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7.S: Zusammenfassung - Mathematik


Zusammenfassung der Schlüsselkonzepte

7.1: Umsatzsteuern (jeder will ein Stück von meinem Kuchen)

  • Die drei Umsatzsteuern, die aktuellen Sätze und die Berechnung der Preise inklusive Steuern
  • Wie Unternehmen GST-/HST-Überweisungen abschließen

7.2: Grundsteuern (ich schulde, ich schulde)

  • Wie Kommunen Mühlen- und Steuersätze von Immobilienbesitzern erheben

7.3: Wechselkurse und Währungsumtausch (es ist eine globale Welt)

  • Umrechnung von Währungen durch Wechselkurse
  • Anstieg und Rückgang der Wechselkurse: Währungsauf- und -abwertung

7.4: Rechnungsstellung: Zahlungsbedingungen und Skonto (unbedingt abrechnen)

  • So funktioniert die Rechnungsstellung: Rechnungsbedingungen und Rechnungsdatierung verstehen
  • Die Berechnungen, die erforderlich sind, wenn ein vollständiger Zahlungsbetrag geleistet wird
  • Die Berechnungen, die bei der Zahlung eines Teilzahlungsbetrags anfallen
  • Die Berechnungen, die bei einer verspäteten Zahlung erforderlich sind

Die Sprache der Wirtschaftsmathematik

Schätzwert

Der Anteil am Verkehrswert einer Immobilie, der der Kommunalsteuer unterliegt.

Kaufrate

Der Kurs, zu dem eine Fremdwährung gekauft wird; er wird immer niedriger sein als der Mittelkurs in Geld pro Deviseneinheit.

Skonto

Ein Prozentsatz des Saldos auf einer Rechnung, der für Zahlungen abgezogen werden kann, die entweder ganz oder teilweise während der Skontofrist eingehen.

Kreditlaufzeit

Maßgeblich ist die Anzahl der zinsfreien Tage ab Beginn bis zur vollständigen Bezahlung der Rechnung.

Währungsaufwertung

Wenn eine Währung im Vergleich zu einer anderen Währung stärker wird, was dazu führt, dass mehr von dieser anderen Währung gekauft werden kann, als dies zuvor möglich war.

Währungsabwertung

Wenn eine Währung im Vergleich zu einer anderen Währung schwächer wird, was dazu führt, dass weniger von dieser anderen Währung gekauft werden kann, als dies zuvor möglich war.

Anfangsdatum

Der erste Tag, ab dem sich die Rechnungsfristen verlängern und alle Fälligkeiten feststehen.

Rabattzeitraum

Die Anzahl der Tage ab dem Datum des Beginns, für die ein Skonto gewährt wird.

Rechnungsdatierung am Monatsende

Eine Zahlungsfrist, bei der das Datum des Beginns der letzte Tag des gleichen Monats ist, der durch das Rechnungsdatum angegeben ist.

Tauschrate

Die Anzahl der Einheiten einer Fremdwährung, die mit einer Einheit der Landeswährung gekauft werden oder umgekehrt.

GST

Die Waren- und Dienstleistungssteuer ist eine kanadische Bundesumsatzsteuer auf die meisten Produkte, die von Unternehmen und Verbrauchern gekauft werden.

HST

Die harmonisierte Umsatzsteuer ist eine Steuer, die GST und PST zu einer einzigen Steuer zusammenfasst.

Marktwert

Eine Momentaufnahme des geschätzten Verkaufspreises einer Immobilie zu einem bestimmten Zeitpunkt.

mittlerer Preis

Ein Wechselkurs, der keine Gebühren für die Währungsumrechnung beinhaltet oder vorsieht.

Mühlenrate

Eine Steuer pro 1.000 US-Dollar des geschätzten Wertes zur Ermittlung der Grundsteuer.

gewöhnliche Rechnungsdatierung

Eine Zahlungsfrist, bei der das Datum des Beginns mit dem Rechnungsdatum übereinstimmt.

Grundsteuern

Jährliche Steuern, die von den Eigentümern von Immobilien an die örtlichen Abgabenbehörden gezahlt werden, um Dienstleistungen wie Straßen, Wasser, Kanalisation, öffentliche Schulen, Polizei, Feuerwehr und andere kommunale Dienstleistungen zu bezahlen.

PST

Die Provinzumsatzsteuer ist eine Verbraucherumsatzsteuer, die von kanadischen Provinzen und Territorien verwaltet wird.

Wareneingangsrechnung datieren

Eine Zahlungsfrist, deren Beginn der Tag ist, an dem der Kunde die Ware physisch erhält.

Mehrwertsteuer

Eine prozentuale Gebühr, die von einer Regierung auf die Lieferung von Produkten erhoben wird.

Verkaufspreis

Der Kurs, zu dem eine Fremdwährung verkauft wird. Er ist immer höher als der Mittelkurs in Geld pro Deviseneinheit.

Steuerpolitik

Ein gemeindebasierter Prozentsatz des Verkehrswertes einer Immobilie, der verwendet wird, um den Verkehrswert in einen Schätzwert umzuwandeln.

Steuersatz

Eine Steuer pro 100 US-Dollar des geschätzten Wertes zur Ermittlung der Grundsteuer.

Steuerüberweisung

Die Erfüllung einer Steuerpflicht.

Die Formeln, die Sie kennen müssen

Verwendete Symbole

(AV) = Schätzwert einer Immobilie

Aktuelle Währung = Währung, aus der Sie umrechnen

Gewünschte Währung = Währung, in die Sie umrechnen

Wechselkurs = Umrechnungskurs pro Einheit für die aktuelle Währung

Grundsteuer = Grundsteuerbetrag

(PTR)= Grundsteuersatz, normalerweise auf einer Basis von 100 USD (Steuersatz) oder pro 1.000 USD (Mill-Satz) festgelegt)

Satz = Umsatzsteuer

Überweisung = Steuerüberweisung

(S) = Verkaufspreis

(S_{Steuer}) = Verkaufspreis inklusive Steuern

Steuereinnahmen = Gesamtsteuereinnahmen durch Verkäufe

Bezahlte Steuern = Gesamtsteuer, die durch Einkäufe gezahlt wurde

Formeln eingeführt

Formel 7.1 Verkaufspreis inklusive Steuern: (S_{Steuer}=S+(S imes ext { Rate }))

Formel 7.2 GST/HST-Überweisung: ( ext{Überweisung }= ext{ Eingezogene Steuer }- ext{ Gezahlte Steuer})

Formel 7.3 Grundsteuern: ( ext { Grundsteuer}=Sigma(AV imes PTR))

Formel 7.4 Währungsumtausch: ( ext{Gewünschte Währung}= ext{Wechselkurs} imes ext{ Aktuelle Währung})

Technologie

Taschenrechner

In diesem Kapitel wird die Funktion „Prozentänderung“ verwendet. Eine ausführliche Erläuterung dieser Rechnerfunktion finden Sie am Ende von Kapitel 3.


David Hilbert

David HilbertSein Vater, Otto Hilbert, war der Sohn eines Richters, der ein hochrangiger Geheimrat war. Otto war Kreisrichter, der Maria Therese Erdtmann, die Tochter des Königsberger Kaufmanns Karl Erdtmann, geheiratet hatte. Maria war fasziniert von Philosophie, Astronomie und Primzahlen. Otto Hilbert hatte einen Bruder, der Jurist war, und einen anderen, der Direktor eines Gymnasiums war. Nachdem Otto zum Oberrichter befördert worden war, zogen er und Maria in die Kirchenstraße 13 in Königsberg, wo David einen Großteil seiner Kindheit verbrachte. Er wurde von seinem Vater streng erzogen, der ein Mann war, der sein Leben nach einem einheitlichen Muster führte, jeden Tag immer den gleichen Weg ging und Königsberg nur einmal im Jahr zum jährlichen Familienurlaub verließ. David war das erste Kind und einzige Sohn seiner Eltern. Er war sechs Jahre alt, als seine Schwester Elsie geboren wurde.

Das übliche Alter für einen Schuleintritt war sechs Jahre, aber David besuchte seine erste Schule, das Königliche Friedrichskolleg, erst mit acht Jahren. Es ist fast sicher, dass seine Mutter ihn zu Hause unterrichtete, bis er acht Jahre alt war. Das Friedrichskolleg, auch Collegium Fridericianum genannt, hatte eine Nachwuchsabteilung, die David zwei Jahre lang besuchte, bevor er 1872 in das Gymnasium des Friedrichskollegs eintrat. Obwohl sie als die beste Schule in Königsberg galt, lag der Schwerpunkt auf Latein und Griechisch, während Mathematik weniger wichtig war. Naturwissenschaften wurden im Friedrichskolleg überhaupt nicht gelehrt. Der Hauptansatz beim Lernen bestand darin, dass die Schüler große Mengen an Material auswendig lernen, was David nicht besonders gut konnte. Vielleicht überraschend für jemanden, der einen riesigen Einfluss auf die Mathematik hatte, glänzte er in der Schule nicht. Im späteren Leben bezeichnete er sich am Friedrichskolleg als „dummen und albernen“ Jungen. Obwohl diese Worte zweifellos bescheiden sind, spiegeln sie doch wahrscheinlich Hilberts eigenes Gefühl für seine Schulzeit wider. Im September 1879 wechselte er vom Friedrichskolleg an das Wilhelm-Gymnasium, wo er sein letztes Schuljahr verbrachte. Hier wurde mehr Wert auf Mathematik gelegt und die Lehrer förderten originelles Denken, wie es am Friedrichskolleg noch nicht vorgekommen war. Hilbert war viel glücklicher und seine Leistungen in allen seinen Fächern verbesserten sich. Er erhielt die Bestnote für Mathematik und sein Abschlussbericht lautete:-

Am 7. Februar 1885 verteidigte er in einer öffentlichen Disputation zwei Vorschläge. Einer von Hilberts ausgewählten Vorschlägen betraf die Physik, der andere die Philosophie. Dies war die letzte Etappe seiner Promotion, die dann gebührend verliehen wurde. Den Monat nach der Promotion verbrachte er mit dem Staatsexamen zur Erlangung der Gymnasiallehre, besuchte Lindemanns Geometriekurs über Plückers Liniengeometrie und Lies Kugelgeometrie sowie die Vorlesungen von Hurwitz auf modulare Funktionen. Hurwitz schlug Hilbert vor, einen Forschungsaufenthalt nach Leipzig zu machen, um mit Felix Klein zu sprechen. Diesem Rat folgend ging er nach Leipzig und besuchte Kleins Vorlesungen. Außerdem lernte er Georg Pick und Eduard Study kennen. Klein schlug vor, dass sowohl Hilbert als auch Study Erlangen besuchen und ihre Forschungen mit Paul Gordan, dem führenden Experten für Invariantentheorie, besprechen sollten. Der Besuch fand zu diesem Zeitpunkt jedoch nicht statt. Klein sagte dann sowohl Study als auch Hilbert, dass sie Paris besuchen sollten. Beide gingen Anfang 1886, Hilbert Ende März. Klein hatte ihnen Anweisungen gegeben, welchen der Pariser Mathematiker sie besuchen sollten, und sie taten, was er ihnen sagte, und schrieben Klein abwechselnd von ihren Erfahrungen. Einer der ersten Mathematiker, die sie besuchten, war Henri Poincaré, der einige Tage später wieder zu Besuch kam. Die beiden jungen Besucher lasen sich gegenseitig ihre Briefe an Klein laut vor, damit sie ihm nicht beide das Gleiche sagten. Er antwortete jedem nacheinander und machte deutlich, dass er sie gleich behandelte. In Paris gab Camille Jordan für Hilbert and Study ein Dinner, zu dem George-Henri Halphen, Amédée Mannheim und Gaston Darboux eingeladen waren. Bei dieser Gelegenheit sprachen die französischen Mathematiker alle aus Höflichkeit deutsch gegenüber ihren deutschen Gästen, die sich hinterher bei Klein beschwerten, dass das mathematische Gespräch sehr oberflächlich gewesen sei. Sie waren auch enttäuscht von ihrem Treffen mit Pierre Bonnet, den sie für zu alt für mathematische Diskussionen hielten. Der Mathematiker, mit dem sie sich am besten zu verstehen schienen, war Charles Hermite. Obwohl man ihn für sehr alt hielt (er war 64), war er "außerordentlich freundlich und gastfreundlich" und diskutierte die großen Probleme der Invariantentheorie. Da sie ihren Besuch als besonders nützlich empfunden hatten, kehrten sie ein paar Tage später für einen zweiten Besuch zu Hermites Haus zurück. Es ist klar, dass Hilberts Gedanken während seiner Pariser Zeit ausschließlich auf Mathematik gerichtet waren und er nichts von Sightseeing schrieb. Gegen Ende seines Besuchs erkrankte er und hatte vermutlich Heimweh. Sicherlich kehrte er im Frühjahr 1886 gut gelaunt nach Deutschland zurück. Auf dem Rückweg nach Königsberg besuchte er Göttingen, wo Klein den Lehrstuhl übernehmen wollte, wo er Hermann Amandus Schwarz traf. Als er Schwarz mitteilte, dass er das nächste Mal nach Berlin fahren würde, wurde Hilbert geraten, einen kalten Empfang durch Leopold Kronecker zu erwarten. Hilbert beschrieb seinen Empfang in Berlin jedoch als sehr freundlich.

