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5.1: Sturm-Liouville-Probleme


5.1.1 Grenzwertprobleme

Wir sind auf mehrere verschiedene Eigenwertprobleme gestoßen, wie zum Beispiel:

[ X''(x)+ lambda X(x)=0]

mit unterschiedlichen Randbedingungen

(X(0)=0~~~~~X(L)=0~~~~~{ m{(Dirichlet)~oder,}})

(X'(0)=0~~~~~X'(L)=0~~~~~{ m{(Neumann)~oder,}})

(X'(0)=0~~~~~X(L)=0~~~~~{ m{(gemischt)~oder,}})

(X(0)=0~~~~~X'(L)=0~~~~~{ m{(gemischt),...}})

Für den isolierten Draht zum Beispiel entsprechen die Dirichlet-Bedingungen dem Anlegen einer Nulltemperatur an den Enden, Neumann bedeutet das Isolieren der Enden usw. Andere Arten von Endpunktbedingungen entstehen natürlich auch, wie die Robin-Randbedingungen

[hX(0)-X'(0)=0~~~~~ hX(L)+X'(L)=0, ]

für eine Konstante (h). Diese Bedingungen treten auf, wenn die Enden in ein Medium eingetaucht werden.

Beim Studium der Wärmegleichung (u_t=ku_{xx}) traten Grenzprobleme auf, als wir versuchten, die Gleichung durch die Methode der Variablentrennung zu lösen. Bei der Berechnung sind wir auf ein bestimmtes Eigenwertproblem gestoßen und haben die Eigenfunktionen (X_n(x)) gefunden. Wir fanden dann die Eigenfunktionszerlegung der Anfangstemperatur (f(x)=u(x,0)) nach den Eigenfunktionen

[f(x)= sum_{n=1}^{infty}c_nX_n(x).]

Nachdem wir diese Zerlegung hatten und geeignete (T_n(t)) gefunden hatten, sodass (T_n(0)=1) und (T_n(t)X(x)) Lösungen waren, war die Lösung des ursprünglichen Problems einschließlich der Anfangsbedingung könnte geschrieben werden als

[u(x,t)=sum_{n=1}^{infty}c_nT_n(t)X_n(x).]

Wir werden versuchen, allgemeinere Probleme mit dieser Methode zu lösen. Zuerst untersuchen wir lineare Gleichungen zweiter Ordnung der Form

[ frac{d}{dx}left( p(x)frac{dy}{dx} ight)-q(x)y+lambda r(x)y=0.]

Im Wesentlichen kann jede lineare Gleichung zweiter Ordnung der Form (a(x)y''+b(x)y'+c(x)y+lambda d(x)y=0) geschrieben werden als (5.1.5 ) nach Multiplikation mit einem richtigen Faktor.

Beispiel (PageIndex{1}): Sturm-Liouville-Problem

Setzen Sie die folgende Gleichung in das Formular (5.1.5) ein:

[x^2y''+xy'+(lambda x^2-n^2)y=0.]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit ( frac{1}{x}), um zu erhalten

[frac{1}{x}(x^2y''+xy'+(lambda x^2-n^2)y)=xy''+y'+ left( lambda x -frac {n^2}{x} ight)y=frac{d}{dx}left( xfrac{dy}{dx} ight)-frac{n^2}{x}y+lambda xy=0.]

Das sogenannte Sturm-Liouville-Problem1 ist die Suche nach nichttrivialen Lösungen für

[ frac{d}{dx}left( p(x)frac{dy}{dx} ight)-q(x)y+lambda r(x)y=0,~~~~~a

Insbesondere suchen wir (lambda)s, die nichttriviale Lösungen ermöglichen. Die (lambda)s, die nichttriviale Lösungen zulassen, heißen Eigenwerte und die entsprechenden nichttrivialen Lösungen heißen Eigenfunktionen. Die Konstanten (alpha_1) und (alpha_2) sollten nicht beide Null sein, dasselbe gilt für (eta_1) und (eta_2).

Satz 5.1.1. Angenommen (p(x), p'(x),q(x)) und (r(x)) seien auf ([a,b]) stetig und (p(x)> 0) und (r(x)>0) für alle (x) in ([a,b]). Dann hat das Sturm-Liouville-Problem (5.1.8) eine zunehmende Folge von Eigenwerten

[lambda_1

so dass

[lim_{n ightarrowinfty} lambda_n= +infty]

und so dass zu jedem (lambda_n) (bis auf ein konstantes Vielfaches) eine einzige Eigenfunktion (y_n(x)) existiert.

Wenn außerdem (q(x) geq 0) und (alpha_1, alpha_2,eta_1, eta_2 geq 0), dann (lambda_n geq 0) für alle (n ).

Probleme, die die Hypothese des Theorems erfüllen, werden reguläre Sturm-Liouville-Probleme genannt, und wir werden hier nur solche Probleme betrachten. Das heißt, ein reguläres Problem ist eines, bei dem (p(x), p'(x),q(x)) und (r(x)) stetig sind, (p(x)>0) , (r(x)>0), (q(x)geq 0), und (alpha_1, alpha_2,eta_1, eta_2 geq 0). Hinweis: Achten Sie auf die Schilder. Achten Sie auch auf die Ungleichungen für (r) und (p), sie müssen für alle (x) streng sein!

Wenn Null ein Eigenwert ist, beginnen wir normalerweise, die Eigenwerte der Einfachheit halber bei (0) anstatt bei (1) zu beschriften.

Beispiel (PageIndex{2}):

Das Problem (y''+ lambda y, 00) und (r(x)1>0 ). Die Eigenwerte sind (lambda_n=frac{n^2 pi^2}{L^2}) und Eigenfunktionen sind (y_n(x)=sin(frac{n pi}{L}x )). Alle Eigenwerte sind nichtnegativ, wie durch das Theorem vorhergesagt.

Übung (PageIndex{1}):

Finden Sie Eigenwerte und Eigenfunktionen für

[y''+lambda y=0,~~~~~y'(0)=0,~~~~~y'(1)=0.]

Identifizieren Sie (p,q,r,alpha_j,eta_j). Können Sie den Satz verwenden, um die Suche nach Eigenwerten zu erleichtern? (Hinweis: Betrachten Sie die Bedingung (-y'(0)=0))

Beispiel (PageIndex{3}):

Finden Sie Eigenwerte und Eigenfunktionen des Problems

[y''+lambda y=0,~~~~~00.]

Diese Gleichungen ergeben ein normales Sturm-Liouville-Problem.

Übung (PageIndex{2}):

Identifizieren Sie (p,q,r,alpha_j,eta_j) im obigen Beispiel.

Beachten Sie zunächst, dass (lambdageq 0) nach Satz 5.1.1. Daher ist die allgemeine Lösung (ohne Randbedingungen)

[ y(x)=Acos(sqrt{lambda}x)+Bsin(sqrt{lambda}x)~~~~~~ m{if~}lambda >0, ]

[ y(x)=Ax + B~~~~~~~~~~~~~~~ m{if~}lambda =0.]

Sehen wir uns an, ob (lambda=0) ein Eigenwert ist: Wir müssen (0=hB-A) und (A=0) erfüllen, also (B=0) (als (h >0)), daher ist (0) kein Eigenwert (keine Lösung ungleich Null, also keine Eigenfunktion).

Versuchen wir nun (h>0). Wir setzen die Randbedingungen ein.

[ 0=hA- sqrt{lambda}B, 0=-Asqrt{lambda}sin(sqrt{lambda})+Bsqrt{lambda}cos(sqrt{ lambda}).]

Wenn (A=0), dann (B=0) und umgekehrt, also beide ungleich Null sind. Also (B=frac{hA}{sqrt{lambda}}), und (0=-A sqrt{lambda}sin(sqrt{lambda})+frac{hA} {sqrt{lambda}}sqrt{lambda}cos(sqrt{lambda})). Als (A eq 0) erhalten wir

[0=-sqrt{lambda}sin(sqrt{lambda})+hcos(sqrt{lambda}),]

oder

[frac{h}{sqrt{lambda}}= ansqrt{lambda}.]

Verwenden Sie nun einen Computer, um (lambda_n) zu finden. Es stehen Tabellen zur Verfügung, obwohl die Verwendung eines Computers oder eines Grafikrechners heutzutage viel bequemer ist. Die einfachste Methode ist, die Funktionen (frac{h}{x}) und ( an(x)) zu zeichnen und zu sehen, für welche sie überschneiden sich. Es gibt unendlich viele Kreuzungen. Bezeichne mit (sqrt{lambda_1}) den ersten Schnittpunkt, mit (sqrt{lambda_2}) den zweiten Schnittpunkt usw. Wenn zum Beispiel (h=1), erhalten wir (sqrt{lambda_1}approx 0,86, sqrt{lambda_2}approx 3,43, ...). Das ist (y_1 ungefähr 0,74, y_2 ungefähr 11,73,...), …. Ein Diagramm für (h=1) ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Die passende Eigenfunktion (der Einfachheit halber sei (A=1) dann (B=frac{h}{sqrt{lambda}})) ist

[y_n(x)=cos(sqrt{lambda_n}x)+frac{h}{sqrt{lambda_n}}sin(sqrt{lambda_n}x).]

Mit (h=1) erhalten wir (ungefähr)

[y_1(x) approx cos(0,86x)+ frac{1}{0,86} sin(0,86x),~~~~~y_2(x) approx cos(3,43x)+ frac {1}{3.43} sin(3.43x),~~~~~....]

Abbildung 5.1: Auftragung von (frac{1}{x}) und ( an x).

5.1.2 Orthogonalität

Wir haben den Begriff der Orthogonalität schon einmal gesehen. Zum Beispiel haben wir gezeigt, dass (sin(nx)) orthogonal für verschiedene (n) auf ([0, pi]) sind. Für allgemeine Sturm-Liouville-Probleme benötigen wir ein allgemeineres Setup. Sei (r(x)) eine Gewichtsfunktion (jede Funktion, obwohl wir im Allgemeinen davon ausgehen, dass sie positiv ist) auf ([a, b]). Zwei Funktionen (f(x)), (g(x)) heißen orthogonal zur Gewichtsfunktion (r(x)), wenn

[int_a^bf(x)g(x)r(x)dx=0.]

In dieser Einstellung definieren wir das innere Produkt als

[ langle f,g angle overset{ m{def}}= int_a^bf(x)g(x)r(x)dx,]

und dann sagen wir, dass (f) und (g) orthogonal sind, wenn (langle f,g angle=0). Die Ergebnisse und Konzepte sind wiederum analog zur endlichdimensionalen linearen Algebra.

Die Idee des gegebenen inneren Produkts ist, dass diejenigen (x), bei denen (r(x)) größer ist, mehr Gewicht haben. Nichttriviale (nichtkonstante) (r(x)) entstehen natürlich, zB durch eine Änderung von Variablen. Daher könnte man sich eine Variablenänderung vorstellen, so dass (dxi =r(x)dx).

Wir haben die folgende Orthogonalitätseigenschaft von Eigenfunktionen eines regulären Sturm-Liouville-Problems.

Satz 5.1.2. Angenommen, wir haben ein normales Sturm-Liouville-Problem

[frac{d}{dx} left( p(x) frac{dy}{dx} ight) -q(x)y+lambda r(x)y=0, alpha_1y(a )- alpha_2y'(a)=0, eta_1y(b)+ eta_2y'(b)=0.]

Seien (y_j) und (y_k) zwei verschiedene Eigenfunktionen für zwei verschiedene Eigenwerte (lambda_j) und (lambda_k). Dann

[int_a^by_j(x)y_k(x)r(x)dx=0,]

dh (y_j) und (y_k) sind orthogonal zur Gewichtsfunktion (r).

Der Beweis ist dem analogen Satz aus § 4.1 sehr ähnlich. Es ist auch in vielen Büchern zu finden, darunter zum Beispiel Edwards und Penney [EP].

5.1.3 Fredholm-Alternative

Wir haben auch den Fredholm-Alternativsatz, über den wir zuvor für alle regulären Sturm-Liouville-Probleme gesprochen haben. Wir geben es hier der Vollständigkeit halber an.

Satz 5.1.3 (Fredholm-Alternative). Angenommen, wir haben ein normales Sturm-Liouville-Problem. Dann entweder

[frac{d}{dx} left( p(x) frac{dy}{dx} ight) -q(x)y+lambda r(x)y=0, alpha_1y(a )- alpha_2y'(a)=0, eta_1y(b)+ eta_2y'(b)=0,]

eine Lösung ungleich Null hat, oder

[frac{d}{dx} left( p(x) frac{dy}{dx} ight) -q(x)y+lambda r(x)y=f(x), alpha_1y(a)- alpha_2y'(a)=0, eta_1y(b)+ eta_2y'(b)=0,]

hat eine eindeutige Lösung für jedes (f(x)) stetig auf ([a,b]).

Dieser Satz wird in ähnlicher Weise wie zuvor in § 4.4 verwendet. Es wird verwendet, um allgemeinere inhomogene Randwertprobleme zu lösen. Das Theorem hilft uns nicht, das Problem zu lösen, aber es sagt uns, wann eine eindeutige Lösung existiert, damit wir wissen, wann wir Zeit damit verbringen müssen, danach zu suchen. Um das Problem zu lösen, zerlegen wir (f(x)) und (y(x)) in die Eigenfunktionen des homogenen Problems und lösen dann nach den Koeffizienten der Reihe für (y(x) ).

5.1.4 Eigenfunktionsreihe

Was wir mit den Eigenfunktionen tun wollen, sobald wir sie haben, ist die Eigenfunktionszerlegung einer beliebigen Funktion (f(x)) zu berechnen. Das heißt, wir möchten schreiben

[f(x)=sum_{n=1}^{infty}c_ny_n(x),]

wobei (y_n(x)) die Eigenfunktionen sind. Wir wollen herausfinden, ob wir jede Funktion (f(x)) auf diese Weise darstellen können, und wenn ja, berechnen wir (Und natürlich möchten wir wissen, ob die Summe konvergiert). OK, stellen Sie sich vor, wir könnten (f(x)) als (5.1.24) schreiben. Wir nehmen Konvergenz und die Fähigkeit an, die Reihe Term für Term zu integrieren. Wegen Orthogonalität haben wir

[ langle f,y_m angle = int_a^bf(x)y_m(x)r(x)dx = sum_{n=1}^{infty}c_n int_a^by_n(x)y_m (x)r(x)dx =c_m int_a^by_m(x)y_m(x)r(x)dx= c_m langle y_m,y_m angle .]

Daher,

[c_m= frac{langle f,y_m angle}{langle y_m,y_m angle}= frac{int_a^bf(x)y_m(x)r(x)dx}{int_a^b (y_m(x))^2r(x)dx}.]

Beachten Sie, dass (y_m) bis auf ein konstantes Vielfaches bekannt sind, also hätten wir ein skalares Vielfaches einer Eigenfunktion wählen können, so dass (langle y_m,y_m angle=1) (wenn wir eine beliebige Eigenfunktion ( ilde{y}_m), dividiere durch (sqrt{langle ilde{y}_m, ilde{y}_m angle})). Für (langle y_m,y_m angle=1) haben wir die einfachere Form (c_m=langle f,y_m angle) wie für die Fourier-Reihe. Der folgende Satz gilt allgemeiner, aber die gegebene Aussage reicht für unsere Zwecke aus.

