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3.4: Die Kettenregel - Mathematik


Wir haben fast alle Ableitungsregeln behandelt, die sich mit Kombinationen von zwei (oder mehr) Funktionen befassen. eine Funktion "innerhalb" einer anderen).

Ein Beispiel für eine Zusammensetzung von Funktionen ist (f(x) = cos(x^2)). Wir wissen derzeit nicht, wie man diese Ableitung berechnet. Wenn man gezwungen wäre zu raten, würde man wahrscheinlich (f^prime(x) = -sin(2x)) erraten, wobei wir (-sin x) als Ableitung von (cos x) erkennen. und (2x) als Ableitung von (x^2). Dies ist jedoch nicht der Fall; (f^prime(x) eq -sin(2x)). In Beispiel 62 sehen wir die richtige Antwort, die die neue Regel verwendet, die in diesem Abschnitt eingeführt wird, die Kettenregel.

Bevor wir diese neue Regel definieren, erinnern Sie sich an die Notation für die Zusammensetzung von Funktionen. Wir schreiben ((fcirc g)(x)) oder (f(g(x))), lesen als "(f) von (g) von (x),' ' um die Zusammensetzung von (f) mit (g) zu bezeichnen. Kurz gesagt schreiben wir einfach (fcirc g) oder (f(g)) und lesen es als "(f) of (g).'' Bevor wir die entsprechende Differenzierungsregel angeben, stellen wir fest, dass sich die Regel auf mehrere Kompositionen wie (f(g(h(x)))) oder (f(g(h(j( x))))),usw.

Um die Regel zu begründen, schauen wir uns drei Ableitungen an, die wir bereits berechnen können.

Beispiel 59: Erforschung ähnlicher Derivate

Finden Sie die Ableitungen von

  1. (F_1(x) = (1-x)^2),
  2. (F_2(x) = (1-x)^3,) und
  3. (F_3(x) = (1-x)^4.)

Wir werden später sehen, warum wir für verschiedene Funktionen tiefgestellte Indizes und ein (F) in Großbuchstaben verwenden.

Lösung

Um die bereits vorhandenen Regeln zu verwenden, müssen wir zunächst jede Funktion als erweitern

  1. (F_1(x) = 1 - 2x + x^2),
  2. (F_2(x) = 1 - 3x + 3x^2 - x^3) und
  3. (F_3(x) = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4).

Das ist nicht schwer zu erkennen:

[egin{align*} F_1^prime(x) &= -2 + 2x [4pt] F_2^prime(x) &= -3 + 6x - 3x^2 [4pt] F_3^ prime (x) &= -4 + 12x - 12x^2 + 4x^3. end{ausrichten*}]

Eine interessante Tatsache ist, dass diese umgeschrieben werden können als

[F_1^prime (x) = -2(1-x),quad F_2^prime(x) = -3(1-x)^2 ext{ und }F_3^prime (x) = -4(1-x)^3.]

Ein Muster könnte Ihnen auffallen. Erkenne, dass jede dieser Funktionen eine Komposition ist, mit (g(x) = 1-x):

[egin{eqnarray*}F_1(x) = f_1(g(x)),& ext{ wobei } f_1(x) = x^2, F_2(x) = f_2(g(x)) ,& ext{ wobei } f_2(x) = x^3, F_3(x) = f_3(g(x)),& ext{ wobei } f_3(x) = x^4. end{eqnarray*}]

Wir kommen auf dieses Beispiel zurück, nachdem wir die formalen Aussagen der Kettenregel gegeben haben; Im Moment illustrieren wir nur ein Muster.

Satz 18: Die Kettenregel

Sei (y = f(u)) eine differenzierbare Funktion von (u) und sei (u = g(x)) eine differenzierbare Funktion von (x). Dann ist (y=f(g(x))) eine differenzierbare Funktion von (x), und [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime( x).]

Um die Kettenregel besser zu verstehen, kehren wir zu Beispiel 59 zurück.

Beispiel 60: Verwenden der Kettenregel

Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitungen der folgenden Funktionen zu finden, wie in Beispiel 59 angegeben.

Lösung

Beispiel 59 endete mit der Erkenntnis, dass jede der gegebenen Funktionen tatsächlich eine Zusammensetzung von Funktionen war. Um Verwirrung zu vermeiden, ignorieren wir hier die meisten Indizes.

(F_1(x) = (1-x)^2):

Wir haben festgestellt, dass [y=(1-x)^2 = f(g(x)), ext{ wobei } f(x) = x^2 ext{ und } g(x) = 1- x.]

Um (y^prime) zu finden, wenden wir die Kettenregel an. Wir brauchen (f^prime(x)=2x) und (g^prime(x)=-1.)

Ein Teil der Kettenregel verwendet (f^prime(g(x))). Dies bedeutet, dass (g(x)) durch (x) in der Gleichung für (f^prime(x)) ersetzt wird. Das heißt (f^prime(x) = 2(1-x)). Um die Kettenregel fertigzustellen, haben wir [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = 2(1-x)cdot (-1) = -2( 1-x)= 2x-2.]

(F_2(x) = (1-x)^3):

Sei (y = (1-x)^3 = f(g(x))),wobei (f(x) = x^3) und (g(x) = (1-x) ). Wir haben (f^prime(x) = 3x^2), also (f^prime(g(x)) = 3(1-x)^2). Die Kettenregel besagt dann [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime (x) = 3(1-x)^2cdot(-1) = -3( 1-x)^2.]

(F_3(x) = (1-x)^4):

Schließlich gilt für (y = (1-x)^4) (f(x)= x^4) und (g(x) = (1-x)). Also (f^prime(x) = 4x^3) und (f^prime(g(x)) = 4(1-x)^3). Also [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = 4(1-x)^3cdot (-1) = -4(1-x) ^3.]

Beispiel 60 demonstrierte ein bestimmtes Muster: wenn (f(x)=x^n), dann (y^prime =ncdot (g(x))^{n-1}cdot g^prime (x)). Dies wird die verallgemeinerte Machtregel genannt.

Satz 19: Verallgemeinerte Potenzregel

Sei (g(x)) eine differenzierbare Funktion und (n eq 0) eine ganze Zahl. Dann ist [dfrac{d}{dx}Big(g(x)^nBig) = ncdot ig(g(x)ig)^{n-1}cdot g^prime ( x).]

