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2.3: Grenzwertgesetze und Techniken zur Berechnung von Grenzwerten - Mathematik


Im vorherigen Abschnitt haben wir die Grenzen durch Betrachten von Diagrammen oder durch Erstellen einer Wertetabelle bewertet. Diese beiden Ergebnisse dienen zusammen mit den Grenzwertgesetzen als Grundlage für die Berechnung vieler Grenzwerte.

Bewerten von Limits mit den Limitgesetzen

Die ersten beiden Grenzwertgesetze wurden bereits erwähnt und wir wiederholen sie hier. Diese grundlegenden Ergebnisse, zusammen mit den anderen Grenzwertgesetzen, erlauben es uns, Grenzwerte vieler algebraischer Funktionen auszuwerten.

Ergebnisse der grundlegenden Grenzwerte

Für jede reelle Zahl (a) und jede Konstante (c)

  1. (displaystyle lim_{x→a}x=a)
  2. (displaystyle lim_{x→a}c=c)

Beispiel (PageIndex{1}): Bewertung eines Basislimits

Bewerten Sie jeden der folgenden Grenzwerte mit Note.

  1. (displaystyle lim_{x→2}x)
  2. (displaystyle lim_{x→2}5)

Lösung:

  1. Der Grenzwert von x bei Annäherung von x an a ist a: (displaystyle lim_{x→2}x=2).
  2. Der Grenzwert einer Konstanten ist diese Konstante: (displaystyle lim_{x→2}5=5).

Wir werfen jetzt einen Blick auf die begrenzen Gesetze, die einzelnen Eigenschaften von Grenzwerten. Die Beweise, dass diese Gesetze gelten, werden hier weggelassen.

Grenzwertgesetze

Seien (f(x)) und (g(x)) für alle (x≠a) über ein offenes Intervall, das (a) enthält, definiert. Angenommen, (L) und (M) seien reelle Zahlen mit (displaystyle lim_{x→a}f(x)=L) und (displaystyle lim_{x→a}g (x)=M). Sei (c) eine Konstante. Dann gilt jede der folgenden Aussagen:

  • Summengesetz für Grenzen:

[displaystyle lim_{x→a}(f(x)+g(x))=lim_{x→a}f(x)+lim_{x→a}g(x)=L+M ]

  • Differenzgesetz für Grenzwerte:

[displaystyle lim_{x→a}(f(x)−g(x))=lim_{x→a}f(x)−lim_{x→a}g(x)=L−M ]

  • Konstantes Vielfaches Gesetz für Grenzen:

[displaystyle lim_{x→a}cf(x)=c⋅lim_{x→a}f(x)=cL]

  • Produktrecht für Grenzwerte:

[displaystyle lim_{x→a}(f(x)⋅g(x))=lim_{x→a}f(x)⋅lim_{x→a}g(x)=L⋅M ]

  • Quotientengesetz für Grenzen:

[displaystyle lim_{x→a}frac{f(x)}{g(x)}=frac{displaystyle lim_{x→a}f(x)}{displaystyle lim_{x →a}g(x)}=frac{L}{M}]

für (M≠0).

  • Potenzgesetz für Grenzen:

[displaystyle lim_{x→a}(f(x))^n=(lim_{x→a}f(x))^n=L^n]

für jede positive ganze Zahl (n).

  • Wurzelgesetz für Grenzen:

[displaystyle lim_{x→a}sqrt[n]{f(x)}=sqrt[n]{lim_{x→a}f(x)}=sqrt[n]{L} ]

für alle (L), wenn (n) ungerade ist und für (L≥0), wenn (n) gerade ist.

Wir üben nun, diese Grenzwertgesetze anzuwenden, um einen Grenzwert zu berechnen.

Beispiel (PageIndex{2A}): Auswertung eines Limits mit Limitgesetzen

Verwenden Sie die Grenzwertgesetze, um [lim_{x→−3}(4x+2) auszuwerten. keine Nummer]

Lösung

Wenden wir die Grenzwertgesetze Schritt für Schritt an, um sicherzustellen, dass wir verstehen, wie sie funktionieren. Dabei ist zu beachten, dass bei jeder Anwendung eines Grenzwertgesetzes die neuen Grenzwerte für die Anwendung des Grenzwertgesetzes vorliegen müssen.

(displaystyle lim_{x→−3}(4x+2)) = (displaystyle lim_{x→−3} 4x + lim_{x→−3} 2) Wende das Summengesetz an.

=(displaystyle 4⋅lim_{x→−3} x + lim_{x→−3} 2) Wende das konstante Vielfache Gesetz an.

=(4⋅(−3)+2=−10.) Wenden Sie die grundlegenden Grenzwertergebnisse an und vereinfachen Sie.

Beachten Sie, dass dies äquivalent zum Ersetzen von (-3) für (x) in der ursprünglichen Funktion ist. Man muss nur aufpassen, dass die Grenze an dieser Stelle existiert.

Beispiel (PageIndex{2B}): Grenzwertgesetze wiederholt verwenden

Verwenden Sie die Grenzwertgesetze, um [lim_{x→2}frac{2x^2−3x+1}{x^3+4} auszuwerten. keine Nummer]

Lösung

Um diese Grenze zu finden, müssen wir die Grenzwertgesetze mehrmals anwenden. Auch hier müssen wir bedenken, dass beim Umschreiben des Grenzwerts in Bezug auf andere Grenzwerte jeder neue Grenzwert existieren muss, damit das Grenzwertgesetz angewendet werden kann.

(displaystyle lim_{x→2}frac{2x^2−3x+1}{x^3+4}=frac{displaystyle lim_{x→2}(2x^2−3x+1 )}{displaystyle lim_{x→2}(x^3+4)}) Wenden Sie das Quotientengesetz an und stellen Sie sicher, dass ((2)^3+4≠0.)

