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5: Sätze und Zählen


Lernziele

In diesem Kapitel lernen Sie:

  • Verwenden Sie Mengentheorie und Venn-Diagramme, um Zählprobleme zu lösen.
  • Verwenden Sie das Multiplikationsaxiom, um Zählprobleme zu lösen.
  • Verwenden Sie Permutationen, um Zählprobleme zu lösen.
  • Verwenden Sie Kombinationen, um Zählprobleme zu lösen.
  • Verwenden Sie den Binomialsatz, um ((x+y)^n) zu erweitern

5: Sätze und Zählen


Fakultät für Mathematik der Illinois State University

MAT 305: Kombinatorik-Themen für K-8-Lehrer

Grundlegende Zähltechniken

Hier wählen wir einen Artikel aus einer Sammlung von Artikeln aus. Da es unter den beiden Sets, die Blaise Greens und Potatoes genannt hat, keine gemeinsamen Gegenstände gibt, können wir die Gegenstände in einem großen Set zusammenfassen. Wir verwenden Addition, hier 4+5, um die Gesamtzahl der zur Auswahl stehenden Artikel zu bestimmen.

Dies veranschaulicht ein wichtiges Zählprinzip.

Wenn eine Wahl aus Gruppe I auf n Arten und eine Wahl aus Gruppe II auf m Arten getroffen werden kann, dann ist die Anzahl der möglichen Wahlen aus Gruppe I oder Gruppe II n+m.

Notwendige Bedingung: Keine Elemente in Gruppe I sind gleich wie Elemente in Gruppe II.

Dies kann auf eine einzelne Auswahl aus mehr als zwei Gruppen verallgemeinert werden, wiederum unter der Bedingung, dass alle Gruppen oder Mengen disjunkt sind, dh nichts gemeinsam haben.

Beispiele zur Veranschaulichung des Additionsprinzips:

Hier sind drei Sätze von Buchstaben, nennen Sie sie Sätze I, II und III:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Buchstaben aus den Sets I, II oder III auszuwählen? Beachten Sie, dass die drei Mengen disjunkt sind oder sich gegenseitig ausschließen: Es gibt keine gemeinsamen Elemente zwischen den drei Mengen.

Hier sind zwei Sätze von positiven ganzen Zahlen:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine ganze Zahl aus den Mengen A oder B auszuwählen? Beachten Sie, dass die beiden Mengen nicht disjunkt sind. Welche Modifikation können wir am Additionsprinzip vornehmen, um diesem Fall Rechnung zu tragen? Versuchen Sie, diese Änderung zu schreiben.

Das Multiplikationsprinzip

Wir können die möglichen Mahlzeiten aufzählen, vorzugsweise in einer organisierten Weise, um sicherzustellen, dass wir alle Möglichkeiten in Betracht gezogen haben. Hier ist eine Skizze einer solchen Aufzählung, in der , , , und repräsentieren die Artikel, die jeweils aus der Suppen-, Fleisch-, Grüngemüse- und Dessertkarte gewählt werden können.

Beachten Sie das in der Tabelle verwendete Aufzählungsverfahren. Wie könnte man es mit Worten beschreiben?

Wie sonst könnten wir die Zählung abschließen, ohne alle möglichen Optionen zu identifizieren? Eine Karte oder ein Baum zur Veranschaulichung des Aufzählungsprozesses bietet eine Brücke zu einem solchen Verfahren.

Wir haben zwei Möglichkeiten, einen Suppenartikel auszuwählen, zwei Möglichkeiten, einen Fleischartikel auszuwählen, vier grüne Gemüsesorten zur Auswahl und vier Desserts zur Auswahl. Die Kombination einer Suppe mit jedem Fleisch, dann jedes dieser Paare mit jedem von vier möglichen grünen Gemüsen und jedes dieser Tripel mit jedem von vier möglichen Desserts führt zur Verwendung der Multiplikation, um alle möglichen Mahlzeiten schnell zu zählen könnte sich bei Blaise versammeln.

Dies legt nahe, dass wir ein anderes Zählprinzip verwenden, um diese Technik zu beschreiben.

Das Multiplikationsprinzip

Wenn eine Aufgabe zwei Schritte umfasst und der erste Schritt auf n Arten und der zweite Schritt auf m Arten abgeschlossen werden kann, dann gibt es n*m Möglichkeiten, die Aufgabe zu erledigen.

Notwendige Bedingung: Die Möglichkeiten, wie jeder Schritt ausgeführt werden kann, sind unabhängig voneinander.

Dies kann so verallgemeinert werden, dass eine Aufgabe in mehr als zwei Schritten abgeschlossen wird, solange die Bedingung erfüllt ist.

Beispiel zur Veranschaulichung des Multiplikationsprinzips:

Erinnern Sie sich an unsere drei Sets I, II und III: , , und . Bestimmen Sie die Anzahl der Drei-Buchstaben-Sets, die erstellt werden können, sodass ein Buchstabe aus Set I, ein Buchstabe aus Set II und ein Buchstabe aus Set III stammt. Beachten Sie, dass unsere Wahl in jedem Satz unabhängig von unserer Wahl in den anderen Sätzen ist. Bei Bedarf könnten wir die möglichen Drei-Buchstaben- oder Drei-Elemente-Mengen aufzählen.

Permutationen
Auf wie viele Arten können die Buchstaben innerhalb eines Satzes aus I, II und III geordnet werden? In Set I haben wir diese Möglichkeiten:

Wir verwenden das Multiplikationsprinzip, um unsere Auswahl zu beschreiben. Wir haben drei Buchstaben zur Auswahl, um die erste Position zu besetzen, zwei Buchstaben bleiben für die zweite Position übrig und nur noch ein Buchstabe für die letzte Position: 3x2x1=6 verschiedene Reihenfolgen sind möglich. Ebenso gibt es für Set II 120 verschiedene Möglichkeiten, die fünf Buchstaben zu bestellen, und es gibt 24 verschiedene Möglichkeiten, die Buchstaben in Set III zu bestellen.

Diese obige Diskussion veranschaulicht das Konzept einer anderen grundlegenden Zählstrategie.

Eine lineare Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt werden muss.

Wir weisen auch auf die Verfügbarkeit der faktoriellen Notation hin, um die spezifische Multiplikation, die wir gerade durchgeführt haben, kompakt darzustellen: 3x2x1=3!, 5x4x3x2x1=5!, und so weiter. Also n(n-1)(n-2). (2)(1)=n!.

Eine kompakte Darstellung für die Multiplikation von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Wir verwenden n! um das Produkt n(n-1)(n-2) erneut darzustellen. (2)(1) , wobei n eine positive ganze Zahl ist.

Beispiel zur Veranschaulichung der Verwendung von Permutationen:

Fast jeden Morgen oder Abend höre ich in den Nachrichten vom DCFS des Staates Illinois, dem Ministerium für Kinder- und Familiendienste. Ich bin verwirrt, weil unsere Fakultät für Mathematik einen Ausschuss namens Department Faculty Status Committee (DFSC) hat. Können Sie sehen, warum ich verwirrt bin? Wie viele verschiedene 4-Buchstaben-geordnete Anordnungen oder Permutationen gibt es für die Buchstabenmenge? ?

