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11.2: Grundbegriffe - Mathematik


Definitionen:

Aufeinanderfolgende ganze Zahlen (spezifische Zahlen): 7, 8, 9.

Fortlaufende ganze Zahlen (allgemeine Zahlen in einer Box): (x), (x+1), (x+2).

Aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen (spezifische Zahlen): 8, 10, 12.

Aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen (allgemeine Zahlen in einer Box): (x), (x+2), (x+4).

Aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen (spezifische Zahlen): 7, 9, 11

Fortlaufende ganze Zahlen (allgemeine Zahlen in einer Box): (x), (x+2), (x+4).

Beispiele

Einige der Probleme hier sind einfach. Die Lösung kann durch schnelles Denken schnell ausgearbeitet werden. Der Vorteil dieser Probleme besteht nicht darin, die Lösung durch Argumentation zu finden, sondern durch das Erlernen algebraischer Schritte, die auf schwierigere Situationen anwendbar sind.

Die allgemeine Methode besteht nicht darin, ein Problem zuerst zu lesen und zu verstehen. Viele meiner Kollegen werden mir widersprechen. Ich schlage vor, eine Präambel zu erstellen, in die Sie für jedes Element der Aufgabe ein Symbol oder eine Reihe von Symbolen schreiben. (Siehe Übung 10.2.9).

Schauen Sie sich das Ende des Problems an, wo Sie normalerweise die Lösung finden. Sei (x) die gesuchte Zahl. Schreiben Sie dies als ersten Schritt in die Präambel (Liste von Symbolen in nicht-trivialen Aufgaben, deren Lösung wir suchen.)

Beginnen Sie als nächstes, das Problem von vorne zu lesen und entwickeln Sie die Präambel Schritt für Schritt. Schreiben Sie die Symbole für jeden Schritt in eine neue Zeile.

Beenden Sie die Präambel, indem Sie alle Schritte des Problems in Symbole umwandeln. Sehen Sie sich nun Ihre Präambel an und verschaffen Sie sich einen Überblick über Ihr Problem.

Es sollte einfacher sein, eine Gleichung mit den Symbolen aus der Präambel zu erhalten. Dann lösen Sie die Gleichung nach der bisher für lineare Gleichungen eingeführten Methode. (Eine lineare Gleichung hat eine Variable ersten Grades (Exponent).)

Beispiel (PageIndex{1})

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen ist (705). Finden Sie die ganzen Zahlen.

Lösung:

Präambel:

Sei (x) die kleinste der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (zum Beispiel (x=20)).
Dann ist (x+1) die mittlere Zahl (20+1=21).
Und (x+2) ist die größte Zahl (20+2=22).
Die Summe von drei ganzen Zahlen ist (x+(x+1)+(x+2)=3x+3).

Gleichung:

[egin{array}{rcl lll} hbox{Summe von ganzen Zahlen}&=&hbox{Summe von ganzen Zahlen}[10pt] 3x+3&=&705[5pt] 3x+3-3&=&705 -3[5pt] 3x&=&702[5pt] displaystyle frac{3x}{3}&=&displaystyle frac{702}{3}[10pt] x&=&234end{array }]

Kleinste ganze Zahl: (x=234)
Mittlere ganze Zahl: (x+1=234+1=235)
größte ganze Zahl: (x+2=234+2=236)

Präambel:

Sei (x) die mittlere der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (zum Beispiel (x=20)).
[5pt] Dann ist (x-1) die kleinste Zahl (20-1=19).
Und (x+1) ist die größte Zahl (20+1=21).
Die Summe von drei ganzen Zahlen ist ((x-1)+(x+1)+(x)+(x+1)=3x).
Gleichung: [egin{array}{rcl lll} hbox{Summe der ganzen Zahlen}&=&hbox{Summe der ganzen Zahlen}[10pt] 3x&=&705[5pt] 3x&=&705[5pt ] displaystyle frac{3x}{3}&=&displaystyle frac{705}{3}[10pt] x&=&235end{array}]

Kleinste ganze Zahl: (x-1=234)
Mittlere ganze Zahl: (x=235)
größte ganze Zahl: (x+1=234+2=236)

Präambel:

Sei (x) die größte der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (zum Beispiel (x=20)).
[5pt] Dann ist (x-1) die mittlere Zahl (20+1=19).
Und (x-2) ist die kleinste Zahl (20+2=18).
Die Summe von drei ganzen Zahlen ist ((x-2)+(x-1)+x=3x-3).
Gleichung: [egin{array}{rcl lll} hbox{Summe der ganzen Zahlen}&=&hbox{Summe der ganzen Zahlen}[10pt] 3x-3&=&705[5pt] 3x+3-3& =&705+3[5pt] 3x&=&708[5pt] displaystyle frac{3x}{3}&=&displaystyle frac{708}{3}[10pt] x&=&236end {array}]

Kleinste ganze Zahl: (x=234)
Mittlere ganze Zahl: (x+1=234+1=235)
größte ganze Zahl: (x+2=234+2=236)

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie zwei ganze Zahlen, deren Summe (82) ist.

(11) mehr als das Dreifache der kleineren Zahl ist gleich wie (18) weniger als das Doppelte der größeren Zahl.
Finden Sie die Zahlen.

