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1.1: Einführung in lineare Gleichungen


Lernziele

  • Was ist eine der nervigen Angewohnheiten von Mathematikern?
  • Was ist der Unterschied zwischen Konstanten und Koeffizienten?
  • Kann ein Koeffizient in einer linearen Gleichung (0) sein?

Wir beginnen diesen Abschnitt mit der Untersuchung eines Problems, von dem Sie wahrscheinlich bereits wissen, wie es zu lösen ist.

Beispiel (PageIndex{1})

Angenommen, ein Glas enthält rote, blaue und grüne Murmeln. Ihnen wird gesagt, dass sich insgesamt 30 Murmeln im Glas befinden; es gibt doppelt so viele rote Murmeln wie grüne; die Anzahl der blauen Murmeln entspricht der Summe der roten und grünen Murmeln. Wie viele Murmeln von jeder Farbe gibt es?

Lösung

Wir könnten versuchen, dies mit etwas Versuch und Irrtum zu lösen, und wir würden wahrscheinlich ohne allzu viel Arbeit die richtige Antwort erhalten. Dies eignet sich jedoch nicht zum Erlernen einer guten Technik zum Lösen größerer Probleme, also lassen Sie uns mathematischer vorgehen.

Lassen Sie uns (r) die Anzahl der roten Murmeln darstellen und (b) und (g) die Anzahl der blauen bzw. grünen Murmeln bezeichnen. Wir können die gegebenen Aussagen über die Murmeln im Glas verwenden, um einige Gleichungen zu erstellen.

Da wir wissen, dass sich 30 Murmeln im Glas befinden, wissen wir, dass [label{eq:rbg30}r+b+g=30.] Außerdem wird uns gesagt, dass es doppelt so viele rote Murmeln wie grüne gibt, Wir wissen also, dass [label{eq:r2g}r=2g.] Schließlich wissen wir, dass die Anzahl der blauen Murmeln gleich der Summe der roten und grünen Murmeln ist, also haben wir [label{ eq:brg}b = r+g.]

Ab diesem Zeitpunkt gibt es nicht die eine „richtige“ Vorgehensweise. Vielmehr gibt es viele Möglichkeiten, diese Informationen zu verwenden, um die Lösung zu finden. Eine Möglichkeit besteht darin, Ideen aus den Gleichungen (eqref{eq:r2g}) und (eqref{eq:brg}) zu kombinieren; in (eqref{eq:brg}) ersetze (r) durch (2g). Dies gibt uns [label{eq:b3g} b = 2g+g = 3g.] Wir können dann die Gleichungen (eqref{eq:rbg30}), (eqref{eq:r2g}) und (eqref{eq:b3g}), indem wir (r) in (eqref{eq:rbg30}) wie zuvor durch (2g) ersetzen und (b) durch . ersetzen (3g) um [egin{align} r+b+g &= 30 otag 2g + 3g+g &=30 otag 6g&=30 otag label{eq: g5} g&=5 end{align}]

Wir können nun die Gleichung (eqref{eq:g5}) verwenden, um (r) und (b) zu finden; wir wissen aus (eqref{eq:r2g}), dass (r = 2g = 10) und dann, da (r+b+g = 30), leicht (b = 15) .

Mathematiker sehen oft Lösungen für gegebene Probleme und fragen dann: "Was wäre, wenn(ldots)?" Es ist eine nervige Angewohnheit, die wir gut entwickeln sollten – wir sollten lernen, wie ein Mathematiker zu denken. Was sind die richtigen „Was-wäre-wenn“-Fragen? Hier ist eine weitere nervige Angewohnheit von Mathematikern: Sie stellen oft „falsche“ Fragen. Das heißt, sie stellen oft Fragen und finden die Antwort nicht besonders interessant. Aber genug Fragen zu stellen führt oft zu einigen guten „richtigen“ Fragen. Haben Sie also keine Angst, etwas „falsch“ zu tun; wir Mathematiker machen das ständig.

Was ist also eine gute Frage, nachdem Sie sich Beispiel (PageIndex{1}) angesehen haben? Hier zwei mögliche Fragen:

  1. Mussten wir die roten Kugeln wirklich „(r)“ nennen? Könnten wir sie „(q)“ nennen?

  2. Was wäre, wenn wir 60 statt 30 Bälle am Start hätten?

Schauen wir uns die erste Frage an. Würde sich die Lösung unseres Problems ändern, wenn wir die roten Kugeln (q) nennen würden? Natürlich nicht. Am Ende würden wir feststellen, dass (q = 10) und wir wissen, dass dies bedeutet, dass wir 10 rote Kugeln haben.

Schauen wir uns nun die zweite Frage an. Angenommen, wir hätten 60 Bälle, aber die anderen Beziehungen blieben gleich. Wie würden sich Situation und Lösung ändern? Vergleichen wir die „ursprünglichen“ Gleichungen mit den „neuen“ Gleichungen.

OriginalNeu
(r+b+g=30)(r+b+g=60)
(r=2g)(r=2g)
(b=r+g)(b=r+g)

Tabelle (PageIndex{1})

Wenn wir diese Gleichungen untersuchen, sehen wir, dass sich außer der ersten Gleichung nichts geändert hat. Es ist keine große Vorstellungskraft, zu sehen, dass wir dieses neue Problem genauso lösen würden wie das ursprüngliche, außer dass wir von jeder Art von Ball doppelt so viele haben würden.

Eine Schlussfolgerung aus der Beantwortung dieser beiden Fragen lautet: Es spielt keine Rolle, wie wir unsere Variablen nennen, und während die Änderung von Konstanten in den Gleichungen die Lösung ändert, ändern sie nicht wirklich die Methode wie wir diese Gleichungen lösen.

Tatsächlich ist es eine großartige Entdeckung zu erkennen, dass uns nur die Konstanten und das Koeffizienten der Gleichungen. Indem wir diese systematisch behandeln, können wir jeden Satz linearer Gleichungen auf sehr schöne Weise lösen. Bevor wir fortfahren, müssen wir zunächst definieren, was eine lineare Gleichung ist.

