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3.5: Trigonometrische Gleichungen lösen - Mathematik


Lernziele

  • Löse lineare trigonometrische Gleichungen in Sinus und Kosinus.
  • Lösen Sie Gleichungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion.
  • Lösen Sie trigonometrische Gleichungen mit einem Taschenrechner.
  • Lösen Sie trigonometrische Gleichungen mit quadratischer Form.
  • Lösen Sie trigonometrische Gleichungen mit fundamentalen Identitäten.
  • Lösen Sie trigonometrische Gleichungen mit mehreren Winkeln.
  • Löse Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken.

Thales von Milet (ca. 625–547 v. Chr.) gilt als Begründer der Geometrie. Die Legende besagt, dass er die Höhe der Großen Pyramide von Gizeh in Ägypten mit der Theorie von berechnet hat ähnliche Dreiecke, die er entwickelt hat, indem er den Schatten seiner Mitarbeiter misst. Basierend auf Proportionen hat diese Theorie Anwendungen in einer Reihe von Bereichen, einschließlich fraktaler Geometrie, Ingenieurwesen und Architektur. Häufig werden der Elevationswinkel und der Depressionswinkel unter Verwendung ähnlicher Dreiecke ermittelt.

In früheren Abschnitten dieses Kapitels haben wir uns mit trigonometrischen Identitäten befasst. In diesem Abschnitt beginnen wir unser Studium trigonometrischer Gleichungen, um reale Szenarien wie das Auffinden der Abmessungen der Pyramiden zu untersuchen.

Lösen linearer trigonometrischer Gleichungen in Sinus und Cosinus

Trigonometrische Gleichungen sind, wie der Name schon sagt, Gleichungen, die trigonometrische Funktionen beinhalten. Ähnlich wie bei der Lösung polynomialer Gleichungen oder rationaler Gleichungen, werden nur bestimmte Werte der Variablen Lösungen sein, wenn es überhaupt Lösungen gibt. Oft lösen wir eine trigonometrische Gleichung über ein bestimmtes Intervall. Genauso oft werden wir jedoch aufgefordert, alle möglichen Lösungen zu finden, und da trigonometrische Funktionen periodisch sind, werden Lösungen innerhalb jeder Periode wiederholt. Mit anderen Worten, trigonometrische Gleichungen können unendlich viele Lösungen haben. Außerdem muss wie bei rationalen Gleichungen der Bereich der Funktion berücksichtigt werden, bevor wir annehmen, dass eine Lösung gültig ist. Das Zeitraum sowohl der Sinusfunktion als auch der Kosinusfunktion ist (2pi). Mit anderen Worten, alle (2pi) Einheiten, die j-Werte wiederholen. Wenn wir alle möglichen Lösungen finden müssen, müssen wir (2pi k), wobei (k) eine ganze Zahl ist, zur Anfangslösung hinzufügen. Erinnern Sie sich an die Regel, die das Format für die Angabe aller möglichen Lösungen für eine Funktion mit der Periode (2pi) angibt:

[sin heta=sin( hetapm 2kpi)]

Es gibt ähnliche Regeln für die Angabe aller möglichen Lösungen für die anderen trigonometrischen Funktionen. Das Lösen trigonometrischer Gleichungen erfordert die gleichen Techniken wie das Lösen algebraischer Gleichungen. Wir lesen die Gleichung von links nach rechts, horizontal, wie einen Satz. Wir suchen nach bekannten Mustern, faktorisieren, finden gemeinsame Nenner und ersetzen bestimmte Ausdrücke durch eine Variable, um die Lösung einfacher zu gestalten. Bei trigonometrischen Gleichungen haben wir jedoch auch den Vorteil, die in den vorherigen Abschnitten entwickelten Identitäten zu verwenden.

Beispiel (PageIndex{1A}): Lösen einer linearen trigonometrischen Gleichung mit der Kosinusfunktion

Finden Sie alle möglichen exakten Lösungen für die Gleichung (cos heta=dfrac{1}{2}).

Lösung

Aus dem Einheitskreis wissen wir das

[ egin{align*} cos heta &=dfrac{1}{2} [4pt] heta &=dfrac{pi}{3},space dfrac{5pi} {3} end{ausrichten*}]

Dies sind die Lösungen im Intervall ([ 0,2pi ]). Alle möglichen Lösungen sind gegeben durch

[ heta=dfrac{pi}{3} pm 2kpi quad ext{und} quad heta=dfrac{5pi}{3} pm 2kpi onumber]

wobei (k) eine ganze Zahl ist.

Beispiel (PageIndex{1B}): Lösen einer linearen Gleichung mit der Sinusfunktion

Finden Sie alle möglichen exakten Lösungen für die Gleichung (sin t=dfrac{1}{2}).

Lösung

Das Auflösen nach allen möglichen Werten von (t) bedeutet, dass Lösungen Winkel jenseits der Periode von (2pi) enthalten. Aus dem Abschnitt über Summen- und Differenzidentitäten können wir sehen, dass die Lösungen (t=dfrac{pi}{6}) und (t=dfrac{5pi}{6}) sind. Aber das Problem besteht darin, nach allen möglichen Werten zu fragen, die die Gleichung lösen. Daher lautet die Antwort

[t=dfrac{pi}{6}pm 2pi k quad ext{und} quad t=dfrac{5pi}{6}pm 2pi k onumber]

wobei (k) eine ganze Zahl ist.

Howto: Gegeben eine trigonometrische Gleichung mit Algebra lösen

  1. Suchen Sie nach einem Muster, das auf eine algebraische Eigenschaft hindeutet, z. B. die Differenz von Quadraten oder eine Faktorisierungsmöglichkeit.
  2. Ersetzen Sie den trigonometrischen Ausdruck durch eine einzelne Variable, z. B. (x) oder (u).
  3. Lösen Sie die Gleichung auf die gleiche Weise, wie eine algebraische Gleichung gelöst werden würde.
  4. Ersetzen Sie die Variable in den resultierenden Ausdrücken wieder durch den trigonometrischen Ausdruck.
  5. Löse nach dem Winkel auf.

