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8.2: Definition eines Variablenausdrucks - Mathematik


Ausdrücke auswerten

© H. Feiner 2011

Definition eines variablen Ausdrucks

Ein variabler Ausdruck ist eine Sammlung von Zahlen, Buchstaben (Variablen), Operationen, Gruppierungssymbolen, jedem mathematischen Symbol außer einem Gleichheitszeichen oder einem Ungleichheitszeichen.

Teil eines Ausdrucks, der zu einem anderen Teil hinzugefügt oder von diesem abgezogen werden kann.

Teile eines Ausdrucks, die durch Multiplikation in Beziehung stehen, sind Faktoren.

Beispiele für Ausdrücke:

(2a+5)

(3x^2-4y)

(displaystyle frac{x^3-y^3}{x-y})

(V-pi x^2y)

((a+b)^2-a^2-b^2)

(A-displaystyle frac{h}{2(B+b)})

EIN Verhältnisnaler Ausdruck beinhaltet ein Verhältnis (Bruch) zweier Polynome (in einem anderen Kapitel zu definieren).

(displaystyle frac{x^2+6xy+5y^2}{x+2y})

Auswertung von Ausdrücken

Zu ewertaß bedeutet, den Wert von etwas zu finden. Das Auswerten von (2a) wenn (a=5) bedeutet, den Wert der doppelten Zahl in der (``a"-)Box zu finden, die als (5) bekannt ist (in diesem Beispiel). Öffnen Sie anstelle der Variablen (a) eine Reihe von Klammern und setzen Sie dann den Wert von (a=5) in diese Klammern, also (2a=2(5)=10).

Beispiel 1:

Bewerte (2a+5) falls (a=-3).

Lösung:

(egin{array}{rcl lll}2a+5&=&2()+5[5pt]&=&2(-3)+5[5pt]&=&-6+5[5pt ]&=&-1end{array})
Beispiel 2:

Bewerte (3x^2-4(y-3)) falls (x=-2) und (y=-3).

Lösung:
(egin{array}{rcl lll}3x^2-4(y-3)&=&3()^2-4[()-3][5pt]&=&3(-2)^2 -4[(-3)-3][5pt]&=&3(4)-4(-3-3)[5pt]&=&12-4(-6)[5pt]&= &12+24[5pt]&=&36end{array})
Beispiel 3:

Bewerte (displaystyle frac{x^3-y^3}{x-2y}), falls (x=4) und (y=2).

Lösung:

(egin{array}{rcl lll}displaystyle frac{x^3-y^3}{x-2y}&=&displaystyle frac{()^3-()^3}{() -2()}[15pt]&=&displaystyle frac{(4)^3-(2)^3}{(4)-2(2)}[15pt]&=&displaystyle frac{64-8}{4-4}[15pt]&=&displaystyle frac{56}{0} !hbox{undefiniert}[15pt]end{array })
Beispiel 4:

Berechne (V-pi x^2y) falls (V=3.140), (x=10) und (y=3). Ungefähre (pi=3.14).

Lösung:

(egin{array}{rcl lll}V-pi x^2y&=&()-()()^2()[6pt]&=&(3,140)-(3.14)(10)^ 2(3)[6pt]&=&3.140-(3.14)(100)(3)[6pt]&=&3.140-(314)(3)[6pt]&=&3, 140-942[6pt]&=&2.198end{array})
Beispiel 5:

Bewerte ((a+b)^2-a^2-b^2) falls (a=6) und (b=-6).

Lösung:

(egin{array}{rcl lll}(a+b)^2-a^2-b^2&=&[()+()]^2-()^2-()^2[ 5pt]&=&[(6)+(-6)]^2-(6)^2-(-6)^2[5pt]&=&(0)^2-36-36=-72 end{array})

Beispiel 6:

Bewerte (A-displaystyle frac{h}{2(B+b)}) falls (A=100), (h=40), (B=12) und (b =8).

Lösung:

(egin{array}{rcl lll}A-displaystyle frac{h}{2(B+b)}&=&()-displaystyle frac{()}{2[()+() ]}[11pt]&=&(100)-displaystyle frac{(40)}{2[(12)+(8)]}[11pt]&=&100-displaystyle frac{40 }{2(20)}[11pt]%&=&100-displaystyle frac{2}{2(1)}[10pt]&=&100-1=99end{array})

Beispiel 7:

Bewerte (displaystyle frac{x^2+6xy+5y^2+1.99}{x+2y}) falls (x=0.4) und (y=1.5).

Lösung:
(egin{array}{rcl lll}displaystyle frac{x^2+6xy+5y^2+1,99}{x+2y}&=&displaystyle frac{()^2+6()( )+5()^2+1.99}{()+2()}[10pt]&=&displaystyle frac{(0.4)^2+6(0.4)(1.5)+5(1.5)^ 2+1,99}{(0,4)+2(1,5)}[10pt]&=&displaystyle frac{0,16+(2,4)(1,5)+5(2,25)+1,99}{0,4+3} [10pt]%&=&displaystyle frac{3,76+11,25+1,99}{3,4}[10pt]&=&displaystyle frac{0,16+3,6+11,25+1,99}{3,4}[10pt] &=&displaystyle frac{3.76+11.25+1.99}{3.4}[10pt]&=&displaystyle frac{15.01+1.99}{3.4}[10pt]&=&displaystyle frac{ 17}{3.4}= frac{170}{34}[10pt]&=&5end{array})
Beispiel 8:

Werte (4x^4-x^2+displaystyle frac{7}{9}) aus, wenn (x=displaystyle frac{1}{2}).

