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6.8.E: Probleme mit Baire-Kategorien und linearen Karten


Übung (PageIndex{1})

Überprüfen Sie die Äquivalenz der verschiedenen Formulierungen in Definition 1. Diskutieren Sie: (A) ist nirgendwo dicht, wenn es in keiner offenen Menge ( eq emptyset) dicht ist.

Übung (PageIndex{2})

Überprüfen Sie die Beispiele (a) bis (e). Zeigen Sie, dass die Menge von Cantor (P) überabzählbar ist.
[Hinweis: Jedes (pin P) entspricht einem "ternären Bruch", (p=sum_{n=1}^{infty} x_{n} / 3^{n},) auch geschrieben (0 . x_{1}, x_{2}, ldots, x_{n}, ldots,) wobei (x_{n}=0) oder (x_{n}=2) je nachdem, ob (p) links oder rechts vom nächsten "entfernten" offenen Intervall der Länge (1/ 3^{n}) liegt. Imitieren Sie den Beweis von Satz 3 in Kapitel 1, §9 für die Abzählbarkeit. Siehe auch Kapitel 1, §9, Problem 2(ii).]

Übung (PageIndex{3})

Ergänzen Sie die fehlenden Details im Beweis der Sätze 1 bis 4.

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie Folgendes.
(i) Wenn (Bsubseteq A) und (A) nirgendwo dicht oder dürftig ist, so ist es auch (B).
(ii) Ist (Bsubseteq A) und (B) nicht dünn, so ist es auch (A).
[Hinweis: Nehmen Sie an, (A) sei mager und verwenden Sie (i)).]
(iii) Jede endliche Vereinigung nirgendwo dichter Mengen ist nirgendwo dicht. Widerlegen Sie es für unendliche Vereinigungen.
(iv) Jede zählbare Vereinigung magerer Mengen ist mager.

Übung (PageIndex{5})

Beweisen Sie, dass in einem diskreten Raum ((S, ho),) nur (emptyset) dürftig ist.
[Hinweis: Verwenden Sie Problem 8 in Kapitel 3, §17, Beispiel 7 in Kapitel 3, §12 und unseren gegenwärtigen Satz 1.]

Übung (PageIndex{6})

Verwenden Sie Satz 1, um einen neuen Beweis für die Existenz von Irrationalen in (E^{1}) zu liefern.
[Hinweis: Die rationalen Zahlen (R) sind eine magere Menge, (E^{1}) nicht.]

Übung (PageIndex{7})

Was ist falsch an diesem "Beweis", dass jede abgeschlossene Menge (F eq emptyset) in einem vollständigen Raum ((S, ho)) Residuum ist: "Nach Satz 5 von Kapitel 3, §17, (F) ist als Unterraum vollständig, also ist nach Satz 1 (F) Residuum." Nennen Sie Gegenbeispiele!

Übung (PageIndex{8})

Wir nennen (K) eine (mathcal{G}_{delta})-Menge und schreiben (Kinmathcal{G}_{delta}) genau dann, wenn (K=igcap_ {n=1}^{infty} G_{n}) für einige offene Mengen (G_{n}.)
(i) Beweisen Sie, dass wenn (K) eine (mathcal{G}_{delta})-Menge ist und (K) dicht in einem vollständigen metrischen Raum ((S, rho),) dh (overline{K}=S,), dann ist (K) ein Rest in (S).
[Hinweis: Sei (F_{n}=-G_{n}.) Verifiziere, dass ((forall n) G_{n}) dicht in (S,) und (F_{n} ) ist nirgendwo dicht. Leiten Sie ab, dass (-K=-igcap G_{n}=cup F_{n}) mager ist. Verwenden Sie Satz 1.]
(ii) Folgerung, dass (R) (die Rationalen) keine (mathcal{G}_{delta})-Menge in (E^{1}) ist (vgl. Beispiel(c) ).

Übung (PageIndex{9})

Zeigen Sie, dass in einem vollständigen metrischen Raum ((S, ho),) eine magere Menge (A) keine inneren Punkte haben kann.
[Hinweis: Andernfalls würde (A) einen Globus (G.) erhalten. Verwenden Sie Satz 1 und Problem 4(ii).]

Übung (PageIndex{10})

(i) Ein Singleton ({p} subseteq(S, ho)) ist nirgendwo dicht, wenn (S) um (p;) bündelt, andernfalls ist es in (S) nicht mager (als Globus und nicht als Vereinigung von nirgendwo dichten Mengen).
(ii) Wenn (A subseteq S) Cluster an jedem (p in A,) hat, ist jede abzählbare Menge (B subseteq A) mager in (S).

