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13.E: Vektorwertige Funktionen (Übungen) - Mathematik Math


13.1: Vektorwertige Funktionen und Raumkurven

Geben Sie die Komponentenfunktionen ( extrm{x=f(t)}) und ( extrm{y=g(t)}) für die vektorwertige Funktion ( extrm{r(t)=3 sec t mathbf{i}+2 an t mathbf{j}}).

(mathrm{f(t)=3 sec t,g(t)=2 an t})

Gegeben (mathrm{r(t)=3 sec tmathbf{i}+2 an tmathbf{j}}) bestimme (wenn möglich) die folgenden Werte.

  1. (mathrm{r(frac{pi}{4})})
  2. (mathrm{r(pi)})
  3. (mathrm{r(frac{pi}{2})})

Skizzieren Sie die Kurve der vektorwertigen Funktion (mathrm{r(t)=3 sec tmathbf{i}+2 an tmathbf{j}}) und geben Sie die Orientierung der Kurve an. Skizzieren Sie Asymptoten als Leitfaden für den Graphen.

Bewerte (mathrm{limlimits_{t o 0}⟨e^tmathbf{i}+frac{sin t}{t} mathbf{j}+e^{−t} mathbf {k}⟩})

Gegeben sei die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=⟨cos t,sin t⟩}) folgende Werte:

  1. (mathrm{limlimits_{t ofrac{pi}{4}} r(t)})
  2. (mathrm{r(frac{pi}{3})})
  3. Ist ( extrm{r(t)}) stetig bei ( extrm{t=frac{pi}{3}})?
  4. Graph (mathrm{r(t)}).

ein. (mathrm{⟨frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2}})⟩, b. ⟨( extrm{frac{1}{2},frac{sqrt{3}}{2}})⟩, c. Ja, die Grenze wie t nähert sich (mathrm{frac{pi}{3}}) gleich (mathrm{r(frac{pi}{3})}), d.

Gegeben sei die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=⟨t,t^2+1⟩}), bestimme die folgenden Werte:

  1. (mathrm{limlimits_{t o -3} r(t)})
  2. (mathrm{r(−3)})
  3. Ist ( extrm{r(t)}) stetig bei ( extrm{x=−3})?
  4. (mathrm{r(t+2)−r(t)})

Sei (mathrm{r(t)=e^tmathbf{i}+sin tmathbf{j}+ln tmathbf{k}}). Finden Sie die folgenden Werte:

  1. (mathrm{r(frac{pi}{4})})
  2. (mathrm{limlimits_{t ofrac{pi}{4}} r(t)})
  3. Ist ( extrm{r(t)}) stetig bei ( extrm{t=t=frac{pi}{4}})?

ein. ⟨(mathrm{e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4})})⟩ ; b. ⟨(mathrm{e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4})})⟩ ; c. Ja

Finden Sie den Grenzwert der folgenden vektorwertigen Funktionen beim angegebenen Wert von t.

(mathrm{limlimits_{t o 4}⟨sqrt{t−3},frac{sqrt{t}−2}{t−4}, an(frac{pi} {t})⟩})

( extrm{limlimits_{t ofrac{pi}{2}}r(t)}) für ( extrm{r(t)=e^tmathbf{i}+ sintmathbf{j}+lntmathbf{k}})

(mathrm{⟨e^{frac{pi}{2}},1,ln(frac{pi}{2})⟩})

(mathrm{limlimits_{t oinfty}⟨e^{−2t},frac{2t+3}{3t−1},arctan(2t)⟩})

(mathrm{limlimits_{t oe^2}⟨tln(t),frac{ln t}{t^2},sqrt{ln(t^2)⟩ }})

(mathrm{2e^2mathbf{i}+frac{2}{e^4}mathbf{j}+2mathbf{k}})

(mathrm{limlimits_{t ofrac{pi}{6}}⟨cos 2t,sin 2t,1⟩})

( extrm{limlimits_{t oinfty}r(t)}) für ( extrm{r(t)=2e^{−t} mathbf{ i}+e^{− t} mathbf{j}+ln(t−1) mathbf{k}})

Der Grenzwert existiert nicht, weil der Grenzwert von (mathrm{ln(t−1)}) als t nähert sich unendlich gibt es nicht.

Beschreiben Sie die Kurve definiert durch die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=(1+t)mathbf{i}+(2+5t)mathbf{j}+(−1+6t)mathbf {k}}).

Finden Sie den Definitionsbereich der vektorwertigen Funktionen.

Bereich: (mathrm{r(t)=⟨t^2, an t,ln t⟩})

(mathrm{t>0,t≠(2k+1)frac{pi}{2}}), wobei k eine ganze Zahl . ist

Bereich: (mathrm{r(t)=⟨t^2,sqrt{t−3},frac{3}{2t+1}⟩})

Bereich: (mathrm{r(t)=⟨csc(t),frac{1}{sqrt{t−3}}, ln(t−2)⟩})

(mathrm{t>3,t≠npi}), wobei nein ist eine ganze Zahl

Sei (mathrm{r(t)=⟨cos t,t,sin t⟩}) und beantworte damit die folgenden Fragen.

Für welche Werte von t ist ( extrm{r(t)}) stetig?

Skizzieren Sie den Graphen von (mathrm{r(t)}).

Finden Sie das Gebiet von (mathrm{r(t)=2e^{-t} mathbf{i}+e^{−t}mathbf{j}+ln(t−1)mathbf{k} }).

Für welche Werte von t ist (mathrm{r(t)=2e_S^{-t}mathbf{i}+e^{−t}mathbf{j}+ln(t−1)mathbf{k}}) kontinuierlich?

Alle t so dass (mathrm{t∈(1,infty)})

Eliminieren Sie den Parameter t, schreiben Sie die Gleichung in kartesischen Koordinaten und skizzieren Sie dann die Graphen der vektorwertigen Funktionen. (Hinweis: Seien ( extrm{x=2t}) und ( extrm{y=t^2}) Löse die erste Gleichung nach x bezüglich t und setze dieses Ergebnis in die zweite Gleichung ein.)

(mathrm{r(t)=2tmathbf{i}+t^2mathbf{j}})

(mathrm{r(t)=t^3 mathbf{i}+2tmathbf{j}})

(mathrm{y=2sqrt[3]{x}}), eine Variation der Kubikwurzelfunktion

(mathrm{r(t)=2(sinh t)mathbf{i}+2(cosh t)mathbf{j},t>0})

(mathrm{r(t)=3(Kosten)i+3(sint)j})

(mathrm{x^2+y^2=9}), ein Kreis mit Mittelpunkt (mathrm{(0,0)}) mit Radius 3 und einer Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinnclockwise

(mathrm{r(t)=⟨3 sin t,3 cos t⟩})

Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um jede der folgenden vektorwertigen Funktionen zu skizzieren:

[T] (mathrm{r(t)=2cos t^2mathbf{i}+(2−sqrt{t})mathbf{j}})

[T] (mathrm{r(t)=⟨e^{cos (3t)},e^{−sin(t)}⟩})

[T] (mathrm{r(t)=⟨2−sin (2t),3+2cos t})

Finden Sie eine vektorwertige Funktion, die die gegebene Kurve in die angegebene Richtung zeichnet.

(mathrm{4x^2+9y^2=36}); im und gegen den Uhrzeigersinn

(mathrm{r(t)=⟨t,t^2⟩}); von links nach rechts

Von links nach rechts (mathrm{y=x^2}), wobei t zunimmt

Die Linie durch P und Q wo P ist (mathrm{(1,4,−2)}) und Q ist (mathrm{(3,9,6)})

Betrachten Sie die Kurve, die durch die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=(50e^{−t}cos t)mathbf{i}+(50e^{−t}sin t)mathbf {j}+(5−5e^{−t})mathbf{k}}).

Was ist der Anfangspunkt des Pfades, der (mathrm{r(0)}) entspricht?

(mathrm{(50,0,0)})

Was ist ( extrm{limlimits_{t oinfty}r(t)})?

[T] Verwenden Sie Technologie, um die Kurve zu skizzieren.

Eliminieren Sie den Parameter t um zu zeigen, dass (mathrm{z=5−frac{r}{10}}) mit (mathrm{r=x^2+y^2}) gilt.

[T] Sei (mathrm{r(t)=cos tmathbf{i}+sin tmathbf{j}+0,3sin(2t)mathbf{k}}). Verwenden Sie Technologie, um die Kurve (genannt Achterbahnkurve) über das Intervall (mathrm{[0,2pi)}). Wählen Sie mindestens zwei Ansichten aus, um die Gipfel und Täler zu bestimmen.