Satz 5.1.4. Angenommen (f) ist eine stückweise glatte stetige Funktion auf . Wenn (y_1,y_2, ldots) die Eigenfunktionen eines regulären Sturm-Liouville-Problems sind, dann gibt es reelle Konstanten (c_1,c_2, ldots) gegeben durch (5.1.26), so dass (5.1.24 ) konvergiert und gilt für (a

Beispiel (PageIndex{4}):

Nehmen Sie das einfache Sturm-Liouville-Problem

[ y''+ lambda y=0, ~~~~~0

Das obige ist ein reguläres Problem und außerdem wissen wir nach Satz 5.1.1, dass (lambdageq 0).

Angenommen (lambda = 0), dann ist die allgemeine Lösung (y(x)Ax+B), wir setzen die Anfangsbedingungen ein, um (0=y(0)=B) und (0=y'(pi/2)=A), daher ist (lambda=0) kein Eigenwert. Die allgemeine Lösung ist also

[y(x)=Acos(sqrt{lambda}x)+Bsin(sqrt{lambda}x).]

Setzen wir die Randbedingungen ein, erhalten wir (0=y(0)=A) und (0=y'(pi/2)=sqrt{lambda}Bcos(sqrt{lambda} frac{pi}{2})). (B) kann nicht null sein und daher (cos(sqrt{lambda}frac{pi}{2}=0)). Das bedeutet, dass (sqrt{lambda}frac{pi}{2}) ein ungerades ganzzahliges Vielfaches von (frac{pi}{2}) sein muss, also ((2n-1 )frac{pi}{2}=sqrt{lambda_n}frac{pi}{2}). Daher

[lambda_n=(2n-1)^2.]

Wir können (B=1) nehmen. Daher sind unsere Eigenfunktionen

[ y_n(x)= sin((2n-1)x).]

Schließlich berechnen wir

[ int_0^{frac{pi}{2}}(sin((2n-1)x))^2dx=frac{pi}{4}.]

Also kann jede stückweise glatte Funktion auf ([0, pi/2]) geschrieben werden als

[f(x)=sum_{n=1}^{infty}c_nsin((2n-1)x),]

wo

[c_n=frac{langle f,y_n angle}{langle y_n,y_n angle}=frac{int_0^{frac{pi}{2}}sin((2n-1) x)dx}{int_0^{frac{pi}{2}}(sin((2n-1)x))^2dx}= frac{4}{pi} int f(x) sin((2n-1)x)dx.]

Beachten Sie, dass die Reihe gegen eine ungerade (2pi)-periodische (nicht (pi)-periodisch!) Erweiterung von (f(x)).

Übung (PageIndex{3})

Im obigen Beispiel ist die Funktion auf (0

1Benannt nach den französischen Mathematikern Jacques Charles François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882).


Sturm-Liouville-Theorie

In der Mathematik und ihren Anwendungen klassisch Sturm-Liouville-Theorie ist die Theorie der reellen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form:

für gegebene Koeffizientenfunktionen p(x) , q(x) , und w(x) und eine unbekannte Funktion y der freien Variablen x . Die Funktion w(x) , manchmal bezeichnet r(x) , heißt die Gewicht oder Dichte Funktion. Alle linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung lassen sich auf diese Form zurückführen.

Im einfachsten Fall, in dem alle Koeffizienten auf dem endlichen abgeschlossenen Intervall stetig sind [ein,b] und p eine stetige Ableitung hat, heißt eine Funktion y a Lösung wenn es stetig differenzierbar ist auf (ein,b) und erfüllt die Gleichung (1) an jedem Punkt in (ein,b) . (Bei allgemeineren p(x) , q(x) , w(x) , müssen die Lösungen schwach verstanden werden.) Außerdem muss y typischerweise einige Randbedingungen bei a und b erfüllen. Jede solche Gleichung (1) bildet zusammen mit seinen Randbedingungen a Sturm-Liouville (S-L)-Problem.

Der Wert von λ ist in der Gleichung nicht angegeben: Das Finden des λ, für das es eine nicht-triviale Lösung gibt, ist Teil des gegebenen S-L-Problems. Solche Werte von λ werden, wenn sie existieren, als bezeichnet Eigenwerte des Problems, und die entsprechenden Lösungen sind die Eigenfunktionen jedem λ zugeordnet. Diese Terminologie liegt daran, dass die Lösungen den Eigenwerten und Eigenfunktionen eines hermiteschen Differentialoperators in einem geeigneten Funktionsraum entsprechen. Die Sturm-Liouville-Theorie untersucht die Existenz und das asymptotische Verhalten der Eigenwerte, die entsprechende qualitative Theorie der Eigenfunktionen und deren Vollständigkeit im Funktionsraum.

Diese Theorie ist wichtig in der angewandten Mathematik, wo S-L-Probleme sehr häufig auftreten, insbesondere bei trennbaren linearen partiellen Differentialgleichungen. In der Quantenmechanik beispielsweise ist die eindimensionale zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ein S-L-Problem.

Ein Sturm-Liouville-Problem soll sein regulär wenn p(x) , w(x) > 0 , und p(x) , p′(x) , q(x) , w(x) sind stetige Funktionen über das endliche Intervall [ein,b] , und das Problem hat getrennte Randbedingungen der Form:


5.1: Sturm-Liouville-Probleme

11,5 -리우빌 . 직교함수(Sturm-Liouville-Probleme.orthogonale Funktionen)

11.5 Sturm-Liouville-Probleme. Orthogonale Funktionen
11.5절에서는 갑자기 Lineare ODE 2. Ordnung를 푸는데 이것을 푸는 목적은 Orthogonale Menge
을 얻는 것이다. 11.1절에서 배운 Fourier-Reihe는 주기가 인 함수 를 다음
Orthogonaler Satz의 원소들을 이용해서 표현한 것이다.

따라서 를 다른 Orthogonaler Satz의 원소들을 이용해서 표현할수 있는지 없는지 관심을
11,5절과 11,6절에서 .

공학수학(3)에서 Matrix 의 Inverse Matrix가 존재할 필요충분조건은
을 만족하는 것이고 의 Inverse Matrix가 존재하면 연립일차방정식
의 해는 로 유일하다는 것을 배웠다. 지금부터 Kapitel 12까지 이것을
특별한 언급 없이 사용할 것이다.

Aufgabe 11.5.1 다음 ODE가 주어져있다고 하자.

위 ODE가 Sturm-Liouville 형태를 만족함을 보이고 Eigenwert, Eigenfunktion을 구하고
Orthogonalität를 확인하시오.
sol) 로 놓으면

이므로 로 택하면 등식이 성립한다. 그리고 이면
ODE는 Sturm-Liouville .

ODE의 Charakteristische Gleichung은 이고 판별식은 이다.

Fall 1)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면

이때 이므로 Koeffizientenmatrix의 Determinante는

. 따라서 연립방정식의 해는 이므로 Triviale Lösung만 갖는다.

Fall2)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면

. 이때 로 택하면 이므로 Nichttriviale Lösung이 존재한다. 따라서
Eigenwert는 , Eigenfunktion은 이다.

Fall3)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면

이때 Koeffizientenmatrix의 Determinante는

. 만약 이면 연립방정식의 해는 이므로 Triviale Lösung
만 갖는다. 따라서 Eigenfunktion을 얻으려면 을 만족해야 하고 이므로
자연수 에 대하여 이다. 따라서 이다.

그러므로 Eigenwert는 이고 도
주어진 ODE를 만족하므로 Eigenfunktion은 다음과 같다.

이고 은 자연수이므로 삼각함수의 Orthogonalität에 의하면

쉽게 알수 있고 직접 다음이 성립한다는 것도 쉽게 알수 .

따라서 Eigenfunktion은 Orthogonalität를 만족한다. ■

Aufgabe 11.5.2 ODE가 주어져있다고 하자.

위 ODE가 Sturm-Liouville 형태를 만족함을 보이고 Eigenwert, Eigenfunktion을 구하고
Orthogonalität를 확인하시오.
sol) Sturm-Liouville . 조건 이
Sturm-Liouville .

따라서 에서 이므로
는 상수함수이다. 그러므로 즉, 로 택하자. 그러면
이고 에서 이다. 따라서 주어진
ODE는 Sturm-Liouville 만족한다.

주어진 ODE는 Euler-Cauchy-Gleichung이므로 Charakteristische Gleichung은

이고 판별식은 이다.

Fall 1)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면 다음을 얻는다.

이때 이므로 Koeffizientenmatrix의 Determinante는

. 따라서 연립방정식의 해는 이므로 Triviale Lösung만 갖는다.

Fall2)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면 다음을 얻는다.

이므로 연립방정식의 해는 이다. 따라서 Triviale Lösung만 갖는다.

Fall3)
이 경우 해는 이고 초기조건을 대입하면

이므로 이다. Nichttriviale Lösung을 가지려면 이어야 하고
따라서 자연수 에 대하여 이므로 이다. 이때 해는
.

그러므로 Eigenwert는 이고 Eigenfunktion은 로 놓은
. 이므로 이면 치환과
삼각함수의 Orthogonalität에 의해

을 만족한다. 따라서 Eigenfunktion은 Orthogonalität를 만족한다. ■

교재 11,5절 연습문제 14번에서 다음 2개의 Tschebyschew-Polynom을 정의하는데

이름은 Polynom이지만 형태는 Polynom과 거리가 멀어보인다. 따라서 이 음이 아닌 정수일 때 위에서 실제로 가 다항식으로 표현된다는 것을
증명하려고 한다. 일 때 임을 이용하면
일 때 이므로 다항식임이 명백하다.

그러므로 이 자연수일 때 가 위에서 다항식으로
표현된다는 것을 증명하면 충분하다.

Aufgabe 11.5.3 이 자연수일 때 위에서 정의한 가 위에서
다항식으로 표현됨을 증명하시오.
sol) 1)
일 때 다음이 성립한다.

2번째 (1) 또는 공학수학(1)에서 . 따라서 다음을 얻는다.

이고 다항식을 미분한 것도 다항식이므로 유도한 관계식에 의하면 는
다항식임을 쉽게 알수 있다. 몇 개만 구해보면 다음과 같다.

따라서 일 때 가 성립하고 1)에서 는
다항식임을 증명했다. 그러므로 도 다항식이다. ■

이제 를 이용해서 일 때 성립하는 다음 등식을 증명하려고 .

다항식 의 차수를 이라고 하고 최고차항의 계수를 이라고 . 그러면

이므로 이고 이므로 이다. 따라서 이고
이때 관계식에서 우변의 최고차항의 계수는 이다. 그러므로 관계식에서
좌변의 차수는 이고 우변의 차수는 이다.

따라서 이고 이므로 이다. 그러므로 이고
는 차다항식임을 알수 있다. 그리고 이므로 도
차다항식이고 최고차항의 계수도 이다.

이면 이므로 이고
이므로 이다. 따라서 을 얻는다.
, 은 을 만족하는 이때 을 .
그러므로 에 대하여 는 방정식 의 해가
되는데 는 차다항식 이므로 방정식 의 해의 개수는 을 초과할수
. 그러므로 이 방정식 의 모든 해가 되고 는
계수가 인 차다항식 이므로 계수의 관계에 의하면 다음을 .


이제 우변의 식을 조금 더 간단하게 표현해보자. 이 짝수이면 이므로
이고 이 홀수이면 이므로
. 그러므로 이면 다음을 만족한다.


Wirkstofffreisetzung in biologischem Gewebe

Filippo de Monte, . Sid Becker , in Transport in biologischen Medien , 2013

3.6.3.1 Allgemeine physiologische und mathematische Beschreibung

Die Adventitia und das umgebende Gewebe bilden die äußerste Wandschicht und haben eine ausreichend große Ausdehnung, um als semi-unendlich angesehen zu werden. Das klassische SOV-Verfahren führt zu einem Sturm-Liouville-Problem mit unstetigen Koeffizienten und starken spektralen Unregelmäßigkeiten. Die Wirkstoffkonzentration in jeder Schicht zu verschiedenen Zeiten wird in Form einer Fourier-Reihe angegeben, indem dimensionslose Parameter verwendet werden, die den Übertragungsmechanismus über die geschichtete Wand steuern. Allgemein gesagt wird das Problem so entwickelt, dass es eine beliebige Anzahl von arteriellen Gewebeschichten gibt.

Betrachten Sie zunächst eine dünne Gelschicht (mit einer Dicke von l 0 ), die einen Wirkstoff enthält, der einen in die Arterienwand eingebetteten Stent umhüllt [44] . Auch hier beschränken wir unsere Studie auf ein vereinfachtes 1-D-Modell und betrachten nur den Transport vom Stent in die adventitiale Seitenarterienwand. Auf diese Weise wird das Verhalten des Medikaments entlang einer nach außen weisenden Linie betrachtet, die die metallische Strebe, die Beschichtung und die Schichten der Arterienwand durchquert. Betrachten wir in einem allgemeinen 1-D-Gerüst einen Satz von Intervallen [ xi - 1 , xi ] für i = 0 , 1 , 2 , … , n jeweils mit der Dicke li = xi - xi - 1 0) und die Wandschichten (Schichten i = 1 , 2 , … , n ) werden konzeptionell wie in Abb. 3.20 dargestellt, wobei ohne Einschränkung der Allgemeinheit x 0 = 0 als Grenzfläche Beschichtung-Wand angenommen wurde.

Abbildung 3.20. Eine Skizze der geschichteten Wand. Das 1-D-Wandmodell wird entlang der Linie senkrecht zur Strutstentoberfläche definiert und erstreckt sich mit einer Sequenz von nein zusammenhängende Schichten [x i - 1 x i], i = 1 , 2 , … , n von der Polymerbeschichtungsgrenzfläche x 0 = 0 bis zur Wandgrenze x n geschätzt durch die Eindringstrecke d ∗ . ST bezeichnet die die Beschichtung tragende metallische Stentstrebe (Abbildung nicht maßstabsgetreu).

Zum Anfangszeitpunkt (t = 0), ist das Medikament nur im Plasma der Beschichtung enthalten und wird mit einer maximalen, möglicherweise ungleichmäßigen Konzentration C 0 · F 0 (x) mit 0 F 0 (x) ≤ 1 verteilt. Da die metallische Strebe für das Medikament undurchlässig ist, tritt kein Massenfluss durch die Grenzfläche x = -l 0 . Die Dynamik des Wirkstoffs in der Beschichtung (Schicht 0) wird durch eine 1-D-Diffusionsgleichung und zugehörige Anfangsrandbedingungen beschrieben, wie sie durch Gl. (3.68) , wobei nur noch die Anfangsbedingung anders ist, da sie nicht gleichförmig ist.