=(displaystyle frac{displaystyle 2⋅lim_{x→2}x^2−3⋅lim_{x→2}x+lim_{x→2}1}{displaystyle lim_{x→ 2}x^3+lim_{x→2}4}) Wende das Summengesetz und das konstante Vielfache an

=(displaystyle frac{displaystyle 2⋅(lim_{x→2}x)^2−3⋅lim_{x→2}x+lim_{x→2}1}{displaystyle (lim_ {x→2}x)^3+lim_{x→2}4}) Wende das Potenzgesetz an.

=(displaystyle frac{2(4)−3(2)+1}{(2)^3+4}=frac{1}{4}). Wenden Sie die grundlegenden Grenzwertgesetze an und vereinfachen Sie.

Beachten Sie, dass dies dem Ersetzen von (x) durch (2) in der ursprünglichen Funktion entspricht. Man muss nur aufpassen, dass die Grenze an dieser Stelle existiert.

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie die Grenzwertgesetze, um (displaystyle lim_{x→6}(2x−1)sqrt{x+4}) auszuwerten. Geben Sie in jedem Schritt das angewendete Grenzwertgesetz an.

Hinweis

Beginnen Sie mit der Anwendung des Produktrechts.

Oder ersetzen Sie einfach (6) für (x) in der ursprünglichen Funktion. Man muss nur aufpassen, dass die Grenze an dieser Stelle existiert.

Antworten

(11sqrt{10})


MTH 1321 - Infinitesimalrechnung I

Ein TI-89-Rechner wird dringend empfohlen. Kapitel 2 GRENZEN 2.1 Grenzwerte, Änderungsraten und Tangentiallinien 2.2 Grenzwerte: Ein numerischer und grafischer Ansatz 2.3 Grundlegende Grenzwertgesetze 2.4 Grenzwerte und Stetigkeit 2.5 Grenzwerte algebraisch bewerten 2.6 Trigonometrische Grenzwerte 2.7 Zwischenwertsatz
Kapitel 3 DIFFERENZIERUNG 3.1 Definition der Ableitung 3.2 Die Ableitung als Funktion 3.3 Produkt- und Quotientenregeln 3.4 Änderungsraten 3.5 Höhere Ableitungen 3.6 Ableitungen trigonometrischer Funktionen 3.7 Die Kettenregel 3.8 Implizite Differenzierung 3.9 Ableitungen inverser Funktionen 3.10 Ableitungen logarithmischer Funktionen 3.11 Zugehörige Raten
Kapitel 4 ANWENDUNGEN DES DERIVATES 4.1 Lineare Approximation und Anwendungen 4.2 Extremwerte 4.3 Mittelwertsatz und Monotonie 4.4 Die Form eines Graphen 4.5 Graphskizzen und Asymptoten 4.6 Angewandte Optimierung 4.9 Stammfunktionen
Kapitel 5 DAS INTEGRALE 5.1 Näherungs- und Berechnungsbereich 5.2 Das bestimmte Integral 5.3 Der Fundamentalsatz der Analysis, Teil I 5.4 Der Fundamentalsatz der Analysis, Teil II 5.5 Netto- oder Gesamtänderung als Integral einer Rate 5.6 Substitutionsverfahren 5.7 Integrale von Exponential- und Logarithmusfunktionen 5.8 Exponential Wachstum und Verfall


9 Antworten 9

$Farbe<1+>frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 <8>+ ldots + frac <1><2^>$ Ist ein Beispiel für $1+x+x^2+x^3+ldots+x^n$ Wobei das Verhältnis zwischen einer Zahl $a_n$ und dem vorherigen $a_$ ist konstant und ist $x$. Dies ist die Summe einer geometrischen Progression und es ist ziemlich einfach zu sehen, dass ihr Wert $frac<1-x^ . ist><1-x>$ Bei $n oinfty$ konvergiert die Summe nur, wenn $|x|<1$ denn wenn ja $x^ o 0$ und die Summe ist $sum_^x^n=frac<1><1-x>$ In Ihrem ersten Beispiel beginnen $x=frac12$ und der Index $n$ bei $n=1$, also ist die Summe $sum_^left(frac12 ight)^n=frac<1><1-frac12>-1=color<1>$ Der zweite ist $lim_1 - frac 1 3 + frac 1 9 - frac 1 <27>+ cdots + frac <(-1)^><3^>=sum_^left(-frac13 ight)^n=frac<1><1-left(-frac13 ight)>=color$

Alles, was Sie wissen müssen, ist die Summe der ersten Terme von $n$ einer geometrischen Reihe, die eine Formel aus der High School ist: $1+q+q^2+dots +q^n=frac<1-q^><1-q>qquad (q e 1),$woraus wir ableiten können: $q^r+q^+dots +q^n=q^r(1+q+dots+q^)=q^rfrac<1-q^><1-q>=frac<>><1-q>.$ Wenn $lvert q vert<1$, haben diese Summen Grenzen $dfrac1<1-q>$ und $dfrac<1-q>$ bzw.

Was soll ich tun, wenn ich ein Limit von unendlicher Summe benötige? (Gibt es Faustregeln?)

Im Allgemeinen - nein, solche Regeln gibt es nicht. Es gibt bestimmte Typen von Reihen, für die bekannt ist, wie der Grenzwert berechnet wird (wie die geometrische Reihe). Es gibt viel mehr Rezepte, um herauszufinden, ob eine Reihe konvergiert oder nicht (den Grenzwert zu finden ist viel schwieriger). Aber auch hier ist das Kochbuch limitiert. Wie andere bereits darauf hingewiesen haben, sind Ihre beiden Reihen geometrische Reihen, deren Grenzwert leicht berechnet werden kann.

