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11.2E: Übungen für Vektoren im Raum


1) Betrachten Sie eine rechteckige Box mit einem der Eckpunkte im Ursprung, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Wenn Punkt (A(2,3,5)) der dem Ursprung entgegengesetzte Scheitelpunkt ist, dann finde

ein. die Koordinaten der anderen sechs Eckpunkte der Box und

b. die Länge der Diagonalen der Box, die durch die Ecken (O) und (A) bestimmt wird.

Antworten:
ein. ((2,0,5),(2,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,3,5),(0,0,5) ) b. (sqrt{38})

2) Finden Sie die Koordinaten des Punktes (P) und bestimmen Sie seinen Abstand zum Ursprung.

Beschreiben und zeichnen Sie für die Übungen 3-6 den Satz von Punkten, der die gegebene Gleichung erfüllt.

3) ((y−5)(z−6)=0)

Antworten:
Eine Vereinigung zweier Ebenen: (y=5) (eine Ebene parallel zur (xz)-Ebene) und (z=6) (eine Ebene parallel zur (xy)-Ebene)

4) ((z−2)(z−5)=0)

5) ((y−1)^2+(z−1)^2=1)

Antworten:
Ein Zylinder mit Radius (1) zentriert auf der Geraden (y=1,z=1)

6) ((x−2)^2+(z−5)^2=4)

7) Schreiben Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((1,1,1)) verläuft, der parallel zur (xy)-Ebene ist.

Antworten:
(z=1)

8) Schreiben Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((1,−3,2)) parallel zur (xz)-Ebene verläuft.

9) Finden Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte ((1,−3,−2), (0,3,−2),) und ((1,0,−2).)

Antworten:
(z=−2)

10) Finden Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte ((1,9,2), (1,3,6),) und ((1,−7,8).)

Finden Sie für die Aufgaben 11-14 die Kugelgleichung in Standardform, die die gegebenen Bedingungen erfüllt.

11) Mittelpunkt (C(−1,7,4)) und Radius (4)

Antworten:
((x+1)^2+(y−7)^2+(z−4)^2=16)

12) Mittelpunkt (C(−4,7,2)) und Radius (6)

13) Durchmesser (PQ,) wobei (P(−1,5,7)) und (Q(−5,2,9))

Antworten:
(x+3)^2+(y−3.5)^2+(z−8)^2=dfrac{29}{4})

14) Durchmesser (PQ,) wobei (P(−16,−3,9)) und (Q(−2,3,5))

Bestimmen Sie für die Aufgaben 15 und 16 den Mittelpunkt und den Radius der Kugel mit einer gegebenen Gleichung in allgemeiner Form.

15) ( x^2+y^2+z^2−4z+3=0)

Antworten:
Mittelpunkt (C(0,0,2)) und Radius (1)

16) (x^2+y^2+z^2−6x+8y−10z+25=0)

Für die Übungen 17-20, Express-Vektor ( vecd{PQ} ) mit dem Anfangspunkt bei (P) und dem Endpunkt bei (Q)

(a.) in Komponentenform und

(b.) unter Verwendung von Standardeinheitsvektoren.

17) (P(3,0,2)) und (Q(−1,−1,4))

Antworten:
(a. vecd{PQ}=⟨−4,−1,2⟩)
(b.vecd{PQ}=−4hat{mathbf i}−hat{mathbf j}+2hat{mathbf k})

18) (P(0,10,5)) und (Q(1,1,−3))

19) (P(−2,5,−8)) und (M(1,−7,4)), wobei (M) der Mittelpunkt des Liniensegments (overline{PQ })

Antworten:
(a.vecd{PQ}=⟨6,−24,24⟩)
(b.vecd{PQ}=6hat{mathbf i}−24hat{mathbf j}+24hat{mathbf k})

20) (Q(0,7,−6)) und (M(−1,3,2)), wobei (M) der Mittelpunkt des Liniensegments (overline{PQ} ist )

21) Finden Sie den Endpunkt (Q) des Vektors (vecd{PQ}=⟨7,−1,3⟩) mit dem Anfangspunkt bei (P(−2,3,5).)

Antworten:
(Q(5,2,8))

22) Finden Sie den Anfangspunkt (P) des Vektors (vecd{PQ}=⟨−9,1,2⟩) mit dem Endpunkt bei (Q(10,0,−1).)

Verwenden Sie für die Aufgaben 23-26 die gegebenen Vektoren (vecs a) und (vecs b), um die Vektoren (vecs a+vecs b, ,4vecs a) zu finden und auszudrücken (−5vecs a+3vecs b) in Komponentenform.

23) (quad vecs a=⟨−1,−2,4⟩,quad vecs b=⟨−5,6,−7⟩)

Antworten:
(vecs a+vecs b=⟨−6,4,−3⟩, 4vecs a=⟨−4,−8,16⟩, −5vecs a+3vecs b=⟨−10,28 ,−41⟩)

24) (quad vecs a=⟨3,−2,4⟩,quad vecs b=⟨−5,6,−9⟩)

25) (quadvecs a=−hat{mathbf k},quadvecs b=−hat{mathbf i})

Antworten:
(vecs a+vecs b=⟨−1,0,−1⟩, 4vecs a=⟨0,0,−4⟩, −5vecs a+3vecs b=⟨−3,0, 5⟩)

26) (quadvecs a=hat{mathbf i}+hat{mathbf j}+hat{mathbf k},quadvecs b=2hat{mathbf i}−3 hat{mathbfj}+2hat{mathbfk})

Für die Aufgaben 27-30 werden die Vektoren (vecs u) und (vecs v) angegeben. Bestimme die Beträge der Vektoren (vecs u−vecs v) und (−2vecs u).

