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6.1: Federprobleme I - Mathematik


Wir betrachten die Bewegung eines Körpers der Masse (m), der an einer Feder vernachlässigbarer Masse aufgehängt ist. Wir sagen, das Feder-Masse-System ist in Gleichgewicht wenn das Objekt ruht und die auf es wirkenden Kräfte sich zu Null summieren. Die Position des Objekts ist in diesem Fall die Gleichgewichtslage. Wir definieren (y) als die Verschiebung des Objekts aus seiner Gleichgewichtslage (Abbildung (PageIndex{1})), positiv nach oben gemessen.

Unser Modell berücksichtigt die folgenden Arten von Kräften, die auf das Objekt einwirken:

  • Die Kraft (-mg), aufgrund der Schwerkraft.
  • Eine von der Feder ausgeübte Kraft (F_s), die einer Längenänderung entgegenwirkt. Das natürliche Länge der Feder ist ihre Länge ohne angehängte Masse. Wir gehen davon aus, dass die Feder gehorcht Hookes Gesetz: Ändert sich die Federlänge um einen Betrag (Updelta L) von ihrer natürlichen Länge, dann übt die Feder eine Kraft (F_s=kUpdelta L) aus, wobei (k) positiv ist Nummer namens Federkonstante. Wird die Feder gedehnt, dann ist (Updelta L>0) und (F_s>0), also ist die Federkraft nach oben gerichtet, ist die Feder dagegen gestaucht, dann (Updelta L<0) und ( F_s<0), also ist die Federkraft nach unten gerichtet.
  • EIN dämpfende Kraft (F_d=-cy'), der der Bewegung mit einer Kraft proportional zur Geschwindigkeit des Objekts widersteht. Dies kann auf Luftwiderstand oder Reibung in der Feder zurückzuführen sein. Eine bequeme Möglichkeit, eine Dämpfungskraft zu visualisieren, besteht jedoch darin, anzunehmen, dass das Objekt starr an einem Kolben mit vernachlässigbarer Masse befestigt ist, der in einen Zylinder eingetaucht ist (genannt a Dashpot) mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt (Abbildung (PageIndex{1})). Wenn sich der Kolben bewegt, übt die Flüssigkeit eine Dämpfungskraft aus. Wir sagen, die Bewegung ist ungedämpft wenn (c=0), oder gedämpft wenn (c>0).
  • Eine andere externe Kraft (F) als die Schwerkraft, die mit (t) variieren kann, aber unabhängig von Weg und Geschwindigkeit ist. Wir sagen, die Bewegung ist kostenlos wenn (Fequiv0), oder gezwungen if (F otequiv0).

Aus dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz

[label{eq:6.1.1} my''=-mg+F_d+F_s+F=-mg-cy'+F_s+F.]

Wir müssen nun (F_s) auf (y) beziehen. Ohne äußere Kräfte dehnt das Objekt die Feder um einen Betrag (Delta l), um ihre Gleichgewichtslage einzunehmen (Abbildung (PageIndex{3})). Da die Summe der auf das Objekt wirkenden Kräfte dann Null ist, folgt aus dem Hookeschen Gesetz (mg=kDelta l). Wenn das Objekt um (y) Einheiten aus seiner Gleichgewichtslage verschoben wird, beträgt die Gesamtänderung der Federlänge (Updelta L=Updelta l-y), sodass das Hookesche Gesetz impliziert, dass

[F_s=kDelta L=kDelta l-ky. onumber]

Setzt man dies in Gleichung ef{eq:6.1.1} ein, erhält man

[my''=-mg-cy'+kDelta L-ky+F. onumber ]

Wegen (mg=kDelta l) kann dies geschrieben werden als

[label{eq:6.1.2} my''+cy'+ky=F.]

Wir nennen das die Bewegungsgleichung.

Einfache harmonische Bewegung

Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts betrachten wir Feder-Masse-Systeme ohne Dämpfung; das heißt (c=0). Systeme mit Dämpfung betrachten wir im nächsten Abschnitt. Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Bewegung auch frei ist; das heißt (F)=0. Wir beginnen mit einem Beispiel.

Beispiel (PageIndex{1})

Ein Objekt dehnt eine Feder (6) Zoll im Gleichgewicht.

  1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und finden Sie ihre allgemeine Lösung.
  2. Bestimmen Sie die Verschiebung des Objekts für (t>0), wenn es anfänglich 18 Zoll über dem Gleichgewicht verschoben und eine Abwärtsgeschwindigkeit von (3) ft/s gegeben ist.

Lösung a:

Setzen von (c=0) und (F=0) in Gleichung ef{eq:6.1.2} ergibt die Bewegungsgleichung

[my''+ky=0, onumber]

die wir umschreiben als

[label{eq:6.1.3} y''+{kover m}y=0.]

Obwohl wir das Gewicht des Objekts benötigen würden, um (k) aus der Gleichung (mg=kUpdelta l) zu erhalten, können wir (k/m) allein aus (Updelta l) erhalten; also (k/m=g/Delta l). In Übereinstimmung mit den in der Problemstellung verwendeten Einheiten nehmen wir (g=32) ft/s(^2). Obwohl (Delta l) in Zoll angegeben wird, müssen wir es in Fuß umwandeln, um mit dieser Wahl von (g) konsistent zu sein; dh (Delta l =1/2) ft. Daher

[{koverm}={32over1/2}=64 onumber]

und aus Gleichung ef{eq:6.1.3} wird

[label{eq:6.1.4} y''+64y=0.]

Die charakteristische Gleichung von Gleichung ef{eq:6.1.4} ist

[r^2+64=0, onumber]

die die Nullstellen (r=pm 8i) hat. Daher ist die allgemeine Lösung von Gleichung ef{eq:6.1.4}

[label{eq:6.1.5} y=c_1cos8t+c_2sin8t.]

Lösung b:

Die anfängliche Verschiebung von 18 Zoll nach oben ist positiv und muss in Fuß ausgedrückt werden. Die anfängliche Abwärtsgeschwindigkeit ist negativ; so,

[y(0)={3over2}quad ext{und} quad y'(0)=-3. onumber]

Ableitungsgleichung ef{eq:6.1.5} ergibt

[label{eq:6.1.6} y'=-8c_1sin8t+8c_2cos8t.]

Setzen von (t=0) in Gleichung ef{eq:6.1.5} und Gleichung ef{eq:6.1.6} und Auferlegen der Anfangsbedingungen zeigt, dass (c_1=3/2) und (c_2 =-3/8). Deshalb

[y={3over2}cos8t-{3over8}sin8t, onumber]

wobei (y) in Fuß ist (Abbildung (PageIndex{4})).

Wir betrachten nun die Gleichung

[my''+ky= onumber 0]

wobei (m) und (k) beliebige positive Zahlen sind. Dividieren durch (m) und Definieren von (omega_0=sqrt{k/m}) ergibt

[y''+omega_0^2y=0. onumber ]

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

[label{eq:6.1.7} y=c_1cosomega_0t+c_2sinomega_0t.]

Wir können dies in eine nützlichere Form umschreiben, indem wir definieren

[label{eq:6.1.8} R=sqrt{c_1^2+c_2^2},]

und

[label{eq:6.1.9} c_1=Rcosphiquad ext{und} quad c_2=Rsinphi.]

Einsetzen von Gleichung ef{eq:6.1.9} in Gleichung ef{eq:6.1.7} und Anwenden der Identität

[cosomega_0tcosphi+sinomega_0tsinphi=cos(omega_0t-phi) onumber]

ergibt

[label{eq:6.1.10} y=Rcos(omega_0t-phi).]

