ), was zu einem `quadratischen in Verkleidung' führt. Wir setzen (u = log_{2}(x)) so, dass unsere Gleichung (u^2-2u-3 = 0) wird, was uns (u=-1) und (u=3 ). Da (u = log_{2}(x)), erhalten wir (log_{2}(x) = -1), was uns (x = 2^{-1} = frac {1}{2}) und (log_{2}(x) = 3), was (x = 2^{3} = 8) ergibt. Wir verwenden Testwerte, die Potenzen von (2) sind: (0 < frac{1}{4} < frac{1}{2} < 1 < 8 < 16) und aus unserem Vorzeichendiagramm wir sehen (r(x)< 0) auf (left(frac{1}{2}, 8 ight)). Geometrisch sehen wir den Graphen von (f(x)=left(frac{ln(x)}{ln(2)} ight)^2) unterhalb des Graphen von (y = g (x) = frac{2 ln(x)}{ln(2)} + 3) auf dem Lösungsintervall.
  2. Wir beginnen (xlog(x+1)geq x) zu lösen, indem wir (x) von beiden Seiten subtrahieren, um (xlog(x+1) - xgeq 0) zu erhalten. Wir definieren (r(x) = x log(x+1) - x ( und aufgrund des Logarithmus benötigen wir (x+1 > 0), oder (x > -1 ) Um die Nullstellen von (r) zu finden, setzen wir (r(x) = x log(x+1) - x = 0) Faktorisieren erhalten wir (x left(log( x+1) - 1 echts) = 0), was (x=0) oder (log(x+1) - 1=0) ergibt, letzteres ergibt (log(x+ 1) = 1), oder (x+1 = 10^{1}), was (x = 9) zulässt. Wir wählen Testwerte (x) so, dass (x+1) ist eine Potenz von (10), und wir erhalten (-1 < -0,9 < 0 < sqrt{10} -1 < 9 < 99). Unser Vorzeichendiagramm ergibt die Lösung zu ((-1 ,0] cup[9,infty)). Der Rechner zeigt an, dass der Graph von (y= f(x) = x log(x+1)) über (y=g(x) = . liegt x) auf den Lösungsintervallen, und die Graphen schneiden sich bei (x=0) und (x=9).

Unser nächstes Beispiel greift das Konzept des pH-Werts auf, das zuerst in den Übungen in Abschnitt ef{IntroExpLogs} eingeführt wurde.

Beispiel (PageIndex{1}): Fish Talk pH

Um erfolgreich Ippizuti-Fische zu züchten, muss der pH-Wert eines Süßwasserbeckens mindestens 7,8 betragen, darf jedoch nicht mehr als 8,5 betragen. Bestimmen Sie den entsprechenden Bereich der Wasserstoffionenkonzentration und überprüfen Sie Ihre Antwort mit einem Taschenrechner.

Lösung

Erinnern Sie sich aus Übung ef{pHexercise} im Abschnitt ef{IntroExpLogs}, dass (mbox{pH} = -log[mbox{H}^{+}]) wobei ([mbox{H}^ {+}]) ist die Wasserstoffionenkonzentration in Mol pro Liter. Wir benötigen (7,8 leq -log[mbox{H}^{+}] leq 8,5) oder (-7,8 geq log[mbox{H}^{+}] geq -8,5 ). Um diese zusammengesetzte Ungleichung zu lösen, lösen wir (-7.8 geq log[mbox{H}^{+}]) und (log[mbox{H}^{+}] geq -8.5) und nehmen Sie den Schnittpunkt der Lösungsmengen.footnote{Siehe Seite pageref{intersectionunion} für eine Diskussion, was dies bedeutet.} Die erste Ungleichung ergibt (0 < [mbox{H}^{+}] leq 10^{-7.8}) und letzteres ergibt ([mbox{H}^{+}] geq 10^{-8.5}). Wenn wir den Schnittpunkt nehmen, erhalten wir unsere endgültige Antwort (10^{-8,5} leq [mbox{H}^{+}] leq 10^{-7,8}). (Ihr Chemieprofessor möchte möglicherweise, dass die Antwort als (3.16 imes 10^{-9} leq [mbox{H}^{+}] leq 1.58 imes 10^{-8}) geschrieben wird.) Nach Durch vorsichtiges Einstellen des Sichtfensters auf dem Grafikrechner sehen wir, dass der Graph von (f(x) = -log(x)) zwischen den Linien (y = 7.8) und (y = 8.5) auf . liegt das Intervall ([3.16 imes 10^{-9}, 1.58 imes 10^{-8}]).