27) (quadvecs u=2hat{mathbf i}+3hat{mathbf j}+4hat{mathbf k}, quadvecs v=−hat{mathbf i }+5hat{mathbfj}−hat{mathbfk})

Antworten:
(|vecs u−vecs v|=sqrt{38}, quad|−2vecs u|=2sqrt{29})

28) (quadvecs u=hat{mathbf i}+hat{mathbf j}, quadvecs v=hat{mathbf j}−hat{mathbf k})

29) (quad vecs u=⟨2cos t,−2sin t,3⟩, quadvecs v=⟨0,0,3⟩,quad) wobei (t) ist eine reelle Zahl.

Antworten:
(|vecs u−vecs v|=2, quad|−2vecs u|=2sqrt{13})

30) (quad vecs u=⟨0,1,sinh t⟩, quad vecs v=⟨1,1,0⟩,quad) wobei (t) eine reelle Zahl ist.

Finden Sie für die Aufgaben 31-36 den Einheitsvektor in Richtung des gegebenen Vektors ( vecs a) und drücken Sie ihn mit Standard-Einheitsvektoren aus.

31) (quadvecs a=3hat{mathbf i}−4hat{mathbf j})

Antworten:
(frac{3}{5}hat{mathbf i}−frac{4}{5}hat{mathbf j})

32) (quad vecs a=⟨4,−3,6⟩)

33) (quadvecs a=vecd{PQ}), wobei ( P(−2,3,1)) und (Q(0,−4,4))

Antworten:
(frac{sqrt{62}}{31}hat{mathbf i}−frac{7sqrt{62}}{62}hat{mathbf j}+frac{3sqrt{ 62}}{62}hat{mathbfk})

34) (quadvecs a=vecd{OP},) wobei (P(−1,−1,1))

35) (quadvecs a=vecs u−vecs v+vecs w,) wobei (vecs u=hat{mathbf i}−hat{mathbf j}−hat{ mathbf k},quadvecs v=2hat{mathbf i}−hat{mathbf j}+hat{mathbf k},quad) und (vecs w=−hat{ mathbf i}+hat{mathbf j}+3hat{mathbf k})

Antworten:
(−frac{sqrt{6}}{3}hat{mathbf i}+frac{sqrt{6}}{6}hat{mathbf j}+frac{sqrt{6 }}{6}hat{mathbfk})

36) (quadvecs a=2vecs u+vecs v−vecs w,quad) wobei (vecs u=hat{mathbf i}−hat{mathbf k}, quad vecs v=2hat{mathbf j} quad), und (vecs w=hat{mathbf i}−hat{mathbf j})

37) Bestimmen Sie, ob (vecd{AB}) und (vecd{PQ}) äquivalente Vektoren sind, wobei (A(1,1,1),,B(3,3,3), ,P(1,4,5),) und (Q(3,6,7).)

Antworten:
Äquivalente Vektoren

38) Bestimmen Sie, ob die Vektoren (vecd{AB}) und (vecd{PQ}) äquivalent sind, wobei ( A(1,4,1),, B(−2,2,0 ),, P(2,5,7),) und ( Q(−3,2,1)).

Bestimmen Sie für die Aufgaben 39-42 den Vektor ( vecs u) mit einem Betrag, der gegeben ist und die gegebenen Bedingungen erfüllt.

39) (quadvecs v=⟨7,−1,3⟩, , ‖vecs u‖=10), und (vecs u) und (vecs v) haben dasselbe Richtung

Antworten:
(vecs u=⟨frac{70sqrt{59}}{59},−frac{10sqrt{59}}{59},frac{30sqrt{59}}{59}⟩ )

40) (quadvecs v=⟨2,4,1⟩,, ‖vecs u‖=15), und (vecs u) und (vecs v) haben die gleiche Richtung

41) (quadvecs v=⟨2sin t,, 2cos t,1⟩, ‖vecs u‖=2,vecs u) und (vecs v) haben entgegengesetzte Richtungen für jedes (t), wobei (t) eine reelle Zahl ist

Antworten:
(vecs u=⟨−frac{4sqrt{5}}{5}sin t,−frac{4sqrt{5}}{5}cos t,−frac{2sqrt {5}}{5}⟩)

42) (quadvecs v=⟨3sinh t,0,3⟩,, ‖vecs u‖=5), und (vecs u) und (vecs v) haben entgegengesetzte Richtungen für jedes (t), wobei (t) eine reelle Zahl ist

43) Bestimmen Sie einen Vektor der Größe (5) in Richtung des Vektors (vecd{AB}), wobei (A(2,1,5)) und (B(3,4,− 7).)

Antworten:
(⟨frac{5sqrt{154}}{154},frac{15sqrt{154}}{154},−frac{30sqrt{154}}{77}⟩)

44) Finden Sie einen Vektor der Größe (2), der in die entgegengesetzte Richtung zeigt als der Vektor (vecd{AB}), wobei (A(−1,−1,1)) und (B( 0,1,1).) Drücken Sie die Antwort in Komponentenform aus.

45) Betrachten Sie die Punkte (A(2,α,0), , B(0,1,β),) und (C(1,1,β)), wobei (α) und (β) sind negative reelle Zahlen. Finden Sie (α) und (β) mit (|vecd{OA}−vecd{OB}+vecd{OC}|=|vecd{OB}|=4. )

Antworten:
(α=−sqrt{7}, ,β=−sqrt{15})

46) Betrachten Sie die Punkte (A(α,0,0),,B(0,β,0),) und (C(α,β,β),) wobei (α) und (β) sind positive reelle Zahlen. Finden Sie (α) und (β) mit (|overline{OA}+overline{OB}|=sqrt{2}) und (|overline{OC} |=sqrt{3}).