Von Berlin ging Hilbert zurück nach Königsberg, wo er seine Habilitationsschrift zur Invariantentheorie vorlegte. Außerdem musste er eine Antrittsvorlesung in der Aula der Albertina halten und wurde von den beiden von Hilbert angebotenen Möglichkeiten gebeten, die Vorlesung zu halten Die allgemeinsten periodischen Funktionen. Klein hatte Hilbert gesagt, dass Königsberg vielleicht kein guter Ort für ihn sei, um sich zu habilitieren, aber Hilbert tat dies gerne. Er schrieb an Klein (siehe zum Beispiel [8]) :-

Hilbert verbrachte acht Tage in Göttingen, bevor er nach Königsberg zurückkehrte. Er heiratete am 12. Oktober 1892 seine Cousine zweiten Grades, Käthe Jerosch, sie hatten einen Sohn Franz Hilbert, geboren am 11. August 1893.

1892 zog Schwarz von Göttingen nach Berlin, um den Lehrstuhl von Weierstraß zu besetzen, und Klein wollte Hilbert den vakanten Göttinger Lehrstuhl anbieten. Klein konnte seine Kollegen jedoch nicht überzeugen und Heinrich Weber wurde auf den Lehrstuhl berufen. Klein war wohl nicht allzu unglücklich, als Weber drei Jahre später auf einen Lehrstuhl nach Straßburg wechselte, denn bei dieser Gelegenheit war es ihm gelungen, Hilbert zu berufen. So wurde Hilbert 1895 auf den Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Göttingen berufen, wo er für den Rest seiner Karriere lehrte.

Hilberts herausragende Stellung in der Welt der Mathematik nach 1900 führte dazu, dass andere Institutionen ihn gerne dazu gebracht hätten, Göttingen zu verlassen, und 1902 bot die Universität Berlin Hilbert Fuchs den Lehrstuhl an. Hilbert lehnte den Berliner Lehrstuhl ab, aber erst nachdem er das Angebot genutzt hatte, um mit Göttingen zu verhandeln und sie zu überzeugen, einen neuen Lehrstuhl einzurichten, um seinen Freund Minkowski nach Göttingen zu holen.

Wie wir oben gesehen haben, befasste sich Hilberts erste Arbeit mit der Invariantentheorie und bewies 1888 seinen berühmten Basissatz. Zwanzig Jahre zuvor hatte Gordan den endlichen Basissatz für binäre Formen mit einem hochgradig rechnerischen Ansatz bewiesen. Versuche, Gordans Arbeit auf Systeme mit mehr als zwei Variablen zu verallgemeinern, schlugen fehl, da die Rechenschwierigkeiten zu groß waren. Hilbert selbst versuchte zunächst, Gordans Vorgehen zu folgen, erkannte aber bald, dass eine neue Angriffslinie notwendig war. Er entdeckte einen völlig neuen Ansatz, der den endlichen Basissatz für eine beliebige Anzahl von Variablen auf völlig abstrakte Weise bewies. Obwohl er bewies, dass eine endliche Basis existiert, konstruierten seine Methoden keine solche Basis.

Hilbert legte ein Papier vor, das den endlichen Basissatz beweist, um Mathematische Annalen. Gordan war jedoch der Experte für Invariantentheorie für Mathematische Annalen und er fand Hilberts revolutionären Ansatz schwer zu würdigen. Er begutachtete das Papier und schickte seine Kommentare an Klein:-

Zu der Zeit, als Klein diese beiden Briefe von Hilbert und Gordan erhielt, war Hilbert Lehrbeauftragter, während Gordan der anerkannte weltweit führende Experte für Invariantentheorie und auch ein enger Freund von Klein war. Klein erkannte jedoch die Bedeutung von Hilberts Werk und versicherte ihm, dass es in der Annalen ohne irgendwelche Änderungen, wie es tatsächlich der Fall war.

Hilbert erweiterte seine Methoden in einer späteren Arbeit, die erneut der Mathematische Annalen und Klein, nachdem er das Manuskript gelesen hatte, schrieb an Hilbert und sagte:

Ein Auszug aus Hilberts Vorwort zu Zahlbericht ist Zitat 7 in unserer Sammlung Zitate von und über Hilbert unter DIESEM LINK.

Hilberts Arbeiten zur Geometrie hatten nach Euklid den größten Einfluss auf diesem Gebiet. Eine systematische Untersuchung der Axiome der euklidischen Geometrie führte Hilbert dazu, 21 solcher Axiome vorzuschlagen und ihre Bedeutung zu analysieren. Er veröffentlichte Grundlagen der Geometrie im Jahr 1899 die Geometrie in einen formalen axiomatischen Rahmen. Das Buch erschien immer wieder in Neuauflagen und hatte einen großen Einfluss auf die Förderung des axiomatischen Zugangs zur Mathematik, der im 20. Jahrhundert eines der Hauptmerkmale des Fachs war.

Bewertungen von Grundlagen der Geometrie und andere Bücher von Hilbert sind unter DIESEM LINK.

Mehr über Grundlagen der Mathematik ist bei .

Hilberts berühmte 23 Pariser Probleme forderten ( und fordern noch heute ) Mathematiker heraus, grundlegende Fragen zu lösen. Hilberts berühmte Rede The Problems of Mathematics wurde auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris gehalten. Es war eine Rede voller Optimismus für die Mathematik des kommenden Jahrhunderts, und er empfand offene Probleme als Zeichen der Vitalität des Fachs:

Zu Hilberts Problemen gehörten die Kontinuumshypothese, die Wohlordnung der reellen Zahlen, die Goldbachsche Vermutung, die Potenztranszendenz algebraischer Zahlen, die Riemannsche Hypothese, die Erweiterung des Dirichletschen Prinzips und vieles mehr. Viele der Probleme wurden in diesem Jahrhundert gelöst, und jedes Mal, wenn eines der Probleme gelöst wurde, war dies ein großes Ereignis für die Mathematik.

Weitere Informationen zu Hilberts Problemen finden Sie unter DIESEM LINK.

Heute erinnert sich Hilberts Name oft am besten durch das Konzept des Hilbert-Raums. Irving Kaplansky, der in [ 2 ] schreibt, erklärt Hilberts Arbeit, die zu diesem Konzept führte:

Viele haben behauptet, Hilbert habe 1915 die richtigen Feldgleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie vor Einstein entdeckt, aber nie die Priorität beansprucht. Der Artikel [ 54 ] zeigt jedoch, dass diese Ansicht falsch ist. In dieser Arbeit zeigen die Autoren überzeugend, dass Hilbert seinen Artikel am 20. November 1915 einreichte, fünf Tage bevor Einstein seinen Artikel mit den korrekten Feldgleichungen einreichte. Einsteins Artikel erschien am 2. Dezember 1915, aber die Beweise von Hilberts Arbeit (vom 6. Dezember 1915) enthalten keine Feldgleichungen.

Wie die Autoren von [ 54 ] schreiben:-

1934 und 1939 zwei Bände Grundlagen der Mathematik Ⓣ wurden veröffentlicht, die zu einer 'Beweistheorie' führen sollten, einer direkten Überprüfung der Konsistenz der Mathematik. Gödels Arbeit von 1931 zeigte, dass dieses Ziel unmöglich ist.

Hilbert trug zu vielen Zweigen der Mathematik bei, darunter Invarianten, algebraische Zahlenkörper, Funktionalanalyse, Integralgleichungen, mathematische Physik und Variationsrechnung. Seine mathematischen Fähigkeiten wurden von Otto Blumenthal, seinem ersten Schüler [ 30 ] :-

1930 ging Hilbert in den Ruhestand, aber nur wenige Jahre später, 1933, änderte sich das Leben in Göttingen völlig, als die Nationalsozialisten an die Macht kamen und jüdische Dozenten entlassen wurden. Im Herbst 1933 waren die meisten gegangen oder wurden entlassen. Hilbert hatte, obwohl im Ruhestand, noch einige Vorlesungen gehalten. Im Wintersemester 1933/34 hielt er wöchentlich eine Vorlesung über die Grundlagen der Geometrie. Nachdem er diesen Kurs beendet hatte, hat er das Institut nie wieder betreten. Anfang 1942 stürzte er bei einem Spaziergang in Göttingen und brach sich den Arm. Dies machte ihn völlig inaktiv und dies scheint ein wichtiger Faktor für seinen Tod ein Jahr nach dem Unfall gewesen zu sein.

Hilbert erhielt viele Ehrungen. 1905 verlieh die Ungarische Akademie der Wissenschaften Hilbert eine besondere Auszeichnung. Er wurde 1910 mit dem Bolyai-Preis ausgezeichnet und 1928 zum Fellow der Royal Society of London gewählt. 1930 ging Hilbert in den Ruhestand und wurde von der Stadt Königsberg zum Ehrenbürger der Stadt ernannt. Er hielt eine Ansprache, die mit sechs berühmten Worten endete, die seine Begeisterung für Mathematik und sein Leben der Lösung mathematischer Probleme zeigten:

1939 wurde ihm der Mittag-Leffler-Preis der Schwedischen Akademie der Wissenschaften verliehen. Diesen Preis teilte er sich mit Émile Picard. Hilbert wurde 1901 zum Ehrenmitglied der London Mathematical Society und 1942 der Deutschen Mathematischen Gesellschaft gewählt.

Zitate, die Hilberts Persönlichkeit und Hobbys beschreiben, finden Sie unter 5 und 10 unter DIESEM LINK.


Lektion 2

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Die Tabelle zeigt die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten und Flächen für das Tetraeder und Dodekaeder.

    Vervollständigen Sie die fehlenden Werte für den Würfel. Machen Sie dann mindestens zwei Beobachtungen über die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte in einem platonischen Körper.

Es gibt einige interessante Beziehungen zwischen der Anzahl der Flächen ( (F) ), Kanten ( (E) ) und Ecken ( (V) ) in allen platonischen Körpern. Beispielsweise ist die Anzahl der Kanten immer größer als die Anzahl der Flächen oder (E > F) . Ein weiteres Beispiel: Die Anzahl der Kanten ist immer kleiner als die Summe aus der Anzahl der Flächen und der Anzahl der Scheitelpunkte oder (E< F+V) .

Es gibt eine Beziehung, die mit einer Gleichung ausgedrückt werden kann. Kannst du es finden? Wenn ja, schreiben Sie eine Gleichung, um sie darzustellen.

Es gibt zwei weitere platonische Körper: ein Oktaeder mit 8 Seiten, die alle Dreiecke sind, und ein Ikosaeder mit 20 Seiten, die alle Dreiecke sind.

  1. Wie viele Kanten hätte jeder dieser Körper? (Denken Sie daran, dass jede Kante in zwei Flächen verwendet wird.)
  2. Verwenden Sie Ihre Erkenntnisse aus der Aktivität, um zu bestimmen, wie viele Scheitelpunkte jeder dieser Körper haben würde.
  3. Bestimmen Sie für alle 5 platonischen Körper, wie viele Flächen sich an jedem Scheitelpunkt treffen.

2.3: Heidelbeeren und Einnahmen

Schreiben Sie eine Gleichung, um jede Situation darzustellen.

  1. Blaubeeren kosten 4,99 US-Dollar pro Pfund. Diego kauft (b) Pfund Blaubeeren und zahlt 14,95 Dollar.
  2. Blaubeeren kosten 4,99 US-Dollar pro Pfund. Jada kauft (p) Pfund Blaubeeren und zahlt (c) Dollar.
  3. Blaubeeren sind (d) Dollar pro Pfund. Lin kauft (q) Pfund Blaubeeren und zahlt (t) Dollar.
  4. Noah hat im Sommer (n) Dollar verdient. Mai verdiente 275 Dollar, das sind 45 Dollar mehr als Noah.
  5. Noah hat im Sommer (v) Dollar verdient. Mai verdiente (m) Dollar, das sind 45 Dollar mehr als Noah.
  6. Noah hat im Sommer (w) Dollar verdient. Mai verdiente (x) Dollar, das sind (y) Dollar mehr als Noah.