Übung (PageIndex{11})

(i) Zeigen Sie, dass wenn (emptyset eq Ainmathcal{G}_{delta}) (siehe Problem 8) in einem vollständigen Raum ((S, ho),) und ( A) Cluster an jedem (pin A,) dann ist (A) überzählbar.
(ii) Beweisen Sie, dass jede nichtleere perfekte Menge (Kapitel 3, §14) in einem vollständigen Raum überabzählbar ist.
(iii) Wie wäre es mit (R) (den Rationalen) in (E^{1}) und in (R) als Unterraum von (E^{1}?) Was ist falsch?
[Hinweise: (i) Der Unterraum ((overline{A}, ho)) ist vollständig (warum?); also ist (A) in (overline{A},) nach Problem 8 nicht mager. Verwenden Sie Problem 10(ii). (ii) Verwenden Sie Fußnote 3.]

Übung (PageIndex{12})

Wenn (G) in ((S, ho),) offen ist, dann ist (overline{G}-G) nirgendwo dicht in (S).
[Hinweis: (overline{G}-G=overline{G} cap(-G)) ist abgeschlossen; so
[overline{(overline{G}-G)^{0}}=(overline{G}-G)^{0}=(overline{G} cap-G)^{0}= leeres Set]
nach Aufgabe 15 in Kapitel 3, §12 und Aufgabe 15 in Kapitel 3, §16.]

Übung (PageIndex{13})

("Vereinfachter" gleichförmiger Beschränktheitssatz.) Sei (f_{n}: (S, ho) ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) stetig für (n=1 ,2, ldots,) mit (S) vollständig. Wenn (left{f_{n}(x) ight}) eine beschränkte Folge in (T) für jedes (xin S,) ist, dann gilt (left{f_{ n} ight}) ist auf einem offenen (G eqemptyset:) gleichmäßig beschränkt
[(forall pin T)(exists k)(forall n)(forall xin G) quad ho^{prime}left(p, f_{n}(x) rechts) leq k.]
[Übersicht: Fix (p in T) und ((forall n)) set
[F_{n}=left{xin S|(forall m)ngeq ho^{prime}left(p, f_{m}(x) ight) ight} .]
Verwenden Sie die Stetigkeit von (f_{m}) und von ( ho^{prime}), um zu zeigen, dass (F_{n}) abgeschlossen ist in (S,) und (S= igcup_{n=1}^{infty} F_{n}). Nach Satz 1 ist (S) nicht mager; also mindestens ein (F_{n}) ist nirgendwo dicht - nenne es (F), also ((overline{F})^{0}=F^{0} eq emptyset ). Setze (G=F^{0}) und zeige, dass (G) wie erforderlich ist.]

Übung (PageIndex{14})

Sei (f_{n}: (S, ho) ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) stetig für (n=1,2, ldots). Zeigen Sie, dass wenn (f_{n} ightarrow f) (punktweise) auf (S,) dann (f) stetig auf (SQ,) mit (Q) mager in (S .) ist .)
[Umriss: ((für alle k, m)) sei
[A_{km}=igcup_{m=n}^{infty}left{xin S | ho^{prime}left(f_{n}(x), f_{m}(x) ight)>frac{1}{k} ight}.]
Wegen der Stetigkeit von ( ho^{prime}, f_{n}) und (f_{m}, A_{km}) ist in (S.) offen (Warum?) Also nach Problem 12, (igcup_{m=1}^{infty}left(overline{A_{km}}-A_{km} ight)) ist mager für (k=1,2, ldots ).
Auch als (f_{n} ightarrow f) auf (S, igcap_{m=1}^{infty} A_{k m}=emptyset.) (Überprüfe!) Also
[(forall k)quad igcap_{m=1}^{infty} overline{A_{km}} subseteq igcup_{m=1}^{infty}left(overline{A_ {km}}-A_{km} ight).]
(Warum?) Daher ist die Menge (Q=igcup_{k=1}^{infty} igcap_{m=1}^{infty} overline{A_{km}}) in ( S.)
Außerdem gilt (SQ=igcap_{k=1}^{infty} cup_{m=1}^{infty}left(-A_{km} ight)^{0}) nach Aufgabe 16 in Kapitel 3, §16. Leiten Sie ab, dass, wenn (p in S-Q,) dann
[(forall varepsilon>0)left(exists m_{0} ight)left(exists G_{p} ight)left(forall n, m geq m_{0} ight )left(forall xin G_{0} ight)quad ho^{prime}left(f_{m}(x), f_{n}(x) ight)Bleibt (m) fest, sei (n ightarrow infty) zu erhalten
[(forall varepsilon>0)left(exists m_{0} ight)left(exists G_{p} ight)left(forall m geq m_{0} ight) left(forall xin G_{p} ight)quad ho^{prime}left(f_{m}(x), f(x) ight) leqvarepsilon.]
Modifizieren Sie nun den Beweis von Satz 2 von Kapitel 4, §12, um zu zeigen, dass dies die Stetigkeit von (f) an jedem (pin S-Q) impliziert.]


