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3.3E: Autonome Gleichungen zweiter Ordnung (Übungen)


Q4.4.1

Im Übungen 4.4.1-4.4.4 Finden Sie die Gleichungen der Trajektorien der gegebenen ungedämpften Gleichung. Identifizieren Sie die Gleichgewichtslösungen, bestimmen Sie, ob sie stabil oder instabil sind, und zeichnen Sie einige Trajektorien.

1. (y''+y^3=0)

2. (y''+y^2=0)

3. (y''+y|y|=0)

4. (y''+ye^{-y}=0)

Q4.4.2

Im Übungen 4.4.5–4.4.8 Finden Sie die Gleichungen der Trajektorien der gegebenen ungedämpften Gleichung. Identifizieren Sie die Gleichgewichtslösungen, bestimmen Sie, ob sie stabil oder instabil sind, und finden Sie die Gleichungen der Separatrien (d. h. die Kurven durch die instabilen Gleichgewichte). Zeichnen Sie die Separatriken und einige Trajektorien in jeder der von ihnen bestimmten Regionen der Poincaré-Ebene.

5. (y''-y^3+4y=0)

6. (y''+y^3-4y=0)

7. (y''+y(y^2-1)(y^2-4)=0)

8. (y''+y(y-2)(y-1)(y+2)=0)

Q4.4.3

Im Übungen 4.4.9–4.4.12 Zeichnen Sie einige Trajektorien der gegebenen Gleichung für verschiedene Werte (positiv, negativ, null) des Parameters a. Finden Sie die Gleichgewichte der Gleichung und klassifizieren Sie sie als stabil oder instabil. Erklären Sie, warum sich die Diagramme der Phasenebene, die positiven und negativen Werten von a entsprechen, so stark unterscheiden. Können Sie sich einen Grund vorstellen, warum die Null es verdient, die genannt zu werden? kritischer Wert von (a)?

9. (y''+y^2-a=0)

10. (y''+y^3-ay=0)

11. (y''-y^3+ay=0)

12. (y''+y-ay^3=0)

Q4.4.4

Im Übungen 4.4.13-4.4.18 Zeichnen Sie Trajektorien der gegebenen Gleichung für (c = 0) und kleine von Null verschiedene (positive und negative) Werte von (c), um die Auswirkungen der Dämpfung zu beobachten.

13. (y''+cy'+y^3=0)

14. (y''+cy'-y=0)

15. (y''+cy'+y^3=0)

16. (y''+cy'+y^2=0)

17. (y''+cy'+y|y|=0)

18. (y''+y(y-1)+cy=0)

Q4.4.5

19. Die van der Pol-Gleichung

[y''-mu(1-y^2)y'+y=0, ag{A}]

wobei (mu) eine positive Konstante und (y) ein elektrischer Strom ist (Abschnitt 6.3), entsteht beim Studium eines elektrischen Schaltkreises, dessen Widerstandseigenschaften vom Strom abhängen. Der Dämpfungsterm (-mu(1-y^2)y') reduziert (|y|) wenn (|y|<1) oder erhöht (|y|) wenn (|y|>1). Es kann gezeigt werden, dass die van der Pol-Gleichung genau eine geschlossene Trajektorie hat, die a . genannt wird Grenzzyklus. Trajektorien innerhalb des Grenzzyklus spiralförmig nach außen zu ihm, während Trajektorien außerhalb des Grenzzyklus spiralförmig nach innen zu ihm führen (Abbildung [Abbildung:4.4.16}). Verwenden Sie Ihre bevorzugte Differentialgleichungssoftware, um dies für (mu=.5,1.1.5,2) zu überprüfen. Verwenden Sie ein Raster mit (-4

20. Rayleigh-Gleichung,

[y''-mu(1-(y')^2/3)y'+y=0]

hat auch einen Grenzzyklus. Folgen Sie den Anweisungen von Übung 4.4.19 für diese Gleichung.