[T] Verwenden Sie das Ergebnis der vorherigen Aufgabe, um eine Gleichung einer Achterbahn mit einem steilen Gefälle vom Gipfel und einer steilen Steigung vom „Tal“ zu erstellen. Verwenden Sie dann die Technologie, um die Gleichung grafisch darzustellen.

Verwenden Sie die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Aufgaben, um eine Bahngleichung einer Achterbahn mit mehr als zwei Wendepunkten (Gipfel und Täler) zu konstruieren.

Eine Möglichkeit ist (mathrm{r(t)=cos tmathbf{i}+sin tmathbf{j}+sin (4t)mathbf{k}}). Durch Erhöhen des Koeffizienten von t in der dritten Komponente wird die Zahl der Wendepunkte erhöht.

  1. Zeichne die Kurve (mathrm{r(t)=(4+cos(18t))cos(t)mathbf{i}+(4+cos (18t)sin(t))mathbf{j} +0,3 sin(18t)mathbf{k}}) mit zwei Blickwinkeln Ihrer Wahl, um die Gesamtform der Kurve zu sehen.
  2. Ähnelt die Kurve einem „Slinky“?
  3. Welche Änderungen an der Gleichung sollten vorgenommen werden, um die Anzahl der Windungen des Slinky zu erhöhen?

13.2: Berechnung vektorwertiger Funktionen

Berechnen Sie die Ableitungen der vektorwertigen Funktionen.

(mathrm{r(t)=t^3 mathbf{i}+3t^2 mathbf{j}+frac{t^3}{6}mathbf{k}})

(mathrm{⟨3t^2,6t,frac{1}{2}t^2⟩})

(mathrm{r(t)=sin(t)mathbf{i}+cos(t)mathbf{j}+e^tmathbf{k}})

(mathrm{r(t)=e^{−t}mathbf{i}+sin(3t)mathbf{j}+10 sqrt{t}mathbf{k}}). Eine Skizze des Diagramms ist hier gezeigt. Beachten Sie die unterschiedliche periodische Natur des Graphen.

(mathrm{⟨−e^{−t},3cos (3t),5t⟩})

(mathrm{r(t)=e^tmathbf{i}+2e^tmathbf{j}+mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=mathbf{i}+mathbf{j}+mathbf{k}})

(mathrm{⟨0,0,0⟩})

(mathrm{r(t)=te^tmathbf{i}+tln(t)mathbf{j}+sin(3t)mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=frac{1}{t+1} mathbf{i}+arctan(t)mathbf{j}+ln t^3 mathbf{k}})

(mathrm{⟨frac{−1}{(t+1)^2},frac{1}{1+t^2},frac{3}{t}⟩})

(mathrm{r(t)= an(2t)mathbf{i}+sec(2t)mathbf{j}+sin^2(t)mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=3mathbf{i}+4sin(3t)mathbf{j}+tcos(t)mathbf{k}})

(mathrm{⟨0,12cos(3t), cos t−tsin t⟩})

(mathrm{r(t)=t^2 mathbf{i}+te^{−2t} mathbf{j}−5e^{−4t} mathbf{k}})

Finden Sie für die folgenden Probleme einen Tangentenvektor beim angegebenen Wert von t.

(mathrm{r(t)=tmathbf{i}+sin(2t)mathbf{j}+cos(3t)mathbf{k}}); (mathrm{t=frac{π}{3}})

( extrm{frac{1}{sqrt{2}}⟨1,−1,0⟩})

(mathrm{r(t)=3t^3 mathbf{i}+2t^2 mathbf{j}+frac{1}{t} mathbf{k};t=1})

(mathrm{r(t)=3e^tmathbf{i}+2e^{−3t} mathbf{j}+4e^{2t} mathbf{k}; t=ln(2)} )

( extrm{frac{1}{sqrt{1060.5625}}⟨6,−34,32⟩})

(mathrm{r(t)=cos(2t)mathbf{i}+2sin tmathbf{j}+t^2 mathbf{k};t=frac{π}{2} })

Ermitteln Sie den Einheitstangensvektor für die folgenden parametrisierten Kurven.

(mathrm{r(t)=6 mathbf{i}+cos(3t) mathbf{j}+3sin(4t) mathbf{k}, 0≤t<2π})

(mathrm{frac{1}{sqrt{9sin^2 (3t)+144cos^2 (4t)}}⟨0,−3sin(3t),12cos(4t)⟩} )

(mathrm{r(t)=costmathbf{i}+sintmathbf{j}+sintmathbf{k}, 0≤t<2π}). Zwei Ansichten dieser Kurve werden hier präsentiert:

(mathrm{r(t)=3cos(4t)mathbf{i}+3sin(4t)mathbf{j}+5tmathbf{k},1≤t≤2})

(mathrm{T(t)=−frac{12}{13} sin(4t)mathbf{i}+frac{12}{13}cos (4t)mathbf{j}+ frac{5}{13} mathbf{k}})

(mathrm{r(t)=tmathbf{i}+3tmathbf{j}+t^2mathbf{k}})

Seien (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+t^2 mathbf{j}−t^4 mathbf{k}}) und (mathrm{s(t)= sin(t)mathbf{i}+e^tmathbf{j}+cos(t)mathbf{k}}) Hier ist der Graph der Funktion:

Finde das Folgende.

( extrm{frac{d}{dt}[r(t^2)]})

(mathrm{⟨2t,4t^3,−8t^7⟩})

(mathrm{frac{d}{dt}[t^2⋅s(t)]})

(mathrm{frac{d}{dt}[r(t)⋅s(t)]})

(mathrm{sin(t)+2te^t−4t^3 cos(t)+tcos(t)+t^2e^t+t^4sin(t)})

Berechnen Sie die erste, zweite und dritte Ableitung von (mathrm{r(t)=3tmathbf{i}+6ln(t)mathbf{j}+5e^{−3t}mathbf{k} }).

Finde (mathrm{r'(t)⋅r''(t); für ;r(t)=−3t^5 mathbf{i}+5t mathbf{j}+2t^2 mathbf {k}.})

(mathrm{900t^7+16t})

Die Beschleunigungsfunktion, die Anfangsgeschwindigkeit und die Anfangsposition eines Teilchens sind

(mathrm{a(t)=−5 cos tmathbf{i}−5sin tmathbf{j},v(0)=9 mathbf{i}+2 mathbf{j}, und ;r(0)=5 mathbf{i}.}) Finde (mathrm{v(t); und ;r(t)}).

Der Ortsvektor eines Teilchens ist (mathrm{r(t)=5 sec(2t)mathrm{i}−4tan(t)mathrm{j}+7t^2 mathrm{k}}) .

  1. Stellen Sie die Positionsfunktion grafisch dar und zeigen Sie eine Ansicht des Diagramms an, die das asymptotische Verhalten der Funktion veranschaulicht.
  2. Finden Sie die Geschwindigkeit als t nähert sich, ist aber nicht gleich (mathrm{frac{π}{4}}) (falls existiert).
  1. Undefiniert oder unendlich

Bestimme die Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit eines Teilchens mit der Ortsfunktion (mathrm{r(t)=(frac{2t−1}{2t+1}) mathbf{i}+ln(1−4t^ 2) mathbf{j}}). Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist der Betrag der Geschwindigkeit und wird durch (mathrm{‖r′(t)‖}) dargestellt.

Ein Teilchen bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius b nach der Funktion (mathrm{r(t)=bcos(omega t)mathbf{i}+bsin(omega)mathbf{j},}) wobei (mathrm{ omega}) ist die Winkelgeschwindigkeit, (mathrm{frac{d heta}{dt}}).

Finden Sie die Geschwindigkeitsfunktion und zeigen Sie, dass ( extrm{v(t)}) immer orthogonal zu ( extrm{r(t)}) ist.

(mathrm{r'(t)=−bomega sin(omega t)mathbf{i}+bomega cos(omega t)mathbf{j}}). Um die Orthogonalität zu zeigen, beachte (mathrm{r'(t)⋅r(t)=0}).

Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Teilchens proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist.

Bewerte (mathrm{frac{d}{dt}[u(t) imes u′(t)]}) gegeben (mathrm{u(t)=t^2 mathbf{i}− 2t mathbf{j}+mathbf{k}}).

