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2.1: Lineare Funktionen - Mathematik


Wir beginnen nun mit dem Studium der Funktionsfamilien. Erinnern Sie sich aus der Geometrie daran, dass zwei unterschiedliche Punkte in der Ebene eine eindeutige Linie bestimmen, die diese Punkte enthält, wie unten angegeben.

Um ein Gefühl für die 'Steilheit' der Linie zu geben, erinnern wir uns daran, dass wir die compute Steigung der Linie mit der folgenden Formel.

Gleichung 2.1: Steigung

Das Steigung (m) der Geraden mit den Punkten (Pleft(x_0, y_0 ight)) und (Qleft(x_1, y_1 ight)) ist:

[ m = dfrac{y_{1} - y_0}{x_{1} - x_0},label{Steigung} ]

bereitgestellt (x_1 eq x_0).

Ein paar Anmerkungen zu Gleichung 2.1 sind angebracht. Fragen Sie zunächst nicht, warum wir den Buchstaben '(m)' verwenden, um die Steigung darzustellen. Es gibt viele Erklärungen da draußen, aber anscheinend weiß niemand wirklich genau. Zweitens stellt die Vorgabe (x_{1 eq x_0}) sicher, dass wir nicht versuchen, durch Null zu dividieren. Der Leser ist eingeladen, innezuhalten, um darüber nachzudenken, was geometrisch geschieht; der ängstliche Leser kann zum nächsten Beispiel überspringen.

Beispiel (PageIndex{1}):

Ermitteln Sie die Steigung der Linie, die die folgenden Punktpaare enthält, falls vorhanden. Zeichnen Sie jedes Punktpaar und die Linie, die sie enthält.

  1. (P(0,0)), (Q(2,4))
  2. (P(-1,2)), (Q(3,4))
  3. (P(-2,3)), (Q(2,-3))
  4. (P(-3,2)), (Q(4,2))
  5. (P(2,3)), (Q(2,-1))
  6. (P(2,3)), (Q(2.1, -1))

Lösung

In jedem dieser Beispiele wenden wir die Steigungsformel Gleichung 2.1 an.

Ein paar Kommentare zu Beispiel (PageIndex{1}) sind angebracht. Erstens, aus Gründen, die bald klar werden werden, wenn die Steigung positiv ist, dann wird die resultierende Linie als ansteigend bezeichnet. Wenn es negativ ist, sagen wir, dass die Linie abnimmt. Eine Steigung von (0) führt zu einer horizontalen Linie, die wir als konstant bezeichnen, und eine undefinierte Steigung führt zu einer vertikalen Linie. Einige Autoren verwenden den unglücklichen Spitznamen "keine Steigung", wenn eine Steigung undefiniert ist. Es ist leicht, die Begriffe 'keine Steigung' mit 'Steigung von (0)' zu verwechseln. Aus diesem Grund werden wir Steigungen von vertikalen Linien als 'undefiniert' bezeichnen. Zweitens, je größer die Steigung im Absolutwert ist, desto steiler ist die Linie. Sie erinnern sich vielleicht aus der mittleren Algebra, dass die Steigung als das Verhältnis beschrieben werden kann

[m = dfrac{ ext{ steigen}}{ ext{ laufen}}]

Im zweiten Teil von Beispiel (PageIndex{1}) haben wir beispielsweise die Steigung als (frac{1}{2}) gefunden. Wir können dies als Anstieg um 1 Einheit nach oben für alle (2) Einheiten nach rechts interpretieren, die wir entlang der Linie bewegen, wie unten gezeigt.

In formalerer Notation verwenden wir bei gegebenen Punkten (left(x_{0}, y_0 ight)) und (left(x_1, y_1 ight)) den griechischen Buchstaben delta '(Delta )', um (Delta y = y_1 - y_0) und (Delta x = x_1 - x_0) zu schreiben. In den meisten wissenschaftlichen Kreisen bedeutet das Symbol (Delta) "Änderung in".

Daher können wir schreiben

[ m = dfrac{Updelta y}{Updelta x},]

was die Steigung als beschreibt Änderungsrate von (y) bezüglich (x). In der „realen Welt“ gibt es viele Veränderungsraten, wie das nächste Beispiel zeigt.

Beispiel (PageIndex{2}):

Angenommen, an der Ranger-Station auf dem Gipfel des Berges wurden zwei separate Temperaturmessungen vorgenommen. Sasquatch: Um (6) AM war die Temperatur (24^{circ})F und um (10) AM war es (32^{circ})F.

  1. Bestimmen Sie die Steigung der Geraden mit den Punkten ((6,24)) und ((10, 32)).
  2. Interpretieren Sie Ihre Antwort auf den ersten Teil in Bezug auf Temperatur und Zeit.
  3. Sagen Sie die Temperatur am Mittag voraus.

Lösung

  1. Für die Steigung gilt (m = frac{32 - 24}{10 - 6} = frac{8}{4} = 2).
  2. Da die Werte im Zähler den Temperaturen in (^{circ})F und die Werte im Nenner der Zeit in Stunden entsprechen, können wir die Steigung als (2 = dfrac{2}{ 1} = dfrac{2^{circ}, mbox{ F}}{1, mbox{ Stunde}},) oder (2^{circ})F pro Stunde. Da die Steigung positiv ist, wissen wir, dass dies einer steigenden Linie entspricht. Daher steigt die Temperatur mit einer Geschwindigkeit von (2^{circ})F pro Stunde.
  3. Mittag ist zwei Stunden nach (10) AM. Unter der Annahme einer Temperaturerhöhung von (2^{circ})F pro Stunde, sollte die Temperatur in zwei Stunden um (4^{circ})F steigen. Da die Temperatur um (10) AM (32^{circ})F beträgt, würden wir erwarten, dass die Temperatur am Mittag (32+4=36^{circ})F beträgt.

Nun kann es durchaus passieren, dass im vorherigen Szenario mittags die Temperatur nur noch (33^{circ})F beträgt. Dies bedeutet nicht, dass unsere Berechnungen falsch sind, sondern dass die Temperaturänderung im Laufe des Tages keine Konstante (2^{circ})F pro Stunde ist. Wie in Abschnitt 1.4 besprochen, sind mathematische Modelle genau das: Modelle. Die Vorhersagen, die wir aus den Modellen erhalten, sind zwar mathematisch genau, ähneln aber möglicherweise nicht dem, was in der realen Welt passiert.

In Abschnitt 1.2 haben wir die Gleichungen der vertikalen und horizontalen Linien diskutiert. Mit dem Konzept der Steigung können wir Gleichungen für die anderen Arten von Geraden entwickeln. Angenommen, eine Gerade hat eine Steigung von (m) und enthält den Punkt (left(x_{0}, y_{0} ight)). Angenommen, ((x,y)) ist ein weiterer Punkt auf der Linie, wie unten angegeben.

Gleichung 2.1 ergibt

[ egin{array} &m=dfrac{y-y_0}{x-x_0} m(x-x_0)= y-y_0 y-y_0 = m(x-x_0) end{array} ]

Wir haben gerade die abgeleitet Punkt-Steigung-Form einer Linie. Wir können diese Gleichung auch so verstehen, dass wir Transformationen auf die Funktion (I(x) = x) anwenden. Siehe die Übungen.

Punkt-Neigungs-Form

Das Punkt-Steigung-Form der Geraden mit Steigung (m), die den Punkt (left(x_0, y_0 ight) enthält, ist die Gleichung

[y - y_0 = mlinks(x - x_0 echts). label{pointslope}]

Beispiel (PageIndex{3}):

Schreiben Sie die Gleichung der Geraden mit den Punkten ((-1,3)) und ((2,1)).

Lösung

Um Gleichung 2.2 zu verwenden, müssen wir die Steigung der fraglichen Geraden finden, also verwenden wir Gleichung 2.1, um zu erhalten

[m = frac{Updelta y}{Updelta x} = frac{1 - 3}{2 - (-1)} = -frac{2}{3}.]

