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9.1: Rationale Ausdrücke vereinfachen


9.1: Rationale Ausdrücke vereinfachen

9.1: Rationale Ausdrücke vereinfachen

Eine rationale Zahl oder ein Bruch a b ist eine reelle Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen definiert ist ein und b, wobei b 0 ist. Ebenso definieren wir einen rationalen Ausdruck Der Quotient P Q zweier Polynome P und Q, wo Q ≠ 0. , oder algebraischer Bruch Begriff, der bei einem rationalen Ausdruck verwendet wird. P Q , als Quotient zweier Polynome P und Q, wobei Q 0 ist. Es folgen einige Beispiele für rationale Ausdrücke:

Das Beispiel x + 3 x − 5 besteht aus linearen Ausdrücken sowohl im Zähler als auch im Nenner. Da der Nenner eine Variable enthält, ist dieser Ausdruck nicht für alle Werte von definiert x.

Beispiel 1: Bewerte x + 3 x − 5 für die Menge von x-Werte <−3, 4, 5>.

Lösung: Ersetzen Sie die Werte in für x.

Antwort: Wenn x = − 3 , ist der Wert des rationalen Ausdrucks 0, wenn x = 4 , ist der Wert des rationalen Ausdrucks −7 und wenn x = 5 , ist der Wert des rationalen Ausdrucks undefiniert.

Dieses Beispiel veranschaulicht, dass Variablen auf Werte beschränkt sind, die den Nenner nicht gleich 0 machen. Der Bereich eines rationalen Ausdrucks Die Menge der reellen Zahlen, für die der rationale Ausdruck definiert ist. ist die Menge der reellen Zahlen, für die sie definiert ist, und Einschränkungen Die Menge der reellen Zahlen, für die kein rationaler Ausdruck definiert ist. sind die reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist. Wir drücken den Bereich eines rationalen Ausdrucks oft durch seine Beschränkungen aus.

Beispiel 2: Finden Sie den Definitionsbereich der folgenden Punkte: x + 7 2 x 2 + x − 6 .

Lösung: In diesem Beispiel ist der Zähler x + 7 ein linearer Ausdruck und der Nenner 2 x 2 + x − 6 ein quadratischer Ausdruck. Wenn wir den Nenner faktorisieren, erhalten wir einen äquivalenten Ausdruck.

Da rationale Ausdrücke undefiniert sind, wenn der Nenner 0 ist, möchten wir die Werte für x die es zu 0 machen. Wenden Sie dazu die Zero-Product-Eigenschaft an. Setzen Sie jeden Faktor im Nenner gleich 0 und lösen Sie auf.

Wir schließen daraus, dass der ursprüngliche Ausdruck für jede reelle Zahl außer 3/2 und −2 definiert ist. Diese beiden Werte sind die Einschränkungen für die Domäne.

Es ist wichtig zu beachten, dass −7 ist nicht eine Beschränkung auf die Domäne, da der Ausdruck als 0 definiert ist, wenn der Zähler 0 ist.

Antwort: Die Domäne besteht aus einer beliebigen reellen Zahl x, mit x ≠ 3 2 und x ≠ − 2 .

Wir können den Bereich des vorherigen Beispiels mit der Notation wie folgt ausdrücken:

Die Beschränkungen auf den Bereich eines rationalen Ausdrucks werden durch den Nenner bestimmt. Ignorieren Sie den Zähler, wenn Sie diese Einschränkungen finden.

Beispiel 3: Bestimmen Sie den Bereich: x 4 + x 3 − 2 x 2 − x x 2 − 1 .

Lösung: Um die Einschränkungen für die Domäne zu finden, setzen Sie den Nenner gleich 0 und lösen Sie:

Diese beiden Werte führen dazu, dass der Nenner 0 ist. Daher sind sie von der Domäne beschränkt.

Antwort: Die Domäne besteht aus einer beliebigen reellen Zahl x, wobei x ≠ ± 1 .

Beispiel 4: Bestimmen Sie den Bereich: x 2 − 25 4 .

Lösung: Es gibt keine Variable im Nenner und somit keine Beschränkung auf die Domäne.

Antwort: Die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen, R.