21. In Verbindung mit Gleichung 4.4.16 sei (y(0)=0) und (y'(0)=v_0) angenommen, wobei (0

  1. Sei (T_1) die Zeit, die (y) benötigt, um von Null auf (y_{max}=2sin^{-1}(v_0/v_c)) zu steigen. Zeigen Sie, dass [{dyover dt}=sqrt{v_0^2-v_c^2sin^2y/2},quad 0le t
  2. Trennen Sie die Variablen in (A) und zeigen Sie, dass [T_1=int_0^{y_{max}}{duoversqrt{v_0^2-v_c^2sin^2u/2}} ag{B} ]
  3. Ersetze (sin u/2=(v_0/v_c)sin heta) in (B), um [T_1=2int_0^{pi/2}{d hetaoversqrt{v_c ^2-v_0^2sin^2 heta}}. ag{C}]
  4. Aus Symmetrie folgern, dass die Zeit, die ((y(t),v(t))) benötigt, um die Trajektorie [v^2=v_0^2-v_c^2sin^2y/2] zu durchqueren, (T=4T_1), und das folglich (y(t+T)=y(t)) und (v(t+T)=v(t)); das heißt, die Schwingung ist periodisch mit der Periode (T).
  5. Zeigen Sie, dass für (v_0=v_c) das Integral in (C) uneigentlich ist und gegen (infty) divergiert. Schluß daraus, dass (y(t)

22. Geben Sie eine direkte Definition eines instabilen Gleichgewichts von (y''+p(y)=0).

23. Sei (p) stetig für alle (y) und (p(0)=0). Angenommen, es gibt eine positive Zahl ( ho) mit (p(y)>0) falls (0

[alpha(r)=minleft{int_0^rp(x),dx, int_{-r}^0 |p(x)|,dx ight} mbox{ quad und quad} eta(r)=maxleft{int_0^rp(x),dx, int_{-r}^0 |p(x)|,dx ight }.]

Sei (y) die Lösung des Anfangswertproblems

[y''+p(y)=0,quad y(0)=v_0,quad y'(0)=v_0,]

und definiere (c(y_0,v_0)=v_0^2+2int_0^{y_0}p(x),dx).

  1. Zeigen Sie, dass [0
  2. Zeigen Sie, dass [v^2+2int_0^y p(x),dx=c(y_0,v_0),quad t>0.]
  3. Folge aus (b) dass, wenn (c(y_0,v_0)<2alpha(r)) dann (|y|0).
  4. Gegeben (epsilon>0) sei (delta>0) so gewählt, dass [delta^2+2eta(delta)0), was bedeutet, dass (overline y=0) ein stabiles Gleichgewicht von (y''+p(y)=0) ist.
  5. Sei nun (p) stetig für alle (y) und (p(overline y)=0), wobei (overline y) nicht notwendigerweise Null ist. Angenommen, es gibt eine positive Zahl ( ho) mit (p(y)>0) falls (overline y

24. Sei (p) stetig für alle (y).

  1. Angenommen (p(0)=0) und es gibt eine positive Zahl ( ho) mit (p(y)<0) falls (00). Schluß, dass (overline y=0) ein instabiles Gleichgewicht von (y''+p(y)=0) ist.
  2. Sei nun (p(overline y)=0), wobei (overline y) nicht notwendigerweise null ist. Angenommen, es gibt eine positive Zahl ( ho) mit (p(y)<0) falls (overline y
  3. Modifizieren Sie Ihre Beweise von (a) und (b), um zu zeigen, dass für eine positive Zahl ( ho) (p(y)>0) gilt, falls (overline y- hole y< overline y), dann ist (overline y) ein instabiles Gleichgewicht von (y''+p(y)=0).