Definition: Lineare Gleichung

EIN Lineargleichung ist eine Gleichung, die in der Form [a_1x_1+a_2x_2+cdots+a_nx_n = c] geschrieben werden kann, wobei (x_i) Variablen (die Unbekannten) sind, (a_i) Koeffizienten und (c ) ist eine Konstante.
EIN lineares Gleichungssystem ist ein Satz linearer Gleichungen, die dieselben Variablen beinhalten.
EIN Lösung zu einem System linearer Gleichungen ist eine Menge von Werten für die Variablen (x_i), so dass jede Gleichung im System erfüllt ist.

In Beispiel (PageIndex{1}) antworteten wir bei der Antwort „Wie viele Murmeln jeder Farbe gibt es?“ auch: „Finde eine Lösung für ein bestimmtes System linearer Gleichungen“.

Im Folgenden sind Beispiele für lineare Gleichungen aufgeführt:

[egin{align}egin{aligned} 2x+3y-7z&=29 x_1+frac72x_2+x_3-x_4+17x_5&=sqrt[3]{-10} y_1+14^2y_4+4&= y_2+13-y_1 sqrt{7}r+pi s +frac{3t}{5}&= cos(45^circ)end{ausgerichtet}end{ausrichten}]

Beachten Sie, dass die Koeffizienten und Konstanten Brüche und irrationale Zahlen sein können (wie (pi), (sqrt[3]{-10}) und (cos(45^circ))). Die Variablen kommen nur in der Form (a_ix_i); das heißt, nur eine Variable multipliziert mit einem Koeffizienten. (Beachten Sie, dass (frac{3t}{5} = frac35t) nur eine Variable multipliziert mit einem Koeffizienten ist.) Außerdem spielt es keine Rolle, auf welcher Seite der Gleichung wir die Variablen und die Konstanten setzen, obwohl meistens schreiben wir sie mit den Variablen links und den Konstanten rechts.

Wir würden die obige Sammlung von Gleichungen nicht als Gleichungssystem betrachten, da jede Gleichung unterschiedlich benannte Variablen verwendet. Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist [egin{align}egin{aligned} x_1-x_2+x_3+x_4&=1 2x_1+3x_2+x_4 &= 25 x_2+x_3&=10end{ ausgerichtet}end{ausrichten}]

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Gleichungen alle Variablen verwenden (genauer gesagt können die Koeffizienten 0 sein, sodass die letzte Gleichung als (0x_1+x_2+x_3+0x_4 = 10) hätte geschrieben werden können. ). Nur weil wir vier Unbekannte haben, heißt das nicht, dass wir vier Gleichungen haben müssen. Wir hätten weniger haben können, sogar nur einen, und wir hätten mehr haben können.

Um ein besseres Gefühl dafür zu bekommen, was eine lineare Gleichung ist, zeigen wir einige Beispiele dafür, was ist nicht lineare Gleichungen.

[egin{align}egin{aligned} 2xy+z&=1 5x^2+2y^5&=100 frac1x+sqrt{y}+24z&=3 sin^2x_1+cos^ 2x_2 &= 29 2^{x_1} + ln x_2 &= 13end{ausgerichtet}end{ausrichten}]

Das erste Beispiel ist keine lineare Gleichung, da die Variablen (x) und (y) miteinander multipliziert werden. Die zweite ist keine lineare Gleichung, da die Variablen auf andere Potenzen als 1 angehoben werden; das ist auch ein Problem in der dritten Gleichung (denken Sie daran, dass (1/x = x^{-1}) und (sqrt{x} = x^{1/2})). Unsere Variablen können weder das Argument einer Funktion wie (sin), (cos) oder (ln) sein, noch können unsere Variablen als Exponent erhöht werden.

An dieser Stelle müssen wir noch diskutieren, wie man effizient eine Lösung für ein System linearer Gleichungen findet. Das ist ein Ziel für die kommenden Abschnitte. Im Moment konzentrieren wir uns darauf, lineare Gleichungen zu identifizieren. Es ist auch nützlich, sich zu „entkrampfen“, indem man einige Gleichungssysteme mit einer beliebigen Methode löst, die uns zur Verfügung steht, um unser Gedächtnis über den grundlegenden Prozess aufzufrischen.


Kansas State University

Dieses Video behandelt:
*Vokabularwörter: Linear, Erstgrad, Gleichung, Lösung
*Der Unterschied zwischen Ausdrücken und Gleichungen
*Die Eigenschaften der Gleichheit
*Die Schritte zum Lösen linearer Gleichungen, einschließlich des Gesamtziels

Beispiele:

1.2 Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

Dieses Video behandelt:
*Durcharbeiten aller Schritte zum Lösen linearer Gleichungen
*Schritt für Schritt, wie Sie Ihre Lösung überprüfen können
*Zeigt mehrere Möglichkeiten, lineare Gleichungen zu lösen
*Erinnerung daran, dass unechte Brüche besser sind als gemischte Brüche und/oder Dezimalzahlen

Beispiele:

1.3 Grundlegende Beispiele zum Lösen linearer rationaler Gleichungen

Dieses Video behandelt:
*Was rational bedeutet
*Überprüfung der Schritte zum Lösen linearer Gleichungen
* Überprüfung der grundlegenden Bruchoperationen
*Überprüfung des Prozesses zur Überprüfung von Lösungen

Beispiele:

1.4 Fortgeschrittene Beispiele zum Lösen einer linearen rationalen Gleichung

Dieses Video behandelt:
*Überprüfung der Schritte zur Lösung einer linearen rationalen Gleichung
*Überprüfung der grundlegenden Bruchoperationen

Beispiele:

1.5 Lösen von linearen rationalen Gleichungen mit dem Zaubertrick

Dieses Video behandelt:
* Die Schritte zur Verwendung der Zaubertrickmethode
*Überprüfung, wie Sie das LCD finden (Least Common Denominator)
*Die Schritte zum Lösen rationaler Gleichungen durch Eliminieren aller Nenner der Brüche
*Warum die Zaubertrickmethode besser ist als die Bruchmethode

Beispiele:

1.6 Den Zaubertrick mit Variablen im Nenner anwenden

Dieses Video behandelt:
*Überprüfung, warum die Zaubertrickmethode besser ist als die Bruchmethode
*Warum Sie die Antworten überprüfen müssen, wenn der Nenner Variablen enthält
*Überprüfung der Schritte zur Verwendung des Zaubertricks
*Überprüfung, wie sich die Subtraktion zwischen Brüchen anders verhält als die Addition
*Wie man mehr als einen Begriff in den einzelnen Nennern behandelt
*Was passiert, wenn Ihre Lösung nicht richtig überprüft?
*Der Unterschied zwischen keine Lösung und undefiniert

Beispiele:

1.7 Den Zaubertrick mit Polynomen im Nenner anwenden

Dieses Video behandelt:
*Wie Polynome im Nenner den ersten Schritt der Faktorisierung betonen
*Überprüfung der Schritte zur Verwendung des Zaubertricks
*Überprüfung, wie sich die Subtraktion zwischen Brüchen anders verhält als die Addition
*Wie man mehr als einen Begriff in den einzelnen Nennern behandelt

Beispiele:


Lösung

Wir können herausfinden, welcher der gegebenen Punkte auf der Geraden $y = 2x + 1$ liegt, indem wir sehen, ob die Koordinate $x$ und $y$ die Gleichung erfüllen. Für den ersten Punkt mit $y = 1$ und $x = 0$ sehen wir

was wahr ist, und somit liegt der Punkt $(0,1)$ auf der Linie. Für $(2,-1)$ haben wir jedoch durch Einsetzen von $x = 2$ und $y = -1$

$(2,-1)$ steht also nicht auf der Leitung.

Wenn wir auf diese Weise fortfahren, sehen wir, dass $(0,1), (2,5), (1/2,2)$ und $(-1,-1)$ Punkte auf der Geraden sind und $(2,- 1)$ und $(.5,1)$ sind keine Punkte auf der Linie.

Wir können drei weitere Punkte finden, indem wir den Wert für $x$ willkürlich wählen und die Gleichung für die Linie verwenden, um die entsprechenden $y$-Werte zu finden: $(-2, -3), (1, 3), (-1/2 , 0) $.

Indem wir beliebige $x$-Werte wie $x=0$, $x=1$, $x=2$, $x=-1$ und $x=-2$ auswählen, finden wir die entsprechenden $y$ Werte und haben mehrere Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:

Durch Auftragen dieser Punkte erhalten wir den folgenden Graphen:

Eine lineare Funktion kann in der Form $y=mx+b$ geschrieben werden, und diese Gleichung wird nicht in dieser Form geschrieben. Wir fragen uns vielleicht, ob es in dieser Form mit einem cleveren Trick geschrieben werden könnte, an den wir noch nicht gedacht haben. Wäre es eine lineare Funktion, wäre ihr Graph eine Gerade. Der Graph von $y = 2x^2 + 1$ enthält die obigen fünf Punkte, und diese fünf Punkte liegen nicht auf einer Linie. Es handelt sich also nicht um eine lineare Funktion.

Nachfolgend finden Sie eine Liste der Unterschiede zwischen diesen beiden Funktionen. Mögliche Antworten können einige, alle oder mehr Unterschiede umfassen.

  • Der erste Graph ist eine gerade Linie, der zweite Graph ist gekrümmt.
  • Der Term $x$ wird in der zweiten Funktion quadriert und nicht in der ersten.
  • Die erste Funktion hat negative und positive $y$-Werte, und die zweite Funktion wird niemals negative $y$-Werte haben.
  • Wenn $x$ um gleiche Beträge ansteigt, erhöhen sich die $y$-Werte in der ersten Funktion ebenfalls um gleiche Beträge (Änderungsrate ist konstant), aber die $y$-Werte der zweiten Funktion steigen um immer größere Beträge (Änderungsrate steigt), wenn $|x|$ größer wird.
  • Die erste Funktion hat eine konstante Steigung (Steilheit). Die Steilheit der zweiten Funktion ändert sich.
  • Die zweite Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse, die erste Funktion nicht.
  • Die erste Funktion kreuzt die $x$-Achse (bei $(-1/2,0)$), und die zweite Funktion kreuzt niemals die $x$-Achse.
  • Jeder $y$-Wert in der ersten Funktion hat genau einen $x$-Wert. In der zweiten Funktion haben die meisten $y$-Werte 2 mögliche $x$-Werte (Beispiel: $(-2,9)$ und $(2,9)$ liegen beide im zweiten Graphen).

Axiomagik

1.1 Einführung in lineare Gleichungssysteme 23.03.2012

Dieses Kapitel definiert lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme, wie man sie mit Matrizen darstellt und wie man elementare Zeilenoperationen auf einer Matrix verwendet, um die Lösungsmenge des entsprechenden Gleichungssystems zu finden.

Es gibt 13 Übungen, ich mache Nummer 8 und Nummer 10.

8
Betrachten Sie das Gleichungssystem

Zeigen Sie, dass die Konstanten , und erfüllen müssen, damit dieses System konsistent ist.

Das System ist konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat. Wir können eine Gleichung zu einer anderen hinzufügen, ohne die Lösungsmenge des Systems zu ändern, also versuchen wir es. Addiert man die erste Gleichung zur zweiten, ergibt sich

Die linke Seite dieser Gleichung ist identisch mit der der dritten Gleichung. Dies bedeutet, dass, damit es eine Lösung gibt, die beide Gleichungen löst, ihre rechten Seiten gleich sein müssen, was impliziert .

10

Für welche(n) Wert(e) der Konstanten gilt das System

keine Lösungen haben? Genau eine Lösung? Unendlich viele Lösungen? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Multiplizieren Sie zuerst die erste Gleichung mit 2. Dies ändert nichts an der Lösungsmenge des Systems. Jetzt sind die linken Seiten beider Gleichungen gleich, und es ist leicht zu erkennen, dass das System unendlich viele Lösungen hat, wenn (da die Gleichungen dann gleich sind) und keine Lösungen, wenn (da dies impliziert ). Es gibt keinen Wert, der genau eine Lösung ergibt.


Beispiel 3

Welche unabhängigen und abhängigen Variablen gibt es? Was ist der ja-Schnittpunkt und was ist die Steigung? Interpretiere sie mit ganzen Sätzen.

Die unabhängige Variable (x) ist die Anzahl der Stunden, die Svetlana Tutoren pro Sitzung.

