Artikel

8.2.2 Punktdiagramme - Mathematik


Lektion

Lassen Sie uns untersuchen, was uns Punktdiagramme und Balkendiagramme sagen können.

Übung (PageIndex{1}): Pizzabelag (Teil 1)

Fünfzehn Kunden in einer Pizzeria wurden gefragt: „Wie viele Beläge hast du deiner Käsepizza hinzugefügt?“ Hier sind ihre Antworten:

(1qquad 2qquad 1qquad 3qquad 0qquad1qquad 1qquad 2qquad 0qquad 3qquad 0qquad 0qquad 1qquad 2qquad 2)

  1. Könnten Sie ein Punktdiagramm verwenden, um die Daten darzustellen? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  2. Vervollständigen die Tabelle.
Anzahl der BelägeHäufigkeit (Anzahl)
(0)
(1)
(2)
(3)
Tabelle (PageIndex{1})

Übung (PageIndex{2}): Pizzabelag (Teil 2)

  1. Verwenden Sie die Tabellen aus dem Aufwärmen, um die Anzahl der Beläge als Punktdiagramm anzuzeigen. Beschriften Sie Ihre Zeichnung deutlich.
  1. Verwenden Sie Ihr Punktdiagramm, um die Verteilung der Anzahl der Beläge zu untersuchen. Was fällt Ihnen an der Anzahl der Toppings auf, die diese Kundengruppe bestellt hat? Schreiben Sie 2–3 Sätze, in denen Sie Ihre Beobachtungen zusammenfassen.

Bist du bereit für mehr?

Stellen Sie sich eine statistische Frage vor, die mit den Daten über die Anzahl der bestellten Beläge beantwortet werden kann, die auf dem Punktdiagramm angezeigt werden. Dann beantworte diese Frage.

Übung (PageIndex{3}): Hausaufgabenzeit

25 Sechstklässler beantworteten die Frage: „Wie viele Stunden verbringen Sie in der Regel pro Woche mit Hausaufgaben?“

Dieses Punktdiagramm zeigt die Anzahl der Stunden pro Woche, die diese 25 Schüler angaben, für Hausaufgaben aufgewendet zu haben.

Verwenden Sie das Punktdiagramm, um die folgenden Fragen zu beantworten. Zeigen oder erklären Sie für jede Ihre Argumentation.

  1. Wie viel Prozent der Schüler gaben an, jede Woche eine Stunde mit Hausaufgaben zu verbringen?
  2. Wie viel Prozent der Schüler gaben an, jede Woche 4 oder weniger Stunden mit Hausaufgaben zu verbringen?
  3. Wären 6 Stunden pro Woche eine gute Beschreibung für die Stunden, die diese Schülergruppe pro Woche für Hausaufgaben aufwendet? Was ist mit 1 Stunde pro Woche? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  4. Welcher Wert wäre Ihrer Meinung nach eine gute Beschreibung der Hausaufgabenzeit der Schüler in dieser Gruppe? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  5. Jemand sagte: „Im Allgemeinen verbringen diese Schüler ungefähr gleich viele Stunden mit Hausaufgaben.“ Sind Sie einverstanden? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Zusammenfassung

Wir sammeln und analysieren oft Daten, weil wir daran interessiert sind zu lernen, was „typisch“ ist oder was in einer Gruppe üblich und zu erwarten ist.

Manchmal ist es leicht zu erkennen, was ein typisches Mitglied der Gruppe ist. Zum Beispiel können wir sagen, dass eine typische Form in diesem Set ein großer Kreis ist.

Allein der Blick auf die Mitglieder einer Gruppe sagt uns jedoch nicht immer, was typisch ist. Wenn wir uns zum Beispiel für die typische Seitenlänge von Quadraten in dieser Menge interessieren, ist es nicht einfach, die Menge nur visuell zu studieren.