ELEMENTARE DIFFERENZGLEICHUNGEN VON RAINVILLE PDF

Gleichungen erster Ordnung 3. Numerische Methoden 4. Elementare Anwendungen 5. Zusätzliche Themen zu Gleichungen erster Ordnung 6. Lineare Differentialgleichungen 7. Elementare Mechanik. Autonome Zweite Ordnung Kapitel 10 Lineare Systeme von Differentialgleichungen. Einführung zu. PDF-Datei der elementaren Differentialgleichung. NUR Probleme und Lösungen, die in . gefunden wurden

Autor: Nikokinos Grolrajas
Land: Honduras
Sprache: Englisch Spanisch)
Genre: Politik
Veröffentlicht (zuletzt): 16. November 2004
Seiten: 19
PDF-Dateigröße: 3,37 MB
ePub-Dateigröße: 5,16 MB
ISBN: 433-6-32152-522-3
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5.3 Analytische Methoden zur Lösung von ODEs zweiter Ordnung mit linearen Koeffizienten

Basierend auf den Lösungen der Hilfsgleichung nimmt die Lösung folgende Formen an:

  • Sind die Lösungen k = α , β mit α , β ∈ ℜ , mit α ≠ β dann haben die Lösungen der Ausgangsgleichung die Form y = A e α x + B e β x , wobei A , B ∈ ℜ sind Integrationskonstanten, die durch Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.
  • Wenn die Lösungen beide k = α mit α ∈ ℜ sind, dann haben die Lösungen der ursprünglichen Gleichung die Form y = ( A + B x ) e α x , wobei A , B ∈ ℜ Integrationskonstanten sind, die durch initial . bestimmt werden oder Randbedingungen.
  • Wenn die Lösungen k = ± β i mit β ∈ ℜ sind, dann haben die Lösungen der ursprünglichen Gleichung die Form y = A sin ⁡ (β x ) + B cos ⁡ (β x ) wobei A , B ∈ ℜ Konstanten sind der Integration durch Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.
  • Sind die Lösungen k = α ± β i mit α , β ∈ ℜ dann haben die Lösungen der ursprünglichen Gleichung die Form y = eax [ A sin A ( β x ) + B cos ⁡ ( β x ) ] , wobei A , B ∈ ℜ sind durch Anfangs- oder Randbedingungen zu bestimmende Integrationskonstanten.

Walkthrough

d 2 y d x 2 + 2 d y d x + y = 0

Die Lösungen der Hilfsgleichung sind beide k = − 1 , daher ist die allgemeine Lösung

Unter Anwendung der Randbedingungen y ( 0 ) = 0 , y ' ( 1 ) = 1 ergibt sich B = e 1 , A = 0 , und die Lösung ist somit


Autorenbiografien

Stephen A. Wirkus absolvierte seinen Ph.D. an der Cornell University unter der Leitung von Richard Rand. Während seines Studiums begann er mit der Leitung von Bachelor-Forschungsprojekten und kam im Jahr 2000 zu Cal Poly Pomona, nachdem er ein Jahr lang Gastprofessor an der Cornell gewesen war. Er war Mitbegründer des Applied Mathematical Sciences Summer Institute (AMSSI), eines gemeinsam von der Loyola Marymount University veranstalteten Undergraduate-Forschungsprogramms, das von 2005 bis 2007 lief. 2007 kam er als außerplanmäßiger Professor an die Arizona State University und gewann 2013 den Professor of the Year Award an der ASU sowie den NSF AGEP Mentor of the Year Award 2011. Von 2013 bis 2014 war er Gastprofessor für MLK am Massachusetts Institute of Technology. Er hat über 80 Bachelor-Studenten in der Forschung geleitet und war Lehrstuhlinhaber für 4 M.S. Studenten und 2 Ph.D. Studenten. Er hat über 30 Veröffentlichungen und technische Berichte mit über 40 Studenten veröffentlicht und erhielt Stipendien von der NSF und der NSA für die Leitung der grundständigen Forschung.