(mathrm{0 mathbf{i} +2 mathbf{j}+4t mathbf{j}})

Finden Sie die Stammfunktion von (mathrm{r'(t)=cos(2t)mathbf{i}−2sin tmathbf{j}+frac{1}{1+t^2} mathbf {k}}), die die Anfangsbedingung (mathrm{r(0)=3 mathbf{i}−2 mathbf{j}+mathbf{k}}) erfüllt.

Bewerte (mathrm{int_0^3‖ti+t^2j‖dt}).

( extrm{frac{1}{3}(10^{frac{3}{2}}−1)})

Ein Objekt beginnt im Ruhepunkt (mathrm{P(1,2,0)}) und bewegt sich mit einer Beschleunigung von(mathrm{ a(t)=mathbf{j}+2 mathbf{k },}) wobei (mathrm{‖a(t)‖}) in Fuß pro Sekunde pro Sekunde gemessen wird. Finden Sie den Ort des Objekts nach (mathrm{t=2}) Sek.

Zeigen Sie, dass, wenn die Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich entlang einer Kurve bewegt, die durch eine vektorwertige Funktion dargestellt wird, konstant ist, dann die Geschwindigkeitsfunktion immer senkrecht zur Beschleunigungsfunktion steht.

(egin{align} mathrm{‖v(t)‖;} & mathrm{= k} mathrm{v(t)·v(t) ;} & mathrm{= k} mathrm{ddt(v(t)·v(t)) ;} & mathrm{=frac{d}{dt}k=0} mathrm{v(t)·v′( t)+v′(t)·v(t) ;} & mathrm{= 0} mathrm{2v(t)·v′(t) ;} & mathrm{= 0} mathrm{v(t)·v′(t);} & mathrm{= 0}end{ausrichten})

Die letzte Aussage impliziert, dass Geschwindigkeit und Beschleunigung senkrecht oder orthogonal sind.

Gegeben (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+3tmathbf{j}+t^2mathbf{k}}) und (mathrm{u(t)=4tmathbf {i}+t^2 mathbf{j}+t^3 mathbf{k}}), finde (mathrm{frac{d}{dt}(r(t) imes u(t) )}).

Gegeben (mathrm{r(t)=⟨t+ cos t,t−sin t⟩}), bestimme die Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt.

(mathrm{v(t)=⟨1− sin t,1−cos t⟩, Geschwindigkeit=−v(t)‖=sqrt{4−2(sin t+cos t)}} )

Finden Sie den Geschwindigkeitsvektor für die Funktion (mathrm{r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩}).

Finden Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve ( extrm{r(t)=⟨e^t,e^{−t},0⟩}) bei ( extrm{t=0}).

(mathrm{x−1=t,y−1=−t,z−0=0})

Beschreiben und skizzieren Sie die Kurve, die durch die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩}) dargestellt wird.

Suchen Sie den höchsten Punkt der Kurve (mathrm{r(t)=⟨6t,6t−t^2⟩}) und geben Sie den Wert der Funktion an diesem Punkt an.

( extrm{r(t)=⟨18,9⟩}) bei ( extrm{t=3})

Der Ortsvektor für ein Teilchen ist (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+t^2 mathbf{j}+t^3 mathbf{k}}). Der Graph ist hier gezeigt :

Finden Sie den Geschwindigkeitsvektor zu jeder Zeit.

Finden Sie die Geschwindigkeit des Teilchens zur Zeit (mathrm{t=2}) sek.

(mathrm{sqrt{593}})

Finden Sie die Beschleunigung zum Zeitpunkt (mathrm{t=2}) sek.

Ein Teilchen bewegt sich auf der Bahn einer Helix mit der Gleichung (mathrm{r(t)=cos(t)mathbf{i}+sin(t)mathbf{j}+tmathbf{k} }). Siehe die hier dargestellte Grafik:

Finde das Folgende:

Geschwindigkeit des Teilchens zu jeder Zeit

(mathrm{v(t)=⟨−sin t,cos t,1⟩})

Geschwindigkeit des Teilchens zu jeder Zeit

Beschleunigung des Teilchens zu jeder Zeit

(mathrm{a(t)=−cos tmathbf{i}−sin tmathbf{j}+0mathbf{j}})

Finden Sie den Einheitstangensvektor für die Helix.

Ein Teilchen bewegt sich auf der Bahn einer Ellipse mit der Gleichung (mathrm{r(t)=cos tmathbf{i}+2sin tmathbf{j}+0mathbf{k}}) . Finde das Folgende:

Geschwindigkeit des Teilchens

(mathrm{v(t)=⟨−sin t,2 cos t,0⟩})

Geschwindigkeit des Teilchens bei (mathrm{t=frac{π}{4}})

Beschleunigung des Teilchens bei (mathrm{t=frac{π}{4}})

(mathrm{a(t)=⟨−frac{sqrt{2}}{2},−sqrt{2},0⟩})

Gegeben sei die vektorwertige Funktion (mathrm{r(t)=⟨ an t,sec t,0⟩}) (der Graph ist hier gezeigt), finde Folgendes:

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit

(mathrm{‖v(t)‖=sqrt{sec ^4 t+sec ^2 t an ^2 t}=sqrt{sec ^2 t(sec ^2 t+ an ^2 t)}})

Beschleunigung

Bestimmen Sie die minimale Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich entlang der Kurve (mathrm{r(t)=⟨t+cos t,t−sin t⟩}) mathrm{t∈[0,2π)}) bewegt.

2

Gegeben (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+2sin tmathbf{j}+2cos tmathbf{k}}) und (mathrm{u(t) =frac{1}{t}mathbf{i}+2sin tmathbf{j}+2cos tmathbf{k}}), finden Sie Folgendes:

( extrm{r(t) imes u(t)})

( extrm{frac{d}{dt}(r(t) imes u(t))})

(mathrm{⟨0,2 sin t(t−frac{1}{t})−2 cos t(1+ frac{1}{t^2}),2 sin t(1 + frac{1}{t^2})+2 cos t(t−frac{2}{t})⟩})

Verwenden Sie nun die Produktregel für die Ableitung des Kreuzprodukts zweier Vektoren und zeigen Sie, dass dieses Ergebnis mit der Antwort für das obige Problem übereinstimmt.

Finden Sie den Einheitstangensvektor T(t) für die folgenden vektorwertigen Funktionen.

(mathrm{r(t)=⟨t,frac{1}{t}⟩}). Die Grafik wird hier angezeigt:

(mathrm{T(t)=⟨frac{t^2}{sqrt{t^4+1}},frac{-1}{sqrt{t^4+1}⟩}} )

( extrm{r(t)=⟨tcos t,t sin t})

(mathrm{r(t)=⟨t+1,2t+1,2t+2⟩})

(mathrm{T(t)=frac{1}{3} ⟨1,2,2⟩})

Bewerten Sie die folgenden Integrale:

(mathrm{int(e^tmathbf{i}+sin tmathbf{j}+frac{1}{2t−1}mathbf{k})dt})

(mathrm{int_0^1r(t)dt}), wobei (mathrm{r(t)=⟨sqrt[3]{t},frac{1}{t+1}, e^{−t}⟩})

(mathrm{frac{3}{4}mathbf{i}+ln(2) mathbf{j}+(1−frac{1}{e}) mathbf{j}})

13.3: Bogenlänge und Krümmung

Übungen

Finden Sie die Bogenlänge der Kurve im angegebenen Intervall.

(mathrm{r(t)=t^2mathbf{i}+14tmathbf{j},0≤t≤7}). Dieser Teil des Diagramms wird hier angezeigt:

(mathrm{r(t)=t^2 mathbf{i}+(2t^2+1)mathbf{j},1≤t≤3})

(mathrm{8sqrt{5}})

(mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩,0≤t≤π}). Dieser Teil des Diagramms wird hier angezeigt:

(mathrm{r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩,−1≤t≤0})

( extrm{frac{1}{54}(37^{3/2}−1)})

(mathrm{r(t)=⟨e^{−tcos t},e^{−tsin t}⟩}) über das Intervall (mathrm{[0,frac{π} {2}]}). Hier ist der Teil des Diagramms im angegebenen Intervall:

Finden Sie die Länge einer Windung der Helix gegeben durch (mathrm{r(t)=frac{1}{2}cos tmathbf{i}+frac{1}{2} sin t mathbf{j}+sqrt{frac{3}{4}}t mathbf{k}.})

Länge (mathrm{=2π})

Bestimme die Bogenlänge der vektorwertigen Funktion (mathrm{r(t)=−tmathbf{i}+4tmathbf{j}+3tmathbf{k}}) über (mathrm{ [0,1]}).