Die abhängige Variable (ja) ist der Betrag in Dollar, den Svetlana für jede Sitzung verdient.

Das ja-Intercept ist 25 (ein = 25).
Zu Beginn der Nachhilfestunde erhebt Svetlana eine einmalige Gebühr von 25 USD (dies ist der Zeitpunkt, an dem x = 0).

Die Steigung beträgt 15 (B = 15).
Für jede Sitzung verdient Svetlana 15 US-Dollar für jede Stunde, die sie tut.

Versuch es

Ethan repariert Haushaltsgeräte wie Spülmaschinen und Kühlschränke. Für jeden Besuch berechnet er 25 US-Dollar plus 20 US-Dollar pro Arbeitsstunde. Eine lineare Gleichung, die den Gesamtbetrag des Geldes ausdrückt, den Ethan pro Besuch verdient, lautet ja = 25 + 20x.

Welche unabhängigen und abhängigen Variablen gibt es? Was ist der ja-Schnittpunkt und was ist die Steigung? Interpretiere sie mit ganzen Sätzen.

Die unabhängige Variable (x) ist die Anzahl der Stunden, die Ethan bei jedem Besuch arbeitet.

Die abhängige Variable (y) ist der Betrag in Dollar, den Ethan für jeden Besuch verdient.

Der y-Achsenabschnitt beträgt 25 (a = 25).
Zu Beginn eines Besuchs erhebt Ethan eine einmalige Gebühr von 25 USD (dies gilt für x = 0).

Die Steigung beträgt 20 (b = 20).
Für jeden Besuch verdient Ethan 20 Dollar für jede Stunde, die er arbeitet.


1.1: Einführung in lineare Gleichungen

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Editor für mathematische Ausdrücke

Wir lösen Gleichungssysteme in zwei und drei Variablen und interpretieren die Ergebnisse geometrisch.

SYS-0010: Einführung in lineare Gleichungssysteme

Sicherlich beschäftigen Sie sich seit vielen Jahren mit linearen Gleichungen. Der vielleicht einfachste Weg, lineare Gleichungen zu charakterisieren, besteht darin, dass es sich um Polynomgleichungen handelt, bei denen jeder Term entweder eine Konstante ist oder den Grad 1 hat.

Ein -Tupel ist a Lösung auf die Gleichung, vorausgesetzt, sie macht die Gleichung zu einer wahren Aussage. Die Menge aller -Tupel, die Lösungen einer gegebenen Gleichung sind, heißt Graph der Gleichung. Der Graph einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist eine Linie in . Der Graph einer linearen Gleichung in drei Variablen ist eine Ebene in . In for sagen wir, dass der Graph einer linearen Gleichung a Hyperebene. Eine Hyperebene kann nicht visualisiert werden, aber wir können immer noch über Schnittpunkte von Hyperebenen und ihren anderen Attributen in algebraischer Hinsicht sprechen.

In der linearen Algebra suchen wir oft nach Lösungen für lineare Gleichungssysteme oder Linearsysteme. Ein lineares System von Gleichungen und Unbekannten wird typischerweise wie folgt geschrieben

EIN Lösung für ein System linearer Gleichungen in Variablen ist ein -Tupel, das jede Gleichung im System erfüllt. Alle Lösungen eines Gleichungssystems zusammengenommen bilden a Lösungssatz. Wir werden uns auf algebraische Methoden zum Finden von Lösungsmengen konzentrieren, aber wir werden auch den geometrischen Aspekt von Systemen berücksichtigen, um zusätzliche Erkenntnisse zu gewinnen.

Algebra linearer Systeme

Sie kennen wahrscheinlich zwei algebraische Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Eine Methode erfordert, dass wir nach einer Variablen in Bezug auf die andere(n) auflösen und dann ersetzen. Die zweite Methode beinhaltet das Addieren von Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung, um eine der Variablen zu eliminieren. Die zweite Methode bildet die Grundlage für einen Algorithmus, den wir entwickeln werden, um lineare Systeme zu lösen und andere systembezogene Berechnungen durchzuführen. Exploration Problem init:systwoeqs1 veranschaulicht, wie die zweite Methode funktioniert.

Schließlich können wir die Reihenfolge der Gleichungen ändern, um sie in der obersten Zeile anzuzeigen. Das gibt uns

Diese Lösung kann als geordnetes Paar geschrieben werden.

Um die Lösung des Explorationsproblems init:systwoeqs1 zu erhalten, haben wir drei elementare Zeilenoperationen. Diese Operationen sind:

  • Umschalten der Reihenfolge zweier Gleichungen
  • Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Konstanten
  • Ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren

In jeder Phase des Prozesses sah das Gleichungssystem anders aus als das ursprüngliche System, aber eine kurze Überprüfung wird Sie davon überzeugen, dass alle sechs Systeme die gleiche Lösung haben: . Systeme (eq:step1)-(eq:step6) heißen Äquivalent.

Es stellt sich heraus, dass, wenn ein Gleichungssystem durch eine Folge elementarer Zeilenoperationen in ein anderes System umgewandelt wird, das neue System dem ursprünglichen System äquivalent ist, dh beide Systeme haben die gleiche Lösungsmenge. Wir werden diese Aussage im letzten Abschnitt dieses Moduls formalisieren.

  • Reihe und Reihe wechseln:
  • Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit derselben Konstanten ungleich Null und Ersetzen der Gleichung durch das Ergebnis:
  • Hinzufügen von Zeiten Zeile zu Zeile und Ersetzen von Zeile durch das Ergebnis:

Wir erreichen dies, indem wir eine praktische Variable in einer Zeile verwenden, um diese Variable aus den anderen beiden Zeilen zu „löschen“. Zum Beispiel können wir in der dritten Gleichung verwenden, um in der ersten Gleichung und in der zweiten Gleichung auszulöschen. Multiplizieren Sie dazu die dritte Reihe mit und fügen Sie sie der oberen Reihe hinzu, dann multiplizieren Sie die dritte Reihe mit und fügen Sie sie der zweiten Reihe hinzu. Wir haben jetzt: Im vorherigen Schritt war eine bequeme Variable zu verwenden, da der Koeffizient davor 1 war. Wir haben keine Variable mehr mit dem Koeffizienten 1. Wir könnten einen Koeffizienten von 1 durch Division erzeugen, aber das würde zu Brüchen führen, Berechnungen umständlich machen. Stattdessen subtrahieren wir zweimal die zweite Reihe von der ersten Reihe. Das gibt uns:

Als nächstes addieren wir die erste Reihe siebenmal zur zweiten Reihe und subtrahieren viermal die erste Reihe von der dritten Reihe.