Lineare Karte

Lineare Abbildungen können elliptisch (komplex diagonalisierbar mit allen Eigenwerten auf dem Einheitskreis), parabolisch (alle Eigenwerte auf dem Einheitskreis, aber einige Jordan-Blöcke der Größe mindestens 2) oder hyperbolisch (keine Eigenwerte auf dem Einheitskreis) und für differenzierbare dynamische Systeme, also glatte Karten oder Flüsse, kann man grob eine analoge Unterteilung vornehmen (vgl. Hasselblatt und Katok 2002, S. 100f). Die linearen Abbildungen, die von diesen Alternativen nicht abgedeckt werden, sind diejenigen mit einigen Eigenwerten auf dem Einheitskreis und anderen davon. Die entsprechende Klasse von "teilweise hyperbolischen" dynamischen Systemen wird normalerweise im Zusammenhang mit hyperbolischen dynamischen Systemen betrachtet, um Phänomene zu untersuchen, bei denen die hyperbolischen Verhalten dominiert. Somit sind elliptische dynamische Systeme den Isometrien mehr oder weniger ähnlich, mit konstantem oder höchstens oszillierendem Bahnabstand, aber ohne anhaltendes Wachstum. Die KAM-Theorie befasst sich mit elliptischen Systemen und stellt fest, dass ein Großteil der Elliptizität in einem integrierbaren Hamilton-System unter Störung bestehen bleibt. Parabolische Systeme können polynomiale Bahntrennungen aufweisen, die durch ein lokales „Scher“-Phänomen erzeugt werden. Billard in polygonalen Bereichen ist ein Beispiel dafür. Hyperbolische dynamische Systeme sind durch exponentielle Divergenz der Bahnen gekennzeichnet. Sie sind wegen der Komplexität ihrer Bahnstruktur sowohl hinsichtlich des topologischen als auch des statistischen Verhaltens von Interesse.

Insbesondere die Streckung (entsprechend Eigenwerten außerhalb des Einheitskreises bei linearen Abbildungen) in Verbindung mit der durch die Kompaktheit des Phasenraums bedingten Faltung erzeugt nicht nur eine hochempfindliche Abhängigkeit der Bahnasymptotik von Anfangsbedingungen, sondern auch eine enge Verflechtung verschiedener Verhaltensweisen. Einerseits gibt es eine dichte Menge von periodischen Punkten, andererseits eine Fülle von dichten Bahnen. Während es nur endlich viele periodische Punkte einer bestimmten Periode gibt, wächst ihre Anzahl exponentiell als Funktion der Periode. Die Entropie dieser Systeme ist positiv, was darauf hindeutet, dass die Gesamtkomplexität der Orbitstruktur exponentiell als Funktion der Zeitdauer wächst, für die sie verfolgt wird. Tatsächlich ist das Verhalten von Bahnen so kompliziert, dass es quasi zufällig ist, was es nahelegt, statistische Methoden zur Beschreibung dieser Systeme zu verwenden.


Die gemeinsame Nutzung von Daten trifft auf diesen Artikel nicht zu, da während der aktuellen Studie keine Datensätze generiert oder analysiert wurden.

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Inhaltsverzeichnis

1.1 Metriken und metrische Räume
1.2 Offene und geschlossene Mengen
1.3 Topologische Räume
1.4 Kontinuierliche Funktionen
1.5 Offene Mengen und Kontinuität
1.6 Einige wichtige topologische Konzepte
1.7 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen
1.8 Vollständigkeit
1.9 Dichte, Trennbarkeit und Näherung
1.10 Vervollständigung von metrischen Räumen
1.11 Kompaktheit
1.12 Der Banachsche Fixpunktsatz
1.13 Baires Kategoriensatz

Kapitel 2: Genormte Räume 116

2.1 Lineare Operatoren auf Funktionsräumen
2.2 Schinkenböden
2.3 Normen und normierte Räume
2.4 Topologische Konzepte in normierten Räumen
2.5 Topologische Vektorräume
2.6 Satz von Kolmogorov
2.7 Banach-Räume
2.8 Unendliche Reihe in normierten Räumen
2.9 Schauder-Basen
2.10 Lineare Funktionale und Hyperebenen
2.11 Konstruktion neuer normierter Räume

Kapitel 3: Operatoren auf normierten Räumen

3.1 Kontinuierliche lineare Abbildungen
3.2 Integrale Operatoren
3.3 Lineare Homöomorphismen
3.4 Drei wichtige Sätze
3.5 Der normierte Raum B(X,Y)
3.6 Komplementäre Unterräume und Projektionen
3.7 Lemma von Riesz
3.8 Das Spektrum eines beschränkten linearen Operators
3.9 Stetige lineare Funktionale und duale Räume

Kapitel 4: Innere Produkträume

4.1 Definitionen und Beispiele
4.2 Orthogonalität
4.3 Unitäre Isomorphismen
4.4 Innere Produkträume: drei Probleme
4.5 Drei Charakterisierungen für Hilberträume
4.6 Hilbert-Basen

Kapitel 5: Der Banachraum C(X)

5.1 Der Satz von Arzela-Ascoli
5.2 Satz von Korovkin und der Näherungssatz von Weierstrass
5.3 Unteralgebren
5.4 Das Stone-Weierstrass-Theorem

