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13.8.8: Rationale Exponenten


Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Vereinfache Ausdrücke mit (a^{frac{1}{n}})
  • Vereinfache Ausdrücke mit (a^{frac{m}{n}})
  • Verwenden Sie die Exponentengesetze, um Ausdrücke mit rationalen Exponenten zu vereinfachen

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

  1. Addiere: (frac{7}{15}+frac{5}{12}).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  2. Vereinfachen Sie: ((4x^{2}y^{5})^3).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  3. Vereinfachen Sie: (5^{−3}).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].

Vereinfache Ausdrücke mit (a^{frac{1}{n}})

Rationale Exponenten sind eine andere Möglichkeit, Ausdrücke mit Radikalen zu schreiben. Wenn wir verwenden rationale Exponenten, können wir die Eigenschaften von Exponenten anwenden, um Ausdrücke zu vereinfachen.

Die Potenzeigenschaft für Exponenten besagt, dass ((a^m)^n=a^{m·n}) wenn ich und nein sind ganze Zahlen. Nehmen wir an, wir sind jetzt nicht auf ganze Zahlen beschränkt.

Angenommen, wir möchten eine Zahl finden p so dass ((8^p)^3=8). Wir verwenden die Potenzeigenschaft von Exponenten, um den Wert von zu finden p.

[egin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8} { ext{Multiplizieren Sie die Exponenten auf der linken Seite.}}&{8^{3p}=8} { ext{Schreiben Sie rechts den Exponenten 1 ein.}}&{8^{3p}=8^1} { ext{Die Exponenten müssen gleich sein.}}&{3p=1} { ext{Löse nach p.}}&{p=frac{1}{3}} onumber end{array}]

Wir kennen aber auch ((sqrt[3]{8})^3=8). Dann muss (8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8})

Dieselbe Logik kann für jeden positiven ganzzahligen Exponenten verwendet werden nein um zu zeigen, dass (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}).

Definition: RATIONALER EXPONENT (a^{frac{1}{n}})

Wenn (sqrt[n]{a}) eine reelle Zahl ist und (nge 2), (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a} ).

Es wird Zeiten geben, in denen die Arbeit mit Ausdrücken einfacher ist, wenn Sie verwenden rationale Exponenten und Zeiten, in denen es einfacher ist, wenn Sie Radikale verwenden. In den ersten Beispielen üben Sie das Konvertieren von Ausdrücken zwischen diesen beiden Notationen.

Beispiel (PageIndex{1})

Schreiben Sie als radikalen Ausdruck:

  1. (x^{frac{1}{2}})
  2. (y^{frac{1}{3}})
  3. (z^{frac{1}{4}}).
Antworten

Wir wollen jeden Ausdruck in der Form (sqrt[n]{a}) schreiben.

1.(x^{frac{1}{2}})
Der Nenner des Exponenten ist 2, also ist der Index des Radikals 2. Wir zeigen den Index nicht, wenn er 2 ist.(sqrt{x})
2.(y^{frac{1}{3}})
Der Nenner des Exponenten ist 3, der Index ist also 3.(sqrt[3]{y})
3.(z^frac{1}{4}})
Der Nenner des Exponenten ist 4, der Index ist also 4.(sqrt[4]{z})

Beispiel (PageIndex{2})

Schreiben Sie als radikalen Ausdruck:

  1. (t^{frac{1}{2}})
  2. (m^{frac{1}{3}})
  3. (r^{frac{1}{4}}).
Antworten
  1. (sqrt{t})
  2. (sqrt[3]{m})
  3. (sqrt[4]{r})

Beispiel (PageIndex{3})

Schreiben Sie als radikalen Ausdruck:

  1. (b^{frac{1}{2}})
  2. (z^{frac{1}{3}})
  3. (p^{frac{1}{4}}).
Antworten
  1. (sqrt{b})
  2. (sqrt[3]{z})
  3. (sqrt[4]{p})

Beispiel (PageIndex{4})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{x})
  2. (sqrt[3]{y})
  3. (sqrt[4]{z}).
Antworten

Wir wollen jedes Radikal in der Form (a^{frac{1}{n}}) schreiben.

1.(sqrt{x})
Es wird kein Index angezeigt, daher ist es 2. Der Nenner des Exponenten ist 2.(x^{frac{1}{2}})
2.(sqrt[3]{y})
Der Index ist 3, also ist der Nenner des Exponenten 3.(y^{frac{1}{3}})
3.(sqrt[4]{z})
Der Index ist 4, also ist der Nenner des Exponenten 4.(z^{frac{1}{4}})

Beispiel (PageIndex{5})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{s})
  2. (sqrt[3]{x})
  3. (sqrt[4]{b}).
Antworten
  1. (s^{frac{1}{2}})
  2. (x^{frac{1}{3}})
  3. (b^{frac{1}{4}}

Beispiel (PageIndex{6})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{v})
  2. (sqrt[3]{p})
  3. (sqrt[4]{p}).
Antworten
  1. (v^{frac{1}{2}})
  2. (p^{frac{1}{3}})
  3. (p^{frac{1}{4}})

Beispiel (PageIndex{7})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{5y})
  2. (sqrt[3]{4x})
  3. (3sqrt[4]{5z}).
Antworten
1.(sqrt{5y})
Es wird kein Index angezeigt, daher ist es 2. Der Nenner des Exponenten ist 2.((5J)^{frac{1}{2}})
2.(sqrt[3]{4x})
Der Index ist 3, also ist der Nenner des Exponenten 3.((4x)^{frac{1}{3}})
3.(3sqrt[4]{5z})
Der Index ist 4, also ist der Nenner des Exponenten 4.(3(5z)^{frac{1}{4}})

Beispiel (PageIndex{8})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{10m})
  2. (sqrt[5]{3n})
  3. (3sqrt[4]{6y}).
Antworten
  1. ((10^m)^{frac{1}{2}})
  2. ((3n)^{frac{1}{5}})
  3. ((486y)^{frac{1}{4}})

Beispiel (PageIndex{9})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt[7]{3k})
  2. (sqrt[4]{5j})
  3. (sqrt[3]{82a}).
Antworten
  1. ((3k)^{frac{1}{7}})
  2. ((5j)^{frac{1}{4}})
  3. ((1024a)^{frac{1}{3}})

Im nächsten Beispiel fällt es Ihnen vielleicht leichter, die Ausdrücke zu vereinfachen, wenn Sie sie zuerst als Radikale umschreiben.