Lösung:
(egin{array}{rcl lll}4x^4-x^2+displaystyle frac{7}{9}&=&4()^4-()^2+displaystyle frac{7}{ 9}[10pt]&=&4left(displaystyle frac{1}{2} ight)^4-left(displaystyle frac{1}{2} ight)^2+displaystyle frac{7}{9}[10pt]&=&4left(displaystyle frac{1}{16} ight)-displaystyle frac{1}{4}+displaystyle frac{7 }{9}[10pt]&=&displaystyle frac{1}{4}-displaystyle frac{1}{4}+displaystyle frac{7}{9}[10pt]& =&displaystyle frac{7}{9}[10pt]end{array})

Beispiel 9:

Bewerte (y-displaystyle frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)) falls (x=4), (x_1=-2), (x_2=-5 ), (y=10) (y_1=9) und (y_2=7).
Lösung:

(egin{array}{rcl lll}y-displaystyle frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)&=&()-displaystyle frac{()-()}{ ()-()}[()-()][15pt]&=&(10)-displaystyle frac{(7)-(9)}{(-5)-(-2)}[ (4)-(-2)][15pt]&=&10-displaystyle frac{-2}{-3}(6)[12pt]&=&10-displaystyle frac{-2} {-1}(2)[10pt]&=&10-4=6[10pt]%&=&10-4=6end{array})

Beispiel 10:

Ein Holzunternehmen hat am Montag eine bestimmte Anzahl (sagen wir T) Bäume gefällt. Am Dienstag fällte das Unternehmen 5 Bäume mehr als am Montag. Am Mittwoch war die Zahl der geernteten Bäume doppelt so hoch wie am Dienstag. Am Donnerstag war die Zahl halb so hoch wie am Montag.

(a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Gesamtzahl der an den vier Tagen gefällten Bäume.

(b) Wenn am Montag 22 Bäume gefällt wurden, wie viele Bäume wurden dann an den vier Tagen insgesamt geerntet?

Lösung:

(egin{array}{lrl lll}hbox{Bäume gefällt am Montag}&T[5pt]hbox{Bäume gefällt am Dienstag}&T+5[5pt]hbox{Bäume gefällt am Mittwoch }&2(T+5)[5pt]hbox{Bäume am Donnerstag gefällt}&displaystyle frac{T}{2}[5pt]end{array})

(a) Gesamtzahl der gefällten Bäume:

(egin{array}{rcl lll}T+(T+5)+2(T+5)+displaystyle frac{T}{2}&=&T+T+5+2T+10+displaystyle frac{T}{2}&=& 4T+displaystyle frac{T}{2}+15=frac{9T}{2}+15end{array})
(b) Bewerte wenn (T=22):
(egin{array}{rcl lll}displaystyle frac{9cdot 22}{2}+15&=&displaystyle frac{9cdot 2cdot 11}{2}+15[10pt ]&=&9cdot 11+15[10pt]&=&99+15[10pt]&=&114hbox{ Bäume.}end{array})

Beispiel 11:

Abel arbeitet (14) Stunden in einer bestimmten Woche. Bianca arbeitet in dieser Woche (12) Stunden. Abel bekommt $(a) pro Stunde und Bianca verdient $(b) pro Stunde.

(a) Schreiben Sie einen Ausdruck für den Gesamtlohn, den Abel und Bianca in dieser Woche verdienen.

(b) Dann werte diesen Ausdruck aus, wenn Abel ($8) pro Stunde bekommt und Bianca ($12) pro Stunde.

Lösung:

(a) Abel und Bianca verdienen in dieser Woche (14a+12b) Dollar.
(b) Die Auswertung von (14a+12b) führt zu
(egin{array}{rcl lll}14()+12()&=&14(8)+12(12)[10pt]&=&112+144[10pt]&=&$256 Ende{Array})

Like-Bedingungen

Gelegentlich enthalten Begriffe identische Variablen. Ghey sieht in einem Ausdruck gleich aus. Diese gleichartigen Begriffe können und sollten kombiniert werden.

(2+3=5). (2) Äpfel zu (3) Äpfeln hinzugefügt ergibt (5) Äpfel.

(2x+3x=(x+x)+(x+x+x)=5x)

(2x^2+3x^2=(x^2+x^2)+(x^2+x^2+x^2)=5x^2)

Nicht verwechseln mit ((2x^2)(3x^2)=(2)(3)(xcdot x)(xcdot x)=6x^4)
Beispiel 12:

Kombiniere ähnliche Begriffe:

(2x^3+5x+9+6x^3+x-9)

Lösung:

(egin{array}{cl lll}&2x^3+5x+9+6x^3+x-9[10pt]=&underline{2x^3}+underline{underline{5x}} +underline{underline{underline{9}}}+underline{6x^3}+underline{underline{x}}-underline{underline{underline{9}}} hbox {jeden ähnlichen Begriff mit einem eigenen Symbol markieren}[10pt]=&(underline{2x^3}+underline{6x^3})+(underline{underline{5x}}+underline{ underline{x}})+(underline{underline{underline{9}}}-underline{underline{underline{9}}})&hbox{}[10pt]=&8x^ 3+6x+0&hbox{}end{array})
Beispiel 13:

Kombiniere ähnliche Begriffe:

(7x^3+4[5(x+8)+6x^3-x-2])

Lösung:

(egin{array}{cl lll}&7x^3+4[5(x+8)+6x^3-x-2][10pt]=&7x^3+4[5(x+8) +6x^3-x-2] hbox{Erinnern Sie sich an PEMDAS? Fokus }[10pt]& hbox{auf innerste Gruppe (Klammern). Addition ist die einzige Operation.}[10pt]& hbox{Wir können einer Konstanten keine Unbekannte (Wert unbekannt) hinzufügen}[10pt]& hbox{ (eine bekannte, sich nicht ändernde Zahl).}[10pt]=&7x^3+4 [5x+5(8)+6x^3-x-2] hbox{Verwende die Verteilungseigenschaft}[10pt]& hbox{von Multiplikation über Addition, um die Klammern zu entfernen. }[ 10pt]& hbox{Denken Sie daran, dass)x(eine Zahl ist. }[10pt]=&7x^3+4[underline{5x}+underline{underline{40}}+6x^ 3-underline{x}-underline{underline{2}}] hbox{Underline like-terms.}[10pt]=&!7x^3!+!4[(5x !-!x)+(40!-!2)+6x^3] hbox{Ähnliche Begriffe zuordnen.}[10pt]=&7x^3+4[4x+38+6x ^3] hbox{Berechnen.}[10pt]=&7x^3+4[6x^3+4x+38] hbox{Mit Exponenten in absteigender Reihenfolge umschreiben.}[10pt]= &7x^3+4(6x^3)+4(4x)+4(38) hbox{Multiplikation über Addition verteilen.}[10pt]=&underline{7x^3}+underline{24x ^3}+16x+152 hbox{Berechnen.}[10pt]=&31x^3+16x+152end{array})

Übungen 8

  1. Bewerte (P-(2L+2W)) falls (P=50), (L=9) und (W=4).

  2. Bewerte (S-(2x^2+2xy)) falls (S=100), (x=-3) und (y=5).

  3. Bewerte (x-displaystyle frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}) falls
    (x=10), (a=1), (b=-4) und (c=-21).