Kapitel 6: Weitere Themen

6.1 Das Baire-Osgood-Theorem
6.2 Gram-Determinanten und Satz von Muntz
6.3 Differentialgleichungen

Anhang A: Mengenlehre und Funktionen

A.1 Sätze
A.2 Beziehungen
A.3 Zorns Lemma und das Auswahlaxiom
A.4 Funktionen
A.5 Kardinalität
A.6 Das Axiom der Vollständigkeit auf R

Anhang B: Meist lineare Algebra (eine kurze Übersicht)

B.1 Polynome und Folgen
B.2 Vektorräume
B.3 Lineare Unabhängigkeit und Spanne
B.4 Grundlagen und Abmessungen
B.5 Lineare Transformationen
B.6 Partielle Ableitungen und der Mittelwertsatz
B.7 Riemann-Integrale


Satz von Baire und hyperzyklische Algebrengeb

Die Frage, ob ein hyperzyklischer Operator T Handeln auf einer Fréchet-Algebra X eine Algebra von hyperzyklischen Vektoren zugibt oder nicht (aber 0) wurde in der neueren Literatur behandelt. In dieser Arbeit geben wir neue Kriterien und Charakterisierungen im Zusammenhang mit Faltungsoperatoren, die auf H ( C ) wirken, und Rückwärtsverschiebungen, die auf eine allgemeine Fréchet-Folgenalgebra wirken. Analoge Fragen stellen sich für stärkere Eigenschaften wie häufige Hyperzyklizität. In diesem Trend geben wir eine hinreichende Bedingung für eine gewichtete Rückwärtsverschiebung, um eine obere häufig hyperzyklische Algebra zuzulassen, und wir finden eine gewichtete Rückwärtsverschiebung, die auf c 0 wirkt, die eine häufig hyperzyklische Algebra für das koordinatenmäßige Produkt zulässt. Das Problem der geschlossenen hyperzyklischen Algebra wird ebenfalls behandelt.


Funktionsanalyse Herbst 2015

Text: Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDE (Kapitel 1-7) + Anmerkungen zur ∆-Konvergenz und Browder Fixpunktsatz (basierend auf Originalarbeiten von TC Lim, M. Edelstein, Z. Opial, J. Staples und D . van Dulst).

Der Kurs erfordert Vertrautheit mit folgenden Themen: Lineare Algebra (Wikipedia-Artikel: Linear Algebra and Normed Vector Space), Lebesgue-Integral und Elemente der Maßtheorie (Zusammenfassung auf S. 89-91 von Brezis oder Wikipedia-Artikel Lebesgue-Integral), topologischer Raum (Wikipedia: Topologischer Raum).

1. Präsentation des Prüfungsprojekts. Garantierte Note: 3 für eine adäquate Präsentation, 4 für eine vorbildliche. Um die volle Note zu erhalten, sind regelmäßige Anwesenheit und Bonuspunkte erforderlich (6 Bonuspunkte erhöhen eine Erhöhung von 3 auf 4 oder von 4 auf 5, aber NICHT U auf 3). Der Begriff der regelmäßigen Anwesenheit liegt in jedem Fall im Ermessen des Lehrers, aber 80% der Anwesenheit sind immer qualifizierend.

2. Präsentation der Hausaufgaben in der Klasse (2 Bonuspunkte pro Aufgabe, eine zweite Präsentation am selben Tag bringt einen weiteren Punkt.)

Prüfungsprojekte

Projekte werden im Lehrbuch als Probleme (S. 435ff) mit Lösungsansätzen dargestellt. Ziel des Projekts ist es, in der Klasse eine zugängliche Präsentation zu geben, die diskutiert werden kann. Die Verwendung zusätzlicher Quellen wird empfohlen. Präsentationsnotizen werden gesammelt (man kann auf die Sammlungspflicht verzichten, indem man zustimmt, die Präsentation auf Video aufzunehmen). Konsultieren Sie die Lehrkraft vor der Präsentation über deren Inhalt: Ist der Umfang nicht vorab vereinbart und aus Sicht der Lehrkraft zu eng, kann dies zu einer schlechteren Note führen.

Die Note einer Prüfungsarbeit ist endgültig und kann nicht durch Ergänzungsleistungen verbessert werden. Präsentationen werden in den letzten drei geplanten Sitzungen des Kurses oder nach Vereinbarung der Teilnehmer gehalten.

2. Subdifferentiale konvexer Funktionen. (2)

3. Das Variationsprinzip von Ekeland. (3A)

4. Eigenschaften positiver linearer Funktionale. (5)

5. Schwache Konvergenz in l 1 und in L 1 .(8)

6. Eigenschaften der Dualitätskarte, Differenzierbarkeit der Norm und einheitliche Konvexität. (13)

7. Regularisierung konvexer Abbildungen durch Inf-Faltung. (14)

8. Asymptotisches Zentrum der Folge und Fixpunktsätze. (fünfzehn)

9. Zusammenhänge zwischen schwacher und starker Konvergenz in L p . (18)

10. Beweis der Clarksons-Ungleichungen. (20)

11. Marcinkiewicz-Räume. (21)

12. Projektionen und orthogonale Projektionen im Hilbert-Raum.

13. Multiplikationsoperator in L p . (33)

14. Eigenwerte des selbstadjungierten Operators nach Minimax. (37)

15. Hilbert-Schmidt-Operatoren. (40)

17. Isometrien und unitäre Operatoren. (44)

Text in Kursivschrift weist auf eine vorläufige Planung hin. Hausaufgaben werden auf jeden Fall vergeben, wenn sie drin sind Fett gedruckt.

