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7.E: Trigonometrische Funktionen (Übungen) - Mathematik


5.1: Winkel

In diesem Abschnitt werden wir die Eigenschaften von Winkeln untersuchen.

Verbale

1) Zeichnen Sie einen Winkel in Standardposition. Beschriften Sie den Scheitelpunkt, die Anfangsseite und die Endseite.

Antworten

2) Erklären Sie, warum es unendlich viele Winkel gibt, die zu einem bestimmten Winkel koterminal sind.

3) Geben Sie an, was ein positiver oder negativer Winkel bedeutet, und erklären Sie, wie Sie jeden zeichnen.

Antworten

Ob der Winkel positiv oder negativ ist, bestimmt die Richtung. Ein positiver Winkel wird entgegen dem Uhrzeigersinn gezeichnet und ein negativer Winkel wird im Uhrzeigersinn gezeichnet.

4) Wie verhält sich das Bogenmaß eines Winkels zum Gradmaß? Fügen Sie eine Erklärung von (1) Radiant in Ihren Absatz ein.

5) Erklären Sie die Unterschiede zwischen Lineargeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit bei der Beschreibung von Bewegungen entlang einer Kreisbahn.

Antworten

Die Lineargeschwindigkeit ist eine Messung, die durch Berechnung der Entfernung eines Bogens im Vergleich zur Zeit ermittelt wird. Die Winkelgeschwindigkeit ist eine Messung, die durch Berechnung des Winkels eines Bogens im Vergleich zur Zeit ermittelt wird.

Grafisch

Zeichnen Sie für die Übungen 6-21 einen Winkel in Standardposition mit dem angegebenen Maß.

6) (30^{circ})

7) (300^{circ})

Antworten

8) (-80^{circ})

9) (135^{circ})

Antworten

10) (-150^{circ})

11) (dfrac{2π}{3})

Antworten

12) (dfrac{7π}{4})

13) (dfrac{5π}{6})

Antworten

14) (dfrac{π}{2})

15) (−dfrac{π}{10})

Antworten

16) (415^{circ})

17) (-120^{circ})

Antworten

(240^{circ})

18) (-315^{circ})

19)(dfrac{22π}{3})

Antworten

(dfrac{4π}{3})

20) (−dfrac{π}{6})

21) (−dfrac{4π}{3})

Antworten

(dfrac{2π}{3})

Für die Übungen 22-23 siehe Abbildung unten. Auf zwei Dezimalstellen runden.

22) Finden Sie die Bogenlänge.

23) Finden Sie den Bereich des Sektors.

Antworten

(dfrac{27π}{2}≈11.00 ext{ in}^2)

Für die Übungen 24-25 siehe Abbildung unten. Auf zwei Dezimalstellen runden.

24) Finden Sie die Bogenlänge.

25) Finden Sie den Bereich des Sektors.

Antworten

(dfrac{81π}{20}≈12,72 ext{cm}^2)

Algebraisch

Wandeln Sie für die Übungen 26-32 Winkel im Bogenmaß in Grad um.

26) (dfrac{3π}{4}) Bogenmaß

27) (dfrac{π}{9}) Bogenmaß

Antworten

(20^{circ})

28) (−dfrac{5π}{4}) Bogenmaß

29) (dfrac{π}{3}) Bogenmaß

Antworten

(60^{circ})

30) (−dfrac{7π}{3}) Bogenmaß

31) (−dfrac{5π}{12}) Bogenmaß

Antworten

(-75^{circ})

32) (dfrac{11π}{6}) Bogenmaß

Wandeln Sie für die Übungen 33-39 Winkel in Grad in Bogenmaß um.

33) (90^{circ})

Antworten

(dfrac{π}{2}) Bogenmaß

34) (100^{circ})

35) (-540^{circ})

Antworten

(−3π) Bogenmaß

36) (-120^{circ})

37) (180^{circ})

Antworten

(π) Bogenmaß

38) (-315^{circ})

39) (150^{circ})

Antworten

(dfrac{5π}{6}) Bogenmaß

Verwenden Sie für die Übungen 40-45 die angegebenen Informationen, um die Länge eines Kreisbogens zu ermitteln. Auf zwei Dezimalstellen runden.

40) Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens mit dem Radius (12) Zoll, der von einem Mittelpunktswinkel von (dfrac{π}{4}) im Bogenmaß umgeben ist.

41) Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens mit dem Radius (5.02) Meilen, der vom Mittelpunktswinkel von (dfrac{π}{3}) begrenzt wird.

Antworten

(dfrac{5.02π}{3}≈5.26) Meilen

42) Bestimmen Sie die Länge des Bogens eines Kreises mit einem Durchmesser von (14) Meter, der vom Mittelpunktswinkel von (dfrac{5pi }{6}) begrenzt wird.

43) Bestimme die Länge des Kreisbogens mit dem Radius (10) Zentimeter, der vom Mittelpunktswinkel (50^{circ}) begrenzt wird.

Antworten

(dfrac{25π}{9}≈8,73) Zentimeter

44) Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens mit dem Radius (5) Zoll, der vom Mittelpunktswinkel von (220^{circ}) begrenzt wird.

45) Bestimmen Sie die Länge des Bogens eines Kreises mit einem Durchmesser von (12) Metern, der vom Mittelpunktswinkel (63^{circ}) begrenzt wird.

Antworten

(dfrac{21π}{10}≈6,60) Meter

Verwenden Sie für die Übungen 46-49 die angegebenen Informationen, um den Bereich des Sektors zu finden. Auf vier Nachkommastellen runden.

46) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von (45^{circ}) und einen Radius (6) cm.

47) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von (30^{circ}) und einen Radius von (20) cm.

Antworten

(104.7198; cm^2)

48) Ein Kreissektor mit einem Durchmesser von (10) Fuß und einem Winkel von (dfrac{π}{2}) im Bogenmaß.

49) Ein Kreissektor mit einem Radius von (0,7) Zoll und einem Winkel von (π) im Bogenmaß.

Antworten

(0,7697; in^2)

Bestimmen Sie für die Aufgaben 50-53 den Winkel zwischen (0^{circ}) und (360^{circ}), der koterminal zum gegebenen Winkel ist.

50) (-40^{circ})

51) (-110^{circ})

Antworten

(250^{circ})

52) (700^{circ})

53) (1400^{circ})

Antworten

(320^{circ})

Bestimmen Sie für die Aufgaben 54-57 den Winkel zwischen (0) und (2pi) im Bogenmaß, der koterminal zum gegebenen Winkel ist.

54) (−dfrac{π}{9})

55) (dfrac{10π}{3})

Antworten

(dfrac{4π}{3})

56) (dfrac{13π}{6})

57) (dfrac{44π}{9})

Antworten

(dfrac{8π}{9})

Reale Anwendungen

58) Ein Lastwagen mit Rädern mit (32)-Zoll-Durchmesser fährt mit (60) Meilen/h. Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit der Räder in rad/min. Wie viele Umdrehungen pro Minute machen die Räder?

59) Ein Fahrrad mit Rädern mit (24)-Zoll-Durchmesser fährt mit (15) Meilen/h. Wie viele Umdrehungen pro Minute machen die Räder?

Antworten

(1320) rad (210.085) U/min

60) Ein Rad mit dem Radius (8) Zoll dreht sich (15^{circ}/s). Was ist die Lineargeschwindigkeit (v), die Winkelgeschwindigkeit in U/min und die Winkelgeschwindigkeit in rad/s?

61) Ein Rad mit dem Radius (14) Zoll dreht sich (0,5 ext{rad/s}). Was ist die Lineargeschwindigkeit (v), die Winkelgeschwindigkeit in U/min und die Winkelgeschwindigkeit in Grad/s?

