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13.E: Übungen - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Bestimmen Sie, ob die gegebenen Vektormengen linear abhängig oder linear unabhängig sind. Wenn sie linear abhängig sind, schreiben Sie eine als Linearkombination der anderen.

a.) (vec u = (0,2), vec v = (0,3))

b.) (vec u = (1,2,4), vec v = (1,-2,3), vec w = (-2,0,1))

c.) (vec u = (7,5), vec v = (1,2), vec w = (3,-1))

d) (vec u = (1,2,3), vec v = (2,4,6), vec w = (4,1,-4))

Antworten

a.) linear abhängig

b.) linear unabhängig

c.) linear abhängig

d.) linear abhängig

Übung (PageIndex{2})

Sind die folgenden Mengen Unterräume von (mathbb{R}^3) oder nicht? Wenn nicht, begründen Sie dies und wenn ja, beweisen Sie es.

a.) (V) ist die Menge aller ((x,y,z)) mit (x=0)

b.) (V) ist die Menge aller ((x,y,z)) mit (2x=3y)

c.) (V) ist die Menge aller ((x,y,z)) mit (x=6)

d.) (V) ist die Menge aller ((x,y,z)) mit (x+y=0)

e.) (V) ist die Menge aller ((x,y,z)) mit (x+y=2)

Antworten

a.) ja

b.) ja

c.) nein

d.) ja

e.) nein

Übung (PageIndex{3})

Liegt (vec v = (1,0,-1)) in der Spanne von ({ (5,3,4), (3,2,5)})? Wenn ja, schreiben Sie (vec v) als Linearkombination der beiden Vektoren.

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie, dass, wenn eine endliche Menge von Vektoren den Nullvektor enthält, diese Menge linear abhängig ist.

Antworten

Hinweis: Um zu beweisen, dass eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, müssen Sie zeigen, dass einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen ist.

Übung (PageIndex{5})

Bilden die folgenden Vektorenmengen eine Basis für (mathbb{R}^n)? Warum oder warum nicht?

a.) (vec v_1 = (4,7), vec v_2 = (5,6))

b.) (vec v_1 = (1,-3), vec v_2 = (-3,9))

c.) (vec v_1 = (4,7,4), vec v_2 = (5,6,0), vec v_3 = (2,-1,1))

d.) (vec v_1 = (4,-1,4), vec v_2 = (5,2,0))

e.) (vec v_1 = (4,7,4), vec v_2 = (5,6,0), vec v_3 = (2,-1,1), vec v_4 = (0,1 ,2))

Antworten

DAT Quantitative Reasoning Math Practice Testfragen

Bereiten Sie sich auf den DAT Quantitative Reasoning Math Test vor? Suchen Sie nach Beispielfragen für DAT-Mathematik, um sich auf den DAT-Test zum quantitativen Denken vorzubereiten? Probieren Sie diese kostenlosen DAT Quantitative Reasoning Math Practice-Fragen aus. Das Wiederholen von Übungsfragen ist der beste Weg, um Ihre mathematischen Fähigkeiten aufzufrischen. Hier führen wir Sie durch die Lösung von 10 häufigen DAT Quantitative Reasoning Math Übungsaufgaben, die die wichtigsten mathematischen Konzepte des DAT Quantitative Reasoning Math Tests abdecken.

Diese DAT Quantitative Reasoning Math Übungsfragen sind so konzipiert, dass sie denen des echten DAT Quantitative Reasoning Math Tests ähneln. Sie werden Ihr Vorbereitungsniveau einschätzen und Ihnen eine bessere Vorstellung davon geben, was Sie in Ihrer Prüfung lernen sollten.


Probleme

13.2 Faradaysches Gesetz

24. Eine Spule mit 50 Windungen hat einen Durchmesser von 15 cm. Die Spule wird in ein räumlich gleichmäßiges Magnetfeld der Größe 0,50 T gebracht, so dass die Stirnseite der Spule und das Magnetfeld senkrecht stehen. Bestimmen Sie die Größe der in der Spule induzierten EMK, wenn das Magnetfeld gleichmäßig auf Null reduziert wird in

25. Wiederholen Sie Ihre Berechnungen des vorherigen Problems mit einer Zeit von 0,1 s, wobei die Ebene der Spule einen Winkel von bildet

(c) 90&Grad mit dem Magnetfeld.

26. Eine quadratische Schleife mit einer Seitenlänge von 6,0 cm wird aus Kupferdraht mit einem Radius von 1,0 mm hergestellt. Wenn sich ein Magnetfeld senkrecht zur Schleife mit einer Geschwindigkeit von 5,0 mT/s ändert, wie groß ist der Strom in der Schleife?

27. Das Magnetfeld durch eine kreisförmige Schleife mit einem Radius von 10,0 cm ändert sich mit der Zeit, wie unten gezeigt. Das Feld steht senkrecht zur Schleife. Plotten Sie die Größe der induzierten EMK in der Schleife als Funktion der Zeit.

28. Die nebenstehende Abbildung zeigt eine rechteckige Spule mit einer einzigen Windung, die einen Widerstand von 2,0&Omega.2,0&Omega hat. Das Magnetfeld an allen Punkten innerhalb der Spule variiert gemäß (displaystyle B=B_0e^<&minus&alphat>,) wobei (displaystyle B_0=0.25T) und &alpha=200Hz. Wie groß ist der in der Spule induzierte Strom bei

29. Wie würden sich die Antworten auf das obige Problem ändern, wenn die Spule aus 20 eng beieinander liegenden Windungen besteht?

30. Ein langer Magnet mit n=10 Windungen pro Zentimeter hat eine Querschnittsfläche von (displaystyle 5.0cm^2) und führt einen Strom von 0.25 A. Eine Spule mit fünf Windungen umgibt den Elektromagneten. Wenn der Strom durch die Magnetspule abgeschaltet wird, sinkt er in 0,050 s auf Null. Wie hoch ist die durchschnittliche EMK, die in der Spule induziert wird?

31. Eine rechteckige Drahtschleife mit Länge a und Breite b liegt in der xy-Ebene, wie unten gezeigt. Innerhalb der Schleife gibt es ein zeitabhängiges Magnetfeld, gegeben durch (displaystyle vec(t)=C((xcos&omegat)hat+(ysin&omegat)hat)), mit (displaystyle vec(t)) in Tesla. Bestimmen Sie die in der Schleife induzierte EMK als Funktion der Zeit.

32. Das Magnetfeld senkrecht zu einer einzelnen Drahtschleife mit einem Durchmesser von 10,0 cm nimmt von 0,50 T auf Null ab. Der Draht besteht aus Kupfer und hat einen Durchmesser von 2,0 mm und eine Länge von 1,0 cm. Wie viel Ladung bewegt sich durch den Draht, während sich das Feld ändert?

13.3 Lenzsches Gesetz

33. Eine kreisförmige Drahtschleife mit einer einzigen Windung mit einem Radius von 50 mm liegt in einer Ebene senkrecht zu einem räumlich gleichmäßigen Magnetfeld. Während eines Zeitintervalls von 0,10 s steigt die Feldstärke gleichmäßig von 200 auf 300 mT an.

(a) Bestimmen Sie die in der Schleife induzierte EMK.

(b) Wenn das Magnetfeld von der Seite nach außen gerichtet ist, in welche Richtung wird dann der Strom in der Schleife induzierten?

34. Wenn ein Magnetfeld zum ersten Mal eingeschaltet wird, variiert der Fluss durch eine Schleife mit 20 Windungen mit der Zeit gemäß (displaystyle &Phi_m=5.0t^2&minus2.0t), wobei (displaystyle &Phi_m) in Milliweber, t wird in Sekunden angegeben, und die Schleife befindet sich in der Seitenebene, wobei die Einheitsnormale nach außen zeigt.

(a) Wie groß ist die in der Schleife induzierte EMK als Funktion der Zeit? Welche Richtung hat der induzierte Strom bei

35. Der magnetische Fluss durch die in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Schleife variiert mit der Zeit gemäß (displaystyle &Phi_m=2.00e^<&minus3t>sin(120&pit)), wobei (displaystyle &Phi_m) in Milliweber angegeben ist. Welche Richtung und Größe hat der Strom durch die 5.00-&Omega Widerstand bei (a) t=0t=0 (b) (displaystyle t=2.17×10^<&minus2>s) und (c) t=3.00s?

36. Verwenden Sie das Gesetz von Lenz, um die Richtung des induzierten Stroms in jedem Fall zu bestimmen.

13.4 Bewegungsemf

37. Ein Auto mit einer 1,0 m langen Funkantenne fährt mit 100,0 km/h an einem Ort, an dem das horizontale Magnetfeld der Erde (displaystyle 5,5x10^<&minus5>T) beträgt. Wie groß ist die maximal mögliche EMK, die durch diese Bewegung in der Antenne induziert wird?

38. Die unten gezeigte rechteckige Schleife von N Windungen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (displaystyle vec) beim Verlassen der Pole eines großen Elektromagneten. (a) Unter der Annahme, dass das Magnetfeld zwischen den Polflächen gleichmäßig und an anderer Stelle vernachlässigbar ist, bestimmen Sie die induzierte EMK in der Schleife. (b) Was ist die Quelle der Arbeit, die diese EMK erzeugt?

39. Angenommen, das Magnetfeld des vorhergehenden Problems schwingt mit der Zeit gemäß (displaystyle B=B_0 sin&omegat). Welche EMK wird dann in der Schleife induziert, wenn ihre nachlaufende Seite einen Abstand (d) vom rechten Rand des Magnetfeldbereichs hat?

40. Eine Spule mit 1000 Windungen umschließt eine Fläche von (displaystyle 25cm^2). Es wird in 0,010 s von einer Position, in der seine Ebene senkrecht zum Erdmagnetfeld ist, zu einer Position gedreht, in der seine Ebene parallel zum Feld ist. Wenn die Feldstärke (displaystyle 6.0×10^<&minus5>T) beträgt, wie hoch ist die durchschnittliche EMK, die in der Spule induziert wird?

41. In der in der nebenstehenden Abbildung gezeigten Schaltung gleitet der Stab mit konstanter Geschwindigkeit (displaystyle vec). Die Geschwindigkeit liegt in derselben Ebene wie die Schienen und ist in einem Winkel &thgr;&thgr; zu ihnen gerichtet. Ein gleichförmiges Magnetfeld (displaystyle vec) wird aus der Seite geleitet. Welche EMK wird im Stab erzeugt?

42. Der in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Stab bewegt sich durch ein gleichförmiges Magnetfeld der Stärke (displaystyle B=0.50T) mit einer konstanten Geschwindigkeit der Größe (displaystyle v=8.0m/s.). Wie groß ist die Potentialdifferenz zwischen den Enden des Stabes? Welches Ende des Stabes hat ein höheres Potential?

43. Ein 25-cm-Stab bewegt sich mit 5,0 m/s in einer Ebene senkrecht zu einem Magnetfeld der Stärke 0,25 T. Der Stab, der Geschwindigkeitsvektor und der Magnetfeldvektor stehen senkrecht zueinander, wie in der beigefügten Abbildung gezeigt. Berechnung

(a) die magnetische Kraft auf ein Elektron im Stab,

(b) das elektrische Feld im Stab und

(c) die Potentialdifferenz zwischen den Enden des Stabes.

(d) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Stabes, wenn die Potentialdifferenz 1,0 V beträgt?

44. In der nebenstehenden Abbildung haben die Schienen, das Verbindungsendstück und die Stange alle einen Widerstand pro Längeneinheit von 2,0&Omega/cm. Die Stange bewegt sich nach links bei v=3.0m/s. Wenn B=0,75T Überall in der Region, wie ist der Strom in der Schaltung

(a) wenn a=8.0cm?

(b) wenn a=5.0cm? Geben Sie auch die Richtung des Stromflusses an.

45. Die unten gezeigte Stange bewegt sich auf im Wesentlichen widerstandsfreien Schienen mit einer Geschwindigkeit von . nach rechts v=3.0m/s. Wenn B=0,75T überall in der region, was ist der strom durch die 5.0-&Omega Widerstand? Zirkuliert der Strom im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn?