Beispiel (PageIndex{10})

Vereinfachen:

  1. (25^{frac{1}{2}})
  2. (64^{frac{1}{3}})
  3. (256^{frac{1}{4}}).
Antworten
1.(25^{frac{1}{2}})
Als Quadratwurzel umschreiben.(sqrt{25})
Vereinfachen.5
2.(64^{frac{1}{3}})
Als Kubikwurzel umschreiben.(sqrt[3]{64})
Erkenne 64 ist ein perfekter Würfel.(sqrt[3]{4^3})
Vereinfachen.4
3.(256^{frac{1}{4}})
Als vierte Wurzel umschreiben.(sqrt[4]{256})
Erkenne, dass 256 eine perfekte vierte Potenz ist.(sqrt[4]{4^4})
Vereinfachen.4

Beispiel (PageIndex{11})

Vereinfachen:

  1. (36^{frac{1}{2}})
  2. (8^{frac{1}{3}})
  3. (16^{frac{1}{4}}).
Antworten
  1. 6
  2. 2
  3. 2

Beispiel (PageIndex{12})

Vereinfachen:

  1. (100^{frac{1}{2}})
  2. (27^{frac{1}{3}})
  3. (81^{frac{1}{4}}).
Antworten
  1. 10
  2. 3
  3. 3

Achten Sie auf die Platzierung der negativen Vorzeichen im nächsten Beispiel. In einem Fall müssen wir die Eigenschaft (a^{−n}=frac{1}{a^n}) verwenden.

Beispiel (PageIndex{13})

Vereinfachen:

  1. ((−64)^{frac{1}{3}})
  2. (−64^{frac{1}{3}})
  3. ((64)^{−frac{1}{3}}).
Antworten
1.((−64)^{frac{1}{3}})
Als Kubikwurzel umschreiben.(sqrt[3]{−64})
Schreiben Sie −64 als perfekten Würfel um.(sqrt[3]{(−4)^3})
Vereinfachen.−4
2.(−64^{frac{1}{3}})
Der Exponent gilt nur für die 64.(−(64^{frac{1}{3}}))
Als Kubikwurzel umschreiben.(−sqrt[3]{64})
Schreiben Sie 64 in (4^3) um.(−sqrt[3]{4^3})
Vereinfachen.−4
3.((64)^{−frac{1}{3}})

Schreibe mit der Eigenschaft (a^{−n}=frac{1}{a^n}) als Bruch mit positivem Exponenten um.

Schreiben Sie als Kubikwurzel.

(frac{1}{sqrt[3]{64}})
Schreiben Sie 64 in (4^3) um.(frac{1}{sqrt[3]{4^3}})
Vereinfachen.(frac{1}{4})

Beispiel (PageIndex{14})

Vereinfachen:

  1. ((−125)^{frac{1}{3}})
  2. (−125^{frac{1}{3}})
  3. ((125)^{−frac{1}{3}}).
Antworten
  1. −5
  2. −5
  3. (frac{1}{5})

Beispiel (PageIndex{15})

Vereinfachen:

  1. ((−32)^{frac{1}{5}})
  2. (−32^{frac{1}{5}})
  3. ((32)^{−frac{1}{5}}).
Antworten
  1. −2
  2. −2
  3. (frac{1}{2})

Beispiel (PageIndex{16})

Vereinfachen:

  1. ((−16)^{frac{1}{4}})
  2. (−16^{frac{1}{4}})
  3. ((16)^{−frac{1}{4}}).
Antworten
1.((−16)^{frac{1}{4}})
Als vierte Wurzel umschreiben.(sqrt[4]{−16})
Es gibt keine reelle Zahl, deren vierte Potenz -16 ist.
2.(−16^{frac{1}{4}})
Der Exponent gilt nur für die 16.(−(16^{frac{1}{4}}))
Als vierte Wurzel umschreiben.(−sqrt[4]{16})
Schreibe 16 um als (2^4)(−sqrt[4]{2^4})
Vereinfachen.−2
3.((16)^{−frac{1}{4}})

Schreibe mit der Eigenschaft (a^{−n}=frac{1}{a^n}) als Bruch mit positivem Exponenten um.

(frac{1}{(16)^{frac{1}{4}}})
Als vierte Wurzel umschreiben.(frac{1}{sqrt[4]{16}})
Schreibe 16 um als (2^4).(frac{1}{sqrt[4]{2^4}})
Vereinfachen.(frac{1}{2})

Beispiel (PageIndex{17})

Vereinfachen:

  1. ((−64)^{frac{1}{2}})
  2. (−64^{frac{1}{2}})
  3. ((64)^{−frac{1}{2}}).
Antworten
  1. −8
  2. −8
  3. (frac{1}{8})

Beispiel (PageIndex{18})

Vereinfachen:

  1. ((−256)^{frac{1}{4}})
  2. (−256^{frac{1}{4}})
  3. ((256)^{−frac{1}{4}}).
Antworten
  1. −4
  2. −4
  3. (frac{1}{4})

Vereinfache Ausdrücke mit (a^{frac{m}{n}})

Lassen Sie uns noch etwas mit der Power-Eigenschaft für Exponenten arbeiten.