Ein Teilchen bewegt sich auf einem Kreis mit der Bewegungsgleichung (mathrm{r(t)=3 cos tmathbf{i}+3 sin tmathbf{j} +0 mathbf{k}}) . Bestimmen Sie die Entfernung, die das Teilchen um den Kreis zurücklegt.

(mathrm{6π})

Bilden Sie ein Integral, um den Umfang der Ellipse mit der Gleichung (mathrm{r(t)=cos tmathbf{i}+2sin tmathbf{j}+0mathbf{k}) zu ermitteln. })

Bestimme die Länge der Kurve (mathrm{r(t)=⟨sqrt{2}t,e^t,e^{−t}⟩}) über dem Intervall (mathrm{0≤t≤ 1}). Die Grafik wird hier angezeigt:

(mathrm{e−frac{1}{e}})

Bestimmen Sie die Länge der Kurve (mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}) für (mathrm{t∈[−10,10]}).

Die Ortsfunktion für ein Teilchen ist (mathrm{r(t)=acos(ωt)mathbf{i}+bsin(ωt)mathbf{j}}). Finden Sie den Einheitstangensvektor und den Einheitsnormalenvektor bei (mathrm{t=0.})

(mathrm{T(0)=mathbf{j}, N(0)=−mathbf{i}})

Gegeben (mathrm{r(t)=acos(ωt)mathbf{i} +bsin(ωt)mathbf{j}}), bestimme den binormalen Vektor (mathrm{B(0 .) )}).

Gegeben (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), bestimme den Tangentenvektor (mathrm{T(t)}) .

(mathrm{T(t)=⟨2e^t,e^t cos t−e^t sin t,e^t cos t+e^t sin t⟩})

Gegeben (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), bestimme den Einheitstangensvektor (mathrm{T(t)} ) ausgewertet bei (mathrm{t=0}).

Gegeben (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), bestimme den Einheitsnormalenvektor (mathrm{N(t)} ) ausgewertet bei ( extrm{t=0}), ( extrm{N(0)}).

(mathrm{N(0)=⟨frac{sqrt{2}}{2},0,frac{sqrt{2}}{2}⟩})

Gegeben (mathrm{r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩}), bestimme den Einheitsnormalenvektor, ausgewertet bei (mathrm{t=0} ).

Gegeben (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+t^2mathbf{j}+tmathbf{k}}), bestimme den Einheitstangensvektor (mathrm{T(t )}). Die Grafik wird hier angezeigt:

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>})

Finden Sie den Einheitstangensvektor (mathrm{T(t)}) und den Einheitsnormalenvektor (mathrm{N(t)}) bei (mathrm{t=0}) für die ebene Kurve (mathrm{r(t)=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩}). Die Grafik wird hier angezeigt:

Bestimme den Einheitstangensvektor (mathrm{T(t)}) für (mathrm{r(t)=3tmathbf{i}+5t^2mathbf{j}+2tmathbf{k} })

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{100t^2+13}}(3mathbf{i}+10tmathbf{j}+2mathbf{k})} )

Finden Sie den Hauptnormalenvektor zur Kurve (mathrm{r(t)=⟨6 cos t,6 sin t⟩}) an dem durch (mathrm{t=π/3}) bestimmten Punkt .

Finden Sie (mathrm{T(t)}) für die Kurve (mathrm{r(t)=(t^3−4t)mathbf{i}+(5t^2−2)mathbf{j }}).

(mathrm{T(t)=frac{1}{sqrt{9t^4+76t^2+16}}([3t^2−4]mathbf{i}+10tmathbf{j} )})

Finden Sie (mathrm{N(t)}) für die Kurve (mathrm{r(t)=(t^3−4t)mathbf{i}+(5t^2−2)mathbf{j }}).

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor ( extrm{N(t)}) für ( extrm{r(t)=⟨2sint,5t,2cost⟩}).

(mathrm{N(t)=⟨−sint,0,−cost⟩})

Bestimmen Sie den Einheitstangensvektor ( extrm{T(t)}) für ( extrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}).

Finden Sie die Bogenlängenfunktion ( extrm{s(t)}) für das durch ( extrm{r(t)=⟨3−3t,4t⟩}) gegebene Liniensegment. Schreiben r als Parameter von s.

Bogenlängenfunktion: (mathrm{s(t)=5t}); r als Parameter von so: (mathrm{r(s)=(3−frac{3s}{5})mathbf{i}+frac{4s}{5}mathbf{j}})

Parametrieren Sie die Helix (mathrm{r(t)=cos tmathbf{i}+sin tmathbf{j}+tmathbf{k}}) mit dem Bogenlängenparameter so, aus (mathrm{t=0}).

Parametrieren Sie die Kurve mit dem Parameter Bogenlänge so, an dem Punkt, an dem (mathrm{t=0}) für (mathrm{r(t)=e^tsin tmathbf{i} + e^tcos tmathbf{j }})

(mathrm{(s)=(1+frac{s}{sqrt{2}}) sin ( ln (1+ frac{s}{sqrt{2}})) mathbf{ i} +(1+ frac{s}{sqrt{2}}) cos [ ln (1+frac{s}{sqrt{2}})]mathbf{j}})

Bestimme die Krümmung der Kurve (mathrm{r(t)=5 cos tmathbf{i}+4 sin tmathbf{j}}) bei (mathrm{t=π/3} ). (Hinweis: Der Graph ist eine Ellipse.)

Finden Sie die x-Koordinate, bei der die Krümmung der Kurve (mathrm{y=1/x}) maximal ist.

Der Maximalwert der Krümmung tritt bei (mathrm{x=sqrt[4]{5}}) auf.

Bestimmen Sie die Krümmung der Kurve (mathrm{r(t)=5 cos tmathbf{i}+5 sin tmathbf{j}}). Ist die Krümmung vom Parameter abhängig t?

Finden Sie die Krümmung (κ) für die Kurve ( extrm{y=x−frac{1}{4}x^2}) im Punkt ( extrm{x=2}).

( extrm{frac{1}{2}})

Finden Sie die Krümmung (κ) für die Kurve (mathrm{y=frac{1}{3}x^3}) im Punkt (mathrm{x=1}).

Bestimme die Krümmung κκ der Kurve (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+6t^2mathbf{j}+4tmathbf{k}}). Die Grafik wird hier angezeigt:

(mathrm{κ≈frac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}}})

Bestimme die Krümmung von (mathrm{r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩}).

Bestimme die Krümmung von (mathrm{r(t)=sqrt{2}tmathbf{i}+e^tmathbf{j}+e^{−t}mathbf{k}}) bei Punkt (mathrm{P(0,1,1)}).

( extrm{frac{1}{2sqrt{2}}})

An welchem ​​Punkt hat die Kurve (mathrm{y=e^x}) die maximale Krümmung?

Was passiert mit der Krümmung als ( extrm{x→∞}) für die Kurve ( extrm{y=e^x})?

Die Krümmung geht gegen Null.

Finden Sie den Punkt maximaler Krümmung auf der Kurve (mathrm{y=ln x}).

Finden Sie die Gleichungen der Normalebene und der Schmiegebene der Kurve (mathrm{r(t)=⟨2 sin (3t),t,2 cos (3t)⟩}) im Punkt (mathrm {(0,π,−2)}).

( extrm{y=6x+π}) und ( extrm{x+6=6π})

Finden Sie Gleichungen der Schmiegkreise der Ellipse (mathrm{4y^2+9x^2=36}) an den Punkten (mathrm{(2,0)}) und (mathrm{(0 .) ,3)}).

Finden Sie die Gleichung für die Schmiegfläche im Punkt (mathrm{t=π/4}) auf der Kurve (mathrm{r(t)=cos (2t)mathbf{i}+ sin (2t .) ) mathbf{j}+t}).

( extrm{x+2z=frac{π}{2}})

Bestimme den Krümmungsradius von (mathrm{6y=x^3}) im Punkt (mathrm{(2,frac{4}{3}).})

Finden Sie die Krümmung an jedem Punkt (mathrm{(x,y)}) auf der Hyperbel (mathrm{r(t)=⟨acosh(t),bsinh(t)}) .

(mathrm{frac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}}})

Berechnen Sie die Krümmung der Kreishelix (mathrm{r(t)=rsin(t)mathbf{i}+rcos(t)mathbf{j}+tmathbf{k}}) .

Bestimme den Krümmungsradius von (mathrm{y=ln(x+1)}) im Punkt (mathrm{(2,ln 3)}).