Nun, dieser erste sollte eine Instanz eines Satzes sein, den Sie auf jeden Fall in Ihre Liste nützlicher Sätze aufnehmen sollten:

Und das zweite ist ein Beispiel für das eng verwandte:

Wenn Sie sich nicht beide merken möchten, ist es in Ordnung, sich nur eines zu merken, da sich das andere leicht daraus ableiten lässt, z.B.:

die anderen Antworten sind richtig, aber wenn Sie eine "visualisierte" Methode sehen möchten (es ist tatsächlich die gleiche Weise, aber Sie können es klarer sehen) $S=lim_Summe_^nfrac <1><2^>=frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 <8>+ cdots2S=lim_Summe_^nfrac <1><2^>=frac 1 1 + frac 1 2 + frac 1 <4>+ cdots=1+lim_Summe_^nfrac <1><2^>=1+S2S-S=links(1+S echts)-S=1$ und $A=lim_Summe_^nfrac <(-1)^><3^>=1 - frac 1 3 + frac 1 9 - frac 1 <27>+ cdots 3A=lim_Summe_^nfrac <(-1)^><3^>=3 - frac 3 3 + frac 3 9 - frac 3 <27>+ cdots=3-left(1 - frac 1 3 + frac 1 9 - frac 1 <27>+ cdots ight)=3-A3-A=3Aimplies3=4Aimpliesfrac34=A$

Beachten Sie, dass Sie die Summen $sum_ haben^ frac<1><2^k>$ und $sum_^ left(-frac<1> <3> ight)^k$. Schlagen Sie nun geometrische Serien nach und versuchen Sie, diese selbst zu beenden :)

Bei unendlicher geometrischer Progression,

Sie können dies auch aus der normalen Formel mit $n o infty$ . ableiten

Hier gilt es zu wissen, dass $ |r| <1$

Um dies zu erklären, wenn |r|<1 , ar < a ähnlich $ ar^2 < ar $ und jeder nächste Begriff wird immer kleiner und kleiner und wie $ n o infty$, $a_n = ar^ o 0 $ daher können wir erfolgreich eine endliche Zahl finden, gegen die diese Folge konvergiert, da die späteren Terme so kleiner sind als die ursprünglichen, dass sie nicht einmal zur Summe beitragen.

Obwohl wenn |r|>1 jeder Term wird größer sein als der vorherige, daher werden wir diese Folge nie summieren können.


Zehn Forschungsbereiche

Stellen wir uns also eine einfachere Frage, die auch jedem Studienfach zugrunde liegt: Welche Forschungsherausforderungsbereiche treiben das Studium der Data Science an? Hier ist eine Liste von 10. Sie haben keine Prioritätsreihenfolge und einige von ihnen sind miteinander verwandt. Sie werden als Herausforderungsbereiche formuliert, nicht als Herausforderungsfragen. Jeder Bereich schlägt viele Fragen vor. Sie sind nicht unbedingt die „Top 10“, aber sie sind gute 10, um in der Community zu diskutieren, wie eine breite Forschungsagenda für Data Science aussehen könnte. Angesichts unserer obigen Diskussion überschneiden sie sich wenig überraschend mit Herausforderungen in der Informatik, Statistik (Berger et al., 2019), Sozialwissenschaften usw. Vor dem Hintergrund des Autors werden sie aus der Perspektive eines Informatikers gestellt. Die Liste beginnt grob gesagt mit Herausforderungen, die für die Wissenschaft, dann für die Technik und dann für die Gesellschaft relevant sind.


Lehrplan

Kapitel 1: Funktionen und Modelle

Optional. Dies ist ein Vorkalkül-Review-Kapitel und kann nach Ermessen des Lehrers kurz besprochen oder zugewiesen werden. Während Studienanfänger mit den Themen in diesem Kapitel vertraut sein sollten, sind einige möglicherweise schlecht auf das Rechnen vorbereitet. Einige Fakultätsmitglieder haben begonnen, von den Studenten einen diagnostischen Test zu verlangen, der auf diesem ersten Kapitel basiert. Der Test kann dem Schüler die Bereiche vor der Berechnung zeigen, die er verbessern muss. Viele Fakultätsmitglieder überspringen dieses Kapitel einfach.


Grenzen wie x Ansätze 0

Wir müssen uns daran erinnern, dass wir nicht durch Null dividieren können - es ist undefiniert.

Aber es gibt einige interessante und wichtige Grenzen, wo es einen Grenzwert gibt, wie z x nähert sich `0` und es scheint, dass wir einen `0`-Nenner haben.

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze als x nähert sich `0` von `(sin x)/x`

Beachten Sie, dass wir 0 nicht einfach ersetzen können, weil `(sin 0)/0` nicht definiert ist.

Es gibt kein algebraisches Verfahren, um diese Grenze zu finden. Wir können Werte von ersetzen x die immer näher an `0` herankommen (sowohl von der linken als auch von der rechten Seite) und daraus schließen, dass

Eine Möglichkeit, dies zu überprüfen, besteht darin, es grafisch darzustellen und zu sehen, dass tatsächlich der Grenzwert als x nähert sich `0` ist `1`:


Ein Beweis, den ich vor einiger Zeit gefunden habe, beruht ausschließlich auf kreativem Teleskopieren. Da $frac<1>-frac<1>=frac<1>$ ,

