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12.3: Eigenräume - Mathematik


fIm vorherigen Beispiel haben wir zwei Eigenvektoren gefunden

[egin{pmatrix}-11end{pmatrix} mbox{ und }egin{pmatrix}11end{pmatrix}]

für (L), beide mit Eigenwert (1). Beachte das

[egin{pmatrix}-11end{pmatrix} + egin{pmatrix}11end{pmatrix}=egin{pmatrix}01 1end{pmatrix}]

ist auch ein Eigenvektor von (L) mit Eigenwert (1). Tatsächlich ist jede Linearkombination

[regin{pmatrix}-11end{pmatrix} + segin{pmatrix}11end{pmatrix}]

dieser beiden Eigenvektoren ist ein weiterer Eigenvektor mit dem gleichen Eigenwert.

Allgemeiner seien ({v_{1}, v_{2}, ldots}) Eigenvektoren einer linearen Transformation (L) mit dem gleichen Eigenwert (lambda). Eine ( extit{Linearkombination}) der (v_{i}) kann geschrieben werden (c^{1}v_{1}+c^{2}v_{2}+cdots) für einige Konstanten ({c^{1}, c^{2},ldots}). Dann:

egin{eqnarray*}
L(c^{1}v_{1}+c^{2}v_{2}+cdots) &=& c^{1}Lv_{1}+c^{2}Lv_{2}+cdots extit{ durch Linearität von L}
&=& c^{1}lambda v_{1}+c^{2}lambda v_{2}+cdots extit{ da (Lv_{i}=lambda v_{i}) }
&=& lambda (c^{1}v_{1}+c^{2}v_{2}+cdots).
end{eqnarray*}

Jede Linearkombination von (v_{i}) ist also ein Eigenvektor von (L) mit dem gleichen Eigenwert (lambda). Einfach ausgedrückt ist jede Summe von Eigenvektoren wieder ein Eigenvektor ( extit{wenn sie denselben Eigenwert haben}).

Der Raum aller Vektoren mit Eigenwert (lambda) heißt ( extit{Eigenraum}). Tatsächlich handelt es sich um einen Vektorraum innerhalb des größeren Vektorraums (V): Er enthält (0_{V}), da (L0_{V}=0_{V}=lambda 0_{V .) }) und ist durch die obige Rechnung unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen. Alle anderen Vektorraumeigenschaften werden dadurch geerbt, dass (V) selbst ein Vektorraum ist. Mit anderen Worten, der Unterraumsatz, 9.1.1 Kapitel 9, stellt sicher, dass (V_{lambda}:={vin V|Lv=0}) ein Unterraum von (V) ist.


Der dem Eigenwert $lambda$ zugeordnete Eigenraum ist die Menge aller Lösungen der Gleichung $(A-lambda I)x=0$

Einer Ihrer Eigenwerte ist $3$, schauen wir uns diesen an.

Was wir hier tun müssen, ist $(A-3I)x=0$ . zu lösen

Nun lösen wir die erweiterte Matrixgleichung:

Von hier aus sehen wir, dass $z$ unsere freie Variable ist. Sei also $z=t, tin Bbb R$. Jetzt können wir die Lösung aufschreiben:

Daher ist der dem Eigenwert $3$ zugeordnete Eigenraum $operatorname(-1,1,1)$.

Löse zwei ähnliche Gleichungen, um die anderen beiden Eigenräume dieser Matrix zu finden.


Lösung.

Der dem Eigenwert $2$ entsprechende Eigenraum $E_2$ ist per Definition der Nullraum der Matrix $A-2I$.
Das heißt, wir haben
[E_2=calN(A-2I).]

Damit sind die Lösungen $mathbf$ von $(A-2I)mathbf=mathbf<0>$ erfüllt $x_1=2x_2+x_3$.
Der Nullraum $calN(A-2I)$ besteht also aus Vektoren
[mathbf=eginnen
2x_2+x_3
x_2
x_3
Ende=x_2egin
2 \
1 \
0
Ende+x_3egin
1 \
0 \
1
Ende] für beliebige Skalare $x_2, x_3$.

Es ist einfach zu sehen, dass die Vektoren $egin
2 \
1 \
0
Ende, Start
1 \
0 \
1
Ende$ sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von $E_2$.


Wie findet man die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren einer Matrix?