Dadurch können wir schnell die Ableitung von Funktionen wie (y = (3x^2-5x+7+sin x)^{20}) finden. Auch wenn es einschüchternd wirken mag, besagt die Generalized Power Rule, dass [y^prime = 20(3x^2-5x+7+sin x)^{19}cdot (6x-5+cos x). ]

Behandeln Sie das Derivat – Verfahren Schritt für Schritt. In dem gerade gegebenen Beispiel multiplizieren Sie zuerst mit 20, schreiben Sie dann das Innere der Klammern neu und erhöhen Sie alles auf die 19(^{ ext{th}})-Potenz. Denken Sie dann über die Ableitung des Ausdrucks in den Klammern nach und multiplizieren Sie damit.

Wir betrachten nun weitere Beispiele, die die Kettenregel anwenden.

Beispiel 61: Verwenden der Kettenregel

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

  1. (y = sin{2x})
  2. (y= ln (4x^3-2x^2))
  3. (y = e^{-x^2})

Lösung

  1. Betrachten Sie (y = sin 2x). Erkenne, dass dies eine Zusammensetzung von Funktionen ist, wobei (f(x) = sin x) und (g(x) = 2x). Also [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = cos (2x)cdot 2 = 2cos 2x.]
  2. Erkenne, dass (y = ln (4x^3-2x^2)) die Zusammensetzung von (f(x) = ln x) und (g(x) = 4x^3-2x^2 . ist ). Denken Sie auch daran, dass [dfrac{d}{dx}Big(ln xBig) = dfrac{1}{x}.]Das führt uns zu:[y^prime = dfrac{ 1}{4x^3-2x^2} cdot (12x^2-4x) = dfrac{12x^2-4x}{4x^3-2x^2}= dfrac{4x(3x-1)} {2x(2x^2-x)} = dfrac{2(3x-1)}{2x^2-x}.]
  3. Beachten Sie, dass (y = e^{-x^2}) die Zusammensetzung von (f(x) = e^x) und (g(x) = -x^2) ist. Denken wir daran, dass (f^prime(x) = e^x),wir haben [y^prime = e^{-x^2}cdot (-2x) = (-2x)e^{- x^2}.]

Beispiel 62: Verwenden der Kettenregel, um eine Tangente zu finden

Sei (f(x) = cos x^2). Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von (f) bei (x=1).

Lösung

Die Tangente geht durch den Punkt ((1,f(1)) approx (1,0.54)) mit Steigung (f^prime(1)). Um (f^prime) zu finden, brauchen wir die Kettenregel.

(f^prime(x) = -sin(x^2) cdot(2x) = -2xsin x^2). Ausgewertet bei (x=1) gilt (f^prime(1) = -2sin 1approx -1,68). Die Tangentengleichung lautet also [y = -1,68(x-1)+0,54 .]

Die Tangente ist zusammen mit (f) in Abbildung 2.17 skizziert.

Die Kettenregel wird häufig bei der Ableitung von Derivaten verwendet. Dadurch kann man sich mit dem grundlegenden Ablauf vertraut machen und Muster lernen, die das schnelle Auffinden von Derivaten erleichtern. Zum Beispiel [dfrac{d}{dx}Big(ln ( ext{alles})Big) = dfrac{1}{ ext{alles}}cdot ( ext{alles}) ^prime = dfrac{( ext{alles})^prime}{ ext{alles}}.]

Ein konkretes Beispiel hierfür ist [dfrac{d}{dx}Big(ln(3x^{15}-cos x+e^x)Big) = dfrac{45x^{14}+ sin x+e^x}{3x^{15}-cos x+e^x}.] Während die Ableitung auf den ersten Blick einschüchternd aussehen mag, suchen Sie nach dem Muster. Der Nenner ist derselbe wie in der natürlichen Log-Funktion; der Zähler ist einfach seine Ableitung.

Dieser Mustererkennungsprozess kann auf viele Funktionen angewendet werden. Anstatt "irgendetwas" zu schreiben, verwenden wir im Allgemeinen (u) als generische Funktion von (x). Wir sagen dann [dfrac{d}{dx}Big(ln uBig ) = dfrac{u^prime}{u}.]

Im Folgenden finden Sie eine kurze Liste, wie die Kettenregel schnell auf bekannte Funktionen angewendet werden kann.

Natürlich kann die Kettenregel in Verbindung mit allen anderen bereits erlernten Regeln angewendet werden. Das üben wir als nächstes.

Beispiel 63: Verwenden der Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.

  1. (f(x) = x^5 sin{2x^3})
  2. (f(x) = dfrac{5x^3}{e^{-x^2}}).

Lösung

  1. Wir müssen die Produkt- und Kettenregeln anwenden. Denken Sie nicht, dass Sie die ganze Antwort sofort "sehen" können müssen, sondern gehen Sie einfach Schritt für Schritt vor.[f^prime(x) = x^5ig(6x^2 cos 2x^3ig) + 5x^4ig(sin 2x^3ig)= 6x^7cos2x^3+5x^4sin 2x^3.]
  2. Wir müssen die Quotientenregel zusammen mit der Kettenregel anwenden. Gehen Sie wieder Schritt für Schritt vor.[egin{align*} f^prime(x) = dfrac{e^{-x^2}ig(15x^2ig) - 5x^ 3ig((-2x)e^{-x^2}ig)}{ig(e^{-x^2}ig)^2} &=dfrac{e^{-x^2 }ig(10x^4+15x^2ig)}{e^{-2x^2}} &= e^{x^2}ig(10x^4+15x^2ig). end{ausrichten*}]

Ein Schlüssel zur korrekten Lösung dieser Probleme besteht darin, das Problem in kleinere, überschaubarere Teile zu unterteilen. Wenn Sie beispielsweise die Produkt- und Kettenregeln zusammen verwenden, betrachten Sie zunächst nur den ersten Teil der Produktregel: (f(x)g^prime(x)). Schreiben Sie einfach (f(x)) um und finden Sie dann (g^prime(x)). Gehen Sie dann zum (f^prime(x)g(x))-Teil über. Versuchen Sie nicht, beide Teile gleichzeitig herauszufinden.

Nähern Sie sich mit der Quotientenregel dem Zähler in zwei Schritten und behandeln Sie den Nenner, nachdem Sie dies abgeschlossen haben. Vereinfachen Sie erst danach.

Wir können auch die Kettenregel selbst mehrmals anwenden, wie im nächsten Beispiel gezeigt.

Beispiel 64: Mehrfache Verwendung der Kettenregel

Finden Sie die Ableitung von (y = an^5(6x^3-7x)).