$egin Summe_frac<1>&=&sum_left(frac<1>-frac<1><(n+1)> ight)+frac<1><2>sum_left(frac<1>-frac<1><(n+1)^2> ight)&+&frac<1><6>sum_left(frac<1>-frac<1><(n+1)^3> ight)-frac<1><6>sum_frac<1> ag<1>end $ also nach der Reihendarstellung für $psi(z)=fraclogGamma(z)$ (wobei $Gamma(z)$ die analytische Fortsetzung von $int_<0>^<+infty>t^ . iste^<-t>,dt$ , definiert für $ ext(z)>0$ ): $ psi'(m)=sum_frac<1>leq frac<1>+frac<1><2m^2>+frac<1><6m^3> ag<2>$ und in ähnlicher Weise: $ psi'(m) geq frac<1>+frac<1><2m^2>+frac<1><6m^3>-frac<1><30m^5>. ag<3>$ Bei zweimaliger Integration ergibt sich $log Gamma(m)$ verhält sich wie folgt: $ logGamma(m)approxleft(m-frac<1><2> ight)log(m)-color m+Farbe<eta>+frac<1><12m> ag<4>$ wobei $color$ folgt aus $logGamma(m+1)-logGamma(m)=log m$ .

Das ergibt die Stirlingsche Ungleichung bis zu einer multiplikativen Konstante.

$Farbe<eta=logsqrt<2pi>>$ folgt dann aus Legendres Vervielfältigungsformel und der bekannten Identität:

Nachtrag: wenn wir wie im zweiten Teil dieser Antwort kreatives Teleskopieren anwenden, dh indem wir feststellen, dass $k(x)=frac<60x^2-60x+31><60x^3-90x^2+66x-18>$ ergibt $k(x)-k(x+1)=frac<1>+Oleft(frac<1> ight)$ , wir kommen an

$egin m!&approx& 2^<42>>e^ <84>left(42-sqrt <35>pi -84 m+2 sqrt < 35>arctanleft[sqrt<7>> (2m-1) ight] ight)> &cdot&sqrt, m,(2m- 1)^<21>(2m-1)>left(m^2-m+frac<3><5> ight)^<84>(2m- 1)> ag<6>end $ das ist viel genauer als die "übliche" Stirlingsche Ungleichung, aber auch viel weniger "praktisch".
Es könnte jedoch Spaß machen, verschiedene Werte von $m$ in $(6)$ einzufügen, um bizarre ungefähre Identitäten abzuleiten, die $e,pi,sqrt$ und Werte der Arkustangensfunktion beinhalten, wie

Inspiriert von den beiden folgenden Referenzen ist hier ein kurzer Beweis ohne Motivation und Details.

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass $tmapsto g_t(y)$ für $ygeq 0$ abnimmt und für $yleq 0$ zunimmt. Der Grenzwert ist $g_infty(y)=exp(-y^2/2)$, also ergibt die dominierte Konvergenz

Verwenden Sie die Variablenänderung $x=ysqrt+t$ zu bekommen

$ t! = int_0^infty x^t e^<-x>,dx = left(frac ight)^t sqrt int_<-infty>^infty g_t(y),dy. $

[1] J. M. Patin, Ein sehr kurzer Beweis der Stirling-Formel, Amerikanische mathematische Monatszeitschrift 96 (1989), 41-42.

[2] Reinhard Michel, Der $(n+1)$-te Beweis der Stirling-Formel, Amerikanische mathematische Monatszeitschrift 115 (2008), 844-845.

Hier ist eine Ableitung der Stirling-Formel wie gegeben durch

$box[5px,border:2px solid #C0A000]left(frac ne ight)^nleft(1+frac<1><12(n+1) > ight) le n!le sqrt<2pi n>left(frac ne ight)^nleft(1+frac<1><12(n-2)> ight) > ag 1$

In der folgenden Entwicklung verwenden wir $(i)$ die Formel für die Trapezregel für zweifach differenzierbare Funktionen, $(ii)$ Wallis'sche Formel für $pi$ und $(iii)$ Standardungleichungen.

VERWENDUNG DER TRAPEZOIDEN REGEL:

Um $(1)$ zu beweisen, beginnen wir mit der Trapezregelformel

$int_a^bf(x),dx=frac12left(f(a)+f(b) ight)(ba)-frac1<12>f''(xi)(ba)^3 ag 2$

für die $f''(x)$ existiert für $xin[a,b]$ und $xiin (a,b)$. Wenn $f(x)=log(x)$ in $(2)$ gesetzt wird, zeigt sich, dass

wobei $m<xi_m<m+1$. Bezeichnet $frac1<12>sum_^frac<1>$ durch $C_n$ sehen wir, dass $lim_C_n=C<infty$.

$box[5px,border:2px solid #C0A000]sqrtleft(frac ight)^n > ag 4$

VERWENDUNG DER PRODUKTFORMEL VON WALLIS:

Um das Limit $lim_ auszuwertene^<1-C_n>$, wir verlassen uns auf das Produkt von Wallis für $pi$ wie durch

GEMEINSAM, UM BEI STIRLINGS FORMEL ZU KOMMEN

Wir können jetzt die Fakultät schreiben

Da $C_n o C$, dann haben wir die Stirling-Formel

$box[5px,border:2px solid #C0A000]left(frac ne ight)^n >$

Ableiten von Grenzen für $displaystyle n!$:

Es ist leicht zu erkennen, dass da $frac<1><(m+1)^2><frac1<frac<1>$, dann

Als nächstes garantiert der Mittelwertsatz für $x<1/2$, dass

Wir sehen also, dass für $nge 3$

Schließlich liefert die Verwendung von $(8)$ in $(7)$ die begehrten Grenzen in $(1)$

