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1.S: Einführung in die Sprache der Algebra (Zusammenfassung) - Mathematik


Schlüsselbegriffe

KoeffizientDie Konstante, die die Variable(n) in einem Term multipliziert.
zusammengesetzte ZahlEine zusammengesetzte Zahl ist eine zählende Zahl, die keine Primzahl ist.
TeilbarkeitWenn eine Zahl m ein Vielfaches von n ist, dann sagen wir, dass m durch n teilbar ist.
GleichungEine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
bewertenEinen algebraischen Ausdruck auszuwerten bedeutet, den Wert des Ausdrucks zu finden, wenn die Variable durch eine gegebene Zahl ersetzt wird.
AusdruckEin Ausdruck ist eine Zahl, eine Variable oder eine Kombination aus Zahlen und Variablen und Operationssymbolen.
kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von zwei Zahlen ist.
wie BegriffeTerme, die entweder Konstanten sind oder dieselben Variablen mit denselben Exponenten haben.
Vielfaches einer ZahlEine Zahl ist ein Vielfaches von n, wenn sie das Produkt einer zählenden Zahl und n ist.
PrimfaktorzerlegungDas Produkt von Primzahlen, das der Zahl gleicht.
PrimzahlEine Zählzahl größer als 1, deren einzige Faktoren 1 und sich selbst sind.
Lösung einer GleichungEin Wert einer Variablen, der beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage macht. Der Vorgang, die Lösung einer Gleichung zu finden, wird als Gleichungslösung bezeichnet.
BegriffEine Konstante oder das Produkt einer Konstanten und einer oder mehreren Variablen.

Schlüssel Konzepte

2.1 - Verwenden Sie die Sprache der Algebra

OperationNotationSagen:Das Ergebnis ist…
Zusatza + bein plus bDie Summe von a und b
Multiplikationa • b, (a)(b), (a)b, a(b)a mal bDas Produkt von a und b
Subtraktiona - ba minus bDie Differenz von a und b
Einteilunga ÷ b, a / b, (dfrac{a}{b}), (b overline{)a})a geteilt durch bDer Quotient von a und b
  • Gleichheitssymbol
    • a = b wird gelesen als a gleich b
    • Das Symbol = heißt Gleichheitszeichen.
  • Ungleichheit

Tabelle 2.77

Algebraische NotationSagen
a = ba ist gleich b
ein ≠ ba ist nicht gleich b
a < ba ist kleiner als b
a > ba ist größer als b
ein ≤ ba ist kleiner oder gleich b
ein ≥ ba ist größer oder gleich b
  • Exponentielle Notation
    • Für jeden Ausdruck ist a n ein Faktor, der n-mal mit sich selbst multipliziert wird, wenn n eine positive ganze Zahl ist.
    • einnein bedeutet n Faktoren von a . multiplizieren
    • Der Ausdruck von anein wird von a bis n gelesendas Leistung

  • Reihenfolge der Operationen: Wenn Sie mathematische Ausdrücke vereinfachen, führen Sie die Operationen in der folgenden Reihenfolge aus:
  1. Klammern und andere Gruppierungssymbole: Vereinfachen Sie alle Ausdrücke in Klammern oder anderen Gruppierungssymbolen, indem Sie zuerst an den innersten Klammern arbeiten.
  2. Exponenten: Vereinfachen Sie alle Ausdrücke mit Exponenten.
  3. Multiplikation und Division: Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts durch. Diese Operationen haben die gleiche Priorität.
  4. Addition und Subtraktion: Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen von links nach rechts durch. Diese Operationen haben die gleiche Priorität.

2.2 - Ausdrücke auswerten, vereinfachen und übersetzen

  • Kombiniere ähnliche Begriffe.
  1. Identifizieren Sie ähnliche Begriffe.
  2. Ordnen Sie den Ausdruck so an, dass Begriffe zusammenstehen.
  3. Addiere die Koeffizienten der gleichen Terme

2.3 - Lösen von Gleichungen unter Verwendung der Subtraktions- und Additionseigenschaften von Gleichheit