Lösung:

Präambel:

Sei (x) die kleinere Zahl (zum Beispiel (x=20)).
Dann ist die größere Zahl (82-x) (82-20).
(11) mehr als (3mal) die kleinere Zahl: (3x+11) (3(20)+11).
(18) weniger als (2mal)
die größere Zahl: (egin{array}{llll lll} &2(82-x)-18 =&164-2x-18 =&146-2x end{array}) (2(82- 20)-18)).
Gleichung:

(egin{array}{rcl lll} 11hbox{ mehr als dreimal die kleinere Zahl}&=&hbox{)18(weniger als zweimal die größere Zahl}[6pt] 3x+11&= &146-2x[6pt] 3x+2x+11&=&146-2x+2x[6pt] 5x+11&=&146[6pt] 5x+11-11&=&146-11[6pt] 5x&= &135[10pt] displaystyle frac{5}{5}x&=&displaystyle frac{135}{5}[5pt] x&=&27 end{array})

Die kleinere Zahl ist (x=27).
Die größere Zahl ist (82-27=55).

Präambel:

Sei (x) die größere Zahl (zum Beispiel (x=20)).
Dann ist die kleinere Zahl (82-x) (82-20).
[5pt] (11) mehr als (3 imes) (3(82-x)+11) (3(82-20)+11).
kleinere Zahl: (=246+11-3x) .
(=257-3x) .
(18) kleiner als (2 imes) die größere Zahl: (2(x)-18) (2(20)-18)).

Gleichung: [egin{array}{rcl lll} 11 mehr als 3 mal kleiner &=& 18 weniger als zweimal größer [6pt] 257-3x&=&2x-18[6pt] 257-3x+3x& =&2x+3x-18[6pt] 257&=&5x-18[6pt] 257+18&=&5x-18+18[6pt] 275&=&5x[6pt] x&=&displaystyle frac {275}{5}[10pt] x&=&55 end{array}] Die kleinere Zahl ist (82-55=27).
Die größere Zahl ist (55).

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie zwei aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen, so dass 60 weniger als das Dreifache der größeren Zahl 73 mehr als das Doppelte der kleineren Zahl entspricht.

Lösung

Präambel:

Sei (x) die kleinere ungerade Zahl (zum Beispiel (x=21)).
Dann ist die größere Zahl (x+2) (21+2).
[5pt] (60) kleiner als (3 imes hspace{0.7in} 3(x+2)-60) (3(21+2)-60).
die größere Zahl: (=3x+6-60) .
(=3x-54) .
(73) mehr als (2mal) kleiner: (2x+73) (2(21)+73).
Gleichung: [egin{array}{rcl lll} ext{60 weniger als 3 mal größer}&=&text{73 mehr als 2mal kleinere Zahl}[5pt] 3x-54&=&2x+73 [5pt] 3x-54+54&=&2x+73+54[5pt] 3x&=&2x+127[5pt] 3x-2x&=&2x-2x+127[5pt] x&=&127[5pt ] end{array}] Die kleinere Zahl ist (x=127).
Die größere Zahl ist (127+2=129).

Präambel:

Sei (x) die größere ungerade Zahl (zum Beispiel (x=21)).
Dann ist die kleinere Zahl (x-2) (21-2).
[5pt] (60) kleiner als (3 imes) die größere Zahl: (3x-60) (3(21)-60) .
(73) mehr als (2mal) kleiner: (2(x-2)+73) (2(21-2)+73).
(=2x-4+73) .
(=2x+69) .
Gleichung: [egin{array}{rcl lll} ext{60 weniger als 3 mal größer}&=& ext{73 mehr als 2mal kleinere Zahl}[5pt] 3x-60&=&2x+ 69[5pt] 3x-60+60&=&2x+69+60[5pt] 3x&=&2x+129[5pt] 3x-2x&=&2x-2x+129[5pt] x&=&129 [5pt] end{array}] Die kleinere Zahl ist (x=129-2=127).
Die größere Zahl ist (129).

Übungen 11

  1. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen ist (1.128). Finden Sie die ganzen Zahlen.
  2. Finden Sie zwei aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen, so dass 150 weniger als das Dreifache der kleineren Zahl gleich 148 mehr als das Doppelte der größeren Zahl ist.
  3. Finden Sie zwei ganze Zahlen, deren Summe 425 ist.
    10 mehr als das Sechsfache der kleineren Zahl ist gleich der doppelten größeren Zahl.
    Finden Sie die Zahlen.
  1. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen ist (1.128). Finden Sie die ganzen Zahlen.

    Lösung:

    Präambel:

    Sei (x) die kleinste der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (zum Beispiel (x=20)).
    [5pt] Dann ist (x+1) die mittlere Zahl (20+1=21).
    Und (x+2) ist die größte Zahl (20+2=22).
    Die Summe von drei ganzen Zahlen ist (x+(x+1)+(x+2)=3x+3).
    Gleichung: [egin{array}{rcl lll} hbox{Summe der ganzen Zahlen}&=&hbox{Summe der ganzen Zahlen}[10pt] 3x+3&=&1,128[5pt] 3x+3 -3&=&1,128-3[5pt] 3x&=&1,125[5pt] displaystyle frac{3x}{3}&=&displaystyle frac{1,125}{3}[10pt ] x&=&375end{array}]

    Kleinste ganze Zahl: (x=375)
    Mittlere ganze Zahl: (x+1=375+1=376)
    größte ganze Zahl: (x+2=375+2=377)

  2. Finden Sie zwei aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen, so dass (150) weniger als das Dreifache der kleineren Zahl gleich (148) mehr als das Doppelte der größeren Zahl ist.

