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6.4: Gemischanwendungen mit Gleichungssystemen lösen


Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Mischanwendungen lösen
  • Interessenanträge lösen
  • Anwendungen von Kosten- und Ertragsfunktionen lösen

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

  1. Multiplizieren: (4.025(1.562)).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  2. Schreiben Sie 8,2 % als Dezimalzahl.
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  3. Earls Rechnung für das Abendessen belief sich auf 32,50 USD und er wollte ein Trinkgeld von 18 % geben. Wie hoch soll das Trinkgeld sein?
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].

Gemischte Anwendungen lösen

Bei der Mischungsanwendung werden zwei oder mehr Mengen kombiniert. Als wir früher Mischanwendungen mit Münzen und Tickets gelöst haben, haben wir zunächst eine Tabelle erstellt, um die Informationen zu organisieren. Für ein Münzbeispiel mit Nickel und Groschen sah die Tabelle so aus:

Die Verwendung einer Variablen bedeutete, dass wir die Anzahl der Nickels und die Anzahl der Groschen in Beziehung setzen mussten. Wir mussten uns entscheiden, ob wir es lassen wollten nein sei die Zahl der Nickel und schreibe dann die Zahl der Groschen in Form von nein, oder wenn wir lassen würden d sei die Zahl der Groschen und schreibe die Zahl der Nickel in Form von d.

Da wir nun wissen, wie man Gleichungssysteme mit zwei Variablen löst, lassen wir einfach nein sei die Anzahl der Nickel und d sei die Anzahl der Groschen. Wir schreiben eine Gleichung basierend auf der Gesamtwertspalte, wie wir es zuvor getan haben, und die andere Gleichung kommt aus der Zahlenspalte.

Im ersten Beispiel machen wir ein Ticketproblem, bei dem die Ticketpreise in ganzen Dollar angegeben sind, also müssen wir noch keine Dezimalzahlen verwenden.

Beispiel (PageIndex{1})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Ein Science Center verkaufte an einem arbeitsreichen Wochenende 1.363 Tickets. Die Einnahmen beliefen sich auf 12.146 US-Dollar. Wie viele 12-Dollar-Tickets für Erwachsene und wie viele 7-Dollar-Tickets für Kinder wurden verkauft?

Antworten
Schritt 1. Lesen Sie das Problem.Wir werden eine Tabelle erstellen, um die Informationen zu organisieren.
Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen.Wir suchen die Anzahl der Erwachsenentickets
und die Anzahl der verkauften Kindertickets.
Schritt 3. Name wonach wir suchen.Sei (a= ext{die Anzahl der Eintrittskarten für Erwachsene.})
(c= ext{Anzahl der Kindertickets})
Eine Tabelle hilft uns, die Daten zu organisieren.
Wir haben zwei Arten von Tickets, Erwachsene und Kinder.
Schreiben ein und c für die Anzahl der Tickets.
Schreiben Sie unten die Gesamtzahl der verkauften Tickets
der Spalte Nummer.
Insgesamt wurden 1.363 verkauft.
Schreiben Sie den Wert jeder Ticketart in das
Spalte Wert.
Der Wert jedes Erwachsenentickets beträgt 12 USD.
Der Wert jedes Kindertickets beträgt $7.
Die Zahl mal der Wert ergibt den Gesamtwert,
der Gesamtwert der Erwachsenentickets ist also (a·12=12a),
und der Gesamtwert der untergeordneten Tickets ist (c·7=7c).
Füllen Sie die Spalte Gesamtwert aus.
Insgesamt betrug der Gesamtwert der Tickets 12.146 US-Dollar.
Schritt 4. Übersetzen in ein Gleichungssystem.
Die Spalte Zahl und die Spalte Gesamtwert
Gib uns das Gleichungssystem.
Wir werden die Eliminationsmethode verwenden, um zu lösen
dieses System. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit (−7).
Vereinfachen und hinzufügen, dann auflösen nach ein.
Setze (a=521) in die erste Gleichung ein, dann
lösen für c.
Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort in der
Problem.
521 Erwachsene für 12 USD pro Ticket machen 6.252 USD
842 Kinder für 7 $ pro Ticket macht $58,994
Die Gesamteinnahmen betragen 12.146 $(checkmark)
Schritt 7. Antwort die Frage.Das Science Center verkaufte 521 Eintrittskarten für Erwachsene und
842 Kinderkarten.

Beispiel (PageIndex{2})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

An der Kasse des Zoos wurden an einem Tag 553 Tickets verkauft. Die Einnahmen beliefen sich auf 3.936 US-Dollar. Wie viele $9-Erwachsenentickets und wie viele $6-Kindertickets wurden verkauft?

Antworten

206 Erwachsene, 347 Kinder

Beispiel (PageIndex{3})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

An der Abendkasse eines Kinos wurden 147 Tickets für die Abendshow verkauft und die Einnahmen beliefen sich auf insgesamt 1.302 US-Dollar. Wie viele Tickets für Erwachsene im Wert von 11 USD und für Kinder im Wert von 8 USD wurden verkauft?

Antworten

42 Erwachsene, 105 Kinder

Im nächsten Beispiel lösen wir ein Münzproblem. Da wir nun wissen, wie man mit Systemen aus zwei Variablen arbeitet, ist die Benennung der Variablen in der Spalte „Zahl“ einfach.

Beispiel (PageIndex{5})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Matilda hat eine Handvoll Quarters and Dimes mit einem Gesamtwert von 8,55 US-Dollar. Die Anzahl der Viertel beträgt 3 mehr als das Doppelte der Anzahl der Groschen. Wie viele Groschen und wie viele Viertel hat sie?

Antworten

13 Groschen und 29 Viertel

Beispiel (PageIndex{6})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Priam hat eine Sammlung von Nickels und Quarters im Gesamtwert von 7,30 $. Die Zahl der Nickel beträgt sechs weniger als das Dreifache der Zahl der Quartale. Wie viele Nickel und wie viele Quarter hat er?

Antworten

19 Viertel und 51 Nickel

Einige Mischanwendungen beinhalten das Kombinieren von Speisen oder Getränken. Beispielsituationen können die Kombination von Rosinen und Nüssen zu einer Studentenmischung oder die Verwendung von zwei Arten von Kaffeebohnen zur Herstellung einer Mischung sein.

Beispiel (PageIndex{7})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Carson möchte 20 Pfund Studentenfutter aus Nüssen und Schokoladenstückchen herstellen. Sein Budget verlangt, dass der Trail-Mix 7,60 Dollar kostet. pro Pfund. Nüsse kosten 9,00 USD pro Pfund und Schokoladenstückchen kosten 2,00 USD pro Pfund. Wie viele Pfund Nüsse und wie viele Pfund Schokoladenstückchen sollte er verwenden?

Antworten
Schritt 1. Lesen Sie das Problem.
Wir werden eine Tabelle erstellen, um die Informationen zu organisieren.
Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen.Wir suchen die Anzahl der Pfunde von
Nüsse und die Anzahl der Pfunde Schokolade
Chips.
Schritt 3. Name wonach wir suchen.Sei (n= ext{die Anzahl der Pfund Nüsse.})
(c= ext{die Anzahl der Pfund Chips})
Carson wird Nüsse und Schokoladenstückchen mischen, um zu bekommen
Studentenfutter.
Schreiben nein und c für die Anzahl der Pfunde von
Nüsse und Schokostückchen.
Es wird 20 Pfund Trail-Mix geben.
Geben Sie den Preis pro Pfund jedes Artikels ein
die Spalte Wert.
Füllen Sie die letzte Spalte mit . aus
( ext{Zahl}• ext{Wert}= ext{Gesamtwert})
Schritt 4. Übersetzen in ein Gleichungssystem.
Wir erhalten die Gleichungen aus der Zahl
und Gesamtwert-Spalten.
Schritt 5. Lösen das Gleichungssystem
Wir werden die Elimination verwenden, um das System zu lösen.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit (−2), um zu eliminieren c.
Vereinfachen und hinzufügen.
Lösen für nein.
So finden Sie die Anzahl der Pfunde Schokolade
Chips, setze (n=16) in die erste Gleichung ein,
dann auflösen nach c.
Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort im Problem.
(egin{array} {lll} 16+4 &= &20checkmark 9·16+2·4 &= &152checkmark end{array})
Schritt 7. Antwort die Frage.Carson sollte 16 Pfund Nüsse mit 4 . mischen
Pfund Schokoladenstückchen, um den Trail zu erstellen
mischen.