Die Art und Weise, wie ich normalerweise die asymptotische Approximation von Stirling gezeigt habe, beginnt mit der Formel $ egin n! &=int_0^infty x^ne^<-x>mathrmx &=int_0^infty e^<-x+nlog(x)>mathrmx &=int_0^infty e^<-nx+nlog(nx)>nmathrmx &=n^int_0^infty e^<-nx+nlog(x)>mathrmx &=n^e^<-n>int_<-1>^infty e^<-nx+nlog(1+x)>mathrmx &=n^e^<-n>int_<-infty>^infty e^<-nu^2/2>x'mathrmu ag <1>end $ Wobei $u^2/2=x-log(1+x)$. Das heißt, $u(x)=xsqrt>$, das in der Nähe von $x=0$ analytisch ist: die Singularität von $frac$ bei $x=0$ ist entfernbar, und seit $frac$ ist in der Nähe von $1$, wenn $x$ in der Nähe von $ ist, $sqrt>$ ist in der Nähe von $x=0$ analytisch. Wegen $u(0)=0$ und $u'(0)=1$ sagt der Lagrange-Inversionssatz, dass $x$ eine analytische Funktion von $u$ in der Nähe von $u=0$ ist, mit $x(0 )=0$ und $x'(0)=1$.

Beachten Sie, dass wir wegen $u^2/2=x-log(1+x)$ $ u(1+x)=xx' ag <2>$ haben, woraus folgt, dass $limlimits_dfrac=1$ und $limlimits_dfrac>=-1$. Das heißt, $x'(u)=O(u)$ für $|u|$ in der Nähe von $infty$.

Wie wäre es statt eines Beweises mit einer Reihe von Hinweisen? Dies stammt aus Maxwell Rosenlichts Introduction to Analysis (ein großartiger kleiner, leicht zu lesender Text, der spottbillig ist – es ist ein Dover-Taschenbuch).

Kapitel VI: Problem #22 Zeigen Sie, dass für $n=1,2,3,dots$ $ 1+frac<1><2>+frac<1><3>+cdots+frac< . gilt 1>-ln(n)$ ist positiv und nimmt mit steigendem $n$ ab. Dies konvergiert also gegen eine Zahl zwischen 0 und 1 (Eulersche Konstante).

Kapitel VII: Problem #39 Für $n=0,1,2,dots$ sei $I_n=int_0^ sin^n(x),dx$. Zeige, dass

(d) $I_0, I_1, I_2, dots$ ist eine abnehmende Folge mit dem Grenzwert Null und $ lim_ frac>>=1$

(a) Zeigen Sie, dass für $f:< xin mathbb| xgeq 1> zu mathbb$ ist stetig, dann $ sumlimits_^n f(i) = int_1^ f(x),dx + sumlimits_^nleft(f(i)-int_i^ f(x),dx echts)$

(b) Zeigen Sie, dass für $i>1$ $ln(i)-int_i^,dx$ unterscheidet sich von $-1/2i$ um weniger als $1/6i^2$. [Hinweis: Berechnen Sie das Integral mit der Taylor-Reihe für $ln(1+x)$ am Punkt $.]

(c) Verwenden Sie Teil (a) mit $f=ln$, Teil (b) und Aufgabe #22 aus Kapitel VI, um zu beweisen, dass der folgende Grenzwert existiert: $lim_ left(ln(n!)-left(n+frac<1><2> ight)ln(n)+n ight)$

(d) Verwenden Sie Teil (e) von Aufgabe #39, um den obigen Grenzwert zu berechnen, und erhalten Sie dann: $ lim_ fracsqrt<2pi n>>=1$ (d. h. Stirling-Formel)

Hier sind ein paar "Beweise" der Stirling-Formel. Sie sind ziemlich elegant (meiner Meinung nach), aber nicht streng. On könnte daraus einen echten Beweis schreiben, aber da sie sich auf eine versteckte Maschinerie stützen, wäre das Ergebnis ziemlich schwer.

1) Ein probabilistischer Nicht-Beweis

Wir gehen von dem Ausdruck $e^ <-n>n^n/n!$ aus, von dem wir ein Äquivalent finden wollen. Lassen Sie uns $n$ festsetzen und $Y$ eine Zufallsvariable mit einer Poisson-Verteilung des Parameters $n$ sein. Per Definition gilt für jede ganze Zahl $k$ $mathbb

(Y=k) = e^ <-n>n^k/k!$ . Wenn wir $k=n$ nehmen, erhalten wir $mathbb

(Y=n) = e^ <-n>n^n/n!$ . Die Summe von $n$ unabhängigen Zufallsvariablen mit einer Poisson-Verteilung des Parameters $1$ hat eine Poisson-Verteilung des Parameters $n$, also nehmen wir eine Folge $(X_k)$ von i.i.d. Zufallsvariablen mit einer Poisson-Verteilung des Parameters $1$ . Beachten Sie, dass $mathbb (X_0) = 1$ . Wir haben:

$mathbb

left(sum_^ (X_k - mathbb (X_k)) = 0 ight) = frac n^n>.$

Mit anderen Worten, $e^ <-n>n^n/n!$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zentrierter Random Walk mit Poissonn-Schritten des Parameters $1$ zum Zeitpunkt $n$ in $ ist. Wir haben Werkzeuge, um solche Größen abzuschätzen, nämlich lokale zentrale Grenzwertsätze. Sie behaupten, dass:

eine Formel, die bei Gauß-Integral- und Diffusionsprozessen sehr beliebt ist. Da die Varianz von $X_0$ $1$ beträgt, erhalten wir:

Der Haken an der Sache ist natürlich, dass die lokalen zentralen Grenzwertsätze keineswegs elementare Ergebnisse sind (mit Ausnahme der einfachen Random Walks, und das ist, wenn Sie die Stirling-Formel bereits kennen. ). Die Methoden, die ich kenne, um solche Ergebnisse zu beweisen, beinhalten Tauberische Theoreme und Rückstandsanalyse. In gewisser Weise ist dieses probabilistische Zeug eine Möglichkeit, klassischere Ansätze zu verschleiern (zu meiner Verteidigung, wenn Sie nur einen Hammer haben, sieht alles wie ein Nagel aus).