Angenommen wir potenzieren (a^{frac{1}{n}}) hoch m.

[egin{array}{ll} {}&{(a^{frac{1}{n}})^m} { ext{Multiplizieren Sie die Exponenten.}}&{a^{frac {1}{n}·m}} { ext{Vereinfachen.}}&{a^{frac{m}{n}}} { ext{So} a^{frac{m }{n}}=(sqrt[n]{a})^m ext{auch.}}&{} onumber end{array}]

Nehmen wir nun an, wir nehmen (a^m) hoch (frac{1}{n}) hoch.

[egin{array}{ll} {}&{(a^m)^{frac{1}{n}}} { ext{Multiplizieren Sie die Exponenten.}}&{a^{m· frac{1}{n}}} { ext{Vereinfachen.}}&{a^{frac{m}{n}}} { ext{So} a^{frac{m }{n}}=sqrt[n]{a^m} ext{auch.}}&{} onumber end{array}]

Welche Form verwenden wir, um einen Ausdruck zu vereinfachen? Normalerweise ziehen wir zuerst die Wurzel – auf diese Weise halten wir die Zahlen im Radicand kleiner.

Definition: RATIONALER EXPONENT (a^{frac{m}{n}})

Für beliebige positive ganze Zahlen ich und nein,

(a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m)

(a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m})

Beispiel (PageIndex{19})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{y^3})
  2. (sqrt[3]{x^2})
  3. (sqrt[4]{z^3})
Antworten

Wir wollen mit (a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}) jedes Radikal in der Form (a^{frac{m}{n }}).

Beispiel (PageIndex{20})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt{x^5})
  2. (sqrt[4]{z^3})
  3. (sqrt[5]{y^2}).
Antworten
  1. (x^{frac{5}{2}})
  2. (z^{frac{3}{4}})
  3. (y^{frac{2}{5}})

Beispiel (PageIndex{21})

Schreiben Sie mit einem rationalen Exponenten:

  1. (sqrt[5]{a^2})
  2. (sqrt[3]{b^7})
  3. (sqrt[4]{m^5}).
Antworten
  1. (a^{frac{2}{5}})
  2. (b^{frac{7}{3}})
  3. (m^{frac{5}{4}})

Beispiel (PageIndex{22})

Vereinfachen:

  1. (9^{frac{3}{2}})
  2. (125^{frac{2}{3}})
  3. (81^{frac{3}{4}}).
Antworten

Wir werden jeden Ausdruck zuerst als Radikal umschreiben, indem wir die Eigenschaft (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m) verwenden. Diese Form lässt uns zuerst die Wurzel ziehen und so halten wir die Zahlen im Radicand kleiner als bei der anderen Form.

1.(9^{frac{3}{2}})
Die Potenz des Radikals ist der Zähler des Exponenten 3. Da der Nenner des Exponenten 2 ist, ist dies eine Quadratwurzel.((sqrt{9})^3)
Vereinfachen.(3^3)
27
2.(125^{frac{2}{3}})
Die Potenz des Radikals ist der Zähler des Exponenten 2. Da der Nenner des Exponenten 3 ist, ist dies eine Quadratwurzel.((sqrt[3]{125})^2)
Vereinfachen.(5^2)
25
3.(81^{frac{3}{4}})
Die Potenz des Radikals ist der Zähler des Exponenten 2. Da der Nenner des Exponenten 3 ist, ist dies eine Quadratwurzel.((sqrt[4]{81})^3)
Vereinfachen.(3^3)
27

Beispiel (PageIndex{23})

Vereinfachen:

  1. (4^{frac{3}{2}})
  2. (27^{frac{2}{3}})
  3. (625^{frac{3}{4}}).
Antworten
  1. 8
  2. 9
  3. 125

Beispiel (PageIndex{24})

Vereinfachen:

  1. (8^{frac{5}{3}})
  2. (81^{frac{3}{2}})
  3. (16^{frac{3}{4}}).
Antworten
  1. 32
  2. 729
  3. 8

Denken Sie daran, dass (b^{−p}=frac{1}{b^p}). Das negative Vorzeichen im Exponenten ändert das Vorzeichen des Ausdrucks nicht.

Beispiel (PageIndex{25})

Vereinfachen:

  1. (16^{−frac{3}{2}})
  2. (32^{−frac{2}{5}})
  3. (4^{−frac{5}{2}})
Antworten

Wir werden jeden Ausdruck zuerst mit (b^{−p}=frac{1}{b^p}) umschreiben und dann in die radikale Form ändern.

1.(16^{−frac{3}{2}})
Umschreiben mit (b^{−p}=frac{1}{b^p}).(frac{1}{16^{frac{3}{2}}})
In radikale Form wechseln. Die Potenz des Radikals ist der Zähler des Exponenten 3. Der Index ist der Nenner des Exponenten 2.(frac{1}{(sqrt{16})^3})
Vereinfachen.(frac{1}{4^3})
(frac{1}{64})
2.(32^{−frac{2}{5}})
Umschreiben mit (b^{−p}=frac{1}{b^p}).(frac{1}{32^{frac{2}{5}}})
In radikale Form wechseln.(frac{1}{(sqrt[5]{32})^2})
Schreibe den Radicand als Macht um.(frac{1}{(sqrt[5]{2^5})^2})
Vereinfachen.(frac{1}{2^2})
(frac{1}{4})
3.(4^{−frac{5}{2}})
Umschreiben mit (b^{−p}=frac{1}{b^p}).(frac{1}{4^{frac{5}{2}}})
In radikale Form wechseln.(frac{1}{(sqrt{4})^5})
Vereinfachen.(frac{1}{2^5})
(frac{1}{32})

Beispiel (PageIndex{26})

Vereinfachen:

  1. (8^{−frac{5}{3}})8
  2. (81^{−frac{3}{2}})
  3. (16^{−frac{3}{4}}).
Antworten
  1. (frac{1}{32})
  2. (frac{1}{729})
  3. (frac{1}{8})

Beispiel (PageIndex{27})

Vereinfachen:

  1. (4^{−frac{3}{2}})
  2. (27^{−frac{2}{3}})
  3. (625^{−frac{3}{4}}).
Antworten
  1. (frac{1}{8})
  2. (frac{1}{9})
  3. (frac{1}{125})

Beispiel (PageIndex{28})

Vereinfachen:

  1. (−25^{frac{3}{2}})
  2. (−25^{−frac{3}{2}})
  3. ((−25)^{frac{3}{2}}).
Antworten
1.(−25^{frac{3}{2}})
In radikaler Form umschreiben.(−(sqrt{25})^3)
Vereinfachen Sie das Radikal(−5^3)
Vereinfachen.−125
2.(−25^{−frac{3}{2}})
Umschreiben mit (b^{−p}=frac{1}{b^p}).(−(frac{1}{25^{frac{3}{2}}}))
In radikaler Form umschreiben.(−(frac{1}{(sqrt{25})^3}))
Vereinfachen Sie das Radikal.(−(frac{1}{5^3}))
Vereinfachen.(−frac{1}{125})
3.((−25)^{frac{3}{2}}).
In radikaler Form umschreiben.((sqrt{−25})^3)
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadratwurzel −25 ist.Keine echte Zahl.

Beispiel (PageIndex{29})

Vereinfachen:

  1. (−16^{frac{3}{2}})
  2. (−16^{−frac{3}{2}})
  3. ((−16)^{−frac{3}{2}}).
Antworten
  1. −64
  2. (−frac{1}{64})
  3. keine echte Zahl

Beispiel (PageIndex{30})

Vereinfachen:

  1. (−81^{frac{3}{2}})
  2. (−81^{−frac{3}{2}})
  3. ((−81)^{−frac{3}{2}}).
Antworten
  1. −729
  2. (−frac{1}{729})
  3. keine echte Zahl

Verwenden Sie die Exponentengesetze, um Ausdrücke mit rationalen Exponenten zu vereinfachen

Die gleichen Exponentengesetze, die wir bereits verwendet haben, gelten auch für rationale Exponenten. Wir werden die Exponenteneigenschaften hier auflisten, um sie bei der Vereinfachung von Ausdrücken als Referenz zu haben.

ZUSAMMENFASSUNG DER EXPONENTEN EIGENSCHAFTEN

Wenn a,b reelle Zahlen und m,n rationale Zahlen sind, dann

[egin{array}{ll} { extbf{Produkteigenschaft}}&{a^m·a^n=a^{m+n}} { extbf{Power-Eigenschaft}}&{(a ^m)^n=a^{m·n}} { extbf{Produkt in eine Potenz}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}} { extbf {Quoteneigenschaft}}&{frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a e 0, m>n} {}&{frac{a^m} {a^n}=frac{1}{a^{n−m}}, a e 0, n>m} { extbf{Nullexponentendefinition}}&{a^0=1, a e 0} { extbf{Quotient zu einer Potenzeigenschaft}}&{(frac{a}{b})^m=frac{a^m}{b^m}, b e 0} onumber end{array}]

Wenn wir dieselbe Basis multiplizieren, addieren wir die Exponenten.

Beispiel (PageIndex{31})

Vereinfachen:

  1. (2^{frac{1}{2}}·2^{frac{5}{2}})
  2. (x^{frac{2}{3}}·x^{frac{4}{3}})
  3. (z^{frac{3}{4}}·z^{frac{5}{4}}).
Antworten
1.(2^{frac{1}{2}}·2^{frac{5}{2}})
Die Basen sind gleich, also addieren wir die Exponenten.(2^{frac{1}{2}+frac{5}{2}})
Füge die Brüche hinzu.(2^{frac{6}{2}})
Vereinfachen Sie den Exponenten.(2^3)
Vereinfachen.8
2.(x^{frac{2}{3}}·x^{frac{4}{3}})
Die Basen sind gleich, also addieren wir die Exponenten.(x^{frac{2}{3}+frac{4}{3}})
Füge die Brüche hinzu.(x^{frac{6}{3}})
Vereinfachen.(x^2)
3.(z^{frac{3}{4}}·z^{frac{5}{4}})
Die Basen sind gleich, also addieren wir die Exponenten.(z^{frac{3}{4}+frac{5}{4}})
Füge die Brüche hinzu.(z^{frac{8}{4}})
Vereinfachen.(z^2)

Beispiel (PageIndex{32})

Vereinfachen:

  1. (3^{frac{2}{3}}·3^{frac{4}{3}})
  2. (y^{frac{1}{3}}·y^{frac{8}{3}})
  3. (m^{frac{1}{4}}·m^{frac{3}{4}}).
Antworten
  1. 9
  2. (y^3)
  3. ich

Beispiel (PageIndex{33})

Vereinfachen:

  1. (5^{frac{3}{5}}·5^{frac{7}{5}})
  2. (z^{frac{1}{8}}·z^{frac{7}{8}})
  3. (n^{frac{2}{7}}·n^{frac{5}{7}}).
Antworten
  1. 25
  2. z
  3. nein

Im nächsten Beispiel verwenden wir die Power-Eigenschaft.