( extrm{frac{10sqrt{10}}{3}})

Bestimme den Krümmungsradius der Hyperbel (mathrm{xy=1}) im Punkt (mathrm{(1,1)}).

Ein Teilchen bewegt sich entlang der ebenen Kurve C, die durch (mathrm{r(t)=tmathbf{i}+t^2mathbf{j}}) beschrieben wird. Lösen Sie die folgenden Probleme.

Bestimmen Sie die Länge der Kurve über dem Intervall (mathrm{[0,2]}).

( extrm{frac{38}{3}})

Finden Sie die Krümmung der ebenen Kurve bei (mathrm{t=0,1,2}).

Beschreiben Sie die Krümmung als t steigt von ( extrm{t=0}) auf ( extrm{t=2}).

Die Krümmung nimmt über dieses Intervall ab.

Die Oberfläche eines großen Bechers wird gebildet, indem der Graph der Funktion ( extrm{y=0,25x^{1,6}}) von ( extrm{x=0}) nach ( extrm{x =5}) über die ja-Achse (gemessen in Zentimetern).

[T] Verwenden Sie Technologie, um die Oberfläche grafisch darzustellen.

Bestimme die Krümmung (κ) der erzeugenden Kurve als Funktion von x.

(mathrm{κ=frac{6}{x^{2/5}(25+4x^{6/5})}})

[T] Verwenden Sie Technologie, um die Krümmungsfunktion grafisch darzustellen.

13.4: Bewegung im Raum

aN=a⋅N=‖v×a‖‖v‖=‖a‖2−aT−−−−−−−−−√aN=a·N=‖v×a‖‖v‖=‖a‖2 −aT2

Gegeben r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j, bestimme die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Teilchens entlang dieser Kurve.

v(t)=(6t)i+(2−cos(t))jv(t)=(6t)i+(2−cos(t))j

Gegeben r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j, bestimme den Beschleunigungsvektor eines Teilchens Bewegen Sie sich entlang der Kurve in der vorherigen Übung.

Bestimmen Sie bei den folgenden Positionsfunktionen die Geschwindigkeit, Beschleunigung und Geschwindigkeit in Bezug auf den Parameter t.

r(t)=⟨3Kosten,3sint,t2⟩r(t)=⟨3Kosten,3sint,t2⟩

v(t)=⟨−3sint,3cost,2t⟩,v(t)=⟨−3sint,3cost,2t⟩, a(t)=⟨−3cost,−3sint,2⟩,a(t)=⟨− 3Kosten,−3sint,2⟩, Geschwindigkeit=9+4t2−−−−−−√Geschwindigkeit=9+4t2

r(t)=e−ti+t2j+tantkr(t)=e−ti+t2j+tantk

r(t)=2Kostenj+3sintk.r(t)=2Kostenj+3sintk. Die Grafik wird hier angezeigt:

v(t)=−2sintj+3costk,v(t)=−2sintj+3costk, a(t)=−2costj−3sintk,a(t)=−2costj−3sintk, Geschwindigkeit=4sin2(t)+9cos2(t )−−−−−−−−−−−−−−√Geschwindigkeit=4sin2(t)+9cos2(t)

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, Beschleunigung und Geschwindigkeit eines Teilchens mit der gegebenen Positionsfunktion.

r(t)=⟨t2−1,t⟩r(t)=⟨t2−1,t⟩

r(t)=⟨et,e−t⟩r(t)=⟨et,e−t⟩

v(t)=eti−e−tj,v(t)=eti−e−tj, a(t)=eti+e−tj,a(t)=eti+e−tj, ∥v(t)∥ e2t+e−2t−−−−−−−−√‖v(t)‖e2t+e−2t

r(t)=⟨sint,t,kosten⟩.r(t)=⟨sint,t,kosten⟩. Die Grafik wird hier angezeigt:

Die Positionsfunktion eines Objekts ist gegeben durch r(t)=⟨t2,5t,t2−16t⟩.r(t)=⟨t2,5t,t2−16t⟩. Zu welcher Zeit ist die Geschwindigkeit ein Minimum?

t=4t=4

Sei r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j.r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j. Bestimmen Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren und zeigen Sie, dass die Beschleunigung proportional zu r(t).r(t) ist.

Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf dem Umfang eines Rollkreises. Während der Kreis rollt, erzeugt er die Zykloide r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1−cos(ωt))j,r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1− cos(ωt))j, wobei ωω die Winkelgeschwindigkeit des Kreises und b der Radius des Kreises ist:

Finden Sie die Gleichungen für die Geschwindigkeit, Beschleunigung und Geschwindigkeit des Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt.

v(t)=(ω−ωcos(ωt))i+(ωsin(ωt))j,v(t)=(ω−ωcos(ωt))i+(ωsin(ωt))j,

a(t)=(ω2sin(ωt))i+(ω2cos(ωt))j,a(t)=(ω2sin(ωt))i+(ω2cos(ωt))j,

Drehzahl=ω2−2ω2cos(ωt)+ω2cos2(ωt)+ω2sin2(ωt)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −√=2ω2(1−cos(ωt))−−−−−−−−−−−−−√Geschwindigkeit=ω2−2ω2cos(ωt)+ω2cos2(ωt)+ω2sin2(ωt)=2ω2(1−cos (ωt))

Eine Person auf einem Hängegleiter schwebt aufgrund der schnell aufsteigenden Luft auf einem Weg mit dem Positionsvektor r(t)=(3cost)i+(3sint)j+t2k.r(t)=(3cost)i+(3sint .) nach oben )j+t2k. Der Weg ähnelt dem einer Helix, obwohl es sich nicht um eine Helix handelt. Die Grafik wird hier angezeigt:

Finden Sie die folgenden Mengen:

Die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren

Die Geschwindigkeit des Segelflugzeugs zu jeder Zeit

∥v(t)∥=9+4t2−−−−−−√‖v(t)‖=9+4t2

Die Zeiten, zu denen die Beschleunigung des Segelflugzeugs, falls vorhanden, orthogonal zu seiner Geschwindigkeit ist

Unter der Annahme, dass r(t)=⟨e−5tsint,e−5tcost,4e−5t⟩r(t)=⟨e−5tsint,e−5tcost,4e−5t⟩ der Ortsvektor eines sich bewegenden Teilchens ist, finden Sie Folgendes Mengen:

Die Geschwindigkeit des Teilchens

v(t)=⟨e−5t(Kosten−5sint),−e−5t(sint+5Kosten),−20e−5t⟩v(t)=⟨e−5t(Kosten−5sint),−e−5t( sint+5Kosten),−20e−5t⟩

Die Geschwindigkeit des Teilchens

Die Beschleunigung des Teilchens

a(t)=⟨e−5t(−sint−5Kosten)−5e−5t(Kosten−5sint),a(t)=⟨e−5t(−sint−5Kosten)−5e−5t(Kosten−5sint), −e−5t(Kosten−5sint)+5e−5t(sint+5Kosten),100e−5t⟩−e−5t(Kosten−5sint)+5e−5t(sint+5Kosten),100e−5t⟩

Ermitteln Sie die Höchstgeschwindigkeit eines Punktes auf dem Umfang eines Autoreifens mit einem Radius von 1 Fuß, wenn das Auto mit 55 mph fährt.

Ein Geschoss wird vom Boden aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 500 m/s in einem Winkel von 60° zur Horizontalen in die Luft geschossen. Die Grafik wird hier angezeigt:

Wann erreicht das Projektil die maximale Höhe?

44,185 Sek.

Wie hoch ist die ungefähre maximale Höhe des Projektils?

Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die maximale Reichweite des Projektils erreicht?

t=88,37t=88,37 Sek.

Was ist die maximale Reichweite?

Wie lang ist die Gesamtflugzeit des Projektils?

88,37 Sek.

Ein Geschoss wird in einer Höhe von 1,5 m über dem Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/sec und in einem Winkel von 30° über der Horizontalen abgefeuert. Verwenden Sie diese Informationen, um die folgenden Fragen zu beantworten:

Bestimmen Sie die maximale Höhe des Projektils.

Bestimmen Sie die Reichweite des Projektils.

Die Reichweite beträgt ca. 886,29 m.

Ein Golfball wird in horizontaler Richtung von der Oberkante eines 30 m hohen Gebäudes geschlagen. Wie schnell muss der Ball abgeschossen werden, um in einer Entfernung von 450 Fuß zu landen?