Beispiel (PageIndex{8})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Greta möchte 5 Pfund einer Nussmischung aus Erdnüssen und Cashewnüssen herstellen. Ihr Budget erfordert, dass die Mischung sie 6 Dollar pro Pfund kostet. Erdnüsse kosten 4 US-Dollar pro Pfund und Cashewnüsse 9 US-Dollar pro Pfund. Wie viele Pfund Erdnüsse und wie viele Pfund Cashewnüsse sollte sie verwenden?

Antworten

3 Pfund Erdnüsse und 2 Pfund Cashewnüsse

Beispiel (PageIndex{9})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Sammy hat die meisten Zutaten, die er braucht, um eine große Portion Chili zuzubereiten. Das einzige, was ihm fehlt, sind Bohnen und Hackfleisch. Er braucht insgesamt 20 Pfund kombiniert mit Bohnen und Hackfleisch und hat ein Budget von 3 Dollar pro Pfund. Der Preis für Bohnen beträgt 1 USD pro Pfund und der Preis für Hackfleisch beträgt 5 USD pro Pfund. Wie viele Pfund Bohnen und wie viele Pfund Hackfleisch sollte er kaufen?

Antworten

10 Pfund Bohnen, 10 Pfund Hackfleisch

Eine andere Anwendung von Mischungsproblemen betrifft konzentrierte Reinigungsmittel, andere Chemikalien und Mischgetränke. Die Konzentration wird in Prozent angegeben. Zum Beispiel bedeutet ein konzentrierter Haushaltsreiniger von 20 %, dass 20 % der Gesamtmenge Reinigungsmittel sind und der Rest Wasser ist. Um 35 Unzen einer Konzentration von 20 % herzustellen, mischen Sie 7 Unzen (20 % von 35) des Reinigers mit 28 Unzen Wasser.

Für diese Art von Mischungsproblemen verwenden wir "Prozent" anstelle von "Wert" für eine der Spalten in unserer Tabelle.

Beispiel (PageIndex{10})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Sasheena ist Laborassistentin an ihrem Community College. Für ein Laborexperiment muss sie 200 Milliliter einer 40%igen Schwefelsäurelösung herstellen. Das Labor hat nur 25 % und 50 % Lösungen im Lagerraum. Wie viel sollte sie aus den 25 %- und 50 %-Lösungen mischen, um die 40 %-Lösung herzustellen?

Antworten
Schritt 1. Lesen Sie das Problem.
Eine Abbildung kann uns helfen, die
Situation, dann erstellen wir eine Tabelle zu
organisieren die Informationen.
Sasheena muss etwas von der (25%)-Lösung mischen und
etwas von der (50%) Lösung zusammen, um (200space ml) von . zu erhalten
die (40%)-Lösung.
Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen.Wir suchen, wie viel von jeder Lösung sie
braucht.
Schritt 3. Name wonach wir suchen.Sei (x= ext{Zahl von }ml ext{ von }25% ext{ Lösung.})
(y= ext{Anzahl von }ml ext{ von }50% ext{ Lösung)
Eine Tabelle hilft uns, die Daten zu organisieren. Sie wird
mischen x (ml) von (25%) mit ja (ml) von (50%), um (200 space ml) zu erhalten
von (40%) Lösung. Wir schreiben die Prozente als Dezimalzahlen
in der Grafik.
Wir multiplizieren die Anzahl der Einheiten mit
Konzentration, um die Gesamtmenge von zu erhalten
Schwefelsäure in jeder Lösung.
Schritt 4. Übersetzen in ein System von
Gleichungen.
Wir erhalten die Gleichungen aus der Zahl
Spalte und die Spalte Betrag.
Jetzt haben wir das System.
Schritt 5. Lösen das Gleichungssystem
Wir werden das System durch Eliminierung lösen.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit (−0.5) zu
beseitigen ja.
Vereinfachen und hinzufügen, um aufzulösen nach x.
Auflösen für ja, setze (x=80) in die erste ein
Gleichung.
Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort im Problem.
(egin{array} {lll} 80+120 &= &200checkmark 0.25(80)+0.50(120) &= &200checkmark {} &{} & ext{Ja!} end {Anordnung} )
Schritt 7. Antwort die Frage.

Sasheena sollte (80 space ml) der (25%) Lösung mit . mischen
(120 space ml) der (50%) Lösung, um die (200space ml) von zu erhalten
(40%) Lösung.

Beispiel (PageIndex{11})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

LeBron benötigt für ein Laborexperiment 150 Milliliter einer 30%igen Schwefelsäurelösung, hat aber nur Zugang zu einer 25%igen und einer 50%igen Lösung. Wie viel von der 25%- und wie viel von der 50%-Lösung sollte er mischen, um die 30%-Lösung herzustellen?

Antworten

120 ml 25%ige Lösung und 30 ml 50%ige Lösung

Beispiel (PageIndex{12})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Anatole muss für ein Laborexperiment 250 Milliliter einer 25%igen Salzsäurelösung herstellen. Das Labor hat nur eine 10 %ige Lösung und eine 40 %ige Lösung im Lagerraum. Wie viel von den 10 % und wie viel von den 40 % Lösungen sollte er mischen, um die 25 % Lösung herzustellen?

Antworten

125 ml 10%ige Lösung und 125 ml 40%ige Lösung

Interessenanträge lösen

Die Formel zur Modellierung einfacher Zinsanwendungen lautet (I=Prt). Interesse, ich, ist das Produkt des Prinzipals, P, die Rate, r, und die Zeit, t. In unserer Arbeit hier berechnen wir die in einem Jahr verdienten Zinsen, also t wird 1.

Wir ändern die Spaltentitel in der Mischungstabelle, um die interessierende Formel anzuzeigen, wie Sie im nächsten Beispiel sehen werden.

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Adnan hat 40.000 US-Dollar zu investieren und hofft, (7,1%) Zinsen pro Jahr zu verdienen. Er wird einen Teil des Geldes in einen Aktienfonds investieren, der 8% pro Jahr verdient, und den Rest in Anleihen, die 3% pro Jahr verdienen. Wie viel Geld sollte er in jeden Fonds investieren?

Antworten
Schritt 1. Lesen Sie das Problem.Eine Tabelle hilft uns, die Informationen zu organisieren.
Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen.Wir suchen nach dem Betrag, den Sie in jeden Fonds investieren können.
Schritt 3. Name wonach wir suchen.Sei (s= ext{der in Aktien investierte Betrag.})
(b= ext{der in Aktien investierte Betrag})
Schreiben Sie den Zinssatz als Dezimalzahl für
jeder Fonds.
Multiplizieren: Auftraggeber · Rate · Zeit
Schritt 4. Übersetzen in ein System von
Gleichungen.
Wir erhalten unser Gleichungssystem aus
die Hauptspalte und die
Spalte "Interesse".
Schritt 5. Lösen das Gleichungssystem
durch Beseitigung.
Multiplizieren Sie die obere Gleichung mit (−0.03).
Vereinfachen und hinzufügen, um aufzulösen nach so.
Finden b, ersetzen so = 32.800 in
die erste Gleichung.
Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort in der
Problem.
Den Scheck überlassen wir Ihnen.
Schritt 7. Antwort die Frage.Adnan sollte 32.800 US-Dollar in Aktien investieren und
7.200 Dollar in Anleihen.
Ist Ihnen aufgefallen, dass die Spalte Kapital den Gesamtbetrag des investierten Geldes darstellt, während die Spalte Zinsen nur die verdienten Zinsen darstellt? Ebenso stellt die erste Gleichung in unserem System, (s+b=40.000), den Gesamtbetrag des investierten Geldes dar und die zweite Gleichung, (0,08s+0,03b=0,071(40.000)), repräsentiert die verdienten Zinsen .

