Artikel

Abschnitt 3.1 Antworten


1. (y_{1}= 1.45000000,: y_{2} = 2.085625000,: y_{3} = 3.079099746)

2. (y_{1} = 1.200000000,: y_{2} = 1.440415946,: y_{3} = 1.729880994)

3. (y_{1} = 1.900000000,: y_{2} = 1.781375000,: y_{3} = 1.646612970)

4. (y_{1} = 2.962500000,: y_{2} = 2.922635828,: y_{3} = 2.880205639)

5. (y_{1} = 2.513274123,: y_{2} = 1.814517822,: y_{3} = 1.216364496)

6.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)Genau
(1.0)(48.298147362)(51.492825643)(53.076673685)(54.647937102)

7.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)Genau
(2.0)(1.390242009)(1.370996758)(1.361921132)(1.353193719)

8.

(x)(h=0.05)(h=0,025)(h=0,0125)Genau
(1.50)(7.886170437)(8.852463793)(9.548039907)(10.500000000)

9.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)
(3.0)(1.469458241)(1.462514486)(1.459217010)(0.3210)(0.1537)(0.0753)
Ungefähre LösungenRückstände

10.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)
(2.0)(0.473456737)(0.483227470)(0.487986391)(-0.3129)(-0.1563)(-0.0781)
Ungefähre LösungenRückstände

11.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(1.0)(0.691066797)(0.676269516)(0.668327471)(0.659957689)

12.

(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(2.0)(-0.772381768)(-0.761510960)(-0.756179726)(-0.750912371)

13.

Eulers Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)Genau
(1.0)(0.538871178)(0.593002325)(0.620131525)(0.647231889)
Euler semilineare Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)Genau
(1.0)(0.647231889)(0.647231889)(0.647231889)(0.647231889)

Die Variation von Parametern auf das gegebene Anfangswertproblem ergibt (y = ue^{−3x}), wobei (A) (u' = 7, u(0) = 6). Wegen (u''= 0) liefert Eulers Methode die exakte Lösung von (A). Daher liefert die semilineare Euler-Methode die exakte Lösung des gegebenen Problems

14.

Eulers Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(3.0)(12.804226135)(13.912944662)(14.559623055)(15.282004826)
Euler semilineares Verfahren
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(3.0)(15.354122287)(15.317257705)(15.299429421)(15.282004826)

15.

Eulers Methode
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(2.0)(0.867565004)(0.885719263)(0.895024772)(0.904276722)
Semilineare Methode von Euler
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(2.0)(0.569670789)(0.720861858)(0.808438261)(0.904276722)

16.

Eulers Methode
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(3.0)(0.922094379)(0.945604800)(0.956752868)(0.967523153)
Euler semilineare Methode
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(3.0)(0.993954754)(0.980751307)(0.974140320)(0.967523153)

17.

Eulers Methode
(x)(h=0.0500)(h=0,0250)(h=0,0125)"Genau"
(1.50)(0.319892131)(0.330797109)(0.337020123)(0.343780513)
Euler semilineare Methode
(x)(h=0.0500)(h=0,0250)(h=0,0125)"Genau"
(1.50)(0.305596953)(0.323340268)(0.333204519)(0.343780513)

18.

Eulers Methode
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(2.0)(0.754572560)(0.743869878)(0.738303914)(0.732638628)
Euler semilineare Methode
(x)(h=0,2)(h=0,1)(h=0.05)"Genau"
(2.0)(0.722610454)(0.727742966)(0.730220211)(0.732638628)

19.

Eulers Methode
(x)(h=0.0500)(h=0,0250)(h=0,0125)"Genau"
(1.50)(2.175959970)(2.210259554)(2.227207500)(2.244023982)
Euler semilineare Methode
(x)(h=0.0500)(h=0,0250)(h=0,0125)"Genau"
(1.50)(2.117953342)(2.179844585)(2.211647904)(2.244023982)

20.

Eulers Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(1.0)(0.032105117)(0.043997045)(0.050159310)(0.056415515)
Semilineare Methode von Euler
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(1.0)(0.056020154)(0.056243980)(0.056336491)(0.056415515)

21.

Eulers Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(1.0)(28.987816656)(38.426957516)(45.367269688)(54.729594761)
Semilineare Methode von Euler
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(1.0)(54.709134946)(54.724150485)(54.728228015)(54.729594761)

22.

Eulers Methode
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(3.0)(1.361427907)(1.361320824)(1.361332589)(1.361383810)
Semilineare Methode von Euler
(x)(h=0,1)(h=0.05)(h=0,025)"Genau"
(3.0)(1.291345518)(1.326535737)(1.344004102)(1.361383810)

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CSWIP 3.1: Frage mit Antwort und Erklärung – Teil 2

Nach der Produktion Schweißnaht fertig. Die zu untersuchende Oberfläche muss frei von Schmutz, Fett, Flusen, Öl, Zunder oder Schlacke sein. Wenn es ZfP erforderlich ist, muss das überschüssige Schweißgut geeignet für ZfP gereinigt werden.

2) Welche der folgenden Ursachen sind beim Wurzelschweißen die Hauptursache für ein zu starkes Einschweißen?

A. Der Wurzelspalt ist nach WPS zu klein
B. Vorheizen nicht verwendet
C. ( Antworten ) Der Strom ist zu hoch
D. Wurzelfläche ist zu groß

Lichtbogenenergie (kJ/mm)= (Volt x Ampere) / (Schweißgeschwindigkeit (mm/s) x 1000). Dies bedeutet Ampere hoch –> WÄRMEEINGABE hoch –> übermäßige Wurzeldurchdringung.

3) Ab welcher Konzentration wird H2 als kritischer für die Rissbildung angesehen?

A. Weniger als 5 ml pro 100 g abgeschiedenem Schweißgut
B. Zwischen 5 und 10 ml pro 100 g abgeschiedenem Schweißgut
C. Zwischen 10 und 15 ml pro 100 g abgeschiedenem Schweißgut
D. ( Antworten ) Über 15 ml pro 100 g abgeschiedenem Schweißgut

4) In Bezug auf das Reißen von Lamellen wird eine Butterungsschicht:

A. ( Antworten ) Duktilität verbessern
B. Wärme verteilen
C. Verbessern Sie die Zähigkeit
D. Härte verbessern

Lamellenrisse treten auf, wenn das Material eine empfindliche Mikrostruktur aufweist – schlechte Duktilität durch die Dicke.

Die Bruchoberfläche ist faserig und „holzig“ mit langen parallelen Abschnitten, die auf eine geringe Duktilität des Grundmetalls in Dickenrichtung hindeuten.

a) Das Buttern der Oberfläche der anfälligen Platte mit einem Schweißgut geringer Festigkeit ist weit verbreitet. Wie am Beispiel einer T-Stumpfnaht gezeigt (Abb. 5) die Oberfläche der Platte kann gerillt sein, so dass die Butterschicht 15 bis 25 mm über jede Schweißnaht hinausragt und etwa 5 bis 10 mm dick ist.

b) In-situ-Buttering, dh dort, wo das Schweißgut mit geringer Festigkeit zuerst auf die anfällige Platte aufgebracht wird, bevor die Verbindung gefüllt wird, wurde ebenfalls erfolgreich angewendet. Vor der Anwendung einer der Buttering-Techniken sollten jedoch Konstruktionsberechnungen durchgeführt werden, um sicherzustellen, dass die Gesamtschweißfestigkeit akzeptabel ist.

Hinweis: Stahllieferanten können auf Dicke geprüfte Bleche mit einem garantierten STRA-Wert von über 20 % liefern.

5) Mit welcher der folgenden NTE-Methoden kann ein Lamellenriss nachgewiesen werden?

A. Radiographie
B. ( Antworten ) Ultraschall
C. Wirbelstrom
D. MPI mit AC

Wenn die Oberfläche bricht, können lamellare Risse durch visuelle Untersuchung, Eindringmittel- oder Magnetpulverprüfungstechniken leicht erkannt werden. Innere Risse erfordern Ultraschalluntersuchungstechniken, aber es kann Probleme geben, lamellare Risse von / mit Einschlussbändern zu unterscheiden / zu identifizieren. Die Orientierung der Risse macht es normalerweise fast unmöglich, sie durch Röntgenaufnahmen zu erkennen.