Wir schließen diesen Abschnitt, indem wir eine Inverse einer Eins-zu-Eins-Funktion finden, die Logarithmen beinhaltet.

Beispiel (PageIndex{1}):

Die Funktion (f(x) = dfrac{log(x)}{1-log(x)}) ist eins zu eins. Finden Sie eine Formel für (f^{-1}(x)) und überprüfen Sie Ihre Antwort grafisch mit Ihrem Taschenrechner.

Lösung

Wir schreiben zuerst (y=f(x)), dann vertauschen wir (x) und (y) und lösen nach (y) auf.

[ egin{array}{rclr} y & = & f(x) & y & = & dfrac{log(x)}{1-log(x)} & x & = & dfrac{log(y)}{1-log(y)} & mbox{Interchange (x) und (y).} xleft(1-log(y) rechts) & = & log(y) & x - xlog(y) & = & log(y) & x & = & x log(y) + log(y) & x & = & (x+1) log(y) & dfrac{x}{x+1} & = & log(y) & y & = & 10^{frac{x }{x+1}} & mbox{Als Exponentialgleichung umschreiben.} end{array}]

Wir haben (f^{-1}(x) = 10^{frac{x}{x+1}}). Die grafische Darstellung von (f) und (f^{-1}) im gleichen Sichtfenster ergibt


Vorkalkül: Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen

Lösen Sie die Gleichung zur Anwendung der Logarithmenregeln.

Das Erweitern der Logarithmen in Summen von Logarithmen hebt die ersten beiden x-Terme auf, was zu der Gleichung führt:

Wenn Sie den ersten und zweiten Term kombinieren und dann den neuen Term abziehen, können Sie den variablen Term isolieren.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2 und potenzieren Sie dann mit 3.

Wenn Sie diesen Begriff numerisch auswerten, erhalten Sie die richtige Antwort.

Beispielfrage Nr. 1: Verwenden Sie Logarithmen, um Exponentialgleichungen und Ungleichungen zu lösen

Lösen Sie die folgende Gleichung:

Um diese Gleichung zu lösen, erinnern Sie sich an die folgende Eigenschaft:

Bewerten Sie mit Ihrem Taschenrechner, um zu erhalten

Beispielfrage Nr. 1: Verwenden Sie Logarithmen, um Exponentialgleichungen und Ungleichungen zu lösen

Nachdem Sie die Divisionsregel verwendet haben, um die linke Seite zu vereinfachen, können Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten nehmen.

Wenn Sie dann ähnliche Terme kombinieren, erhalten Sie eine quadratische Gleichung, die zu

Wenn jedes Binomial gleich Null gesetzt und nach aufgelöst wird, erhalten wir die Lösung zu .

Beispielfrage Nr. 1: Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen

Beispielfrage Nr. 1: Verwenden Sie Logarithmen, um Exponentialgleichungen und Ungleichungen zu lösen

Löse nach x in der folgenden Gleichung auf:

Beispielfrage Nr. 1: Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen

Mit den Logarithmenregeln nach x auflösen:

Beispielfrage Nr. 1: Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen

Beispielfrage Nr. 1: Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen

Vereinfachen Sie den Log-Ausdruck:

Kann nicht weiter vereinfacht werden

Kann nicht weiter vereinfacht werden

Der logarithmische Ausdruck ist so vereinfacht wie möglich.