Ein Geschoss wird vom Boden aus in einem Winkel von 8° zur Horizontalen abgefeuert. Das Projektil soll eine Reichweite von 50 m haben. Finden Sie die minimale Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um diesen Bereich zu erreichen.

v=42,16v=42,16 m/s

Beweisen Sie, dass ein Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt, eine Beschleunigung von Null hat.

Die Beschleunigung eines Objekts ist gegeben durch a(t)=tj+tk.a(t)=tj+tk. Die Geschwindigkeit bei t=1t=1 sec ist v(1)=5jv(1)=5j und die Position des Objekts bei t=1t=1sec ist r(1)=0i+0j+0k.r(1)= 0i+0j+0k. Finden Sie jederzeit die Position des Objekts.

r(t)=0i+(16t3+4.5t−143)j+(t36−12t+13)kr(t)=0i+(16t3+4.5t−143)j+(t36−12t+13)k

Finden Sie r(t)r(t) unter der Voraussetzung a(t)=−32j,a(t)=−32j, v(0)=6003√i+600j,v(0)=6003i+600j und r( 0)=0.r(0)=0.

Bestimmen Sie die Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung für r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)jr(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j bei t=0.t=0.

aT=0,aT=0, aN=aω2aN=aω2

Gegeben r(t)=t2i+2tjr(t)=t2i+2tj und t=1,t=1, bestimme die Tangential- und Normalkomponente der Beschleunigung.

Bestimmen Sie für jedes der folgenden Probleme die Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung.

r(t)=⟨etcost,etsint,et⟩.r(t)=⟨etcost,etsint,et⟩. Die Grafik wird hier angezeigt:

aT=3√et,aT=3et, aN=2√etaN=2et

r(t)=⟨cos(2t),sin(2t),1⟩r(t)=⟨cos(2t),sin(2t),1⟩

r(t)=⟨2t,t2,t33⟩r(t)=⟨2t,t2,t33⟩

aT=2t,aT=2t, aN=4+2t2aN=4+2t2

r(t)=⟨23(1+t)3/2,23(1−t)3/2,2√t⟩r(t)=⟨23(1+t)3/2,23(1− t)3/2,2t⟩

r(t)=⟨6t,3t2,2t3⟩r(t)=⟨6t,3t2,2t3⟩

aT6t+12t31+t4+t2√,aT6t+12t31+t4+t2, aN=61+4t2+t41+t2+t4−−−−−−√aN=61+4t2+t41+t2+t4

r(t)=t2i+t2j+t3kr(t)=t2i+t2j+t3k

r(t)=3cos(2πt)i+3sin(2πt)jr(t)=3cos(2πt)i+3sin(2πt)j

aT=0,aT=0, aN=23√πaN=23π

Bestimmen Sie die Positionsvektor-wertige Funktion r(t),r(t), vorausgesetzt a(t)=i+etj,a(t)=i+etj, v(0)=2j,v(0)=2j , und r(0)=2i.r(0)=2i.

Die Kraft auf ein Teilchen ist gegeben durch f(t)=(cost)i+(sint)j.f(t)=(cost)i+(sint)j. Das Teilchen befindet sich am Punkt (c,0)(c,0) bei t=0.t=0. Die Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens ist durch v(0)=v0j.v(0)=v0j gegeben. Finden Sie den Weg des Masseteilchens ich. (Zur Erinnerung, F=m⋅a.)F=m·a.)

r(t)=(−1mKosten+c+1m)i+(−sintm+(v0+1m)t)jr(t)=(−1mKosten+c+1m)i+(−sintm+(v0+1m)t)j

Ein Auto mit einem Gewicht von 2700 lb macht eine Kurve auf einer ebenen Straße, während es mit 56 ft/sec fährt. Wenn der Kurvenradius 70 Fuß beträgt, wie groß ist die erforderliche Reibungskraft, um das Auto vor dem Schleudern zu bewahren?

Mit den Keplerschen Gesetzen kann gezeigt werden, dass v0=2GMr0−−−−√v0=2GMr0 die minimale Geschwindigkeit ist, die bei θ=0θ=0 erforderlich ist, damit ein Objekt dem Zug einer aus der Masse resultierenden Zentralkraft entkommt escape M. Use this result to find the minimum speed when θ=0θ=0 for a space capsule to escape from the gravitational pull of Earth if the probe is at an altitude of 300 km above Earth’s surface.

10.94 km/sec

Find the time in years it takes the dwarf planet Pluto to make one orbit about the Sun given that a=39.5a=39.5 A.U.

Suppose that the position function for an object in three dimensions is given by the equation r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.

Show that the particle moves on a circular cone.

Find the angle between the velocity and acceleration vectors when t=1.5.t=1.5.

Find the tangential and normal components of acceleration when t=1.5.t=1.5.

aT=0.43m/sec2,aT=0.43m/sec2,

aN=2.46m/sec2aN=2.46m/sec2

Übungen zur Kapitelüberprüfung

True or False? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

A parametric equation that passes through points P and Q can be given by r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩,r(t)=⟨t2,3t+1,t−2⟩, where P(1,4,−1)P(1,4,−1) and Q(16,11,2).Q(16,11,2).

ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)ddt[u(t)×u(t)]=2u′(t)×u(t)

False, ddt[u(t)×u(t)]=0ddt[u(t)×u(t)]=0

The curvature of a circle of radius rr is constant everywhere. Furthermore, the curvature is equal to 1/r.1/r.

The speed of a particle with a position function r(t)r(t) is (r′(t))/(|r′(t)|).(r′(t))/(|r′(t)|).

False, it is |r′(t)||r′(t)|

Find the domains of the vector-valued functions.

r(t)=⟨sin(t),ln(t),t√⟩r(t)=⟨sin(t),ln(t),t⟩

r(t)=⟨et,14−t√,sec(t)⟩r(t)=⟨et,14−t,sec(t)⟩

t<4,t<4, t≠nπ2t≠nπ2

Sketch the curves for the following vector equations. Use a calculator if needed.

[T] r(t)=⟨t2,t3⟩r(t)=⟨t2,t3⟩

[T] r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩r(t)=⟨sin(20t)e−t,cos(20t)e−t,e−t⟩

Find a vector function that describes the following curves.

Intersection of the cylinder x2+y2=4x2+y2=4 with the plane x+z=6x+z=6

Intersection of the cone z=x2+y2−−−−−−√z=x2+y2 and plane z=y−4z=y−4

r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩r(t)=⟨t,2−t28,−2−t28⟩

Find the derivatives of u(t),u(t), u′(t),u′(t), u′(t)×u(t),u′(t)×u(t), u(t)×u′(t),u(t)×u′(t), and u(t)⋅u′(t).u(t)·u′(t). Find the unit tangent vector.

u(t)=⟨et,e−t⟩u(t)=⟨et,e−t⟩

u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩u(t)=⟨t2,2t+6,4t5−12⟩

u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩,u′(t)=⟨2t,2,20t4⟩, u′′(t)=⟨2,0,80t3⟩,u″(t)=⟨2,0,80t3⟩, ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩,ddt[u′(t)×u(t)]=⟨−480t3−160t4,24+75t2,12+4t⟩, ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩,ddt[u(t)×u′(t)]=⟨480t3+160t4,−24−75t2,−12−4t⟩, ddt[u(t)⋅u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4,ddt[u(t)·u′(t)]=720t8−9600t3+6t2+4, unit tangent vector: T(t)=2t400t8+4t2+4√i+2400t8+4t2+4√j+20t4400t8+4t2+4√kT(t)=2t400t8+4t2+4i+2400t8+4t2+4j+20t4400t8+4t2+4k

Evaluate the following integrals.

∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt∫(tan(t)sec(t)i−te3tj)dt

∫14u(t)dt,∫14u(t)dt, with u(t)=⟨ln(t)t,1t√,sin(tπ4)⟩u(t)=⟨ln(t)t,1t,sin(tπ4)⟩

ln(4)22i+2j+2(2+2√)πkln(4)22i+2j+2(2+2)πk

Find the length for the following curves.

r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩r(t)=⟨3(t),4cos(t),4sin(t)⟩ for 1≤t≤41≤t≤4

r(t)=2i+tj+3t2kr(t)=2i+tj+3t2k for 0≤t≤10≤t≤1

37√2+112sinh−1(6)372+112sinh−1(6)

Reparameterize the following functions with respect to their arc length measured from t=0t=0 in direction of increasing t.t.

r(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)kr(t)=2ti+(4t−5)j+(1−3t)k

r(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)kr(t)=cos(2t)i+8tj−sin(2t)k

r(t(s))=cos(2s65√)i+8s65√j−sin(2s65√)kr(t(s))=cos(2s65)i+8s65j−sin(2s65)k

Find the curvature for the following vector functions.

r(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)kr(t)=(2sint)i−4tj+(2cost)k

r(t)=2√eti+2√e−tj+2tkr(t)=2eti+2e−tj+2tk

e2t(e2t+1)2e2t(e2t+1)2

Find the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector for r(t)=2costi+3tj+2sintk.r(t)=2costi+3tj+2sintk.