  4. Werte (D-16t^2+vt+h) aus, wenn
    (D=200), (t=3), (v=20) und (h=128).

  5. Bewerte (S-a^2+b^2) falls (S=169), (a=12) und (b=-5).

  6. Bewerte (y-displaystyle frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)) wenn
    (x!=!12), (x_1!=!9), (x_2!=!6),
    (y!=!19), (y_1!=!-7) und (y_2!=!-10).

  7. (a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die gefahrene Gesamtkilometer.

    (b) Wenn (32) Meilen auf der Interstate (405) zurückgelegt wurden, wie hoch waren die insgesamt gefahrenen Meilen?

  8. Candy studiert (144) Seiten für einen Test. Diane studiert (120) Seiten für denselben Test. Candy erledigt (c) Aufgaben pro studierter Seite und Diane erledigt (d) Aufgaben pro Seite.
    (a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Gesamtzahl der Aufgaben, die Candy und Diane für den Test lösen. (Angenommen, die Anzahl der Probleme auf jeder Seite ist gleich.)
    (b) Bewerten Sie dann diesen Ausdruck, wenn Candy (3) Aufgaben pro Seite löst und Diane erfolgreich (4) Aufgaben pro Seite erledigt.

  9. Vereinfachen (7x^4+11x^2-4x+9+3x^4-11x^3+4x+9)

  10. (9x^4+7[3(x+1)-6x^4-x+2])
  1. Bewerte (P-(2L+2W)) falls (P=50), (L=9) und (W=4).
    Lösung:
    (egin{array}{rcl lll}P-(2L+2W)&=&()-[2()+2()][10pt]&=&(50)-[2(9) +2(4)][10pt]&=&50-(18+8)[10pt]&=&50-26[10pt]&=&24end{array})

  2. Bewerte (S-(2x^2+2xy)) falls (S=100), (x=-3) und (y=5).
    Lösung:
    (egin{array}{rcl lll}S-(2x^2+2xy)&=&()-[2()^2+2()()][8pt]&=&(100) -[2(-3)^2+2(-3)(5)] [8pt]&=&100-[2(9)+(-6)(5)] [8pt]&=&100 -[18+(-30)] [8pt]&=&100-(-12)=112end{array})

  3. Bewerte (x-displaystyle frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}) falls (x=10), (a=1), (b=-4 ) und (c=-21).
    Lösung:
    (egin{array}{rcl lll}x-displaystyle frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&()-displaystyle frac{-()+sqrt {()^2-4()()}}{2()}[10pt]&=&!(10)!-!displaystyle frac{!-!(-4) !+!sqrt{(-4)^2!-!4(1)(-21)}}{2(1)}[10pt]&=&10-displaystyle frac{4 +sqrt{16-4(-21)}}{2}[10pt]&=&10-displaystyle frac{4+sqrt{16+84}}{2}[10pt]&= &10-displaystyle frac{4+sqrt{100}}{2}[10pt]&=&10-displaystyle frac{4+10}{2}[10pt]&=&10-displaystyle frac{14}{2}[10pt]&=&10-7=3end{array})

  4. Berechne (D-16t^2+vt+h), falls (D=200), (t=3), (v=20) und (h=128).
    Lösung:
    (egin{array}{rcl lll}D-16t^2+vt+h&=&()-16()^2+()()+()[10pt]&=&(200)- 16(3)^2+(20)(3)+(128)[10pt]&=&200-16(9)+60+128[10pt]&=&200-144+60+128 [10pt]&=&56+60+128[10pt]&=&116+128=44end{array})

  5. Bewerte (S-a^2+b^2) falls (S=169), (a=12) und (b=-5).
    Lösung:
    (egin{array}{rcl lll}Sa^2+b^2&=&()-()^2+()^2[15pt]&=&(169)-(12)^2+ (-5)^2[15pt]&=&169-144+25[15pt]&=&25+25[15pt]&=&50end{array})

  6. Bewerte (y-displaystyle frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)) wenn (x=12), (x_1=9), (x_2=6) , (y=19) (y_1=-7) und (y_2=-10).
    Lösung:
    (egin{array}{cl lll}y-displaystyle frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)&=&()-displaystyle frac{()-()}{ ()-()}[(x)-(x_1)][15pt]&=&(19)-displaystyle frac{(-10)-(-7)}{(6)-(9) }[(12)-(9)][15pt]&=&19-displaystyle frac{-10+7}{6-9}(12-9)[15pt]&=&19-displaystyle frac{-3}{-3}(3)[15pt]&=&19-(1)(3)[15pt]&=&16end{array})

  7. (a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Gesamtzahl der zurückgelegten Meilen.

    (b) Wenn (32) Meilen auf der Interstate (405) zurückgelegt wurden, wie hoch waren die insgesamt gefahrenen Meilen?

    Lösung:

    (egin{array}{lrl lll}hbox{Meilen auf der Interstate)405(}&x[10pt]hbox{Meilen auf der Autobahn)5(}&x+17[10pt ]hbox{Meilen auf der Autobahn)18(}&3(x)[10pt]hbox{Meilen zurückgelegt auf lokalen Straßen}&displaystyle frac{x}{4}[10pt]end {Array})
    (a) Gesamtzahl der Meilen:
    (x+(x+17)+3x+displaystyle frac{x}{4}).
    (b) Bewerte, ob (x=32)
    (egin{array}{rl lll}&x+(x+17)+3x+displaystyle frac{x}{4}=&()+[()+17]+3()+displaystyle frac{()}{4}[10pt]=&(32)+[(32)+17]+3(32)+displaystyle frac{(32)}{4}[10pt]= &32+49+96+8[10pt]=&81+96+8[10pt]=&177+8[10pt]=&185end{array})

    Die Anzahl der gefahrenen Meilen beträgt
    (displaystyle frac{185}{4}=46,25) Meilen.