    Lösung:

    Präambel:

    Sei (x) die kleinere Zahl (zum Beispiel (x=21)).
    Dann ist die größere gerade Zahl (x+2) (21+2).
    (150) kleiner als (3mal) die kleinere Zahl: (3x-150) (3(21)-150).
    (148) mehr als (2mal)
    die größere Zahl: (egin{array}{llll lll} &2(x+2)+148 =&2x+4+148 =&2x+152 end{array}) (2(21+ 2)+148)).

    Gleichung:
    (egin{array}{rcl lll} 150hbox{ kleiner)3(kleinere Zahl}&=&hbox{)148(mehr als)2(größere Zahl}[6pt ] 3x-150&=&2x+152[6pt] 3x-2x-150&=&2x-2x+152[6pt] x-150&=&152[6pt] x-150+150&=&152+150 [6pt] x&=&302[10pt] end{array})

    Die kleinere Zahl ist (x=302).
    Die größere Zahl ist (302+2=304).

  3. Finden Sie zwei ganze Zahlen, deren Summe (425) ist.
    (10) mehr als das Sechsfache der kleineren Zahl ist gleich dem Doppelten der größeren Zahl.
    Finden Sie die Zahlen.

    Lösung:

    Präambel:

    Sei (x) die kleinere Zahl (zum Beispiel (x=20)).
    Dann ist die größere Zahl (425-x) (425-20).
    [5pt] (10) mehr als (6mal) kleinere Zahl: (6x+10) (6(20)+10).
    (10) mehr als (6mal) kleiner: (6x+10) (6(20)+10).

    Gleichung: [egin{array}{rcl lll} ext{10 mehr als 6 mal kleiner}&=& ext{73 mehr als 2mal größere Zahl}[5pt] 6x+10&=&850- 2x[5pt] 6x+2x+10&=&850-2x+2x[5pt] 8x+10&=&850[5pt] 8x+10-10&=&850-10[5pt] 8x&=&840 [5pt] displaystyle frac{8}{8}x&=&displaystyle frac{840}{8}[10pt] x&=&105 end{array}] Die kleinere Zahl ist (x= 105).
    Die größere Zahl ist (425-105=320).


Das vollständige Wörterbuch der mathematischen Begriffe

Das Verständnis mathematischer Konzepte ist in unserer heutigen Welt von entscheidender Bedeutung. Mathematik wird täglich von fast jedem verwendet, vom Laien bis zum hochqualifizierten Profi. Die Situationen, in denen Mathematik verwendet wird, reichen von der einfachen Bilanzierung eines Scheckhefts oder der Berechnung des Wechselgeldbetrags aus einer Geschäftstransaktion bis hin zur Erstellung von Plänen für ein Bürogebäude oder Haus und den Bau dieser Gebäude. Zu verstehen, wie man mathematische Probleme löst, wird einfacher, wenn man mathematische Terminologie lernt. Nachfolgend finden Sie eine Liste vieler gebräuchlicher mathematischer Begriffe und ihrer Definitionen.

Spitzenwinkel – Ein Winkel, der unter 90° misst.

Spitzes Dreieck – Ein Dreieck, das nur spitze Winkel enthält.

Additive inverse – Das Gegenteil einer Zahl oder ihr Negativ. Eine Zahl plus ihrer additiven Umkehrung ist gleich 0.

Benachbarte Winkel – Winkel mit einer gemeinsamen Seite und einem gemeinsamen Scheitelpunkt.

Winkel – Wird von zwei Strahlen erstellt und enthält einen gemeinsamen Endpunkt.

Bogen – Eine Reihe von Punkten, die auf einem Kreis liegen und innerhalb eines zentralen Winkels positioniert sind.

Fläche – Der in einer Form enthaltene Raum.

Durchschnitt – Das numerische Ergebnis der Division der Summe von zwei oder mehr Mengen durch die Anzahl der Mengen.

Binomial – Ein Ausdruck in der Algebra, der aus zwei Begriffen besteht.

Halbieren – In zwei gleiche Abschnitte teilen.

Abbrechen – Bei der Multiplikation von Brüchen, wenn eine Zahl in einen Zähler und einen Nenner geteilt wird.

Kartesische Koordinaten – Geordnete Zahlenpaare, die Punkten auf einer Ebene zugewiesen werden.

Akkord – Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet.

Kreis – Eine Reihe von Punkten, die alle den gleichen Abstand von einem bestimmten Punkt haben.

Umfang – Die um einen Kreis gemessene Entfernung.

Koeffizient – ​​Eine Zahl, die einer Variablen vorangestellt wird. Bei 6x ist beispielsweise 6 der Koeffizient.

Gemeinsamer Nenner – Eine Zahl, die durch alle Nenner des Problems gleichmäßig geteilt werden kann.

Komplementärwinkel – Zwei Winkel, bei denen die Summe ihrer Messungen 90° beträgt.

Komplexer Bruch – Ein Bruch, der einen oder mehrere Brüche im Zähler und/oder Nenner enthält.

Kongruent – ​​Genau das gleiche. Identisch in Größe und Form.

Koordinatendiagramm – Zwei senkrechte Zahlenlinien, die x-Achse und die y-Achse, die eine Ebene bilden, auf der jedem Punkt ein Zahlenpaar zugewiesen wird.

Würfel – Ein Körper mit sechs Seiten, wobei die Seiten gleich große Quadrate und die Kanten gleich sind. Auch die resultierende Zahl, wenn eine Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert wird.