Wir haben die Qual der Wahl für einen Punkt (left(x_{0}, y_{0} ight)). Wir verwenden ((-1,3)) und überlassen es dem Leser zu überprüfen, ob die Verwendung von ((2,1)) zur gleichen Gleichung führt. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form der Geraden erhalten wir

[egin{array}{rclr} y - y_{0} & = & mleft(x - x_{0} ight) & y - 3 & = & -dfrac{2}{3} left(x - (-1) ight) & y - 3 & = & -dfrac{2}{3} left(x +1 ight) & y - 3& = & -dfrac {2}{3}x - dfrac{2}{3} y & = & -dfrac{2}{3} x + dfrac{7}{3}. end{array} ]

Wir können unsere Antwort überprüfen, indem wir zeigen, dass sowohl ((-1,3)) als auch ((2,1)) auf dem Graphen von (y = -frac{2}{3} x + frac{7}{3}) algebraisch, wie wir es in Abschnitt 1.6 getan haben.

Bei der Vereinfachung der Geradengleichung im vorherigen Beispiel haben wir eine andere Form einer Geraden erzeugt, die ( extbf{Slope-Intercept-Form}). Dies ist die bekannte (y = mx + b)-Form, die Sie wahrscheinlich in der mittleren Algebra gesehen haben. Der 'Achsenabschnitt' in 'slope-intercept' kommt daher, dass wir (x=0) erhalten, wenn wir (x=0) setzen, (y = b). Mit anderen Worten, der (y)-Achsenabschnitt der Geraden (y = mx + b) ist ((0,b)).

Gleichung 2.3: Die Slope-Intercept-Form

Das Steigungsschnittform der Geraden mit Steigung (m) und (y)-Achsenabschnitt ((0,b)) ist die Gleichung

[y = mx + b label{slopeintercept}]

Beachten Sie, dass wir bei einer Steigung (m = 0) die Gleichung (y = b) erhalten, die unserer Formel für eine horizontale Linie in Abschnitt 1.2 entspricht. Die in Gleichung 2.3 angegebene Formel kann verwendet werden, um alle Linien außer vertikalen Linien zu beschreiben. Alle Linien außer vertikalen Linien sind Funktionen (Warum ist das so?), sodass wir endlich einen guten Punkt erreicht haben, um ihn vorzustellen lineare Funktionen.

Definition 2.1: Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form

[ f(x) = mx + b]

wobei (m) und (b) reelle Zahlen mit (m eq 0) sind. Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist ((-infty, infty)).

Für den Fall (m=0) erhalten wir (f(x) = b). Diese erhalten eine eigene Klassifizierung.

Definition 2.2: Cständige Funktion

EIN konstante Funktion} ist eine Funktion der Form [ f(x) = b,] wobei (b) eine reelle Zahl ist. Der Definitionsbereich einer konstanten Funktion ist ((-infty, infty)).

Denken Sie daran, dass wir zum Zeichnen einer Funktion (f) die Gleichung (y=f(x)) zeichnen. Der Graph einer linearen Funktion ist also eine Gerade mit Steigung (m) und (y)-Achsenabschnitt ((0,b)); der Graph einer konstanten Funktion ist eine horizontale Gerade (eine Gerade mit Steigung (m = 0)) und ein (y)-Achsenabschnitt von ((0,b)). Denken Sie nun zurück an Abschnitt 1.6, insbesondere Definition 1.10 bezüglich steigender, fallender und konstanter Funktionen. Eine Gerade mit positiver Steigung wurde als steigende Gerade bezeichnet, weil eine lineare Funktion mit (m > 0) eine steigende Funktion ist. In ähnlicher Weise wurde eine Linie mit negativer Steigung als fallende Linie bezeichnet, weil eine lineare Funktion mit (m < 0) eine fallende Funktion ist. Und horizontale Linien wurden als konstant bezeichnet, weil wir hoffen, dass Sie die Verbindung bereits hergestellt haben.

Beispiel (PageIndex{4}):

Zeichnen Sie die folgenden Funktionen. Bestimmen Sie die Steigung und den (y)-Achsenabschnitt.

  1. (f(x) = 3)
  2. (f(x) = 3x - 1)
  3. (f(x) = dfrac{3 - 2x}{4})
  4. (f(x) = dfrac{x^2 - 4}{x-2})

Lösung

1. Um (f(x) = 3) zu zeichnen, zeichnen wir (y=3). Dies ist eine horizontale Linie (m=0) durch ((0,3)).

2. Der Graph von (f(x) = 3x-1) ist der Graph der Geraden (y = 3x-1). Vergleich dieser Gleichung mit Gleichung 2.3 ergibt (m=3) und (b = -1). Daher ist unsere Steigung (3) und unser (y)-Achsenabschnitt ((0,-1)). Um einen weiteren Punkt auf der Geraden zu erhalten, können wir ((1,f(1)) = (1,2)) zeichnen.

3. Auf den ersten Blick passt die Funktion (f(x) = frac{3 - 2x}{4}) nicht in die Form in Definition 2.1, aber nach einiger Umordnung erhalten wir (f(x) = frac {3 - 2x}{4} = frac{3}{4} - frac{2x}{4} = -frac{1}{2} x + frac{3}{4}). Wir identifizieren (m = -frac{1}{2}) und (b = frac{3}{4}). Daher ist unser Graph eine Gerade mit einer Steigung von (-frac{1}{2}) und einem (y)-Achsenabschnitt von (left(0, frac{3}{4} Recht)). Wenn wir einen zusätzlichen Punkt zeichnen, können wir ((1,f(1))) wählen, um (left(1, frac{1}{4} ight)) zu erhalten.

4. Vereinfachen wir den Ausdruck für (f), so erhalten wir

[ f(x) = dfrac{x^2-4}{x-2} = dfrac{cancel{(x-2)}(x+2)}{cancel{(x-2)} } = x+2.]

Wenn wir (f(x) = x+2) angeben würden, würden wir eine Unterlassungssünde begehen. Denken Sie daran, um den Definitionsbereich einer Funktion zu finden, tun wir dies ( extbf{before}) wir vereinfachen! In diesem Fall hat (f) große Probleme, wenn (x=2) und als solcher ist der Definitionsbereich von (f) ((-infty, 2) cup (2,infty )). Um dies anzuzeigen, schreiben wir (f(x) = x+2,) (x eq 2). Außer bei (x=2) zeichnen wir also die Gerade (y = x+2). Die Steigung (m =1) und der (y)-Achsenabschnitt ist ((0,2)). Ein zweiter Punkt im Graphen ist ((1,f(1)) = (1,3)). Da unsere Funktion (f) nicht bei (x=2) definiert ist, legen wir einen offenen Kreis an den Punkt, der auf der Geraden (y=x+2) liegen würde, wenn (x=2 ), nämlich ((2,4)).

Die letzten beiden Funktionen im vorherigen Beispiel zeigen einige der Schwierigkeiten bei der Definition einer linearen Funktion unter Verwendung des Ausdrucks „der Form“ wie in Definition 2.1, da einige algebraische Manipulationen erforderlich sein können, um eine gegebene Funktion so umzuschreiben, dass sie „der Form“ entspricht. Denken Sie daran, dass die Bereiche linearer und konstanter Funktionen alle reelle Zahlen ((-infty, infty) sind), also während (f(x) = frac{x^2-4}{x-2 }) vereinfacht zu einer Formel (f(x) = x+2), wird (f) nicht als lineare Funktion betrachtet, da ihr Definitionsbereich (x=2) ausschließt. Wir würden jedoch in Betracht ziehen

[f(x) = dfrac{2x^2 + 2}{x^2+1}]

eine konstante Funktion zu sein, da ihr Bereich alle reellen Zahlen ist (Können Sie uns sagen warum?) und

[ f(x) = dfrac{2x^2 + 2}{x^2+1} = dfrac{2cancel{left(x^2+1 ight)}}{cancel{left (x^2+1 echts)}} = 2]

Im folgenden Beispiel werden lineare Funktionen verwendet, um einige grundlegende wirtschaftliche Zusammenhänge zu modellieren.