Wie in [50] berichtet, sind die Konvektions-Reaktions-Terme nur in der Medienschicht relevant, während diese Effekte in den anderen Schichten vernachlässigt werden können. In Abschnitt 3.6.2 wurde jedoch gezeigt, dass ein allgemeineres Modell mit Konvektions-Reaktions-Termen durch eine variable Transformation, nämlich Gl. (3.85) . Aus diesem Grund wird die Arzneimitteldynamik innerhalb der i = 1 , 2 , … , n-Schichten der Arterienwand durch die folgende Diffusionsgleichung und die damit verbundene Anfangsbedingung beschrieben:

wobei D i die effektive Diffusionsfähigkeit des Arzneimittels im Plasma der i-ten Schicht der Arterienwand und c i die ichWirkstoffkonzentration.

An den Grenzflächen zwischen den Schichten der Arterienwand beziehen die Flusskontinuität und die Konzentrationskontinuität die Lösungen der i = 1 , 2 , … , n Schichten aufeinander:

Wie in den vorherigen Beispielen wird die Deckschicht auf der Beschichtung verwendet, um die Wirkstofffreisetzung in die Arterienwand zu verlangsamen. Dieser Effekt tritt in den Grenzflächenbedingungen zwischen der Beschichtung (Schicht 0) und der ersten Gewebeschicht der Arterienwand (Schicht 1) auf, wie durch Gl. (3.70a) und (3.70b) .

Schließlich wird an der Grenze der äußersten Gewebeschicht der Adventitia eine Randbedingung x n auferlegt. Bei der Messung dieser Wandgrenze kommt es zu einigen Kontroversen. Tatsächlich werden in der Literatur unterschiedliche Werte für die Dicke angegeben, die je nach Arteriengröße im Allgemeinen im Bereich von 100 bis 200 µm für eine mittelgroße Arterie liegen [39,40,45,50]. Da die Arterienwand in das umgebende Gewebe eingebettet ist, stoppt der Medikamententransport nicht plötzlich an der äußeren Grenze der Adventitia, sondern schreitet vorwärts in das äußere Gewebe und dringt bis zu einer Tiefe ein, die von der Zeit abhängt, zu der der Prozess abgeschlossen ist beobachtete. Die genaue Reichweite des den Diffusionsprozess einschließenden Bereichs lässt sich prinzipiell nicht abschätzen a priori, und jede Kürzung der Domäne ist ziemlich willkürlich, wenn sie nur aus physiologischen Erwägungen erfolgt.Anstatt die richtige Wanddicke, bei der Konzentration und Massenfluss asymptotisch verschwinden, willkürlich zu erraten, kann tatsächlich ein rigoroserer Ansatz gewählt werden. Dies wird erreicht, indem die äußere Grenze als semi-unendliches Medium modelliert wird, das in perfektem Kontakt mit dem arteriellen Medium steht und einheitliche Eigenschaften hat (gleich denen der letzten Schicht, d. h. der Adventitia), so dass x n → ∞ . Konzentration und Massenfluss als x → ∞ sind endlich (Randbedingung 0. Art oder Beck-Typ siehe Kap. 2 von Lit. [30] ):

Für Rechenzwecke ist es stattdessen möglich, die äußerste Schicht innerhalb einer begrenzten Domäne zu modellieren. Dies ist in der Tat in [61] unter Verwendung des Konzepts der Eindringstrecke d d vorgeschlagen worden. Offensichtlich nimmt der Wert von d mit der Zeit zu, und im Fall eines Verbundschichtsystems hängt die Eindringtiefe von der Dicke und der Diffusionsfähigkeit jeder der Arterienwandschichten ab. Außerdem erhöht es die gewünschte Genauigkeit, zum Beispiel 10 – p, mit p = 1, 2, …, 10. Um die Penetrationsstrecke abzuschätzen, mit der man (mit Fehlern kleiner als 10 - p ) die äußere Begrenzung der äußeren Arterienwandschicht x n bestimmen kann, wird in [60] folgende Abschätzung gegeben:

wobei δ ij das Kronecker-Delta ist.

Somit kann ohne wesentliche Genauigkeitsverluste die n-te semi-infinite Schicht bei der Eindringstrecke x n = d ∗ abgeschnitten werden, und die Randbedingungen der 0. Art (3.95) werden ersetzt durch:

mit einer Genauigkeit von 10 - p . Mit anderen Worten, die Einstellbedingung (3.97) garantiert, dass die Konzentration und der Massenfluss bei d ∗ mit einem Massenverlust vergleichbar mit 10 - p zu einem bestimmten Zeitpunkt verschwinden. In der äußersten n-ten Schicht gelten beide oben genannten Bedingungen, aber die Absorptionsbedingung c n = 0 wird als realistischer erwartet, da die Vasa vasorum der Adventitia ständig mit frischem Blut aufgefüllt werden und alle Arzneimittelreste wegfegen [45] .


Inhaltsverzeichnis

1.2 Herleitung der Wärmeleitung in einem eindimensionalen Stab

1.4 Gleichgewichtstemperaturverteilung

1.4.1 Vorgeschriebene Temperatur

1.5 Herleitung der Wärmegleichung in zwei oder drei Dimensionen

2. Methode der Variablentrennung

2.3 Wärmegleichung mit Nulltemperaturen an endlichen Enden

2.3.2 Trennung von Variablen

2.3.3 Zeitabhängige Gleichung

2.3.4 Grenzwertproblem

2.3.5 Produktlösungen und das Superpositionsprinzip

2.3.6 Orthogonalität von Sinus

2.3.7 Formulierung, Lösung und Interpretation eines Beispiels

2.4 Ausgearbeitete Beispiele mit der Wärmegleichung: Andere Randwertprobleme

2.4.1 Wärmeleitung in einem Stab mit isolierten Enden

2.4.2 Wärmeleitung in einem dünnen Kreisring

2.4.3 Zusammenfassung von Grenzwertproblemen

2.5 Laplace-Gleichung: Lösungen und qualitative Eigenschaften

2.5.1 Laplace&rsquos-Gleichung innerhalb eines Rechtecks

2.5.2 Laplacesche Gleichung für eine kreisförmige Scheibe

2.5.3 Fluidströmung an einem Kreiszylinder vorbei (Lift)

2.5.4 Qualitative Eigenschaften der Laplace-Gleichung

3.2 Aussage des Konvergenzsatzes

3.3 Fourier-Cosinus- und Sinus-Reihen

3.3.2 Fourier-Cosinus-Reihen

3.3.3 Vertretung f(x) von Sinus- und Cosinusserie

3.3.5 Kontinuierliche Fourier-Reihen

3.4 Term-für-Term-Differenzierung von Fourier-Reihen

3.5 Term-für-Term-Integration von Fourier-Reihen

3.6 Komplexe Form von Fourierreihen

4. Wellengleichung: Vibrierende Saiten und Membranen

4.2 Herleitung einer vertikal schwingenden Saite

4.4 Vibrierende Saite mit festen Enden

4.6 Reflexion und Brechung von elektromagnetischen (Licht) und akustischen (Schall-)Wellen

4.6.1 Snellsches Brechungsgesetz

4.6.2 Intensität (Amplitude) von reflektierten und gebrochenen Wellen

4.6.3 Interne Totalreflexion

5. Sturm-Liouville-Eigenwertprobleme

5.2.1 Wärmefluss in einem ungleichförmigen Stab

5.2.2 Kreissymmetrischer Wärmefluss

5.3 Sturm-Liouville-Eigenwertprobleme

5.3.1 Allgemeine Klassifizierung

5.3.2 Reguläres Sturm-Liouville-Eigenwertproblem

5.3.3 Beispiel und Veranschaulichung von Theoremen

5.4 Arbeitsbeispiel: Wärmefluss in einem ungleichförmigen Stab ohne Quellen

5.5 Selbstadjungierte Operatoren und Sturm-Liouville-Eigenwertprobleme

5.7 Arbeitsbeispiel: Schwingungen eines ungleichförmigen Strings

5.8 Randbedingungen dritter Art

5.9 Große Eigenwerte (asymptotisches Verhalten)

5.10 Näherungseigenschaften

6. Numerische Finite-Differenzen-Methoden für partielle Differentialgleichungen

6.2 Endliche Differenzen und abgeschnittene Taylorreihen

6.3.2 Eine partielle Differenzengleichung

6.3.4 Fourier-von-Neumann-Stabilitätsanalyse

6.3.5 Trennung von Variablen für partielle Differenzengleichungen und analytische Lösungen von gewöhnlichen Differenzengleichungen

6.3.7 Inhomogene Probleme

6.3.8 Andere numerische Schemata

6.3.9 Andere Arten von Randbedingungen

6.4 Zweidimensionale Wärmegleichung

6.7.1 Approximation mit nicht orthogonalen Funktionen (schwache Form der partiellen Differentialgleichung)

6.7.2 Die einfachsten dreieckigen Finiten Elemente

7. Höherdimensionale partielle Differentialgleichungen

7.2 Trennung der Zeitvariablen

7.2.1 Vibrationsmembran: Jede Form

7.2.2 Wärmeleitung: Beliebige Region

7.3 Vibrierende rechteckige Membran

7.4 Aussagen und Illustrationen von Sätzen für das Eigenwertproblem 2 φ + λφ = 0

7.5 Greensche Formel, selbstadjungierte Operatoren und mehrdimensionale Eigenwertprobleme

7.6 Rayleigh-Quotient und Laplace-Gleichung

7.6.2 Zeitabhängige Wärmegleichung und Laplacesche Gleichung

7.7 Schwingende kreisförmige Membran- und Bessel-Funktionen

7.7.2 Trennung von Variablen

7.7.3 Eigenwertprobleme (eindimensional)

7.7.4 Besselsche Differentialgleichung

7.7.5 Singuläre Punkte und Besselsche Differentialgleichung

7.7.6 Bessel-Funktionen und ihre asymptotischen Eigenschaften (nahe z = 0)

7.7.7 Eigenwertproblem mit Besselfunktionen

7.7.8 Anfangswertproblem für eine vibrierende kreisförmige Membran

7.7.9 Kreissymmetrischer Fall

7.8 Mehr zu Bessel-Funktionen

7.8.1 Qualitative Eigenschaften von Bessel-Funktionen

7.8.2 Asymptotische Formeln für die Eigenwerte

7.8.3 Nullstellen von Besselfunktionen und Knotenkurven

7.8.4 Reihendarstellung von Bessel-Funktionen

7.9 Laplace-Gleichung in einem Kreiszylinder

7.9.2 Trennung von Variablen

7.9.3 Nulltemperatur an den seitlichen Seiten und an der Unterseite oder Oberseite

7.9.4 Nulltemperatur oben und unten

7.9.5 Modifizierte Bessel-Funktionen

7.10 Sphärische Probleme und Legendre-Polynome

7.10.2 Trennung von Variablen und eindimensionalen Eigenwertproblemen

7.10.3 Zugehörige Legendre-Funktionen und Legendre-Polynome

7.10.4 Radiale Eigenwertprobleme

7.10.5 Produktlösungen, Schwingungsformen und das Anfangswertproblem

7.10.6 Laplace-Gleichung in einem sphärischen Hohlraum

8. Inhomogene Probleme

8.2 Wärmefluss mit Quellen und inhomogenen Randbedingungen

8.3 Methode der Eigenfunktionsentwicklung mit homogenen Randbedingungen (differenzierende Reihe von Eigenfunktionen)

8.4 Methode der Eigenfunktionsentwicklung unter Verwendung der Grünen-Formel (mit oder ohne homogene Randbedingungen)

8.5 Erzwungene Vibrationsmembranen und Resonanz

9. Grüne Funktionen für zeitunabhängige Probleme

9.2 Eindimensionale Wärmegleichung

9.3 Grüne Funktionen für Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen

9.3.1 Eindimensionale stationäre Wärmegleichung

9.3.2 Die Methode der Parametervariation

9.3.3 Die Methode der Eigenfunktionsentwicklung für Greens-Funktionen

9.3.4 Die Dirac-Delta-Funktion und ihre Beziehung zu Greens-Funktionen

9.3.5 Inhomogene Randbedingungen

9.4 Fredholm Alternative und verallgemeinerte grüne Funktionen

9.4.3 Verallgemeinerte Greens-Funktionen

9.5 Green&rsquos-Funktionen für die Poisson&rsquos-Gleichung

9.5.2 Mehrdimensionale Dirac-Delta-Funktion und Greens-Funktionen

9.5.3 Greensche Funktionen nach der Methode der Eigenfunktionsentwicklung und der Fredholm-Alternative

9.5.4 Direkte Lösung von Greens-Funktionen (eindimensionale Eigenfunktionen)

9.5.5 Verwenden von Greens-Funktionen für Probleme mit inhomogenen Randbedingungen

9.5.6 Unendliche Grüns-Funktionen

9.5.7 Green's-Funktionen für begrenzte Domänen unter Verwendung von Infinite Space Green's-Funktionen

9.5.8 Greens-Funktionen für eine halbunendliche Ebene (ja > 0) Verwenden von Infinite Space Greens-Funktionen: Die Methode der Bilder

