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5.2: Addieren und Subtrahieren von Polynomen - Mathematik


Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Bestimme den Grad der Polynome
  • Polynome addieren und subtrahieren
  • Bewerte eine Polynomfunktion für einen gegebenen Wert
  • Polynomfunktionen addieren und subtrahieren

Hinweis

Bevor Sie beginnen, machen Sie dieses Bereitschaftsquiz.

  1. Vereinfachen: (3x^2+3x+1+8x^2+5x+5.)
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  2. Subtrahieren: ((5n+8)−(2n−1).)
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  3. Auswerten: (4xy^2) wenn (x=−2x) und (y=5.).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].

Bestimmen Sie den Grad der Polynome

Wir haben gelernt, dass a Begriff ist eine Konstante oder das Produkt einer Konstanten und einer oder mehreren Variablen. EIN Monom ist ein algebraischer Ausdruck mit einem Begriff. Wenn es die Form (ax^m) hat, wobei (a) eine Konstante und (m) eine ganze Zahl ist, wird es Monom in einer Variablen genannt. Einige Beispiele für Monom in einer Variablen sind. Monome können auch mehr als eine Variable haben wie und (−4a^2b^3c^2.)

Definition: MONOMIAL

EIN Monom ist ein algebraischer Ausdruck mit einem Begriff. Ein Monom in einer Variablen ist ein Term der Form (ax^m), wobei (a) eine Konstante und (m) eine ganze Zahl ist.

Ein Monom oder zwei oder mehr Monome, die durch Addition oder Subtraktion kombiniert werden, ist a Polynom. Einige Polynome haben spezielle Namen, basierend auf der Anzahl der Terme. Ein Monom ist ein Polynom mit genau einem Term. Ein Binomial hat genau zwei Terme und a trinomial hat genau drei Begriffe. Für Polynome mit mehr als drei Termen gibt es keine speziellen Namen.

Definition: POLYNOME

  • Polynom—Ein Monom oder zwei oder mehr algebraische Terme, die durch Addition oder Subtraktion kombiniert werden, ist ein Polynom.
  • Monom—Ein Polynom mit genau einem Term heißt Monom.
  • Binomial-—Ein Polynom mit genau zwei Termen heißt Binomial.
  • trinomial—Ein Polynom mit genau drei Termen heißt Trinom.

Hier sind einige Beispiele für Polynome.

Polynom(y+1)(4a^2−7ab+2b^2)(4x^4+x^3+8x^2−9x+1)
Monom(14)(8y^2)(−9x^3y^5)(−13a^3b^2c)
Binomial(a+7ba+7b)(4x^2−y^2)(y^2−16)(3p^3q−9p^2q)
Trinomial(x^2−7x+12)(9m^2+2mn−8n^2)(6k^4−k^3+8k)(z^4+3z^2−1)

Beachten Sie, dass jedes Monom, Binomial und Trinom auch ein Polynom ist. Sie sind nur spezielle Mitglieder der „Familie“ der Polynome und haben daher spezielle Namen. Wir verwenden die Wörter Monom, Binomial-, und trinomial wenn Sie sich auf diese speziellen Polynome beziehen, und nennen Sie einfach den Rest Polynome.

Das Grad eines Polynoms und der Grad seiner Terme wird durch die Exponenten der Variablen bestimmt. Ein Monom, das keine Variable, sondern nur eine Konstante hat, ist ein Sonderfall. Das Grad einer Konstanten ist 0.

Definition: GRAD EINES POLYNOMS

  • Das Grad eines Begriffs ist die Summe der Exponenten seiner Variablen.
  • Das Grad einer Konstanten ist 0.
  • Das Grad eines Polynoms ist der höchste Grad aller seiner Begriffe.

Sehen wir uns an, wie das funktioniert, indem wir uns mehrere Polynome ansehen. Wir gehen es Schritt für Schritt vor, beginnend mit Monomen und gehen dann zu Polynomen mit mehr Termen über. Beginnen wir mit einem Monom. Das Monom (8ab^2) hat zwei Variablen (a) und (b). Um den Grad zu bestimmen, müssen wir die Summe der Exponenten finden. Die Variable a hat keinen Exponenten geschrieben, aber denken Sie daran, dass der Exponent 1 ist. Der Exponent von (b) ist 2. Die Summe der Exponenten, 1+2,1+2, ​​ist 3, also ist der Grad ist 3.

Hier sind einige zusätzliche Beispiele.

Das Arbeiten mit Polynomen ist einfacher, wenn Sie die Begriffe in absteigender Gradreihenfolge auflisten. Wenn ein Polynom so geschrieben wird, heißt es in Standardform eines Polynoms. Gewöhnen Sie sich an, den Begriff mit dem höchsten Grad zuerst zu schreiben.

Beispiel (PageIndex{1})

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist. Bestimme dann den Grad jedes Polynoms.

  1. (7y2−5y+3)
  2. (−2a^4b^2)
  3. (3x5−4x3−6x2+x−8)
  4. (2y−8xy^3)
  5. (15)
Antworten
PolynomAnzahl der BegriffeArtGrad der BegriffeGrad des Polynoms
(7y^2−5y+3)3Trinomial2, 1, 02
(−2a^4b^2−2a^4b^2)1Monom4, 26
(3x5−4x3−6x2+x−8)5Polynom5, 3, 2, 1, 05
(2y−8xy^3)2Binomial1, 44
(15)1Monom00

Beispiel (PageIndex{2})

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist. Bestimme dann den Grad jedes Polynoms.