In einer solchen Situation ist es hilfreich, die Seitenlängen der Quadrate in der Menge zu sammeln und ihre Verteilung zu betrachten, wie in diesem Punktdiagramm gezeigt.

Wir sehen, dass viele der Datenpunkte zwischen 2 und 4 liegen, also könnten wir sagen, dass Seitenlängen zwischen 2 und 4 Zentimetern oder nahe an diesen Längen typisch für Quadrate in dieser Menge sind.

Glossareinträge

Definition: Verteilung

Die Verteilung gibt an, wie oft jeder Wert in einem Datensatz vorkommt. Im Datensatz blau, blau, grün, blau, orange beträgt die Verteilung beispielsweise 3 Blautöne, 1 Grün und 1 Orange.

Hier ist ein Punktdiagramm, das die Verteilung für den Datensatz 6, 10, 7, 35, 7, 36, 32, 10, 7, 35 zeigt.

Definition: Frequenz

Die Häufigkeit eines Datenwerts gibt an, wie oft er im Datensatz vorkommt.

Zum Beispiel waren 20 Hunde in einem Park. Die Tabelle zeigt die Häufigkeit jeder Farbe.

FarbeFrequenz
Weiß(4)
braun(7)
schwarz(3)
Mehrfarbig(6)
Tabelle (PageIndex{2})

Trainieren

Übung (PageIndex{4})

Clare notierte die Zeit, die Schüler der sechsten, achten und zehnten Klasse mit Hausaufgaben in Stunden pro Woche verbrachten. Sie erstellte ein Punktdiagramm der Daten für jede Klasse und lieferte die folgende Zusammenfassung.

  • Schüler der sechsten Klasse verbringen tendenziell weniger Zeit mit Hausaufgaben als Schüler der achten und zehnten Klasse.
  • Die Hausaufgabenzeiten der Zehntklässler sind ähnlicher als die Hausaufgabenzeiten der Achtklässler.

Verwenden Sie Clares Zusammenfassung, um jedes Punktdiagramm der richtigen Note zuzuordnen (sechste, achte oder zehnte).

Übung (PageIndex{5})

Mai spielte 10 Basketballspiele. Sie notierte die Anzahl der erzielten Punkte und erstellte einen Punktplot. Mai sagte, dass sie in den meisten der 10 Spiele zwischen 8 und 14 Punkte erzielte, aber ein Spiel war außergewöhnlich. Während dieses Spiels erzielte sie mehr als das Doppelte ihrer typischen Punktzahl von 9 Punkten. Verwenden Sie den Zahlenstrahl, um ein Punktdiagramm zu erstellen, das der Beschreibung von Mai entspricht.

Übung (PageIndex{6})

Ein Kino zeigt drei verschiedene Filme. Die Punktdiagramme stellen das Alter der Personen dar, die am Samstagnachmittag jeden dieser Filme gezeigt haben.

  1. Einer dieser Filme war ein Animationsfilm mit der Bewertung G für das allgemeine Publikum. Glaubst du, es war Film A, B oder C? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  2. Welcher Film hat einen Punktplot mit einem Alter von etwa 30 Jahren?
  3. Was ist ein typisches Alter für die Leute, die bei Movie A waren?

Übung (PageIndex{7})

Finden Sie den Wert jedes Ausdrucks.

  1. (3.727+1.384)
  2. (3.727-1.384)
  3. (5.01cdot 4.8)
  4. (5.01div 4.8)

(Ab Lektion 5.4.5)


Mathematik. Atan2(Double, Double) Methode

Einige Informationen beziehen sich auf Vorabversionen von Produkten, die vor der Veröffentlichung erheblich geändert werden können. Microsoft übernimmt keine ausdrücklichen oder stillschweigenden Gewährleistungen in Bezug auf die hier bereitgestellten Informationen.

Gibt den Winkel zurück, dessen Tangens der Quotient aus zwei angegebenen Zahlen ist.

Parameter

Die y-Koordinate eines Punktes.