9.5.9 Grüne Funktionen für einen Kreis: Die Methode der Bilder

9.6 Gestörte Eigenwertprobleme

9.6.3 Vibrierende fast kreisförmige Membran Membran

10. Unendliche Domänenprobleme: Fourier-Transformationslösungen von partiellen Differentialgleichungen

10.2 Wärmegleichung auf einem unendlichen Gebiet

10.3 Fourier-Transformationspaar

10.3.1 Motivation aus Fourier-Reihenidentität

10.3.3 Inverse Fourier-Transformation eines Gaußschen

10.4 Fourier-Transformation und die Wärmegleichung

10.4.2 Fourier-Transformation der Wärmegleichung: Transformationen von Ableitungen

10.4.4 Zusammenfassung der Eigenschaften der Fourier-Transformation

10.5 Fourier-Sinus- und Cosinus-Transformationen: Die Wärmegleichung auf halbunendlichen Intervallen

10.5.2 Wärmegleichung auf einem halbunendlichen Intervall I

10.5.3 Fourier-Sinus- und Cosinus-Transformationen

10.5.4 Transformationen von Derivaten

10.5.5 Wärmegleichung in einem halbunendlichen Intervall II

10.5.6 Tabellen der Fourier-Sinus- und Cosinus-Transformationen

10.6 Ausgearbeitete Beispiele mit Transformationen

10.6.1 Eindimensionale Wellengleichung in einem unendlichen Intervall

10.6.2 Laplacesche Gleichung in einem halbunendlichen Streifen

10.6.3 Laplacesche Gleichung in einer Halbebene

10.6.4 Laplacesche Gleichung in einer Viertelebene

10.6.5 Wärmegleichung in einer Ebene (zweidimensionale Fourier-Transformationen)

10.6.6 Tabelle der Doppel-Fourier-Transformationen

10.7 Streuung und inverse Streuung

11. Grüne Funktionen für Wellen- und Wärmegleichungen

11.2 Grüne Funktionen für die Wellengleichung

11.2.4 Verwenden der Green's-Funktion

11.2.5 Greens-Funktion für die Wellengleichung

11.2.6 Alternative Differentialgleichung für die Green's-Funktion

11.2.7 Infinite Space Green's-Funktion für die eindimensionale Wellengleichung und d&rsquoAlembert's-Lösung

11.2.8 Unendliche Greens-Funktion für die dreidimensionale Wellengleichung (Huygens-Prinzip)

11.2.9 Zweidimensionale Infinite Space Greens-Funktion

11.3 Grüne Funktionen für die Wärmegleichung

11.3.2 Nicht-selbstadjungierte Natur der Wärmegleichung

11.3.4 Adjungierte Grüns-Funktion

11.3.6 Darstellung der Lösung mit Green's-Funktionen

11.3.7 Alternative Differentialgleichung für die Green's-Funktion

11.3.8 Unendliche Greens-Funktion für die Diffusionsgleichung

11.3.9 Greens-Funktion für die Wärmegleichung (halbunendlicher Bereich)

11.3.10 Greens-Funktion für die Wärmegleichung (auf einer endlichen Region)

12. Die Methode der Charakteristiken für lineare und quasilineare Wellengleichungen

12.2 Eigenschaften für Wellengleichungen erster Ordnung

12.2.2 Kennlinienverfahren für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

12.3 Kennlinienmethode für die eindimensionale Wellengleichung

12.3.2 Anfangswertproblem (unendlicher Bereich)

12.4 Semi-unendliche Strings und Reflexionen

12.5 Kennlinienmethode für eine vibrierende Saite fester Länge

12.6 Das Charakteristikverfahren für quasilineare partielle Differentialgleichungen

12.6.1 Merkmalsmethode

12.6.3 Merkmalsmethode (Q=0)

12.7 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

12.7.1 Von der Wellengleichung abgeleitete Eikonal-Gleichung

12.7.2 Lösen der Eikonal-Gleichung in gleichförmigen Medien und reflektierten Wellen

12.7.3 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

13. Laplace-Transformationslösung partieller Differentialgleichungen

13.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation

13.2.2 Singularitäten der Laplace-Transformation

13.2.3 Transformationen von Derivaten

13.3 Grüne Funktionen für Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen

13.4 Ein Signalproblem für die Wellengleichung

13.5 Ein Signalproblem für eine schwingende Saite endlicher Länge

13.6 Die Wellengleichung und ihre Green&rsquos-Funktion

13.7 Inversion von Laplace-Transformationen mit Konturintegralen in der komplexen Ebene

13.8 Lösen der Wellengleichung mit Laplace-Transformationen (mit komplexen Variablen)

14. Dispersionswellen: Langsame Variationen, Stabilität, Nichtlinearität und Störungsmethoden

14.2 Dispersionswellen und Gruppengeschwindigkeit

14.2.1 Wanderwellen und die Ausbreitungsbeziehung

14.3.1 Reaktion auf konzentrierte periodische Quellen mit Frequenz ωf

14.3.2 Green's-Funktion, wenn sich der Modus ausbreitet

14.3.3 Green's-Funktion, wenn sich der Modus nicht ausbreitet

14.3.4 Designüberlegungen

14.5 Gruppengeschwindigkeit II und die Methode der stationären Phase

14.5.1 Methode der stationären Phase

14.5.2 Anwendung auf lineare dispersive Wellen

14.6 Langsam variierende dispersive Wellen (Gruppengeschwindigkeit und Kaustik)

14.6.1 Näherungslösungen dispersiver partieller Differentialgleichungen

14.6.2 Bildung einer Lauge

14.7 Wellen-Hüllkurven-Gleichungen (konzentrierte Wellenzahl)

14.7.2 Linearisierte Korteweg-de-Vries-Gleichung

14.7.3 Nichtlineare dispersive Wellen: Korteweg-deVries-Gleichung

14.7.4 Solitonen und inverse Streuung

14.7.5 Nichtlineare Schrömdinger-Gleichung

14.8 Stabilität und Instabilität

14.8.1 Kurze gewöhnliche Differentialgleichungen und Bifurkationstheorie

14.8.2 Elementares Beispiel für ein stabiles Gleichgewicht für eine partielle Differentialgleichung

14.8.3 Typisches instabiles Gleichgewicht für eine partielle Differentialgleichung und Musterbildung

14.8.5 Leicht instabile dispersive Wellen und die linearisierte komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung

14.8.6 Nichtlineare komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung

14.8.7 Langwellige Instabilitäten

14.8.8 Musterbildung für Reaktions-Diffusions-Gleichungen und die Turing-Instabilität

14.9 Singuläre Störungsmethoden: Mehrere Skalen

14.9.1 Gewöhnliche Differentialgleichung: Schwach nichtlinear gedämpfter Oszillator

14.9.2 Gewöhnliche Differentialgleichung: Langsam veränderlicher Oszillator

14.9.3 Etwas instabile partielle Differentialgleichung auf einem festen räumlichen Bereich

14.9.4 Langsam veränderliches Medium für die Wellengleichung

14.9.5 Langsam variierende lineare dispersive Wellen (einschließlich schwacher nichtlinearer Effekte)

14.10 Singuläre Störungsmethoden: Grenzschichtmethode angepasster asymptotischer Expansionen

14.10.1 Grenzschicht in einer gewöhnlichen Differentialgleichung

14.10.2 Diffusion eines durch Konvektion dominierten Schadstoffs

Antworten auf markierte Übungen


Scipy.integrate.solve_bvp¶

Diese Funktion löst numerisch ein System erster Ordnung von ODEs unter Zweipunkt-Randbedingungen:

Dabei ist x eine 1-D unabhängige Variable, y(x) ist eine N-D vektorwertige Funktion und p ist ein k-D Vektor unbekannter Parameter, der zusammen mit y(x) gefunden wird. Damit das Problem bestimmt werden kann, müssen n + k Randbedingungen vorliegen, d. h. bc muss eine (n + k)-D-Funktion sein.

Der letzte Singularterm auf der rechten Seite des Systems ist optional. Sie ist durch eine n-mal-n-Matrix S definiert, so dass die Lösung S y(a) = 0 erfüllen muss. Diese Bedingung wird während der Iterationen erzwungen, darf also den Randbedingungen nicht widersprechen. Siehe [2] für die Erklärung, wie dieser Term bei der numerischen Lösung von BVPs behandelt wird.

Auch Probleme in einer komplexen Domäne können gelöst werden. In diesem Fall werden y und p als komplex und f und bc als komplexwertige Funktionen angenommen, aber x bleibt reell. Beachten Sie, dass f und bc komplex differenzierbar sein müssen (Erfüllen Sie die Cauchy-Riemann-Gleichungen [4]), andernfalls sollten Sie Ihr Problem für Real- und Imaginärteil separat umschreiben. Um ein Problem in einer komplexen Domäne zu lösen, übergeben Sie eine erste Schätzung für y mit einem komplexen Datentyp (siehe unten).

Parameter Spaß abrufbar

Rechte Seite des Systems. Die aufrufende Signatur ist fun(x, y) oder fun(x, y, p), wenn Parameter vorhanden sind. Alle Argumente sind ndarray: x mit Form (m,), y mit Form (n, m), was bedeutet, dass y[:, i] x[i] entspricht und p mit Form (k,). Der Rückgabewert muss ein Array mit der Form (n, m) und mit dem gleichen Layout wie y sein.

bc abrufbar

Funktion, die Residuen der Randbedingungen auswertet. Die aufrufende Signatur ist bc(ya, yb) oder bc(ya, yb, p), wenn Parameter vorhanden sind. Alle Argumente sind ndarray: ya und yb mit Form (n,) und p mit Form (k,). Der Rückgabewert muss ein Array mit der Form (n + k,) sein.

x array_like, Form (m,)

Anfangsnetz. Muss eine streng ansteigende Folge reeller Zahlen mit x[0]=a und x[-1]=b sein.

ja array_like, Form (n, m)

Anfängliche Schätzung der Funktionswerte an den Netzknoten, die i-te Spalte entspricht x[i] . Bei Problemen in einem komplexen Domänenpass ja mit einem komplexen Datentyp (auch wenn die anfängliche Vermutung rein real ist).

p array_like mit Form (k,) oder None, optional

Anfängliche Schätzung für die unbekannten Parameter. Bei None (Standard) wird davon ausgegangen, dass das Problem nicht von Parametern abhängt.

S array_like mit Form (n, n) oder None

Matrix, die den singulären Begriff definiert. Bei None (Standard) wird das Problem ohne den Singularterm gelöst.

fun_jac aufrufbar oder Keine, optional

Funktion, die Ableitungen von f nach y und p berechnet. Die aufrufende Signatur ist fun_jac(x, y) oder fun_jac(x, y, p), wenn Parameter vorhanden sind. Die Rückgabe muss 1 oder 2 Elemente in der folgenden Reihenfolge enthalten:

  • df_dy : array_like mit Form (n, n, m), wobei ein Element (i, j, q) gleich d f_i(x_q, y_q, p) / d (y_q)_j ist.

  • df_dp : array_like mit Form (n, k, m), wobei ein Element (i, j, q) gleich d f_i(x_q, y_q, p) / d p_j ist.

Hier nummeriert q Knoten, an denen x und y definiert sind, während i und j Vektorkomponenten nummerieren. Wenn das Problem ohne unbekannte Parameter gelöst wird, sollte df_dp nicht zurückgegeben werden.

Wenn fun_jac ist None (Default), werden die Derivate durch die finite Forward Differences geschätzt.

bc_jac aufrufbar oder Keine, optional

Funktion, die Ableitungen von bc bezüglich ya, yb und p berechnet. Die aufrufende Signatur ist bc_jac(ya, yb) oder bc_jac(ya, yb, p), wenn Parameter vorhanden sind. Die Rückgabe muss 2 oder 3 Elemente in der folgenden Reihenfolge enthalten:

  • dbc_dya : array_like mit Form (n, n), wobei ein Element (i, j) gleich d bc_i(ya, yb, p) / d ya_j ist.

  • dbc_dyb : array_like mit Form (n, n), wobei ein Element (i, j) gleich d bc_i(ya, yb, p) / d yb_j ist.

  • dbc_dp : array_like mit Form (n, k), wobei ein Element (i, j) gleich d bc_i(ya, yb, p) / d p_j ist.

Wenn das Problem ohne unbekannte Parameter gelöst wird, sollte dbc_dp nicht zurückgegeben werden.

Wenn bc_jac ist None (Default), werden die Derivate durch die finite Forward Differences geschätzt.

tol Schwimmer, optional

Gewünschte Toleranz der Lösung. Wenn wir r = y' - f(x, y) definieren, wobei y die gefundene Lösung ist, dann versucht der Löser auf jedem Maschenintervall norm(r / (1 + abs(f)) < tol zu erreichen, wobei norm . ist geschätzt in einem quadratischen Mittelwert (unter Verwendung einer numerischen Quadraturformel). Der Standardwert ist 1e-3.

max_nodes int, optional

Maximal zulässige Anzahl der Mesh-Knoten. Bei Überschreitung terminiert der Algorithmus. Standard ist 1000.

ausführlich <0, 1, 2>, optional

Ausführlichkeit des Algorithmus:

  • 0 (Standard) : geräuschlos arbeiten.

  • 1 : Anzeige eines Beendigungsberichts.

  • 2: Anzeige des Fortschritts während der Iterationen.

Gewünschte absolute Toleranz für die Randbedingungsresiduen: bc Wert sollte abs(bc) < bc_tol komponentenweise erfüllen. Ist gleich tol standardmäßig. Bis zu 10 Iterationen sind erlaubt, um diese Toleranz zu erreichen.

Gibt ein Bunch-Objekt mit den folgenden definierten Feldern zurück: Sol PPoly

Gefundene Lösung für y als scipy.interpolate.PPoly-Instanz, ein kontinuierlicher kubischer C1-Spline.

p ndarray oder Keine, Form (k,)

Parameter gefunden. Keine, wenn die Parameter im Problem nicht vorhanden waren.

x ndarray, Form (m,)

ja ndarray, Form (n, m)

Lösungswerte an den Netzknoten.

yp ndarray, Form (n, m)

Lösungsableitungen an den Netzknoten.

rms_residuals ndarray, Form (m - 1,)

Effektivwerte der relativen Residuen über jedes Netzintervall (siehe Beschreibung von description tol Parameter).

Anzahl der abgeschlossenen Iterationen.

Status int

Grund für die Beendigung des Algorithmus:

  • 0: Der Algorithmus ist auf die gewünschte Genauigkeit konvergiert.

  • 1: Die maximale Anzahl von Mesh-Knoten ist überschritten.

  • 2: Bei der Lösung des Kollokationssystems ist ein singulärer Jacobi-Wert aufgetreten.

Mündliche Beschreibung des Kündigungsgrundes.

Erfolg bool

True, wenn der Algorithmus zur gewünschten Genauigkeit konvergiert ( status=0 ).

Diese Funktion implementiert einen Kollokationsalgorithmus 4. Ordnung mit der Residuensteuerung ähnlich [1]. Ein Kollokationssystem wird durch ein gedämpftes Newton-Verfahren mit einer affin-invarianten Kriteriumsfunktion wie in [3] beschrieben gelöst.

Beachten Sie, dass in [1] ganzzahlige Residuen ohne Normierung durch Intervalllängen definiert sind. Ihre Definition unterscheidet sich also um einen Multiplikator von h**0.5 (h ist eine Intervalllänge) von der hier verwendeten Definition.

J. Kierzenka, L. F. Shampine, „A BVP Solver Based on Residual Control and the Maltab PSE“, ACM Trans. Mathematik. Softw., Bd.-Nr. 27, Nummer 3, S. 299-316, 2001.

L. F. Shampine, P. H. Muir und H. Xu, „Ein benutzerfreundlicher Fortran BVP-Solver“.

U. Ascher, R. Mattheij und R. Russell „Numerische Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen“.

Im ersten Beispiel lösen wir Bratus Problem:

Wir schreiben die Gleichung in ein System erster Ordnung um und implementieren ihre Auswertung auf der rechten Seite:

Implementieren Sie die Auswertung der Randbedingungsresiduen:

Definieren Sie das Anfangsnetz mit 5 Knoten:

Dieses Problem hat bekanntlich zwei Lösungen. Um beide zu erhalten, verwenden wir zwei verschiedene Anfangsschätzungen für y. Wir bezeichnen sie mit den Indizes a und b.

Jetzt können wir den Solver ausführen.

Zeichnen wir die beiden gefundenen Lösungen. Wir nutzen den Vorteil, dass die Lösung in Spline-Form vorliegt, um einen glatten Plot zu erzeugen.

Wir sehen, dass die beiden Lösungen eine ähnliche Form haben, sich jedoch im Maßstab erheblich unterscheiden.

Im zweiten Beispiel lösen wir ein einfaches Sturm-Liouville-Problem:

Es ist bekannt, dass eine nicht-triviale Lösung y = A * sin(k * x) für k = pi * n möglich ist, wobei n eine ganze Zahl ist. Um die Normierungskonstante A = 1 festzulegen, fügen wir eine Randbedingung hinzu:

Wir schreiben unsere Gleichung wieder in ein System erster Ordnung um und implementieren dessen Auswertung auf der rechten Seite:

Beachten Sie, dass die Parameter p als Vektor (in unserem Fall mit einem Element) übergeben werden.