Randall J. Swift absolvierte seinen Ph.D. an der University of California, Riverside unter der Leitung von M. M. Rao. Er begann seine Karriere an der Western Kentucky University und lehrte dort fast ein Jahrzehnt lang, bevor er 2001 als unbefristeter Associate Professor nach Cal Poly Pomona wechselte. Er ist in Forschung und Lehre tätig und hat mehr als 80 Zeitschriftenartikel, drei Forschungsmonographien und drei Lehrbücher verfasst sowie den Lehrstuhl für 25 M.S. Studenten. Als Professor erhielt er 2011-12 den Ralph W. Ames Distinguished Research Award des College of Science in Cal Poly Pomona. Der Preis ehrt Swift für seine herausragende Forschung in der reinen und angewandten Mathematik und seine Beiträge zur Mathematik als Redner, Herausgeber von Zeitschriften und Hauptforscher bei zahlreichen Stipendien. Außerdem war er 2007-2008 Gastprofessor an der Australian National University in Canberra, Australien, und lehrte an den Claremont Colleges.
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Eigenschaften

  • Beschreibt analytische und numerische Methoden zum Studium von ODEs
  • Zeigt den Schülern, wie sie MATLAB, Maple und Mathematica in der Praxis effektiv einsetzen können, wenn keine Vorkenntnisse der Softwarepakete vorausgesetzt werden
  • Behandelt wesentliche Themen der linearen Algebra wie Eigenvektoren, Basen und Transformationen, um das Verständnis der Schüler für Differentialgleichungen zu verbessern
  • Beinhaltet zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade für angewandte und reine Mathematik sowie für Ingenieure und andere Nichtmathematiker
  • Bietet Antworten auf die meisten der seltsamen Probleme am Ende des Buches
  • Enthält Rezensionen und Projekte am Ende jedes Kapitels

Neu in der zweiten Auflage

  • Verschiebt die Computercodes am Ende jedes Kapitels in Computer Labs, was den Professoren Flexibilität bei der Verwendung der Technologie gibt
  • Deckt lineare Systeme in ihrer Gesamtheit ab, bevor Anwendungen auf nichtlineare Systeme angesprochen werden
  • Enthält die neuesten Versionen von MATLAB, Maple und Mathematica
  • Enthält neue Abschnitte über komplexe Variablen, die exponentielle Antwortformel zum Lösen inhomogener Gleichungen, erzwungene Schwingungen und die Nichtdimensionierung
  • Hebt neue Anwendungen und Modellierung in vielen Bereichen hervor
  • Präsentiert Übungssets mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad
  • Enthält Farbdiagramme, damit die Schüler wichtige Konzepte in ODEs besser verstehen können
  • Bietet aktualisierte und erweiterte Projekte in jedem Kapitel

Analyse der Lotka-Volterra-Wettbewerbsgleichungen als technologisches Substitutionsmodell

Dieses Papier bietet einen Einblick in die Dynamik der Lotka-Volterra-Wettbewerbsgleichungen (LVC), einem viel verwendeten Wettbewerbsmodell, und vergleicht die Dynamik der kompetitiven LVC-Substitution mit der mehrerer bekannter Substitutionsmodelle. Das Verhalten der LVC-Gleichungen wird für den Spezialfall analysiert, in dem ein dominanter Konkurrent im Gleichgewicht nach der Einführung einer kleinen Population durch einen eindringenden Konkurrent mit Wettbewerbsvorteil ersetzt wird. Es werden Ausdrücke abgeleitet, die das Wachstum des eindringenden Konkurrenten beschreiben, und dass gezeigt wird, dass das Wachstum aus vier Klassen besteht: links asymmetrisch, logistisch, rechts asymmetrisch mit 1−ε2 asymptot und rechtsasymmetrisch mit γ Asymptote.Es wird gezeigt, dass das LVC-Modell in einem Markt fester Größe auf die logistische Substitution zurückgreift, ein Ergebnis mit wichtigen Implikationen. Die LVC-Gleichungen werden an die Substitutionsmodelle Gompertz, Bass, Non-Symmetrical Responding Logistic (NSRL) und Sharif-Kabir angepasst und mit einer neuartigen grafischen Technik verglichen. Die LVC-Gleichungen können den gesamten Bereich der Kurvenformen, die von jedem dieser Modelle gezeigt werden, vernünftig nachahmen.