47) Sei (P(x,y,z)) ein Punkt im gleichen Abstand von den Punkten (A(1,−1,0)) und (B(−1,2,1) ). Zeigen Sie, dass der Punkt (P) auf der Ebene der Gleichung (−2x+3y+z=2.) liegt

48) Sei (P(x,y,z)) ein Punkt, der im gleichen Abstand vom Ursprung und vom Punkt (A(4,1,2)) liegt. Zeigen Sie, dass die Koordinaten des Punktes P die Gleichung (8x+2y+4z=21.) erfüllen

49) Die Punkte (A,B,) und (C) sind kollinear (in dieser Reihenfolge), wenn die Beziehung ({|vecd{AB}|+|vecd{BC}| =|vecd{AC}|}) ist erfüllt. Zeigen Sie, dass (A(5,3,−1),, B(−5,−3,1),) und (C(−15,−9,3)) kollineare Punkte sind.

50) Zeigen Sie, dass die Punkte (A(1,0,1), , B(0,1,1),) und (C(1,1,1)) nicht kollinear sind.

51) [T] Eine Kraft (vecs F) von (50,N) wirkt auf ein Teilchen in Richtung des Vektors (vecd{OP}), wobei (P(3, 4,0).)

ein. Drücken Sie die Kraft als Vektor in Komponentenform aus.

b. Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Kraft (vecs F) und der positiven Richtung der (x)-Achse. Drücken Sie die Antwort in Grad auf die nächste ganze Zahl gerundet aus.

Antworten:
(a. vecs F=⟨30,40,0⟩; quad b. 53°)

52) [T] Eine Kraft (vecs F) von (40,N) wirkt auf einen Kasten in Richtung des Vektors (vecd{OP}), wobei (P(1, 0,2).)

ein. Drücken Sie die Kraft als Vektor aus, indem Sie Standardeinheitsvektoren verwenden.

b. Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Kraft (vecs F) und der positiven Richtung der (x)-Achse.

53) Wenn (vecs F) eine Kraft ist, die ein Objekt von Punkt (P_1(x_1,y_1,z_1)) zu einem anderen Punkt (P_2(x_2,y_2,z_2)) bewegt, dann ist die Verschiebung Vektor ist definiert als (D=(x_2−x_1)hat{mathbf i}+(y_2−y_1)hat{mathbf j}+(z_2−z_1)hat{mathbf k}). Ein Metallbehälter wird (10) m senkrecht durch eine konstante Kraft (vecs F) angehoben. Drücken Sie den Verschiebungsvektor (D) aus, indem Sie Standardeinheitsvektoren verwenden.

Antworten:
(vecs D=10hat{mathbfk})

54) Ein Kasten wird durch eine konstante Kraft (vecs F) (4) yd horizontal in (x)-Richtung gezogen. Finden Sie den Verschiebungsvektor in Komponentenform.

55) Die Summe der auf ein Objekt wirkenden Kräfte wird als Resultierende oder Nettokraft bezeichnet. Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft der auf ihn einwirkenden Kräfte null ist. Seien (vecs F_1=⟨10,6,3⟩, vecs F_2=⟨0,4,9⟩) und (vecs F_3=⟨10,−3,−9⟩) drei Kräfte auf einer Kiste wirken. Bestimmen Sie die Kraft (vecs F_4), die auf die Box einwirkt, sodass die Box im statischen Gleichgewicht ist. Drücken Sie die Antwort in Komponentenform aus.

Antworten:
(vecs F_4=⟨−20,−7,−3⟩)

56) [T] Seien (vecs F_k=⟨1,k,k^2⟩, k=1,...,n) (n) Kräfte, die auf ein Teilchen wirken, mit (n≥ 2.)

ein. Finden Sie die Nettokraft (vecs F=sum_{k=1}^nvecs F_k.) Drücken Sie die Antwort mit Standardeinheitsvektoren aus.

b. Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem (CAS), um (n) zu finden, so dass (|vecs F|<100.)

57) Die auf ein Objekt wirkende Schwerkraft ( vecs F) ist gegeben durch ( vecs F=mvecs g), wobei (m) die Masse des Objekts (ausgedrückt in Kilogramm) ist. und (vecs g) ist die Beschleunigung durch die Schwerkraft, mit ( |vecs g|=9,8 ,N/kg.) Eine 2 kg schwere Discokugel hängt an einer Kette von der Decke eines Raumes .

ein. Bestimmen Sie die auf die Discokugel wirkende Schwerkraft (vecs F) und bestimmen Sie ihre Größe.

b. Bestimmen Sie die Zugkraft (vecs T) in der Kette und ihren Betrag.

Drücken Sie die Antworten mit Standard-Einheitsvektoren aus.

Antworten:
(a.vecs F=−19.6hat{mathbfk}, quad|vecs F|=19.6,N)
(b.vecs T=19.6hat{mathbfk}, quad|vecs T|=19.6,N)

58) Ein 5-kg-Pendelleuchter ist so konstruiert, dass die Alabasterschale von vier gleich langen Ketten gehalten wird, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

ein. Bestimmen Sie die Größe der Schwerkraft, die auf den Kronleuchter einwirkt.

b. Bestimmen Sie die Größe der Zugkräfte für jede der vier Ketten (angenommen, die Ketten sind im Wesentlichen vertikal).

59) [T] Ein 30-kg-Zementblock wird an drei gleichlangen Seilen aufgehängt, die an den Punkten (P(−2,0,0), Q(1,sqrt{3},0) verankert sind, ) und (R(1,−sqrt{3},0)). Die Last befindet sich bei (S(0,0,−2sqrt{3})), wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Seien (vecs F_1, vecs F_2) und (vecs F_3) die Zugkräfte, die sich aus der Last in den Seilen (RS,QS,) bzw. (PS,) ergeben.

ein. Bestimmen Sie die auf den Zementblock wirkende Gravitationskraft (vecs F), die die Summe (vecs F_1+vecs F_2+vecs F_3) der Zugkräfte in den Kabeln ausgleicht.

b. Finden Sie die Kräfte (vecs F_1, vecs F_2,) und (vecs F_3). Drücken Sie die Antwort in Komponentenform aus.