Alle Probleme sind aus dem Lehrbuch. Die Bezeichnung A.B bezieht sich auf das vollständige Problem B (mit all seinen Teilproblemen, sofern nicht anders angegeben) aus Kapitel A.

Vorlesung 1 Funktionsanalyse als lineare Geometrie unendlicher Dimensionen: Was ist anders. Review: Beispiele für funktionale Räume: C m -Räume, Lebesgue-Räume und Räume von Folgen. Minkowski-Funktion. Satz von Hahn-Banach (analytische Formulierung). Dualitätskarte auf einem normierten Vektorraum. Der duale Raum ist immer vollständig und seine Norm wird erreicht. X als Unterraum von X** (1.1 und Anfang 1.3).

Vorlesung 2 Dualitätskarte für Gâteaux-differenzierbare Normen (benötigt kein Hahn-Banach). Geschlossene Hyperebenen und stetige Funktionale. Messgerät einer konvexen Menge. Hahn-Banach (geometrische Version): Trennung konvexer Mengen (1.2, bis Satz 1.6).

Vorlesung 3 Probleme lösen: 1.1 (Teile 1 und 2), 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 (Teile 1,2), 1.6, 1.8.

Vorlesung 4 Rest 1.2. Orthogonalität in normierten Vektorräumen (1.3). . Baire-Kategoriensatz (2.1). Banach-Steinhaus-Theorem, starke Operatorkonvergenz (2.2)

Vorlesung 5 Schwach beschränkte Mengen (2.2). Öffnen Sie das Abbildungstheorem (2.3). Komplement-Unterräume (2.4, ohne Beweis).

Vorlesung 6 Problemlösung 1.13, 1.14, 1.16, 1.17, 1.26, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7.

Vorlesung 7 Geschlossener Graphensatz (2.3). Links- und Rechtsinverse und ihre Beziehung zu Komplementen (2.4). Unbegrenzte Operatoren. Adjungierter Operator (2.6).

Vorlesung 8 Eigenschaften des adjungierten Operators (2.6). Schwache Topologie als die "schwächste mögliche" Topologie, bei der stetige lineare Funktionale immer noch stetig sind (3.1). Schwache Topologie und schwache Konvergenz (3.2). Riesz-Darstellungssatz für Hilberträume (ohne Beweis). Definition der Delta-Konvergenz und ihre Äquivalenz zur schwachen Konvergenz in Hilberträumen (nur Anmerkungen).

Vorlesung 9 Schwache Topologie und konvexe Mengen. Mazurs Lemma. Stetige Operatoren sind schwach-zu-schwach stetig (3.3). Schwach-*-Topologie (3.4).

Vorlesung 10 Problemlösung 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.17, 2.20, 2.23.

Vorlesung 11 Aussagen der Banach-Alaoglu- und Kakutani-Theoreme (3.4). Reflexivität (Anteile von 3,5). Trennbare Räume und Metrisierung von schwacher*-Topologie. Sequentielle schwache Kompaktheit in reflexiven Räumen (3.6) .

Vorlesung 12 Asymptotische Zentren. Delta-Konvergenz in gleichmäßig glatten Räumen ist die Konvergenz der Dualen. Schwache und Delta-Konvergenz fallen im Satz von lp Van Dulst zusammen. Gleichmäßige Konvexität und Delta-Vollständigkeit.

- handschriftliche Notizen, erhältlich in der Klasse

- Übersicht über Definitionen schwacher Konvergenz in metrischen Räumen: http://arxiv.org/pdf/1409.6463v1

- kostenlose (bis 8. Dezember 2015) Kopie unserer Ankündigung in Comptes Rendus mit weiterer Anwendung der Delta-Konvergenz, http://authors.elsevier.com/a/1Rucm,b5XXaYhZ

Vorlesung 13 Delta-Kompaktheitssatz von T.

Lim. Delta-Konvergenz und Browder-Fixpunktsatz. (Anmerkungen). Gleichmäßig konvexe Räume sind reflexiv und haben die Kadec-Klee-Eigenschaft (3.7).

Vorlesung 14 Problemlösung. 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.16, 3.17, 3.21, 3.22, 3.29, 3.30, 3.31, Probleme 1 & 2 aus den Anmerkungen.