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Math 041 Trigonometrie und analytische Geometrie

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1.5 Funktionsarithmetik
1.6 Funktionsgraphen
1.7 Transformationen

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2.1 Lineare Funktionen
2.2 Absolutwertfunktionen
2.3 Quadratische Funktionen
2.4 Ungleichungen mit Absolutwert und quadratischen Funktionen

3 Polynomfunktionen
3.1 Graphen von Polynomen
3.2 Der Faktorsatz und der Restsatz
3.3 Reale Nullstellen von Polynomen

4 rationale Funktionen
4.1 Einführung in rationale Funktionen
4.2 Graphen rationaler Funktionen
4.3 Rationale Ungleichheiten und Anwendungen

5 weitere Themen in Funktionen
5.1 Funktionszusammenstellung
5.2 Umkehrfunktionen Function
5.3 Andere algebraische Funktionen

6 Exponential- und Logarithmusfunktionen
6.1 Einführung in Exponential- und Logarithmusfunktionen
6.2 Eigenschaften von Logarithmen
6.3 Exponentialgleichungen und Ungleichungen
6.4 Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen

7 süchtig nach Kegelschnitten
7.1 Einführung in Kegelschnitte
7.2 Kreise

10 Grundlagen der Trigonometrie
10.1 Winkel und ihr Maß
10.2 Der Einheitskreis: Kosinus und Sinus
10.3 Die sechs zirkulären Funktionen und grundlegenden Identitäten
10.4 Trigonometrische Identitäten
10.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen
10.6 Die inversen trigonometrischen Funktionen
10.7 Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen

11 Anwendungen der Trigonometrie (optional)
11.1 Anwendungen von Sinusoiden
11.2 Das Sinusgesetz
11.3 Das Kosinusgesetz


3 Antworten 3

Das Vorhandensein summierter Terme "zerstört" die Aussichten, Logarithmen direkt anzuwenden. Manchmal können Sie jedoch feststellen, dass ein Ausdruck eine Polynomfunktion eines einzelnen exponentiellen Ausdrucks ist. Für Ihr erstes Problem können Sie beachten, dass es umgeschrieben werden kann als $2(2^x)^3 -7(2^x)^2 + 7(2^x)-2=0$ $2u^3 -7u^ 2 + 7u-2=0$ wobei $u=2^x$ . Wenn Sie die Lösungen (Werte von $u$ ) dieser Polynomgleichung in $u$ finden können, dann können Sie die Werte von $x$ finden, die die ursprüngliche Gleichung lösen, indem Sie $u=2^x$ für $x$ . lösen (also $x=log_2 u$ ) für jede Lösung $u$ .

Für dieses spezielle Polynom werden Sie wahrscheinlich sofort bemerken, dass $u=1$ eine Lösung ist, da sich die Koeffizienten zu Null addieren. Dies bedeutet, dass Sie das Polynom als $(u-1)( extrmu)=0$, die Sie leicht lösen können.

Für das zweite Problem sei daran erinnert, dass $log_b c=frac$ für jede beliebige Basis $a$ , und eine bequem zu verwendende Basis ist $a=7$, da beide $b $ und $c$ sind Potenzen von $7$ .


LÖSEN VON GLEICHUNGEN MIT DER MULTIPLIKATIONSEIGENSCHAFT

Die Lösung dieser Gleichung ist 12. Beachten Sie auch, dass wir die Gleichungen erhalten, wenn wir jedes Glied der Gleichung mit 4 multiplizieren

deren Lösung ebenfalls 12 ist. Im Allgemeinen haben wir die folgende Eigenschaft, die manchmal als Multiplikationseigenschaft bezeichnet wird.

Wenn beide Elemente einer Gleichung mit derselben Größe ungleich Null multipliziert werden, ist die resultierende Gleichung äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.

Beispiel 1 Schreiben Sie eine äquivalente Gleichung zu

indem jedes Mitglied mit 6 multipliziert wird.

Lösung Die Multiplikation jedes Mitglieds mit 6 ergibt

Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir die obige Eigenschaft, um äquivalente Gleichungen zu erzeugen, die frei von Brüchen sind.

Beispiel 2 Lösen

Lösung Multiplizieren Sie zunächst jedes Mitglied mit 5, um zu erhalten

Teilen Sie nun jedes Mitglied durch 3,

Beispiel 3 Lösen .