Aus Gleichung ef{eq:6.1.8} und Gleichung ef{eq:6.1.9} sehen wir, dass (R) und (phi) als Polarkoordinaten des Punktes mit rechtwinkligen Koordinaten interpretiert werden können ((c_1,c_2)) (Abbildung (PageIndex{5})). Gegeben (c_1) und (c_2) können wir (R) aus Gleichung ef{eq:6.1.8} berechnen. Aus Gleichung ef{eq:6.1.8} und Gleichung ef{eq:6.1.9} sehen wir, dass (phi) mit (c_1) und (c_2) durch zusammenhängt

[cosphi={c_1oversqrt{c_1^2+c_2^2}}quad ext{und} quadsinphi= {c_2oversqrt{c_1^2+c_2^ 2}}. onumber ]

Es gibt unendlich viele Winkel (phi), die sich durch ganzzahlige Vielfache von (2pi) unterscheiden, die diese Gleichungen erfüllen. Wir werden (phi) immer so wählen, dass (-pilephi

Die durch Gleichung ef{eq:6.1.7} oder Gleichung ef{eq:6.1.10} beschriebene Bewegung ist einfache harmonische Bewegung. Wir sehen aus jeder dieser Gleichungen, dass die Bewegung periodisch ist, mit Periode

[T=2pi/omega_0. onumber]

Dies ist die Zeit, die das Objekt benötigt, um einen vollen Schwingungszyklus zu vollenden (z. B. um sich von seiner höchsten Position in seine niedrigste Position und zurück in seine höchste Position zu bewegen). Da die höchsten und niedrigsten Positionen des Objekts (y=R) und (y=-R) sind, sagen wir, dass (R) die Amplitude der Schwingung. Der Winkel (phi) in Gleichung ef{eq:6.1.10} ist der Phasenwinkel. Es wird in Radiant gemessen. Gleichung Gleichung ef{eq:6.1.10} ist die Amplitude-Phasen-Form der Verschiebung. Wenn (t) in Sekunden ist, dann ist (omega_0) in Radiant pro Sekunde (rad/s); es ist der Frequenz der Bewegung. Es wird auch genannt Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems ohne Dämpfung.

Beispiel (PageIndex{2})

Wir fanden die Verschiebung des Objekts in Beispiel (PageIndex{1}) zu

[y={3over2}cos8t-{3over8}sin8t. onumber]

Finden Sie Frequenz, Periode, Amplitude und Phasenwinkel der Bewegung.

Lösung:

Die Frequenz ist (omega_0=8) rad/s und die Periode ist (T=2pi/omega_0=pi/4) s. Wegen (c_1=3/2) und (c_2=-3/8) ist die Amplitude

[R=sqrt{c^2_1+c^2_2}=sqrt{left({3over2} ight)^2+left({3over8} ight)^2} ={3 over8}sqrt{17}. onumber]

Der Phasenwinkel wird bestimmt durch

[label{eq:6.1.11} cosphi = frac{frac{3}{2}}{frac{3}{8}sqrt{17}} = frac{4}{ sqrt{17}}]

und

[label{eq:6.1.12} sinphi={-{3over8}over{3over8}sqrt{17}}=-{1oversqrt{17}}. ]

Mit einem Taschenrechner sehen wir aus Gleichung ef{eq:6.1.11}, dass

[phiapproxpm.245mbox{ rad}. onumber]

Da (sinphi<0) (siehe Gleichung ef{eq:6.1.12}) gilt hier das Minuszeichen; das ist,

[phiapprox-.245mbox{ rad}. onumber]

Beispiel (PageIndex{3})

Die natürliche Länge einer Quelle beträgt 1 m. Ein Gegenstand wird daran befestigt und die Länge der Feder erhöht sich auf 102 cm, wenn der Gegenstand im Gleichgewicht ist. Dann wird das Objekt zunächst 1 cm nach unten verschoben und mit einer Aufwärtsgeschwindigkeit von 14 cm/s versehen. Bestimmen Sie die Verschiebung für (t>0). Ermitteln Sie auch die Eigenfrequenz, Periode, Amplitude und den Phasenwinkel der resultierenden Bewegung. Drücken Sie die Antworten in cgs-Einheiten aus.

Lösung:

In cgs-Einheiten (g=980) cm/s(^2). Da (Updelta l=2) cm, (omega_0^2=g/Updelta l=490) ist. Deshalb

[y''+490y=0, quad y(0)=-1,quad y'(0)=14. onumber]

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist

[y=c_1cos7sqrt{10}t+c_2sin7sqrt{10}t, onumber]

so

[y'=7sqrt{10}left(-c_1sin7sqrt{10}t+c_2cos7sqrt{10}t ight). onumber]

Einsetzen der Anfangsbedingungen in die letzten beiden Gleichungen ergibt (c_1=-1) und (c_2=2/sqrt{10}). Daher,

[y=-cos7sqrt{10}t+{2oversqrt{10}}sin7sqrt{10}t. onumber]

Die Frequenz ist (7sqrt{10}) rad/s und die Periode ist (T=2pi/(7sqrt{10})) s. Die Amplitude ist

[R=sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}=sqrt{(-1)^{2}+left(frac{2}{sqrt{ 10}} ight)^{2}}=sqrt{frac{7}{5}} ext{cm} onumber]

Der Phasenwinkel wird bestimmt durch

[cosphi = frac{c_{1}}{R}=-sqrt{frac{5}{7}}quad ext{und}quadsinphi = frac{c_ {2}}{R}=sqrt{frac{2}{7}} onumber]

Daher liegt (phi) im zweiten Quadranten und

[phi = cos^{-1}left(-sqrt{frac{5}{7}} ight)approx 2.58 ext{rad} onumber]

Ungedämpfte erzwungene Schwingung

Bei vielen mechanischen Problemen ist ein Gerät periodischen äußeren Kräften ausgesetzt. Zum Beispiel verursachen Soldaten, die im Takt auf einer Brücke marschieren, periodische Störungen in der Brücke, und die Triebwerke eines Propellerflugzeugs verursachen periodische Störungen in seinen Tragflächen. Ohne ausreichende Dämpfungskräfte können solche Störungen – auch wenn sie klein sind – bei bestimmten kritischen Frequenzen zum Strukturbruch führen. Zur Veranschaulichung betrachten wir die Bewegung eines Objekts in einem Feder-Masse-System ohne Dämpfung unter Einwirkung einer äußeren Kraft

[F(t)=F_0cosomega t onumber]

wobei (F_0) eine Konstante ist. In diesem Fall lautet die Bewegungsgleichung Gleichung ef{eq:6.1.2}

[my''+ky=F_0cosomega t, onumber]

die wir umschreiben als

[label{eq:6.1.13} y''+omega_0^2y={F_0über m}cosomega t]

mit (omega_0=sqrt{k/m}). Wir werden an den nächsten beiden Beispielen sehen, dass sich die Lösungen der Gleichung ef{eq:6.1.13} mit (omega eomega_0) ganz anders verhalten als die Lösungen mit (omega=omega_0) .

Beispiel (PageIndex{4})

Löse das Anfangswertproblem

[label{eq:6.1.14} y''+omega_0^2y={F_0über m}cosomega t, quad y(0)=0,quad y'(0)=0 ,]

gegeben, dass (omega eomega_0).