Antworten:
ein. (vecs F=−294hat{mathbfk}) N;
b. (vecs F_1=⟨−frac{49sqrt{3}}{3},49,−98⟩, vecs F_2=⟨−frac{49sqrt{3}}{3},−49 ,−98⟩) und (vecs F_3=⟨frac{98sqrt{3}}{3},0,−98⟩) (jede Komponente wird in Newton ausgedrückt)

60) Zwei Fußballspieler üben für ein bevorstehendes Spiel. Eine von ihnen läuft 10 m von Punkt A nach Punkt B. Sie dreht dann bei (90°) nach links und läuft 10 m bis sie Punkt C erreicht. Dann kickt sie den Ball mit einer Geschwindigkeit von 10 m/sek nach oben Winkel von (45°) zu ihrer Mitspielerin, die sich im Punkt A befindet. Schreiben Sie die Geschwindigkeit des Balls in Komponentenform.

61) Sei (vecs r(t)=⟨x(t),, y(t), , z(t)⟩) der Ortsvektor eines Teilchens zum Zeitpunkt (t∈[0 ,T]), wobei (x,y,) und (z) glatte Funktionen auf ([0,T]) sind. Die momentane Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt (t) ist definiert durch den Vektor (vecs v(t)=⟨x'(t), , y'(t), , z'(t)⟩ ), mit Komponenten, die die Ableitungen nach (t) der Funktionen (x, y) bzw. (z) sind. Den Betrag (∥vecs v(t)∥) des momentanen Geschwindigkeitsvektors nennt man die Geschwindigkeit des Teilchens zum Zeitpunkt (t). Vektor (vecs a(t)=⟨x''(t), , y''(t), , z''(t)⟩), mit Komponenten, die die zweiten Ableitungen nach sind (t) der Funktionen (x,y,) bzw. (z) gibt die Beschleunigung des Teilchens zum Zeitpunkt (t) an. Betrachten Sie (vecs r(t)=⟨cos t,, sin t, , 2t⟩) den Ortsvektor eines Teilchens zur Zeit (t∈[0,30],), wobei die Komponenten von (vecs r) werden in Zentimetern und die Zeit in Sekunden ausgedrückt.

ein. Finden Sie die momentane Geschwindigkeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Teilchens nach der ersten Sekunde. Runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen.

b. Verwenden Sie ein CAS, um den Weg des Teilchens zu visualisieren, dh die Menge aller Koordinatenpunkte ((cos t,sin t,2t),) wobei (t∈[0,30].)

Antworten:
(a. vecs v(1)=⟨−0.84,0.54,2⟩) (jede Komponente wird in Zentimeter pro Sekunde ausgedrückt); (∥vecs v(1)∥=2,24) (ausgedrückt in Zentimeter pro Sekunde); (vecs a(1)=⟨−0.54,−0.84,0⟩) (jede Komponente wird in Zentimeter pro Quadratsekunde ausgedrückt);

(b.)

62) [T] Sei (vecs r(t)=⟨t,2t^2,4t^2⟩) der Ortsvektor eines Teilchens zur Zeit (t) (in Sekunden), wobei ( t∈[0,10]) (hier werden die Komponenten von (vecs r) in Zentimetern ausgedrückt).

ein. Bestimmen Sie die momentane Geschwindigkeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Teilchens nach den ersten zwei Sekunden. Verwenden Sie einen CAS, um den Weg des Teilchens zu visualisieren, der durch die Punkte ((t, , 2t^2, , 4t^2),) definiert ist, wobei (t∈[0, , 60].)

Mitwirkende

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Vektoren im Weltraum: wie man grafisch darstellt, Anwendungen, Übungen

EIN Vektor im Raum wird jeder durch ein Koordinatensystem dargestellt, das durch . gegeben ist x, Ja Ja z. Fast immer das Flugzeug xy ist die Ebene der horizontalen Fläche und die Achse z steht für Höhe (oder Tiefe).

Die in Abbildung 1 gezeigten kartesischen Koordinatenachsen teilen den Raum in 8 Bereiche mit der Bezeichnung Oktanten, analog wie Achsen xJa Teilen Sie die Ebene in 4 Quadranten. Wir haben dann 1. Oktant, 2. Oktant und so weiter.

Abbildung 1 enthält eine Darstellung eines Vektors v Im Weltall. Eine gewisse Perspektive ist erforderlich, um die Illusion von drei Dimensionen auf der Ebene des Bildschirms zu erzeugen, die durch eine schräge Ansicht erreicht wird.

Um einen 3D-Vektor darzustellen, muss man die gepunkteten Linien verwenden, die die Koordinaten der Projektion oder des "Schattens" auf dem Gitter bestimmen. v Über der Oberfläche x-y. Diese Projektion beginnt bei O und endet am grünen Punkt.

Dort angekommen, müssen Sie entlang der Vertikalen bis zur erforderlichen Höhe (oder Tiefe) gemäß dem Wert von . fortfahren z, bis P erreicht wird. Der Vektor wird von O ausgehend gezeichnet und endet bei P, das im Beispiel im 1. Oktanten steht.


Netzgespeiste Drehstromspannung

Eine netzgespeiste Dreiphasenspannung sieht wie in der folgenden Animation aus. Das erlebt eine Induktionsmaschine, wenn sie direkt an das Netz angeschlossen ist.

Das dreiphasige System wird anhand von zwei verschiedenen, aber gleichen Formen veranschaulicht:

Ein Vektordiagramm, das alle drei Phasen und ihre Vektorsumme (Raumvektor).

Eine gewöhnliche momentane Sinuswellendarstellung, die auch den resultierenden Raumvektor zeigt.