6) Ein Ermüdungsbruch ist erkennbar (aus der Bruchuntersuchung …):

A. ( Antworten ) Das Vorhandensein von Strandmarkierungen
B. Das Vorhandensein von plastischer Verformung
C. Rau und zerrissen sein
D. Flach und rau sein

Die Oberfläche ist glatt und zeigt konzentrische Ringe, sogenannte Strandflecken, die vom Ursprung ausstrahlen. Diese Strandflecken werden mit zunehmender Rissausbreitungsrate gröber. Die Betrachtung der Oberfläche mit einem Rasterelektronenmikroskop bei hoher Vergrößerung zeigt, dass jeder Spannungszyklus eine einzelne Welligkeit verursacht. Das Bauteil versagt schließlich durch eine duktile oder spröde Überlastung.

7) Ein als „Z“ bezeichneter Stahl hat:

A. ( Antworten ) Duktilität durch Dicke > 20 %
B. Duktilität durch Dicke < 20%
C. Wurde speziell wärmebehandelt
D. Zirkonium hinzugefügt, um die Schweißbarkeit zu verbessern

Hinweis: Stahllieferanten können auf Dicke geprüfte Bleche mit einem garantierten STRA-Wert von über 20 % liefern.

Zur Beherrschung des Problems bei lamellar reißenden Schweißverbindungen stehen im Wesentlichen zwei Möglichkeiten zur Verfügung:

-Verwenden Sie sauberen Stahl mit garantierten Dickeneigenschaften (Klasse Z)

-Eine Kombination aus Verbindungsdesign, Zwangsführung und Schweißsequenz zur Minimierung des Rissrisikos

8) Welche der folgenden zerstörenden Prüfungen wird manchmal für die Schweißerqualifikationsprüfung verwendet:

  • Schweißerqualifikation – BS EN 287: Die für die Schweißerqualifikation durchzuführende Bruchprüfung wie in der folgenden Tabelle aufgeführt.

9) Welcher dieser Tests würde am wahrscheinlichsten für die Schweißerqualifizierung an einer Blechstumpfschweißung mit 13 mm kohlenstoffarmem Stahl verwendet werden:

  • Bitte beachten Sie, dass diese Frage für Schweißer gilt.
  • CTOD – Crack Tip Open Displacement: Zur Bestimmung der Bruchzähigkeit oder des Widerstands gegen Rissausdehnung.

  • Kerbbruchtest: Um die Bewertung von Schweißfehlern entlang der Bruchfläche einer Stumpfschweißung zu ermöglichen. Dies ist die richtige Antwort auf die obige Frage.

  • Bruchkehlenprüfung: Zum Aufbrechen der Verbindung durch die Schweißnaht, um die Bruchflächen untersuchen zu können ( Kehlnaht ). Siehe vorherige Frage.
  • IZOD: Izod-Schlagtest:

10) Ein Querzugprobestück aus einer Schweißverbindung ergibt:

A. Zugfestigkeit der Schweißnaht
B. Zugfestigkeit des Gelenks
C. Spannungs-/Dehnungseigenschaften der Schweißnaht
D. ( Antworten ) Belastungs-/Dehnungseigenschaften des Gelenks

Querzugversuche: Zur Messung der Querzugfestigkeit einer Stoßfuge unter statischer Belastung.


Abschnitt 3.1: Artikel und Interviews

Es gibt Leute mit viel mehr Tenchi-Kenntnissen als ich, vor allem, weil sie Japanisch UND Englisch lesen können. Als solche haben sie viele der zusätzlichen japanischen Materialien wie die Kajishima-Doujinshi und die Kajishima-Romane gelesen. Also dachte ich, ich würde einige von ihnen dazu bringen, Sachen zu schreiben, zumal sie viel für das MSG-Board schreiben.

Die mysteriöse Akara Naja von Oni_Shin — Bevor es Kagato gab, gab es Naja. Erfahren Sie alles über sie in diesem Artikel mit guten Quellen und lesen Sie einige der Spekulationen von Oni_Shin über sie.

Tenchi Muyo! Zeitleiste von Nomura-san, herausgegeben von Strannik — (zusätzliche Beiträge von verschiedenen Personen)

Die königlichen Bäume von Jurai von AstroNerdBoy — Die königlichen Bäume sind die Macht, die Jurai so großartig macht, aber was genau wissen wir über sie? (Beiträge von True Sheol, Watotsu und Mary)

Washu und die Bioroiden von AstroNerdBoy (mit verschiedenen Mitwirkenden) — Haben Sie sich jemals gefragt, wie Washu vor 20.000 Jahren als Säugling gefunden wurde? Nun, einige dieser Details wurden kürzlich aufgedeckt, die auch für Sie von Interesse sein könnten Dual! Fans.

Kajishima-sensei spricht über Ryokos Edelsteine, übersetzt von Yagami Makibi — Kajishima-sensei beantwortet viele Fragen zu Ryokos Edelsteinen. Dieses Interview ist zwar über 10 Jahre alt, aber immer noch sehr gut.

Kajishima-sensei Web Q&A übersetzt von R-Balouta — Kajishima-sensei wurden im Laufe der Jahre Fragen gestellt, die früher auf einer japanischen (jetzt nicht mehr existierenden) Website gehostet wurden. Diese Fragen und Antworten werden hier untergebracht. (Aktualisiert 08. Juni 2007)

Tenchi trifft Misaki in der Zukunft: OAV 3 Episode 6 Extra Scene, übersetzt von Quon — Aus dem Kajishima Onsen Doujinshi Omatsuri Zenjitsu no Yoru – Tenchi San-ki #6, siehe die informative Szene aus dem 19. Gesamtkanon TM!R Episode, die nicht animiert wurde. HINWEIS! Dieser Artikel ist sehr bildlastig und enthält Bilder, die für die Arbeit möglicherweise nicht sicher sind!

HASEGAWA Naoko’s Einführung in Senkyaku Banrai: Ai kein Hexagramm übersetzt von Unbekannt — Eine Übersetzung von Hasegawa-senseis Einleitung zu ihrem ersten Tenchi-Roman Ein Besucher nach dem anderen: Hexagramm der Liebe. Dies gibt einen Einblick in ihre Rolle in OVA 1 sowie Kajishima-senseis Rolle.

Kajishima-sensei’s AIC Komische Liebe Interview Teil 1 und 2 (von der nicht mehr existierenden AIC-Site gerettet) — Dieses Interview entstand 2001 und wurde damals offiziell von AIC für ihre Website übersetzt Tenchi Muyo! GXP und Tenchi Muyo! Ryo-ohki OVA 3.

Kajishima-sensei’s AIC Komische Liebe Interview Teil 3 (von der nicht mehr existierenden AIC-Site gerettet) — Dies ist der dritte und letzte Teil des Interviews von 2001, das damals offiziell von AIC für ihre Website übersetzt wurde. Dieses Interview bespricht das dann noch kommende Tenchi Muyo! Krieg gegen Geminar (oder wie es in Japan vorläufig bekannt war als Seikishi Monogatari, bevor sie schließlich aufgerufen wird Isekai no Seikishi Monogatari), Tenchi Muyo! GXP und Tenchi Muyo! Ryo-ohki OVA 3.

Ich suche immer nach übersetzten Werken oder ähnlichem. Wenn Sie also Hilfe leisten können, lassen Sie es mich bitte in den Kommentaren unten wissen. Übersetzer VIEL geschätzt. ^_^


CSWIP 3.1: Frage mit Antwort und Erklärung – Teil 16

WASSERSTOFF INDUZIERTE RISSE: Bekannt sind Kaltrisse, verzögerte Rissbildung oder Unterwulst-/Zehenrisse.