Lösung:

Wir erhalten zunächst eine bestimmte Lösung der Gleichung ef{eq:6.1.13} durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten. Da (omega eomega _0) (cosomega t) keine Lösung der Komplementärgleichung

[y''+omega_0^2y=0. onumber ]

Daher hat Gleichung ef{eq:6.1.13} eine spezielle Lösung der Form

[y_p=Acosomega t+Bsinomega t. onumber]

Schon seit

[y''_p=-omega^2(Acosomega t+Bsinomega t), onumber]

[y_p''+omega_0^2y_p={F_0über m}cosomega t onumber]

dann und nur dann, wenn

[(omega_0^2-omega^2)left(Acosomega t+ Bsinomega t ight)={F_0over m}cosomega t. onumber]

Dies gilt genau dann, wenn

[A={F_0over m(omega_0^2-omega^2)}quad ext{und}quad B=0, onumber]

so

[y_p={F_0over m(omega_0^2-omega^2)}cosomega t. onumber]

Die allgemeine Lösung von Gleichung ef{eq:6.1.13} ist

[label{eq:6.1.15} y={F_0over m(omega_0^2-omega^2)}cosomega t+c_1cosomega_0 t+c_2sinomega_0t, ]

so

[y'={-omega F_0over m(omega_0^2-omega^2)}sinomega t +omega_0(-c_1sinomega_0 t+c_2cosomega_0t). keine Nummer ]

Die Anfangsbedingungen (y(0)=0) und (y'(0)=0) in Gleichung ef{eq:6.1.14} implizieren, dass

[c_1=-{F_0over m(omega_0^2-omega^2)}quad ext{und} quad c_2=0. onumber]

Einsetzen dieser in Gleichung ef{eq:6.1.15} ergibt

[label{eq:6.1.16} y={F_0over m(omega_0^2-omega^2)}(cosomega t-cosomega_0t).]

Es ist aufschlussreich, dies in einer anderen Form zu schreiben. Wir beginnen mit den trigonometrischen Identitäten

[egin{ausgerichtet} cos(alpha-eta)&=cosalphacoseta+sinalphasineta cos(alpha+eta)&=cosalpha coseta-sinalphasineta.end{ausgerichtet} onumber]

Subtrahieren der zweiten Identität von der ersten ergibt

[label{eq:6.1.17} cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)=2sinalphasineta]

Nun lass

[label{eq:6.1.18} alpha-eta=omega tquad ext{und}quadalpha+eta=omega_0t,]

so dass

[label{eq:6.1.19} alpha={(omega_0+omega)tover2}quad ext{und}quadeta={(omega_0-omega)tover2}. ]

Einsetzen von Gleichung ef{eq:6.1.18} und Gleichung ef{eq:6.1.19} in Gleichung ef{eq:6.1.17} ergibt

[cosomega t-cosomega_0t= 2sin{(omega_0-omega)tover2}sin{(omega_0+omega)tover2}, onumber]

und Einsetzen in Gleichung ef{eq:6.1.16} ergibt yield

[label{eq:6.1.20} y=R(t)sin{(omega_0+omega)tover2},]

wo

[label{eq:6.1.21} R(t)={2F_0over m(omega_0^2-omega^2)} sin{(omega_0-omega)tover2}.]

Aus Gleichung ef{eq:6.1.20} können wir (y) als sinusförmige Variation mit Frequenz ((omega_0+omega)/2) und variabler Amplitude (|R(t)|) betrachten . In Abbildung (PageIndex{6}) ist die gestrichelte Kurve über der (t)-Achse (y=|R(t)|), die gestrichelte Kurve unter der (t)-Achse ist ( y=-|R(t)|), und die Verschiebung (y) erscheint als eine von ihnen begrenzte Schwingung. Die Schwingung von (y) für (t) auf einem Intervall zwischen aufeinanderfolgenden Nullstellen von (R(t)) heißt a schlagen.

Sie können aus Gleichung ef{eq:6.1.20} und Gleichung ef{eq:6.1.21} sehen, dass

[|y(t)|le{2|F_0|over m|omega_0^2-omega^2|}; onumber]

außerdem, wenn (omega+omega_0) im Vergleich zu (omega -omega_0) ausreichend groß ist, dann nimmt (|y|) bei jedem Schlag Werte nahe (vielleicht gleich) dieser oberen Grenze an. Die Schwingung bleibt jedoch für alle (t) beschränkt. (Dies setzt voraus, dass die Feder Auslenkungen dieser Größe widerstehen kann und weiterhin dem Hookeschen Gesetz gehorcht.) Das nächste Beispiel zeigt, dass dies nicht der Fall ist, wenn (omega=omega_0).

Beispiel (PageIndex{5}):

Finden Sie die allgemeine Lösung von

[label{eq:6.1.22} y''+omega_0^2y={F_0über m}cosomega_0t.]

Lösung:

Wir erhalten zunächst eine bestimmte Lösung (y_p) von Gleichung ef{eq:6.1.22}. Da (cosomega_0t) eine Lösung der Komplementärgleichung ist, ist die Form für (y_p)

[label{eq:6.1.23} y_p=t(Acosomega_0t+Bsinomega_0t).]

Dann

[y_p'=Acosomega_0t+Bsinomega_0t +omega_0t(-Asinomega_0t+Bcosomega_0t) onumber]

und

[label{eq:6.1.24} y''_p=2omega_0(-Asinomega_0t +Bcosomega_0t)-omega_0^2t(Acosomega_0t+Bsinomega_0t ).]

Aus Gleichung ef{eq:6.1.23} und Gleichung ef{eq:6.1.24} sehen wir, dass (y_p) Gleichung ef{eq:6.1.22} erfüllt, wenn

[-2Aomega_0sinomega_0t+2Bomega_0cosomega_0t={F_0über m} cosomega_0t; onumber]

das heißt, wenn

[A=0quad ext{und} quad B={F_0over2momega_0}. onumber]

Deshalb

[y_p={F_0tover2momega_0}sinomega_0t onumber]

ist eine spezielle Lösung von Gleichung ef{eq:6.1.22}. Die allgemeine Lösung von Gleichung ef{eq:6.1.22} ist

[y={F_0tover2momega_0}sinomega_0t+c_1cosomega_0t+c_2sinomega_0t. onumber]

Der Graph von (y_p) ist in Abbildung (PageIndex{7}) dargestellt, wo zu sehen ist, dass (y_p) zwischen den gestrichelten Linien oszilliert

[y={F_0tover2momega_0}quad ext{und} quad y=-{F_0tover2momega_0} onumber]

mit zunehmender Amplitude, die sich (infty) als (t oinfty) nähert. Dies bedeutet natürlich, dass die Feder irgendwann das Hookesche Gesetz nicht befolgen oder brechen muss.

Dieses Phänomen der unbegrenzten Verschiebungen eines Feder-Masse-Systems als Reaktion auf eine periodische Antriebsfunktion bei seiner Eigenfrequenz heißt is Resonanz. Kompliziertere mechanische Strukturen können ebenfalls resonanzähnliche Phänomene aufweisen. Beispielsweise können rhythmische Schwingungen einer Hängebrücke durch Windkräfte oder eines Flugzeugflügels durch periodische Schwingungen von Hubkolbenmotoren zu Schäden oder sogar zum Ausfall führen, wenn die Frequenzen der Störungen nahe an kritischen Frequenzen liegen, die durch die Parameter des jeweiligen mechanischen Systems bestimmt werden .


Matheaufgaben mit Lösungen und Erklärungen für Klasse 9

Detaillierte Lösungen und vollständige Erklärungen zu mathematischen Wortaufgaben der Klasse 9 werden vorgestellt.

    Welche Zahl(en) ist(sind) gleich ihrem (ihren) Quadrat?
    Lösung
    Wenn x die zu findende Zahl ist, ist ihr Quadrat x 2 .
    x ist gleich seinem Quadrat daher: x = x 2
    Lösen Sie die obige Gleichung durch Faktorisieren. Schreiben Sie zuerst mit der rechten Seite gleich Null.
    x - x 2 = 0
    x(1 - x) = 0
    Lösungen: x = 0 und x = 1
    Antworten kontrollieren.
    1) x = 0 , sein Quadrat ist 0 2 = 0 . Daher sind x und sein Quadrat gleich.
    2) x = 1 , sein Quadrat ist 1 2 = 1 . Daher sind x und sein Quadrat gleich.