Beispiel (PageIndex{34})

Vereinfachen:

  1. ((x^4)^{frac{1}{2}})
  2. ((y^6)^{frac{1}{3}})
  3. ((z^9)^{frac{2}{3}}).
Antworten
1.((x^4)^{frac{1}{2}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.(x^{4·frac{1}{2}})
Vereinfachen.(x^2)
2.((y^6)^{frac{1}{3}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.(y^{6·frac{1}{3}})
Vereinfachen.(y^2)
3.((z^9)^{frac{2}{3}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.(z^{9·frac{2}{3}})
Vereinfachen.(z^6)

Beispiel (PageIndex{35})

Vereinfachen:

  1. ((p^{10})^{frac{1}{5}})
  2. ((q^8)^{frac{3}{4}})
  3. ((x^6)^{frac{4}{3}})
Antworten
  1. (p^)
  2. (q^6)
  3. (x^8)

Beispiel (PageIndex{36})

Vereinfachen:

  1. ((r^6)^{frac{5}{3}})
  2. ((s^{12})^{frac{3}{4}})
  3. ((m^9)^{frac{2}{9}})
Antworten
  1. (r^{10})
  2. (s^9)
  3. (m^2)

Die Quotienteneigenschaft sagt uns, dass wir beim Dividieren mit derselben Basis die Exponenten subtrahieren.

Beispiel (PageIndex{37})

Vereinfachen:

  1. (frac{x^{frac{4}{3}}}{x^{frac{1}{3}}})
  2. (frac{y^{frac{3}{4}}}{y^{frac{1}{4}}})
  3. (frac{z^{frac{2}{3}}}{z^{frac{5}{3}}}).
Antworten
1.(frac{x^{frac{4}{3}}}{x^{frac{1}{3}}})
Um mit der gleichen Basis zu teilen, subtrahieren wir die Exponenten.(x^{frac{4}{3}−frac{1}{3}})
Vereinfachen.x
2.(frac{y^{frac{3}{4}}}{y^{frac{1}{4}}})
Um mit der gleichen Basis zu dividieren, subtrahieren wir die Exponenten.(y^{frac{3}{4}−frac{1}{4}})
Vereinfachen.(y^{frac{1}{2}})
3.(frac{z^{frac{2}{3}}}{z^{frac{5}{3}}})
Um mit der gleichen Basis zu dividieren, subtrahieren wir die Exponenten.(z^{frac{2}{3}−frac{5}{3}})
Umschreiben ohne negativen Exponenten.(frac{1}{z})

Beispiel (PageIndex{38})

Vereinfachen:

  1. (frac{u^{frac{5}{4}}}{u^{frac{1}{4}}})
  2. (frac{v^{frac{3}{5}}}{v^{frac{2}{5}}})
  3. (frac{x^{frac{2}{3}}}{x^{frac{5}{3}}}).
Antworten
  1. du
  2. (v^{frac{1}{5}})
  3. (frac{1}{x})

Beispiel (PageIndex{39})

Vereinfachen:

  1. (frac{c^{frac{12}{5}}}{c^{frac{2}{5}}})
  2. (frac{m^{frac{5}{4}}}{m^{frac{9}{4}}})
  3. (frac{d^{frac{1}{5}}}{d^{frac{6}{5}}}).
Antworten
  1. (c^2)
  2. (frac{1}{m})
  3. (frac{1}{d})

Manchmal müssen wir mehr als eine Eigenschaft verwenden. In den nächsten beiden Beispielen verwenden wir sowohl die Product to a Power-Eigenschaft als auch die Power-Eigenschaft.

Beispiel (PageIndex{40})

Vereinfachen:

  1. ((27u^{frac{1}{2}})^{frac{2}{3}})
  2. ((8v^{frac{1}{4}})^{frac{2}{3}}).
Antworten
1.((27u^{frac{1}{2}})^{frac{2}{3}})
Zuerst verwenden wir die Eigenschaft Product to a Power.((27)^{frac{2}{3}}(u^{frac{1}{2}})^{frac{2}{3}})
Schreibe 27 als Potenz von 3 um.((3^3)^{frac{2}{3}}(u^{frac{1}{2}})^{frac{2}{3}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.((3^2)(u^{frac{1}{3}}))
Vereinfachen.(9u^{frac{1}{3}})
2.((8v^{frac{1}{4}})^{frac{2}{3}}).
Zuerst verwenden wir die Eigenschaft Product to a Power.((8)^{frac{2}{3}}(v^{frac{1}{4}})^{frac{2}{3}})
Schreibe 8 als Potenz von 2 um.((2^3)^{frac{2}{3}}(v^{frac{1}{4}})^{frac{2}{3}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.((2^2)(v^{frac{1}{6}}))
Vereinfachen.(4v^{frac{1}{6}})

Beispiel (PageIndex{41})

Vereinfachen:

  1. (32x^{frac{1}{3}})^{frac{3}{5}})
  2. ((64y^{frac{2}{3}})^{frac{1}{3}}).
Antworten
  1. (8x^{frac{1}{5}})
  2. (4y^{frac{2}{9}})

Beispiel (PageIndex{42})

Vereinfachen:

  1. ((16m^{frac{1}{3}})^{frac{3}{2}})
  2. ((81n^{frac{2}{5}})^{frac{3}{2}}).
Antworten
  1. (64m^{frac{1}{2}})
  2. (729n^{frac{3}{5}})

Beispiel (PageIndex{43})

Vereinfachen:

  1. ((m^{3}n^{9})^{frac{1}{3}})
  2. ((p^{4}q^{8})^{frac{1}{4}}).
Antworten
1.((m^{3}n^{9})^{frac{1}{3}})
Zuerst verwenden wir die Eigenschaft Product to a Power.((m^{3})^{frac{1}{3}}(n^{9})^{frac{1}{3}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.(mn^3)
2.((p^{4}q^{8})^{frac{1}{4}})
Zuerst verwenden wir die Eigenschaft Product to a Power.((p^{4})^{frac{1}{4}}(q^{8})^{frac{1}{4}})
Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren wir die Exponenten.(pq^2)

Im nächsten Beispiel verwenden wir sowohl die Produkt- als auch die Quotienteneigenschaften.