Lösung

Erkenne, dass wir die (g(x)= an(6x^3-7x))-Funktion "innerhalb" der (f(x)=x^5)-Funktion haben; das heißt, wir haben ( y = ig( an(6x^3-7x)ig)^5). Wir beginnen mit der Anwendung der verallgemeinerten Potenzregel, in diesem ersten Schritt berechnen wir die Ableitung nicht vollständig, sondern nähern uns diesem Schritt --für--Schritt.

[y^prime = 5ig( an(6x^3-7x)ig)^4cdot g^prime(x).]

Wir finden nun (g^prime(x)). Wir brauchen wieder die Kettenregel; [g^prime(x) = sec^2(6x^3-7x)cdot(18x^2-7).]Kombiniere dies mit dem, was wir oben gefunden haben, um zu erhalten

[egin{align*} y^prime &= 5ig( an(6x^3-7x)ig)^4cdotsec^2(6x^3-7x)cdot(18x^ 2-7) &= (90x^2-35)sec^2(6x^3-7x) an^4(6x^3-7x). end{ausrichten*}]

Diese Funktion ist ehrlich gesagt eine lächerliche Funktion, die keinen wirklichen praktischen Wert besitzt. Es ist sehr schwierig graphisch darzustellen, da die Tangensfunktion viele vertikale Asymptoten hat und (6x^3-7x) sehr schnell wächst. Das Wichtigste, was man daraus lernen kann, ist, dass die Ableitung gefunden werden kann. Tatsächlich ist es nicht „schwer“; man muss mehrere einfache Schritte unternehmen und darauf achten, wie man jeden dieser Schritte anwendet.

Es ist eine traditionelle mathematische Übung, die Ableitungen beliebig komplizierter Funktionen zu finden, nur um zu zeigen, dass es kann gemacht werden. Zerlegen Sie einfach alles in kleinere Stücke.

Beispiel 65: Verwenden der Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln

Finden Sie die Ableitung von ( f(x) = dfrac{xcos(x^{-2})-sin^2(e^{4x})}{ln(x^2+5x^4) }.)

Lösung

Diese Funktion hat wahrscheinlich keinen praktischen Nutzen, außer um abgeleitete Fähigkeiten zu demonstrieren. Die Antwort wird unten ohne Vereinfachung gegeben. Es verwendet die Quotientenregel, die Produktregel und die Kettenregel dreimal.

[f^prime(x) = dfrac{Big(ln(x^2+5x^4)Big)cdotBig[ig(xcdot(-sin(x^{- 2}))cdot(-2x^{-3})+1cdotcos(x^{-2})ig)-2sin(e^{4x})cdotcos(e^ {4x})cdot(4e^{4x})Big]-Big(xcos(x^{-2})-sin^2(e^{4x})Big)cdotdfrac {2x+20x^3}{x^2+5x^4}}{ig(ln(x^2+5x^4)ig)^2}.]

Der Leser wird dringend ermutigt, sich jeden Begriff anzusehen und zu erkennen, warum er da ist. (D. h., es wird die Quotientenregel verwendet; im Zähler den Term "LOdHI" angeben usw.) Dieses Beispiel zeigt, dass Ableitungen systematisch berechnet werden können, egal wie beliebig kompliziert die Funktion ist.

Die Kettenregel hat auch theoretischen Wert. Das heißt, es kann verwendet werden, um die Ableitungen von Funktionen zu finden, die wir noch nicht gelernt haben, wie wir es im folgenden Beispiel tun.

Beispiel 66: Die Kettenregel und Exponentialfunktionen

Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung von (y= a^x) zu finden, wobei (a>0),(a eq 1) konstant ist.

Lösung

Wir wissen nur, wie man die Ableitung einer Exponentialfunktion findet: (y = e^x); Dieses Problem fordert uns auf, die Ableitung von Funktionen wie (y = 2^x) zu finden.

Dies kann erreicht werden, indem (a^x) in (e) umgeschrieben wird. Wenn wir uns daran erinnern, dass (e^x) und (ln x) Umkehrfunktionen sind, können wir schreiben

[a = e^{ln a} quad ext{und so } quad y = a^x = e^{ln (a^x)}. keine Nummer]

Durch die Exponenteneigenschaft von Logarithmen können wir die Macht "herunterziehen"

[y = a^x = e^{x (ln a)}. keine Nummer]

Die Funktion ist nun die Zusammensetzung (y=f(g(x))),mit (f(x) = e^x) und (g(x) = x(ln a)). Wegen (f^prime(x) = e^x) und (g^prime(x) = ln a) liefert die Kettenregel

[y^prime = e^{x (ln a)} cdot ln a. keine Nummer]

Denken Sie daran, dass der Term (e^{x(ln a)}) auf der rechten Seite nur (a^x),unsere ursprüngliche Funktion ist. Somit enthält die Ableitung die ursprüngliche Funktion selbst. Wir haben

[y^prime = ycdot ln a = a^xcdot ln a. keine Nummer]

Die Kettenregel, gekoppelt mit der Ableitungsregel von (e^x), ermöglicht es uns, die Ableitungen aller Exponentialfunktionen zu finden.

Das vorherige Beispiel lieferte ein Ergebnis, das einer eigenen "Box" würdig ist.

Satz 20: Ableitungen von Exponentialfunktionen

Sei (f(x)=a^x),für (a>0, a eq 1). Dann ist (f) für alle reellen Zahlen differenzierbar und

[f^prime(x) = ln acdot a^x. keine Nummer]

Alternative Kettenregel-Notation

Es ist aufschlussreich zu verstehen, wie die Kettenregel "aussieht" mit "(dfrac{dy}{dx})"-Notation anstelle der (y^prime)-Notation. Angenommen, (y=f(u)) ist eine Funktion von (u), wobei (u=g(x)) eine Funktion von (x) ist, wie in Satz 18 angegeben. Dann , durch die Zusammensetzung (fcirc g),wir können uns (y) als Funktion von (x),als (y=f(g(x))) vorstellen. Somit ist die Ableitung von (y) nach (x) sinnvoll; wir können über (dfrac{dy}{dx}.) sprechen. Dies führt zu einer interessanten Notation:

[egin{align*}y^prime &= f^prime(g(x))cdot g^prime(x) dfrac{dy}{dx} &= y^prime( u) cdot u^prime(x)quad ext{(da (y=f(u)) und (u=g(x)))} dfrac{dy}{dx } &= dfrac{dy}{du} cdot dfrac{du}{dx}quad ext{(unter Verwendung der "Bruch"-Notation für die Ableitung)}end{align*}]

Hier sticht der "Bruch"-Aspekt der Ableitungsnotation hervor. Auf der rechten Seite scheinen sich die "(du)"-Terme aufzuheben, so dass [ dfrac{dy}{dx} = dfrac{dy}{dx}.]

