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10.8: Graphische Darstellung quadratischer Lösungen - Mathematik


Parabeln

Wir untersuchen nun die Graphen quadratischer Gleichungen in zwei Variablen mit allgemeiner Form

(y = ax^2 + bx + c, a ot= 0). (a, b, c) sind reelle Zahlen.

Parabel

Alle diese Graphen haben eine ähnliche Form. Der Graph einer quadratischen Gleichung dieser Art Parabel heißt a Parabel und es wird eine der folgenden Formen annehmen.

Scheitel

Der Hoch- oder Tiefpunkt einer Parabel wird als bezeichnet Scheitel der Parabel.

Konstruieren von Graphen von Parabeln

Wir konstruieren den Graphen einer Parabel, indem wir mehrere x-Werte auswählen, berechnen, um die entsprechenden y-Werte zu finden, diese geordneten Paare zeichnen und dann eine glatte Kurve durch sie ziehen.

Musterset A

Beispiel (PageIndex{1})

Graph (y = x^2). Konstruieren Sie eine Tabelle, um mehrere geordnete Paare anzuzeigen.

(x)(y=x^2)
00
11
24
39
−11
−24
−39

Dies ist die grundlegendste Parabel. Obwohl andere Parabeln breiter, schmaler, nach oben oder unten verschoben, nach links oder rechts verschoben oder invertiert sein können, haben sie alle dieselbe Grundform. Wir müssen so viele geordnete Paare wie nötig zeichnen, um diese Grundform sicherzustellen.

Beispiel (PageIndex{2})

Graph (y = x^2 - 2). Erstellen Sie eine Tabelle mit geordneten Paaren.

(x)(y=x^2 -2)
0−2
1−1
22
37
−1−1
−22
−37

Beachten Sie, dass der Graph von (y = x^2 - 2) genau der Graph von (y = x^2) ist, aber um 2 Einheiten nach unten übersetzt. Vergleichen Sie die Gleichungen von (y = x^2) und (y = x^2 - 2). Siehst du, was die 2 Einheiten Abwärtsübersetzung verursacht?

Übungsset A

Übungsaufgabe (PageIndex{1})

Verwenden Sie die in Beispielsatz A vorgeschlagene Idee, um (schnell und möglicherweise nicht ganz genau) die Diagramme von . zu skizzieren

(y = x^2 + 1) und (y = x^2 - 3)

Antworten

Musterset B

Beispiel (PageIndex{1})

Graph (y = (x + 2)^2).

Erwarten wir, dass der Graph dem Graphen von (y = x^2) ähnlich ist? Erstellen Sie eine Tabelle mit geordneten Paaren.

(x)(j)
04
19
−11
−20
−31
−44

Beachten Sie, dass der Graph von (y = (x + 2)^2) genau der Graph von (y = x^2) ist, aber um 2 Einheiten nach links verschoben. Das (+2) in den Klammern verschiebt (y = x^2) um zwei Einheiten nach links. Ein negativer Wert in Klammern bewirkt eine Verschiebung nach rechts.

Übungsset B

Übungsaufgabe (PageIndex{1})

Verwenden Sie die in Beispielsatz B vorgeschlagene Idee, um die Diagramme von

(y = (x-3)^2) und (y = (x + 1)^2)

Antworten

Übungsaufgabe (PageIndex{3})

Graph (y = (x-2)^2 + 1)

Antworten

Übungen

Zeichnen Sie für die folgenden Probleme die quadratischen Gleichungen.

Übung (PageIndex{1})

(y = x^2)

Antworten

Übung (PageIndex{2})

(y = -x^2)

Übung (PageIndex{3})

(y = (x-1)^2)

Antworten

Übung (PageIndex{4})

(y = (x-2)^2)

Übung (PageIndex{5})

(y = (x + 3)^2)

Übung (PageIndex{6})

(y = (x + 3)^2)

Antworten

Übung (PageIndex{7})

(y = (x + 1)^2)

Übung (PageIndex{8})

(y = x^2 - 3)

Antworten

Übung (PageIndex{9})

(y = x^2 - 1)

Übung (PageIndex{10})

(y = x^2 + 2)

Antworten

Übung (PageIndex{11})

(y = x^2 + dfrac{1}{2})

Übung (PageIndex{12})

(y = x^2 - dfrac{1}{2})

Antworten

Übung (PageIndex{13})

(y = -x^2 + 1) (vergleiche mit Problem 2)