Lösung
Beachten Sie, dass HC = 50/2 = 25 cm ist, da ABC ein gleichseitiges Dreieck ist und BH senkrecht zu AC steht. Da MN und HC parallel sind, sind die beiden Dreiecke BMN und BHC ähnlich und die Größen ihrer Seiten sind proportional. Daher
BN / BC = MN / HC = BM / BH = 12 / 25
Die Fläche des Dreiecks BMN ist gegeben durch
A = (1/2) BM * MN
Die Fläche des Dreiecks BHC ist gegeben durch
B = (1/2) BH * HC
Beachten Sie das Verhältnis der beiden Bereiche
A / B = [ (1/2) BM * MN ] / [ (1/2) BH * HC ] = (BM/BH) * (MN/HC) = (12/25)*(12/25) = (12/25) 2
Lassen Sie uns nun BH mit dem Satz von Pythagora finden.
BH = Quadrat (50 2 - 25 2 ) = 25 Quadrat (3)
Die Fläche B des Dreiecks BHC ist gegeben durch.
B = (1/2) BH * HC = (1/2) 25 sqrt(3) 25 = (1/2) 25 2 sqrt(3)
Wir verwenden nun das Verhältnis A / B = (12/25) 2, um A die Fläche des Dreiecks BMN zu bestimmen.
A = (12/25) 2 * B = (12/25) 2 * (1/2) 25 2 Quadrat(3) = 72 Quadrat(3) cm 2


Lösung
Wir finden zuerst die Wassermenge ohne den Stein.
V1 = 10 *(π * 5 2 ) = 250 π , wobei π = 3,14
Das Volumen von Wasser und Stein ist gegeben durch
V2 = 13,2 *(π * 5 2 ) = 330 π
Das Volumen des Steins ist gegeben durch
V2 - v1 = 330 π - 250 π = 80 π
= 251,1 cm3


Lösung
Beachten Sie, dass die Diagonale des Quadrats gleich dem Durchmesser des Kreises ist. Die Seite x des Quadrats ist so, dass
x 2 = 400 , also x = 20 cm
Die Diagonale D des Quadrats wird mit dem Satz von Pythagora ermittelt
D2 = x2 + x2 = 800
Die Fläche A des Kreises ist gegeben durch
A = π (D/2) 2 = π D 2 / 4 = 200 π cm 3
= 628cm3

Lösung
Der Durchschnitt von x , y , z und w ist gleich 25. Daher
(x + y + z + w) / 4 = 25
Der Durchschnitt von x , y und z ist gleich 27. Daher
(x + y + z ) / 3 = 27
Das obige gibt
x + y + z = 3 27 = 81
Ersetzen Sie x + y + z durch 81 in der Gleichung (x + y + z + w) / 4 = 25, um die Gleichung zu erhalten
(81 + w) / 4 = 25
Löse das obige nach w
w = 19

Lösung
Das arithmetische Mittel von 41 , 46 , x , y , z ist gleich 50. Daher
(41 + 46 + x + y + z) / 5 = 50
Ordne die Gleichung um, um zu erhalten
x + y + z = 163
Der Modus ist der wiederholte Wert. Wir können nicht x = y = z = 45 haben, weil ihre Summe nicht gleich 163 ist. Die einzige Möglichkeit ist x = y = 45. Daher kann die obige Gleichung geschrieben werden als
45 + 45 + z = 163
Löse das obige nach z . auf
z = 73

Lösung
Ersetze x durch 2 in der gegebenen Gleichung
2(2) + 1 = 2A + 3(2 + A)
Auflösen nach A
A = - 1 / 5

Lösung
dm ist das Symbol für einen Dezimeter und entspricht 10 cm. Wir konvertieren alle angegebenen Einheiten in dm.
Radius: r = 50 cm = 5 dm
Höhe : h = 1 m = 10 dm
Das Wasservolumen im zylindrischen Behälter ist gegeben durch:
πr 2 h = 3,14 (5 md) 2 10 dm = 785 dm 3
1 dm 3 Gewichte 1 kg. Daher ist das Gesamtgewicht des Wassers im Behälter gleich
785 dm 3 1 kg / dm 3 = 785 kg


Lösung
ABC ist also gleichschenklig
AB = AC
ABM und ACM haben gleiche Seiten und eine gemeinsame Seite und gleiche Winkel sind daher kongruente Dreiecke. Daher ist die Fläche des Dreiecks AMC halb so groß wie die Fläche von ABC.
Im Dreieck MAC sind die Winkel MAC und MCA beide gleich 45 daher ist das Dreieck MAC ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck und daher sind die Dreiecke MAN und MCN deckungsgleich (ähnlicher Beweis wie oben). Daher ist die Fläche des Dreiecks MNC die Hälfte der Fläche des Dreiecks AMC. Daher ist das Verhältnis der Fläche des Dreiecks MNC zur Fläche des Dreiecks ABC gleich 1 / 4.

Antworten auf die obigen Fragen

  1. 0 , 1
  2. 0 , 2
  3. 0 , 4
  4. 48 Meilen pro Stunde
  5. 136 Meilen
  6. 12:05 Uhr
  7. 5y + 3x = 13
  8. Länge = 30 Meter, Breite = 10 Meter
  9. nicht genügend Informationen, um das Problem zu lösen.
  10. 50 Meter
  11. 72 𕔇 Quadratzentimeter.
  12. 80 π Kubikzentimeter
  13. 200 π Quadratzentimeter
  14. x = 6
  15. w = 19
  16. x = 45 , y = 45 und z = 73
  17. A = - 1/5
  18. 785 kg
  19. 1:4
  20. 10:48 Uhr
  21. aufrecht
  22. Quadrat mit Seitenlänge = 4 Einheiten
  23. Länge = 6 Einheiten und Breite = 3 Einheiten
  24. 20π cm
  25. 200cm 2
  26. zwei Lösungen: 2 √ (89) und 2 √ (1049)

Probleme bei der Algebra-Arbeit

Arbeitsprobleme sind Textaufgaben, bei denen verschiedene Personen zusammenarbeiten, jedoch mit unterschiedlichem Tempo. Wenn die Leute im gleichen Tempo arbeiten würden, würden wir die umgekehrt proportionale Methode verwenden.


In diesen Lektionen lernen wir Arbeitsprobleme beim Befüllen eines Tanks durch Rohre und Arbeitsprobleme beim Entleeren eines Tanks durch Pumpen.

Das folgende Diagramm zeigt die Formel für Arbeitswortprobleme. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Lösungen für Arbeitswortprobleme zu erhalten.

Arbeitsprobleme

&ldquoArbeit&rdquo-Probleme: Rohre füllen einen Tank

Ein Tank kann mit Rohr A in 3 Stunden und mit Rohr B in 5 Stunden gefüllt werden. Wenn der Tank voll ist, kann er in 4 Stunden über Leitung C entleert werden. Wenn der Tank zunächst leer ist und alle drei Leitungen offen sind, wie viele Stunden dauert es, bis der Tank gefüllt ist?

Sei x = Zeit zum Auffüllen des Tanks

Da Rohr C das Wasser ableitet, wird es abgezogen.

Schritt 3: Lösen Sie die Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 60

Antwort: Die Zeit zum Befüllen des Tanks beträgt Stunden.

Arbeitsproblem: Pumpen, die einen Tank entleeren

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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Problemlösungsstrategien: Muster finden

In dieser Lektion lernen wir verschiedene Problemlösungsstrategien kennen, um Muster zu finden.

Im Folgenden sind einige Beispiele für Problemlösungsstrategien aufgeführt.

Ein Muster finden (Erweitert)

Hier sehen wir uns einige fortgeschrittene Beispiele der &ldquoFind a Pattern&rdquo-Methode zur Problemlösungsstrategie an.