Es ist wichtig zu erkennen, dass wir sind nicht Aufhebung dieser Bedingungen; die abgeleitete Notation von (dfrac{dy}{dx}) ist ein Symbol. Es ist ebenso wichtig zu wissen, dass diese Notation gerade wegen dieses Verhaltens gewählt wurde. Es macht die Anwendung der Kettenregel mit mehreren Variablen einfach. Beispielsweise,

[dfrac{dy}{dt} = dfrac{dy}{digcirc} cdot dfrac{digcirc}{d riangle} cdot dfrac{d riangle}{dt}.]

wobei (igcirc) und ( riangle) alle Variablen sind, die Sie verwenden möchten.

Eine der gebräuchlichsten Methoden zur "Visualisierung" der Kettenregel ist die Betrachtung eines Satzes von Zahnrädern, wie in Abbildung 2.18 gezeigt. Die Zahnräder haben 36, 18 bzw. 6 Zähne. Das heißt, bei jeder Umdrehung des (x)-Zahnrads dreht sich das (u)-Zahnrad zweimal. Das heißt, die Geschwindigkeit, mit der das (u)-Zahnrad eine Umdrehung macht, ist doppelt so schnell wie die Geschwindigkeit, mit der das (x)-Zahnrad eine Umdrehung macht. In der Terminologie der Infinitesimalrechnung ist die Rate der (u)-Änderung bezüglich (x) (dfrac{du}{dx} = 2).

Ebenso verursacht jede Umdrehung von (u) 3 Umdrehungen von (y): (dfrac{dy}{du} = 3). Wie ändert sich (y) in Bezug auf (x)? Für jede Umdrehung von (x) dreht sich (y) sechsmal; dh [dfrac{dy}{dx} = dfrac{dy}{du}cdot dfrac{du}{dx} = 2cdot 3 = 6.]

Wir können die Kettenregel dann um weitere Variablen erweitern, indem wir dem Bild weitere Zahnräder hinzufügen.

Es ist schwer, die Bedeutung der Kettenregel zu überschätzen. So oft sind die Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen, Kompositionen aus zwei oder mehr Funktionen, die es erforderlich machen, diese Regel zur Berechnung von Ableitungen zu verwenden. Es wird in der Praxis häufig verwendet, wenn die tatsächlichen Funktionen unbekannt sind. Vielmehr können wir durch Messung (dfrac{dy}{du}) und (dfrac{du}{dx}) berechnen. Mit unserer Kenntnis der Kettenregel ist es einfach, (dfrac{dy}{dx}) zu finden.

Im nächsten Abschnitt verwenden wir die Kettenregel, um eine andere Differenzierungstechnik zu rechtfertigen. Es gibt viele Kurven, die wir in der Ebene zeichnen können, die den "Vertikallinientest" nicht bestehen. Betrachten Sie zum Beispiel (x^2+y^2=1), das den Einheitskreis beschreibt. Wir könnten trotzdem interessiert sein beim Finden von Steigungen von Tangentiallinien an den Kreis an verschiedenen Punkten Der nächste Abschnitt zeigt, wie wir (dfrac{dy}{dx}) finden können, ohne zuerst nach (y) aufzulösen In diesem Fall ist in vielen anderen Fällen das Auflösen nach (y) unmöglich. In diesen Situationen, implizite Differenzierung ist unverzichtbar.


Die Kettenregel

Angenommen, wir wollen die Ableitung von y=(x 2 +3x+1) 2 ermitteln. Wir könnten es hoffentlich ausmultiplizieren und dann mit wenigen Schwierigkeiten die Ableitung nehmen. Aber was wäre, wenn es stattdessen y=(x 2 +3x+1) 50 wäre? Möchten Sie die gleiche Methode auf dieses Problem anwenden? Sicherlich nicht. Stattdessen brauchen wir eine Methode, um mit zusammengesetzten Funktionen umzugehen, Funktionen, die eine Funktion auf eine andere anwenden. Wenn wir zum Beispiel u=f(x)=(x 2 +3x+1) und g(u)=u 2 lassen, dann ist y=(x 2 +3x+1) 2 = g(f(x)) . Dies wird manchmal geschrieben als

. Dies wird als "g zusammengesetzt f" gelesen.

Unser Ziel ist es, die Ableitung zu finden

basierend auf unserer Kenntnis der Funktionen f und g. Jetzt wissen wir das

Die Differentialnotation von Leibniz legt nahe, dass Ableitungen möglicherweise als Brüche behandelt werden können, was zu der Spekulation führt, dass

Dies führt zur (möglichen) Kettenregel:

Lassen Sie uns dies auf unser Beispiel anwenden und sehen, ob es funktioniert. Zuerst multiplizieren wir das Produkt und nehmen dann die Ableitung. Dann wenden wir die Kettenregel an und prüfen, ob die Ergebnisse übereinstimmen:

Also, unsere Regel überprüft, zumindest für dieses Beispiel. Es stellt sich heraus, dass diese Regel für alle zusammengesetzten Funktionen gilt und von unschätzbarem Wert ist, um Ableitungen zu bilden.

Diese Regel wird Kettenregel genannt, weil wir sie verwenden, um Ableitungen von Funktionskompositen zu bilden, indem wir ihre Ableitungen verketten. Die Kettenregel kann man sich so vorstellen, als würde man die Ableitung der äußeren Funktion (auf die innere Funktion angewendet) nehmen und sie mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Die hier gegebene Diskussion ist keineswegs ein Beweis und sollte keinen Leser zufriedenstellen. Einen Beweis für die Kettenregel finden Sie hier. Bitte schau es dir an.

Die Nichtanwendung der Kettenregel ist wahrscheinlich der häufigste Fehler in der Differentialrechnung. Denken Sie daran, dass die Kettenregel für alle zusammengesetzten Funktionen gilt.


MATH 131: Angewandter Kalkül I

Angewandte Infinitesimalrechnung für Loyola University Chicago Custom (verpackt mit WileyPlus) von Deborah Hughes-Hallett et al.