2.4: Autopreise

Die Steuer auf den Verkauf eines Autos in Michigan beträgt 6%. Bei einem Autohaus in Ann Arbor fallen beim Autokauf auch 120 US-Dollar an sonstigen Gebühren an.

In dieser Situation gibt es mehrere Größen: den ursprünglichen Autopreis, die Umsatzsteuer, sonstige Gebühren und den Gesamtpreis. Schreiben Sie eine Gleichung, um die Beziehung zwischen allen Größen zu beschreiben, wenn:

  1. Der ursprüngliche Autopreis beträgt 9.500 US-Dollar.
  2. Der ursprüngliche Autopreis beträgt 14.699 US-Dollar.
  3. Der Gesamtpreis beträgt 22.480 US-Dollar.
  4. Der ursprüngliche Preis ist (p) .

Zusammenfassung

Angenommen, Ihre Klasse plant einen Museumsbesuch. Der Eintritt kostet 7 $ pro Person und die Kosten für die Anmietung eines Tagesbusses betragen 180 $.

  • Wenn 24 Schüler und 3 Lehrer gehen, wissen wir, dass die Kosten: (7(24) + 7(3) + 180) oder (7(24+3) + 180) betragen.
  • Wenn 30 Schüler und 4 Lehrer teilnehmen, betragen die Kosten: (7(30+4) + 180) .

Beachten Sie, dass die Anzahl der Schüler und Lehrer variieren kann. Dies bedeutet, dass auch die Eintrittspreise und die Gesamtkosten der Reise variieren können, da sie von der Anzahl der Personen abhängen.

Buchstaben sind hilfreich, um unterschiedliche Mengen darzustellen. Wenn (s) für die Anzahl der Schüler, die gehen, (t) für die Anzahl der Lehrer und (C) für die Gesamtkosten steht, können wir die Mengen und Einschränkungen modellieren, indem wir Folgendes schreiben:

Einige Mengen können festgelegt werden. In diesem Beispiel kostet die Busmiete 180 $, unabhängig davon, wie viele Schüler und Lehrer fahren (vorausgesetzt, es wird nur ein Bus benötigt).

Buchstaben können auch verwendet werden, um konstante Größen darzustellen. Wir können dies tun, wenn wir den Wert nicht kennen oder wenn wir die Beziehung zwischen Größen (anstelle der spezifischen Werte) verstehen möchten.

Wenn die Busmiete beispielsweise (B) Dollar beträgt, können wir die Gesamtkosten der Fahrt als (C = 7(s + t) + B) ausdrücken. Unabhängig davon, wie viele Lehrer oder Schüler die Reise antreten, müssen (B) Dollar zu den Eintrittskosten hinzugerechnet werden.

Glossareinträge

Eine Einschränkung der möglichen Werte von Variablen in einem Modell, die oft durch eine Gleichung oder Ungleichung oder durch die Angabe, dass der Wert eine ganze Zahl sein muss, ausgedrückt wird. Zum Beispiel könnte die Entfernung über dem Boden (d) in Metern auf nicht-negativ beschränkt sein, ausgedrückt durch (d ge 0) .

Eine mathematische oder statistische Darstellung eines Problems aus Wissenschaft, Technik, Ingenieurwesen, Arbeit oder Alltag, die verwendet wird, um Probleme zu lösen und Entscheidungen zu treffen.

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Inhalt

Der Begriff Systemtechnik lässt sich in den 1940er Jahren auf die Bell Telephone Laboratories zurückverfolgen. [1] Die Notwendigkeit, die Eigenschaften eines Gesamtsystems zu identifizieren und zu manipulieren, die in komplexen Engineering-Projekten stark von der Summe der Eigenschaften der Teile abweichen können, motivierte verschiedene Branchen, insbesondere diejenigen, die Systeme für das US-Militär entwickeln, sich zu bewerben die Disziplin. [2] [3]

Als es nicht mehr möglich war, sich auf Design-Evolution zu verlassen, um ein System zu verbessern, und die vorhandenen Werkzeuge nicht ausreichten, um den wachsenden Anforderungen gerecht zu werden, wurden neue Methoden entwickelt, die direkt auf die Komplexität eingingen. [4] Die Weiterentwicklung des Systems Engineering umfasst die Entwicklung und Identifizierung neuer Methoden und Modellierungstechniken. Diese Methoden tragen zu einem besseren Verständnis des Designs und der Entwicklungskontrolle von technischen Systemen bei, wenn diese komplexer werden. In dieser Zeit wurden beliebte Tools entwickelt, die häufig im Kontext des Systems Engineering verwendet werden, darunter USL, UML, QFD und IDEF0.

1990 gründete sich eine Fachgesellschaft für Systemtechnik, die Nationaler Rat für Systemtechnik (NCOSE) wurde von Vertretern einer Reihe von US-amerikanischen Unternehmen und Organisationen gegründet. NCOSE wurde geschaffen, um den Bedarf an Verbesserungen in der Systemtechnik und in der Ausbildung zu decken. Als Folge des wachsenden Engagements von Systemingenieuren außerhalb der USA wurde der Name der Organisation 1995 in International Council on Systems Engineering (INCOSE) geändert. [5] Schulen in mehreren Ländern bieten Graduiertenprogramme in Systems Engineering an und weiterführend Auch für praktizierende Ingenieure gibt es Ausbildungsmöglichkeiten. [6]

Einige Definitionen
Simon Ramo, der von einigen als Begründer des modernen Systems Engineering angesehen wird, definiert die Disziplin als: ". ein Zweig des Ingenieurwesens, das sich auf die Gestaltung und Anwendung des Ganzen konzentriert, getrennt von den Teilen, ein Problem in seiner Gesamtheit betrachtet, unter Berücksichtigung aller Facetten und Variablen und verbindet das Soziale mit dem Technologischen." [7] — Komplexität erobern, 2004.
„Ein interdisziplinärer Ansatz und Mittel, um die Realisierung erfolgreicher Systeme zu ermöglichen“ [8] — INCOSE-Handbuch, 2004.
„System Engineering ist ein robuster Ansatz für das Design, die Erstellung und den Betrieb von Systemen. Vereinfacht gesagt besteht der Ansatz aus der Identifizierung und Quantifizierung von Systemzielen, der Erstellung alternativer Systemdesignkonzepte, der Durchführung von Designgewerken, der Auswahl und Umsetzung der bestes Design, Überprüfung, ob das Design richtig erstellt und integriert ist, und Bewertung nach der Implementierung, wie gut das System die Ziele erfüllt (oder erreicht). [9] — NASA Systems Engineering Handbuch, 1995.
„Die Kunst und Wissenschaft, effektive Systeme zu schaffen, unter Verwendung von Gesamtsystemen, ganzen Lebensprinzipien“ ODER „Die Kunst und Wissenschaft, optimale Lösungssysteme für komplexe Probleme und Probleme zu schaffen“ [10] — Derek Hitchins, Prof. of Systems Engineering, ehemaliger Präsident von INCOSE (UK), 2007.
„Das Konzept aus ingenieurwissenschaftlicher Sicht ist die Evolution des Ingenieurwissenschaftlers, dh des wissenschaftlichen Generalisten, der einen breiten Blickwinkel behält. Die Methode ist die des Teamansatzes. Bei großskaligen Systemproblemen werden Teams aus Wissenschaftlern und Ingenieuren, Generalisten als auch Spezialisten arbeiten gemeinsam daran, eine Lösung zu finden und physisch zu realisieren. Die Technik wird auch als Systemansatz oder Teamentwicklungsmethode bezeichnet." [11] — Harry H. Goode und Robert E. Machol, 1957.
„Die Systems-Engineering-Methode erkennt, dass jedes System ein integriertes Ganzes ist, obwohl es aus verschiedenen, spezialisierten Strukturen und Unterfunktionen besteht. Sie erkennt außerdem an, dass jedes System eine Reihe von Zielen hat und dass die Balance zwischen diesen von System zu System stark variieren kann. Die Methoden zielen darauf ab, die Gesamtsystemfunktionen gemäß den gewichteten Zielen zu optimieren und eine maximale Kompatibilität seiner Teile zu erreichen." [12] — Systems Engineering Tools von Harold Chestnut, 1965.

Systems Engineering bedeutet nur einen Ansatz und neuerdings auch eine Disziplin im Ingenieurwesen. Ziel der Ausbildung im Systems Engineering ist es, verschiedene Ansätze einfach zu formalisieren und dabei neue Methoden und Forschungsmöglichkeiten zu identifizieren, wie sie auch in anderen Ingenieurwissenschaften vorkommen. Als Ansatz ist Systems Engineering ganzheitlich und interdisziplinär angelegt.

Ursprünge und traditioneller Umfang Bearbeiten

Der klassische Bereich des Engineering umfasst die Konzeption, Konstruktion, Entwicklung, Produktion und den Betrieb von physikalischen Systemen. Systems Engineering, wie ursprünglich gedacht, fällt in diesen Anwendungsbereich. „Systems Engineering“ in diesem Sinne bezeichnet die Erstellung von Ingenieurkonzepten.

Evolution zu einem breiteren Anwendungsbereich Bearbeiten

Die Verwendung des Begriffs „Systemingenieur“ hat sich im Laufe der Zeit zu einem umfassenderen, ganzheitlicheren Konzept von „Systemen“ und technischen Prozessen entwickelt. Diese Entwicklung der Definition war Gegenstand anhaltender Kontroversen [13] und der Begriff gilt weiterhin sowohl für den engeren als auch für den weiteren Anwendungsbereich.

Traditionelles Systems Engineering wurde als ein Zweig des Engineerings im klassischen Sinne angesehen, das heißt nur auf physikalische Systeme wie Raumfahrzeuge und Flugzeuge angewendet. In jüngerer Zeit hat sich Systems Engineering zu einer breiteren Bedeutung entwickelt, insbesondere wenn der Mensch als wesentlicher Bestandteil eines Systems angesehen wurde. Checkland zum Beispiel erfasst die umfassendere Bedeutung von Systems Engineering, indem er sagt, dass ‚Engineering‘ „im allgemeinen Sinne gelesen werden kann, man kann ein Meeting oder eine politische Vereinbarung gestalten“. [14] : 10

In Übereinstimmung mit dem breiteren Anwendungsbereich des Systems Engineering hat der Systems Engineering Body of Knowledge (SEBoK) [15] drei Arten von Systems Engineering definiert: (1) Product Systems Engineering (PSE) ist das traditionelle Systems Engineering, das sich auf den Entwurf physikalischer Systeme konzentriert bestehend aus Hard- und Software. (2) Enterprise Systems Engineering (ESE) bezeichnet die Sichtweise von Unternehmen, dh Organisationen oder Kombinationen von Organisationen, als Systeme. (3) Service Systems Engineering (SSE) befasst sich mit dem Engineering von Servicesystemen. Checkland [14] definiert ein Servicesystem als ein System, das so konzipiert ist, dass es einem anderen System dient. Die meisten zivilen Infrastruktursysteme sind Servicesysteme.

Ganzheitliche Sicht Bearbeiten

Systems Engineering konzentriert sich auf die Analyse und Ermittlung von Kundenbedürfnissen und erforderlichen Funktionen zu einem frühen Zeitpunkt im Entwicklungszyklus, die Dokumentation der Anforderungen und die anschließende Entwurfssynthese und Systemvalidierung unter Berücksichtigung des gesamten Problems, des Systemlebenszyklus. Dazu gehört ein umfassendes Verständnis aller beteiligten Stakeholder. Oliveret al. behaupten, dass der Systems-Engineering-Prozess zerlegt werden kann in

  • ein Technischer Prozess des Systems Engineering, und
  • ein Systems Engineering Management-Prozess.

