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9.6: Anwendungen mit rationalen Gleichungen lösen


Lernziele

  • Proportionen lösen
  • Lösen Sie ähnliche Figurenanwendungen
  • Lösen Sie Anwendungen mit gleichmäßiger Bewegung
  • Arbeitsanwendungen lösen
  • Direkte Variationsprobleme lösen
  • Inverse Variationsprobleme lösen

Sei vorbereitet

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

    Beispiel 2.2.13.Beispiel 2.5.13.Beispiel 2.2.9.

Proportionen lösen

Wenn zwei rationale Ausdrücke gleich sind, heißt die sie verbindende Gleichung a Anteil.

Anteil

Ein Anteil ist eine Gleichung der Form (dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}), wobei (b eq 0, d eq 0).

Das Verhältnis lautet „(a) ist zu (b) wie (c) zu (d).“

Die Gleichung (dfrac{1}{2}=dfrac{4}{8}) ist eine Proportion, weil die beiden Brüche gleich sind. Das Verhältnis (dfrac{1}{2}=dfrac{4}{8}) lautet „1 ist zu 2 wie 4 zu 8“.

Da eine Proportion eine Gleichung mit rationalen Ausdrücken ist, werden wir Proportionen genauso lösen wie rationale Gleichungen. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem LCD, um die Brüche zu löschen, und lösen dann die resultierende Gleichung.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse: (dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7}).

Lösung

[dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7}, quad n eq-14 onumber]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit LCD.

[7(n+14)left(dfrac{n}{n+14} ight)=7(n+14)left(dfrac{5}{7} ight) onumber]

Entfernen Sie gemeinsame Faktoren auf jeder Seite.

[7 n=5(n+14) keineZahl ]

Vereinfachen.

[7 n=5 n+70 keineZahl ]

Löse nach (n) auf.

[egin{ausgerichtet} 2n&=70 n&=35 end{ausgerichtet} onumber ]

Prüfen.

[dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} onumber]

Ersatz (n=35)

[dfrac{35}{35+14} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Vereinfachen.

[dfrac{35}{49} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Zeigen Sie gemeinsame Faktoren auf.

[dfrac{5 cdot 7}{7 cdot 7} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Vereinfachen.

[dfrac{5}{7}=dfrac{5}{7}; surd onumber]

Übung (PageIndex{1})

Lösen Sie das Verhältnis auf: (dfrac{y}{y+55}=dfrac{3}{8}).

Antworten

(y=33)

Übung (PageIndex{2})

Lösen Sie das Verhältnis auf: (dfrac{z}{z-84}=-dfrac{1}{5}).

Antworten

(z=14)

Beachten Sie im letzten Beispiel, dass das Ergebnis beim Löschen der Brüche durch Multiplizieren mit dem LCD das gleiche ist, als ob wir kreuzmultipliziert hätten.

[egin{ausgerichtet} dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} quad quad quad dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7 } 7(n+14)left(dfrac{n}{n+14} ight)=7(n+14)left(dfrac{5}{7} ight) quad quad quad dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} 7n=5(n+14) quad quad quad 7n=5(n+14) end{ausgerichtet} keine Nummer ]

Für jede Proportion, (dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}), erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir die Brüche durch Multiplizieren mit der LCD löschen, wie bei einer Kreuzmultiplikation.

[egin{ausgerichtet} dfrac{a}{b} =dfrac{c}{d} quad quad quad dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d} bd left(dfrac{a}{b}=frac{c}{d} ight) bd quad quad quad frac{a}{b} = frac{c}{d} ad =bc quad quad quad ad=bc end{ausgerichtet} onumber]

Um Anwendungen mit Proportionen zu lösen, folgen wir unserer üblichen Strategie zum Lösen von Anwendungen. Wenn wir jedoch die Proportionen aufstellen, müssen wir sicherstellen, dass die Einheiten korrekt sind – die Einheiten in den Zählern müssen zueinander passen und die Einheiten in den Nennern müssen auch zueinander passen.

Wenn Kinderärzte Kindern Paracetamol verschreiben, verschreiben sie 5 Milliliter (ml) Paracetamol pro 25 Pfund des Gewichtes des Kindes. Wenn Zoe 80 Pfund wiegt, wie viele Milliliter Paracetamol wird ihr Arzt verschreiben?

Lösung

Identifizieren Sie, was wir finden sollen, und wählen Sie eine Variable aus, um es darzustellen.

Wie viele ml Paracetamol wird der Arzt verschreiben?

Sei (a=ml) von Paracetamol.

Schreiben Sie einen Satz, der die Informationen enthält, um sie zu finden.

Wenn 5 ml pro 25 Pfund verschrieben werden, wie viel wird dann für 80 Pfund verschrieben?

Übersetzen Sie in eine Proportion – achten Sie auf die Einheiten.

Schritt 1. Schreiben Sie die Ungleichung als einen Quotienten links und Null rechts. Unsere Ungleichung liegt in dieser Form vor.

[dfrac{x-1}{x+3} geq 0 onumber]

Schritt 2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte – die Punkte, an denen der rationale Ausdruck null oder undefiniert ist.

Der rationale Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Da (x-1=0) für (x=1) gilt, ist 1 ein kritischer Punkt. Der rationale Ausdruck ist undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da (x+3=0) für (x=-3) gilt, ist -3 ein kritischer Punkt.

Schritt 3. Verwenden Sie die kritischen Punkte, um den Zahlenstrahl in Intervalle zu unterteilen.

Schritt 4. Über dem Zahlenstrahl wird das Vorzeichen jedes Faktors des rationalen Ausdrucks in jedem Intervall angezeigt. Unterhalb des Zahlenstrahls wird das Vorzeichen des Quotienten angezeigt.

Verwenden Sie Werte in jedem Intervall, um den Wert jedes Faktors im Intervall zu bestimmen. Im Intervall (-3,1) ist Null ein guter Wert zum Testen. Zum Beispiel, wenn (x=0) dann (x-1=-1) und (x+3=3) Der Faktor (x-1) wird negativ markiert und (x+3 ) positiv markiert. Da ein negatives geteilt durch ein positives negativ ist, wird der Quotient in diesem Intervall als negativ gekennzeichnet.

Schritt 5. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Ungleichung richtig ist. Schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

Der Quotient soll größer oder gleich Null sein, also sind die Zahlen in den Intervallen ((-infty,-3)) und ((1, infty)) Lösungen. Da 3 ausgeschlossen werden muss, da es den rationalen Ausdruck 0 macht, können wir es nicht in die Lösung einbeziehen. Wir können 1 in unsere Lösung aufnehmen.

[(-infty,-3) cup[1, infty) onumber]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem LCD, 400. Entfernen Sie gemeinsame Faktoren auf jeder Seite. Vereinfachen, aber nicht auf der linken Seite multiplizieren. Beachten Sie, was der nächste Schritt sein wird.

[16 cdot 5=5 a onumber]

Löse nach (a) auf.

[egin{aligned} dfrac{16 cdot 5}{5}&=dfrac{5 a}{5} 16&=a end{aligned} onumber ]

Prüfen. Ist die Antwort vernünftig? Schreiben Sie einen vollständigen Satz.

Der Kinderarzt würde Zoe 16 ml Paracetamol verschreiben.

Übung (PageIndex{3})

Kinderärzte verschreiben 5 Milliliter (ml) Paracetamol pro 25 Pfund Gewicht eines Kindes. Wie viele Milliliter Paracetamol wird der Arzt Emilia verschreiben, die 60 Pfund wiegt?

Antworten

Der Kinderarzt wird Emilia 12 ml Paracetamol verschreiben.

Übung (PageIndex{4})

Pro 1 Kilogramm (kg) des Körpergewichts eines Kindes verschreiben Kinderärzte 15 Milligramm (mg) eines Fiebersenkers. Wenn Isabella 12 kg wiegt, wie viele Milligramm des Fiebersenkers wird der Kinderarzt verschreiben?

Antworten

Der Kinderarzt wird Isabella 180 mg Fiebersenker verschreiben.

Lösen Sie ähnliche Figurenanwendungen

Wenn Sie ein Foto auf einem Telefon oder Tablet verkleinern oder vergrößern, eine Entfernung auf einer Karte ermitteln oder ein Muster verwenden, um ein Bücherregal zu bauen oder ein Kleid zu nähen, arbeiten Sie mit ähnlichen Figuren. Wenn zwei Figuren genau die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben, werden sie als ähnlich bezeichnet. Das eine ist ein maßstabsgetreues Modell des anderen. Alle ihre entsprechenden Winkel haben die gleichen Maße und ihre entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis.

Ähnliche Figuren

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die Maße ihrer entsprechenden Winkel gleich sind und ihre entsprechenden Seiten das gleiche Verhältnis haben.

Die beiden Dreiecke in Abbildung unten sind beispielsweise ähnlich. Jede Seite von (Delta ABC) ist viermal so lang wie die entsprechende Seite von (Delta XYZ).

Dies wird in der Eigenschaft ähnlicher Dreiecke zusammengefasst.

Eigenschaft ähnlicher Dreiecke

Wenn (Delta ABC) (Delta XYZ) ähnlich ist, dann sind ihre entsprechenden Winkelmaße gleich und ihre entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis.

Um Anwendungen mit ähnlichen Zahlen zu lösen, folgen wir der zuvor verwendeten Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen.

Beispiel (PageIndex{3})

Auf einer Karte bilden San Francisco, Las Vegas und Los Angeles ein Dreieck. Die Entfernung zwischen den Städten wird in Zoll gemessen. Die Abbildung links unten stellt das Dreieck dar, das von den Städten auf der Karte gebildet wird. Wenn die tatsächliche Entfernung von Los Angeles nach Las Vegas 270 Meilen beträgt, finden Sie die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco.

Lösung

Da die Dreiecke ähnlich sind, sind die entsprechenden Seiten proportional.

Lesen das Problem. Zeichne die Figuren und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen. Die Zahlen sind oben abgebildet.

Identifizieren wonach wir suchen: die tatsächliche Entfernung von Los Angeles nach San Francisco

Name die Variablen: Sei (x) = Entfernung von Los Angeles nach San Francisco.

Übersetzen in eine Gleichung. Da die Dreiecke ähnlich sind, sind die entsprechenden Seiten proportional. Wir machen die Zähler zu „Meilen“ und die Nenner zu „Zoll“.

[$dfrac{x ext { Meilen }}{1.3 ext { Zoll }}=dfrac{270 ext { Meilen }}{1 ext { Zoll }}$ onumber]

Lösen Die gleichung.

[egin{aligned} 1.3left(dfrac{x}{1.3} ight)&=1.3left(dfrac{270}{1} ight) x&=351 end{aligned} keine Nummer ]

Prüfen. Auf der Karte ist die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco größer als die Entfernung von Los Angeles nach Las Vegas. Da 351 mehr als 270 ist, ist die Antwort sinnvoll.

Überprüfen Sie (x=351) im ursprünglichen Verhältnis. Verwenden Sie einen Taschenrechner.

[egin {ausgerichtet} dfrac{x ext { Meilen}}{1.3 ext { Zoll}}&=dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} dfrac{ 351 ext { Meilen }}{1.3 ext { Zoll }} &overset{?}{=} dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} dfrac{270 ext { Meilen }}{1 ext { Zoll }}&=dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} surd end{aligned} onumber ]

Antworten die Frage: Die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco beträgt 351 Meilen.

Auf der Karte bilden Seattle, Portland und Boise ein Dreieck. Die tatsächliche Entfernung von Seattle nach Boise beträgt 400 Meilen.

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die tatsächliche Entfernung von Seattle nach Portland.

Antworten

Die Entfernung beträgt 150 Meilen.

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie die tatsächliche Entfernung von Portland nach Boise.

Antworten

Die Entfernung beträgt 350 Meilen.

Wir können ähnliche Zahlen verwenden, um Höhen zu finden, die wir nicht direkt messen können.

Beispiel (PageIndex{4})

Tyler ist 6 Fuß groß. An einem späten Nachmittag war sein Schatten 2,40 Meter lang. Gleichzeitig war der Schatten eines Baumes 24 Fuß lang. Finden Sie die Höhe des Baumes.

Lösung

Lies die Aufgabe und zeichne eine Figur. Wir suchen nach (h), der Höhe des Baumes.

Wir werden ähnliche Dreiecke verwenden, um eine Gleichung zu schreiben. Das kleine Dreieck ähnelt dem großen Dreieck.

[dfrac{h}{24}=dfrac{6}{8} onumber]

Lösen Sie den Anteil auf.

[egin {aligned} 24left(dfrac{6}{8} ight)&=24left(dfrac{h}{24} ight) 18&=h end{aligned} keine Nummer ]

Vereinfachen. Prüfen.

Tylers Höhe ist geringer als die Länge seines Schattens, daher ist es sinnvoll, dass die Höhe des Baumes geringer ist als die Länge seines Schattens. Überprüfe (h=18) im ursprünglichen Verhältnis.

[egin{ausgerichtet} &dfrac{6}{8}=dfrac{h}{24} &dfrac{6}{8} overset{?}{=} dfrac{18}{ 24} &dfrac{3}{4}=dfrac{3}{4} surd end{ausgerichtet} onumber]

Übung (PageIndex{7})

Ein Telefonmast wirft einen 15 Meter langen Schatten. In der Nähe wirft ein 2,40 m hohes Verkehrsschild einen 3 m langen Schatten. Wie hoch ist der Telefonmast?

Antworten

Der Telefonmast ist 40 Meter hoch.

Übung (PageIndex{8})

Eine Kiefer wirft einen Schatten von 80 Fuß neben einem 30 Fuß hohen Gebäude, das einen Schatten von 40 Fuß wirft. Wie hoch ist die Kiefer?

Antworten

Die Kiefer ist 60 Meter hoch.

Lösen von Anwendungen mit gleichmäßiger Bewegung

Wir haben in den vorherigen Kapiteln gleichförmige Bewegungsprobleme mit der Formel (D=r t) gelöst. Wir haben eine Tabelle wie die folgende verwendet, um die Informationen zu organisieren und uns zur Gleichung zu führen.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung

Die Formel (D=r t) setzt voraus, dass wir (r) und (t) kennen und verwenden, um (D) zu finden. Wenn wir (D) und (r) kennen und (t) finden müssen, würden wir die Gleichung nach (t) lösen und erhalten die Formel (t=dfrac{D}{r }).

Wir haben auch erklärt, wie sich das Fliegen mit oder gegen den Wind auf die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auswirkt. Wir werden diese Idee im nächsten Beispiel noch einmal aufgreifen.

Beispiel (PageIndex{5})

Ein Flugzeug kann in der gleichen Zeit, die es braucht, um 300 Meilen mit einem Rückenwind von 50 km/h zu fliegen, 200 Meilen in einen Gegenwind von 50 km/h fliegen. Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug?

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren.

Wir suchen nach der Geschwindigkeit des Flugzeugs. Sei (r) = die Geschwindigkeit des Flugzeugs.

Wenn das Flugzeug mit dem Wind fliegt, erhöht der Wind seine Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit beträgt (r + 30).

Wenn das Flugzeug gegen den Wind fliegt, verringert der Wind seine Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit beträgt (r − 30).

Schreiben Sie die Preise ein. Schreiben Sie die Entfernungen ein. Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}). Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Gegenwind(r-30)(dfrac{200}{r-30})200
Rückenwind(r+30)(dfrac{300}{r+30})300

Wir wissen, dass die Zeiten gleich sind und schreiben unsere Gleichung.

[dfrac{200}{r-30}=dfrac{300}{r+30} onumber]

Wir multiplizieren beide Seiten mit dem LCD.

[(r+30)(r-30)left(frac{200}{r-30} ight)=(r+30)(r-30)left(frac{300}{r+ 30} ight) onumber]

Vereinfachen und lösen.

[egin{ausgerichtet} (r+30)(200)&=(r-30) 300 200 r+6000&=300 r-9000 15000&=100 r end{ausgerichtet} onumber]

Prüfen.

Ist (150mathrm{mph}) eine angemessene Geschwindigkeit für ein Flugzeug? Ja. Wenn das Flugzeug (150mathrm{mph}) fliegt und der Wind (30mathrm{mph}) ist,

[ ext { Rückenwind} quad 150+30=180 mathrm{mph} quad dfrac{300}{180}=dfrac{5}{3} ext { Stunden } onumber]

[ ext { Gegenwind} 150-30=120 mathrm{mph} dfrac{200}{120}=dfrac{5}{3} ext { Stunden } onumber]

Die Zeiten sind gleich, also überprüft es. Das Flugzeug flog (150 mathrm{mph}).

Übung (PageIndex{9})

Link kann mit seinem Fahrrad 20 Meilen bei 5 km/h Gegenwind in der gleichen Zeit fahren, in der er 30 Meilen bei 5 km/h Rückenwind fahren kann. Wie hoch ist die Fahrradgeschwindigkeit von Link?

Antworten

Die Fahrradgeschwindigkeit von Link beträgt 15 Meilen pro Stunde.

Übung (PageIndex{10})

Danica kann ihr Boot 8 Meilen bei 7 Meilen pro Stunde Gegenwind segeln in der gleichen Zeit, in der sie 19 Meilen bei 7 Meilen pro Stunde Rückenwind segeln kann. Wie schnell ist Danicas Boot ohne Wind?

Antworten

Die Geschwindigkeit von Danicas Boot beträgt 17 Meilen pro Stunde.

Im nächsten Beispiel kennen wir die Gesamtzeit, die sich aus dem Zurücklegen verschiedener Entfernungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ergibt.

Beispiel (PageIndex{6})

Jazmine hat am Samstag 3 Stunden trainiert. Sie lief 8 Meilen und fuhr dann 24 Meilen mit dem Fahrrad. Ihre Fahrradgeschwindigkeit ist 4 mph schneller als ihre Laufgeschwindigkeit. Wie hoch ist ihre Laufgeschwindigkeit?

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren. Wir suchen nach Jazmines Laufgeschwindigkeit. Sei (r) = Jazmines Laufgeschwindigkeit.

Ihre Fahrradgeschwindigkeit ist 4 Meilen schneller als ihre Laufgeschwindigkeit. (r + 4) = ihre Fahrradgeschwindigkeit

Die Entfernungen sind angegeben, tragen Sie sie in die Tabelle ein. Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}).Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Lauf(r)(dfrac{8}{r})8
Fahrrad(r+4)(dfrac{24}{r+4})24
3

Schreiben Sie einen Wortsatz: Ihre Zeit plus die Zeit für das Radfahren beträgt 3 Stunden.

Übersetzen Sie den Satz, um die Gleichung zu erhalten.

[dfrac{8}{r}+dfrac{24}{r+4}=3 onumber]

Lösen.

[egin{ausgerichtet}
r(r+4)links(dfrac{8}{r}+dfrac{24}{r+4} echts) &=3 cdot r(r+4)
8(r+4)+24r &=3r(r+4)
8 r+32+24 r &=3 r^{2}+12 r
32+32 r &=3 r^{2}+12 r
0 &=3 r^{2}-20 r-32
0 &=(3r+4)(r-8)
end{ausgerichtet} onumber ]

[egin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} cancel{r=dfrac{4}{3}} quad & { r=8} end{array} onumber ]

Prüfen.

Eine negative Geschwindigkeit macht in diesem Problem keinen Sinn, daher ist (r=8) die Lösung.

Ist 8 km/h eine angemessene Laufgeschwindigkeit? Ja.

Wenn Jazmines Laufrate 4 beträgt, dann ist ihre Fahrradrate (r+4), die (8+4=12) beträgt.

[ ext { Lauf} 8 mathrm{mph} quad dfrac{8 mathrm{Meilen}}{8 mathrm{mph}}=1 ext { Stunde} onumber]

[ ext { Fahrrad} 12 ext { mph } quad dfrac{24 ext { Meilen }}{12 mathrm{mph}}=2 ext { Stunden } onumber ]

Jazmines Laufgeschwindigkeit beträgt 8 mph.

Übung (PageIndex{11})

Dennis war am Samstag 6 Stunden lang Langlaufen. Er fuhr 20 Meilen bergauf und dann 20 Meilen bergab und kehrte zu seinem Ausgangspunkt zurück. Seine Geschwindigkeit bergauf war 5 mph langsamer als seine Geschwindigkeit bergab. Wie hoch war Dennis Geschwindigkeit bergauf und seine Geschwindigkeit bergab?

Antworten

Dennis' Bergauf-Geschwindigkeit betrug 10 mph und seine Bergab-Geschwindigkeit betrug 8 mph.

Übung (PageIndex{12})

Joon fuhr 4 Stunden zu seinem Haus, fuhr 208 Meilen auf der Interstate und 64 Meilen auf Landstraßen. Wenn er auf der Interstate 24 km/h schneller fuhr als auf den Landstraßen, wie hoch war dann sein Tempo auf den Landstraßen?

Antworten

Joons Geschwindigkeit auf den Landstraßen beträgt 50 Meilen pro Stunde.

Wir verwenden wieder die nach der Variable (t) gelöste Einheitsbewegungsformel.

Beispiel (PageIndex{7})

Hamilton fuhr mit seinem Fahrrad 12 Meilen bergab auf dem Flussweg von seinem Haus zum Meer und fuhr dann bergauf, um nach Hause zurückzukehren. Seine Geschwindigkeit bergauf war 8 Meilen pro Stunde langsamer als seine Geschwindigkeit bergab. Er brauchte 2 Stunden länger, um nach Hause zu kommen, als er zum Meer brauchte. Finden Sie Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit.

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren.

Wir suchen nach Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit. Sei (h)= Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit.

Seine Bergauf-Geschwindigkeit ist 8 Meilen pro Stunde langsamer. (h-8)= Hamiltons Steiggeschwindigkeit.

Tragen Sie die Kurse in das Diagramm ein.

Die Entfernung ist in beide Richtungen gleich: 12 Meilen.

Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}). Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Bergab(h)(dfrac{12}{h})12
Bergauf(h-8)(dfrac{12}{h-8})12

Schreibe einen Wortsatz über die Strecke: Er brauchte 2 Stunden länger bergauf als bergab. Die Bergauf-Zeit beträgt 2 mehr als die Bergab-Zeit.

Übersetzen Sie den Satz, um die Gleichung zu erhalten.

[dfrac{12}{h-8}=dfrac{12}{h}+2 onumber]

Lösen.

[egin{ausgerichtet}
h(h-8)left(dfrac{12}{h-8} ight) &=h(h-8)left(dfrac{12}{h}+2 ight)
12 h &=12(h-8)+2 h(h-8)
12 h &=12 h-96+2 h^{2}-16 h
0 &=2 h^{2}-16 h-96
0 &=2links(h^{2}-8 h-48 echts)
0 &=2(h-12)(h+4)
end{ausgerichtet} onumber ]

[egin{array}{lc} h-12=0 & h+4=0 h=12 & cancel {h=4} end{array} onumber]

Prüfen. Ist (12mathrm{mph}) eine vernünftige Geschwindigkeit, um bergab zu fahren? Ja.

[ ext { Downhill} 12 mathrm{mph} quad dfrac{12 ext { miles }}{12 mathrm{mph}}=1 ext { hour } onumber]

[ ext { Bergauf} 12-8=4 mathrm{mph} quad dfrac{12 ext { Meilen}}{4 mathrm{mph}}=3 ext { Stunden} onumber]

Die Aufstiegszeit beträgt 2 Stunden mehr als die Abfahrtszeit.

Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit ist (12mathrm{mph}).

Übung (PageIndex{13})

Kayla fuhr an einem Wochenende mit dem Fahrrad 75 Meilen vom College nach Hause und fuhr dann mit dem Bus zurück zum College. Sie brauchte 2 Stunden weniger, um mit dem Bus zurück zum College zu fahren, als sie mit dem Fahrrad nach Hause zu fahren, und die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses war 16 km/h schneller als Kaylas Fahrradgeschwindigkeit. Finden Sie Kaylas Fahrradgeschwindigkeit.

Antworten

Kaylas Radgeschwindigkeit betrug 24 km/h.

Übung (PageIndex{14})

Victoria joggt 12 Meilen auf einem flachen Weg zum Park und kehrt dann auf einem 20 Meilen langen hügeligen Weg zurück. Auf dem hügeligen Trail joggt sie 1 Meile pro Stunde langsamer als auf dem flachen Trail, und ihr Rückweg dauert zwei Stunden länger. Finden Sie ihre Joggingrate auf dem flachen Weg.

Antworten

Victoria joggte 10 km/h auf dem flachen Weg.

Arbeitsanwendungen lösen

Das wöchentliche Klatschmagazin hat eine große Geschichte über das Baby der Prinzessin und der Herausgeber möchte, dass das Magazin so schnell wie möglich gedruckt wird. Sie hat die Druckerei gebeten, eine zusätzliche Druckmaschine zu betreiben, um den Druck schneller zu erledigen. Drücken Sie Nr. 1 benötigt 6 Stunden, um die Arbeit zu erledigen, und Drücken Sie Nr. 2 dauert 12 Stunden, um die Arbeit zu erledigen. Wie lange dauert es, bis die Druckerei das Magazin gedruckt hat, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen?

Dies ist eine typische „Arbeits“-Anwendung. Hier sind drei Mengen involviert – die Zeit, die jede der beiden Druckmaschinen für die alleinige Arbeit benötigen würde, und die Zeit, die sie für die gemeinsame Arbeit benötigen würden.

Wenn die Druckmaschine Nr. 1 den Job in 6 Stunden abschließen kann, würde sie in einer Stunde (dfrac{1}{6}) des Jobs abschließen.

Wenn Press #2 den Job in 12 Stunden abschließen kann, würde es in einer Stunde (dfrac{1}{12}) des Jobs abschließen.

Wir lassen (t) die Anzahl der Stunden sein, die die Druckmaschinen benötigen würden, um die Zeitschriften zu drucken, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen. In 1 Stunde Zusammenarbeit haben sie also (dfrac{1}{t}) der Aufgabe erledigt.

Wir können dies mit dem Wort Gleichung modellieren und dann in eine rationale Gleichung übersetzen. Um die Zeit zu ermitteln, die die Druckmaschinen benötigen würden, um den Job abzuschließen, wenn sie zusammenarbeiten, lösen wir nach (t) auf.

Befolgen Sie die Schritte, um die Informationen zu organisieren. Wir suchen, wie viele Stunden es dauern würde, um den Job abzuschließen, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen.

Schritt 1: Sei (t) = die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um den Job gemeinsam abzuschließen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Auftrag für Drücken Sie 1, Drücken Sie #2 ein und wann sie zusammenarbeiten.

Wenn ein Auftrag auf Druckmaschine Nr. 1 6 Stunden dauert, ist der Auftrag in 1 Stunde (dfrac{1}{6}) abgeschlossen.

Suchen Sie in ähnlicher Weise den Teil des Jobs, der abgeschlossen ist / Stunden für Press #2 und wann beides zusammen ist.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Drücken Sie #16(dfrac{1}{6})
Drücken Sie #212(dfrac{1}{12})
Zusammen(t)(dfrac{1}{t})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Der durch Drücken von Nr. 1 abgeschlossene Teil plus der durch Drücken von Nr. 2 abgeschlossene Teil ergeben zusammen den Gesamtbetrag.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Drücken } #1 + ext {Drücken } #2 = ext {Gemeinsam}} dfrac{1}{6} qquad+ qquaddfrac{1}{12}qquad =qquad dfrac{1}{t} onumber]

Schritt 4: Lösen. Vereinfachen.

[dfrac{1}{6}+dfrac{1}{12}=dfrac{1}{t} onumber]

Mit dem LCD multiplizieren, (12t) und vereinfachen.

[egin{ausgerichtet}
12 tleft(dfrac{1}{6}+dfrac{1}{12} ight) &=12 tleft(dfrac{1}{t} ight)
2 t+t &=12
3 t &=12
t &=4
end{ausgerichtet} onumber ]

Wenn beide Druckmaschinen laufen, dauert es 4 Stunden, um die Arbeit zu erledigen.

Denken Sie daran, dass zwei Druckmaschinen weniger Zeit in Anspruch nehmen sollten, um einen Auftrag zusammen zu erledigen, als wenn eine Druckmaschine dies alleine erledigt.

Beispiel (PageIndex{8})

Angenommen, Pete kann in 10 Stunden einen Raum streichen. Wenn er in einem konstanten Tempo arbeitet, würde er in 1 Stunde (dfrac{1}{10}) des Raumes malen. Wenn Alicia 8 Stunden brauchen würde, um denselben Raum zu streichen, dann würde sie in 1 Stunde (dfrac{1}{8}) des Raums streichen. Wie lange würden Pete und Alicia brauchen, um den Raum zu streichen, wenn sie zusammenarbeiten würden (und sich nicht gegenseitig in ihrer Entwicklung stören würden)?

Lösung

Dies ist eine "Arbeitsanwendung". Die folgenden Schritte helfen uns, die Informationen zu organisieren. Wir suchen die Stunden, die sie brauchen, um den Raum gemeinsam zu streichen.

In einer Stunde erledigte Pete (dfrac{1}{10}) der Arbeit. Alicia hat (dfrac{1}{8}) der Aufgabe erledigt. Und gemeinsam erledigten sie (dfrac{1}{t}) der Arbeit.

Schritt 1: Sei (t) die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um den Raum gemeinsam zu streichen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Job für Pete, Alicia ein und wann sie zusammenarbeiten. In 1 Stunde gemeinsamer Arbeit haben sie (dfrac{1}{t}) des Jobs abgeschlossen. Suchen Sie auf ähnliche Weise den Teil der Arbeit, der von Pete und dann von Alicia abgeschlossen wurde.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Pete10(dfrac{1}{10})
Alicia8(dfrac{1}{8})
Zusammen(t)(dfrac{1}{t})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Die von Pete abgeschlossene Arbeit plus die von Alicia abgeschlossene Arbeit entspricht der Gesamtarbeit.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Pete} + ext {Alicia} = ext {Zusammen}} dfrac{1}{10} qquad+qquaddfrac{1 }{8}qquad =qquad dfrac{1}{t} onumber]

Schritt 4: Vereinfachen. Lösen.

Mit dem LCD multiplizieren, (40t).

[40 tleft(dfrac{1}{10}+dfrac{1}{8} ight)=40 tleft(dfrac{1}{t} ight) onumber]

Verteilen.

[40 t cdot dfrac{1}{10}+40 t cdot dfrac{1}{8}=40 tleft(dfrac{1}{t} ight) onumber]

Vereinfachen und lösen.

[egin{array}{r}
{4 t+5 t=40}
{9 t=40}
{t=dfrac{40}{9}}
end{array} onumber ]

Wir schreiben als gemischte Zahl, damit wir sie in Stunden und Minuten umwandeln können.

[t=4 dfrac{4}{9} ext { Stunden } onumber ]

Denken Sie daran, 1 Stunde = 60 Minuten.

[t=4 ext { Stunden }+dfrac{4}{9}(60 ext { Minuten}) onumber]

Multiplizieren und dann auf die nächste Minute runden.

[t=4 ext { Stunden }+27 ext { Minuten } onumber ]

Pete und Alica würden ungefähr 4 Stunden und 27 Minuten brauchen, um den Raum zu streichen.

Übung (PageIndex{15})

Ein Gärtner kann einen Golfplatz in 4 Stunden mähen, während ein anderer Gärtner denselben Golfplatz in 6 Stunden mähen kann. Wie lange würde es dauern, wenn die beiden Gärtner gemeinsam den Golfplatz mähen würden?

Antworten

Wenn die beiden Gärtner zusammen arbeiten, dauert es 2 Stunden und 24 Minuten.

Übung (PageIndex{16})

Daria kann den Garten in 7 Stunden jäten, während ihre Mutter das in 3 Stunden schafft. Wie lange werden die beiden brauchen, um zusammen zu arbeiten?

Antworten

Wenn Daria und ihre Mutter zusammenarbeiten, dauert es 2 Stunden und 6 Minuten.

Beispiel (PageIndex{9})

Ra’shon kann das Haus in 7 Stunden reinigen. Als seine Schwester ihm hilft, dauert es 3 Stunden. Wie lange braucht seine Schwester, wenn sie alleine das Haus putzt?

Lösung

Dies ist ein Arbeitsproblem. Wir suchen, wie viele Stunden Ra’shons Schwester brauchen würde, um den Job alleine zu erledigen.

Schritt 1: Sei (s) die Anzahl der Stunden, die Ra’shons Schwester braucht, um das Haus allein zu putzen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Job für Ra’shon, seine Schwester, ein und wann sie zusammenarbeiten. Wenn Ra’shon 7 Stunden dauert, ist der Job in 1 Stunde (dfrac{1}{s}) abgeschlossen. Wenn Ra’shons Schwester (s) Stunden braucht, dann ist der Job in 1 Stunde (dfrac{1}{s}) abgeschlossen.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Ra’shon7(dfrac{1}{7})
Seine Schwester(s)(dfrac{1}{s})
Zusammen3(dfrac{1}{3})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Der von Ra’shon abgeschlossene Teil plus der von seiner Schwester abgeschlossene Teil entspricht der zusammen abgeschlossenen Summe.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Ra'shon} + ext {Seine Schwester} = ext {Zusammen}} dfrac{1}{7} qquad+qquad dfrac{1}{s}qquad =qquad dfrac{1}{3} onumber]

Schritt 4: Vereinfachen. Lösen.

[dfrac{1}{7}+dfrac{1}{5}=dfrac{1}{3} onumber]

Multiplizieren mit dem LCD, 21s.

[egin{ausgerichtet}
21 sleft(dfrac{1}{7}+dfrac{1}{s} ight) &=left(dfrac{1}{3} ight) 21 s
3 s+21 &=7 s
end{ausgerichtet} onumber ]

Vereinfachen.

[egin{ausgerichtet}
-4 s &=-21
s &=frac{-21}{-4}=frac{21}{4}
end{ausgerichtet} onumber ]

Schreiben Sie als gemischte Zahl, um sie in Stunden und Minuten umzuwandeln.

[s=5 dfrac{1}{4} ext { Stunden } onumber ]

1 Stunde hat 60 Minuten.

[s=5 ext { Stunden }+dfrac{1}{4}(60 ext { Minuten}) s=5 ext { Stunden }+15 ext { Minuten } onumber]

Es würde Ra’shons Schwester 5 Stunden und 15 Minuten dauern, das Haus alleine zu putzen.

Übung (PageIndex{17})

Alice kann in 6 Stunden einen Raum streichen. Wenn Kristina ihr hilft, brauchen sie 4 Stunden, um den Raum zu streichen. Wie lange würde Kristina brauchen, um das Zimmer alleine zu streichen?

Antworten

Kristina kann den Raum in 12 Stunden streichen.

Übung (PageIndex{18})

Tracy kann eine Betonplatte in 3 Stunden verlegen, mit Jordans Hilfe schaffen sie es in 2 Stunden. Wenn Jordan alleine arbeitet, wie lange wird es dauern?

Antworten

Jordan braucht dafür 6 Stunden.

Direkte Variationsprobleme lösen

Wenn zwei Größen proportional zueinander stehen, sagen wir, dass sie zueinander proportional sind. Eine andere Möglichkeit, diese Beziehung auszudrücken, besteht darin, über die Variation der beiden Größen zu sprechen. In diesem Abschnitt werden wir die direkte Variation und die inverse Variation diskutieren.

Lindsay bekommt bei ihrem Job 15 Dollar pro Stunde bezahlt. Wenn wir (s) ihr Gehalt und h die Anzahl der Stunden, die sie gearbeitet hat, lassen, könnten wir diese Situation mit der Gleichung modellieren

[s=15 h onumber]

Lindsays Gehalt ist das Produkt einer Konstanten von 15 und der Anzahl der Stunden, die sie arbeitet. Wir sagen, dass Lindsays Gehalt direkt mit der Anzahl der Stunden variiert, die sie arbeitet. Zwei Variablen variieren direkt, wenn eine das Produkt einer Konstanten und der anderen ist.

Direkte Variation

Für zwei beliebige Variablen (x) und (y) variiert (y) direkt mit (x), falls

(y=kx), wobei (k eq 0)

Die Konstante (k) heißt Variationskonstante.

Bei Anwendungen mit direkter Variation kennen wir im Allgemeinen die Werte eines Variablenpaars und werden gebeten, die Gleichung zu finden, die (x) und (y) zusammenhängt. Dann können wir diese Gleichung verwenden, um Werte von (y) für andere Werte von (x) zu finden.

Wir listen die Schritte hier auf.

So lösen Sie Probleme mit direkten Variationen

Schritt 1. Schreiben Sie die Formel für die direkte Variation.

Schritt 2. Ersetzen Sie die angegebenen Werte für die Variablen.

Schritt 3. Nach der Variationskonstante auflösen.

Schritt 4. Schreiben Sie die Gleichung, die (x) und (y) in Beziehung setzt, indem Sie die Variationskonstante verwenden.

Jetzt lösen wir eine Anwendung der direkten Variation.

Beispiel (PageIndex{10})

Wenn Raoul auf dem Laufband im Fitnessstudio läuft, variiert die Anzahl der Kalorien, (c), die er verbrennt, direkt mit der Anzahl der Minuten (m), er benutzt das Laufband. Er verbrannte 315 Kalorien, als er das Laufband 18 Minuten lang benutzte.

  1. Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.
  2. Wie viele Kalorien würde er verbrennen, wenn er 25 Minuten auf dem Laufband laufen würde?

Lösung

    Die Kalorienzahl (c) variiert direkt mit der Anzahl der Minuten (m) auf dem Laufband und (c=315) bei (m=18).

    Schreiben Sie die Formel für die direkte Variation.

    [y=kx onumber]

    Wir verwenden (c) anstelle von (y) und (m) anstelle von (x).

    [c=k m onumber]

    Ersetzen Sie die angegebenen Werte für die Variablen.

    [315=k cdot 18 onumber]

    Nach der Variationskonstante auflösen.

    [egin{ausgerichtet}
    &dfrac{315}{18}=dfrac{k cdot 18}{18}
    &17,5=k
    end{ausgerichtet} onumber ]

    Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.

    [c=k m onumber]

    Ersetzen Sie die Variationskonstante.

    [c=17,5 m onumber]

      Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.

      [c=17,5 m onumber]

      Ersetzen Sie (m) durch den angegebenen Wert.

      [c=17.5(25) onumber]

      Vereinfachen.

      [c=437,5 onumber]

      Raoul würde 437,5 Kalorien verbrennen, wenn er das Laufband 25 Minuten lang benutzen würde.

      Übung (PageIndex{19})

      Die Anzahl der verbrannten Kalorien (c) hängt direkt von der Zeit (t) ab, die mit Sport verbracht wird. Arnold verbrannte 312 Kalorien in 65 Minuten Training.

      1. Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (t) zusammenhängt.
      2. Wie viele Kalorien würde er verbrennen, wenn er 90 Minuten lang trainiert?
      Antworten
      1. (c=4,8 t)
      2. Er würde 432 Kalorien verbrennen.

      Übung (PageIndex{20})

      Die Strecke, die ein bewegter Körper zurücklegt, (d), ändert sich direkt mit der Zeit, (t), er bewegt sich. Ein Zug fährt in 2 Stunden 100 Meilen.

      1. Schreiben Sie die Gleichung, die (d) und (t) zusammenhängt.
      2. Wie viele Kilometer würde es in 5 Stunden zurücklegen?
      Antworten
      1. (d=50t)
      2. Es würde 250 Meilen fahren.

      Inverse Variationsprobleme lösen

      Viele Anwendungen beinhalten zwei Variablen, die umgekehrt variieren. Wenn eine Variable zunimmt, nimmt die andere ab. Die Gleichung, die sie verbindet, ist (y=dfrac{k}{x})

      Inverse Variation

      Für zwei beliebige Variablen (x) und (y) variiert (y) umgekehrt zu (x), falls

      (y=dfrac{k}{x}), wobei (k eq 0)

      Die Konstante (k) heißt Variationskonstante.

      Das Wort "invers" in inverser Variation bezieht sich auf das multiplikative Inverse. Die multiplikative Inverse von (x) ist (dfrac{1}{x}).

      Wir lösen inverse Variationsprobleme auf die gleiche Weise wie direkte Variationsprobleme. Nur die allgemeine Form der Gleichung hat sich geändert. Wir kopieren die Prozedurbox hier und ändern einfach „direct“ in „inverse“.

      wie man inverse Variationsprobleme löst

      Schritt 1. Schreiben Sie die Formel für die inverse Variation.

      Schritt 2. Schreiben Sie die Gleichung, die (x) und (y) in Beziehung setzt, indem Sie die Variationskonstante verwenden.

      Beispiel (PageIndex{11})

      Die Frequenz einer Gitarrensaite ändert sich umgekehrt mit ihrer Länge. Eine 26 Zoll lange Saite hat eine Frequenz von 440 Schwingungen pro Sekunde.

      1. Schreiben Sie die Variationsgleichung.
      2. Wie viele Schwingungen pro Sekunde gibt es, wenn die Länge der Saite auf 20 Zoll reduziert wird, indem man einen Finger auf einen Bund legt?

      Lösung

        Die Frequenz variiert umgekehrt mit der Länge.

        Benennen Sie die Variablen. Sei (f) = Frequenz. (L) = Länge

        Schreiben Sie die Formel für die inverse Variation.

        [y=dfrac{k}{x} onumber]

        Wir verwenden (f) anstelle von (y) und (L) anstelle von (x).

        [f=dfrac{k}{L} onumber]

        [f=440 ext { when } L=26 onumber]

        Ersetzen Sie die angegebenen Werte für die Variablen.

        [440=dfrac{k}{26} onumber]

        Nach der Variationskonstante auflösen.

        [egin{ausgerichtet}
        &26(440)=26links(dfrac{k}{26} echts)
        &11.440=k
        end{ausgerichtet} onumber ]

        Schreiben Sie die Gleichung, die (f) und (L) zusammenhängt.

        [f=dfrac{k}{L} onumber]

        Ersetzen Sie die Variationskonstante.

        [f=dfrac{11,440}{L} onumber]

          Finden Sie (f), wenn (L=20).

          Schreiben Sie die Gleichung, die (f) und (L) zusammenhängt.

          [f=dfrac{11,440}{L} onumber]

          Ersetzen Sie den angegebenen Wert für L.

          [f=dfrac{11,440}{20} onumber]

          Vereinfachen.

          [f=572 onumber]

          Eine 20''-Gitarrensaite hat eine Frequenz von 572 Schwingungen pro Sekunde.

          Übung (PageIndex{21})

          Die Anzahl der Stunden, die das Eis braucht, um zu schmelzen, variiert umgekehrt mit der Lufttemperatur. Angenommen, ein Eisblock schmilzt in 2 Stunden, wenn die Temperatur 65 Grad Celsius beträgt.

          1. Write the equation of variation.
          2. How many hours would it take for the same block of ice to melt if the temperature was 78 degrees?
          Antworten
          1. (h=dfrac{130}{t})
          2. (1 dfrac{2}{3}) hours

          Übung (PageIndex{22})

          Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.

          1. Write the equation of variation.
          2. What is the demand if the price is raised to $7?
          Antworten
          1. (x=dfrac{3500}{p})
          2. 500 units

          Access this online resource for additional instruction and practice with applications of rational expressions

          • Applications of Rational Expressions

          New numerical solutions for solving Kidder equation by using the rational Jacobi functions

          In this paper, a new method based on rational Jacobi functions (RJ) is proposed that utilizes quasilinearization method to solve non-linear singular Kidder equation on unbounded interval. The Kidder equation is a second order non-linear two-point boundary value ordinary differential equation on unbounded interval ([0,infty )) . The equation is solved without domain truncation and variable changing. First, the quasilinearization method is used to convert the equation to sequence of linear ordinary differential equations. Then, by using RJ collocation method equations are solved. For the evaluation, comparison with some numerical solutions shows that the proposed solution is highly accurate. Using 200 collocation points, the value of initial slope that is important is calculated as (-1.1917906497194217341228284 ) for (kappa =0.5) .

          Dies ist eine Vorschau von Abonnementinhalten, auf die Sie über Ihre Institution zugreifen können.


          Solving linear equation online

          EIN first-degree equation is an equation of the form `ax=b`. This type of equation is also called a linear equation. To solve these equations we use the following formula `x=b/a`.

          linear equation solving of the form ax=b s is done very quickly, when the variable is not ambiguous, just enter Gleichung zu lösen and then click solve, then the result is returned by solver. Details of calculations that led to the resolution of the linear equation are also displayed. To solve the linear equation following 3x+5=0, just type the expression 3x+5=0 in the calculation area, then click on "solve" button, result is returned `[x=-5/3]`. it is also possible to solve equations the form of `(ax+c)/g(x)=0` or equations that may be in this form , g(x) represents a function. When you enter an expression without '=' sign the function returns when possible values ​​for which expression is zero. For example, enter x+5 and resolve back to x+5=0 and solve.

          Equations with variables on both sides

          The calculator can solve equations with variables on both sides like this: `3x+5=2x`, just enter 3x+5=2x to get the result.

          Equations with parentheses

          The calculator can solve equations with parentheses like this: `6*(3x+5)=5*(2x+3)`, just enter 6*(3x+5)=5*(2x+3) to get the result.

          Equation with the variable in the denominator

          • `(x-1)/(x^2-1)=0` returns the message no solution, domain definition is taken into account for the calculation, the numerator admits x = 1 as the root but the denominator is zero for x = 1 , 1 can't be a equation solution. The equation does not admit a solution.
          • equation_solver`(1/(x+1)=3)` returns `[-2/3]`

          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          I want to thank you for all you help. Your spport in resolving how do a problem has helped me understand how to do the problems, and actually get the right result. Thanks So Much.
          Brian Phillips, WI

          The Algebrator Software is marvelous. Complex numbers always scared me and I wanted a way out. The step-by-step way of your software really cleared my concepts and now I look forward to solve other types of algebra problems.
          Laura Keller, MD

          I just wanted to tell you that I just purchased your program and it is unbelievable! Thank you so much for developing such a program. By the way, I recently sent you an email telling you that I had purchased PAT (personal algebra tutor) and am very unhappy with it.
          Tina Washington, TX

          We bought it for our daughter and it seems to be helping her a whole bunch. It was a life saver.
          Jeff Galligan, AR

          My daughter is dyslexic and has always struggled with math. Your program gave her the necessary explanations and step-by-step instructions to not only survive grade 11 math but to thrive in it. Vielen Dank.
          George Miller, LA


          MA001: College Algebra

          First, read the course syllabus. Then, enroll in the course by clicking "Enroll me in this course". Click Unit 1 to read its introduction and learning outcomes. You will then see the learning materials and instructions on how to use them.

          Unit 1: Basic Algebra Concepts

          We begin by quickly reviewing the basic concepts you will need to understand as you begin your study of algebra. If you have taken a pre-algebra course, you may be familiar with some of these concepts. With practice, every student, regardless of background, can grasp these concepts.

          Completing this unit should take you approximately 26 hours.

          Unit 2: Solving Linear Inequalities and Graphing

          In this unit, you will learn to apply the concept of solving equations to solve problems involving linear inequalities. You will also learn how to graph a straight line, use different methods to find the slope and intercept of a line, and interpret slope and intercept. You will learn more about types of straight lines.

          Completing this unit should take you approximately 20 hours.

          Unit 3: Exponents and Polynomials

          This section introduces you to the concept of evaluating exponents, converting scientific notations to decimal notations, and vice versa. You will apply these concepts to evaluating polynomial expressions.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 4: Factoring Polynomials

          This unit expands on what you learned in Unit 3. In Unit 4, you will learn to factor the greatest common factor by grouping and other factoring methods. Because factoring and distribution are opposite actions, you will be able to determine whether you have factored correctly by going in the opposite direction, which is distributing through multiplication.

          Completing this unit should take you approximately 19 hours.

          Unit 5: Rational Expressions

          In this unit, you will learn how to evaluate rational expressions and perform operations such as addition, multiplication, and division involving rational expressions. You will apply the concept of multiplying rational expressions to dimensional analysis, where you will convert units from single/dual unit of measurement to another.

          Completing this unit should take you approximately 17 hours.

          Course Feedback Survey

          Please take a few minutes to give us feedback about this course. We appreciate your feedback, whether you completed the whole course or even just a few resources. Your feedback will help us make our courses better, and we use your feedback each time we make updates to our courses.

          If you come across any urgent problems, email [email protected] or post in our discussion forum.

          Certificate Final Exam

          Take this exam if you want to earn a free Course Completion Certificate.

          To receive a free Course Completion Certificate, you will need to earn a grade of 70% or higher on this final exam. Your grade for the exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again as many times as you want, with a 7-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a free Course Completion Certificate.

          Saylor Direct Credit

          Take this exam if you want to earn college credit for this course. This course is eligible for college credit through Saylor Academy's Saylor Direct Credit Program.

          The Saylor Direct Credit Final Exam requires a proctor and a proctoring fee of $25. To pass this course and earn a Proctor-Verified Course Certificate and official transcript, you will need to earn a grade of 70% or higher on the Saylor Direct Credit Final Exam. Your grade for this exam will be calculated as soon as you complete it. If you do not pass the exam on your first try, you can take it again a maximum of 3 times, with a 14-day waiting period between each attempt.

          Once you pass this final exam, you will be awarded a Credit-Recommended Course Completion Certificate and an official transcript.


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          Rational Equation Calculator

          Compute peak discharge from a drainage basin using the Rational Equation Method

          Units in Rational Equation calculation: ft 3 =cubic foot, m 3 =cubic meter, mm=millimeter, s=second

          Rational Method Equation
          The Rational equation is the simplest method to determine peak discharge from drainage basin runoff. It is not as sophisticated as the SCS TR-55 method, but is the most common method used for sizing sewer systems.

          Rational Equation: Q=ciA
          The Rational equation requires the following units:
          Q = Peak discharge, cfs
          c = Rational method runoff coefficient
          i = Rainfall intensity, inch/hour
          A = Drainage area, acre

          Note that our calculation allows you to use a variety of units.

          The Rational method runoff coefficient (c) is a function of the soil type and drainage basin slope. A simplified table is shown below. See the references at the bottom of the page for more complete tables including impact of slope.

          The Rainfall intensity (i) is typically found from Intensity/Duration/Frequency curves for rainfall events in the geographical region of interest. The duration is usually equivalent to the time of concentration of the drainage area. The storm frequency is typically stated by local authorities depending on the impact of the development. A 10-yr, 25-yr, 50-yr, or even 100-yr storm frequency may be specified.


          Simplified Table of Rational Method Runoff Coefficients (see references below)

          Ground Cover Runoff Coefficient, c
          Lawns 0.05 - 0.35
          Forest 0.05 - 0.25
          Cultivated land 0.08-0.41
          Meadow 0.1 - 0.5
          Parks, cemeteries 0.1 - 0.25
          Unimproved areas 0.1 - 0.3
          Pasture 0.12 - 0.62
          Residential areas 0.3 - 0.75
          Business areas 0.5 - 0.95
          Industrial areas 0.5 - 0.9
          Asphalt streets 0.7 - 0.95
          Brick streets 0.7 - 0.85
          Roofs 0.75 - 0.95
          Concrete streets 0.7 - 0.95

          Error Messages given by calculation
          "Need 0<c<1", "Need i>0" "Need A>0". Input values must be in these ranges.


          References and Bibliography
          Chin, David A. 2000. Water-Resources Engineering. Prentice-Hall.

          Chow, Ven Te, David R. Maidment, and Larry W. Mays. 1988. Applied Hydrology. McGraw-Hill.

          Corbitt, Robert A. 1999. Standard Handbook of Environmental Engineering. McGraw-Hill. 2ed.

          Lindsley, Ray K., Joseph B. Franzini, David L. Freyberg, and George Tchobanoglous. 1992. Water-Resources Engineering. McGraw-Hill. 4ed.

          McCuen, Richard H. 1998. Hydrology Analysis and Design. Prentice-Hall. 2ed.

          Singh, Vijay P. 1992. Elementary Hydrology. Prentice-Hall.

          © 2003-2015 LMNO Engineering, Research, and Software, Ltd. (All Rights Reserved)

          Please contact us for consulting or questions about the rational equation for peak discharge.


          MDTP Learning Modules

          MDTP Learning Modules are designed to support students’ independent practice in the identified MDTP topics.

          The Learning Modules were written by MDTP workgroup members using diagnostic data from MDTP assessments. Students can use these modules to review content before or after an assessment, prior to entering a new course, and at the direction of a math instructor.

          To access the Learning Modules, select a topic listed in the menu above, and work through appropriate Modules at the level(s) identified by the student’s MDTP results.

          Each Module is divided into lessons, and each lesson consists of Learning Experiences, which include exploration (Erkunden), guided examples (Try This!), instructional videos (Watch), making connections (Making Connections) and practice (Trainieren). The conclusion of each lesson contains an interactive assessment to inform your level of understanding of the content.

          The different components of each lesson are identified by the following icons:

          Erkunden

          Try This!

          Watch

          Making Connections

          Making Connections

          Trainieren


          9.6: Solve Applications with Rational Equations

          If you are not pleased with this calculator, you can choose out of huge collections of elementary and powerful complex variants.


          A handy calculator appearing in a small window. It containts only a single input line, but it understands (almost) as many statements as the JavaCalc calculator refered to above.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly and numerically. (The equation may contain symbolic constants. Although the page offers only the solution of polynomial equations, some more general equations are admissible too). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations exactly. (The equations may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          The computer algebra system Mathematica carries out the necessary computations. (The matrix may contain symbolic constants). The symbol * for multiplication may be omitted. The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          After entering one or more functional expressions, the graphs are drawn. Using the zoom option, you may study the graphs from a very "close" viewpoint and read off coordinates of interesting points with an accuracy of about 10 -14 . (Java applet part of the program is the parser by Darius Bacon).


          After typing in one or more functional expressions, the respective graphs are plotted. The necessary calculations are taken over by the computer algebra system Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sqrt[x] + x^2 Exp[-x] or sqrt(x) + x^2 exp(-x).

          By the way: the plot is a gif-file and can be saved on your PC by a right mouse click. It may be printed or included in other documents. For a new plot, click the "Back"-button of your browser.

          After typing in an expression for a n , an initial value, an upper bound and a step-width, the items of the sequence are represented numerically.

          After typing in an expression for a k , the items of the sequence of partial sums are represented numerically.


          Type in an expression defining a function and get its derivarive (or derivatives up to the order required) in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Sin[x] + x^2 Exp[-x] or sin(x) + x^2 exp(-x).

          This page is a bit difficult to survey: The result is a web document looking exactly like the input page. On its bottom side, below the heading "The derivatives are:", you find the required list of derivatives. In case of long expressions, the symbol > means "to be continued next line".


          A very useful tool: Type in an expression defining a function and get its (indefinite) integral in closed form. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . Here, the action of functions must - according to the Mathematica syntax, be denoted by square brackets ! Inputs are case-insensitive (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Tan[x] + x^2 Exp[-x], not tan(x) + x^2 exp(-x).


          Type in an expression defining a function and get its (exact) definite integral over the required interval. The expression may contain symbolic constants. The computation is taken over by the computer algebra systen Mathematica . The action of functions may be denoted by square brackets ( Mathematica sytnax) or round brackets. Funktion names must be denoted as Sin or sin. The symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x] or cos(x) + x^2 exp(-x).
          The program recognizes divergent integrals quite well (e.g. over 1/x if 0 is in the integration domain), but a little bit of caution is in place! The result appears at the bottom of a web document which otherwise looks like the input page.


          Computations with Mathematica
          in the framework of the Maths & Fun project at the BHAK und BHAS Grazbachgasse in Graz (Austria): This is the first Austrian server taking over your Mathematica job. You can choose between The action of functions must be denoted by square brackets ! Funktions must be denoted as Sin or sin (in Mathematica standard functions are written with capital first letter), the symbol * for multiplication may be omitted.
          Example: Cos[x] + x^2 Exp[-x], not Cos(x) + x^2 Exp(-x). --> This tool may help you to get mathematical symbols on a web page, provided you know a little bit about HTML. It comes with a detailled description. You may download it and use it on a local computer (without web connection).
          Further information on this topic may be found on the page Formulae and the web.


          How To Solve Similar Right Triangles

          In the figure below, we are being asked to find the altitude, using the geometric mean and the given lengths of two segments:

          Using Similar Right Triangles

          In the video below, you’ll learn how to deal with harder problems, including how to solve for the three different types of problems:


          How to Get Rid of Exponents in an Algebraic Equation

          Few things strike fear into the beginning algebra student like seeing exponents – expressions such as ​ja​ 2 , ​x​ 3 or even the horrifying ​y x ​ – pop up in equations. In order to solve the equation, you need to somehow make those exponents go away. But in truth, that process isn't so difficult once you learn a series of simple strategies, most of which are rooted in the basic arithmetic operations you've been using for years.

          Simplify and Combine Like Terms

          Sometimes, if you're lucky, you might have exponent terms in an equation that cancel each other out. For example, consider the following equation:

          With a keen eye and a little practice, you might spot that the exponent terms actually cancel each other out, thusly:

          Once you simplify the right side of the sample equation, you'll see that you have identical exponent terms on both sides of the equals sign:

          Subtract 2​x​ 2 from both sides of the equation. Because you performed the same operation on both sides of the equation, you haven't altered its value. But you have effectively removed the exponent, leaving you with:

          If desired, you can finish solving the equation for ​ja​ by adding 5 to both sides of the equation, giving you:

          Often problems won't be this simple, but it's still an opportunity worth looking out for.

          Look for Opportunities to Factor

          With time, practice and lots of math classes, you'll collect formulas for factoring certain types of polynomials. It's a lot like collecting tools that you keep in a toolbox until you need them. The trick is learning to identify which polynomials can be easily factored. Here are some of the most common formulas you might use, with examples of how to apply them:

          If your equation contains two squared numbers with a minus sign between them – for example, ​x​ 2 − 4 2 – you can factor them using the formula ​ein​ 2 − ​b​ 2 ​= (a + b)(a − b)​. If you apply the formula to the example, the polynomial ​x​ 2 − 4 2 factors to (​x​ + 4)(​x​ − 4).

          The trick here is learning to recognize squared numbers even if they aren't written as exponents. For example, the example of ​x​ 2 − 4 2 is more likely to be written as ​x​ 2 − 16.

          If your equation contains two cubed numbers that are added together, you can factor them using the formula

          Consider the example of ​ja​ 3 + 2 3 , which you're more likely to see written as ​ja​ 3 + 8. When you substitute ​ja​ and 2 into the formula for ​ein​ and ​b​ respectively, you have:

          Obviously the exponent isn't gone entirely, but sometimes this type of formula is a useful, intermediate step toward getting rid of it. For example, factoring thusly in the numerator of a fraction might create terms that you can then cancel with terms from the denominator.

          If your equation contains two cubed numbers with one ​subtracted​ from the other, you can factor them using a formula very similar to that shown in the previous example. In fact, the location of the minus sign is the only difference between them, as the formula for the difference of cubes is:

          Consider the example of ​x​ 3 − 5 3 , which would more likely be written as ​x​ 3 − 125. Substituting ​x​ for ​ein​ and 5 for ​b​, you get:

          As before, although this doesn't eliminate the exponent entirely, it can be a useful intermediate step along the way.

          Isolate and Apply a Radical

          If neither of the above tricks works and you have just one term containing an exponent, you can use the most common method for "getting rid of" the exponent: Isolate the exponent term on one side of the equation, and then apply the appropriate radical to both sides of the equation. Consider the example of

          Isolate the exponent term by adding 25 to both sides of the equation. This gives you:

          The index of the root you apply – that is, the little superscript number before the radical sign – should be the same as the exponent you're trying to remove. So because the exponent term in the example is a cube or third power, you must apply a cube root or third root to remove it. This gives you:


          Schau das Video: Unwetter NRW: Reul will Katastrophenschutz schonungslos analysieren. WDR aktuell (Dezember 2021).