Ein gewöhnliches Dreiphasensystem, hier sowohl in Vektorform als auch in Sinusform dargestellt. Der schwarze Vektor ist der resultierende Raumvektor, eine Vektorsumme, die durch Addieren der drei Vektoren erhalten wird. Wie man sieht, ist die Größe des Raumzeigers immer konstant.


Vektoren konstruieren

Vektoren in zwei Dimensionen haben einen Typ wie V2 n , wobei n ein numerischer Typ von Skalarwerten ist (oft Double ). (Man kann auch mit anderen Vektorräumen mit beliebig vielen Dimensionen arbeiten. In diesem Tutorial bleiben wir beim 2D-Fall.)

Das erste, was Sie lernen müssen, ist, wie man erstellen Werte vom Typ V2 n . Es gibt viele Möglichkeiten:

Null ist der Nullvektor, dh der Vektor mit der Größe Null (und keiner oder vielleicht jeder Richtung). zero ist für sich allein selten sinnvoll, kann aber nützlich sein z.B. als Argument für eine Funktion, die eine Vektoreingabe erwartet.

unitX und unitY sind die Vektoren der Länge eins in den positiven (x)- bzw. (y)-Richtungen. Um einen Längen-(l)-Vektor zu erzeugen, können Sie eine Skalierung auf unitX oder unitY anwenden, wie unitX # scale 3 oder 3 *^ unitX (siehe Vektoroperationen).

Auch unit_X und unit_Y sind wie unitX und unitY, zeigen aber in die entsprechenden negativen Richtungen.

Um einen Vektor mit gegebenen (x)- und (y)-Komponenten zu erzeugen, können Sie die Funktion r2 :: (n, n) -> V2 n verwenden:

Wie Sie sehen, ist r2 besonders nützlich, wenn Sie bereits Paare haben, die Vektorkomponenten darstellen (was nicht ungewöhnlich ist, wenn die Komponenten aus einer anderen Datenquelle stammen).

Sie können auch den Datenkonstruktor V2 verwenden:

Sie können auch ( ^& ) verwenden, um Vektorliterale wie folgt zu erstellen:

Dies kann für eine bequeme und angenehme Notation sorgen. Es hat jedoch einige Nachteile, nämlich:

( ^& ) ist extrem allgemein, daher ist sein Typ nicht hilfreich.

Im Zusammenhang mit dem Obigen müssen literale Vektorausdrücke wie 1 ^& 2 in einem Kontext verwendet werden, in dem der Typ abgeleitet werden kann (oder eine Typanmerkung muss hinzugefügt werden). Dies liegt daran (wie wir später sehen werden) ( ^& ) kann auch verwendet werden, um Punkte sowie höherdimensionale Vektoren zu konstruieren.

Nur Sie können entscheiden, ob sich die Kompromisse in einer bestimmten Situation lohnen.

Mit der Funktion fromDirection können Sie Vektoren aus Direction s konstruieren. fromDirection nimmt eine Richtung und konstruiert eine Einheit (d.h. Betrag 1) Vektor, der in die angegebene Richtung zeigt.

Eine letzte Möglichkeit, Vektoren zu konstruieren, ist die Verwendung der Funktion e. Per Definition ist e a == unitX # rotiere a , aber manchmal kann der Aufruf von e bequemer sein. Der Name e ist eine Art Wortspiel: So wie man eine komplexe Zahl mit Betrag (r) und Winkel ( heta) als (r e^), kann ein Vektor mit gegebener Größe und Richtung als r *^ e theta konstruiert werden. (Beachten Sie, dass e nicht aus Diagrams.Prelude exportiert wird, wenn Sie es verwenden möchten, müssen Sie es aus Diagrams.TwoD.Vector importieren.)

Konstruieren Sie jedes der folgenden Bilder.

Die Kreise haben den Radius 1 und sind in Form eines Radius-5-Halbkreises angeordnet.

30 Speichen mit den Längen 1, 2 und 3.


Aufgabe 3.12 Ableitungen von Killing-Vektoren

Frage

Antworten

Wilhelm Karl Joseph Tötung 1847-1923
Der Text gibt einige Hinweise, wie man von (1) nach (2) kommt. Was wir über Killing-Vektoren wissen, ist, dass sie die Killing-Gleichung erfüllen
Start
abla_<(mu>K_< u)>equivfrac<1><2>left( abla_mu K_ u+ abla_ u K_mu ight)=0&phantom <10000> (3)keineZahl
Rightarrow abla_mu K_ u=- abla_ u K_mu&phantom <10000>(4) onumber
Ende## abla_mu K_ u## ist antisymmetrisch.

Die Killing-Vektoren in (1) und (2) sind in kontravarianter Form angegeben.
Der Riemann-Tensor ist in seinen letzten beiden Indizes wie (7) antisymmetrisch* und hat andere interessante Symmetrien, die nicht alle unabhängig sind, z. (6) kommt Form (7) und (8):
Start
&R_< hosigmamu u>=g_< au ho>R_< sigma umu>^ au&phantom <10000>(5) onumber
Text

Wie ich mit viel Mühe herausgefunden habe, ist es auch wichtig, sich an die Definition des Riemannschen Tensors zu erinnern, wenn die Verbindung torsionsfrei ist. Es misst den Unterschied zwischen kovarianten Ableitungen eines Vektors, die in zwei entgegengesetzte Richtungen um einen Pfad gehen (Carroll 3.112)
Start
left[ abla_ ho, abla_sigma ight]X^mu=R_< usigma ho>^mu X^ u&phantom <10000>(16) onumber
EndeDiese Gleichung ist (1) ziemlich ähnlich und dann gibt es noch (4).

Der zweite Teil ist sehr einfach, wenn Sie sich daran erinnern, dass es immer möglich ist, ein Koordinatensystem zu finden, in dem es sich um einen der Basisvektoren handelt, wenn ein Killing-Vektor existiert und die Metrik unabhängig von der Koordinate für diesen Basisvektor ist. Carroll gab dies nach der Killing-Gleichung mit 3,174 an.