Kapitel 1: Grundlagen der Analysis: Funktionen und Grenzen
1.1 Funktionen und Änderung
1.2 Exponentialfunktionen
1.3 Neue Funktionen aus alten
1.4 Logarithmische Funktionen
1.5 Trigonometrische Funktionen
1.6 Potenzen, Polynome und rationale Funktionen
1.7 Einführung in die Kontinuität
1.8 Grenzen
Kapitel 2: Schlüsselkonzept: Das Derivat
2.1 Wie messen wir Geschwindigkeit?
2.2 Die Ableitung an einem Punkt
2.3 Die Ableitungsfunktion
2.4 Interpretationen des Derivats
2.5 Die zweite Ableitung
Kapitel 3: Abkürzungen zur Differenzierung
3.1 Potenzen und Polynome
3.2 Die Exponentialfunktion
3.3 Die Produkt- und Quotientenregeln
3.4 Die Kettenregel
3.5 Die trigonometrischen Funktionen
3.6 Die Kettenregel und Umkehrfunktionen
Kapitel 4: Verwendung des Derivats
4.1 Verwendung erster und zweiter Ableitungen
4.2 Optimierung
4.3 Optimierung und Modellierung
4.4 Familien von Funktionen und Modellierung
4.5 Anträge auf Marginalität
4.7 L’Hopitals Regel, Wachstum und Dominanz
Kapitel 5: Schlüsselkonzept: Das definitive Integral
5.1 Wie messen wir die zurückgelegte Entfernung?
5.2 Das definitive Integral
5.3 Der Fundamentalsatz und Interpretationen
5.4 Sätze über bestimmte Integrale
Kapitel 6: Konstruktion von Stammfunktionen
6.1 Stammfunktionen grafisch und numerisch
6.2 Analytische Konstruktion von Stammfunktionen
6.3 [Optional] Differentialgleichungen und Bewegung

Kapitel 1: Grundlagen der Analysis: Funktionen und Grenzen

1. Funktionen und Änderung: 1, 8, 13, 16, 23, 27, 31, 33, 53, 55, 70 (kein WP*)

2. Exponentialfunktionen: 2, 5, 6, 8, 10, 16, 17, 31, 38, 39

3. Neue Funktionen aus alten: 9, 13, 14, 28, 32, 43, 45, 50, 51, 52, 56, 61, 68, 19, 71

4. Logarithmische Funktionen: 2, 4, 6, 7, 12, 16, 19, 24, 26, 30, 36, 45, 47, 48

5. Trigonometrische Funktionen: 6, 10, 12, 18, 20, 30, 31, 33, 62, 63, 68

6. Potenzen, Polynome und rationale Funktionen: 3, 6, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 47 (kein WP), 50, 52, 54

7. Einführung in Grenzen und Kontinuität: 2, 3, 12 (kein WP), 14 (kein WP), 24 (kein WP), 26 (kein WP), 28 (kein WP), 31 (kein WP), 39 (kein WP ), 43 (kein WP), 49 (kein WP)

8. Erweiterung der Idee eines Limits: 4, 6, 31, 33, 38, 45, 52 (kein WP)

Kapitel 2: Schlüsselkonzept: Das Derivat

2.1 Wie messen wir Geschwindigkeit?: 1, 3, 5, 7, 10, 15, 16, 17, 21, 22, 29, 31, 33

2.2 Das Derivat an einem Punkt:1, 3, 4, 8, 10, 19, 22, 23 (kein WP), 32, 37, 47, 56, 60, 63

2.3 Die Ableitungsfunktion: 1, 2, 5, 13, 20, 22, 33, 49, 50, 52

2.4 Interpretationen des Derivats: 2, 3, 9, 12 (kein WP), 17, 19, 24 (kein WP), 27, 33, 38, 51, 54 (kein WP)

2.5 Die zweite Ableitung: 2, 3, 8, 9, 12, 14, 15, 25, 37, 38, 41

Kapitel 3: Abkürzungen zur Differenzierung

3.1 Potenzen und Polynome: 6, 10, 11, 14, 18, 23, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 48, 58, 70, 75, 99

3.2 Die Exponentialfunktion: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 17, 24, 42, 44, 46, 49, 58

3.3 Die Produkt- und Quotientenregeln: 4, 6, 7, 10, 12, 16, 19, 20, 24, 28, 31, 43, 47, 52, 90

3.4 Die Kettenregel: 2, 4, 7, 11, 17, 18, 28, 33, 43, 45, 48, 58, 60, 61, 67, 70, 73, 77, 86

3.5 Die trigonometrischen Funktionen: 4, 8, 10, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 30, 36, 38, 45, 61

3.6 Kettenregel und Umkehrfunktionen: 1, 9, 12, 13, 17, 22, 25, 26, 28, 30, 32, 35, 38, 39, 41, 50

Kapitel 4: Verwendung des Derivats

4.1 Erste und zweite Ableitungen verwenden: 1, 5, 18, 25, 32, 34, 35, 36, 37, 40, 52, 53, 59

4.2 Optimierung: 4, 6, 7, 8, 10, 13, 18, 19, 30, 37, 39, 40, 43

4.3 Optimierung und Modellierung: 5, 6, 7, 9, 11, 14, 18, 22, 25, 27, 38, 39, 45

4.4 Funktions- und Modellierungsfamilien: 3, 4, 16, 25, 26, 47, 49, 50, 51, 57, 63

4.5 Anträge auf Marginalität: 1, 4, 7, 12, 13, 15, 16, 18

4.7 L’Hopitals Regel, Wachstum und Dominanz: 6, 11, 35, 41, 42, 48, 53, 58, 59, 65, 67, 76, 87

Kapitel 5: Schlüsselkonzept: Das definitive Integral

5.1Wie messen wir die zurückgelegte Entfernung?: 1, 2, 4, 8, 14, 15, 23, 25, 28

5.2Das definitive Integral: 4, 8, 12, 24, 29, 30, 32, 36

5.3Der Fundamentalsatz und Interpretationen: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 22, 30

5.4Sätze über bestimmte Integrale: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 14, 16, 19, 25, 26, 28, 30, 33

Kapitel 6: Konstruktion von Stammfunktionen

6.1Stammfunktionen grafisch und numerisch: 3, 6, 13, 15, 20, 25, 33

6.2Analytische Konstruktion der Stammfunktion: 7, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 20, 21, 26, 28, 30, 31, 35, 41, 44, 50, 55, 56, 57, 58, 60, 65

* Kein WP bedeutet, dass das Problem nicht in WileyPlus liegt und aus dem Lehrbuch ergänzt werden sollte.


So verwenden Sie die Kettenregel für Derivate

Angenommen $displaystyle h(x) = sin(x^2)$. Finde $h'(x)$ .