46. Unten ist eine leitende Stange abgebildet, die entlang von Metallschienen gleitet. Das Gerät befindet sich in einem gleichmäßigen Magnetfeld der Stärke 0,25 T, das direkt in die Seite eindringt. Der Stab wird mit einer konstanten Geschwindigkeit von 5,0 m/s durch eine Kraft (displaystyle vec). Der einzige nennenswerte Widerstand in der Schaltung kommt von der 2.0-&Omega Widerstand gezeigt.

(a) Wie groß ist die im Stromkreis induzierte EMK?

(b) Was ist der induzierte Strom? Zirkuliert es im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn?

(c) Wie groß ist (displaystyle vec)?

(d) Wie groß ist die Leistung von (displaystyle vec) und die Verlustleistung im Widerstand?

13.5 Induzierte elektrische Felder

47. Berechnen Sie das induzierte elektrische Feld in einer Spule mit 50 Windungen und einem Durchmesser von 15 cm, die in ein räumlich gleichmäßiges Magnetfeld der Größe 0,50 T gelegt wird, so dass die Stirnseite der Spule und das Magnetfeld senkrecht stehen. Dieses Magnetfeld wird in 0,10 Sekunden auf Null reduziert. Angenommen, das Magnetfeld ist zylindrisch symmetrisch in Bezug auf die Mittelachse der Spule.

48. Das Magnetfeld durch eine kreisförmige Schleife mit einem Radius von 10,0 cm ändert sich mit der Zeit, wie in der beigefügten Abbildung gezeigt. Das Feld steht senkrecht zur Schleife. Unter der Annahme einer zylindrischen Symmetrie in Bezug auf die Mittelachse der Schleife, zeichnen Sie das induzierte elektrische Feld in der Schleife als Funktion der Zeit.

49. Der Strom I durch eine lange Magnetspule mit n Umdrehungen pro Meter und Radius R ändert sich mit der Zeit gemäß dI/dt. Berechnen Sie das induzierte elektrische Feld als Funktion des Abstands r von der Mittelachse des Elektromagneten.

50. Berechnen Sie das elektrische Feld, das sowohl innerhalb als auch außerhalb des Solenoids des vorhergehenden Problems induziert wird, wenn (displaystyle I=I_0sin&omegat.).

51. Über einen Bereich des Radius R herrscht ein räumlich gleichmäßiges Magnetfeld (displaystyle vec). (Siehe unten.) At t=0, B=1,0T, danach sinkt sie in 30 s mit konstanter Geschwindigkeit auf Null.

(a) Wie groß ist das elektrische Feld in den Bereichen (displaystyle r&leR) und (displaystyle r&geR) während dieses 30-s-Intervalls?

(b) Nehmen Sie an, dass R=10.0cm. Wie viel Arbeit verrichtet das elektrische Feld an einem Proton, das einmal im Uhrzeigersinn um eine Kreisbahn mit Radius 5.0 cm transportiert wird?

(c) Wie viel Arbeit verrichtet das elektrische Feld an einem Proton, das einmal gegen den Uhrzeigersinn um eine Kreisbahn mit beliebigem Radius (displaystyle r&geR) geführt wird?

(d) In dem Moment, in dem B=0.50T, tritt ein Proton in das Magnetfeld bei A ein und bewegt eine Geschwindigkeit (displaystyle vec(v=5.0×10^6m/s)) wie gezeigt. Welche elektrischen und magnetischen Kräfte wirken in diesem Moment auf das Proton?

52. Das Magnetfeld an allen Punkten innerhalb des zylindrischen Bereichs, dessen Querschnitt in der beigefügten Abbildung angegeben ist, beginnt bei 1,0 T und nimmt in 20 s gleichmäßig auf Null ab. Was ist das elektrische Feld (sowohl Größe als auch Richtung) als Funktion von r, der Abstand vom geometrischen Zentrum der Region?

53. Der Strom in einem langen Elektromagneten mit einem Radius von 3 cm ändert sich mit der Zeit mit einer Geschwindigkeit von 2 A/s. Eine kreisförmige Drahtschleife mit einem Radius von 5 cm und einem Widerstand 2&Omega umgibt das Solenoid. Finden Sie den in der Schleife induzierten elektrischen Strom.

54. Der Strom in einem langen Solenoid mit einem Radius von 3 cm und 20 Umdrehungen/cm ändert sich mit der Zeit mit einer Geschwindigkeit von 2 A/s. Finden Sie das elektrische Feld in einem Abstand von 4 cm von der Mitte des Solenoids.

13.7 Elektrische Generatoren und Gegen-EMF

55. Entwerfen Sie eine Stromschleife, die bei Drehung in einem gleichmäßigen Magnetfeld der Stärke 0,10 T eine EMK (displaystyle &epsilon=&epsilon_0sin&omegat,) erzeugt, wobei (displaystyle &epsilon_0=110V) und (displaystyle &omega= 120&pirad/s).

56. Eine flache, quadratische Spule mit 20 Windungen und einer Seitenlänge von 15,0 cm rotiert in einem Magnetfeld der Stärke 0,050 T. Wenn die in der Spule maximal erzeugte EMK 30,0 mV beträgt, wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Spule?

57. Eine rechteckige Spule mit 50 Windungen mit Abmessungen 0,15 m & mal 0,40 m rotiert in einem gleichförmigen Magnetfeld der Größe 0,75 T bei 3600 U/min.

(a) Bestimmen Sie die in der Spule induzierte EMK als Funktion der Zeit.

(b) Wenn die Spule an a . angeschlossen ist 1000-&Omega Widerstand, wie hoch ist die Leistung in Abhängigkeit von der Zeit, die erforderlich ist, um die Spule bei 3600 U / min zu drehen?

(c) Antwortteil (b) wenn die Spule an a . angeschlossen ist 2000-&Omega Widerstand.

58. Die quadratische Ankerspule eines Wechselstromgenerators hat 200 Windungen und eine Seitenlänge von 20,0 cm. Wenn es mit 3600 U/min rotiert, beträgt seine Spitzenausgangsspannung 120 V.

(a) Welche Frequenz hat die Ausgangsspannung?

(b) Wie stark ist das Magnetfeld, in dem sich die Spule dreht?

59. Eine Flip-Spule ist ein relativ einfaches Gerät, das verwendet wird, um ein Magnetfeld zu messen. Es besteht aus einer kreisförmigen Spule mit N Windungen, die mit feinem leitfähigem Draht gewickelt sind. Die Spule ist an einem ballistischen Galvanometer befestigt, einem Gerät, das die Gesamtladung misst, die durch sie hindurchgeht. Die Spule wird in ein Magnetfeld (displaystyle vec) so dass seine Fläche senkrecht zum Feld steht. Es wird dann um 180°, 180° gedreht, und die Gesamtladung Q, die durch das Galvanometer fließt, wird gemessen.

(a) Wenn der Gesamtwiderstand der Spule und des Galvanometers R ist, wie ist die Beziehung zwischen B und Q? Da die Spule sehr klein ist, können Sie davon ausgehen, dass (displaystyle vec) ist gleichförmig darüber.

(b) Wie können Sie feststellen, ob das Magnetfeld senkrecht zur Spulenfläche steht oder nicht?

60. Die Flip-Spule des vorhergehenden Problems hat einen Radius von 3,0 cm und ist mit 40 Windungen Kupferdraht gewickelt. Der Gesamtwiderstand der Spule und des ballistischen Galvanometers beträgt 0.20&Omega. Wenn die Spule durchgedreht ist 180° in einem Magnetfeld (displaystyle vec) fließt eine Änderung von 0,090 C durch das ballistische Galvanometer.

(a) Angenommen (displaystyle vec) und die Stirnseite der Spule stehen zunächst senkrecht, wie groß ist das Magnetfeld?

(b) Wenn die Spule durchgedreht ist 90°, Wie lautet die Anzeige des Galvanometers?

61. Ein 120-V-Reihenschlussmotor hat einen Feldwiderstand von 80 &Omega und einem Ankerwiderstand von 10 &Omega. Bei voller Geschwindigkeit wird eine Gegen-EMK von 75 V erzeugt.

(a) Wie hoch ist der Anfangsstrom des Motors? Wenn der Motor mit voller Drehzahl läuft, wo sind

(b) die Stromaufnahme des Motors,

(c) die Leistungsabgabe der Quelle,

(d) die Leistungsabgabe des Motors und

(e) die Verlustleistung in den beiden Widerständen?

62. Ein kleiner in Reihe gewickelter Gleichstrommotor wird mit einer 12-V-Autobatterie betrieben. Bei normaler Last zieht der Motor 4,0 A, und wenn der Anker so geklemmt ist, dass er sich nicht drehen kann, zieht der Motor 24 A. Wie hoch ist die Gegen-EMK bei normalem Motorbetrieb?


13.E: Optik (Übungen)

  • Beigetragen von Benjamin Crowell
  • Professor (Physik) am Fullerton College

1. Zeichnen Sie ein Strahlendiagramm, das zeigt, warum eine kleine Lichtquelle (z. B. eine Kerze) schärfere Schatten erzeugt als eine große (z. B. eine lange Leuchtstofflampe).

2. Ein GPS-Empfänger (Global Positioning System) ist ein Gerät, mit dem Sie durch den Empfang von zeitgesteuerten Funksignalen von Satelliten herausfinden können, wo Sie sich befinden. Es funktioniert, indem es die Laufzeit der Signale misst, die mit der Entfernung zwischen Ihnen und dem Satelliten zusammenhängt. Indem es auf diese Weise die Entfernungen zu mehreren verschiedenen Satelliten ermittelt, kann es Ihren Standort in drei Dimensionen auf wenige Meter genau bestimmen. Wie genau muss die Messung der Zeitverzögerung sein, um Ihre Position so genau zu bestimmen?

3. Schätzen Sie die Frequenz einer elektromagnetischen Welle ab, deren Wellenlänge der Größe eines Atoms ähnelt (etwa ein nm). Bezug nehmend auf Abbildung o auf S. 703, in welchem ​​Teil des elektromagnetischen Spektrums würde eine solche Welle liegen (Infrarot, Gammastrahlen, . )?

4. Der Stealth-Bomber ist mit flachen, glatten Oberflächen ausgestattet. Warum würde dies die Erkennung per Radar erschweren?

5. Die Ureinwohner des Planeten Wumpus spielen Billard mit Lichtstrahlen auf einem elfseitigen Tisch mit Spiegeln für Stoßstangen, wie in der Abbildung auf der nächsten Seite gezeigt. Verfolgen Sie diese Aufnahme genau mit einem Lineal, um die versteckte Botschaft zu enthüllen. Um eine ausreichende Genauigkeit zu erzielen, müssen Sie die Seite fotokopieren (oder das Buch herunterladen und die Seite ausdrucken) und jede Reflexion mit einem Winkelmesser erstellen.

6. Die Abbildung auf der nächsten Seite zeigt einen gekrümmten (Parabol-)Spiegel, auf den drei parallele Lichtstrahlen treffen. Ein Strahl nähert sich entlang der Mittellinie des Spiegels. (a) Verfolgen Sie die Zeichnung genau und setzen Sie die Lichtstrahlen fort, bis sie ihre zweite Reflexion erfahren. Um eine ausreichende Genauigkeit zu erzielen, müssen Sie die Seite fotokopieren (oder das Buch herunterladen und die Seite drucken) und an jeder Stelle, an der ein Strahl reflektiert wird, die Normale einzeichnen. Was fällt ihnen auf? (b) Bilden Sie ein Beispiel für eine praktische Verwendung für dieses Gerät. (c) Wie könnte man diesen Spiegel mit einer kleinen Glühbirne benutzen, um einen parallelen Lichtstrahl zu erzeugen, der nach rechts abstrahlt?

7. (Antwortcheck unter lightandmatter.com verfügbar) Ein Mann geht mit 1,0 m/s direkt auf einen flachen Spiegel zu. Mit welcher Geschwindigkeit nimmt seine Trennung von seinem Image ab?