Wenn wir an vier Stellen denken, die besetzt werden müssen, __ __ __ __ , haben wir 4 Buchstaben zur Auswahl für die erste Stelle, 3 für die nächste, 2 Buchstaben für die nächste Stelle und 1 Wahl für die letzte Stelle. Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es 4x3x2x1=24 verschiedene 4-Buchstaben-geordnete Anordnungen für die Buchstabenmenge .

Wir können diese Anwendung erweitern, um geordnete Anordnungen nur einiger Elemente in einer Menge zu betrachten. Zurück zum Beispiel zur Getränkekarte von Blaise's Bistro. Wenn Blaise nur vier mögliche Limonadenauswahlen posten wird, wie viele verschiedene bestellte Arrangements der vier Limonaden gibt es?

Wenn wir an vier Positionen denken, die besetzt werden müssen, __ __ __ __, haben wir 6 Limonaden zur Auswahl für die erste Position, 5 für die nächste, 4 Limonaden für die nächste und 3 Limonaden für die letzte Position. Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es 6x5x4x3=360 verschiedene Möglichkeiten, vier der sechs Limonaden im Menü auszuwählen und zu bestellen.

Im Allgemeinen verwenden wir die Notation P(n,r), um die Anzahl der Möglichkeiten darzustellen, r Objekte aus einer Menge von n Objekten anzuordnen. Im ersten oben genannten Problem haben wir P(4,4)=24 bestimmt und im zweiten haben wir P(6,4)=360 berechnet. Der allgemeine Wert von P(n,r) ist n(n-1)(n-2). ([n-(r-1)] oder P(n,r)=n(n-1)(n-2). (n-r+1). Beachten Sie, dass n eine beliebige nichtnegative ganze Zahl sein kann. Gibt es Einschränkungen für den Wert von r?

Es gibt einen arithmetischen Schritt, den wir auf das allgemeine Muster für P(n,r) anwenden können, um die Permutationsberechnungen zu rationalisieren. In der zweiten Zeile unten haben wir mit multipliziert, was nur der Wert 1 ist, da Zähler und Nenner gleich sind. In der vierten Zeile unten sehen wir, wie der Ausdruck durch die faktorielle Notation vereinfacht werden kann.

Somit haben wir P(6,2)=6!/4! Und P(40,8)=40!/32!.

Was ist mit P(4,4)? Das obige Ergebnis legt P(4,4)=4!/0! nahe. Wir wissen bereits, dass P(4,4)=4x3x2x1=4!, also haben wir 4!=4!/0!. Damit dies zutrifft, muss 0!=1 sein. So seltsam das auch erscheinen mag, wir brauchen 0!=1, um die Konsistenz der Berechnungen zu gewährleisten, die wir durchführen möchten.

Kombinationen
Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Fragen?

(i) Auf wie viele Arten kann eine 5-Karten-Pokerhand ausgeteilt werden?

(ii) Wie viele verschiedene 5-Karten-Pokerhände gibt es?

Die erste Frage befasst sich mit der Reihenfolge oder Anordnung der Karten, wenn sie ausgeteilt werden. In der zweiten Frage ist das Endergebnis, wenn 2H,4D,JC,3S,10D in dieser Reihenfolge ausgeteilt wird, dasselbe wie bei 4D,3S,JC,10D,2H in dieser Reihenfolge. In jedem Fall existiert die gleiche 5-Karten-Pokerhand. Die Fragen helfen, den Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination zu veranschaulichen.

Eine Sammlung von Elementen, deren Reihenfolge keine Rolle spielt.

Als Lösung des ersten Problems haben wir P(52,5) gefunden. Das heißt, wir haben 5 Objekte angeordnet, die aus 52 Karten ausgewählt wurden. Für die zweite Frage gibt es viele Arrangements, die das gleiche 5-Karten-Blatt ergeben. Dem müssen wir Rechnung tragen. Betrachten wir ein einfacheres Problem.

Wie viele geordnete Anordnungen gibt es für die Buchstaben des Sets ?

Mit Permutationen haben wir P(5,5) = 5! = 120 Möglichkeiten, die fünf Buchstaben anzuordnen.

Wie viele bestellte Arrangements gibt es von 3 Artikeln aus dem 5-Elemente-Set?

Wir haben P(5,3) = 543 = 5!/2! = 60 Anordnungen. Zum Beispiel für die drei Buchstaben wir haben diese Arrangements: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Dies stellt 6 der 60 Arrangements dar, jedoch beinhaltet jedes die gleiche Auswahl von drei Buchstaben. Ebenso für die drei Buchstaben : Wir haben ACE, AEC, CAE, CEA, EAC, ECA.

Es scheint, dass für jede 3-Buchstaben-Teilmenge von Es gibt 6 Anordnungen der gleichen drei Buchstaben. Dies ist eine hilfreiche Beobachtung bei der Untersuchung der folgenden Frage:

Eine Möglichkeit besteht darin, die eindeutigen 3-Element-Teilmengen von list aufzulisten : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Es gibt 10 solcher 3-Element-Teilmengen.

Eine andere Möglichkeit, die Anzahl zu berücksichtigen, besteht darin, die Tatsache zu verwenden, dass:

Im Allgemeinen haben wir eine Möglichkeit, die Anzahl der Kombinationen von n ausgewählten Elementen r gleichzeitig zu bestimmen, wobei die Auswahlreihenfolge oder die Anordnung der r Elemente nicht berücksichtigt wird:

Die Beziehung zwischen Permutationen und Kombinationen

Wenn r Elemente aus einer Menge von n Elementen gesammelt oder angeordnet werden sollen, dann ist die Anzahl der Kombinationen von n Elementen, die r gleichzeitig genommen werden, C(n,r) , bezogen auf die Anzahl der Permutationen von n Elementen, die r bei a at Zeit, P(n,r) , gemäß der Gleichung

Kreisförmige Permutationen

Betrachten wir den Fall linear,

wir haben P(5,5) = 5! Anordnungen. Erweitern Sie dies nun zu einem Kreis:

Beachten Sie, dass in jedem dieser Fälle die gleichen Personen nebeneinander sitzen. Obwohl es eine Veränderung – eine Rotation – um den Tisch gegeben hat, befinden sich die fünf Kinder immer noch in der gleichen Position zueinander. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die eindeutige lineare Beziehung ABCDE zu drehen? Es gibt fünf solcher Möglichkeiten, die alle in der Zeichnung abgebildet sind.

Somit haben wir 5! einzigartige lineare Anordnungen der Kinder, aber wir können diese gruppieren, sodass jede Gruppe 5 Anordnungen hat, die die Kinder in derselben Position relativ zueinander zeigen. Daher haben wir 5!/5 = 4! zirkuläre Permutationen der fünf Kinder.

Was ist, wenn wir eine r-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge in einem Kreis anordnen? Angenommen, wir arrangieren 3 der 5 Kinder. Im linearen Fall gibt es P(5,3) = 60 Anordnungen, aber wir können diese gruppieren, sodass jede Gruppe 3 Anordnungen hat, die die Kinder in derselben Position relativ zueinander zeigen. Daher haben wir P(5,3)/3 = 5!/(2!*3) zirkuläre Permutationen der fünf Kinder in Untermengen von 3 Kindern.

Eine zirkuläre Permutation ist eine zirkuläre Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt werden muss.