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Dieses Video behandelt:
*Was ist ein rationaler Ausdruck und wie hilft das Präfix 'Ratio', ihn zu identifizieren?
*Wie eine Überprüfung der Methoden von R.1 Fractions Video #1 in diesem Abschnitt hilfreich ist
*Wie Sie rationale Ausdrücke nach legitimen mathematischen Regeln vereinfachen können und wie nicht.
*Wie Ihr bester Freund, R.6 Factoring, bei allen Methoden des Rational Expression großen Werts legt
*So ändern Sie die Dinge vom Additions-/Subtraktionsformat in das Multiplikationsformat, damit Sie abbrechen können
*Die zwei Schritte zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke

Beispiele:

2: Multiplizieren von rationalen Ausdrücken

Dieses Video behandelt:
*Die drei Schritte zur Multiplikation rationaler Ausdrücke und wie sie auf der Vereinfachung rationaler Ausdrücke aufbauen
*Wie Ihr bester Freund, R.6 Factoring, bei allen Methoden des Rational Expression großen Werts legt

Beispiele:

3: Rationale Ausdrücke teilen

Dieses Video behandelt:
*Die vier Schritte zur Division rationaler Ausdrücke und wie sie auf der Vereinfachung und Multiplikation rationaler Ausdrücke aufbauen
*Wie Ihr bester Freund, R.6 Factoring, bei allen Methoden des Rational Expression großen Werts legt
*Überprüfung des Wortschatzes: Gegenseitig
*Wie Sie negative Brüche schreiben können
*Überprüfung aller Schritte zum Vereinfachen, Multiplizieren und Dividieren von rationalen Ausdrücken

Beispiele:

4: Addieren und Subtrahieren von rationalen Ausdrücken (Teil 1)

Dieses Video behandelt:
*Die Schritte zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen sind die gleichen wie in R.1 Brüche Video #2, finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner auf dem LCD!
*Rezension des "Kids in the Candy Store", um den LCD-Kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden
*Überprüfung, wie Sie rationale Ausdrücke nicht vereinfachen können, indem Sie Terme streichen, wenn sie hinzugefügt oder abgezogen werden.

Beispiele:

5: Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren (Teil 2)

Dieses Video behandelt:
*Eine Erweiterung des Videos zu Teil 1, in dem alle Schritte durchgearbeitet werden, um das folgende Beispiel zu vereinfachen.
*Wie man das Negative auf die Subtraktion von Polynomial Rational Expressions verteilt distribute

Beispiele:

6: Komplexe rationale Ausdrücke

Dieses Video behandelt:
*Überprüfung der beiden Methoden zur Vereinfachung komplexer Brüche, die in R.1 Fractions Video #3 eingeführt wurden
*Überprüfung von Methode 1, wobei das Ziel 1 Bruch geteilt durch 1 Bruch ist
*Überprüfung von Methode 2, der Zaubertrick-Methode

Beispiele:


Reihenspiel: rationale Ausdrücke vereinfachen

Hier ist ein Beitrag zu Kate Nowaks Reihenspiele-Sammlung. Ich spielte mit dem Seitenlayout, damit zwei Schüler auf einem einzigen Blatt Papier zusammenarbeiten konnten. Für die Uneingeweihten wird ein Reihenspiel von zwei Schülern gespielt. Sie lösen getrennte Probleme, die dieselbe Antwort haben. Es ist eine gemeinsame Veranstaltung, denn wenn ihre Antworten nicht übereinstimmen, müssen die Kinder zusammenarbeiten, um den Fehler in der Arbeit des anderen zu finden. (Nach einem kurzen Blick aus dem POV von Spieler B stelle ich fest, dass die Fragen von rechts nach links nummeriert sind. Frage mich, wie viele Kinder das stören wird?)

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9.1: Rationale Ausdrücke vereinfachen

Ein Teil des Inhalts dieses Handbuchs wurde einem Handbuch nachempfunden, das ursprünglich von der Openstax und wurde für die GPRC Learning Commons im September 2020 angepasst. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons BY 4.0 International License.