Jetzt teilen wir beide Seiten der zweiten Reihe durch .

Das Addieren der zweiten Reihe zur ersten Reihe und das Subtrahieren der zweiten Reihe von der dritten Reihe ergibt uns

Schließlich gibt uns das Neuanordnen der Reihen

Somit verfügt das System über eine einzigartige Lösung.

An dieser Stelle fragen Sie sich vielleicht, ob es immer möglich sein wird, ein System aus drei Gleichungen und drei Unbekannten mit elementaren Zeilenoperationen in ein System der Form umzuwandeln Die kurze Antwort auf diese Frage lautet nein. Die Existenz eines äquivalenten Systems dieser Form impliziert, dass das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung hat. Es ist jedoch möglich, dass ein System keine oder unendlich viele Lösungen hat. Diese verschiedenen Möglichkeiten werden wir in nachfolgenden Modulen aus algebraischer Perspektive untersuchen. Vorerst werden wir versuchen, durch Geometrie Einblicke in die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen zu gewinnen.

Geometrie von Linearsystemen in zwei Variablen

Exploration Problem init:systwoeqs1 bietet ein Beispiel für ein lineares System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten mit einer eindeutigen Lösung.

Geometrisch ist der Graph jeder Gleichung eine Linie in . Der Punkt ist eine Lösung beider Gleichungen, muss also auf beiden Geraden liegen. Das folgende Diagramm zeigt die beiden Linien, die sich bei schneiden.

Bei einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gibt es drei mögliche geometrische Ergebnisse. Zuerst schneiden sich die Graphen der beiden Gleichungen in einem Punkt. Ist dies der Fall, hat das System genau eine Lösung. Wir sagen, das System ist konsistent und hat ein einzigartige Lösung.

Zweitens können die beiden Linien keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn dies der Fall ist, hat das System keine Lösungen. Wir sagen, das System ist inkonsistent.

Schließlich können die beiden Linien zusammenfallen. In diesem Fall gibt es unendlich viele Punkte, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Wir sagen, dass das System konsistent ist und unendlich viele Lösungen hat.

Anders als in Beispiel ex:systwoeqs2 gibt es Werte von und die die zweite Gleichung erfüllen. Tatsächlich erfüllt jedes geordnete Paar, das die erste Gleichung erfüllt, die zweite Gleichung. Somit ist die Lösungsmenge für dieses System die gleiche wie die Menge aller Lösungen von .

Wenn wir die beiden Gleichungen des ursprünglichen Systems zeichnen, stellen wir fest, dass die beiden Geraden zusammenfallen.

Bei einem linearen System mit zwei Variablen und mehr als zwei Gleichungen haben wir eine Vielzahl von geometrischen Möglichkeiten. Drei davon sind unten abgebildet. Erstens ist es möglich, dass sich die Graphen aller Gleichungen im System an einem einzigen Punkt schneiden, was eine eindeutige Lösung ergibt.

Zweitens ist es möglich, dass die Graphen keine gemeinsamen Punkte haben.

Wenn dies der Fall ist, ist das System inkonsistent.

Geometrie von Linearsystemen in drei Variablen

In Beispiel ex:threeeqthreevars1 haben wir das folgende lineare System von drei Gleichungen und drei Unbekannten gelöst. Wir haben festgestellt, dass das System eine eindeutige Lösung hat. Der Graph jeder Gleichung ist eine Ebene. Die drei Ebenen schneiden sich in einem einzigen Punkt, wie in der Abbildung gezeigt.

Bei einem linearen System aus drei Gleichungen und drei Variablen gibt es drei Möglichkeiten, wie das System konsistent sein kann. Erstens könnten sich die drei Ebenen an einem einzigen Punkt schneiden, was uns eine einzigartige Lösung liefert.

Zweitens können sich die drei Ebenen in einer Linie schneiden und eine Schaufelradform bilden. In diesem Fall ist jeder Punkt entlang der Schnittlinie eine Lösung des Systems, was uns unendlich viele Lösungen gibt.

Schließlich können die drei Ebenen zusammenfallen. Wenn dies der Fall ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

Es gibt vier Möglichkeiten für ein System, inkonsistent zu sein. Sie sind unten abgebildet.

Äquivalente Systeme und elementare Reihenoperationen

Im Explorationsproblem init:systwoeqs1 haben wir elementare Zeilenoperationen und äquivalente Systeme eingeführt. Wir machen diese Definitionen nun formal.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die Ausführung einer Folge elementarer Zeilenoperationen an einem Gleichungssystem ein äquivalentes System ergibt. Wir können dies rechtfertigen, indem wir die Zeilenoperationen einzeln betrachten. Offensichtlich hat die Reihenfolge der Gleichungen nach unten keinen Einfluss auf die Lösungsmenge, daher erzeugt item:rowswap ein äquivalentes System. Als Nächstes haben Sie vor Jahren gelernt, dass die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit einer Konstanten ungleich Null ihre Lösungsmenge nicht ändert, was feststellt, dass item:constantmult ein äquivalentes System erzeugt. Es stimmt auch, dass item:addrow ein gleichwertiges System erzeugt. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass ein Vielfaches einer Gleichung immer noch eine Gleichung ist. Wenn wir also ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen Gleichung im System hinzufügen, fügen wir auf beiden Seiten dasselbe hinzu, was die Lösungsmenge von nicht ändert dieser Gleichung, noch des Systems.