Beispiel (PageIndex{2}): Löse die lineare trigonometrische Gleichung

Löse die Gleichung genau: (2cos heta−3=−5), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Verwenden Sie algebraische Techniken, um die Gleichung zu lösen.

[egin{align*} 2 cos heta-3&= -5 2 cos heta&= -2 cos heta&= -1 heta&= pi end{align*} ]

Übung (PageIndex{2})

Löse genau die folgende lineare Gleichung auf dem Intervall ([0,2pi)): (2sin x+1=0).

Antworten

(x=dfrac{7pi}{6},space dfrac{11pi}{6})

Lösen von Gleichungen mit einer einzelnen trigonometrischen Funktion

Wenn wir Gleichungen erhalten, die nur eine der sechs trigonometrischen Funktionen beinhalten, erfordern ihre Lösungen algebraische Techniken und den Einheitskreis (siehe [link]). Wir müssen mehrere Überlegungen anstellen, wenn die Gleichung andere trigonometrische Funktionen als Sinus und Cosinus beinhaltet. Probleme mit den Kehrwerten der primären trigonometrischen Funktionen müssen aus einer algebraischen Perspektive betrachtet werden. Mit anderen Worten, wir werden die Kehrwertfunktion schreiben und mit der Funktion nach den Winkeln auflösen. Außerdem unterscheidet sich eine Gleichung, die die Tangensfunktion beinhaltet, geringfügig von einer Gleichung, die eine Sinus- oder Kosinusfunktion enthält. Erstens ist die Tangentenperiode bekanntlich (pi), nicht (2pi). Der Tangentenbereich umfasst alle reellen Zahlen mit Ausnahme der ungeraden ganzzahligen Vielfachen von (dfrac{pi}{2}), es sei denn, ein Problem legt dem Bereich seine eigenen Beschränkungen auf.

Lösen eines Problems mit einer einzelnen trigonometrischen Funktion

Lösen Sie das Problem genau: (2 {sin}^2 heta−1=0), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Da dieses Problem nicht leicht zu faktorisieren ist, werden wir die Quadratwurzeleigenschaft verwenden. Zuerst verwenden wir Algebra, um (sin heta) zu isolieren. Dann finden wir die Winkel.

[egin{ausrichten*}
2 {sin}^2 heta-1&= 0
2 {sin}^2 heta&= 1
{sin}^2 heta&= dfrac{1}{2}
sqrt{ {sin}^2 heta }&= pm sqrt{ dfrac{1}{2} }
sin heta&= pm dfrac{1}{sqrt{2}}
&= pm dfrac{sqrt{2}}{2}
heta&= dfrac{pi}{4}, space dfrac{3pi}{4},space dfrac{5pi}{4}, space dfrac{7pi}{4 }
end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{3B}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung mit Kosekans

Lösen Sie die folgende Gleichung genau: (csc heta=−2), (0≤ heta<4pi).

Lösung

Wir wollen alle Werte von ( heta), für die (csc heta=−2) über dem Intervall (0≤ heta<4pi) gilt.

[egin{align*} csc heta&= -2 dfrac{1}{sin heta}&= -2 sin heta&= -dfrac{1}{2} heta&= dfrac{7pi}{6},space dfrac{11pi}{6},space dfrac{19pi}{6}, space dfrac{23pi}{ 6} end{ausrichten*}]

Analyse

Da (sin heta=−dfrac{1}{2}) gilt, dass alle vier Lösungen im dritten und vierten Quadranten liegen.

Beispiel (PageIndex{3C}): Lösen einer Gleichung mit Tangente

Löse die Gleichung genau: ( anleft( heta−dfrac{pi}{2} ight)=1), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Denken Sie daran, dass die Tangensfunktion eine Periode von (pi) hat. Auf dem Intervall ([ 0,pi)) und im Winkel von (dfrac{pi}{4}) hat die Tangente den Wert (1). Der gewünschte Winkel ist jedoch (left( heta−dfrac{pi}{2} ight)). Wenn also ( anleft(dfrac{pi}{4} ight)=1), dann

[egin{align*} heta-dfrac{pi}{2}&= dfrac{pi}{4} heta&= dfrac{3pi}{4} pm k pi end{align*}]

Über das Intervall ([ 0,2pi )) haben wir zwei Lösungen:

( heta=dfrac{3pi}{4}) und ( heta=dfrac{3pi}{4}+pi=dfrac{7pi}{4})

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie alle Lösungen für ( an x=sqrt{3}).

Antworten

(dfrac{pi}{3}pm pik)

Beispiel (PageIndex{4}): Identifizieren Sie alle Lösungen der Gleichung mit Tangente

Bestimmen Sie alle exakten Lösungen der Gleichung (2( an x+3)=5+ an x), (0≤x<2pi).

Lösung

Wir können diese Gleichung nur mit Algebra lösen. Isolieren Sie den Ausdruck ( an x) auf der linken Seite des Gleichheitszeichens.

Es gibt zwei Winkel auf dem Einheitskreis, die einen Tangentenwert von (−1) haben: ( heta=dfrac{3pi}{4}) und ( heta=dfrac{7pi }{4}).

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen mit einem Taschenrechner

Nicht alle Funktionen können nur mit dem Einheitskreis exakt gelöst werden. Wenn wir eine Gleichung lösen müssen, die einen anderen Winkel als einen der speziellen Winkel beinhaltet, müssen wir einen Taschenrechner verwenden. Stellen Sie sicher, dass der richtige Modus eingestellt ist, entweder Grad oder Bogenmaß, abhängig von den Kriterien des gegebenen Problems.