Innerhalb des Modells von Oliver besteht das Ziel des Managementprozesses darin, den technischen Aufwand im Lebenszyklus zu organisieren, während der technische Prozess Folgendes umfasst: Bewertung verfügbarer Informationen, Definition von Effektivitätsmaßen, zu ein Verhaltensmodell erstellen, ein Strukturmodell erstellen, Trade-Off-Analyse durchführen, und Erstellen Sie einen sequenziellen Build- und Testplan. [16]

Je nach Anwendung gibt es zwar mehrere Modelle, die in der Industrie verwendet werden, aber alle zielen darauf ab, die Beziehung zwischen den verschiedenen oben genannten Phasen zu identifizieren und Feedback zu integrieren. Beispiele für solche Modelle sind das Wasserfallmodell und das VEE-Modell (auch V-Modell genannt). [17]

Interdisziplinäres Feld Bearbeiten

Die Systementwicklung erfordert oft den Beitrag verschiedener technischer Disziplinen. [18] Durch die Bereitstellung einer systemischen (ganzheitlichen) Sicht auf den Entwicklungsaufwand trägt Systems Engineering dazu bei, alle technischen Mitwirkenden zu einer einheitlichen Teamleistung zu formen und einen strukturierten Entwicklungsprozess zu bilden, der vom Konzept über die Produktion bis zum Betrieb und in einigen Fällen Kündigung und Entsorgung. Bei einer Akquisition kombiniert die ganzheitliche integrative Disziplin Beiträge und balanciert Kompromisse zwischen Kosten, Zeitplan und Leistung unter Beibehaltung eines akzeptablen Risikoniveaus für den gesamten Lebenszyklus des Artikels. [19]

Diese Perspektive wird oft in Bildungsprogrammen repliziert, in denen Systems Engineering-Kurse von Fakultäten anderer Ingenieurabteilungen unterrichtet werden, was zur Schaffung eines interdisziplinären Umfelds beiträgt. [20] [21]

Komplexität managen Bearbeiten

Der Bedarf an Systems Engineering entstand mit zunehmender Komplexität von Systemen und Projekten, [22] [23] wiederum erhöhte die Möglichkeit von Komponentenreibungen und damit die Unzuverlässigkeit des Designs exponentiell. Komplexität umfasst in diesem Zusammenhang nicht nur technische Systeme, sondern auch die logische menschliche Organisation von Daten. Gleichzeitig kann ein System durch eine Zunahme der Größe sowie durch eine Zunahme der Datenmenge, der Variablen oder der Anzahl der Felder, die am Design beteiligt sind, komplexer werden. Die Internationale Raumstation ist ein Beispiel für ein solches System.

Auch die Entwicklung intelligenter Regelalgorithmen, das Mikroprozessordesign und die Analyse von Umweltsystemen fallen in den Zuständigkeitsbereich des Systems Engineering. Systems Engineering fördert den Einsatz von Werkzeugen und Methoden, um die Komplexität in Systemen besser zu verstehen und zu managen. Einige Beispiele für diese Tools sind hier zu sehen: [24]

  • Systemarchitektur,
  • Systemmodell, Modellierung und Simulation,
  • Optimierung,
  • Systemdynamik,
  • Systemanalyse,
  • statistische Analyse,
  • Zuverlässigkeitsanalyse, und
  • Entscheidung fällen

Eine interdisziplinäre Herangehensweise an Engineering-Systeme ist von Natur aus komplex, da das Verhalten und die Interaktion zwischen Systemkomponenten nicht immer sofort klar definiert oder verstanden werden. Die Definition und Charakterisierung solcher Systeme und Teilsysteme und deren Wechselwirkungen ist eines der Ziele des Systems Engineering. Dabei wird die Lücke zwischen informellen Anforderungen von Nutzern, Betreibern, Marketingorganisationen und technischen Spezifikationen erfolgreich geschlossen.

Bereich Bearbeiten

Eine Möglichkeit, die Motivation hinter Systems Engineering zu verstehen, besteht darin, es als Methode oder Praxis zu sehen, um gemeinsame Regeln zu identifizieren und zu verbessern, die in einer Vielzahl von Systemen existieren. [ Zitat benötigt ] Vor diesem Hintergrund sind die Prinzipien des Systems Engineering – Holism, emergent Behavior, Boundary, et al. – kann auf jedes System angewendet werden, komplex oder anders, vorausgesetzt, Systemdenken wird auf allen Ebenen eingesetzt. [26] Neben Verteidigung und Luft- und Raumfahrt benötigen viele informations- und technologiebasierte Unternehmen, Softwareentwicklungsfirmen und Branchen im Bereich Elektronik und Kommunikation Systemingenieure als Teil ihres Teams. [27]

Eine Analyse des INCOSE Systems Engineering Center of Excellence (SECOE) zeigt, dass der optimale Aufwand für Systems Engineering etwa 15–20% des gesamten Projektaufwands beträgt. [28] Gleichzeitig haben Studien gezeigt, dass Systems Engineering unter anderem zu Kostensenkungen führt. [28] Bis vor kurzem wurde jedoch keine quantitative Erhebung in größerem Maßstab durchgeführt, die eine Vielzahl von Branchen umfasst. Solche Studien sind im Gange, um die Wirksamkeit zu bestimmen und den Nutzen von Systems Engineering zu quantifizieren. [29] [30]

Systems Engineering fördert den Einsatz von Modellierung und Simulation, um Annahmen oder Theorien über Systeme und die Wechselwirkungen in ihnen zu validieren. [31] [32]

Der Einsatz von Methoden, die eine frühzeitige Erkennung möglicher Fehler ermöglichen, ist in der Sicherheitstechnik in den Konstruktionsprozess integriert. Gleichzeitig können zu Beginn eines Projekts getroffene Entscheidungen, deren Konsequenzen nicht klar verstanden werden, später im Leben eines Systems enorme Auswirkungen haben, und es ist die Aufgabe des modernen Systemingenieurs, diese Fragen zu untersuchen und kritische Entscheidungen zu treffen. Keine Methode garantiert, dass heutige Entscheidungen noch gültig sind, wenn ein System Jahre oder Jahrzehnte nach seiner ersten Konzeption in Betrieb geht. Es gibt jedoch Techniken, die den Prozess des Systems Engineering unterstützen. Beispiele hierfür sind die Soft-Systems-Methodik, die System Dynamics-Methode von Jay Wright Forrester und die Unified Modeling Language (UML), die alle derzeit erforscht, evaluiert und entwickelt werden, um den technischen Entscheidungsprozess zu unterstützen.

Die Ausbildung in Systems Engineering wird oft als Ergänzung zu den regulären Ingenieurstudiengängen angesehen [33], was die Einstellung der Industrie widerspiegelt, dass Ingenieurstudenten einen grundlegenden Hintergrund in einer der traditionellen Ingenieurdisziplinen (z. B. Luft- und Raumfahrttechnik, Bauingenieurwesen, Elektrotechnik, Maschinenbau) benötigen Maschinenbau, Fertigungstechnik, Wirtschaftsingenieurwesen, Chemieingenieurwesen) – plus praktische Erfahrung in der Praxis, um als Systemingenieur erfolgreich zu sein. Undergraduate-Studiengänge, die explizit im Bereich Systems Engineering ausgerichtet sind, nehmen an Zahl zu, sind jedoch nach wie vor selten. Typische Programme (entweder einzeln oder in Kombination mit einem interdisziplinären Studium) werden ab dem Graduiertenniveau sowohl im akademischen als auch im beruflichen Bereich angeboten, was entweder zu einem MS/MEng- oder Ph.D./EngD-Abschluss führt.

In Zusammenarbeit mit dem Systems Engineering Research Center am Stevens Institute of Technology unterhält INCOSE ein regelmäßig aktualisiertes Verzeichnis der weltweiten akademischen Programme an entsprechend akkreditierten Institutionen. [6] Ab 2017 sind mehr als 140 Universitäten in Nordamerika aufgeführt, die mehr als 400 Bachelor- und Masterstudiengänge in Systemtechnik anbieten. Die weitverbreitete institutionelle Anerkennung des Bereichs als eigenständige Teildisziplin ist noch relativ neu. Die Ausgabe der gleichen Veröffentlichung von 2009 gab an, dass nur 80 bzw. 165 solcher Schulen und Programme vorhanden sind.

Eine Ausbildung in Systems Engineering kann als Systemzentriert oder Domänenzentriert:

  • Systemzentriert Programme behandeln Systems Engineering als eigene Disziplin, und die meisten Kurse werden mit Schwerpunkt auf den Prinzipien und der Praxis des Systems Engineering gelehrt.
  • Domänenzentriert Studiengänge bieten Systems Engineering als Option an, die mit einem anderen ingenieurwissenschaftlichen Schwerpunkt ausgeübt werden kann.

Beide Muster zielen darauf ab, den Systemingenieur auszubilden, der in der Lage ist, interdisziplinäre Projekte mit der für einen Core-Engineer erforderlichen Tiefe zu überwachen. [34]

Systems Engineering-Tools sind Strategien, Verfahren und Techniken, die bei der Durchführung von Systems Engineering an einem Projekt oder Produkt helfen.Der Zweck dieser Tools reicht von Datenbankverwaltung, grafischem Browsen, Simulation und Argumentation bis hin zur Dokumentenproduktion, neutralem Import/Export und mehr. [35]

Systembearbeitung

Im Bereich Systems Engineering gibt es viele Definitionen, was ein System ist. Im Folgenden sind einige maßgebliche Definitionen aufgeführt:

    /EIA-632-1999: "Eine Aggregation von Endprodukten und befähigenden Produkten, einen bestimmten Zweck zu erfüllen." [36] Systems Engineering Fundamentals: "ein integrierter Verbund von Menschen, Produkten und Prozessen, der die Fähigkeit bietet, ein bestimmtes Bedürfnis oder Ziel zu erfüllen." [37] Std 1220-1998: "Ein Satz oder eine Anordnung von Elementen und Prozessen, die miteinander verbunden sind und deren Verhalten die Kunden-/Betriebsbedürfnisse befriedigt und für die Erhaltung des Lebenszyklus der Produkte sorgt." [38] Systems Engineering Handbook: "homogene Einheit, die ein vordefiniertes Verhalten in der realen Welt zeigt und aus heterogenen Teilen besteht, die dieses Verhalten nicht einzeln zeigen, und eine integrierte Konfiguration von Komponenten und/oder Subsystemen." [39] : „Ein System ist ein Konstrukt oder eine Ansammlung verschiedener Elemente, die zusammen Ergebnisse hervorbringen, die durch die Elemente allein nicht erreicht werden können. Die Elemente oder Teile können Personen, Hardware, Software, Einrichtungen, Richtlinien und Dokumente umfassen, d Dinge, die erforderlich sind, um Ergebnisse auf Systemebene zu erzielen. Die Ergebnisse umfassen Qualitäten, Eigenschaften, Eigenschaften, Funktionen, Verhalten und Leistung auf Systemebene. Der Mehrwert des Gesamtsystems, der über den eigenständigen Beitrag der Teile hinausgeht, wird hauptsächlich durch die Beziehung erzeugt created zwischen den Teilen, das heißt, wie sie miteinander verbunden sind." [40] 15288:2008: "Eine Kombination von interagierenden Elementen, die organisiert sind, um einen oder mehrere festgelegte Zwecke zu erreichen." [41] Systems Engineering Handbook: „(1) Die Kombination von Elementen, die zusammenwirken, um die Fähigkeit zu erzeugen, einen Bedarf zu decken. Die Elemente umfassen alle Hardware, Software, Ausrüstung, Einrichtungen, Personal, Prozesse und Verfahren, die für diesen Zweck erforderlich sind. (2) Das Endprodukt (das Betriebsfunktionen ausführt) und die unterstützenden Produkte (die den Betriebsendprodukten lebenszyklus-Supportdienste bereitstellen), die ein System bilden." [42]

Systems Engineering Prozesse Bearbeiten

Systems-Engineering-Prozesse umfassen alle kreativen, manuellen und technischen Aktivitäten, die zur Definition des Produkts erforderlich sind und die durchgeführt werden müssen, um eine Systemdefinition in eine ausreichend detaillierte Systemdesign-Spezifikation für die Produktherstellung und den Einsatz zu überführen. Design und Entwicklung eines Systems lassen sich in vier Phasen mit jeweils unterschiedlichen Definitionen unterteilen: [43]

  • Aufgabendefinition (informative Definition),
  • konzeptionelle Phase (Kardinaldefinition),
  • Entwurfsphase (formative Definition) und
  • Umsetzungsphase (Fertigungsdefinition).

Werkzeuge werden je nach Anwendung in verschiedenen Phasen des Systems Engineering Prozesses eingesetzt: [25]

Modelle verwenden Bearbeiten

Modelle spielen im Systems Engineering eine wichtige und vielfältige Rolle. Ein Modell kann auf verschiedene Arten definiert werden, darunter: [44]

  • Eine Abstraktion der Realität, die darauf abzielt, spezifische Fragen zur realen Welt zu beantworten
  • Eine Nachahmung, Analogie oder Darstellung eines Prozesses oder einer Struktur in der realen Welt oder
  • Ein konzeptionelles, mathematisches oder physikalisches Werkzeug zur Unterstützung eines Entscheidungsträgers.