Ich denke, man könnte Terme höherer Ordnung für die Stirling-Formel erhalten, indem man genauere Asymptotiken für die Green-Funktion in $ berechnet, was die Kenntnis höherer Momente für die Poisson-Verteilung erfordert. Beachten Sie, dass die erzeugende Funktion für eine Poisson-Verteilung des Parameters $1$ ist:

und dieses "Exponential von Exponential" wird gleich wieder erscheinen.

2) A erzeugende Funktionen nicht beweis

Wenn Sie analytische Methoden auf Probleme im Zusammenhang mit Sequenzen anwenden möchten, sind Generierungsfunktionen ein sehr nützliches Werkzeug. Leider ist die Reihe $sum_ n! z^n$ ist nicht konvergent für Werte ungleich Null von $z$ . Stattdessen arbeiten wir mit:

wir haben Glück, denn diese erzeugende Funktion ist bekannt. Sei $gamma$ eine einfache Schleife um $ in der komplexen Ebene, die gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Lassen Sie uns eine nicht-negative ganze Zahl $n$ fixieren. Nach Cauchys Formel gilt:

Wir wählen für $gamma$ den Kreis mit dem Radius $n$ um $ , mit seiner natürlichen Parametrisierung $z (t) = n e^$ :

wobei $ heta =t sqrt$. Bisher haben wir eine genaue Formelanmerkung, dass wir wieder auf das "Exponential von Exponential" treffen. Jetzt kommt der Vertrauensvorschuss. Für $x$ in der Nähe von $ ist der Wert von $e^x-x-1$ ungefähr $x^2/2$ . Außerdem nähern sich die Grenzen des Integrals $- infty$ und $ infty$ . Daher gilt für große $n$:

Natürlich ist es nicht trivial zu beweisen, dass die Äquivalente, die wir genommen haben, streng sind. In der Tat, wenn man diese Methode auf schlechte Erzeugungsfunktionen anwendet (z. B. $(1-z)^<-1>$ ), können sie falsche Ergebnisse erhalten. Dies ist jedoch für einige möglich zulässig Funktionen, und die Exponentialfunktion ist eine davon.

Diese Methode habe ich dank Don Zagier gelernt. Es wird auch erklärt in GenerierendeFunktionologie, Kapitel $5$ (III), wo der Autor Hayman schreibt. Die ursprüngliche Referenz scheint zu sein Eine Verallgemeinerung der Stirling-Formel (Hayman, 1956), aber ich kann es jetzt nicht lesen.

Einer der Vorteile dieser Methode besteht darin, dass es sehr einfach wird, die nächsten Terme in der asymptotischen Entwicklung von $n!$ zu erhalten. Sie müssen lediglich die Funktion $e^x-x-1$ bei $ weiterentwickeln. Ein weiterer Vorteil ist, dass es recht allgemein ist, da es auf viele andere Sequenzen angewendet werden kann.


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Ok, ich wollte gerade einen Kommentar schreiben, aber es wurde zu lang.

Darf man sizeof verwenden?

Wenn true, dann gibt es eine einfache Möglichkeit, den Maximalwert für jeden Typ zu ermitteln:

Zum Beispiel finde ich den Höchstwert für eine ganze Zahl:

Definition: INT_MAX = (1 << 31) - 1 für 32-Bit-Ganzzahl (2^31 - 1)

Die vorherige Definition läuft über, wenn wir ganze Zahlen verwenden, um int max zu berechnen, also muss sie richtig angepasst werden:

Sie können dasselbe für jeden signierten/unsignierten Typ tun, indem Sie einfach die Regeln für jeden Typ lesen.

Also eigentlich war nicht in einer Endlosschleife stecken bleiben. C-Code ist normalerweise so schnell, dass ich annehme, dass er defekt ist, wenn er nicht sofort abgeschlossen wird.

Es hat schließlich die richtige Antwort zurückgegeben, nachdem ich es etwa 10 Sekunden lang laufen ließ. Es stellt sich heraus, dass 2.147.483.647 Inkremente einige Zyklen benötigen.

Ich sollte auch beachten, dass ich mit cc -O0 kompiliert habe, um Optimierungen zu deaktivieren, also war dies nicht das Problem.

Eine schnellere Lösung könnte etwa so aussehen:

Da Vorzeichenüberlauf jedoch ein undefiniertes Verhalten ist, ist es wahrscheinlich eine schreckliche Idee, jemals zu versuchen, dies in der Praxis programmgesteuert zu erraten. Verwenden Sie besser INT_MAX .

Unter der Annahme eines Zweierkomplement-Prozessors verwenden Sie vorzeichenlose Mathematik:

Wie hier in anderen Lösungen gezeigt wurde, ist der Versuch, eine ganze Zahl in C zu überlaufen, ein undefiniertes Verhalten, aber zumindest in diesem Fall denke ich, dass Sie sogar von der U.B. eine gültige Antwort erhalten können. Sache:

Der Fall ist, dass, wenn Sie einen Wert erhöhen und den neuen Wert mit dem letzten vergleichen, Sie immer einen größeren Wert erhalten, außer bei einem Überlauf (in diesem Fall erhalten Sie einen Wert kleiner oder gleich --- Sie haben nicht mehr Werte größer, das ist bei einem Überlauf der Fall) Du kannst also zumindest versuchen:

Nach dieser Schleife haben Sie den erwarteten Überlauf und old_i speichert die letzte gültige Zahl. Falls Sie untergehen, müssen Sie natürlich dieses Code-Snippet verwenden:

Natürlich hat U.B. kann sogar bedeuten, dass das Programm den Lauf stoppt (in diesem Fall müssen Sie Traces einfügen, um mindestens den letzten Wert auszugeben)

Übrigens, in den alten Zeiten von K&R waren Integer 16 Bit breit, ein Wert, der durch Hochzählen leicht zugänglich ist (einfacher als jetzt, versuchen Sie 64-Bit-Integer-Überläufe von 0 aufwärts).