Antworten

Beispiel 2

Angenommen $displaystyle f(x) = sqrt$. Finde $f'(x)$ .

Schreiben Sie die Quadratwurzel in Exponentenform.

Verwenden Sie die Potenzregel und die Kettenregel.

Schritt 3

(Optional) Schreiben Sie die Ableitung in Radikalform.

$ egin f'(x) & = frac 3 2 x^2 (x^3 + 2)^<-1/2>[6pt] & = frac 3 2 x^2 cdot frac 1 >[6pt] & = frac 3 2 x^2 cdot frac 1 >[6pt] & = frac<3x^2><2sqrt> end $

Beispiel 3

Verwenden Sie die Kettenregel, um $displaystyle frac d . zu finden left(sec x ight)$ .

Schreiben Sie die Funktion in Bezug auf den Kosinus um.

$ sec x = frac 1 = ig(cos xig)^ <-1>$

Differenzieren Sie mit der Kettenregel.

$ egin frac d left(sec x ight) & = frac d left[(cos x)^<-1> ight][6pt] & = -1(cos x)^<-2>cdot (-sin x)[6pt] & = -frac 1 cdot (-sin x)[6pt] & = frac end $

Vereinfachen Sie, indem Sie in zwei Fraktionen trennen und trigonometrische Identitäten verwenden.

$ egin frac d left(sec x ight) & = frac[6pt] & = frac 1 cdot frac< cos x>[6pt] & = sec x an x end $

$displaystyle frac d left(sec x ight) = sec x an x$

Beispiel 4

Beachten Sie, dass diese Funktion sowohl die Produktregel als auch die Kettenregel erfordert.

Identifizieren Sie die Faktoren in der Funktion.

Differenzieren Sie mit der Produktregel.

Schritt 3

(Optional) Faktorisieren Sie die Ableitung.

$ egin f'(x) & = -2xlau>sin(x^3) + lau>,3x^2cos(x^3)[6pt] & = lau>left(-2 ed xsin(x^3) + 3 edcos(x^3) ight)[6pt] & = ed xe^<-x^2>left(-2sin(x^3) + 3xcos(x^3) ight )[6pt] & = xe^<-x^2>left(3xcos(x^3)-2sin(x^3) ight) end $

$displaystyle f'(x) = xe^<-x^2>left(3xcos(x^3)-2sin(x^3) ight)$.

Beispiel 5

Beachten Sie, dass $f$ eine Komposition aus drei Funktionen ist. Dies bedeutet, dass wir die Kettenregel zweimal verwenden müssen.

Schreiben Sie die Quadratwurzel als Exponenten.

Verwenden Sie die Potenzregel und die Kettenregel für die Quadratwurzel.

Finden Sie die Ableitung des Kosinus.

$ f'(x) = frac 1 2[cos(5x + 1)]^<-1/2>cdot left(-sin( ed<5x+1)> ight)cdot frac d ( ed<5x+1>) $

Finden Sie die Ableitung der linearen Funktion.

$ f'(x) = frac 1 2[cos(5x + 1)]^<-1/2>cdot left(-sin(5x+1) ight)cdot 5 $

$ egin% f'(x) & = frac 1 2[cos(5x + 1)]^<-1/2>cdot left(-sin(5x+1) ight)cdot 5[ 6pt] & = -frac 5 2[cos(5x + 1)]^<-1/2>cdot left(sin(5x+1) ight)[6pt] & = -frac 5 2cdot frac 1 <[cos(5x + 1)]^<1/2>>cdot left(sin(5x+1) ight)[6pt] &= -frac< 5sin(5x+1)><2sqrt> end $


Kalkül I: Aktivitäten

Eine weitere Eigenschaft von Derivaten ist die, die sich mit der Zusammensetzung von Funktionen befasst. Es ist nicht nur für die Berechnung von Derivaten nützlich, sondern ermöglicht eine Vielzahl von Anwendungen.

Unterabschnitt 2.4.1 Veranschaulichen der Kettenregel

Prüfpunkt 2.4.1 . Illustration der Kettenregel.

Angenommen, für jede Schaufel Kohle produziert eine Dampfmaschine 1000 psi, und für jede 2000 psi fährt der Zug eine Meile.

  1. Wie hoch ist die Rate von psi zu Kohle?
  2. Wie hoch ist die Rate von Meilen in psi?
  3. Wie hoch ist der Preis von Kohle in Meilen?
  4. Schreiben Sie eine Funktion, die psi gegebene Anzahl von Schaufeln Kohle ausgibt.
  5. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion.
  6. Schreiben Sie eine Funktion, die Meilen bei gegebenem psi ausgibt.
  7. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion.
  8. Schreiben Sie eine Funktion, die Meilen bei gegebener Anzahl von Schaufeln Kohle ausgibt, indem Sie die beiden vorherigen Funktionen verwenden.
  9. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion.
  1. Wie hoch ist die Rate von psi zu Kohle? (1000 ext< psi>/1 ext < Schaufel>)
  2. Wie hoch ist die Rate von Meilen in psi? (1 ext< Meile>/2000 ext < psi>)
  3. Wie hoch ist der Preis von Kohle in Meilen? (frac<1000 ext< psi>><1 ext< Schaufel>> cdot frac<1 ext< Meile>><2000 ext< psi>> = frac<1 ext< Meile> ><2 ext< Schaufeln>>. )
  4. Schreiben Sie eine Funktion, die psi gegebene Anzahl von Schaufeln Kohle ausgibt. (Psi(c ext< Schaufeln>) = frac<1000 ext< psi>><1 ext< Schaufel>> c ext< Schaufeln>. )
  5. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion. (frak= frac<1000 ext>< ext>. )
  6. Schreiben Sie eine Funktion, die Meilen bei gegebenem psi ausgibt. (s(p ext< psi>) = frac<1 ext< Meile>><2000 ext< psi>> p ext< psi>. )
  7. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion. (frak= frac<1 ext< Meile>><2000 ext< psi>>. )
  8. Schreiben Sie eine Funktion, die Meilen bei gegebener Anzahl von Schaufeln Kohle ausgibt, indem Sie die beiden vorherigen Funktionen verwenden. (s(Psi(c ext< Schaufeln>))=frac<1 ext< Meile>><2000 ext< psi>> left( frac<1000 ext< psi>><1 Text< Schaufel>> c ext < Schaufeln> echts))
  9. Berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion. (frak=frac<1><2000>cdot frac<1000><1>.)