Übung (PageIndex{44})

Vereinfachen:

  1. (frac{x^{frac{3}{4}}·x^{−frac{1}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
  2. (frac{y^{frac{4}{3}}·y}{y^{−frac{2}{3}}}).
Antworten
1.(frac{x^{frac{3}{4}}·x^{−frac{1}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
Verwenden Sie die Produkteigenschaft im Zähler und fügen Sie die Exponenten hinzu.(frac{x^{frac{2}{4}}}{x^{−frac{6}{4}}})
Verwenden Sie die Quotient-Eigenschaft, subtrahieren Sie die Exponenten.(x^{frac{8}{4}})
Vereinfachen.(x^2)
2.(frac{y^{frac{4}{3}}·y}{y^{−frac{2}{3}}})
Verwenden Sie die Produkteigenschaft im Zähler und fügen Sie die Exponenten hinzu.(frac{y^{frac{7}{3}}}{y^{−frac{2}{3}}})
Verwenden Sie die Quotient-Eigenschaft, subtrahieren Sie die Exponenten.(y^{frac{9}{3}})
Vereinfachen.(y^3)

Beispiel (PageIndex{45})

Vereinfachen:

  1. (frac{m^{frac{2}{3}}·m^{−frac{1}{3}}}{m^{−frac{5}{3}}})
  2. (frac{n^{frac{1}{6}}·n}{n^{−frac{11}{6}}}).
Antworten
  1. (m^2)
  2. (n^3)

Beispiel (PageIndex{46})

Vereinfachen:

  1. (frac{u^{frac{4}{5}}·u^{−frac{2}{5}}}{u^{−frac{13}{5}}})
  2. (frac{v^{frac{1}{2}}·v}{v^{−frac{7}{2}}}).
Antworten
  1. (u^3)
  2. (v^5)

Schlüssel Konzepte

  • Zusammenfassung der Exponenteneigenschaften
  • Wenn a,b reelle Zahlen und m,n rationale Zahlen sind, dann
    • Produkteigenschaften (a^m·a^n=a^{m+n})
    • Power-Eigenschaft ((a^m)^n=a^{m·n})
    • Produkt zu einer Macht ((ab)^m=a^{m}b^{m})
    • Quotienteneigenschaft:

      (frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a e 0, m>n)

      (frac{a^m}{a^n}=frac{1}{a^{n−m}}, a e 0, n>m)

    • Nullexponent-Definition (a^0=1, a e 0)
    • Quotient zu einer Potenzeigenschaft ((frac{a}{b})^m=frac{a^m}{b^m}, b e 0)

Glossar

rationale Exponenten
  • Wenn (sqrt[n]{a}) eine reelle Zahl ist und (nge 2), (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a} )
  • Für beliebige positive ganze Zahlen ich und nein, (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m) und (a^{frac{m}{n}}=sqrt[n ]{a^m})

13.8.8: Rationale Exponenten

Unten ist eine Liste von Tonhöhen in 19-edo, mit Buchstaben-Nennen, die "C" als Referenz verwenden (wie in der oben abgebildeten Musiknotation), die die enharmonischen Äquivalenzen zeigt, die in 19-edo vorkommen:

Ein früher und sehr einfacher Vorschlag für eine Mitteltonstimmung war der 1/3-Komma-Mittelton und sein naher Verwandter 19-edo. Der früheste Hinweis auf eine Stimmung, die 19-edo sein könnte, ist in der 5. Abhandlung des Berkeley-Manuskripts - obwohl nicht genau klar ist, wie die hier beschriebene Stimmung funktionierte, heißt es, dass der Ton in 3 Teile unterteilt ist, die anscheinend gleich. Die früheste angebliche Verwendung dieser Stimmung stammt von Guillaume Costeley im Jahr 1558 in seinem Chanson Seigneur Dieu ta pitiéacute. Die bekannteste frühe Erwähnung beider Stimmungen stammt von Salinas aus dem Jahr 1577.

1/4-Komma-Mittelton ist die einzige Stimmung der Mittelton-Familie, die einen "Ton" liefert, der der genaue Mittelwert zwischen den beiden Größen von 5-Limit-Just-Intonation-"Tönen" ist - der "Ton" von 1/3- Komma-Mittelton und 19-edo ist daher kleiner als der echte Mittelton und näher am Verhältnis 10:9, der kleinere der beiden reinen Intonationstöne.

Mitteltönige Familienstimmungen sind historisch sehr wichtig für die Entwicklung der westlichen Musik, da die von der "Common-Practice"-Musiktheorie postulierten Paradigmen in hohem Maße von der Eliminierung oder Abschwächung des syntonischen Kommas abhängen, das wahrscheinlich das wichtigste ist hervorstechendes Merkmal aller Mitteltöne.

Beachten Sie, dass es in der bekannten 12-edo-Stimmung (die ebenfalls zur Mitteltonfamilie gehört) einen vollständigen Satz enharmonischer Äquivalente gibt, so dass alle 7 Noten mit "Flats" auch als 7 verschiedene Noten "buchstabiert" werden können die "scharfe" zusammen mit einer nominellen Stufe tiefer haben, in allen anderen Mitteltönen sind die "Flats" in der Tonhöhe höher als vermeintlich enharmonisch äquivalente "scharfe". Dies ist das Gegenteil der viel älteren pythagoräischen Stimmung und auch das Gegenteil der "ausdrucksstarken Intonation", die seit Beethovens Zeit (um 1800) in eurozentrischen Spielschulen verbreitet gelehrt wird.