Ich konnte die Fragen nicht beantworten, wurde aber von einer Lösung geleitet, über die ich bei Semantic Scholar von Professor Alan Guth gestolpert bin.


11.2E: Übungen für Vektoren im Raum

Finden von Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren im Raum In den Aufgaben 11-20 beschreibt der Ortsvektor r die Bahn oder ein sich im Raum bewegendes Objekt.

(a) Art der Geschwindigkeitsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor des Objekts.

(b) Bewerten Sie den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor des Objekts bei dem gegebenen Wert von t.

Positionsvektorzeit

Finden von Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren im Raum In den Aufgaben 11-20 beschreibt der Ortsvektor r die Bahn oder ein sich im Raum bewegendes Objekt.

(a) Art der Geschwindigkeitsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor des Objekts.

(b) Bewerten Sie den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor des Objekts bei dem gegebenen Wert von t.

Positionsvektorzeit

Finden von Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren im Raum In den Aufgaben 11-20 beschreibt der Ortsvektor r die Bahn oder ein sich im Raum bewegendes Objekt.

(a) Art der Geschwindigkeitsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor des Objekts.

(b) Bewerten Sie den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor des Objekts bei dem gegebenen Wert von t.


Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist nur für 3D-Vektoren von Bedeutung. Es nimmt zwei 3D-Vektoren als Eingabe und gibt als Ergebnis einen weiteren 3D-Vektor zurück.

Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den beiden Eingabevektoren. Sie können die „Linke-Hand-Regel“ verwenden, um sich die Richtung des Ausgabevektors aus der Reihenfolge der Eingabevektoren zu merken. Wird der erste Parameter dem Daumen der Hand und der zweite Parameter dem Zeigefinger zugeordnet, zeigt das Ergebnis in Richtung des Mittelfingers. Wenn die Reihenfolge der Parameter umgekehrt wird, zeigt der resultierende Vektor in die genau entgegengesetzte Richtung, hat aber die gleiche Größe.

Die Größe des Ergebnisses ist gleich den Größen der Eingangsvektoren multipliziert und dann dieser Wert multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Einige nützliche Werte der Sinusfunktion sind unten aufgeführt:-

Das Kreuzprodukt kann kompliziert erscheinen, da es mehrere nützliche Informationen in seinem Rückgabewert kombiniert. Wie das Punktprodukt ist es jedoch mathematisch sehr effizient und kann verwendet werden, um Code zu optimieren, der sonst von langsameren transzendenten Funktionen wie Sinus und Cosinus abhängen würde.


5 Antworten 5

Zwei Mengen können denselben Unterraum überspannen, auch wenn eine davon abhängig ist und die andere nicht.

Um solche Probleme zu lösen, können Sie zum Beispiel versuchen zu sehen, ob jedes Element von $S_2$ eine Linearkombination von Elementen aus $S_1$ ist und umgekehrt. Wenn dies der Fall ist, erstrecken sich die Sätze über denselben Raum.

Zwei Sätze von Vektoren im selben Vektorraum, $S_1$ und $S_2$, überspannen denselben Unterraum genau dann, wenn:

  • Jeder Vektor in $S_1$ kann als Linearkombination der Vektoren in $S_2$ geschrieben werden und
  • Jeder Vektor in $S_2$ kann als Linearkombination der Vektoren in $S_1$ geschrieben werden.

Es kann Möglichkeiten geben, schlussfolgern diese Eigenschaften, ohne sie tatsächlich direkt anzuzeigen (wie Dimensionsargumente wie von user6312 vorgeschlagen), aber es endet wirklich damit, dass dies angezeigt wird oder dass dies nicht gelten kann.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen nicht intrinsisch: es reicht fast nie aus, nur $S_1$ zu betrachten, ohne an $S_2$ zu denken, und dann $S_2$ zu betrachten, ohne $S_1$ zu betrachten. Dies reicht nur in sehr extremen Fällen aus (wenn Sie beweisen können, dass die "Größen" der Spannweiten stimmen nicht überein, ein Dimensionsargument), dass sich dies als ausreichend erweisen kann.

Es reicht also in diesem Fall nicht aus, herauszufinden, ob die Mengen linear abhängig oder unabhängig sind.

Also: sind $(-2,-6,0)$ und $(1,1,-2)$ jeweils Linearkombinationen von $(1,2,-1)$, $(0,1,1)$, und $(2,5,-1)$? Ja: Sie können versuchen, die beiden linearen Gleichungssysteme zu lösen: $egin alpha_1 left(egin12-1ende ight) + eta_1left(egin011Ende ight) + gamma_1left(egin25-1ende ight) &= left(egin-2-6ende ight) alpha_2 left(egin12-1ende ight) + eta_2left(egin011Ende ight) + gamma_2left(egin25-1ende ight) &= left(egin11-2ende echts) end$ und sehen Sie, ob sie jeweils Lösungen haben. (Es kann sogar beides gleichzeitig gemacht werden, indem man die Zeilenreduktion auf $left(egin 1 & 0 & 2 & -2 & 1 2 & 1 & 5 & -6 & 1 -1 & 1 & -1 & 0 & -2 end ight).$ Wenn eines der Systeme keine Lösungen hat, dann wissen Sie, dass nicht jeder Vektor in $S_2$ in der Spanne von $S_1$ liegt und Sie sind fertig, wenn beide Systeme Lösungen haben, dann ist jeder Vektor in $S_2$ in die Spanne von $S_1$, also $mathrm(S_2)subseteqmathrm(S_1)$.