  • Bestimmen Sie, ob eine Zahl eine Lösung einer Gleichung ist.
  1. Ersetzen Sie die Zahl für die Variable in der Gleichung.
  2. Vereinfachen Sie die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
  3. Bestimmen Sie, ob die resultierende Gleichung wahr ist. Wenn es wahr ist, ist die Zahl eine Lösung. Wenn es nicht wahr ist, ist die Zahl keine Lösung.
  • Subtraktionseigenschaft der Gleichheit
    • Für beliebige Zahlen a, b und c gilt: wenn a = b, dann gilt a - c = b - c.
  • Lösen Sie eine Gleichung mit der Subtraktionseigenschaft der Gleichheit.
  1. Verwenden Sie die Subtraktionseigenschaft von Gleichheit, um die Variable zu isolieren.
  2. Vereinfachen Sie die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
  3. Überprüfen Sie die Lösung.
  • Additionseigenschaft der Gleichheit
    • Für beliebige Zahlen a, b und c gilt, wenn a = b, dann gilt a + c = b + c.
  • Lösen Sie eine Gleichung mit der Additionseigenschaft der Gleichheit.
  1. Verwenden Sie die Additionseigenschaft von Equality, um die Variable zu isolieren.
  2. Vereinfachen Sie die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung.
  3. Überprüfen Sie die Lösung.

2.4 - Finden Sie Vielfache und Faktoren

Teilbarkeitstests
Eine Zahl ist teilbar durch
2wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist
3wenn die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist
5wenn die letzte Ziffer 5 oder 0 ist
6wenn durch 2 und 3 teilbar
10wenn die letzte Ziffer 0 ist
  • Faktoren: Wenn a • b = m, dann sind a und b Faktoren von m, und m ist das Produkt von a und b.
  • Finden Sie alle Faktoren einer zählenden Zahl.
  1. Dividiere die Zahl der Reihe nach durch jede der Zählzahlen, bis der Quotient kleiner als der Divisor ist.
    1. Wenn der Quotient eine Zählzahl ist, sind Divisor und Quotient ein Paar von Faktoren.
    2. Wenn der Quotient keine zählende Zahl ist, ist der Divisor kein Faktor.
  2. Listen Sie alle Faktorpaare auf.
  3. Schreiben Sie alle Faktoren in der Reihenfolge vom kleinsten zum größten.
  • Bestimme, ob eine Zahl eine Primzahl ist.
  1. Testen Sie jede der Primzahlen der Reihe nach, um zu sehen, ob es ein Faktor der Zahl ist.
  2. Beginnen Sie mit 2 und hören Sie auf, wenn der Quotient kleiner als der Divisor ist oder wenn ein Primfaktor gefunden wird.
  3. Wenn die Zahl einen Primfaktor hat, handelt es sich um eine zusammengesetzte Zahl. Wenn sie keine Primfaktoren hat, ist die Zahl eine Primzahl.

2.5 - Primfaktorzerlegung und das kleinste gemeinsame Vielfache

  • Finden Sie die Primfaktorzerlegung einer zusammengesetzten Zahl mit der Baummethode.
  1. Finden Sie ein beliebiges Faktorpaar der angegebenen Zahl und verwenden Sie diese Zahlen, um zwei Zweige zu erstellen.
  2. Wenn ein Faktor eine Primzahl ist, ist diese Verzweigung abgeschlossen. Kreise die Primzahl ein.
  3. Wenn ein Faktor keine Primzahl ist, schreiben Sie ihn als Produkt eines Faktorpaares und setzen Sie den Prozess fort.
  4. Schreiben Sie die zusammengesetzte Zahl als Produkt aller eingekreisten Primzahlen.
  • Finden Sie die Primfaktorzerlegung einer zusammengesetzten Zahl mit der Ladder-Methode.
  1. Dividiere die Zahl durch die kleinste Primzahl.
  2. Fahren Sie fort, durch diese Primzahl zu teilen, bis sie sich nicht mehr gleichmäßig teilt.
  3. Dividiere durch die nächste Primzahl, bis sie sich nicht mehr gleichmäßig teilt.
  4. Fahren Sie fort, bis der Quotient eine Primzahl ist.
  5. Schreiben Sie die zusammengesetzte Zahl als Produkt aller Primzahlen an den Seiten und der Oberseite der Leiter.
  • Finden Sie das LCM, indem Sie Multiples auflisten
  1. Listen Sie die ersten mehreren Vielfachen jeder Zahl auf.
  2. Suchen Sie nach Vielfachen, die beiden Listen gemeinsam sind. Wenn die Listen keine gemeinsamen Vielfachen enthalten, schreiben Sie für jede Zahl zusätzliche Vielfache aus.
  3. Suchen Sie nach der kleinsten Zahl, die beiden Listen gemeinsam ist.
  4. Diese Nummer ist das LCM.
  • Ermitteln Sie den LCM mit der Primfaktorenmethode.
  1. Finden Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl.
  2. Schreibe jede Zahl als Produkt von Primzahlen und vergleiche die Primzahlen, wenn möglich, vertikal.
  3. Bringen Sie die Primzahlen in jeder Spalte nach unten.
  4. Multiplizieren Sie die Faktoren, um das LCM zu erhalten.