Find the tangential and normal acceleration components with the position vector r(t)=⟨cost,sint,et⟩.r(t)=⟨cost,sint,et⟩.

aT=e2t1+e2t√,aT=e2t1+e2t, aN=2e2t+4e2tsintcost+1√1+e2t√aN=2e2t+4e2tsintcost+11+e2t

A Ferris wheel car is moving at a constant speed vv and has a constant radius r.r. Find the tangential and normal acceleration of the Ferris wheel car.

The position of a particle is given by r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩,r(t)=⟨t2,ln(t),sin(πt)⟩, where tt is measured in seconds and rr is measured in meters. Find the velocity, acceleration, and speed functions. What are the position, velocity, speed, and acceleration of the particle at 1 sec?

v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩v(t)=⟨2t,1t,cos(πt)⟩ m/sec, a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2,a(t)=⟨2,−1t2,−sin(πt)⟩m/sec2, speed=4t2+1t2+cos2(πt)−−−−−−−−−−−−−−−√speed=4t2+1t2+cos2(πt) m/sec; at t=1,t=1, r(1)=⟨1,0,0⟩r(1)=⟨1,0,0⟩ m, v(1)=⟨2,−1,1⟩v(1)=⟨2,−1,1⟩ m/sec, a(1)=⟨2,−1,0⟩a(1)=⟨2,−1,0⟩ m/sec2, and speed=6√speed=6 m/sec

The following problems consider launching a cannonball out of a cannon. The cannonball is shot out of the cannon with an angle θθ and initial velocity v0.v0. The only force acting on the cannonball is gravity, so we begin with a constant acceleration a(t)=−gj.a(t)=−gj.

Find the velocity vector function v(t).v(t).

Find the position vector r(t)r(t) and the parametric representation for the position.

r(t)=v0t−g2t2j,r(t)=v0t−g2t2j, r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩r(t)=⟨v0(cosθ)t,v0(sinθ)t,−g2t2⟩

At what angle do you need to fire the cannonball for the horizontal distance to be greatest? What is the total distance it would travel?


Directional derivatives for vector-valued functions

Do we only calculate directional derivatives for scalar-valued functions?

Is it not possible to calculate directional derivatives for vector-valued functions?

How about using the vector of directional derivatives of the components of the given vector function? Would there be any useful physical or geometric meaning?

For a specific (randomly chosen) example, if $vec v(x,y,z)$ is given by $ vec v(x,y,z)= egin x^3+y^2+z ze^x xyz-9xz end $ how can we interpret the directional derivative of $vec v$ at the point $(1,2,3)$ in the direction of the vector $vec u=2i+3j-5k$ ?


A: The limit of a function limx→Xfx=Y means that value of function fx can be as close to Y by making v.

Q: Based on the graph how many students in a class of 250 students would be expected to have 1 or 2 sib.

A: Click to see the answer

Q: Find the directional derivative of the function at P in the direction of v. g(x, y) = sqrt (x2+y2 ).

A: The partial derivatives of f at point (x,y)=(5,12) are : ∂f∂x=12x2+y2.2x=xx2+y2And,∂f∂y=12x2+y2.2y=y.

Q: a) If f(t) = cos(3t) Find L[ f"(t) ] %3D

A: Consider a function ft. The Laplace transformation of single and double derivative of the function c.

Q: Let u = PQ and v = PR. P = (−2, −1), Q = (7, −1), R = (2, 2) a. Write u and v in component form. b.

A: P = (−2, −1), Q = (7, −1), R = (2, 2) and also we have, Let u = PQ and v = PR.

Q: Match each equation to the appropriate graph and classify (name) the quadric surface. ein. 422 + y? + .

A: (a) Given : 4x2+y2+z2=4⇒x21+y24+z24=1 Therefore, it is an "Ellipsoid". (b) z=4x2+y2 ⇒z4=x21+y24 The.

Q: If y= In( 9 tan (9x) ), then y' tan'(9x) = %3D

A: Given: y=ln9tan-19x To find: y'tan-19x=?

Q: Solve the Double Integral and show the step by step solutions.

Q: The weights of the Grade 11 students are normally distributed with mean of 48 kgs and standard devia.

A: The weights of the Grade 11 students are normally distributed with mean of 48 kg and standard deviat.


A: The limit of a function limx→Xfx=Y means that value of function fx can be as close to Y by making v.

Q: Based on the graph how many students in a class of 250 students would be expected to have 1 or 2 sib.

A: Click to see the answer

Q: Find the directional derivative of the function at P in the direction of v. g(x, y) = sqrt (x2+y2 ).

A: The partial derivatives of f at point (x,y)=(5,12) are : ∂f∂x=12x2+y2.2x=xx2+y2And,∂f∂y=12x2+y2.2y=y.

Q: a) If f(t) = cos(3t) Find L[ f"(t) ] %3D

A: Consider a function ft. The Laplace transformation of single and double derivative of the function c.

Q: Let u = PQ and v = PR. P = (−2, −1), Q = (7, −1), R = (2, 2) a. Write u and v in component form. b.

A: P = (−2, −1), Q = (7, −1), R = (2, 2) and also we have, Let u = PQ and v = PR.

Q: Match each equation to the appropriate graph and classify (name) the quadric surface. ein. 422 + y? + .

A: (a) Given : 4x2+y2+z2=4⇒x21+y24+z24=1 Therefore, it is an "Ellipsoid". (b) z=4x2+y2 ⇒z4=x21+y24 The.

Q: If y= In( 9 tan (9x) ), then y' tan'(9x) = %3D

A: Given: y=ln9tan-19x To find: y'tan-19x=?

Q: Solve the Double Integral and show the step by step solutions.

Q: The weights of the Grade 11 students are normally distributed with mean of 48 kgs and standard devia.

A: The weights of the Grade 11 students are normally distributed with mean of 48 kg and standard deviat.