Beispiel:
Jedes Sechseck darunter ist von 12 Punkten umgeben.
a) Finden Sie die Anzahl der Punkte für ein Muster mit 6 Sechsecken in der ersten Spalte.
b) Finden Sie das Muster der Sechsecke mit 229 Punkten.

1. Spalte Muster Gesamtpunkte
1 12 12
2 12 + 16 28
3 12 + 16 + 21 49
4 12 + 16 + 21 + 26 75
5 12 + 16 + 21 + 26 + 31 106
6 12 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 142
7 12 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 183
8 12 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 229

a) Die Anzahl der Punkte für ein Muster mit 6 Sechsecken in der ersten Spalte beträgt 142.

b) Bei 229 Punkten hat das Muster 8 Sechsecke in der ersten Spalte.

Beispiel:
Jedes Mitglied eines Clubs schüttelte jedem anderen Mitglied, das zu einem Treffen kam, die Hand. Es gab insgesamt 45 Handshakes. Wie viele Mitglieder waren bei der Versammlung anwesend?

EIN B C D E F G H ich J
EIN
B
C
D
E
F
G
H
ich
J
HS 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Lösung:
Gesamt = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 Handshakes

Beispiel:
In der Abbildung wird ein Flipper bei A ausgelöst.

Wie viele Wege gibt es, um von A nach E zu fallen?

Lösung:
von A nach B: 2
B bis C: 6
A bis C: 2 × 6 = 12
C bis D: 70
A bis D: 12 × 70 = 840
D bis E: 2
A bis E: 2 × 840 = 1680

Es gibt 1680 Wege von A nach E

Beispiel:
Eine Gruppe von Geschäftsleuten nahm an einem Networking-Meeting teil. Jeder Geschäftsmann tauschte seine Visitenkarte mit jedem anderen anwesenden Geschäftsmann aus.

a) Bei 16 Geschäftsleuten, wie viele Visitenkarten wurden ausgetauscht?

b) Wenn insgesamt 380 Visitenkarten ausgetauscht wurden, wie viele Geschäftsleute waren bei dem Treffen dabei?

Lösung:
a) 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 120 Austausch

120 × 2 = 240 Visitenkarten

Bei 16 Geschäftsleuten wurden 240 Visitenkarten ausgetauscht.

190 = (19 × 20) ÷ 2 = 19 + 18 + 17 + … + 3 + 2 + 1

Wenn insgesamt 380 Visitenkarten ausgetauscht wurden, waren 20 Geschäftsleute beim Treffen.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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6.1: Federprobleme I - Mathematik

Das Federmassenproblem wäre das häufigste und wichtigste Beispiel gleichzeitig in der Differentialgleichung. Gerade wenn du Maschinenbau studierst oder arbeitest, wärst du mit dieser Art von Modell bestens vertraut.

Die Modellierungsbeispiele auf dieser Seite sind:

  • Einzelne Feder
  • Einfache harmonische Bewegung - Vertikale Bewegung - Dämpfung
  • Einfache harmonische Bewegung – Vertikale Bewegung – Dämpfung und externe Kraft
  • Einfache harmonische Bewegung – Horizontale Bewegung – Keine Dämpfung
  • Einfache harmonische Bewegung – Horizontale Bewegung – Dämpfung
  • Zwei Massen gekoppelt mit Drei Federn ohne Dämpfung
  • Drei Massen gekoppelt mit Vier Federn ohne Dämpfung
  • Vier Massen gekoppelt mit fünf Federn ohne Dämpfung
  • N (z. B. 100) gekoppelte Feder ohne Dämpfung
  • Einzelmasse gekoppelt mit zwei Federn mit gemeinsamer Dämpfung
  • Zweimassengekoppelt Drei Federn mit Dämpfung
  • Invertierte Federmasse mit Dämpfung
  • Invertierte Feder-Masse mit Dämpfung und beweglicher Grundlinie
  • Invertierte Feder-Masse mit Dämpfung und beweglicher Grundlinie und externer Kraft
  • Quarter Car Model (Autoaufhängung für Honrad)
  • Fahrzeugaufhängungssystem

Die Beispiele in diesem Abschnitt sind fast identisch mit dem, was Sie in Physik an der High School gelernt haben. Der einzige Unterschied ist, dass in der Physik der High School nichts über Differentialgleichungen gelehrt wird. Sie zeigen Ihnen also nur die endgültige Schlussfolgerung der mathematischen Modellierung, ohne Differentialterme zu verwenden. Das physikalische Modell ist jedoch genau das gleiche.

Dies ist eines der bekanntesten Beispiele für Differentialgleichungen. Wahrscheinlich haben Sie das allgemeine Verhalten dieser Art von Feder-Masse-Systemen bereits in der Oberstufenphysik in Bezug auf das Hooksche Gesetz oder die Harmonische Bewegung kennengelernt. Natürlich haben Sie in der Physik der High School noch nichts von 'Differentialgleichung' gehört. (Was die allgemeine Einführung dieses Systems betrifft, sehen Sie sich dieses hervorragende Video an und erhalten Sie eine intuitive Vorstellung vom System: Mechanical Universe 16 - Harmonic Motion. Wenn dieser Link nicht funktioniert, suchen Sie auf YouTube mit dem Stichwort "Mechanical Universe 16 - Harmonic". Bewegung').

Das Beispiel in diesem Abschnitt handelt vom Idealfall eines Einzelfeder- und Einzelmassensystems und es wird angenommen, dass keine Reibung und keine Dämpfung vorhanden ist, d.h. es gibt nichts, was der Bewegung der einzelnen Komponenten (Feder und Masse) entgegensteht.

In Wirklichkeit kann man ein solches Ideensystem nicht haben. Viele Lehrbücher (andere Materialien) über Differentialgleichungen würden jedoch hauptsächlich mit diesen Beispielen beginnen, weil diese Ihnen die grundlegendste Form von Differentialgleichungen basierend auf dem zweiten Newtonschen Gesetz geben würden und viele Beispiele aus dem wirklichen Leben aus diesen Beispielen abgeleitet werden Hinzufügen einiger realistischer Faktoren (zB Dämpfung, Reibung, äußere Kräfte usw.).

Basierend auf der für dieses System maßgebenden Gleichung könnten Sie alle auf das System wirkenden Komponentenkräfte wie unten gezeigt auflisten.

Wenn Sie diese beiden Teile kombinieren, erhalten Sie die Gleichung als (1) und mit ein wenig Umordnung erhalten Sie die Gleichung als (2). Sie fragen sich vielleicht "Muss ich (1) immer neu anordnen?". Die Antwort ist nein. Die Gleichungen (1) und (2) sind völlig gleich. Die physikalische Interpretation von (1) und (2) kann ein wenig variieren, aber mathematisch sind sie gleich. Sie werden beide Formulare für genau dasselbe physische Modell in verschiedenen Materialien (z. B. Lehrbücher, Internet usw.) sehen.

Lösung : Die Lösung dieser Gleichung in grafischer Form ist in meiner visuellen Notiz (www.slide4math.com) veröffentlicht. Es wird in mehreren Fällen angezeigt, abhängig von der Änderung jedes Parameters, wie unten aufgeführt.

  • Grafische Lösung mit der Änderung der Ausgangsposition: Überprüfen Sie dies.
  • Grafische Lösung mit der Änderung der Federkonstante (k): Überprüfen Sie dies.
  • Grafische Lösung mit der Änderung der Masse (m): Überprüfen Sie dies.