Dann müssen Sie sehen, ob die umgekehrte Inklusion gilt: Ist jeder Vektor in $S_1$ eine Linearkombination der Vektoren in $S_2$? Das heißt, können wir die drei linearen Gleichungssysteme lösen? $egin ho_1left(egin-2-6ende ight) + sigma_1 left(egin11-2ende ight) &= left(egin12-1ende ight) ho_2left(egin-2-6ende ight) + sigma_2 left(egin11-2ende ight) &= left(egin011Ende ight) ho_3left(egin-2-6ende ight) + sigma_3 left(egin11-2ende ight) &= left(egin25-1ende echts) end$ Wenn wir alle lösen können, liegt jeder Vektor in $S_1$ in der Spanne von $S_2$, also $mathrm(S_1)subseteq mathrm(S_2)$ zusammen mit der vorherigen Inklusion würde dies zeigen, dass die Spannen gleich sind. Wenn eine Gleichung nicht gelöst werden kann, liegt nicht jeder Vektor in $S_1$ in der Spanne von $S_2$, also sind die Spannen unterschiedlich.

(Eines können Sie aus Ihren Bemühungen retten: Da Sie bewiesen haben, dass die Menge $S_1$ linear abhängig ist, können Sie daraus eine linear unabhängige Menge extrahieren (in diesem Fall zum Beispiel die ersten beiden Vektoren), und Ersetzen Sie $S_1$ durch diese Menge von zwei Vektoren (da der dritte Vektor eine Linearkombination der ersten beiden ist). Das bedeutet, dass Sie überprüfen müssen, ob "jeder Vektor in $S_1$ eine Linearkombination der Vektoren in $S_2$ ist" und zu überprüfen, dass "jeder Vektor in $S_2$ eine Linearkombination der Vektoren in $S_1$ ist" wird einfacher: Anstatt fünf Dinge zu überprüfen, müssen Sie nur vier überprüfen.)

Für diese Art von Problem scheint das Auffinden der reduzierten Zeilenstufenform (rref) eine ziemlich einfache Methode zu sein.

Für die Menge $S_1$ bilden Sie die Matrix $ egin 1 & 2 &-1 0 & 1 & 1 2 & 5 &-1 endsim egin 1 & 2 &-1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 endsim egin 1 & 2 &-1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 endsim egin 1 & 0 &-3 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & $ Für die Menge $S_2$ bilden Sie die Matrix $ egin -2 &-6 & 0 1 & 1 &-2 endsim egin 1 & 3 & 0 1 & 1 &-2 endsim egin 1 & 3 & 0 0 &-2 &-2 endsim egin 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 endsim egin 1 & 0 &-3 0 & 1 & 1 end $

Da wir wissen, dass elementare Zeilenoperationen den Zeilenraum nicht ändern, sehen wir, dass $ ewcommand>span(S_1) = span <(1,0,-3),(0,1,1)>= span(S_2).$

Diese Methode funktioniert im Allgemeinen. Wenn die Nicht-Null-Zeilen in den rrefs unterschiedlich sind, bedeutet dies $span(S_1) e span(S_2)$.

Um dies klarer zu formulieren, wissen wir:

  • Die Matrizen $A$ und $B$ sind zeilenäquivalent.
  • Die Matrizen $A$ und $B$ haben den gleichen Zeilenabstand.
  • Die Matrizen $A$ und $B$ haben dieselbe reduzierte Zeilenstufenform.

Die Anfänge Ihrer Strategie waren sehr vernünftig. Wenn Hat sich herausgestellt, dass die Sammlung $S_1$ linear unabhängig ist, dann hätte man gewusst, dass der von $S_1$ aufgespannte Raum die Dimension $3$ hat, also der volle Raum ist. Der von $S_2$ aufgespannte Raum muss die Dimension $le 2$ haben, eigentlich genau $2$. Wenn sich also $S_1$ als linear unabhängige Menge herausgestellt hätte, hättest du sofort schlossen, dass die aufgespannten Unterräume unterschiedlich sind, da sie unterschiedliche Dimensionen haben würden.

Leider hat sich herausgestellt, dass die Menge $S_1$ linear abhängig ist, sodass ein einfaches Dimensionsargument das Problem nicht lösen kann.

Aber es ist jetzt leicht zu erkennen, dass beide Räume $2$-dimensional sind, sie sind Ebenen durch den Ursprung. Wenn Sie zeigen können, dass die beiden Vektoren in $S_2$ jeweils in der Spanne von $S_1$ liegen, bedeutet dies, dass die beiden Räume gleich sind. Wenn Sie zeigen können, dass mindestens einer der Vektoren in $S_2$ nicht in $S_1$ liegt, wissen Sie, dass die Räume nicht gleich sind.

Um dies zu überprüfen, müssen Sie sich nur einige lineare Gleichungen ansehen, aber Sie können die Dinge möglicherweise im Auge behalten. Zum Beispiel ist der zweite Vektor in $S_2$ die Differenz zwischen den ersten beiden Vektoren in $S_1$. Und der erste Vektor von $S_2$ ist (abgesehen von der Skalierung) die Summe der ersten beiden Vektoren in $S_1$. Die Leerzeichen sind also gleich.

Da wir uns im $3$-Raum befinden, könnten Sie alternativ durch Berechnung von Kreuzprodukten zeigen, dass die beiden Ebenen senkrecht auf derselben Geraden stehen, und da sie beide durch den Ursprung gehen, sind sie dieselbe Ebene.

Es gibt viele Möglichkeiten, sich dieser Art von Frage zu nähern, je nachdem, wie sehr man von mechanischen Ansätzen im Vergleich zu intuitiven Ansätzen abhängt.