  8. (a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Gesamtzahl der Aufgaben, die Candy und Diane für den Test lösen.

    (b) Bewerten Sie dann diesen Ausdruck, wenn Candy (3) Aufgaben pro Seite löst und Diane erfolgreich (4) Aufgaben pro Seite erledigt.

    Lösung:

    (a) Candy und Diane lösen (144c+120d)-Aufgaben für den Test.

    (b) Die Auswertung von (144c+120d) führt zu

    (egin{array}{rcl lll}144c+120d&=&144()+120()[5pt]&=&144(3)+120(4)[5pt]&=&432+480 [5pt]&=&912end{array})

  9. Lösung:

    (egin{array}{cl lll}&7x^4+11x^2-4x+9+3x^4-11x^3+4x+9[15pt]=&underline{7x^4}+ unterstreichen{underline{underline{11x^2}}}-underbrace{4x}+underbrace{underbrace{9}}+underline{3x^4}-underline{underline{11x^3}} +underbrace{4x}+underbrace{underbrace{9}}[17pt]=&underline{7x^4}+underline{3x^4}-underline{underline{11x^3}} +underline{underline{underline{11x^2}}}-underbrace{4x}+underbrace{4x}+underbrace{underbrace{9}}+underbrace{underbrace{9}} [17pt]=&(7x^4+3x^4)-11x^3+11x^2+(-4x+4x)+(9+9)[10pt]=&10x^4-11x^3+11x ^2+18end{array})

  10. (9x^4+7[3(x+1)-6x^4-x+2])

    Lösung:

    (egin{array}{cl lll}&9x^4+7[3(x+1)-6x^4-x+2][5pt]=&9x^4+7[3x+3-6x^ 4-x+2][5pt]%=&9x^4-42x^4+14x+35[5pt]=&9x^4+7[underline{3x}+underline{underline{3} }-underline{underline{underline{6x^4}}}-underline{x}+underline{underline{2}}][10pt]%=&9x^4-42x^4+14x +35[5pt]=&9x^4+7[-underline{underline{underline{6x^4}}}+underline{3x}-underline{x}+underline{underline{3 }}+underline{underline{2}}][15pt]=&9x^4+7[-6x^4+(3x-x)+(3+2)][5pt]=&9x^ 4+7[-6x^4+2x+5][5pt]=&9x^4+7(-6x^4)+7(2x)+7(5)[5pt]=&(9x^ 4-42x^4)+14x+35[5pt]=&-33x^4+14x+35[5pt]end{array})


Welches sind die gebundenen und freien Variablen in diesen Ausdrücken?

Ich habe auf 1 und 2 verwiesen. Quelle: S. 29, Wie man es beweist von Daniel Velleman

Das freie Variablen [im Folgenden abgekürzt zu FV] in einer Aussage stehen für Objekte, über die die Aussage etwas aussagt. Die Tatsache, dass Sie verschiedene Werte für eine freie Variable eingeben können, bedeutet, dass sie für alles stehen kann.

Gebundene Variablen [im Folgenden abgekürzt zu BV] hingegen sind einfach Buchstaben, die der Einfachheit halber verwendet werden, um eine Idee auszudrücken, und die nicht für ein bestimmtes Objekt stehen sollten. Eine gebundene Variable kann immer durch eine neue Variable ersetzt werden, ohne die Bedeutung der Anweisung zu ändern, und oft kann die Anweisung so umformuliert werden, dass die gebundenen Variablen ganz eliminiert werden.

Quelle: S. 457, Eine kurze Einführung in die Logik (12. Ausgabe, 2014) von Patrick Hurleyr

Die in Anweisungsfunktionen vorkommenden Variablen heißen freie Variablen weil sie an keinen Quantor gebunden sind.
Im Gegensatz dazu heißen die Variablen, die in Anweisungen vorkommen, gebundene Variablen.

$Farbe <1. lim_dfrac :>$
Per Definition ist $h :approx 0$ also $h$ ein BV. Nichts bindet $x$, also ist $x$ ein FV.

$Farbe<2. int. int f(x_1. x_n) , dx_1 . , dx_n:>$
Wie bindet das obige unbestimmte Integral $x_j forall, 1 leq j leq n$?

$groß<3. forall x, , exists y, phi(x, y, z):>>$ Ich bin verwirrt, warum Wikipedia $x, y$ als BV und $z$ als FV angibt.

$4.$ Was ist in der Antwort des Benutzers 'dtldarek' gemeint mit: $x = x land forall x. x = x$ ?


Streaming-Ausdrücke und mathematische Ausdrücke

Visualisierungen: Galerie mit Visualisierungen von Streaming-Ausdrücken und mathematischen Ausdrücken.

Einstieg: Erste Schritte mit Streaming-Ausdrücken, mathematischen Ausdrücken und Visualisierung.

Daten laden: Visualisieren, Transformieren und Laden von CSV-Dateien.

Suchen, Sampling und Aggregation: Suchen, Sampling, Aggregation und Visualisierung von Resultsets.

Transformieren von Daten: Ergebnismengen transformieren und filtern.

Skalare Mathematik: Auf Zahlen angewendete mathematische Funktionen und Visualisierung.

Vektormathematik: Vektormathematik, Manipulation und Visualisierung.

Variablen und Vektorisierung: Ergebnismengen vektorisieren und Variablen zuweisen und visualisieren.

Matrix-Mathematik: Matrixmathematik, Manipulation und Visualisierung.

Textanalyse und Termvektoren: Textanalyse und TF-IDF-Termvektoren.

Wahrscheinlichkeit: Stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen.

Statistiken: Deskriptive Statistiken, Histogramme, Perzentile, Korrelation, Inferenztests und andere Statistikfunktionen.

Lineare Regression: Einfache und multivariate lineare Regression.