Schritt 2: Berechnen Sie die Determinante von #(lambdaI_n-A)# . Ich verwende eine 5-Spalten-Matrix und die Sarrus-Regel, um Determinanten zu berechnen.

#| (Farbe (Rot) (Lambda), Farbe (Grün) (-4), Farbe (Blau) (0), Lambda,-4), (1, Farbe (Rot) (Lambda + 4), Farbe (Grün) ( 0),Farbe(Blau)(1),Lambda+4), (0,0,Farbe(Rot)(Lambda+2),Farbe(Grün)(0),Farbe(Blau)(0)) | =#

Subtrahiere die kleinen Diagonalen:

#| (Lambda,-4,Farbe(Blau)(0),Farbe(Grün)(Lambda),Farbe(Rot)(-4)),(1,Farbe(Blau)(Lambda+4),Farbe(Grün)( 0),Farbe(Rot)(1),Lambda+4),(Farbe(Blau)(0),Farbe(Grün)(0),Farbe(Rot)(Lambda+2),0,Farbe(Blau)( 0)) | =#

#Farbe(Rot)(Lambda(Lambda+4)(Lambda+2)) + Farbe(Grün)(4(0)(0))+Farbe(Blau)(0(1)(0))- Farbe(Blau )(0(Lambda+4)(0))- Farbe(Grün)(Lambda(0)(0))-Farbe(Rot)(-4(1)(Lambda+2)) = Lambda^3+6Lambda^ 2+12Lambda +8#

Schritt 3: Setzen Sie das charakteristische Polynom gleich Null und lösen Sie nach dem/den Eigenwert(en) auf:

#lambda^3+6lambda^2+12lambda +8 = 0#

Die charakteristische Gleichung ist ein perfekter Würfel, hat also nur eine Wurzel:

#lambda = -2 larr# Dies ist der Eigenwert.

Schritt 4: Setzen Sie die Matrix multipliziert mit einem 3D-Vektor gleich dem/den Eigenwert(en) multipliziert mit diesem Vektor:

Dies ist die Summe zweier Vektoren:

#vecv= a[(-2),(1),(0)]+b[(0),(0),(1)] a,binRR larr# dies ist der Eigenvektorraum


Differentialgleichung

Integrieren, xy + $frac<1><2>$y 2 &ndash $frac<1><2>$x 2 = c&rsquo.

Oder d(xy) + xy.dx = 0 [x.dy + y.dx = d(xy)]

Oder (x 2 &ndash ay).dx &ndash (ax &ndash y 2 ).dy = 0

Oder x 2 .dx + y 2 .dy &ndash a(y.dx + x.dy) = 0

Oder $frac<1><3>$.dx 3 + $frac<1><3>$dy 3 &ndash ad(xy) = 0

Also x 3 &ndash 3axy + y 3 = C [C = 3C&rsquo]

Oder sinx.cosx.dx + siny.cosy.dy = 0

Integrieren, sin 2 x + sin 2 y = 0

Integrieren, sin 2 x + sin 2 y = 0.

Oder, sec 2 y.dy = cosec 2 x.dx

Integrieren, tany = -cotx + c

Oder (x +2y &ndash 3).dy &ndash (2x &ndash y + 1).dx = 0

Oder x.dy + 2y.dy &ndash 3.dy &ndash 2x.dx + y.dx &ndash dx = 0

Oder (xdy + ydx) + 2ydy &ndash 3dy &ndash 2xdx &ndash dx = 0

Oder, d(xy) + d(y 2 ) &ndash 3dy &ndash d(x 2 ) &ndash dx = 0

Oder d(xy + y 2 &ndash 3y &ndash x 2 &ndash x) = 0

Oder xy + y 2 &ndash 3y &ndash x 2 &ndash x = c.

Also xy + y 2 &ndash x 2 &ndash 3y &ndash x = c.

Oder, y.dy &ndash xdy + 5dy = ydx &ndash xdx + dx

Oder $frac<1><2>$ dy 2 &ndash (xdy + ydx) + $frac<1><2>$.dx 2 + 5dy &ndash dx = 0.


12.3: Eigenräume - Mathematik

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Editor für mathematische Ausdrücke

Die Spanne der einem festen Eigenwert zugeordneten Eigenvektoren definiert den diesem Eigenwert entsprechenden Eigenraum.