Implementieren Sie die Randbedingungen:

Richten Sie das anfängliche Netz ein und raten Sie für y. Unser Ziel ist es, die Lösung für k = 2 * pi zu finden, um zu erreichen, dass wir die Werte von y so setzen, dass sie ungefähr sin(2 * pi * x) folgen:


5.1: Sturm-Liouville-Probleme

Hinweis* : Ich habe diesen Code seit dem Ende meiner Promotion (Dezember 2016) nicht geändert. Es gibt keine Garantien.

Der Zweck dieses Julia-Pakets besteht darin, ein effizientes, schnelles Allzweck-Differential-Eigenwert-Lösungspaket bereitzustellen, das das kanonische Intervall sowie semi-infinite und unendliche Domänen für Sturm-Liouville-Probleme unterstützt. Der folgende Algorithmus verwendet das Double Exponential Sinc-Collocation-Verfahren. Dieses Paket ermöglicht es dem Benutzer, andere Domänen zu berücksichtigen, indem eine neue Instanz des SincFun-Typs Domäne deklariert wird.

Die Primärfunktion dieses Moduls berechnet die Eigenwerte eines allgemeinen Sturm-Liouville-Problems der Form:

In diesem Algorithmus verwenden wir die von Eggert et al. in Referenz [1]. Diese Transformation führt zu einem symmetrischen verallgemeinerten Eigenwertproblem definiert als:

Siehe Referenz [2] für weitere Details der Form von qtilde(x) und ρtilde(x) .

Der Typ Domain wird verwendet, um aus den konformen Abbildungen abhängig von der Domäne des Problems und der Zerfallsrate der Lösung von P1 auszuwählen.

Für S-L-Probleme auf einem endlichen Gebiet I=(a,b) mit algebraischem Zerfall an den Endpunkten: Gebiet = Endlich(a,b) .

Für S-L-Probleme auf einem unendlichen Gebiet I=(-∞,∞) mit algebraischem Zerfall an den Endpunkten: Gebiet = Infinite1() .

Für S-L-Probleme auf einem unendlichen Gebiet I=(-∞,∞) mit einfach-exponentiellem Zerfall an den Endpunkten: Gebiet = Infinite2() .

Für S-L-Probleme auf einem semi-infiniten Gebiet I=(0,∞) mit einfach-exponentiellem Zerfall im Unendlichen und algebraischem Zerfall bei 0: Domain = SemiInfinite1() .

Um dieses Paket zu verwenden, schreibt einmal einfach:

Die Hauptfunktion dieses Pakets ist SincEigen . Diese Funktion berechnet die Eigenwerte des Sturm-Liouville (P1) unter Verwendung der doppelt exponentiellen Sinc-Kollokationsmethode. Für optimale Ergebnisse lohnt es sich, eine asymptotische Analyse der Lösung von P2 durchzuführen. Die resultierende Analyse führt zu den folgenden Schranken für Konstanten βL,βR,γL,γR>0 :

Die Parameter βL, βR, γL, γR werden bei der Berechnung der Maschenweite h für die DESCM verwendet.

Ein weiterer wichtiger Parameter bei der Berechnung der Maschenweite für die DESCM ist die Breite d des Streifens D_ . Sei S die Menge der komplexen Singularitäten der Funktionen qtilde(x) und ρtilde(x) : S = < z ∈ C : qtilde(z) bzw. ρtilde(z) existiert nicht.>bezeichne s den positiven Imaginärteil von nächste Singularität zur reellen Achse: s = min | Ich bin | , dann d = min < π/2max<γl,γr>, s > .

Das Ergebnis der Verwendung der Hauptfunktion SincEigen ist ein DESincEig.SincResults-Objekt, das fünf verschiedene Komponenten enthält.

Angenommen, wir sind daran interessiert, die Eigenwerte der Laguerre-Gleichung zu berechnen:

Wir verwenden die Paketfunktion SincEigen, um die Eigenwerte zu berechnen:

Angenommen, wir sind daran interessiert, die Energieeigenwerte E der Schrödinger-Gleichung zu berechnen:


Zur Eigenstruktur eines Sturm-Liouville-Problems mit einer Impedanzrandbedingung.

Strukturelle Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Sturm-Liouville-Problems mit einer Impedanzrandbedingung werden hier untersucht. Dies führt zu einer Robin-Randbedingung mit einem komplexen Randparameter. Den Schwerpunkt der vorliegenden Untersuchung bildet die Abbildung von Neumann-auf-Dirichlet-Eigenproblemen, die sich ergibt, wenn der komplexe Randparameter von Null bis zum Punkt im Unendlichen entlang einer festen Richtung in der komplexen Ebene variiert. Verschiedene Eigenschaften des Spektrums und Modalfunktionen werden untersucht.

AMS-Fachklassifizierung: 34B24, 34L05, 34M25. Schlüsselwörter: Sturm-Liouville-Problem, Impedanzrandbedingung, nicht-selbstadjungiertes Randwertproblem.

Hier untersuchen wir die Eigenstruktur des Sturm-Liouville-Randwertproblems (SL-BVP) mit einer Impedanz-Randbedingung (IBC)

u"(x) + [lambda] xu(x) = 0, 0 < x < L, u'(0) - [sigma] xu(0) = 0, u'(L) + [sigma] xu(L ) = 0. (1.1)

Es wird angenommen, dass der komplexe Randparameter [sigma] = [[sigma].sub.R] + [??] x [[sigma].sub.I] an beiden Enden des Intervalls J = [0, L]. Die Aufmerksamkeit wird auf diesen Fall beschränkt, da er für die Erweiterung der Ergebnisse für die Eigenstruktur des gleichseitigen Dreiecks [4, 5] von reellen auf komplexe Werte von [sigma] am relevantesten ist, was die Motivation für den vorliegenden Fall liefert. dimensionale Studie.

Fig. 1 veranschaulicht das Problem des Parallelplattenwellenleiters, das zur SL-BVP, Gleichung (1.1) führt. Entweder eine akustische [8, S. 485-496] oder eine elektromagnetische [3, S. 81-84] zeitharmonische Welle der Kreisfrequenz [omega] breitet sich in der z-Richtung ohne Feldvariation in der y-Richtung aus. Der komplexe Materialparameter &sgr; hängt mit der Wandimpedanz zusammen, die für das Eindringen des Feldes in die Wände des Wellenleiters verantwortlich ist. Nachdem der SL-BVP nach dem Eigenwert [lambda] und der dazugehörigen Eigenfunktion (Mode) u(x) aufgelöst wurde, kann das reelle physikalische Feld rekonstruiert werden als

Dieselbe SL-BVP entsteht bei der Untersuchung der schwingenden Saite mit seitlicher Verschiebung der Endstützen [6, S. 133-134].

Ein Großteil der aktuellen mathematischen Literatur, die SL-BVPs gewidmet ist, beschäftigt sich hauptsächlich mit dem selbstadjungierten Fall [1, 10]. Jedoch ist der durch Gleichung (1.1) beschriebene SL-BVP für komplexe Werte von [sigma] nicht selbstadjungiert. Glücklicherweise liefert [2, S. 298-305] eine klassische Referenz zum nicht-selbstadjungierten Fall, wo gezeigt wird, dass sich dieses Problem auf das Studium der Lösungen einer einzigen transzendenten Gleichung reduziert.

Im Folgenden werden wir diese transzendente Gleichung herleiten und erschöpfend studieren. Der Hauptfokus wird darauf liegen, was mit der Eigenstruktur des Neumann-Problems ([Sigma] = 0) passiert, wenn [Sigma] entlang von Strahlen verläuft, die vom Ursprung zum Punkt im Unendlichen in der komplexen Ebene ausgehen. Wir werden feststellen, dass es zum größten Teil eine natürliche Homotopie gibt, die die Neumann-Moden mit denen eines entsprechenden Dirichlet-Problems verbindet (IBC-Dirichlet-Moden). Wir werden jedoch zeigen, dass es unter geeigneten Bedingungen zwei Neumann-Eigenwerte gibt, die kein Dirichlet-Gegenstück haben. Die Bestimmung der genauen Natur dieser letztgenannten Eigenwerte zusammen mit der ihrer entsprechenden Eigenfunktionen ("fehlende Moden") ist das Hauptanliegen der vorliegenden Untersuchung.

2. Lösung des Sturm-Liouville-Problems

Ohne die Randbedingungen ist die allgemeine Lösung von Gleichung (1.1) (1

u(x) = cos (v[pi]x/L - ), = [(v[pi]/L)²). (2.1)

Anwendung der Randbedingung bei x = 0 ergibt

während die Auferlegung der Randbedingung bei x = L ergibt

tan (v[pi] - [delta]) = [sigma]L/v[pi]. (2.3)

Gleichungen (2.2) und (2.3) können kombiniert werden, um die transzendente Gleichung zu erzeugen

(2[ + n[) tan ([) = L, v = 2[/[ + n (2,4)

Beachten Sie, dass in Gleichung (1.1) bei [sigma] [rechter Pfeil] 0 das Neumann-Problem u'(0) = 0 = u'(L) wiederhergestellt wird, dessen Lösung u(x) = [Nn ](x) := cos (n[pi]x/L), ergibt sich aus Gleichung (2.4) mit = 0 [??] v = n. Somit können wir [sigma] gewinnbringend als Fortsetzungsparameter betrachten, der eine Homotopie liefert, die sich von diesem wohlverstandenen Problem bis zu der der Impedanzrandbedingung erstreckt. Bei der weiteren Entwicklung werden wir uns diese wichtige Beobachtung zunutze machen.

Beachten Sie außerdem, dass, wenn die normale Ableitung beschränkt bleibt, dann [sigma] [rechter Pfeil] [unendlich] das Dirichlet-Problem u(0) = 0 = u(L) liefert, dessen Lösung u(x) = [+ oder - ][D.sub.[n[+ oder -]1](x) := [+ oder -] sin ((n [+ oder -] 1)[pi]x/L), ergibt sich aus Gleichung (2.4 ) mit &dgr; = [+ oder –][pi] 2) v = n [+ oder –] 1. In diesem Fall kann die Homotopie weiter erweitert werden, um von einem Neumann-Modus zu einem entsprechenden Dirichlet-Modus zu führen. Wie nachfolgend gezeigt wird, ist dies für die Impedanz-Randbedingung in der Regel, aber keineswegs immer der Fall.

Die Einführung von z : = [delta] + n[pi]/2 in Gleichung (2.4) reduziert sie auf

wenn n ungerade ist. Diese beiden Fälle können dann getrennt von der grafischen Darstellung ihrer jeweiligen komplexen Transformationen untersucht werden [8, S. 909].

Im Fall des gleichseitigen Dreiecks [4, 5], das unser Endziel ist, ist eine solche Reduktion jedoch nicht verfügbar. Daher wird Gleichung (2.4) selbst mit MATLAB numerisch approximiert. Dies ermöglicht es uns, Trajektorien in der komplexen &dgr;-Ebene oder äquivalent in der komplexen v-Ebene zu verfolgen, wenn der komplexe Randparameter &sgr; variiert wird.

Wie in Abbildung 2 gezeigt, werden wir beginnend mit [sigma] = 0 (das Neumann-Problem) erlauben, dass sich [sigma] entlang eines Strahls bewegt, der unter einem Winkel [theta] zur Horizontalen zum Punkt im Unendlichen geneigt ist. Wir können dann die Trajektorie jedes Neumann-Eigenwerts verfolgen, um zu bestimmen, ob er sich schließlich einem Dirichlet-Eigenwert nähert (in diesem Fall wird er als IBC-Dirichlet-Modus bezeichnet) oder ins Unendliche wandert (in diesem Fall wird er als "fehlendes" bezeichnet) Modus"). Wir werden schließlich feststellen, dass dies die einzigen zwei möglichen Arten von asymptotischem Verhalten sind.

3. Eigenschaften der SL-BVP/IBC-Lösung

Bevor wir eine Taxonomie der asymptotischen Natur der Eigenstruktur unseres SL-BVP mit einem IBC als [sigma] [rechter Pfeil] [unendlich] erstellen (zu diesem Zeitpunkt werden die mysteriösen Symbole in Abbildung 2 verständlich), müssen wir it Katalogisieren Sie zunächst einige wichtige Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen von Gleichung (1.1).

Wir beginnen mit der Beobachtung, dass wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit unsere Aufmerksamkeit auf den Fall Im([sigma]) [größer oder gleich] 0 beschränken können, da wir durch komplex Konjugierte in Gleichung (2.4) finden, dass [ Sigma] [??] [bar.[sigma]] [??] [delta] [??] [bar.[delta]] [??] v [??] [bar.v]. Somit können wir für den Fall, dass Im([sigma]) < 0 ist, Trajektorien entweder in der &dgr;-Ebene oder in der v-Ebene durch Spiegelung der entsprechenden Trajektorien für [bar.[sigma]] an der reellen Achse erhalten.

Darüber hinaus zeigt die Verwendung von komplexen Konjugierten in Gleichung (1.1) selbst, dass [sigma] [??] [bar.[sigma]] [??] [lambda] [??] [bar.[lambda]] =: [mu] , u(x) [??] [bar.u](x) =: v(x) wobei [mu] und v(x) die Lösung des adjungierten Randwertproblems bilden

Da der SL-BVP für komplexes [sigma] nicht selbstadjungiert ist, können die Eigenwerte und Eigenfunktionen komplex sein und vor allem sind Eigenfunktionen, die verschiedenen Eigenwerten entsprechen, nicht notwendigerweise orthogonal in Bezug auf das komplexe innere Produkt < f(x) g(x) >:= [[Integral L 0] f(x) [bar.g](x) dx. Wir haben jedoch die Bioorthogonalitätsbeziehung, die die Eigenfunktionen des Randwertproblems Gleichung (1.1) und die des adjungierten Randwertproblems Gleichung (3.1) umfasst,

< [up](x), [v.q](x) >:= [[Integral].sup.L.0] [up](x)[[ bar.v].q](x) dx = 0. (3.2)

Damit erhalten wir wiederum die Eigenfunktionsentwicklung

f(x) = [[unendlich].Summation über (k=1)] < f(x), [vk](x) > [uk](x), (3.3)

wobei die Reihe im Mittel für f(x) [Mitglied von] [L²](0, L) [2, S. 310-312] konvergiert.

Wir haben bereits über die Gleichungen (2.5) und (2.6) gesehen, dass sich die Moden natürlich nach der Parität von n aufteilen. Diese Tatsache wird unterstrichen durch

Satz 1 Die Moden mit gerader/ungerade Nummern sind symmetrisch bzw. antisymmetrisch auf dem Intervall [0, L] für alle Werte von [sigma].

Beweis. Gleichung (3) kann umformuliert werden als [un](x) = cos (v[pi]/L (x – L/2) + n[pi/2). Wenn also n gerade/ungerade ist, dann ist [u n](x) ein Kosinus bzw. ein Sinus, der bei x = L/2 zentriert ist.