9.5 Zählprinzipien

Ein neues Unternehmen verkauft anpassbare Hüllen für Tablets und Smartphones. Jedes Etui ist in verschiedenen Farben erhältlich und kann gegen Aufpreis mit Bildern oder einem Monogramm personalisiert werden. Ein Kunde kann wählen, ob er nicht personalisieren möchte oder ein, zwei oder drei Bilder oder ein Monogramm verwenden möchte. Der Kunde kann die Reihenfolge der Bilder und der Buchstaben im Monogramm wählen. Gemeinsam mit einer Agentur entwickelt das Unternehmen eine Marketingkampagne mit Fokus auf die Vielzahl der angebotenen Möglichkeiten. Die Möglichkeiten zu zählen ist eine Herausforderung!

Wir stoßen täglich auf die unterschiedlichsten Zählprobleme. Es gibt einen Zweig der Mathematik, der sich mit Zählproblemen wie diesem befasst. Andere Anwendungen des Zählens sind sichere Passwörter, Pferderennen-Ergebnisse und College-Planungsoptionen. Wir werden diese Art von Mathematik in diesem Abschnitt untersuchen.

Anwendung des Additionsprinzips

Das Unternehmen, das anpassbare Hüllen verkauft, bietet Hüllen für Tablets und Smartphones an. Es gibt 3 unterstützte Tablet-Modelle und 5 unterstützte Smartphone-Modelle. Das Additionsprinzip teilt uns mit, dass wir die Anzahl der Tablet-Optionen zur Anzahl der Smartphone-Optionen addieren können, um die Gesamtzahl der Optionen zu ermitteln. Nach dem Additionsprinzip gibt es insgesamt 8 Optionen, wie wir in Abbildung 1 sehen können.


Übersicht über Algebra und Wahrscheinlichkeit: MAT 101

In diesem Abschnitt machen wir uns mit Mengenoperationen und Notationen vertraut, damit wir diese Konzepte sowohl auf Zähl- als auch auf Wahrscheinlichkeitsprobleme anwenden können. Wir beginnen mit der Definition einiger Begriffe.

A ist eine Sammlung von Objekten, und ihre Mitglieder werden als die der Menge bezeichnet. Wir benennen das Set mit Großbuchstaben und setzen seine Mitglieder in geschweifte Klammern ( ext<.>) Angenommen, wir müssen die Mitglieder des Schachclubs auflisten. Wir verwenden die folgende Mengennotation:

Eine Menge, die keine Mitglieder hat, wird als . Die leere Menge wird durch das Symbol (emptyset) oder mit leeren geschweiften Klammern (<> ext<.>) bezeichnet.

Zwei Mengen sind, wenn sie die gleichen Elemente haben.

Eine Menge (A) ist a einer Menge (B), wenn jedes Mitglied von (A) auch ein Mitglied von (B ext<.>) ist. Angenommen, (C= < ext>) und (A=< ext> ext<.>) Dann ist (A) eine Teilmenge von (C,) geschrieben als (Asubseteq C.)

Anmerkungen: Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst, (Asubseteq A.) Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge, (emptyset subseteq A.)

Beispiel 4.A.1 . Teilmengen.

Listen Sie alle Teilmengen der Menge der Primärfarben auf (P = < ext> ext<.>)

Beachten Sie, dass die leere Menge (< >) eine Teilmenge jeder Menge ist und eine Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist.

Beachten Sie auch, dass es (8= 2^3) Teilmengen der ursprünglichen Menge gibt, die (3) Elemente enthält. Im Allgemeinen hat eine Menge mit (n) Elementen (2^n) Teilmengen! (Häkchen)

WeBWork: Elemente in Sets eingeben.

Geben Sie eine Menge mit geschweiften Klammern an jedem Ende der Liste der Elemente an: <1,2,3>.

Verwenden Sie ein Komma zwischen Elementen in einer Menge: und zwischen Teilmengen: , .

Bezeichnen Sie die leere Menge mit geschweiften Klammern ohne Elemente: <> oder geben Sie das Wort NONE ein.

Unterabschnitt 4.A.2 Vereinigung von zwei Sätzen

Seien (A) und (B) zwei Mengen, dann ist die Vereinigung von (A) und (B ext<,>) geschrieben als (Acup B,) die Menge aller Elemente, die entweder in (A) oder in (B,) oder in (A) und (B) vorkommen oder.

Beispiel 4.A.2 . Union.

Seien (A=<1,4,5,6,8>) und (B=<4,5,6,7>) zwei Mengen von ganzen Zahlen.

Beachten Sie, dass in der Lösung von Beispiel 4.A.2 die ganze Zahl (4) nicht zweimal in die Liste der Elemente geschrieben wird, obwohl sie in beiden Mengen (A) und (B ext<.> . vorhanden ist ) Dies liegt daran, dass es nur eine ganze Zahl gibt (4 ext<.>)

Unterabschnitt 4.A.3 Schnittmenge zweier Mengen

Seien (A) und (B) zwei Mengen, dann wird der Schnitt von (A) und (B ext<,>) geschrieben als (Acap B ext<,> ) ist die Menge aller Elemente, die beiden Mengen (A) und (B ext<.>) gemeinsam sind, also die Menge aller Elemente in (A), die auch in ( B ext<.>) Wenn Sie das Schnittpunktsymbol (cap) sehen, sollten Sie denken und.

Beispiel 4.A.3 . Überschneidung.

Seien (A=<1,4,5,6,8>) und (B=<4,5,6,7>) zwei Mengen von ganzen Zahlen.

Zwei Mengen (A) und (B) heißen Mengen, wenn ihr Durchschnitt eine leere Menge ist. Dies würde mit (A cap B = emptyset.) bezeichnet.

Beispiel 4.A.4 . Disjunkte Sätze.

Unterabschnitt 4.A.4 Intervalle als Mengen

Intervalle stellen Zahlenmengen dar. Dies bedeutet, dass wir Set-Operationen auf Intervallen durchführen können. Beispielsweise:

Beispiel 4.A.5 . Vereinigung von zwei überlappenden Intervallen.

Betrachten Sie das folgende Diagramm mit zwei Intervallen. Die Punkte im Diagramm wären alle Werte entweder im oberen Intervall ODER im unteren (oder in beiden).

Zum Beispiel befindet sich (-3) im obersten Intervall ((-infty, 2] ext<,>), also ist (-3) in der Vereinigung.

Außerdem liegt (2.7) im unteren Intervall ((-2, infty) ext<,>), also ist (2.7) in der Vereinigung.

Und (-frac<1><3>) liegt in beiden Intervallen, also ist (-frac<1><3>) in der Vereinigung.

Beachten Sie, dass sich jede reelle Zahl entweder im oberen oder unteren Intervall (oder in beiden) befindet.

WeBWork: Eingabe aller reellen Zahlen.

Geben Sie (-inf,inf) für das Intervall ((-infty, infty) ext<.>) ein

Tippe -inf < x < inf für die Ungleichung (-infty lt x lt infty ext<.>)

Entsprechend können Sie alle reellen Zahlen eingeben.

Beispiel 4.A.6 . Schnittpunkt zweier überlappender Intervalle.

Betrachten Sie dieselben zwei Intervalle von Beispiel 4.A.5. Die Punkte im Diagramm wären alle Werte sowohl im oberen als auch im unteren Intervall. Dies sind Punkte, die beiden (oder in der ) gemeinsam sind.

Zum Beispiel ist (-3) NICHT im unteren Intervall ((-2, infty),), also ist (-3) NICHT im Schnittpunkt.