Beachten Sie, dass die Dimension des Eigenraums, der einem gegebenen Eigenwert entspricht, mindestens 1 sein muss, da Eigenräume definitionsgemäß von Null verschiedene Vektoren enthalten müssen.

Allgemeiner gesagt, wenn eine lineare Transformation und ein Eigenwert von ist, dann ist der Eigenraum von entsprechend

Auf diese Weise identifiziert die Festlegung einer Basis für die Eigenräume von (in ) mit den Eigenräumen der Matrixdarstellung von (in ).


Lektion: Lektion 12.3

b. Ich weiß, dass ein Bruch Teile eines Ganzen und Teile einer Menge darstellen kann.

c. Ich weiß, dass, wenn ein Ganzes in gleiche Teile zerlegt wird, der Nenner die Anzahl der gleichen Teile darstellt.

d. Ich weiß, dass der Zähler eines Bruchs die Anzahl der gleichen Teile ist, die schattiert sind oder sich von den anderen Teilen unterscheiden.

2. Ich kann einen Zahlenstrahl verwenden, um Brüche darzustellen.

3. Ich kann Brüche vergleichen, indem ich mir die Größe der Teile und die Anzahl der Teile ansehe.

4. a. Ich kann einen Zahlenstrahl verwenden, um festzustellen, ob zwei Brüche äquivalent sind

b. Ich kann visuelle Modelle verwenden, um äquivalente Brüche zu berechnen.

c. Ich kann mit visuellen Modellen erklären, warum Brüche äquivalent sind

5. a. Ich kann eine ganze Zahl als Bruch schreiben.

b. Ich weiß, dass ein Bruch gleich einer Division ist

6. a. Ich kann die Größe zweier Brüche mit demselben Zähler oder demselben Nenner vergleichen.

b. Ich weiß, dass ich Brüche nur vergleichen kann, wenn sie aus demselben Ganzen stammen.


Irgendwann saßen viele von uns im Matheunterricht und fragten sich: &bdquoWann werde ich das nutzen?&rdquo Wir haben es vielleicht nicht geglaubt, aber die Antwort in einer Vielzahl von Berufen lautet: &ldquoJeden Tag!&rdquo Die angewandten Mathematik-Bewertungsmaße kritisches Denken, mathematisches Denken und Problemlösungstechniken für Situationen, die am heutigen Arbeitsplatz tatsächlich vorkommen. Während Einzelpersonen Taschenrechner und Umrechnungstabellen verwenden können, um bei den Problemen bei der Bewertung zu helfen, sind dennoch mathematische Fähigkeiten erforderlich, um sie durchzudenken.

Es gibt fünf Schwierigkeitsgrade. Level 3 ist am wenigsten komplex und Level 7 ist am komplexesten. Die Stufen bauen aufeinander auf und beinhalten jeweils die Fähigkeiten, die auf den vorherigen Stufen bewertet wurden. Auf Stufe 5 benötigen Einzelpersonen beispielsweise die Fähigkeiten der Stufen 3, 4 und 5. Beispiele sind in jeder Beschreibung der Stufe enthalten.

Stufe 3

Eigenschaften von Gegenständen

  • Übersetzen Sie leicht von einer Textaufgabe in eine mathematische Gleichung
  • Alle benötigten Informationen werden in logischer Reihenfolge angezeigt
  • Keine zusätzlichen Informationen

Kompetenzen

  • Lösen Sie Probleme, die eine Art mathematischer Operation erfordern. Sie addieren oder subtrahieren entweder positive oder negative Zahlen (wie 10 oder -2). Sie multiplizieren oder dividieren nur mit positiven Zahlen (z. B. 10).
  • Konvertieren Sie einen bekannten Bruch (wie ½ oder ¼ in einen Dezimalbruch) und konvertieren Sie einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch ODER konvertieren Sie Dezimalzahlen in Prozentsätze (zB 0,75 bis 75%).
  • Konvertieren Sie zwischen bekannten Geld- und Zeiteinheiten (z. B. eine Stunde entspricht 60 Minuten oder ½ eines Dollars entspricht 0,50).
  • Addieren Sie die Preise mehrerer Produkte zusammen, um die Gesamtsumme zu ermitteln und das richtige Wechselgeld für einen Kunden zu berechnen.