Beispiel (PageIndex{5A}): Verwenden eines Taschenrechners zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus

Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Gleichung (sin heta=0.8) zu lösen, wobei ( heta) im Bogenmaß steht.

Lösung

Stellen Sie sicher, dass der Modus auf Radiant eingestellt ist. Um ( heta) zu finden, verwenden Sie die inverse Sinusfunktion. Bei den meisten Taschenrechnern müssen Sie die 2 . drückenND und dann die SIN-Taste, um die Funktion ({sin}^{−1}) aufzurufen. Auf dem Bildschirm wird ({sin}^{−1}) angezeigt. Der Taschenrechner ist bereit für die Eingabe in Klammern. Für dieses Problem geben wir ({sin}^{−1}(0.8)) ein und drücken die EINGABETASTE. Also auf vier Nachkommastellen

({sin}^{−1}(0.8)≈0.9273)

Die Lösung ist

( heta≈0.9273pm 2pik)

Die Winkelmessung in Grad ist

[egin{align*} heta&approx 53,1^{circ} heta&approx 180^{circ}-53.1^{circ} &approx 126.9^{circ} end {ausrichten*}]

Analyse

Beachten Sie, dass ein Taschenrechner nur einen Winkel in den Quadranten I oder IV für die Sinusfunktion zurückgibt, da dies der Bereich des inversen Sinus ist. Den anderen Winkel erhält man mit (pi− heta).

Beispiel (PageIndex{5B}): Verwenden eines Taschenrechners zum Lösen einer trigonometrischen Gleichung mit Sekante

Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Gleichung ( sec θ=−4, ) zu lösen und geben Sie Ihre Antwort im Bogenmaß an.

Lösung

Wir können mit etwas Algebra beginnen.

[egin{align*} sec heta&= -4 dfrac{1}{cos heta}&= -4 cos heta&= -dfrac{1}{4} end {ausrichten*}]

Überprüfen Sie, ob MODE im Bogenmaß angegeben ist. Verwenden Sie nun die inverse Kosinusfunktion

[egin{align*}{cos}^{-1}left(-dfrac{1}{4} ight)&approx 1,8235 heta&approx 1,8235+2pi k end {ausrichten*}]

Da (dfrac{pi}{2}≈1.57) und (pi≈3.14),(1.8235) zwischen diesen beiden Zahlen liegt, liegt also ( heta≈1.8235) im Quadranten II . Der Kosinus ist auch in Quadrant III negativ. Beachten Sie, dass ein Taschenrechner nur einen Winkel in den Quadranten I oder II für die Kosinusfunktion zurückgibt, da dies der Bereich des inversen Kosinus ist. Siehe Abbildung (PageIndex{2}).

Wir müssen also auch das Winkelmaß in Quadrant III finden. In Quadrant III ist der Bezugswinkel ( heta '≈pi−1.8235≈1.3181). Die andere Lösung in Quadrant III ist ( heta '≈pi+1.3181≈4.4597).

Die Lösungen sind ( heta≈1.8235pm 2pi k) und ( heta≈4.4597pm 2pi k).

Übung (PageIndex{5})

Löse (cos heta=−0.2).

Antworten

( heta≈1.7722pm 2pi k) und ( heta≈4.5110pm 2pi k)

Lösen trigonometrischer Gleichungen in quadratischer Form

Lösen von a quadratische Gleichung kann komplizierter sein, aber wir können Algebra wie für jede quadratische Gleichung verwenden. Betrachten Sie das Muster der Gleichung. Gibt es mehr als eine trigonometrische Funktion in der Gleichung oder gibt es nur eine? Welche trigonometrische Funktion wird quadriert? Wenn nur eine Funktion dargestellt wird und einer der Terme quadriert ist, denken Sie an die Standardform einer Quadratur. Ersetzen Sie die trigonometrische Funktion durch eine Variable wie (x) oder (u). Wenn die Substitution die Gleichung wie eine quadratische Gleichung aussehen lässt, können wir die gleichen Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen verwenden, um die trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Beispiel (PageIndex{6A}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung in quadratischer Form

Löse die Gleichung genau: ({cos}^2 heta+3 cos heta−1=0), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Wir beginnen mit der Substitution und ersetzen (cos heta) durch (x). Es ist nicht notwendig, eine Substitution zu verwenden, aber es kann die visuelle Lösung des Problems erleichtern. Sei (cos heta=x). Wir haben

(x^2+3x−1=0)

Die Gleichung kann nicht faktorisiert werden, daher verwenden wir die quadratische Formel: (x=dfrac{−bpm sqrt{b^2−4ac}}{2a}).

[egin{align*} x&= dfrac{ -3pm sqrt{ {(-3)}^2-4 (1) (-1) } }{2} &= dfrac{- 3pm sqrt{13}}{2}end{ausrichten*}]

Ersetze (x) durch (cos heta) und löse.

[egin{align*} cos heta&= dfrac{-3pm sqrt{13}}{2} heta&= {cos}^{-1}left(dfrac{- 3+sqrt{13}}{2} ight) end{align*}]

Beachten Sie, dass nur das +-Zeichen verwendet wird. Dies liegt daran, dass wir einen Fehler erhalten, wenn wir ( heta={cos}^{−1}left(dfrac{−3−sqrt{13}}{2} ight)) auf einem Taschenrechner lösen , da der Bereich der inversen Kosinusfunktion ([ −1,1 ]) ist. Es gibt jedoch eine zweite Lösung:

[egin{align*} heta&= {cos}^{-1}left(dfrac{-3+sqrt{13}}{2} ight) &approx 1,26 end{ ausrichten*}]

Diese Endseite des Winkels liegt im Quadranten I. Da der Kosinus auch im Quadranten IV positiv ist, ist die zweite Lösung

[egin{align*} heta&= 2pi-{cos}^{-1}left(dfrac{-3+sqrt{13}}{2} ight) &approx 5.02 end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{6B}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung in quadratischer Form durch Faktorisieren

Löse die Gleichung genau: (2 {sin}^2 heta−5 sin heta+3=0), (0≤ heta≤2pi).