Rationale Ausdrücke und unzulässige Werte:

EIN rationaler Ausdruck ist das Verhältnis zweier Polynome:

Unzulässige Werte:

Unzulässige Werte sind Werte der Variablen, die den Nenner eines rationalen Ausdrucks gleich Null machen. Um die unzulässigen Werte eines rationalen Ausdrucks zu finden, muss man den Nenner gleich Null setzen und nach der Variablen auflösen. Im Folgenden sehen wir uns einige Beispiele an, wie man unzulässige Werte findet.
Beispiel: Unzulässige Werte von ermitteln .
Wir setzen den Nenner gleich Null:

.


Der erste Schritt bei der Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks besteht darin, die domain Die Menge aller möglichen Eingaben einer Funktion, die es der Funktion ermöglichen, zu arbeiten. , die Menge aller möglichen Werte der Variablen. Der Nenner in einem Bruch kann nicht Null sein, da die Division durch Null nicht definiert ist. Wir müssen also herausfinden, welche Werte der Variablen im Ausdruck den Nenner gleich Null machen würden. Diese Werte können nicht in die Domain aufgenommen werden und heißen daher ausgeschlossene Werte Ein Wert für eine Variable, der in einem Ausdruck nicht zulässig ist, z. B. eine Variable in einem rationalen Ausdruck, die den Nenner gleich null machen würde. . Wir verwerfen sie gleich zu Beginn, bevor wir weitermachen.

Bei rationalen Ausdrücken schließt die Domäne Werte aus, für die der Wert des Nenners `0` ist. Zwei Beispiele zur Veranschaulichung des Auffindens der Domäne eines Ausdrucks werden unten gezeigt.

Identifizieren Sie die Domäne des Ausdrucks `(3x+2)/(x-4)` .

Finden Sie alle Werte für `x`, die den Nenner `=0` ergeben würden.

Bei `x = 4` ist der Nenner gleich `0`.

Die Domäne ist alle `x` ungleich `4` .

Das war nicht schwer. Versuchen wir es mit einem, das etwas schwieriger ist:

Identifizieren Sie die Domäne des Ausdrucks `(x+7)/(x^2+8x-9)` .

Finden Sie alle Werte für `x`, die den Nenner `= 0` machen würden, indem Sie den Nenner `= 0` setzen und die Gleichung lösen.

Lösen Sie die Gleichung durch Faktorisieren. Die Lösungen sind die Werte, die aus der Domäne ausgeschlossen sind.

Die Domäne ist alle `x` ungleich `-9` oder `1` .

Finden Sie den Definitionsbereich des rationalen Ausdrucks `(5x)/(2x^2+8)` .

B) alle `x` ungleich `2` oder `8`

A. Richtig. Es gibt keine Werte von `x`, für die der Nenner gleich `0` ist. Daher gibt es keine Werte, die von der Domäne ausgeschlossen werden.

B. Falsch. `2` und `8` ergeben nicht den Nenner `0` , daher sind sie keine ausgeschlossenen Werte. Setze den Nenner gleich `0` und löse nach `x` auf. Dies ergibt die ausgeschlossenen Werte, aber in diesem Fall gibt es keine. Die richtige Antwort ist alles `x`.

C. Falsch. Wenn Sie im Ausdruck `0` durch `x` ersetzen, ist der Nenner gleich `8`. Nur Werte, die einen Nenner von `0` ergeben, werden ausgeschlossen. Werte, die einen Zähler von `0` ergeben, werden nicht ausgeschlossen. Die richtige Antwort ist alles `x`.

D. Falsch. Wenn der Nenner für `x = -2` und `x = 2` ausgewertet wird, ist der Nenner ungleich `0`. Diese Werte sind also nicht ausgeschlossen. Die richtige Antwort ist alles `x`.


Eingabeargumente

Ausdruck — Eingabe Nummer | Vektor | Matrix | Array | symbolische Zahl | symbolische Variable | symbolisches Array | symbolische Funktion | symbolischer Ausdruck

Eingabe, angegeben als Zahl, Vektor, Matrix oder Array oder als symbolische Zahl, Variable, Array, Funktion oder Ausdruck.

expr kann irrationale Unterausdrücke wie sin(x) und x^(-1/3) enthalten. SimplifyFraction vereinfacht solche Ausdrücke, als ob sie Variablen wären.