Beispiel (PageIndex{5}):

Die Kosten (C) in Dollar, um (x) PortaBoy-Spielsysteme für einen lokalen Händler herzustellen, sind gegeben durch (C(x) = 80x + 150) für (x geq 0).

  1. Finden und interpretieren Sie (C(10)).
  2. Wie viele PortaBoys können für ($15,! 000) produziert werden?
  3. Erklären Sie die Bedeutung der Einschränkung auf den Definitionsbereich (x geq 0).
  4. Finden und interpretieren Sie (C(0)).
  5. Finden und interpretieren Sie die Steigung des Graphen von (y = C(x)).

Lösung

  1. Um (C(10) zu finden, ersetzen wir jedes Vorkommen von (x) durch (10) in der Formel für (C(x)), um (C(10) = 80( 10)+150 = 950). Da (x) die Anzahl der produzierten PortaBoys und (C(x)) die Kosten in Dollar darstellt, bedeutet (C(10) = 950), dass die Produktion ($950) kostet (10) PortaBoys für den lokalen Einzelhändler.
  2. Um herauszufinden, wie viele PortaBoys für ($15, ! 000) produziert werden können, lösen wir (C(x) = 15000) oder (80x+150 = 15000) auf. Auflösen erhalten wir (x = frac{14850}{80} = 185,625). Da wir nur eine ganze Anzahl von PortaBoys produzieren können, können wir (185) PortaBoys für ($15, ! 000) produzieren.
  3. Die Restriktion (x geq 0) ist der angewandte Bereich, wie in Abschnitt 1.4 diskutiert. (x) steht dabei für die Anzahl der produzierten PortaBoys. Es macht keinen Sinn, eine negative Anzahl von Spielsystemen zu produzieren.footnote{Eigentlich macht es auch keinen Sinn, einen Bruchteil eines Spielsystems zu produzieren, wie wir im vorherigen Teil dieses Beispiels gesehen haben. Diese Absurdität erscheint jedoch in manchen Lehrbüchern durchaus verzeihlich, uns aber nicht.}
  4. Wir finden (C(0) = 80(0)+150 = 150). Das bedeutet, dass es ($150) kostet, (0) PortaBoys herzustellen. Wie in Abschnitt 1.4 erwähnt, sind dies die Fix- oder Startkosten dieses Unternehmens.
  5. Wenn wir (y = C(x) grafisch darstellen würden, würden wir den Teil der Geraden (y = 80x + 150) für (x geq 0) grafisch darstellen. Wir erkennen die Steigung (m = 80). Wie jede Steigung können wir dies als Änderungsrate interpretieren. Hier sind (C(x)) die Kosten in Dollar, während (x) die Anzahl der PortaBoys misst, also

[ m = dfrac{Updelta y}{Updelta x} = dfrac{Updelta C}{Updelta x} = 80 = dfrac{80}{1} = dfrac{) 80}{ 1 , mbox{PortaBoy}}.]

Mit anderen Worten, die Kosten steigen mit einer Rate von ($80) pro produziertem PortaBoy. Dies wird oft als bezeichnet variable Kosten für dieses Unterfangen.

Das nächste Beispiel fordert uns auf, eine lineare Funktion zu finden, um ein verwandtes wirtschaftliches Problem zu modellieren.

Beispiel (PageIndex{6})

Der lokale Einzelhändler in Beispiel 2.1.4 hat festgestellt, dass die Anzahl (x) der in einer Woche verkauften PortaBoy-Spielsysteme mit dem Preis (p) in Dollar jedes Systems zusammenhängt. Als der Preis ($220) betrug, wurden (20) Spielsysteme in einer Woche verkauft. Als die Systeme in der folgenden Woche in den Verkauf gingen, wurden (40) Systeme zu ($190) pro Stück verkauft.

  1. Finden Sie eine lineare Funktion, die zu diesen Daten passt. Verwenden Sie den Wochenumsatz (x) als unabhängige Variable und den Preis (p) als abhängige Variable.
  2. Finden Sie eine geeignete Anwendungsdomäne.
  3. Interpretieren Sie die Steigung.
  4. Wenn der Händler nächste Woche (150) PortaBoys verkaufen möchte, wie hoch sollte der Preis sein?
  5. Wie hoch wäre der wöchentliche Umsatz, wenn der Preis auf ($150) pro System festgelegt würde?

Lösung

  1. Wir erinnern uns aus Abschnitt 1.4 an die Bedeutung von „unabhängig“ und „abhängiger“ Variable. Da (x) die unabhängige Variable und (p) die abhängige Variable sein soll, behandeln wir (x) als Eingabevariable und (p) als Ausgabevariable. Wir suchen also eine Funktion der Form (p(x) = mx + b). Um (m) und (b) zu bestimmen, verwenden wir die Tatsache, dass (20) PortaBoys in der Woche verkauft wurden, als der Preis (220) Dollar betrug und (40) Einheiten verkauft wurden, als der Preis war (190) Dollar. Unter Verwendung der Funktionsnotation können diese beiden Tatsachen als (p(20)=220) und (p(40)=190) übersetzt werden. Da (m) die Änderungsrate von (p) bezüglich (x) darstellt, gilt [ m = dfrac{Updelta p}{Updelta x} = dfrac{190- 220}{40-20} = dfrac{-30}{20} = -1.5.] Wir haben nun (p(x) = -1.5 x + b) bestimmt. Um (b) zu bestimmen, können wir unsere gegebenen Daten wieder verwenden. Mit (p(20) = 220) ersetzen wir (x=20) durch (p(x) = 1,5x + b) und setzen das Ergebnis gleich (220): (- 1,5(20)+b = 220). Auflösen erhalten wir (b = 250). Daher erhalten wir (p(x) = -1.5x + 250). Wir können unsere Formel überprüfen, indem wir (p(20)) und (p(40)) berechnen, um zu sehen, ob wir (220) bzw. (190) erhalten. Sie erinnern sich vielleicht an Abschnitt 1.5, dass die Funktion (p(x)) die Preis-Nachfrage- (oder einfach Nachfrage-)Funktion für dieses Unternehmen heißt.
  2. Um den Anwendungsbereich zu bestimmen, betrachten wir die physikalischen Randbedingungen des Problems. Natürlich können wir keine negative Anzahl von PortaBoys verkaufen, also (x geq 0). Wir stellen jedoch auch fest, dass die Steigung dieser linearen Funktion negativ ist und der Preis daher sinkt, wenn mehr Einheiten verkauft werden. Somit ist eine weitere Einschränkung des Preises (p(x)geq 0). Auflösen von (-1,5 x + 250 geq 0) ergibt (-1,5 x geq -250) oder (x leq dfrac{500}{3} = 166.overline{6}) . Da (x) die Anzahl der in einer Woche verkauften PortaBoys darstellt, runden wir auf (166) ab. Als Ergebnis ist ein sinnvoller Anwendungsbereich für (p) ([0,166]).
  3. Die Steigung (m = -1,5) repräsentiert wiederum die Änderungsrate des Preises einer Anlage in Bezug auf den wöchentlichen Verkauf von PortaBoys. Da die Steigung negativ ist, sinkt der Preis mit einer Rate von ($1,50) pro verkauftem PortaBoy. (Anders gesagt, Sie können einen weiteren PortaBoy für jeden ($1,50) Preisrückgang verkaufen.)
  4. Um den Preis zu bestimmen, der (150) PortaBoys bewegt, finden wir (p(150) = -1.5(150) + 250 = 25). Das heißt, der Preis müsste ($25) betragen.
  5. Wenn der Preis eines PortaBoy auf ($150) gesetzt wäre, haben wir (p(x) = 150), oder (-1.5x + 250 = 150). Auflösen erhalten wir (-1.5x = -100) oder (x = 66.overline{6}). Dies bedeutet, dass Sie (66) PortaBoys pro Woche verkaufen könnten, wenn der Preis ($150) pro System wäre.