Beispiel (PageIndex{14})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Leon hatte 50.000 US-Dollar zu investieren und hofft, (6,2%) Zinsen pro Jahr zu verdienen. Er wird einen Teil des Geldes in einen Aktienfonds stecken, der 7% pro Jahr verdient, und den Rest auf ein Sparkonto, das 2% pro Jahr verdient. Wie viel Geld sollte er in jeden Fonds investieren?

Antworten

42.000 US-Dollar im Aktienfonds und 8000 US-Dollar auf dem Sparkonto

Beispiel (PageIndex{15})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Julius investierte 7000 US-Dollar in zwei Aktienanlagen. Eine Aktie wurde mit 11% verzinst und die andere Aktie mit 13% verzinst. Er verdiente (12,5%) Zinsen auf die Gesamtinvestition. Wie viel Geld hat er in jede Aktie investiert?

Antworten

1750 USD bei 11% und 5250 USD bei 13%

Das nächste Beispiel erfordert, dass wir den Kapitalbetrag anhand der Höhe der verdienten Zinsen ermitteln.

Beispiel (PageIndex{17})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Laura schuldet 18.000 Dollar für ihre Studienkredite. Der Zinssatz für das Bankdarlehen beträgt 2,5 % und der Zinssatz für das Bundesdarlehen 6,9 %. Der Gesamtbetrag der Zinsen, die sie letztes Jahr gezahlt hat, betrug 1.066 US-Dollar. Wie hoch war das Kapital für jedes Darlehen?

Antworten

4.000 $ einzahlen; 14.000 US-Dollar

Beispiel (PageIndex{18})

Übersetze in ein Gleichungssystem und löse:

Jill's Sandwich Shoppe schuldet 65.200 US-Dollar für zwei Geschäftskredite, eines zu 4,5% Zinsen und das andere zu 7,2% Zinsen. Der Gesamtbetrag der im letzten Jahr geschuldeten Zinsen betrug 3.582 US-Dollar. Wie hoch war das Kapital für jedes Darlehen?

Antworten

41.200 USD zu 4,5%, 24.000 USD zu 7,2%

Anwendungen von Kosten- und Ertragsfunktionen lösen

Angenommen, ein Unternehmen produziert und verkauft x Einheiten eines Produktes. Die Kosten für das Unternehmen sind die Gesamtkosten für die Herstellung x Einheiten. Dies sind die Herstellungskosten für jede Einheit mal x, die Stückzahl, zuzüglich der Fixkosten.

Das Einnahmen ist das Geld, das das Unternehmen durch den Verkauf einbringt x Einheiten. Dies ist der Verkaufspreis jeder Einheit mal der Anzahl der verkauften Einheiten.

Wenn die Kosten den Einnahmen entsprechen, sagen wir, dass das Unternehmen die Break-Even-Punkt.

KOSTEN- UND ERTRAGSFUNKTIONEN

Das Kostenfunktion sind die Kosten für die Herstellung jeder Einheit mal x, die Stückzahl, zuzüglich der Fixkosten.

[C(x)=( ext{Kosten pro Einheit})·x+ ext{Fixkosten} onumber]

Das Einnahmen Funktion ist der Verkaufspreis jeder Einheit mal x, die Anzahl der verkauften Einheiten.

[R(x)=( ext{Verkaufspreis pro Einheit})·x onumber]

Das Break-Even-Punkt ist, wenn die Einnahmen den Kosten entsprechen.

[C(x)=R(x)keineZahl]

Beispiel (PageIndex{19})

Der Hersteller einer Hantelbank gibt 105 US-Dollar für den Bau jeder Bank aus und verkauft sie für 245 US-Dollar. Der Hersteller hat auch monatliche Fixkosten von 7.000 US-Dollar.

ⓐ Finden Sie die Kostenfunktion C wann x Bänke hergestellt werden.

ⓑ Finden Sie die Umsatzfunktion R wann x Bänke werden verkauft.

ⓒ Zeigen Sie den Break-Even-Punkt an, indem Sie sowohl die Umsatz- als auch die Kostenfunktion im selben Raster grafisch darstellen.

ⓓ Finden Sie den Break-Even-Punkt. Interpretieren Sie, was der Break-Even-Point bedeutet.

Antworten

ⓐ Der Hersteller hat 7.000 $ Fixkosten, egal wie viele Krafttrainingsbänke er produziert. Zusätzlich zu den Fixkosten gibt der Hersteller auch 105 US-Dollar für die Herstellung jeder Bank aus. Annehmen x Bänke werden verkauft.

(egin{array} {ll} { ext{Schreiben Sie die allgemeine Kostenfunktionsformel.}} &{C(x)=( ext{Kosten pro Einheit})·x+ ext{Fixkosten}} { ext{Ersetzen Sie die Kostenwerte.}} &{C(x)=105x+7000} end{array})

ⓑ Der Hersteller verkauft jede Hantelbank für 245 $. Wir erhalten den Gesamtumsatz, indem wir den Umsatz pro Einheit mit der Anzahl der verkauften Einheiten multiplizieren.

(egin{array} {ll} { ext{Schreibe die allgemeine Umsatzfunktion.}} &{C(x)=( ext{Verkaufspreis pro Einheit})·x} { ext{Ersatz in der Umsatz pro Einheit.}} &{R(x)=245x} end{array})

ⓒ Im Wesentlichen haben wir ein lineares Gleichungssystem. Wir zeigen das Diagramm des Systems, da dies dazu beiträgt, die Idee eines Break-Even-Punkts anschaulicher zu machen.

[left{ egin{array} {l} C(x)=105x+7000 R(x)=245x end{array} ight. quad ext{oder} quad left{ egin{array} {l} y=105x+7000 y=245x end{array} ight. keine Nummer ]

ⓓ Um den tatsächlichen Wert zu ermitteln, erinnern wir uns, dass der Break-Even-Punkt eintritt, wenn die Kosten den Erlösen entsprechen.

(egin{array} {ll} { ext{Schreibe die Break-Even-Formel.}} &{egin{array} {l} {C(x)=R(x)} {105x+7000 =245x} end{array}} { ext{Löse.}} &{egin{array} {l} {7000=140x} {50=x} end{array}} Ende{Array})

Wenn 50 Bänke verkauft werden, entsprechen die Kosten den Einnahmen.

Wenn 50 Bänke verkauft werden, belaufen sich sowohl der Umsatz als auch die Kosten auf 12.250 USD. Beachten Sie, dass dies dem geordneten Paar ((50,12250)) entspricht.

Beispiel (PageIndex{20})

Der Hersteller einer Hantelbank gibt 15 Dollar aus, um jede Bank zu bauen und verkauft sie für 32 Dollar. Der Hersteller hat außerdem monatliche Fixkosten von 25.500 US-Dollar.

ⓐ Finden Sie die Kostenfunktion C wann x Bänke hergestellt werden.

ⓑ Finden Sie die Umsatzfunktion R wann x Bänke werden verkauft.

ⓒ Zeigen Sie den Break-Even-Punkt an, indem Sie sowohl die Umsatz- als auch die Kostenfunktion im selben Raster grafisch darstellen.

ⓓ Finden Sie den Break-Even-Punkt. Interpretieren Sie, was der Break-Even-Point bedeutet.