Level 4

Eigenschaften von Gegenständen

  • Informationen können außerhalb der Reihenfolge angezeigt werden
  • Kann zusätzliche, unnötige Informationen enthalten
  • Kann ein einfaches Diagramm, Diagramm oder Diagramm enthalten include

Kompetenzen

  • Lösen Sie Probleme, die eine oder zwei mathematische Operationen erfordern. Sie können mit positiven oder negativen Zahlen (z. B. 10 oder -2) addieren, subtrahieren oder multiplizieren und positive Zahlen (z. B. 10) dividieren.
  • Berechnen Sie den Durchschnitt oder Mittelwert einer Reihe von Zahlen (z. B. (10+11+12) /3 )). Dazu können sie ganze Zahlen und Dezimalzahlen verwenden.
  • Ermitteln Sie einfache Verhältnisse (z. B. ¾), einfache Proportionen (z. B. 10/100 Fälle) oder Raten (z. B. 10 mph).
  • Fügen Sie allgemein bekannte Brüche, Dezimalzahlen oder Prozentsätze hinzu (z. B. ½, 0,75 oder 25 %).
  • Addiere oder subtrahiere Brüche mit einem gemeinsamen Nenner (wie ¼ + ¾ + ¼).
  • Multiplizieren Sie eine gemischte Zahl (z. B. 12 1/8) mit einer ganzen Zahl oder einer Dezimalzahl.
  • Bringen Sie die Informationen in die richtige Reihenfolge, bevor Sie Berechnungen durchführen.

Level 5

Eigenschaften von Gegenständen

  • Probleme erfordern mehrere Logik- und Berechnungsschritte (z. B. kann das Problem das Ausfüllen eines Bestellformulars durch Zusammenstellen der Bestellung und anschließende Berechnung der Steuern beinhalten).

Kompetenzen

  • Entscheiden Sie, welche Informationen, Berechnungen oder Einheitenumrechnungen verwendet werden sollen, um die Antwort auf ein Problem zu finden.
  • Addiere und subtrahiere Brüche mit ungleichen Nennern (wie ½ - ¼).
  • Konvertieren Sie Einheiten innerhalb oder zwischen Maßsystemen (z. B. Zeit, Maß, Menge), wobei der Umrechnungsfaktor entweder in der Aufgabe oder im Formelblatt angegeben ist.
  • Lösen Sie Probleme, die mathematische Operationen mit gemischten Einheiten erfordern (z. B. Hinzufügen von 6 Fuß und 4 Zoll zu 3 Fuß und 10 Zoll oder Subtrahieren von 4 Stunden und 30 Minuten von 3,5 Stunden).
  • Identifizieren Sie das beste Angebot mithilfe von ein- oder zweistufigen Berechnungen, die die angegebenen Bedingungen erfüllen.
  • Berechnen Sie den Umfang oder Umfang einer Grundform oder berechnen Sie die Fläche einer Grundform.
  • Berechnen Sie einen bestimmten Prozentsatz einer bestimmten Zahl und verwenden Sie dann diesen Prozentsatz, um die Lösung für ein Problem zu finden (z. B. den Prozentsatz finden und dann den Rabatt, den Aufschlag oder die Steuer verwenden).
  • Identifizieren Sie, wo bei einer Berechnung ein Fehler aufgetreten ist (z. B. die Zeile in einer Tabelle, in der ein Problem aufgetreten ist).

Stufe 6

Eigenschaften von Gegenständen

  • Kann eine beträchtliche Übersetzung von der verbalen Form in einen mathematischen Ausdruck erfordern
  • Erfordert im Allgemeinen eine beträchtliche Einrichtung und umfasst mehrstufige Berechnungen