Algebra-Wortaufgaben

Eine Fußballmannschaft verlor 5 Yards und gewann dann 9. Wie ist der Fortschritt der Mannschaft?

Verwenden Sie für verlorene Negative. Verwenden Sie für Verstärkung positiv.

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um das folgende Problem zu lösen:

Maria kaufte 10 Notizbücher und 5 Stifte für jeweils 2 Dollar. Wie viel hat Maria bezahlt?

2 × (10 + 5) = 2 × 10 + 2 × 5 = 20 + 10 = 30 Dollar

Ein Kunde zahlt 50 Dollar für eine Kaffeemaschine nach einem Rabatt von 20 Dollar

Was ist der Originalpreis der Kaffeemaschine?

Sei x der ursprüngliche Preis.

Eine halbe Zahl plus 5 ist 11. Was ist die Zahl?

Sei x die Zahl. Ersetze "ist" immer durch ein Gleichheitszeichen

Die Summe zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist 26. Wie lauten die beiden Zahlen?

Sei 2n die erste gerade ganze Zahl und sei 2n + 2 die zweite ganze Zahl

Die erste gerade ganze Zahl ist also 2n = 2 × 6 = 12 und die zweite ist 12 + 2 = 14

Unten sind kompliziertere Algebra-Wortaufgaben

Das Verhältnis zweier Zahlen ist 5 zu 1. Die Summe ist 18. Was sind die beiden Zahlen?

Sei x die erste Zahl. Sei y die zweite Zahl

Mit x / y = 5 / 1 erhalten wir x = 5y nach der Kreuzmultiplikation

Ersetzen von x = 5y in x + y = 18, erhalten wir 5y + y = 18

Wie Sie sehen, ist 15/3 = 5, also ist das Verhältnis richtig und 3 + 15 = 18, also ist die Summe richtig.

Beispiel #7: Algebra-Wortaufgaben können so kompliziert sein wie Beispiel #7. Studieren Sie es sorgfältig!

Peter hat sechsmal so viele Groschen wie Viertel in ihrem Sparschwein. Sie hat 21 Münzen in ihrem Sparschwein im Wert von insgesamt 2,55 USD

Wie viele Münzen jeder Sorte hat sie?

Sei x die Anzahl der Quartale. Sei 6x die Anzahl der Groschen

Da ein Viertel 25 Cent entspricht, sind x Viertel gleich x × 25 Cent oder 25x Cent

Da ein Groschen 10 Cent entspricht, entsprechen 6x Groschen 6x × 10 Cent oder 60x Cent

Da 1 Dollar 100 Cent entspricht, entsprechen 2,55 Dollar 2,55 × 100 = 255 Cent cent

Alles zusammen: 25x Cent + 60x Cent = 255 Cent

85x Cent / 85 Cent = 255 Cent / 85 Cent

Deshalb hat Peter 3 Viertel und 18 Groschen

Die Fläche eines Rechtecks ​​beträgt x 2 + 4x -12. Welche Abmessungen hat das Rechteck (Länge und Breite)?

Die Hauptidee ist, x 2 + 4x -12 . zu faktorisieren

Da -12 = -2 × 6 und -2 + 6 = 4

Da die Länge normalerweise länger ist, Länge = x + 6 und Breite = x + -2

Beispiel #9: Ein Muss beim Lösen von Algebra-Wortaufgaben

Die Fläche eines Rechtecks ​​beträgt 24 cm 2 . Die Breite ist zwei weniger als die Länge. Wie lang und breit ist das Rechteck?