Antworten

(7) Zoll/s, (4,77) U/min, (28,65) Grad/s

62) Eine CD hat einen Durchmesser von (120) Millimeter. Beim Abspielen von Audio variiert die Winkelgeschwindigkeit, um die lineare Geschwindigkeit dort konstant zu halten, wo die Disc gelesen wird. Beim Lesen entlang der äußeren Kante der Scheibe beträgt die Winkelgeschwindigkeit etwa (200) U/min (Umdrehungen pro Minute). Finden Sie die lineare Geschwindigkeit.

63) Beim Brennen in ein beschreibbares CD-R-Laufwerk ist die Winkelgeschwindigkeit einer CD oft viel schneller als beim Abspielen von Audio, aber die Winkelgeschwindigkeit variiert immer noch, um die lineare Geschwindigkeit beim Beschreiben der Disc konstant zu halten. Beim Schreiben entlang der äußeren Kante der Disc beträgt die Winkelgeschwindigkeit eines Laufwerks etwa (4800) U/min (Umdrehungen pro Minute). Bestimmen Sie die Lineargeschwindigkeit, wenn die CD einen Durchmesser von (120) Millimeter hat.

Antworten

(1,809,557,37 ext{ mm/min}=30,16 ext{ m/s})

64) Eine Person steht auf dem Äquator der Erde (Radius (3960) Meilen). Wie groß sind seine Linear- und Winkelgeschwindigkeiten?

65) Bestimmen Sie die Entfernung entlang eines Bogens auf der Erdoberfläche, der einen Zentralwinkel von (5) Minuten ((1 ext{ Minute}=dfrac{1}{60} ext{ Grad}) ). Der Radius der Erde beträgt (3960) Meilen.

Antworten

(5,76) Meilen

66) Bestimmen Sie die Entfernung entlang eines Bogens auf der Erdoberfläche, der einen Zentralwinkel von (7) Minuten ((1 ext{ Minute}=dfrac{1}{60} ext{ Grad}) ). Der Radius der Erde beträgt (3960) Meilen.

67) Betrachten Sie eine Uhr mit einem Stundenzeiger und einem Minutenzeiger. Was ist das Maß für den Winkel, den der Minutenzeiger in (20) Minuten zurücklegt?

Antworten

(120°)

Erweiterungen

68) Zwei Städte haben den gleichen Längengrad. Der Breitengrad von Stadt A ist (9.00) Grad nördlicher und der Breitengrad von Stadt B ist (30.00) Grad nördlicher. Angenommen, der Radius der Erde beträgt (3960) Meilen. Finden Sie die Entfernung zwischen den beiden Städten.

69) Eine Stadt liegt auf (40) Grad nördlicher Breite. Angenommen, der Radius der Erde beträgt (3960) Meilen und die Erde dreht sich alle (24) Stunden einmal. Finden Sie die lineare Geschwindigkeit einer Person, die in dieser Stadt wohnt.

Antworten

(794) Meilen pro Stunde

70) Eine Stadt liegt auf (75) Grad nördlicher Breite. Finden Sie die lineare Geschwindigkeit einer Person, die in dieser Stadt wohnt.

71) Bestimmen Sie die lineare Geschwindigkeit des Mondes, wenn die durchschnittliche Entfernung zwischen Erde und Mond (239.000) Meilen beträgt, unter der Annahme, dass die Umlaufbahn des Mondes kreisförmig ist und ungefähr (28) Tage benötigt. Express-Antwort in Meilen pro Stunde.

Antworten

(2.234) Meilen pro Stunde

72) Ein Fahrrad hat Räder mit einem Durchmesser von (28) Zoll. Ein Drehzahlmesser stellt fest, dass sich die Räder mit (180) U/min (Umdrehungen pro Minute) drehen. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mit der das Fahrrad die Straße entlang fährt.

73) Ein Auto fährt (3) Meilen. Seine Reifen machen (2640) Umdrehungen. Wie groß ist der Radius eines Reifens in Zoll?

Antworten

(11,5) Zoll

74) Ein Rad an einem Traktor hat einen Durchmesser von (24) Zoll. Wie viele Umdrehungen macht das Rad, wenn der Traktor (4) Meilen zurücklegt?

5.2: Einheitskreis - Sinus- und Kosinusfunktionen

Verbale

1) Beschreiben Sie den Einheitskreis.

Antworten

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius (1) um den Ursprung zentriert.

2) Was bedeuten die (x)- und (y)-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis?

3) Diskutieren Sie den Unterschied zwischen einem coterminalen Winkel und einem Referenzwinkel.

Antworten

Coterminale Winkel sind Winkel, die die gleiche terminale Seite teilen. Ein Referenzwinkel ist die Größe des kleinsten spitzen Winkels (t), der durch die Endseite des Winkels (t) und die horizontale Achse gebildet wird.

4) Erklären Sie, wie sich der Kosinus eines Winkels im zweiten Quadranten vom Kosinus seines Bezugswinkels im Einheitskreis unterscheidet.

5) Erklären Sie, wie sich der Sinus eines Winkels im zweiten Quadranten vom Sinus seines Bezugswinkels im Einheitskreis unterscheidet.

Antworten

Die Sinuswerte sind gleich.

Algebraisch

Verwenden Sie für die Aufgaben 6-9 das gegebene Vorzeichen der Sinus- und Cosinusfunktionen, um den Quadranten zu finden, in dem der durch (t) bestimmte Endpunkt liegt.

6) ( sin(t)<0) und (cos(t)<0)

7) ( sin(t)>0) und ( cos(t)>0)

Antworten

( extrm{I})

8) ( sin(t)>0) und (cos(t)<0)

9) ( sin(t)<0) und (cos(t)>0)

Antworten

( extrm{IV})

Ermitteln Sie für die Übungen 10-22 den genauen Wert jeder trigonometrischen Funktion.

10) (sindfrac{π}{2})

11) (sindfrac{π}{3})

Antworten

(dfrac{sqrt{3}}{2})

12) ( cos dfrac{π}{2})

13) ( cos dfrac{π}{3})

Antworten

(dfrac{1}{2})

14) ( sin dfrac{π}{4})

15) ( cos dfrac{π}{4})

Antworten

(dfrac{sqrt{2}}{2})

16) ( sin dfrac{π}{6})

17) ( sin π)

Antworten

(0)

18) ( sin dfrac{3π}{2})

19) ( cos π)

Antworten

(−1)

20) ( cos 0)

21) (cos dfrac{π}{6})

Antworten

(dfrac{sqrt{3}}{2})

22) ( sin 0)

Numerisch

Geben Sie für die Aufgaben 23-33 den Bezugswinkel für den gegebenen Winkel an.

23) (240°)

Antworten

(60°)

24) (−170°)

25) (100°)

Antworten

(80°)

26) (−315°)

27) (135°)

Antworten

(45°)

28) (dfrac{5π}{4})

29) (dfrac{2π}{3})

Antworten

(dfrac{π}{3})

30) (dfrac{5π}{6})

31) (−dfrac{11π}{3})

Antworten

(dfrac{π}{3})

32) (dfrac{−7π}{4})

33) (dfrac{−π}{8})

Antworten

(dfrac{π}{8})

Bestimmen Sie für die Übungen 34-49 den Referenzwinkel, den Quadranten der Terminalseite und den Sinus und Cosinus jedes Winkels. Wenn der Winkel nicht einer der Winkel auf dem Einheitskreis ist, verwenden Sie einen Taschenrechner und runden Sie auf drei Dezimalstellen.

