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8.2E: Die inverse Laplace-Transformation (Übungen) - Mathematik


Q8.2.1

1. Verwenden Sie die Tabelle der Laplace-Transformationen, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3über(s-7)^4})
  2. ( {2s-4über s^2-4s+13})
  3. ( {1über s^2+4s+20})
  4. ( {2über s^2+9})
  5. ( {s^2-1over(s^2+1)^2})
  6. ( {1über(s-2)^2-4})
  7. ( {12s-24over(s^2-4s+85)^2})
  8. ( {2über(s-3)^2-9})
  9. ( {s^2-4s+3over(s^2-4s+5)^2})

2. Verwenden Sie Satz 8.2.1 und die Tabelle der Laplace-Transformationen, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {2s+3über(s-7)^4})
  2. ( {s^2-1over(s-2)^6})
  3. ( {s+5über s^2+6s+18})
  4. ( {2s+1über s^2+9})
  5. ( {süber s^2+2s+1})
  6. ( {s+1über s^2-9})
  7. ( {s^3+2s^2-s-3over(s+1)^4})
  8. ( {2s+3über(s-1)^2+4})
  9. ( {1über s}-{süber s^2+1})
  10. ( {3s+4über s^2-1})
  11. ( {3über s-1}+{4s+1über s^2+9})
  12. ( {3über(s+2)^2}-{2s+6über s^2+4})

3. Verwenden Sie die Methode von Heaviside, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3-(s+1)(s-2)über(s+1)(s+2)(s-2)})
  2. ( {7+(s+4)(18-3s)über(s-3)(s-1)(s+4)})
  3. ( {2+(s-2)(3-2s)über(s-2)(s+2)(s-3)})
  4. ( {3-(s-1)(s+1)über(s+4)(s-2)(s-1)})
  5. ( {3+(s-2)(10-2s-s^2)über(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)})
  6. ( {3+(s-3)(2s^2+s-21)über(s-3)(s-1)(s+4)(s-2)})

4. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {2+3süber(s^2+1)(s+2)(s+1)})
  2. ( {3s^2+2s+1über(s^2+1)(s^2+2s+2)})
  3. ( {3s+2über(s-2)(s^2+2s+5)})
  4. ( {3s^2+2s+1über(s-1)^2(s+2)(s+3)})
  5. ( {2s^2+s+3over(s-1)^2(s+2)^2})
  6. ( {3s+2over(s^2+1)(s-1)^2})

5. Verwenden Sie die Methode von Beispiel 8.2.9, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3s+2über(s^2+4)(s^2+9)})
  2. ( {-4s+1over(s^2+1)(s^2+16)})
  3. ( {5s+3over(s^2+1)(s^2+4)})
  4. ( {-s+1over(4s^2+1)(s^2+1)})
  5. ( {17s-34over(s^2+16)(16s^2+1)})
  6. ( {2s-1over(4s^2+1)(9s^2+1)})

6. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {17 s-15über(s^2-2s+5)(s^2+2s+10)})
  2. ( {8s+56over(s^2-6s+13)(s^2+2s+5)})
  3. ( {s+9over(s^2+4s+5)(s^2-4s+13)})
  4. ( {3s-2over(s^2-4s+5)(s^2-6s+13)})
  5. ( {3s-1over(s^2-2s+2)(s^2+2s+5)})
  6. ( {20s+40over(4s^2-4s+5)(4s^2+4s+5)})

7. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {1über s(s^2+1)})
  2. ( {1über(s-1)(s^2-2s+17)})
  3. ( {3s+2über(s-2)(s^2+2s+10)})
  4. ( {34-17sover(2s-1)(s^2-2s+5)})
  5. ( {s+2über(s-3)(s^2+2s+5)})
  6. ( {2s-2over(s-2)(s^2+2s+10)})

8. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {2s+1über(s^2+1)(s-1)(s-3)})
  2. ( {s+2over(s^2+2s+2)(s^2-1)})
  3. ( {2s-1over(s^2-2s+2)(s+1)(s-2)})
  4. ( {s-6over(s^2-1)(s^2+4)})
  5. ( {2s-3über s(s-2)(s^2-2s+5)})
  6. ( {5s-15over(s^2-4s+13)(s-2)(s-1)})

9. Gegeben sei (f(t)leftrightarrow F(s)), bestimme die inverse Laplace-Transformation von (F(as-b)), wobei (a>0) gilt.

10.

  1. Wenn (s_1), (s_2), …, (s_n) verschieden sind und (P) ein Polynom vom Grad kleiner als (n) ist, dann gilt [{P(s) über(s-s_1)(s-s_2)cdots(s-s_n)}= {A_1über s-s_1}+{A_2über s-s_2}+cdots+{A_nüber s-s_n}. nonumber ] Multiplizieren Sie mit (s-s_i), um zu zeigen, dass (A_i) erhalten werden kann, indem man den Faktor (s-s_i) links ignoriert und (s=s_i) an anderer Stelle setzt.
  2. Angenommen (P) und (Q_1) sind Polynome mit (mbox{Grad}(P)lembox{Grad}(Q_1)) und (Q_1(s_1) e0). Zeigen Sie, dass der Koeffizient von (1/(s-s_1)) in der Partialbruchentwicklung von [F(s)={P(s)over(s-s_1)Q_1(s)} onumber] ist (P(s_1)/Q_1(s_1)).
  3. Erklären Sie, wie die Ergebnisse von (a) und (b) zusammenhängen.