Kubikwurzel – Eine Zahl, die, wenn sie zweimal mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt. 4 ist beispielsweise die Kubikwurzel von 64.

Dezimalbruch – Bruch mit einem Nenner von 10, 100, 1.000 usw., geschrieben mit einem Dezimalpunkt.

Grad – Die Maßeinheit eines Winkels.

Nenner – Das untere Symbol oder die Zahl eines Bruchs.

Durchmesser – Ein Liniensegment, das den Mittelpunkt enthält und seine Endpunkte auf dem Kreis hat. Auch die Länge dieses Segments.

Differenz – Das, was sich aus der Subtraktion ergibt.

Gleichung – Eine ausgewogene Beziehung zwischen Symbolen und/oder Zahlen.

Gleichseitiges Dreieck – Ein Dreieck mit drei gleichen Winkeln und drei gleich langen Seiten.

Gerade Zahl – Eine ganze Zahl, die ohne Rest durch 2 geteilt werden kann.

Erweiterte Notation – Um den Stellenwert einer Ziffer hervorzuheben, indem die Zahl als Ziffer mal ihrem Stellenwert geschrieben wird.

Exponent – ​​Eine positive oder negative Zahl, die die Potenz ausdrückt, auf die die Menge erhöht oder verringert werden soll. Es wird über und rechts von der Zahl platziert.

Außenwinkel – In einem Dreieck ist ein Außenwinkel gleich den Maßen der beiden Innenwinkel addiert.

Faktor – Als Substantiv ist es eine Zahl oder ein Symbol, das sich gleichmäßig in eine größere Zahl aufteilt. Als Verb bedeutet es, zwei oder mehr Werte zu finden, deren Produkt dem ursprünglichen Wert entspricht.

VEREITELN. Methode – Eine Methode zur Multiplikation von Binomialen, bei der die ersten Terme, die äußeren Terme, die inneren Terme und dann die letzten Terme multipliziert werden.

Bruch – Ein Symbol, das einen Teil eines Ganzen ausdrückt. Es enthält einen Zähler und einen Nenner.

Größter gemeinsamer Faktor – Der größte gemeinsame Faktor von zwei oder mehr Zahlen.

Hypotenuse – In einem rechtwinkligen Dreieck ist dies die dem 90°-Winkel gegenüberliegende Seite.

Imaginäre Zahl – Die Quadratwurzel einer negativen Zahl.

Unechter Bruch – Ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist.

Integer – Eine ganze Zahl. Er kann positiv, negativ oder null sein.

Innenwinkel – Winkel, die innerhalb der Form oder innerhalb zweier paralleler Linien gebildet werden.

Sich schneidende Linien – Linien, die an einem Punkt zusammenlaufen.

Intervall – Die Zahlen, die innerhalb von zwei bestimmten Grenzen enthalten sind.

Irrationale Zahl – Eine Zahl, die nicht rational ist (kann nicht als Bruch x/y geschrieben werden, wobei x eine natürliche Zahl und y eine ganze Zahl ist).

Gleichschenkliges Dreieck – Ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten und zwei gleichen Winkeln gegenüber.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches – Das kleinste Vielfache, das zwei oder mehr Zahlen gemeinsam hat.

Lineare Gleichung – Eine Gleichung, bei der die Lösungsmenge eine gerade Linie bildet, wenn sie in einem Koordinatendiagramm dargestellt wird.

Kleinster gemeinsamer Nenner – Die kleinste Zahl, die durch alle Nenner des Problems gleichmäßig geteilt werden kann.

Mittelwert – Der Durchschnitt einer Anzahl von Elementen in einer Gruppe (Summe der Elemente und dividiere durch die Anzahl der Elemente).

Median – Das mittlere Element in einer geordneten Gruppe. Wenn die Gruppe eine gerade Anzahl von Items hat, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Terme.

Gemischte Zahl – Eine Zahl, die sowohl eine ganze Zahl als auch einen Bruch enthält.

Monomial – Ein Ausdruck in der Algebra, der nur aus einem Begriff besteht.

Natürliche Zahl – Eine zählende Zahl.

Negative Zahl – Eine Zahl kleiner als Null.

Nichtlineare Gleichung – Eine Gleichung, bei der die Lösungsmenge keine gerade Linie bildet, wenn sie in einem Koordinatendiagramm dargestellt wird.

Zahlenzeile – Eine visuelle Darstellung der positiven und negativen Zahlen und der Null.

Zähler – Das oberste Symbol oder die Zahl eines Bruchs.

Stumpfer Winkel – Ein Winkel, der größer als 90°, aber kleiner als 180° ist.

Stumpfes Dreieck – Ein Dreieck, das einen stumpfen Winkel enthält.

Ungerade Zahl – Eine ganze Zahl (ganze Zahl), die nicht gerade durch 2 teilbar ist.

Geordnetes Paar – Jedes Paar von Elementen (x, y), wobei das erste Element x und das zweite Element y ist. Diese werden verwendet, um Punkte in Koordinatendiagrammen zu identifizieren oder darzustellen.

Ursprung – Der Schnittpunkt der beiden Zahlengeraden eines Koordinatendiagramms. Der Schnittpunkt wird durch die Koordinaten (0,0) dargestellt.

Parallele Linien – Zwei oder mehr Linien, die immer den gleichen Abstand haben. Sie treffen sich nie.

Prozentsatz – Ein gemeinsamer Bruch mit 100 als Nenner.