Dieses Beispiel ist nur eine kleine Erweiterung des vorherigen Beispiels. Wie ich oben erwähnt habe, handelt es sich im vorherigen Beispiel um einen Idealfall, in dem nichts der Bewegung von Feder oder Masse entgegensteht (widersteht). In diesem Beispiel fügen wir nur kleine Komponenten hinzu, die das System mehr wie ein reales System machen. In der echten Feder gibt es immer einige Faktoren, die der Federbewegung entgegenstehen (Kontraktion und Expansion), als ob es immer eine Art Reibung gibt, wenn Sie ein Objekt (eine Masse) auf einer Oberfläche (z. B. einem Tisch) bewegen. Dieser gegensätzliche Faktor im Federsystem wird als Dämpfung bezeichnet.

Da Sie die Reibung auf einer Oberfläche nicht vollständig beseitigen können, können Sie diese Art von Dämpfung nicht vollständig entfernen, so sehr Sie es auch versuchen. In einigen Fällen (z. B. bei Stoßdämpfern von Motorrädern oder Automaten) fügen wir physikalisch spezielle Komponenten hinzu, die diese Art der Dämpfung erhöhen. In der realen Modellierung eines Federsystems würde also die erste zusätzliche Komponente zum Ideenmodell hinzugefügt ein Dämpfer sein. Normalerweise wird ein Dämpfer wie unten gezeigt dargestellt (sieht aus wie ein sehr einfacher Kolben).

Basierend auf der für dieses System maßgebenden Gleichung könnten Sie alle auf das System wirkenden Komponentenkräfte wie unten gezeigt auflisten. Sie werden feststellen, dass die meisten Komponentenfaktoren denen des vorherigen Beispiels entsprechen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Gleichung eine Dämpfungskraft hinzugefügt wird.

Wenn Sie diese beiden Teile kombinieren, erhalten Sie die Gleichung als (1) und mit ein wenig Umordnung erhalten Sie die Gleichung als (2). Sie fragen sich vielleicht "Muss ich (1) immer neu anordnen?". Die Antwort ist nein. Die Gleichungen (1) und (2) sind völlig gleich. Die physikalische Interpretation von (1) und (2) kann ein wenig variieren, aber mathematisch sind sie gleich. Sie werden beide Formulare für genau dasselbe physische Modell in verschiedenen Materialien (z. B. Lehrbücher, Internet usw.) sehen.

Auch dieses Beispiel ist eine Art Idealfall wie im ersten Beispiel. Es wird davon ausgegangen, dass keine Reibung an der Oberfläche und keine Dämpfung an der Feder vorhanden ist. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Feder und Masse in horizontaler Richtung liegen und sich das Objekt in horizontaler Richtung bewegt.

Die maßgebende Gleichung ist dieselbe wie im vorherigen Beispiel (d. h. basierend auf dem zweiten Newtonschen Gesetz). Sie werden jedoch feststellen, dass die Liste der auf die Masse angewendeten Faktoren (Kräfte) viel einfacher ist als im vorherigen Beispiel. Denn um die Gravitationskräfte in diesem idealen System müssen wir uns keine Sorgen machen.

Wenn Sie diese beiden Teile kombinieren, erhalten Sie die Gleichung als (1) und mit ein wenig Umordnung erhalten Sie die Gleichung als (2). Sie fragen sich vielleicht "Muss ich (1) immer neu anordnen?". Die Antwort ist nein. Die Gleichungen (1) und (2) sind völlig gleich. Die physikalische Interpretation von (1) und (2) kann ein wenig variieren, aber mathematisch sind sie gleich. Sie werden beide Formulare für genau dasselbe physische Modell in verschiedenen Materialien (z. B. Lehrbücher, Internet usw.) sehen.

HINWEIS: Ich habe die grafische Lösung dieser Gleichung in meine visuelle Notiz www.slide4math.com eingefügt. Sie können überprüfen, wie sich die Lösung ändert, wenn die Parameter in den Gleichungen wie unten aufgeführt variieren.

  • Wie ändert sich die Lösung, wenn sich k ändert? - Überprüfe hier
  • Wie ändert sich die Lösung, wenn sich m ändert? - Überprüfe hier
  • Wie ändert sich die Lösung, wenn sich die Anfangsbedingung (Anfangsverschiebung) ändert? - Überprüfe hier.

Dieses Beispiel ist eine kleine Erweiterung des vorherigen. In diesem Zustand nehmen wir an, dass die Feder bei ihrer Bewegung eine Dämpfung erfährt.

Die maßgebende Gleichung ist dieselbe wie im vorherigen Beispiel (d. h. basierend auf dem zweiten Newtonschen Gesetz). Sie sehen, dass hier ein zusätzlicher Faktor (Dämpfung) hinzukommt.

Combining these two parts you will get the equation as (1) and with a little bit of rearrangement you will get the equation as (2). You may ask "Do I have to rearrange (1) always ?". The answer is NO. The equation (1) and (2) are completely same. The physical interpretation of (1) and (2) may vary a little bit, but mathemtically they are same. You will see both forms for the exactly same physical model in various material(e.g, textbook, internet etc).

NOTE : I put the graphical solution of this equation in my visual note www.slide4math.com. You can check how the solution changes as the parameters in the equations varies as listed below.

  • How the solution changes as k changes ? - Check Here
  • How the solution changes as m changes ? - Check Here
  • How the solution changes as c changes ? - Check Here
  • How the solution changes as the initial condition (initial displacement) changes ? - Check Here.

This example is a little bit of extention to the previous one. In this condition, we assume the cases where some external forces acting upon the mass. I think this can be an example with almost all the essential component/factors of a spring mass system. You see the mass, damping, spring coefficient and external force. In theory, by combining (concatenating) this fundmental component you would be simulate almost any form of dynamic system.

You can think of external forces in many different pattern. In this example, I assume that the external force is in the form of sinosoidal which means it is changing at certain periodicity and amplitude.

Governing equation is same as in previous example (i.e, based on Newton's second law). You see that one additional factor (External Force) is added here.

Combining these two parts you will get the equation as (1) and with a little bit of rearrangement you will get the equation as (2). You may ask "Do I have to rearrange (1) always ?". The answer is NO. The equation (1) and (2) are completely same. The physical interpretation of (1) and (2) may vary a little bit, but mathemtically they are same. You will see both forms for the exactly same physical model in various material(e.g, textbook, internet etc).

NOTE : I put the graphical solution of this equation in my visual note www.slide4math.com. You can check how the solution changes as the parameters in the equations varies as listed below. One thing I want to emphasize about the solution of this equation (i.e, the behavior of the motion) is that it would show the much complicated pattern comparing to the case without the external force. With this kind of perodic external force, the system would show an interesting behavior called 'Resonance'. I will write a seprate note about resonance later.. for now I would recommend you to look into some of the solution of this equation association with frequency response.

  • How the solution changes (how the mass moves) as the frequency of external force with different dampings - See here, here, here
  • How the solution changes (especially how the amplitude of the movement changes) with varying damping coefficient around the resonance frequency - see here.

In this example, you have learned how to model the motion of a mass tied to a vertical spring. From this very simple example, you can extend to more and more complicated situation which is closer to real engineering example. Following would be general steps on how to extend this simple spring model to more complicated situation (There are no detailed explanation about the modeling process. It would just give you the differential equation and show how the solution of the equation look like, but I hope you would not have much difficulties understand the equations). First two are the one you saw in this example, but I listed here to show you how the solution look like.

The examples in this section will be very usefull to model various mechanical system. You would say "This is just two springs or three springs connected to each other.. doesn't look like very useful". But there are many mechanical problems that can be described in the form of multiple masses connected to each other with springs. For example, you can model an entire automobiles with several hundreds masses connected to each other by several undreds springs and can analyze how the each parts of the whole car vibrate when you drive it along a bumpy road.

You may think this kind of simple two or three spring model is not related to such a complicated model for the entire car, but in reality the logic and process of modeling is exactly same. You would just have several dozens of differential equations in stead of two or three equeations, which is very similar to what you see here.