4) Bei einer Grobblechherstellung, bei der S einen Restanteil von 0,3% hat, was zu Problemen in der Schweißverbindung führen kann, können Mn-Zusätze hinzugefügt werden, um zu verhindern, dass:

A. Laminierungen in der Platte durch die Dicke
B. Spannungsrisskorrosion
C. Mangansulfide (MnS)
D. ( Antworten ) Erstarrungsrisse

Erstarrungsrisse (Heißrisse) können auftreten, wenn: Schweißgut einen hohen Kohlenstoff- oder Verunreinigungsgehalt hat ( Schwefel) Inhalt.

Vorsichtsmaßnahmen zur Kontrolle von Erstarrungsrissen:

Fügen Sie Mangan zur Elektrode hinzu, um kugelförmiges Mn/S zu bilden, das sich zwischen den Körnern bildet und die Kohäsion der Körner aufrechterhält.

Mit zunehmendem Kohlenstoff steigt das erforderliche Mn/S-Verhältnis exponentiell an und ist ein Hauptfaktor. Der Kohlenstoffgehalt in % sollte durch sorgfältige Kontrolle der Elektrode und Verdünnung minimiert werden.

5) Die Inspektion auf Wasserstoffrissbildung wird oft zwischen 48 und 72 Stunden nach Abschluss der Schweißung durchgeführt, liegt dies daran?

A. Der Stresspegel wird bis dahin reduziert sein
B. ( Antworten ) Dies ist die maximale Zeit, die benötigt wird, um das gesamte H2 aus der Schweißnaht zu diffundieren
C. Normalerweise ist es nach 48 Stunden unwahrscheinlich, dass eine solche Rissbildung auftritt
D. Es ist sicherzustellen, dass die Schweißnaht auf Umgebungstemperatur abgekühlt ist

Typischerweise tritt wasserstoffinduzierte Rissbildung bei Temperaturen unter 600 Grad Fahrenheit (häufiger um oder unter 300 Grad Fahrenheit) und innerhalb von 48 Stunden nach Abschluss der Schweißung auf. In einigen Fällen kann es bis zu einer Woche nach dem Schweißen auftreten.

Bei Anwendungen mit größeren Einflussfaktoren – stark eingespannte Verbindungen, hohe Wasserstoffkonzentrationen oder schnelle Abkühlung nach Abschluss der Schweißung – kann wasserstoffinduzierte Rissbildung viel früher, sogar sofort, auftreten.

6) Vorwärmungen werden bei Stahlverbindungen mit hoher Härtbarkeit hauptsächlich verwendet, um:

A. ( Antworten ) Verlangsamen Sie die Abkühlgeschwindigkeit des Stahls
B. Oberflächenfeuchtigkeit aus der Fuge entfernen
C. Reduzieren Sie die Bildung von Oberflächenoxiden
D. Erhöhen Sie die Diffusionsrate von Wasserstoff in die WEZ

Es gibt vier Hauptgründe für die Verwendung von Vorheizen:

(1) es verringert die Abkühlgeschwindigkeit im Schweißgut und Grundwerkstoff, wodurch eine duktilere metallurgische Struktur mit größerer Beständigkeit gegen Rissbildung entsteht

(2) die langsamere Abkühlgeschwindigkeit bietet die Möglichkeit, dass eventuell vorhandener Wasserstoff harmlos ausdiffundiert, ohne Risse zu verursachen

(3) es reduziert die Schrumpfspannungen in der Schweißnaht und dem angrenzenden Grundwerkstoff, was besonders bei hochfesten Verbindungen wichtig ist und

(4) es hebt einige Stähle über die Temperatur an, bei der ein Sprödbruch bei der Herstellung auftreten würde. Darüber hinaus kann das Vorwärmen verwendet werden, um bestimmte mechanische Eigenschaften, wie z. B. Kerbzähigkeit, sicherzustellen.

7) Als Sensibilisierung bezeichnet man die Bildung welcher intermetallischen Verbindung an den Korngrenzen in der WEZ von austenitischen nichtrostenden Stählen?

A. ( Antworten ) Chromkarbid
B. Titankarbid
C. Niobkarbid
D. Molybdänkarbid

Rissart: Interkristalline Korrosion

Ort: Schweißen WEZ. (längs)

Stahlsorten: Rostfreie Stähle

Mikrostruktur: Sensibilisierte Korngrenzen*

Ein Bereich in der WEZ wurde durch die Bildung von Chromkarbiden sensibilisiert. Dieser Bereich hat die Form einer parallel und beidseitig der Schweißnaht verlaufenden Linie. Diese Verarmung an Chrom führt dazu, dass die betroffenen Körner wenig Chromoxid aufweisen, was die korrosionsbeständige Wirkung von rostfreien Stählen erzeugt. Unbehandelt treten Korrosion und Ausfall schnell auf*

8) Beim Vergleich der Eigenschaften von unlegierten Kohlenstoffstählen und austenitischen rostfreien Stählen … welche der folgenden Aussagen ist richtig?

A. ( Antworten ) Kohlenstoffstähle haben eine bessere Wärmeleitfähigkeit
B. Rostfreie Stähle haben eine geringe Ausdehnung und Kontraktion
C. Kohlenstoffstähle haben höhere Dehnungsraten in Z-Richtung
D. Edelstähle haben weniger Chrom

Austenitische rostfreie Stähle haben im Vergleich zu einem typischen Kohlenstoffstahl eine hohe Duktilität, eine niedrige Streckgrenze und eine relativ hohe Zugfestigkeit.

Normale Kohlenstoffstähle:

  • Kohlenstoffarmer Stahl 0,01 – 0,3% Kohlenstoff
  • Stahl mit mittlerem Kohlenstoffgehalt 0,3 – 0,6% Kohlenstoff
  • Stahl mit hohem Kohlenstoffgehalt 0,6 – 1,4 % Kohlenstoff

Normale Kohlenstoffstähle enthalten nur Eisen und Kohlenstoff als Hauptlegierungselemente, aber auch Spuren von Mn, Si, Al, S und P können vorhanden sein.

Austenitische Grade:

  • Nicht magnetisch
  • Niedrige Wärmeleitfähigkeit („halten“ die Wärme beim Schweißen)
  • Hoher Ausdehnungskoeffizient – mehr Verzug beim Schweißen

9) Bei welchen der folgenden Stahlsorten tritt Schweißzerfall auf:

A. Kohlenstoff Mangan
B. Niedrig legierten
C. Beliebige Edelstähle
D. ( Antworten ) Austenitische Edelstähle

Interkristalline Korrosion Auch bekannt als Weld Decay

  • Ort: Schweißen WEZ. (längs)
  • Stahlart: Austenitische rostfreie Stähle
  • Anfällige Mikrostruktur: Sensibilisierte HAZ-Korngrenzen

10) Welches der folgenden Materialien ist am anfälligsten für Wasserstoffcracken?


Abschnitt 3.1 Antworten

Wenn wir ein System untersuchen, kennen wir oft durch Hypothesen oder Messungen das Wahrscheinlichkeitsgesetz einer oder mehrerer Zufallsvariablen und möchten die Wahrscheinlichkeitsgesetze anderer Zufallsvariablen erhalten, die durch die ursprünglichen Zufallsvariablen ausgedrückt werden können. Die Zufallsvariablen im zweiten Satz sind Funktionen der Zufallsvariablen im ersten Satz. Wir nennen dies ein Problem von abgeleitete Verteilungen, da wir die gemeinsame(n) Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) für die Zufallsvariablen im zweiten Satz herleiten müssen. Abgeleitete Verteilungsprobleme können bei diskreten, stetigen oder gemischten Zufallsvariablen auftreten.

Es gibt viele spezielle Techniken zum Ableiten von Verteilungen, aber wir werden uns auf eine "never-fail"-Methode konzentrieren. Nahezu die gesamte mit dieser Methode verbundene Arbeit findet im gemeinsamen Stichprobenraum der ursprünglichen Zufallsvariablen statt. Die Never-Fail-Methode ist lediglich ein systematisches Verfahren zur Durchführung von Schritt 4 ("Arbeiten im Stichprobenraum") einer probabilistischen Modellanalyse.