Senkrechte Linien – Zwei Linien, die sich im rechten Winkel schneiden.

Pi (π) – Eine Konstante, die zur Bestimmung des Umfangs oder der Fläche eines Kreises verwendet wird. Es entspricht ungefähr 3,14.

Polynom – Ein Ausdruck in der Algebra, der aus zwei oder mehr Termen besteht.

Positive Zahl – Eine Zahl größer als Null.

Leistung – Ein Produkt gleicher Faktoren. 3 x 3 x 3 = 3 3 , gelesen als „drei hoch drei“ oder „dritte hoch drei“. Potenz und Exponent können austauschbar verwendet werden.

Primzahl – Eine Zahl th at kann nur durch sich selbst und eins geteilt werden.

Eigener Bruch – Ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist.

Anteil – Geschrieben als zwei gleiche Verhältnisse. Zum Beispiel ist 5 zu 4 wie 10 zu 8 oder 5/4 = 10/8.

Satz des Pythagoras – Ein Satz über rechtwinklige Dreiecke. Sie besagt, dass die Summe der Quadrate der beiden Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist (a 2 + b 2 = c 2 ).

Quadranten – Die vier Unterteilungen in einem Koordinatendiagramm.

Quadratische Gleichung – Eine Gleichung, die als Ax 2 + Bx + C = 0 ausgedrückt werden kann.

Radikalzeichen – Ein Symbol, das eine Quadratwurzel bezeichnet.

Radius – Ein Liniensegment, bei dem die Endpunkte einer im Mittelpunkt eines Kreises und einer auf dem Kreis liegen. Der Begriff bezieht sich auch auf die Länge dieses Segments.

Verhältnis – Ein Vergleich zwischen zwei Zahlen oder Symbolen. Kann x:y, x/y oder x ist zu y geschrieben werden.

Rationale Zahl – Eine ganze Zahl oder ein Bruch wie 7/7 oder 9/4 oder 5/1. Jede Zahl, die als Bruch x/y geschrieben werden kann, wobei x eine natürliche Zahl und y eine ganze Zahl ist.

Kehrwert – Die multiplikative Umkehrung einer Zahl. 2/3 ist beispielsweise der Kehrwert von 3/2.

Reduzieren – Einen Bruch in seine niedrigsten Terme umwandeln. Zum Beispiel wird 3/6 auf ½ reduziert.

Rechter Winkel – Ein Winkel, der 90° misst.

Rechtwinkliges Dreieck – Ein Dreieck, das einen 90°-Winkel enthält.

Skalenusdreieck – Ein Dreieck, bei dem keine der Seiten oder Winkel gleich sind.

Wissenschaftliche Notation – Eine Zahl zwischen 1 und 10, die mit einer Potenz von 10 multipliziert wird. Wird zum Schreiben sehr großer oder sehr kleiner Zahlen verwendet.

Set – Eine Gruppe von Objekten, Zahlen usw.

Vereinfachen – Um Begriffe zu weniger Begriffen zu kombinieren.

Lösung oder Lösungssatz – Die Gesamtheit der Antworten, die die Gleichung erfüllen können.

Quadrat – Die resultierende Zahl, wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Auch eine vierseitige Figur mit gleichen Seiten und vier rechten Winkeln. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.

Quadratwurzel – Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt. 6 ist zum Beispiel die Quadratwurzel von 36.

Gerader Winkel – Ein Winkel, der 180° entspricht.

Gerade – Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten. In beide Richtungen geht es unendlich weiter.

Ergänzende Winkel – Zwei Winkel, deren Summe zusammen 180° beträgt.

Begriff – Ein wörtlicher oder numerischer Ausdruck mit eigenem Vorzeichen.

Transversal – Eine Linie, die zwei oder mehr parallele oder nicht parallele Linien in einer Ebene kreuzt.

Dreieck – Eine dreiseitige geschlossene Figur. Es enthält drei Winkel, deren Summe zusammen 180° beträgt.

Trinomial – Ein Ausdruck in der Algebra, der aus drei Begriffen besteht.

Unbekannt – Ein Symbol oder ein Buchstabe, dessen Wert unbekannt ist.

Variable – Ein Symbol, das für eine Zahl steht.

Vertikale Winkel – Die entgegengesetzten Winkel, die durch den Schnittpunkt zweier Linien gebildet werden. Vertikale Winkel sind gleich.

Volumen – Die Menge, die gehalten werden kann, gemessen in Kubikeinheiten. Das Volumen eines rechteckigen Prismas = Länge mal Breite mal Höhe.

Ganze Zahl – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, usw.

X-Achse – Die horizontale Achse in einem Koordinatendiagramm.

X-Koordinate – Die erste Zahl in einem geordneten Paar. Es bezieht sich auf den Abstand auf der x-Achse.

Y-Achse – Die vertikale Achse in einem Koordinatendiagramm.

Y-Koordinate – Die zweite Zahl in einem geordneten Paar. Es bezieht sich auf den Abstand auf der y-Achse.


Lösen von Gleichungen durch Kombinieren ähnlicher Terme



In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung von Gleichungen befassen, indem wir gleiche Terme kombinieren.

Gleiche Terme sind Terme, die dieselbe Variable mit demselben Exponenten enthalten. Konstante Terme sind wie Terme, weil sie keine Variablen haben.

Hier sind einige Beispiele für ähnliche Begriffe:

  • 2x und 5x sind wie Begriffe, weil beide dieselbe Variable enthalten.
  • 6 und 10 sind wie Terme, weil beide konstante Terme sind.
  • 2ja 2 und 7ja 2 sind wie Terme, da beide dieselbe Variable mit demselben Exponenten enthalten.