  1. (−5)
  2. (8y^3−7y^2−y−3)
  3. (−3x^2y−5xy+9xy^3)
  4. (81m^2−4n^2)
  5. (−3x^6y^3z)
Antworte a

Monom, 0

Antwort b

Polynom, 3

Antwort c

Trinom, 3

Antwort d

Binomial, 2

Antwort b

Monom, 10

Beispiel (PageIndex{3})

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist. Bestimme dann den Grad jedes Polynoms.

  1. (64k^3−8)
  2. (9m^3+4m^2−2)
  3. (56)
  4. (8a^4−7a^3b−6a^2b^2−4ab^3+7b^4)
  5. (-p^4q^3)
Antworten

ⓐbinomial, 3 Trinom, 3 ⓒ Monom, 0 ⓓ Polynom, 4 ⓔ Monom, 7

Addieren und Subtrahieren von Polynomen

Wir haben gelernt, wie man Ausdrücke vereinfacht, indem man ähnliche Begriffe kombiniert. Da Monome Terme sind, ist das Addieren und Subtrahieren von Monomen dasselbe wie das Kombinieren ähnlicher Terme. Wenn die Monome wie Terme sind, kombinieren wir sie einfach, indem wir die Koeffizienten addieren oder subtrahieren.

Beispiel (PageIndex{4})

Addiere oder subtrahiere:

  1. (25y^2+15y^2)
  2. (16pq^3−(−7pq^3)).
Antworte a

( egin{array} {ll} {} &{25y^2+15y^2} { ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.}} &{40y^2} end{array} onumber )

Antwort b

( egin{array} {ll} {} &{16pq^3−(−7pq^3)} { ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.}} &{23pq^3} end{array} keine Nummer )

Beispiel (PageIndex{5})

Addiere oder subtrahiere:

  1. (12q^2+9q^2)
  2. (8mn^3−(−5mn^3)).
Antworten

(21q^2) ⓑ (13mn^3)

Beispiel (PageIndex{6})

Addiere oder subtrahiere:

  1. (−15c^2+8c^2)
  2. (−15y^2z^3−(−5y^2z^3))
Antworten

(−7c^2) ⓑ (−10y^2z^3)

Denken Sie daran, dass gleiche Terme die gleichen Variablen mit den gleichen Exponenten haben müssen.

Beispiel (PageIndex{7})

Vereinfachen:

  1. (a^2+7b^2−6a^2)
  2. (u^2v+5u^2−3v^2)
Antworten

ⓐ Kombinieren Sie ähnliche Begriffe.

(a^2+7b^2−6a^2 ;=; -5a^2+7b^2)

ⓑ Es gibt keine gleichen Begriffe zum Kombinieren. In diesem Fall bleibt das Polynom unverändert.

(u^2v+5u^2−3v^2)

Beispiel (PageIndex{8})

Hinzufügen:

  1. (8y^2+3z^2−3y^2)
  2. (m^2n^2−8m^2+4n^2)
Antworten

ⓐ (5y^2+3z^2)
ⓑ (m^2n^2−8m^2+4n^2)

Beispiel (PageIndex{9})

Hinzufügen:

  1. (3m^2+n^2−7m^2)
  2. (pq^2−6p−5q^2)
Antworten

ⓐ (−4m^2+n^2)
ⓑ (pq^2−6p−5q^2)

Wir können uns das Addieren und Subtrahieren von Polynomen als einfach das Addieren und Subtrahieren einer Reihe von Monomen vorstellen. Suchen Sie nach ähnlichen Begriffen – solchen mit denselben Variablen und demselben Exponenten. Die Kommutativeigenschaft ermöglicht es uns, die Begriffe neu anzuordnen, um ähnliche Begriffe zusammenzusetzen.

Beispiel (PageIndex{10})

Finden Sie die Summe: ((7y^2−2y+9);+;(4y^2−8y−7)).

Antworten

(egin{align*} & ext{Identische Begriffe identifizieren.} & & (underline{underline{7y^2}}−underline{2y}+9)+(underline{underline{4y^ 2}}−underline{8y}−7) [6pt]
& ext{Umschreiben ohne Klammern,}
& ext{Umordnen, um die gleichen Begriffe zusammenzufügen.} & & underline{underline{7y^2+4y^2}}−underline{2y−8y}+9−7[6pt]
& ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} & & 11y^2−10y+2 end{align*} )

Beispiel (PageIndex{11})

Finde die Summe: ( (7x^2−4x+5);+;(x^2−7x+3))

Antworten

(8x^2−11x+8)

Beispiel (PageIndex{12})

Finde die Summe: ((14y^2+6y−4);+;(3y^2+8y+5))

Antworten

(17y^2+14y+1)

Seien Sie beim Verteilen beim Subtrahieren der Polynome im nächsten Beispiel vorsichtig mit den Vorzeichen.