Lösung

Durch die Gruppierung kann dieses Quadrat faktorisiert werden. Nehmen Sie entweder die echte Substitution vor, (sin heta=u), oder stellen Sie sie sich vor, indem wir faktorisieren

[egin{align*} 2 {sin}^2 heta-5 sin heta+3&= 0 (2sin heta-3)(sin heta-1)&= 0 qquad ext {Nun setze jeden Faktor gleich Null.} 2 sin heta-3&= 0 2 sin heta&= 3 sin heta&= dfrac{3}{2} sin heta-1&= 0 sin heta&= 1 end{align*}]

Als nächstes löse nach ( heta): (sin heta≠dfrac{3}{2}), da der Bereich der Sinusfunktion ([ −1,1 ]) ist. Allerdings (sin heta=1), was die Lösung ( heta=dfrac{pi}{2}) ergibt.

Analyse

Stellen Sie sicher, dass Sie alle Lösungen in der angegebenen Domäne überprüfen, da für einige Faktoren keine Lösung verfügbar ist.

Übung (PageIndex{6})

Löse ({sin}^2 heta=2cos heta+2), (0≤ heta≤2pi). [Hinweis: Nehmen Sie eine Substitution vor, um die Gleichung nur als Kosinus auszudrücken.]

Antworten

(cos heta=−1), ( heta=pi)

Beispiel (PageIndex{7A}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung mit Algebra

Löse genau: (2 {sin}^2 heta+sin heta=0;space 0≤ heta<2pi)

Lösung

Dieses Problem sollte bekannt vorkommen, da es einem Quadrat ähnelt. Sei (sin heta=x). Die Gleichung wird zu (2x^2+x=0). Wir beginnen mit der Faktorisierung:

[egin{ausrichten*}
2x^2+x&= 0
x(2x+1)&= 0qquad ext {Jeden Faktor gleich Null setzen.}
x&= 0
2x+1&= 0
x&= -dfrac{1}{2} end{align*}]
Setzen Sie dann den ursprünglichen Ausdruck (sin heta) für (x) wieder in die Gleichung ein. So,
[egin{ausrichten*} sin heta&= 0
heta&= 0,pi
sin heta&= -dfrac{1}{2}
heta&= dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6}
end{ausrichten*}]

Die Lösungen im Bereich (0≤ heta<2pi) sind ( heta=0,pi,dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6} ).

Wenn wir es vorziehen, nicht zu ersetzen, können wir die Gleichung lösen, indem wir dem gleichen Muster der Faktorisierung folgen und jeden Faktor auf Null setzen.

[egin{align*} {sin}^2 heta+sin heta&= 0 sin heta(2sin heta+1)&= 0 sin heta&= 0 heta&= 0,pi 2 sin heta+1&= 0 2sin heta&= -1 sin heta&= -dfrac{1}{2} heta&= dfrac{7pi}{6},dfrac{11pi}{6} end{align*}]

Analyse

Wir können die Lösungen im Diagramm in Abbildung (PageIndex{3}) sehen. Auf dem Intervall (0≤ heta<2pi) schneidet der Graph die (x)-Achse viermal, bei den notierten Lösungen. Beachten Sie, dass trigonometrische Gleichungen in quadratischer Form bis zu vier Lösungen liefern können, anstatt der erwarteten zwei, die bei quadratischen Gleichungen gefunden werden. In diesem Beispiel ergibt jede Lösung (Winkel), die einem positiven Sinuswert entspricht, zwei Winkel, die zu diesem Wert führen würden.

Wir können die Lösungen auf dem Einheitskreis auch über das Ergebnis im Abschnitt über Summen- und Differenzidentitäten überprüfen.

Beispiel (PageIndex{7B}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung quadratisch in Form

Löse die Gleichung quadratisch exakt in der Form: (2 {sin}^2 heta−3 sin heta+1=0), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Wir können mit Gruppierung faktorisieren. Lösungswerte von ( heta) finden Sie auf dem Einheitskreis.

[egin{align*} (2sin heta-1)(sin heta-1)&= 0 2 sin heta-1&= 0 sin heta&= dfrac{1 }{2} heta&= dfrac{pi}{6}, dfrac{5pi}{6} sin heta&= 1 heta&= dfrac{pi}{2 } end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{7})

Löse die quadratische Gleichung (2{cos}^2 heta+cos heta=0).

Antworten

(dfrac{pi}{2}, space dfrac{2pi}{3}, space dfrac{4pi}{3}, space dfrac{3pi}{2} )

Lösen trigonometrischer Gleichungen mit fundamentalen Identitäten

Während Algebra verwendet werden kann, um eine Reihe trigonometrischer Gleichungen zu lösen, können wir auch die fundamentalen Identitäten verwenden, da sie das Lösen von Gleichungen vereinfachen. Denken Sie daran, dass die Techniken, die wir zum Lösen verwenden, nicht dieselben sind wie die zum Verifizieren von Identitäten. Hier gelten die Grundregeln der Algebra, im Gegensatz dazu, eine Seite der Identität so umzuschreiben, dass sie mit der anderen Seite übereinstimmt. Im nächsten Beispiel verwenden wir zwei Identitäten, um die Gleichung zu vereinfachen.