8. Wenn ein Spiegel an einer Wand nur so groß ist, dass Sie sich vom Kopf bis zur Taille sehen können, können Sie dann Ihren gesamten Körper sehen, wenn Sie rückwärts gehen? Testen Sie dies experimentell und finden Sie eine Erklärung für Ihre Beobachtungen, einschließlich eines Strahlendiagramms.

Beachten Sie, dass Sie sich beim Durchführen des Experiments leicht verwirren können, wenn der Spiegel auch nur ein kleines bisschen von der Vertikalen abweicht. Eine Möglichkeit, sich selbst zu überprüfen, besteht darin, die Oberseite des Spiegels künstlich abzusenken, indem Sie ein Stück Klebeband oder einen Post-it-Zettel dort anbringen, wo es Ihre Sicht auf Ihren Kopf blockiert. Sie können dann überprüfen, ob Sie beide oben mehr von sich selbst sehen können und unten durch Sichern.

9. In Abschnitt 12.2 haben wir nur Beispiele für Spiegel mit ausgehöhlten Formen (genannt konkave Spiegel) gemacht. Zeichnen Sie nun ein Strahlendiagramm für einen gekrümmten Spiegel, der eine nach außen gewölbte Form hat (konvexer Spiegel genannt). (a) Wie vergleicht sich die Entfernung des Bildes vom Spiegel mit der tatsächlichen Entfernung des Objekts vom Spiegel? Bestimmen Sie anhand dieses Vergleichs, ob die Vergrößerung größer oder kleiner als eins ist. (b) Ist das Bild real oder virtuell? Könnte dieser Spiegel jemals die andere Art von Bild machen?

10. Wie in Frage 9 besprochen, gibt es zwei Arten von gekrümmten Spiegeln, konkav und konvex. Erstellen Sie eine Liste aller möglichen Kombinationen von Bildtypen (virtuell oder real) mit Spiegeltypen (konkav und konvex). (Nicht alle der vier Kombinationen sind physikalisch möglich.) Verwenden Sie nun für jede einzelne Strahlendiagramme, um zu bestimmen, ob eine Vergrößerung des Abstands des Objekts vom Spiegel zu einer Vergrößerung oder Verringerung des Abstands des Bildes vom Spiegel führt.

Zeichne GROSSE Strahlendiagramme! Jedes Diagramm sollte etwa eine halbe Seite Papier verbrauchen.

Einige Tipps: Um ein Strahlendiagramm zu zeichnen, benötigen Sie zwei Strahlen. Wählen Sie für eine davon den Strahl aus, der gerade entlang der Achse des Spiegels kommt, da seine Reflexion leicht zu zeichnen ist. Nachdem Sie die beiden Strahlen gezeichnet und das Bild für die ursprüngliche Objektposition lokalisiert haben, wählen Sie eine neue Objektposition, die zu demselben Bildtyp führt, und beginnen Sie ein neues Strahlendiagramm in einer anderen Stiftfarbe direkt über dem ersten einer. Wählen Sie für die beiden neuen Strahlen diejenigen aus, die zufällig an denselben beiden Stellen auf den Spiegel treffen. Dies macht es viel einfacher, das richtige Ergebnis zu erzielen, ohne auf extreme Genauigkeit beim Zeichnen der reflektierten Strahlen angewiesen zu sein.

11. Ändert sich die Vergrößerung, wenn der Benutzer eines astronomischen Teleskops seinen Kopf näher an das betrachtete Bild heranführt oder davon entfernt? Ändert sich die Winkelvergrößerung? Erklären. (Der Einfachheit halber nehmen Sie an, dass kein Okular verwendet wird.)

12. In Abbildung g/2 in auf Seite 752 wurde nur das Bild meiner Stirn durch das Zeichnen von Strahlen lokalisiert. Entweder die Figur fotokopieren oder das Buch herunterladen und die entsprechende Seite ausdrucken. Machen Sie auf dieser Kopie der Figur eine neue Reihe von Strahlen, die von meinem Kinn ausgehen, und suchen Sie ihr Bild. Um es einfacher zu machen, die Winkel genau zu beurteilen, zeichnen Sie Strahlen vom Kinn, die zufällig auf den Spiegel treffen, an den gleichen Punkten, an denen die beiden Strahlen von der Stirn auf ihn treffen. Durch Vergleichen der Positionen des Kinnbildes und des Stirnbildes vergewissern Sie sich, dass das Bild tatsächlich auf dem Kopf steht, wie in der Originalabbildung gezeigt.

13. Die Abbildung zeigt vier Punkte, an denen sich Strahlen kreuzen. Welche davon sind Bildpunkte? Erklären.

14. Hier ist ein Spiel, das meine Kinder gerne spielen. Ich sitze neben einem sonnigen Fenster, und die Sonne wird vom Glas meiner Uhr reflektiert und bildet eine Lichtscheibe an der Wand oder am Boden, die sie vorgeben, sie zu verfolgen, während ich sie bewege. Ist der Fleck eine Scheibe, weil er die Form der Sonne hat oder weil er die Form meiner Uhr hat? Mit anderen Worten, würde eine quadratische Uhr einen quadratischen Fleck ergeben, oder haben wir nur ein kreisförmiges Bild der kreisförmigen Sonne, die auf jeden Fall kreisförmig sein wird?

15. Wenden Sie die Gleichung (M=d_i/d_o) auf den Fall eines flachen Spiegels an.

16. (Lösung in der pdf-Version des Buches) Verwenden Sie die im Text beschriebene Methode, um die Gleichung zwischen Objektabstand und Bildabstand für den Fall eines virtuellen Bildes herzuleiten, das von einem Sammelspiegel erzeugt wird.

17. Finden Sie die Brennweite des Spiegels in Problem 6 . (Antwortprüfung verfügbar unter lightandmatter.com)

18. Ordne die Brennweiten der Spiegel in der Abbildung vom kürzesten zum längsten. Erklären.

19. (Lösung in der pdf-Version des Buches) (a) Ein Sammelspiegel mit einer Brennweite von 20 cm wird verwendet, um ein Bild mit einem Objekt im Abstand von 10 cm zu erstellen. Ist das Bild real oder virtuell? (b) Wie wäre es mit (f=20) cm und (d_o=30) cm? (c) Was wäre, wenn es a . wäre abweichend Spiegel mit (f=20) cm und (d_o=10) cm? (d) Ein Zerstreuungsspiegel mit (f=20) cm und (d_o=30) cm?

20. (a) Bilden Sie ein numerisches Beispiel für ein virtuelles Bild, das von einem Sammelspiegel mit einer bestimmten Brennweite erzeugt wird, und bestimmen Sie die Vergrößerung. (Sie benötigen das Ergebnis von Aufgabe 16.) Stellen Sie sicher, dass Sie Werte von (d_o) und (f) wählen, die tatsächlich ein virtuelles Bild erzeugen, kein echtes. Ändern Sie nun den Standort des Objekts ein kleines Bisschen und die Vergrößerung neu bestimmen und zeigen, dass sie sich ändert. In meinem örtlichen Kaufhaus verkauft die Kosmetikabteilung Handspiegel, die mit einer 5-fachen Vergrößerung beworben werden. Wie würden Sie das interpretieren?

(b) Angenommen, ein Newton-Teleskop wird für astronomische Beobachtungen verwendet. Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass kein Okular verwendet wird, und nehmen Sie einen Wert für die Brennweite des Spiegels an, der für ein Amateurinstrument, das in einen Schrank passt, angemessen wäre. Ist die Winkelvergrößerung bei Objekten in unterschiedlichen Entfernungen unterschiedlich? Betrachten Sie zum Beispiel zwei Planeten, von denen einer doppelt so weit entfernt ist wie der andere.

21. (a) Finden Sie einen Fall, in dem die Vergrößerung eines gekrümmten Spiegels unendlich ist. Ist der eckig unendliche Vergrößerung aus jeder realistischen Betrachtungsposition? (b) Erklären Sie, warum mit einem ausreichend kleinen Wert von (d_o) keine beliebig große Vergrößerung erreicht werden kann.

22. Eine konkave Oberfläche, die Schallwellen reflektiert, kann wie ein konvergierender Spiegel wirken. Angenommen, Sie finden in der Nähe einer solchen Oberfläche einen Punkt, an dem Sie Ihren Kopf so platzieren können, dass Ihr eigenes Flüstern wieder auf Ihren Kopf gerichtet ist, sodass es für Sie laut klingt. Welche Brennweite hat die Oberfläche bei gegebenem Abstand zur Oberfläche?

23. Die Abbildung zeigt eine Vorrichtung zum Konstruieren einer realistischen optischen Täuschung. Zwei Spiegel gleicher Brennweite werden mit ihren versilberten Flächen nach innen aneinander gestellt. Ein kleines Objekt, das im Boden des Hohlraums platziert wird, wird in die Luft darüber projiziert. Es funktioniert so, dass der obere Spiegel ein virtuelles Bild erzeugt und der untere Spiegel dann ein reales Bild des virtuellen Bildes. (a) Zeigen Sie, dass, wenn das Bild wie gezeigt an der Öffnung der Kavität positioniert werden soll, die Brennweite der Spiegel über die Gleichung . mit der Dimension (h) in Beziehung steht

(b) Formulieren Sie die Gleichung in Form einer einzelnen Variablen (x=h/f) und zeigen Sie, dass es zwei Lösungen für (x) gibt. Welche Lösung stimmt physikalisch mit den Annahmen der Berechnung überein?

24. (a) Ein konvergierender Spiegel wird verwendet, um ein virtuelles Bild zu erzeugen. Was ist der Bereich der möglichen Vergrößerungen? (b) Machen Sie dasselbe für die anderen Arten von Bildern, die durch gekrümmte Spiegel (sowohl konvergierend als auch divergierend) erzeugt werden können.

25. Ein Zerstreuungsspiegel der Brennweite (f) ist fixiert und zeigt nach unten. Ein Gegenstand fällt von der Oberfläche des Spiegels und fällt mit der Beschleunigung (g) davon ab. Das Ziel des Problems besteht darin, die maximale Geschwindigkeit des Bildes zu finden.
(a) Beschreiben Sie die Bewegung des Bildes verbal und erklären Sie, warum wir eine maximale Geschwindigkeit erwarten sollten.
(b) Verwenden Sie Argumente, die auf Einheiten basieren, um die Form der Lösung zu bestimmen, bis zu einer unbekannten einheitenlosen multiplikativen Konstante.
(c) Vervollständigen Sie die Lösung, indem Sie die einheitslose Konstante bestimmen.

26. Diamant hat einen Brechungsindex von 2,42, und ein Grund für das Funkeln von Diamanten ist, dass dies einen Lichtstrahl dazu ermutigt, viele interne Totalreflexionen zu durchlaufen, bevor er austritt. (a) Berechnen Sie den kritischen Winkel, bei dem Totalreflexion in Diamant auftritt. (Antwortprüfung unter lightandmatter.com verfügbar) (b) Erklären Sie die Interpretation Ihres Ergebnisses: Wird es von der Normalen oder von der Oberfläche gemessen? Ist es ein Minimum oder ein Maximum? Wie wäre der kritische Winkel für eine Substanz wie Glas oder Kunststoff mit einem niedrigeren Brechungsindex anders gewesen?

27. Angenommen, eine Sammellinse besteht aus einem Kunststoff, dessen Brechungsindex kleiner ist als der von Wasser. Wie wird sich das Verhalten des Objektivs unterscheiden, wenn es unter Wasser platziert wird?

28. Es gibt zwei Haupttypen von Teleskopen, das brechende (mit einer Linse) und das reflektierende (mit einem Spiegel, wie in Abbildung i auf S. 754). (Einige Teleskope verwenden eine Mischung der beiden Arten von Elementen: Das Licht trifft zuerst auf einen großen gekrümmten Spiegel und geht dann durch ein Okular, das eine Linse ist. Der Einfachheit halber nehmen Sie an, dass kein Okular verwendet wird.) Welche Auswirkungen hätte die Farbe? -Abhängigkeit der Brennweite haben die relativen Vorzüge der beiden Teleskoptypen? Beschreiben Sie den Fall, in dem ein Bild von einem weißen Stern gebildet wird. Es kann hilfreich sein, ein Strahlendiagramm zu zeichnen.