Stimmungen der Mitteltonfamilie kamen einer "Standard" -Stimmung in den meisten Teilen Europas von etwa 1500 bis 1700 am nächsten und wurden bis etwa 1850 noch häufig auf Keyboards (insbesondere Orgeln) gefunden. Man kann fairerweise sagen, dass die meisten Instrumentalmusiken der Renaissance und des Barocks sollte in irgendeiner Form von Mittelton gespielt werden, und selbst nach der wachsenden Popularität von Wohltemperamenten für Tasteninstrumente nach 1700 sollte eine Form von Mittelton (im Allgemeinen eher wie 1/6-Komma oder 55-edo) gespielt werden ) war meist noch für Orchestermusik gedacht.

Zu Mozarts Lebzeiten (spätes 18. Jahrhundert) begannen Orchesterspieler, eine "ausdrucksvolle Intonation" zu verwenden, die sich wieder in Richtung Pythagoräisch bewegte, und Beethovens Musiksprache förderte sicherlich die Verbreitung von 12-edo, aber bis zu einem gewissen Grad blieb Mittelton im Orchesterspiel bis etwa zur Zeit des Wagner (Mitte bis Ende 1800). Nach der fast universellen Einführung von 12-edo wurde der Verlust des Mitteltons Anfang des 20. Jahrhunderts von Mahler beklagt. (Siehe Monzo, Ein Jahrhundert Neue Musik in Wien .)

Das 1/3-Komma bedeutet "5." - der Generator - ist (3/2) / ((81/80) (1/3) ). Mit der Vektoraddition heißt das: Dadurch wird das syntonische Komma abgemildert, so dass es verschwindet, wodurch 4 "5tel" minus 2 "8ves" ziemlich nahe an die gerade "Dur 3" herankommen: Der Unterschied zwischen der Just-Intonation und das 1/3-Komma-Mittelton "Dur-3" ist: Dieser Betrag ist genau 1/3 eines syntonischen Kommas.

Unter der Annahme von "Oktave"-Äquivalenz (dh die Exponenten von 2 sind für die Konstruktion der Skala irrelevant, daher habe ich hier 2 -2 zum Vektor hinzugefügt, um die Note in die Referenz "Oktave" zu setzen"), die nächste Note in der Zyklus nach der "5", der von +2 Generatoren, ist der "Ganzton" 2 (2/3) 3 -(2/3) 5 (2/3) =

189.5724753 Cent. Wenn wir dies mit den beiden Just-Intonationen "Ganztöne" vergleichen, indem wir den Mittelton vom größeren Pythagoras 9/8 subtrahieren und den kleineren 5-Grenzton 10/9 vom Mittelton subtrahieren, finden wir heraus, wo der Mittelton zwischen den beiden Justs liegt -Intonation "Ganztöne":

Die diatonische 7-Ton-Tonleiter im 1/3-Komma-Mittelton enthält nur zwei "Schritt"-Größen: die

189.5724753-Cent "Ganzton" wie oben beschrieben, zwischen C:D, D:E, F:G, G:A und A:B, und dem

126,0688117-Cent "diatonischer Halbton" zwischen E:F und B:C:

7-Ton 1/3-Komma Mittelton diatonische Tonleiter

Die Einführung von "Bb" in die Skala bewirkt, dass ein neues Intervall zwischen den Graden erscheint: das

63,50366367-Cent "chromatischer Halbton" zwischen Bb:B:

1/3-Komma Mittelton diatonische Tonleiter mit Bb

Wenn wir weiterhin Tonhöhen an beiden Enden der Kette hinzufügen, kommen wir schließlich zu der "typischen" 12-Ton-Chromatischen Tonleiter, die in Europa während der Mittelton-Ära verwendet wurde, von Es bis Gis. Diese Tonleiter hat als Zwischengradintervalle nur die beiden Halbtongrößen chromatisch und diatonisch:

Das Hinzufügen einer weiteren Note an einem der Enden führt zu einem weiteren neuen Zwischengradintervall von,

62.565148 Cent, zwischen G#:Ab in meinem Beispiel hier:

Sowohl aus den Zahlen als auch aus der Grafik ist ersichtlich, dass dieses Intervall fast die gleiche Größe hat wie das zuletzt abgeleitete, also gibt es im Wesentlichen keinen Unterschied im 1/3-Komma-Mittelton zwischen dem chromatischen Halbton und der enharmonischen Diesis - und in 19-edo sind sie tatsächlich genau gleich groß:

Man kann auf diese Weise weitere 6 Noten hinzufügen, ohne auf eine radikal andere Schrittweite zu stoßen, so dass aufgrund der Ähnlichkeit des 1/3-Komma-Mittelton-chromatischen Halbtons und der enharmonischen Diesis die Teilung der "8ve" tendenziell zu ausgeglichen werden:

19-Ton 1/3-Komma Mittelton chromatische Tonleiter

Aus der Grafik direkt oben ist ersichtlich, dass dies die "8ve" in 19 fast identische Schritte unterteilt, und daher kann leicht abgeleitet werden, dass andere neue Noten den bereits produzierten ziemlich ähnlich sind und dass das System somit in Effekt bei 19 Noten geschlossen.

Wenn eine 20. Note hinzugefügt wird, zum Beispiel -7 (Cb), entsteht ein neues, winziges Zwischen-Grad-Intervall, das tatsächlich dieselbe "kleine Diesis" ist, die oben berechnet wurde:

15 /16) Cent, zwischen Cb und B# auftretend:

Für alle Absichten und Zwecke kann dieser Unterschied vernachlässigt werden, so dass 19-edo als identisch mit einer 19-Ton-Kette von 1/3-Komma-Mittelton angesehen werden kann.

0,049395561 Cent: dieser winzige Betrag ist die Differenz zwischen dem 1/3-Komma Mittelton "5." und dem 19-edo "5.".