Übung (PageIndex{14})

(y = -x^2 - 1) (vergleiche mit Problem 1)

Antworten

Übung (PageIndex{15})

(y = (x-1)^2 - 1)

Übung (PageIndex{16})

(y = (x + 3)^2 + 2)

Antworten

Übung (PageIndex{17})

(y = -(x + 1)^2)

Übung (PageIndex{18})

(y = -(x + 3)^2)

Antworten

Übung (PageIndex{19})

(y = 2x^2)

Übung (PageIndex{20})

(y = 3x^2)

Antworten

Übung (PageIndex{21})

(y = dfrac{1}{2}x^2)

Versuchen Sie für die folgenden Probleme, die quadratische Gleichung zu erraten, die dem gegebenen Graphen entspricht.

Übung (PageIndex{22})

Übung (PageIndex{23})

Antworten

(y = (x-3)^2)

Übung (PageIndex{24})

Übung (PageIndex{25})

Antworten

(y = -(x + 3)^2 + 2)

Übungen zur Überprüfung

Übung (PageIndex{26})

Vereinfachen und schreiben Sie ((x^{-4}y^5)^{-3}(x^{-6}y^4)^2), sodass nur positive Exponenten erscheinen.

Übung (PageIndex{27})

Faktor (y^2 - y - 42)

Antworten

((y+6)(y−7))

Übung (PageIndex{28})

Finde die Summe: (dfrac{2}{a - 3} + dfrac{3}{a + 3} + dfrac{18}{a^2 - 9})

Übung (PageIndex{29})

Vereinfache (dfrac{2}{4 + sqrt{5}})

Antworten

(dfrac{8 - 2sqrt{5}}{11})

Übung (PageIndex{30})

Vier wird zu einer ganzen Zahl addiert und diese Summe wird verdoppelt. Wenn dieses Ergebnis mit der ursprünglichen Ganzzahl multipliziert wird, ist das Produkt (-6). Finden Sie die ganze Zahl.


Quadratik

Khan-Video: Vervollständigen des Quadrats (bei 5:34 verwendet das zweite Beispiel Brüche).

Übungsprobleme:

1.9 Standardform und die Quadratische Formel

Erläuterung:

Video zur grafischen Darstellung von Quadraten in Standardform: SafeShareTV | Youtube

Khan-Video: Verwenden der quadratischen Formel - rationale Lösungen

Übungsprobleme:

Khan-Übung: Quadratische Formel (beinhaltet zuerst das Lösen nach 0 und einige Wurzeln müssen vereinfacht werden)

1.10 Verwendung des Diskriminanten

Erläuterung:

Übungsprobleme:

1.11 Umwandeln der faktorisierten und Scheitelpunktform in die Standardform

Erläuterung:

Übungsprobleme:

1.12 Review: Merkmale und Formen quadratischer Funktionen: Dieselbe quadratische Funktion kann in bis zu drei äquivalenten Formaten geschrieben werden

Erläuterung:

Übungsprobleme:

Khan-Übung: Merkmale quadratischer Funktionen: Strategie (einfachstes Merkmal in irgendeiner Form)

Khan-Übung: Merkmale quadratischer Funktionen (alle Merkmale in beliebiger Form ein Taschenrechner wird benötigt)

Khan-Übung: Aufwärmen: Merkmale quadratischer Funktionen (herausfordernd: einige quadratische Funktionen enthalten Dezimalstellen)


QUADRATIK, Permutationen und Kombinationen, EXPLODIERENDE PUNKTE und mehr!

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Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung quadratischer Funktionen

  • Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform: (y=a(x – h)^2+k) wobei ((h,k)) der Scheitelpunkt der Funktion ist. Die Symmetrieachse ist (x=h)
  • Quadratische Funktionen in Standardform: (y=ax^2+bx+c) wobei (x=-frac<2a>) ist der Wert von (x) im Scheitel der Funktion.
  • Um eine quadratische Funktion darzustellen, suchen Sie zuerst den Scheitelpunkt, ersetzen Sie dann einige Werte für (x) und lösen Sie nach (y) auf.

Quadratische Funktionen grafisch darstellen – Beispiel 1:

Skizzieren Sie den Graphen von (y=(x+1)^2-2).