Beispiel (PageIndex{13})

Finde die Differenz: ((9w^2−7w+5);−;(2w^2−4))

Antworten

(egin{ausrichten*} & & & (9w^2−7w+5);−;(2w^2−4) [6pt]
& ext{Verteile und identifiziere ähnliche Begriffe.} & & underline{underline{9w^2}}−underline{7w}+5-underline{underline{2w^2}}+4 [6pt ]
& ext{Ordnen Sie die Begriffe neu an.} & & underline{underline{9w^2-2w^2}}−underline{7w}+5+4[6pt]
& ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} & & 7w^2−7w+9 end{align*} )

Beispiel (PageIndex{14})

Finden Sie die Differenz: ((8x^2+3x−19);−;(7x^2−14))

Antworten

(x^2+3x−5)

Beispiel (PageIndex{15})

Finde die Differenz: ((9b^2−5b−4);−;(3b^2−5b−7))

Antworten

(6b^2+3)

Beispiel (PageIndex{16})

Subtrahiere ((p^2+10pq−2q^2)) von ((p^2+q^2)).

Antworten

(egin{ausrichten*} & & (p^2+q^2);−;(p^2+10pq−2q^2) [6pt]
& ext{Verteile und identifiziere ähnliche Begriffe.} & & underline{underline{p^2}}+underline{q^2}-underline{underline{p^2}}-10pq + underline{ 2q^2} [6pt]
& ext{Ordnen Sie die Terme neu an, indem Sie gleiche Terme zusammenfügen.} & & underline{underline{p^2-p^2}}−10pq +underline{q^2 + 2q^2}[6pt]
& ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} & & −10pq+3q^2 end{align*} )

Beispiel (PageIndex{17})

Subtrahiere ((a^2+5ab−6b^2)) von ((a^2+b^2))

Antworten

(−5ab+7b^2)

Beispiel (PageIndex{18})

Subtrahiere ((m^2−7mn−3n^2)) von ((m^2+n^2)).

Antworten

7min+4n^2

Beispiel (PageIndex{19})

Finde die Summe: ((u^2−6uv+5v^2);+;(3u^2+2uv))

Antworten

(egin{ausrichten*} & & & (u^2−6uv+5v^2);+;(3u^2+2uv) [6pt]
& ext{Gleiche Begriffe verteilen und identifizieren.} & & underline{underline{u^2}}-underline{6uv}+5v^2+underline{underline{3u^2}}+ underline{ 2uv} [6pt]
}+5v^2[6pt]
& ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} & & 4u^2−4uv+5v^2 end{align*} )

Beispiel (PageIndex{20})

Finde die Summe: ((3x^2−4xy+5y^2);+;(2x^2−xy))

Antworten

(5x^2−5xy+5y^2)

Beispiel (PageIndex{21})

Finde die Summe: ((2x^2−3xy−2y^2);+;(5x^2−3xy))

Antworten

(7x^2−6xy−2y^2)

Wenn wir mehr als zwei Polynome addieren und subtrahieren, ist der Vorgang der gleiche.

Beispiel (PageIndex{22})

Vereinfachen: ((a^3−a^2b);−;(ab^2+b^3);+;(a^2b+ab^2))

Antworten

(egin{ausrichten*} & & & (a^3−a^2b);−;(ab^2+b^3);+;(a^2b+ab^2) [6pt]
& ext{Verteilen} & & a^3−a^2b − ab^2 - b^3 + a^2b+ab^2[6pt]
& ext{Ordnen Sie die Begriffe neu an, um ähnliche Begriffe zusammenzusetzen.} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2 - b^3 [6pt]
& ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} & & a^3−b^3 end{align*} )

Beispiel (PageIndex{23})

Vereinfachen: ((x^3−x^2y);−;(xy^2+y^3);+;(x^2y+xy^2))

Antworten

(x^3+y^3)

Beispiel (PageIndex{24})

Vereinfachen: ((p^3−p^2q);+;(pq^2+q^3);−;(p^2q+pq^2))

Antworten

(p^3−3p^2q+q^3)

Bewerten Sie eine Polynomfunktion für einen gegebenen Wert

EIN Polynomfunktion ist eine durch ein Polynom definierte Funktion. Zum Beispiel sind (f(x)=x^2+5x+6) und (g(x)=3x−4) Polynomfunktionen, weil (x^2+5x+6) und (3x−4) sind Polynome.

Definition: POLYNOMISCHE FUNKTION

EIN Polynomfunktion ist eine Funktion, deren Bereichswerte durch ein Polynom definiert sind.

In Graphs and Functions, wo wir zuerst Funktionen eingeführt haben, haben wir gelernt, dass das Auswerten einer Funktion bedeutet, den Wert von (f(x)) für einen gegebenen Wert von (x) zu finden. Um eine Polynomfunktion auszuwerten, ersetzen wir den gegebenen Wert für die Variable und vereinfachen dann mit der Reihenfolge der Operationen.

Beispiel (PageIndex{26})

Für die Funktion (f(x)=3x^2+2x−15) finde

  1. (f(3))
  2. (f(−5))
  3. (f(0)).
Antworten

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ (−15)

Beispiel (PageIndex{27})

Für die Funktion (g(x)=5x^2−x−4) finde

  1. (g(−2))
  2. (g(−1))
  3. (g(0)).
Antworten

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ (−4)

Die Polynomfunktionen ähnlich der im nächsten Beispiel werden in vielen Bereichen verwendet, um die Höhe eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt nach der Projektion in die Luft zu bestimmen. Das Polynom in der nächsten Funktion wird speziell verwendet, um etwas aus 250 Fuß fallen zu lassen.

Beispiel (PageIndex{28})

Die Polynomfunktion (h(t)=−16t^2+250) gibt die Höhe einer Kugel t Sekunden nachdem es von einem 250 Fuß hohen Gebäude fallen gelassen wurde. Finden Sie die Höhe nach (t=2) Sekunden.