Außerdem befindet sich (2.7) NICHT im oberen Intervall ((-infty, 2],), also ist (2.7) NICHT im Schnittpunkt.

Da aber (-frac<1><3>) in beiden Intervallen liegt, IST (-frac<1><3>) im Schnitt.

Beispiel 4.A.7 . Vereinigung von zwei überlappenden Intervallen.

Beschreiben Sie die Punkte in der Grafik.

Denken Sie daran, dass die Punkte im Diagramm alle Werte entweder im ersten Intervall ODER im zweiten (oder in beiden) sind.

Zum Beispiel befindet sich (-3) sowohl im oberen als auch im unteren Intervall, also ist (-3) in der Vereinigung.

Und (2.7) liegt im unteren Intervall, also ist (2.7) in der Vereinigung.

Aber (5) ist in keinem Intervall, also ist (5) NICHT in der Vereinigung.

Beachten Sie, dass sich jede Zahl im unteren Intervall in der Vereinigung befindet (wie jede Zahl im oberen Intervall).

Beispiel 4.A.8 . Schnittpunkt zweier überlappender Intervalle.

Beschreiben Sie die Punkte in der Grafik.

Betrachten Sie dieselben zwei Intervalle von Beispiel 4.A.7. Denken Sie daran, dass die Punkte im Diagramm alle Werte sowohl im ersten Intervall als auch im zweiten Intervall sind. Dies sind Punkte, die beiden (oder in der ) gemeinsam sind.

Zum Beispiel befindet sich (-3) sowohl im oberen als auch im unteren Intervall, also befindet sich (-3) im Schnittpunkt.

Aber (2.7) liegt im unteren Intervall, aber nicht im oberen, also ist (2.7) NICHT im Schnittpunkt.

Außerdem befindet sich (5) in keinem der Intervalle, also ist (5) NICHT im Schnittpunkt.

Beachten Sie, dass die Überlappung der beiden Intervalle alle Zahlen im ersten Intervall ist.

Beispiel 4.A.9 . Vereinigung von zwei nicht überlappenden Intervallen.

Beschreiben Sie die Punkte in der Grafik.

Denken Sie daran, dass die Punkte im Diagramm alle Werte entweder im ersten Intervall ODER im zweiten (oder in beiden) sind.

WeBWork: Eingabe von zwei Intervallen oder zwei Ungleichungen.

Bei der Intervallnotation bedeutet der Großbuchstabe "U", dass Werte von jedem Intervall Lösungen sind: (-inf, -2] U [1, inf) .

Für (x leq -2 ext < oder >x geq 1 ext<:>)

Für Ungleichungsschreibweise x < = -2 oder x > = 1

Achten Sie darauf, das Wort "oder" zwischen den Lösungen einzufügen.

Beispiel 4.A.10 . Schnittpunkt zweier nicht überlappender Intervalle.

Beschreiben Sie die Punkte in der Grafik.

Betrachten Sie dieselben zwei Intervalle von Beispiel 4.A.9.

Die Punkte in der Grafik wären alle gemeinsamen Werte (Überlappung).

WeBWork: Leere Sets eingeben.

Unterabschnitt 4.A.5 Universal-Set

A (U) ist die Menge aller betrachteten Elemente. Wenn wir zum Beispiel daran interessiert wären, Wahrscheinlichkeiten bestimmter Pokerhände zu berechnen, wäre die universelle Menge die Menge aller (52)-Karten in einem regulären Kartenspiel. Wenn wir uns für GPAs von Schülern in C von I interessieren, ist die universelle Menge (U=< ext> ext<.>) Oder die universelle Menge könnte sogar (U=<1,2. 9,10> ext<,>) sein die Menge bestehend aus den ersten (10) positiv ganze Zahlen.

Unterabschnitt 4.A.6 Ergänzung einer Menge

Sei (A) eine beliebige Menge, dann ist das Komplement der Menge (A ext<,>) geschrieben als (A' ext<,>) die Menge bestehend aus Elementen in der universellen Menge ( U), die nicht in (A ext<.>) stehen Wenn Sie das Komplementsymbol (') sehen, sollten Sie denken nicht oder draußen.

Beispiel 4.A.11 . Komplement setzen.
Beispiel 4.A.12 . Vereinigung, Kreuzung, Ergänzung.
Beispiel 4.A.13 . Operationen einstellen.
Beispiel 4.A.14 . Operationen einstellen.

Unterabschnitt 4.A.7 Venn-Diagramme

In den späten 1800er Jahren entwickelte ein englischer Logiker namens John Venn eine Methode, um Beziehungen zwischen Mengen zu visualisieren. Er stellte diese Zusammenhänge mit Diagrammen dar, die heute als Venn-Diagramme bekannt sind. Ein Venn-Diagramm stellt eine Menge als das Innere eines Kreises dar. Oft sind zwei oder mehr Kreise in einem Rechteck eingeschlossen, wobei das Rechteck die universelle Menge darstellt. Eine Vereinigung oder Schnittmenge einer Menge zu visualisieren ist einfach. Nachfolgend einige Beispiele.

Der schattierte Bereich stellt die Sammlung aller Elemente dar, die entweder in (A) oder in (B,) oder in (A) und (B.) enthalten sind.

Der schattierte Bereich stellt die Sammlung aller Elemente dar, die sowohl (A) als auch (B.) gemeinsam haben.

Der schattierte Bereich stellt die Sammlung aller Elemente dar, die NICHT in (A.) enthalten sind.

Wir werden nun Venn-Diagramme verwenden, um verschiedene Populationen zu sortieren und Objekte zu zählen. Wir verwenden die Notation (n(A)), um die Anzahl der Elemente in der Menge (A ext<.>) darzustellen. Zum Beispiel, wenn (A=< ext>) dann (n(A)=4 ext<.>)

Beispiel 4.A.15 . 2-Gruppen-Venn-Diagramm.

Angenommen, eine Umfrage unter Autoliebhabern ergab, dass über einen bestimmten Zeitraum (30) Autos mit Automatikgetriebe, (20) Autos mit Standardgetriebe und (12) Autos beider Typen fuhren. Wenn jede Person in der Umfrage mit einem dieser Getriebe Autos fuhr, wie viele Personen nahmen an der Umfrage teil?

Lassen Sie die Menge (A) diejenigen darstellen, die mit Automatikgetrieben untersucht wurden.

Lassen Sie die Menge (S) diejenigen darstellen, die mit Standardübertragungen untersucht wurden.

Da (12) Autos beider Typen fuhr, notiere (color<12>) in (A) UND (S) (=Acap S ext<.>)

Sei (color) sei die Zahl in (A), aber NICHT in (S ext<.>) Dann ist (color=n(Acap S') ext<.>)

Sei (color) sei die Zahl in (S), aber NICHT in (A ext<.>) Dann (color=n(Scap A') ext<.>)

Da (30) Personen Autos mit Automatikgetriebe fuhren, muss der Kreis (A) (30) Gesamtpersonen enthalten.

Das bedeutet (x + 12 = 30 ext<.>) Subtrahiere (12) von beiden Seiten, um (x = 18 ext<.>) zu erhalten.

Aufzeichnen (color<18>) in (A) aber NICHT in (S ext<.>)

Da (20) Personen Autos mit Standardgetriebe fuhren, muss der Kreis (S) (20) Gesamtpersonen enthalten.