Erinnern Sie sich zunächst daran, dass eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform (y=a(x – h)^2+k) ist, wobei ((h,k)) der Scheitelpunkt der Funktion ist. Der Scheitelpunkt von (y=(x+1)^2-2) ist ((-1,-2)). Ersetzen Sie (x) durch Null und lösen Sie nach (y) auf. (y=(0+1)^2-2=-1). Der (y)-Achsenabschnitt ist ((0,-1)).
Jetzt können Sie die quadratische Funktion einfach grafisch darstellen.

Quadratische Funktionen grafisch darstellen – Beispiel 2:

Skizzieren Sie den Graphen von (y=3(x+1)^2+2).

Der Scheitelpunkt von (3(x+1)^2+2) ist ((-1,2)). Ersetzen Sie (x) durch Null und lösen Sie nach (y) auf. (y=3(0+1)^2+2=5). Der (y)-Achsenabschnitt ist ((0,5)).
Jetzt können Sie einfach die quadratische Funktion grafisch darstellen.


Fragen

Konstruiere eine quadratische Gleichung aus ihrer(n) Lösung(en).

  1. 2, 5
  2. 3, 6
  3. 20, 2
  4. 13, 1
  5. 4, 4
  6. 0, 9
  7. ± 5
  8. ± 1
  9. 3, 5, 8
  10. −4, 0, 4
  11. −9, −6, −2
  12. ± 1, 5
  13. ± 2, ± 5

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-10-8/”>Answer Key 10.8


Big Ideas Math Book Algebra 1 Lösungsschlüssel Kapitel 8 Quadratische Funktionen grafisch darstellen

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Quadratische Funktionen grafisch darstellen, um mathematische Kenntnisse zu erhalten

Zeichnen Sie die lineare Gleichung.

Frage 1.
y = 2x – 3
Antworten:
y = 2x – 3
Wenn x = 0 → 2(0) – 3 = -3
Wenn x = 1 → 2(1) – 3 = -1
Wenn x = 2 → 2(2) – 3 = 1
Wenn x = 3 → 2(3) – 3 = 3
Wenn x = 4 → 2(4) – 3 = 5

Frage 2.
y = -3x + 4
Antworten:
Gegeben,
y = -3x + 4
Wenn x = 0 → -3(0) + 4 = 4
Wenn x = 1 → -3(1) + 4 = 1
Wenn x = 2 → -3(2) + 4 = -2
Wenn x = 3 → -3(3) + 4 = -5
Wenn x = 4 → -3(4) + 4 = -8

Frage 3.
y = – (frac<1><2>)x – 2
Antworten:
Gegeben,
y = – (frac<1><2>)x – 2
Wenn x = 0 → – (frac<1><2>)(0) – 2 = -2
Wenn x = 1 → – (frac<1><2>)(1) – 2 = -2(frac<1><2>)
Wenn x = 2 → –(frac<1><2>)(2) – 2 = -3
Wenn x = 3 → – (frac<1><2>)(3) – 2 = –(frac<7><2>)
Wenn x = 4 → – (frac<1><2>)(4) – 2 = -4

Frage 4.
y = x + 5
Antworten:
Gegeben,
y = x + 5
Wenn x = 0 → 0 + 5 = 5
Wenn x = 1 → 1 + 5 = 6
Wenn x = 2 → 2 + 5 = 7
Wenn x = 3 → 3 + 5 = 8
Wenn x = 4 → 4 + 5 = 9

Werten Sie den Ausdruck aus, wenn x = −2.
Frage 5.
5x 2 – 9
Antworten:
Gegeben,
5x 2 – 9
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
5(-2) 2 – 9
= 5(4) – 9
= 20 – 9
= 11

Frage 6.
3x 2 + x – 2
Antworten:
Gegeben,
3x 2 + x – 2
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
3(-2) 2 + (-2) – 2
= 3(4) – 2 – 2
= 12 – 4
= 8

Frage 7.
-x 2 + 4x + 1
Antworten:
Gegeben,
-x 2 + 4x + 1
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
-(-2) 2 + 4(-2) + 1
= -4 – 8 + 1
= -12 + 1
= -11

Frage 8.
x 2 + 8x + 5
Antworten:
Gegeben,
x 2 + 8x + 5
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
(-2) 2 + 8(-2) + 5
= 4 – 16 + 5
= -7

Frage 9.
-2x 2 – 4x + 3
Antworten:
Gegeben,
-2x 2 – 4x + 3
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
= -2(-2) 2 – 4(-2) + 3
= -2(4) + 8 + 3
= -8 + 8 + 3
= 3

Frage 10.
-4x 2 + 2x – 6
Antworten:
Gegeben,
-4x 2 + 2x – 6
Nun müssen wir im obigen Ausdruck x = -2 einsetzen
-4(-2) 2 + 2(-2) – 6
= -16 – 4 – 6
= -26

Frage 11.
ABSTRAKTE BEGRÜNDUNG
Vervollständigen die Tabelle. Finden Sie ein Muster in den Differenzen aufeinanderfolgender y-Werte. Verwenden Sie das Muster, um einen Ausdruck für y zu schreiben, wenn x = 6.