34) (225°)

35) (300°)

Antworten

(60°), Quadrant IV, (sin (300°)=−dfrac{sqrt{3}}{2}, cos (300°)=dfrac{1}{2})

36) (320°)

37) (135°)

Antworten

(45°), Quadrant II, ( sin (135°)=dfrac{sqrt{2}}{2}, cos (135°)=−dfrac{sqrt{2}}{ 2})

38) (210°)

39) (120°)

Antworten

(60°), Quadrant II, (sin (120°)=dfrac{sqrt{3}}{2}), (cos (120°)=−dfrac{1}{ 2})

40) (250°)

41) (150°)

Antworten

(30°), Quadrant II, (sin (150°)=frac{1}{2}), (cos(150°)=−dfrac{sqrt{3}}{ 2})

42) (dfrac{5π}{4})

43) (dfrac{7π}{6})

Antworten

(dfrac{π}{6}), Quadrant III, (sin left( dfrac{7π}{6} ight )=−dfrac{1}{2}), ( cos left (dfrac{7π}{6} ight)=−dfrac{sqrt{3}}{2})

44) (dfrac{5π}{3})

45) (dfrac{3π}{4})

Antworten

(dfrac{π}{4}), Quadrant II, (sin left(dfrac{3π}{4} ight)=dfrac{sqrt{2}}{2}), (cosleft(dfrac{4π}{3} ight)=−dfrac{sqrt{2}}{2})

46) (dfrac{4π}{3})

47) (dfrac{2π}{3})

Antworten

(dfrac{π}{3}), Quadrant II, (sinleft(dfrac{2π}{3} ight)=dfrac{sqrt{3}}{2}), ( cos left(dfrac{2π}{3} ight)=−dfrac{1}{2})

48) (dfrac{5π}{6})

49) (dfrac{7π}{4})

Antworten

(dfrac{π}{4}), Quadrant IV, (sinleft(dfrac{7π}{4} ight)=−dfrac{sqrt{2}}{2}) , ( cos left(dfrac{7π}{4} ight)=dfrac{sqrt{2}}{2})

Finden Sie für die Übungen 50-59 den gewünschten Wert.

50) Wenn (cos(t)=dfrac{1}{7}) und (t) im (4^{th})-Quadranten liegt, bestimme (sin(t) ).

51) Falls (cos(t)=dfrac{2}{9}) und (t) im (1^{st})-Quadranten liegt, bestimme (sin(t) ).

Antworten

(dfrac{sqrt{77}}{9})

52) Wenn (sin(t)=dfrac{3}{8}) und (t) im (2^{nd})-Quadranten liegt, bestimme (cos(t) ).

53) Falls (sin(t)=−dfrac{1}{4}) und (t) im (3^{rd})-Quadranten liegt, bestimme (cos(t) ).

Antworten

(−dfrac{sqrt{15}}{4})

54) Finden Sie die Koordinaten des Punktes auf einem Kreis mit Radius (15) entsprechend einem Winkel von (220°).

55) Finden Sie die Koordinaten des Punktes auf einem Kreis mit Radius (20) entsprechend einem Winkel von (120°).

Antworten

((−10,10sqrt{3}))

56) Finden Sie die Koordinaten des Punktes auf einem Kreis mit Radius (8) entsprechend einem Winkel von (dfrac{7π}{4}).

57) Finden Sie die Koordinaten des Punktes auf einem Kreis mit Radius (16) entsprechend einem Winkel von (dfrac{5π}{9}).

Antworten

((–2.778,15.757))

58) Geben Sie den Bereich der Sinus- und Kosinusfunktionen an.

59) Geben Sie den Bereich der Sinus- und Kosinusfunktionen an.

Antworten

([–1,1])

Grafisch

Verwenden Sie für die Aufgaben 60-79 den gegebenen Punkt auf dem Einheitskreis, um den Wert von Sinus und Cosinus von (t) zu ermitteln.

60)

61)

Antworten

( sin t=dfrac{1}{2}, cos t=−dfrac{sqrt{3}}{2})

62)

63)

Antworten

( sin t=−dfrac{sqrt{2}}{2}, cos t=−dfrac{sqrt{2}}{2})

64)

65)

Antworten

( sin t=dfrac{sqrt{3}}{2},cos t=−dfrac{1}{2})

66)

67)

Antworten

( sin t=−dfrac{sqrt{2}}{2}, cos t=dfrac{sqrt{2}}{2})

68)

69)

Antworten

( sin t=0, cos t=−1)

70)

71)

Antworten

( sin t=−0.596, cos t=0.803)

72)

73)

Antworten

(sin t=dfrac{1}{2}, cos t=dfrac{sqrt{3}}{2})

74)

75)

Antworten

( sin t=−dfrac{1}{2}, cos t=dfrac{sqrt{3}}{2} )

76)

77)

Antworten

( sin t=0,761, cos t=−0,649 )

78)

79)

Antworten

( sin t=1, cos t=0)

Technologie

Verwenden Sie für die Übungen 80-89 zur Auswertung einen Grafikrechner.

80) ( sin dfrac{5π}{9})

81) (cos dfrac{5π}{9})

Antworten

(−0.1736)

82) ( sin dfrac{π}{10})

83) ( cos dfrac{π}{10})

Antworten

(0.9511)

84) ( sin dfrac{3π}{4})

85) (cosdfrac{3π}{4})

Antworten

(−0.7071)

86) ( sin 98° )

87) ( cos 98° )

Antworten

(−0.1392)

88) ( cos 310° )

89) ( sin 310° )

Antworten

(−0.7660)

Erweiterungen

Bewerten Sie für die Übungen 90-99.

90) ( sin left(dfrac{11π}{3} ight) cos left(dfrac{−5π}{6} ight))

91) ( sin left(dfrac{3π}{4} ight) cos left(dfrac{5π}{3} ight))

Antworten

(dfrac{sqrt{2}}{4})

92) ( sin left(−dfrac{4π}{3} ight) cos left(dfrac{π}{2} ight))

93) ( sin left(dfrac{−9π}{4} ight) cos left(dfrac{−π}{6} ight))

Antworten

(−dfrac{sqrt{6}}{4})

94) ( sin left(dfrac{π}{6} ight) cos left(dfrac{−π}{3} ight) )

95) ( sin left(dfrac{7π}{4} ight) cos left(dfrac{−2π}{3} ight) )

Antworten

(dfrac{sqrt{2}}{4})

96) ( cos left(dfrac{5π}{6} ight) cos left(dfrac{2π}{3} ight))

97) ( cos left(dfrac{−π}{3} ight) cos left(dfrac{π}{4} ight) )

Antworten

(dfrac{sqrt{2}}{4})

98) ( sin left(dfrac{−5π}{4} ight) sin left(dfrac{11π}{6} ight))

99) ( sin (π) sin left(dfrac{π}{6} ight) )

Antworten

(0)

Reale Anwendungen

Verwenden Sie für die Übungen 100-104 dieses Szenario: Ein Kind betritt ein Karussell, das eine Minute braucht, um sich einmal zu drehen. Das Kind tritt am Punkt ((0,1)) ein, d. h. an der genauen Nordposition. Angenommen, das Karussell dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.

100) Wie lauten die Koordinaten des Kindes nach (45) Sekunden?

101) Wie lauten die Koordinaten des Kindes nach (90) Sekunden?

Antworten

((0,–1))

102) Wie lauten die Koordinaten des Kindes nach (125) Sekunden?

103) Wann hat das Kind die Koordinaten ((0.707,–0.707)), wenn die Fahrt (6) Minuten dauert? (Es gibt mehrere Antworten.)

Antworten

(37,5) Sekunden, (97,5) Sekunden, (157,5) Sekunden, (217,5) Sekunden, (277,5) Sekunden, (337,5) Sekunden

104) Wann wird das Kind die Koordinaten ((−0.866,−0.5)) haben, wenn die Fahrt (6) Minuten dauert?

5.3: Die anderen trigonometrischen Funktionen

Verbale

1) Können auf einem Intervall von ([ 0,2π )) die Sinus- und Cosinuswerte eines Bogenmaßes jemals gleich sein? Wenn ja, wo?

Antworten

Ja, wenn der Bezugswinkel (dfrac{π}{4}) ist und die Endseite des Winkels in den Quadranten I und III liegt. Somit sind bei (x=dfrac{π}{4},dfrac{5π}{4}) die Sinus- und Cosinuswerte gleich.