Einige Beispiele für Begriffe, die keine Begriffe sind, sind:

  • 4x und 4ja sind nicht wie Begriffe, weil die Variablen unterschiedlich sind.
  • 5z und 11 sind nicht wie Terme, weil ein Term eine Variable hat und der andere konstant ist.
  • 3x 2 und 3x sind nicht wie Terme, da die Variablen gleich sind, aber die Exponenten unterschiedlich sind.

Zwei Terme, die gleiche Terme sind, können durch Addieren oder Subtrahieren zu einem Term kombiniert werden.

Sehr oft müssen wir beim Lösen von Gleichungen ähnliche Terme kombinieren.

Wie löst man Gleichungen, indem man gleiche Terme kombiniert?

2x &ndash 3 = 11 (gleiche Begriffe kombinieren)

2x &ndash 3 + 3 = 11 + 3 (addiere 3 zu beiden Seiten)

2x = 14 (auf beiden Seiten 2 teilen)

(6 &bull 7) &ndash (4 &bull 7) &ndash 3 = 11 (Ersatz x = 7 in die ursprüngliche Gleichung)

3x &ndash 7 = 5 (gleiche Begriffe kombinieren)

3x &ndash 7 + 7 = 5 + 7 (addiere 7 zu beiden Seiten)

3x = 12 (beide Seiten durch 3 teilen)

4 + 8 &ndash 7 = 5 (Ersatz x = 4 in die ursprüngliche Gleichung)

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Bildung und Ungleichheit

Die Konflikttheorie bestreitet die eben beschriebenen Funktionen nicht. Allerdings gibt es einigen von ihnen eine andere Perspektive, indem es betont, wie Bildung auch soziale Ungleichheit verewigt (Ballantine & Hammack, 2012). Ein Beispiel für diesen Prozess ist die Funktion der sozialen Unterbringung. Wenn die meisten Schulen beginnen, ihre Schüler in der Grundschule zu verfolgen, werden die Schüler, die von ihren Lehrern für klug gehalten werden, in die schnelleren Spuren eingeordnet (insbesondere in Lesen und Rechnen), während die langsameren Schüler in der Oberschule in die langsameren Spuren eingeordnet werden, drei häufige Tracks sind der College Track, der berufliche Track und der allgemeine Track.

Eine solche Verfolgung hat seine Vorteile, es hilft sicherzustellen, dass kluge Schüler so viel lernen, wie es ihre Fähigkeiten erlauben, und es trägt dazu bei, dass langsamere Schüler nicht über ihren Kopf unterrichtet werden. Aber Konflikttheoretiker sagen, dass Tracking auch dazu beiträgt, soziale Ungleichheit zu verewigen, indem sperren Schüler in schnellere und niedrigere Spuren. Schlimmer noch, mehrere Studien zeigen, dass die soziale Klasse, die Rasse und die ethnische Zugehörigkeit der Schüler den Weg beeinflussen, in den sie eingeordnet werden, obwohl ihre intellektuellen Fähigkeiten und ihr Potenzial das Einzige sein sollten, was zählt: Weiße Schüler der Mittelschicht sind eher „aufgespürt“, während ärmere Schüler und farbige Schüler eher „aufgespürt“ werden. Sobald sie verfolgt werden, lernen die Schüler mehr, wenn sie aufgespürt werden, und weniger, wenn sie aufgespürt werden. Letztere neigen dazu, ihr Selbstwertgefühl zu verlieren und beginnen zu denken, dass sie wenig schulische Fähigkeiten haben und daher in der Schule schlechter abschneiden, weil sie aufgespürt wurden. Auf diese Weise wird angenommen, dass das Aufspüren gut für die aufgespürten und schlecht für die aufgespürten ist. Konflikttheoretiker sagen daher, dass das Tracking die soziale Ungleichheit basierend auf sozialer Klasse, Rasse und ethnischer Zugehörigkeit aufrechterhält (Ansalone, 2010).

Konflikttheoretiker fügen hinzu, dass standardisierte Tests kulturell voreingenommen sind und somit auch dazu beitragen, soziale Ungleichheit zu verewigen (Grodsky, Warren & Felts, 2008). Dieser Kritik zufolge begünstigen diese Tests weiße Schüler aus der Mittelschicht, deren sozioökonomischer Status und andere Aspekte ihres Hintergrunds ihnen verschiedene Erfahrungen ermöglicht haben, die ihnen bei der Beantwortung von Fragen zu den Tests helfen.

Eine dritte Kritik der Konflikttheorie betrifft die Qualität der Schulen. Wie wir später in diesem Kapitel sehen werden, unterscheiden sich US-Schulen stark in ihren Ressourcen, Lernbedingungen und anderen Aspekten, die sich alle darauf auswirken, wie viel Schüler in ihnen lernen können. Einfach ausgedrückt: Schulen sind ungleich, und gerade ihre Ungleichheit trägt dazu bei, die Ungleichheit in der Gesellschaft insgesamt zu verewigen. Kinder, die in städtischen Gebieten die schlechtesten Schulen besuchen, sehen sich beim Lernen mit viel größeren Hindernissen konfrontiert als Kinder, die in Vororten gut finanzierte Schulen besuchen. Ihr Mangel an Bildung trägt dazu bei, dass sie weiterhin in Armut und den damit verbundenen Problemen gefangen bleiben.