Ich würde die Eigenschaften des Zweierkomplements verwenden, um die Werte zu berechnen.

2^3 ist 1000. 2^3 - 1 ist 0111. 2^4 - 1 ist 1111.

w ist die Länge in Bit Ihres Datentyps.

uint_max ist 2^w - 1, oder 111. 111 . Dieser Effekt wird durch die Verwendung von

int_max ist 2^(w-1) - 1, oder 0111. 111 . Dieser Effekt kann durch Bitverschiebung von uint_max 1 Bit nach rechts erreicht werden. Da uint_max ein Wert ohne Vorzeichen ist, wird die logische Verschiebung durch den >>-Operator angewendet, dh er fügt führende Nullen hinzu, anstatt das Vorzeichenbit zu erweitern.

int_min ist -2^(w-1), oder 100.000. Im Zweierkomplement hat das höchstwertige Bit a Negativ Gewicht!

So visualisieren Sie den ersten Ausdruck zur Berechnung von int_min1 :

Das Addieren von 1 würde sich nach unten bewegen, und das Subtrahieren von 1 würde sich nach oben bewegen. Zuerst negieren wir int_max, um einen gültigen int-Wert zu generieren, dann ziehen wir 1 ab, um int_min zu erhalten. Wir können (int_max + 1) nicht einfach negieren, da dies int_max selbst, den größten int-Wert, überschreiten würde.

Je nachdem, welche Version von C oder C++ Sie verwenden, wird der Ausdruck -(int_max + 1) entweder zu einer 64-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen, wobei das Vorzeichen beibehalten wird, aber die ursprüngliche Bitbreite geopfert wird, oder er würde zu einer 32-Bit-Ganzzahl ohne Vorzeichen werden , wobei die ursprüngliche Bitbreite beibehalten wird, aber das Vorzeichen geopfert wird. Wir müssen int_min auf diesem Umweg programmgesteuert deklarieren, damit es einen gültigen int-Wert behält.

Wenn dir das ein bisschen (oder Byte) zu kompliziert ist, kannst du es einfach tun

int_max , wobei int_max 011.111 und int_min 100.000 beträgt.

Denken Sie daran, dass diese Techniken, die ich hier erwähnt habe, für jede Bitbreite w eines ganzzahligen Datentyps verwendet werden können. Sie können für char , short , int , long und auch long long verwendet werden . Denken Sie daran, dass Integer-Literale standardmäßig fast immer 32-Bit sind, sodass Sie die 0U möglicherweise in den Datentyp mit der entsprechenden Bitbreite umwandeln müssen, bevor Sie sie bitweise NOTieren. Aber abgesehen davon basieren diese Techniken auf den grundlegenden mathematischen Prinzipien der Ganzzahldarstellung im Zweier-Komplement. Das heißt, sie funktionieren nicht, wenn Ihr Computer eine andere Art der Darstellung von ganzen Zahlen verwendet, beispielsweise das Einerkomplement oder das höchstwertige Vorzeichen-Bit.

Die Zuweisung besagt, dass "das Drucken geeigneter Werte aus Standard-Headern" erlaubt ist, und in der realen Welt würden Sie dies tun. Wie Ihr Professor schrieb, ist die direkte Berechnung schwieriger, und warum die Dinge um ihrer selbst willen schwieriger machen, wenn Sie an einem anderen interessanten Problem arbeiten und nur das Ergebnis wollen? Suchen Sie die Konstanten in <limits.h> , zum Beispiel INT_MIN und INT_MAX .

Da dies Hausaufgaben sind und Sie diese selbst lösen möchten, hier einige Hinweise.

Der Sprachstandard technisch erlaubt eine von drei verschiedenen Darstellungen für Zahlen mit Vorzeichen: Zweier-Komplement, Einer-Komplement und Vorzeichen und Größe. Sicher, jeder Computer, der in den letzten fünfzig Jahren hergestellt wurde, hat das Zweier-Komplement verwendet (mit der teilweisen Ausnahme des Legacy-Codes für bestimmte Unisys-Mainframes), aber wenn Sie wirklich Sprachanwalt werden möchten, könnten Sie die kleinste Zahl für jede der drei berechnen compute mögliche Darstellungen und finden Sie das Minimum, indem Sie sie vergleichen.

Der Versuch, die Antwort zu finden, indem ein Wert mit Vorzeichen über- oder unterschritten wird, funktioniert nicht! Das ist undefiniertes Verhalten! Sie können theoretisch, aber nicht in der Praxis, einen vorzeichenlosen Wert derselben Breite erhöhen, in den entsprechenden vorzeichenlosen Typ konvertieren und mit dem Ergebnis der Umwandlung des vorherigen oder nächsten vorzeichenlosen Werts vergleichen. Für 32-Bit-Länge ist dies möglicherweise nur erträglich, es wird nicht auf eine Maschine skaliert, auf der long 64 Bit breit ist.

Sie möchten insbesondere die bitweisen Operatoren verwenden

und << , um den größten und kleinsten Wert für jeden Typ zu berechnen. Hinweis: CHAR_BITS * sizeof(x) gibt Ihnen die Anzahl der Bits in x an, und wenn Sie 0x01UL um eins weniger nach links verschieben und dann in den gewünschten Typ umwandeln, wird das höchste Bit gesetzt.