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F: Aufgabe: L'Hôpital's-Regel. Fügen Sie unterstützende mathematische Aussagen in eine grammatische Kor- ein.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an y = (e3x - 2)4 am Punkt (0,1) und lösen Sie dann nach y auf.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Verwenden Sie die Schalenmethode, um das Integral einzurichten und auszuwerten, das das Volumen des erzeugten Volumenkörpers angibt.

A: Umdrehungsvolumen um die x-Achse

F: Bestimmen Sie, ob die Funktion ansteigend, absteigend oder keines von beiden ist: 1 (a) f(x) = 3-* (b) f(x) %3D .

F: 2) Sei f(x) = lIn(2x) Finden Sie das 3. Taylor-Polynom zentriert bei c= 1 für f(x)

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Verwenden Sie den Graphen, um die folgenden Integrale auszuwerten: Verwenden Sie pi, um t h(x) dx = . darzustellen

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

A: Die statistische Analyse umfasst verschiedene mathematische Operationen, die vom einfachen Zählen bis zum .


Einführung

Heterogene Träger werden häufig im Maschinenbau, in der Biomechanik und im Bauwesen, in der Automobil- und Luft- und Raumfahrtindustrie und in anderen Bereichen verwendet. Ihre Materialeigenschaften können so ausgelegt werden, dass sie das Verhalten von Strukturen, in die sie eingebettet sind, verbessern. Laminatträger (LBs) sind die am häufigsten verwendeten Trägertypen. Probleme von LBs werden seit vielen Jahrzehnten untersucht und daher gibt es eine Vielzahl von Arbeiten, die über statische Probleme und über durch analytische oder numerische Ansätze gelöste Probleme freier oder erzwungener Schwingungen berichten. Um das dynamische Verhalten zu untersuchen, werden gewöhnlich vereinfachte eindimensionale Theorien verwendet, von der klassischen Balkentheorie, die Rotationsträgheit und Scherverformung ignoriert, bis hin zu Theorien höherer Ordnung und speziellen Theorien, die sich der exakten 3D-Elastizitätstheorie nähern. Einen erschöpfenden Überblick über die auf diesem Gebiet in den letzten drei Jahrzehnten veröffentlichten Arbeiten geben Hajianmaleki und Qatu in Hajianmaleki and Qatu (2013). Die Autoren berichten über 250 Veröffentlichungen und Bücher zu den existierenden Balkenmodellen und -theorien, den gängigsten Methoden zur Lösung der Bewegungsgleichungen und einigen spezifischen Anwendungen wie Smart Beams, Damaged Beams oder Sandwich Beams.

In den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts wurden funktional gradierte Materialien (FGMs) mit kontinuierlich veränderlichen Eigenschaften in eine oder mehrere Richtungen entwickelt. Die Arbeit (Niino et al., 1987) ist wahrscheinlich die erste Veröffentlichung über ein neues Material, dessen Eigenschaften sich allmählich von Keramik zu Metall ändern. Im Gegensatz zu Laminaten und anderen geschichteten Materialien sind FGMs beständig gegen die Entstehung und Ausbreitung eines Risses, gegen Delamination und gegen andere Phänomene, die mit der Verbindung zweier unterschiedlicher Materialschichten oder Komponenten zusammenhängen. Daher sind in den letzten zwei Jahrzehnten funktionell gradierte (FG) Träger und Schichtträger mit FG-Kern oder -Schichten von großem Interesse.

Arbeiten zu funktional gestuften Balken (FGBs) sind nicht so zahlreich wie bei LBs und angesichts der in der Literatur gefundenen Arbeiten ist das Verhältnis der analytischen zu den numerischen Studien deutlich größer. Bei den statischen 2D-Problemen die Technik der Airy-Spannungsfunktion (Zhong und Yu, 2006, Zhong und Yu, 2007, Ding et al., 2007, Meiqin und Liu, 2010) und der Verschiebungsfunktion (Nie et al., 2013) werden in der Regel angewendet. Der Vergleich der exakten ebenen Elastizitätstheorie mit einer neuen Balkentheorie vom Euler-Bernoulli-Typ erfolgt in Sankar (2001). Dazu wird die Problematik eines einfach gelagerten FGB unter Querbelastung ausgenutzt. Dies ist wahrscheinlich eines der am häufigsten zitierten Papiere, die sich mit den statischen Problemen von FGBs befassen. Die analytische Untersuchung der dynamischen Reaktion von FGBs erfolgt hauptsächlich mit Hilfe von 1D-Strahltheorien wie im Fall von LBs. Sinaet al. bei Sina et al. (2009) verwendeten eine Balkentheorie höherer Ordnung, die für laminierte Verbundbalken in Dadfarnia (1997) entwickelt wurde, um die freie Schwingung von FGB unter verschiedenen Randbedingungen zu lösen. Anhand der erhaltenen Eigenfrequenzen und Eigenformen wird der Einfluss der Scherverformung, der Randbedingungen und des Volumenfraktionsindex diskutiert. Ein vereinheitlichter Ansatz zur Lösung statischer oder dynamischer Probleme von FG- und Schichtträgern vom Euler-Bernoulli- und Timoshenko-Typ wird in Li (2008) vorgestellt. Basierend auf der modifizierten Timoshenko-Theorie wird das Problem eines freitragenden FGB gelöst und die Auswirkungen von Rotationsträgheit und Schubverformung im Hinblick auf die sich im untersuchten Balken ausbreitenden Biegewellen diskutiert. Als nächstes wird das freie Schwingungsproblem eines einfach gelagerten FGB betrachtet und dann der Vergleich der Eigenfrequenzen des FGB und eines geschichteten Balkens durchgeführt.