Beispiel (PageIndex{8A}): Verwenden Sie Identitäten, um eine Gleichung zu lösen

Verwenden Sie Identitäten, um die trigonometrische Gleichung über das Intervall (0≤x<2pi) exakt zu lösen.

(cosxcos(2x)+sinxsin(2x)=dfrac{sqrt{3}}{2})

Lösung

Beachten Sie, dass die linke Seite der Gleichung die Differenzformel für den Kosinus ist.

[egin{align*} cos x cos(2x)+sin x sin(2x)&= dfrac{sqrt{3}}{2} cos(x-2x)&= dfrac{sqrt{3}}{2}qquad ext{Differenzformel für Kosinus} cos(-x)&= dfrac{sqrt{3}}{2}qquad ext{Use die negative Winkelidentität.} cos x&= dfrac{sqrt{3}}{2} end{align*}]

Aus dem Einheitskreis im Abschnitt über Summen- und Differenzidentitäten sehen wir, dass (cos x=dfrac{sqrt{3}}{2}) wenn (x=dfrac{pi}{6} ,spacedfrac{11pi}{6}).

Beispiel (PageIndex{8B}): Lösen der Gleichung mit einer Doppelwinkelformel

Löse die Gleichung exakt mit einer Doppelwinkelformel: (cos(2 heta)=cos heta).

Lösung

Wir haben drei Auswahlmöglichkeiten von Ausdrücken, um den doppelten Kosinuswinkel zu ersetzen. Da es einfacher ist, jeweils nach einer trigonometrischen Funktion aufzulösen, wählen wir die Doppelwinkelidentität, die nur den Kosinus enthält:

[egin{align*} cos(2 heta)&= cos heta 2{cos}^2 heta-1&= cos heta 2 {cos}^2 heta -cos heta-1&= 0 (2cos heta+1)(cos heta-1)&= 0 2 cos heta+1&= 0 cos heta&= - dfrac{1}{2} cos heta-1&= 0 cos heta&= 1 end{align*}]

Wenn also (cos heta=−dfrac{1}{2}), dann ( heta=dfrac{2pi}{3}pm 2pi k) und ( theta=dfrac{4pi}{3}pm 2pik); wenn (cos heta=1), dann ( heta=0pm 2pi k).

Beispiel (PageIndex{8C}): Lösen einer Gleichung mit einer Identität

Löse die Gleichung exakt mit einer Identität: (3 cos heta+3=2 {sin}^2 heta), (0≤ heta<2pi).

Lösung

Wenn wir die rechte Seite umschreiben, können wir die Gleichung in Bezug auf den Kosinus schreiben:

[egin{ausrichten*}
3 cos heta+3&= 2 {sin}^2 heta
3 cos heta+3&= 2(1-{cos}^2 heta)
3 cos heta+3&= 2-2{cos}^2 heta
2 {cos}^2 heta+3 cos heta+1&= 0
(2cos heta+1)(cos heta+1)&= 0
2 cos heta+1&= 0
cos heta&= -dfrac{1}{2}
heta&= dfrac{2pi}{3},space dfrac{4pi}{3}
cos heta+1&= 0
cos heta&= -1
heta&= pi
end{ausrichten*}]

Unsere Lösungen sind ( heta=dfrac{2pi}{3},space dfrac{4pi}{3},space pi).

Lösen trigonometrischer Gleichungen mit mehreren Winkeln

Manchmal ist es nicht möglich, eine trigonometrische Gleichung mit Identitäten zu lösen, die einen mehrfachen Winkel haben, wie z. B. (sin(2x)) oder (cos(3x)). Wenn Sie mit diesen Gleichungen konfrontiert werden, erinnern Sie sich daran, dass (y=sin(2x)) eine horizontale Kompression um den Faktor 2 der Funktion (y=sin x) ist. Auf einem Intervall von (2pi) können wir zwei Perioden von (y=sin(2x)) darstellen, im Gegensatz zu einem Zyklus von (y=sin x). Diese Komprimierung des Diagramms lässt uns vermuten, dass es möglicherweise doppelt so viele gibt x-Achsenabschnitte oder Lösungen von (sin(2x)=0) im Vergleich zu (sin x=0). Diese Informationen helfen uns, die Gleichung zu lösen.

Beispiel (PageIndex{9}): Lösen einer trigonometrischen Gleichung mit mehreren Winkeln

Löse genau: (cos(2x)=dfrac{1}{2}) auf ([ 0,2pi )).

Lösung

Wir sehen, dass diese Gleichung die Standardgleichung mit einem Vielfachen eines Winkels ist. Wenn (cos(alpha)=dfrac{1}{2}) ist, wissen wir, dass (alpha) in den Quadranten I und IV liegt. Während ( heta={cos}^{−1} dfrac{1}{2}) nur Lösungen in den Quadranten I und II liefert, erkennen wir, dass die Lösungen der Gleichung (cos heta= dfrac{1}{2}) befinden sich in den Quadranten I und IV.

Daher sind die möglichen Winkel ( heta=dfrac{pi}{3}) und ( heta=dfrac{5pi}{3}). Also (2x=dfrac{pi}{3}) oder (2x=dfrac{5pi}{3}), was bedeutet, dass (x=dfrac{pi}{6 }) oder (x=dfrac{5pi}{6}). Macht das Sinn? Ja, denn (cosleft(2left(dfrac{pi}{6} ight) ight)=cosleft(dfrac{pi}{3} ight)=dfrac {1}{2}).

Gibt es noch andere mögliche Antworten? Kehren wir zu unserem ersten Schritt zurück.