Für Gleitkommawerte besteht die einzige übertragbare Möglichkeit darin, die Konstanten in <math.h> Gleitkommawerten zu verwenden, die positive und negative Unendlichkeit darstellen können oder nicht, sind nicht auf ein bestimmtes Format beschränkt. Wenn Ihr Compiler jedoch den optionalen Anhang G des C11-Standards unterstützt, der komplexe Arithmetik gemäß IEC 60559 spezifiziert, dann wird die Division einer Gleitkommazahl ungleich Null durch Null als unendlich definiert, was es Ihnen ermöglicht, unendlich zu "berechnen" und negative Unendlichkeit. Wenn ja, wird die Implementierung __STDC_IEC_559_COMPLEX__ als 1 definieren.

Wenn Sie feststellen, dass unendlich von Ihrer Implementierung nicht unterstützt wird, beispielsweise indem Sie überprüfen, ob INFINITY und -INFINITY unendlich sind, sollten Sie stattdessen HUGE_VAL und -HUGE_VAL verwenden.


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GRENZEN

D HEOREM. Wenn f ( x ) = x , dann für jeden Wert c, den wir nennen könnten:

Nähert sich nämlich eine Wertefolge der Variablen x c als Grenzwert (Definition 2.1), so nähert sich auch eine Wertefolge der Funktion f ( x ) = x c als Grenzwert (Definition 2.2).

Um uns bei der Berechnung von Grenzwerten zu helfen, können Sie Folgendes beweisen.

Seien f und g Funktionen einer Variablen x . Dann, wenn die folgenden Grenzen bestehen:

1) Die Grenze einer Summe ist gleich der Summe der Grenzen.

2) Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte.

3) Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte,
3) sofern die Grenze des Nenners nicht 0 ist.

Auch wenn c nicht von x abhängt -- wenn c eine Konstante ist -- dann

Um dies zu sehen, lassen Sie x sich 4 nähern: z. B.

4 1
2
4 1
4
4 1
8
4 1
16
4 1
32
. . .

Dann ändert sich der Wert von 5 – oder eine beliebige Konstante – nicht. Es ist konstant!

Wenn c ein konstanter Faktor ist, f aber von x abhängt, dann

Ein konstanter Faktor darf das Grenzzeichen passieren. (Dies folgt aus den Sätzen 2 und 4.) Zum Beispiel

Lösung. x 2 = x · x . Und wir haben bewiesen, dass existiert und gleich 4 ist. Also nach Satz 2.

Lösung. x 2 = x · x . Und das haben wir bewiesen existiert, und ist

gleich 4. Daher ist nach Satz 2.
-->

Aus diesem Beispiel sollte klar sein, dass zum Bewerten der Grenze einer beliebigen Potenz von x, wenn x sich einem beliebigen Wert nähert, einfach die Potenz bei diesem Wert auswerten. Die wiederholte Anwendung von Satz 2 bestätigt dies.

Aufgabe 3. Bewerten Sie die folgenden Grenzen und begründen Sie Ihre Antworten mit den Sätzen 1 bis 5.

4 3 + 4 = 64 + 4 = 68. Dies folgt aus Satz 1 und Satz 2.

4 2 + 1 = 16 + 1 = 17. Dies folgt aus Satz 1, Satz 2 und Satz 4.

5 · 4 2 = 5 · 16 = 80. Dies folgt aus Satz 5 und Satz 2.

Die Grenzwerte von Zähler und Nenner folgen aus Satz 1, 2 und 4. Der Grenzwert des Bruches folgt aus Satz 3.

Der Schüler könnte denken, dass wir zum Bewerten eines Grenzwerts, wenn x sich einem Wert nähert, nur die Funktion bei diesem Wert auswerten. Und das stimmt größtenteils. Eine der wichtigsten Funktionsklassen, für die das gilt, sind die Polynome. (Thema 6 von Precalculus.) Ein Polynom in x hat diese allgemeine Form:

Um den Grenzwert eines Polynoms zu benennen, wenn x sich einem beliebigen Wert c nähert, wertet man daher gemäß den Grenzwertsätzen einfach das Polynom bei diesem Wert aus.

Wenn P ( x ) ein Polynom ist, dann

(Im folgenden Thema werden wir sehen, dass dies äquivalent zu der Aussage ist, dass Polynome stetige Funktionen sind.)

Es ist wichtig, noch einmal zu sagen, dass, wenn wir schreiben

die Variable x ist nie gleich c, und deshalb ist P(x) niemals gleich P(c) Sowohl c als auch P(c) werden als Grenzwerte angefahren. Der Punkt ist, dass wir den Grenzwert einfach benennen können, indem wir die Funktion bei c auswerten.

In diesem Polynom sei x = &minus1:

Beim Ersetzen von x durch c ist c + c = 2 c .

[Hint: This is a polynomial in t .]

[Hint: This is a polynomial in h .]

On replacing h with 0, the limit is 4 x 3 .

Some of the most important limits, however, will not be polynomials. They will be limits of certain quotients -- and they will appear to be !

Dealing with that will be the challenge.

Example 2. Consider the function g ( x ) = x + 2, whose graph is a simple straight line. And just to be perverse (and to illustrate a logical point to which we shall return in Lesson 3), let the following function f ( x ) not be defined for x = 2. That is, let

In other words, the point (2, 4) does not belong to the function it is not on the graph.

Yet the limit as x approaches 2 -- whether from the left or from the right -- is 4

For, every sequence of values of x that approaches 2, can come as close to 2 as we please. (The limit of a variable is never a member of the sequence, in any case Definition 2.1.) Hence the corresponding values of f ( x ) will come closer and closer to 4. Definition 2.2 will be satisfied.

Definition . Name any positive number &delta , however small. We say that

a variable x varies continuously at the point x = a , if there are values of x within &delta units of a .

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