Kurvenanpassung: Anpassung an polynomische, harmonische und Gaußsche Kurven.

Zeitfolgen: Zeitreihenaggregation, Visualisierung, Glättung, Differenzierung, Anomalieerkennung und Prognose.

Interpolation und Numerische Berechnung: Interpolation, Ableitungen und Integrale.

Signalverarbeitung: Faltung, Kreuzkorrelation, Autokorrelation und schnelle Fourier-Transformationen.

Simulationen: Monte-Carlo-Simulationen und Random Walks

Maschinelles Lernen: Distanz, KNN, DBSCAN, K-Means, Fuzzy-K-Means und andere ML-Funktionen.

Computergeometrie: Konvexe Hüllen und einschließende Scheiben.


Warum sind Variablen wichtig?

Wissenschaft ist chaotisch. Wir betrachten Experimente gerne als einen einfachen Prozess des „Änderns einer Sache und Aufzeichnen dessen, was passiert“, aber in Wirklichkeit hat jedes mögliche Studienfach Dutzende verschiedener Faktoren, die die Ergebnisse beeinflussen können – die Variablen.

Wissenschaftler sind darauf trainiert, vorsichtig zu sein, wenn sie alle Variablen für ein Experiment. In vielen Experimenten können selbst geringfügige unbeabsichtigte Schwankungen eines Faktors die Ergebnisse ungenau oder irreführend machen. Die Ergebnisse von Experimenten werden manchmal später entlarvt, nachdem bekannt wurde, dass Variablen irgendwie die Ergebnisse verzerrt.

Die Bedeutung von verstehen Variablen werden Sie wahrscheinlicher fundierte Schlussfolgerungen ziehen und weniger wahrscheinlich auf Behauptungen hereinfallen, die auf fehlerhafter Wissenschaft beruhen. Wenn Sie beispielsweise verdächtige Statistiken oder Testergebnisse untersuchen, sollten Sie zunächst fragen, was Variablen beteiligt waren, auch ob Steuerung Variablen verwendet wurden und was sie waren. Wissen Variablen ist entscheidend für kritisches Denken.


Variablen definieren - Konzept

Variablen werden in der gesamten Mathematik nach der Algebra verwendet und sind wichtig zu verstehen. EIN Variable definieren ist ein Symbol wie x, das verwendet wird, um eine beliebige Zahl zu beschreiben. Wenn eine Variable in einer Funktion verwendet wird, wissen wir, dass es sich nicht nur um eine konstante Zahl handelt, sondern dass sie viele Zahlen darstellen kann. Variablen sind entscheidend für das Verständnis von Problemen im Zusammenhang mit der grafischen Darstellung.

Eine Sache, die Sie sehr schnell über Algebra lernen werden, ist, dass es sich nicht nur um Zahlen handelt, sondern auch um viele Buchstaben. Und was die Buchstaben sind, werden offiziell Variablen genannt.
Eine Variable ist ein Buchstabe oder ein Symbol zur Darstellung einer beliebigen Zahl. Und es ist irgendwie schwierig, weil der Buchstabe innerhalb dieses spezifischen Problems dieselbe Zahl darstellen wird, aber derselbe Buchstabe kann unterschiedliche Zahlen zwischen verschiedenen Problemen darstellen. Lassen Sie mich Ihnen zeigen, was ich meine.
Nehmen wir an, ich hatte dieses Problem, das x+5=8 sagte. Das war wie Problem eins meiner Hausaufgaben. Und dann Problem zwei meiner Hausaufgaben sagte, x take away 4 ist gleich 10. Also kannst du dies wahrscheinlich in deinem Kopf machen, überlege dir, für welche Zahl x stehen könnte. Welche Zahl plus ergibt die Antwort 8? Die meisten von euch können in ihrem Kopf x=3 sagen. Das ist Problem eins.
Sehen Sie sich Problem 2 an. Es wird derselbe Buchstabe verwendet, aber es wird eine andere Zahl sein. Welche Zahl zum Mitnehmen 4 gibt uns die Antwort 10? 14. Der Trick mit Variablen besteht also darin, dass es sich um denselben Buchstaben handelt und eine beliebige Zahl darstellt, wie sie sein könnte ein Problem zum nächsten.
Wenn Sie auf Variablen stoßen, ist das etwas Neues, da Sie es mit Buchstaben und Zahlen zu tun haben. Aber verwenden Sie Ihre Logik und verlangsamen Sie. Überlegen Sie, wofür die Variable steht, und wenn es Ihnen hilft, setzen Sie sie in Ihrem Kopf in Worte, wie ich es getan habe. Zum Beispiel, welche Zahl plus 5 Ihnen 8 ergibt. Das ist eine wirklich großartige Strategie, die Ihnen bei der Arbeit mit Variablen hilft.


Häufig gestellte Fragen zu Variablen

Sie können sich unabhängige und abhängige Variablen in Bezug auf Ursache und Wirkung vorstellen: Eine unabhängige Variable ist die Variable, von der Sie denken, dass sie die ist Ursache, während eine abhängige Variable die bewirken.

In einem Experiment manipulieren Sie die unabhängige Variable und messen das Ergebnis in der abhängigen Variablen. Zum Beispiel in einem Experiment über die Wirkung von Nährstoffen auf das Pflanzenwachstum:

  • Das unabhängige Variable ist die Menge an Nährstoffen, die dem Ackerfeld zugeführt wird.
  • Das abhängige Variable ist die Biomasse der Pflanzen zur Erntezeit.

Die Definition Ihrer Variablen und die Entscheidung, wie Sie sie manipulieren und messen, ist ein wichtiger Teil des experimentellen Designs.

EIN verwirrende Variable, auch Störfaktor oder Störfaktor genannt, ist eine dritte Variable in einer Studie, die eine mögliche Ursache-Wirkungs-Beziehung untersucht.

Eine Störvariable bezieht sich sowohl auf die vermeintliche Ursache als auch auf die vermeintliche Wirkung der Studie. Es kann schwierig sein, den wahren Effekt der unabhängigen Variablen vom Effekt der Störvariablen zu trennen.

In Ihrem Forschungsdesign ist es wichtig, potenzielle Störvariablen zu identifizieren und zu planen, wie Sie deren Auswirkungen reduzieren.