Die x-Koordinate eines Punktes.

Kehrt zurück

Ein Winkel , gemessen im Bogenmaß, so dass -π ≤ θ ≤ und tan(θ) = y / x ist, wobei ( x , y ) ein Punkt in der kartesischen Ebene ist. Beachten Sie Folgendes:

Für (x, y) in Quadrant 1, 0 < < π/2.

Für (x, y) in Quadrant 2 gilt π/2 < θ ≤ .

Für (x, y) in Quadrant 3, -π < θ < -π/2.

Für (x, y) in Quadrant 4, - 4/2 < θ < 0.

Für Punkte an den Grenzen der Quadranten ist der Rückgabewert der folgende:

Wenn y 0 ist und x nicht negativ ist, ist θ = 0.

Wenn y 0 ist und x negativ ist, ist θ = π.

Wenn y positiv ist und x 0 ist, ist = π/2.

Wenn y negativ ist und x 0 ist, ist = -π/2.

Wenn y 0 ist und x 0 ist, ist θ = 0.

Wenn x oder y NaN ist oder wenn x und y entweder PositiveInfinity oder NegativeInfinity sind, gibt die Methode NaN zurück.


Dot-Plots verstehen

Ein Punktdiagramm gruppiert die Anzahl der Datenpunkte in einem Datensatz basierend auf dem Wert jedes Punktes visuell. Dies ergibt eine visuelle Darstellung der Verteilung der Daten, ähnlich einem Histogramm oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion. Punktdiagramme ermöglichen eine schnelle visuelle Analyse der Daten, um die zentrale Tendenz, Streuung, Schiefe und Modalität der Daten zu erkennen.

Punktdiagramme sind typischerweise so angeordnet, dass eine Achse den Wertebereich oder die Kategorien anzeigt, entlang derer die Datenpunkte gruppiert sind, und eine zweite Achse, die die Anzahl der Datenpunkte in jeder Gruppe zeigt. Punkte können vertikal oder horizontal gestapelt werden, um anzuzeigen, wie viele in jeder Gruppe sind, um einen einfachen visuellen Vergleich zu ermöglichen.

Dies ist nicht unähnlich einem Liniendiagramm. Der große Unterschied besteht darin, dass Punkte auf einem Punktdiagramm nicht über eine Linie verbunden sind. Liniendiagramme verbinden die Punkte jedoch mit einer Linie. Das Liniendiagramm hat wie ein Punktdiagramm sowohl eine x-Achse als auch eine y-Achse.

Punktdiagramme funktionieren am besten für kleinere Datensätze, da die Anzahl der Punkte bei größeren Datensätzen weniger handhabbar werden kann.


Der Grapher akzeptiert jede der folgenden Funktionen (verwenden Sie die angezeigte Notation). Sie können aus den folgenden Beispielen kopieren, wenn Sie möchten.

  • Gerade Linien: (wie 3x - 2)
  • Polynome: (wie x^3 + 3x^2 - 5x + 2)
  • Irgendeiner von trigonometrische Funktionen: sin(x), cos(x/2), tan(2x), csc(3x), sec(x/4), cot(x)
  • Das inverse trigonometrische Funktionen: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccsc(x), arcsec(x), arccot(x)
  • Exponentiell ( e^x ) und Logarithmus ( ln(x) für natürlichen Logarithmus und log(x) für Logarithmusbasis 10)
  • Absolutwert: Verwenden Sie "abs" wie folgt: abs(x)
  • Das hyperbolische Funktionen und ihre Umkehrungen: sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x)
  • Schild (1 wenn das Vorzeichen positiv ist, &minus1, wenn das Vorzeichen der Funktion negativ ist.) Versuchen Sie beispielsweise sign(sin(x))

Tatsächlich können Sie die meisten mathematischen JavaScript-Funktionen verwenden, einschließlich

  • Decke: Decke(x) und runden: rund(x) zufällig: zufällig(x)
  • Quadratwurzel: Quadrat (x)

Sie können auch beliebige Kombinationen der oben genannten Optionen verwenden, z. B. ln(abs(x)) .