2) Wie hoch schätzen Sie den Kosinus von (pi) Grad? Erklären Sie Ihre Argumentation.

3) Wenn Sie den Sinus des Winkels kennen, wie könnten Sie für jeden Winkel in Quadrant II den Kosinus des Winkels bestimmen?

Antworten

Ersetzen Sie den Sinus des Winkels in für (y) im Satz des Pythagoras (x^2+y^2=1). Löse nach (x) auf und nimm die negative Lösung.

4) Beschreiben Sie die Sekantenfunktion.

5) Tangente und Cotangens haben eine Periode von (π). Was sagt uns das über die Ausgabe dieser Funktionen?

Antworten

Die Ausgaben von Tangente und Kotangens werden alle (π)-Einheiten wiederholt.

Algebraisch

Ermitteln Sie für die Übungen 6-17 den genauen Wert jedes Ausdrucks.

6) ( an dfrac{π}{6})

7) (sec dfrac{π}{6})

Antworten

(dfrac{2sqrt{3}}{3})

8) ( csc dfrac{π}{6})

9) ( cot dfrac{π}{6})

Antworten

(sqrt{3})

10) ( an dfrac{π}{4})

11) ( sec dfrac{π}{4})

Antworten

(sqrt{2})

12) ( csc dfrac{π}{4})

13) ( cot dfrac{π}{4})

Antworten

(1)

14) ( an dfrac{π}{3})

15) ( sec dfrac{π}{3})

Antworten

(2)

16) ( csc dfrac{π}{3})

17) ( cot dfrac{π}{3})

Antworten

(dfrac{sqrt{3}}{3})

Verwenden Sie für die Übungen 18-48 Referenzwinkel, um den Ausdruck auszuwerten.

18) ( an dfrac{5π}{6})

19) ( sec dfrac{7π}{6})

Antworten

(−dfrac{2sqrt{3}}{3})

20) ( csc dfrac{11π}{6})

21) ( cot dfrac{13π}{6})

Antworten

(sqrt{3})

22) ( an dfrac{7π}{4})

23) ( sec dfrac{3π}{4})

Antworten

(−sqrt{2})

24) ( csc dfrac{5π}{4})

25) ( cot dfrac{11π}{4})

Antworten

(−1)

26) ( an dfrac{8π}{3})

27) ( sec dfrac{4π}{3})

Antworten

(−2)

28) ( csc dfrac{2π}{3})

29) ( cot dfrac{5π}{3})

Antworten

(−dfrac{sqrt{3}}{3})

30) ( an 225°)

31) ( sec 300°)

Antworten

(2)

32) ( csc 150°)

33) ( Kinderbett 240°)

Antworten

(dfrac{sqrt{3}}{3})

34) ( an 330°)

35) ( sek 120°)

Antworten

(−2)

36) ( csc 210°)

37) ( Kinderbett 315°)

Antworten

(−1)

38) Wenn ( sin t= dfrac{3}{4}) und (t) im Quadranten II liegt, bestimme ( cos t, sec t, csc t, an t, cot t).

39) Falls ( cos t=−dfrac{1}{3},) und (t) im Quadranten III liegt, bestimme ( sin t, sec t, csc t, an t , cot t).

Antworten

Wenn (sin t=−dfrac{2sqrt{2}}{3}, sec t=−3, csc t=−csc t=−dfrac{3sqrt{2}}{ 4}, an t=2sqrt{2}, cot t=dfrac{sqrt{2}}{4})

40) Falls ( an t=dfrac{12}{5},) und (0≤t< dfrac{π}{2}), bestimme ( sin t, cos t, sec t, csc t,) und (cot t).

41) Wenn ( sin t= dfrac{sqrt{3}}{2}) und ( cos t=dfrac{1}{2},) ( sec t, csc t, an t,) und ( cot t).

Antworten

( sec t=2, csc t=csc t=dfrac{2sqrt{3}}{3}, an t= sqrt{3}, cot t= dfrac{sqrt{ 3}}{3})

42) Wenn ( sin 40°≈0,643 ; cos 40°≈0,766 ; sec 40°,csc 40°, an 40°, ext{ und } cot 40°).

43) Wenn ( sin t= dfrac{sqrt{2}}{2},) was ist ( sin (−t))?

Antworten

(−dfrac{sqrt{2}}{2})

44) Wenn ( cos t= dfrac{1}{2},) was ist ( cos (−t))?

45) Wenn ( sec t=3.1,) was ist ( sec (−t))?

Antworten

(3.1)

46) Wenn ( csc t=0.34,) was ist ( csc (−t))?

47) Wenn ( an t=−1.4,) was ist ( an (−t))?

Antworten

(1.4)

48) Wenn ( cot t=9.23,) was ist ( cot(−t))?

Grafisch

Verwenden Sie für die Übungen 49-51 den Winkel im Einheitskreis, um den Wert jeder der sechs trigonometrischen Funktionen zu ermitteln.

49)

Antworten

( sin t= dfrac{sqrt{2}}{2}, cos t= dfrac{sqrt{2}}{2}, an t=1,cot t=1,sec t= sqrt{2}, csc t= csc t= sqrt{2} )

50)

51)

Antworten

( sin t=−dfrac{sqrt{3}}{2}, cos t=−dfrac{1}{2}, an t=sqrt{3}, cot t=dfrac {sqrt{3}}{3}, sec t=−2, csc t=−csc t=−dfrac{2sqrt{3}}{3} )

Technologie

Verwenden Sie für die Übungen 52-61 zur Auswertung einen Grafikrechner.

52) ( csc dfrac{5π}{9})

53) ( cot dfrac{4π}{7})

Antworten

(–0.228)

54) ( sec dfrac{π}{10})

55) ( an dfrac{5π}{8})

Antworten

(–2.414)

56) ( sec dfrac{3π}{4})

57) ( csc dfrac{π}{4})

Antworten

(1.414)

58) ( an 98°)

59) ( cot 33°)

Antworten

(1.540)

60) ( Kinderbett 140°)

61) ( sec 310° )

Antworten

(1.556)

Erweiterungen

Verwenden Sie für die Übungen 62-69 Identitäten, um den Ausdruck auszuwerten.

62) Wenn ( an(t)≈2.7,) und (sin(t)≈0.94,) finden Sie (cos(t)).

63) Falls ( an (t)≈1.3,) und ( cos (t)≈0.61), bestimme ( sin (t)).

Antworten

( sin(t)≈0,79 )

64) Wenn ( csc (t)≈3.2,) und ( csc (t)≈3.2,) und ( cos (t)≈0.95,) finden ( an (t) ).

65) Wenn ( cot(t)≈0.58,) und (cos(t)≈0.5,) finden Sie ( csc (t)).

Antworten

( csc(t)≈1.16)

66) Bestimmen Sie, ob die Funktion (f(x)=2 sin x cos x) gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

67) Bestimmen Sie, ob die Funktion (f(x)=3 sin^2 x cos x + sec x) gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Antworten

auch

68) Bestimmen Sie, ob die Funktion (f(x)= sin x −2 cos ^2 x ) gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

69) Bestimmen Sie, ob die Funktion (f(x)= csc ^2 x+ sec x) gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Antworten

auch

Verwenden Sie für die Übungen 70-71 Identitäten, um den Ausdruck zu vereinfachen.

70) ( csc t an t)

71) ( dfrac{sec t}{ csc t})

Antworten

( dfrac{ sin t}{ cos t}= an t)

Reale Anwendungen

72) Die Menge an Sonnenlicht in einer bestimmten Stadt kann durch die Funktion (h=15 cos left(dfrac{1}{600}d ight),) modelliert werden, wobei (h) die Stunden darstellt des Sonnenlichts und (d) ist der Tag des Jahres. Verwenden Sie die Gleichung, um herauszufinden, wie viele Sonnenstunden es am 10. Februar, dem (42^{nd}) Tag des Jahres gibt. Geben Sie den Zeitraum der Funktion an.