29. Erklären Sie auf der Grundlage des Snell-Gesetzes, warum Lichtstrahlen, die durch die Kanten einer Sammellinse treten, stärker gebogen werden als Strahlen, die durch Teile näher am Zentrum gehen. Es mag so aussehen, als ob es umgekehrt sein sollte, da die Strahlen am Rand weniger Glas durchdringen --- sollten sie nicht weniger betroffen sein? In deiner Antwort:

  • Fügen Sie ein Strahlendiagramm hinzu, das eine riesige, ganzseitige Nahaufnahme des relevanten Teils des Objektivs zeigt.
  • Nutzen Sie die Tatsache, dass Vorder- und Rückseite nicht immer parallel sind bei einem Objektiv, bei dem Vorder- und Rückseite sind immer parallel bündelt das Licht überhaupt nicht. Wenn Ihre Erklärung diese Tatsache also nicht nutzt, muss Ihre Argumentation falsch sein.
  • Stellen Sie sicher, dass Ihr Argument auch dann funktioniert, wenn die Strahlen nicht parallel zur Achse verlaufen.

30. Wenn Sie mit einer Kamera fotografieren, muss der Abstand zwischen Objektiv und Film angepasst werden, je nachdem, auf welche Entfernung Sie fokussieren möchten. Dies geschieht durch Verschieben des Objektivs. Wenn Sie Ihren Fokus ändern möchten, damit Sie etwas weiter entfernt fotografieren können, in welche Richtung müssen Sie das Objektiv bewegen? Erklären Sie mit Strahlendiagrammen. [Basierend auf einem Problem von Eric Mazur.]

31. Warum wird Ihre Sicht beim Schwimmen unter Wasser viel klarer, wenn Sie eine Schutzbrille mit flachen Glasstücken tragen, die Luft dahinter einschließen? [Hinweis: Sie können Ihre Argumentation vereinfachen, indem Sie den Sonderfall betrachten, in dem Sie ein weit entferntes Objekt entlang der optischen Achse des Auges betrachten.]

32. (Antwortprüfung unter lightandmatter.com verfügbar) Ein Objekt hat mehr als eine Brennweite von einer Sammellinse. (a) Zeichnen Sie ein Strahlendiagramm. (b) Bestimmen Sie die positiven und negativen Vorzeichen in der Gleichung (1/f=pm1/d_ipm1/d_o), wie in Abschnitt 12.3 entwickelt. (c) Die Bilder der Rose in Abschnitt 4.2 wurden mit einem Objektiv mit einer Brennweite von 23 cm aufgenommen. Wenn das Objektiv 80 cm von der Rose entfernt ist, suchen Sie das Bild.

33. Die Abbildung zeigt vier Linsen. Linse 1 hat zwei sphärische Oberflächen. Linse 2 ist die gleiche wie Linse 1, aber umgedreht. Linse 3 wird hergestellt, indem man die Linse 1 durchschneidet und den Boden umdreht. Die Linse 4 wird hergestellt, indem ein zentraler Kreis aus der Linse 1 herausgeschnitten und ausgespart wird.

(a) Ein paralleler Lichtstrahl tritt von links parallel zu seiner Achse in die Linse 1 ein. Wird der aus der Linse austretende Strahl nach dem Snell-Gesetz nach innen oder außen gebogen oder bleibt er parallel zur Achse? Erklären Sie Ihre Argumentation. Machen Sie als Teil Ihrer Antwort eine riesige Zeichnung eines kleinen Teils der Linse und wenden Sie das Snell-Gesetz an beiden Schnittstellen an. Denken Sie daran, dass Strahlen stärker gebogen werden, wenn sie in einem größeren Winkel zur Normalen auf die Grenzfläche treffen.

(b) Was passiert mit den Linsen 2, 3 und 4? Erklären. Zeichnungen sind nicht erforderlich.

34. Die Zeichnung zeigt die Anatomie des menschlichen Auges in doppelter Lebensgröße. Bestimmen Sie den Krümmungsradius der äußeren Oberfläche der Hornhaut durch Messungen in der Figur und leiten Sie dann die Brennweite der Luft-Hornhaut-Grenzfläche ab, an der fast die gesamte Lichtfokussierung stattfindet. Sie müssen physikalische Argumente verwenden, um die Gleichung des Linsenherstellers für den Fall zu ändern, dass nur eine einzige brechende Fläche vorhanden ist. Nehmen Sie an, dass der Brechungsindex der Hornhaut im Wesentlichen der von Wasser ist.

35. (Antwortprüfung unter lightandmatter.com verfügbar) Ein Objekt ist weniger als eine Brennweite von einer Sammellinse entfernt. (a) Zeichnen Sie ein Strahlendiagramm. (b) Bestimmen Sie die positiven und negativen Vorzeichen in der Gleichung (1/f=pm1/d_ipm1/d_o), wie in Abschnitt 12.3 entwickelt. (c) Die Bilder der Rose in Abschnitt 4.2 wurden mit einem Objektiv mit einer Brennweite von 23 cm aufgenommen. Wenn das Objektiv 10 cm von der Rose entfernt ist, suchen Sie das Bild.

36. (Antwortcheck unter lightandmatter.com verfügbar) Kurzsichtige Menschen tragen eine Brille mit divergierenden Gläsern. (a) Zeichnen Sie ein Strahlendiagramm. Nehmen Sie der Einfachheit halber so an, als ob hinter der Brille kein Auge wäre. (b) Bestimmen Sie die positiven und negativen Vorzeichen in der Gleichung (1/f=pm1/d_ipm1/d_o), wie in Abschnitt 12.3 entwickelt. (c) Wenn die Brennweite des Objektivs 50,0 cm beträgt und die Person ein Objekt in einer Entfernung von 80,0 cm betrachtet, suchen Sie das Bild.

37. (a) Licht wird diffus von einem Objekt in 1.000 m Tiefe reflektiert. Das an die Oberfläche auftreffende Licht wird an der Wasser-Luft-Grenzfläche gebrochen. Wenn die gebrochenen Strahlen alle vom selben Punkt zu kommen scheinen, wird über der tatsächlichen Position des Objekts ein virtuelles Bild des Objekts im Wasser angezeigt, das für einen Beobachter über dem Wasser sichtbar ist. Betrachten Sie drei Strahlen, A, B und C, deren Winkel im Wasser bezüglich der Normalen ( heta_i=0.000°), (1.000°) bzw. (20.000°) sind. Bestimmen Sie die Tiefe des Punktes, an dem sich die gebrochenen Teile von A und B scheinbar schneiden, und machen Sie dasselbe für A und C. Zeigen Sie, dass die Schnittpunkte fast die gleiche Tiefe haben, aber nicht ganz. [Check: Der Tiefenunterschied sollte ca. 4 cm betragen.]

(b) Da nicht alle gebrochenen Strahlen vom selben Punkt zu stammen scheinen, ist dies technisch gesehen kein virtuelles Bild. Welche Auswirkungen hätte dies in der Praxis auf das, was Sie sehen?

(c) Für den Fall, dass die Winkel alle klein sind, verwenden Sie Algebra und Trig, um zu zeigen, dass die gebrochenen Strahlen tatsächlich von demselben Punkt zu kommen scheinen, und finden Sie eine Gleichung für die Tiefe des virtuellen Bildes. Geben Sie keine Zahlenwerte für die Winkel oder die Brechungsindizes ein --- behalten Sie sie nur als Symbole. Sie benötigen die Näherung (sin hetaapprox an hetaapprox heta), die für kleine Winkel im Bogenmaß gilt.

38. Beweisen Sie, dass das Prinzip der kleinsten Zeit zum Snellschen Gesetz führt.

39. (Lösung in der pdf-Version des Buches) Zwei Standardbrennweiten für Kameraobjektive sind 50 mm (Standard) und 28 mm (Weitwinkel). Um zu sehen, wie sich die Brennweiten auf die Winkelgröße des Sichtfelds beziehen, ist es hilfreich, sich die Dinge wie in der Abbildung dargestellt vorzustellen. Anstatt viele Strahlen zu zeigen, die von demselben Punkt auf demselben Objekt kommen, wie wir es normalerweise tun, zeigt die Abbildung zwei Strahlen von zwei verschiedenen Objekten. Obwohl die Linse von jedem dieser Punkte unendlich viele Strahlen abfängt, haben wir nur diejenigen gezeigt, die durch die Mitte der Linse gehen, so dass sie keine Winkelablenkung erleiden. (Jede Winkelablenkung an der Vorderseite des Objektivs wird durch eine entgegengesetzte Ablenkung an der Rückseite aufgehoben, da Vorder- und Rückseite in der Mitte des Objektivs parallel sind.) Das Besondere an diesen beiden Strahlen ist, dass sie auf die Kanten gerichtet sind eines 35 mm breiten Filmbildes, das heißt, sie zeigen die Grenzen des Sichtfeldes. Bei diesem Problem nehmen wir an, dass (d_o) viel größer ist als (d_i). (a) Berechnen Sie die Winkelbreite des Sichtfelds der Kamera, wenn diese beiden Objektive verwendet werden. (b) Verwenden Sie Kleinwinkel-Approximationen, um eine vereinfachte Gleichung für die Winkelbreite des Gesichtsfeldes ( heta) in Bezug auf die Brennweite (f) und die Breite des Films zu finden. (w). Ihre Gleichung sollte keine trigonometrischen Funktionen enthalten. Vergleichen Sie die Ergebnisse dieser Näherung mit Ihren Antworten aus Teil a. (c) Nehmen wir an, wir halten die Blende konstant (Menge der Oberfläche der Linse, die zum Sammeln von Licht verwendet wird). Wie oft muss beim Wechsel von einem 50-mm- auf ein 28-mm-Objektiv belichtet werden, um ein richtig entwickeltes, d. h. nicht unter- oder überbelichtetes Bild zu erhalten? [Basierend auf einem Problem von Arnold Arons.]

40. Eine kurzsichtige Person ist eine Person, deren Augen das Licht zu stark fokussieren und die daher nicht in der Lage ist, die Linse in ihrem Auge ausreichend zu entspannen, um auf ihrer Netzhaut ein Bild eines zu weit entfernten Objekts zu erzeugen.

(a) Zeichnen Sie ein Strahlendiagramm, das zeigt, was passiert, wenn die Person mit unkorrigierter Sicht versucht, auf Unendlich zu fokussieren.

(b) Welche Art von Linsen hat ihre Brille? Erklären.

(c) Zeichne ein Strahlendiagramm, das zeigt, was passiert, wenn sie eine Brille trägt. Suchen Sie sowohl das von der Brille erzeugte Bild als auch das endgültige Bild.

(d) Angenommen, sie trägt manchmal Kontaktlinsen anstelle ihrer Brille. Muss die Brennweite ihrer Kontaktlinsen kleiner, gleich oder größer als die ihrer Brille sein? Erklären.

41. Freds Augen sind in der Lage, Dinge bis zu einer Entfernung von 5,0 cm zu fokussieren. Fred hält eine Lupe mit einer Brennweite von 3,0 cm in einer Höhe von 2,0 cm über einem Plattwurm. (a) Suchen Sie das Bild und finden Sie die Vergrößerung. (b) Aus welcher Entfernung würde Fred den Plattwurm ohne die Lupe sehen wollen, um seine Details so gut wie möglich zu sehen? Mit der Lupe? (c) Berechnen Sie die Winkelvergrößerung.