3 Antworten 3

Ich denke, Sie müssen sich daran erinnern, dass ARIMA-Modelle atheoretisch Daher lässt sich der übliche Ansatz zur Interpretation geschätzter Regressionskoeffizienten nicht wirklich auf die ARIMA-Modellierung übertragen.

Um geschätzte ARIMA-Modelle zu interpretieren (oder zu verstehen), sollte man sich der unterschiedlichen Merkmale bewusst sein, die von einer Reihe gängiger ARIMA-Modelle angezeigt werden.

Wir können einige dieser Funktionen untersuchen, indem wir die Arten von Vorhersagen untersuchen, die von verschiedenen ARIMA-Modellen erzeugt werden. Dies ist der Hauptansatz, den ich unten gewählt habe, aber eine gute Alternative wäre, sich die Impulsantwortfunktionen oder dynamische Zeitpfade mit verschiedenen ARIMA-Modellen (oder stochastischen Differenzengleichungen) verknüpft. Über diese werde ich am Ende sprechen.

Betrachten wir für einen Moment ein AR(1)-Modell. In diesem Modell können wir sagen, dass die Konvergenzrate (zum Mittelwert) umso schneller ist, je niedriger der Wert von $alpha_<1>$ ist. Wir können versuchen, diesen Aspekt von AR(1)-Modellen zu verstehen, indem wir die Natur der Vorhersagen für eine kleine Menge simulierter AR(1)-Modelle mit unterschiedlichen Werten für $alpha_<1>$ untersuchen.

Die Menge von vier AR(1)-Modellen, die wir diskutieren werden, kann in algebraischer Notation geschrieben werden als: egin Y_ = C + 0,95 Y_ + u_

(4) end wobei $C$ eine Konstante ist und der Rest der Notation aus dem OP folgt. Wie zu sehen ist, unterscheidet sich jedes Modell nur in Bezug auf den Wert von $alpha_<1>$.

In der folgenden Grafik habe ich Out-of-Sample-Prognosen für diese vier AR(1)-Modelle dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die Vorhersagen für das AR(1)-Modell mit $alpha_<1>= 0,95$ langsamer konvergieren als die anderen Modelle. Die Vorhersagen für das AR(1)-Modell mit $alpha_<1>= 0.4$ konvergieren schneller als die anderen.

Hinweis: Wenn die rote Linie horizontal ist, hat sie den Mittelwert der simulierten Reihe erreicht.

Betrachten wir nun vier MA(1)-Modelle mit unterschiedlichen Werten für $ heta_<1>$. Die vier Modelle, die wir besprechen werden, können geschrieben werden als: egin Y_ = C + 0,95 u_ + u_

In der folgenden Grafik habe ich Out-of-Sample-Prognosen für diese vier verschiedenen MA(1)-Modelle dargestellt. Wie die Grafik zeigt, ist das Verhalten der Prognosen in allen vier Fällen deutlich ähnlich schnelle (lineare) Konvergenz zum Mittelwert. Beachten Sie, dass die Dynamik dieser Vorhersagen im Vergleich zu denen der AR(1)-Modelle weniger variiert.

Hinweis: Wenn die rote Linie horizontal ist, hat sie den Mittelwert der simulierten Reihe erreicht.