Vorlesung 15 Gleichförmig konvexe Räume sind reflexiv (Fortsetzung) Maßtheorie und Lebesgue-Integral. Konvergenzsätze (Monotone Konvergenz, Lebesgue-dominierte Konvergenz und Fatou). Satz von Fubini. (4.1)

Vortrag 16. Nov ? L p - Räume: Hölder- und Minkowski-Ungleichungen, Vollständigkeit, Riesz-Darstellungssatz, Clarkson- und Hanner-Ungleichungen und Reflexivität. Trennbarkeit. l p -Leerzeichen. (4.2,4.3, 11.3)

Vortrag 17.11.? Hilbertraum: Projektionen, Riesz-Darstellungssatz und Orthonormalbasen (5.2, 5.4).

Vortrag 18. Nov ? Satz von Stampacchia und Lax-Milgram (5.3). Der Unterraum kompakter Operatoren ist abgeschlossen. Approximation durch endliche Rangoperatoren. (6.1).

Vortrag 19. Nov ? Problemlösung HW 4.3, 4.4, 4.6, 4.9, 4.13, 4.16, 4.17[1,2], 5.1, 5.2, 5.31.

Vortrag 20.11.? , Aufgaben 5.5, 5.7, 5.8, 5.26 Kompaktheit von Produkten und des Adjungierten (6.1).

Vortrag 21.11.? Riesz-Fredholm-Theorie. Fredholm-Alternative (6.2). Spektrum kompakter Operatoren (6.3).

Vortrag 22.11.? Spektralzerlegung für selbstadjungierte kompakte Operatoren (6.4). Maximal monotone Operatoren und Hille-Yosida-Theorem. (7.1-7.2).

Vortrag 23. Nov ? Problemlösung: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.8, 6.12, 6.18 (1-6), 6.19.


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Vorläufige Definitionen

In diesem Abschnitt sammeln wir einige grundlegende Notationen, Definitionen und Ergebnisse, die in der Fortsetzung benötigt werden.

Durch Lippe([ein, b]) und (Lip_([a,b])) bezeichnen wir jeweils den Raum aller Lipschitz-Funktionen auf [ein, b], und der Raum aller (gamma)-Lipschitz- (oder Hölder-stetigen) Funktionen auf [ein, b], ausgestattet mit den üblichen Normen

P-Variation, Jordan-Variation, Riesz-Variation

Definition 2.1.1

Lassen f sei eine reellwertige Funktion, die auf (H subseteq mathbb R) definiert ist. Für (p > 0) bezeichnen wir mit (V_

(f,H)) die p-Variation von f auf H, das ist die kleinste obere Schranke der Summen

wobei ( < [a_i , b_i]>_) ist ein beliebiges endliches System nicht überlappender Intervalle mit (a_i, b_i in H) , (i=1. n.)

Wenn H sowohl ein minimales als auch ein maximales Element hat, dann gilt (V_

(f,H)) ist das Supremum der Summen

wobei (min (H)=t_0<t_1<dots < t_n =max (H)) und (t_i in H) , (i=0. n.)

Von nun an betrachten wir in diesem Absatz f als Funktion definiert auf einem geschlossenen Intervall der reellen Geraden, also (f:[a,b] ightarrow mathbb R) .

Definition 2.1.2

Wir definieren (BV_

([a,b])= < f:[a,b] ightarrow : V_

(f,[a,b])< + infty >) , also (BV_

([a,b])) ist der Funktionsraum von p-begrenzte Variation von [ein, b].

Definition 2.1.3

Wenn (p =1) ist, ist die Variation (V_<1>(f,[a,b])) die Jordan-Variante, V(f, [ein, b]), von f auf [ein, b]. Insbesondere der Raum (BV_<1>([a,b])= < f:[a,b] ightarrow : V(f,[a,b])< + infty >) ist der Funktionsraum der beschränkten Jordan-Variation auf [ein, b] und es wird einfach mit . bezeichnet BV([ein, b]).

Anmerkung 2.1.4

Es ist bekannt ([4, 5, 7]), dass der Raum (BV_

([a,b])) , (p ge 1) , ausgestattet mit der Norm (Vert fVert _<>

>=vert f(a)vert +V_

(f,[a,b])^

>) ist ein Banachraum. Vor allem der Raum BV([ein, b]) ausgestattet mit der Norm (Vert fVert _=vert f(a)vert +V(f,[a,b])) ist ein Banachraum. Außerdem gelten für (1< p< q < infty ) die folgenden (strengen) Einschlüsse

Bekanntlich ist der Raum BV([ein, b]) ist unter Komposition nicht geschlossen. Nehmen wir zum Beispiel ([a,b] =[0,1]) und (f = g circ h) , wobei (g(x) = sqrt) und ha(x) ist definiert als

Bei stetigen Funktionen haben wir folgende Definition.

Definition 2.1.5

Lassen f kontinuierlich sein auf [ein, b]. Lassen G sei die Vereinigung aller offenen Teilintervalle von (ein, b) auf welche f ist entweder streng monoton oder konstant. Die Menge von Punkten unterschiedlicher Monotonie von f ist definiert als

Satz 2.1.6

([23]: Satz 2.3) Für jedes (fin C([a,b])) und (pge 1) gilt

Folgerung 2.1.7

([23]: Korollar 2.4) Wenn (p ge 1) dann (CBV_

([a,b])) ist die Familie derjenigen (fin C([a,b])) für die (V_

(f,[a,b])<+infty) , also (CBV_p([a,b])=C([a,b]) cap BV_p([a,b]).)