Der vielleicht mechanischste Weg, sich dieser Frage zu nähern, besteht darin, diese Jungs buchstäblich zu Tode Gram-Schmidt zu bringen (da dies redundante Vektoren entfernt, dh linear abhängige Vektoren, dh Vektoren, die bereits in den bereits betrachteten Vektoren aufgespannt sind). Nachdem man beispielsweise G-S mit dem ersten Satz von Vektoren durchgeführt hat, bleiben uns nur noch 2 Basisvektoren (der dritte wird ausgelöscht). Wir setzen dies fort und verwischen den zweiten Satz von Vektoren mit diesen beiden Basisvektoren. (Wir bemerken, dass der zweite Satz von Vektoren, getrennt betrachtet, linear unabhängig ist - und somit auch einen Raum von 2 Dimensionen aufspannt).

Aber was bringt das? Es ist nur eine mechanische Methode, jeden Vektor explizit in Bezug auf andere Vektoren zu schreiben. Wir zeigen also buchstäblich, dass alles, was auf einer Basis geschrieben ist, auf der anderen geschrieben werden kann. Das ist nicht so aufregend.

Angenommen, wir wollten es noch anders machen: Wir können schnell sehen, dass die Dimension des von der ersten Menge aufgespannten Raums 2 ist und die Dimension des von der zweiten Menge aufgespannten Raums 2. Dies sind sogenannte lineare Räume, also praktisch. Dies bedeutet, dass, wenn wir 2 linear unabhängige Vektoren in beiden Räumen finden, diese gleich sind. Während wir in einer Hinsicht einfach die beiden ersten Vektoren auswählen und sehen könnten, ob sie sich im zweiten Raum befinden, bedeutet dies auch, dass wir auch eine beliebige Linearkombination der ersten beiden Vektoren wählen könnten. Es ist also etwas allgemeiner.

Noch anders: jeder lineare Unterraum ist 2-dimensional, also eine Ebene durch den Ursprung (es ist ein linearer Raum, also enthält er den Ursprung). You could find the equation of the plane generated by the first two vectors and compare it to the plane generated by the two vectors in the second set. They are the same (multiples of each other). How does one do this? Taking cross products! (if you know them - it's very very simple).

Differently still: after realizing that each subspace is 2 dimensional, throw all 5 vectors in a matrix and row reduce. If 2 are left, they're the same. If there are 3 or more, then they are not the same. Along the same lines, one could (though should not, to be honest) proceed with determinants. Form a matrix whose first and second rows are the vectors from the first set, and whose third row is the first vector of the second set. Form another whose third row is the second vector of the second set. Taking determinants, we will see that both determinants are zero! This means that the 3-dimensional volume of these two parallelopipeds is zero, i.e. that they lie flat! If they lie flat, their sides must be linearly dependent, and since both vectors of the second set are dependent in the first set, they span the same subspace.

Differently still: find a vector not spanned in the first set, find the component orthogonal to the first subspace, and dot this orthogonal component with each vector in the second set. You will get 0 both times, meaning that the two subspaces have the same orthogonal complement, and therefore they are the same. Alternatively, take the cross product of the two vectors in the first set and dot the result with each vector in the second set. You will get 0 again, and this does not bear the burden of finding orthogonal complements in any witty or projective fashion.

Differently still: do it heuristically! By rolling a fair 24-sided die (called a deltoidal icositetrahedron) repeatedly, generate a random set of about 9 different points in 3 space. Find the line of best fit and project onto these two spaces. You will get the same projections! After doing this a couple of times, you can expect this to always work! Afterwords, show that as these 9 points are always on lattice points, at least 1 of the 36 segments joining these 9 points contain a lattice point as well. It will sharpen your skills with pigeonholing ideas.

Differently still, and finally: guess. When I TA'd linear algebra, my students would throw everything they could into matrices and row-reduce them, write a few things about rank and nullity, and solve a linear system of equations (whether asked for or not) on every question. Literally, even this one. When they realized that's not what I asked for, they would write a few illegible lines of work, draw a big $Longrightarrow$, and say something like "Clearly, they do not span the same space" or "Obviously, they span the same space." For some other TAs, they'd give partial credit. It at least gave me a laugh.

Seriously though, if you would like to explain any of these further, let me know. They all really do work. And yes, it was quite a yarn. But I've been gone for a couple of weeks, and I had to say hello somehow!


1 Antwort 1

To assist with your problem, I will describe the general approach, when we don't necessarily know what we're looking for. As you are aware, finding the Killing vectors $X^mu$ requires solving,

$ abla_mu X_ u + abla_ u X_mu = 0$

which is an over-determined system of differential equations. As you know, these Killing vectors are precisely those for which $mathcal L_X g = 0$ and are the infinitesimal generators of isometries of the manifold being described. If you split them into a linearly independent set, $$ you can work out the Lie algebra they generate and sometimes may be able to identify what they are physically.

Alternatively, one can explicitly find the finite form of the transformations they generate by solving the equation for the integral curves of the fields, that is,

where $x^mu(lambda)$ parametrises the integral curve, that is, you can think of it as an embedding function and $X^mu(x)$ is the Killing field, seen as a function of the components $x^mu$.

Choosing the right coordinates often makes the calculation simpler it is certainly desirable to have the metric be diagonal, and well-behaved at as many points as possible.


An embedding is a matrix in which each column is the vector that corresponds to an item in your vocabulary. To get the dense vector for a single vocabulary item, you retrieve the column corresponding to that item.

But how would you translate a sparse bag of words vector? To get the dense vector for a sparse vector representing multiple vocabulary items (all the words in a sentence or paragraph, for example), you could retrieve the embedding for each individual item and then add them together.

If the sparse vector contains counts of the vocabulary items, you could multiply each embedding by the count of its corresponding item before adding it to the sum.

These operations may look familiar.

Embedding lookup as matrix multiplication

The lookup, multiplication, and addition procedure we've just described is equivalent to matrix multiplication. Given a 1 X N sparse representation S and an N X M embedding table E, the matrix multiplication S X E gives you the 1 X M dense vector.

But how do you get E in the first place? We'll take a look at how to obtain embeddings in the next section.

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