Antworten

( egin{array} {ll} {} &{h(t)=−16t^2+250} {} &{} { ext{Um }h(2) ext{ zu finden, ersetzen }t=2.} &{h(2)=−16(2)^2+250} { ext{Vereinfachen.}} &{h(2)=−16·4+250} {} &{} { ext{Vereinfachen.}} &{h(2)=−64+250} {} &{} { ext{Vereinfachen.}} &{h(2) =186} {} &{ ext{Nach 2 Sekunden beträgt die Höhe des Balls 186 Fuß.}} end{array} onumber )

Beispiel (PageIndex{29})

Die Polynomfunktion (h(t)=−16t^2+150) gibt die Höhe eines Steins an t Sekunden nachdem es von einer 150 Fuß hohen Klippe fallen gelassen wurde. Ermitteln Sie die Höhe nach (t=0) Sekunden (der Anfangshöhe des Objekts).

Antworten

Die Höhe beträgt (150) Fuß.

Beispiel (PageIndex{30})

Die Polynomfunktion (h(t)=−16t^2+175) gibt die Höhe einer Kugel t Sekunden nachdem es von einer 175 Fuß hohen Brücke abgeworfen wurde. Finden Sie die Höhe nach (t=3) Sekunden.

Antworten

Die Höhe beträgt (31) Fuß.

Addieren und Subtrahieren von Polynomfunktionen

So wie Polynome addiert und subtrahiert werden können, können auch Polynomfunktionen addiert und subtrahiert werden.

Definition: Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen

Für Funktionen (f(x)) und (g(x)),

[(f+g)(x)=f(x)+g(x)]

[(f−g)(x)=f(x)−g(x)]

Beispiel (PageIndex{32})

Für Funktionen (f(x)=2x^2−4x+3) und (g(x)=x^2−2x−6) finden Sie: ⓐ ((f+g)(x) ) ((f+g)(3)) ((f−g)(x)) ⓓ ((f−g)(−2)).

Antworten

ⓐ ((f+g)(x)=3x^2−6x−3)

((f+g)(3)=6)

ⓒ ((f−g)(x)=x^2−2x+9)

ⓓ ((f−g)(−2)=17)

Beispiel (PageIndex{33})

Für Funktionen (f(x)=5x^2−4x−1) und (g(x)=x^2+3x+8) finde ⓐ ((f+g)(x)) ((f+g)(3)) ((f−g)(x)) ⓓ ((f−g)(−2)).

Antworten

ⓐ ((f+g)(x)=6x^2−x+7)

((f+g)(3)=58)

ⓒ ((f−g)(x)=4x^2−7x−9)

ⓓ ((f−g)(−2)=21)

Greifen Sie auf diese Online-Ressource zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen zum Addieren und Subtrahieren von Polynomen zu erhalten.

  • Addieren und Subtrahieren von Polynomen

Schlüssel Konzepte

  • Monom
    • EIN Monom ist ein algebraischer Ausdruck mit einem Begriff.
    • Ein Monom in einer Variablen ist ein Term der Form axm,axm, wobei ein ist eine Konstante und ich ist eine ganze Zahl.
  • Polynome
    • Polynom—Ein Monom oder zwei oder mehr algebraische Terme, die durch Addition oder Subtraktion kombiniert werden, ist ein Polynom.
    • Monom —Ein Polynom mit genau einem Term heißt Monom.
    • Binomial- — Ein Polynom mit genau zwei Termen heißt Binomial.
    • trinomial —Ein Polynom mit genau drei Termen heißt Trinom.
  • Grad eines Polynoms
    • Das Grad eines Begriffs ist die Summe der Exponenten seiner Variablen.
    • Das Grad einer Konstanten ist 0.
    • Das Grad eines Polynoms ist der höchste Grad aller seiner Begriffe.

Glossar

Binomial-
Ein Binomial ist ein Polynom mit genau zwei Termen.
Grad einer Konstanten
Der Grad jeder Konstanten ist 0.
Grad eines Polynoms
Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad aller seiner Terme.
Grad eines Begriffs
Der Grad eines Termes ist die Summe der Exponenten seiner Variablen.
Monom
Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck mit einem Begriff. Ein Monom in einer Variablen ist ein Term der Form axm,axm, wobei ein ist eine Konstante und ich ist eine ganze Zahl.
Polynom
Ein Monom oder zwei oder mehr Monome, die durch Addition oder Subtraktion kombiniert werden, ist ein Polynom.
Standardform eines Polynoms
Ein Polynom liegt in der Standardform vor, wenn die Terme eines Polynoms in absteigender Gradreihenfolge geschrieben sind.
trinomial
Ein Trinom ist ein Polynom mit genau drei Termen.
Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion ist eine Funktion, deren Bereichswerte durch ein Polynom definiert sind.

Addition und Subtraktion von Polynomen

Entfernen Sie zunächst alle Begriffe aus den Klammern, die normalerweise Probleme haben. Achten Sie darauf, die Vorzeichen der einzelnen Begriffe richtig zu handhaben.

Schreiben Sie als Nächstes die Ausdrucksgruppierung wie Begriffe um.

Sie können nicht. Wenn es keine ähnlichen Begriffe gibt, müssen Sie einfach die beiden Pplynome verbinden.

Ein Polynom ist eine Summe einiger Potenzen einer bestimmten Variablen mit einem Koeffizienten zum Multiplizieren jeder Potenz. Das Summieren zweier Polynome bedeutet einfach, die Koeffizienten der gleichen Potenzen zu summieren, wenn diese Situationen eintreten.