Zusammengenommen sind diese Definitionen breit genug, um physikalisch-technische Modelle zu umfassen, die bei der Verifizierung eines Systementwurfs verwendet werden, sowie schematische Modelle wie ein funktionales Flussblockdiagramm und mathematische (d. h. quantitative) Modelle, die im Handelsstudienprozess verwendet werden. Dieser Abschnitt konzentriert sich auf das Letzte. [44]

Der Hauptgrund für die Verwendung mathematischer Modelle und Diagramme in Handelsstudien besteht darin, Schätzungen der Systemeffektivität, der Leistung oder der technischen Eigenschaften und der Kosten anhand einer Reihe bekannter oder schätzbarer Größen bereitzustellen. In der Regel ist eine Sammlung separater Modelle erforderlich, um all diese Ergebnisvariablen bereitzustellen. Das Herzstück jedes mathematischen Modells ist eine Reihe aussagekräftiger quantitativer Beziehungen zwischen seinen Inputs und Outputs. Diese Beziehungen können so einfach sein wie das Addieren von Bestandteilsgrößen, um eine Summe zu erhalten, oder so komplex wie ein Satz von Differentialgleichungen, die die Flugbahn eines Raumfahrzeugs in einem Gravitationsfeld beschreiben. Im Idealfall drücken die Beziehungen Kausalität aus, nicht nur Korrelation. [44] Darüber hinaus sind die Methoden, mit denen diese Modelle effizient und effektiv verwaltet und zur Simulation der Systeme verwendet werden, ein Schlüssel für erfolgreiche Systems Engineering-Aktivitäten. Verschiedene Domänen stellen jedoch häufig wiederkehrende Probleme der Modellierung und Simulation für die Systemtechnik dar, und neue Fortschritte zielen darauf ab, Methoden zwischen verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Gemeinschaften unter dem Titel "Modeling & Simulation-based Systems Engineering" zu befruchten. [45]

Modellierung von Formalismen und grafischen Darstellungen Bearbeiten

Wenn der Hauptzweck eines Systemingenieurs zunächst darin besteht, ein komplexes Problem zu verstehen, werden grafische Darstellungen eines Systems verwendet, um die Funktions- und Datenanforderungen eines Systems zu kommunizieren. [46] Gängige grafische Darstellungen umfassen:

Eine grafische Darstellung verbindet die verschiedenen Subsysteme oder Teile eines Systems durch Funktionen, Daten oder Schnittstellen. Jedes oder jedes der obigen Verfahren wird in einer Industrie basierend auf ihren Anforderungen verwendet. Beispielsweise kann das N2-Diagramm verwendet werden, wo Schnittstellen zwischen Systemen wichtig sind. Ein Teil der Entwurfsphase besteht darin, Struktur- und Verhaltensmodelle des Systems zu erstellen.

Sobald die Anforderungen verstanden sind, liegt es nun in der Verantwortung eines Systemingenieurs, diese zu verfeinern und zusammen mit anderen Ingenieuren die beste Technologie für eine Aufgabe zu bestimmen. An diesem Punkt, beginnend mit einer Handelsstudie, ermutigt Systems Engineering die Verwendung gewichteter Entscheidungen, um die beste Option zu bestimmen. Eine Entscheidungsmatrix oder Pugh-Methode ist eine Möglichkeit (QFD ist eine andere), um diese Wahl unter Berücksichtigung aller wichtigen Kriterien zu treffen. Die Handelsstudie wiederum prägt das Design, was wiederum die grafischen Darstellungen des Systems beeinflusst (ohne die Anforderungen zu ändern). In einem SE-Prozess stellt diese Stufe den iterativen Schritt dar, der ausgeführt wird, bis eine zulässige Lösung gefunden ist. Eine Entscheidungsmatrix wird häufig unter Verwendung von Techniken wie statistischer Analyse, Zuverlässigkeitsanalyse, Systemdynamik (Rückkopplungskontrolle) und Optimierungsmethoden ausgefüllt.

Andere Werkzeuge Bearbeiten

Systems Modeling Language (SysML), eine Modellierungssprache für Systems Engineering-Anwendungen, unterstützt die Spezifikation, Analyse, den Entwurf, die Verifikation und die Validierung einer breiten Palette komplexer Systeme. [47]

Lifecycle Modeling Language (LML) ist eine Open-Standard-Modellierungssprache, die für die Systemtechnik entwickelt wurde und den gesamten Lebenszyklus unterstützt: Konzept-, Nutzungs-, Support- und Stilllegungsphasen. [48]

Viele verwandte Gebiete können als eng mit der Systemtechnik verbunden betrachtet werden. Folgende Bereiche haben zur Entwicklung des Systems Engineering als eigenständige Einheit beigetragen:


SCHRÖDINGER'S-GLEICHUNG

Publisher-Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Schrödingersche Gleichung diskutiert. Die Form der Wellengleichung eines physikalischen Systems wird durch seinen Hamilton-Operator bestimmt, der daher im gesamten mathematischen Formalismus der Quantenmechanik von grundlegender Bedeutung ist. Die Form des Hamilton-Operators für ein freies Teilchen ergibt sich aus den allgemeinen Anforderungen an die Homogenität und Isotropie des Raumes und das Relativitätsprinzip von Galilei. In der klassischen Mechanik führen diese Forderungen zu einer quadratischen Abhängigkeit der Energie des Teilchens von seinem Impuls. Die Bedingungen, die von Lösungen der Schrödingerschen Gleichung erfüllt werden müssen, sind sehr allgemeiner Natur. Zunächst muss die Wellenfunktion einwertig und im gesamten Raum stetig sein. Das Erfordernis der Stetigkeit wird auch dann eingehalten, wenn das Feld U(x, y, z) selbst eine Unstetigkeitsfläche hat. An einer solchen Oberfläche müssen sowohl die Wellenfunktion als auch ihre Ableitungen stetig bleiben. Die Stetigkeit der Ableitungen gilt jedoch nicht, wenn es eine Oberfläche gibt, jenseits derer die potentielle Energie U unendlich wird. Die Schrödingersche Gleichung für die Wellenfunktionen ψ stationärer Zustände ist reell, ebenso wie die Bedingungen an ihre Lösung. Daher können seine Lösungen immer als reell angenommen werden.


7.S: Zusammenfassung - Mathematik

Modul 1H: Quadratische Gleichungen (N.CN.1, N.CN.2, N.CN.3, N.CN.4, N.CN.5, N.CN.6, N.CN.7, N. CN.8, N.CN.9, N.RN.3, A.SSE.1, A.REI.4, A.REI.7, A.CED.1, A.CED.4, A.APR. 1)

Die Quadratische Formel grafisch herleiten Mit der Quadratischen Formel Wurzeln und x-Achsenabschnitte grafisch ableiten Quadratische Gleichungen lösen Komplexe Zahlen einführen Arithmetik reeller und komplexer Zahlen Quadratische Ungleichungen lösen Die Arithmetik komplexer Zahlen auf der Koordinatenebene darstellen.

Modul 2H: Mehr Funktionen, mehr Features (F.IF.1, F.IF.2, F.IF.4, F.IF.5, F.IF.6, F.IF.7b, F.IF.8 , F.BF.1, F.BF.3, F.BF.4)

Verstehen und Arbeiten mit stückweisen Funktionen Absolutwertfunktionen von Graphen interpretieren Bereich und Bereich Inverse Funktionen verstehen und woher sie kommen.


Modul 3H: Funktionen und ihre Umkehrungen (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.5)

Modul 5H: Geometrische Figuren (G.CO.9, G.CO.10, G.CO.11, G.SRT.1a)

Einführung und Formulierung von geometrischen Beweisen (Zweispalten-, Absatz- und Flussbeweise) Verwenden des Dreiecksinnenwinkelsummensatzes Entwickeln von Sätzen über Geraden und Winkel, Dreiecke und Parallelogramme Verwenden von Diagonalen zur Identifizierung von Parallelogrammen Lesen und Schreiben von Beweisen über die Gleichzeitigkeit von Medianen, Winkel Winkelhalbierende und Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks untersuchen Parallelität aus einer Transformationsperspektive.

Modul 6H: Ähnlichkeits- und rechtwinklige Trigonometrie (G.SRT.1, G.SRT.2, G.SRT.3, G.SRT.4, G.SRT.5, G.SRT.6, G.SRT.7 , G.SRT.8, G.GPE.6, F.TF.8, G.CO.9, G.CO.10, G.GMD.1, G.GMD.3, A.SSE.1)

Dilatationen beschreiben Proportionale Beziehungen in Dreiecken untersuchen und anwenden Ähnlichkeitsdefinitionen anwenden Proportionale Beziehungen von Segmenten untersuchen, wenn zwei Transversalen eine Menge paralleler Linien schneiden Theoreme anwenden, die Winkel enthalten, die durch parallele Linien gebildet werden, die von einer Transversal geschnitten werden, Mittelpunkt finden Beweise den Satz des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher Dreiecke Beweise die Sätze über geometrische Mittel ähnliche Dreiecke verwenden alle sechs trigonometrischen Funktionen definieren Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks verwenden, um unbekannte Seiten und Winkel zu finden trigonometrische Verhältnisse auf Kontexte der realen Welt anwenden trigonometrische Identitäten, einschließlich der pythagoräischen Identitäten, überprüfen und beweisen.

Modul 7H: Geometrische Perspektive der Kreise (G.C.1, G.C.2, G.C.3, G.C.4, G.C.5, G.CO.9, G.GMD.1, G.GMD.3)

Drehmittelpunkte finden Kreise ähnlich prüfen Beziehungen zwischen Winkeln und Bögen in Kreisen untersuchen Umfang und Fläche regelmäßiger Polygone ermitteln Bogenlänge und Sektorfläche berechnen Formeln für Umfang und Fläche von Kreisen begründen mit Grenzwertargumenten Verhältnis von Bogenlänge zu Radius zur Entwicklung der Konzept des Bogenmaßes Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaßen arbeitet mit Volumen und Skalierung.

Modul 8H: Kreise und andere Kegelschnitte (G.GPE.1, G.GPE.2, G.GPE.3, G.GPE.3.1, F.TF.2, F.TF.3 (+))

Leiten Sie die Kreisgleichung mit dem Satz des Pythagoras her Vervollständigen Sie das Quadrat, um den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises zu finden Konstruieren Sie den Einheitskreis und finden Sie die Winkelkoordinaten mit speziellen rechtwinkligen Dreiecken Längen identifizieren Sie die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Einheitskreis als die Werte von Sinus und Kosinus Beziehungen zwischen den verbleibenden vier trigonometrischen Funktionen und einem beliebigen Punkt auf dem Einheitskreis identifizieren Kreisgleichungen schreiben die Gleichung einer Parabel schreiben bei gegebenem Fokus und Leitlinie die Definition einer Ellipse entwickeln die Schlüsselkomponenten einer Ellipse identifizieren die Definition einer Hyperbel entwickeln Identifizieren von Schlüsselkomponenten einer Hyperbel Identifizieren des Typs des Kegelschnitts, der durch eine gegebene Gleichung dargestellt wird.

Modul 9H: Wahrscheinlichkeit (S.CP.1, S.CP.2, S.CP.3, S.CP.4, S.CP.5, S.CP.6, S.CP.7, S.MD .6+, S.MD.7+)

Schätzen bedingter Wahrscheinlichkeiten Untersuchen bedingter Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung mehrerer Darstellungen Erstellen von Venn-Diagrammen unter Verwendung von Daten während Untersuchen der Additionsregel auf Wahrscheinlichkeit Untersuchen der Unabhängigkeit von Ereignissen unter Verwendung von Zweiwegetabellen, die die Unabhängigkeit von Datensätzen bestimmen


Inhalt

Populationsstandardabweichung der Noten von acht Schülern Bearbeiten

Angenommen, die gesamte interessierende Population besteht aus acht Schülern in einer bestimmten Klasse. Für eine endliche Menge von Zahlen wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit ermittelt, indem die Quadratwurzel des Mittelwerts der quadrierten Abweichungen der Werte, abgezogen von ihrem Mittelwert, gezogen wird. Die Noten einer Klasse von acht Schülern (d. h. einer statistischen Grundgesamtheit) sind die folgenden acht Werte:

Diese acht Datenpunkte haben den Mittelwert (Durchschnitt) von 5:

Berechnen Sie zunächst die Abweichungen jedes Datenpunkts vom Mittelwert und quadrieren Sie das Ergebnis jedes einzelnen:

Die Varianz ist der Mittelwert dieser Werte:

und der Population Standardabweichung ist gleich der Quadratwurzel der Varianz:

Diese Formel ist nur gültig, wenn die acht Werte, mit denen wir begonnen haben, die vollständige Grundgesamtheit bilden. Wenn die Werte stattdessen eine zufällige Stichprobe aus einer großen Elternpopulation wären (z. B. waren es 8 zufällig und unabhängig ausgewählte Schüler aus einer Klasse von 2 Millionen), dann dividiert man durch 7 (was nein − 1) statt 8 (das ist nein) im Nenner der letzten Formel, und das Ergebnis ist s = 32 / 7 ≈ 2,1. < extstyle s=>approx 2.1.> In diesem Fall würde das Ergebnis der ursprünglichen Formel als Stichprobe Standardabweichung und bezeichnet mit so statt . Dividieren durch nein − 1 statt by nein gibt eine unverzerrte Schätzung der Varianz der größeren Elternpopulation. Dies ist bekannt als Bessels Korrektur. [5] [6] Der Grund dafür ist grob, dass die Formel für die Stichprobenvarianz auf der Berechnung von Unterschieden der Beobachtungen vom Stichprobenmittelwert beruht und der Stichprobenmittelwert selbst so konstruiert wurde, dass er den Beobachtungen so nahe wie möglich kommt, also einfach dividieren durch nein würde die Variabilität unterschätzen.