73) Die Sonneneinstrahlung in einer bestimmten Stadt kann durch die Funktion (h=16 cos left(dfrac{1}{500}d ight)) modelliert werden, wobei (h) die Stunden des Sonnenlichts und (d) ist der Tag des Jahres. Verwenden Sie die Gleichung, um herauszufinden, wie viele Sonnenstunden es am 24. September, dem (267^{th}) Tag des Jahres gibt. Geben Sie den Zeitraum der Funktion an.

Antworten

(13.77) Stunden, Zeitraum: (1000π)

74) Die Gleichung (P=20 sin (2πt)+100) modelliert den Blutdruck (P), wobei (t) die Zeit in Sekunden darstellt.

  1. Finden Sie den Blutdruck nach (15) Sekunden.
  2. Was sind die maximalen und minimalen Blutdruckwerte?

75) Die Höhe eines Kolbens (h) in Zoll kann durch die Gleichung (y=2 cos x+6,) modelliert werden, wobei (x) den Kurbelwinkel darstellt. Bestimmen Sie die Höhe des Kolbens, wenn der Kurbelwinkel (55°) beträgt.

Antworten

(7,73) Zoll

76) Die Höhe eines Kolbens, (h),in Zoll, kann durch die Gleichung (y=2 cos x+5,) modelliert werden, wobei (x) den Kurbelwinkel darstellt. Bestimmen Sie die Höhe des Kolbens, wenn der Kurbelwinkel (55°) beträgt.

5.4: Rechtwinklige Trigonometrie

Verbale

1) Beschriften Sie für das gegebene rechtwinklige Dreieck die angrenzende Seite, die gegenüberliegende Seite und die Hypotenuse für den angegebenen Winkel.

Antworten

2) Wenn ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von (1) in den Einheitskreis gelegt wird, welche Seiten des Dreiecks entsprechen dann den (x)- und (y)-Koordinaten?

3) Die Tangente eines Winkels vergleicht welche Seiten des rechtwinkligen Dreiecks?

Antworten

Die Tangente eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite.

4) Welche Beziehung besteht zwischen den beiden spitzen Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck?

5) Erklären Sie die Kofunktionsidentität.

Antworten

Zum Beispiel ist der Sinus eines Winkels gleich dem Kosinus seines Komplements; der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Sinus seines Komplements.

Algebraisch

Verwenden Sie für die Übungen 6-9 Kofunktionen komplementärer Winkel.

6) ( cos (34°)= sin(\_\_°))

7) ( cos(dfrac{π}{3})=sin(\_\_\_))

Antworten

(dfrac{π}{6})

8) ( csc (21°) = sec (\_\_\_°))

9) ( an (dfrac{π}{4})= cot (\_\_))

Antworten

(dfrac{π}{4})

Bestimmen Sie für die Aufgaben 10-16 die Längen der fehlenden Seiten, wenn Seite (a) entgegengesetzter Winkel (A), Seite (b) entgegengesetzter Winkel (B) und Seite (c .) ist ) ist die Hypotenuse.

10) ( cos B= dfrac{4}{5},a=10)

11) ( sin B= dfrac{1}{2}, a=20)

Antworten

(b= dfrac{20sqrt{3}}{3},c= dfrac{40sqrt{3}}{3})

12) ( an A= dfrac{5}{12},b=6)

13) ( an A=100,b=100)

Antworten

(a=10.000,c=10.000.5)

14) (sin B=dfrac{1}{sqrt{3}}, a=2 )

15) (a=5, ∡ A=60^∘)

Antworten

(b=dfrac{5sqrt{3}}{3},c=dfrac{10sqrt{3}}{3})

16) (c=12, ∡ A=45^∘)

Grafisch

Verwenden Sie für die Übungen 17-22 die Abbildung unten, um jede trigonometrische Funktion des Winkels (A) auszuwerten.

17) (sin A)

Antworten

(dfrac{5sqrt{29}}{29})

18) ( cos A )

19) ( an A )

Antworten

(dfrac{5}{2})

20) (csc A)

21) ( sec A )

Antworten

(dfrac{sqrt{29}}{2})

22) ( Kinderbett A )

Für die Übungen 23-,28 verwenden Sie die Abbildung unten, um jede trigonometrische Funktion des Winkels (A) auszuwerten.

23) ( sin A)

Antworten

(dfrac{5sqrt{41}}{41})

24) ( cosA)

25) ( an A )

Antworten

(dfrac{5}{4})

26) ( csc A)

27) ( sec A)

Antworten

(dfrac{sqrt{41}}{4})

28) (Kinderbett A)

Lösen Sie für die Aufgaben 29-31 nach den unbekannten Seiten des gegebenen Dreiecks auf.

29)

Antworten

(c=14, b=7sqrt{3})

30)

31)

Antworten

(a=15, b=15)

Technologie

Verwenden Sie für die Übungen 32-41 einen Taschenrechner, um die Länge jeder Seite auf vier Dezimalstellen zu ermitteln.

32)

33)

Antworten

(b=9.9970, c=12.2041)

34)

35)

Antworten

(a=2.0838, b=11.8177)

36)

37) (b=15, ∡B=15^∘)

Antworten

(a=55,9808,c=57,9555)

38) (c=200, ∡B=5^∘)

39) (c=50, ∡B=21^∘)

Antworten

(a=46,6790,b=17.9184)

40) (a=30, ∡A=27^∘)

41) (b=3.5, ∡A=78^∘)

Antworten

(a=16.4662,c=16.8341)

Erweiterungen

42) Finden Sie (x).

43) Finden Sie (x).

Antworten

(188.3159)

44) Finden Sie (x).

45) Finden Sie (x).

Antworten

(200.6737)

46) Ein Funkturm befindet sich (400) Fuß von einem Gebäude entfernt. An einem Fenster im Gebäude bestimmt eine Person, dass der Höhenwinkel zur Turmspitze (36°) und der Neigungswinkel zur Unterseite des Turms (23°) beträgt. Wie hoch ist der Turm?

47) Ein Funkturm befindet sich (325) Fuß von einem Gebäude entfernt. An einem Fenster im Gebäude bestimmt eine Person, dass der Höhenwinkel zur Turmspitze (43°) und der Neigungswinkel zur Unterseite des Turms (31°) beträgt. Wie hoch ist der Turm?

Antworten

(498.3471) ft

48) In der Ferne befindet sich ein 200 Fuß hohes Denkmal. An einem Fenster in einem Gebäude bestimmt eine Person, dass der Höhenwinkel zur Oberseite des Denkmals (15°) und der Neigungswinkel zur Unterseite des Turms (2°) beträgt. Wie weit ist die Person vom Denkmal entfernt?

49) In der Ferne befindet sich ein (400) Fuß hohes Denkmal. An einem Fenster in einem Gebäude bestimmt eine Person, dass der Höhenwinkel zur Oberseite des Denkmals (18°) und der Neigungswinkel zur Unterseite des Denkmals (3°) beträgt. Wie weit ist die Person vom Denkmal entfernt?

Antworten

(1060,09) ft

50) Oben auf einem Gebäude befindet sich eine Antenne. Von einer Position (300) Fuß vom Sockel des Gebäudes wird der Höhenwinkel zur Gebäudeoberkante mit (40°) gemessen. Von derselben Stelle aus wird der Höhenwinkel zur Spitze der Antenne mit (43°) gemessen. Finden Sie die Höhe der Antenne.

51) Auf der Spitze eines Gebäudes befindet sich ein Blitzableiter. Von einer Position (500) Fuß vom Sockel des Gebäudes wird der Höhenwinkel zur Gebäudeoberkante mit (36°) gemessen. Von derselben Stelle aus wird der Höhenwinkel zur Spitze des Blitzableiters mit (38°) gemessen. Finden Sie die Höhe des Blitzableiters.