Das bedeutet (y + 12 = 20 ext<.>) Subtrahiere (12) von beiden Seiten, um (y = 8 ext<.>) zu erhalten.

Aufzeichnen (color<8>) in (S) aber NICHT in (A ext<.>)

Nachdem nun alle Informationen aussortiert sind, kann man aus dem Diagramm leicht ablesen, dass:

(Farbe<18>) Leute fuhren nur Autos mit Automatikgetriebe, (color<12>) Leute fuhren beide Arten von Autos und (color<8>) fuhr nur Autos mit Standardgetriebe.

(38) Personen haben an der Umfrage teilgenommen.(checkmark)

Beispiel 4.A.16 . 2-Gruppen-Venn-Diagramm.

Eine Umfrage unter (100) Menschen in Kalifornien zeigt, dass (60) Leute Disneyland besucht haben, (15) haben Knott's Berry Farm besucht und (6) haben beide besucht. Wie viele Leute haben keinen Ort besucht?

Lassen Sie die Menge (D) die Befragten darstellen, die Disneyland besucht haben.

Lassen Sie (K) die Befragten darstellen, die Knott's Berry Farm besucht haben.

Da (6) beide besucht hat, notiere (color<6>) in (=Dcap K ext<.>)

Da (60) Personen Disneyland besucht haben, muss (D) insgesamt (60) Personen enthalten.

Das bedeutet (x + 6 = 60 ext<.>) Subtrahiere (6) von beiden Seiten, um (x = 54 ext<.>) zu erhalten.

Aufzeichnen (color<54>) in (D) aber NICHT in (K ext<.>)

Da (15) Leute Knott's besucht haben, muss (K) (15) Gesamtpersonen enthalten.

Das bedeutet (y + 6 = 15 ext<.>) Subtrahiere (6) von beiden Seiten, um (y = 9 ext<.>) zu erhalten.

Aufzeichnen (color<9>) in (K) aber NICHT in (D ext<.>)

Sei (color) sei die Zahl im Rechteck, das die universelle Menge (U) repräsentiert, aber NICHT in (D) noch in (K ext<.>)

Da (100) Personen an der Umfrage teilgenommen haben, muss (U) (100) Objekte enthalten.

Dies bedeutet (54+6+9+z = 100) oder (69+z=100 ext<.>) Subtrahiere (69) von beiden Seiten, um (z = 31 ext< zu erhalten. >)

(31) Leute haben keinen Ort besucht.(checkmark)

Rückblickend auf das endgültige Venn-Diagramm von Beispiel 4.A.16, in dem (100) Personen in Kalifornien befragt wurden, können wir die Ergebnisse wie folgt in einer Zwei-Wege-Tabelle organisieren:

Disneyland ((D)) Nicht Disneyland ((D')) Gesamt
Knotts ((K)) (Farbe<6>) (Farbe<9>) (15)
Nicht Knotts ((K')) (Farbe<54>) (Farbe<31>) (85)
Gesamt (fbox<60>) (40) (100)

Beachten Sie aus der obigen Tabelle, dass wir bestimmte Anzahlen bestimmen können. Unten in der Disneyland-Spalte steht beispielsweise die eingerahmte Zahl (fbox<60> ext<,>), die die Gesamtzahl der befragten Personen angibt, die Disneyland besucht haben. Das rote (color<6>) ist der Schnittpunkt von Zeile Knott's und Spalte Disneyland, was (n(Dcap K) ext<,>) der Anzahl der Personen entspricht, die beide Parks besucht haben. Die Farbe<31>=n(D'cap K')) bedeutet (color<31>) hat keinen Park besucht.

Wir sind nicht auf (2)-Kreise beschränkt. Angenommen, eine Umfrage unter (100) bewegungsbewussten Menschen ergab die folgenden Informationen:

  1. (50) Joggen, (30) Schwimmen und (35) Radfahren
  2. (14) joggen und schwimmen
  3. (7) schwimmen und Rad fahren
  4. (9) Joggen und Radfahren
  5. (3) Personen nehmen an allen drei Aktivitäten teil

Da wir (3) Übungskategorien (Joggen, Schwimmen, Radfahren) haben, verwenden wir drei Kreise, einen für jede Gruppe. Ordnen Sie anhand der Ergebnisse der Übungsumfrage jeder Region in einem entsprechenden Venn-Diagramm eine Zahl zu und beantworten Sie dann die gestellten Fragen in den folgenden Beispielen:

Beispiel 4.A.17 . 3-Gruppen-Venn-Diagramm.

Verwenden Sie die Ergebnisse der Übungsumfrage oben, um jeder Region in einem entsprechenden Venn-Diagramm eine Zahl zuzuweisen.

Seien (J) die Jogger, (S) die Schwimmer und (C) die Radfahrer.

Wir beginnen immer damit, die Nummer zuerst dem innersten Bereich zuzuordnen und uns dann nach außen vorzuarbeiten.

Da (3) Personen an allen drei Aktivitäten teilnehmen, platzieren Sie ein (color<3>) im Schnittpunkt aller drei Kreise (=Jcap Scap C ext<.>)

Sei (color=n((Jcap S)cap C')) (Leute, die joggen und schwimmen, aber nicht Fahrrad fahren).

Da (14) joggen und schwimmen (x+3=14 ext<,>) also (color ext<.>)

Da (9) joggen und (y+3=9 ext<,>) radeln, also (color ext<.>)

Da (7) schwimmen und radfahren (z+3=7 ext<,>), also (color ext<.>)

Nachdem Sie (x,y,z) durch diese Werte ersetzt haben, beschriften Sie die Regionen (color, Farbe,Farbe< p> ext<.>)

Da (50) joggen (m + 11+3+6=50 ext<,>), also (color ext<.>)

Durch Addieren aller Einträge in allen drei Mengen erhalten wir eine Summe von (88 ext<.>)

Da (100) Personen befragt wurden, ist die Zahl innerhalb der universellen Menge, aber außerhalb aller drei Mengen (100-88=color<12> ext<.>)

Beispiel 4.A.18 . 3-Gruppen-Venn-Diagramm.

Verwenden Sie das ausgefüllte Venn-Diagramm aus Beispiel 4.A.17, um die Anzahl der befragten Personen zu bestimmen, die joggen, aber nicht schwimmen oder Rad fahren.

Die Region, die Jogger enthält, die nicht schwimmen oder Fahrrad fahren, ist in (color< ext> ext<.>)

Unsere Lösung: (30) Menschen joggen aber nicht schwimmen oder Rad fahren.(checkmark)

Beispiel 4.A.19 . 3-Gruppen-Venn-Diagramm.

Verwenden Sie das ausgefüllte Venn-Diagramm aus Beispiel 4.A.17, um die Anzahl der Befragten zu bestimmen, die nur an einer der Aktivitäten teilnehmen.

Die Regionen mit Personen, die an genau einer Aktivität teilnehmen, sind in (color< ext> ext<.>)

Unsere Lösung: (30+12+22=64) Menschen joggen aber nicht schwimmen oder Fahrrad fahren.(checkmark)

Beispiel 4.A.20 . 3-Gruppen-Venn-Diagramm.

Verwenden Sie das ausgefüllte Venn-Diagramm aus Beispiel 4.A.17, um die Anzahl der befragten Personen zu bestimmen, die an keiner dieser Aktivitäten teilnehmen.