Sei x die Länge und x - 2 die Breite

Fläche = Länge × Breite = x × ( x - 2) = 24

Da -24 = 4 × -6 und 4 + -6 = -2 ist, erhalten wir:

Dies führt zu zwei zu lösenden Gleichungen:

x + 4 = 0 ergibt x = -4. Lehnen Sie diesen Wert ab, da eine Dimension nicht negativ sein kann

Daher Länge = 6 und Breite = x - 2 = 6 - 2 = 4

Die Summe zweier Zahlen ist 16. Der Unterschied ist 4. Was sind die beiden Zahlen?

Sei x die erste Zahl. Sei y die zweite Zahl

Sei x die erste Zahl. Sei y die zweite Zahl

Lösen Sie das Gleichungssystem durch Elimination

Die Addition der linken und rechten Seiten ergibt:

Die oben gelösten Algebra-Wortaufgaben sind typische Fragen. Sie werden ihnen in der Algebra häufig begegnen. Ich hoffe, Sie hatten Spaß beim Lösen dieser Algebra-Wortaufgaben.


Klasse 8 » Einführung

In der 8. Klasse sollte sich die Unterrichtszeit auf drei kritische Bereiche konzentrieren: (1) das Formulieren und Überlegen von Ausdrücken und Gleichungen, einschließlich der Modellierung einer Assoziation in bivariaten Daten mit einer linearen Gleichung und das Lösen linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme (2) das Erfassen der Konzept einer Funktion und Verwendung von Funktionen zur Beschreibung quantitativer Beziehungen (3) Analyse von zwei- und dreidimensionalen Räumen und Figuren anhand von Abstand, Winkel, Ähnlichkeit und Kongruenz und Verstehen und Anwenden des Satzes des Pythagoras.

    Die Schüler verwenden lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme, um eine Vielzahl von Problemen darzustellen, zu analysieren und zu lösen. Die Schüler erkennen Gleichungen für Proportionen (ja/x = ich oder ja = mx) als spezielle lineare Gleichungen (ja = mx + b), zu verstehen, dass die Proportionalitätskonstante (ich) ist die Steigung, und die Graphen sind Linien durch den Ursprung. Sie verstehen, dass die Steigung (ich) einer Linie ist eine konstante Änderungsrate, so dass, wenn die Eingabe oder x-Änderungen um einen Betrag koordinieren EIN, die Ausgabe oder ja-Änderungen um den Betrag koordinieren m·A. Die Schüler verwenden auch eine lineare Gleichung, um den Zusammenhang zwischen zwei Größen in bivariaten Daten zu beschreiben (z. B. Armspanne vs. Körpergröße für Schüler in einem Klassenzimmer). In dieser Besoldungsgruppe erfolgt die Anpassung des Modells und die Bewertung seiner Anpassung an die Daten informell. Um das Modell im Kontext der Daten zu interpretieren, müssen die Schüler eine Beziehung zwischen den beiden fraglichen Größen ausdrücken und Komponenten der Beziehung interpretieren (wie Steigung und ja-intercept) in Bezug auf die Situation.


Die Adoleszenz der Algebra

Das Goldene Zeitalter des Islam, eine Periode von der Mitte des 7. Jahrhunderts bis zur Mitte des 13. Jahrhunderts, sah die Verbreitung der griechischen und indischen Mathematik in der muslimischen Welt. Im Jahr 820 n. Chr. veröffentlichte Al-Khwārizmī, ein Fakultätsmitglied des Hauses der Weisheit von Bagdad, "Al-jabr wa'l muqabalah" oder "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing". Von „al-jabr“ leiten wir unser Wort „Algebra“ ab. Al-Khwārizmī entwickelte auch schnelle Methoden zum Multiplizieren und Dividieren von Zahlen, die als Algorithmen bekannt sind und eine Verfälschung seines Namens sind. Er schlug auch vor, bei Berechnungen einen kleinen Kreis zu verwenden, wenn keine Zahl an der Zehnerstelle auftauchte – und erfand damit die Null.

Zum ersten Mal seit ihrer Einführung verlagerte die Algebra-Praxis ihren Fokus von bewirbt sich Verfahrensmethoden eher in Richtung beweisen und ableiten solche Methoden verwenden Geometrie und die Technik, Operationen auf jeder Seite einer Gleichung durchzuführen. Laut Carl B. Boyer in "A History of Mathematics 3rd Ed." (2011, Wiley) fand Al-Khwārizmī es "notwendig, dass wir die Wahrheit der gleichen Probleme, die wir in Zahlen erklärt haben, geometrisch demonstrieren sollten."