Antworten

(27,372) ft

Reale Anwendungen

52) Eine (33)-ft-Leiter lehnt sich an ein Gebäude, so dass der Winkel zwischen Boden und Leiter (80°) beträgt. Wie hoch reicht die Leiter an der Seite des Gebäudes?

53) Eine (23)-ft-Leiter lehnt sich an ein Gebäude, so dass der Winkel zwischen Boden und Leiter (80°) beträgt. Wie hoch reicht die Leiter an der Seite des Gebäudes?

Antworten

(22.6506) ft

54) Der Höhenwinkel zur Spitze eines Gebäudes in New York beträgt (9) Grad vom Boden in einem Abstand von (1) Meile vom Sockel des Gebäudes. Ermitteln Sie anhand dieser Informationen die Höhe des Gebäudes.

55) Der Höhenwinkel zur Spitze eines Gebäudes in Seattle beträgt (2) Grad vom Boden in einer Entfernung von (2) Meilen vom Sockel des Gebäudes. Ermitteln Sie anhand dieser Informationen die Höhe des Gebäudes.

Antworten

(368,7633) ft

56) Angenommen, ein (370)-Fuß großer Mammutbaum wächst vertikal, wenn ich eine bestimmte Entfernung vom Baum gehe und den Höhenwinkel zur Spitze des Baumes mit (60°) messe, wie weit von der Basis des Baumes bin ich?


A Graphical Approach to Algebra & Trigonometry, 7. Auflage

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7.E: Trigonometrische Funktionen (Übungen) - Mathematik

$large< extbf <1.>>$
Start
mbox<(a)>&y= cos4x,&y'= -4sin4x.qquad qquad qquad qquad qquadqquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquadcrcr

mbox<(g)>&y= cos^2 x,&y'=2cos x imes(-sin x) = -sin 2x.crcr

mbox<(h)>&y= 5 an^2 x,&y'= 10 an x.sec^2 x.crcr

mbox<(i)>&y= sin^2 2x,&y'=2sin 2x imescos 2x imes2 = 2sin 4x.crcr

mbox<(j)>&y= sinpi x + cospi x,&y'=pi(cospi x - sinpi x).crcr

mbox<(k)>&y= sin 3x + 2cos 4x,&y'=3 cos 3x - 8sin 4x.crcr

mbox<(l)>&y= an (3x + 2),&y'=3 sec^2(3x +2).
Ende
$large< extbf <2.>>$
Start
mbox<(a)>&y&=&x^2sin x.qquad qquad qquad qquad qquadqquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquadcr

&y'&=&(x^2)'sin x + x^2 (sin x)' = 2x sin x + x^2cos x.crcr

&y'&=&(3x)' an x + 3x ( an x)' = 3 an x + 3xsec^2 x.crcr

& &=&(2sin x cos x)cos^2 x + sin^2 x[2 cos x (-sin x)]cr

& &=&(2sin x cos x)(cos^2 x - sin^2 x) = sin 2x cos 2x = frac<2>.
Ende
$large< extbf <3.>>$
Start
y&=& an x = fraccdotqquadqquad qquad qquad qquadqquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquadcr

$quad$ Die Steigung der Tangente an die Kurve $y=3cos x^2$ bei $x = <2>>$ ist

$quad$ Die Werte von $t$, bei denen die Tangente an die Kurve $y=5sin 2t$ horizontal ist, sind Lösungen der Gleichung

$qquadquad y'= 10cos 2t =0 Rightarrow cos 2t=0$

$qquadquad Rightarrow 2t = <2>> + kpi, k = 0, pm1, pm2, dots$

$quad$ Die Geschwindigkeit des gegebenen Teilchens zum Zeitpunkt $t$ ist
Start
qquadqquadfrac

&=&(3cos^2t +tsin 2t)' = 6cos t(-sin t)+ sin 2t + 2tcos 2tcdotqquadqquad qquad qquad qquadqquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquadcr

&=&-3sin 2t + sin 2t + 2tcos 2t = -2sin 2t + 2tcos 2t
Ende
$quad$ Die Geschwindigkeit des Teilchens nach $2$ Sekunden ist also

$qquad f'(b) = -sin b = 0 Rightarrow b_1 = 0, b_2 = pi, b_3 = 2pi. $

$large< extbf <8.>>$
Start
mbox<(a)>&y= sin(2t+1),&y'=2cos(2t+1).qquad qquadqquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquadcrcr

mbox<(c)>&y = 3sin(2pi t +3),&y' = 6picos(2pi t +3).
Ende

$quad$ Die Wendepunkte von $I$ können der Gleichung entnommen werden (beachte, dass die Zeit $t ge 0$)

$quad$ Der kleinste Wendepunkt ist also

$quad$ $I$ erhält seinen ersten Maximalwert zum Zeitpunkt $t_0=1.18$ (Sekunde).

$quad$ Der maximale Wert ist $ I_ = 13 sin <2>> = 13.$

$large< extbf <10.>>quad$ $ V(t) = 250 sin (0.03pi t+1.7) Rightarrow V'(t) = 250 imes 0.03pi cos (0.03 pi t+1,7) $

$quad$ Die Steigung der Tangente an die Kurve $V(t)$ bei $t= 7,3$ (Sekunde) ist

$qquad V'(7.3) = 250 imes 0.03pi imescos(0.03 imespi imes7.3 +1.7) = 7.5 imes pi imes cos (2.388)approx -17.182$


Trigonometrische Gleichungen lösen - Probleme

10 Aufgaben mit ihren Antworten zur Lösung trigonometrischer Gleichungen werden hier vorgestellt und weitere im Applet unten. Dies kann als Selbsttest zum Lösen trigonometrischer Gleichungen und indirekt zu Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und Identitäten verwendet werden.

Verwenden Sie den Einheitskreis, da er beim Auffinden der Lösungen hilft, sobald Sie den Referenzwinkel haben.

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen, Probleme mit Antworten

Wähle die richtige Antwort.

Aufgabe 1: Lösen Sie die trigonometrische Gleichung und finden Sie ALLE solutions.

2 cos x + 1 = 0

a: Pi / 3 + 2n*Pi , 5Pi / 3 + 2n*Pi

d: 2Pi / 3 + 2n*Pi , 4Pi / 3 + 2n*Pi

Problem 2: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions.

3 sec 2 x - 4 = 0

b: Pi / 3 + 2n*Pi , 5Pi / 3 + 2n*Pi

c: Pi / 6 + 2n*Pi , 11 Pi / 6 + 2n*Pi

d: Pi / 3 + n*Pi , 5Pi / 3 + n*Pi

e: Pi / 6 + n*Pi , 11 Pi / 6 + n*Pi

Problem 3: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions.

(3 cos x + 7) (-2 sin x - 1) = 0

b: 7Pi / 6 + 2n*Pi , 11Pi / 6 + 2n*Pi

c: Pi / 3 + 2n*Pi , 2Pi / 3 + 2n*Pi

d: 7Pi / 6 + n*Pi , 11Pi / 6 + n*Pi

Problem 4: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions.

(6 tan 2 x - 2) (2 tan 2 x - 6) = 0

a: Pi / 6 + n*Pi , 5Pi / 6 + 2n*Pi , Pi / 3 + n*Pi , 2Pi / 3 + n*Pi

e: Pi / 3 + n*Pi , 2Pi / 3 + n*Pi

Problem 5: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions in the interval [0 , 2Pi).

-2 sec 2 x + 4 = -2sec x

Problem 6: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions in the interval [0 , 2Pi).

2sin (x) cos (-x) = 2 sin (-x) sin (x)

Problem 7: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions in the interval [0 , 2Pi).

sin 2x = -sin (-x)

Problem 8: Which of these equations does not have a solution?



Problem 9: Which of these equations does not have a solution?