SimplifyFraction wendet keine algebraischen Identitäten an.


Vereinfachen rationaler Ausdrücke

Ein "rationaler Ausdruck" ist definiert als ein Bruch, der Terme im Zähler und Nenner hat. Wie beim Vereinfachen von Brüchen müssen Sie jede mögliche Zahl teilen, wenn sie von Zähler und Nenner geteilt wird.

Zum Beispiel: 10/6 kann vereinfacht werden, indem man oben und unten durch 2 teilt, was 10 ÷ 2 / 6 ÷ 2 = 5/3 ergibt.

Wenn Brüche vereinfacht werden können, müssen Sie sie vereinfachen. Die gleiche Regel gilt unabhängig von den Ausdrücken im Zähler oder Nenner.

Zum Beispiel: Vereinfache 25x 3 / 5x = (25 5) (x 3 ÷ x) = 5x 2

Diese Einheit konzentriert sich auf die Vereinfachung rationaler Ausdrücke mit quadratischen Ausdrücken im Zähler und Nenner.
Beispielsweise:
(x 2 + 3x + 2) ÷ (x 2 + 8x + 12)

Da quadratische Ausdrücke als Ganzes vorkommen, dürfen sie nicht wie im obigen Beispiel vereinfacht werden. Ihre einzige Wahl besteht darin, jeden Ausdruck zu faktorisieren und nach allgemeinen Binomialen oben und unten zu suchen. Dann kannst du sie stornieren. Zum Beispiel ist es NICHT richtig zu sagen, dass die Antwort (x 2 ÷ x 2 )(3x ÷ 8x)(2 ÷ 12) lautet. Dies ist nicht der Weg, die Antwort zu erhalten. Es wäre so, als ob (4 + 6 + 5) ÷ (2 + 3 + 5) gleich (4 ÷ 2) + (6 ÷3) + (5 ÷ 5) wäre, was nicht der Fall ist.

Warum? Nun, mit PEMDAS würden wir zuerst die Klammern vereinfachen, bevor wir dividieren.
Also (4 + 6 + 5) (2 + 3 + 5) = 15 ÷ 10 = 3/2.

(4 ÷ 2) + (6 ÷3) + (5 ÷ 5) = (2) + (2) + (1) = 5.
3/2 oder 1,5 ist ungleich 5. Diese Methode ist also nie gültig. Wenn die Begriffe Teil einer "Gruppe" sind, müssen Sie sie als Gruppe berücksichtigen.

Wie vereinfachen wir also rationale Ausdrücke?
Die Antwort besteht darin, jeden Ausdruck zu faktorisieren und dann gemeinsame Faktoren auszulöschen.

Beispiel 1: Vereinfachen:
Schritt 1: Faktorisieren Sie jeden Ausdruck
Schritt 2: Streichen Sie gemeinsame Faktoren aus
Schritt 3: Vereinfachen

Beispiel 2: Vereinfachen:
Schritt 1: Faktorisieren Sie jeden Ausdruck
Schritt 2: Streichen Sie gemeinsame Faktoren aus
Schritt 3: Vereinfachen

Beispiel 3: Vereinfachen:
Schritt 1: Faktorisieren Sie jeden Ausdruck
Schritt 2: Streichen Sie gemeinsame Faktoren aus
Schritt 3: Vereinfachen

Beispiel 4: Vereinfachen:
Schritt 1: Faktorisieren Sie jeden Ausdruck
Schritt 2: Streichen Sie gemeinsame Faktoren aus
Schritt 3: Vereinfachen

Das Faktorisieren von Trinomen ist eine wichtige Fähigkeit, da Sie jedes Problem faktorisieren müssen. Bitte überprüfen Sie die Factoring-Techniken, wenn dieser Schritt für Sie schwierig ist: Factoring x 2 + bx + c

Beispiel 5: Vereinfachen:
Schritt 1: Faktorisieren Sie jeden Ausdruck
Schritt 2: Streichen Sie gemeinsame Faktoren aus
Schritt 3: Vereinfachen

Versuch du es jetzt:
Vereinfachen:
einreichen

Versuch du es jetzt:
Vereinfachen:
einreichen

Beispiel 6:
Vereinfachen:
Hat ein rationaler Ausdruck keine gemeinsamen Faktoren, dann liegt er bereits in vereinfachter Form vor, da keine Faktoren aufgehoben werden können. Das ursprüngliche Problem wird zur endgültigen Antwort.