Die Region, die Personen enthält, die an keiner dieser Aktivitäten teilnehmen, ist in (color< ext> ext<.>)

Unsere Lösung: (12) Personen nehmen an keiner dieser Aktivitäten teil.(checkmark)

Unterabschnitt 4.A.8 Baumdiagramme und das Multiplikationsaxiom

In diesem Abschnitt entwickeln wir Zähltechniken, die in Abschnitt 4.C verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu untersuchen. Eine der grundlegendsten dieser Techniken wird als . Bevor wir das Multiplikationsaxiom einführen, betrachten wir zunächst einige Beispiele.

Beispiel 4.A.21 . 2-Stufen-Baumdiagramm.

Ein Restaurant hat ein spezielles "Choose (2) Dinner-Deal": Für einen niedrigen Preis kann ein Kunde eine von zwei Vorspeisen und einen von vier Hauptgerichten wählen. Wie viele verschiedene Dinner-Kombinationen bestehend aus einer Vorspeise und einem Hauptgang sind möglich?

Beschriften Sie die beiden Vorspeisen (a_1) und (a_2 ext<.>)

Beschriften Sie die vier Hauptgerichte (m_1, m_2, m_3) und (m_4 ext<.>)

Erstellen Sie ein Baumdiagramm für dieses Problem.

  1. Da wir eine von zwei Vorspeisen auswählen können, beginnt der Baum mit zwei Zweigen, einem für jeden von (a_1) und (a_2 ext<.>).
  2. Da wir dann eine von vier Hauptgerichtsoptionen auswählen können, führt jeder der ersten beiden Zweige zu vier weiteren Zweigen. Der Baum hat (2 imes 4 = 8) Endpunkte, einen für jede der (8) Dinner-Spezialkombinationen.

Unsere Lösung: Es gibt (8) verschiedene Dinner-Kombinationen bestehend aus einer Vorspeise und einem Hauptgang. Zum Beispiel repräsentiert eine Kombination (a_2, m_3) die Vorspeisewahl (2) mit Hauptgericht (3checkmark ext<.>)

Das obige Baumdiagramm gibt uns alle acht Möglichkeiten. Das Verfahren umfasst zwei Schritte. Zuerst wählen wir eine Vorspeise. Wir haben zwei Möglichkeiten: (a_1) oder (a_2 ext<.>) Wenn wir (a_1 ext<,>) wählen, haben wir vier Hauptgerichte dazu (m_1, m_2, m_3 ) und (m_4 ext<.>) Wenn wir (a_2 ext<,>) wählen, können wir auch wieder eines der vier Hauptgerichte auswählen. Das Baumdiagramm hilft uns, diese Möglichkeiten zu visualisieren.

Der Leser sollte beachten, dass der Prozess zwei Schritte umfasst. Für den ersten Schritt der Auswahl einer Vorspeise gibt es zwei Auswahlmöglichkeiten, und für jede Auswahl einer Vorspeise gibt es vier Auswahlmöglichkeiten eines Hauptgerichts. Insgesamt gibt es also (2cdot 4=8) Möglichkeiten. Wenn wir im obigen Beispiel 4.A.21 ein Dessert hinzufügen, haben wir folgendes Problem:

Beispiel 4.A.22 . 3-Stufen-Baumdiagramm.

Ein Restaurant hat ein spezielles "Choose (3) Dinner-Deal": Für einen niedrigen Preis kann ein Kunde eine von zwei Vorspeisen, einen von vier Hauptgerichten und einen von drei Desserts auswählen. Wie viele verschiedene Dinner-Kombinationen bestehend aus einer Vorspeise, einem Hauptgang und einem Dessert sind möglich?

  1. Beschriften Sie die beiden Vorspeisen (a_1) und (a_2 ext<.>)
  2. Beschriften Sie die vier Hauptgerichte (m_1, m_2, m_3) und (m_4 ext<.>)
  3. Beschriften Sie die drei Desserts (d_1, d_2) und (d_3 ext<.>)

Das Baumdiagramm an den richtigen Ergebnissen. Der Baum hat (2 imes 4 imes 3 = 24) Endpunkte, einen für jede der (24) Dinner-Spezialkombinationen.

Unsere Lösung: Es gibt (24) verschiedene Dinner-Kombinationen bestehend aus einer Vorspeise, einem Hauptgang und einem Dessert.(checkmark)

Auch hier ist es wichtig zu beachten, dass dies ein dreistufiger Prozess ist. Es gibt zwei Möglichkeiten für den ersten Schritt der Auswahl einer Vorspeise. Für jede Vorspeise gibt es vier Auswahlmöglichkeiten für ein Hauptgericht und für jede Kombination aus Vorspeise und Hauptgericht gibt es drei Auswahlmöglichkeiten für ein Dessert. Alles in allem haben wir (2 imes 4 imes 3 = 24) verschiedene Möglichkeiten.

Die Baumdiagramme helfen uns, die verschiedenen Möglichkeiten zu visualisieren, aber sie sind nicht praktikabel, wenn die Möglichkeiten zahlreich sind. Außerdem interessieren wir uns hauptsächlich dafür, die Anzahl der Elemente im Set zu zählen und nicht die tatsächlichen Möglichkeiten. Aber wenn wir uns das Problem einmal vorgestellt haben, können wir es ohne Baumdiagramm lösen. Die beiden Beispiele, die wir gerade gelöst haben, haben uns vielleicht einen Hinweis gegeben, genau das zu tun.

Versuchen wir nun, Beispiel 4.A.22 ohne Baumdiagramm zu lösen. Denken Sie daran, dass das Problem drei Schritte umfasste: Auswahl einer Vorspeise, Auswahl eines Hauptgerichts und Auswahl eines Desserts. Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten sind unten aufgeführt:

Durch die Multiplikation dieser drei Zahlen erhalten wir (2cdot 4cdot 3=24 ext<,>), was wir erhalten haben, als wir das Problem mit einem Baumdiagramm gelöst haben. Das von uns soeben verwendete Verfahren heißt:

: Wenn eine Aufgabe auf (m) Arten und eine zweite Aufgabe auf (n) Arten erledigt werden kann, dann kann die Operation mit der ersten Aufgabe gefolgt von der zweiten in (mcdot n) Wege.

Das allgemeine Multiplikationsaxiom ist nicht auf nur zwei Aufgaben beschränkt und kann für beliebig viele Aufgaben verwendet werden.

Beispiel 4.A.23 . Multiplikationsaxiom.

A truck license plate consists of a letter followed by four digits. How many such license plates are possible?

Since there are (26) letters and (10) digits, we have the number of choices for each listed in the below table.

There are (260,000) possible such license plates.(checkmark)

Example 4.A.24 . Multiplication Axiom.

In how many different ways can a (3)-question true-false test be answered?

Since there are two choices for each question, we have:

We list all eight possibilities below:

The reader should note that the first letter in each possibility is the answer corresponding to the first question, the second letter corresponds to the answer to the second question and so on. For example, (TFF ext<,>) says that the answer to the first question is given as true, and the answers to the second and third questions false.

Example 4.A.25 . Multiplication Axiom.

In how many different ways can four people be seated in a row?

Suppose we put four chairs in a row, and proceed to put four people in these seats.