Unterabschnitt 2.4.2 Eigenschaft und Beispiel

Satz 2.4.2 . Kettenregel.

Wenn (g) an (x) differenzierbar ist und (f) an (g(x)) differenzierbar ist, dann ist (h=fcirc g) an (x) differenzierbar und

Beispiel 2.4.3 . Die Ausführung von Kettenregeln verstehen.

Berechnen Sie die Ableitung von (h(x)=sqrt.)

Beispiel 2.4.4 . Verwenden der Kettenregel.

Berechnen Sie die Ableitung von (h(x)=sqrt.)

Unterabschnitt 2.4.3 Implizite Differenzierung

Manchmal kennen wir eine Gleichung mit einer Funktion, bevor wir wissen, was die Funktion ist. Wir können immer noch die Ableitung dieser unbekannten Funktion berechnen.

Beispiel 2.4.5 . Verwenden der impliziten Differenzierung.

Berechne (f'(x)) gegeben (f(x)^2+x^2 = 2x+3.)

Prüfpunkt 2.4.6 .

Beachten Sie, dass wir in Beispiel 2.4.5 die Funktion aus dem ersten Schritt berechnen können. Berechnen Sie dann die Ableitung. Vergleichen Sie dies mit dem obigen Ergebnis.

Beispiel 2.4.7 . Verwenden der impliziten Differenzierung.

Berechnen (y') gegeben (y) ist eine Funktion von (x) und (y^2-5y+6=x.)

Unterabschnitt 2.4.4 Zugehörige Tarife

Bei einigen Anwendungen ist eine implizite Differenzierung erforderlich. Der Ausdruck wird nach Betrachtung von Beispielen sinnvoll sein.

Beispiel 2.4.8 . Zugehörige Rate: Volumen und Radius.

Luft wird in einen kugelförmigen Ballon gepumpt, so dass sein Volumen um 100 ( ext^3/ ext.) Wie schnell vergrößert sich der Radius des Ballons bei einem Durchmesser von 50cm?

Zuerst müssen wir eine Formel für das Volumen einer Kugel nachschlagen. Es ist (V=frac<4><3>pi r^3.) Als nächstes wird uns gesagt, dass die Volumenänderung 100 ist. Volumenänderung bedeutet, dass wir die Ableitung von (V) mit . kennen Respekt vor der Zeit. Wir bemerken auch, dass Zeit keine explizite Variable ist (d. h. es gibt keine Variable (t)). Um diese Formel zu verwenden, müssen wir also das it differenzieren.

Beachten Sie, dass wir das (r') am Ende benötigen, da der Radius auch eine Funktion der Zeit ist und wir daher implizite Differentiation verwenden. Schließlich können wir die Werte, die wir erhalten haben, einfügen. Beachten Sie (r=25) cm, da der Durchmesser 50 cm beträgt.

Beachten Sie, dass in Beispiel 2.4.8 die Bewertung der Änderung des Radius ist verbunden zum Bewertung der Lautstärkeänderung. Dies ist der Ursprung des Namens.


Die Kettenregel

Eines der praktischsten Werkzeuge bei der Berechnung von Ableitungen ist die Kettenregel, aber es kann leicht passieren, dass man sich bei der Anwendung der Regel verliert. Mal sehen, ob wir die Kettenregel etwas einfacher machen können und sehen uns eine Reihe von Beispielen an.

Gegeben differenzierbare Funktionen und die Ableitung der Zusammensetzung ist gegeben durch

Schreiben wir dies um, indem wir (für “outside”) und (für “inside”) aufrufen, also lautet die Kettenregel:

Schritte zur Verwendung der Kettenregel:

  1. Identifizieren Sie die äußere Funktion und die innere Funktion.
  2. Finden Sie die Ableitungen der äußeren Funktion und der inneren Funktion.
  3. Verwenden Sie die obige Formel, um die gewünschte Ableitung zu erhalten.
  1. Die Kettenregel wird verwendet, wenn eine Funktion innerhalb einer anderen Funktion vorhanden ist.
  2. Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von außen nach innen arbeitet.
  3. Die Kettenregel besagt, dass man die Ableitung der äußersten Funktion nehmen soll das Innere in Ruhe lassen. Dann multipliziere mit der Ableitung des Inneren.
  4. Manchmal müssen wir die Kettenregel zusammen mit anderen Regeln wie den Produkt- oder Quotientenregeln verwenden.

Beispiel 1. Unterscheiden

Beispiel 2. Unterscheiden

Beispiel 3. Welche der folgenden Funktionen benötigt Ihrer Meinung nach die Kettenregel?

  1. Kettenregel!
  2. Kettenregel!
  3. Sie brauchen die Kettenregel hier nicht. Sie können entweder die Produktregel verwenden oder verteilen und dann die Leistungsregel verwenden.
  4. Sie könnten die Potenzregel verteilen und dann anwenden, aber das würde ewig dauern. Verwenden Sie stattdessen die Kettenregel.
  5. Kettenregel!
  6. Kettenregel!
  7. Sie brauchen die Kettenregel hier nicht. Verwenden Sie die Produktregel.
  8. Kettenregel!

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktion mit den obigen Schritten.

Die Kettenregel: Teil 2

Die Kettenregel kann zusätzlich zu anderen Regeln verwendet werden. Es wird Ihnen helfen, sich den folgenden Satz für die Verwendung der Kettenregel zu merken:

Nehmen Sie die Ableitung der Außenfunktion, lassen Sie die Innenfunktion allein und multiplizieren Sie sie mit der Ableitung der Innenfunktion.


Übung 3

Berechnen Sie die Ableitung von   h (x) = cos ⁡ (2 x + 1) sin ⁡ (x 2 + 3 x). +3x).>

Mit der Produktregel haben wir

Für die beiden verbleibenden Ableitungen müssen wir die Kettenregel verwenden.

Mit der Kettenregel haben wir also

h ′ ( x ) = cos ⁡ ( 2 x + 1 ) cos ⁡ ( x 2 + 3 x ) ⋅ ( x 2 + 3 x ) ′ − sin ⁡ ( 2 x + 1 ) ⋅ ( 2 x + 1 ) ′ sin ⁡ ( x 2 + 3 x ) = cos ⁡ ( 2 x + 1 ) cos ⁡ ( x 2 + 3 x ) ( 2 x + 3 ) − sin ⁡ ( 2 x + 1 ) ( 2 ) sin ⁡ ( x 2 + 3 x ) . displaystyle &=&displaystyle +3x)cdot (x^<2>+3x)'-sin(2x+1)cdot (2x+1 )'sin(x^<2>+3x)>&&&=&displaystyle +3x)(2x+3)- sin(2x+1)(2)sin(x^<2>+3x).>end>>


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Symbolab-Blog

In the previous posts we covered the basic derivative rules, trigonometric functions, logarithms and exponents (click here). But we are still missing the most important rule dealing with compound functions, the chain rule.