Die Dinge werden viel interessanter, wenn wir beginnen, komplexere ARIMA-Modelle in Betracht zu ziehen. Nehmen Sie zum Beispiel AR(2)-Modelle. Diese sind nur ein kleiner Fortschritt gegenüber dem AR(1)-Modell, oder? Nun, das mag man vielleicht denken, aber die Dynamik von AR(2)-Modellen ist sehr vielfältig, wie wir gleich sehen werden.

Lassen Sie uns vier verschiedene AR(2)-Modelle untersuchen:

Start Y_ = C + 1,7 Y_ -0,8 Jahre_ + u_

(9) Y_ = C + 0,9 Y_ -0,2 Jahre_ + u_

(10) Y_ = C + 0,5 Y_ -0,2 Jahre_ + u_

(11) Y_ = C + 0,1 Y_ -0,7 Jahre_ + u_

Die Out-of-Sample-Prognosen für jedes dieser Modelle sind in der folgenden Grafik dargestellt. Es ist ziemlich klar, dass sie sich alle signifikant unterscheiden und sie im Vergleich zu den Vorhersagen, die wir oben gesehen haben, auch sehr unterschiedlich sind - mit Ausnahme der Vorhersagen von Modell 2 (Grafik oben rechts), die sich ähnlich wie bei einem AR(1) verhalten. Modell.

Hinweis: Wenn die rote Linie horizontal ist, hat sie den Mittelwert der simulierten Reihe erreicht.

Der entscheidende Punkt dabei ist, dass nicht alle AR(2)-Modelle die gleiche Dynamik haben! Wenn beispielsweise die Bedingung egin alpha_<1>^<2>+4alpha_ <2>< 0, end erfüllt ist, zeigt das AR(2)-Modell ein pseudoperiodisches Verhalten und seine Vorhersagen erscheinen als stochastische Zyklen. Wenn diese Bedingung hingegen nicht erfüllt ist, werden stattdessen keine stochastischen Zyklen in den Vorhersagen vorhanden sein, die Vorhersagen werden denen für ein AR(1)-Modell ähnlicher sein.

Es ist erwähnenswert, dass die obige Bedingung aus der allgemeinen Lösung der homogenen Form der linearen, autonomen Differenzengleichung zweiter Ordnung (mit komplexen Wurzeln) stammt. Wenn Ihnen dies fremd ist, empfehle ich sowohl Kapitel 1 von Hamilton (1994) als auch Kapitel 20 von Hoy et al. (2001).

Das Testen der obigen Bedingung für die vier AR(2)-Modelle ergibt Folgendes: egin (1,7)^ <2>+ 4 (-0,8) = -0,31 < 0

Wie durch das Erscheinen der aufgetragenen Vorhersagen erwartet, ist die Bedingung für jedes der vier Modelle mit Ausnahme von Modell 2 erfüllt. Erinnern Sie sich aus dem Diagramm daran, dass sich die Vorhersagen von Modell 2 ("normal") ähnlich wie die Vorhersagen eines AR(1)-Modells verhalten. Die mit den anderen Modellen verknüpften Prognosen enthalten Zyklen.

Anwendung - Modellierung der Inflation

Da wir nun einige Hintergrundinformationen haben, versuchen wir, ein AR(2)-Modell in einer Anwendung zu interpretieren. Betrachten Sie das folgende Modell für die Inflationsrate ($pi_$): egin Pi_ = C + alpha_<1>pi_ + alpha_ <2>pi_ + u_. Ende Ein natürlicher Ausdruck, der mit einem solchen Modell in Verbindung gebracht werden kann, wäre etwa: "Inflation heute hängt vom Inflationsniveau gestern und vom Inflationsniveau vorgestern ab". Nun, ich würde nicht gegen eine solche Interpretation argumentieren, aber ich würde vorschlagen, etwas Vorsicht walten zu lassen und etwas tiefer zu graben, um eine richtige Interpretation zu finden. In diesem Fall könnten wir fragen, wie die Inflation mit früheren Inflationsniveaus zusammenhängt. Gibt es Zyklen? Wenn ja, wie viele Zyklen gibt es? Können wir etwas über den Höhepunkt und das Tief sagen? Wie schnell konvergieren die Prognosen zum Mittelwert? Und so weiter.