Die einfachste Art der Assoziation ist eine lineare Assoziation. Diese Art von Beziehung kann algebraisch durch die verwendeten Gleichungen, numerisch mit tatsächlichen oder vorhergesagten Datenwerten oder grafisch aus einer gezeichneten Kurve definiert werden. (Linien werden als gerade Kurven klassifiziert.) Algebraisch hat eine lineare Gleichung typischerweise die Form y = mx + b, wo m und B sind Konstanten, x ist die unabhängige Variable, ja ist die abhängige Variable. Im statistischen Kontext wird eine lineare Gleichung in der Form . geschrieben y = a + bx, wo einund B sind die Konstanten. Dieses Formular wird verwendet, um den Lesern zu helfen, den statistischen Kontext vom algebraischen Kontext zu unterscheiden. In der Gleichung y = a + bx, die Konstante B das multipliziert die x variabel (B heißt Koeffizient) heißt Neigung. Die Steigung beschreibt die Änderungsrate zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variablen, mit anderen Worten, die Änderungsrate beschreibt die Änderung, die in der abhängigen Variablen auftritt, wenn die unabhängige Variable geändert wird. In der Gleichung y = a + bx, heißt die Konstante a als ja-abfangen. Grafisch ist die ja-Abfangen ist der ja Koordinate des Punktes, an dem der Graph der Linie die ja Achse. An diesem Punkt x = 0.

Das Steigung einer Linie ist ein Wert, der die Änderungsrate zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen beschreibt. Das Neigung sagt uns, wie die abhängige Variable (ja) ändert sich für jede Einheitserhöhung im unabhängigen (x) im Durchschnitt variabel. Das ja-abfangen wird verwendet, um die abhängige Variable zu beschreiben, wenn die unabhängige Variable gleich Null ist. Grafisch wird die Steigung in der Elementarstatistik durch drei Linientypen dargestellt.


Methoden zur Lösung linearer Gleichungen

Jamal H. Abou-Kassem , . M. Rafiq Islam, in Petroleum Reservoir Simulations, 2006

9.2.3 2D- und 3D-Strömungsprobleme (dünne Matrizen)

Die linearen Gleichungen für 2D- und 3D-Strömungsprobleme können erhalten werden, indem (1) die Strömungsgleichung mit der CVFD-Methode geschrieben wird, (2) die Definition der Menge ψψ geschrieben wird n für Block n in 2D oder 3D, unter Verwendung von Abbildung 3-1 für die technische Notation der Blockidentifikation oder Abbildung 3-3 für die natürliche Anordnung von Blöcken, wie in den Abschnitten 3.2.1 und 3.2.2 erläutert, und der Definition der Menge ξn für Block nund (3) Schreiben der Strömungsgleichung in einer erweiterten Form. Zum Beispiel verwenden wir Gl. 8.1 in Schritt 1 für 3D-Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit, nachgebend

Wenn das Reservoir keine Durchflussgrenzen hat (ξn = <> und als Ergebnis Σ l ∈ ξ n q s c l , n = 0 für alle Werte von n) und wenn die Brunnen spezifizierte Durchflussraten haben, Gl. 9.40 kann umgeordnet werden als

In Schritt 2 definieren wir Block n als Block im 3D-Raum [n ≡ (ich, J, k)]. Dementsprechend ist ψn ist wie in Abbildung 3-3c gegeben,

vorausgesetzt, dass die Reservoirblöcke nach der natürlichen Reihenfolge bestellt werden, wobei die Blöcke in der ich Richtung, die J Richtung, und schließlich die k Richtung. Nun Gl. 9.41 und die neue Definition von ψn gegeben durch Gl. 9.42 liefert die gesuchte Gleichung.

In Schritt 3 erweitern wir Gl. 9,41 wie

Die unbekannten Drücke in Gl. 9.43 werden in der in Abbildung 9-2 gezeigten Reihenfolge neu angeordnet, was

Abbildung 9-2. Ordnen von Unbekannten benachbarter Blöcke in Flussgleichungen.

Gl. 9,44 ist die lineare Gleichung für die 3D-Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit. Die Unbekannten in dieser Gleichung sind p n − n x n y , p n − n x , p n − 1 , p n , p n + 1 , p n + n x und p n + n x n y , Gl. 9,44 kann ausgedrückt werden als

Wenn Gl. 9,45 wird für jeden Block geschrieben n = 1, 2, 3…, n wo n = nx × nja × nz in einem rechteckigen Reservoir hat die Matrixgleichung sieben Diagonalen (eine heptadiagonale Koeffizientenmatrix), wie in Abbildung 9-3c gezeigt. Flüssigkeitsfluss in einem 2D-Reservoir (Bn = einn = 0) mit regulären Grenzen ergibt eine Matrixgleichung mit fünf Diagonalen (eine pentadiagonale Koeffizientenmatrix) wie in Abbildung 9-3b gezeigt. Flüssigkeitsfluss in einem 1D-Reservoir (Bn = Sn = nn = einn = 0) ergibt eine Matrixgleichung mit drei Diagonalen (eine tridiagonale Koeffizientenmatrix) wie in Abbildung 9-3a gezeigt.

Abbildung 9-3. Koeffizientenmatrizen in 1D-, 2D- und 3D-Strömungsproblemen.

Die Lösungen dieser Matrixgleichungen können mit einem g-Band-Matrixlöser erhalten werden. Ein solcher Löser ist nichts anderes als eine Gaußsche Elimination mit LU Faktorisierung, die nur auf Elemente innerhalb der äußersten Bänder der dünn besetzten Matrix wirkt. Nullen außerhalb der äußersten Bänder werden nicht bearbeitet. Die Anzahl der Zeilen- (oder Spalten-) Elemente innerhalb der äußersten Bänder wird als Bandbreite bezeichnet (2Bw + 1), wobei Bw = 1 für 1D-Strömungsprobleme, Bw = nx für 2D-Strömungsprobleme und Bw = nx × nja für 3D-Strömungsprobleme wie in Abbildung 9-3 gezeigt. Der folgende Algorithmus ist ein G-Band-Algorithmus. Der g-Band-Algorithmus wird in drei Hauptschritten ausgeführt: dem Initialisierungsschritt, dem Vorwärtseliminationsschritt und dem Rückwärtssubstitutionsschritt.

Die FORTRAN-Computercodes, die diesen Algorithmus verwenden, sind in der Literatur verfügbar (Aziz und Settari 1979, Abou-Kassem und Ertekin 1992). Solche Programme erfordern das zeilenweise Speichern von Matrixelementen innerhalb der äußersten Bänder in einem Vektor (einer eindimensionalen Matrix).