In einer vierten Kritik sagen Konflikttheoretiker, dass die Schule einen versteckten Lehrplan lehrt, mit dem sie eine Reihe von Werten und Überzeugungen meinen, die den Status quo einschließlich der bestehenden sozialen Hierarchie unterstützen (Booher-Jennings, 2008). Obwohl dies niemand hinter verschlossenen Türen plant, lernen unsere Schüler patriotische Werte und Respekt vor Autorität aus den Büchern, die sie lesen und aus verschiedenen Unterrichtsaktivitäten.

Eine letzte Kritik ist historischer Natur und betrifft den Aufstieg der kostenlosen Schulpflicht im 19. Jahrhundert (Cole, 2008). Da die Schulpflicht teilweise damit begann, die Werte der Einwanderer daran zu hindern, „amerikanische“ Werte zu korrumpieren, sehen Konflikttheoretiker ihre Ursprünge als Beigeschmack von Ethnozentrismus (die Überzeugung, dass die eigene Gruppe einer anderen Gruppe überlegen ist). Sie kritisieren auch die Absicht, den Arbeitern die Fähigkeiten zu vermitteln, die sie für die neue industrielle Wirtschaft benötigen. Da die meisten Arbeiter in dieser Wirtschaft sehr arm waren, so sagen diese Kritiker, diente die Schulpflicht viel mehr den Interessen der oberen/kapitalistischen Klasse als den Interessen der Arbeiter.


Summen von Brüchen mit ungleichen Nennern

In Abschnitt 6.3 haben wir Brüche mit gleichen Nennern hinzugefügt. In diesem Abschnitt werden wir Brüche mit ungleichen Nennern addieren.

Im Allgemeinen wird die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches jedes Nenners einer Menge von Brüchen ist, als kleinster gemeinsamer Nenner (LCD) der Menge von Brüchen bezeichnet. Manchmal können wir das LCD durch Inspektion erhalten. Wenn das LCD nicht sofort sichtbar ist, können wir es mit einem speziellen Verfahren finden.

  1. Faktorisieren Sie jeden Nenner vollständig und gleichen Sie, wenn möglich, gemeinsame Faktoren aus.
  2. Berücksichtigen Sie jeden dieser Faktoren in der LCD-Anzeige so oft, wie er in einem einzelnen Nenner am häufigsten vorkommt.

Beispiel 1 Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche

Lösung Kleinster gemeinsamer Nenner für enthält unter seinen Faktoren die Faktoren 12, 10 und 6.

Somit ist die LCD 60. (Diese Zahl ist die kleinste natürliche Zahl, die durch 12, 10 und 6 teilbar ist.)

Die LCD einer Menge algebraischer Brüche ist der einfachste algebraische Ausdruck, der ein Vielfaches jedes Nenners in der Menge ist. Somit ist die LCD der Brüche

weil dies der einfachste Ausdruck ist, der ein Vielfaches jedes Nenners ist.

Beispiel 2 Finden Sie die LCD der Brüche

Lösung Nach der Methode von Beispiel 1 erhalten wir

Somit ist die LCD x 2 (x + l) (x - 1).

Wir können Brüche mit ungleichen Nennern addieren, indem wir die Brüche zuerst zu äquivalenten Brüchen mit gleichen Nennern bilden und dann addieren.

  1. Finden Sie die LCD des Satzes von Brüchen.
  2. Bilden Sie jeden Bruch zu einem äquivalenten Bruch mit dem LCD als Nenner.
  3. Addiere die Brüche mit der Eigenschaft

Beispiel 3 Schreiben Sie die Summen von und als einzelne Begriffe.

Lösung In jedem Fall ist die LCD 10. Wir bauen jeden Bruch zu einem Bruch mit 10 als Nenner auf. So,

Manchmal haben die Brüche binomische Nenner.

Beispiel 4 Schreiben Sie die Summe von als einzelner Begriff.

Lösung Das LCD ist (x + 2)(x - 1). Wir bauen jeden Bruch zu einem Bruch mit Nenner (x + 2)(x - 1) auf, fügen nach Bedarf Klammern ein und erhalten

Da wir nun gleiche Nenner haben, können wir die Zähler addieren, vereinfachen und erhalten

Beispiel 5 Schreiben Sie die Summe von als ein Begriff.

Lösung Zuerst faktorisieren wir die Nenner, um das LCD zu erhalten.

Wir bilden nun jeden Bruch mit diesem Nenner zu Brüchen und erhalten

Wir können nun die Zähler addieren, vereinfachen und erhalten

Häufige Fehler Beachten Sie, dass wir nur Brüche mit gleichen Nennern addieren können. So,

Außerdem addieren wir nur die Zähler von Brüchen mit gleichen Nennern. So,


Diese kostenlosen Online-Materialien der Goodwill Community Foundation decken grundlegende Technologie-, Lese- und Schreibfähigkeiten sowie mathematische Fähigkeiten ab. Separate Abschnitte konzentrieren sich auf Alltag, Mathematik und Geld, Computertraining sowie Arbeit und Karriere.

Ésta página web tiene tutoriales para practicar la aritmética, el álgebra, y la geometría.

Grundlegende Mathematik richtet sich an alle, die ein grundlegendes Verständnis von mathematischen Konzepten und Operationen benötigen. Die Anweisungen werden sorgfältig sequenziert, um einer logischen Reihenfolge zu folgen. Konzepte werden in klaren, einfachen Worten dargestellt.