Im Fall von reellem [sigma] wurde die Eigenstruktur des SL-BVP mit einem durch Gleichung (1.1) definierten IBC in [9, S. 90-98] erschöpfend behandelt. Als Sprungbrett für die Untersuchung des Falles von komplexem [Sigma] im nächsten Abschnitt besprechen wir hier die Höhepunkte dieser Ergebnisse.

Wenn [sigma] reell ist, ist das Problem selbstadjungiert, so dass die Eigenwerte reell sind und die Eigenfunktionen auch reell gewählt werden können. Darüber hinaus sind Eigenfunktionen, die verschiedenen Eigenwerten entsprechen, orthogonal in Bezug auf das reelle innere Produkt < f(x) g(x) >: = [[Integral L 0] f(x) g(x) dx. Wegen ihres sehr unterschiedlichen Verhaltens behandeln wir die Fälle [sigma] [größer gleich] 0 und [sigma] < 0 getrennt. Wir werden schließlich sehen, dass sie zusammengenommen die charakteristischen Verhaltensweisen zeigen, die im allgemeinen Fall von Komplex [Sigma] gezeigt werden.

Die Abhängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen von &sgr; bezeichnen wir im Folgenden mit [&lgr;lambda].sub.n]([sigma]) = [(v([sigma])[pi]/L).sup. 2] bzw. un(x [sigma]) für n = 0, 1, . Der Index n wird so gewählt, dass er sich bei &sgr; = 0 auf die entsprechenden Werte für das Neumann-Problem reduziert, [dn](0) = 0 [??] [vn](0) = n und [u n](x 0) = [N n] (x) := cos(n[pi]x/L). Auch das Dirichlet-Problem hat die gleichen Eigenwerte [&lgr;]n](0) aber mit der Einschränkung n = 1, 2, . und ihre entsprechenden Eigenfunktionen werden mit un(x 0) = [D n](x) := sin(n[pi]x/L) bezeichnet.

4.1. Der Fall [sigma] [größer oder gleich] 0

Der Fall der Strahlungsrandbedingung (&sgr; > 0) ist bei weitem der einfachste, da die Eigenwerte nicht nur reell, sondern tatsächlich alle positiv sind. Außerdem gilt n < [[upsilon]sub.n]([sigma]) < n + 1. Es besitzt auch das einfachste asymptotische Verhalten insofern

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.].(4.1)

Das heißt, der Neumann-Modus [Nn](x) "verwandelt" sich analytisch in den Dirichlet-Modus [Dn+1](x), da [sigma] von 0 bis [unendlich] reicht. Dies ist in Abbildung 3 dargestellt, die diese Homotopie zwischen Grundmoden (n = 0) für 0 [kleiner oder gleich] [Sigma] [kleiner oder gleich] –[unendlich] zeigt.

Der Fall der absorbierenden Randbedingung (&sgr; < 0) ist insofern komplizierter, als die Eigenwerte, solange sie noch reell sind, nicht mehr alle positiv sind. Für n = 2, 3, . wir haben n - 1 < [vn]([sigma]) < n. Diese sogenannten IBC-Dirichlet-Modi besitzen das einfache asymptotische Verhalten von

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.]. (4.2)

Das heißt, der Neumann-Modus [Nn](x) "verwandelt" sich analytisch in den Dirichlet-Modus - [Dn-1](x), da [sigma] von 0 bis -[unendlich] reicht. Dies ist in Abbildung 4 dargestellt, die diese Homotopie zwischen [N.sub.2](x) und -[D.sub.1](x) für 0 [größer oder gleich] [sigma] [größer oder gleich . zeigt zur Unendlichkeit].

Dies lässt den Fall der "fehlenden Moden" n = 0, 1 offen. Da es für n = -1, 0 keine Dirichlet-Moden gibt, haben wir offensichtlich nicht das einfache asymptotische Verhalten, das durch Gleichung (4.2) beschrieben wird. Somit stehen wir vor der Frage: "Was passiert mit den fehlenden n = 0, 1 Moden als [Sigma] [Rechtspfeil] -[Unendlich]?". Die Lösung des Mysteriums der fehlenden Moden zerfällt natürlich in zwei Spezialfälle, die wir nun jeweils separat untersuchen.

Für n = 0 ist [v.sub.0]([sigma]) rein imaginär und folglich ist [[lambda].sub.0]([sigma]) negativ. Insbesondere für [sigma] [rechter Pfeil] -[unendlich],

[[delta]sub.0]([sigma]) [ungefähr gleich] – [sigma]L/2 x [??] [v.sub.0]([sigma]) [ungefähr gleich] – [ sigma]L/[pi] x [??] [??] [u.sub.0](x [sigma]) [ungefähr gleich] cosh (-[sigma]x + [sigma]L/2). (4.3)

Dieser asymptotische Ausdruck für [u.sub.0](x [sigma]) wird als [sigma] [rechter Pfeil] -[unendlich] unbegrenzt. Wenn wir ihn jedoch zuerst nach seinem Wert an einem Endpunkt, cosh (&sgr;L/2) skalieren, stellen wir fest, dass dieser normalisierte Modus sich 1 an den beiden Endpunkten und 0 an anderer Stelle nähert. Ein solches singuläres Begrenzungsverhalten, das notwendig ist, da es sich nicht einem Dirichlet-Modus annähert, ist in Abbildung 5 prominent dargestellt.

Für n = 1 nimmt [[nu]sub.1]([sigma]) zunächst zusammen mit [sigma] ab, bis es verschwindet, wenn [sigma] = -2/L. Speziell,

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] (4.4)

Wenn wir jedoch zuerst [u.sub.1](x[Sigma]) mit seinem Wert am Endpunkt x = 0, cos ([Delta]) skalieren, finden wir, dass sich dieser normalisierte Modus der Geraden [u.sub .1](x -2/L) = 1 - 2/L x x.

Da [sigma] weiter abnimmt, haben wir für [sigma] < – 2/L reines imaginäres [[delta]sub.1]([sigma]) + [pi]/2, wodurch ein [v.sub. 1]([sigma]), was ebenfalls rein imaginär ist und folglich [[lambda].sub.1]([sigma]) negativ wird. Insbesondere für [sigma] [rechter Pfeil] -[unendlich],

[[delta]sub.1]([sigma]) [ungefähr gleich] – [pi]/2 – [sigma]L/2 [??] [??] x [v.sub.1]([ Sigma]) [ungefähr gleich] – [sigma]L/[pi] x [??] [u.sub.1](x) [ungefähr gleich] [??] x sinh ([sigma]x – [ sigma]L/2). (4.5)

Dieser asymptotische Ausdruck für [u.sub.1](x [sigma]) wird als [sigma] [rechter Pfeil] -[unendlich] unbegrenzt. Wenn wir ihn jedoch zuerst mit seinem Wert am Endpunkt x = 0, [??] x sinh (-[sigma]L/2) skalieren, stellen wir fest, dass dieser normalisierte Modus sich links [+ oder -]1 nähert- /rechter Endpunkt bzw. 0 an anderer Stelle. Die resultierende unbeschränkte Ableitung, die notwendig ist, da sie sich nicht einem Dirichlet-Modus nähert, ist in Abbildung 6 ersichtlich.

5. Der Fall von Komplex [Sigma]

Im Fall von komplexem &sgr; ist, wie bereits erwähnt, der durch Gleichung (1.1) definierte SL-BVP nicht selbstadjungiert und die Eigenstruktur ist folglich komplex. Definieren der Residuenfunktion von Gleichung (2.4) als

[[rho]n]([Delta] [Sigma]) = |(2[Delta] + n[pi]) tan ([Delta]) - [Sigma]L| (5.1)

wir bemerken, dass die gesuchten Eigenwerte durch ihre lokalen Minima bestimmt werden. Als nächstes definieren Sie

[sigma] = r x [e x [theta]] mit festem [theta] und 0 [kleiner oder gleich] r [kleiner oder gleich] + [unendlich]. (5.2)

Fig. 7, die ein Konturdiagramm von [[rho]n] ist, zeigt die resultierende Trajektorie in der -Ebene für n = 0, wenn r mit = /4 variiert. Wie im realen Fall mit [größer oder gleich] 0, variiert von 0 bis /2, erst jetzt macht es eine Exkursion in die komplexe Ebene statt entlang der reellen Achse. Das begleitende Morphing des komplexen Modus von [N.sub.0](x) zu [D.sub.1](x) wird durch Abbildung 8 explizit gemacht.

Abbildung 9 zeigt die entsprechenden Trajektorien, diesmal in der [nu]-Ebene, für die ersten vier Moden über den gesamten Wertebereich 0 [kleiner oder gleich] [theta] [kleiner oder gleich] [pi] . Wie aus jedem dieser Diagramme ersichtlich ist, tritt für einige Werte des &thgr;-Modus Morphing auf, dh [&lgr;]n]([sigma]) [rechter Pfeil] [&lgr;]n[+ oder -]1](0), (IBC-Dirichlet-Modi), während wir für andere Werte von [theta] beobachten |[[lambda].sub.n]([sigma])| observe [Pfeil nach rechts] [unendlich] (fehlende Modi). Wir werden unsere verbleibenden Bemühungen der Klärung dieses asymptotischen Verhaltens widmen.

Um dies zu erreichen, benötigen wir detaillierte Kenntnisse über die Eigenschaften von Trajektorien in der v-Ebene. Wir beginnen mit

Satz 2 1. Sei [[delta]n](r) = [[delta]Rn] (r) + [??] x [[delta]I.sub .n](r) und [vn](r) = [vRn] (r) + [??] x [vIn]( R). Dann haben die Trajektorien [&dgr;n](r) und [vn](r) die gleiche Steigung.

(a) Wenn n [ungleich] 0 ist, dann bildet die Trajektorie [vn](r) einen Winkel &thgr;, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse bei [vn](0) = n.

(b) Wenn n = 0, dann bildet die Trajektorie [v.sub.0](r) einen Winkel [/2, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse bei [v.sub.0](0) = 0.

2. Als r [rechter Pfeil] [unendlich], entweder [v n](r) [rechter Pfeil] n [+ oder -] 1 oder |[v n](r)| [Pfeil nach rechts] [unendlich].

(a) wenn [v n] (r) [rechter Pfeil] n [+ oder -] 1 ist, dann bildet die Trajektorie [v n] (r) einen Winkel [pi] – [theta], gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse bei [v.sub.n](1) = n [+ oder -] 1.

(b) wenn |[vn](r)| [Pfeil rechts] [unendlich] dann geht die Trajektorie [vn](r) in einem Winkel [theta] - [pi]/2 gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse als r [rechter Pfeil] [unendlich ].

1. Da [v'n](r) = 2/&pgr; x [&dgr;''n](r) haben beide Trajektorien eine Steigung [&dgr;I'&sub1; n](r) = [&dgr;R'n](r).

(a) r = 0 [??] [sigma] = 0, so dass Gleichung (2.4) [[delta]n](0) = 0) [[nu]n](0) = . ergibt n. Einsetzen von Gleichung (5.2) in Gleichung (5.3) mit anschließender Differenzierung nach r Ausbeuten

Somit ist [[delta]'n](0) = [Le[??][theta]]/n[pi] [??] tan [leere Menge] := [[delta]. I'n] (0)/[[Delta]R'n](0) = tan [Theta] [??] [Leere Menge] = [Theta].

(b) Für n = 0 erzeugt Gleichung (5.3) [[delta]'.sub.0](0) = [unendlich], so dass die Steigung tan [leere Menge] := [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] ist unbestimmt. Nach Gleichung (5.3)

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.].

Somit ist tan [leere Menge] = tan ([theta] – [leere Menge]) [??] [leere Menge] = [theta]/2.

2. Als r = |[sigma]| [Pfeil nach rechts] [unendlich], Gleichung (2.4) impliziert eindeutig, dass entweder [[delta]n](r) [Pfeil rechts] [+ oder -] [pi]/2, in welchem ​​Fall [v.sub .n](r) [Pfeil rechts] n [+ oder -] [unendlich] oder |[[Delta].sub.n](r)| [Pfeil nach rechts] [unendlich], in diesem Fall |[v.sub.n](r)| [Pfeil nach rechts] [unendlich].

(a) Wenn [[delta].sub.n](r) [rechter Pfeil] [+ oder -] [pi]/2 dann [[nu].sub.n](r) [rechter Pfeil] n [+ oder –] 1 und [&dgr;' n](r) [rechter Pfeil] 0 durch die Gleichungen (2.4) bzw. (5.3). Somit gilt als r [rechter Pfeil] [unendlich], [[delta]'n](r) [rechter Pfeil] [[epsilon].sub.1] [esup.[??][leere Menge ]] und [[delta]n](r) [rechter Pfeil] [+ oder –] [pi]/2 [+ oder –][[epsilon]2][e[? ?][leere Menge]] wobei [[leere Menge].sub.1], [[epsilon].sub.2] [rechter Pfeil] 0. Ein Vergleich der Argumente beider Seiten von Gleichung (5.3) zeigt, dass [leer Menge] = [Theta] + 2[Leere Menge] [??] [Leere Menge] = -[Theta].

(b) Wenn |[[delta]n](r)| [Pfeil nach rechts] [unendlich] dann tan ([[Delta].sub.n](r)) [Pfeil nach rechts] [??]. Einsetzen in Gleichung (2.4) und Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil ergibt 2[&dgr;Rn] [rechter Pfeil] rL sin (&thgr;) und –2[&dgr;I n] [Pfeil rechts] rL cos (&thgr;). Somit ist [&dgr;I n](r)/[&dgr;Rn] (r) [rechter Pfeil] –cot (&thgr;) = tan (&thgr; ] - [phi]/2).

Kommen wir nun zu 9 zurück, beachten Sie die folgenden wichtigen strukturellen Merkmale. Für die Moden n = 0 und n = 1 gibt es einen kritischen Winkel [&thgr; – n] derart, dass für &thgr; < [&thgr; – n] gilt das Modus-Morphing [Nn](x) [??] [Dn+1](x), während für &thgr; > [&thgr; – n], Mode n fehlt im zuvor definierten Sinne als r [Pfeil rechts] 1. Für alle anderen Moden n [kleiner oder gleich] 2 gibt es zwei Grenzwinkel [ – n] und [&thgr; + n]. Für [theta] < [[theta] – n] haben wir das Modus-Morphing [N n](x) [??] [D n+1](x) und für [theta] > [[theta]+n] haben wir das Modus-Morphing [Nn](x) [??] -[Dn-1](x) als r [Pfeil nach rechts] [unendlich]. Im Zwischenbereich [&thgr; – n] < &thgr; < [&thgr; + n] fehlt der Modus n als r [rechter Pfeil] [unendlich].

Unser nächstes Ergebnis betrifft die Trajektorien an diesen kritischen Winkeln.

Satz 3 1. Die kritischen Trajektorien besitzen alle eine Ecke in der &dgr;-Ebene an den Wurzeln der Funktion

[[tau]sub.n]([delta]) := sin (2[delta]) + 2[delta] + n[pi]: (5.4)

Die kleinste Wurzel mit Re([[] – n]) > 0 entspricht [ – n] und die kleinste Wurzel mit Re([[] with + n]) < 0 entspricht [&thgr; + n].