Nehmen wir an, Ihr erstes Polynom ist #1+x+2x^2-3x^3+15x^4# und das zweite ist #-3x^2+2x^3+5x^4-8x^5# . Wenn wir sie hinzufügen, ist das Ergebnis result
#1+x+2x^2-3x^3+15x^4-3x^2+2x^3+5x^4-8x^5# . Wir können die Begriffe neu anordnen, damit die Befugnisse geordnet sind:

#1+x+2x^2-3x^2-3x^3+2x^3+15x^4+5x^4-8x^5#
An dieser Stelle müssen Sie nur Folgendes beachten:

  1. Der konstante Term (d. h. #1# ) kommt nur im ersten Polynom vor, also haben wir nichts zu summieren
  2. Das gleiche gilt für den linearen Faktor (d. h. #x# )
  3. Der quadratische Faktor (d. h. #x^2# ) kommt in beiden Polynomen vor: im ersten haben wir #2x^2# , im zweiten haben wir #-3x^2# . Wenn wir die beiden Koeffizienten summieren, haben wir #2-3=-1# . Das Ergebnis ist #-x^2#
  4. Der Kubikfaktor (also #x^3# ) kommt in beiden Polynomen vor: im ersten haben wir #-3x^3# , im zweiten haben wir #2x^3# . Wenn wir die beiden Koeffizienten summieren, haben wir #-3+2=-1# . Das Ergebnis ist #-x^3#
  5. Der quartische Faktor (d. h. #x^4# ) kommt in beiden Polynomen vor: im ersten haben wir #15x^4# , im zweiten haben wir #5x^4# . Wenn wir die beiden Koeffizienten summieren, haben wir #15+5=20# . Das Ergebnis ist #20x^4#
  6. Der Quintenfaktor (d. h. #x^5# ) kommt nur im zweiten Polynom vor, wir haben also nichts zu summieren

Schließlich lautet die Antwort, dass die Summe der beiden Polynome
#1+x-x^2-x^3+20x^4-8x^5#


5.2: Addieren und Subtrahieren von Polynomen - Mathematik

Hier sind die Schritte, die zum Hinzufügen und Subtrahieren von Polynomen erforderlich sind:

Schritt 1: Entfernen Sie alle Klammern. Ich schlage vor, das Problem vertikal statt horizontal zu schreiben, weil es den nächsten Schritt einfacher macht. Verteilen Sie beim Addieren das positive (oder Additions-) Vorzeichen, das keines der Vorzeichen ändert. Verteilen Sie beim Subtrahieren das negative (oder Subtraktions-) Vorzeichen, das jedes Vorzeichen nach dem Subtraktionszeichen ändert.
Schritt 2: Kombiniere ähnliche Begriffe. Dieser Schritt ist viel einfacher, wenn Dinge vertikal geschrieben werden, da gleiche Begriffe übereinander geschrieben werden. Denken Sie daran, dass zum Kombinieren ähnlicher Terme die Variable und die Potenz jeder Variablen genau gleich sein müssen.

Beispiel 1 &ndash Vereinfachen: (3x 3 – 5x + 9) + (6x 3 + 8x – 7)

Beispiel 2 &ndash Vereinfachen: (𔃁x 2 + 9xy – 5y 2 ) – (4x 2 + 7xy – 8y 2 )

Beispiel 3 &ndash Vereinfachen: (5x 3 – 7x 2 – 8) – (4x 2 + 5x – 6)

Beispiel 4 &ndash Addiere 4x 3 – 9x + 3 und 5x 2 – 4x + 7.

Beispiel 5 &ndash Subtrahiere 4x 2 – 7x + 5 von 3x 2 – 2x + 6.


Addieren und Subtrahieren von Polynomen - Problem 2

Auch wenn Sie solche Probleme in Ihrem Algebra-Unterricht sehen werden, beinhalten sie manchmal auch Geometrieideen wie den Umfang. Aber ihr wisst schon, dass Perimeter bedeutet, oder? Perimeter bedeutet die Entfernung um die Außenseite herum und die Art und Weise, wie Sie sie finden, ist, alle Seiten zu addieren.

Also habe ich diese lustige kleine Form hier und ich muss alle Seiten zusammenzählen. Schreiben Sie einen Ausdruck für den Umfang der gegebenen Figur. Okay, also schreibe ich einfach ein Polynom, das die Addition all dieser Seiten darstellt. Das erste, was ich hinzufügen muss, ist 3x² plus 8, das ist diese Seite, dazu werde ich 8x hinzufügen, da ist diese Seite. Ich werde 3x² mehr hinzufügen und dann schließlich 5x zum Mitnehmen 6 hinzufügen. Ich habe jede meiner Seiten neu geschrieben, aber alle wurden zusammengezählt, weil der Umfang die Summe der Seitenlängen bedeutet.

Jetzt geht es nur noch darum, ähnliche Begriffe zu kombinieren und ihr wisst, wie das geht. Zuerst suche ich nach den x²-Termen, dann nach den regulären Xs und dann nach den Konstanten. Also habe ich 3x²', plus 3 weitere x², also 6x². Jetzt suche ich nach den regulären x-Termen, damit diese in Standardform vorliegen, dh abnehmende Exponenten.