Muslimische Gelehrte des Mittelalters schrieben Gleichungen als Sätze in einer Tradition, die heute als now bekannt ist rhetorisch Algebra. In den nächsten 800 Jahren entwickelte sich die Algebra über ein Spektrum rhetorischer und symbolischer Sprache, bekannt als synkopiert Algebra. Das paneurasische Wissenserbe, das Mathematik, Astronomie und Navigation umfasste, fand zwischen dem 11. und 13. Jahrhundert vor allem über die Iberische Halbinsel, die den Arabern als Al-Andalus bekannt war, seinen Weg nach Europa. Besondere Übertragungspunkte nach Europa waren die Eroberung Toledos durch spanische Christen 1085, die Rückeroberung Siziliens durch die Normannen 1091 (nach der islamischen Eroberung 965) und die Kreuzfahrerschlachten in der Levante von 1096 bis 1303 von christlichen Gelehrten wie Konstantin der Afrikaner (1017-1087), Adelard von Bath (1080-1152) und Leonardo Fibonacci (1170-1250) reisten in muslimische Länder, um Wissenschaften zu lernen.


Einige Schlüsselbegriffe

Hier sind einige Schlüsselbegriffe der Booleschen Algebra mit einer kurzen Beschreibung dazu:

Boolesche Funktion

Die Boolesche Algebra ist eine Schaltalgebra, die sich mit binären Variablen und logischen Operationen beschäftigt. Die Variablen werden durch Buchstaben wie A, B, x und y bezeichnet. Die drei grundlegenden logischen Operationen sind UND, ODER und NICHT. Eine boolesche Funktion kann algebraisch mit binären Variablen, den Verknüpfungssymbolen, Klammern und Gleichheitszeichen ausgedrückt werden. Für eine gegebene Kombination von Werten der Variablen kann die boolesche Funktion entweder 1 oder 0 sein. Betrachten Sie zum Beispiel die boolesche Funktion:

Die Funktion F ist gleich 1, wenn x gleich 1 ist oder wenn sowohl y' als auch z gleich 1 sind, andernfalls F gleich 0 ist.

Wahrheitstabelle

Die Beziehung zwischen einer Funktion und ihren binären Variablen kann in einer Wahrheitstabelle dargestellt werden. Um eine Funktion in einer Wahrheitstabelle darzustellen, benötigen wir eine Liste der 2 n Kombinationen der n binären Variablen.

Logikdiagramm

Eine boolesche Funktion kann von einem algebraischen Ausdruck in ein Logikdiagramm umgewandelt werden, das aus UND-, ODER- und NICHT-Gattern besteht.

Der Zweck der Booleschen Algebra besteht darin, die Analyse und den Entwurf digitaler Schaltungen zu erleichtern. Es bietet ein praktisches Werkzeug, um:

  • Drücken Sie in algebraischer Form eine Wahrheitstabellenbeziehung zwischen binären Variablen aus.
  • Drücken Sie algebraisch für die Eingabe-Ausgabe-Beziehung von Logikdiagrammen aus.
  • Finden Sie einfachere Schaltungen für die gleiche Funktion.

Eine durch eine Wahrheitstabelle spezifizierte boolesche Funktion kann auf viele verschiedene Arten algebraisch ausgedrückt werden. Boolesche Ausdrücke können auf zwei Arten gebildet werden: Kanonisch und Nicht-kanonisch Formen.

Kanonische Form

Es drückt alle binären Variablen in jedem Produkt (AND) oder Summe (OR) Term der Booleschen Funktion aus. Um die kanonische Produktsummenform für eine Boolesche Funktion zu bestimmen F(A, B, C) = A'B + C' + ABC, welches ist in nicht-kanonische Form, werden die folgenden Schritte verwendet:

wo x + x' = 1 ist eine grundlegende Identität der Booleschen Algebra

Durch Manipulation eines Booleschen Ausdrucks gemäß den Regeln der Booleschen Algebra kann man einen einfacheren Ausdruck erhalten, der weniger Gatter benötigt.

Die folgende Tabelle listet die grundlegendsten Identitäten der Booleschen Algebra auf. Alle Identitäten in der Tabelle können mit Hilfe von Wahrheitstabellen nachgewiesen werden.