Wie in [23] bemerkt, gilt für (0< p < 1) keine analoge Aussage zu Satz 2.1.6, da die einzigen stetigen Funktionen f mit (V_

(f,[a,b])<+infty) sind konstant. Andererseits ist (CBV_

([a,b])) enthält zB die stetigen, streng monotonen Funktionen auf [ein, b].

Nun stellen wir eine weitere Variante vor: die Riesz-Variante.

Definition 2.1.8

Sei (mathcal P) die Familie aller Partitionen des Intervalls [ein, b]. Gegeben eine reelle Zahl (p ge 1) , eine Partition (P=< t_0,ldots t_m>) von [ein, b], und eine Funktion (f:[a,b] ightarrow mathbb R) , die nicht-negative reelle Zahl

heißt der Riesz-Variante von f auf [ein, b] in Gedenken an P. Die (möglicherweise unendliche) Zahl

wobei das Supremum über alle Partitionen von [ein, b], heißt die gesamte Riesz-Variation von f auf [ein, b]. Im Fall (RV_p(f) < infty ) sagen wir, dass f hat eine beschränkte Riesz-Variation (oder beschränkt p-Variation im Sinne von Riesz) auf [ein, b], und wir schreiben (fin RBV_p([a,b])) .

Anmerkung 2.1.9

Es ist bekannt ([4, 5]), dass der Raum (RBV_p([a,b])) ausgestattet mit der Norm (Vert fVert_= vert f(a) vert + RV_p(f)^

>) is a Banach space.

Durch AC([ein, b]), we denote the space of all absolutely continuous functions on [ein, b]. Außerdem, AC([ein, b]) is closed in BV([ein, b]), and therefore it is a Banach space with respect to the BV-norm, which is equivalent to the (W^<1,1>) -norm

In fact, it coincides with (W^<1,1>([a,b])) (see, for instance, [4]: Proposition 3.24 [5]: page 10, 1.1.16).

Recall the following useful (strict) inclusions.

Moreover, there exists (f in cap _ <0< gamma < 1>Lip_([a,b]) setminus BV([a,b])) ([4]: Example 1.23 and Example 1.24).

Functions of bounded Riesz variation are particularly interesting since they are related to Sobolev spaces: the space (RBV_p([a,b])) is basically the same as the space (W^<1,p>([a,b])) , by the following well-known theorem.

Theorem 2.1.10

(Riesz Theorem)([5]: Theorem 1.3.5) Let (1<p< infty ) . A function (f:[a,b] ightarrow mathbb R) belongs to (RBV_p([a,b])) if and only if (f in AC([a,b])) and (f' in L^p([a,b]).) Moreover, in this case the equality

holds, where (RV_p (f)) is the p-variation of f in Riesz’ sense.

For (p=1) , (RBV_1([a,b])=BV([a,b])) . Hence, the previous theorem does not hold for (p=1) as a function in BV([ein, b]) usually does not need to be continuous and therefore nor absolutely continuous.

Baire functions

Lassen X be a Polish space, that is a separable and completely metrizable space. Recall that an (F_) set is a countable union of closed sets, a (G_) set is a countable intersection of open sets, and a (G_) set is a countable union of (G_) sets ([12]). In every metrizable space, any open set is an (F_) set ([3]).

A real valued function (g: X ightarrow ) is said to be Baire one if there exists a sequence (<>>_>) of continuous functions (g_: X ightarrow ) such that (lim _ g_(x) = g(x)) , for every (x in X) . These functions are so called since they were first defined and studied by Baire ([9]). Clearly, each continuous function is of Baire class one.

In general, a real valued function (g: X ightarrow ) is said to be of Baire class nein, (n in mathbb N) , if there exists a sequence (<>>_>) of functions of Baire class (n-1) , (g_: X ightarrow ) , such that (lim _ g_(x) = g(x)) , for every (x in X) .

Denote by (_<0>(X)) the collection of real valued continuous functions on X, that is (_<0>(X) = C(X)) , and by (_(X)) , (n ge 1) , the collection of real valued Baire nein functions on X.

Then, the following (strict) inclusions hold:

Several equivalent definitions of Baire class one functions have been obtained already: it is well-known that “G is Baire one if and only if for every open set EIN, (g^<-1>(A)) is an (F_) set”, and that “G is Baire two if and only if for every open set EIN, (g^<-1>(A)) is a (G_) set” (see, for instance, [21] and [30]).

Given (g: X ightarrow ) , the following are equivalent:

for every open subset EIN of () , (g^<-1>(A)) is an (F_) set

for every closed set C im X, the restriction (g_<|C>) has a point of continuity in C.

Clearly, if a function (g: X ightarrow ) has countably many discontinuity points then it is Baire one. In particular, if (g: [a, b] ightarrow ) is monotone, or of bounded variation, then G is Baire one. In general, functions of Baire class one play an important role in applications. For example, semi-continuous functions and derived functions, all belong to this class ([12, 22]). Some interesting, very recent results concerning fixed points of Baire functions and the so called equi-Baire property can be found in [1] and [2].