Antworten

ⓐ (C(x)=15x+25.500)

(R(x)=32x)

1 5001 500 €; Wenn 1.500 Bänke verkauft werden, betragen die Kosten und der Umsatz jeweils 48.000

Beispiel (PageIndex{21})

Der Hersteller einer Hantelbank gibt 120 US-Dollar für den Bau jeder Bank aus und verkauft sie für 170 US-Dollar. Der Hersteller hat außerdem monatliche Fixkosten von 150.000 US-Dollar.

ⓐ Finden Sie die Kostenfunktion C wann x Bänke hergestellt werden.

ⓑ Finden Sie die Umsatzfunktion R wann x Bänke werden verkauft.

ⓒ Zeigen Sie den Break-Even-Punkt an, indem Sie sowohl die Umsatz- als auch die Kostenfunktion im selben Raster grafisch darstellen.

ⓓ Finden Sie den Break-Even-Punkt. Interpretieren Sie, was der Break-Even-Point bedeutet.

Antworten

ⓐ (C(x)=120x+150.000)

ⓑ (R(x)=170x)

(3.000); Wenn 3.000 Bänke verkauft werden, belaufen sich sowohl der Umsatz als auch die Kosten auf 510.000 USD

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  • Zinsen und Mischungen

Schlüssel Konzepte

  • Kostenfunktion: Die Kostenfunktion sind die Kosten für die Herstellung jeder Einheit mal x, die Stückzahl, zuzüglich der Fixkosten.

    (C(x)=( ext{Kosten pro Einheit})·x+ ext{Fixkosten})

  • Einnahmen: Die Erlösfunktion ist der Verkaufspreis jeder Einheit mal x, die Anzahl der verkauften Einheiten.

    (R(x)=( ext{Verkaufspreis pro Einheit})·x)

  • Break-Even-Punkt: Der Break-Even-Point ist, wenn die Einnahmen den Kosten entsprechen.

    (C(x)=R(x))

Glossar

Kostenfunktion
Die Kostenfunktion sind die Herstellungskosten pro Einheit mal xx, die Anzahl der hergestellten Einheiten zuzüglich der Fixkosten; C(x) = (Kosten pro Einheit)x + Fixkosten.
Einnahmen
Der Umsatz ist der Verkaufspreis jeder Einheit mal x, die Anzahl der verkauften Einheiten; R(x) = (Verkaufspreis pro Einheit)x.
Break-Even-Punkt
Der Punkt, an dem die Einnahmen den Kosten entsprechen, ist der Break-Even-Point; C(x) = R(x).

6.4. Lineare Gleichungssysteme¶

Ingenieure lieben lineare Gleichungssysteme! Sie sind überall in den Systemen zu finden, die Ingenieure entwickeln. Viele (vielleicht die meisten) Systeme sind linear. Systeme werden manchmal durch Differentialgleichungen beschrieben, aber diese Gleichungssätze können normalerweise durch Anwendung der Laplace-Transformation in lineare Gleichungen umgewandelt werden. Der Hauptpunkt ist jedoch, dass wir in realen Wortdesign- und Analyseanwendungen applications Gleichungssysteme mit mehreren unbekannten Variablen, nicht nur einer Gleichung.

Im Abschnitt Anwendungen linearer Systeme werden wir einige Beispiele dafür betrachten, woher lineare Gleichungssysteme kommen. Vorerst werden wir überlegen, wie wir sie lösen können.


Unterrichtswind und aktuelle Probleme

In dieser Lektion werden einige typische Reise- und Entfernungsprobleme vom Typ Wind und Strömung für ein Motorboot und ein Flugzeug bei Rundreisen vorgestellt.

In Aufgabe 1 und 2 wird die Länge der Fahrt sowie die aufgewendete Zeit in jede Richtung angegeben.
Die Geschwindigkeit eines Motorboots (Flugzeugs) in stillem Wasser (stille Luft) und die aktuelle Geschwindigkeit (Wind) sind unbekannt.
Der Weg, diese Probleme zu lösen, besteht darin, sie auf das System zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten zu reduzieren und dann dieses System zu lösen.

In Aufgabe 3 und 4 wird die Dauer der Fahrt in jede Richtung sowie eine von zwei Geschwindigkeiten angegeben.
Die andere Geschwindigkeit und die Verfahrlänge sind unbekannt.
Der Weg, diese Probleme zu lösen, besteht darin, sie auf eine lineare Gleichung mit einer unbekannten Variablen - Geschwindigkeit - zu reduzieren und dann diese Gleichung zu lösen.
Wenn es fertig ist, können Sie die Länge der Reise berechnen.

Problem 1. Motorboot, das sich auf einem Fluss flussauf- und flussabwärts bewegt

Ein Motorboot macht die 24 Meilen flussaufwärts Fahrt auf einem Fluss gegen den Strom in 3 Stunden.
Die Rückfahrt mit dem Strom dauert 2 Stunden.
Ermitteln Sie die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser und die aktuelle Geschwindigkeit.

Seien Sie die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser in Meilen pro Stunde,
und v die aktuelle Geschwindigkeit in Meilen pro Stunde sein.
Dann ist die Geschwindigkeit des Motorbootes u - v relativ zum Flussufer, wenn es stromaufwärts fährt, und u + v, wenn es stromabwärts fährt.
Für die Fahrt flussaufwärts haben Sie die Gleichung, die die Geschwindigkeit, die Zeit und die Entfernung verbindet in der Form

Für die Abwärtsfahrt haben Sie eine ähnliche Gleichung in der Form

Damit hast du das System zweier linearer Gleichungen in zwei Unbekannten

In der ersten Gleichung teilen Sie beide Seiten durch 3. In der zweiten Gleichung teilen Sie beide Seiten durch 2. Sie erhalten ein äquivalentes System

Addiere die erste und die zweite Gleichung. Sie erhalten

Daher ist u = = 10 Meilen pro Stunde.

Setzen Sie nun diesen Wert von u in die Gleichung u + v = 12 ein. Sie erhalten

v = 12 - 10 = 2 Meilen pro Stunde.

Antworten . Die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser beträgt 10 Meilen pro Stunde. Die aktuelle Geschwindigkeit beträgt 2 Meilen pro Stunde.

Problem 2. Flugzeug fliegt in den Wind und mit dem Wind

Wenn ein Flugzeug gegen den Wind fliegt, kann es in 6 Stunden 3000 Meilen zurücklegen.
Wenn es mit dem Wind fliegt, kann es die gleiche Entfernung in 5 Stunden zurücklegen.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in ruhender Luft und die Geschwindigkeit des Windes.

Seien Sie die Flugzeuggeschwindigkeit in stiller Luft in Meilen pro Stunde,
und v die Windgeschwindigkeit in Meilen pro Stunde.
Dann ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs u - v relativ zur Erde, wenn es sich gegen den Wind bewegt, und u + v, wenn es sich mit dem Wind bewegt.
Für den Flug gegen den Wind hast du die Gleichung, die Geschwindigkeit, Zeit und Entfernung in der Form verbindet

Für den Flug mit dem Wind haben Sie eine ähnliche Gleichung in der Form

Damit hast du das System zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten

In der ersten Gleichung teilen Sie beide Seiten durch 6. In der zweiten Gleichung teilen Sie beide Seiten durch 5. Sie erhalten ein äquivalentes System

Addiere die erste und die zweite Gleichung. Sie erhalten

Daher ist u = = 550 Meilen pro Stunde.

Setzen Sie nun diesen Wert von u in die Gleichung u + v = 600 ein. Sie erhalten

v = 600 - 550 = 50 Meilen pro Stunde.

Antworten . Die Geschwindigkeit des Flugzeugs in ruhender Luft beträgt 550 Meilen pro Stunde. Die Windgeschwindigkeit beträgt 50 Meilen pro Stunde.