Dies sind die Fragen, die wir uns stellen können, wenn wir versuchen, ein AR(2)-Modell zu interpretieren, und wie Sie sehen, ist es nicht so einfach, einen geschätzten Koeffizienten zu nehmen und zu sagen "Eine Erhöhung dieser Variablen um eine Einheit ist mit einer Erhöhung der abhängigen Variablen um so viele Einheiten verbunden" - Stellen Sie sicher, dass die ceteris paribus Bedingung für diese Aussage natürlich.

Denken Sie daran, dass wir in unserer bisherigen Diskussion nur eine Auswahl von AR(1)-, MA(1)- und AR(2)-Modellen untersucht haben. Wir haben uns noch nicht einmal die Dynamik von gemischten ARMA-Modellen und ARIMA-Modellen mit höheren Verzögerungen angesehen.

Um zu zeigen, wie schwierig es wäre, Modelle zu interpretieren, die in diese Kategorie fallen, stellen Sie sich ein anderes Inflationsmodell vor - ein ARMA(3,1) mit $alpha_<2>$ beschränkt auf Null: egin Pi_ = C + alpha_<1>pi_ + alpha_ <3>pi_ + heta_<1> u_ + u_. Ende

Sagen Sie, was Sie möchten, aber hier ist es besser, die Dynamik des Systems selbst zu verstehen. Wie zuvor können wir sehen und sehen, welche Art von Vorhersagen das Modell erzeugt, aber der alternative Ansatz, den ich zu Beginn dieser Antwort erwähnt habe, bestand darin, sich die Impulsantwortfunktion oder Zeitpfad mit dem System verbunden.

Dies bringt mich zum nächsten Teil meiner Antwort, in dem wir Impulsantwortfunktionen diskutieren.

Impulsantwortfunktionen

Diejenigen, die mit Vektorautoregressionen (VARs) vertraut sind, werden wissen, dass man normalerweise versucht, das geschätzte VAR-Modell zu verstehen, indem man die Impulsantwortfunktionen interpretiert, anstatt zu versuchen, die geschätzten Koeffizienten zu interpretieren, die oft sowieso zu schwer zu interpretieren sind.

Der gleiche Ansatz kann gewählt werden, wenn man versucht, ARIMA-Modelle zu verstehen. Das heißt, anstatt zu versuchen, (komplizierte) Aussagen wie "Die heutige Inflation hängt von der Inflation von gestern und von der Inflation von vor zwei Monaten ab, aber nicht von der Inflation der letzten Woche!", zeichnen wir stattdessen die Impulsantwortfunktion und versuchen, dies zu verstehen.

Anwendung - Vier Makrovariablen

Betrachten wir für dieses Beispiel (basierend auf Leamer(2010)) vier ARIMA-Modelle, die auf vier makroökonomischen Variablen BIP-Wachstum, Inflation, Arbeitslosenquote und Kurzfristzins basieren. Die vier Modelle wurden geschätzt und können wie folgt geschrieben werden: egin Y_ &=&3,20 + 0,22 Y_ + 0,15 Y_ + u_ pi_ &=& 4,10 + 0,46 pi_ + 0,31pi_ + 0,16pi_ + 0,01pi_ + u_ u_ &=& 6.2+ 1.58 u_ - 0,64 u_ + u_ r_ &=& 6,0 + 1,18 r_ - 0,23 r_ + u_ Ende wo $Y_$ bezeichnet das BIP-Wachstum zum Zeitpunkt $t$, $pi$ bezeichnet die Inflation, $u$ bezeichnet die Arbeitslosenquote und $r$ bezeichnet den kurzfristigen Zinssatz (3-Monats-Staatsanleihen).