42. Bild 1 der Abbildung zeigt die Optik in einem Fernglas. Sie sind im Wesentlichen ein Paar Teleskope, eines für jedes Auge. Aber um sie kompakter zu machen und den Okularen den richtigen Abstand für ein menschliches Gesicht zu ermöglichen, enthalten sie einen Satz von acht Prismen, die den Lichtweg falten. Außerdem machen die Prismen das Bild aufrecht. Tafel 2 zeigt eines dieser Prismen, bekannt als Porroprisma. Das Licht tritt entlang einer Normalen ein, erfährt zwei interne Totalreflexionen in Winkeln von 45 Grad in Bezug auf die Rückseiten und tritt entlang einer Normalen aus. Das Bild des Buchstabens R wurde in die Horizontale gespiegelt. Tafel 3 zeigt ein Paar dieser zusammengeklebten Prismen. Das Bild wird sowohl in der Horizontalen als auch in der Vertikalen gespiegelt, wodurch es für den Benutzer des Fernglases richtig ausgerichtet ist.

(a) Bestimmen Sie den minimal möglichen Brechungsindex für das in den Prismen verwendete Glas.
(b) Bestimmen Sie für ein Material mit diesem minimalen Brechungsindex den Anteil des einfallenden Lichts, der durch die Reflexion in den vier Porroprismen auf jeder Seite eines Fernglases verloren geht. (Siehe Abschnitt 6.2.) Bei echten, hochwertigen Ferngläsern sind die optischen Flächen der Prismen entspiegelt, führen Sie Ihre Berechnung jedoch für den Fall durch, dass keine solche Beschichtung vorhanden ist.
(c) Besprechen Sie die Gründe, warum ein Fernglasdesigner ein Material mit genau dem in Teil a gefundenen Brechungsindex verwenden möchte oder nicht.

43. Es wäre ärgerlich, wenn Ihre Brille ein vergrößertes oder verkleinertes Bild erzeugt. Beweisen Sie, dass die Winkelvergrößerung immer ungefähr gleich 1 ist, wenn sich das Auge sehr nahe an einer Linse befindet und die Linse ein virtuelles Bild erzeugt (unabhängig davon, ob die Linse divergiert oder konvergiert).

44. Die Abbildung zeigt ein Beugungsmuster, das von einem Doppelspalt erzeugt wurde, zusammen mit einem Bild eines Meterstabs, um den Maßstab zu zeigen. Skizzieren Sie das Beugungsmuster aus der Figur auf Ihrem Papier. Betrachten Sie nun die vier Variablen in der Gleichung (lambda/d=sin heta/m). Welche davon sind für alle fünf Fransen gleich und welche für jede Franse unterschiedlich? Welche Variable würden Sie natürlich verwenden, um zu kennzeichnen, welcher Rand welcher war? Beschriften Sie die Ränder auf Ihrer Skizze mit den Werten dieser Variablen.

45. Passen Sie die Gitter A-C an die Beugungsmuster 1-3 an, die sie erzeugen. Erklären.

46. Die folgende Abbildung zeigt zwei Beugungsmuster. Der obere wurde mit gelbem Licht und der untere mit rotem Licht gemacht. Könnten die Schlitze, die zur Herstellung der beiden Muster verwendet wurden, gleich gewesen sein?

47 . Die Abbildung auf S. 805 zeigt ein Beugungsmuster, das von einem Doppelspalt erzeugt wurde, zusammen mit einem Bild eines Meterstabs, um den Maßstab zu zeigen. Die Schlitze waren 146 cm vom Schirm entfernt, auf den das Beugungsmuster projiziert wurde. Der Abstand der Schlitze betrug 0,050 mm. Welche Wellenlänge hatte das Licht? (Antwortcheck unter lightandmatter.com verfügbar)

48. Warum wäre blaues oder violettes Licht das Beste für die Mikroskopie?

49. Die Abbildung unten zeigt zwei Beugungsmuster, die beide mit der gleichen Wellenlänge von rotem Licht erstellt wurden. (a) Aus welcher Art von Schlitzen entstanden die Muster? Ist es ein Einzelspalt, Doppelspalt oder etwas anderes? Erklären. (b) Vergleichen Sie die Abmessungen der Schlitze, die verwendet wurden, um das obere und untere Muster herzustellen. Geben Sie ein Zahlenverhältnis an und geben Sie an, wie das Verhältnis ist, d. h. welches Spaltmuster das größere war. Erklären.

50. Wenn weißes Licht ein Beugungsgitter passiert, was ist der kleinste Wert von (m), bei dem das sichtbare Spektrum der Ordnung (m) das nächste der Ordnung (m+1?) überlappt (Das sichtbare Spektrum reicht von etwa 400 nm bis etwa 700 nm.)

k / Problem 51. Dieses Bild des Plejaden-Sternhaufens zeigt aufgrund der Wellennatur des Lichts Halos um die Sterne.

51. Schätzen Sie für Sternbilder wie die in Abbildung y die Winkelbreite des Beugungsflecks aufgrund der Beugung am Teleskopmund ab. Angenommen, ein Teleskop mit einem Durchmesser von 10 Metern (das größte derzeit existierende) und Licht mit einer Wellenlänge im mittleren sichtbaren Bereich. Vergleichen Sie mit der tatsächlichen Winkelgröße eines Sterns mit einem Durchmesser von (10^9) m aus einer Entfernung von (10^<17>) m. Was sagt dir das?

52. Die folgende Abbildung zeigt drei Beugungsmuster. Alle wurden unter identischen Bedingungen hergestellt, außer dass für jeden ein anderer Satz von Doppelschlitzen verwendet wurde. Die zur Herstellung des oberen Musters verwendeten Schlitze hatten einen Mittenabstand von (d=0,50) mm, und jeder Schlitz war (w=0,04) mm breit. (a) Bestimmen Sie (d) und (w) für die Schlitze, die verwendet werden, um das Muster in der Mitte zu bilden. (b) Machen Sie dasselbe für die Schlitze, die verwendet werden, um das untere Muster zu machen.

53. (Antwortcheck unter lightandmatter.com erhältlich) Der Strahl eines Lasers durchdringt ein Beugungsgitter, fächert sich auf und beleuchtet eine Wand, die senkrecht zum ursprünglichen Strahl steht und 2,0 m vom Gitter entfernt liegt. Der Strahl wird von einem Helium-Neon-Laser erzeugt und hat eine Wellenlänge von 694,3 nm. Das Gitter hat 2000 Linien pro Zentimeter. (a) Wie groß ist der Abstand an der Wand zwischen dem zentralen Maximum und den Maxima unmittelbar rechts und links davon? (b) Wie stark ändert sich Ihre Antwort, wenn Sie die Kleinwinkel-Approximationen ( hetaapproxsin hetaapprox an heta) verwenden?

54. Ultraschall, also Schallwellen, deren Frequenzen zu hoch sind, um hörbar zu sein, können verwendet werden, um Föten im Mutterleib darzustellen oder Nierensteine ​​aufzubrechen, damit sie vom Körper ausgeschieden werden können. Betrachten Sie die letztere Anwendung. Linsen können so gebaut werden, dass sie Schallwellen fokussieren, aber da die Wellenlänge des Schalls im Vergleich zum Durchmesser der Linse nicht allzu klein ist, wird der Schall nicht genau im geometrischen Brennpunkt konzentriert. Stattdessen wird ein Beugungsmuster mit einem intensiven zentralen Fleck erzeugt, der von schwächeren Ringen umgeben ist. Etwa 85 % der Leistung sind im zentralen Punkt konzentriert. Der Winkel des ersten Minimums (das den zentralen Punkt umgibt) ist gegeben durch (sin heta =lambda/b), wobei (b) der Durchmesser der Linse ist. Dies ist ähnlich der entsprechenden Gleichung für einen einzelnen Spalt, jedoch mit einem Faktor von 1,22 vorgelagert, der sich aus der kreisförmigen Form der Öffnung ergibt. Der Abstand von der Linse zum Nierenstein des Patienten sei (L=20) cm. Sie wollen (f>20) kHz, damit der Ton nicht hörbar ist. Finden Sie Werte von (b) und (f), die zu einem brauchbaren Design führen würden, bei dem der zentrale Punkt klein genug ist, um innerhalb eines Nierensteins von 1 cm Durchmesser zu liegen.

55. Unter welchen Umständen könnte man ein mathematisch undefiniertes Ergebnis erhalten, wenn man die Doppelspaltbeugungsgleichung nach ( heta) auflöst? Geben Sie eine physikalische Interpretation dessen, was tatsächlich beobachtet werden würde.

56. Wenn Ultraschall für die medizinische Bildgebung verwendet wird, kann die Frequenz bis zu 5-20 MHz betragen. Eine weitere medizinische Anwendung von Ultraschall ist hier die therapeutische Erwärmung von Geweben im Körper, die Frequenz beträgt typischerweise 1-3 MHz. Welche grundlegenden physikalischen Gründe könnten Sie für die Verwendung höherer Frequenzen für die Bildgebung vorschlagen?

57. Angenommen, wir haben einen polygonalen Raum, dessen Wände Spiegel sind, und es gibt eine punktförmige Lichtquelle im Raum. In den meisten solchen Beispielen wird jeder Punkt im Raum nach einer endlichen Anzahl von Reflexionen von der Lichtquelle beleuchtet. Eine schwierige mathematische Frage, die erstmals Mitte des letzten Jahrhunderts gestellt wurde, ist, ob es jemals möglich ist, ein Beispiel zu haben, in dem der ganze Raum nicht beleuchtet. (Es wird angenommen, dass Strahlen absorbiert werden, wenn sie genau auf einen Scheitelpunkt des Polygons treffen oder wenn sie genau durch die Spiegelebene gehen.)

Das Problem wurde schließlich 1995 von G.W. Tokarsky, der ein Beispiel für einen Raum fand, der ab einem bestimmten Punkt nicht beleuchtbar war. Abbildung 57 zeigt ein etwas einfacheres Beispiel, das D. Castro zwei Jahre später gefunden hat. Wenn eine Lichtquelle an einer der mit Punkten angezeigten Stellen platziert wird, bleibt der andere Punkt unbeleuchtet, obwohl jeder andere Punkt beleuchtet ist. Es ist nicht einfach, rigoros nachzuweisen, dass die Lösung von Castro diese Eigenschaft besitzt. Die Plausibilität der Lösung kann jedoch wie folgt nachgewiesen werden.

Angenommen, die Lichtquelle befindet sich am rechten Punkt. Suchen Sie alle Bilder, die durch einzelne Reflexionen gebildet wurden. Beachten Sie, dass sie ein regelmäßiges Muster bilden. Überzeugen Sie sich selbst, dass keines dieser Bilder den linken Punkt beleuchtet. Aufgrund des regelmäßigen Musters wird es plausibel, dass selbst wenn wir Bilder von Bildern, Bilder von Bildern von Bildern usw. bilden, keiner von ihnen jemals den anderen Punkt beleuchtet.

Es gibt verschiedene andere Versionen des Problems, von denen einige ungelöst bleiben. Das Buch von Klee und Wagon bietet eine gute Einführung in das Thema, obwohl es vor Tokarskys und Castros Werken liegt.

Verweise:
G. W. Tokarsky, &ldquoPolygonale Räume, die nicht von jedem Punkt beleuchtet werden können&rdquo Amer. Mathematik. Monatlich 102, 867-879, 1995.
D. Castro, &ldquoCorrections&rdquo Quantum 7, 42, Jan. 1997.
V. Klee und S. Wagen, Alte und neue ungelöste Probleme der ebenen Geometrie und Zahlentheorie. Mathematische Vereinigung von Amerika, 1991.

58. Ein mechanisches Gestänge ist ein Gerät, das eine Art von Bewegung in eine andere umwandelt. Das bekannteste Beispiel ist der Motor eines Benzinautos, bei dem eine Pleuelstange die lineare Bewegung des Kolbens in eine Kreisbewegung der Kurbelwelle umwandelt. Das obere Feld der Abbildung zeigt ein mechanisches Gestänge, das 1864 von Peaucellier erfunden wurde, und ungefähr zur gleichen Zeit von Lipkin unabhängig. Es besteht aus sechs durch Scharniere verbundenen Stäben, wobei die vier kurzen eine Raute bilden. Punkt O ist fest im Raum, aber der Apparat kann sich frei um O drehen. Die Bewegung bei P wird in eine andere Bewegung bei ( ext

') (oder umgekehrt).