In Quadrant I gilt (2x=dfrac{pi}{3}), also (x=dfrac{pi}{6}) wie angegeben. Drehen wir uns noch einmal um den Kreis:

[egin{ausrichten*}
2x&= dfrac{pi}{3}+2pi
&= dfrac{pi}{3}+dfrac{6pi}{3}
&= dfrac{7pi}{3}
x&= dfrac{7pi}{6}
ext {Eine weitere Drehung ergibt}
2x&= dfrac{pi}{3}+4pi
&= dfrac{pi}{3}+dfrac{12pi}{3}
&= dfrac{13pi}{3}
end{ausrichten*}]

(x=dfrac{13pi}{6}>2pi), also ist dieser Wert für (x) größer als (2pi), also keine Lösung auf ( [ 0,2pi)).

In Quadrant IV gilt (2x=dfrac{5pi}{3}), also (x=dfrac{5pi}{6}) wie angegeben. Drehen wir uns noch einmal um den Kreis:

[egin{align*} 2x&= dfrac{5pi}{3}+2pi &= dfrac{5pi}{3}+dfrac{6pi}{3} &= dfrac{11pi}{3} end{align*}]

also (x=dfrac{11pi}{6}).

Eine weitere Drehung ergibt

[egin{align*} 2x&= dfrac{5pi}{3}+4pi &= dfrac{5pi}{3}+dfrac{12pi}{3} &= dfrac{17pi}{3} end{align*}]

(x=dfrac{17pi}{6}>2pi), also ist dieser Wert für (x) größer als (2pi), also ist es keine Lösung auf ( [ 0,2pi )).

Unsere Lösungen sind (x=dfrac{pi}{6}, space dfrac{5pi}{6}, space dfrac{7pi}{6}), und (dfrac {11pi}{6}). Beachten Sie, dass wir jedes Mal, wenn wir ein Problem in der Form (sin(nx)=c) lösen, den Einheitskreis (n)-mal umrunden müssen.

Lösen von Problemen mit rechtwinkligen Dreiecken

Wir können jetzt alle erlernten Methoden anwenden, um Probleme zu lösen, die die Anwendung der Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke und des Satzes des Pythagoras beinhalten. Wir beginnen mit dem bekannten Satz des Pythagoras,

[a^2+b^2=c^2 label{Pythagoräer}]

und modellieren Sie eine Gleichung, um sie einer Situation anzupassen.

Beispiel (PageIndex{10A}): Verwendung des Satzes des Pythagoras zur Modellierung einer Gleichung

Eines der Kabel, das die Mitte des London Eye Riesenrads am Boden verankert, muss ersetzt werden. Die Mitte des Riesenrads befindet sich (69,5) Meter über dem Boden, und der zweite Anker am Boden ist (23) Meter vom Fuß des Riesenrads entfernt. Wie lang ist das Kabel ungefähr und wie groß ist der Höhenwinkel (vom Boden bis zur Mitte des Riesenrads)? Siehe Abbildung (PageIndex{4}).

Lösung

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras (Gleichung ef{Pythagoräisch}) und die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke, um eine Gleichung zu modellieren, die zum Problem passt. Mit den gegebenen Informationen können wir ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen. Wir können die Länge des Kabels mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

[egin{align*} a^2+b^2&= c^2 {(23)}^2+{(69.5)}^2&approx 5359 sqrt{5359}&approx 73.2 space m end{align*}]

Der Elevationswinkel ist ( heta), gebildet durch den zweiten Anker am Boden und das bis zur Radmitte reichende Seil. Wir können die Tangensfunktion verwenden, um ihr Maß zu finden. Auf zwei Dezimalstellen runden.

[egin{align*} an heta&= 69.523 { an}^{-1}(69.523)&approx 1.2522 &approx 71.69^{circ} end{align*} ]

Der Höhenwinkel beträgt ungefähr (71,7°) und die Länge des Kabels (73,2) Meter.

Beispiel (PageIndex{10B}): Verwendung des Satzes des Pythagoras zur Modellierung eines abstrakten Problems

Die OSHA-Sicherheitsvorschriften verlangen, dass der Fuß einer Leiter pro (4) Fuß Leiterlänge (1) Fuß von der Wand entfernt ist. Bestimmen Sie den Winkel, den eine Leiter beliebiger Länge mit dem Boden bildet, und die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt.

Lösung

Bei jeder Leiterlänge muss die Basis einen Abstand von der Wand haben, der einem Viertel der Leiterlänge entspricht. Äquivalent, wenn die Basis der Leiter „ein" Fuß von der Wand entfernt, beträgt die Länge der Leiter (4a) Fuß. Siehe Abbildung (PageIndex{5}).

Die an ( heta) angrenzende Seite ist (a) und die Hypotenuse (4a). So,

[egin{align*} cos heta&= dfrac{a}{4a} &= dfrac{1}{4} {cos}^{-1}left (dfrac{ 1}{4} ight)&approx 75,5^{circ} end{align*}]

Die Steigung der Leiter bildet mit dem Boden einen Winkel von (75,5°). Die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, kann mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden:

[egin{align*} a^2+b^2&= {(4a)}^2 b^2&= {(4a)}^2-a^2 b^2&= 16a^2- a^2 b^2&= 15a^2 b&= asqrt{15} end{ausrichten*}]

Somit berührt die Leiter die Wand in (asqrt{15}) Fuß über dem Boden.

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anleitungen und Übungen zum Lösen trigonometrischer Gleichungen zu erhalten.