2. Alle diese Ecken der kritischen Trajektorien sind 90°.

3. Im Spezialfall = –[, n = 1, liegt die Ecke bei [ = /2 mit entsprechendem = –2/L.

1. Offensichtlich kann es keinen Übergang von einer begrenzten Moden-Morphing-Trajektorie zu der unbeschränkten Trajektorie einer fehlenden Mode geben, ohne dass eine Singularität eine Ecke aufweist. An einer solchen Ecke muss die Ableitung ['n](r) entweder verschwinden oder unbeschränkt werden. Die Betrachtung von Gleichung (5.3) zeigt, dass die Ableitung nicht verschwindet, da Im([[delta]n](r) > 0) für r > 0 ist. Eine weitere Betrachtung von Gleichung (5.3) zeigt, dass die Ableitung unbeschränkt wird, wenn und nur dann, wenn [&dgr;n](r) an einer Null des Nenners liegt, dh an einer Wurzel von Gleichung (5.4). Diese kritischen Werte [&dgr;[+ oder –]n] treten an Verzweigungspunkten [7, S. 404-408] von Gleichung (2.5) auf, wenn n gerade ist und von Gleichung (2.6), wenn n ist ungerade. Beachten Sie, dass, sobald [&dgr;][+ oder –]n] bekannt ist, Gleichung (2.4) verwendet werden kann, um den kritischen Winkel und das Modul aus [[sigma][+ oder –] zu finden. n] = [r [+ oder –].n] [e [??][[Theta][+ oder –].n]].

2. Die Ecke wird genau dann 90[delta] sein, wenn [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] rein imaginär ist, da in diesem und nur diesem Fall der Tangentenvektor mit einem reinen Imaginären multipliziert wird, wenn wir durch die Ecke gehen wodurch die Solldrehung um [+ oder –]90&dgr; Aber,

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.],

nach der Regel von l'Hopital. Somit ist [L²] = -1 [??] L = [+ oder –][??].

3. Setze [theta] = -[pi] und n = 1. Da der Eigenwert reell ist, tritt die Ecke auf der kritischen Trajektorie dann auf, wenn sie durch [v.sub.1] = 0 [??] [[ delta].sub.1] = –&pgr;/2. Also [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] nach der Regel von l'Hopital.

Zurückkehrend zu Fig. 9 ist zu beachten, dass die Ecke auf der kritischen Trajektorie, die [&thgr;[+ oder –]n] entspricht, ein Verzweigungspunkt ist, an dem ein Weg zu n"1 führt und der andere ab ins Unendliche bei einem Winkel von [&thgr;[+] oder –]n] –[pi]/2 (Satz 2, Teil 2b) Wir wenden uns der Abbildung 10 zu, die ein Amalgam von Abbildung 9 ist , das obere Bild für die geradzahligen Moden und das untere Bild für die ungeradzahligen Moden, beobachte, dass die Grenzen benachbarter Modalbereiche, die aus diesen gegabelten Trajektorien gebildet werden, fluchten, was in beiden Fällen eine entsprechende Aufteilung der [nu]-Ebene ist .

Darüber hinaus überlappen sich die Trajektorien, die benachbarten Moden entsprechen, aber schneiden sich nicht in dem Sinne, dass sie sich für den gleichen Wert von [Sigma] niemals berühren. Konkret haben wir folgendes

Satz 4 1. Eine von n ausgehende Trajektorie schneidet niemals eine von n ausgehende Trajektorie [+ oder -] 1 für den gleichen Wert von [sigma].

2. Eine von n ausgehende Trajektorie schneidet eine von n [+ oder –] 2 ausgehende Trajektorie für den gleichen Wert von [sigma] nur an ihrem gemeinsamen Verzweigungspunkt (Bifurkationspunkt). Tatsächlich ist [&dgr; + n] = [&dgr; – n – 2] – &dgr; = [&thgr; – n –2]. Am gemeinsamen Verzweigungspunkt liegt ein modaler Mangel vor und entlang der gegabelten Trajektorie besteht modale Mehrdeutigkeit.

1. Nach Gleichung (2.4) gilt [vn] = [vn+1] genau dann, wenn [[delta]n] = [[delta]n+1 ] + /2 und tan ([[]n+1] + /2) = tan ([[]n+1]). Dies würde jedoch erfordern, dass – cot ([[delta]n+1]) = tan ([[delta]n+1]) ist, was unmöglich ist.

2. Aus Gleichung (5.4) haben wir

[[tau]n-2]([delta]) = sin (2([delta] - [pi])) + 2([delta] - [pi]) + n[pi] = [[tau ].sub.n]([Delta] - [pi]), (5.5)

was impliziert, dass die Wurzeln von [[tau]n]([delta]) die Wurzeln von [[tau]n-2]([delta]) sind, die um [pi] nach links verschoben sind. Somit ist [&dgr; + n] = [&dgr; – n – 2] – &dgr; &thgr;-n-2]. Gleichung (5.3) impliziert nun, dass

[MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.], (5.6)

so dass [&dgr;n](r) und [&dgr;]n – 2](r) – &lgr; dieselbe Differentialgleichung mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen erfüllen. Nach dem grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen [2, S. 1-11] können sie sich nur in einer Singularität schneiden und ein solcher Schnitt ist äquivalent zu [vn-2](r) = [v n](r). An diesem gemeinsamen Verzweigungspunkt koaleszieren die Moden n – 2 und n, wodurch ein modaler Mangel erzeugt wird. Jenseits des Verzweigungspunkts besteht eine modale Mehrdeutigkeit dahingehend, dass nicht klar ist, welcher Modus welcher Verzweigungsverzweigung zugeordnet werden soll.

Bei der Eigenfunktionsentwicklung von Gleichung (3.3) müssen die im vorigen Theorem aufgestellte modale Defizienz und Mehrdeutigkeit berücksichtigt werden. Außerdem verringert dieses Theorem die Notwendigkeit, [&dgr; + n] und &ggr; + n] zu berechnen, da sie aus [&dgr; sub.n-2] bzw. [&thgr;-n-2].

Abbildung 11 zeigt die Niveaukurven von |[[tau]sub.0]([delta])| (siehe Gleichung (5.4)), wobei der Verzweigungspunkt [&dgr; – 0] auffallend angezeigt wird. Als nächstes untersuchen wir [&dgr; – n] wie n variiert.

Satz 5 1. Als n [rechter Pfeil] 1, [[sigma].sup.-n] [rechter Pfeil] [-ln ((3 + 2n)[pi]) + [??] x (n + 3/ 2)[pi]] = L.

2. Für 0 [kleiner oder gleich] [Theta] [kleiner oder gleich] [pi]/2 sind alle Modi IBC-Dirichlet-Modi (d. h. es gibt keine fehlenden Modi).

1. Als n [rechter Pfeil] 1, Re([[delta] – n]) [rechter Pfeil] [(3[??]/4) –] und [[delta] [I.-n]] := Im([[[]-n]) [Pfeil rechts] + [unendlich]. Somit ist tan ([&dgr;] [I – n]]) [Rechtspfeil] [??] und aus [[Tau]n]([[Delta]. – n]) = 0, [ [] [I – n]] [Pfeil rechts] 1/2 ln ((3 + 2n) [pi]). Auflösen nach [[sigma]-n] in Gleichung (2.4) ergibt [[sigma]-n] [rechter Pfeil] [-ln ((3 + 2n)[pi] ) + [??] x (n + 3=2)[pi]]/L.

2. Wegen [[theta]-n] := arg [[sigma]-n] gilt [[theta]-n] = [ tansup-1] [-(n + 3/2)[pi]= ln ((3 + 2n)[pi])] [Pfeil rechts] [tansup-1] (-[unendlich]) = [([pi]/2))+]. Daher liegen alle kritischen Winkel im Bereich [/2 < lt – n] [kleiner oder gleich] .

5.1. Der Fall Re([sigma]) [größer oder gleich] 0

Wegen des zweiten Teils von Satz 5 ist das asymptotische Verhalten für Re([sigma]) [größer oder gleich] 0 besonders einfach. Unter Bezugnahme auf 12 gibt es eine vollständige modale Homotopie von jedem der Neumann-Modi zu einem entsprechenden Dirichlet-Modus. Insbesondere [Nn](x) [??] [Dn+1](x) für alle n. Dieses asymptotische Verhalten, veranschaulicht in Abbildung 8 für n = 0 und = [ = 4, ist direkt analog zum Fall von [ reell und positiv, außer dass jetzt die Homotopie durch die komplexe Ebene geht.

Das asymptotische Verhalten für Re([Sigma]) < 0 ist direkt analog zum Fall von [Sigma] reell und negativ, da immer zwei Moden fehlen und der Rest IBC-Dirichlet-Moden sind. Welche Modi fehlen, wird nun jedoch durch den Wert von [theta] bestimmt. Genauer gesagt, wenn [&thgr; – n] < &thgr; < [&thgr; – n – 1] dann fehlen die Modi n und n + 1. Dies ist in 13 grafisch dargestellt. Tabelle 1 listet viele Verzweigungspunkte [&dgr; – n] zusammen mit ihren entsprechenden kritischen Winkeln [&thgr; – n] auf.

Wenn [Theta] < [[Theta] – n] dann [N n] (x) [??] [D n + 1] (x) analog zum Fall von das Modus-Morphing, das im Fall von Re([sigma]) [größer oder gleich] 0 angezeigt wird.Wenn jedoch &thgr; > [&thgr; + n] = [&thgr; – n – 2] ist, dann ist [Nn](x) [&egr; ] –[D n – 1](x) Charakteristik des Modus-Morphings, das im Fall von &sgr; reell und negativ angezeigt wird. Dieses letztere Modus-Morphing-Verhalten ist in 14 für n = 2 und &thgr; = 3&pgr; = 4 dargestellt.

Wenn [&thgr; – n] < &thgr; < [&thgr; + n] = [&thgr; n fehlt. Die resultierende Prozession fehlender Moden nach rechts, wenn [theta] von [pi] auf [pi]/2 abgesenkt wird, ist in Abbildung 15 gezeigt. Die fehlenden Moden für [pi]=2 < [theta] < [pi] weisen eine besondere Singularität auf Verhalten als r = |[sigma]| [Pfeil nach rechts] [unendlich].

Satz 6 Für [pi]/2< [Theta] < [pi] schwingen alle fehlenden Moden zwischen [+ oder –]1 an den Endpunkten und nähern sich an anderer Stelle Null.

Nachweisen. Sei einfach |[Delta] = [[Delta].sub.R] + [??] x [[Delta]I]| [Pfeil nach rechts] [unendlich] in Gleichung (2.1). An den Endpunkten [u.sub.n] [Rechtspfeil] [+ oder –]([e.[[Delta]I]]/2) x [cos ([[Delta]sub. R]) – [??] x sin ([[Delta]R])] und Normalisierung durch [e[[Delta]I]]/2 zeigt das Schwingungsverhalten an den Endpunkten als gut die Annäherung an Null für innere Punkte.

Dieses oszillierende singuläre Verhalten ist in den Abbildungen 16 (gerade nummerierte Moden) und 17 (ungerade nummerierte Moden) ersichtlich.

Der Großteil dieses Artikels wurde der Untersuchung der asymptotischen Natur der Eigenstruktur des SL-BVP mit einem IBC, Gleichung (1.1), als [sigma] [rechter Pfeil] 1 gewidmet. Unsere wichtigsten Ergebnisse können wie folgt zusammengefasst werden (siehe Figur 2):

Satz 7 (Asymptotisches Verhalten der SL-BVP/IBC-Eigenstruktur) Betrachten Sie das SL-BVP mit einem durch Gleichung (1.1) beschriebenen IBC mit [sigma](r) = [re.sup.[??][theta]] für festes [Theta] und 0 [kleiner oder gleich] r [kleiner oder gleich] [unendlich].

1. Wenn 0 [kleiner oder gleich] [Theta] [kleiner oder gleich] [pi]/2 dann [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] und [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] für alle n.

2. Wenn [pi]/2 < [Theta] [kleiner oder gleich] [pi] dann existiert n([Theta]) mit

(a) [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] und [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] für k < n([Theta]) - 1,

(b) [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] und [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] für k > n([Theta]),

(c) und [MATHEMATISCHER AUSDRUCK NICHT REPRODUZIERBAR IN ASCII.] für k = n(&thgr;) – 1, n(&thgr;).

Diese Beobachtungen sind direkt auf den rechteckigen Wellenleiter anwendbar [8, S. 503-509].

Darüber hinaus führen diese Ergebnisse natürlich zu der Frage nach der entsprechenden asymptotischen Natur der Eigenstruktur des Laplace-Operators auf einem gleichseitigen Dreieck mit einer Impedanzrandbedingung. Die Sonderfälle der Strahlungsrandbedingung [4] und der absorbierenden Randbedingung [5] wurden bereits ausführlich behandelt. Die eindimensionalen Ergebnisse der vorliegenden Arbeit scheinen darauf hinzudeuten, dass diese beiden Spezialfälle das volle Spektrum des möglichen asymptotischen Verhaltens als [sigma] [rechter Pfeil] [unendlich] aufweisen. Der letzte Teil dieser Artikelserie, Eigenstruktur des gleichseitigen Dreiecks, Teil V: Die Impedanz-Grenzbedingung, wird dieses Problem angehen.

Die Autorin dankt Frau Barbara A. McCartin für ihre unverzichtbare Hilfe beim Aufbau der Figuren. Dieses Papier ist dem Gedenken an unsere geliebte Mutter Dorothy Frances (Kelly) McCartin zum 25. Jahrestag ihres Abschieds von ihrer Familie gewidmet. Weg, aber nicht vergessen!

[1] Amrein W. O., Hinz A. M. und Pearson D. B., Sturm-Liouville-Theorie: Vergangenheit und Gegenwart, Birkhauser, Basel, 2005.

[2] Coddington E. A. und Levinson N., Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, NY, 1955.

[3] Mahmoud S. F., Electromagnetic Waveguides: Theory and Applications, Peter Peregrinus Ltd., London, UK, 1991.

[4] McCartin B. J., 2004, Eigenstruktur des gleichseitigen Dreiecks, Teil III: Das Robin-Problem, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 2004(16), S. 807-825.

[5] McCartin B. J., 2007, Eigenstruktur des gleichseitigen Dreiecks, Teil IV: Die absorbierende Grenzbedingung, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Band 37(3).

[6] Morse P. M., Vibration and Sound, Acoustical Society of America, Melville, NY, 1976.

[7] Morse P. M. und Feshbach H., Methods of Theoretical Physics, Teil I, McGraw-Hill, New York, NY, 1953.

[8] Morse P. M. und Ingard K. U., Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, New York, NY, 1968.

[9] Strauss W. A., Partial Differential Equations: An Introduction, Wiley, New York, NY, 1992.

[10] Zettl A., Sturm-Liouville-Theorie, American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.