Wenn G is Baire one, then the set of points of continuity of G is a residual subset of X. This last property is not a characterisation as the following example shows ([28]: page 148, Example IV).

Example 2.2.1

Let (X=[0,1]) . Lassen C be the Cantor ternary set. The set C has Lebesgue measure zero and is of first category since it is nowhere dense. Let (C_<0>) be the collection of the points of P which are not endpoints of the complementary intervals. Let (f = _) and (g= _>) . Dann f und G are continuous at points of ([0, 1] setminus C) and discontinuous at points of C. Aber f is Baire one as it is the characteristic function of a closed set but G is not Baire one as (g_<|C>) is discontinuous at every point.

Another well-known example of non Baire one functions is the Dirichlet function.

Example 2.2.2

Let (X= [0,1]) . The Dirichlet function is the map (g(cdot ) = _ <cap [0,1]>(cdot )) . List all the rationals in [0, 1] as (r_<1>) , (r_<2>) , (dots ) , (r_) , (dots ) . Define, for each (n in ) ,

As (g_) has finitely many discontinuity points, it is of Baire class one. The Dirichlet map is the pointwise limit of the sequence (<>>_>) . So, it is Baire two but not Baire one.

The following is a beautiful, natural characterisation of a Baire one function.

Theorem 2.2.3

([25]: Theorem 1) Suppose (f: X ightarrow Y) is a mapping between complete separable metric spaces ((X, d_)) and ((Y, d_)) . Then the following statements are equivalent.

For any (epsilon >0) , there exists a positive function (delta ) on X such that (d_(f(x), f(y) ) < epsilon ) whenever (d_ (x,y) < min ) .

Die Funktion f is of Baire class one.

Remark 2.2.4

The function (delta ) of Theorem 2.2.3 can be chosen to be Baire one as shown in Corollary 33 of [24].

In the sequel, sometimes, when understood, in the above mentioned spaces, we omit X (we write, for example, (_<1>) rather than ((X)>) ).


6.8.E: Problems on Baire Categories and Linear Maps

Lecture 1, September 6, 2007

In the first part, we give a 45 minute introduction to the field, indicating that functional analysis is a blend of linear algebra and topology (in our case: the theory of metric spaces). It is the theory of topological vector spaces and (continuous linear) maps between them. A historically important theorem on Sturm-Liouville problems is formulated, claiming the completeness of the eigenfunctions of rather general differential operators. The quest for such results has stimulated the development of the functional analytic approach, and we intend to understand this theorem by the end of the course.

In the second part we set out on the preliminaries: linear algebra and metric spaces. We skip the linear algebra part (read R&Y 1.1 if you want, but there is nothing new here), so the second part was entirely devoted to metric spaces. Basic notions are recalled at a quick pace and two new results were stated without proof: the Stone-Weierstrass theorem for compact metric spaces (R&Y states only a particular case) and the Baire category theorem on complete metric spaces. Read R&Y 1.2 but do not try to construct the proofs of all the statements yourself. Do the homework exercises in the first series instead: these should give you a good opportunity to work with the theory of metric spaces and continuous maps between them. If you can solve these, then your working knowledge of metric spaces is fine.


Problem sets

Every Friday, a new problem set is uploaded here. You have ten days to solve the problems and hand in your solutions via the platform SAMUpTool, for grading. During exercise classes on Monday some of the problems are discussed.

Every problem is marked by one of the following symbols.

Computation Get your hands dirty and calculate. Bookkeeping Apply what you learn in basic situations. Comprehension Construct examples and give full proofs. Previous exam Exercise given in an old exam. Hard problem Challenging problems are denoted by one up to three diamonds. It is recommended that you start working on these problems only after you have reviewed the weekly material and carefully solved all other exercises in the assignment.

Assignment dateDue dateProblem setLösung
Thu 17.09. Mon 28.09. Problem set 1 Solutions 1
Mon 28.09. Mon 05.10. Problem set 2 Solutions 2
Mon 05.10. Mon 12.10. Problem set 3 Solutions 3
Mon 12.10. Mon 19.10. Problem set 4 Solutions 4
Mon 19.10. Mon 26.10. Problem set 5 Solutions 5
Fri 23.10. Mon 02.11. Problem set 6 Solutions 6
Fri 30.10. Mon 09.11. Problem set 7 Solutions 7
Fri 06.11. Mon 16.11. Problem set 8 - Hints Solutions 8
Fri 13.11. Mon 23.11. Problem set 9 - Hints Solutions 9
Fri 20.11. Mon 30.11. Problem set 10 - Hints Solutions 10
Fri 27.11. Mon 07.12. Problem set 11 - Hints Solutions 11
Fri 04.12. Mon 14.12. Problem set 12 - Hints Solutions 12
Fri 11.12. Mon 21.12. Problem set 13 - Hints Solutions 13


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