Werkstattdetails

Kapitel 1. Einführung, Hintergrund und multiple Regression
1.1 Einleitung
1.2 Eine kurze Einführung in die Matrixalgebra
1.3 Lineare Regression als Strukturgleichungsmodell
1.4 Grenzen des multiplen Regressionsmodells

Kapitel 2. Pfadanalyse: Einführung
2.1 Das Pfadanalysemodell
2.2 Modellidentifikation
2.3 Modellschätzung

Kapitel 3. Pfadanalyse: Fortgeschrittene Themen
3.1 Bewertung der Modellanpassung
3.2 Modellvergleiche
3.3 Modellneuspezifikations- und Modifikationsindizes
3.4 Testen direkter und indirekter Effekte
3.5 Annahmen (Selbststudium)

Kapitel 4. Konfirmatorische Faktorenanalyse
4.1 Bestätigende Faktorenanalyse
4.2 Probleme und Erweiterungen (Selbststudium)

Kapitel 5. Strukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen
5.1 Einführung in Strukturgleichungsmodelle
5.2 Anpassung und Bewertung von Strukturgleichungsmodellen
5.3 Zusätzliche Überlegungen: Schätzung mit Nicht-Normalverteilungen, Rechenleistung und äquivalenten Modellen (Selbststudium)

Dieser Workshop ist weitgehend auf Forschungsanwendungen in den Verhaltens-, Gesundheits-, Erziehungs- und Psychologiewissenschaften ausgerichtet, obwohl die Methoden auch für viele andere Disziplinen gelten. Wir empfehlen, dass die Teilnehmer über praktische Kenntnisse des allgemeinen Regressionsmodells verfügen. Diejenigen, die eine Auffrischung benötigen, können sich die Episoden unserer linearen Regressions-Playlist auf YouTube ansehen.

Am Ende jedes Tages werden Live-Software-Demonstrationen in R bereitgestellt, und jeden Tag werden aufgezeichnete Demonstrationen in Stata und Mplus veröffentlicht. Beachten Sie, dass R kostenlos heruntergeladen werden kann. Es ist zwar hilfreich, mit R vertraut zu sein, dies ist jedoch nicht erforderlich. Die Vorlesungen, die den Großteil des Workshops ausmachen, sind softwareunabhängig

Unser motivierendes Ziel ist es, ein intensives und dennoch angenehmes Unterrichtserlebnis zu bieten. Wir bemühen uns um ein ausgewogenes Gleichgewicht zwischen den Kernkonzepten des zugrunde liegenden statistischen Modells sowie der praktischen Anwendung und Interpretation von Strukturgleichungsmodellen, die an reale empirische Daten angepasst sind. Unser Workshop wurde entwickelt, um den Teilnehmern die Materialien und Anweisungen zu geben, die sie benötigen, um ein echtes Verständnis von Strukturgleichungsmodellen zu entwickeln und eine Vielzahl dieser Modelle nachdenklich auf ihre eigenen Daten anzuwenden.

Dan Bauer und Patrick Curran leiten gemeinsam den Workshop und halten den ganzen Tag abwechselnd Vorträge. Wir stellen eine PDF-Kopie der Kursnotizen und ein PDF mit ausführlichen Software-Demonstrationen sowie Daten und Code für alle Beispiele bereit. Die PDFs sind zeitlich nicht begrenzt und können auf unbestimmte Zeit aufbewahrt werden, sollten jedoch nicht ohne vorherige Genehmigung an andere weitergegeben werden.

Bitte beachten Sie Musterexemplare der Vorlesungsnotizen und der R-Notizen aus unserem 5-tägigen SEM-Workshop.

Die Livestream-Vorträge beginnen um 9:00 Uhr und enden um 16:00 Uhr. Eastern Time (US) jeden Tag. Im Anschluss an die Vorträge finden von 16:00 bis 17:00 Uhr Computervorführungen in R statt. Eastern Time (USA) . Es gibt 15 Minuten Vormittags- und Nachmittagspause sowie eine einstündige Mittagspause, deren genaue Zeiten während der Vorlesung festgelegt werden. Lokale Zeitzonen, innerhalb derer der Teilnehmer verbunden ist, müssen an Eastern Time (US) angepasst werden.

Participants can ask text-based questions using a Zoom function that will be monitored by CenterStat staff and conveyed to the instructor. If a question cannot be answered during the lecture, a text response will be provided at a later time.

Because participants are receiving the Livestream from Zoom and not broadcasting video images back, the connectivity requirements are minimal. A minimum of 150kbps (kilobytes per second) is required to participate in a video webinar, and this can be wired or wireless. Given typical home internet connections or personal WiFi access, these requirements are quite low. For example, it is recommended that a 3000kbps (or 3mbps, megabytes per second) connection be used to stream a movie on Netflix. A typical WiFi hotspot on a typical cell phone is 20-30mbps, thus any standard internet connection should allow for uninterrupted participation in the webinar. See https://www.speedtest.net/ to evaluate your own connection speed. Note that a typical source of connectivity problems in the home is linking the device to the WiFi broadcast unit, so be certain your device is has uninterrupted lines of site to the wireless modem see, e.g., https://www.familyhandyman.com/smart-homeowner/9-simple-tips-for-faster-wi-fi/

The Livestream does not have DVR-like controls and thus cannot be paused or rewound during the session itself. However, full recordings of Livestream workshops will be available to rewatch for 14 Tage following the completion of the workshop.

The recordings cannot be saved by the participant and will not be available after the fourteen day period. You can log in to your account to access these recordings. The recordings cannot be downloaded by the participant and will not be available after access has expired.

CenterStat by Curran-Bauer Analytics is not able to provide technical support for end-user issues with the Livestream. As such, participants are fully responsible for connectivity that supports the Livestream of audio and video. Information will be provided about the minimum required bandwidth and methods for testing connectivity. However, in the low probability that a participant is not able to connect, there will be access to the recorded sessions for 6 months following the completion of the workshop. If you need assistance accessing recordings or with your CenterStat account, please contact support.


Differential Equations and Linear Algebra, 1.1: Overview of Differential Equations

Linear equations include dy/dt = y, dy/dt = –y, dy/dt = 2ty. Die gleichung dy/dt = ja*ja is nonlinear.