Angenommen, die ursprüngliche Menge der Zufallsvariablen sei gegeben durch <>1, X2, . xn> mit gemeinsamer cdf
Fx1 , X2. xn(·). Angenommen, es gibt M Zufallsvariablen Y1, Ja2, . Jam, die jeweils als Funktion von X . ausgedrückt werden können1, X2, . xn, nämlich Yich = gich(X1, X2, . xn), i = 1, 2, . Lehrer: Dann die Never-Fail-Methode namens kumulative Verteilungsmethode, ermöglicht die Berechnung der gemeinsamen kumulativen Verteilungsfunktion für die Yich'S,

A . Identifizieren Sie die Punktmenge im Original (X1, X2, . xn) Probenraum, der dem gemeinsamen Ereignis entspricht

B. Für jeden Satz von Werten für die y1 werden [y 1 , y 2 , . . . , y M ], durch Summation oder Integration die Wahrscheinlichkeit im (X 1 , X 2 . X M ,) Abtastraum dieses gemeinsamen Ereignisses bestimmen, wodurch F Y 1 ,Y 2 erhalten wird. Y m (y 1 ,y 2 . y M ) - < y 1 ,y 2 . j M < +

Wenn die Zufallsvariablen stetig sind, können wir das gemeinsame PDF für . finden durch partielle Ableitungen von F Y 1 ,Y 2 . Y M (·) in Bezug auf jedes seiner Argumente,

Wenn sie diskret sind, wird der pmf einfach durch Verwenden des cdf und Subtrahieren geeigneter aufeinanderfolgender Werte ermittelt.

Während die beschriebene Methode in ihrer Gesamtheit einschüchternd erscheinen mag, erleichtert ihre sorgfältige schrittweise Anwendung die Lösung von Problemen erheblich. Glücklicherweise ist die Anzahl der beteiligten Variablen bei vielen interessierenden Problemen klein, oft mit weder M noch N mehr als 2. Um Kenntnisse in diesem Aspekt der probabilistischen Modellierung zu erlangen, scheint es das Studium zahlreicher Beispiele zu erfordern, um potenzielle Fallstricke aufzudecken, die auf den unvorsichtigen Analytiker warten. Daher werden wir viele Beispiele analysieren, von denen die meisten von eigenständigem Interesse für die Analyse urbaner Dienstleistungssysteme sind. Kontinuierliche Zufallsvariablen scheinen denjenigen, die die Methode zum ersten Mal anwenden, die größten Schwierigkeiten zu bereiten, und daher werden wir uns auf kontinuierliche Zufallsvariablen konzentrieren. Beispiele mit diskreten Zufallsvariablen sind in den Aufgaben angegeben. (Siehe Problem 3.2 für streng diskrete Zufallsvariablen und Probleme 3.24 und 3.30 für "gemischte" Zufallsvariablen.)

Beispiel 1: Reaktionsdistanz einer Ambulette

Dieses erste Beispiel wird einen Rahmen für die Demonstration mehrerer Charakteristika von Problemen der "abgeleiteten Verteilung" liefern. Angenommen, ein Fahrzeug der öffentlichen Sicherheit fährt auf einer geraden Autobahn hin und her, das möglicherweise unterwegs ist, um Autofahrer zu finden, die Hilfe benötigen. Auch entlang dieser Autobahn können Unfälle auftreten, die einen Bedarf an Unterstützung durch das Fahrzeug vor Ort erzeugen. Das Fahrzeug wird per Funk zu diesen Unfällen entsandt. Aufgrund der begrenzten medizinischen Notfallausrüstung an Bord bezeichnen wir das Fahrzeug als Ambulette. Wir interessieren uns für die Bestimmung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes der Wegstrecke für den Rettungswagen, um einen zufälligen medizinischen Notfall zu erreichen.

Im Anschluss an die obige allgemeine Diskussion ist ein abgeleitetes Verteilungsproblem wie jedes andere probabilistische Modellierungsproblem erfordert, dass wir vier Dinge tun, um das Experiment zu modellieren:

1. Zufallsvariablen. Angenommen, die Autobahn hat eine Einheitslänge. Dann wären die beiden wichtigsten Zufallsvariablen

X 1 = Ort des medizinischen Notfalls, 0 X 1 I

X 2 = Standort des Rettungswagens zum Zeitpunkt der Absendung, 0 X 2

Wenn wir uns später für die Fahrstrecke interessieren, kann unter der Annahme, dass Kehren überall möglich und zulässig sind, die Fahrstrecke D als Funktion von X 1 und X 2 ausgedrückt werden, D = |X 1 - X 2 |

2. Gemeinsamer Probenraum. Der gemeinsame Probenraum ist das Einheitsquadrat im positiven Quadranten (0 X 1 1, 0 X 2 1).

3. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wir gehen davon aus, dass die Standorte der Ambulanz und des medizinischen Notfalls einheitlich und unabhängig über die Autobahn verteilt sind. In der Praxis müssten die drei Annahmen einer solchen Aussage plausibilisiert und ggf. gemessen werden. Natürlich könnte die Analyse auch mit einem alternativen Satz von Annahmen erfolgen. Da wir es nun mit streng stetigen Zufallsvariablen zu tun haben, arbeiten wir mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die

4. Arbeiten Sie im Probenraum. Dies ist der Punkt, an dem die Never-Fail-Methode zum Ableiten von Verteilungen ins Spiel kommt. Wir wollen das Wahrscheinlichkeitsgesetz von

Hier ist in unserer allgemeinen Schreibweise N = 2 und M = 1 und wir werden mit einer 2-zu-1-Transformation konfrontiert.

Um die Never-Fail-Methode zum Finden des cdf von D, F D (y) anzuwenden, lokalisieren wir zuerst den Bereich im (X I , X 2 ) Abtastraum, der dem Ereignis (D < y) entspricht. Formal sind die Schritte wie folgt geschrieben:

Um den Absolutwertoperator zu entfernen, betrachten wir zwei Fälle getrennt: Fall 1: X 1 X 2 Fall 2: X 1 < X 2 . Für den ersten Fall müssen D = X 1 - X 2 und die experimentellen Werte x 1 und x 2 von X 1 bzw. X 2 zwischen der Linie x 2 = x 1 und x 2 = x I - y liegen (Abbildung 3.1 ). Für den zweiten Fall ist D = X 2 - X 1 , und experimentelle Werte von X 1 und X 2 müssen zwischen der Linie x 2 = x 1 und x 2 = x I + y liegen. Bei Betrachtung dieser beiden Fälle ergibt sich der schattierte Bereich im Probenraum in Abbildung 3.1. Sobald wir eine solche Region bestimmt haben, haben wir die Menge von Punkten identifiziert, die dem interessierenden Ereignis entspricht: [D < y], wodurch Schritt a des Nie-Fehler-Verfahrens abgeschlossen ist. Dies ist oft der schwierigste Teil eines abgeleiteten Verteilungsproblems. Beachten Sie, dass die Bestimmung dieser Region in keiner Weise von der gemeinsamen PDF für X 1 und X 2 abhing, daher könnte die bis zu diesem Punkt investierte "Arbeit" auf mehrere alternative Modelle angewendet werden, jedes mit seiner eigenen gemeinsamen PDF für X 1 und X 2 .

Schritt b der Never-Fail-Methode erfordert, dass wir f x 1 ,x 2 ,(·) über die Menge von Punkten im schattierten Bereich integrieren, um F D (y) zu erhalten. Da die Verbindung X 1 , X 2 pdf über das Einheitsquadrat gleichförmig ist, können wir die Integration durch Berechnen von Flächen im Probenraum durchführen. (Konzeptionell wird jede Fläche mit "l" multipliziert, der Höhe der PDF an diesem Punkt, um eine als Volumen gemessene Wahrscheinlichkeit zu erhalten.) Durch Berechnen von Flächen der Dreiecke, die nicht im schattierten Bereich liegen,

wir haben jetzt Schritt b der Never-Fail-Methode abgeschlossen und sind "fertig". [Was wissen wir über F D (-2) oder F D ?]