Problem 3. Motorboot, das sich auf einem Fluss flussauf- und flussabwärts bewegt

Ein Motorboot fährt in 3 Stunden einen Fluss flussaufwärts gegen die Strömung, die 2 Meilen pro Stunde beträgt.
Die Rückfahrt stromabwärts mit der gleichen Strömung dauert 2 Stunden.
Ermitteln Sie die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser und die Fahrtlänge.

Geben Sie die Geschwindigkeit des Motorboots in stillem Wasser in Meilen pro Stunde an.
Dann beträgt die Geschwindigkeit des Motorbootes u - 2 relativ zum Flussufer, wenn es flussaufwärts fährt, und u + 2, wenn es flussabwärts fährt.
Die Länge der Fahrt stromaufwärts beträgt 3*(u - 2) Meilen.
Die Länge der Fahrt stromabwärts beträgt 2*(u + 2) Meilen.
Da es die gleiche Länge hat, erhalten Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten

Öffnen wir Klammern, sammeln wir auf der linken Seite variable Terme, auf der rechten Seite konstante Terme und reduzieren ähnliche Terme Schritt für Schritt:

3u - 6 = 2u + 4,
3u - 2u = 6 + 4,
u = 10.

So fanden wir die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser mit 10 Meilen pro Stunde.
Bestimmen Sie nun die Fahrtlänge, indem Sie u=10 in die Formel einsetzen
L = 3*(10 - 2) = 3*8 = 24 Meilen.

Antworten . Die Motorbootgeschwindigkeit in stillem Wasser beträgt 10 Meilen pro Stunde. Die Reiselänge beträgt 24 Meilen.

Problem 4. Flugzeug fliegt in den Wind und mit dem Wind

Flugzeug fliegt 6 Stunden gegen den Wind.
Der Rückflug bei gleichem Rückenwind dauert 5 Stunden.
Die Flugzeuggeschwindigkeit in der stillen Luft beträgt 550 Meilen pro Stunde.
Ermitteln Sie die Windgeschwindigkeit und die Fluglänge.

Sei u die Windgeschwindigkeit in Meilen pro Stunde.
Dann beträgt die Geschwindigkeit des Flugzeugs 550 - v, wenn es sich gegen den Wind bewegt, und 550 + v, wenn es sich mit dem Wind bewegt.
Das Flugzeug fliegt 6*(550-v) Meilen, wenn es gegen den Wind fliegt.
Das Flugzeug fliegt 5*(550+v) Meilen, wenn es mit dem Wind fliegt.
Da sie gleich lang ist, erhalten wir die Gleichung mit einer Unbekannten

Öffnen wir Klammern, sammeln wir auf der linken Seite variable Terme, auf der rechten Seite konstante Terme und reduzieren ähnliche Terme Schritt für Schritt:
3300 - 6v = 2750 + 5v,
3300 - 2750 = 5 V + 6 V,
11v = 550,
v = 50.

So fanden wir die Windgeschwindigkeit mit 50 Meilen pro Stunde.
Bestimmen Sie nun die Reiselänge, indem Sie v=50 in die Formel einsetzen
L = 6(550 - v) = 6*500 = 3000 Meilen.

Antworten . Die Windgeschwindigkeit beträgt 50 Meilen pro Stunde. Die Fluglänge beträgt 3000 Meilen.


6.4: Gemischanwendungen mit Gleichungssystemen lösen

TITEL: Gleichungssysteme - Praktische Anwendungen und Problemlösung
AUFGABE ENTWICKLER: James Ring
INHALTSBEREICH UND STUFE:
10. und 11. Klasse Grundlagen der Algebra II
UMFANG UND REIHENFOLGE: Abschnitt 8.8,8.9,10.10 Algebra-Text
ZIEL-LEHRDATUM: 22., 23, 26, 27, 28 März
SCHULE: John F. Kennedy High School

MUSTER UND ALGEBRA - KLASSE 9-12

STANDARD 4.3 MUSTER UND ALGEBRA: Alle Studierenden werden Beziehungen zwischen variablen Größen darstellen und analysieren und Probleme mit Mustern, Funktionen und algebraischen Konzepten und Prozessen lösen.

Strang A. Muster: Aufbauend auf den Kenntnissen und Fähigkeiten, die sie in den vorangegangenen Klassen erworben haben, werden die Schüler bis zum Ende der 12. Klasse:

3. Verwenden Sie induktives Denken, um Verallgemeinerungen zu bilden.

Strang B. Funktionen und Beziehungen: Aufbauend auf den Kenntnissen und Fähigkeiten, die sie in den vorangegangenen Klassen erworben haben, werden die Schüler bis zum Ende der 12. Klasse:

1. Verstehen Sie Beziehungen und Funktionen und wählen Sie aus, konvertieren Sie sie flexibel und verwenden Sie verschiedene Darstellungen dafür, einschließlich Gleichungen oder Ungleichungen, Tabellen und Grafiken.
2. Analysieren und erklären Sie die allgemeinen Eigenschaften und das Verhalten von Funktionen einer Variablen unter Verwendung geeigneter grafischer Technologien.

  • Steigung einer Linie oder Kurve
  • Domain und Reichweite
  • Abschnitte
  • Kontinuität
  • Maximum Minimum
  • Schätzen von Wurzeln von Gleichungen
  • Schnittpunkte als Lösungen von Gleichungssystemen
  • Änderungsraten

Strang C. Modellierung: Aufbauend auf den Kenntnissen und Fähigkeiten, die sie in den vorangegangenen Klassen erworben haben, werden die Schüler bis zum Ende der 12. Klasse:

1. Verwenden Sie Funktionen, um reale Phänomene zu modellieren und Probleme mit unterschiedlichen Mengen zu lösen.

  • Lineare, quadratische, exponentielle, periodische (Sinus und Kosinus) und Stufenfunktionen (z. B. Preis für den Versand eines erstklassigen Briefes in den letzten 200 Jahren)
  • Direkte und inverse Variation
  • Absolutwert
  • Ausdrücke, Gleichungen und Ungleichungen
  • Dieselbe Funktion kann eine Vielzahl von Phänomenen modellieren
  • Wachstum/Verfall und Veränderung in der Natur natural
  • Anwendungen in Mathematik, Biologie und Wirtschaftswissenschaften (einschließlich Zinseszinsen)

Strang D. Verfahren: Aufbauend auf den Kenntnissen und Fähigkeiten, die sie in den vorangegangenen Klassen erworben haben, werden die Schüler bis zum Ende der 12. Klasse:

2. Wählen und verwenden Sie geeignete Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

  • Lineare Gleichungen - algebraisch
  • Quadratische Gleichungen - Faktorisieren (wenn der Koeffizient von X 2 gleich 1) und mit der quadratischen Formel
  • Alle Arten von Gleichungen mit Grafik-, Computer- und Grafikrechnertechniken
  1. Zu jedem praktischen Anwendungsproblem schreiben die Studierenden eine Stellenbeschreibung.
  2. Die Schüler schreiben die Schlüsselwörter aus der Wortwand dieses Abschnitts.
  3. Die Studierenden schreiben Musteraufgaben für diese Einheit.
  4. Die Studenten werden Gleichungssysteme verwenden, um ein praktisches Real-Life-Problem zu lösen.
  5. Die Studenten werden verschiedene Arten von praktischen Anwendungsproblemen aus dem realen Leben lösen.

Reale Welteinstellung: Chemiker

Sie sind Chemiker. Sie stehen vor einem Problem. Sie müssen eine Lösung herstellen, indem Sie zwei vorgegebene Lösungen mischen. Sie müssen herausfinden, wie viel von jeder gegebenen Lösung verwendet werden sollte, um Ihre neue Lösung zu erstellen. Nachdem Sie Ihr Problem gelöst haben, stellen Sie Ihre Lösung und den verwendeten Prozess der Klasse vor.