Arbeiten, die über einen analytischen Ansatz zu den Problemen der erzwungenen Vibration von FGBs berichten, sind nicht so verbreitet, insbesondere wenn es um Aufprallprobleme geht. Als Beispiel kann die Arbeit (Xiang und Yang, 2008) genannt werden, in der die Autoren die Lösung für die freie und erzwungene Schwingung eines thermisch vorgespannten Timoshenko-FGB mit variabler Dicke herleiten. Die Lösung erhält man mit Hilfe des Differentialquadraturverfahrens. Darüber hinaus existieren einige Arbeiten zu den Problemen von FGBs unter bewegten Lasten. Beispielsweise wird das Problem eines FG-Euler-Bernoulli-Trägers unter bewegter harmonischer Last mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren in Simsek und Kocatürk (2009) gelöst. Bei Yang et al. (2008) untersuchen die Autoren freie und erzwungene Schwingungen eines gerissenen FG Euler-Bernoulli-Trägers unter gleichzeitiger Einwirkung einer Axialkraft und einer beweglichen Punktlast. Die analytische Lösung wird mit der Modalexpansionsmethode abgeleitet. Yas und Heshmati behandeln in Yas und Heshmati (2012) das Problem von FG-Nanokomposit-Euler-Bernoulli- und Timoshenko-Trägern unter einer bewegten Einzellast mittels Finite-Elemente-Formulierung. Die Kombination von Fourier-Reihe und Galerkin-Methode wird in Apetre et al. (2006), um das dynamische Verhalten einer Sandwichplatte mit FG-Kern zu erhalten, die einem Aufprall mit geringer Geschwindigkeit durch ein starres zylindrisches Projektil ausgesetzt ist.

Die Variation der Materialeigenschaften von FGBs entlang ihrer Dickenrichtung kann auf unterschiedliche Weise beschrieben werden, egal ob statische oder dynamische Probleme behandelt werden. Normalerweise wird die einfache Potenzgesetzverteilung von Wakashima et al. in Wakashimaet al. (1990) wird hierfür verwendet. Dieser Ansatz wird beispielsweise von Sina et al., 2009, Li, 2008, Simsek und Kocatürk, 2009, Aydogdu und Taskin, 2007, Simsek, 2010, Alshorbagy et al., 2011, Wattanasakulpong et al., 2012, Thai and . verfolgt Vo, 2012. Die exponentielle Abhängigkeit der elastischen Eigenschaften ist eine weitere häufigste Näherung und Balken, die dieser Regel folgen, werden in Sankar, 2001, Simsek und Kocatürk, 2009, Sankar und Taeng, 2002, Venkataraman und Sankar, 2003, Ying et al., 2008 , Lü et al., 2008, Kashtalyan und Menshykova, 2009, Wei et al., 2012. Diese Art der Gradientenvariation ist im Hinblick auf die mathematische Behandlung einfacher als die vorherige. Schließlich existieren einige Arbeiten, die sich mit FGBs mit beliebig abgestuften Materialeigenschaften beschäftigen, z.B. (Zhong und Yu, 2006, Zhong und Yu, 2007, Meiqin und Liu, 2010, Nie et al., 2013).

Es ist bekannt, dass der Timoshenko-Scherkorrekturfaktor κ hängt nicht nur von der Form des Balkenquerschnitts ab (Graff, 1991), sondern auch von der Variation der Materialeigenschaften durch seine Dicke. Diese Abhängigkeit wird für einen FGB mit rechteckigem Querschnitt von Menaa et al. in Menaa et al. (2012). In fast allen zuvor erwähnten Arbeiten, die sich mit Problemen von Laminat oder FG Timoshenko-Trägern befassen, wird dieser Faktor jedoch als konstant angenommen. Es stimmt, dass bei LBs der Einfluss der Querschnittsform dominant ist, wie in Zajíček (2008) gezeigt, wo die Werte von κ für verschiedene symmetrische Querschnitte und für zwei verschiedene Laminatmaterialien berechnet. Bei Schichtträgern, FGBs oder Schichtträgern mit FG-Schicht(en) kann der Einfluss der Materialeigenschaften jedoch erheblich sein, wie in diesem Beitrag gezeigt wird.