There are four choices for the first chair we choose. Once a person sits down in that chair, there are only three choices for the second chair, and so on. We list as shown below:


5: Sets and Counting

Like logic, the subject of sets is rich and interesting for its own sake. We will need only a few facts about sets and techniques for dealing with them, which we set out in this section and the next. We will return to sets as an object of study in chapters 4 and 5.

A set is a collection of objects any one of the objects in a set is called a member or an element of the set. If $a$ is an element of a set $A$ we write $ain A$.

Some sets occur so frequently that there are standard names and symbols for them. We denote the real numbers by $R$, the rational numbers (that is, the fractions) by $Q$, the integers by $$ and the natural numbers (that is, the positive integers) by $N$.

There is a natural relationship between sets and logic. If $A$ is a set, then $P(x)=$"$xin A

5: Sets and Counting

I am not going to leave without my washing. Four shirts, two union suits, a pair of pajamas, and four collars.

The Inclusion-Exclusion and the Pigeonhole Principles are the most fundamental combinatorial techniques. There are two additional rules which are basic to most elementary counting. One is known as the Sum Rule (or Disjunctive Rule ), the other is called Product Rule (or Sequential Rule .)

Below, |S| will denote the number of elements in a finite (or empty) set S. So, for example, and The empty set <> is denoted Ø.

Sum Rule

If A and B are disjoint, i.e., if A &cap B = Ø, then

Comment : behind the set-theoretic symbolism stands a simple fact without which counting would be impossible: it does not matter how you count , i.e., as long as you do not make a mistake of, say, missing an object or counting an object twice. It says this: if before counting objects one splits them into two groups and then counts the elements of one of the groups before proceeding to count the elements of the other, the result will be the same - the total number of objects to be counted. (Naturally, it does not depend on how the objects have been split into two groups.)

Beispiel 1

In a class of 30 students, there are 16 boys and 14 girls Of these, 23 persons wear pants and only 7 wear skirts On the last exam 20 students received a passing grade, while 10 failed

By induction, the sum rule is easily extended to any finite number of mutually disjoint sets:

(1') |A &cup B &cup C &cup D . | = |A| + |B| + |C| + |D| + .

Beispiel 2

An electronic book of 472 pages has been stored in separate files - 1 file per page - in two folders. One folder contained 305 files, the other 167 files

Product Rule

For a direct product A×B of two finite sets A and B,

Comment : By induction the rule extends to any finite number of sets:

An essential point here is how the tuples of objects are formed: an object is picked out from one of the given sets regardless of which objects have been drawn from the other sets. Why the rule is called sequential ? Because in a tuple, the objects (components) are ordered: there is the first one, the second, and so on.

Beispiel 3

The are two drawers. One contains 12 shirts, the other 7 neckties. There are ways to combine a shirt and a necktie.

It is possible to examine the drawers sequentially: first-second, first-second. It is also possible to form combinations using two hands: left for a shirt, right for a necktie. As long as all possible combinations shirt/necktie have been counted, the exact procedure is of no consequence.

Example 4

A test consists of 6 mutiple-choice questions. Each question has 4 possible answers. Es gibt


Five Years and Counting!

On August 13, 2016, I became the first woman, nurse, and industrial engineer to serve as director of the National Library of Medicine (NLM). From its beginning in 1836 as a small collection of books in the library of the U.S. Army Surgeon General’s office, NLM has become a global force in accelerating biomedical discovery and fostering evidence-based practices. I am proud to direct this esteemed organization and delighted to guide it towards its third century beginning in 2036.

This has been an exciting five years for NLM.

We accelerated data-driven discoveries and advanced training in analytics and data science across NIH and around the world. Our genomic resources played a crucial role in supporting NIH and the scientific community’s ability to understand a novel virus and address the COVID-19 pandemic. NLM investigators developed innovative uses of deep learning and artificial intelligence and applied them to a wide range of problems – ranging from interpretation of clinical images to improving search and retrieval of highly relevant citations from NLM’s PubMed biomedical literature database.

NLM pioneered strategies to link data sets to articles through our PubMed Central (PMC) digital archive, and doubled the size of the NLM-supported Network of the National Library of Medicine—reaching almost every congressional district in the United States with the capacity to connect NLM resources to communities in need.

We provided technical expertise to develop a secure single sign-on to a wide range of controlled data resources, and redeployed our research infrastructure to help public health authorities detect foodborne outbreaks and track the emergence of coronavirus variants. We also advanced our use of automated-first indexing to make sure that the published literature is available to our stakeholders as quickly as possible.

With the support and collaboration of other components of NIH, we are building a 21st century digital library that uses our collections to offer literature, data, analytical models, and new approaches to scientific communications that are accessible, sustainable, and available 24 hours a day and 7 days a week.

NLM’s archival collections continue to grow and evolve as the archival records of individuals, organizations, and other communities in health and medicine are increasingly created and communicated electronically or digitally. We expanded the formats and types of records we collect—and make accessible and usable— to include born-digital formats such as websites, social media, and data sets. For example, NLM deployed innovative techniques to prospectively curate and add COVID-19-related information from traditional news, social media, and other sources to our Digital Collections. These collections preserve for future research the ephemeral online record of modern health crises, documenting the work and experiences of health care providers, researchers, government agencies, news agencies, patients, and caregivers.

As a nurse and an industrial engineer specializing in health systems engineering applied to patient self-management, I bring a perspective to NLM that expands its mandate from supporting biomedical researchers and clinical practitioners to one that aggressively supports the health of the nation.

During my tenure, NLM’s footprint has expanded by:

  • Growing our research enterprise in support of data-driven discovery
  • Supporting key priorities of the NIH in data science, access to secure data repositories, and community engagement
  • Strengthening the integrity and efficiency of our internal resources to accelerate the acquisition, preservation, and dissemination of biomedical data and
  • Expanding our commitment to public outreach and engagement.

Two guiding principles have shaped my work:

I initiated the One NLM concept as an organizing framework during my first year as director of NLM. One NLM creates a rallying point, making explicit that all our offices and divisions work in concert and in support of NLM’s mission. As described in my January 2017 blog post entitled, One NLM:

One NLM emphasizes the integration of all our valuable divisions and services under a single mantle and acknowledges the interdependency and engagement across our programs. Certainly, each of our stellar divisions . . . have important, well-refined missions that will continue to serve science and society into the future. The moniker of One NLM weaves the work of each division into a common whole. Our strategic plan will set forth the direction for all of the National Library of Medicine, building on and augmenting the particular contributions of each division.

Strengthening the NLM Senior Leadership Team

I employ a team model of leadership—engaging the deputy director, four division directors, and four office directors in biweekly meetings. With the support of external consultants, we engaged in a one-year leadership development activity focused on building capacity for joint decision making, improving risk tolerance, and creating an environment that supports trans-NLM collaborative problem solving. I found that continued engagement with individual members and the leadership team established an organizational milieu that led to improved trust in each other. And the team, which held up in good stead during a period of maximum telework in response to COVID-19, ensured the innovative mobilization of NLM resources to help NIH rapidly assume new research programs, respond to public health needs, and most importantly serve as a trusted source of information.