Algebraregeln für Exponenten

Das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis ist gleich der Basis, erhöht auf die Summe der beiden Exponenten.

Wie bei vielen Regeln, die sich auf Exponenten beziehen, wird beim Schreiben der Exponenten als Multiplikationen offensichtlich, warum die Regel wahr ist

Eine potenzierte Zahl ist gleich der Zahl, die durch das Produkt der beiden Exponenten erhöht wird.

Wie die vorherige Regel kann diese einfach demonstriert werden, indem die Exponenten zu einer Reihe von Multiplikationen erweitert werden

Wandeln Sie eine Multiplikation mit einem Exponenten in das Produkt zweier Faktoren um, von denen jeder zum Exponenten erhöht wird.

Dank der Kommutativeigenschaft der Multiplikation kann jede Reihe von Multiplikationen neu angeordnet werden, ohne ihren Wert zu ändern. Dies bedeutet, dass wir eine potenzierte Multiplikation nehmen und die resultierende Reihe von Multiplikationen neu anordnen können, um zwei Exponenten zu bilden

Das Ergebnis eines negativen Exponenten ist die Umkehrung desselben positiven Exponenten.

Es mag seltsam erscheinen, einen negativen Exponenten zu haben (da Sie etwas nicht mit sich selbst negativ multiplizieren können). Betrachten wir jedoch die Regel ``a^na^m = a^`` können wir sehen, dass es impliziert, dass ``a^<-n>`` gleich ``<1 over a^n>`` sein muss, die multiplikativ invers oder gegenseitig von ``a^n``.

Dies wird deutlich, wenn man sich das ``a^ . ansieht``-Seite der Gleichung aus Regel 11. Was passiert, wenn ``m`` negativ ist? Offensichtlich wird dies den kombinierten Wert des Exponenten reduzieren (zum Beispiel ``2^ <4-2>= 2^2``). Was bedeutet das für die links Handseite von ``a^na^m = a^`` Gleichung? Das bedeutet, dass der Wert von beispielsweise ``2^4`` auf ``2^2`` reduziert werden muss, wenn er mit ``2^<-2>`` multipliziert wird. Wenn, wie diese Regel besagt, ``a^ <-n>= <1 over a^n>``, funktioniert das perfekt: ``2^4 * 2^ <-2>= 2^4 * < 1 über 2^2>= 16 * <1 über 4>= 4 = 2^2 = 2^<4-2>``

Ein zu einem negativen Exponenten erhöhter Bruch entspricht dem Kehrwert des zu einem positiven Exponenten erhobenen Bruchs.

Der Kehrwert eines Bruchs ist der auf den Kopf gestellte Bruch: Der Kehrwert von ``<2 over 3>`` ist ``<3 over 2>``. Wir wissen aus der vorherigen Regel, dass ``a^<-n>`` der Kehrwert von ``a^n`` ist, also können wir den Bruch einfach in seinen Kehrwert umwandeln, indem wir Zähler und Nenner und dann den Exponenten austauschen wird positiv. Positivität ist so eine schöne Sache!

Ein Bruch mit einem Exponenten ist gleich dem gleichen Bruch mit dem Exponenten auf Zähler und Nenner.

Das sieht auf den ersten Blick seltsam aus, aber die Gründe dafür sind ziemlich einfach. Wenn wir aufgepasst haben, als uns jemand sagte, wie man Brüche multipliziert (dies ist zweifelhaft, aber wir machen trotzdem weiter), werden wir uns daran erinnern, dass man zum Multiplizieren von zwei Brüchen einfach die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert, um zu erhalten der resultierende Bruch. Diese Regel folgt aus dieser Tatsache.

Wenn der obere und untere Teil eines Bruchs Exponenten mit derselben Basis sind, ist der Bruch gleich der zum Zählerexponenten erhöhten Basis minus dem Nennerexponenten.

Dieser ist sehr einfach. Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, ist das Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst ein paar Mal und dann das Dividieren durch sich selbst einige Male multipliziert das Gleiche, als würde man sie einfach mit sich selbst multiplizieren ein paar mal weniger.

Alles, was mit Null potenziert wird, ist gleich 1.