Geometrisch ist das Gestänge eine mechanische Umsetzung des alten Problems der Inversion in einem Kreis. Betrachten wir den Fall, dass die Raute flach gefaltet ist, sei (k) der Abstand von O zu dem Punkt, an dem P und ( ext

') übereinstimmen. Bilde den Kreis vom Radius (k) mit seinem Mittelpunkt bei O. Da P und ( ext

') nach innen und außen bewegen, Punkte auf der Innenseite des Kreises werden immer auf Punkte auf seiner Außenseite abgebildet, so dass (rr'=k^2). Das heißt, die Verknüpfung ist eine Art analoger Computer, der genau das Problem löst, die Umkehrung einer Zahl (r) zu finden. Die Inversion in einem Kreis hat viele bemerkenswerte geometrische Eigenschaften, die in H.S.M. Steuermann, Einführung in die Geometrie, Wiley, 1961. Wenn ein Stift durch ein Loch bei P eingeführt wird und ( ext

') über eine geometrische Figur gezogen wird, kann das Peaucellier-Gestänge verwendet werden, um eine Art Abbild der Figur zu zeichnen.

Ein verwandtes Problem ist die Konstruktion von Bildern, wie sie im unteren Teil der Figur dargestellt sind, die als Anamorphe bezeichnet werden. Die Zeichnung der Spalte auf dem Papier ist stark verzerrt, aber wenn der reflektierende Zylinder an der richtigen Stelle oben auf der Seite platziert wird, wird im Zylinder ein unverzerrtes Bild erzeugt. (Breitformat-Filmtechnologien wie Cinemascope basieren auf ähnlichen Prinzipien.)

Zeigen Sie, dass die Peaucellier-Verknüpfung funktioniert nicht Konvertieren Sie zwischen einem Bild und seinem Anamorph korrekt und entwerfen Sie eine modifizierte Version der Verknüpfung, die dies tut. Kenntnisse in analytischer Geometrie sind hilfreich.

59. Die Abbildung zeigt eine Linse mit gekrümmten Oberflächen, deren Dicke jedoch entlang einer horizontalen Linie konstant ist. Verwenden Sie die Gleichung des Linsenherstellers, um zu beweisen, dass diese „Linse&rdquo nicht wirklich eine Linse ist. (Lösung in der PDF-Version des Buches)

60. Unter normalen Bedingungen haben Gase Brechungsindizes, die nur wenig größer sind als die des Vakuums, d. h. (n=1+epsilon), wobei (epsilon) eine kleine Zahl ist. Angenommen, ein Strahl durchquert eine Grenze zwischen einem Vakuumbereich und einem Bereich, in dem der Brechungsindex (1+epsilon) ist. Finden Sie den maximalen Winkel, um den ein solcher Strahl jemals abgelenkt werden kann, im Grenzwert von kleinem (epsilon). hwhint

61. Ein Sammelspiegel hat die Brennweite (f). Ein Objekt befindet sich in einem Abstand ((1+epsilon)f) vom Spiegel, wobei (epsilon) klein ist. Bestimmen Sie den Abstand des Bildes vom Spiegel und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich, indem Sie die Annahme verwenden, dass (epsilon) klein ist. hwans


Vern Heeren wuchs im kalifornischen Sacramento Valley auf. Nach seinem Bachelor of Arts in Mathematik mit Nebenfach Physik am Occidental College und seinem Master of Arts in Mathematik an der University of California, Davis, begann er eine 38-jährige Lehrtätigkeit am American River College, Mathematik und ein bisschen Physik unterrichten. Er war 1968 mit seinem Bürokollegen Charles Miller Co-Autor von Mathematical Ideas und hat es im Laufe der Jahre genossen, es zu erforschen und zu überarbeiten. Es war ihm eine Freude, zusammen mit dem langjährigen Co-Autor John Hornsby und jetzt auch mit Sohn Christopher die dreizehnte Auflage fertigzustellen. Heutzutage verbringt Vern neben seinen mathematischen Interessen gerne Zeit mit seiner Frau Carole und ihrer Familie, um die Wunder der Natur in der Nähe ihres Hauses in Zentral-Oregon zu erkunden.

John Hornsby trat 1988 dem Autorenteam von Margaret Lial, Charles Miller und Vern Heeren bei. 1990 war die sechste Ausgabe von Mathematical Ideas der erste von fast 150 Titeln, die er für Scott Foresman, HarperCollins, Addison-Wesley und Pearson in der Jahre, die folgten. Seine Bücher decken die Bereiche Entwicklungs- und Hochschulalgebra, Präkalkül, Trigonometrie und Mathematik für die freien Künste ab. Er ist ein Eingeborener und Einwohner von New Roads, Louisiana.

Christopher Heeren stammt aus Sacramento, Kalifornien. Während seines Ingenieurstudiums am College hatte er die Möglichkeit, einen Mathematikkurs an einer örtlichen High School zu unterrichten, was sowohl eine Leidenschaft für das Lehren als auch einen Studienfachwechsel entfachte. Er erhielt einen Bachelor of Arts und einen Master of Arts in Mathematik von der California State University in Sacramento. Chris hat Mathematik in der Mittelschule, der High School und am College unterrichtet und unterrichtet derzeit am American River College in Sacramento. Er hat ein anhaltendes Interesse daran, mithilfe von Technologie Mathematik zum Leben zu erwecken. Wenn er nicht gerade schreibt, unterrichtet oder sich auf den Unterricht vorbereitet, verbringt Chris gerne Zeit mit seiner lieben Frau Heather und ihren drei Kindern (und zwei Hunden und einem Meerschweinchen).


1- Wenn (40 \%) einer Klasse Mädchen sind und (25 \%) der Mädchen Tennis spielen, wie viel Prozent der Klasse spielen dann Tennis?

4- In fünf aufeinanderfolgenden Stunden legt ein Auto 40 km, 45 km, 50 km, 35 km und 55 km zurück. In den nächsten fünf Stunden fährt er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Ermitteln Sie die Gesamtstrecke, die das Auto in 10 Stunden zurückgelegt hat.

5- Seit letztem Jahr ist der Benzinpreis von 1,25 USD pro Gallone auf 1,75 USD pro Gallone gestiegen. Wie viel Prozent des Neupreises beträgt der Neupreis?

6- Wenn (x) eine reelle Zahl ist und (x^3+18=130), dann liegt (x) zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen?

8- Wenn ((x-2)^3=27) welcher der folgenden Werte könnte der Wert von ((x-4)(x-3)) sein?

10- Wenn tan ( heta = 5/12) und sin ( heta > 0), dann cos ( heta) =?


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Machen Sie einen REAL ACT Mathematics-Test, um die Erfahrung des Testtages zu simulieren. Wenn Sie fertig sind, bewerten Sie Ihren Test mit dem Antwortschlüssel.

Bevor du anfängst

  • Sie benötigen einen Bleistift, einen Taschenrechner und einen Timer, um den Test zu machen.
  • Es ist in Ordnung zu erraten. Sie verlieren keine Punkte, wenn Sie sich irren. Beantworten Sie also unbedingt jede Frage.
  • Nachdem Sie den Test abgeschlossen haben, überprüfen Sie den Antwortschlüssel, um zu sehen, wo Sie einen Fehler gemacht haben.
  • Taschenrechner sind für ACT . zugelassenMathe-Test.
  • Verwenden Sie den bereitgestellten Antwortbogen, um Ihre Antworten zu notieren.
  • Der ACT Mathematics Test enthält ein Formelblatt, das Formeln zur geometrischen Messung und zu bestimmten algebraischen Konzepten anzeigt. Den Testteilnehmern werden Formeln zur Verfügung gestellt, damit sie sich auf die Anwendung und nicht auf das Auswendiglernen von Formeln konzentrieren können.
  • Für jede Multiple-Choice-Frage gibt es fünf mögliche Antworten. Wählen Sie, welches am besten ist.


13.4: Fakten zur F-Verteilung

Welche Werte kann eine (F)-Statistik haben?

Was passiert mit den Kurven, wenn die Freiheitsgrade für Zähler und Nenner größer werden?

Die Kurven nähern sich der Normalverteilung an.

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten sieben Aufgaben zu beantworten. Vier Basketballteams nahmen eine Zufallsstichprobe von Spielern, wie hoch jeder Spieler springen kann (in Zoll). Die Ergebnisse sind in der Tabelle gezeigt.

Team 1 Team 2 Team 3 Team 4 Team 5
36 32 48 38 41
42 35 50 44 39
51 38 39 46 40

Was sind die Quadratsummen- und Mittelwertsquadratfaktoren?

Was sind die Quadratsumme und die mittleren Quadratfehler?

Gibt es auf dem Signifikanzniveau von 5% einen Unterschied in den mittleren Sprunghöhen zwischen den Teams?

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten sieben Übungen zu beantworten. Ein Videospielentwickler testet ein neues Spiel an drei verschiedenen Gruppen. Jede Gruppe repräsentiert einen anderen Zielmarkt für das Spiel. Der Entwickler sammelt Punkte aus einer Zufallsstichprobe aus jeder Gruppe. Die Ergebnisse sind in Tabelle gezeigt

Gruppe A Gruppe B Gruppe C
101 151 101
108 149 109
98 160 198
107 112 186
111 126 160

Unterscheiden sich die Werte auf dem 10 %-Signifikanzniveau zwischen den verschiedenen Gruppen?

Ja, es gibt genügend Beweise dafür, dass die Ergebnisse zwischen den Gruppen auf dem 10%-Niveau statistisch signifikant sind.

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten drei Übungen zu beantworten. Angenommen, eine Gruppe möchte feststellen, ob Jugendliche ihren Führerschein in ungefähr dem gleichen Durchschnittsalter im ganzen Land erwerben. Angenommen, die folgenden Daten werden zufällig von fünf Teenagern in jeder Region des Landes gesammelt. Die Zahlen geben das Alter an, in dem Jugendliche ihren Führerschein erworben haben.

Nordost Süd Westen Zentral Osten
16.3 16.9 16.4 16.2 17.1
16.1 16.5 16.5 16.6 17.2
16.4 16.4 16.6 16.5 16.6
16.5 16.2 16.1 16.4 16.8
(Bar =) ________ ________ ________ ________ ________
(s^ <2>=) ________ ________ ________ ________ ________

Geben Sie die Daten in Ihren Taschenrechner oder Computer ein.

Nennen Sie die Entscheidungen und Schlussfolgerungen (in ganzen Sätzen) für die folgenden vorgefassten Ebenen von (Alpha).

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten acht Übungen zu beantworten. Gruppen von Männern aus drei verschiedenen Landesteilen sollen auf ihr Durchschnittsgewicht getestet werden. Die Einträge in der Tabelle sind die Gewichte für die verschiedenen Gruppen. Die Einweg-(ANOVA)-Ergebnisse sind in der Tabelle gezeigt.

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3
216 202 170
198 213 165
240 284 182
187 228 197
176 210 201

Was ist der Quadratsummenfaktor?

Was ist der Quadratsummenfehler?

Was ist (df) für den Zähler?

Was ist (df) für den Nenner?

Was ist der mittlere Quadratfaktor?

Was ist der mittlere quadratische Fehler?

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten acht Übungen zu beantworten. Mädchen aus vier verschiedenen Fußballmannschaften sollen auf durchschnittliche Tore pro Spiel getestet werden. Die Einträge in der Tabelle sind die Tore pro Spiel für die verschiedenen Mannschaften. Die Einweg-(ANOVA)-Ergebnisse sind in der Tabelle gezeigt.

Team 1 Team 2 Team 3 Team 4
1 2 0 3
2 3 1 4
0 2 1 4
3 4 0 3
2 4 0 2

Was ist (df) für den Zähler?

Was ist (df) für den Nenner?

Halten Sie es nach der Statistik (F) für wahrscheinlich oder unwahrscheinlich, dass Sie die Nullhypothese ablehnen?