Wenn Ihr Diagramm nicht funktioniert: Versuchen Sie es mit Klammern! Zum Beispiel funktioniert "tan 2x" nicht. Sie müssen tan(2x) setzen.


Vektoren mit Anfangspunkten NICHT am Ursprung

Manchmal platzieren wir den Anfangspunkt eines Vektors nicht am Ursprung. Betrachten Sie zum Beispiel einen Vektor, der seinen Anfangspunkt bei $P(2, 2)$ und den Endpunkt bei $Q(6, 3)$ hat. Um diesen Vektor zu zeichnen, können wir diese Koordinaten plotten und als Vektor verbinden. Alternativ können wir diesen Vektor mit einem allgemeinen Satz von Komponenten bezeichnen:

Für unser Beispiel $vec = (4, 1)$ , und die folgende Grafik veranschaulicht unseren Vektor auf zwei Arten:


Die Graphviz-Layout-Programme nehmen Beschreibungen von Graphen in einer einfachen Textsprache und erstellen Diagramme in nützlichen Formaten, wie z. Graphviz bietet viele nützliche Funktionen für konkrete Diagramme, z. B. Optionen für Farben, Schriftarten, tabellarische Knotenlayouts, Linienstile, Hyperlinks und benutzerdefinierte Formen.

Punkt - &ldquohierarchische&rdquo oder geschichtete Zeichnungen von gerichteten Graphen. Dies ist das Standardwerkzeug, das verwendet wird, wenn Kanten eine Direktionalität aufweisen.

ordentlich - &ldquospring-Modell&rdquo-Layouts. Dies ist das Standardwerkzeug, das Sie verwenden sollten, wenn der Graph nicht zu groß ist (etwa 100 Knoten) und Sie sonst nichts darüber wissen. Neato versucht, eine globale Energiefunktion zu minimieren, die einer statistischen mehrdimensionalen Skalierung entspricht.

fdp - &ldquospring-Modell&rdquo-Layouts ähneln denen von Nero, aber tun dies, indem Kräfte reduziert werden, anstatt mit Energie zu arbeiten.

sfdp - Multiscale-Version von fdp für das Layout großer Graphen.

zweipi - radiale Layouts, nach Graham Wills 97. Knoten werden auf konzentrischen Kreisen platziert, abhängig von ihrem Abstand von einem gegebenen Wurzelknoten.

Zirko - kreisförmiges Layout, nach Six und Tollis 99, Kauffman und Wiese 02. Dies eignet sich für bestimmte Diagramme mehrerer zyklischer Strukturen, wie beispielsweise bestimmte Telekommunikationsnetze.


Dinge die zu tun sind:

  1. Ziehen Sie die Schieberegler "mu" und "sigma", um den Mittelwert und die Standardabweichung zu ändern und den Effekt auf die Glockenkurve zu sehen.
  2. Ziehen Sie die Schieberegler "x_1" und "x_2", um den Teil der Kurve zu ändern, für den Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen.
  3. Klicken Sie nun auf "Standardnormalkurve anzeigen", um den entsprechenden schattierten Bereich anzuzeigen, wenn die blaue Kurve in die Standardform übersetzt wird.
  4. Klicken Sie nun auf "Zeige `z`-Score-Berechnungen anzeigen", um zu sehen, wie das geht.
  5. Sehen Sie sich nun die Wahrscheinlichkeitsrechnung für Ihre Situation an.
  6. Beobachten Sie den Anteil der Fläche unter der Kurve von "mu" bis "1" Standardabweichung von "mu" (ca. 34%, und beobachten Sie auf der grauen Kurve, dass es "Sigma=1" ist), "mu" bis "2" Standard Abweichungen (ca. 47,7% oder `Sigma=2` auf der Standardnormalkurve) und von `mu` auf 3 Standardabweichungen (fast die ganze rechte Seite, ca. 49,9% und `<:sigma=3)`
  7. Versuchen Sie `mu=0` und `sigma=1` für die grüne Kurve einzustellen. In diesem Fall haben Sie das getan, was der `z`-Score für uns tut - dh die Standardnormalkurve verwendet.