Problem 10: Solve the trigonometric equation and find ALL solutions in the interval [0 , 2Pi).

sin 2 x + sin x = 6

More Trigonometric Equations Problems - Using Applet

1 - click on the button above "click here to start" to start the test and MAXIMIZE the window obtained.

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To start the test with another set of questions, press "reset".

More references on trigonometric equations Trigonometric Equations and The Unit Circle.


Pythagorean Trigonometric Identity

We know the Pythagoras theorem that relates the length of three sides of a right triangle. We also have gone through the famous trigonometric functions that relate the angle of a right triangle with the length of its sides. Now let us play around and relate the two to derive some exciting Pythagorean Trigonometric Identities.

Let us write the trigonometric functions in the form of ‘a’ (Hypotenuse), ‘b’ (Perpendicular) and ‘c’ (Base). Remember that the perpendicular and base are defined with respect to the angle in consideration. Change the angle of consideration, the perpendicular and base will change accordingly. Hypotenuse remains the same, however. The trigonometric functions for the angle θ can be thus written as:

Rearranging the above relations yields,

After plugging in the above in the Pythagoras theorem, we get,

To satisfy the above relation, the following identity must hold.

Congratulations! we just derived the trigonometric identity which is widely used while solving complex problems that involve trigonometric functions. Take a moment and appreciate the elegance of the equation. It is fascinating to note that the sum of squares of sine and cosine of an angle is always a constant!

Interestingly, we can further manipulate the above identity by dividing it by cos 2 θ on both sides. This will result in another trigonometric identity.

Exercise: As an exercise derive the following trigonometric identity. You can use any of the aforementioned trigonometric identities.


Math 141-142: Unit 6

Note : The information on this page is for the 7th edition of the textbook.

This unit consists of two parts. The first part finishes the study of trigonometric identities begun in Unit 5. In this section you will use the various trigonometric identities to help solve equations involving trigonometric functions.The second part is a study of methods for solving general triangles, using the Law of Sines and the Law of Cosines. Included are many different applications, along with a short section on two new formulas for the area of a triangle.

  • Finding exact and/or approximate solutions to trigonometric equations using an algebraic approach. (6.7-8)
  • Finding approximate solutions of trigonometric equations using a graphical approach. (6.7-8)
  • Solving triangles using the Law of Sines (7.2)
  • Solving triangles using the Law of Cosines (7.3)
  • Applications of the Laws of Sines and Cosines (7.2 & 7.3)
  • Formulas for the area of a triangle (7.4)

This is the final unit in the Math 141 course, which concludes with Trigonometry Final Exam.
Math 142 students must also take the Trigonometry Final Exam, and then continue with Units 7, 8, & 9.

Study Guidelines for the 7th edition of Sullivan's Precalculus

These reading and problem assignments are designed to help you learn the course material. You should complete all of these problems, check your answers in the back of the textbook, and get help with the problems that you missed. Most of the problems are odd-numbered, so you can check the solutions in the Solutions Manual .

The only way to learn mathematics is to do mathematics, so while these problems will not be collected or graded, you will probably not do well in the course if you do not complete these and check your work as described above. After completing these problems, go on to the Unit Exam Description below and follow directions.

  • Section 6.7: Trigonometric Equations (I)
    • Reading: section 6.7
      Read and work through examples 1-6 and their matched problems.
    • Practice Problems : 6.7 #1, 2, 7-51 odd, 61, 65

    • Reading: section 6.8
      Read and work through examples 1-8 and their matched problems.
    • Practice Problems : 6.8 #1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 25, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 51, 55, 61, 63, 67

    • Reading: section 7.2
      Read and work through examples 1-7 and their matched problems.
    • Try out the Law of Sines SSA applet. You can experiment with the construction to see how to get 0, 1, or 2 solutions in the SSA case.
    • Practice Problems : 7.2 #1, 2, 3, 9, 11, 15, 17, 21-45 odd, 49, 51

    • Reading: section 7.3
      Read and work through examples 1-3 and their matched problems.
    • Practice Problems : 7.3 #1, 2, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 29, 33-47 odd

    • Reading: section 7.4
      Read and work through examples 1-2 and their matched problems.
    • Practice Problems : 7.4 #1, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23


    &emsp&emsp sin x = 1 2 , cos x = 3 2 , tan x = 1 3 , cot x = 3 , sec x = 2 3 , csc x = 2

    Explanation of Solution

    The values of expressions, sin x = 1 2 , cos x = 3 2

    Concept Used:

    Reciprocal identities of trigonometric functions:

    Quotient Identities:

    Calculation:

    In order tofind the values of the six trigonometric functions, use the reciprocal and quotient identities of trigonometric functions and simplify further as shown below:

    &emsp&emsp tan x = sin x cos x = 1 / 2 3 / 2 = 1 2 ⋅ 2 3 = 1 3 , cot x = 1 tan x = 1 1 / 3 = 3 , sec x = 1 cos x = 1 3 / 2 = 2 3 , csc x = 1 sin x = 1 1 / 2 = 2

    Thus, the values of the six trigonometric function is given by,

    &emsp&emsp sin x = 1 2 , cos x = 3 2 , tan x = 1 3 , cot x = 3 , sec x = 2 3 , csc x = 2


    Lesson 13

    The goal of this lesson is to introduce the midline und Amplitude of trigonometric functions in context. The midline is given by the average of the maximum and minimum values taken by the function, while the amplitude is the length between the maximum value and the midline or, equivalently, the length between the midline and the minimum value. The function (f) given by (f(x) = cos(x)) has a midline of (y=0) (since the maximum value is 1 and the minimum value is -1) and an amplitude of 1. The function (g(x) = 5sin(x) -1) has a midline of (y= ext-1) and an amplitude of 5. In general, the function (h) given by (h(x) = acos(x) + b) has a midline of (y=b) and an amplitude of (|a|) .

    The midline is a new feature of trigonometric functions. The amplitude, on the other hand, relates to work students have done in a previous unit using vertical scale factors. For example, the amplitude of the function (g) given by (g(x) = 5 sin(x)) is 5. The graph of (g) is the graph of (h(x) = sin(x)) after it has been stretched vertically by a factor of 5. Said another way, the outputs of (g(x)) are 5 times farther from the (x) -axis than the outputs of (h(x)) for the same input values.

    Students reason abstractly and quantitatively when they interpret a trigonometric function in the context of a rotating windmill blade (MP2). They represent the function in three different ways including a table, a graph, and an equation. Students make use of repeated reasoning to determine the effect of different parameters on the amplitude and midline of trigonometric functions (MP8).

    Throughout this lesson, students should have access to their unit circle and graph of sine and cosine displays.


    7.E: Trigonometric Functions (Exercises) - Mathematics

    Note : The information on this page is for the 7th edition of the textbook.

    Topics
    Unit 1 begins with a discussion of angles and various ways to measure angles: radians, decimal degrees, and degrees-minutes-seconds. Then the trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, rather than in terms of right triangles (which you may have seen before). The connection with right triangles will appear in Unit 2.

    It is Math Department policy that students should be able to compute the exact values of all the trigonometric functions at the "standard" angles, i.e., all multiples of pi/6 and pi/4 radians and 30 and 45 degrees. Therefore, no calculators will be allowed on the Unit 1 Exam . Problems from 5.1-3 involving calculators will be tested in Unit 2.

    • Angles and their Measure (5.1)
      • Radians
      • (Decimal) degrees
      • Degrees-minutes-seconds
      • Conversions between radians and degrees for standard angles (all multiples of pi/6 and pi/4 radians and 30 and 45 degrees)
      • Exact values for particular real numbers (angles)
      • Evaluation of trigonometric functions using a circle
      • Basic properties and identities
      • Solving "inverse" problems: given the value of a trig function, what is the corresponding angle?

      Study Guidelines for the 7th edition of Sullivan's Precalculus

      These reading and problem assignments are designed to help you learn the course material. You should complete all of these problems, check your answers in the back of the textbook, and get help with the problems that you missed. Most of the problems are odd-numbered, so you can check the solutions in the Solutions Manual .