Kompetenzen

  • Verwenden Sie Brüche mit ungleichen Nennern und berechnen Sie umgekehrte Prozentsätze.
  • Konvertieren Sie Einheiten innerhalb oder zwischen Maßsystemen (z. B. Zeit, Maß und Menge), wenn Umrechnungen in mehreren Schritten erforderlich sind und die Formeln bereitgestellt werden, wie z. B. die Umrechnung von Kilometern in Meter in Fuß.
  • Identifizieren Sie, warum in einer Lösung ein Fehler aufgetreten ist.
  • Finden Sie das beste Angebot aus einer Gruppe von Lösungen und verwenden Sie das Ergebnis dann für eine weitere Berechnung.
  • Finden Sie den Bereich der Grundformen, wenn es notwendig sein kann, eine Formel neu anzuordnen, Maßeinheiten in den Berechnungen umzurechnen oder das Ergebnis in weiteren Berechnungen zu verwenden.
  • Berechnen Sie das Volumen rechteckiger Körper (z. B. Würfel).
  • Berechnen Sie Raten, Produktionsraten, Rate nach Zeit (z. B. Produktionsrate beträgt 59 Tassen pro Stunde, wie viele in einer 8-Stunden-Schicht produziert werden).
  • Identifizieren Sie die richtige Gleichung zur Lösung eines Problems.

Stufe 7

Eigenschaften von Gegenständen

  • Inhalt oder Format können ungewöhnlich sein
  • Informationen können unvollständig oder implizit sein
  • Probleme beinhalten oft mehrere Logik- und Berechnungsschritte

Kompetenzen

  • Lösen Sie Probleme, die Verhältnisse, Raten oder Proportionen enthalten, wobei mindestens eine der Größen ein Bruch ist.
  • Identifizieren Sie den Grund für einen Fehler.
  • Konvertieren Sie zwischen Maßeinheiten mit Brüchen, gemischten Zahlen, Dezimalzahlen und Prozentsätzen.
  • Berechnen Sie das Volumen von Kugeln, Zylindern oder Kegeln.
  • Berechnen Sie das Volumen, wenn es erforderlich ist, die Formel neu anzuordnen, Maßeinheiten in Berechnungen umzurechnen oder das Ergebnis in weiteren Berechnungen zu verwenden.
  • Richten Sie Verhältnisse, Raten oder Proportionen ein und bearbeiten Sie sie, wenn mindestens eine der Größen ein Bruch ist.
  • Bestimmen Sie den besseren wirtschaftlichen Wert mehrerer Alternativen, indem Sie Grafiken verwenden, die prozentuale Differenz bestimmen oder die Stückkosten ermitteln.
  • Wenden Sie grundlegende statistische Konzepte an, zum Beispiel berechnen Sie den gewichteten Mittelwert, interpretieren Sie die Maße der zentralen Tendenz oder interpretieren Sie das Maß für Streuung und Toleranz.

12.3: Eigenräume - Mathematik

Hier ist eine Frage, deren Antwort sich als sehr nützlich herausstellt: Wie groß ist der Winkel zwischen ihnen bei zwei Vektoren?

Es mag nicht sofort klar sein, dass die Frage Sinn macht, aber es ist nicht schwer, sie in eine Frage umzuwandeln, die es tut. Da Vektoren keine Position haben, können wir Vektoren wie gewohnt beliebig platzieren. Stellt man die beiden Vektoren Tail-to-Tail, ergibt sich nun eine vernünftige Interpretation der Frage: Wir suchen das Maß des kleinsten Winkels zwischen den beiden Vektoren, in der Ebene, in der sie liegen. Abbildung 12.3.1 veranschaulicht die Situation.

Da der Winkel $ heta$ in einem Dreieck liegt, können wir ihn mit ein wenig Trigonometrie berechnen, nämlich dem Kosinussatz. Die Seitenlängen des Dreiecks in Abbildung 12.3.1 sind $|<f A>|$, $|<f B>|$ und $|<f A>-<f B>|$ . Sei $ds <f A>=langle a_1,a_2,a_3 angle$ und $ds <f B>=langle b_1,b_2,b_3 angle$ dann $eqalign< |<f A >-<f B>|^2&=|<f A>|^2+|<f B>|^2-2|<f A>||<f B>|cos heta cr 2|<f A>||<f B>|cos heta&=|<f A>|^2+|<f B>|^2-|<f A>-< f B>|^2cr &=a_1^2+a_2^2+a_3^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2-(a_1-b_1)^2-(a_2-b_2)^2 -(a_3-b_3)^2cr &=a_1^2+a_2^2+a_3^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2cr &qquad-(a_1^2-2a_1b_1+b_1^ 2) -(a_2^2-2a_2b_2+b_2^2)-(a_3^2-2a_3b_3+b_3^2)cr &=2a_1b_1+2a_2b_2+2a_3b_3cr |<f A>||<f B> |cos heta&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3cr cos heta&=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)/(|<f A>||<f B>|)cr >$ Also ein bisschen Einfache Arithmetik mit den Koordinaten $f A$ und $f B$ erlaubt uns, den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen. Bei Bedarf können wir den Arkuskosinus verwenden, um $ heta$ zu erhalten, aber in vielen Problemen stellt sich heraus, dass $cos heta$ alles ist, was wir wirklich brauchen.