Die komplexen Kosinus- und Sinusfunktionen

Wir werden nun die reellwertigen Sinus- und Cosinusfunktionen auf komplexwertige Funktionen erweitern. Als Referenz sind die Graphen der reellwertigen Cosinus- (rot) und Sinus- (blau) Funktionen unten aufgeführt:

Erinnern Sie sich von der Seite „Komplexe Exponentialfunktion“ daran, dass wir für jede imaginäre Zahl $iy$ Folgendes haben:

Da also $cos y$ eine gerade Funktion und $sin y$ eine ungerade Funktion ist, haben wir Folgendes:

Und wenn wir $(*)$ und $(**)$ subtrahieren, erhalten wir:

Mit diesen beiden identifizierten Formeln können wir nun die komplexen Kosinus- und Sinusfunktionen definieren.

Definition: Das Komplexe Kosinusfunktion ist für alle $z in mathbb . definiert$ um $displaystyle + e^<-iz>><2>>$ und die Komplexe Sinusfunktion ist für alle $z in mathbb . definiert$ um $displaystyle -e^<-iz>><2i>>$ .

Es ist wichtig anzumerken, dass wir nicht wirklich überprüft haben, dass diese Formeln sinnvolle Erweiterungen der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktionen sind. Tatsächlich sind sie es, und wir werden uns im Folgenden einige ihrer Eigenschaften ansehen.


8.2.2 Punktdiagramme - Mathematik

In den vorherigen beiden Abschnitten haben wir uns einige Themen in Infinitesimalrechnung I im Hinblick auf parametrische Gleichungen angesehen. Wir müssen uns jetzt ein paar Themen in Infinitesimalrechnung II im Hinblick auf parametrische Gleichungen ansehen.

In diesem Abschnitt betrachten wir die Bogenlänge der parametrischen Kurve durch

[x = fleft(t ight)hspace<0.5in>y = gleft(t ight)hspace<0.5in>alpha le tleeta]

Wir nehmen auch an, dass die Kurve genau einmal durchgezogen wird, wenn (t) von (alpha) auf (eta) ansteigt. Wir müssen auch annehmen, dass die Kurve mit zunehmendem (t) von links nach rechts verläuft. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage,

Beginnen wir also mit der Ableitung, indem wir uns an die Bogenlängenformel erinnern, wie wir sie zuerst im Abschnitt über die Bogenlänge des Kapitels Anwendungen von Integralen abgeleitet haben.

Wir werden das erste (ds) oben verwenden, weil wir eine schöne Formel für die Ableitung in Bezug auf die parametrischen Gleichungen haben (siehe Abschnitt Tangenten mit parametrischen Gleichungen). Um dies zu verwenden, müssen wir auch wissen, dass

Die Bogenlängenformel lautet dann

Dies ist eine besonders unangenehme Formel. Wenn wir jedoch den Nenner aus der Quadratwurzel herausrechnen, erhalten wir,

Unter Verwendung unserer Annahme, dass die Kurve von links nach rechts gezogen wird, können wir nun die Absolutwertbalken auf der Ableitung fallen lassen, was es uns ermöglicht, die beiden Ableitungen, die außerhalb der Quadratwurzel liegen, zu löschen, und dies ergibt:

Bogenlänge für parametrische Gleichungen

Beachten Sie, dass wir die zweite Formel für (ds) oben hätten verwenden können, wenn wir stattdessen angenommen hätten, dass

Wenn wir diesen Weg in der Ableitung gegangen wären, hätten wir die gleiche Formel erhalten.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Aus unserer vorherigen Diskussion über die grafische Darstellung parametrischer Kurven wissen wir, dass dies ein Kreis mit Radius 3 ist, der im Ursprung zentriert ist. Aus dieser Diskussion wissen wir auch, dass in diesem Bereich genau einmal nachgefahren wird.