Sollten wir das pdf von D wünschen, differenzieren wir und erhalten

Aus dem pdf (oder cdf) können wir alles bestimmen, was bezüglich D gewünscht wird. Zum Beispiel ist der Erwartungswert (oder Mittelwert) von D

Diese Ergebnisse werden für unsere weitere Arbeit von Nutzen sein.

Ein Systemadministrator könnte daran interessiert sein, die Auswirkungen der Vorpositionierung der Ambulette in der Mitte des die Autobahn darstellenden Intervalls auf die Fahrstrecke zu kennen, wodurch X 2 fixiert wird. Dann ist der gemeinsame Probenraum die in Abbildung 3.2 gezeigte Gerade. Wenn die neue Fahrstrecke D'=|X 1 -1/2| ist, wird die

Bereich, für den (D' y) das Liniensegment der Länge 2y ist, das bei X 1 = 1/2 zentriert ist. Integrieren der (einheitlichen) pdf von X 1 , gilt F D' (y) =P

Wie könnte dieses Ergebnis auch durch Inspektion gewonnen werden? Der Mittelwert und die Varianz sind

So verringert eine Änderung der Einsatzpolitik, die dazu führt, dass eine Ambulette in der Mitte ihres Versorgungsgebiets vorpositioniert wird, anstatt zufällig in ihrem Versorgungsgebiet zu patrouillieren, die durchschnittliche Reisedistanz um 25 Prozent, die Varianz der Reisedistanz um 62,5 Prozent und, vielleicht wichtig in Worst-Case"-Analysen die maximal mögliche Fahrstrecke um 50 Prozent.

Frage: Wie würde man die gemeinsame Verteilungsfunktion für X 1 und X 2 in der Praxis bestimmen (oder schätzen)?

Weiterführende Arbeiten: Aufgaben 3.2-3.4.

Wir wählen die Skala eines probabilistischen Modellierungsproblems oft aus Gründen der analytischen Bequemlichkeit. Wenn beispielsweise die in Beispiel I analysierte Autobahnlänge 13,72 Kilometer betragen hätte, wäre der Faktor 13,72 an zahlreichen Stellen aufgetreten (was die Analyse offensichtlich weniger attraktiv macht). Nachdem wir die Analyse für ein praktisch skaliertes Problem durchgeführt haben, skalieren wir es daher oft neu, um es der realen Situation anzupassen. Eine Skalierung kann auch beim Wechsel von Maßsystemen auftreten, beispielsweise von britischen Einheiten zu metrischen Einheiten.

Angenommen, wir haben das Wahrscheinlichkeitsgesetz für W bei einer gegebenen Skala abgeleitet und möchten die Momente und das Wahrscheinlichkeitsgesetz von . finden

In Worten, die Multiplikation einer Zufallsvariablen mit einer Konstanten führt dazu, dass ihre Varianz mit dem Quadrat dieser Konstanten multipliziert wird.

Wir können auch das Wahrscheinlichkeitsgesetz von V (angenommen als stetig) mit der Never-Fail-Methode herleiten. Die Analyse läuft wie folgt ab:

Um fortzufahren, müssen wir zwei Fälle unterscheiden: Fall 1: a> 0 case2a ɘ.

Diese Gleichungen sind die Antwort auf unser Problem. Im Beispiel der Ambulette würden wir bei a = 13,72 Kilometer und b = 71,09 Kilometer einen 13,72 Kilometer langen Autobahnabschnitt modellieren, der 71,09 Kilometer vom Ursprung entfernt beginnt. Zurück zum Beispiel der patrouillierenden Ambulette: Die CDF für X 1 wird zu

Möglicherweise finden Sie es hilfreich, mehrere verschiedene Anwendungen dieses Ergebnisses zu skizzieren.

Aufgabe 3.1: Rechteckiger Antwortbereich Angenommen, wir haben einen X 0 -by Y 0 rechteckigen Antwortbereich für die Ambulette (Abbildung 3.3), mit Seiten des Rechtecks ​​parallel zu den Koordinatenachsen. Der Ort des medizinischen Notfalls (X 1 , Y 1 ) und der Ambulette (X 2 , Y 2 ) sind unabhängig voneinander gleichmäßig über das Einsatzgebiet verteilt. Die Verfahrstrecke erfolgt nach der "rechtwinkligen" Metrik,

Beispiel 1: Wieder besucht (Min und Max)

Angenommen, wir interessieren uns für die Koordinaten, die einen Einsatzfall X 1 und X 2 bestimmen, unabhängig davon, welcher Ort die Ambulette und welcher der medizinische Notfall darstellt. Stattdessen können wir uns mit der ganz rechten Koordinate R und der ganz linken Koordinate L beschäftigen. Zum Beispiel können alle Punkte zwischen R und L Sirenen und Lichtern ausgesetzt sein, wenn die Ambulette mit hoher Geschwindigkeit vorbeifährt. Daher wäre das gemeinsame Wahrscheinlichkeitsgesetz von R und L von Interesse. Wir ignorieren die Skalierung und nehmen an, dass alle Orte wie zuvor im Intervall [0, 1] vorkommen.

Da wir die Schritte 1-3 bei der Beschreibung des Experiments bereits durchgeführt haben, sind wir bereit, zu Schritt 4 (Arbeiten im Probenraum) überzugehen und die Neverfail-Methode anzuwenden. Die Zufallsvariablen, die Funktionen der ursprünglichen Zufallsvariablen sind, sind

Wir wollen das gemeinsame Wahrscheinlichkeitsgesetz für R und L herleiten. Dies wird manchmal als N = 2-zu-M = 2-Transformation bezeichnet. Um Schritt a der Never-Fail-Methode auszuführen, gehen wir formal wie folgt vor:

Um von hier aus fortzufahren, betrachten wir jedes der beiden Ereignisse in geschweiften Klammern und "verschmelzen" diese später durch Schnitt. Das heißt, wir können schreiben

Um die Menge von Punkten im (X 1 , X 2 )-Rampleraum entsprechend Max (X 1 , X 2 ) r zu bestimmen, betrachten wir wieder zwei Fälle: Fall 1: X 1 X 2 Fall 2: X 1 X 2 . Für Fall 1 entspricht Max (X 1 , X 2 ) = X 1 und das Ereignis Max (X 1 , X 2 ) r der Punktmenge links von der Geraden x 1 = r (Abbildung 3.4). In ähnlicher Weise entspricht für Fall 2 Max (X 1 , X 2 ) = X 2 und das Ereignis Max (X 1 , X 2 ) r entspricht der Menge von Punkten unterhalb der Linie X 2 = r. Kombiniert man diese beiden Fälle, entspricht das Ereignis Max (X 1 , X 2 ) r dem Quadrat der Fläche r 2 in Abbildung 3.4.

In ähnlicher Weise für Min (X 1 , X 2 ) 1 vorgehen, betrachten wir wieder Fall 1: X 1 X 2 und Fall 2: X 1 X 2 . Für Fall 1 entspricht Min (X 1 , X 2 ) = X 2 und das Ereignis Min (X 1 , X 2 ) 1 der Punktmenge unterhalb der Linie x 2 = 1 (Abbildung 3.4). Für Fall 2 entspricht Min (X 1 , X 2 ) = X 1 und das Ereignis Min (X 1 , X 2 ) 1 der Punktmenge links von der Geraden x 1 = 1. Kombiniert man diese beiden Fälle, Ereignis Min (X 1 , X 2 ) 1 entspricht dem in Abbildung 3.4 gezeigten L-förmigen Bereich.

Der Schnittpunkt der beiden oben gefundenen Ereignisse ergibt das interessierende Ereignis, , im schraffierten Bereich in Abbildung 3.4 dargestellt. Wir haben jetzt Schritt a der Never-Fail-Methode abgeschlossen,

Um Schritt b auszuführen, müssen wir nur das gemeinsame pdf fx 1 , x 2 (·) über den in Schritt 1 gefundenen Bereich (Ereignis) integrieren. Wegen der besonderen Natur dieses Beispielraums und seiner and Wahrscheinlichkeitszuweisung können wir dies tun, indem wir direkt mit Bereichen im Stichprobenraum arbeiten. Durch Berechnung der relevanten Bereiche erhalten wir

Der gemeinsame Probenraum R, L ist in Abbildung 3.5 dargestellt. Die gemeinsame pdf von R, L über diesen dreieckigen Bereich ist gleichförmig. Macht das intuitiv Sinn?