Nicht alle Phänomene der realen Welt können mit linearen Funktionen modelliert werden. Nichtsdestotrotz ist es möglich, das Konzept der Steigung zu verwenden, um nichtlineare Funktionen unter Verwendung des Folgenden zu analysieren.

Definition 2.3: Durchschnittliche Änderungsrate

Sei (f) eine auf dem Intervall ([a,b]) definierte Funktion. Die mittlere Änderungsrate von (f) über ([a,b]) ist definiert als: [ dfrac{Updelta f}{Updelta x} = dfrac{f(b) - f( a)}{ba} ]

Geometrisch betrachtet, wenn wir den Graphen von (y=f(x)) haben, ist die durchschnittliche Änderungsrate über ([a,b]) die Steigung der Linie, die ((a,f(a ))) und ((b,f(b))). Das nennt man Sekantenlinie durch diese Punkte. Aus diesem Grund verwenden einige Lehrbücher die Schreibweise (m_{sec}) für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion. Beachten Sie, dass für eine lineare Funktion (m = m_{sec}), oder anders ausgedrückt, ihre Änderungsrate über ein Intervall gleich ihrer durchschnittlichen Änderungsrate ist.

Der Graph von (y=f(x)) und seine Sekantenlinie durch ((a,f(a))) und ((b,f(b)))

Der interessierte Leser kann das Adjektiv „durchschnittlich“ in der Formulierung „durchschnittliche Änderungsrate“ in Frage stellen. In der obigen Abbildung können wir sehen, dass sich die Funktion auf ([a,b]) wild ändert, aber die Steigung der Sekantenlinie erfasst nur eine Momentaufnahme der Aktion bei (a) und (b). . Diese Situation ist völlig analog zur Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Fahrt. Angenommen, Sie brauchen (2) Stunden, um (100) Meilen zurückzulegen. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt (frac{100, mbox{ Meilen}}{2, mbox{ Stunden}} = 50, mbox{Meilen pro Stunde}). Es ist jedoch durchaus möglich, dass Sie zu Beginn Ihrer Reise (25) Meilen pro Stunde zurückgelegt haben, dann auf (65) Meilen pro Stunde beschleunigt haben und so weiter. Die durchschnittliche Änderungsrate entspricht Ihrer Durchschnittsgeschwindigkeit während der Fahrt. Ihr Tachometer misst Ihre Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt der Fahrt, Ihr augenblickliche Änderungsrate, und dies ist eines der zentralen Themen der Infinitesimalrechnung.

Wenn wir Änderungsraten interpretieren, interpretieren wir sie genauso wie Steigungen. Im Zusammenhang mit Funktionen kann es hilfreich sein, sich die durchschnittliche Änderungsrate wie folgt vorzustellen:

[ dfrac{mbox{Änderung der Ausgaben}}{mbox{Änderung der Eingänge}}]

Beispiel (PageIndex{7}):

Erinnern Sie sich an Abschnitt 1.5, der Erlös aus dem Verkauf von (x)-Einheiten zu einem Preis (p) pro Einheit wird durch die Formel (R=xp) angegeben. Angenommen, wir befinden uns im Szenario der Beispiele 2.1.5 und 2.1.6.

  1. Finden und vereinfachen Sie einen Ausdruck für den Wochenumsatz (R(x)) als Funktion des Wochenumsatzes (x).
  2. Finden und interpretieren Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (R(x)) über das Intervall ([0,50]).
  3. Finden und interpretieren Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (R(x)) als (x) von (50) zu (100) und vergleichen Sie dies mit Ihrem Ergebnis in Teil 2.
  4. Ermitteln und interpretieren Sie die durchschnittliche Änderungsrate des wöchentlichen Umsatzes als wöchentliche Umsatzsteigerung von (100) PortaBoys auf (150) PortaBoys.

Lösung

  1. Da (R = xp), ersetzen wir (p(x) = -1.5x + 250) aus Beispiel 2.1.6 und erhalten (R(x) = x (-1.5x + 250) = -1.5 x^2+250x). Da wir festgestellt haben, dass die Preis-Nachfrage-Funktion (p(x)) auf (0 leq x leq 166) beschränkt ist, ist (R(x)) auf diese Werte von (x) auch.
  2. Mit Definition 2.3 erhalten wir, dass die durchschnittliche Änderungsrate [ dfrac{Updelta R}{Updelta x} = dfrac{R(50) - R(0)}{50 - 0} = dfrac{ 8750 - 0}{50 - 0} = 175.]
  3. Wenn wir diese Steigung wie in ähnlichen Situationen interpretieren, kommen wir zu dem Schluss, dass für jeden zusätzlichen PortaBoy, der während einer bestimmten Woche verkauft wird, der wöchentliche Umsatz um ($175) steigt.
  4. Der Wortlaut dieses Teils unterscheidet sich geringfügig von dem in Definition 2.3, aber seine Bedeutung besteht darin, die durchschnittliche Änderungsrate von (R) über das Intervall ([50,100]) zu ermitteln. Um diese Änderungsrate zu ermitteln, berechnen wir [ dfrac{Updelta R}{Updelta x} = dfrac{R(100) - R(50)}{100-50} = dfrac{10000 - 8750} {50} = 25.] Mit anderen Worten, für jeden weiteren verkauften PortaBoy erhöht sich der Umsatz um ($25). Beachten Sie, dass der Umsatz durch den Verkauf von mehr Spielsystemen zwar immer noch steigt, wir jedoch nicht so stark ansteigen wie in Teil 2 dieses Beispiels. (Können Sie sich vorstellen, warum das passiert?)
  5. Wenn wir das Englische in die Mathematik übersetzen, werden wir gebeten, die durchschnittliche Änderungsrate von (R) über das Intervall ([100,150]) zu ermitteln. Wir finden [ dfrac{Updelta R}{Updelta x} = dfrac{R(150) - R(100)}{150-100} = dfrac{3750 - 10000}{50} = -125. ] Das bedeutet, dass wir für jeden zusätzlichen verkauften PortaBoy ($125) Dollar an wöchentlichem Umsatz verlieren. (Können Sie sich vorstellen, warum das möglich ist?)

Wir schließen diesen Abschnitt mit einem neuen Blick auf Differenzenquotienten, die erstmals in Abschnitt 1.4 eingeführt wurden. Wollen wir die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (f) über das Intervall ([x, x+h]) berechnen, dann haben wir

[ dfrac{Updelta f}{Updelta x} = dfrac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}]

Wie wir bereits angedeutet haben, ist die Änderungsrate einer Funktion (durchschnittlich oder anders) in der Analysis von großer Bedeutung.footnote{Wir quälen Sie also nicht umsonst damit.} Außerdem haben wir die geometrische Interpretation von Differenzenquotienten, diequot wurde Ihnen bereits in Abschnitt 1.5 versprochen -- ein Differenzenquotient ergibt die Steigung einer Sekante.