Beispiel 7:
Vereinfachen:
Hat ein rationaler Ausdruck keine gemeinsamen Faktoren, dann liegt er bereits in vereinfachter Form vor, da keine Faktoren aufgehoben werden können. Das ursprüngliche Problem wird zur endgültigen Antwort.


Vereinfachen rationaler Ausdrücke

Vereinfachen rationaler Ausdrücke bedeutet dasselbe wie den Bruch zu vereinfachen. Das bedeutet, dass wir uns auf die gleichen Terme im Nenner und Zähler konzentrieren und versuchen, den gesamten Ausdruck mit unserem Wissen über die Faktorisierung anzupassen, um einen gegebenen rationalen Ausdruck zu vereinfachen.

Alle diese Aufgaben können Schritt für Schritt gelöst werden, oder Sie können innehalten, sich die Aufgabe ansehen und darüber nachdenken, was die Lösungszeit verkürzen und interessanter machen kann. In der folgenden Aufgabe werden wir beide Wege zeigen.

Als erstes fällt uns hier auf, dass wir nur zwei Terme haben, was großartig ist, denn wir müssen uns keine Sorgen machen, ob wir etwas kürzen können oder nicht – alles ist mit Multiplikation verbunden. Wenn wir hinschauen, sehen wir, dass wir zwei reelle Zahlen haben, die teilbar sind. Also können wir diese zuerst kürzen.

Jetzt können wir feststellen, dass wir ein Quadrat $ a^2 = a * a$ haben. Wir haben auch “a” im Nenner, damit wir diese auch kürzen können. Grundsätzlich suchen Sie, was Nenner und Zähler gemeinsam haben.

Hier sind wir am Ende, weil wir nicht wissen, was a und b sind.

Der zweite Weg, dies zu lösen, besteht darin, sich diesen Ausdruck anzusehen. Extrahieren Sie zuerst alle gemeinsamen Faktoren, die Zähler und Nenner haben, und streichen Sie sie dann einfach durch.

Der gemeinsame Faktor dieser beiden Terme ist $ 3 cdot a$.

Bei den meisten Aufgaben werden Sie nicht sofort faktorisierte Ausdrücke erhalten, es ist Ihre Aufgabe, sie zu faktorisieren. Dafür können Sie alle Tricks anwenden, die Sie gelernt haben, einschließlich der üblichen Faktorisierung, der Differenz von Quadrat, Quadrat des Binomials, des Würfels des Binomials usw.

Wenn es für Sie schwierig ist, den gemeinsamen Begriff von Nenner und Zähler zu erkennen, können Sie sie zuerst separat faktorisieren und sehen, ob sich etwas ergibt.

Wir können sehen, dass wir aus dem Zähler 3 und aus dem Nenner 2 extrahieren können. Wir erhalten den gleichen Term in den Klammern, der gleich 1 ist.

Diese Aufgabe ist etwas chaotisch, daher sollten Sie sich Zeit nehmen und sie Schritt für Schritt lösen, beginnend mit dem Extrahieren der gemeinsamen Begriffe aus Zähler und Nenner.

Auf den ersten Blick ist hier nicht viel zu tun, wir können 𔄚x” nur vereinfachen. Aber wenn Sie genau hinschauen, sind diese beiden Klammern gleich, nur mit unterschiedlichem Vorzeichen. Wenn wir -1 von einem davon abziehen, können wir sie gleich machen.

Da wir die Kommutativeigenschaft der Subtraktion und Addition verwenden können, können wir Folgendes tun:

Beeilen Sie sich nicht und erweitern Sie diese Binomialzahlen, sondern sehen Sie sich an, was Sie haben. Wir haben eine Differenz der Quadrate, die wir leicht faktorisieren können.