Da ein einseitiger (ANOVA)-Test immer rechtsseitig ist, entspricht eine hohe (F)-Statistik einem niedrigen (p ext<-Wert>), daher ist es wahrscheinlich, dass wir die Nullhypothese.

Verwenden Sie ein Lösungsblatt, um die folgenden Hypothesentests durchzuführen. Das Lösungsblatt finden Sie in [link].

Q 13.4.1

Drei Studenten, Linda, Tuan und Javier, erhalten jeweils fünf Laborratten für ein Ernährungsexperiment. Das Gewicht jeder Ratte wird in Gramm aufgezeichnet. Linda füttert ihre Ratten mit Formel A, Tuan füttert seine Ratten mit Formel B und Javier füttert seine Ratten mit Formel C. Am Ende eines bestimmten Zeitraums wird jede Ratte erneut gewogen und die Nettozunahme in Gramm wird aufgezeichnet. Testen Sie mit einem Signifikanzniveau von 10 % die Hypothese, dass die drei Formeln dieselbe durchschnittliche Gewichtszunahme ergeben.

  1. (H_<0>: mu_ = mu_ = mu_)
  2. mindestens zwei der Mittel sind unterschiedlich
  3. (df( ext) = 2 df( ext) = 12)
  4. (F)-Verteilung
  5. 0.67
  6. 0.5305
  7. Überprüfen Sie die Lösung des Schülers.
  8. Entscheidung: Nullhypothese nicht ablehnen Schlussfolgerung: Es gibt keine ausreichenden Beweise für den Schluss, dass die Mittel unterschiedlich sind.

Q 13.4.2

Eine Basisgruppe, die gegen eine vorgeschlagene Erhöhung der Gassteuer war, behauptete, dass die Erhöhung die Arbeiterklasse am stärksten treffen würde, da sie am weitesten zur Arbeit pendeln. Angenommen, die Gruppe befragte nach dem Zufallsprinzip 24 Personen und fragte sie nach ihren täglichen Pendelkilometern. Die Ergebnisse sind in der Tabelle aufgeführt. Testen Sie mit einem Signifikanzniveau von 5 % die Hypothese, dass die drei mittleren Pendelkilometer gleich sind.

Arbeiterklasse beruflich (mittleres Einkommen) professionell (wohlhabend)
17.8 16.5 8.5
26.7 17.4 6.3
49.4 22.0 4.6
9.4 7.4 12.6
65.4 9.4 11.0
47.1 2.1 28.6
19.5 6.4 15.4
51.2 13.9 9.3

Q 13.4.3

Sehen Sie sich die sieben Übungsrunden von [link] an. Bestimmen Sie, ob die durchschnittliche Rundenzeit für die sieben Übungsrunden statistisch gleich ist oder ob es mindestens eine Runde gibt, die eine andere durchschnittliche Zeit als die anderen hat.

S 13.4.3

  1. (H_<0>: mu_ <1>= mu_ <2>= mu_ <3>= mu_ <4>= mu_ <5>= mu_ <6>= mu_)
  2. Mindestens zwei durchschnittliche Rundenzeiten sind unterschiedlich.
  3. (df( ext) = 6 df( ext) = 98)
  4. (F)-Verteilung
  5. 1.69
  6. 0.1319
  7. Überprüfen Sie die Lösung des Schülers.
  8. Entscheidung: Nullhypothese nicht verwerfen Schlussfolgerung: Es gibt keine ausreichenden Beweise für den Schluss, dass die mittleren Rundenzeiten unterschiedlich sind.

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten beiden Übungen zu beantworten. Tabelle listet die Anzahl der Seiten in vier verschiedenen Arten von Zeitschriften auf.

Heimdekoration Nachrichten Gesundheit Computer
172 87 82 104
286 94 153 136
163 123 87 98
205 106 103 207
197 101 96 146

Q 13.4.4

Testen Sie mit einem Signifikanzniveau von 5 % die Hypothese, dass die vier Magazintypen die gleiche mittlere Länge haben.

Q 13.4.5

Eliminieren Sie einen Zeitschriftentyp, von dem Sie jetzt glauben, dass er eine andere mittlere Länge hat als die anderen. Wiederholen Sie den Hypothesentest und testen Sie, ob die verbleibenden drei Mittelwerte statistisch gleich sind. Verwenden Sie ein neues Lösungsblatt. Sind basierend auf diesem Test die durchschnittlichen Längen der verbleibenden drei Zeitschriften statistisch gleich?

S 13.4.6

  1. (H_: mu_ = mu_ = mu_)
  2. Mindestens zwei der Magazine haben unterschiedliche mittlere Längen.
  3. (df( ext) = 2, df( ext) = 12)
  4. (F) Verteilung
  5. (F = 15,28)
  6. (p ext <-wert>= 0,001)
  7. Überprüfen Sie die Lösung des Schülers.
    1. (alpha: 0,05)
    2. Entscheidung: Ablehnung der Nullhypothese.
    3. Entscheidungsgrund: (p ext <-value>< alpha)
    4. Schlussfolgerung: Es gibt genügend Hinweise darauf, dass die durchschnittliche Länge der Zeitschriften unterschiedlich ist.

    Q 13.4.7

    Ein Forscher möchte wissen, ob die Durchschnittszeiten (in Minuten), in denen die Leute ihren Lieblingsnachrichtensender sehen, gleich sind. Angenommen, die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Studie.

    CNN FUCHS Lokal
    45 15 72
    12 43 37
    18 68 56
    38 50 60
    23 31 51
    35 22

    Angenommen, alle Verteilungen sind normal, die Standardabweichungen der vier Grundgesamtheiten sind ungefähr gleich und die Daten wurden unabhängig und zufällig gesammelt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05.

    Q 13.4.8

    Sind die Mittel für die Abschlussprüfungen für alle Statistikklassen gleich? Die Tabelle zeigt die Ergebnisse bei Abschlussprüfungen aus mehreren zufällig ausgewählten Klassen, die die verschiedenen Bereitstellungsarten verwendet haben.

    Online Hybrid Angesicht zu Angesicht
    72 83 80
    84 73 78
    77 84 84
    80 81 81
    81 86
    79
    82

    Angenommen, alle Verteilungen sind normal, die Standardabweichungen der vier Grundgesamtheiten sind ungefähr gleich und die Daten wurden unabhängig und zufällig gesammelt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05.

    S 13.4.8

    1. (H_<0>: mu_ = mu_ = mu_)
    2. Mindestens zwei der Mittel sind unterschiedlich.
    3. (df( ext) = 2, df( ext) = 13)
    4. (F_<2,13>)
    5. 0.64
    6. 0.5437
    7. Überprüfen Sie die Lösung des Schülers.
      1. (alpha: 0,05)
      2. Entscheidung: Die Nullhypothese nicht verwerfen.
      3. Entscheidungsgrund: (p ext <-value>< alpha)
      4. Schlussfolgerung: Die Durchschnittswerte der verschiedenen Klassenleistungen unterscheiden sich nicht.

      Q 13.4.9

      Sind Weiße, Schwarze, Hispanics und Asiaten im Durchschnitt gleich oft im Monat essen? Angenommen, die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Studie.

      Weiß Schwarz Spanisch asiatisch
      6 4 7 8
      8 1 3 3
      2 5 5 5
      4 2 4 1
      6 6 7

      Angenommen, alle Verteilungen sind normal, die Standardabweichungen der vier Grundgesamtheiten sind ungefähr gleich und die Daten wurden unabhängig und zufällig gesammelt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05.

      Q 13.4.10

      Sind die durchschnittlichen täglichen Besucherzahlen eines Skigebiets bei den drei Schneearten gleich? Angenommen, die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Studie.

      Pulver Maschinell hergestellt Hart gepackt
      1,210 2,107 2,846
      1,080 1,149 1,638
      1,537 862 2,019
      941 1,870 1,178
      1,528 2,233
      1,382

      Angenommen, alle Verteilungen sind normal, die Standardabweichungen der vier Grundgesamtheiten sind ungefähr gleich und die Daten wurden unabhängig und zufällig gesammelt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05.

      S 13.4.11

      1. (H_<0>: mu_

        = mu_ = mu_)

      2. Mindestens zwei der Mittel sind unterschiedlich.
      3. (df( ext) = 2, df( ext) = 12)
      4. (F_<2,12>)
      5. 3.13
      6. 0.0807
      7. Überprüfen Sie die Lösung des Schülers.
        1. (alpha: 0,05)
        2. Entscheidung: Die Nullhypothese nicht verwerfen.
        3. Entscheidungsgrund: (p ext <-value>< alpha)
        4. Schlussfolgerung: Es gibt keine ausreichenden Belege für die Schlussfolgerung, dass die durchschnittlichen täglichen Besucherzahlen unterschiedlich sind.

        Q 13.4.12

        Sanjay stellte identische Papierflugzeuge aus drei verschiedenen Papiergewichten her, leicht, mittel und schwer. Er baute aus jedem der Gewichte vier Flugzeuge und schleuderte sie selbst durch den Raum. Hier sind die Entfernungen (in Metern), die seine Flugzeuge flogen.

        Papiersorte/Testversion Testversion 1 Probe 2 Testversion 3 Probe 4
        Schwer 5,1 Meter 3,1 Meter 4,7 Meter 5,3 Meter
        Mittel 4 Meter 3,5 Meter 4,5 Meter 6,1 Meter
        Licht 3,1 Meter 3,3 Meter 2,1 Meter 1,9 Meter


        Abbildung 13.4.1.

        1. Sehen Sie sich die Daten in der Grafik an. Betrachten Sie die Datenverteilung für jede Gruppe (leicht, mittel, schwer). Ist es sinnvoll, für jede Gruppe eine Normalverteilung mit der gleichen Varianz anzunehmen? Ja oder Nein.
        2. Warum ist dies ein ausgewogenes Design?
        3. Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung für jede Gruppe.
        4. Hat das Gewicht des Papiers einen Einfluss darauf, wie weit das Flugzeug fliegt? Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 1%. Vervollständigen Sie den Test mit der Methode, die im Beispiel einer Bohnenpflanze in Beispiel gezeigt ist.
          • Varianz der Gruppe bedeutet __________
          • (MS_< ext> =) ___________
          • Mittelwert der drei Stichprobenvarianzen ___________
          • (MS_< ext> =) _____________
          • (F) Statistik = ____________
          • (df( ext) =) __________, (df( ext) =) ___________
          • Anzahl Gruppen _______
          • Anzahl der Beobachtungen _______
          • (p ext <-wert>=) __________ ((P(F >) _______() =) __________)
          • Zeichnen Sie (p ext<-value>).
          • Entscheidung: _______________________
          • Fazit: _______________________________________________________________

        Q 13.4.13

        DDT ist ein Pestizid, dessen Verwendung in den Vereinigten Staaten und den meisten anderen Gebieten der Welt verboten ist. Es ist sehr wirksam, blieb aber in der Umwelt bestehen und wurde im Laufe der Zeit als schädlich für höherwertige Organismen angesehen. Bekanntlich wurden Eierschalen von Adlern und anderen Greifvögeln aufgrund der Aufnahme von DDT in die Nahrungskette der Vögel im Nest dünner und anfälliger für Brüche.