2.1 Lineare Funktionen

Genau wie beim Wachstum einer Bambuspflanze gibt es viele Situationen, die im Laufe der Zeit ständigen Veränderungen unterliegen. Betrachten Sie zum Beispiel die erste kommerzielle Magnetschwebebahn der Welt, den Shanghai MagLev Train (Abbildung 1). Er befördert Passagiere bequem in nur acht Minuten für eine 30 Kilometer lange Fahrt vom Flughafen zur U-Bahn-Station. 7

Angenommen, eine Magnetschwebebahn würde eine lange Strecke zurücklegen, und der Zug behält eine konstante Geschwindigkeit von 83 Metern pro Sekunde bei, sobald er 250 Meter vom Bahnhof entfernt ist. Wie können wir die Entfernung des Zuges vom Bahnhof als Funktion der Zeit analysieren? In diesem Abschnitt untersuchen wir eine Art von Funktion, die für diesen Zweck nützlich ist, und verwenden sie, um reale Situationen wie die Entfernung des Zuges vom Bahnhof zu einem bestimmten Zeitpunkt zu untersuchen.

Darstellung linearer Funktionen

Die Funktion, die die Bewegung des Zuges beschreibt, ist a lineare Funktion, die als Funktion mit konstanter Änderungsrate definiert ist, d. h. als Polynom vom Grad 1. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine lineare Funktion darzustellen, einschließlich Wortform, Funktionsnotation, Tabellenform und grafische Form. Wir werden die Bewegung des Zuges mit jeder Methode als Funktion beschreiben.

Darstellen einer linearen Funktion in Wortform

Beginnen wir damit, die lineare Funktion in Worten zu beschreiben. Für das gerade betrachtete Zugproblem kann der folgende Wortsatz verwendet werden, um die Funktionsbeziehung zu beschreiben.

  • Die Entfernung des Zuges vom Bahnhof ist eine Funktion der Zeit, in der sich der Zug mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, plus seiner ursprünglichen Entfernung vom Bahnhof, als er mit konstanter Geschwindigkeit begann.

Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate. Denken Sie daran, dass eine Änderungsrate ein Maß dafür ist, wie schnell sich die abhängige Variable in Bezug auf die unabhängige Variable ändert. Die Änderungsrate für dieses Beispiel ist konstant, dh sie ist für jeden Eingabewert gleich. Wenn die Zeit (Eingabe) um 1 Sekunde zunimmt, erhöht sich die entsprechende Entfernung (Ausgabe) um 83 Meter. Mit dieser konstanten Geschwindigkeit setzte sich der Zug 250 Meter vom Bahnhof entfernt in Bewegung.

Darstellung einer linearen Funktion in Funktionsnotation

Ein anderer Ansatz zur Darstellung linearer Funktionen ist die Verwendung der Funktionsnotation. Ein Beispiel für die Funktionsnotation ist eine Gleichung, die in der Form der Steigung-Achsenabschnittsform einer Linie geschrieben ist, wobei x x der Eingabewert ist, mm die Änderungsrate ist und b b der Anfangswert der abhängigen Variablen ist.

Darstellen einer linearen Funktion in Tabellenform

Eine dritte Methode zur Darstellung einer linearen Funktion ist die Verwendung einer Tabelle. Die Beziehung zwischen der Entfernung von der Station und der Zeit ist in Abbildung 2 dargestellt. Aus der Tabelle können wir sehen, dass sich die Entfernung pro 1 Sekunde Zeitzunahme um 83 Meter ändert.

Kann die Eingabe im vorherigen Beispiel eine beliebige reelle Zahl sein?

Nein. Die Eingabe stellt die Zeit dar. Während also nichtnegative rationale und irrationale Zahlen möglich sind, sind negative reelle Zahlen für dieses Beispiel nicht möglich. Die Eingabe besteht aus nicht-negativen reellen Zahlen.

Darstellen einer linearen Funktion in grafischer Form

Eine andere Möglichkeit, lineare Funktionen darzustellen, ist die visuelle Verwendung eines Graphen. Wir können die Funktionsbeziehung von oben verwenden, D ( t ) = 83 t + 250 , D ( t ) = 83 t + 250 , um einen Graphen zu zeichnen, der in Abbildung 3 dargestellt ist. Beachten Sie, dass der Graph eine Linie ist. Wenn wir eine lineare Funktion zeichnen, ist der Graph immer eine Linie.

Die konstante Änderungsrate bestimmt die Neigung, oder Steigung der Linie. Der Punkt, an dem der Eingabewert Null ist, ist der vertikale Schnittpunkt, oder ja-abfangen, der Linie. Aus dem Diagramm in Abbildung 3 können wir sehen, dass die ja-intercept in dem gerade gesehenen Zugbeispiel ist (0, 250) (0, 250) und stellt die Entfernung des Zuges vom Bahnhof dar, als er sich mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen begann.

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Lineare Funktionen können in der Steigungsabschnittsform einer Geraden geschrieben werden


Funktionen und lineare Gleichungen

Wenn wir in der folgenden Gleichung y=x+7 x einen Wert zuweisen, liefert uns die Gleichung einen Wert für y.

Hätten wir x einen anderen Wert zugewiesen, hätte uns die Gleichung einen anderen Wert für y gegeben. Wir hätten stattdessen einen Wert für y zuweisen und die Gleichung lösen können, um den passenden Wert von x zu finden.

In unserer Gleichung y=x+7 haben wir zwei Variablen, x und y. Die Variable, der wir den Wert zuweisen, nennen wir die unabhängige Variable, und die andere Variable ist die abhängige Variable, da ihr Wert von der unabhängigen Variablen abhängt. In unserem obigen Beispiel ist x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.

Eine Funktion ist eine Gleichung, die für jedes x nur eine Antwort für y hat. Eine Funktion weist jedem Eingang eines bestimmten Typs genau einen Ausgang zu.

Es ist üblich, eine Funktion anstelle von y entweder f(x) oder g(x) zu nennen. f(2) bedeutet, dass wir den Wert unserer Funktion finden sollten, wenn x gleich 2 ist.

Eine Funktion ist linear, wenn sie definiert werden kann durch

f(x) ist der Wert der Funktion.
ich ist die Steigung der Linie.
b ist der Wert der Funktion, wenn x gleich Null oder die y-Koordinate des Punktes ist, an dem die Linie die y-Achse in der Koordinatenebene schneidet.
x ist der Wert der x-Koordinate.

Diese Form wird als Steigungsabschnittsform bezeichnet. Wenn m, die Steigung, negativ ist, nimmt der Funktionswert mit zunehmendem x ab und umgekehrt, wenn wir eine positive Steigung haben.

Eine Gleichung wie y=x+7 ist linear und es gibt unendlich viele geordnete Paare von x und y, die die Gleichung erfüllen.

Die Steigung m ist hier 1 und unser b (y-Achsenabschnitt) ist 7.
Die Steigung einer Linie, die durch die Punkte (x1,y1) und (x2,y2) verläuft, ist gegeben durch

Wenn zwei linearen Gleichungen die gleiche Steigung gegeben wird, bedeutet dies, dass sie parallel sind, und wenn das Produkt zweier Steigungen m1*m2=-1 ist, heißen die beiden linearen Gleichungen senkrecht.