Inhaltsverzeichnis

1.1 Functions and Their Graphs

1.2 Combining Functions Shifting and Scaling Graphs

1.3 Trigonometric Functions

1.4 Graphing with Software

1.6 Inverse Functions and Logarithms

2. Limits and Continuity

2.1 Rates of Change and Tangents to Curves

2.2 Limit of a Function and Limit Laws

2.3 The Precise Definition of a Limit

2.6 Limits Involving Infinity Asymptotes of Graphs

3.1 Tangents and the Derivative at a Point

3.2 The Derivative as a Function

3.4 The Derivative as a Rate of Change

3.5 Derivatives of Trigonometric Functions

3.7 Implicit Differentiation

3.8 Derivatives of Inverse Functions and Logarithms

3.9 Inverse Trigonometric Functions

3.11 Linearization and Differentials

4. Applications of Derivatives

4.1 Extreme Values of Functions

4.2 The Mean Value Theorem

4.3 Monotonic Functions and the First Derivative Test

4.4 Concavity and Curve Sketching

4.5 Indeterminate Forms and L&rsquoHôpital&rsquos Rule

5.1 Area and Estimating with Finite Sums

5.2 Sigma Notation and Limits of Finite Sums

5.4 The Fundamental Theorem of Calculus

5.5 Indefinite Integrals and the Substitution Method

5.6 Substitution and Area Between Curves

6. Applications of Definite Integrals

6.1 Volumes Using Cross-Sections

6.2 Volumes Using Cylindrical Shells

6.4 Areas of Surfaces of Revolution

6.6 Moments and Centers of Mass

7. Integrals and Transcendental Functions

7.1 The Logarithm Defined as an Integral

7.2 Exponential Change and Separable Differential Equations

7.4 Relative Rates of Growth

8. Techniques of Integration

8.1 Using Basic Integration Formulas

8.3 Trigonometric Integrals

8.4 Trigonometric Substitutions

8.5 Integration of Rational Functions by Partial Fractions

8.6 Integral Tables and Computer Algebra Systems

9. First-Order Differential Equations

9.1 Solutions, Slope Fields, and Euler's Method

9.2 First-Order Linear Equations

9.4 Graphical Solutions of Autonomous Equations

9.5 Systems of Equations and Phase Planes

10. Infinite Sequences and Series

10.5 Absolute Convergence The Ratio and Root Tests

10.6 Alternating Series and Conditional Convergence

10.8 Taylor and Maclaurin Series

10.9 Convergence of Taylor Series

10.10 The Binomial Series and Applications of Taylor Series

11. Parametric Equations and Polar Coordinates

11.1 Parametrizations of Plane Curves

11.2 Calculus with Parametric Curves

11.4 Graphing Polar Coordinate Equations

11.5 Areas and Lengths in Polar Coordinates

11.7 Conics in Polar Coordinates

12. Vectors and the Geometry of Space

12.1 Three-Dimensional Coordinate Systems

12.5 Lines and Planes in Space

12.6 Cylinders and Quadric Surfaces

13. Vector-Valued Functions and Motion in Space

13.1 Curves in Space and Their Tangents

13.2 Integrals of Vector Functions Projectile Motion

13.4 Curvature and Normal Vectors of a Curve

13.5 Tangential and Normal Components of Acceleration

13.6 Velocity and Acceleration in Polar Coordinates

14. Partial Derivatives

14.1 Functions of Several Variables

14.2 Limits and Continuity in Higher Dimensions

14.5 Directional Derivatives and Gradient Vectors

14.6 Tangent Planes and Differentials

14.7 Extreme Values and Saddle Points

14.9 Taylor's Formula for Two Variables

14.10 Partial Derivatives with Constrained Variables

15. Multiple Integrals

15.1 Double and Iterated Integrals over Rectangles

15.2 Double Integrals over General Regions

15.3 Area by Double Integration

15.4 Double Integrals in Polar Form

15.5 Triple Integrals in Rectangular Coordinates

15.6 Moments and Centers of Mass

15.7 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

15.8 Substitutions in Multiple Integrals

16. Integrals and Vector Fields

16.2 Vector Fields and Line Integrals: Work, Circulation, and Flux

16.3 Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions

16.4 Green's Theorem in the Plane

16.8 The Divergence Theorem and a Unified Theory

17. Second-Order Differential Equations (online)

17.1 Second-Order Linear Equations

17.2 Nonhomogeneous Linear Equations

17.5 Power-Series Solutions

1. Real Numbers and the Real Line

3. Lines, Circles, and Parabolas

4. Proofs of Limit Theorems

5. Commonly Occurring Limits

6. Theory of the Real Numbers

8. The Distributive Law for Vector Cross Products

9. The Mixed Derivative Theorem and the Increment Theorem


C m solutions of semialgebraic or definable equations ☆

We address the question of whether geometric conditions on the given data can be preserved by a solution in (1) the Whitney extension problem, and (2) the Brenner-Fefferman-Hochster-Kollár problem, both for C m functions. Our results involve a certain loss of differentiability.

Problem (2) concerns the solution of a system of linear equations A ( x ) G ( x ) = F ( x ) , where EIN is a matrix of functions on R n , and F , G are vector-valued functions. Suppose the entries of A ( x ) are semialgebraic (or, more generally, definable in a suitable Ö-minimal structure). Then we find r = r ( m ) such that, if F ( x ) is definable and the system admits a C r solution G ( x ) , then there is a C m definable solution. Likewise in problem (1), given a closed definable subset X of R n , we find r = r ( m ) such that if g : X → R is definable and extends to a C r function on R n , then there is a C m definable extension.


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Einführung

Fast and accurate segmentation of abnormal tissue regions is an important but challenging task in many medical clinical applications [34], [12]. Though multi-modal images have been routinely used in clinics, oncologists still perform abnormal tissue region delineation manually with limited support from automated segmentation tools. Segmentation of multi-modal medical images is a challenge. Currently, medical imaging modalities such as positron emission tomography (PET), magnetic resonance imaging (MRI) and computed tomography (CT) [1], [16] are widely utilized and provide essential anatomic and structural details.

The literature proposes various single-modal or multi-modal methods to segment the abnormal tissue regions in medical images. The thresholding technique is the most widely used segmentation method in clinical medical practice, especially for PET images [27], [15], [30]. This type of method requires a complex estimate of the abnormal tissue region before segmentation. Many more segmentation methods have been utilized for other medical image modalities including the use of image gradients [28], [32], neural networks [7], [42] and clustering methods [29], [36]. Most methods can segment the abnormal tissue region either on single-modal images or fused medical images. In recent years, deep learning techniques have been widely applied in medical image segmentation [20], [31], [49]. Deep learning is a class of machine learning algorithm that uses a cascade of multiple layers of nonlinear processing units for feature extraction and transformation. Deep learning-based models such as FCN, RNN, U-net have achieved great success in the field of medical image segmentation because of their excellent feature extraction and expression ability. In addition, these models do not require manual extraction of image features or excessive preprocessing of images. Two common issues of deep learning-based methods are still overfitting and computation time.

In addition to the above, active contour model based on a level set formulation can segment an abnormal tissue region effectively. Active contour model is to evolve a curve by minimize the energy functional to get the desired object in images. Most of the active contours previously studied are developed to detect objects in single-modal images [40], [14]. The classical vector-valued active contour models [35], [5], [48], [8] compute the energy functional in each channel and synthesize the energy value in Euclidian space. Especially, Refs. [5], [48] combine multi-model information in each channel at the beginning of curve evolution.

The remainder of this paper is organized as follows. Section 2 describes related work on multi-modal medical image segmentation. Vector-valued active contour models based on region and edge information are reviewed in Section 3. The proposed method, incorporating the vector-valued region and edge information, is also discussed. In Section 4, we investigate the performance of the proposed method for clinical cases with PET-CT and MRI-CT images. A corresponding analysis is also demonstrated with phantom data. Finally, the conclusion is given in Section 5.


Curriculum for Fourth Year

Nein Code Course Title Period Per Week Credit Point
Lect. Tut. Pract. Gesamt
1 EcE-41002 Computer Communication I 2 1 1 4 3
2 EcE-41021 Digital Design with HDL I 2 1 1 4 3
3 EP-41043 Electrical Machines I 2 1 0 3 3
4 EcE-41031 Industrial Electronic & Control I 2 1 1 4 3
5 E 41011 English 2 1 0 3 2.3
6 EM 41007 Engineering Mathematics VII 4 1 0 5 3.8
7 EcE-41003 Modern Control System I 2 1 1 4 3
8 E 42011 English 2 1 0 3 2.3
9 EM 42008 Engineering Mathematics VIII 4 1 0 5 3.8
10 EcE-42002 Computer Communication II 2 1 1 4 3
11 EcE-42021 Digital Design with HDL II 2 1 1 4 3
12 EcE-42003 Modern Control System II 2 1 1 4 3
13 EP-42043 Electrical Machines II 2 1 0 3 3
14 EcE-42031 Industrial Electronic & Control II 2 1 1 4 3

Berge's maximum theorem to vector-valued functions with some applications

Qiu Xiaoling - School of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025, China. Peng Dingtao - School of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025, China. Yu Jian - School of Mathematics and Statistics, Guizhou University, Guiyang 550025, China.

Abstrakt

In this paper, we introduce pseudocontinuity for Berge&rsquos maximum theorem for vector-valued functions which is weaker than semicontinuity. We prove the Berge&rsquos maximum theorem for vector-valued functions with pseudocontinuity and obtain the set-valued mapping of the solutions is upper semicontinuous with nonempty and compact values. As applications, we derive some existence results for weakly Pareto-Nash equilibrium for multiobjective games and generalized multiobjective games both with pseudocontinuous vector-valued payoffs. Moreover, we obtain the existence of essential components of the set of weakly Pareto-Nash equilibrium for these discontinuous games in the uniform topological space of best-reply correspondences. Some examples are given to investigate our results.

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ISRP Style

Qiu Xiaoling, Peng Dingtao, Yu Jian, Berge's maximum theorem to vector-valued functions with some applications, Journal of Nonlinear Sciences and Applications, 10 (2017), no. 4, 1861--1872

AMA Style

Xiaoling Qiu, Dingtao Peng, Jian Yu, Berge's maximum theorem to vector-valued functions with some applications. J. Nonlinear Sci. Appl. (2017) 10(4):1861--1872

Chicago/Turabian Style

Xiaoling, Qiu, Dingtao, Peng, Jian, Yu. "Berge's maximum theorem to vector-valued functions with some applications." Journal of Nonlinear Sciences and Applications, 10, no. 4 (2017): 1861--1872