Standardabweichung der durchschnittlichen Körpergröße für erwachsene Männer Bearbeiten

Wenn die interessierende Grundgesamtheit annähernd normalverteilt ist, gibt die Standardabweichung Auskunft über den Anteil der Beobachtungen über oder unter bestimmten Werten. Zum Beispiel beträgt die durchschnittliche Körpergröße erwachsener Männer in den Vereinigten Staaten etwa 70 Zoll (177,8 cm), mit einer Standardabweichung von etwa 3 Zoll (7,62 cm). Dies bedeutet, dass die meisten Männer (etwa 68 %, eine Normalverteilung angenommen) eine Körpergröße innerhalb von 7,62 cm (3 Zoll) vom Mittelwert (170,18 – 185,42 cm) haben – eine Standardabweichung – und fast alle Männer ( etwa 95%) haben eine Höhe innerhalb von 6 Zoll (15,24 cm) vom Mittelwert (64–76 Zoll (162,56–193,04 cm)) – zwei Standardabweichungen. Wenn die Standardabweichung null wäre, wären alle Männer genau 177,8 cm groß. Wenn die Standardabweichung 20 Zoll (50,8 cm) wäre, hätten Männer viel variablere Körpergrößen mit einem typischen Bereich von etwa 50-90 Zoll (127-228,6 cm). Drei Standardabweichungen machen 99,7 % der untersuchten Stichprobenpopulation aus, vorausgesetzt, die Verteilung ist normal oder glockenförmig (siehe die Regel 68-95-99,7 oder die empirische Regel, für mehr Informationen).

Lassen μ der Erwartungswert (der Durchschnitt) der Zufallsvariablen sein X mit Dichte f(x):

Die Standardabweichung σ von X ist definiert als

In Wörtern ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz von X.

Die Standardabweichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dieselbe wie die einer Zufallsvariablen mit dieser Verteilung.

Nicht alle Zufallsvariablen haben eine Standardabweichung. Wenn die Verteilung fette Schwänze bis ins Unendliche hat, existiert die Standardabweichung möglicherweise nicht, da das Integral möglicherweise nicht konvergiert. Die Normalverteilung hat Ausläufer, die ins Unendliche gehen, aber ihr Mittelwert und ihre Standardabweichung existieren, weil die Ausläufer schnell genug abnehmen. Die Pareto-Verteilung mit dem Parameter α ∈ ( 1 , 2 ] hat einen Mittelwert, aber keine Standardabweichung (die Standardabweichung ist grob gesagt unendlich). Die Cauchy-Verteilung hat weder has ein Mittelwert noch eine Standardabweichung.

Diskrete Zufallsvariable Bearbeiten

In dem Fall, wo X nimmt Zufallswerte aus einem endlichen Datensatz data x1, x2, …, xNein, wobei jeder Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, ist die Standardabweichung

Wenn die Werte nicht gleiche Wahrscheinlichkeiten haben, sondern unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, sei x1 Wahrscheinlichkeit haben p1, x2 Wahrscheinlichkeit haben p2, …, xNein Wahrscheinlichkeit haben pNein. In diesem Fall beträgt die Standardabweichung

Kontinuierliche Zufallsvariable Bearbeiten

und wobei die Integrale bestimmte Integrale sind, für die x über die Menge der möglichen Werte der Zufallsvariablen reichen X.

Im Fall einer parametrischen Verteilungsfamilie kann die Standardabweichung durch die Parameter ausgedrückt werden. Zum Beispiel bei der Log-Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 , die Standardabweichung ist

In Fällen (z. B. bei standardisierten Tests) kann die Standardabweichung einer gesamten Population ermittelt werden, in denen jedes Mitglied einer Population untersucht wird. In Fällen, in denen dies nicht möglich ist, wird die Standardabweichung σ wird geschätzt, indem eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit untersucht und eine Statistik der Stichprobe berechnet wird, die als Schätzung der Grundgesamtheitsstandardabweichung verwendet wird. Eine solche Statistik wird als Schätzer bezeichnet, und der Schätzer (oder der Wert des Schätzers, nämlich die Schätzung) wird als Stichprobenstandardabweichung bezeichnet und mit bezeichnet so (eventuell mit Modifikatoren).

Anders als bei der Schätzung des Populationsmittelwerts, für den der Stichprobenmittelwert ein einfacher Schätzer mit vielen wünschenswerten Eigenschaften (unverzerrt, effizient, maximale Wahrscheinlichkeit) ist, gibt es keinen einzigen Schätzer für die Standardabweichung mit all diesen Eigenschaften und eine unverzerrte Schätzung von Standardabweichung ist ein sehr technisch kompliziertes Problem. Am häufigsten wird die Standardabweichung anhand der korrigierte Standardabweichung der Stichprobe (mit Nein − 1), unten definiert, und dies wird oft als "Stichprobenstandardabweichung" bezeichnet, ohne Qualifizierer. Andere Schätzer sind jedoch in anderer Hinsicht besser: der unkorrigierte Schätzer (mit Nein) ergibt einen geringeren mittleren quadratischen Fehler, während . verwendet wird Nein − 1,5 (für die Normalverteilung) eliminiert den Bias fast vollständig.

Unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe Bearbeiten

Die Formel für die Population Standardabweichung (einer endlichen Grundgesamtheit) kann auf die Stichprobe angewendet werden, wobei die Stichprobengröße als Grundgesamtheit verwendet wird (obwohl die tatsächliche Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe gezogen wird, viel größer sein kann). Dieser Schätzer, bezeichnet mit soNein, ist bekannt als der unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe, oder manchmal die Standardabweichung der Probe (als Gesamtbevölkerung betrachtet) und ist wie folgt definiert: [7]

Dies ist ein konsistenter Schätzer (er konvergiert in der Wahrscheinlichkeit zum Populationswert, wenn die Anzahl der Stichproben gegen Unendlich geht) und ist die Maximum-Likelihood-Schätzung, wenn die Population normalverteilt ist. [ Zitat benötigt ] Dies ist jedoch ein verzerrter Schätzer, da die Schätzungen im Allgemeinen zu niedrig sind. Der Bias nimmt mit wachsender Stichprobengröße ab und sinkt mit 1/n, und ist daher am signifikantesten für kleine oder mittlere Stichprobengrößen für N > 75 der Bias liegt unter 1 %. Bei sehr großen Stichprobengrößen ist die unkorrigierte Stichprobenstandardabweichung im Allgemeinen akzeptabel. Dieser Schätzer hat auch einen einheitlich kleineren mittleren quadratischen Fehler als die korrigierte Standardabweichung der Stichprobe.

Korrigierte Standardabweichung der Stichprobe Bearbeiten

Wenn die verzerrte Stichprobenvarianz (das zweite zentrale Moment der Stichprobe, das eine nach unten verzerrte Schätzung der Populationsvarianz ist) wird verwendet, um eine Schätzung der Standardabweichung der Population zu berechnen, das Ergebnis ist

Hier führt das Ziehen der Quadratwurzel durch die Jensen-Ungleichung aufgrund der konkaven Funktion der Quadratwurzel zu einer weiteren Verzerrung nach unten. Der Bias in der Varianz lässt sich leicht korrigieren, aber der Bias aus der Quadratwurzel ist schwieriger zu korrigieren und hängt von der fraglichen Verteilung ab.

Ein unvoreingenommener Schätzer für die Abweichung ergibt sich durch Anwendung der Bessel-Korrektur unter Verwendung von n − 1 statt n die nachgeben unverzerrte Stichprobenvarianz, bezeichnet S 2 :

Dieser Schätzer ist unverzerrt, wenn die Varianz vorhanden ist und die Stichprobenwerte unabhängig voneinander mit Ersetzung gezogen werden. n − 1 entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade im Vektor der Abweichungen vom Mittelwert, ( x 1 − x ¯ , … , x n − x ¯ ) . -<ar >,Punkte,x_-<ar >).>

Das Ziehen von Quadratwurzeln führt wieder zu Verzerrungen (da die Quadratwurzel eine nichtlineare Funktion ist, die nicht mit der Erwartung kommutiert), was zu korrigierte Standardabweichung der Stichprobe, bezeichnet durch S: [2]

Wie oben erklärt, während S 2 ist ein unverzerrter Schätzer für die Populationsvarianz, S ist immer noch ein verzerrter Schätzer für die Standardabweichung der Grundgesamtheit, wenn auch deutlich weniger verzerrt als die unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe. Dieser Schätzer wird häufig verwendet und allgemein einfach als "Stichprobenstandardabweichung" bezeichnet. Der Bias kann bei kleinen Stichproben immer noch groß sein (n weniger als 10). Mit zunehmender Stichprobengröße nimmt der Bias-Wert ab. Wir erhalten mehr Informationen und den Unterschied zwischen 1 N >> und 1 N − 1 >> wird kleiner.

Unverzerrte Standardabweichung der Stichprobe Bearbeiten

Für die unverzerrte Schätzung der Standardabweichung gibt es im Gegensatz zu Mittelwert und Varianz keine Formel, die über alle Verteilungen hinweg funktioniert. Stattdessen, S wird als Basis verwendet und mit einem Korrekturfaktor skaliert, um eine unverzerrte Schätzung zu erhalten. Für die Normalverteilung ist ein erwartungstreuer Schätzer gegeben durch S/C4, wobei der Korrekturfaktor (der von abhängt n) wird in Form der Gamma-Funktion angegeben und ist gleich:

Dies liegt daran, dass die Stichprobenverteilung der Stichprobenstandardabweichung einer (skalierten) Chi-Verteilung folgt und der Korrekturfaktor der Mittelwert der Chi-Verteilung ist.

Eine Näherung kann durch Ersetzen gegeben werden n − 1 mit n − 1,5, ergibt:

Der Fehler in dieser Näherung fällt quadratisch (als 1/n 2 ) und eignet sich für alle bis auf kleinste Proben oder höchste Präzision: für n = 3 ist der Bias gleich 1,3 % und für n = 9 beträgt der Bias bereits weniger als 0,1%.

Für andere Verteilungen hängt die richtige Formel von der Verteilung ab, aber als Faustregel gilt die weitere Verfeinerung der Näherung:

wo γ2 bezeichnet die Bevölkerungsüberschuss-Kurtosis. Die überschüssige Kurtosis kann entweder für bestimmte Verteilungen im Voraus bekannt sein oder aus den Daten geschätzt werden. [ Zitat benötigt ]

Konfidenzintervall einer abgetasteten Standardabweichung Bearbeiten

Die Standardabweichung, die wir durch das Abtasten einer Verteilung erhalten, ist selbst nicht absolut genau, sowohl aus mathematischen Gründen (hier erklärt durch das Konfidenzintervall) als auch aus praktischen Gründen der Messung (Messfehler). Der mathematische Effekt kann durch das Konfidenzintervall oder CI beschrieben werden.

Um zu zeigen, wie eine größere Stichprobe das Konfidenzintervall schmaler macht, betrachten Sie die folgenden Beispiele: Eine kleine Population von n = 2 hat nur 1 Freiheitsgrad zum Schätzen der Standardabweichung. Das Ergebnis ist, dass ein 95 %-KI der SD von 0,45 × SD bis 31,9 × SD reicht. Die Faktoren hier sind wie folgt:

Eine größere Bevölkerung von n = 10 hat 9 Freiheitsgrade zum Schätzen der Standardabweichung. Dieselben Berechnungen wie oben geben uns in diesem Fall ein 95 %-KI von 0,69 × SD bis 1,83 × SD. Selbst bei einer Stichprobenpopulation von 10 kann die tatsächliche SD immer noch fast einen Faktor 2 höher sein als die abgetastete SD. Für eine Stichprobenpopulation N=100 ist dies ein Wert von 0,88 × SD bis 1,16 × SD. Um sicherer zu sein, dass die abgetastete SD nahe der tatsächlichen SD liegt, müssen wir eine große Anzahl von Punkten abtasten.

Dieselben Formeln können verwendet werden, um Konfidenzintervalle für die Varianz von Residuen aus einer Anpassung der kleinsten Quadrate nach der Standardnormaltheorie zu erhalten, wobei k ist nun die Anzahl der Freiheitsgrade für Fehler.