  • Lösen von trigonometrischen Gleichungen I
  • Lösen trigonometrischer Gleichungen II
  • Lösen trigonometrischer Gleichungen III
  • Lösen trigonometrischer Gleichungen IV
  • Lösen trigonometrischer Gleichungen V
  • Lösen trigonometrischer Gleichungen VI

Schlüssel Konzepte

  • Beim Lösen linearer trigonometrischer Gleichungen können wir algebraische Techniken genauso anwenden wie wir algebraische Gleichungen lösen. Suchen Sie nach Mustern wie der Differenz von Quadraten, quadratischer Form oder einem Ausdruck, der sich gut zum Ersetzen eignet. Siehe Beispiel (PageIndex{1}), Beispiel (PageIndex{2}) und Beispiel (PageIndex{3}).
  • Gleichungen, die eine einzelne trigonometrische Funktion beinhalten, können mit dem Einheitskreis gelöst oder verifiziert werden. Siehe Beispiel (PageIndex{4}), Beispiel (PageIndex{5}) und Beispiel (PageIndex{6}) und Beispiel (PageIndex{7}).
  • Wir können auch trigonometrische Gleichungen mit einem Grafikrechner lösen. Siehe Beispiel (PageIndex{8}) und Beispiel (PageIndex{9}).
  • Viele Gleichungen erscheinen quadratisch. Wir können die Ersetzung verwenden, um die Gleichung einfacher erscheinen zu lassen, und dann die gleichen Techniken verwenden, die wir zum Lösen einer algebraischen Quadratur verwenden: Faktorisieren, die quadratische Formel usw. Siehe Beispiel (PageIndex{10}), Beispiel (PageIndex{ 11}), Beispiel (PageIndex{12}) und Beispiel (PageIndex{13}).
  • Wir können die Identitäten auch verwenden, um trigonometrische Gleichungen zu lösen. Siehe Beispiel (PageIndex{14}), Beispiel (PageIndex{15}) und Beispiel (PageIndex{16}).
  • Wir können Substitution verwenden, um eine trigonometrische Gleichung mit mehreren Winkeln zu lösen, die eine Komprimierung einer trigonometrischen Standardfunktion ist. Wir müssen die Komprimierung berücksichtigen und überprüfen, ob wir alle Lösungen für das angegebene Intervall gefunden haben. Siehe Beispiel (PageIndex{17}).
  • Reale Szenarien können mit dem Satz des Pythagoras und trigonometrischen Funktionen modelliert und gelöst werden. Siehe Beispiel (PageIndex{18}).

Ihnen entgeht nichts: Manchmal lassen sich Lösungspakete effizient kombinieren.

Beachten Sie, dass für $sin x=0$ die Lösungen $x=0+2kpi$ ($ und dann 'Vollkreise hinzufügen') $vee x=pi+2kpi$ ($pi$ und dann 'Vollkreise hinzufügen') kann kombiniert werden als $x=kpi$ ($ und 'Hinzufügen Hälfte Kreise'), wobei immer $k in mathbb$.

Zeichnen Sie die Lösungen und stellen Sie fest, dass Ihnen nichts „verpasst“: Beide Arten, die Lösungen aufzuschreiben, enthalten genau die gleichen Winkel, die Sie durch die gleichen Winkel „durchfahren“.

Dies ist nicht immer möglich für Gleichungen der Form $sin x = c$ (nur wenn $c=kpi$) oder $cos x = c$ (nur wenn $c=pi/2+kpi $), aber es ist für $ an x = c$ immer möglich, da die Lösungen $x = arctan c + 2kpi , vee x = pi + arctan c + 2kpi$ immer zu $x = arctan . zusammengefasst werden können c + kpi$ Sie können dies leicht erkennen, indem Sie einen trigonometrischen Kreis zeichnen und die Lösungen visualisieren.


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Rationale Ausdrücke

Gleichung $ sin(2x)=frac> . lösen

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung $ cos left( frac<3x> <2> ight) = -frac><2>$. Drücken Sie die Ergebnisse in Grad aus.

Finden Sie exakte Lösungen der Gleichung $ an left( -frac<4x> <3> ight) = 0,4$. Drücken Sie die Ergebnisse im Bogenmaß aus.

Löse $ 2sinleft( x ight) + sqrt<2>= 0

-180^circ leq x leq 180^circ $. Drücken Sie die Ergebnisse in Grad aus.

Schnelle Rechnersuche

Bitte sagen Sie mir, wie ich das verbessern kann.

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7.5 Trigonometrische Gleichungen lösen

Thales von Milet (ca. 625–547 v. Chr.) gilt als Begründer der Geometrie. Die Legende besagt, dass er die Höhe der Großen Pyramide von Gizeh in Ägypten mit der Theorie von berechnet hat ähnliche Dreiecke, die er entwickelt hat, indem er den Schatten seiner Mitarbeiter misst. Basierend auf Proportionen hat diese Theorie Anwendungen in einer Reihe von Bereichen, einschließlich fraktaler Geometrie, Ingenieurwesen und Architektur. Häufig werden der Elevationswinkel und der Depressionswinkel unter Verwendung ähnlicher Dreiecke ermittelt.

In früheren Abschnitten dieses Kapitels haben wir uns mit trigonometrischen Identitäten befasst. Identitäten sind für alle Werte im Bereich der Variablen wahr. In this section, we begin our study of trigonometric equations to study real-world scenarios such as the finding the dimensions of the pyramids.

Solving Linear Trigonometric Equations in Sine and Cosine

Trigonometric equations are, as the name implies, equations that involve trigonometric functions. Similar in many ways to solving polynomial equations or rational equations, only specific values of the variable will be solutions, if there are solutions at all. Often we will solve a trigonometric equation over a specified interval. However, just as often, we will be asked to find all possible solutions, and as trigonometric functions are periodic, solutions are repeated within each period. In other words, trigonometric equations may have an infinite number of solutions. Additionally, like rational equations, the domain of the function must be considered before we assume that any solution is valid. The period of both the sine function and the cosine function is 2 π . 2 π . In other words, every 2 π 2 π units, the j-values repeat. If we need to find all possible solutions, then we must add 2 π k , 2 π k , where k k is an integer, to the initial solution. Recall the rule that gives the format for stating all possible solutions for a function where the period is 2 π : 2 π :

There are similar rules for indicating all possible solutions for the other trigonometric functions. Solving trigonometric equations requires the same techniques as solving algebraic equations. We read the equation from left to right, horizontally, like a sentence. We look for known patterns, factor, find common denominators, and substitute certain expressions with a variable to make solving a more straightforward process. However, with trigonometric equations, we also have the advantage of using the identities we developed in the previous sections.