        Ein Experiment wurde mit der Anzahl der Eier (Fekundität) durchgeführt, die von weiblichen Fruchtfliegen gelegt wurden. Es gibt drei Gruppen von Fliegen. Eine Gruppe wurde gezüchtet, um gegen DDT resistent zu sein (die RS-Gruppe). Ein anderer wurde gezüchtet, um besonders anfällig für DDT (SS) zu sein. Schließlich gab es eine Kontrolllinie von nicht selektierten oder typischen Fruchtfliegen (NS). Hier die Daten:

        RS SS NS RS SS NS
        12.8 38.4 35.4 22.4 23.1 22.6
        21.6 32.9 27.4 27.5 29.4 40.4
        14.8 48.5 19.3 20.3 16 34.4
        23.1 20.9 41.8 38.7 20.1 30.4
        34.6 11.6 20.3 26.4 23.3 14.9
        19.7 22.3 37.6 23.7 22.9 51.8
        22.6 30.2 36.9 26.1 22.5 33.8
        29.6 33.4 37.3 29.5 15.1 37.9
        16.4 26.7 28.2 38.6 31 29.5
        20.3 39 23.4 44.4 16.9 42.4
        29.3 12.8 33.7 23.2 16.1 36.6
        14.9 14.6 29.2 23.6 10.8 47.4
        27.3 12.2 41.7

        Die Werte sind die durchschnittliche Anzahl der täglich gelegten Eier für jede der 75 Fliegen (25 in jeder Gruppe) in den ersten 14 Tagen ihres Lebens. Unterscheiden sich bei einem Signifikanzniveau von 1 % die mittleren Raten der Eierauswahl für die drei Fruchtfliegenstämme? Wenn ja, auf welche Weise? Konkret interessierten die Forscher, ob sich die selektiv gezüchteten Stämme von der nicht selektierten Linie unterschieden und ob sich die beiden selektierten Linien voneinander unterschieden.

        Hier ist ein Diagramm der drei Gruppen:

        Abbildung 13.4.2.

        S 13.4.13

        Die Daten erscheinen aus dem Chart normalverteilt und mit ähnlicher Streuung. Es scheint keine ernsthaften Ausreißer zu geben, daher können wir mit unseren ANOVA-Berechnungen fortfahren, um zu sehen, ob wir gute Beweise für einen Unterschied zwischen den drei Gruppen haben.

        Definiere (mu_<1>, mu_<2>, mu_<3>), als die mittlere Anzahl der Populationseier, die von den drei Gruppen von Fruchtfliegen gelegt werden.

        Abbildung 13.4.3.

        Entscheidung: Da (p ext<-value>) kleiner als das Signifikanzniveau von 0,01 ist, verwerfen wir die Nullhypothese.

        Fazit: Wir haben gute Beweise dafür, dass die durchschnittliche Anzahl der Eier, die während der ersten 14 Lebenstage für diese drei Fruchtfliegenarten gelegt wurden, unterschiedlich ist.

        Interessanterweise unterscheiden sie sich signifikant, wenn Sie einen (t)-Test mit zwei Stichproben durchführen, um die RS- und NS-Gruppen zu vergleichen ((p = 0,0013)). Ebenso unterscheiden sich SS und NS signifikant ((p = 0,0006)). Die beiden ausgewählten Gruppen RS und SS unterscheiden sich jedoch nicht signifikant ((p = 0,5176)). Somit scheinen wir gute Beweise dafür zu haben, dass die Selektion entweder auf Resistenz oder auf Anfälligkeit zu einer verringerten Eiproduktionsrate (für diese spezifischen Stämme) im Vergleich zu Fliegen führt, die nicht auf Resistenz oder Anfälligkeit für DDT selektiert wurden. Hier hat die genetische Selektion offenbar einen Verlust der Fruchtbarkeit mit sich gebracht.

        Q 13.4.14

        Die angezeigten Daten sind die aufgezeichneten Körpertemperaturen von 130 Probanden, die aus verfügbaren Histogrammen geschätzt wurden.

        Traditionell wird uns beigebracht, dass die normale menschliche Körpertemperatur 98,6 F beträgt. Dies ist nicht für jeden richtig. Sind die Durchschnittstemperaturen zwischen den vier Gruppen unterschiedlich?

        Berechnen Sie 95 %-Konfidenzintervalle für die mittlere Körpertemperatur in jeder Gruppe und kommentieren Sie die Konfidenzintervalle.

        FL FH ML MH FL FH ML MH
        96.4 96.8 96.3 96.9 98.4 98.6 98.1 98.6
        96.7 97.7 96.7 97 98.7 98.6 98.1 98.6
        97.2 97.8 97.1 97.1 98.7 98.6 98.2 98.7
        97.2 97.9 97.2 97.1 98.7 98.7 98.2 98.8
        97.4 98 97.3 97.4 98.7 98.7 98.2 98.8
        97.6 98 97.4 97.5 98.8 98.8 98.2 98.8
        97.7 98 97.4 97.6 98.8 98.8 98.3 98.9
        97.8 98 97.4 97.7 98.8 98.8 98.4 99
        97.8 98.1 97.5 97.8 98.8 98.9 98.4 99
        97.9 98.3 97.6 97.9 99.2 99 98.5 99
        97.9 98.3 97.6 98 99.3 99 98.5 99.2
        98 98.3 97.8 98 99.1 98.6 99.5
        98.2 98.4 97.8 98 99.1 98.6
        98.2 98.4 97.8 98.3 99.2 98.7
        98.2 98.4 97.9 98.4 99.4 99.1
        98.2 98.4 98 98.4 99.9 99.3
        98.2 98.5 98 98.6 100 99.4
        98.2 98.6 98 98.6 100.8


        Fragen zur Fortgeschrittenen Algebra-Übung

        2. Peters Gehalt ist das Doppelte von Anns Gehalt und die Hälfte von Davids Gehalt. Dann ist das Durchschnittsgehalt von Ann und David das Gehalt von Peter.

        ein. gleicht
        b. größer als
        c. abhängig vom Gehalt
        d. es gibt keine richtige antwort

        3. Ann und Kate haben zusammen 80 Dollar. Wenn Kate für 5 Dollar Eiscreme kauft, hat Kate das doppelte Geld von Ann. Wie viel Geld hat Anna?

        4. Gegeben: a=b+2c, b=3c. Was ist der Durchschnitt der Zahlen a, b und c?

        ein. c
        b. 1,5c
        c. 2c
        d. 2 1/3 c
        e. 3c

        5. In einem Wald sind 4/7 aller Bäume Nadelbäume und der Rest trägt Blätter. Unter den Laubbäumen befinden sich 7/15 Eichen und 2/3 dieser Eichen sind neu. Es gibt 160 alte Eichen im Wald. Wie viele Bäume gibt es insgesamt im Wald?

        ein. 2400
        b. 2800
        c. 3200
        d. 3600
        e. 4000

        6. Finde x+y, wenn: 2x+3y=8 und 3x+5y=13

        7. Die Geschwindigkeit eines Autos ist 20% geringer als die Geschwindigkeit eines zweiten Autos. Wie viel Prozent mehr Zeit braucht das erste Auto, um dieselbe Strecke wie das zweite Auto zurückzulegen?

        8. Die Anzahl der Jungen in einer Klasse ist doppelt so groß wie die der Mädchen. 20% der Mädchen sind Brünetten und der Rest – die Hälfte sind Blondinen: Mary, Clara, Gina und Trisha. Wie viele Jungen lernen in dieser Klasse?

        9. In der vorherigen Frage – welcher Teil aller Schüler sind brünette Mädchen?

        10. Wenn der Durchschnitt von drei Zahlen V ist. Wenn eine der Zahlen Z und eine andere Y ist, wie hoch ist die verbleibende Zahl?

        ein. ZY – V
        b. Z/V – 3 – Y
        c. Z/3 – V – Y
        d. 3V- Z – Y
        e. V-Z – Y

        11. Zwei Radfahrer beginnen mit dem Radfahren im Abstand von 3 Stunden am Anfang eines Trails. Der zweite Radfahrer fährt mit 10 Meilen pro Stunde und startet 3 Stunden nach dem ersten Radfahrer, der mit 10 Meilen pro Stunde fährt. Wie viel Zeit wird vergehen, bis der zweite Radfahrer den ersten einholt, nachdem der zweite Radfahrer mit dem Radfahren begonnen hat?

        ein. 2 Stunden
        b. 4 ½ Stunden
        c. 5 ¾ Stunden
        d. 6 Stunden
        e. 7 ½ Stunden

        12. Jim kann in 30 Minuten einen Pool mit Wassereimern füllen. Sue kann die gleiche Arbeit in 45 Minuten erledigen. Tony kann die gleiche Arbeit in 1 ½ Stunden erledigen. Wie schnell können alle drei zusammen den Pool füllen?

        ein. 12 Minuten
        b. 15 Minuten
        c. 21 Minuten
        d. 23 Minuten
        e. 28 Minuten

        13. Mary überprüft ihr Algebra-Quiz. Sie hat festgestellt, dass eine ihrer Lösungen falsch ist. Welches ist es?

        ein. 2x + 5 (x-1) = 9x = 2
        b. p – 3(p-5) = 10 p = 2,5
        c. 4 Jahre + 3 Jahre = 28 Jahre = 4
        d. 5 W + 6 W – 3 W = 64 W = 8
        e. t – 2t – 3t = 32 t = 8


        13.E: Übungen - Mathematik

        Willkommen bei MATH 232B: Theorie des Schemas

        Treffpunkt: MW 10:30 - 11:45 Uhr @ SC 411
        ab 2. März auf WF 10:30 - 11:45 @ SC 411 wechseln

        Wichtige Referenz:

        Andere Referenz:

        • Die Geometrie der Schemata von David Eisenbud und Joe Harris
        • Grundlegende algebraische Geometrie 2: Schemata und komplexe Mannigfaltigkeiten von Igor R. Shafarevich
        • Algebraische Geometrie von Robin Hartshorne von Vakil

        Kontaktinformation:

        Man Wai (Mandy) Cheung @ Science Center Raum 505H
        Sprechstunde: Di 9-10 Uhr Do 9-10 Uhr
        Senden Sie mir eine E-Mail, um einen Termin zu vereinbaren, wenn Sie diese Sprechzeiten nicht wahrnehmen können.

        • Aufgabenstellung 1: Hartshorne II. 1.3, 1.17, 1.21 + Frage 1-4 in PS 1 (fällig am 12. Februar)
        • Aufgabenstellung 2: Hartshorne II. 2.3, 2.5, 2.7, 2.13 + E & H Übung II-12 + III-6 (fällig am 26.02.)
        • Aufgabenstellung 3: Hartshorne II. 3.7, 3.8, 3.10, 3.11 + E & H Übung II-25 (fällig am 11. März)
        • Aufgabenstellung 4: Hartshorne I. 6.2 II. 4.1, 4.7, 4.12, 6.1 (fällig am 1. April)
        • Aufgabenstellung 5: Hartshorne II. 5.3, 5.8, 6.2, 6.6 (fällig am 15. April)
        • Aufgabenstellung 6: Hartshorne II. 5,13, ​​5,14, 7,7, 8,4, 8,5, 8,6 (optional)

        Stundenplan der Klasse:

        27. Januar -- Vorgarben, Garben
        29. Jan -- Beringter Raum, Prävarietäten, Kleben von Prävarietäten, Spec A
        3. Feb – lokal beringter Raum, affines Schema
        5. Feb -- k-wertiger Punkt, reduziertes Schema, Beispiele für nicht reduziertes Schema, Multiplizitäten
        7. Feb -- Kleben von Schemata, projektives Schema
        10. Feb -- irreduzibles, integrales, reduziertes Schema über algebraischem geschlossenem Körper, Noetherian
        12. Feb -- Morphismus endlicher Typ, geschlossene Immersion, geschlossenes Unterschema, eingebetteter Punkt
        19. Feb -- Faserprodukt
        21. Februar -- flache Familie von Schemata, universelle Hyperflächen
        26. Februar – getrennte und richtige Morphismen
        4. März -- getrennte und richtige Morphismen (Fortsetzung)
        11. März -- Teiler
        Spring Break, Frühjahrsurlaub, Frühjahrsferien
        25. März -- Teiler (Fortsetzung), Teiler auf Kurven
        27. März -- Cartier-Teiler
        1. April -- elliptische Kurven, invertierbare Garben
        3. April -- Picard-Gruppe, Modulbündel
        8. Apr -- Quasi-kohärente Garben, Vektorbündel
        10. Apr -- Projektive Morphismen
        15. Apr -- Fülle, lineare Systeme
        17. April -- Differenzen
        22.04. -- Kurven, Riemann-Roch
        24. Apr -- Oberflächen
        (27. April) -- Monomische Transformation
        29. Apr -- Kubische Fläche (27 Linien!)