Grenzen der Standardabweichung Bearbeiten

Für eine Reihe von n > 4 Daten, die einen Wertebereich umfassen R, eine obere Schranke der Standardabweichung S wird gegeben von s = 0,6R. [9] Eine Schätzung der Standardabweichung für n > 100 als annähernd normal angenommene Daten ergeben sich aus der Heuristik, dass 95 % der Fläche unter der normalen Kurve ungefähr zwei Standardabweichungen zu beiden Seiten des Mittelwerts liegen, sodass mit 95 % Wahrscheinlichkeit der gesamte Wertebereich R stellt vier Standardabweichungen dar, so dass s ≈ R/4. Diese sogenannte Bereichsregel ist bei der Schätzung des Stichprobenumfangs nützlich, da der Bereich möglicher Werte einfacher zu schätzen ist als die Standardabweichung. Andere Teiler K(N) des Bereichs, so dass s ≈ R/K(N) sind für andere Werte von verfügbar n und für Nicht-Normalverteilungen. [10]

Die Standardabweichung ist bei Ortsveränderungen invariant und skaliert direkt mit der Skala der Zufallsvariablen. Also für eine Konstante C und Zufallsvariablen x und Ja:

Die Standardabweichung der Summe zweier Zufallsvariablen kann auf ihre individuellen Standardabweichungen und die Kovarianz zwischen ihnen bezogen werden:

Die Berechnung der Summe der quadrierten Abweichungen kann auf direkt aus den Daten berechnete Momente bezogen werden. In der folgenden Formel wird der Buchstabe E als erwarteter Wert interpretiert, d. h. als Mittelwert.

Die Standardabweichung der Stichprobe kann wie folgt berechnet werden:

Für eine endliche Population mit gleichen Wahrscheinlichkeiten an allen Punkten gilt ,

was bedeutet, dass die Standardabweichung gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen dem Durchschnitt der Quadrate der Werte und dem Quadrat des Durchschnittswertes ist.

Siehe Berechnungsformel für die Varianz zum Beweis und für ein analoges Ergebnis für die Stichprobenstandardabweichung.

Eine große Standardabweichung weist darauf hin, dass die Datenpunkte weit vom Mittelwert abweichen können, und eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass sie eng um den Mittelwert geclustert sind.

Zum Beispiel hat jede der drei Populationen <0, 0, 14, 14>, <0, 6, 8, 14> und <6, 6, 8, 8> einen Mittelwert von 7. Ihre Standardabweichungen sind 7, 5 , bzw. 1. Die dritte Grundgesamtheit hat eine viel kleinere Standardabweichung als die anderen beiden, da ihre Werte alle nahe bei 7 liegen. Diese Standardabweichungen haben die gleichen Einheiten wie die Datenpunkte selbst. Wenn beispielsweise der Datensatz <0, 6, 8, 14> das Alter einer Population von vier Geschwistern in Jahren darstellt, beträgt die Standardabweichung 5 Jahre. Als weiteres Beispiel kann die Bevölkerung <1000, 1006, 1008, 1014> die Distanzen darstellen, die von vier Athleten zurückgelegt wurden, gemessen in Metern. Es hat einen Mittelwert von 1007 Metern und eine Standardabweichung von 5 Metern.

Die Standardabweichung kann als Maß für die Unsicherheit dienen. In der Physik gibt beispielsweise die gemeldete Standardabweichung einer Gruppe wiederholter Messungen die Genauigkeit dieser Messungen an. Bei der Entscheidung, ob die Messungen mit einer theoretischen Vorhersage übereinstimmen, ist die Standardabweichung dieser Messungen von entscheidender Bedeutung: Wenn der Mittelwert der Messungen zu weit von der Vorhersage entfernt ist (mit der Entfernung in Standardabweichungen), dann wird wahrscheinlich die Theorie getestet tested muss überarbeitet werden. Dies ist sinnvoll, da sie außerhalb des Wertebereichs liegen, der vernünftigerweise erwartet werden könnte, wenn die Vorhersage korrekt und die Standardabweichung angemessen quantifiziert wäre. Siehe Vorhersageintervall.

Während die Standardabweichung misst, wie weit typische Werte tendenziell vom Mittelwert entfernt sind, stehen andere Maße zur Verfügung. Ein Beispiel ist die mittlere absolute Abweichung, die als direkteres Maß für die durchschnittliche Entfernung angesehen werden könnte, verglichen mit der der Standardabweichung inhärenten quadratischen Mittelwertentfernung.

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Der praktische Wert des Verständnisses der Standardabweichung einer Reihe von Werten besteht darin, die Abweichung vom Durchschnitt (Mittelwert) einzuschätzen.

Experiment, Industrie- und Hypothesentests Bearbeiten

Die Standardabweichung wird häufig verwendet, um reale Daten mit einem Modell zu vergleichen, um das Modell zu testen. In industriellen Anwendungen muss beispielsweise das Gewicht von Produkten, die eine Produktionslinie verlassen, einem gesetzlich vorgeschriebenen Wert entsprechen. Durch das Wiegen eines Bruchteils der Produkte kann ein Durchschnittsgewicht ermittelt werden, das immer leicht vom langjährigen Durchschnitt abweicht. Unter Verwendung von Standardabweichungen kann ein minimaler und maximaler Wert berechnet werden, bei dem das gemittelte Gewicht innerhalb eines sehr hohen Prozentsatzes der Zeit liegt (99,9 % oder mehr). Wenn es außerhalb des Bereichs liegt, muss der Produktionsprozess möglicherweise korrigiert werden. Solche statistischen Tests sind besonders wichtig, wenn das Testen relativ teuer ist. Zum Beispiel, wenn das Produkt geöffnet und abgelassen und gewogen werden muss oder das Produkt anderweitig durch den Test aufgebraucht wurde.

In der experimentellen Wissenschaft wird ein theoretisches Modell der Realität verwendet. Die Teilchenphysik verwendet konventionell einen Standard von "5 sigma" für die Feststellung einer Entdeckung. Ein Fünf-Sigma-Niveau entspricht einer Chance von 3,5 Millionen, dass eine zufällige Fluktuation das Ergebnis liefern würde. Dieser Grad an Sicherheit war erforderlich, um zu behaupten, dass ein mit dem Higgs-Boson übereinstimmendes Teilchen entdeckt wurde in zwei unabhängigen Experimenten am CERN, [11] die auch zur Erklärung der ersten Beobachtung von Gravitationswellen [12] und zur Bestätigung der globalen Erwärmung führten [13]

Wetter Bearbeiten

Betrachten Sie als einfaches Beispiel die durchschnittlichen Tageshöchsttemperaturen für zwei Städte, eine im Landesinneren und eine an der Küste. Es ist hilfreich zu verstehen, dass der Bereich der täglichen Höchsttemperaturen für Städte in Küstennähe kleiner ist als für Städte im Landesinneren. Auch wenn diese beiden Städte die gleiche durchschnittliche Höchsttemperatur aufweisen können, ist die Standardabweichung der Tageshöchsttemperatur für die Küstenstadt geringer als die der Stadt im Landesinneren, da die tatsächliche Höchsttemperatur an einem bestimmten Tag wahrscheinlicher ist weiter von der durchschnittlichen Höchsttemperatur für die Stadt im Landesinneren entfernt als für die Küstenstadt.

Finanzen Bearbeiten

Im Finanzbereich wird die Standardabweichung häufig als Maß für das Risiko verwendet, das mit Preisschwankungen eines bestimmten Vermögenswerts (Aktien, Anleihen, Immobilien usw.) oder des Risikos eines Vermögensportfolios verbunden ist [14] (aktiv verwaltete Investmentfonds). , Indexfonds oder ETFs). Das Risiko ist ein wichtiger Faktor für die effiziente Verwaltung eines Anlageportfolios, da es die Renditeschwankungen des Vermögenswerts und/oder des Portfolios bestimmt und den Anlegern eine mathematische Grundlage für Anlageentscheidungen liefert (sogenannte Mittelwert-Varianz-Optimierung). Das grundlegende Risikokonzept besteht darin, dass mit steigendem Risiko auch die erwartete Rendite einer Anlage steigen sollte, eine Erhöhung, die als Risikoprämie bekannt ist. Mit anderen Worten, Anleger sollten eine höhere Rendite einer Anlage erwarten, wenn diese Anlage ein höheres Maß an Risiko oder Unsicherheit birgt. Bei der Bewertung von Investitionen sollten Anleger sowohl die erwartete Rendite als auch die Unsicherheit zukünftiger Renditen schätzen. Die Standardabweichung liefert eine quantifizierte Schätzung der Unsicherheit zukünftiger Renditen.

Nehmen wir zum Beispiel an, ein Anleger muss sich zwischen zwei Aktien entscheiden. Aktie A wies in den letzten 20 Jahren eine durchschnittliche Rendite von 10 Prozent mit einer Standardabweichung von 20 Prozentpunkten (pp) auf und Aktie B wies im gleichen Zeitraum eine durchschnittliche Rendite von 12 Prozent, aber eine höhere Standardabweichung von 30 Prozentpunkten auf. Auf der Grundlage von Risiko und Rendite kann ein Anleger entscheiden, dass Aktie A die sicherere Wahl ist, da die zusätzlichen zwei Prozentpunkte der Rendite von Aktie B die zusätzlichen 10 pp Standardabweichung (höheres Risiko oder Unsicherheit der erwarteten Rendite) nicht wert sind. Aktie B wird unter den gleichen Umständen wahrscheinlich häufiger unter der Anfangsinvestition zurückbleiben (aber auch die Anfangsinvestition überschreiten) als Aktie A, und es wird geschätzt, dass sie im Durchschnitt nur zwei Prozent mehr rentiert. In diesem Beispiel wird von Aktie A erwartet, dass sie etwa 10 Prozent plus oder minus 20 PP (eine Spanne von 30 Prozent bis -10 Prozent) erwirtschaften wird, etwa zwei Drittel der Renditen des zukünftigen Jahres. Bei der Betrachtung extremerer möglicher Renditen oder Ergebnisse in der Zukunft sollte ein Anleger Ergebnisse von bis zu 10 Prozent plus oder minus 60 pp erwarten, oder eine Spanne von 70 Prozent bis −50 Prozent, die Ergebnisse für drei Standardabweichungen von der durchschnittlichen Rendite einschließt (etwa 99,7 Prozent der wahrscheinlichen Renditen).

Die Berechnung des Durchschnitts (oder des arithmetischen Mittels) der Rendite eines Wertpapiers über einen bestimmten Zeitraum ergibt die erwartete Rendite des Vermögenswerts. Die Subtraktion der erwarteten Rendite von der tatsächlichen Rendite ergibt für jede Periode die Differenz zum Mittelwert. Das Quadrieren der Differenz in jeder Periode und das Ziehen des Durchschnitts ergibt die Gesamtvarianz der Rendite des Vermögenswerts. Je größer die Varianz, desto größer das Risiko der Sicherheit. Das Ermitteln der Quadratwurzel dieser Varianz ergibt die Standardabweichung des fraglichen Anlageinstruments.

Finanzzeitreihen sind bekanntermaßen nichtstationäre Reihen, während die obigen statistischen Berechnungen, wie z. B. die Standardabweichung, nur für stationäre Reihen gelten. Um die oben genannten statistischen Werkzeuge auf nichtstationäre Reihen anzuwenden, muss die Reihe zuerst in eine stationäre Reihe umgewandelt werden, um die Verwendung statistischer Werkzeuge zu ermöglichen, die nun eine gültige Grundlage haben, auf der man arbeiten kann.

Geometrische Interpretation Bearbeiten

Um einige geometrische Einblicke und Erläuterungen zu gewinnen, beginnen wir mit einer Grundgesamtheit von drei Werten, x1, x2, x3. Dies definiert einen Punkt P = (x1, x2, x3) In R 3 . Betrachten Sie die Linie L = <(R, R, R) : RR>. Dies ist die "Hauptdiagonale", die durch den Ursprung geht. Wären unsere drei gegebenen Werte alle gleich, dann wäre die Standardabweichung null und P würde lügen L. Es ist also nicht unvernünftig anzunehmen, dass die Standardabweichung mit dem zusammenhängt Distanz von P zu L. Das ist tatsächlich so. Um sich orthogonal von zu bewegen L auf den Punkt P, man beginnt an der Stelle:


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Pavel Sergeevich Aleksandrov

Der Vater von Pavel Sergeevich Aleksandrov Sergej Aleksandrovich Aleksandrov war ein Medizinabsolvent der Moskauer Universität, der sich entschieden hatte, keine akademische Laufbahn einzuschlagen, sondern seine Fähigkeiten in der Hilfe für Menschen einzusetzen, und so arbeitete er als Allgemeinarzt in Jaroslawski. Später arbeitete er in höheren Positionen in einem Krankenhaus in Bogorodskij, wo er war, als Pawel Sergejewitsch geboren wurde.