Die Gleichungen zeigen, dass das BIP-Wachstum, die Arbeitslosenquote und der kurzfristige Zinssatz als AR(2)-Prozesse modelliert werden, während die Inflation als AR(4)-Prozess modelliert wird.

Anstatt zu versuchen, die Koeffizienten in jeder Gleichung zu interpretieren, zeichnen wir die Impulsantwortfunktionen (IRFs) und interpretieren sie stattdessen. Die folgende Grafik zeigt die mit jedem dieser Modelle verbundenen Impulsantwortfunktionen.

Betrachten Sie dies nicht als eine Meisterklasse in der Interpretation von IRFs - betrachten Sie es eher als eine grundlegende Einführung - aber um uns bei der Interpretation der IRFs zu helfen, müssen wir uns an zwei Konzepte gewöhnen Schwung und Beharrlichkeit.

Diese beiden Konzepte werden in Leamer (2010) wie folgt definiert:

Schwung: Momentum ist die Tendenz, sich weiter in dieselbe Richtung zu bewegen. Der Momentumeffekt kann die Regressionskraft (Konvergenz) zum Mittelwert ausgleichen und es einer Variablen ermöglichen, sich für einige Zeit, aber nicht unbegrenzt, von ihrem historischen Mittelwert zu entfernen.

Beharrlichkeit: Eine Persistenzvariable wird dort herumhängen, wo sie ist, und nur langsam zum historischen Mittelwert konvergieren.

Ausgestattet mit diesem Wissen stellen wir uns nun die Frage: Angenommen, eine Variable hat ihren historischen Mittelwert erreicht und erleidet in einer einzigen Periode einen vorübergehenden Schock von einer Einheit, wie wird die Variable in zukünftigen Perioden reagieren? Dies ist vergleichbar mit dem Stellen der Fragen, die wir zuvor gestellt haben, wie z. enthalten die Prognosen Zyklen?, Wie schnell konvergieren die Prognosen zum Mittelwert?, usw.

Endlich können wir nun versuchen, die IRFs zu interpretieren.

Nach einem Schock um eine Einheit werden die Arbeitslosenquote und der kurzfristige Zinssatz (3-Monats-Staatsanleihen) weiter von ihrem historischen Mittelwert entfernt. Dies ist der Impulseffekt. Die IRFs zeigen auch, dass die Arbeitslosenquote stärker überschießt als der kurzfristige Zinssatz.

Wir sehen auch, dass alle Variablen zu ihren historischen Mittelwerten zurückkehren (keine von ihnen "explodiert"), obwohl sie dies jeweils mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten tun. Zum Beispiel kehrt das BIP-Wachstum nach etwa 6 Perioden nach einem Schock auf seinen historischen Mittelwert zurück, die Arbeitslosenquote kehrt nach etwa 18 Perioden auf seinen historischen Mittelwert zurück, aber Inflation und kurzfristige Zinsen brauchen länger als 20 Perioden, um zu ihrem historischen Mittelwert zurückzukehren. In diesem Sinne ist das BIP-Wachstum die am wenigsten anhaltende der vier Variablen, während die Inflation als sehr hartnäckig bezeichnet werden kann.

Ich denke, es ist eine faire Schlussfolgerung zu sagen, dass es uns (zumindest teilweise) gelungen ist, zu verstehen, was uns die vier ARIMA-Modelle über jede der vier Makrovariablen sagen.

Anstatt zu versuchen, die geschätzten Koeffizienten in ARIMA-Modellen zu interpretieren (für viele Modelle schwierig), versuchen Sie stattdessen, die Dynamik des Systems zu verstehen. Wir können dies versuchen, indem wir die Vorhersagen unseres Modells untersuchen und die Impulsantwortfunktion aufzeichnen.


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Tagungsband der dreizehnten internationalen Konferenz zu künstlicher Intelligenz und Statistik

Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition