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3.4: Die Kettenregel


Wir haben fast alle Ableitungsregeln behandelt, die sich mit Kombinationen von zwei (oder mehr) Funktionen befassen. eine Funktion "innerhalb" einer anderen).

Ein Beispiel für eine Zusammensetzung von Funktionen ist (f(x) = cos(x^2)). Wir wissen derzeit nicht, wie man diese Ableitung berechnet. Wenn man gezwungen wäre zu raten, würde man wahrscheinlich (f^prime(x) = -sin(2x)) erraten, wobei wir (-sin x) als Ableitung von (cos x) erkennen. und (2x) als Ableitung von (x^2). Dies ist jedoch nicht der Fall; (f^prime(x) eq -sin(2x)). In Beispiel 62 sehen wir die richtige Antwort, die die neue Regel verwendet, die in diesem Abschnitt eingeführt wird, die Kettenregel.

Bevor wir diese neue Regel definieren, erinnern Sie sich an die Notation für die Zusammensetzung von Funktionen. Wir schreiben ((fcirc g)(x)) oder (f(g(x))), lesen als "(f) von (g) von (x),' ' um die Zusammensetzung von (f) mit (g) zu bezeichnen. Kurz gesagt schreiben wir einfach (fcirc g) oder (f(g)) und lesen es als "(f) of (g).'' Bevor wir die entsprechende Differenzierungsregel angeben, bemerken wir, dass sich die Regel auf mehrere Kompositionen wie (f(g(h(x)))) oder (f(g(h(j( x))))),usw.

Um die Regel zu begründen, schauen wir uns drei Ableitungen an, die wir bereits berechnen können.

Beispiel 59: Erforschung ähnlicher Derivate

Finden Sie die Ableitungen von

  1. (F_1(x) = (1-x)^2),
  2. (F_2(x) = (1-x)^3,) und
  3. (F_3(x) = (1-x)^4.)

Wir werden später sehen, warum wir für verschiedene Funktionen tiefgestellte Indizes und ein (F) in Großbuchstaben verwenden.

Lösung

Um die bereits vorhandenen Regeln zu verwenden, müssen wir zunächst jede Funktion als erweitern

  1. (F_1(x) = 1 - 2x + x^2),
  2. (F_2(x) = 1 - 3x + 3x^2 - x^3) und
  3. (F_3(x) = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4).

Das ist nicht schwer zu erkennen:

[egin{align*} F_1^prime(x) &= -2 + 2x [4pt] F_2^prime(x) &= -3 + 6x - 3x^2 [4pt] F_3^ prime (x) &= -4 + 12x - 12x^2 + 4x^3. end{ausrichten*}]

Eine interessante Tatsache ist, dass diese umgeschrieben werden können als

[F_1^prime (x) = -2(1-x),quad F_2^prime(x) = -3(1-x)^2 ext{ und }F_3^prime (x) = -4(1-x)^3.]

Ein Muster könnte Ihnen auffallen. Erkenne, dass jede dieser Funktionen eine Komposition ist, mit (g(x) = 1-x):

[egin{eqnarray*}F_1(x) = f_1(g(x)),& ext{ wobei } f_1(x) = x^2, F_2(x) = f_2(g(x)) ,& ext{ wobei } f_2(x) = x^3, F_3(x) = f_3(g(x)),& ext{ wobei } f_3(x) = x^4. end{eqnarray*}]

Wir kommen auf dieses Beispiel zurück, nachdem wir die formalen Aussagen der Kettenregel gegeben haben; Im Moment illustrieren wir nur ein Muster.

Satz 18: Die Kettenregel

Sei (y = f(u)) eine differenzierbare Funktion von (u) und sei (u = g(x)) eine differenzierbare Funktion von (x). Dann ist (y=f(g(x))) eine differenzierbare Funktion von (x), und [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime( x).]

Um die Kettenregel besser zu verstehen, kehren wir zu Beispiel 59 zurück.

Beispiel 60: Verwenden der Kettenregel

Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitungen der folgenden Funktionen zu finden, wie in Beispiel 59 angegeben.

Lösung

Beispiel 59 endete mit der Erkenntnis, dass jede der gegebenen Funktionen tatsächlich eine Zusammensetzung von Funktionen war. Um Verwirrung zu vermeiden, ignorieren wir hier die meisten Indizes.

(F_1(x) = (1-x)^2):

Wir haben festgestellt, dass [y=(1-x)^2 = f(g(x)), ext{ wobei } f(x) = x^2 ext{ und } g(x) = 1- x.]

Um (y^prime) zu finden, wenden wir die Kettenregel an. Wir brauchen (f^prime(x)=2x) und (g^prime(x)=-1.)

Ein Teil der Kettenregel verwendet (f^prime(g(x))). Dies bedeutet, dass (g(x)) durch (x) in der Gleichung für (f^prime(x)) ersetzt wird. Das heißt (f^prime(x) = 2(1-x)). Um die Kettenregel fertigzustellen, haben wir [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = 2(1-x)cdot (-1) = -2( 1-x)= 2x-2.]

(F_2(x) = (1-x)^3):

Sei (y = (1-x)^3 = f(g(x))),wobei (f(x) = x^3) und (g(x) = (1-x) ). Wir haben (f^prime(x) = 3x^2), also (f^prime(g(x)) = 3(1-x)^2). Die Kettenregel besagt dann [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime (x) = 3(1-x)^2cdot(-1) = -3( 1-x)^2.]

(F_3(x) = (1-x)^4):

Schließlich gilt für (y = (1-x)^4) (f(x)= x^4) und (g(x) = (1-x)). Also (f^prime(x) = 4x^3) und (f^prime(g(x)) = 4(1-x)^3). Also [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = 4(1-x)^3cdot (-1) = -4(1-x) ^3.]

Beispiel 60 demonstrierte ein bestimmtes Muster: wenn (f(x)=x^n), dann (y^prime =ncdot (g(x))^{n-1}cdot g^prime (x)). Dies wird die verallgemeinerte Machtregel genannt.

Satz 19: Verallgemeinerte Potenzregel

Sei (g(x)) eine differenzierbare Funktion und (n eq 0) eine ganze Zahl. Dann ist [dfrac{d}{dx}Big(g(x)^nBig) = ncdot ig(g(x)ig)^{n-1}cdot g^prime ( x).]

Dadurch können wir schnell die Ableitung von Funktionen wie (y = (3x^2-5x+7+sin x)^{20}) finden. Auch wenn es einschüchternd wirken mag, besagt die Generalized Power Rule, dass [y^prime = 20(3x^2-5x+7+sin x)^{19}cdot (6x-5+cos x). ]

Behandeln Sie das Derivat – Verfahren Schritt für Schritt. In dem gerade gegebenen Beispiel multiplizieren Sie zuerst mit 20, schreiben Sie dann das Innere der Klammern neu und erhöhen Sie alles auf die 19(^{ ext{th}})-Potenz. Denken Sie dann über die Ableitung des Ausdrucks in den Klammern nach und multiplizieren Sie damit.

Wir betrachten nun weitere Beispiele, die die Kettenregel anwenden.

Beispiel 61: Verwenden der Kettenregel

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

  1. (y = sin{2x})
  2. (y= ln (4x^3-2x^2))
  3. (y = e^{-x^2})

Lösung

  1. Betrachten wir (y = sin 2x). Erkenne, dass dies eine Zusammensetzung von Funktionen ist, wobei (f(x) = sin x) und (g(x) = 2x). Also [y^prime = f^prime(g(x))cdot g^prime(x) = cos (2x)cdot 2 = 2cos 2x.]
  2. Erkenne, dass (y = ln (4x^3-2x^2)) die Zusammensetzung von (f(x) = ln x) und (g(x) = 4x^3-2x^2 . ist ). Denken Sie auch daran, dass [dfrac{d}{dx}Big(ln xBig) = dfrac{1}{x}.]Das führt uns zu:[y^prime = dfrac{ 1}{4x^3-2x^2} cdot (12x^2-4x) = dfrac{12x^2-4x}{4x^3-2x^2}= dfrac{4x(3x-1)} {2x(2x^2-x)} = dfrac{2(3x-1)}{2x^2-x}.]
  3. Beachten Sie, dass (y = e^{-x^2}) die Zusammensetzung von (f(x) = e^x) und (g(x) = -x^2) ist. Denken wir daran, dass (f^prime(x) = e^x),wir haben [y^prime = e^{-x^2}cdot (-2x) = (-2x)e^{- x^2}.]

Beispiel 62: Verwenden der Kettenregel, um eine Tangente zu finden

Sei (f(x) = cos x^2). Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von (f) bei (x=1).

Lösung

Die Tangente geht durch den Punkt ((1,f(1)) approx (1,0.54)) mit Steigung (f^prime(1)). Um (f^prime) zu finden, brauchen wir die Kettenregel.

(f^prime(x) = -sin(x^2) cdot(2x) = -2xsin x^2). Ausgewertet bei (x=1) gilt (f^prime(1) = -2sin 1approx -1,68). Die Tangentengleichung lautet also [y = -1,68(x-1)+0,54 .]

Die Tangente ist zusammen mit (f) in Abbildung 2.17 skizziert.

Die Kettenregel wird häufig bei der Ableitung von Derivaten verwendet. Dadurch kann man sich mit dem grundlegenden Ablauf vertraut machen und Muster lernen, die das schnelle Auffinden von Derivaten erleichtern. Zum Beispiel [dfrac{d}{dx}Big(ln ( ext{alles})Big) = dfrac{1}{ ext{alles}}cdot ( ext{alles}) ^prime = dfrac{( ext{alles})^prime}{ ext{alles}}.]

Ein konkretes Beispiel hierfür ist [dfrac{d}{dx}Big(ln(3x^{15}-cos x+e^x)Big) = dfrac{45x^{14}+ sin x+e^x}{3x^{15}-cos x+e^x}.] Während die Ableitung auf den ersten Blick einschüchternd aussehen mag, suchen Sie nach dem Muster. Der Nenner ist derselbe wie in der natürlichen Log-Funktion; der Zähler ist einfach seine Ableitung.

Dieser Mustererkennungsprozess kann auf viele Funktionen angewendet werden. Anstatt "irgendetwas" zu schreiben, verwenden wir im Allgemeinen (u) als generische Funktion von (x). Wir sagen dann [dfrac{d}{dx}Big(ln uBig ) = dfrac{u^prime}{u}.]

Im Folgenden finden Sie eine kurze Liste, wie die Kettenregel schnell auf bekannte Funktionen angewendet werden kann.

Natürlich kann die Kettenregel in Verbindung mit allen anderen bereits erlernten Regeln angewendet werden. Das üben wir als nächstes.

Beispiel 63: Verwenden der Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.

  1. (f(x) = x^5 sin{2x^3})
  2. (f(x) = dfrac{5x^3}{e^{-x^2}}).

Lösung

  1. Wir müssen die Produkt- und Kettenregeln anwenden. Denken Sie nicht, dass Sie die ganze Antwort sofort "sehen" können müssen, sondern gehen Sie einfach Schritt für Schritt vor.[f^prime(x) = x^5ig(6x^2 cos 2x^3ig) + 5x^4ig(sin 2x^3ig)= 6x^7cos2x^3+5x^4sin 2x^3.]
  2. Wir müssen die Quotientenregel zusammen mit der Kettenregel anwenden. Gehen Sie wieder Schritt für Schritt vor.[egin{align*} f^prime(x) = dfrac{e^{-x^2}ig(15x^2ig) - 5x^ 3ig((-2x)e^{-x^2}ig)}{ig(e^{-x^2}ig)^2} &=dfrac{e^{-x^2 }ig(10x^4+15x^2ig)}{e^{-2x^2}} &= e^{x^2}ig(10x^4+15x^2ig). end{ausrichten*}]

Ein Schlüssel zur korrekten Lösung dieser Probleme besteht darin, das Problem in kleinere, überschaubarere Teile zu unterteilen. Wenn Sie beispielsweise die Produkt- und Kettenregeln zusammen verwenden, betrachten Sie zunächst nur den ersten Teil der Produktregel: (f(x)g^prime(x)). Schreiben Sie einfach (f(x)) um und finden Sie dann (g^prime(x)). Gehen Sie dann zum (f^prime(x)g(x))-Teil über. Versuchen Sie nicht, beide Teile gleichzeitig herauszufinden.

Nähern Sie sich mit der Quotientenregel dem Zähler in zwei Schritten und behandeln Sie den Nenner, nachdem Sie dies abgeschlossen haben. Vereinfachen Sie erst danach.

Wir können auch die Kettenregel selbst mehrmals anwenden, wie im nächsten Beispiel gezeigt.

Beispiel 64: Mehrfache Verwendung der Kettenregel

Finden Sie die Ableitung von (y = an^5(6x^3-7x)).

Lösung

Erkenne, dass wir die (g(x)= an(6x^3-7x))-Funktion "innerhalb" der (f(x)=x^5)-Funktion haben; das heißt, wir haben ( y = ig( an(6x^3-7x)ig)^5). Wir beginnen mit der Anwendung der verallgemeinerten Potenzregel, in diesem ersten Schritt berechnen wir die Ableitung nicht vollständig, sondern nähern uns diesem Schritt --für--Schritt.

[y^prime = 5ig( an(6x^3-7x)ig)^4cdot g^prime(x).]

Wir finden nun (g^prime(x)). Wir brauchen wieder die Kettenregel; [g^prime(x) = sec^2(6x^3-7x)cdot(18x^2-7).]Kombiniere dies mit dem, was wir oben gefunden haben, um zu erhalten

[egin{align*} y^prime &= 5ig( an(6x^3-7x)ig)^4cdotsec^2(6x^3-7x)cdot(18x^ 2-7) &= (90x^2-35)sec^2(6x^3-7x) an^4(6x^3-7x). end{ausrichten*}]

Diese Funktion ist ehrlich gesagt eine lächerliche Funktion, die keinen wirklichen praktischen Wert besitzt. Es ist sehr schwierig graphisch darzustellen, da die Tangensfunktion viele vertikale Asymptoten hat und (6x^3-7x) sehr schnell wächst. Das Wichtigste, was man daraus lernen kann, ist, dass die Ableitung gefunden werden kann. Tatsächlich ist es nicht „schwer“; man muss mehrere einfache Schritte unternehmen und darauf achten, wie man jeden dieser Schritte anwendet.

Es ist eine traditionelle mathematische Übung, die Ableitungen beliebig komplizierter Funktionen zu finden, nur um zu zeigen, dass es kann gemacht werden. Zerlegen Sie einfach alles in kleinere Stücke.

Beispiel 65: Verwenden der Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln

Finden Sie die Ableitung von ( f(x) = dfrac{xcos(x^{-2})-sin^2(e^{4x})}{ln(x^2+5x^4) }.)

Lösung

Diese Funktion hat wahrscheinlich keinen praktischen Nutzen, außer um abgeleitete Fähigkeiten zu demonstrieren. Die Antwort wird unten ohne Vereinfachung gegeben. Es verwendet die Quotientenregel, die Produktregel und die Kettenregel dreimal.

[f^prime(x) = dfrac{Big(ln(x^2+5x^4)Big)cdotBig[ig(xcdot(-sin(x^{- 2}))cdot(-2x^{-3})+1cdotcos(x^{-2})ig)-2sin(e^{4x})cdotcos(e^ {4x})cdot(4e^{4x})Big]-Big(xcos(x^{-2})-sin^2(e^{4x})Big)cdotdfrac {2x+20x^3}{x^2+5x^4}}{ig(ln(x^2+5x^4)ig)^2}.]

Der Leser wird dringend ermutigt, sich jeden Begriff anzusehen und zu erkennen, warum er da ist. (D. h., es wird die Quotientenregel verwendet; im Zähler den Term "LOdHI" angeben usw.) Dieses Beispiel zeigt, dass Ableitungen systematisch berechnet werden können, egal wie beliebig kompliziert die Funktion ist.

Die Kettenregel hat auch theoretischen Wert. Das heißt, es kann verwendet werden, um die Ableitungen von Funktionen zu finden, die wir noch nicht gelernt haben, wie wir es im folgenden Beispiel tun.

Beispiel 66: Die Kettenregel und Exponentialfunktionen

Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung von (y= a^x) zu finden, wobei (a>0),(a eq 1) konstant ist.

Lösung

Wir wissen nur, wie man die Ableitung einer Exponentialfunktion findet: (y = e^x); Dieses Problem fordert uns auf, die Ableitung von Funktionen wie (y = 2^x) zu finden.

Dies kann erreicht werden, indem (a^x) in (e) umgeschrieben wird. Wenn wir uns daran erinnern, dass (e^x) und (ln x) Umkehrfunktionen sind, können wir schreiben

[a = e^{ln a} quad ext{und so } quad y = a^x = e^{ln (a^x)}. keine Nummer]

Durch die Exponenteneigenschaft von Logarithmen können wir die Macht "herunterziehen"

[y = a^x = e^{x (ln a)}. keine Nummer]

Die Funktion ist nun die Zusammensetzung (y=f(g(x))),mit (f(x) = e^x) und (g(x) = x(ln a)). Wegen (f^prime(x) = e^x) und (g^prime(x) = ln a) liefert die Kettenregel

[y^prime = e^{x (ln a)} cdot ln a. keine Nummer]

Denken Sie daran, dass der Term (e^{x(ln a)}) auf der rechten Seite nur (a^x),unsere ursprüngliche Funktion ist. Somit enthält die Ableitung die ursprüngliche Funktion selbst. Wir haben

[y^prime = ycdot ln a = a^xcdot ln a. keine Nummer]

Die Kettenregel, gekoppelt mit der Ableitungsregel von (e^x), ermöglicht es uns, die Ableitungen aller Exponentialfunktionen zu finden.

Das vorherige Beispiel lieferte ein Ergebnis, das einer eigenen "Box" würdig ist.

Satz 20: Ableitungen von Exponentialfunktionen

Sei (f(x)=a^x),für (a>0, a eq 1). Dann ist (f) für alle reellen Zahlen differenzierbar und

[f^prime(x) = ln acdot a^x. keine Nummer]

Alternative Kettenregel-Notation

Es ist aufschlussreich zu verstehen, wie die Kettenregel "aussieht" mit "(dfrac{dy}{dx})"-Notation anstelle der (y^prime)-Notation. Angenommen, (y=f(u)) ist eine Funktion von (u), wobei (u=g(x)) eine Funktion von (x) ist, wie in Satz 18 angegeben. Dann , durch die Zusammensetzung (fcirc g),wir können uns (y) als Funktion von (x),als (y=f(g(x))) vorstellen. Somit ist die Ableitung von (y) nach (x) sinnvoll; wir können über (dfrac{dy}{dx}.) sprechen. Dies führt zu einer interessanten Notation:

[egin{align*}y^prime &= f^prime(g(x))cdot g^prime(x) dfrac{dy}{dx} &= y^prime( u) cdot u^prime(x)quad ext{(da (y=f(u)) und (u=g(x)))} dfrac{dy}{dx } &= dfrac{dy}{du} cdot dfrac{du}{dx}quad ext{(unter Verwendung der "gebrochenen" Notation für die Ableitung)}end{align*}]

Hier sticht der "Bruch"-Aspekt der Ableitungsnotation hervor. Auf der rechten Seite scheinen sich die "(du)"-Terme aufzuheben, so dass [ dfrac{dy}{dx} = dfrac{dy}{dx}.]

Es ist wichtig zu erkennen, dass wir sind nicht Aufhebung dieser Bedingungen; die abgeleitete Notation von (dfrac{dy}{dx}) ist ein Symbol. Es ist ebenso wichtig zu wissen, dass diese Notation gerade wegen dieses Verhaltens gewählt wurde. Es macht die Anwendung der Kettenregel mit mehreren Variablen einfach. Beispielsweise,

[dfrac{dy}{dt} = dfrac{dy}{digcirc} cdot dfrac{digcirc}{d riangle} cdot dfrac{d riangle}{dt}.]

wobei (igcirc) und ( riangle) alle Variablen sind, die Sie verwenden möchten.

Eine der gebräuchlichsten Methoden zur "Visualisierung" der Kettenregel ist die Betrachtung eines Satzes von Zahnrädern, wie in Abbildung 2.18 gezeigt. Die Zahnräder haben 36, 18 bzw. 6 Zähne. Das heißt, bei jeder Umdrehung des (x)-Zahnrads dreht sich das (u)-Zahnrad zweimal. Das heißt, die Geschwindigkeit, mit der das (u)-Zahnrad eine Umdrehung macht, ist doppelt so schnell wie die Geschwindigkeit, mit der das (x)-Zahnrad eine Umdrehung macht. In der Terminologie der Infinitesimalrechnung ist die Rate der (u)-Änderung bezüglich (x) (dfrac{du}{dx} = 2).

Ebenso verursacht jede Umdrehung von (u) 3 Umdrehungen von (y): (dfrac{dy}{du} = 3). Wie ändert sich (y) in Bezug auf (x)? Für jede Umdrehung von (x) dreht sich (y) sechsmal; dh [dfrac{dy}{dx} = dfrac{dy}{du}cdot dfrac{du}{dx} = 2cdot 3 = 6.]

Wir können die Kettenregel dann um weitere Variablen erweitern, indem wir dem Bild weitere Zahnräder hinzufügen.

Es ist schwer, die Bedeutung der Kettenregel zu überschätzen. So oft sind die Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen, Kompositionen aus zwei oder mehr Funktionen, die es erfordern, dass wir diese Regel verwenden, um Ableitungen zu berechnen. Es wird in der Praxis häufig verwendet, wenn die tatsächlichen Funktionen unbekannt sind. Vielmehr können wir durch Messung (dfrac{dy}{du}) und (dfrac{du}{dx}) berechnen. Mit unserer Kenntnis der Kettenregel ist es einfach, (dfrac{dy}{dx}) zu finden.

Im nächsten Abschnitt verwenden wir die Kettenregel, um eine andere Differenzierungstechnik zu rechtfertigen. Es gibt viele Kurven, die wir in der Ebene zeichnen können, die den "Vertikallinientest" nicht bestehen. Betrachten Sie zum Beispiel (x^2+y^2=1), das den Einheitskreis beschreibt. Wir könnten trotzdem interessiert sein beim Finden von Steigungen von Tangentiallinien an den Kreis an verschiedenen Punkten Der nächste Abschnitt zeigt, wie wir (dfrac{dy}{dx}) finden können, ohne zuerst nach (y) aufzulösen In diesem Fall ist in vielen anderen Fällen das Auflösen nach (y) unmöglich. In diesen Situationen, implizite Differenzierung ist unverzichtbar.


Kettenregel mit Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion

Nehmen wir an, ich habe eine Positionsfunktion in 1 Dimension mit konstanter Beschleunigung.

dann ist ihre erste Ableitung eine Geschwindigkeitsfunktion: $ frac

= v(t) = v_0 + bei $

dann ist seine zweite Ableitung eine Beschleunigungsfunktion:

Wenn wir also x(t) eine Positionsfunktion haben und eine erste Ableitung nehmen, erhalten wir eine Geschwindigkeitsfunktion und wenn wir ihre zweite Ableitung nehmen, erhalten wir eine Beschleunigungsfunktion. das weiß jeder.

Jetzt sehe ich ein Vortragsvideo, das sagt:

wenn dies wahr ist, dann berechne ich $frac$ und multiplizieren mit $frac

$ ich bekomme auch $a(t)$, aber ich weiß nicht, wie das geht, denn wenn wir die Kettenregel anwenden, müssen wir bestimmen, was eine innere Funktion und was eine äußere Funktion ist, aber hier gibt es nur eine Funktion, die x . ist (t) So finden Sie $frac find$?

Kann jemand die Positionsfunktion in Innenteil und Außenteil umschreiben? oder was ist der gültige Weg, um die Berechnung durchzuführen?

Ich bin sehr neu in der Analysis und Physik, bitte erkläre Schritt für Schritt und ein einfaches einfaches Beispiel


3.4: Die Kettenregel

In diesem Abschnitt diskutieren wir eines der grundlegendsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Hier stellt sich die Frage: Wie sollten Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen aktualisieren, wenn Sie zusätzliche Informationen erhalten? Nehmen wir zum Beispiel an, dass in einer bestimmten Stadt 23 $ Prozent der Tage regnerisch sind. Wenn Sie also einen zufälligen Tag auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es an diesem Tag regnet, $23$ Prozent: $P(R)=0.23, extrm R extrm< ist das Ereignis, dass es an dem zufällig gewählten Tag regnet.>$ Nehmen wir nun an, ich wähle einen zufälligen Tag aus, aber ich sage Ihnen auch, dass es an dem gewählten Tag bewölkt ist. Nun, da Sie diese zusätzliche Information haben, wie können Sie die Wahrscheinlichkeit aktualisieren, dass es an diesem Tag regnet? Mit anderen Worten, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet? da ist es bewölkt? Wenn $C$ das Ereignis ist, dass es bewölkt ist, dann schreiben wir dies als $P(R | C)$, das bedingte Wahrscheinlichkeit von $R$, wenn $C$ eingetreten ist. Es ist vernünftig anzunehmen, dass in diesem Beispiel $P(R | C)$ größer sein sollte als das ursprüngliche $P(R)$, das als bezeichnet wird vorherige Wahrscheinlichkeit von $R$. Aber was genau soll $P(R | C)$ sein? Bevor wir eine allgemeine Formel bereitstellen, schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Ich würfele fair. Sei $A$ das Ereignis, bei dem das Ergebnis eine ungerade Zahl ist, d. h. $A=<1,3,5>$. Sei $B$ auch das Ereignis, bei dem das Ergebnis kleiner oder gleich $3$ ist, d. h. $B=<1,2,3>$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von $A$, $P(A)$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ bei gegebenem $B$, $P(A|B)$?

Dies ist ein endlicher Probenraum, also $P(A)=frac<|A|><|S|>=frac<|<1,3,5>|><6>=frac<1 ><2>.$ Nun wollen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ ermitteln, vorausgesetzt, dass $B$ aufgetreten ist. Wenn wir wissen, dass $B$ aufgetreten ist, muss das Ergebnis unter $<1,2,3>$ liegen. Damit $A$ auch passiert, muss das Ergebnis in $A cap B=<1,3>$ stehen. Da alle Würfelwürfe gleich wahrscheinlich sind, argumentieren wir, dass $P(A|B)$ gleich $P(A|B)=frac<|A cap B|><|B|>=frac< . sein muss 2><3>.$

Sehen wir uns nun an, wie wir das obige Beispiel verallgemeinern können. Wir können die Rechnung umschreiben, indem wir Zähler und Nenner wie folgt durch $|S|$ dividieren: $P(A|B)=frac<|A cap B|><|B|>=frac<|S|>><|S|>>=frac.$ Obwohl die obige Berechnung für einen endlichen Stichprobenraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen durchgeführt wurde, stellt sich heraus, dass die resultierende Formel recht allgemein ist und in jeder Umgebung angewendet werden kann. Im Folgenden stellen wir die Formel formal zur Verfügung und erklären dann die Intuition dahinter.

Wenn $A$ und $B$ zwei Events in einem Sample-Space $S$ sind, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ gegeben $B$ ist definiert als $P(A|B)=frac, extrm < wenn >P(B)>0.$

Hier ist die Intuition hinter der Formel. Wenn wir wissen, dass $B$ aufgetreten ist, sollte jedes Ergebnis außerhalb von $B$ verworfen werden. So, unser Beispielraum ist auf die Menge $B$ . reduziert, Abbildung 1.21. Jetzt kann $A$ nur passieren, wenn das Ergebnis zur Menge $A cap B$ gehört. Wir dividieren $P(A cap B)$ durch $P(B)$, so dass die bedingte Wahrscheinlichkeit des neuen Stichprobenraums $1$ wird, d.h. $P(B|B)=frac=1$.

Beachten Sie, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von $P(A|B)$ undefiniert ist, wenn $P(B)=0$ ist. Das ist in Ordnung, denn wenn $P(B)=0$ ist, bedeutet dies, dass das Ereignis $B$ nie eintritt, also macht es keinen Sinn, über die Wahrscheinlichkeit von $A$ bei $B$ zu sprechen.

Abb. 1.21 - Venn-Diagramm für bedingte Wahrscheinlichkeit, $P(A|B)$.

  • Axiom 1: Für jedes Ereignis $A$, $P(A|B) geq 0$.
  • Axiom 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ gegeben $B$ ist $1$, d.h. $P(B|B)=1$.
  • Axiom 3: Wenn $A_1, A_2, A_3, cdots$ disjunkte Ereignisse sind, dann $P(A_1 cup A_2 cup A_3 cdots|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)+P (A_3|B)+cdots.$
  • $P(A^c|C)=1-P(A|C)$
  • $P(leermenge|C)=0$
  • $P(A|C) leq 1$
  • $P(A-B|C)=P(A|C)-P(A cap B|C)$
  • $P(Acup B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(Acap B|C)$
  • wenn $A subset B$ dann $P(A|C) leq P(B|C)$.

    Wenn $A$ und $B$ disjunkt sind: In diesem Fall $A cap B=emptyset$, also

Ich würfele zweimal mit einem fairen Würfel und erhalte zwei Zahlen $X_1=$ Ergebnis des ersten Wurfs und $X_2=$ Ergebnis des zweiten Wurfs. Da ich $X_1+X_2=7$ kenne, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X_1=4$ oder $X_2=4$ ist?

Betrachten wir ein bekanntes Wahrscheinlichkeitsproblem, das sogenannte Zwei-Kind-Problem. Viele Versionen dieses Problems wurden in der Literatur diskutiert [1] und wir werden einige davon in diesem Kapitel besprechen. Wir schlagen vor, dass Sie versuchen, die Antworten zu erraten, bevor Sie das Problem mithilfe von Wahrscheinlichkeitsformeln lösen.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, wenn das erste Kind ein Mädchen ist?
  2. Wir fragen den Vater: "Haben Sie mindestens eine Tochter?" Er antwortet "Ja!" Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, wenn man diese zusätzlichen Informationen berücksichtigt? Mit anderen Worten, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, wenn wir wissen, dass mindestens eines von ihnen ein Mädchen ist?

    • Sei $A$ das Ereignis, dass beide Kinder Mädchen sind, also $A=<(G,G)>$. Sei $B$ das Ereignis, dass das erste Kind ein Mädchen ist, d. h. $B=<(G,G),(G,B)>$. Schließlich sei $C$ das Ereignis, dass mindestens eines der Kinder ein Mädchen ist, d. h. $C=<(G,G),(G,B),(B,G)>$. Da die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, können wir schreiben $P(A)=frac<1><4>,$ $P(B)=frac<2><4>=frac<1><2>, $ $P(C)=frac<3><4>.$
      1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, wenn das erste Kind ein Mädchen ist? Dies ist $P(A|B)$, also können wir schreiben

    Diskussion: Gefragt, die Antworten im obigen Beispiel zu erraten, würden viele Leute vermuten, dass sowohl $P(A|B)$ als auch $P(A|C)$ $50$% betragen sollten. Wie wir jedoch sehen, ist $P(A|B)$ $50$%, während $P(A|C)$ nur $33$% beträgt. Dies ist ein Beispiel, bei dem die Antworten kontraintuitiv erscheinen. Um die Ergebnisse dieses Problems zu verstehen, ist es hilfreich zu beachten, dass das Ereignis $B$ eine Teilmenge des Ereignisses $C$ ist. Tatsächlich ist es strikt kleiner: Es enthält nicht das Element $(B,G)$, während $C$ dieses Element enthält. Somit hat die Menge $C$ mehr Ergebnisse, die nicht in $A$ sind als $B$, was bedeutet, dass $P(A|C)$ kleiner als $P(A|B)$ sein sollte.

    Es ist oft nützlich, sich die Wahrscheinlichkeit in Prozent vorzustellen. Um zum Beispiel die Ergebnisse dieses Problems besser zu verstehen, stellen wir uns vor, dass es 4000$-Familien gibt, die zwei Kinder haben. Da die Ergebnisse $(G,G),(G,B),(B,G)$ und $(B,B)$ gleich wahrscheinlich sind, werden wir mit jedem Ergebnis ungefähr $1000$ Familien haben, wie in Abbildung . gezeigt 1.22. Um die Wahrscheinlichkeit $P(A|C)$ zu ermitteln, führen wir das folgende Experiment durch: Wir wählen eine zufällige Familie aus den Familien mit mindestens einer Tochter aus. Dies sind die im Kasten gezeigten Familien. Von diesen Familien gibt es 1000$ Familien mit zwei Mädchen und 2000$ Familien mit genau einem Mädchen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Familie mit zwei Mädchen zu wählen, $frac<1><3>$.

    Abb.1.22 - Ein Beispiel zum besseren Verständnis von $P(A|C)$ in Beispiel 1.18.
    Kettenregel für bedingte Wahrscheinlichkeit:

    Schreiben wir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit im folgenden Format $hspace <100pt>P(A cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) hspace < 100pt>(1.5)$ Dieses Format ist besonders nützlich in Situationen, in denen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit kennen, uns aber an der Wahrscheinlichkeit des Schnitts interessiert. Wir können diese Formel mit einem Baumdiagramm interpretieren, wie es in Abbildung 1.23 dargestellt ist. In dieser Abbildung erhalten wir die Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt, indem wir die Wahrscheinlichkeiten auf den zu diesem Punkt führenden Zweigen multiplizieren. Diese Art von Diagramm kann bei einigen Problemen sehr nützlich sein.

    Abb.1.23 - Ein Baumdiagramm.

    Nun können wir diese Formel auf drei oder mehr Ereignisse erweitern: $hspace <70pt>P(Acap Bcap C)=Pig(Acap (Bcap C)ig)=P(A) P(B cap C|A) hspace <70pt>(1.6)$ Aus Gleichung 1.5, $P(B cap C)=P(B)P(C|B).$ Bedingung beider Seiten auf $A$ , erhalten wir $hspace <110pt>P(Bcap C|A)=P(B|A)P(C|A,B)hspace <110pt>(1.7)$ Durch Kombination der Gleichungen 1.6 und 1.7 erhalten wir die folgende Kettenregel: $P(A cap B cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A,B).$ Hier geht es darum zu verstehen, wie man diese Formeln herleitet und versucht, haben Intuition über sie, anstatt sie auswendig zu lernen. Sie können den Baum in Abbildung 1.22 auf diesen Fall erweitern. Hier hat der Baum acht Blätter. Eine allgemeine Aussage der Kettenregel für $n$-Ereignisse lautet wie folgt:

    Kettenregel für bedingte Wahrscheinlichkeit: $P(A_1 cap A_2 cap cdots cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1) cdots P(A_n|A_EIN_ cdots A_1)$

    In einer Fabrik gibt es 100$ Einheiten eines bestimmten Produkts, von denen 5$ defekt sind. Wir wählen zufällig drei Einheiten aus den 100$-Einheiten aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner von ihnen defekt ist?

    Definieren wir $A_i$ als das Ereignis, dass die gewählte $i$te Einheit nicht defekt ist, für $i=1,2,3$. Uns interessiert $P(A_1 cap A_2 cap A_3)$. Beachten Sie, dass $P(A_1)=frac<95><100>.$ Angenommen, das erste ausgewählte Element war gut, das zweite Element wird aus $94$ guten Einheiten und $5$ defekten Einheiten ausgewählt, also $P(A_2| A_1)=frac<94><99>.$ Vorausgesetzt, dass der erste und der zweite ausgewählte Artikel in Ordnung waren, wird der dritte Artikel aus $93$ guten Einheiten und $5$ defekten Einheiten ausgewählt, also $P(A_3|A_2,A_1 )=frac<93><98>.$ Somit haben wir


    Die Kettenregel

    Denken Sie daran, dass wir in der Funktionskomposition die Funktion $(fcirc g)(x)=f(g(x))$ erhalten, indem wir $g$ für jeden Wert von $x$ in $f(x)$ einsetzen, um $f(g)$ und dann durch Platzieren der Formel für $g(x)$ in jeden Wert von $g$ in $f(g)$. Was wäre, wenn wir dann die Ableitung von $(fcirc g)(x)$ bestimmen wollten?

    Das Auffinden von $(fcirc g)'(x)$ war vor allem deshalb schwierig, weil wir zuerst $(fcirc g)(x)$ finden mussten. Aber was wäre, wenn wir $(fcirc g)'(x)$ finden könnten, ohne zuerst $(fcirc g)(x)$ finden zu müssen? Hier kommt die Kettenregel ins Spiel. Am besten geben Sie die Kettenregel in der Leibniz-Notation an:

    Die Kettenregel (Leibniz-Notation)
    [
    fracleft[fcirc g ight] =fraccdotfrac
    ]

    Die Leibniz-Notation ist hier nützlich, weil sie ein einfaches Werkzeug bietet, um sich die Kettenregel zu merken. Nennen wir $e(x)=f(g(x))=(fcirc g)(x)$. Wegen $e(x)=(fcirc g)(x)$ ist die Kettenregel äquivalent zu $de/dx$. Denken Sie daran, dass alles, was durch sich selbst geteilt wird, 1 $ ist. Nehmen wir also $1=dg/dg$. Deshalb,
    [
    frac=fraccdot 1=fraccdot frac=fraccdotfrac.
    ]
    Aber $de/dg=df/dg$ weil $e=f(g)$. Deshalb,
    [
    frac=fraccdotfrac.
    ]
    Auch dies ist kein Beweis, sondern eine einfache Möglichkeit, die Regel im Kopf zu behalten. (Der eigentliche Beweis ist hier, falls Sie es wirklich wissen müssen.)

    In unserer "Prime"-Notation lautet die Kettenregel:

    Die Kettenregel (Prime-Notation)
    [(fcirc g)'(x)=f'(g(x)),g'(x)]

    Lassen Sie uns nun Schritt-für-Schritt-Verfahren aufschreiben und auf unser obiges Beispiel anwenden:

    Schritt Beispiel
    Bestimme $frac$ und $frac$. [frac=3x^2mbox< und >frac=1]
    Platziere $g$ für jeden Wert von $x$ in $frac$. Nennen Sie das $frac$. [frac=3g^2]
    Platziere die Funktion $g(x)$ in jeden Wert von $g$ in $frac$. Wir nennen das immer noch $frac$. [frac=3(x+2)^2]
    Multiplizieren von $frac$ mal $frac$. Das ist $fracleft[fcirc g ight]$. [fraccdotfrac=links[3(x+2)^2 echts]cdot 1]
    Wenn nötig, machen Sie jetzt etwas Algebra, um das Problem zu vereinfachen. [fraccdotfrac=3x^2+12x+12]

    Zusammenfassend gibt es also zwei Möglichkeiten, die Ableitung von $(fcirc g)(x)$ zu bestimmen. Finden Sie $(fcirc g)(x)$ und bestimmen Sie dessen Ableitung oder wenden Sie die Kettenregel an, indem Sie die Ableitungen von $f(x)$ und $g(x)$ kennen.

    Einer der wichtigsten Einsatzorte der Kettenregel ist die Lösung von Problemen der Form $[f(x)]^n$. In dieser Situation können wir uns dies als Funktionskomposition vorstellen und die Ableitung mithilfe der Kettenregel ermitteln. Angenommen, $u(x)=x^n$. Dann ist $[f(x)]^n=u(f(x))=(ucirc f)(x)$ und wir wissen also, dass

    Versuchen Sie beispielsweise, die Ableitung von $(x^2-1)^<100>$ zu finden, indem Sie sie direkt erweitern und dann die Kettenregel verwenden. Sie zu erweitern dauert ewig und dann müssen Sie noch die Ableitung berechnen. Mit dem Kettenmaß dauert es nur wenige Sekunden. Probleme wie diese lassen Sie die Kettenregel schätzen!

    Schließlich müssen Sie für einen beginnenden Analysis-Kurs in der Regel den Beweis der Kettenregel nicht verstehen. Unsere Empfehlung ist, dass Sie nicht versuchen, es zu lernen, sondern zu verstehen, wie es angewendet wird. Wenn Sie den Beweis dennoch sehen möchten, können Sie ihn hier finden.


    Kettenregel

    wissen, wie man die Kettenregel verwendet, um Ableitungen von Funktionszusammensetzungen zu berechnen.

    Berechnen Sie für die Aufgaben 1-16 die Ableitung der gegebenen Funktion.

    Verwenden Sie die angegebene Tabelle, um jede der folgenden Größen zu berechnen:

    Berechnen Sie für die Aufgaben 18-20 (frac) .

    Nehmen Sie an, dass (f(x)) eine zweifach differenzierbare Funktion ist und definieren Sie (g(x)=x^3f(2x)) . Berechne (g^(x)) in Bezug auf (f) , (f^) und (f^)

    Sei (f(x)=frac<5><(x^2+1)^3>) . Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von (f(x)) bei (x=0) .

    Wo schneidet die Tangente an (y=(5x+7)^3) im Punkt ((-1,8)) die (x)-Achse?

    Finde alle Punkte auf dem Graphen von (y=sin^2) wobei die Tangenten parallel zur Linie (y=x) verlaufen.

    Was ist die 100. Ableitung von (y=sin<(2x)>) ?

    Mehrfachauswahl: Die Ableitung von (y=x^2cos ight)>) ist


    ELI5-Rechnung: Die Kettenregel

    Ich verstehe die Kettenregel in der Infinitesimalrechnung nicht. Das angegebene Beispiel für I'm ist dy/dx f(g(x))= f'(g(x)g'(x). Ich nehme die Ableitung von g(x)g'(x) ?Was??

    Mama ist eine Funktion mit einer Babyfunktion im Inneren. So finden wir heraus, wo ihre Beulen sind:

    Die Mama ist ( ) 4 , das Baby ist 3x 2 + x

    Unterscheide die Mumie: 4( ) 3

    Halten Sie das Baby drinnen: 4(3x 2 + x) 3

    Unterscheide das Baby: 6x+1

    Mal sie zusammen: (6x+1)*4(3x 2 + x)) 3 = (24x+4)(3x 2 + x) 3

    *Edit: einige Wörter und Zahlen

    oh gott ich liebe das. Wo warst du, als ich beschloss, "Scheiß auf Mathe, ich werde Anwalt".

    Mein Mathematiklehrer hat es letztes Jahr auf die fünfjährige freundlichste Art erklärt.

    Angenommen, Sie nehmen die Ableitung f(Zeug). Sie finden f'(Stuff) und multiplizieren es mit Stuff'. Dies funktioniert auch, wenn das Zeug g(Junk) ist. (er hatte eine ganze Hierarchie von Begriffen zu verwenden) Einfach abspülen und wiederholen.

    Ich habe keine Ahnung, was in diesem Thread vor sich geht.

    Ich bin mir sicher, dass das irgendwann jemand sagen muss, also lass es aus dem Weg gehen: "Warum sollte ein Fünfjähriger Rechnen machen? Hurrr-hur!"

    Wie auch immer, die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer komplexen Funktion die Ableitung der äußeren Funktion mal der Ableitung der inneren Funktion ist. Oder wie gesagt dy/dx f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x).

    Daher ist die Ableitung von f(g(x)) = f'(g(x))*g'(x) = 2 * 2x = 4x.

    This is the same result as you get if you take the derivative dy/dx 2(x 2 ) = 4x.


    The Chain Rule

    Given $w=a y^<2>$ and $y=b x^<2>+c x,$ find $d w / d x$ by the chain rule.

    Subtleties of the Chain Rule Let $w=f(x, y, z)=2 x+3 y+4 z$ which is defined for all $(x, y, z)$ in $mathbb^<3>$. Suppose that we are interested in the partial derivative $w_$ on a subset of $mathbb^<3>$, such as the plane $P$ given by $z=4 x-2 y .$ The point to be made is that the result is not unique unless we specify which variables are considered independent.
    ein. We could proceed as follows. On the plane $P$, consider $x$ and $y$ as the independent variables, which means $z$ depends on $x$ and
    $y,$ so we write $w=f(x, y, z(x, y)) .$ Differentiate with respect
    to $x$ holding $y$ fixed to show that $left(frac ight)_=18,$ where the subscript $y$ indicates that $y$ is held fixed.
    b. Alternatively, on the plane $P$, we could consider $x$ and $z$ as the independent variables, which means $y$ depends on $x$ and $z,$ so we write $w=f(x, y(x, z), z)$ and differentiate with respect to
    $x$ holding $z$ fixed. Show that $left(frac ight)_=8,$ where the subscript
    $z$ indicates that $z$ is held fixed.
    c. Make a sketch of the plane $z=4 x-2 y$ and interpret the results of parts (a) and (b) geometrically.
    d. Repeat the arguments of parts (a) and (b) to find $left(frac ight)$ $left(frac ight)_,left(frac ight)_,$ and $left(frac ight)_$.

    Let $f(x, y)=0$ define $y$ as a twice differentiable function of $x$
    ein. Show that $y^(x)=-frac <>f_^<2>-2 f_ f_ f_+f_ f_^<2>><>^<3>>$.
    b. Verify part (a) using the function $f(x, y)=x y-1$.

    In the implicit relationship $F(x, y, z)=0,$ any two of the variables may be considered independent, which then determines the third variable. To avoid confusion, we use a subscript to indicate which variable is held fixed in a derivative calculation for example $left(frac ight)_$ means that $y$ is held fixed in taking the partial derivative of $z$ with respect to $x$ (In this context, the subscript does not mean a derivative.)
    ein. Differentiate $F(x, y, z)=0$ with respect to $x$ holding $y$ fixed
    to show that $left(frac ight)_=-frac<>><>>$.
    b. As in part (a), find $left(frac ight)_$ and $left(frac ight)_$.
    c. Show that $left(frac ight)_left(frac ight)_left(frac ight)_=-1$.
    d. Find the relationship analogous to part (c) for the case $F(w, x, y, z)=0$.

    Recall that Cartesian and polar coordinates are related through the transformation equations
    $
    left<egin
    x=r cos heta & ext < or >left<egin
    r^<2>=x^<2>+y^ <2>
    an heta=y / x
    endRecht.
    endRecht.
    $
    ein. Evaluate the partial derivatives $x_ y_ x_< heta>,$ and $y_< heta>$
    b. Evaluate the partial derivatives $r_, r_, heta_,$ and $ heta_$
    c. For a function $z=f(x, y),$ find $z_$ and $z_< heta>,$ where $x$ and $y$ are expressed in terms of $r$ and $ heta$
    d. For a function $z=g(r, heta),$ find $z_$ and $z_,$ where $r$ and $ heta$ are expressed in terms of $x$ and $y$
    e. Show that $left(frac ight)^<2>+left(frac ight)^<2>=left(frac ight)^<2>+frac<1>>left(frac ight)^<2>$.

    Suppose you follow the spiral path
    $C: x=cos t, y=sin t, z=t,$ for $t geq 0,$ through the domain of
    the function $w=f(x, y, z)=(x y z) /left(z^<2>+1 ight)$
    ein. Find $w^(t)$ along $C$
    b. Estimate the point $(x, y, z)$ on $C$ at which $w$ has its maximum value.

    The pressure, temperature, and volume of an ideal gas are related by $P V=k T$, where $k>0$ is a constant. Any two of the variables may be considered independent, which determines the third variable.
    ein. Use implicit differentiation to compute the partial derivatives $frac, frac,$ and $frac$
    b. Show that $frac frac frac=-1 .$ (See Exercise 67 for a
    generalization.)

    One of several empirical formulas that relates the surface area $S$ of a human body to the height $h$ and weight $w$ of the body is the Mosteller formula $S(h, w)=frac<1> <60>sqrt,$ where $h$ is measured in centimeters, $w$ is measured in kilograms, and
    $S$ is measured in square meters. Suppose that $h$ and $w$ are functions of $t$
    ein. Find $S^(t)$
    b. Show that the condition that the surface area remains constant
    as $h$ and $w$ change is $w h^(t)+h w^(t)=0$
    c. Show that part (b) implies that for constant surface area, $h$ and $w$ must be inversely related that is, $h=C / w,$ where $C$ is a constant.

    The volume of a solid torus (a bagel or doughnut) is given by $V=left(pi^ <2>/ 4 ight)(R+r)(R-r)^<2>,$ where $r$ and $R$ are the inner and outer radii and $R>r$ (see figure).
    CAN'T COPY THE FIGURE
    ein. If $R$ and $r$ increase at the same rate, does the volume of the torus increase, decrease, or remain constant?
    b. If $R$ and $r$ decrease at the same rate, does the volume of the torus increase, decrease, or remain constant?

    A projectile with mass $m$ is launched into the air on a parabolic trajectory. For $t geq 0,$ its horizontal and vertical coordinates are $x(t)=u_ <0>t$ and $y(t)=-frac<1> <2>g t^<2>+v_ <0>t$ respectively, where $u_<0>$ is the initial horizontal velocity, $v_<0>$ is the initial vertical velocity, and $g$ is the acceleration due to gravity. Recalling that $u(t)=x^(t)$ and $v(t)=y^(t)$ are the components of the velocity, the energy of the projectile (kinetic plus potential) is
    $E(t)=frac<1> <2>mleft(u^<2>+v^<2> ight)+m g y$
    Use the Chain Rule to compute $E^(t)$ and show that $E^(t)=0$ for all $t geq 0 .$ Interpret the result.

    Consider the following surfaces specified in the form $z=f(x, y)$ and the curve $C$ in the $x y$ -plane given parametrically in the form $x=g(t), y=h(t)$.
    ein. In each case, find $z^(t)$.
    b. Imagine that you are walking on the surface directly above the curve $C$ in the direction of increasing t. Find the values of t for which you are walking uphill (that is, z is increasing).
    $z=2 x^<2>+y^<2>+1, C: x=1+cos t, y=sin t 0 leq t leq 2 pi$


    Solutions for Chapter 3.4: The Chain Rule

    Solutions for Chapter 3.4: The Chain Rule

    • 3.4.1: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.2: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.3: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.4: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.5: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.6: Write the composite function in the form fs tsxdd. [Identify the in.
    • 3.4.7: Find the derivative of the function. Fsxd s5x 6 1 2x 3 d 4
    • 3.4.8: Find the derivative of the function. Fsxd s1 1 x 1 x 2 d 99
    • 3.4.9: Find the derivative of the function. fsxd s5x 1 1
    • 3.4.10: Find the derivative of the function. fsxd 1 s 3 x 2 2 1
    • 3.4.11: Find the derivative of the function. fsd coss2
    • 3.4.12: Find the derivative of the function. tsd cos2
    • 3.4.13: Find the derivative of the function. y x 2 e23x
    • 3.4.14: Find the derivative of the function. fstd t sin t
    • 3.4.15: Find the derivative of the function. fstd e at sin bt
    • 3.4.16: Find the derivative of the function. tsxd ex 22x
    • 3.4.17: Find the derivative of the function.fsxd s2x 2 3d 4 sx 2 1 x 1 1d 5
    • 3.4.18: Find the derivative of the function.tsxd sx 2 1 1d 3 sx 2 1 2d 6
    • 3.4.19: Find the derivative of the function.hstd st 1 1d 2y3 s2t 2 2 1d 3
    • 3.4.20: Find the derivative of the function. Fstd s3t 2 1d 4 s2t 1 1d 23
    • 3.4.21: Find the derivative of the function. y x x 1 1
    • 3.4.22: Find the derivative of the function. y Sx 1 1 x D 5
    • 3.4.23: Find the derivative of the function.y etan
    • 3.4.24: Find the derivative of the function.fstd 2t 3
    • 3.4.25: Find the derivative of the function.tsud S u3 2 1 u3 1 1 D
    • 3.4.26: Find the derivative of the function.sstd 1 1 sin t 1 1 cos t
    • 3.4.27: Find the derivative of the function.rstd 102st
    • 3.4.28: Find the derivative of the function.fszd ezysz21d
    • 3.4.29: Find the derivative of the function.Hsrd sr 2 2 1d 3 s2r 1 1d 5
    • 3.4.30: Find the derivative of the function.Jsd tan2 snd
    • 3.4.31: Find the derivative of the function.Fstd et sin 2t
    • 3.4.32: Find the derivative of the function.Fstd t 2 st 3 1 1
    • 3.4.33: Find the derivative of the function.Gsxd 4 Cy
    • 3.4.34: Find the derivative of the function.Us yd S y 4 1 1 y 2 1 1 D 5
    • 3.4.35: Find the derivative of the function. y cosS 1 2 e2x 1 1 e2x D
    • 3.4.36: Find the derivative of the function. y x 2 e21yx
    • 3.4.37: Find the derivative of the function. y cot2 ssin d
    • 3.4.38: Find the derivative of the function.y s1 1 xe22x
    • 3.4.39: Find the derivative of the function. fstd tanssecscos tdd
    • 3.4.40: Find the derivative of the function.y esin 2x 1 sinse 2x d
    • 3.4.41: Find the derivative of the function. fstd sin2 sesin2 t
    • 3.4.42: Find the derivative of the function. y sx 1 sx 1 sx
    • 3.4.43: Find the derivative of the function. tsxd s2rarx 1 nd p
    • 3.4.44: Find the derivative of the function.y 234x
    • 3.4.45: Find the derivative of the function. y cosssinstan x
    • 3.4.46: Find the derivative of the function.y fx 1 sx 1 sin2 xd 3 g 4
    • 3.4.47: Find y9 and y99. y cosssin 3d
    • 3.4.48: Find y9 and y99. y 1 s1 1 tan xd 2
    • 3.4.49: Find y9 and y99. y s1 2 sec t
    • 3.4.50: Find y9 and y99. y eex
    • 3.4.51: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.52: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.53: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.54: Find an equation of the tangent line to the curve at the given poin.
    • 3.4.55: (a) Find an equation of the tangent line to the curve y 2ys1 1 e2x .
    • 3.4.56: (a) The curve y | x |ys2 2 x 2 is called a bullet-nose curve. Find .
    • 3.4.57: (a) If fsxd xs2 2 x 2 , find f9sxd. (b) Check to see that your answ.
    • 3.4.58: The function fsxd sinsx 1 sin 2xd, 0 < x < , arises in applications.
    • 3.4.59: Find all points on the graph of the function fsxd 2 sin x 1 sin2 x .
    • 3.4.60: At what point on the curve y s1 1 2x is the tangent line perpendicu.
    • 3.4.61: If Fsxd fstsxdd, where fs22d 8, f9s22d 4, f9s5d 3, ts5d 22, and t9s.
    • 3.4.62: If hsxd s4 1 3fsxd, where fs1d 7 and f9s1d 4, find h9s1d.
    • 3.4.63: A table of values for f, t, f9, and t9 is given. x fsxd tsxd f9sxd .
    • 3.4.64: Let f and t be the functions in Exercise 63. (a) If Fsxd fs fsxdd, .
    • 3.4.65: If f and t are the functions whose graphs are shown, let usxd fs ts.
    • 3.4.66: If f is the function whose graph is shown, let hsxd fs fsxdd and ts.
    • 3.4.67: If tsxd sfsxd, where the graph of f is shown, evaluate t9s3d.
    • 3.4.68: Suppose f is differentiable on R and is a real number. Let Fsxd fsx.
    • 3.4.69: Suppose f is differentiable on R. Let Fsxd fsex d and Gsxd e f sxd .
    • 3.4.70: Let tsxd ecx 1 fsxd and hsxd ekx fsxd, where fs0d 3, f9s0d 5, and f.
    • 3.4.71: Let rsxd fs tshsxddd, where hs1d 2, ts2d 3, h9s1d 4, t9s2d 5, and f.
    • 3.4.72: If t is a twice differentiable function and fsxd xtsx 2 d, find f99.
    • 3.4.73: . If Fsxd fs3fs4 fsxddd, where fs0d 0 and f9s0d 2, find F9s0d.
    • 3.4.74: If Fsxd fsx fsx fsxddd, where fs1d 2, fs2d 3, f9s1d 4, f9s2d 5, and.
    • 3.4.75: Show that the function y e 2x sA cos 3x 1 B sin 3xd satisfies the d.
    • 3.4.76: For what values of r does the function y erx satisfy the differenti.
    • 3.4.77: Find the 50th derivative of y cos 2x.
    • 3.4.78: Find the 1000th derivative of fsxd xe2x .
    • 3.4.79: The displacement of a particle on a vibrating string is given by th.
    • 3.4.80: If the equation of motion of a particle is given by s A cosst 1 d, .
    • 3.4.81: A Cepheid variable star is a star whose brightness alternately incr.
    • 3.4.82: In Example 1.3.4 we arrived at a model for the length of daylight (.
    • 3.4.83: The motion of a spring that is subject to a frictional force or a d.
    • 3.4.84: Under certain circumstances a rumor spreads according to the equati.
    • 3.4.85: The average blood alcohol concentration (BAC) of eight male subject.
    • 3.4.86: In Section 1.4 we modeled the world population from 1900 to 2010 wi.
    • 3.4.87: A particle moves along a straight line with displacement sstd, velo.
    • 3.4.88: Air is being pumped into a spherical weather balloon. At any time t.
    • 3.4.89: The flash unit on a camera operates by storing charge on a capacito.
    • 3.4.90: The table gives the US population from 1790 to 1860. Year Populatio.
    • 3.4.91: Computer algebra systems have commands that differentiate functions.
    • 3.4.92: (a) Use a CAS to differentiate the function fsxd x 4 2 x 1 1 x 4 1 .
    • 3.4.93: Use the Chain Rule to prove the following. (a) The derivative of an.
    • 3.4.94: Use the Chain Rule and the Product Rule to give an alternative proo.
    • 3.4.95: (a) If n is a positive integer, prove that d dx ssinn x cos nxd n s.
    • 3.4.96: Suppose y fsxd is a curve that always lies above the x-axis and nev.
    • 3.4.97: Use the Chain Rule to show that if is measured in degrees, then d d.
    • 3.4.98: (a) Write | x | sx 2 and use the Chain Rule to show that d dx | x |.
    • 3.4.99: If y fsud and u tsxd, where f and t are twice differentiable functi.
    • 3.4.100: If y fsud and u tsxd, where f and t possess third derivatives, find.
    Textbook: Single Variable Calculus: Early Transcendentals
    Edition: 8
    Author: James Stewart
    ISBN: 9781305270336

    Since 100 problems in chapter 3.4: The Chain Rule have been answered, more than 69121 students have viewed full step-by-step solutions from this chapter. This textbook survival guide was created for the textbook: Single Variable Calculus: Early Transcendentals, edition: 8. Single Variable Calculus: Early Transcendentals was written by and is associated to the ISBN: 9781305270336. This expansive textbook survival guide covers the following chapters and their solutions. Chapter 3.4: The Chain Rule includes 100 full step-by-step solutions.

    The case in which two sides and a nonincluded angle can determine two different triangles

    The length of an arc in a circle of radius r intercepted by a central angle of u radians is s = r u.

    a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c.

    An identity that relates the sine, secant, or tangent to the cosine, cosecant, or cotangent, respectively

    See Compounded k times per year.

    A sample that sacrifices randomness for convenience

    <u1, u2> - <v1, v2> = <u1 - v1, u2 - v2> or <u1, u2, u3> - <v1, v2, v3> = <u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3>

    See Division algorithm for polynomials.

    An identity involving a trigonometric function of 2u

    The graph of a quadratic function, or the set of points in a plane that are equidistant from a fixed point (the focus) and a fixed line (the directrix).

    Geometric representation of vector addition using the parallelogram determined by the position vectors.

    See Polar coordinate system.

    A statistical measure that does not change much in response to outliers.

    For real numbers a and b, exactly one of the following is true: a < b, a = b , or a > b.

    The line through P0(x 0, y0, z0) in the direction of the nonzero vector V = <a, b, c> has vector equation r = r0 + tv , where r = <x,y,z>.


    Lesson Explainer: Combining the Product, Quotient, and Chain Rules Mathematics

    In this explainer, we will learn how to find the first derivative of a function using combinations of the product, quotient, and chain rules.

    Many functions can be constructed from simpler functions by combining them in one or more of the following ways:

    Fortunately, we recall that there are rules for differentiating functions that are formed in these ways. For addition and subtraction, we can use the linearity of the derivative for multiplication and division, we have the product rule and quotient rule for composition, we can apply the chain rule. Let us review these rules.

    Rule: Rules of Differentiation

    For differentiable functions

    , we have the following rules:

    In addition to using these rules separately, it is also possible to use them in conjunction with each other, allowing us to differentiate any combination of elementary functions. However, we should be aware that this is often not a trivial exercise and it can be challenging to identify the correct rules to apply, the best order to apply them, and whether there are algebraic simplifications that will make the process easier. In this explainer, we will look at a number of examples that will highlight the skills we need to navigate this landscape.

    Let us consider an example of differentiating a complicated function combining many different operations together, and how we can tackle the differentiation by splitting it into separate parts. Suppose we have

    At first, this may seem impossible to deal with, but we can break it into parts. Generally, the best way to do this is to begin by considering the outermost layer first and working inward. If we do this, we can see that it is the sum of two functions:


    3.4: The Chain Rule

    Derivative of f(x) g(x) equals

    (f '(x) • g(x)) - (f(x) • g'(x)) g (x) -->

    First, we should discuss the concept of the composition of a function which actually means the function of another function. It is easier to discuss this concept in informal terms.
    ALL compositions of 2 functions consist of 2 parts:
    1) The function inside the parentheses and
    2) The function outside of the parentheses.

    As an example, let's analyze 4•(x +5)
    Speaking informally we could say the "inside function" is (x 3 +5) and
    the "outside function" is 4 • (inside) 2 .

    Before using the chain rule, let's multiply this out and then take the derivative.
    4 • (x 3 +5) 2 = 4x 6 + 40 x 3 + 100
    derivative = 24x 5 + 120 x 2

    Jetzt, let's differentiate the same equation using the chain rule which states that the
    derivative of a composite function equals:
    (derivative of outside) • (inside) • (derivative of inside).
    Using the chain rule to differentiate 4 • (x 3 +5) 2 we obtain:

    derivative of outside = 4 • 2 = 8
    inside = x 3 + 5
    derivative of inside = 3x 2
    Now we multiply all 3 quantities to obtain:

    ANSWER = 8 • (x 3 +5) • (3x 2 )
    As a double check we multiply this out and obtain:
    8x 3 +40 • (3x 2 ) = 24 x 5 + 120 x 2 which is precisely the answer we obtained by using the "long way".


    By now you might be thinking that the problem could have been solved with or without the chain rule. However, let's take a more complex example:

    EXAMPLE:   What is the derivative of (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 14   ?
    ANSWER:   14 • (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 • (12X 2 + 10X -7)
    Yes, this problem could have been solved by raising (4X 3 + 5X 2 -7X +10) to the fourteenth power and then taking the derivative but you can see why the chain rule saves an incredible amount of time and labor.
    And yes, 14 • (4X 3 + 5X 2 -7X +10) 13 • (12X 2 + 10X -7) ist an acceptable answer. After all, once we have determined a derivative, it is much more convenient to "plug in" values of x into a compact formula as opposed to using some multi-term monstrosity.

    The chain rule can also help us find other derivatives.
    For example, what is the derivative of the
    square root of (X 3 + 2X + 6)   OR   (X 3 + 2X + 6) ?
    ANSWER:  • (X 3 + 2X + 6) - • (3X 2 + 2)

    Another example will illustrate the versatility of the chain rule.
    Let's introduce a new derivative
    if f(x) = sin (x) then f '(x) = cos(x)
    Now we can solve problems such as this composite function:
    what is the derivative of sin(5x 3 + 2x) ?
    ANSWER: cos(5x 3 + 2x) • (15x 2 + 2)

    The chain rule is a powerful tool of calculus and it is important that you understand it thoroughly.


    Schau das Video: Substitution bzw. Kettenregel. Bonus zu Kapitel. Physikalische Arbeitsweisen (November 2021).