Angenommen, wir interessieren uns nicht für die Reiseentfernung, sondern für die Reisezeit. Wenn wir Zufallsvariablen definieren

Zeit steht in Beziehung zu Entfernung und Geschwindigkeit durch die bekannte Gleichung

Um die pdf von T zu erhalten, benötigen wir im Allgemeinen die gemeinsame pdf von D und S, sagen wir f D, S (x, s). Die Never-Fail-Methode würde wie folgt vorgehen:

Das [D tS) entsprechende Ereignis im (D, S) Probenraum ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Im Prinzip müssen wir nur die gemeinsame D, S pdf über diesen Bereich für jeden Wert von t integrieren, um den cdf für T, F . zu erhaltenT(t). 1

Nehmen wir als einfaches Beispiel an, dass die Reaktionsgeschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit nur zwei Werte annehmen könnte, S = 1 oder S = 2. Nehmen Sie an, dass die Distanz als die Ambulette-Reaktionsdistanz von Beispiel 1 verteilt ist, unabhängig von der Reaktionsgeschwindigkeit. Dann

Dieser beeindruckend aussehende Ausdruck repräsentiert die pdf von zwei Zufallsvariablen, eine kontinuierliche und die andere diskret. Solange wir bedenken, dass PDFs keine probabilistische Bedeutung haben, bis wir sie integrieren und die Integrationseigenschaften von Impulsen gut definiert sind, werden wir in guter Verfassung sein. (Erinnern Sie sich an Problem 2.2.)

Der gemeinsame Probenraum (D, S) ist in Abbildung 3.7 dargestellt. Wir fahren nun mit der Never-Fail-Methode fort.

Wenn wir Abbildung 3.7 betrachten, sehen wir, dass die Gerade x = ts beide "Linien" des Probenraums für 0 < t < 1/2 schneidet. Für diese Werte von t haben wir also

Die "1/2" ergeben sich aus der Integration von links nach rechts über die Impulse, die FD(·)-Terme ergeben sich aus der Integration von x = 0 bis x = ts bei s = 1 und s = 2. Da aus Beispiel 1 (3.1), wir wissen, dass

Sobald t den Wert von 1/2 überschreitet, nimmt der Sweep der Linie x = ts keine zusätzliche Wahrscheinlichkeit mehr vom "Linienimpuls" bei s = 2 auf. Für 1/2 < t 1, FT (t) = 1/2[1 – (1 – t) 2 ] + 1/2. Wenn wir also die Ergebnisse kombinieren, lautet die Antwort auf unser Problem

Dieses PDF ist in Abbildung 3.8 skizziert. Beachten Sie die Diskontinuität der Steigung bei t=1/2. This is not unusual in practice in fact, one often comes across problems in which the derived pdf is discontinuous (in value) at one or more points. Points of discontinuity, either in value or slope, usually correspond to "switchover points" in the original sample space in which the summation or integral for accumulating probability for the cdf switches over to some new functional form. Switchovers often occur when the region of accumulated probability changes in geometric form, such as occurred at t=1/2 in the example.

While we have completed our derived distribution work on this problem, there is one additional issue that we wish to address and that deals with expected values of random variables. Here the expected value of T is

We may wish to calculate the expected value simply by working in the (D, S) sample space. Because of independence, if T = h 1 (D)h 2 (S), then

as calculated previously, This is an illustration of the following general principle:

If one only desires expected values and not the complete probability law of a function of random variables, it is usually computationally easier to work directly in the original sample space to compute the expected values.

There is a second general principle we can illustrate with this example. When asked to calculate E[T], one may be tempted to say that

Clearly, this is not correct, the answer being about 11 percent less than the correct answer. The error lies in assuming that E[1/S] = 1/E[S].

In general, the expected value of a function of a random variable is not equal to the function evaluated at the expected value of the random variable.

In this case one can prove mathematically that for any nonnegative random variable S,

Hence, using (E[D]/E[S]) to estimate E[T] in such a case results in an optimistically low estimate of average travel time. In a practical sense these relations imply that an urban service agency cannot infer that, say, a 20-mile/hr average response speed and a 1-mile average travel distance imply a 3-minute average travel time. On the contrary, the average inverse speed could be, say, 0.10 hour/mile in such a case if travel distance and travel speed are independent, the average travel time is 6 minutes, not 3 minutes.

Example 3: Rayleigh Distribution

To this point our derived distribution examples have dealt with sample spaces in which all random variables had finite maximum and minimum values. This is not a necessary requirement, and many derived distribution problems, such as the case considered here, allow one or more random variables to assume infinitely large (positive or negative) values.

Suppose an urban vehicle is located at (X 0 , Y 0 ). An automatic vehicle location (AVL) system utilizes one of the several available technologiesz to estimate the location of the vehicle. Such an application is relevant in police departments, taxicab services, maintenance services, and numerous other urban services. Suppose that the estimated position of the vehicle is given by

Y = Y 0 + Y e where (X 0 , Y 0 ) represent the true position coordinates of the vehicle and (X e , Y e ) are the additive error terms due to imperfect resolution. For certain AVL technologies it makes sense to assume that X e and Y e are independent, zero-mean Gaussian random variables:

where the standard deviation specifies the resolution of the system. It now makes sense to examine properties of the "radius of error"

To derive the probability law of R we work in the (X e , Y e ) sample space, which is the entire plane (Figure 3.9), and utilize the joint (X e , Y e ) pdf, which is (by independence)

Because of the circular symmetry of the situation, we find it easier to evaluate this integral by changing to polar coordinates and , where

These relationships are shown in Figure 3.9. Since the infinitesimal area to be integrated changes from dx dy to d d, we can write

Carrying out the final integration, we find that

Notice that this pdf behaves as we might expect intuitively: it starts at zero at r = 0 and grows monotonically to a maximum (which occurs at r =) and then decreases monotonically in an exponential way according to r 2

Among other applications, the Rayleigh probability law arises in physics in various scattering experiments and in communication theory in the modeling of noise over a communication channel. We have now seen how it arises as a derived distribution in an urban vehicle location context.

There is an alternative way of deriving the Rayleigh pdf directly without first finding the cdf. The method is useful in other applications, as well, in which it is easy to make infinitesimal probability arguments. However, when in doubt, we always prefer to resort to the never-fail cdf method. The direct method proceeds as follows : since a pdf has a probability meaning only if it is integrated, we "integrate" f R (r) over the infinitesimal interval [r, r + dr),

Again because of circular symmetry, we change to polar coordinates and 6, with = r and d = dr, thereby obtaining

as previously derived. We used such an infinitesimal argument when showing in Section 2.12 that the Ith-order interarrival time of a Poisson process has an Ith-order Erlang pdf. However, again we caution those computing derived distributions that this "infinitesimal" method for finding the pdf directly is fraught with potential pitfalls and difficulties for all but the simplest problems. Thus, the never-fail cdf method remains our primary tool for deriving distributions.

Further work on A VL position estimation errors: Problems 3.6 and 3.7.

Example 4: Ratio of Right Angle to Euclidean Distance Metrics

As another example of deriving distributions of random variables, we consider a problem that arises in transportation systems (e.g., "dial-a-ride" systems, taxicab systems), emergency services (fire, police, and ambulance), and other municipal systems having mobile units. The problem deals with the "penalty" in travel distance incurred by a mobile unit while traveling a grid of streets, compared to a helicopter or other unit that could travel "as the crow flies."

If the mobile unit is located at (x 1 , y 1 ) and is traveling along a shortestdistance path to (x 2 , y 2 ) perhaps to pick up a passenger, then the right-angle distance between the points is

If street directions are parallel to the coordinate axes, the right-angle distance (also called Manhattan, metropolitan, or rectangular distance) is a good approximation for the actual travel distance covered. 3

Of interest in designing computer dispatching algorithms and in developing planning models, the ratio of the right angle to the Euclidean distance provides insight as to the extra distance traveled because of the requirement of driving on streets. For instance, if one knew the average value of this ratio, then in a computer dispatching algorithm it might be acceptable to estimate the travel distance as the product of this average value and the Euclidean distance, the latter being obtained easily from a file of (x, y) coordinates.