Der Zähler des Bruchs, der uns $cos heta$ liefert, taucht häufig auf, also geben wir ihm einen Namen und eine kompaktere Notation: wir nennen ihn Skalarprodukt, und schreiben Sie es als $<f A>cdot <f B>= a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$ Dies ist das gleiche Symbol, das wir für die gewöhnliche Multiplikation verwenden, aber es sollte niemals Verwirrung geben, die Sie aus dem Kontext erkennen können, ob wir "multiplizieren" Vektoren oder Zahlen. (Wir könnten auch den Punkt für die Skalarmultiplikation verwenden: $acdot<f V>=a<f V>$ wieder, es ist klar, was aus dem Kontext gemeint ist.)

Beispiel 12.3.1 Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren $<f A>=langle 1,2,1 angle$ und $<f B>=langle 3,1,-5 angle$. Wir wissen, dass $cos heta=<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>|)= (1cdot3 + 2cdot1 + 1 cdot(-5))/(|<f A>||<f B>|)=0$, also $ heta=pi/2$, dh die Vektoren stehen senkrecht.

Beispiel 12.3.2 Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren $<f A>=langle 3,3,0 angle$ und $<f B>=langle 1,0,0 angle$. Wir berechnen $eqalign< cos heta &= (3cdot1 + 3cdot0 + 0cdot0)/(sqrt<9+9+0>sqrt<1+0+0>)cr &= 3/sqrt <18>= 1/sqrt2cr>$ also $ heta=pi/4$.

Beispiel 12.3.3 Es lohnt sich, einige Sonderfälle zu betrachten: Ermitteln Sie die Winkel zwischen $<f A>$ und $<f A>$ $<f A>$ und $<f -A>$ $< bf A>$ und $<f 0>=langle 0,0,0 angle$.

$ds ​​cos heta= <f A>cdot<f A>/(|<f A>||<f A>|)=(a_1^2+a_2^2+a_3^2 )/ (sqrtsqrt)=1$, also ist der Winkel zwischen $<f A>$ und sich selbst Null, was natürlich richtig ist.

$dscos heta=<f A>cdot<f -A>/(|<f A>||<f -A>|)=(-a_1^2-a_2^2- a_3^2)/ (sqrtsqrt)=-1$, der Winkel ist also $pi$, dh die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen, wie wir natürlich schon wussten.

$ds ​​cos heta= <f A>cdot<f 0>/(|<f A>||<f 0>|)=(0+0+0)/ (sqrtsqrt<0^2+0^2+0^2>)$, was nicht definiert ist. Beachten Sie andererseits, dass es wegen $<f A>cdot<f 0>=0$ zunächst so aussieht, als ob $cos heta$ Null ist, was, wie wir gesehen haben, bedeutet, dass Vektoren senkrecht stehen erst wenn wir merken, dass auch der Nenner null ist, geraten wir in Schwierigkeiten. Eine Möglichkeit, dies zu "beheben", besteht darin, die Konvention zu übernehmen, dass der Nullvektor $<f 0>$ senkrecht zu allen Vektoren steht, dann können wir allgemein sagen, dass wenn $<f A>cdot<f B> =0$, $f A$ und $f B$ stehen senkrecht.

Beachten Sie bei der Verallgemeinerung der Beispiele die folgenden nützlichen Fakten:

1. Wenn $f A$ parallel oder antiparallel zu $f B$ ist, dann $<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>| )=pm1$, und umgekehrt, wenn $<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>|)=1$, $f A$ und $f B$ sind parallel, während $<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>|)=-1$, $f A$ und $f B$ sind antiparallel. (Vektoren sind parallel, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen, antiparallel, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.)

2. Wenn $f A$ senkrecht zu $f B$ steht, dann ist $<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>|)=0$ , und umgekehrt, wenn $<f A>cdot<f B>/(|<f A>||<f B>|)=0$, dann sind $f A$ und $f B$ aufrecht.