Als Pawel Sergejewitsch ein Jahr alt war, zog sein Vater in das staatliche Krankenhaus Smolensk, wo er sich den Ruf eines sehr guten Chirurgen erarbeiten sollte, und die Familie lebte seit dieser Zeit in Smolensk. Die Stadt Smolensk liegt am Dnjepr 420 km westlich von Moskau. Die frühe Erziehung von Pavel Sergeevich stammte von seiner Mutter Tsezariya Akimovna Aleksandrova, die all ihre beachtlichen Talente für die Erziehung und Erziehung ihrer Kinder einsetzte. Von ihr lernte Aleksandrow Französisch und auch Deutsch. Sein Zuhause war immer voller Musik, da seine Brüder und Schwestern alle großes Talent auf diesem Gebiet hatten.

Der gute Start, den seine Mutter ihm bescherte, führte dazu, dass er auf dem Gymnasium in Smolensk, das er besuchte, immer hervorragend war. Sein Mathematiklehrer Alexsander Romanovich Eiges erkannte bald, dass sein Schüler eine bemerkenswerte Begabung für das Fach hatte und ([3] und [4]) :-

Im Jahr 1913 absolvierte Aleksandrow das Gymnasium als Dux der Schule und gewann die Goldmedaille. Sicherlich hatte er sich zu diesem Zeitpunkt bereits für eine Laufbahn in der Mathematik entschieden, aber als Hochschullehrer hatte er sich nicht so viel vorgenommen, sondern wollte Mathematiklehrer an einer weiterführenden Schule werden. Eiges war das Vorbild, das er in dieser Phase anstrebte, denn Eiges hatte nicht nur Aleksandrov Mathematik gelehrt, er hatte auch seinen Geschmack in Literatur und Kunst beeinflusst.

Aleksandrow trat 1913 in die Moskauer Universität ein und wurde sofort von Stepanow unterstützt.Stepanow, der an der Moskauer Universität arbeitete, war sieben Jahre älter als Aleksandrow, aber sein Zuhause war auch in Smolensk und er besuchte dort oft das Haus von Alexander. Stepanow hatte zu dieser Zeit einen wichtigen Einfluss auf Aleksandrow und schlug vor, dass Aleksandrow noch im ersten Jahr seines Studiums in Moskau an Egorovs Seminar teilnehmen sollte. Im zweiten Studienjahr Alexandrows kam er mit Luzin in Kontakt, der gerade nach Moskau zurückgekehrt war. Aleksandrov schrieb (siehe zum Beispiel [3] oder [4]):-

Aleksandrov bewies 1915 sein erstes wichtiges Ergebnis, nämlich dass jede nicht abzählbare Borel-Menge eine perfekte Teilmenge enthält. Für die Mengenlehre war nicht nur das Ergebnis wichtig, sondern auch die Methoden, die Aleksandrov anwendete, erwiesen sich als eine der nützlichsten Methoden der beschreibenden Mengenlehre. Nach Aleksandrovs großen Erfolgen tat Luzin, was manch ein Supervisor tun könnte, und erkannte, dass er eines der größten mathematischen Talente in Aleksandrow hatte, und dachte, es lohnt sich, ihn zu bitten, das größte offene Problem der Mengenlehre zu lösen, nämlich das Kontinuum Hypothese.

Nachdem Aleksandrov die Kontinuumshypothese nicht lösen konnte (was nicht verwunderlich ist, da sie weder bewiesen noch widerlegt werden kann, wie Cohen in den 1960er Jahren zeigte), hielt er sich für eine mathematische Karriere nicht fähig. Aleksandrov ging nach Novgorod-Severskii und wurde Theaterproduzent. Anschließend ging er nach Tschernikow, wo er neben seiner Theaterarbeit Vorlesungen über Russisch und Fremdsprachen hielt und sich mit Dichtern, Künstlern und Musikern anfreundete. Nach einer kurzen Gefängnisstrafe im Jahr 1919 zur Zeit der russischen Revolution kehrte Aleksandrow 1920 nach Moskau zurück. Luzin und Egorov hatten an der Universität Moskau eine beeindruckende Forschungsgruppe aufgebaut, die die Studenten „Luzitania“ nannten, und sie, zusammen mit Privalov und Stepanov, begrüßten Aleksandrow bei seiner Rückkehr sehr.

Für Aleksandrow war es jedoch keine sofortige Rückkehr nach Moskau, denn er verbrachte 1920 - 21 zu Hause in Smolensk, wo er an der Universität lehrte. Während dieser Zeit arbeitete er an seiner Forschung und reiste etwa einmal im Monat nach Moskau, um mit den dortigen Mathematikern in Kontakt zu bleiben und sich auf seine Prüfungen vorzubereiten. Ungefähr zu dieser Zeit freundete sich Aleksandrow mit Urysohn an, der Mitglied von „Luzitania“ war, und die Freundschaft sollte sich bald zu einer großen mathematischen Zusammenarbeit entwickeln.

Nach seinem Examen im Jahr 1921 wurde Aleksandrow als Dozent an die Moskauer Universität berufen und hielt Vorlesungen über eine Vielzahl von Themen, darunter Funktionen einer reellen Variablen, Topologie und Galois-Theorie. Im Juli 1922 verbrachten Aleksandrov und Urysohn den Sommer in Bolschew in der Nähe von Moskau, wo sie begannen, Konzepte der Topologie zu studieren. Hausdorff hatte, aufbauend auf Arbeiten von Fréchet und anderen, in seinem berühmten Buch eine Theorie der topologischen und metrischen Räume entwickelt Grundzüge der Mengenlehre Ⓣ veröffentlicht 1914. Aleksandrov und Urysohn begannen nun, die Theorie mit der Arbeit an abzählbar kompakten Räumen mit Ergebnissen von grundlegender Bedeutung voranzutreiben. Die Vorstellung von einem kompakten Raum und einem lokal kompakten Raum ist ihnen zu verdanken.

In den Sommern 1923 und 1924 besuchten Aleksandrov und Urysohn Göttingen und beeindruckten Emmy Noether, Courant und Hilbert mit ihren Ergebnissen. Besonders beeindruckt waren die Göttinger Mathematiker von ihren Ergebnissen, wann ein topologischer Raum metrisierbar ist. Im Sommer 1924 besuchten sie auch Hausdorff in Bonn und er war fasziniert von den großen neuen Richtungen, die die beiden in der Topologie einschlugen. Aber bei einem Besuch bei Hausdorff in Bonn ([3] und [4]) :-

Aleksandrov und Urysohn besuchten dann im August 1924 Brouwer in Holland und Paris, bevor sie im Fischerdorf Bourg de Batz in der Bretagne Urlaub machten. Natürlich machen Mathematiker auch im Urlaub Mathematik und beide arbeiteten hart. Am Morgen des 17. August begann Urysohn, eine neue Zeitung zu schreiben, aber er ertrank tragischerweise später am Tag beim Schwimmen im Atlantik. Aleksandrow beschloss, dass keine Ideen seines großen Freundes und Mitarbeiters verloren gehen sollten, und verbrachte einen Teil der Jahre 1925 und 1926 in Holland, um mit Brouwer an der Vorbereitung von Urysohns Arbeit für die Veröffentlichung zu arbeiten.

Die Atmosphäre in Göttingen hatte sich Aleksandrow besonders nach dem Tod von Urysohn als sehr hilfreich erwiesen, und er ging von 1925 bis 1932 jeden Sommer dorthin. Er freundete sich mit Hopf an und die beiden hielten ein topologisches Seminar in Göttingen. Natürlich lehrte Aleksandrow auch an der Moskauer Universität und organisierte dort ab 1924 ein Topologieseminar. In Göttingen hielt Aleksandrov auch Vorlesungen und nahm am Seminar von Emmy Noether teil. Tatsächlich zählte Aleksandrov immer Emmy Noether und Hilbert zu seinen Lehrern, ebenso Brouwer in Amsterdam und Luzin und Egorov in Moskau.

Ab 1926 arbeiteten Aleksandrov und Hopf eng zusammen. 1926 verbrachten sie einige Zeit in Südfrankreich bei Neugebauer. Anschließend verbrachten Aleksandrov und Hopf das Studienjahr 1927 - 28 in Princeton in den Vereinigten Staaten. Dies war ein wichtiges Jahr in der Entwicklung der Topologie mit Aleksandrov und Hopf in Princeton und in der Lage, mit Lefschetz, Veblen und Alexander zusammenzuarbeiten. Während ihres Jahres in Princeton planten Aleksandrov und Hopf ein gemeinsames mehrbändiges Werk zu Topologie der erste Band erschien erst 1935. Dies war der einzige der drei beabsichtigten Bände, der erscheinen sollte, da der Zweite Weltkrieg eine weitere Zusammenarbeit an den verbleibenden zwei Bänden verhinderte. Tatsächlich hatte Aleksandrow, bevor die gemeinsame Arbeit mit Hopf im Druck erschien, eine weitere wichtige Freundschaft und Zusammenarbeit begonnen.

1929 begann Aleksandrovs Freundschaft mit Kolmogorov und sie ([3] und [4]) :-

In den Jahren 1938 - 1939 traten einige führende Mathematiker der Moskauer Universität, darunter Aleksandrov, dem Mathematischen Institut Steklov der Akademie der Wissenschaften der UdSSR bei, behielten aber gleichzeitig ihre Positionen an der Universität.

Aleksandrov hat in seiner langen Karriere etwa 300 wissenschaftliche Arbeiten verfasst. Bereits 1924 führte er das Konzept einer lokal endlichen Überdeckung ein, das er seinen Kriterien für die Metrisierbarkeit topologischer Räume zugrunde legte. Zwischen 1925 und 1929 legte er in einer Reihe grundlegender Arbeiten die Grundlagen der Homologietheorie. Seine Methoden erlaubten es, Argumente der kombinatorischen und algebraischen Topologie auf die Punktmengentopologie anzuwenden und diese Bereiche zusammenzuführen. Aleksandrovs Arbeiten zur Homologie wurden um 1928 - 30 mit seiner homologischen Dimensionstheorie vorangetrieben

Aleksandrov war der erste, der den Begriff „Kernel eines Homomorphismus“ verwendet und um 1940 - 41 entdeckte er die Bestandteile einer exakten Sequenz. Er arbeitete an der Theorie der kontinuierlichen Abbildungen topologischer Räume. 1954 organisierte er ein Seminar zu diesem letzten Thema, das sich an Studenten im ersten Studienjahr der Moskauer Universität richtete, und zeigte darin einen der Aspekte seiner Karriere, die für ihn von größter Bedeutung waren, nämlich die Ausbildung von Studenten. Dies wird in ([3] und [4]) beschrieben:-

Für seinen herausragenden Beitrag zur Mathematik wurden Aleksandrow viele Ehrungen zuteil. Von 1932 bis 64 war er Präsident der Moskauer Mathematischen Gesellschaft , 1958 bis 62 Vizepräsident des Internationalen Mathematikerkongresses , 1929 korrespondierendes Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR und ab 1953 ordentliches Mitglied . Viele andere Gesellschaften wählten Aleksandrov zu Mitgliedern, darunter die Göttinger Akademie der Wissenschaften, die Österreichische Akademie der Wissenschaften, die Leopoldina-Akademie in Halle, die Polnische Akademie der Wissenschaften, die National Academy of Sciences of the United States, die London Mathematical Society, die American Philosophical Gesellschaft und der Niederländischen Mathematischen Gesellschaft.

Er gab mehrere mathematische Zeitschriften heraus, insbesondere das berühmte sowjetische Journal Uspekhi Matematicheskikh Nauk, und er erhielt viele sowjetische Auszeichnungen, darunter den Stalin-Preis 1943 und fünf Lenin-Orden.

Heute ist die Abteilung für Allgemeine Topologie und Geometrie der Moskauer Staatlichen Universität Russlands führendes Forschungszentrum für mengentheoretische Topologie. Nach Aleksandrows Tod im November 1982 schickten seine Kollegen vom Lehrstuhl für Höhere Geometrie und Topologie, an dem er den Lehrstuhl innehatte, einen Brief an den Rektor der Moskauer Universität, AA Alexandrows wissenschaftliche Schule bewahren. Am 28. Dezember 1982 erließ der Rektor ein Rundschreiben zur Gründung der Abteilung für allgemeine Topologie und Geometrie. Vitaly Vitalievich Fedorchuk wurde zum Leiter der Abteilung gewählt.

Auch in Erinnerung an Aleksandrovs Beiträge zur Topologie an der Moskauer Universität und seine Arbeit mit der Moskauer Mathematischen Gesellschaft gibt es ein jährliches topologisches Symposium Aleksandrov Verfahren findet jedes Jahr im Mai statt.


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