Antworten:
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Graphische Darstellung quadratischer Funktionen Mathematische Übungen

Mathematisch versierte Studierende probieren Spezialfälle des Ausgangsproblems aus, um einen Einblick in seine Lösung zu erhalten.

Überwachung der Fortschritte

Zeichnen Sie die quadratische Funktion. Beschreiben Sie dann seinen Graphen.
Frage 1.
y = -x 2
Antworten:

Frage 2.
y = 2x 2
Antworten:

Frage 3.
f(x) = 2x 2 + 1
Antworten:

Frage 4.
f(x) = 2x 2 – 1
Antworten:

Frage 5.
f(x) = (frac<1><2>)x 2 + 4x + 3
Antworten:

Frage 6.
f(x) = (frac<1><2>) x 2 – 4x + 3
Antworten:

Frage 7.
y = -2(x + 1) 2 + 1
Antworten:

Frage 8.
y = -2(x – 1) 2 + 1
Antworten:

Frage 9.
Inwiefern ähneln sich die Grafiken in den Fragen 1-8 zur Überwachung des Fortschritts? Wie unterscheiden sie sich?
Antworten:

Lektion 8.1 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2

Wesentliche Frage Welche Eigenschaften hat der Graph einer quadratischen Funktion der Form f(x) = ax 2 ?

ERKUNDUNG 1

Quadratische Funktionen grafisch darstellen
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Zeichnen Sie jede quadratische Funktion. Vergleichen Sie jeden Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 2.
Welche Eigenschaften hat der Graph einer quadratischen Funktion der Form f(x) = ax 2 ?
Antworten:
Der Graph einer quadratischen Funktion ist U-förmig und wird als Parabel bezeichnet.
Parabeln haben mehrere erkennbare Merkmale, die ihre Form und Platzierung auf der kartesischen Ebene charakterisieren.

Frage 3.
Wie wirkt sich der Wert von a auf den Graphen von f(x) = ax 2 aus? Betrachten wir 0 < a < 1, a> 1, -1 < a < 0 und a < -1. Verwenden Sie einen Grafikrechner, um Ihre Antworten zu überprüfen.

Antworten:

Frage 4.
Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion der Form y = ax 2 . Welches der Intervalle in Frage 3 beschreibt den Wert von a? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Identifizieren Sie die Eigenschaften der quadratischen Funktion und ihres Graphen.
Frage 1.

Antworten:
Scheitelpunkt ist (2, -3)
Die Symmetrieachse ist 2
Die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen
der Bereich ist alle reellen Zahlen größer oder gleich -3

Frage 2.

Antworten:
Scheitelpunkt ist (-3, 7)
Die Symmetrieachse ist -3
Die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen
der Bereich ist alle reellen Zahlen größer oder gleich 7

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 3.
g(x) = 5x 2
Antworten:

Frage 4.
h(x) = (frac<1><3>)x 2
Antworten:

Frage 5.
n(x) = (frac<3><2>)x 2
Antworten:

Frage 6.
p(x) = -3x 2
Antworten:

Frage 7.
q(x) = -0,1x 2
Antworten:

Frage 9.
Der Querschnitt eines Scheinwerfers kann durch den Graphen von y = 0,5x 2 modelliert werden, wobei x und y in Zoll und -2 ≤ x ≤ 2 gemessen werden. Bestimmen Sie die Breite und Tiefe des Scheinwerfers.
Antworten:

Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 8.1 Aufgaben

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
WORTSCHATZ
Wie heißt der U-förmige Graph einer quadratischen Funktion?
Antworten:
Der U-förmige Graph einer quadratischen Funktion wird als Parabel bezeichnet.