Don't worry about solving a system differential equation which is made up of several hundred equations. Nobody do it by hand. There is a lot of computer tools to do this. Your job is to fill in the parameters or sometimes mathmatical equations to such tools and to do that you have to understand the meaning/logics of the mathematical model.

Now let's look into a little bit more complex spring model as shown below.

At the first look, you may be overwhelmed by the complexity of the situation. But don't be scared, there is an easy way to do the modeling for this kind. The trick is to split the problem into multiple single spring situation. Then you can use the logic that you have learned in the single spring model. (Note : This is a model which may be simpler than the real life system. First, you don't see any external forces applied to any of the mass. Also, you don't see any friction (or damping) is applied to the mass. It means the movement of the mass is only determined by spring force).

In this example, we can split the whole system into following two single spring model. As you see, the governing rule is same as the one we saw in the single spring model. (If you get familiar with this kind of splitting method, you can easily do the modeling for a system with even 100 mass/springs. Logic would be the same. You would get 100 differential equations of single spring-mass. that's it). I think the biggest question you may have at this point is how the sign of each component equation is determined ? That is, why some part has 'negative' sign and some other parts does not have the negative sign ? (This is super.. super . super .. important.. but not easy to explain in simple manner. So I created a separate post for this. Refer to 'How each the sign of each component terms are determined ?' )

If you can draw a diagram as shown above and express the behavior of each component in a mathmatical form, it is the end of modeling. You already complete the modeling of this system. But to convert the model into a set of differential equations that is familiar to us, let's rearrange the each of the mathematical components.

Let's start with the model for the first mass-spring component. Actually the first line can express the physical meaning of the model the best, but for mathematical convinience or for applying other analytic method, we often do this kind of rearrangement, but there is no single best expression. if you see various textbooks, you would notice that everybody would use a little bit different format. So just pick one of this form and trying to memorize it would not have any practical use.. try to understand the meaning of each component in stead of memorizing the equation.

Let's start with the model for the second mass-spring component. EIN

Through the process described above, now we got two differential equations and the solution of this two-spring (couple spring) problem is to figure out x1(t), x2(t) out of the following simultaneous differential equations (system equation).

This is the end of modeling. But some textbook likes to express this kind of simultaneous equations into a matrix form as follows. This is just a different ways of expression but sometimes looks very intimidating. (This is just a psychological issues that I mentioned the introduction page).

Not let's add another Spring-Mass to make it three mass with four springs.

You may ask "Until when you will keep adding like this ? Are you going to make 100 examples for these ?

Please be patient. We are almost reaching the destination.

Now just summerize the governing equations for each of the masses. It would look as follows.

Now we need to create a system equation from the set of governing equations, but I would not go through this process step-by-step. Please try on your own to make yourself more familiar with the process. The result would look as follows.

Now let's look into the matrix K more detail and try to see if there is any recognizable pattern. Try to find out pattern on your own before you see the answer. The answer is as follows.

If you gets familiar with this pattern, you don't even think about all the detailed/tedious procedure you went through in previous examples. Your finger can create these matrix mechanically. You can even create a small program to create these matrix even though you are not an expert programmer.

NOTE : You may construct the Stiffness Coefficient matrix just by applyting the technique to construct the Stiffness matrix instead of deriving the whole differential equation.

Now let's add one more Spring-Mass to make it 4 masses and 5 springs connected as shown below.

Now let's summarize the governing equation for each of the mass and create the differential equation for each of the mass-spring and combine them into a system matrix.

Do you really want me to do this ?

No worries.. it is just kidding.

I just want you to apply the pattern that you saw in previous example. You can easily(?) get the following system equation.(If this is not easy for you, look into the illustration showing the pattern in previous example).

NOTE : You may construct the Stiffness Coefficient matrix just by applyting the technique to construct the Stiffness matrix instead of deriving the whole differential equation.

You would yell at me if I ask you to build the system equation by going through the governing equation for each of the spring-mass. of the following Spring-Mass System

However, you can build the system equation if you apply the pattern that you saw in previous example.

I know it would take long time, but it would not drive you crazy.

If you have anlalyzed the logics (patterns) of the matrix shown in previous example, you may (I hope) construct the N x N matrix as shown below.

NOTE : You may construct the Stiffness Coefficient matrix just by applyting the technique to construct the Stiffness matrix instead of deriving the whole differential equation.

What if we have the coupled spring system as shown below. It would look almost the same as we saw in previous example. If you look carefully into it, you will notice that the first and last spring has open end which is not tied to the wall.

If you are trying to create the governining equations for each mass from scratch, you may feel some difficulties to create the differential equation for the first and last spring since it is new pattern for you. But if you think this problem from just a little bit different perspective, you will realize that this is also exactly same problem as you saw in previous examples. Just replace the open ends with a spring which has k = 0 as shown below.

With this small modification and the matrix creation pattern you saw in previous example, you can build the system equation within one minute. Just plug 0 into k1 and k5.

And you will get answer as shown below.

NOTE : You may construct the Stiffness Coefficient matrix just by applyting the technique to construct the Stiffness matrix instead of deriving the whole differential equation.

This example is just half step extension of previous example. It is made up of two mass and three springs which is the same as in previous example. The only difference is that damping factors are introduced as shown below.

If you have followed through the previous examples, you may know what to do by now.

i) Split the given model into each component

ii) Define the governing rules for each component.

This is the procedure for any kind of mathemtical modeling.

The governing rule of the first component is as follows. Overall logic is

i) Define all the forces being applied to the object

ii) Draw arrows represending the direction of the force (Be very careful of determining the direction of arrows since it determines the sign of the mathematical term)

iii) Write the mathematical formula to each of the forces (arrows)

Next step is to combine all the mathematical components of each arrow and the motion of the movement into a single equation as follows. The first line is the orginal form. All the other lines are just rearrangement of the first line, so mathematically they are all same. You can just pick whatever you want for your needs/preference, but the last one and the second-to-the-last one are the most common forms.

Do the same thing for the second component as shown below.

Now we have two differential equations for two mass (component of the system) and let's just combine the two equations into a system equations (simultaenous equations) as shown below.

In most cases and in purely mathematical terms, this system equation is all you need and this is the end of the modeling. But in some case you may want to convert these system equations into a set of the first order equations as follows. (If you are not familiar with this kind of conversion process, refer to Converting High Order Differential Equation into First Order Simultaneous Differential Equation)

Once you have a set of differential equation which are all first order, you can easily convert it in the form of Matrix equation as shown below. (If you are not familiar with this kind of conversion, refer to Differential Equation meeting Matrix)

Now let's look at a simple, but realistic case. Let's assume that a car is moving on the perfactly smooth road. This can be illustrated as follows. The body of the car is represented as m, and the suspension system is represented as a damper and spring as shown below. (Note: You may ask why the gravitational force being applied to the mass is not considered here. It is because of the assupmtion that the equilibrium point is set so that the gravitational force is cancelled out. See the Simple Spring example about the equilibrim point)

The differential equation can be represented as shown below. I will not describe the steps to come up with this equation. Try yourself to figure out how to derive this equation based on previous examples. You would not have much difficulties for it.

This example is similar to previous example, but has one additional factor. In this example, the car is not moving along a smooth road. it is moving a long a bumpy road as illustrated on the left side. This can be modeled in a similar way to the previous example except that the base line is moving as illustrated on the right side.

The differential equation can be represented as shown below. I will not describe the steps to come up with this equation. Try yourself to figure out how to derive this equation based on previous examples. You would not have much difficulties for it. You would notice that another displace variable y2 is introduced in this equation.

If the car is moving on perfectly harmonic surface, the y2 can be expressed as a trigonometric function (e.g, cos(w t)) and the w can be determined by the speed of the car. So with this equation, you can figure out how the body of the car will move up and down when the car is moving on a bumpy road with a certain velocity.