Quantitative Variablen sind alle Variablen, bei denen die Daten Mengen darstellen (z. B. Größe, Gewicht oder Alter).

Kategorische Variablen sind alle Variablen, bei denen die Daten Gruppen darstellen. Dazu gehören Ranglisten (z. B. Endplätze in einem Rennen), Klassifizierungen (z. B. Getreidesorten) und binäre Ergebnisse (z. B. Münzwürfe).

Sie müssen wissen, mit welcher Art von Variablen Sie arbeiten, um den richtigen statistischen Test für Ihre Daten auszuwählen und Ihre Ergebnisse zu interpretieren.

Diskrete und kontinuierliche Variablen sind zwei Arten von quantitativen Variablen:


Schreiben Sie einfach die Wahrheitstabelle auf, die recht einfach zu finden ist, und leiten Sie Ihre CNF und DNF ab.

Start <| c | c | c | c |>hline X & Y & Z & hline T & T & T & T hline T & T & F & F hline T & F & T & F hline T & F & F & T hline F & T & T & F hline F & T & F & T hline F & F & T & T hline F & F & F & F hline end

Wenn Sie DNF finden möchten, müssen Sie sich alle Zeilen ansehen, die mit $T$ enden. Wenn Sie diese Zeilen finden, nehmen Sie die Werte $x, y,$ und $z$ aus jeder entsprechenden Spalte. Somit erhält man $(x wedge y wedge z) vee (x wedge eg y wedge eg z) vee ( eg x wedge y wedge eg z) vee ( eg x wedge eg y wedge z).$ Ähnlich findet man CNF

$ ( ot x lor lnot y lor z) land (lnot x lor y lor lnot z) land (x lor lnot y lor lnot z) land (x lor y oder z) $

Aha. In solch einer allgemeineren Einstellung können Sie $oplus$ interpretieren als Addition modulo 2. Beispiel: Wenn Sie 5 Variablen $a_1, ldots, a_4 in <0, 1>$ haben. Dann ist $a_1 oplus cdots oplus a_4 = (a_1 + ldots + a_4) mod 2$. Mit dieser Tatsache können Sie Ihre CNF aufschreiben. Tatsächlich verwendet diese "Methode" implizit Wahrheitstabellen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen die CNF von $a oplus b oplus c oplus d$ finden. Dann müssen Sie alle Disjunktionen von $a, b, c, d$ mit einer geraden Anzahl von Negationen aufzählen. In der CNF finden Sie $(a vee b vee c vee d)$, $( eg a vee eg b vee c vee d)$, $( eg a vee b vee eg c vee d)$ usw. aber nicht $( eg a vee b vee c vee d)$.

Beachten Sie, dass die Transformation von Formeln durch Äquivalenztransformationen in CNF und DNF im Allgemeinen NP-schwer ist.


Algebra-Hausaufgabenhilfe: Algebraische Begriffe und Definitionen

In der Algebra wird der Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl steht, als Variable bezeichnet. Die Variablen in 8x 2 y 3 sind x und y.

Die Zahl, die eine Variable oder Variablen multipliziert, wird als Koeffizient bezeichnet. Es wird normalerweise vor die Variable oder Variablen geschrieben. Der Koeffizient in 9yz 4 ist 9. Wenn der Koeffizient 1 ist, wird er typischerweise nicht geschrieben (d. h. 1yz 4 = yz 4 und 1a 3 = a 3 ).

Die Potenz, mit der eine Variable potenziert wird, wird Exponent genannt. Der Exponent in 7a 5 ist 5. Wenn der Exponent 1 ist, wird er typischerweise nicht geschrieben (d. h. 6y 1 z 4 = 6yz 4 ). Jede Variable oder Zahl potenziert mit Null ergibt eins (d. h. x 0 = 1).

Jede Zahl oder Variable oder ein Produkt aus Zahlen und Variablen wird Monom genannt. Jedes der folgenden Beispiele ist ein Monom:
5, -7, x, y, 6xyz, -9yz 4 , 2.3a 3

Ein Monom oder die Summe von zwei oder mehr Monomen wird als Polynom bezeichnet. Jedes der folgenden ist ein Beispiel für ein Polynom:
6xyz, 5a 3 − 21, 4x 2 − 9y 2 , 2x + 3y + 4z, 5x 2 + 6x + 7

Jedes Monom, aus dem ein Polynom besteht, wird als Term des Polynoms bezeichnet.

Ein Polynom mit zwei (ungleichen) Termen heißt Binomial (z. B. 6a 3 − 23 und 5x 2 + 18y 2 ).

Ein Polynom mit drei (ungleichen) Termen heißt Trinom. (z. B. 3x + 5y + 7z und 6x 2 + 9x + 12).

Gleiche Terme sind solche, die genau die gleichen Variablen und Exponenten haben. Sie dürfen sich nur in ihren Koeffizienten unterscheiden. Wichtig ist, dass die einzigen algebraischen Terme, die kombiniert (addiert oder subtrahiert) werden können, wie Terme sind. Somit sind 7y 2 z und −9y 2 z gleiche Terme, aber x 2 y und xy 2 sind ungleiche Terme.

Eine Sammlung algebraischer Terme, die durch mathematische Symbole verbunden sind, wird als algebraischer Ausdruck bezeichnet, und ein algebraischer Ausdruck, dessen Teile nicht durch + oder − Zeichen getrennt sind, wird als Term bezeichnet. Somit ist 5x 2 + 3xy + 2y 2 ein algebraischer Ausdruck mit drei Termen 5x 2 , 3xy und 2y 2 .

Eine Aussage, dass zwei algebraische Ausdrücke gleich sind, heißt Gleichung. Jeder der folgenden Punkte ist ein Beispiel für eine Gleichung:
2x + 7 = 5x − 8
x 2 + 5x + 6 = 0

Eine Gleichung, bei der die höchste Potenz einer Variablen eins ist, wird als lineare Gleichung bezeichnet. Somit ist 3x − 7 = 7x + 3 ein Beispiel für eine lineare Gleichung.