Lösung Vereinfachen Sie zunächst oberhalb des Bruchstrichs, um zu erhalten

Als nächstes multiplizieren Sie jedes Mitglied mit 3, um zu erhalten

Zuletzt wird jedes Mitglied durch 5 geteilt, um die Erträge zu erhalten


6.3: Exponentialgleichungen und Ungleichungen - Mathematik

Finden Sie die größte ganze Zahl, die die Lösung einer Ungleichung 1.6 . ist - (3.2 - 0.2ja) < 5.1 .

Vom Punkt A am Flussufer setzen Touristen mit einem Motorboot flussabwärts in See. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 2 km/h und das Boot hat eine eigene Geschwindigkeit von 18 km/h. Bis zu welcher Entfernung vom Punkt A können Touristen schwimmen, damit die Kreuzfahrt nicht länger als 3 Stunden dauert?

Finden Sie eine solche natürliche Zahl, über die wir sagen können: Wenn wir von dieser Zahl 2 abziehen und das Ergebnis durch drei dividieren, erhalten wir einen Bruch, der kleiner als die Zahl 1 ist. Wie lautet die Zahl ?

Finden Sie eine zweistellige positive Zahl kleiner als 64, wenn ihre Zehnerstelle um 3 kleiner ist als die Einerstelle.

Tom hat zu Beginn des Schuljahres F bekommen. Wie oft muss er jetzt A bekommen, um B auf den Zeugnissen zu haben?

Finden Sie alle zweistelligen Zahlen größer als 40 und kleiner als 80, deren Einerstelle 4 kleiner als die Zehnerstelle ist.

Wenn ein Tourist seine Geschwindigkeit um 1 km/h erhöht, legt er in 4 Stunden eine Strecke von mehr als 20 km zurück. Reduziert er seine Geschwindigkeit um 1 km/h, legt er in 5 Stunden weniger als 20 km zurück. Wie schnell ist der Tourist?

Bei der unbekannten zweistelligen Zahl ist ihre Einerstelle um eins kleiner als ihre Zehnerstelle. Wenn wir 7 zu dieser Zahl hinzufügen, ist die neue Zahl größer als 19, während sie kleiner als 51 ist. Finden Sie alle zweistelligen Zahlen mit diesen Merkmalen.

Finden Sie den Bruch, über den wir sagen können: Wenn der Nenner um eins reduziert wird, ist der Bruch gleich ½. Durch Erhöhen des Zählers um 20 erhalten wir den Bruch, der größer als 2 und kleiner als 3 ist.

Wenn ein Traktorfahrer täglich zwei Hektar mehr pflügte, als er geplant hatte, würde er in 9 Tagen mehr als 84 Hektar pflügen. Wenn er täglich einen Hektar weniger pflügte als geplant, würde er in 12 Tagen nicht mehr als 84 ha pflügen. Wie viele Hektar würde der Traktorfahrer laut Plan täglich pflügen?

Ein Bein des rechtwinkligen Dreiecks ist 2 cm länger als das andere Bein. Wie lang sollte das erste Bein sein, wenn die Hypotenuse länger als 10 cm sein muss?

Welche Werte können ich haben, wenn die Wurzeln der Gleichung ich 2 x 2 + 2mx + 1 = 0 sollte Werte im Bereich <35> haben?

Im Gefäß befinden sich 8 Liter 26 %ige Lösung. Wie viel Prozent muss die Lösung im 10-Liter-Gefäß sein, damit die Mischung beider Lösungen mindestens 50% und höchstens 60% Lösung ist?


6.3: Exponentialgleichungen und Ungleichungen - Mathematik

Löse die linearen Gleichungen und überprüfe die Lösung:

Löse die linearen Gleichungen und überprüfe die Lösung:

Löse die linearen Gleichungen mit Absolutwerten und überprüfe die Lösung:

Löse die linearen Gleichungen mit Variablen in Zähler und Nenner, überprüfe die Lösung und bestimme die Lösbarkeitsbedingungen:

Löse die linearen Gleichungen mit einem Parameter einR :

Löse die linearen Ungleichungen:

Löse die linearen Ungleichungen mit Absolutwerten:


Schau das Video: Exponentialgleichung lösen, Gleichungen lösen, Logarithmus, log. Mathe by Daniel Jung (November 2021).