Detaillierte Beschreibung für alle Arbeitsblätter für lineare Gleichungen

Finden der Neigung aus einer grafischen Linie Arbeitsblätter
Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen führen zu Problemen beim Üben des Ermittelns der Steigung aus einer graphischen Linie. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Finden der Steigung aus einem Punktpaar-Arbeitsblatt
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme beim Üben des Ermittelns der Steigung von einem Paar von Punkten aufwerfen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Finden der Steigung und des Y-Achsenabschnitts aus Arbeitsblättern für lineare Gleichungen
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme zum Üben des Findens der Steigung und des Y-Achsenabschnitts aus einer Gleichung aufwerfen. Sie können die Art der zu erstellenden Probleme und die Lösungen auswählen, die die Schüler ausführen müssen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Grafische Darstellung von Linien in Slope-Intercept-Formulararbeitsblättern
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme beim Üben der grafischen Darstellung von Linien in Form von Steigungsabschnitten erzeugen. Sie können die Art der Lösungen auswählen, die die Schüler durchführen müssen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Grafische Darstellung von Linien bei gegebenem Y-Achsenabschnitt und einem geordneten Paar Arbeitsblätter
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme beim Üben der grafischen Darstellung von Linien ergeben, wenn der Y-Achsenabschnitt und ein geordnetes Paar gegeben sind. Sie können die Art der Lösungen auswählen, die die Schüler durchführen müssen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Zeichnen von Linien mit zwei geordneten Paaren Arbeitsblätter
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme beim Üben des Zeichnens von Linien mit zwei geordneten Paaren aufwerfen. Sie können die Art der Lösungen auswählen, die die Schüler durchführen müssen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Zeichnen von Linien in Standardformular-Arbeitsblättern
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme zum Üben des Zeichnens von Linien in Standardform aufzeigen. Sie können die Art der Lösungen auswählen, die die Schüler durchführen müssen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Arbeiten mit Arbeitsblättern für lineare Gleichungen
Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen werden Probleme zum Üben des Lösens der Gleichung einer linearen Gleichung aufzeigen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Schreiben von Arbeitsblättern für lineare Gleichungen
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme zum Üben des Schreibens linearer Gleichungen aus grafisch dargestellten Linien aufzeigen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Arbeitsblätter für lineare Ungleichungen grafisch darstellen
Diese Ungleichungs-Arbeitsblätter werden Probleme zum Üben der grafischen Darstellung von linearen Ungleichungen aufwerfen. Diese Ungleichheitsarbeitsblätter sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.

Arbeitsblätter für Absolutwerte grafisch darstellen
Diese Arbeitsblätter für lineare Gleichungen werden Probleme beim Üben der grafischen Darstellung von Absolutwerten aufwerfen. Diese Arbeitsblätter zu linearen Gleichungen sind eine gute Ressource für Schüler der 5. bis 8. Klasse.


9 Gedanken zu &ldquo 3.1: Kehrwert einer linearen Funktion. &rdquo

Was ist der Unterschied zwischen x-Achsenabschnitt und Domäne in diesem Kapitel?

how do you determine the linear function/equation if you are just given the graph?

To determine the function from the graph, first find the asymptote (where x is not defined), and then you know that at the bottom of the equation, x cannot be that value and the ENTIRE bottom equation cannot be equal to zero.

Say the asymptote is at x=2.

x =/= 2
x -(some number) =/= 0
move the (some number) to the right side
x =/= (some number)

so what is the (some number)? Refer to the first line, x =/= 2, therefore (some number) = 2
Therefore the bottom of the equation is x-2. Entire equation is: 1/(x-2)

This is a long explanation, but it works well for non-whole numbers like when asymptote is at x = 3/2
x – (3/2) =/= 0
x =/= (3/2)
2x =/= 3
2x – 3 =/= 0

Entire equation therefore is: 1/(2x-3)

That makes finding the equation so much easier now,thanks!

so
3/((x^2)+1)
1/((x^2)+1
x/(x+3)
1/(x+3)
which one of these is reciprocal of a linear function, and what makes it the correct answer?
Vielen Dank.

I’m guessing you’re no longer working on this math assignment, but for the sake of any readers.

1 / (x+3) would be the reciprocal linear function.

Reciprocals are numbers that when multiplied together equal one. So for example, the reciprocal of 6 is 1/6. So in the term of a reciprocal function, the “original function” would be the denominator.

In this case, 1 / (x+3) is the reciprocal function to x + 3. If you were to plot the graph of x +3 and of 1 / (x+3), you would find that the y values for a given x point would be reciprocals in these two. For example, if you picked the point X = 10, the original function’s value is 13, while the reciprocal function’s Y value is 1/13 (or about 0.0769). These are reciprocals of each other.

The other ones are not reciprocal linear functions because:
3 / (x^2 + 1) is not a reciprocal as the numerator is not 1, and x^2 + 1 is not a linear function it is a quadratic function.
1 / (x^2 + 1) is not a reciprocal linear function because x^2 + 1 is a quadratic function, not a linear function.
x / (x+3) is not a reciprocal linear function as the numerator is not 1.

“So in the term of a reciprocal function” should read “expression”, not “term”. Es tut uns leid

First of all I want to say terrific blog! I had a quick question
which I’d like to ask if you don’t mind. I was curious to know how you center yourself and clear your thoughts prior
to writing. I’ve had a tough time clearing my thoughts in getting my thoughts
aus. I do enjoy writing however it just seems like the first 10
to 15 minutes are generally lost just trying to figure
out how to begin. Any ideas or hints? Appreciate it!


Maharashtra State Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Linear Equations in Two Variables Problem Set 1

Choose correct alternative for each of the following questions.

Question 1.
To draw graph of 4x + 5y = 19, find y when x = 1.
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) -3
Antworten:
(b)

Question 2.
For simultaneous equations in variables x and y, Dx = 49, Dy = – 63, D = 7 then what is x?
(a) 7
(b) -7
(c) (frac < 1 > < 7 >)
(d) (frac < -1 > < 7 >)
Antworten:
(ein)

Question 3.
Find the value of

(a) -1
(b) -41
(c) 41
(d) 1
Antworten:
(d)

Question 4.
To solvex + y = 3 3x – 2y – 4 = 0 by determinant method find D.
(a) 5
(b) 1
(c) -5
(d) -1
Antworten:
(c)

Question 5.
ax + by = c and mx + n y = d and an ≠ bm then these simultaneous equations have-
(a) Only one common solution
(b) No solution
(c) Infinite number of solutions
(d) Only two solutions.
Antworten:
(ein)

Question 2.
Complete the following table to draw the graph of 2x – 6y = 3.
Antworten:

Question 3.
Lösen Sie die folgenden simultanen Gleichungen grafisch.
ich. 2x + 3y = 12 x – y = 1
ii. x – 3y = 1 3x – 2y + 4 = 0
iii. 5x – 6y + 30 = 0 5x + 4y – 20 = 0
iv. 3x – y – 2 = 0 2x + y = 8
v. 3x + y= 10 x – y = 2
Antworten:
ich. The given simultaneous equations are

The two lines interest at point (3,2).
∴ x = 3 and y = 2 is the solution of the simultaneous equations 2x + 3y = 12 and x – y = 1.

ii. The given simultaneous equations are

The two lines intersect at point (-2, -1).
∴ x = -2 and y = -1 is the solution of the simultaneous equations x – 3y = 1 and 3x – 2p + 4 = 0.

iii. The given simultaneous equations are

The two lines intersect at point (0, 5).
∴ x = 0 and y = 5 is the solution of the simultaneous equations 5x – 6y + 30 = 0 and 5x + 4y – 20 = 0.

iv. The given simultaneous equations are


The two lines intersect at point (2, 4).
∴ x = 2 and y = 4 is the solution of the simultaneous equations 3x – y – 2 = 0 and 2x + y = 8.

v. The given simultaneous equations are

The two lines intersect at point (3, 1).
∴ x = 3 and y = 1 is the solution of the simultaneous equations 3x + y = 10 and x – y = 2.

Question 4.
Finden Sie die Werte jeder der folgenden Determinanten.

Lösung:

Question 5.
Solve the following equations by Cramer’s method.