Eine Gleichung, bei der die höchste Potenz, auf die eine Variable erhöht wird, zwei ist, wird als quadratische Gleichung bezeichnet. Somit ist 3x 2 + 6x + 10 = 0 ein Beispiel für eine quadratische Gleichung.

Eine Gleichung, bei der die höchste Potenz, auf die eine Variable angehoben wird, drei ist, wird als kubische Gleichung bezeichnet. Somit ist 7x 3 + 8x + 9 = 0 ein Beispiel für eine kubische Gleichung.

Eine Gleichung, bei der die höchste Potenz, auf die eine Variable angehoben wird, vier ist, wird als quartische Gleichung bezeichnet. Somit ist 7x 4 + 15x 3 + 8x 2 + 9 = 0 ein Beispiel für eine quartische Gleichung.


Variablen: Erkunden von Ausdrücken und Gleichungen

Die Schüler lösen reale Probleme unter Verwendung von Variablen in algebraischen Ausdrücken und Gleichungen.

Quicklinks zu Unterrichtsmaterialien:

Diese Lektion unterrichten Les

Ziele

  • Bestimmen Sie abhängige und unabhängige Variablen in realen Situationen.
  • Schreiben Sie algebraische Ausdrücke und Gleichungen, um reale Situationen darzustellen.
  • Lösen Sie algebraische Gleichungen, wenn der Wert einer Variablen gegeben ist.
  • Lösen Sie Ausdrücke und Gleichungen, die positive und negative rationale Zahlen enthalten.

Materialien

  • Digital Interactive Tool: „Einstieg in Ausdrücke und Gleichungen“ (optional)
  • Anschluss eines interaktiven Whiteboards ODER eines Computers/Projektors (optional)
  • Internetverbindung (optional)
  • Computer für Kleingruppen und/oder alle Schüler (optional)
  • Eine Reise zum Amazonas planen: Variablen verwenden, um Zahlen darzustellen und Ausdrücke zum Ausdrucken zu schreiben
  • Den Amazonas erkunden: Eine reale Situation von einem Wortproblem in eine druckbare Gleichung übersetzen
  • Antwortschlüssel für Abenteuer in Ausdrücken und Gleichungen

Hinweis: Die Lektion umfasst sowohl Online- als auch druckbare Komponenten, wurde jedoch als sinnvolle Lernerfahrung konzipiert, unabhängig davon, ob die Online-Komponenten verwendet werden oder nicht.

Unterrichtsanweisungen

EINFÜHRUNG IN NEUE MATERIALIEN

Schritt 1: Leiten Sie die Lektion ein, indem Sie den Schülern sagen, dass sie den größten Lebensraum der Welt, den Ozean, beschreiben werden. Fragen Sie die Schüler: Was sind einige der Bedrohungen für die Lebensformen dieses Lebensraums? Welche Lösungen gibt es, um diese Bedrohungen zu bekämpfen?

Schritt 2: Sagen Sie den Schülern, dass Irland 2002 eine Lösung eingeführt hat, um die Menge an Müll im Meer zu bekämpfen: Sie begannen, eine Steuer von 0,15 € für jede Plastiktüte zu erheben, die Kunden in Geschäften benutzten. (Ein Euro ist ungefähr so ​​viel wert wie ein amerikanischer Dollar und sein Vorzeichen ist € statt $.)

Fragen Sie: Wenn ein Käufer 1 Plastiktüte benötigt, wie viel Steuern zahlt er dann für die Plastiktüte? (0,15 €) 2 Plastiktüten? (0,30 €) 3 Plastiktüten? (0,45 €) Fragen Sie die Schüler, ob es eine allgemeine Möglichkeit gibt, die Steuer zu berechnen, die ein Kunde für eine beliebige Anzahl von Plastiktüten zahlen würde, die er verwendet. Lassen Sie die Paare diskutieren und teilen Sie ihre Gedanken dann der Klasse mit. An dieser Stelle können und sollten verbale Beschreibungen anstelle von Ausdrücken oder Gleichungen vorgeschlagen werden (Beispiel: Multiplizieren Sie die Anzahl der verwendeten Taschen mit 0,15 €).

Schritt 3: Definieren variabel, unabhängige Variable, und abhängig variabel für Schüler.

  • Variable: ein unbekannter oder sich ändernder Wert
  • unabhängige Variable: eine Variable, deren Wert nicht vom Wert einer anderen Variablen abhängt ein frei gewählter Wert (oft dargestellt durch x)
  • abhängige Variable: eine Variable, deren Wert vom Wert der unabhängigen Variablen abhängt (oft dargestellt durch ja)

Bitten Sie die Schüler in der oben beschriebenen Situation, die unabhängige Variable und die abhängige Variable zu identifizieren. Lassen Sie sie dann paarweise diskutieren, warum die Anzahl der verwendeten Taschen die unabhängige Variable ist und warum die Gesamtsteuer die abhängige Variable ist. Lassen Sie die Schüler ihre Gedanken mit der Klasse teilen.

Schritt 4: Definieren Ausdruck, Gleichung, und algebraische Gleichung:

  • Ausdruck: ein mathematischer Ausdruck mit Zahlen, Operatoren und/oder Variablen (Beispiele: 7 b + 2 40xy)
  • Gleichung: eine Anweisung, die zwei gleiche Ausdrücke zeigt (Beispiele: 23 + 7 = 30 9 = 9)
  • algebraische Gleichung: eine Gleichung, die Variablen enthält (Beispiele: 0.8 + c = 40 6ha = G)

Sagen Sie den Schülern, dass der Buchstabe oft unabhängigen Variablen zugewiesen wird x, und abhängigen Variablen wird der Buchstabe zugewiesen ja. Wenn sie jedoch Werte mit anderen Buchstaben darstellen möchten, wie z b für Taschen und t für Steuern wird das oft auch gemacht. Bitten Sie die Schüler, die Beziehung zwischen der Anzahl der verwendeten Taschen und der erhobenen Steuer zu diskutieren, und stellen Sie eine Gleichung auf, die die beiden Werte miteinander verbindet.