Also ich habe mein x² hier auf das erste gekommen, 8x plus 5x ist 13xs. Zu guter Letzt habe ich meine konstanten Begriffe, die bedeuten, dass es keine Xs gibt. 8 take away 6 ist +2, das ist mein Ausdruck für den Perimeter. Der Umfang ist 6x² plus 13x plus 2 und in Zukunft werden Sie in einigen Situationen aufgefordert, nach x aufzulösen, aber im Moment arbeiten Sie nur daran, den Ausdruck zu schreiben oder das Polynom zu schreiben.

Wenn Sie dies tun, seien Sie einfach wieder sehr vorsichtig und stellen Sie sicher, dass jeder Begriff in Ihrer Antwort auftaucht. Lassen Sie nichts aus. Das ist der häufigste Fehler, den Leute machen, wenn sie ein 8x vergessen oder das +8 oder so. Seien Sie einfach sehr vorsichtig und achten Sie auf Details, und Sie können diese Probleme beheben.


5.2: Addieren und Subtrahieren von Polynomen - Mathematik

GG Bei zwei Polynomzahlen, die durch eine zirkuläre verkettete Liste dargestellt werden, besteht die Aufgabe darin, diese beiden Polynome durch Addieren der Koeffizienten der Potenzen derselben Variablen zu addieren.
Hinweis: In gegebenen Polynomen ist der Term mit der höheren Potenz von x wird zuerst kommen.

Eingang:
1. Zahl = 5x^2 * y^1 + 4x^1 * y^2 + 3x^1 * y^1 + 2x^1
2. Zahl = 3x^1 * y^2 + 4x^1
Ausgabe:
5x^2 * y^1 + 7x^1 * y^2 + 3x^1 * y^1 + 6x^1
Erläuterung:
Der Koeffizient von x^2 * y^1 in der 1. Zahl ist 5 und 0 in der 2. Zahl. Daher ist die Summe des coffiecient von x^2 * Y^1 5.
Der Koeffizient von x^1 * y^2 in der 1. Zahl ist 4 und 3 in der 2. Zahl. Daher ist die Summe der Koeffizienten von x^1 * Y^2 7.
Der Koeffizient von x^1 * y^1 in der 1. Zahl ist 3 und 0 in der 2. Zahl. Daher ist die Summe der Koeffizienten von x^1 * Y^1 2.
Der Koeffizient von x^1 * Y^0 in der 1. Zahl ist 2 und 4 in der 2. Zahl. Daher ist die Summe der Koeffizienten von x^1 * Y^0 6.

Eingang:
1. Zahl = 3x^3 * y^2 + 2x^2 + 5x^1 * y^1 + 9y^1 + 2
2. Zahl = 4x^3 * y^3 + 2x^3 * y^2 + 1y^2 + 3
Ausgabe:
4x^3 * y^3 + 5x^3 * y^2 + 2x^2 + 5x^1 * y^1 + 1y^2 + 9y^1 + 5


Subtrahieren von Polynomen

Abzug von Polynome ist der Addition von Polynomen sehr ähnlich. Sie müssen nur mit dem Minuszeichen vorsichtig sein.

Ähnlich wie beim Addieren können wir Polynome entweder horizontal oder vertikal subtrahieren.

Beispiel 1 . Vereinfachen $$ +<3> ight)>--<7> ight)> $$ (Klammern werden in separate Polynome geschrieben).

Zuerst müssen wir das Minuszeichen vor der Klammer entfernen. Dies kann mit der Verteilungseigenschaft der Multiplikation erfolgen: $$ <9>+<3>-<1>cdot ight)>-<1>cdot ight)> $$ .

Wahrscheinlich. Sie haben bereits bemerkt, dass das Durchführen eines negativen Vorzeichens durch Klammern das Vorzeichen jedes Begriffs in Klammern ändert.

Anstatt Minuszeichen zu schreiben, können wir also Minuszeichen verwerfen und Vorzeichen tauschen.

Dann können wir eine Addition durchführen:

Regel zum Subtrahieren von Polynomen: Vorzeichen der Terme eines Polynoms ändern, das subtrahiert wird. Führe Addition statt Subtraktion durch.

Manchmal gibt es einige Terme in einem Polynom, die in einem anderen fehlen können. In diesem Fall müssen Sie für die vertikale Subtraktion die Polynome korrekt ausrichten und bei Bedarf Lücken lassen.

Außerdem können Terme in Polynomen in unterschiedlicher Reihenfolge geschrieben werden. Wenn Sie vertikal subtrahieren, schreiben Sie ähnliche Begriffe untereinander.

Denken Sie daran, sich richtig auszurichten.

Schließlich können Sie mehr als 2 Polynome addieren/subtrahieren.

Vertikal. Vergessen Sie nicht, gleiche Begriffe untereinander zu schreiben und ggf. Lücken zu füllen.


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Addieren und Subtrahieren SIGNIERTE NUMMERN

WIR MÜSSEN dem "Hinzufügen" einer negativen Zahl eine ALGEBRAISCHE BEDEUTUNG GEBEN:

Wenn wir jetzt eine positive Zahl hinzufügen, erhalten wir mehr. Wenn wir eine negative Zahl "addieren", müssen wir daher weniger bekommen. Es bedeutet subtrahieren.

Algebraisch gilt hier die Regel:

Beachten Sie, dass wir Klammern a + (&minus b ) verwenden, um zu trennen
das Operationszeichen + aus dem Vorzeichen &minus . Es würde
eine schlechte Form sein, um a + &minus b zu schreiben.