Lösung:
ich. The given simultaneous equations are
6x – 3y = -10 …(i)
3x + 5y – 8 = 0
∴ 3x + 5y = 8 …(ii)
Equations (i) and (ii) are in ax + by = c form. Comparing the given equations with a1x + b1y = c1 und ein2x + b2y = c2, wir bekommen
ein1 = 6, b1 = -3, c1 = 10 and
ein2 = 3, b2 = 5, c2 = 8

ii. The given simultaneous equations are
4m – 2n = -4 …(i)
4m + 3n = 16 …(ii)
Equations (i) and (ii) are in am + bn = c form.
Comparing the given equations with a1m + b1n = c1 und ein2m + b2n = c2, wir bekommen
ein1 = 4, b1 = -2, c1 = -4 and
ein2 = 4, b2 = 3, c2 = 16


∴ (m, n) = (1, 4) is the solution of the given simultaneous equations.

iii. The given simultaneous equations are

iv. The given simultaneous equations are
7x + 3y = 15 …(i)
12y – 5x = 39
i.e. -5x + 12y = 39 …(ii)
Equations (i) and (ii) are in ax + by = c form.
Comparing the given equations with
ein1x + b1y = c1 und ein2x + b2y = c2, wir bekommen
ein1 = 7, b1 = 3, c1 = 15 and
ein2 = -5, b2 = 12, c2 = 39

v. The given simultaneous equations are

∴ 4(x + y – 8) = 2(3x – y)
∴ 4x + 4y – 32 = 6x – 2y
∴ 6x – 4x – 2y – 4y = -32
∴ 2x – 6y = -32
∴ x – 3y = -16 …(ii)[Dividing both sides by 2]
Equations (i) and (ii) are in ax + by = c form. Comparing the given equations with
ein1x + b1y = c1 und ein2x + b2y = c2, wir bekommen
ein1 = 1, b1 = -1, c1 = -4 and
ein2 = 1, b2 = -3, c2 = -16

∴ (x, y) = (2, 6) is the solution of the given simultaneous equations.

Question 6.
Solve the following simultaneous equations:

Antworten:
ich. The given simultaneous equations are

Subtracting equation (iv) from (iii), we get

∴ (x, y) = (6, – 4) is the solution of the given simultaneous equations.

ii. The given simultaneous equations are

Adding equations (v) and (vi), we get

iii. The given simultaneous equations are


∴ (x, y) = (1, 2) is the solution of the given simultaneous equations.

iv. The given simultaneous equations are

∴ Equations (i) and (ii) become 7q – 2p = 5 …(iii)
8q + 7p = 15 …(iv)
Multiplying equation (iii) by 7, we get
49q – 14p = 35 …(v)
Multiplying equation (iv) by 2, we get
16q + 14p = 30 …(vi)
Adding equations (v) and (vi), we get

Substituting q = 1 in equation (iv), we get
8(1) + 7p = 15
∴ 8 + 7p = 15
∴ 7p = 15 – 8
∴ 7p = 7
∴ p = (frac < 7 > < 7 >) = 1
∴ (P, q) = (1,1)
Resubstituting the values of p and q, we get
1 = (frac < 1 > < x >) and 1 = (frac < 1 > < y >)
∴ x = 1 and y = 1
∴ (x, y) = (1, 1) is the solution of the given simultaneous equations.

v. The given simultaneous equations are

Resubstituting the values of p and q, we get

∴ 3x + 4y = 10 …(v)
and 2x – 3y = 1 …(vi)
Multiplying equation (v) by 3, we get
9x + 12y = 30 …(vii)
Multiplying equation (vi) by 4, we get
8x – 12y = 4 …(viii)
Adding equations (vii) and (viii), we get

Substituting x = 2 in equation (v), we get
3(2) + 4y = 10
⇒ 6 + 4y = 10
⇒ 4y = 10 – 6
⇒ y = 4/4 = 1
∴ y = 1
∴ (x, y) = (2, 1) is the solution of the given simultaneous equations.

Question 7.
Solve the following word problems, i. A two digit number and the number with digits interchanged add up to 143. In the given number the digit in unit’s place is 3 more than the digit in the ten’s place. Finden Sie die ursprüngliche Nummer.
Lösung:
Let the digit in unit’s place be x
and that in the ten’s place be y.

ii. Kantabai bought 1 (frac < 1 > < 2 >) kg tea and 5 kg sugar from a shop. She paid ₹ 50 as return fare for rickshaw. Total expense was ₹ 700. Then she realised that by ordering online the goods can be bought with free home delivery at the same price. So, next month she placed the order online for 2 kg tea and 7 kg sugar. She paid ₹ 880 for that. Finden Sie den Zucker- und Teegehalt pro kg heraus.
Lösung:
Let the rate of tea be ₹ x per kg and that of sugar be ₹ y per kg.
According to the first condition,
cost of 1 (frac < 1 > < 2 >) kg tea + cost of 5 kg sugar + fare for rickshaw = total expense

According to the second condition,
cost of 2 kg tea + cost of 7 kg sugar = total expense
2x + 7y = 880 …(ii)
Multiplying equation (i) by 2, we get
6x + 20y = 2600 …(iii)
Multiplying equation (ii) by 3, we get
6x + 21y = 2640 …(iv)
Subtracting equation (iii) from (iv), we get

∴ The rate of tea is ₹ 300 per kg and that of sugar is ₹ 40 per kg.

iii. To find number of notes that Anushka had, complete the following activity.

Lösung:
Anushka had x notes of ₹ 100 and y notes of ₹ 50.
According to the first condition,
100x + 50y = 2500
∴ 2x + y = 50 …(i) [Dividing both sides by 50]
According to the second condition,
100y + 50x = 2000
∴ 2y + x = 40 … [Dividing both sides by 50]
i.e. x + 2y = 40
∴ 2x + 4y = 80 …(ii) [Multiplying both sides by 2]
Subtracting equation (i) from (ii), we get

∴ Anushka had 20 notes of ₹ 100 and 10 notes of ₹ 50.

iv. Sum of the present ages of Manish and Savita is 31, Manish’s age 3 years ago was 4 times the age of Savita. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:
Let the present ages of Manish and Savita be x years and y years respectively.
According to the first condition,
x + y = 31 …(i)
3 years ago,
Manish’s age = (x – 3) years
Savita’s age = (y – 3) years
According to the second condition,
(x – 3) = 4 (y – 3)
∴ x – 3 = 4y – 12
∴ x – 4y = -12 + 3
∴ x – 4y = -9 …(ii)
Subtracting equation (ii) from (i), we get

∴ x = 31 – 8
∴ x = 23
The present ages of Manish and Savita are 23 years and 8 years respectively.

v. In a factory the ratio of salary of skilled and unskilled workers is 5 : 3. Total salary of one day of both of them is ₹ 720. Find daily wages of skilled and unskilled workers.
Lösung:
Let the daily wages of skilled workers be ₹ x
that of unskilled workers be ₹ y.
According to the first condition,

∴ The daily wages of skilled workers is ₹ 450 and that of unskilled workers is ₹ 270.

vi. Places A and B are 30 km apart and they are on a straight road. Hamid fährt mit dem Fahrrad von A nach B. Gleichzeitig startet Joseph von B mit dem Fahrrad, fährt Richtung A. Nach 20 Minuten treffen sie sich. If Joseph would have started from B at the same time but in the opposite direction (instead of towards A), Hamid would have caught him after 3 hours. Finden Sie die Geschwindigkeit von Hamid und Joseph.
Lösung:
Let the speeds of Hamid and Joseph be x km/hr andy km/hr respectively.
Distance travelled by Hamid in 20 minutes

According to the first condition,

∴ The speeds of Hamid and Joseph 50 km/hr and 40 km/hr respectively.


Mathe-Einblick

Let $A$ be a $2 imes 3$ matrix, say egin A = left[ egin 1 & 0 & -1 3 & 1 & 2 end ight]. end What do you get if you multiply $A$ by the vector $vc=(x,y,z)$? Remembering matrix multiplication, we see that egin Avc = left[ egin 1 & 0 & -1 3 & 1 & 2 end ight] left[ egin x y z end ight] = left[ egin x - z 3x + y +2z end ight] =(x-z,3x+y+2z). end

If we define a function $vc(vc) = Avc$, we have created a function of three variables $(x,y,z)$ whose output is a two-dimensional vector $(x-z,3x+y+2z)$. Using function notation, we can write $vc : R^3 o R^2$. We have created a vector-valued function of three variables. So, for example, $vc(1,2,3) = (1-3,3cdot 1 + 2 + 2 cdot 3) = (-2, 11)$.