What I’ve Learned

While I remain true to my core values and beliefs, I’m not the same Patti Brennan as I was when I entered the ‘Mezzanine’ floor of NLM’s Building 38 nearly five years ago. I’ve learned to mobilize and reward the talents of the 1,700 people working at NLM to achieve common goals. I figured out how to work with a boss, something few academics ever actually face. I’m better at finding the niche into NIH conversations and policy-setting meetings where the talents of NLM and our deep understanding of data science accelerate NIH’s mission to turn discovery into health. I’ve created space in conversations for the voices of others, particularly the members of my leadership team with whom, I’ve learned, complement my vision and drive with their knowledge and discernment. It’s been a great ride!


Prepare

In preparing the collections, teachers gather sets of objects in quantities that reflect students’ number sense and counting knowledge. This will vary by grade level and student experience. Keeping collections organized is important. Collections should be bagged and labeled, and teachers keep a log of each bag and its contents. This log helps teachers stay organized and is a handy reference to confirm students’ findings once they count the collections. It may look like this.

Bag Item Amount
EIN cubes 40
B crayons 12
C pom poms 22


10 Must-Have Counting Books

Combine math and reading with these 10 must-have counting books. Counting books can help your child learn about numbers while boosting literacy skills however, a good counting book isn't just a combination of illustrations and numbers. Good ones have stories, draw readers in, and make them want to read the book over and over again. These 10 books are all great examples of how numbers and words can combine to make a great book.


1. Anno's Counting Book, by Mitsumasa Anno, is a text-free book that naturally inspires readers to count and create stories about the numbers they find. Numbers are displayed on each page and readers can play detective trying to figure them out.


2. My Granny Went to Market, by Stella Blackstone, is a great book that adds a multicultural spin on a counting book.


3. Doggies, by Sandra Boynton, is such a fun book you will forget you are counting as you bark along with all the dogs. Toddlers adore it.


4. The Very Hungry Caterpillar, by Eric Carle, gives readers a chance to count all the things that caterpillar ate. In addition to that, it teaches about nutrition and, of course, the lifecycle of a butterfly.


5. Ten Black Dots, by Donald Crews, promotes counting as well as creativity in this deceptively simple book.


6. On the Launch Pad: A Counting Book About Rockets, by Michael Dahl, has a fun space theme along with multiple ways to represent each number on every page.


7. Fish Eyes: A Book You Can Count On, by Lois Ehlert, combines bright colors, cool cut-outs, and the power of anticipation to keep kids reading and counting from cover to cover.


8. Ten Little Ladybugs, by Melanie Gerth, is an interactive counting book that lets children explore textures and touch the ladybugs as they count them.


9. Zin! Zin! Zin! A Violin, by Lloyd Moss, has great illustrations and an incredible rhyming text that teaches readers about musical instruments as well as counting.


10. One, by Kathryn Otoshi, proves that a counting book can be filled with a great lesson about bullying as well as a lesson about numbers.

Does your child have a favorite counting book? Share the title with us on the Scholastic Parents Facebook page.


The Why and What of Counting

Alyssa looked out of her hospital bassinet at the card the researcher had positioned just within her focus. Even though she was only two days old, Alyssa detected a difference between cards with two dots and cards with three, staring longer when the number of dots changed. When she was 14 months old, after watching her mother drop crackers into two containers one by one, Alyssa consistently chose the container that had more crackers over the identical container that had fewer. By the time she was two, during a game she liked to play with Teacher Maria, Alyssa knew that if she put three balls into the cloth bag and teacher Maria took out two, there was still one ball left in the bag. Alyssa was developing number sense before she even knew the number words.

It seems that children are born to notice numerosity—arguably the basis of all later mathematics—in the world around them. And, as they grow older, they fall in love with numerosity’s companion, counting.

Verbal Counting and Counting Collections

Unlike knowing which of two groups is larger, or that adding one object to a set of objects makes the resulting set larger, counting requires the support of a more knowledgeable other, whether that person is a parent, caregiver, teacher, or peer. The reason is that counting requires language. Specifically, it requires number words. For centuries, children’s rhymes, games, and songs have set the stage for the seemingly effortless acquisition of verbal counting. Young children happily sing songs in which ducks disappear and monkeys fall off beds.

But counting isn’t just knowing the number words. It also requires the ability to count a set of objects (or even sounds or gestures). This ability also requires a more knowledgeable other, as counting objects accurately is quite complicated.

Those who study children’s mathematical development explain that counting involves five principles:

1. one-to-one correspondence,

2. stable number word order,

3. cardinality (the last number word in the count represents the numerosity of the set),

4. order irrelevance (objects can be counted in any order), and

5. abstraction (items, even if dissimilar, can be counted as a set, or a collection of objects)

Sound complicated? It is! Something we adults take for granted as “simple” is actually quite complex developmentally.

What is more, counting is foundational to later math development. In order to develop a strong understanding of quantity, and eventually how to manipulate quantities (like adding, subtracting, or fair-sharing—what we call operations), children need an abundance of counting experiences. Counting needs to become almost automatic.

In the Classroom: Making Math Purposeful and Playful

Providing support for young children as they gain expertise in counting isn’t as easy as 1, 2, 3. Children should feel engaged and develop conceptual understandings through meaningful activities, which takes skill on the part of the teacher.

Teachers of young children need to be able to provide both planned and spontaneous counting opportunities. This can be difficult to do in an authentic way. Asking children to count objects, when, to them, there appears to be no reason to use that information can make children resistant. Teachers can, however, point out the usefulness of knowing how many and encourage the use of that knowledge.

A repertoire of individual and small group counting activities is essential for children to hone their counting skills, as are activities that can be used in classroom transitions (e.g. washing hands, setting tables, and so on). Teachers who can view children’s play and peer interactions through a child’s perspective can more easily integrate counting spontaneously. Knowing that sharing a set of blocks fairly is important to children who are building two towers in a jointly-built castle can provide the inspiration for suggesting counting as a method of insuring fairness.

Math is too important to leave to chance learning in the classroom. Counting activities should be intentional, purposeful, playful, and FUN. For the teacher, learning how to include them in the preschool classroom throughout the day requires creativity and planning.

This article is adapted from "Counting on Counting," first published on the DREME teacher educator website. To see the complete article and our other free, research-based early math resources for teacher educators, please visit DREME TE.

Linda M. Platas is Associate Chair in the Child and Adolescent Development department at San Francisco State University. A member of the Early Math Resources for Teacher Educators project of the DREME Network, Linda is also a developer of DREME TE, a website of free early math resources for teacher educators.


9.5 Counting Principles

A new company sells customizable cases for tablets and smartphones. Each case comes in a variety of colors and can be personalized for an additional fee with images or a monogram. A customer can choose not to personalize or could choose to have one, two, or three images or a monogram. The customer can choose the order of the images and the letters in the monogram. The company is working with an agency to develop a marketing campaign with a focus on the huge number of options they offer. Counting the possibilities is challenging!

We encounter a wide variety of counting problems every day. There is a branch of mathematics devoted to the study of counting problems such as this one. Other applications of counting include secure passwords, horse racing outcomes, and college scheduling choices. We will examine this type of mathematics in this section.

Using the Addition Principle

The company that sells customizable cases offers cases for tablets and smartphones. There are 3 supported tablet models and 5 supported smartphone models. The Addition Principle tells us that we can add the number of tablet options to the number of smartphone options to find the total number of options. By the Addition Principle, there are 8 total options, as we can see in Figure 1.


Schau das Video: Five My Dinners a 4 NEW RECIPES Quick Dinner na jedné pánvi! Maria Mironevich (November 2021).