20-tönige 1/3-Komma-Mitteltonskala

Unten ist ein Diagramm, das die Tonhöhe dieser 20-Ton-Kette aus 1/3-Komma-Mittelton zeigt. Die rote Linie verbindet die beiden eng beieinander liegenden Spielfelder.

20-Ton 1/3-Komma Mitteltonkette

19-edo ist hörbar nicht von 1/3-Komma-Mittelton zu unterscheiden. 2 (11/19) = 696,7741935 Cent. Wenn wir erneut die Vektoraddition verwenden, um den 1/3-Komma-Mittelton "5." mit dem 19-edo "5." zu vergleichen, erhalten wir einen Unterschied zwischen den beiden:

Somit wirkt 2 (19/3) * 3 -(19/3) * 5 (19/3) als Unisono-Vektor, der nicht in 1/3-Komma-Mittelton abgemildert, und es wirkt wie ein Unisono-Vektor, der ist temperiert in 19-edo. Da dieses Intervall so klein ist, macht es wirklich keinen Unterschied, ob es "offiziell" temperiert ist oder nicht: es wird in jedem Fall wie ein Unisono klingen.

Salinas beschrieb 1577 (De Musica, Buch 3, Kapitel 16) zum ersten Mal den 1/3-Komma-Mittelton mit mathematischer Genauigkeit. Zuerst konstruierte er ein 24-Ton-Just-Intonation-System, das Duplikatpaare einiger Tonhöhen mit einem syntonischen Komma auseinander hatte, von denen das höhere als "superius" und das untere als "inferius" bezeichnet wurde. Dann erklärte er die Höhe der Temperierung für jede der mitteltonigen Tonhöhen. Indem er das volle Komma, das zwischen den 5 Paaren von "superius/inferius"-Tonhöhen vorhanden ist, abschwächt, reduziert er die Anzahl der Tonhöhen von 24 auf 19.

Unten ist ein Gitter, das Salinas' 1/3-Komma-Mittelton im Prim-Raum platziert und seine Beziehung zu seinem Just-Intonation-System zeigt, wie er es beschreibt, stellen die schrägen Pfeile das syntonische Komma dar:

Es ist ersichtlich, dass alle Tonhöhen des Mitteltons entweder genau die von Salinas' Just-Intonation-System sind oder 1/3, 2/3 oder ein volles Komma höher oder niedriger sind als die in seinem Just-Intonation-System.

Er erklärt weiter, wie man das 24-Noten-Just-Intonation-System in 19 Töne mit 2/7-Komma-Mittelton und dann auch in 19 Töne mit 1/4-Komma-Mittelton temperiert, von denen er schließlich erklärt, es sei das beste der drei Temperamente.

Salinas erwähnte die Gleichheit der 8ve-Teilung in seinem 1/3-Komma-Mittelton nicht ausdrücklich, aber er hätte es selbst gewusst und kann aus den von ihm beschriebenen Messungen abgeleitet werden. Die 19-Ton-Systeme des 2/7-Komma- und 1/4-Komma-Mitteltons sind weniger gleichmäßig verteilt und liegen eher näher an Untermengen von 50-edo bzw. 31-edo.

Unten ist ein 5-Grenzen-Dreiecksgitterdiagramm von Just-Intonationsverhältnissen, das einen beispielhaften 19-Ton-Periodizitätsblock zeigt, der durch 2 Unisono-Vektoren definiert und begrenzt wird, das syntonische Komma und das magische Komma, die a . bilden können Basis in 19-edo temperiert werden. Die für jeden Gitterpunkt angegebenen Daten sind die Verhältnisdarstellung der Note, der 19-edo-Grad und der Buchstabenname (mit Vorzeichen, wo erforderlich).

Tatsächlich beschreibt diese Struktur perfekt Salinas' Just-Intonation-Struktur, wie oben beschrieben.

Unten sind zwei kreisförmige Graphen von 19-edo in seiner typischen mitteltonigen Verwendung (beachten Sie, dass 19-edo auch zu anderen Temperamentfamilien gehört!). Ein Graph ordnet die Tonhöhen in skalarer Reihenfolge durch 1/3-Ton-Skala-Grad-Generatoren um den Kreis herum an, und der andere ordnet die Tonhöhen in der Reihenfolge diatonischer 5. Generatoren an. Beide zeigen die enharmonischen Äquivalenzen, die in 19-edo auftreten.

19-edo-Grad-Kreis

19-edo Fünftelkreis


Übungsprobleme

Finden Sie die unten angegebene Oberfläche der Pyramide.

Oberfläche der Pyramide ist

=  Summe der Flächen aller 5 Flächen

Bei der obigen Pyramide ist die Grundfläche ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm und jede Wand ist ein Dreieck mit einer Grundfläche von 5 cm und einer Höhe von 8 cm.

Lassen Sie uns die Fläche jedes Gesichts separat ermitteln. 

Grundfläche  = ਅ x 5  = ꀥ cm²

Fläche jeder Seitenwand  =  (1/2) x 5 x 8  = ꀠ cm² 

Fläche aller 4 Seitenwände  = ਄ x 20  = ꂀ cm² 

Die Oberfläche der obigen Pyramide ist

Finden Sie die unten angegebene Oberfläche der Pyramide.

Oberfläche der Pyramide ist

=  Summe der Flächen aller 4 Flächen

Bei der obigen Pyramide ist die Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 4 cm und jede Wand ist ein Dreieck mit einer Basis von 4 cm und einer Höhe von 6 cm.

Lassen Sie uns die Fläche jedes Gesichts separat ermitteln. 

Grundfläche  =  ( √3/4) x 4 2   = ਄ √3 qcm

Fläche jeder Seitenwand  =  (1/2) x 4 x 6  = ꀒ cm² 

Fläche aller 3 Seitenwände  = ਃ x 12  = ꀶ cm² 

Oberfläche der obigen Pyramide ist 

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