      The only way to learn mathematics is to do mathematics, so while these problems will not be collected or graded, you will probably not do well in the course if you do not complete these and check your work as described above. After completing these problems, go on to the Unit Exam Description below and follow directions.

      • Section 5.1: Angles and Their Measure
        • Reading : section 5.1, pages 324-331 (through example 5)
          Read and work through examples 1-5 and their corresponding matched problems.
        • Problems that require calculators will be tested in Unit 2.
        • Problems involving arc length, areas of sectors, and circular motion will also be tested in Unit 2.
        • Practice Problems : 5.1 #1, 2, 11-21 odd, 35-57 odd

        • Reading : section 5.2, pages 338-349, 350-351 (skip the section titled "Using a Calculator to Find Values of Trigonometric Functions")
          Read and work through examples 1-10 and example 12 and their corresponding matched problems.
        • Problems that require calculators will be tested in Unit 2.
        • You can download a copy of the unit circle with the values of sin and cos for the standard angles.
        • Practice Problems : 5.2 #1-6, 11-65 odd, 83-111 odd

        • Reading : section 5.3
          Read and work through examples 1-7 and their corresponding matched problems.
        • Practice Problems : 5.3 #1-4, 11-57 odd, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 93

        • Student Solutions Manual
        • Algebra Review booklet
        • CD lecture series (step-by-step video examples on CD)
        • For tutoring help, visit the Prentice Hall Tutor Center. Tutors can be contacted by phone, fax, or e-mail. To register, you will need the access code that came with your textbook.
        • Graphing Calculator Help

        Unit 1 Pretest and Exam Description
        After completing the above work, do the following:

        1. Before taking the Unit 1 Exam, you should have completed the Online Testing Practice . If not, then do so now.
        2. Read the exam description :
          • This exam has 25 questions, and will count 20 points toward your grade.
          • This exam has a one hour time limit.
          • It is Math Department policy that students should be able to compute the values of all the trigonometric functions at the standard angles, i.e., all multiples of pi/6 and pi/4 radians and 30 and 45 degrees. Therefore, calculators will not be allowed on the Unit 1 Exam . Thus, for example, there will be no problems like #23-34 or #59-70 of section 5.1, or #67-82 of section 5.2 (these will be tested on the Unit 2 Exam).
          • All of your answers in the Unit 1 Exam must be exact. You can type pi for the number pi and sqrt(2) for the square root of 2, etc.
          • Be sure to look under the entry box for the expected format of the answer.
            • Some problems expect an ordered pair, such as (1/2,sqrt(3)/2) .
            • None of the problems in this course require answers in terms of units (for example, "5 cm" or "3 ft") . In particular, questions asking for radians or degrees do not expect units (in fact, as noted on page 329, radian measure is a unitless number). Thus, you should not write answers like "pi/4 radians" or "45 degrees". Just write "pi/4" or "45" instead (the problem will tell you if you are supposed to use radians or degress).
        3. Complete the online Unit 1 Pretest assignment for Math 141 or Math 142 . You may use your book if you wish, and redo the pretest as many times as you like. Your pretest score will be scaled to 5 points maximum.
          • Directions : Click on the link above for your class, then choose the Unit 1 Pretest .
          • The pretest must be completed by the deadline date listed at the top of this page.
            However, you may redo the pretest as many times as you like before the due date.
            Your best score counts, and it will be rescaled to 5 points maximum.
        4. If you are having trouble with any of the problems listed above or on the pretest or practice exams, make use of the help resources listed on the Help page.
        5. Arrange with your proctor to take the online proctored Unit 1 Exam assignment for Math 141 or Math 142 . Remember to bring identification, and remember that you will not be able to take the unit exam after the deadline date given at the top of this page. You may NOT use your book or notes or calculator on this exam.
          • Directions : Click on the link above for your class, then choose Unit 1 Exam .
          • The proctored unit exam must be completed by the deadline date listed at the top of this page, and may be repeated under certain conditions. See the Detailed Schedule page for Math 141 or Math 142 for specific rules.

        • Directions : Click on the link above for your class, then choose Unit 1 Practice Exam . After the deadline has passed, this exam will be available in practice mode.

        Make sure that you have completed the following items to complete Unit 1:


        7.E: Trigonometric Functions (Exercises) - Mathematics

        ∫ x tan 2 x dx  =  ∫ x(sec 2 x - 1) dx

        =  x (tan x) - ∫ tan x dx - ∫ x dx

        =  x (tan x) - ∫ (sin x/cos x) dx - ∫ x dx

        =  x (tan x) - log (cos x) - (x 2 /2) + C

        =  (1/2) [(x²/2)+ (x/2) (sin 2 x) + (1/4) (cos 2x) + C

        now we are going to apply the trigonometric formula 2 cos A cos B

        ∫ x cos 5 x cos 2 x dx  =  (2/2)∫ x cos 5 x cos 2 x dx

        =  (1/2)∫ x 2 cos 5 x cos 2 x dx  

        =  ( x 2  sin 3x/3) - ∫ [sin 3x/3] 2 x dx

        =  ( x 2 /3)sin 3x - (2/3)∫ x [sin 3 x] dx

        =  ( x 2 /3)sin 3x - (2/3)[x (-cos 3 x/3)] - (2/3)∫ [cos 3x/3] dx

        =  ( x 2 /3)sin 3x + (2/9)[x cos 3 x] - (2/9)∫ [cos 3x] dx

        =  ( x 2 /3)sin 3x + (2/9)[x cos 3 x] - (2/27)[sin 3x] + C

        ∫ cosec 3 x dx = ∫ cosec x (cosec 2 x) dx

        now we are going to apply partial differentiation

        =  (cosec x)(- cot x) - ∫ - cot x (- cosec x cot x) dx

        =  -cosec x cot x - ∫ cosec x cot 2 x dx

        =  -cosec x cot x - ∫ cosec x (cosec 2 x - 1) dx

        =  -cosec x cot x - ∫ cosec 3 x dx + ∫ cosec x dx

        ∫cosec 3 x dx = -cosec x cot x - ∫ cosec³x dx + ∫ cosec x dx

        ∫cosec 3 xdx + ∫ cosec 3 x dx = -cosec x cot x + log tan (x/2) + C

        2∫cosec 3 x dx = -cosec x cot x + log tan (x/2) + C

        ∫ cosec 3 x dx = (1/2)[-cosec x cot x + log tan (x/2)] + C

        ∫ cosec 3 x dx = (1/2)[-cosec x cot x] + (1/2)[log tan (x/2)] + C

        =  (cos b x)(e ax /a) - ∫(e ax /a) (- b sin bx) dx

        =  (cos b x)(e ax /a) + (b/a) ∫ e ax  (sin bx) dx--------(1)

        =  (sin bx)(e ax /a) - ∫(e ax /a)(b cos bx) dx

        =  (sin bx)(e ax /a) - (b/a) ∫e ax ਌os bx dx

           = (cos b x)(e ax /a) + (b/a) [(sin bx)(e ax /a) - (b/a) ∫e ax ਌os bx dx]

        ∫e ax  cos bx dx+ (b²/a²) ∫e ax ਌os bx dx

        = (cos b x)(e ax /a)+(b/a)(sin bx)(e ax /a)

        ∫(1 + (b²/a²)) e ax  cos bx dx = (cos b x)(e ax /a)+(b/a)(sin bx)(e ax /a)

        ∫((a²+b²)/a²) e ax ਌os bx dx = (cos b x)(e ax /a)+(b/a)(sin bx)(e ax /a)

        ∫e ax cos bx dx  =  [a²/(a²+b²)](cos b x)(e ax /a)+(b/a)(sin bx(e ax  /a)

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        Schau das Video: Enhedscirklen Trigonometriske funktioner Del2 (November 2021).