Bei zwei Vektoren ist es oft nützlich, die Projektion von einem Vektor auf den anderen, weil dies in vielen Fällen eine wichtige Bedeutung hat. Genauer gesagt suchen wir bei gegebenen $<f A>$ und $<f B>$ einen Vektor parallel zu $f B$, dessen Länge jedoch auf natürliche Weise durch $f A$ bestimmt wird, wie in Abbildung . gezeigt 12.3.2. $f V$ wird so gewählt, dass das aus $f A$, $f V$ und $<f A>-<f V>$ gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Mit ein wenig Trigonometrie sehen wir, dass $ |<f V>|=|<f A>|cos heta= |<f A>|<<f A>cdot<f B> over|<f A>||<f B>|>= <<f A>cdot<f B>over|<f B>|> $ dies wird manchmal als . bezeichnet Skalarprojektion von $f A$ auf $f B$. Um $f V$ selbst zu erhalten, multiplizieren wir diese Länge mit einem Vektor der Länge eins parallel zu $f B$: $ <f V>= <<f A>cdot<f B>over| <f B>|><<f B>over|<f B>|>= <<f A>cdot<f B>over|<f B>|^2>< fB>. $ Verstehen Sie, warum $<f B>/|<f B>|$ ein Vektor der Länge eins ist (auch a Einheitsvektor) parallel zu $f B$.

Die bisherige Diskussion ging implizit davon aus, dass le hetalepi/2$. Wenn $pi/2 Abbildung 12.3.3. $f V$ ist die Projektion von $f A$ auf $f B$.

Beachten Sie, dass der Ausdruck "Projektion auf $f B

12.3: Eigenräume - Mathematik

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  • Prüfung #2 : Donnerstag, 24.10. Themen: Alle Themen zu HW#5, HW#6, HW#7.
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Die Lösung eines Großteils der vorgeschlagene Probleme wird stark gefördert. Die Lösung dieser Probleme wird Ihr Verständnis des Kursmaterials verbessern und Sie besser auf die Prüfungen vorbereiten.
Arbeiten Sie am Wochenende an den HW-Problemen, sodass Sie während der Sprechzeiten am Montag beim TA und am Dienstag beim Dozenten und dem TA um Hilfe bitten.

Die folgenden Problemnummern basieren auf der 11. Auflage des Lehrbuchs. Wenn Sie eine frühere Ausgabe verwenden, stellen Sie bitte sicher, dass Sie die richtigen Probleme lösen. (Die Abschnitte 1.1., 1.2, 1.3 des Lehrbuchs sind in der Lehrbuchvorschau auf Amazon verfügbar.)

Merken: Die Hausaufgaben müssen fristgerecht zu Unterrichtsbeginn abgegeben werden. Lösungen müssen klar, leserlich und prägnant geschrieben sein und werden sowohl auf mathematische Korrektheit als auch auf Präsentation benotet. Für Schlampigkeit, inkohärente oder ungenügende Erklärung oder fehlende Zwischenschritte werden Punkte abgezogen.
Heften Sie die Seiten unbedingt zusammen und schreiben Sie Ihren Namen (und den aller Mitarbeiter), die Kursnummer, die Aufgabennummer und das Abgabedatum auf die Vorderseite.

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    Lesen Sie mehr über partitionierte Matrizen und die Beispiele 7, 8, 9, 10, 11 und 12 in Abschnitt 1.3.
  • Hausaufgaben #1 : Fällig Donnerstag, 29.08. HW#1-Lösungen wurden am 29.08. in der Klasse verteilt.
    Vorgeschlagene Probleme: Abschnitt 1.1: 1, 5, 7, 9, 21 & 26, TF. Abschnitt 1.2: 1, 3, 15, 19, 35, TF. Abschnitt 1.3: 23, 30.
    Einreichungsprobleme: [ Kommentar: Wenn Sie ein System lösen, richten Sie die erweiterte Matrix ein und wenden Sie dann Zeilenoperationen an, kennzeichnen Sie jede angewendete Zeilenoperation deutlich und zeigen Sie alle Zwischenschritte an.]. Abschnitt 1.1: 12, 16b, 20b, TF(e)(f)(g). Abschnitt 1.2: 18, 24ac, 26, 31, 34, 43a. Abschnitt 1.3: 27, 30a.


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