5.1: Sturm-Liouville-Probleme

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Inhaltsverzeichnis

1.1 Einige grundlegende mathematische Modelle Richtungsfelder 1

1.2 Lösungen einiger Differentialgleichungen 9

1.3 Klassifikation von Differentialgleichungen 16

2 Differentialgleichungen erster Ordnung 24

2.1 Lineare Differentialgleichungen Methode zur Integration von Faktoren 24

2.2 Trennbare Differentialgleichungen 33

2.3 Modellierung mit Differentialgleichungen erster Ordnung 39

2.4 Unterschiede zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen 51

2.5 Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik 58

2.6 Exakte Differentialgleichungen und integrierende Faktoren 70

2.7 Numerische Näherungen: Eulersche Methode 76

2.8 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 83

2.9 Gleichungen für Differenzen erster Ordnung 91

3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 103

3.1 Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 103

3.2 Lösungen linearer homogener Gleichungen der Wronski-Ansatz 110

3.3 Komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung 120

3.4 Wiederholte Wurzelreduktion der Ordnung 127

3.5 Inhomogene Gleichungen Methode unbestimmter Koeffizienten 133

3.6 Parametervariation 142

3.7 Mechanische und elektrische Schwingungen 147

3.8 Erzwungene periodische Schwingungen 159

4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 169

4.1 Allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung 169

4.2 Homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 174

4.3 Die Methode der unbestimmten Koeffizienten 181

4.4 Die Methode der Parametervariation 185

Lösungen der 5er-Reihe von linearen Gleichungen zweiter Ordnung 189

5.1 Überprüfung der Power-Serie 189

5.2 Serienlösungen in der Nähe eines gewöhnlichen Punktes, Teil I 195

5.3 Serienlösungen in der Nähe eines gewöhnlichen Punktes, Teil II 205

5.4 Euler-Gleichungen Reguläre singuläre Punkte 211

Lösungen der Serie 5.5 in der Nähe eines regulären Singularpunktes, Teil I 219

Lösungen der Serie 5.6 in der Nähe eines regulären Singularpunktes, Teil II 224

6 Die Laplace-Transformation 241

6.1 Definition der Laplace-Transformation 241

6.2 Lösung von Anfangswertproblemen 248

6.4 Differentialgleichungen mit unstetigen Antriebsfunktionen 264

6.6 Das Faltungsintegral 275

7 Systeme linearer Gleichungen erster Ordnung 281

7.3 Lineare algebraische Gleichungssysteme Lineare Unabhängigkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren 295

7.4 Grundlegende Theorie der Systeme linearer Gleichungen erster Ordnung 304

7.5 Homogene Linearsysteme mit konstanten Koeffizienten 309

7.6 Komplexwertige Eigenwerte 319

7.7 Fundamentale Matrizen 329

7.8 Wiederholte Eigenwerte 337

7.9 Inhomogene Linearsysteme 345

8 Numerische Methoden 354

8.1 Die Euler- oder Tangentiallinienmethode 354

8.2 Verbesserungen der Euler-Methode 363

8.3 Die Runge-Kutta-Methode 367

8.5 Gleichungssysteme erster Ordnung 376

8.6 Mehr zu Fehlerstabilität 378

9 Nichtlineare Differentialgleichungen und Stabilität 388

9.1 Die Phasenebene: Lineare Systeme 388

9.2 Autonome Systeme und Stabilität 398

9.3 Lokal lineare Systeme 407

9.5 Raubtier-Beute-Gleichungen 428

9.6 Liapunovs zweite Methode 435

9.7 Periodische Lösungen und Grenzzyklen 444

9.8 Chaos und seltsame Attraktoren: Die Lorenz-Gleichungen 454

10 Partielle Differentialgleichungen und Fourier-Reihe 463

10.1 Zweipunkt-Randwertprobleme 463

10.3 Der Fourier-Konvergenzsatz 477

10.4 Gerade und Ungerade Funktionen 482

10.5 Trennung der Variablen Wärmeleitung in einem Stab 488

10.6 Andere Wärmeleitungsprobleme 496

10.7 Die Wellengleichung: Schwingungen einer elastischen Saite 504

10.8 Laplace-Gleichung 514

11 Randwertprobleme und Sturm-Liouville-Theorie 529

11.1 Das Auftreten von Zweipunkt-Randwertproblemen 529

11.2 Sturm-Liouville-Grenzwertprobleme 535

11.3 Inhomogene Randwertprobleme 545

11.4 Singuläre Sturm-Liouville-Probleme 556

11.5 Weitere Bemerkungen zur Methode der Variablentrennung: Eine Erweiterung der Bessel-Reihe 562


5.1: Sturm-Liouville-Probleme

Die Methode der Variablentrennung benötigt homogene Randbedingungen. Genauer gesagt müssen die Eigenfunktionen homogene Randbedingungen haben. (Selbst wenn in einer Menge von Funktionen jede Funktion die gegebenen inhomogenen Randbedingungen erfüllt, wird eine Kombination von ihnen dies im Allgemeinen nicht tun.)

Im vorherigen Beispiel konnte dieses Problem umgangen werden, indem statt als Variable der Eigenfunktionen gewählt wurde. Für das Beispiel in diesem Abschnitt funktioniert dies jedoch nicht.

5. 6. 1 Das körperliche Problem

Das Problem besteht darin, die instationäre Temperaturverteilung in einem Balken für eine beliebige Position und Zeit zu finden. Die anfängliche Temperaturverteilung zum Zeitpunkt Null entspricht einer gegebenen Funktion. Der Wärmestrom aus dem linken Ende entspricht einer gegebenen Funktion und die Temperatur des rechten Endes einer gegebenen Funktion. Wärme wird dem Riegel von einer externen Quelle mit einer durch eine gegebene Funktion beschriebenen Rate zugeführt.

5. 6. 2 Das mathematische Problem

  • Endliche Domäne:
  • Unbekannte Temperatur
  • Constant , also eine partielle Differentialgleichung mit linearem konstanten Koeffizienten.
  • Parabolisch
  • Inhomogen
  • Eine Anfangsbedingung
  • Eine Neumann-Randbedingung
  • Eine Dirichlet-Randbedingung
  • Alle von , , , und sind gegebene Funktionen.

5. 6. 3 Ablauf des Verfahrens

Wir möchten die Trennung von Variablen verwenden, um die Lösung in einer Form zu schreiben, die ungefähr so ​​aussieht:

Hier wären dies die Eigenfunktionen.

Sie können keine Eigenfunktionen sein, da die Zeitachse semi-unendlich ist. Außerdem erfordern Sturm-Liouville-Probleme an beiden Enden Randbedingungen, keine Anfangsbedingungen.

Leider müssen Eigenfunktionen homogene Randbedingungen haben. Wäre es also einfach als Summe von Eigenfunktionen geschrieben, könnte es keine inhomogenen Randbedingungen erfüllen.

Glücklicherweise können wir einen Trick anwenden, um dieses Problem zu umgehen. Der Trick besteht darin, als Summe einer Funktion, die die inhomogenen Randbedingungen erfüllt, plus einem Rest zu schreiben:

Da sich in den Randbedingungen der inhomogene Term ergibt, erfüllt der Rest homogene Randbedingungen. Daher kann geschrieben werden als

unter Verwendung der Trennung von Variablen. Hinzufügen, um zu erhalten.

5. 6. 4 Schritt 0: Festlegen der Randbedingungen

Als erstes muss eine Funktion gefunden werden, die die gleichen Randbedingungen wie erfüllt. Insbesondere müssen erfüllen:

Die Funktion muss weder die partielle Differentialgleichung noch die Anfangsbedingung erfüllen. Das erlaubt Ihnen, etwas Einfaches dafür zu nehmen. Die Auswahl ist nicht eindeutig, aber Sie möchten etwas Einfaches auswählen.

Eine lineare Funktion in ,

ist sicherlich die einfachste Wahl. In diesem Beispiel funktioniert es auch gut.

Setze diesen Ausdruck für in die Randbedingungen für ein,

Daraus ergeben sich die Anforderungen

Die Lösung ist und . Also unser ist

Behalten Sie im Auge, was wir wissen und was wir nicht wissen. Da uns (angeblich) Funktionen gegeben wurden und , gilt Funktion von nun an als bekannte Größe, wie oben angegeben.

Sie können etwas Komplizierteres als eine lineare Funktion verwenden, wenn Sie es sich selbst schwer machen möchten. Machen Sie weiter und verwenden Sie es, wenn Sie es wirklich lieben, Fehlerfunktionen und Bessel-Funktionen zu integrieren. Es wird klappen. Ich selbst bevorzuge jedoch eine lineare Funktion. (Bei einigen Problemen benötigen Sie möglicherweise eine quadratische statt einer linearen Funktion.)

Unter bestimmten Bedingungen kann es eine bessere Wahl geben als ein Polynom niedriger Ordnung in . Wenn das Problem stetige Randbedingungen und eine einfache stetige Lösung hat, fahren Sie fort und nehmen Sie diese stetige Lösung an. Es wird großartig funktionieren. Im Beispiel hier sind die Randbedingungen jedoch nicht stationär, wir gehen davon aus und sind willkürlich gegebene Funktionen der Zeit.

Als nächstes definieren Sie, nachdem Sie gefunden haben, eine neue Unbekannte als den Rest, wenn von abgezogen wird:

Wir lösen das Problem jetzt, indem wir . Wenn wir es gefunden haben, fügen wir einfach , bereits bekanntes , wieder ein , um .

Dazu müssen wir natürlich zunächst das Problem lösen. Wir bekommen es aus dem Problem heraus, denn durch überall ersetzen durch . Nehmen wir das Bild des Problems vor uns und beginnen mit der Konvertierung.

Nehmen Sie zunächst die Randbedingungen bei und :

Aber da durch Konstruktion und ,

Beachten Sie die große Sache: Während die Randbedingungen für ähnlich denen für sind, sind sie homogen. Wir werden ein Sturm-Liouville-Problem in der -Richtung bekommen, wo wir nicht für . Das ist es, was für uns tut.

Wir suchen weiterhin nach dem Rest des Problems für . Wir ersetzen durch in die partielle Differentialgleichung ,

und nimm alle Begriffe auf die rechte Seite:

Daher ist jetzt eine bekannte Funktion, genau wie .

Der letzte Teil des Problems, den wir noch nicht konvertiert haben, ist die Anfangsbedingung. Wir ersetzen durch in ,

und nimm auf die andere Seite:

Auch hier ist jetzt eine bekannte Funktion.

Das Problem für ist jetzt das gleiche wie für , nur dass die Randbedingungen homogen und Funktionen sind und sich in bekannte Funktionen und geändert haben.

Durch die Trennung von Variablen können wir die Lösung für in der Form finden:

Wir wissen bereits, wie das geht! (Keine Sorge, wir werden die Schritte trotzdem durchgehen.) Nachdem wir gefunden haben, fügen wir einfach hinzu, um die gewünschte Temperatur zu finden.

5. 6. 5 Schritt 1: Finden Sie die Eigenfunktionen

Um die Eigenfunktionen zu finden, setzen Sie eine Probelösung in den homogenen Teil der partiellen Differentialgleichung ein, . Denken Sie daran: Ignorieren Sie den inhomogenen Teil, wenn Sie die Eigenfunktionen finden. Einbringen in Produkte:

Wie immer kann man sich nicht darauf verlassen, da die linke Seite nicht. Kann sich auch nicht darauf verlassen, da die Mitte dies nicht tut. Muss also eine Konstante sein.

Wir erhalten dann für beliebige Eigenfunktionen das folgende Sturm-Liouville-Problem:

Die letzten beiden Gleichungen sind die Randbedingungen, an denen wir homogen gemacht haben.

Dies ist genau das gleiche Eigenwertproblem, das wir in einem früheren Beispiel hatten, also kann ich einfach die Lösung von dort nehmen. Die Eigenfunktionen sind:

5. 6. 6 Schritt 2: Lösen Sie das Problem

Wir entwickeln das Problem für in einer Fourier-Reihe:

Da und bekannte Funktionen sind, können wir ihre Fourier-Koeffizienten aus der Orthogonalität finden:

oder mit ausgeschriebenen Eigenfunktionenfunction

Die Integrale im unteren sind gleich .

Die Fourier-Koeffizienten sind also jetzt bekannte Konstanten und die sind jetzt bekannte Funktionen von . In der tatsächlichen Anwendung kann jedoch eine numerische Integration erforderlich sein, um sie zu finden. Während des Finales mache ich normalerweise die Funktionen und so einfach, dass Sie die Integrale analytisch machen können.

Schreiben Sie nun die partielle Differentialgleichung mit der Fourier-Reihe:

Im vorherigen Abschnitt war die Sturm-Liouville-Gleichung , daher vereinfacht sich die partielle Differentialgleichung zu:

Es wird immer einfacher oder du hast einen Fehler gemacht.

Damit die Summen für alle gleich sind, müssen die Koeffizienten jeder einzelnen Eigenfunktion ausgeglichen sein. Also bekommen wir

Wir haben für jede eine gewöhnliche Differentialgleichung erhalten. Er ist wieder konstanter Koeffizient, aber inhomogen.

Lösen Sie zuerst die homogene Gleichung. Das charakteristische Polynom ist

die homogene Lösung ist also

Für die inhomogene Gleichung sind unbestimmte Konstanten nicht möglich, da wir die tatsächliche Form der Funktionen nicht kennen. Also verwenden wir Variation des Parameters:

Einsetzen in die gewöhnliche Differentialgleichung ergibt

Wir integrieren diese Gleichung, um zu finden. Ich könnte die Lösung mit einem unbestimmten Integral schreiben:

Das hat aber das Problem, dass die Integrationskonstante nicht explizit angegeben wird. Das macht es unmöglich, die Anfangsbedingung anzuwenden. Es ist besser, die Stammfunktion mit einem Integral mit Grenzwerten plus einer expliziten Integrationskonstante zu schreiben als:

Sie können mit der Leibniz-Regel zur Differentiation von Integralen (oder eigentlich nur mit dem Fundamentalsatz der Analysis) überprüfen, ob die Ableitung genau das ist, was sie sein sollte. (Außerdem muss die untere Grenze nicht wirklich Null sein, du könntest die Integration bei 1 beginnen, wenn es einfacher wäre. Wichtig ist, dass die obere Grenze die unabhängige Variable ist.)

Einsetzen der gefundenen Lösung für in

Wir müssen noch die Integrationskonstante finden. Schreiben Sie dazu die Anfangsbedingung mit Fourier-Reihen:

Damit erhalten wir Anfangsbedingungen für:

letzteres von oben, und daher

oder den Eigenwert ausschreiben:

Wir haben in Bezug auf bekannte Mengen, also sind wir fertig.

5. 6. 7 Zusammenfassung der Lösung

Wenn man alle Boxformeln zusammenfasst, wird die Lösung gefunden, indem zuerst die Koeffizienten berechnet werden aus:


Schau das Video: Proof of Orthogonality of Eigenfunctions of an Equation in Sturm-Liouville Form (November 2021).