Wir können also die oben abgeleitete Formel verwenden. Wir benötigen zunächst Folgendes,

[frac<><

> = 3cosleft(t ight)hspace<0.5in>hspace<0.25in>frac<><
> = - 3sin left(t ight)]

Da dies ein Kreis ist, hätten wir einfach die Tatsache nutzen können, dass die Länge des Kreises nur der Umfang des Kreises ist. Dies ist in diesem Fall eine schöne Möglichkeit, unser Ergebnis zu überprüfen.

Schauen wir uns eine mögliche Konsequenz an, wenn eine Kurve mehr als einmal durchgezogen wird und wir versuchen, die Länge der Kurve zu ermitteln, ohne dies zu berücksichtigen.

Beachten Sie, dass dies der identische Kreis ist, den wir im vorherigen Beispiel hatten, und daher beträgt die Länge immer noch 6(p). Für den angegebenen Bereich wissen wir jedoch, dass die Kurve dreimal statt einmal nachgezeichnet wird, wie es für die Formel erforderlich ist. Lassen Sie uns trotz dieser Einschränkung die Formel trotzdem verwenden und sehen, was passiert.

In diesem Fall sind die Ableitungen

und die Längenformel gibt

Die Antwort, die wir in diesem Beispiel aus der Bogenlängenformel erhalten haben, war das Dreifache der tatsächlichen Länge. Wenn man sich daran erinnert, dass wir auch festgestellt haben, dass dieser Kreis dreimal in dem angegebenen Bereich verlaufen würde, sollte die Antwort einen Sinn ergeben.

Wenn wir die Länge des Kreises für diesen Satz parametrischer Gleichungen bestimmen wollten, müssten wir einen Bereich von (t) bestimmen, für den dieser Kreis genau einmal durchgezogen wird. Dies ist (0 le t le frac<<2pi >><3>). Mit diesem Bereich von (t) erhalten wir folgendes für die Länge.

was ist die richtige antwort.

Gehen Sie nicht davon aus, dass dies immer der Fall ist, wenn die Kurve mehr als einmal durchgezogen wird. Nur weil die Kurve (n) mal ausläuft, heißt das nicht, dass die Bogenlängenformel (n) mal die tatsächliche Länge der Kurve ergibt!

Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, wollen wir beachten, dass wir die in diesem Abschnitt abgeleitete Bogenlängenformel in die gleiche Form bringen können, die wir hatten, als wir zum ersten Mal die Bogenlänge betrachteten. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir eine Definition für (ds) hinzufügen, wenn wir parametrische Gleichungen haben.


Dreieck-Methode:

Zeichnen Sie die Vektoren nacheinander und platzieren Sie den Anfangspunkt jedes nachfolgenden Vektors am Endpunkt des vorherigen Vektors. Zeichnen Sie dann die Resultierende vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors. Diese Methode wird auch als . bezeichnet Kopf-an-Schwanz-Methode .

Vektoraddition:

Vektorsubtraktion:

Setze die gegebenen Werte von u 1 , u 2 , v 1 und v 2 in die Definition der Vektoraddition ein.

Schreiben Sie die Differenz u &rarr &minus v &rarr in eine Summe u &rarr + ( &minus v &rarr ) um . Wir müssen die Komponenten von &minus v &rarr bestimmen.

Denken Sie daran, dass &minus v &rarr ein skalares Vielfaches von &minus 1 mal ist v . Aus der Definition der Skalarmultiplikation haben wir:

Fügen Sie nun die Komponenten von u &rarr und &minus v &rarr hinzu.

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