Salman Khan hat über 1200 hochwertige YouTube-Videos aufgenommen, die alles von grundlegender Arithmetik, Präalgebra und Geometrie bis hin zu Differentialgleichungen und Physik abdecken. Die Videobibliothek ist zur einfachen Suche in Kategorien unterteilt.

BBC Skillswise ist eine ausgezeichnete Seite für grundlegende Mathematik- und Englischkenntnisse. Es enthält Factsheets, Arbeitsblätter, Quizfragen und Spiele, die Ihnen helfen, Ihre Fähigkeiten zu verbessern. (Beachten Sie, dass diese Site britisch ist und britische Rechtschreibregeln verwendet.)

NeoK12 ist eine Sammlung von Lehrvideos aus dem gesamten Web, die nach breiten Themenbereichen geordnet sind. Physikalische Wissenschaften, Biowissenschaften, Erde und Weltraum, Mathematik, Sozialkunde und Sprachkunst werden alle abgedeckt. Die Website bietet geeignete Ressourcen für Schüler aller Klassenstufen.


Mit Vektoren arbeiten

Nun zurück zu Vektoren. Nehmen wir an, wir haben die folgenden Vektoren:

Wie würden Linearkombinationen dieser Vektoren aussehen? Nun, eine Linearkombination dieser Vektoren wäre eine beliebige Kombination von ihnen unter Verwendung von Addition und Skalarmultiplikation. Ein paar Beispiele wären:

Der Vektor (vec = links[ egin3 6 9ende ight]) ist eine Linearkombination von (vec_1), (vec_2), (vec_3).

Warum ist das wahr? Dieser Vektor kann als Kombination der drei gegebenen Vektoren unter Verwendung von Skalarmultiplikation und Addition geschrieben werden. Speziell,

(links[ egin3 6 9ende ight] = 3left[ egin1 2 3Ende ight] + 0left[ egin3 5 1Ende ight] + 0left[ egin0 0 8Ende Recht])

Oder verwenden Sie die Namen, die jedem Vektor gegeben wurden:

(vec = 3vec_1 + 0vec_2 + 0vec_3)

Der Vektor (vec = links[ egin2 3 -6ende ight]) ist eine Linearkombination von (vec_1), (vec_2), (vec_3).

Dies können wir noch einmal zeigen, indem wir zeigen, dass man die Vektoren (vec_1), (vec_2) und (vec_3) mit Addition und Skalarmultiplikation, sodass das Ergebnis der Vektor (vec).

(links[ egin2 3 -6ende ight] = -1left[ egin1 2 3Ende ight] + 1left[ egin3 5 1Ende ight] + left(-dfrac<1><2> ight)left[ egin0 0 8Ende Recht])

(vec = -1vec_1 +1vec_2 + left(-dfrac<1><2> ight)vec_3)

Natürlich könnten wir noch lange weitermachen, da es viele verschiedene Möglichkeiten für die Skalare und Möglichkeiten gibt, die drei Vektoren zu kombinieren. Im Allgemeinen würde die Menge ALLER Linearkombinationen dieser drei Vektoren als ihre Spanne bezeichnet. Dies würde geschrieben als ( extrmleft(vec_1, vec_2, vec_3 echts)). Die beiden obigen Vektoren sind Elemente oder Mitglieder dieser Menge.


Mathe-Vokabularkarten für iPad, Web und mehr

Mathematik-Vokabularkarten helfen den Schülern, ihr konzeptionelles Verständnis von Schlüsselbegriffen der Mathematik zu vertiefen. Jede Karte enthält drei Abschnitte: einen mathematischen Begriff, ein repräsentatives Beispiel oder Modell und eine prägnante Definition. Jeder Abschnitt kann ein- oder ausgeblendet werden und bietet mehrere Übungsoptionen. Vokabelkarten können einzeln oder nach Kategorien ausgewählt und nahtlos zwischen Englisch und Spanisch umgeschaltet werden.

Diese virtuelle Version unserer Word-Ressourcenkarten ist ein offenes Lernwerkzeug, das sich ideal für Grundschulklassen und andere Lernumgebungen eignet, die Laptops, iPads, Chromebooks und Windows-Geräte verwenden.

Diese mathematischen Schlüsselbegriffe und visuellen Modelle werden in Bridges in Mathematics, zweite Ausgabe, vorgestellt. Online-Vorschau verfügbar.

App-Funktionen

  • Wählen Sie Kartensets für die Klassen K–2 oder 3–5.
  • Wählen Sie Karten nach Kategorie (z. B. Brüche, Geometrie usw.) oder einzeln aus.
  • Karten werden automatisch in zufälliger Reihenfolge sortiert.
  • Hide and reveal one or more sections of each card.
  • View terms and definitions in English or Spanish.

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Danksagung

Math Vocabulary Cards was made possible by a generous donation from Dr. David Moursund.


Few students write fast enough to get complete and readable notes in class. For this reason it is useful to go back over your class notes shortly after each class and make a complete, clean copy with all of the definitions and theorems clearly stated. This practice will also help you identify parts you don't understand so you can ask your professor about them in a timely fashion.

Do not let yourself fall behind. Mathematics requires precision, habits of clear thought, and practice. Cramming for an exam will not only fail to produce the desired result on the exam, it will also reinforce a bad habit---that of trying to do mathematics by memorization rather than understanding. A good night's sleep and a clear head will serve you better than last minute memorization.
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