Beispiel 1

Solving a Linear Trigonometric Equation Involving the Cosine Function

Find all possible exact solutions for the equation cos θ = 1 2 . cos θ = 1 2 .


Beispiel 1

  • solve for cos(x)
    cos x = 1/2
  • solve for x by finding all values in the interval [0 , 2pi) that satisfy the above trigonometric equation. In this case, with cosine positive and equal to 1 / 2, there are two values: one in the first quadrant of the unit circle.
    x1 = pi / 3
  • and a second one in the fourth quadrant (see the two solutions in unit circle in figure below).
    x2 = 2*pi - pi / 3 = 5*pi / 3

  • find all solutions using the fact that of cos x has a period of 2pi
    x1 = pi / 3 + 2*k*pi
    x2 = 5*pi / 3 + 2*k*pi
    where k is any integer

Beispiel 2

  • change cos 2 x to 1 - sin 2 x
    -5(1 - sin 2 x) + 9 sin x = -3
  • multiply factors and group to obtain
    5 sin 2 x + 9 sin x -2 = 0
  • let u = sinx and substitute to obtain an quadratic equation.
    5 u 2 + 9 u - 2 = 0
  • use any method to solve for u. By the quadratic formula, we obtain two solutions u1 and u2
    u1 = [ -9 - sqrt(121) ] / 10 = 1 / 5 = -2

Beispiel 3

  • subtract cot x from both sides of the equation and simplify
    cot x cos 2 x - cot x = 0
  • Factor cot x
    cot x (cos 2 x - 1) = 0
  • Setting each factor in the above trigonometric equation to zero, we obtain two equations.
    cot x = 0 and cos 2 x - 1 = 0
  • The solutions to equation cot x = 0 are given by
    x = pi / 2 + k*pi , k is am integer.
  • Equation cos 2 x - 1 = 0 gives
    cos x = 1 and cos x = -1
  • The solutions to the above equations are given by
    x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi where k is an integer
  • HOWEVER the above cannot be solution to the given equation since cot x is undefined for x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi.
    conclusion: The solutions to the given equation are.
    x = pi / 2 + k*pi where k is an integer.

Note that many of the techniques used in solving algebraic equations are also used to solve trigonometric equations.


Practice Questions

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

sin 2  x ( sin 2  x - 1)  =  0

Since we choose the values between 0 to 360, the solution will be <0,   π/2,  π, ਃ π/2>.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For negative values of cos, we have to select the angle from 2nd and 3rd quadrants.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For positive value of sin, we have to select angles from 2nd quadrant

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

2sin 2 x - 3 sin x + 1 - 1  =  0

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Find the principal value of the following

Principal value of x must be in  [0, π].  Since cos x is positive the principal value is in the first quadrant.

We have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of x is  π/6.

Find the principal value of the following

Whenever we have cos  θ the p rincipal value of  θ  must be in  [0, π].  We have to choose one of the angles from  the first or second quadrant.

Since the value of cos  θ  is negative, we have to choose the angle from the second quadrant. For that w e have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2. 

Hence the principal value of  θ  is 5 π/6.

Find the principal value of the following

θ lies in the third or fourth quadrant. But principal value must be in  [- π/2,  π/2]

In the first quadrant we get only we get positive values  for all trigonometric ratios.S o we have to choose one of the angles from 0 to  - π/2 that is negative angle.

Now w e have to think about the angle of sin for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of  θ is  - π/3.

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Beispiel 1

Hence the solutions:
┱ = π - θr = π - π/6 = 5π/6
┲ = π + θr = π + π/6 = 7π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 5π/6 + 2nπ , n = 0,

2, .
Below are shown the graphical solutions on the interval [0 , 2π)

Beispiel 2

Hence the solutions:
┱ = π + θr = 7π/6
┲ = 2π - θr = 11π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 7π/6 + 2nπ , n = 0,

Beispiel 3

2, .
We now substitute ┱ and ┲ by the expression 3x + π/4
3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ
and solve for x to obtain the solutions for x.
x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0,

Beispiel 4

2, .
Solve equation (2)
cos x = 1
x 3 = 2nπ , n = 0,


3.5: Solving Trigonometric Equations - Mathematics

If you would like an review of trigonometry, click on trigonometry.


Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem. To solve for x, you must first isolate the sine term.

If we restriction the domain of the sine function to , we can use the inverse sine function to solve for reference angle 3x and then x.

We know that the e function is positive in the first and the second quadrant. Therefore two of the solutions are the angle 3 x that terminates in the first quadrant and the angle that terminates in the second quadrant. We have already solved for 3 x .

The period of the function is This means that the values will repeat every radians in both directions. Therefore, the exact solutions are and where n is an integer.

The approximate solutions are and where n is an integer.

These solutions may or may not be the answers to the original problem. You much check them, either numerically or graphically, with the original equation.

Check the answer x =0.174532925

Since the left side equals the right side when you substitute 0.174532925for x, then 0.174532925 is a solution.


Check the answer x =0.872665

Since the left side equals the right side when you substitute for x, then is a solution.

Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions. You can see that the graph crosses at 0.174532925. Since the period is , it crosses again at 0.174532925+2.094395=2.2689 and at 0.174532925+2(2.094395)=4.3633, etc. The graph crosses at 0.872665.

Since the period is , it will cross again at and at 0.872665+2(2.094395)=5.061455, etc

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Schau das Video: Løsningen af grundlæggende trigonometriske ligninger (November 2021).