OK. Well, the idea of this first video is to tell you what's coming, to give a kind of outline of what is reasonable to learn about ordinary differential equations. And a big part of the series will be videos on first order equations and videos on second order equations. Those are the ones you see most in applications. And those are the ones you can understand and solve, when you're fortunate.

So first order equations means first derivatives come into the equation. So that's a nice equation that we will solve, we'll spend a lot of time on. The derivative is-- that's the rate of change of y-- the changes in the unknown y-- as time goes forward are partly from depending on the solution itself. That's the idea of a differential equation, that it connects the changes with the function y as it is.

And then you have inputs called q of t, which produce their own change. They go into the system. They become part of y. And they grow, decay, oscillate, whatever y of t does. So that is a linear equation with a right-hand side, with an input, a forcing term.

And here is a nonlinear equation. The derivative of y. The slope depends on y. So it's a differential equation. But f of y could be y squared over y cubed or the sine of y or the exponential of y. So it could be not linear. Linear means that we see y by itself. Here we won't. Well, we'll come pretty close to getting a solution, because it's a first order equation. And the most general first order equation, the function would depend on t and y. The input would change with time. Here, the input depends only on the current value of y.

I might think of y as money in a bank, growing, decaying, oscillating. Or I might think of y as the distance on a spring. Lots of applications coming.

OK. So those are first order equations. And second order have second derivatives. The second derivative is the acceleration. It tells you about the bending of the curve.

If I have a graph, the first derivative we know gives the slope of the graph. Is it going up? Is it going down? Is it a maximum?

The second derivative tells you the bending of the graph. How it goes away from a straight line. So and that's acceleration. So Newton's law-- the physics we all live with-- would be acceleration is some force. And there is a force that depends, again, linearly-- that's a keyword-- on y. Just y to the first power.

And here is a little bit more general equation. In Newton's law, the acceleration is multiplied by the mass. So this includes a physical constant here, the mass.

Then there could be some damping. If I have motion, there may be friction slowing it down. That depends on the first derivative, the velocity.

And then there could be the same kind of forced term that depends on y itself. And there could be some outside force, some person or machine that's creating movement. An external forcing term.

So that's a big equation. And let me just say, at this point, we let things be nonlinear. And we had a pretty good chance. If we get these to be non-linear, the chance at second order has dropped. And the further we go, the more we need linearity and maybe even constant coefficients. m, b, and k. So that's really the problem that we can solve as we get good at it is a linear equation-- second order, let's say-- with constant coefficients. But that's pretty much pushing what we can hope to do explicitly and really understand the solution, because so linear with constant coefficients. Say it again. That's the good equations.

And I think of solutions in two ways. If I have a really nice function like a exponential. Exponentials are the great functions of differential equations, the great functions in this series. You'll see them over and over. Exponentials. Say f of t equals-- e to the t. Or e to the omega t. Or e to the i omega t. That i is the square root of minus 1.

In those cases, we will get a similarly nice function for the solution. Those are the best. We get a function that we know like exponentials. And we get solutions that we know.

Second best are we get some function we don't especially know. In that case, the solution probably involves an integral of f, or two integrals of f. We have a formula for it. That formula includes an integration that we would have to do, either look it up or do it numerically.

And then when we get to completely non-linear functions, or we have varying coefficients, then we're going to go numerically. So really, the wide, wide part of the subject ends up as numerical solutions. But you've got a whole bunch of videos coming that have nice functions and nice solutions.

OK. So that's first order and second order. Now there's more, because a system doesn't usually consist of just a single resistor or a single spring. In reality, we have many equations. And we need to deal with those.

So y is now a vector. y1, y2, to yn. n different unknowns. n different equations. That's n equation. So here that is an n by n matrix. So it's first order. Constant coefficient. So we'll be able to get somewhere. But it's a system of n coupled equations.

And so is this one with a second derivative. Second derivative of the solution. But again, y1 to yn. And we have a matrix, usually a symmetric matrix there, we hope, multiplying y.

So again, linear. Constant coefficients. But several equations at once. And that will bring in the idea of eigenvalues and eigenvectors. Eigenvalues and eigenvectors is a key bit of linear algebra that makes these problems simple, because it turns this coupled problem into n uncoupled problems. n first order equations that we can solve separately. Or n second order equations that we can solve separately. That's the goal with matrices is to uncouple them.

OK. And then really the big reality of this subject is that solutions are found numerically and very efficiently. And there's a lot to learn about that, a lot to learn. And MATLAB is a first-class package that gives you numerical solutions with many options.

One of the options may be the favorite. ODE for ordinary differential equations 4 5. And that is numbers 4, 5. Well, Cleve Moler, who wrote the package MATLAB, is going to create a series of parallel videos explaining the steps toward numerical solution.

Those steps begin with a very simple method. Maybe I'll put the creator's name down. Euler. So you can know that because Euler was centuries ago, he didn't have a computer. But he had a simple way of approximating. So Euler might be ODE 1. And now we've left Euler behind. Euler is fine, but not sufficiently accurate.

ODE 45, that 4 and 5 indicate a much higher accuracy, much more flexibility in that package. So starting with Euler, Cleve Moler will explain several steps that reach a really workhorse package.

So that's a parallel series where you'll see the codes. This will be a chalk and blackboard series, where I'll find solutions in exponential form. And if I can, I would like to conclude the series by reaching partial differential equations.

So I'll just write some partial differential equations here, so you know what they mean. And that's a goal which I hope to reach.

So one partial differential equation would be du dt-- you see partial derivatives-- is second derivative. So I have two variables now. Time, which I always have. And here is x in the space direction. That's called the heat equation. That's a very important constant coefficient, partial differential equation.

So PDE, as distinct from ODE. And so I write down one more. The second derivative of u is the same right-hand side second derivative in the x direction. That would be called the wave equation.

So this is like the first order equation in time. It's like a big system. In fact, it's like an infinite size system of equations. First order in time. Or second order in time. Heat equation. Wave equation.

And I would like to also include a the Laplace equation. Well, if we get there. So those are goals for the end of the series that go beyond some courses in ODEs. But the main goal here is to give you the standard clear picture of the basic differential equations that we can solve and understand.


Schau das Video: Funktioner: Definitionsmængde og værdimængde (November 2021).