Schritt 5: Modell für Schüler zum Lösen der Gleichung (ja = 0.15x) für eine bestimmte Anzahl von Taschen. Lassen Sie die Schüler diese Fähigkeit dann mit anderen Werten von üben x.

Schritt 6:
Sagen Sie den Schülern, dass Irland Geld ausgeben musste, um die neue Steuer einzuführen und durchzusetzen. Irland muss jedes Jahr 350.000 € zahlen, um den Plan zu verwalten. Welche algebraische Gleichung könnte den Geldbetrag darstellen, der für die Verwaltung des Plans für eine bestimmte Anzahl von Jahren ausgegeben wurde? (ja = €350,000x, wo x ist die Anzahl der Jahre, die der Plan läuft) Als die Steuer begann, kostete die Einrichtung des Plans feste 1.200.000 €. Bitten Sie die Schüler, ihre Gleichung zu ändern, um die festen Einrichtungskosten des Plans einzubeziehen. (ja = €350,000x + 1.200.000 €, wobei x ist die Anzahl der Jahre, die der Plan läuft) Lassen Sie dann die Schüler üben, die Gleichung mit verschiedenen Werten von . zu lösen x.

Schritt 7: Sagen Sie den Schülern, dass Irland seine Plastiktütensteuer im Jahr 2007 auf 0,22 € erhöht hat. Angenommen, eine Familie hat ein Budget von 100 €, das sie jede Woche für Lebensmittel ausgeben können. Welche Gleichung kann den Geldbetrag, den eine Familie für Lebensmittel ausgeben kann, im Verhältnis zur Anzahl der Plastiktüten darstellen, die sie für die Lebensmittel verwenden? (ja = €100 – €0.22x) Lassen Sie die Schüler diese Gleichung für eine Vielzahl von Plastiktüten lösen.

GEFÜHRTE PRAXIS und UNABHÄNGIGE PRAXIS

Schritt 8: Kombinieren Sie aus diesen digitalen und druckbaren Materialien unten, je nach den Bedürfnissen und technologischen Fähigkeiten Ihrer Klasse.

Diese fesselnden Materialien versetzen die Schüler in reale Erkundungsszenarien – von einem Astronauten, der ins All fliegt, bis hin zu einem Biologen, der den Amazonas schwimmt. Dies unterstreicht den Wert der Mathematik in realen Situationen und Berufen, in denen Ausdrücke und Gleichungen notwendige Werkzeuge zur Lösung von Problemen sind.

  • Modul 1 des digitalen interaktiven Tools: Variablen in Ausdrücken und Gleichungen.
  • Eine Reise zum Amazonas planen: Verwenden von Variablen zur Darstellung von Zahlen und zum Schreiben von Ausdrücken
  • Den Amazonas erkunden: Eine reale Situation von einem Wortproblem in eine Gleichung übersetzen

Unterrichtserweiterungen

Tell students that another factor concerning scientists is sea level trends. Individually, or as a class, they can visit tides and current website in order to identify and write equations for sea level changes in various areas of the world over a certain number of years. They can then solve the equations to determine the sea level change for a specified number of years in those areas.


Evaluation of Simple Arithmetic Expressions

We use the operator precedence und associativity rules to determine the meaning and value of an expression in an unambiguous manner. Recall that the operators in an expression are bound to their operands in the order of their precedence. If the expression contains more than one operator at the same precedence level, they are associated with their operands using the associativity rules. Table summarizes these rules for arithmetic and assignment operators.

If the given expression is simple, we can often directly convert it to its mathematical form and evaluate it. However, if the given expression is complex, i. e., it contains several operators at different precedence levels, we need a systematic approach to convert it to a mathematical equation and evaluate it. The steps to convert a given valid C expression to its mathematical form (if possible) and to evaluate it are as follows:

1. First determine the order in which the operators are bound to their operands by applying the precedence and associativity rules. Note that after an operator is bound to its operand(s), that sub-expression is considered as a single operand for the adjacent operators.

2. Obtain the equivalent mathematical equation for given C expression (if possible) by following the operator binding sequence (obtained in step 1).

3. Determine the value of the given expression by evaluating operators in the binding sequence.

The steps to determine operator binding in an arithmetic expression are explained below with the help of the expression -a+ b * c – d ich e + f.

1. The unary operators (unary +, unary – , ++ and – -) have the highest precedence and right-to-left associativity. Thus, the given expression is first scanned from right to left and unary operators, if any, are bound to their operands. The order is indicated below the expression as follows:

2. The multiplicative operators (*, ich and %) have the next highest precedence and left to- right associativity. Thus, the expression is scanned from left-to-right and the multiplicative operators, if any, are bound to their operands as shown below. (Observe that after completion of the above step, sub-expressions -a, b * c and d ich e will be operands for the remaining operator bindings.)

3. The additive operators (+ and -) have the next highest precedence and left-to-right associativity. Hence, the expression is scanned from left-to-tight and the additive operators, if any, are bound to their operands as shown below. Observe that the operands for the first + operator are the sub-expressions -a and b * c. Similarly, the operands for the – operator are -a+ b * c and d /e.

Now we can write the mathematical equation for the given C expression by following the operator binding sequence as shown below:

Now the given expression can be evaluated, again by following the operator binding sequence, as shown below. Assume that the variables a, b, c, ct, e and f are of type float and are initialized with values as a= 1. 5, b = 2. 0, c = 3. 5, ct= 5.0, e = 2. 5 and f = 1. 25.

Remember that except for some operators (& & || ? : and the comma operator), the C language does not specify the order of evaluation of sub-expressions. Thus, the sub expressions at the same level can be evaluated in any order. For example, the sub expressions -a, b * c and ct ich e in the above expression can be evaluated in any order.

The procedure explained above can also be used to check the validity of an expression. The given expression is valid if we arrive at a single operand (or value) after all the operators in the given expression are considered. Consider a more complex arithmetic expression: -a–+ -b++ * –c. This expression appears to be invalid due to the excessive use of operators. It contains three operands a, b and c and seven operators, five of which are unary (-, ++ and –) and the other two are binary operators (+ and *). However, using the operator binding steps, we can easily verify that it is a valid expression:


Schau das Video: Skalarprodukt zweier Vektoren Definition (November 2021).