Wir sind dabei zu lernen, wie man Zahlen mit Vorzeichen hinzufügt. Aber zuerst müssen wir lernen, die Begriffe zu benennen.

&mdashwe kann jetzt die Bedingungen einer beliebigen Summe benennen.

Hier ist eine Summe von vier Begriffen:

Die Begriffe sind 1, &minus2, 3 und &minus4.

Aber nach der Regel können wir die Klammern entfernen:

Wir sagen, dass die Summe auf der rechten Seite die gleichen vier Terme hat:

Mit anderen Worten, wir schließen das Minuszeichen als Teil des Namens des Begriffs ein.

1 und 3 sind die positiven Terme. &minus2 und &minus4 sind die negativen Begriffe.

Wenn ein Begriff ohne Vorzeichen erscheint, nämlich der erste Begriff, müssen wir ihn als positiv verstehen. 1 = +1.

Auch hier schreiben wir bei positiven Zahlen normalerweise kein Vorzeichen + . (Lektion 2.)

Um die Antwort zu sehen, fahren Sie mit der Maus über den farbigen Bereich.
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Mach das Problem zuerst selbst!

ein) 3 + (&minus4) + 5 + (&minus6). 3, &minus4, 5, &minus6.
b) 3 &minus 4 + 5 &minus 6. 3, &minus4, 5, &minus6.
c) &minus2 &minus 5. &minus2, &minus5. d) &minus a &minus b + c &minus d . &minus a, &minus b, c, &minus d.

In der Algebra sprechen wir von „Addieren“, obwohl es Minuszeichen gibt. Mit diesem Verständnis können wir nun die Regeln für das "Hinzufügen" von Begriffen festlegen.

1) Wenn die Terme das gleiche Vorzeichen haben, addieren Sie ihre absoluten Werte,
und behalte das gleiche Zeichen.

2) Wenn die Terme entgegengesetzte Vorzeichen haben, subtrahiere das kleinere in
Absolutwert vom größeren, und behalten Sie das Vorzeichen des
größer.

Algebra imitiert schließlich die Arithmetik, und es ist leicht, diese Regeln zu rechtfertigen, indem man den Geldeingang oder Geldausgang berücksichtigt. Wenn Sie sich beispielsweise 10 US-Dollar leihen und dann 4 US-Dollar zurückzahlen, drücken wir dies algebraisch aus als

Oder, wenn Sie $6 verlieren und dann $8 gewinnen,

Problem 2. Sie leihen sich 5 USD von Sandra und leihen sich dann weitere 10 USD. Drücken Sie das algebraisch aus.

Hinweis: Auch hier sagen wir in der Algebra, dass wir Terme "hinzufügen", auch wenn es Subtraktionszeichen gibt. Und wir nennen die Begriffe selbst&mdas die Antwort&mdasha "Summe". Mit anderen Worten, wir sprechen immer von einer Summe von Begriffen.

Aufgabe 3. Fügen Sie nach den Regeln für das Hinzufügen von Termen hinzu.

ein) 6 + 2 = 8. b) &minus6 + (&minus2) = &minus8.
c) &minus6 &minus2 = &minus8. d) &minus4 &minus1 = &minus5.
e) &minus6 + 2 = &minus4. f) 6 + (&minus2) = 4.
G) 2 + (&minus6) = &minus4. h) &minus2 + 6 = 4.

Problem 4. Fügen Sie diese Begriffe hinzu.

ein) 8 + (&minus3) = 5 b) &minus8 + 3 = &minus5 c) &minus8 + (&minus3) = &minus11
d) &minus8 &minus 3 = &minus11 e) 2 + (&minus 5) = &minus3 f) &minus2 + (&minus 5) = &minus7
G) &minus2 &minus 5 = &minus7 h) 8 + (&minus 11) = &minus3 ich) &minus7 + (&minus 6) = &minus13
j) 9 + (&minus 2) = 7 k) &minus9 &minus 2 = &minus11 l) &minus9 + (&minus 2) = &minus11
m) 6 + (&minus 10) = &minus4 n) &minus6 &minus 10 = &minus16 Ö) &minus6 + 10 = 4
p) &minus9 + 9 = 0 q) &minus9 &minus 9 = &minus18 r) 9 + 9 = 18

Hier ist eine Grundregel für 0:

Das Hinzufügen von 0 zu einem Begriff ändert ihn nicht.

ein) 0 + 6 = 6 b) 0 + (&minus6) = &minus6
c) 0 &minus 6 = &minus6 d) &minus6 + 0 = &minus6

Welchen Sinn können wir daraus machen

Nennen wir die Begriffe. Der erste Ausdruck ist 2. Der zweite Ausdruck ist &minus(&minus5)&mdashfor wir das Minuszeichen als Teil des Namens des Ausdrucks. Aber

Jedes Problem, das so aussieht&ndash

&mdashrewrite, damit es so aussieht:

Das ist das einzige Formular, das der Schüler umschreiben muss.

(Bitte nicht durchstreichen. Neu schreiben. Wenn Sie durchstreichen, können Sie das ursprüngliche Problem nicht lesen.)

Beachten Sie noch einmal, dass wir Klammern verwenden: a &minus (&minus b ), to
Trennen Sie das Operationszeichen &minus vom Vorzeichen &minus .

Beispiele. 10 &minus (&minus3) = 10 + 3 = 13.
&minus10 &minus (&minus3) = &minus10 + 3 = &minus7.