Consider two points (X 1 , Y 1 ) and (X 2 , Y 2 ), corresponding to the trip origin and destination, respectively, defined relative to any fixed coordinate system. Let (0 /2) be the angle at which the directions of travel are rotated with respect to the straight line connecting the two points (see Figure 3.10). Given , the right-angle travel distance between (X 1 , Y 1 ) and X 1 , Y 1 ) is

We wish to derive the cdf of R using the never-fail method, making reasonable assumptions about the probabilistic behavior of .

Here we are deriving the distribution of one continuous random variable which is expressed as a function of another continuous random variable (i.e., a "one-to-one" transformation). The cdf of R is

The event corresponding to (R r) in the sample space is shown in Figure 3.11. Now in a large, uniform city it makes sense to assume that is uniformly distributed over [0, /2]. (Why?) We call this an isotropy assumption, meaning sameness regardless of direction. Given the isotropy assumption, we can integrate the pdf of over the event indicated in Figure 3.11 to obtain

Thus, "on the average" the mobile unit travels about 1.273 times the Euclidean distance (given the model assumptions). Since = 0.0155, the ratio R /E[R], the coefficient of variation, is only 0.098, meaning that the estimate of 4/ for E[R] is quite robust. A reasonable "test" of the right-angle distance metric would be to compare the empirical distribution of ratios of recorded travel distances and corresponding Euclidean distances to F R (·) and to compare the empirically found average R to 1.273.

Further work: Problem 3.8 Problems 3.9 and 3.10 (alternatives to the isotropy assumption).

Example 5: Quantization Model

As a final detailed example of a derived distribution problem, we consider a situation in which two continuous random variables give rise to one discrete random variable. This 2-to-l transformation arises due to quantization of odometer readings in urban vehicles. The same analysis applies in other quantization settings, for instance in cases where successive event times are quantized.

Assume that we are running an experiment to estimate the distribution of distance traveled by taxicabs, where distance

D miles traveled from the moment of dispatch to arrival at the address of the caller

All we have available experimentally are recorded travel distances, which are quantized as 0 miles, I mile, 2 miles, and so on. We wish to examine the quantitative effects of such truncation. Quite clearly, the same model could be used for studying response distances of emergency vehicles, "paid" trips of taxicabs, trips of dial-a-ride vehicles, etc.

For a journey of length D, the recorded travel distance equals the sum of D and the accumulated odometer mileage at the moment of dispatch since the last odometer reading change, the sum truncated to the largest integer not exceeding the sum. For instance, if the vehicle had traveled 0.9 mile since the last reading change and then traveled 1.2 miles to the address of the caller (following dispatch), the recorded mileage would be the largest integer not exceeding (0.9 + 1.2) = 2.1, which is 2 (miles). If, however, the noninteger accumulated odometer mileage at the moment of dispatch had been 0.6 rather than 0.9, the recorded mileage would be the largest integer not exceeding (0.6 + 1.2) = 1.8, which is I mile. In the first case, the odometer's mileage reading had changed twice in the second, once. As examples will clearly demonstrate, the recorded travel distance can either underestimate or overestimate the actual travel distance by as much as I mile.

There are two key random variables that give rise to the quantized distance random variable:

accumulated noninteger odometer mileage at the moment of dispatch (a random variable distributed over [0, 1))

If we let the quantized distance random variable be

K recorded mileage for the journey

Then K is a function of D and :

Here we have a discrete random variable expressed as a function of two continuous random variables. If we have the joint probability law for D and ), we would like the probability law for K.

The (D, ) sample space is the infinite strip of width 1 (0 < D < , 0 1), shown in Figure 3.12. Without yet assigning a probability law over this sample space, we have performed in Figure 3.12 the "work" required to find the sets of points in the sample space that give rise to different values

of the random variable K. We illustrate the derivation of one of the "45° lines" partitioning the sample space. Suppose that the experimental value for D lies between 1 and 2 (i.e., 1 d 2). Then, for "sufficiently small" , K will equal 1 otherwise, K will equal 2. The switch from K = 1 to K = 2 will occur at the point at which d + = 2. Thus, the switch occurs along the line

Joint Probability Distribution

Without knowing the exact distribution for D, we can make some further progress in our analysis of the effects of quantization. From physical considerations, the following assumptions seem reasonable:

    The random variables D and are independent .

Thus, we will limit our knowledge of the joint (D,)pdf to say that it takes the following form:

Working in the Joint Sample Space

Since entire subregions of the (D, ) sample space give rise to exactly one value of K, we can deal directly with the pmf for K, not the cdf. Given the assumptions regarding f D , (d,) above, if the cdf for D is known, say F D (·), the probability mass function for K is readily computed:

Thus, any statistical procedure using experimental data to estimate E[K] should also yield an (unbiased) estimate of E[D]. For such a procedure to remain unbiased, it is necessary that zero-mileage journeys be recorded and used in the statistical tabulations.

Question: Given the foregoing analysis, can one lump together recorded mileages quantized in tenths of miles with those quantized in miles?

Furtherwork: Problem 3.11 [for a proof of (3.31)] Problem 3.12 (for an application of these ideas to time measurements).

1 Typical empirical relationships found among speed, distance, and time are described later in this chapter.

2 See, for example, R. C. Larson, K. W. Colton, and G. C. Larson, "Evaluating an Implemented AVM System: The St. Louis Experience (Phase I)," Public Systems Evaluation, Inc., Cambridge, Mass., 1976.


3.1 The Rock Cycle

The rock components of the crust are slowly but constantly being changed from one form to another and the processes involved are summarized in the rock cycle (Figure 3.2). The rock cycle is driven by two forces: (1) Earth’s internal heat engine, which moves material around in the core and the mantle and leads to slow but significant changes within the crust, and (2) the hydrological cycle, which is the movement of water, ice, and air at the surface, and is powered by the sun.

The rock cycle is still active on Earth because our core is hot enough to keep the mantle moving, our atmosphere is relatively thick, and we have liquid water. On some other planets or their satellites, such as the Moon, the rock cycle is virtually dead because the core is no longer hot enough to drive mantle convection and there is no atmosphere or liquid water.

Figure 3.2 A schematic view of the rock cycle. [SE]

In describing the rock cycle, we can start anywhere we like, although it’s convenient to start with magma. As we’ll see in more detail below, magma is rock that is hot to the point of being entirely molten. This happens at between about 800° and 1300°C, depending on the composition and the pressure, onto the surface and cool quickly (within seconds to years) — forming extrusive igneous rock (Figure 3.3).

Figure 3.3 Magma forming pahoehoe basalt at Kilauea Volcano, Hawaii [SE]

Magma can either cool slowly within the crust (over centuries to millions of years) — forming intrusive igneous rock, or erupt onto the surface and cool quickly (within seconds to years) — forming extrusive igneous rock. Intrusive igneous rock typically crystallizes at depths of hundreds of metres to tens of kilometres below the surface. To change its position in the rock cycle, intrusive igneous rock has to be uplifted and exposed by the erosion of the overlying rocks.

Through the various plate-tectonics-related processes of mountain building, all types of rocks are uplifted and exposed at the surface. Once exposed, they are weathered, both physically (by mechanical breaking of the rock) and chemically (by weathering of the minerals), and the weathering products — mostly small rock and mineral fragments — are eroded, transported, and then deposited as sediments. Transportation and deposition occur through the action of glaciers, streams, waves, wind, and other agents, and sediments are deposited in rivers, lakes, deserts, and the ocean.

Exercise 3.1 Rock around the Rock-Cycle clock

Referring to the rock cycle (Figure 3.2), list the steps that are necessary to cycle some geological material starting with a sedimentary rock, which then gets converted into a metamorphic rock, and eventually a new sedimentary rock.