This example is similar to previous example, but has one additional factor. In this example, the car is moving along a bumpy road and it also is under some external force. (In most case, the car is experencing various internal vibration and the vibration can be a kind of external force). This can be modeled in a similar way to the previous example except that the base line is moving as illustrated on the right side.

The differential equation can be represented as shown below. I will not describe the steps to come up with this equation. Try yourself to figure out how to derive this equation based on previous examples. You would not have much difficulties for it. You would notice that another displace variable y2 is introduced in this equation.

If the car is vibrating in a harmonic function with a certain frequency and the F can be expressed as a trigonometric function (e.g, cos(f t)). So with this equation, you can figure out how the body of the car will move up and down when the car is moving on a bumpy road with a certain velocity and the body is also expericing vibration.

You can practice what you learned from the previous two examples and this is the one that can be easily extended for a real life problem. You can easily apply this example to model a suspension system of a vehicle.

It may look a little bit scary, but the logic of the modeling is always the same however complex system it is.

Do you remember the logic (process) ?

i) Break down the system into each component. (When you see this kind of spring-mass system, each Mass is the building block of the system).

ii) Draw the arrows (vectors) to represent the direction of Forces being applied to each component.

iii) Write down mathematical formula for each of the arrows (vectors).

iv) Combine all the component formula into a single differential equation

Now Let's start with the first component. Can you identify the component ? M1 is the first component. Mark all the springs, damper and applied force for the component as shown below.

Now draw arrows (vectors) to represent forces being aplied to the component (Mass) as shown below.

Now combine each component formula into single differential equation as shown below.

Now Let's start with the second component. Can you identify the component ? M2 is the first component. Mark all the springs, damper and applied force for the component as shown below.

Now draw arrows (vectors) to represent forces being aplied to the component (Mass) as shown below.

Now combine each component formula into single differential equation as shown below.

With a little bit of operation, you can simplify the equation into the one as follows.

If you combine the equation for component 1 and component 2, you would get a system equation as follows.

I wouldn't do this here, but I recommend you to try to convert this into a matrix form. It will be a good practice for first order conversion and matrix form conversion.


KidZone Math Spring Themed Word Problems

The spring word problem worksheets are listed by grade.

All of the spring word problems are dynamic (in other words, they regenerate a new problem each time you open them or click refresh on your browser). The words in the particular problem will not change but the numbers will.

Children who struggle converting a word problem into a math equation will find it reassuring (confidence builder) to revisit the same verbal clues with different numbers.

When reviewing the spring word problems, you may find the math itself to be a little bit easier than you would expect from the grade. This is intentional - keep in mind how challenging it is for the children to sift through the verbal clues and figure out what they need to do to the numbers provided to find the answers.

Please close the worksheet window when you have finished printing the worksheet.


MATH 1080

If you have any questions or concerns regarding MATH 1080, contact the course coordinator, Dr. Meredith Burr at [email protected]

  • Exam 1 is on Sections 6.1 - 6.7 and 8.1 - 8.2. The exam is 30% multiple choice and 70% free response.
  • Zoom sessions for the exam will open by 5:15 pm. Students need to join their assigned Zoom session by 5:25 pm for completing the environmental scan. The exam will begin in Canvas with Respondus LockDown Browser at 5:30 pm and students will have 95 minutes to complete the exam. Students will scan and upload their work to Gradescope after completing the exam.
  • Exam Zoom session links will be emailed to students on Tuesday, Feb. 2. that will be provided with Exam 1 – lists the relevant problems from old exams and suggested problems from the text
  • Calculus Fight Club (Monday, February 1 from 9 pm – midnight, location: Zoom
    • "Calculus Fight Club" (CFC) is a collaborative exam review session on the Monday before Wednesday exams. During this time we will cover the topics and sections listed as being on your exam and work through problems similar to what you might expect to see.
    • The sessions are drop-in, so feel free to come and go as you are available and as you please. Each course is coordinated by an experienced PAL leader and assisted by student leaders who have performed well in the course, who are available to help answer questions you have about the material and show you examples.
    • Exam 2 is on Sections 8.3 - 8.6, 8.9, and 10.1 - 10.4
    • Formula sheet/reference sheets provided with Exam 2: Formula sheetSeries summary sheet – lists the relevant problems from old exams and suggested problems from the text
    • Calculus Fight Club (Monday, March 1 from 9 pm – midnight, location: Zoom ) Exam 2 Free Response Key Exam 2 Multiple Choice Key
    • Exam 3 is on Sections 10.5 - 10.8, 11.1 - 11.4, 12.1
    • Formula sheet/reference sheets provided with Exam 3: Formula sheetSeries summary sheet – lists the relevant problems from old exams and suggested problems from the text
    • Calculus Fight Club (Monday, April 12 from 9 pm – midnight, location Zoom) Exam 3 Free Response Key Exam 3 Multiple Choice Key
    • The Final Exam is cumulative. – includes suggested problems from the text and refers to problems on old exams
    • Collection of Final Exam Review Problems

    The order in which the curriculum is taught and tested varies from semester to semester. Do not assume that the content of one of the previous exams is exactly the content of your corresponding unit exam.


    Grade 5 word problems worksheets

    • Mixed 4 operations (addition, subtraction, multiplication, division)
    • Estimating and rounding word problems (based on the 4 operations)
    • Add and subtract fractions and mixed numbers (like and unlike denominators)
    • Multiplying and dividing fractions
    • Mixed operations with fractions (add, subtract, multiply, divide)
    • Decimals word problems (add, subtract, multiply)
    • Length word problems (customary and metric units)
    • Mass and weight word problems (oz, lbs / gm, kg)
    • Volume and capacity word problems
    • Variables and expressions word problems
    • Variables and equations word problems
    • Volume of rectangular prism
    • GCF / LCM word problems
    • Mixed word problems

    6.1: Spring Problems I - Mathematics

    For over seventy-five years, New York City has held a leading position in the world of Mathematics competitions at all levels. The New York City Math Team (NYCMT) provides the means by which interested, outstanding students may prepare in order to collectively represent NYC in State, Regional, and National Mathematics Competitions.

    The New York City Math Team is supported and run by NYC Math Team Inc, a 501c3 nonprofit organization.

    For students: The New York City Math Team is a place for students interested in mathematics to interact with one another and to learn math, solve problems and participate in math competitions. We strive to engage and encourage all interested students to join this highly enriched community in which like-minded, interested students deepen their appreciation, understanding and enjoyment of Mathematics.

    For teachers: The New York Math Team also welcomes coaches to attend team practices, give presentations, start their own math teams and become part of the math community.


    Spring Printables

    • Spring Jelly Bean EggOne to One Correspondence Activities
    • Super cute Carrot Shape Playdough Mats for Spring
    • Spring Counting Games for Kindergarten 1-20
    • Count the Bunny Number Flashcards for preschoolers
    • Rainbow Color Matching Game
    • Practice adding numbers with this free printable Spring Addition Matching Game
    • Planting Carrots CVC Words Activity
    • Fruit Loop Rainbow Printables Ten Frame Math Activity
    • Count to 20 Spring Playdough Mats
    • Rainbow Shape Playdough Mats
    • Grab these cute Spring Printables Sudoku Puzzles for kids
    • Seed Find the Letter Worksheets
    • Frog Alphabet Game Matching Printable
    • Kite Beginning Sound Activities printable craft for spring
    • Spring Do a Dot Printables
    • Print and GO Spring Scavenger Hunt
    • Spring Step by Step Drawings
    • Practice reading with this Spring sight word cut and paste reader Pack
    • Spring Telling Time Worksheets to improve reading and spelling skills with these spring puzzles
    • Cute Blubird Soring Blends Activity for first and second graders.
    • LOTS of fun PLANTS arts and crafts for preschool and kindergartners