Given any $m imes n$ matrix $B$, we can define a function $vc: R^n o R^m$ (note the order of $m$ and $n$ switched) by $vc(vc) = B vc$, where $vc$ is an $n$-dimensional vector. As another example, if egin C = left[ egin 5 & -3 1 & 0 -7 & 4 0 & -2 end ight], end then the function $vc(vc) = C vc$, where $y=(y_1, y_2)$, is $vc(vc) = (5y_1-3y_2,y_1,-7y_1+4y_2,-2y_2)$.

In this way, we can associate with every matrix a function. What about going the other way around? Given some function, say $vc: R^n o R^m$, can we associate with $vc(vc)$ some matrix? We can only if $vc(vc)$ is a special kind of function called a linear transformation. The function $vc(vc)$ is a linear transformation if each term of each component of $vc(vc)$ is a number times one of the variables. So, for example, the functions $vc(x,y)=(2x+y,y/2)$ and $vc(x,y,z)=(z,0,1.2 x)$ are linear transformation, but none of the following functions are: $vc(x,y)=(x^2,y,x)$, $,vc(x,y,z)=(y,xyz)$, or $vc(x,y,z)=(x+1,y,z)$. Note that both functions we obtained from matrices above were linear transformations.

Let's take the function $vc(x,y)=(2x+y,y,x-3y)$, which is a linear transformation from $R^2$ to $R^3$. The matrix $A$ associated with $vc$ will be a $3 imes 2$ matrix, which we'll write as egin A = left[ egin a_ <11>& a_<12> a_ <21>& a_<22> a_ <31>& a_ <32>end ight]. end We need $A$ to satisfy $vc(vc)=Avc$, where $vc=(x,y)$.

The easiest way to find $A$ is the following. If we let $vc=(1,0)$, then $f(vc)= Avc$ is the first column of $A$. (Can you see that?) So we know the first column of $A$ is simply egin f(1,0)=(2,0,1) = left[ egin 21 end ight]. end

Similarly, if $vc=(0,1)$, then $f(vc)=Avc$ is the second column of $A$, which is egin f(0,1) = (1,1,-3) = left[ egin 11-3 end ight]. end

Putting these together, we see that the linear transformation $vc(vc)$ is associated with the matrix egin A= left[ egin 2 & 1 0 & 1 1 & -3 end ight]. end

The important conclusion is that every linear transformation is associated with a matrix and vice versa.


2. Homogeneous Linear Systems

Definition. A system of linear equations is said to be homogeneous if the constant
terms are all zero. In other words, an m*n (i.e., m equations in n unknowns)
homogeneous system is one of the form

Observe that every homogeneous system is consistent since the trivial solution

is obviously a solution to (5). Other solutions to the system (5), if they exist at all,
are referred to as nontrivial solutions.

Since a homogeneous linear system always has at least the trivial solution, it
follows (from Theorem 1) that exactly one of the following is true for a system of
the form (5):

(i) The system (5) has only the trivial solution
(ii) The system (5) has infinitely many solutions in addition to the trivial solution. In other words, the system has
infinitely many nontrivial solutions.

Example 4. Consider the general 2*2 homogeneous linear system below

The two equations in (6) represent lines l1 and l2 in R 2 which pass through the origin
(0, 0). This corresponds to the fact that a homogeneous system of equations always
has at least the trivial solution. In fact, the only way that nontrivial solutions to
(6) can exist is if l1 = l2. This is because l1 and l2 are guaranteed to meet at the
origin - if they intersect elsewhere, then they must actually be the same line.

Recall that if ad - bc = 0, then l1 and l2 have the same slope. Since l1 and l2
have the same y-intercept (namely y = 0) it follows that ad - bc = 0 means that
l1 = l2. Mit anderen Worten:

(i) If ad-bc = 0, then (6) has infinitely many nontrivial solutions (in addition
to the trivial solution x = y = 0).

(ii) If ad-bc ≠ 0, then (6) has exactly one solution, namely the trivial solution.

The fact that (6) is homogeneous is crucial here. If the constant terms were
not both zero, then l1 and l2 could have the same slope (i.e., ad - bc = 0) yet not
intersect at all (they could be parallel to each other).

Another important fact about homogeneous linear systems is the following:

Satz 2. A homogeneous system of linear equations with more unknowns than
equations must have infinitely many solutions.

It is important to note that the preceding theorem (Theorem 1.2.1 of the text)
applies only to homogeneous systems (see problem 1.2.28 of Anton).

Example 5. A system of the form

(where a, b, c, d, e, f are constants and x, y, z are the variables) always has infinitely
many solutions. Indeed, geometrically, the preceding equations represent two planes
P1 und P2 in R 3 . Since the system is homogeneous, both P1 und P2 durchlaufen
the origin (0, 0, 0) - in other words P1 und P2 are guaranteed to intersect (contrast
this with the inhomogeneous case). This is because the trivial solution

is automatically a solution to both equations in the system (7). Geometrically, we
can see that either P1 = P2 oder P1 und P2 intersect in a straight line. In beiden Fällen,
there are infinitely many solutions to the system (7).


Table of Contents for Introduction to Linear Algebra (5th edition 2016)

  • 1 Introduction to Vectors
    • 1.1 Vectors and Linear Combinations
    • 1.2 Lengths and Dot Products
    • 2.1 Vectors and Linear Equations
    • 2.2 The Idea of Elimination
    • 2.3 Elimination Using Matrices
    • 2.4 Rules for Matrix Operations
    • 2.6 Elimination = Factorization: EIN = LU
    • 2.7 Transposes and Permutations
    • 3.1 Spaces of Vectors
    • 3.2 The Nullspace of EIN: Solving Ax = 0 und Rx = 0
    • 3.3 The Complete Solution to Ax = b
    • 3.4 Independence, Basis and Dimension
    • 4.1 Orthogonality of the Four Subspaces
    • 4.2 Projections
    • 4.3 Least Squares Approximations
    • 4.4 Orthonormal Bases and Gram-Schmidt
    • 5.1 The Properties of Determinants
    • 5.2 Permutations and Cofactors
    • 5.3 Cramer’s Rule, Inverses, and Volumes
    • 8.1 The Idea of a Linear Transformation
    • 8.2 The Matrix of a Linear Transformation
    • 8.3 The Search for a Good Basis
    • 9.1 Complex Numbers
    • 9.2 Hermitian and Unitary Matrices
    • 9.3 The Fast Fourier Transform
    • 10.1 Graphs and Networks
    • 10.2 Matrices in Engineering
    • 10.3 Markov Matrices, Population, and Economics
    • 10.4 Linear Programming
    • 10.5 Fourier Series: Linear Algebra for Functions
    • 10.6 Computer Graphics
    • 10.7 Linear Algebra for Cryptography
    • 11.1 Gaussian Elimination in Practice
    • 11.2 Norms and Condition Numbers
    • 11.3 Iterative Methods and Preconditioners

    Each section of the book has a Problem Set.


    Affine function

    Affine function is a function given by a rule $f (x) = a cdot x + b$ , where $a$ and $b$ are from the set of real numbers.

    Let’s compare it with linear function : $ f(x) = ax$. He indicates the shift on the $y$- axis. If it is positive, whole graph will go up on the $y$- axis, and if it is negative down.

    Beispiel: Draw a graph of : $ f (x) = x + 4$.

    There are two ways you can draw this graph, first one is that you draw $f(x) = x$ and than move all point up for $4$ unit length .

    Second one is the same as we used to draw linear functions.

    This form of functions is called the explicit form. You can also present it by implicit form: $ax+by+c=0$. You can easily turn int into explicit by turning all but by on the right side, and than dividing by $b$.


    Schau das Video: lineare Funktionen Beispielaufgabe (November 2021).