Die erste Zahl a ändert sich nicht. Schau dir die Regel an. Ändern Sie nur &minus(&minus3) in + 3.

Aufgabe 6. Schreiben Sie ohne Klammern um und berechnen Sie.

ein) 7 &minus (&minus 4) = 7 + 4 = 11 b) 1 &minus (&minus 9) = 1 + 9 = 10
c) 8 &minus (&minus 5) = 8 + 5 = 13 d) &minus8 &minus (&minus 5) = &minus8 + 5 = &minus3
e) &minus5 &minus (&minus 7) = &minus5 + 7 = 2 f) 2 &minus (&minus 10) = 2 + 10 = 12
G) &minus9 &minus (&minus 8) = &minus9 + 8 = &minus1 h) &minus20 &minus (&minus 1) = &minus20 + 1 = &minus19
ich) 4 &minus (&minus4) = 4 + 4 = 8 j) &minus4 &minus (&minus4) = &minus4 + 4 = 0

ein) 8 + (&minus 2) = 6 b) 8 &minus (&minus 2) = 10
c) &minus8 + (&minus 2) = &minus10 d) &minus8 &minus 2 = &minus10
e) 12 &minus 20 = &minus8 f) &minus12 &minus 20 = &minus32
G) &minus12 + (&minus 20) = &minus32 h) &minus12 &minus (&minus 20) = 8
ich) 6 + (&minus 10) = &minus4 j) &minus5 &minus 9 = &minus14
k) &minus30 &minus (&minus 6) = &minus24 l) 4 &minus 28 = &minus24
m) 0 &minus 9 = &minus9 n) 0 + 9 = 9
Ö) 9 + (&minus 9) = 0 p) &minus1 &minus 9 = &minus10

Aufgabe 8. Werten Sie &minus x aus, wenn x = &minus4.

Aufgabe 9. Bewerte x &minus y wenn

a) x = 5, y = &minus2. 5 &minus (&minus2) = 5 + 2 = 7

Betrachten Sie die folgende Reihe von Begriffen:

Wir könnten diese natürlich in der Reihenfolge hinzufügen, in der sie erscheinen:

Oder wir könnten die positiven und negativen Terme separat hinzufügen:

Auch hier spielt die Reihenfolge der Begriffe keine Rolle. Und diese Methode ist normalerweise geschickter.

Problem 10. Fügen Sie jede Reihe hinzu.

b) 8 &minus 10 &minus 4 + 12 &minus 5 = 8 + 12 &minus 10 &minus 4 &minus 5 = 20 &minus 19 = 1.

Wenn sich Zahlen zu 0 addieren, können wir sie "annullieren".

5 + (&minus5) = 0. Daher können wir sie stornieren, dh ignorieren. Es bleibt &minus2 + 3 = 1.

8 &minus 10 = &minus2, die wir mit +2 aufheben können. Uns bleibt

Oder 8 + 2 = 10, was wir mit &minus10 stornieren könnten. Die Reihenfolge der Begriffe spielt keine Rolle

Problem 11. Fügen Sie jede Reihe hinzu. Abbrechen, wenn möglich.

a) 2 &minus 6 + 4 &minus 2 + 3 + 5 &minus 4 = (2 &minus 2) + (4 &minus 4) &minus 6 + (3 + 5) = 2.

Problem 12. Umschreiben ohne Klammern:

a + (&minus b ) = ein &minus b
a &minus (&minus b ) = a + b

Beispiel 3. Schreibe ohne Klammern um und berechne dann:

Lösung. Wir entfernen die Klammern gemäß dem vorherigen Problem.

2 + (&minus 3) &minus (&minus 4) + 5 + (&minus 6)
= 2 &minus 3 + 4 + 5 &minus 6.

Jetzt wird 2 + 4 mit &minus6 abgebrochen. Uns bleibt

Aufgabe 13. Umschreiben ohne Klammern, dann berechnen.

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Algorithmen

Die für Poly und Wurzeln verwendeten Algorithmen veranschaulichen einen interessanten Aspekt des modernen Ansatzes zur Eigenwertberechnung. poly(A) erzeugt das charakteristische Polynom von A , und root(poly(A)) findet die Wurzeln dieses Polynoms, die die Eigenwerte von A sind. Aber sowohl poly als auch Wurzeln verwenden eig , das auf Ähnlichkeitstransformationen basiert. Der klassische Ansatz, der Eigenwerte als Wurzeln des charakteristischen Polynoms charakterisiert, wird tatsächlich umgekehrt.

Wenn A eine n-mal-n-Matrix ist, erzeugt poly(A) die Koeffizienten p(1) bis p(n+1) , mit p(1) = 1 , in

det ( I − A ) = p 1 λ n + … + p n λ + p n + 1 .

Diese Rekursion wird durch die Erweiterung des Produkts abgeleitet,

( − 1 ) ( λ − λ 2 ) … ( λ − n ) .

Es ist möglich zu beweisen, dass poly(A) die Koeffizienten im charakteristischen Polynom einer Matrix innerhalb des Rundungsfehlers von A erzeugt. Dies gilt auch dann, wenn die Eigenwerte von A schlecht konditioniert sind. Die herkömmlichen Algorithmen zum Erhalten des charakteristischen Polynoms verwenden keine Eigenwerte und haben keine solchen zufriedenstellenden numerischen Eigenschaften.


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Schau das Video: Subtraktion av polynom (November 2021).