SMARTFÄHIGKEITEN:

Ebene I: Daten erfassen - Daten erwerben die Studierenden in dieser standardbasierten Aufgabe:

  • Wortschatz: Die Schüler lernen die Definition von Säurelösung, Mischungen, Problemlösung, Quantität, Qualität und Lösungskasten.
  • Kompetenzen: Die Schüler werden den "Denkprozess" verwenden, um Probleme zu lösen:
    - Was weißt du
    - Was suchen Sie
    - Was bedeutet das
  • Prozesse: Die Schüler folgen einem mehrstufigen Verfahren.

Level II: Informationen visualisieren - Daten aus Level I, die in dieser standardbasierten Aufgabe als Information visualisiert werden:

  • Organisieren: Die Schüler werden ihre Gedanken und Arbeiten ordnen und in ihre Notizbücher schreiben.
  • Muster erstellen: Die Schüler werden induktive und deduktive Denkfähigkeiten aus Mustern anwenden, die in jedem der Probleme gefunden wurden.
  • Bedeutung schaffen: Die Schüler analysieren Probleme, um das zu verwendende Gleichungssystem zu bestimmen.

Level III: Wissen anwenden - Visualisierte Informationen aus Level II, die in dieser auf Standards basierenden Aufgabe angewandtes Wissen sind:

  • Entscheidungen treffen: Die Schüler bestimmen die Art der Lösung, die beim Lösen von Gleichungssystemen verwendet wird.
  • Probleme lösen: Die Schüler werden dieses spezifische Beispiel und andere ähnliche zu einer Hypothese über Mischungsprobleme verallgemeinern.
  • Lösungen schaffen: Die Studierenden erstellen einen Lösungskasten zur Lösung praktischer Anwendungslösungs- und Mischprobleme.

PRÄFERENZEN:

Beteiligung der Studierenden - Die Schüler werden die Aufgabe einzeln und als kooperative Gruppe in einer ganzen Klassengruppe bearbeiten

Anweisung - Die Aktivitäten werden organisiert und durchgeführt, indem die Aktivitäten oder Strategien differenziert werden, um den Schülern geeignete Möglichkeiten zum Lernen anzubieten, als eine von Lehrern unterstützte Reihe von praktischen Aktivitäten in einer Schülerbroschüre während der Unterrichtszeit

Sonderpädagogische Unterkünfte - Studierende mit besonderen Bedürfnissen benötigen die folgenden elektronischen Geräte: Taschenrechner

Sonderpädagogische Unterkünfte - Studierende mit besonderen Bedürfnissen werden sich mit einem studentischen Partner zusammenschließen.

Sonderpädagogische Unterkünfte - Schüler mit besonderen Bedürfnissen benötigen zusätzliche Bearbeitungs- und Reaktionszeiten, schriftliche Kopien von mündlich präsentierten Lehr- oder Bewertungsmaterialien und schriftliche oder fotokopierte Notizen von mündlich präsentierten Lehr- oder Bewertungsmaterialien

Nutzung von Ressourcen - Die Schule stellt Unterrichtsmaterialien wie Bleistift, Papier, Hefte zur Verfügung.

Nutzung von Ressourcen - Die Schüler stellen Unterrichtsmaterialien wie Bleistifte, Papier, Hefte und Taschenrechner zur Verfügung.

Auftraggeber für studentische Arbeiten - Der Student präsentiert seine Arbeit als Nachweis der Aufgabenerledigung den Peers,
Lehrer und Administratoren.

Bewertung studentischer Arbeiten - Die folgenden Personen werden an der Bewertung der studentischen Arbeiten beteiligt sein, die zur Erledigung der Aufgabe erstellt wurden: Der Lehrer und die Kollegen des Schülers.

Berichtsergebnisse - Die Bewertungsergebnisse werden als Punkte in einer Rubrik ausgewiesen und
als Buchstabennote.

Zeitleiste - Die geschätzte Zeit, die zum Planen, Unterrichten und Bewerten dieser Aufgabe benötigt wird, beträgt 8 bis 10 Unterrichtsstunden.

Aktivität 1: Wiederholung der gestrigen Lektion (geschätzte Dauer: 10 min)

A) Bitten Sie die Schüler, "Denkprozesse" bei der Lösung praktischer Anwendungsprobleme zu definieren.

B) Jeder sollte wissen, worum es bei dem Problem geht und wonach Sie suchen.

C) Rezension IMAX-FILMPREISE Hausaufgabenproblem.

Technologie für diese Aktivität: Rechner
Materialien für diese Aktivität: Notizbücher, Bleistifte und praktische Anwendungen Problempaket.
Schülerprodukt oder Leistung für diese Aktivität: Die Schüler produzieren die HW von gestern, stellen die verwendeten Prozeduren bereit und schreiben neue Prozeduren in ihre Notebooks.
Bewertungstool für diese Aktivität: Checkliste für Lehrer

Aktivität 2: Mischung von Lösungsproblemen (geschätzte Zeit 10 min)

Der Lehrer weist die Schüler an, die Aufgabe (Nr. 6 im Paket) laut vorzulesen. Bitten Sie einen Schüler, den Prozess zu starten.

STARTEN SIE ES NICHT FÜR SIE.

WARTEN für sie werden sie es in Angriff nehmen.

Was Sie wissen: Beschriften Sie Unbekannte mit "x" und "y", eine Fähigkeit, die Sie in früheren Lektionen gelernt haben.

"Thought Process" - aus englischen Sätzen (das Problem) machen Mathematische Sätze. Der Lehrer fordert sie auf, indem er fragt und verstärkt: „Was sind mathematische Sätze?“ Ihre Antwort wird Mathe sein. Sätze sind GLEICHUNGEN.

Machen wir also Gleichungen.

Aktivität 3: Synthese und Analyse des Problems (geschätzte Zeit 20 min)

A) Lassen Sie sie die Aufgabe noch einmal laut vorlesen und fragen Sie nach den Gleichungen.

B) WARTEN damit sie bestimmen, welche Sätze verwendet werden, um die Gleichungen zu bestimmen, die bei der Lösung des Problems verwendet werden.

C) Schreiben Sie die erste Gleichung. x + y = 200. Fragen Sie, was das bedeutet? Die Antwort, die Sie suchen, ist "Quantität" - Menge an Zeug.

D) Fragen Sie "Was ist die 2. Gleichung?" und "was stellt es dar?"

E) WARTEN! Sie werden Probleme mit diesem Teil haben, was uns zu führt Activity 4.

Activity 4: Side Bar Example (Est. time 10 min)

A) Give this problem: you have 6 quarters and 3 dimes. Was hast du? Let them answer.

B) WAIT!! Let them answer. A majority will respond $1.80.

C) Ask them to now think like a 1st grader and the response will be 9 coins.

D) Let them see that BOTH answers are correct.

E) Have them write equations:

F) Tell them to use this side bar exercise in figuring out what the 2nd equation in their problem will be

G) WAIT. They will come up with it.

Activity 5: Using Applications to Solve (Est. time 10 min)

    An equation about "stuff" will be:
    x + y = 200

B) Once you have both equations, change % values to decimal values

C) Ask how to remove decimals? Their response will be multiply by 100. A skill previously learned.

D) With both equations in "workable" (easier terms) form allow them to complete the "thought process" by solving these two equations. a skill they possess from previous lessons.

Activity 6: Recap the Problem (Est. time 10 min)

A) Once solutions are found ask various students to present their work and give the "thought process" they used in solving this problem

B) This will ensure they know the process needed to solve these problems

Activity 7: Discussion (Est. time 10 min)

A0 Initiate a group discussion of the process in solving these types of Real Life practical application problems

B) These discussions should lead to the presentation of a solution box for mixture problems

Materials for Activities 2-7: Notebooks, pencils, calculators, and Practical Application Packet (included below).

Scoring Tool for Activities 2-7: Assign problem 7 or 8 for homework and check notebooks

PRACTICAL APPLICATION PACKET

Applications and Problem Solving

    Pizza and Soda Prices. A campus vendor charges $3.50 for one slice of pizza and one medium soda and $9.15 for three slices of pizza and two medium sodas. Determine the price of one medium soda and the price of one slice of pizza.

Extra Credit

Phone Rates. Recently, AT&T offered an unlimited long-distance calling plan to anyone in the United States, 24 hours a day, 7 days a week, for $29.95 a month. Another plan charges $.07 a minute all day every day, but costs an additional $3.95 per month. For what number of minutes will the two plans cost the same? Remember "Thought Process."

BENCHMARKING:

Student Performance One: Problem solving "thought process"

Assessment Benchmarking Example: The student's ability to make "math sentences" (equations), properly list unknowns, and solve equations.

Student Performance Two: Solving Practical Applications

Assessment Benchmarking Example: The student will produce a valid solution. Each step will follow logically from previous steps and each step will correctly identify the methods used.

Student performance Three: Group discussions.

Assessment Benchmarking Example: The student will participate actively in the group discussions. The student's comments will be mathematically valid, relevant, and courteous to classmates and teacher.

The response indicates application of a reasonable strategy that may or may not lead to a correct solution. The representations are essentially correct. The explanation and/or justification is generally well developed, feasible, and supports the solution. The response demonstrates a clear understanding and analysis of the problem.

The response indicates an incomplete application of a reasonable strategy that may or may not lead to a correct solution. The representations are fundamentally correct. The explanation and/or justification supports the solution and is plausible, although it may not be well developed or complete. The response demonstrates a conceptual understanding and analysis of the problem.

The response indicates little or no application of a reasonable strategy. It may or may not have the correct answer. The representations are incomplete or missing. The explanation and/or justification reveals serious flaws in reasoning. The explanation and/or justification may be incomplete or missing. The response demonstrates a minimal understanding and analysis of the problem.

Justification refers to the student using mathematical principles to support the reasoning used to solve the problem or to demonstrate that the solution is correct. This could include the appropriate definitions, postulates and theorems.

Essentially correct representations may contain a few minor errors such as missing labels, reversed axes, or scales that are not uniform.

METACOGNITION:

Cognitive Information: I will collect the following information in a survey at the end of the unit.

  1. Describe what skills you needed to complete this task.
  2. Explain how you solved the goal, problem, or issue in this task.
  3. Give "thought process" used that helped you solve this task.
  4. Explain why you completed the task your way.

Attitude Information: I will collect the following information in a survey at the end of the unit.

  1. Do you feel that you are good in performing practical applications of systems of algebraic equations?
  2. Did you find this task to be difficult?
  3. Do you still find it a difficult task?
  4. Did you see the usefulness of what you were asked to do in real life?
  5. Did you enjoy the task?

Analyze: I will examine the data in my chart to look for trends, contributing factors, and implications of student performance over a series of assessments of the same learning standard.

Trends: I will look for improvement relative to previous lessons which included practical applications.

Reflect: I will consider two or more of the following stems to reflect on the results and instructional practices I used and others I might benchmark and apply in the future. Then, I'll write a brief summary about my findings, contributing factors, and implications for improvement.

As I relate my students' results with my lesson activities, I noticed that having the students understand the "thought process" and perform solving practical application problems has the most promise for becoming a best practice in my classroom because I find that the students have a better retention of algebraic concepts if they have a chance to see, understand, and perform real life practical applications rather than just reading, hearing, and copying them.

This connects to previous and subsequent lessons in the chapter on Systems of Equations. The students are becoming familiar with the techniques of problem solving and are using them correctly.

Action Plan: I will complete the following TaskBuilder Figure 8 Strategy Action Plan to prepare for my next standards-based task.

1. Plan - My next standards-based task will focus on:

  • Title: Rational Expressions in Algebra
  • Content Area:Algebra (10th and 11th grade)
  • Learning Standard(s):NJCCS
  • Intent:Define the concept of rational expressions and apply it to the simplification of algebraic expressions and practical real life applications.

5. Team or Grade Level Portfolio and School Web Site - I will insert the standards-based instruction or assessment task, results, samples of student work, and summary into my Team or Grade Level Portfolio and upload them to my School's Instructional Web Site on the following dates:
Target date for School Instructional Web Site:May 18, 2007


Appendix

5. Susan has seven more fish than Tammy. They have 43 fish altogether. How many fish does each have?

6. Bob is three years older than his brother. The sum of their ages is 33. How old is Bob?

7. Two angles are supplementary. The measure of one angle is 30 degrees more than the measure of the other. What is the measure of the larger angle?

8. The length of the rectangular garden is three times the width. If the perimeter is 32m, what are the dimensions of the garden?

13. Two small pitchers and one large pitcher can hold 8 cups of water. One large pitcher minus one small pitcher constitutes 2 cups of water. How many cups of water can each pitcher hold?

14. The sum of two numbers is 15. The difference of the same two numbers is one. What are the two numbers? ( 7,8 )

15. Twice a number, minus another number is equal to -10. The sum of these two numbers is 1,130. What are the two numbers? (750, 380)

16. Ted just produced a CD. He sells his new CD for $ 5.00. Brett just released a new CD as well. He sells his for $ 6.00 each. How many CD's would they each have to sell each if the difference in sales was $ 30.00 and the total sales were $ 90.00?

17. A total of $ 12,000 is invested in two funds paying 9% and 11%. If the yearly interest is $ 1,180, find out how much money they invested in each fund.

18. Teddy invested $ 5,000, part at 11% annual interest and the rest at 13% interest. If he receives $ 610 interest at the end of on year, how much did he invest at each rate?

19. Stuart invested $ 1,000 in two different funds. One paid 10% interest and the other paid 9% interest. At the end of the first year he made $ 94. How much did Stuart invest at each rate? (400, 600)

20. Margaret invested $ 510 in two stocks. The first stock had a return of 13% and the second had a return of 7%. The resulting interest after one year was $ 59.70. What was the amount of money she invested in each stock?

21. How many ounces of a 6% iodine solution needs to be added to 12 ounces of a 10% iodine solution to create a 7% iodine solution?

22. How many gallons of a 7% acid solution should be mixed with how many gallons of a 15% acid solution to equal 20 gallons of a 12% acid solution?

23. Dr. Hekyl plans to combine a 12% acid solution with a 30% acid solution to make 72 liters of a 20% solution. How many liters of each should be used?

24. How many liters of a solution that is 18% chlorine must be mixed with a solution that is 30% chlorine in order to get 50 liters of a solution that is 27% chlorine?

25. Flying against a head wind, a plane could fly 3000 km in 6 hours. The plane would require only 5 hours for the return trip with no change in wind. Find the wind speed and the air speed of the plane.

26. A boat travels 4 km in 20 min with the current. The return trip takes 24 min. find the speed of the current and the speed of the boat in still water.

27. Walking down a long moving escalator, Phil covered the 75 m distance in 25 sec. Walking back up against the motion of the escalator, the distance was covered in 75 sec. What was the speed of the escalator?

28. Steve flew his experimental plane 56.25 km with the wind in 45 min. The return trip took 75 min with no change in the wind. What was the wind speed?

29. 3x + 5y = 11 6x + 4y = 16 (2,1)

30. 3x + 6 y = -6 5x - 2y = 14 (2, -2)

31. 3x + 4y = -25 2x - 3y = 6 (-3, -4)

32. 7x - 5y = 76 4x + y = 55 (13, 3)

33. A landscaping company placed two orders with a nursery. The first order was for 13 bushes and 4 trees, and totaled $ 487. The second order was for 6 bushes and 2 trees, and totaled $ 232. The bill does not list the per-item price. What is the cost of one bush and of one tree?