Why is it so important? Because most of the functions you will have to derive, and later integrate, are most likely compound. For example sin(2x) is the composition of f(x)=sin(x) and g(x)=2x or √(x²-3x) is the composition of f(x)=√x and g(x)= x²-3x

The chain rule formula is as follows: (f(g(x)))’=f’(g(x)) *g’(x)
That is, the derivative of the composition of two functions equals the derivative of the outer function times the derivative of the inner function


Let’s start with an example to see how it works (click here):

Here’s a more complex example involving multiple applications of the chain rule (click here):

With the chain rule we put it all together you should be able to derive almost any function. There are some advanced topics to cover including inverse trig functions, implicit differentiation, higher order derivatives, and partial derivatives, but that’s for later.


Problems

Basic

Questions involving the chain rule will appear on homework, at least one Term Test and on the Final Exam. Such questions may also involve additional material that we have not yet studied, such as higher-order derivatives. You will also see chain rule in MAT 244 (Ordinary Differential Equations) and APM 346 (Partial Differential Equations). If the questions here do not give you enough practice, you can easily make up additional questions of a similar character. You can also find questions of this sort in any book on multivariable calculus.

Suppose that (f:R^3 o R) is of class (C^1) , and consider the function (phi:R^2 o R) defined by [ phi(x,y) = f(x^2-y, xy, xcos y) ] Express (partial_xphi) and (partial_y phi) in terms of (x,y) and partial derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) , and consider the function (phi:R^3 o R) defined by [ phi(x,y,z) = f(x^2-yz, xy+cos z) ] Express partial derivatives of (phi) with respect to (x,y,z) in terms of (x,y,z) and partial derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) . Let (S = <(r,s)in R^2 : s e 0>) , and for ((r,s)in S) , define (phi(r,s) = f(rs, r/s)) . Find formulas for (partial_rphi) and (partial_sphi) in terms of (r,s) and derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) . Let (S = <(x,y,z)in R^3 : z e 0>) , and for ((x,y,z)in S) , define (phi(x,y,z) = f(xy, y/z)) . Find formulas for partial derivatives of (phi) in terms of (x,y,z) and partial derivatives of (f) .

  1. Use the chain rule to find relations between different partial derivatives of a function. For example:

Suppose that (f:R o R) is of class (C^1) , and that (u = f(x^2+y^2+z^2)) . Prove that [ xpartial_y u - y partial_x u = 0 ] Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) , and that (u = f(x^2+y^2+z^2, y+ z)) . Prove that [ (y-z)partial_x u - x partial_y u + x partial_z u = 0. ]

Find the tangent plane to the set (ldots) at the point (mathbf a = ldots) . For example:

Fortgeschritten

  1. Let (q:R^n o R) be the (quadratic) function defined by (q(mathbf x) = |mathbf x|^2) . Determine ( abla q) (either by differentiating, or by remembering material from one of the tutorials.)
  2. Suppose that (mathbf x:R o R^3) is a function that describes the trajectory of a particle. Thus (mathbf x(t)) is the particle’s position at time (t) .
  • If (mathbf x) is differentiable, then we will write (<f v>(t) = mathbf x'(t)) , and we say that (<f v>(t)) is the velocity vector at time (t) .
  • Simlarly, if (f v) is differentiable, then we will write (<f a >(t)= <f v>'(t)) , and we say that (<f a>(t)) is the acceleration vector at time (t) .
  • We also say that (|<f v>(t)|) is the speed at time (t) .

Prove that the speed is constant if and only if $ a(t) v(t) = 0$ for all (t) .

For the next three exercises, let (M^) denote the space of (n imes n) matrices, We write a typical element of (M^) as a matrix (X) with entries: [ X = left( egin x_ <11>& cdots & x_<1n> vdots & ddots & vdots x_ & cdots & x_ end ight) ] Define the function (det:M^ o R) by saying that (det(X)) is the determinant of the matrix. We can view this as a function of the variables (x_<11>,ldots, x_) .

Now consider (n imes n) matrices for an arbitrary positive integer (n) . Let (I) denote the (n imes n) identity matrix. Thus, in terms of the variables ((x_)) , (I) corresponds to [ x_=egin1& ext< if >i=j 0& ext< if >i e j end ] For every (i) and (j) , compute [ frac> det(I), ] This means: the derivative of the determinant function, evaluated at the identity matrix.

Hint There are two cases: (i=j) and (i e j) .

  1. Now suppose that (X(t)) is a “differentiable curve in the space of matrices”, in other words, that [ X(t) = left( eginx_<11>(t) & cdots & x_<1n>(t) vdots & ddots & vdots x_(t) & cdots & x_(t) end ight) ] where (x_(t)) is a differentiable function of (tin R) , for all (i,j) . Also suppose that (X(0) = I) .

Use the chain rule and the above exercise to find a formula for (left. frac d

det(X(t)) ight|_) in terms of (x_'(0)) , for (i,j=1,ldots, n) .

  1. Here we sketch a proof of the Chain Rule that may be a little simpler than the proof presented above. To simplify the set-up, let’s assume that (mathbf g:R o R^n) and (f:R^n o R) are both functions of class (C^1) . Define (phi = fcirc mathbf g) . Thus (phi) is a function (R o R) . Your goal is to compute its derivative at a point (tin R) . To simplify still further, let’s assume that (n=2) . Let’s write (mathbf g(t) = (x(t), y(t))) . Then [egin phi(t+h)-phi(t) &= f(mathbf g(t+h)) - f(mathbf g(t)) &= f( x(t+h), y(t+h)) - f(x(t),y(t)) &= [f( x(t+h), y(t+h)) - f(x(t+h),y(t))] &qquad qquadqquad+ [f(x(t+h),y(t)) -f(x(t),y(t))] . end] Starting from the above, mimic the proof of Theorem 3 in Section 2.1 to show that [ phi'(t) = lim_frac 1 h(phi(t+h)-phi(t) ) ext < exists and equals >fracfrac+ fracfrac, ] where the partial derivatives of (f) on the right-hand side are evaluated at ((x(t),y(t)) = mathbf g(t)) .

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