EIN conservative estimate is that each of these steps would take approximately 20 million years (some may be less, others would be more, and some could be much more). How long might it take for this entire process to be completed?

Unless they are re-eroded and moved along, sediments will eventually be buried by more sediments. At depths of hundreds of metres or more, they become compressed and cemented into sedimentary rock. Again through various means, largely resulting from plate-tectonic forces, different kinds of rocks are either uplifted, to be re-eroded, or buried deeper within the crust where they are heated up, squeezed, and changed into metamorphic rock.

Figure 3.5 Metamorphosed and folded Triassic-aged limestone, Quadra Island, B.C. [SE]


Section 3.1 Answers

The primary function of the substantive criminal law is to define crimes, including the associated punishment. Das procedural criminal law sets the procedures for arrests, searches and seizures, and interrogations. In addition, it establishes the rules for conducting trials. Where does criminal law come from?

The Common Law

The term common law can be disturbingly vague for the student. That is because different sources use it in several different ways with subtle differences in meaning. The best way to get a grasp on the term’s meaning is to understand a little of the history of the American legal system. Common law, which some sources refer to as “judge-made” law, first appeared when judges decided cases based on the legal customs of medieval England at the time. It may be hard for us to imagine today, but in the early days of English common law, the law was a matter of oral tradition. That is, the definitions of crimes and associated punishments were not written down in a way that gave them binding authority.

By the end of the medieval period, some of these cases were recorded in written form. Over a period, imported judicial decisions became recorded on a regular basis and collected into books called reporters. The English-speaking world is forever indebted to Sir William Blackstone, an English legal scholar, for collecting much of the common law tradition of England and committing it to paper in an organized way. His four-volume set, Commentaries on the Laws of England, was taken to the colonies by the founding fathers. The founding fathers incorporated the common law of England into the laws of the Colonies, and ultimately into the laws of the United States.

In modern America, most crimes are defined by statute. These statutory definitions use ideas and terms that come from the common law tradition. When judges take on the task of interpreting a statute, they still use common law principles for guidance. The definitions of many crimes, such as murder and arson, have not deviated much from their common law origin. Other crimes, such as rape, have seen sweeping changes.

One of the primary characteristics of the common law tradition is the importance of precedent. Known by the legal Latin phrase stare decisis, the doctrine of precedence means that once a court makes a decision on a particular matter, they are bound to rule the same way in future cases that have the same legal issue. This is important because a consistent ruling in identical factual situations means that everyone gets the same treatment by the courts. In other words, the doctrine of stare decisis ensures equal treatment under the law.

Constitutions

When the founding fathers signed the Constitution, they all agreed that it would be the supreme law of the land the Framers stated this profoundly important agreement in Article VI. After the landmark case of Marbury v. Madison (1803), the Supreme Court has had the power to strike down any law or any government action that violates constitutional principles. This precedent means that any law made by the Congress of the United States or the legislative assembly of any state that does not meet constitutional standards is subject to nullification by the Supreme Court of the United States.

Every state adopted this idea of constitutional supremacy when creating their constitutions. All state laws are subject to review by the high courts of those states. If a state law or government practice (e.g., police, courts, or corrections) violates the constitutional law of that state, then it will be struck down by that state’s high court. Local laws are subject to similar scrutiny.

Statutory Law

Statutes are written laws passed by legislative assemblies. Modern criminal laws tend to be a matter of statutory law. In other words, most states and the federal government have moved away from the common-law definitions of crimes and established their own versions through the legislative process. Thus, most of the criminal law today is made by state legislatures, with the federal criminal law being made by Congress. Legislative assemblies tend to consider legislation as it is presented, not in subject order. This chronological ordering makes finding the law concerning a particular matter very difficult. To simplify finding the law, most all statutes are organized by subject in a set of books called a code. The body of statutes that comprises the criminal law is often referred to as the criminal code, or less commonly as the penal code.

Administrative Law

The clear distinction between the executive, legislative, and judicial branches of government becomes blurry when U.S. governmental agencies and commissions are considered. These types of bureaucratic organizations can be referred to as semi-legislative and semi-judicial in character. These organizations have the power to make rules that have the force of law, the power to investigation violations of those laws, and the power to impose sanctions on those deemed to be in violation. Examples of such agencies are the Federal Trade Commission (FTC), the Internal Revenue Service (IRS), and the Environmental Protection Agency (EPA). When these agencies make rules that have the force of law, the rules are collectively referred to as administrative law.

Court Cases

When the appellate courts decide a legal issue, the doctrine of precedence means that future cases must follow that decision. This means that the holding in an appellate court case has the force of law. Such laws are often referred to as case law. The entire criminal justice community depends on the appellate courts, especially the Supreme Court, to evaluate and clarify both statutory laws and government practices against the requirements of the Constitution. These legal rules are all set down in court cases.


Power and Privilege

As defined in this chapter, diversity focuses on the “otherness” or differences between individuals and has a goal of making sure, through policies, that everyone is treated the same. While this is the legal and the right thing to do, multiculturalism looks at a system of advantages based on race, gender, and sexual orientation called power and privilege . In this system, the advantages are based on a system in which one race, gender, and sexual orientation is predominant in setting societal rules and norms.

The interesting thing about power and privilege is that if you have it, you may not initially recognize it, which is why we can call it invisible privilege. Here are some examples:

  1. Race privilege. Let’s say you (a Caucasian) and your friend (an African American) are having dinner together, and when the bill comes, the server gives the check to you. While this may not seem like a big issue, it assumes you (being Caucasian) are the person paying for the meal. This type of invisible privilege may not seem to matter if you have that privilege, but if you don’t, it can be infuriating.
  2. Social class privilege. When Hurricane Katrina hit New Orleans in 2005, many people from outside the storm area wondered why so many people stayed in the city, not even thinking about the fact that some people couldn’t afford the gas to put in their car to leave the city.
  3. Gender privilege. This refers to privileges one gender has over another—for example, the assumption that a female will change her name to her husband’s when they get married.
  4. Sexual orientation privilege. If I am heterosexual, I can put a picture of my partner on my desk without worrying about what others think. I can talk about our vacations together or experiences we’ve had without worrying what someone might think about my relationship. This is not the case for many gay, lesbian, and transgendered people and their partners.

Oftentimes the privilege we have is considered invisible, because it can be hard to recognize one’s own privilege based on race, gender, or social class. Many people utilize the color-blind approach, which says, “I treat everyone the same” or “I don’t see people’s skin color.” In this case, the person is showing invisible privilege and thus ignoring the privileges he or she receives because of race, gender, or social class. While it appears this approach would value all people equally, it doesn’t, because people’s different needs, assets, and perspectives are disregarded by not acknowledging differences (Plaut, et. al., 2009).

Another important aspect of power and privilege is the fact that we may have privilege in one area and not another. For example, I am a Caucasian female, which certainly gives me race privilege but not gender privilege. Important to note here is that the idea of power and privilege is not about “white male bashing” but understanding our own stereotypes and systems of advantage so we can be more inclusive with our coworkers, employees, and managers.

So what does this all mean in relation to HRM? It means we can combine the understanding of certain systems that allow for power and privilege, and by understanding we may be able to eliminate or at least minimize these issues. Besides this, one of the best things we can do for our organizations is to have a diverse workforce, with people from a variety of perspectives. This diversity leads to profitability and the ability to better serve customers. We discuss the advantages of diversity in Section 3.1.2 “Why Diversity and Multiculturalism?”.

Human Resource Recall

Take this week to examine your own power and privilege as a result of gender, race, or social class. Notice how people treat you because of your skin color, gender, or how you dress and talk.

Stereotypes and the Effect on Privilege

This video discusses some racial stereotypes and white privilege through “on the street” interviews.


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Section 3.

Treason against the United States, shall consist only in levying war against them, or in adhering to their enemies, giving them aid and comfort. No person shall be convicted of treason unless on the testimony of two witnesses to the same overt act, or on confession in open court.

The Congress shall have power to declare the punishment of treason, but no attainder of treason shall work corruption of blood, or forfeiture except during the life of the person attainted.


Schau das Video: Y Uttryck med variabel (November 2021).