34. The air-mail rate for letters to Europe is 45 cents per half-ounce and to Africa as 65 cents per ounce. If Shirley paid $ 18.55 to send 35 half-ounce letters abroad, how many did she send to Africa

35. Lucy and Desi are driving across the Mojave Desert when they run out of gas. Desi starts walking east to find a gas station at the same time Lucy walks west to find a phone. After 2 hours they are 4.2 miles apart. Desi walks .4miles per hour faster than Lucy. Find their rates of speed. (d=rt)


OpenAlgebra.com

Antworten: One player rushed for 310 yards and the other rushed for 1,240 yards.

The set-up determines the method that we will choose to solve the system. Seit der ja variable was isolated the easiest method to choose was the substitution method. However, it does not matter which method we choose - the answer will be the same.

Typical Word Problem: A particular Algebra textbook has a total of 1,382 pages which is broken up into two parts. The second part of the book has 64 more pages than the first part. How many pages are in each part of the book?

Antworten: There are 659 pages in the first part and 723 pages in the second.

Mixture Word Problem: Dennis mowed his next door neighbor's lawn for a handful of dimes and nickels, 80 coins in all. Upon completing the job, he counted out the coins and it came to $6.60. How many of each coin did he earn?

Antworten: He needs 2 ounces of the 50% alcohol liquor and 6 ounces of the 10% alcohol liquor.

Geometry Word Problem: Two angles are supplementary. The larger angle is 48 degrees more than 10 times the smaller angle. Find the measure of each angle. (Supplementary angle add to 180 degrees)

Antworten: The two angles measure 12 degrees and 168 degrees.

Antworten: The two angles measure 31 degrees and 59 degrees.

Perimeter Word Problem: The perimeter of a rectangular garden is 62 feet. The length is 1 foot more than twice the width. Find the dimensions of the garden.

When setting up these word problems look for totals. The above is very typical, notice that one of the equations consists of the total amount invested, x + ja = 1,800. The other equation represents the total amount of interest for the year, 0.03x + 0.06ja = 93. Two linear equations allow you to solve for the variables.

Also notice that it is wise to identify your variables every time. This focuses your efforts and aids you in finding the solution. It also tells you what our answers mean at the end.

Interest Word Problem: Millicent has $10,000 invested in two accounts. For the year she earned $535 more in interest from her 7% Mutual Fund account than she did from her 4% CD. How much does she have in each account?

Always check to make sure your answer makes sense in terms of the word problem. If you come up with an answer of say x = $20,000 in the problem above you know this is unreasonable since the total amount is $10,000. At that point you should go back and check your set-up then check your algebra from there.

To solve distance problems, sometimes called uniform motion problems, it helps to organize the given data. First identify the variables then try to fill in the chart with the appropriate values. Sometimes your set up can come from columns in the chart and other times the set up will come from the rows. Remember the formula D = r * t.

Uniform Motion Problem: An executive traveled 1,930 miles by car and by plane. He drove to the airport at an average speed of 60 miles per hour and the plane averaged 350 miles per hour. The total trip took 8 hours. How long did it take to get to the airport?


Word problems take practice. Be sure to do all of the assigned word problems and review them often. Do not plan on skipping them on the exams - this is not a winning strategy. Usually, once we set our word problems up correctly, the algebra is easier than other problems.

Video Examples on YouTube:


Distance, Rate, and Time Example

You'll usually encounter a distance, rate, and time question as a word problem in mathematics. Once you read the problem, simply plug the numbers into the formula.

For example, suppose a train leaves Deb's house and travels at 50 mph. Two hours later, another train leaves from Deb's house on the track beside or parallel to the first train but it travels at 100 mph. How far away from Deb's house will the faster train pass the other train?

To solve the problem, remember that d represents the distance in miles from Deb's house and t represents the time that the slower train has been traveling. You may wish to draw a diagram to show what is happening. Organize the information you have in a chart format if you haven't solved these types of problems before. Remember the formula:

When identifying the parts of the word problem, distance is typically given in units of miles, meters, kilometers, or inches. Time is in units of seconds, minutes, hours, or years. Rate is distance per time, so its units could be mph, meters per second, or inches per year.

Now you can solve the system of equations:

Substitute t = 4 into train No. 1

Now you can write your statement. "The faster train will pass the slower train 200 miles from Deb's house."


6.4: Solve Mixture Applications with Systems of Equations

Division of Engineering
Universität Brown

Lecture Notes, Spring 2005

These notes were written by Professor Allan Bower, Division of Engineering, Brown University, Providence RI 02912.
You are welcome to read or print them for your own personal use. All other rights are reserved.

You may also find the general introductory solid mechanics text posted at http://solidmechanics.org useful. This text contains extensive materials on elasticity, plasticity, constitutive models, FEA, beams, plates and shells, as well as more than 400 practice problems.

2. Theorems of Linear Elasticity

3. 3D Static Boundary Value Problems

4. 2D Static Boundary Value Problems I: Saint Venant Theory of Torsion

5. 2D Static Boundary Value Problems II: Anti-Plane Shear

6. 2D Static Boundary Value Problems III: Plane Elasticity

7. Complex Variable Methods for Plane Elastostatics


Algebra 4

equate b and v to get time t when they have equal keychains.

According to the question,
17x + 18y = 61.50 ----------> equation (1)
10x + 21y = 57 -----------------> equation (2)

Jetzt,
Taking equation (1),
17x + 18y = 61.50
18y = 61.50 - 17x
y = (61.50 - 17x ) / 18 -----> equation (3)

Now, substituting the value of "y" in equation (2), we get,

10x+21 (61.50-17x/18)=57
10x+7 (61.50-17x/6)=57
10x+ 430.50-119x/6=57
10x*6/6 430.50-119x/6=57
60x/6+ 430.50-119x/6=57
430.50+60x-119x/6=57
430.50-59x=342
59x=430.50-342
x=88.5/59
x=1.5

ur 2 equations are :
y = 1/3x - 2 and y = 1/4x + 11. but we need them in standard form.

y = 1/3x - 2
-1/3x + y = -2 ..multiply by 3
-x + 3y = -6. or 3y - x = -6 <==

Number of orders in a = number of month + 2

Number of orders out = 2 number of month + 1

Every exponential function of form f (x) = a^x, act with these Properties -

1. The function applied to the zero value is always equal to 1: f (0) = a ^ 0 = 1

2. The exponential function of 1 is always equal to the base: f (1) = a ^ 1 = a.

3. The exponential function of a total is equal to the product of the use of the function on each value separately.

f (m + n) = a ^ (m + n) = a ^ m · a ^ n = f (m) · f (n).

4. The exponential function of subtraction is equal to the quotient use to a quantity or number which another is to be subtracted, then divided by the application to the quantity or number to be subtracted from another:

f (p - q) = a ^ (p - q) = a ^ p / a ^ q

Logarithm: In the log (b), a is called the base of the logarithm and b is called an argument, with a and b positive.


RD Sharma solutions for Class 11 Mathematics Textbook chapter 15 (Linear Inequations) include all questions with solution and detail explanation. Dies wird die Zweifel der Schüler bei allen Fragen beseitigen und die Bewerbungsfähigkeiten während der Vorbereitung auf die kommissionellen Prüfungen verbessern. Die detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen helfen Ihnen, die Konzepte besser zu verstehen und eventuelle Unklarheiten zu beseitigen. Shaalaa.com has the CBSE Class 11 Mathematics Textbook solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

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Concepts covered in Class 11 Mathematics Textbook chapter 15 Linear Inequations are Inequalities - Introduction, Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and Their Graphical Representation, Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables, Solution of System of Linear Inequalities in Two Variables.

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