Diese Regel mag willkürlich erscheinen, ist aber notwendig, um die Konsistenz mit anderen Eigenschaften von Exponenten zu wahren. Betrachten Sie die Regel ``a^na^m = a^``. Was passiert, wenn ``m = 0`` ist? Die rechte Seite der Gleichung ist ``a^``, oder ``a^n``. Dies bedeutet, dass auf der linken Seite ``a^n`` mit dem Wert von ``a^0`` multipliziert werden muss, aber unverändert bleiben muss. Dies ist nur möglich, wenn ``a^0 = 1`` ist. (Für einige Diskussionen über den besonderen Fall von ``0^0`` und warum es (wahrscheinlich) gleich ``1`` sein sollte, siehe diesen Artikel.)


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Dummies steht seit jeher dafür, komplexe Konzepte aufzugreifen und leicht verständlich zu machen. Dummies hilft jedem, sachkundiger und selbstbewusster bei der Anwendung seines Wissens zu sein. Egal, ob es darum geht, diesen großen Test zu bestehen, sich für diese große Beförderung zu qualifizieren oder sogar diese Kochtechnik zu beherrschen, die sich auf Schnuller verlässt, sich darauf verlassen, die entscheidenden Fähigkeiten und relevanten Informationen zu erlernen, die für den Erfolg erforderlich sind.

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Die Variable der Prädikate wird durch Quantoren quantifiziert. Es gibt zwei Arten von Quantoren in der Prädikatenlogik &minus Universal Quantifier und Existential Quantifier.

Universalquantifizierer

Der universelle Quantor gibt an, dass die Aussagen innerhalb seines Geltungsbereichs für jeden Wert der spezifischen Variablen wahr sind. Es wird durch das Symbol $forall$ gekennzeichnet.

$forall x P(x)$ wird so gelesen, dass für jeden Wert von x P(x) wahr ist.

Beispiel &minus "Der Mensch ist sterblich" kann in die propositionale Form $forall x P(x)$ umgewandelt werden, wobei P(x) das Prädikat ist, das angibt, dass x sterblich ist und das Diskursuniversum alle Menschen sind.

Existenzieller Quantifizierer

Der existentielle Quantor gibt an, dass die Aussagen innerhalb seines Geltungsbereichs für einige Werte der spezifischen Variablen wahr sind. Es wird durch das Symbol $exists $ gekennzeichnet.

$exists x P(x)$ wird so gelesen, dass für einige Werte von x P(x) wahr ist.

Beispiel &minus "Einige Leute sind unehrlich" kann in die Aussageform $exists x P(x)$ umgewandelt werden, wobei P(x) das Prädikat ist, das angibt, dass x unehrlich ist und das Diskursuniversum einige Leute ist.

Verschachtelte Quantoren

Wenn wir einen Quantor verwenden, der im Geltungsbereich eines anderen Quantors erscheint, wird er als verschachtelter Quantor bezeichnet.

$forall a: exists b: P (x, y)$ wobei $P (a, b)$ $a + b = 0$ . bezeichnet

$forall a: forall: b: forall: c: P (a, b, c)$ wobei $P (a, b)$ $a + (b + c) = ( a + b) + c$

Hinweis &minus $forall: a: exists b: P (x, y) e exists a: forall b: P (x, y)$


Mathematische Statistik

Was ist mathematische Statistik? Das Studium der mathematischen Statistik umfasst das Sammeln, Analysieren, Präsentieren und Interpretieren von Daten. Wenn Daten gesammelt, zusammengefasst und als Grafiken dargestellt werden, können wir nach Trends suchen und versuchen, anhand dieser Fakten Vorhersagen zu treffen. Das Studium der Statistik ist unter anderem eine wichtige Grundlage für Data Science, Big Data und Künstliche Intelligenz.

AP Statistics Free Response Vergangene Papiere und Lösungen

Diese Lektionsreihe umfasst: Sammeln und Zusammenfassen von Daten, gängige Methoden zur Beschreibung von Daten, verschiedene Methoden zur Darstellung von Daten, Häufigkeitstabellen, kumulative Häufigkeit, erweiterte Statistiken, deskriptive Statistiken, Wahrscheinlichkeit, Korrelation und inferenzielle Statistiken.

A. Daten sammeln und zusammenfassen

B. Gemeinsame Methoden zur Beschreibung von Daten

C. Verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung von Daten

D. Häufigkeitstabellen

E. Kumulative Häufigkeit

F. Erweiterte Statistiken

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