Frage 2.
SCHREIBEN
Wann öffnet sich der Graph einer quadratischen Funktion? öffnen sich?
Antworten:
Bei einem < 0 öffnet es sich nach unten
Bei einem > 0 öffnet es sich

Fortschrittsüberwachung und Modellierung mit Mathematik

Identifizieren Sie in den Aufgaben 3 und 4 die Eigenschaften der quadratischen Funktion und ihres Graphen.
Frage 3.

Antworten:

Frage 4.

Antworten:
Der Scheitelpunkt ist (-2, 4)
Die Symmetrieachse ist x = -2
Die Domäne sind alle reellen Zahlen.
Der Bereich ist y ≥ 4
Wenn x < -2 ist, nimmt y zu, wenn x abnimmt.
Wenn x > –2 ist, nimmt y zu, wenn x abnimmt.

Stellen Sie in den Übungen 5–12 die Funktion graphisch dar. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 5.
g(x) = 6x 2
Antworten:

Frage 6.
b(x) = 2,5x 2
Antworten:
b(x) = 2,5x 2
Symmetrieachse ist x = 0
Graph von 2.5x 2 ist schmaler als x 2, da er vertikal um den Faktor 2.5 . gestreckt ist

Frage 7.
h(x) = (frac<1><4>)x 2
Antworten:

Frage 8.
j(x) = 0,75x 2
Antworten:
Wir beobachten, dass die beiden Graphen die gleiche Domäne, Reichweite und Symmetrieachse haben und beide Parabeln sind. Der Hauptunterschied besteht darin, dass sich der Graph der gegebenen Funktion weiter öffnet als der Graph von f(x) = x 2

Frage 9.
m(x) = -2x 2
Antworten:

Frage 10.
q(x) = –(frac<9><2>)x 2
Antworten:
Wir beobachten, dass die beiden Graphen die gleiche Domäne, Reichweite und Symmetrieachse haben und beide Parabeln sind. Der Hauptunterschied besteht darin, dass sich der Graph der gegebenen Funktion weiter öffnet, als der Graph von f(x) = x 2 um die x-Achse gespiegelt wurde.

Frage 11.
k(x) = -0,2x 2
Antworten:

Frage 12.
p(x) = –(frac<2><3>)x 2
Antworten:
Wir beobachten, dass die beiden Graphen den gleichen Scheitelpunkt, den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben und beide Parabeln sind. Der Hauptunterschied besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion weiter öffnet als der Graph von f(x) = x 2 an der x-Achse gespiegelt und vertikal um den Faktor 2/3 . gestreckt wurde

Verwenden Sie in den Übungen 13–16 einen Grafikrechner, um die Funktion grafisch darzustellen. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von y = −4x 2 .
Frage 13.
y = 4x 2
Antworten:

Frage 14.
y = -0,4x 2
Antworten:
Wir beobachten, dass die beiden Graphen die gleiche Domäne, Reichweite und Symmetrieachse haben und beide Parabeln sind. Der Hauptunterschied besteht darin, dass sich der Graph der gegebenen Funktion weiter öffnet als der Graph von f(x) = x 2

Frage 15.
y = -0,04x 2
Antworten:

Frage 16.
y = -0,004x 2
Antworten:
Wir beobachten, dass die beiden Graphen die gleiche Domäne, Reichweite und Symmetrieachse haben und beide Parabeln sind. Der Hauptunterschied besteht darin, dass sich der Graph der gegebenen Funktion weiter öffnet als der Graph von f(x) = -4x 2

Frage 17.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Zeichnen und Vergleichen von y = x 2 und y = 0,5x 2 .

Antworten:

Frage 18.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Bogenstütze einer Brücke kann durch y = -0,0012x 2 modelliert werden, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Finden Sie die Höhe und Breite des Bogens.

Antworten:
Bogenbreite = 500 – (-500)
= 1000 Fuß
Bogenhöhe = 0 – (-300)
= 300 Fuß

Frage 19.
PROBLEME LÖSEN
Die Bruchfestigkeit z (in Pfund) eines Manilaseils kann durch z = 8900d 2 modelliert werden, wobei d der Durchmesser (in Zoll) des Seils ist.

A. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
B. Zeichnen Sie die Funktion mit dem Bereich in Teil (a).
C. Ein Manilaseil hat die vierfache Bruchfestigkeit eines anderen Manilaseils. Hat das stärkere Seil den vierfachen Durchmesser? Erklären.
Antworten:

Frage 20.
WIE SIEHST DU ES?
Beschreiben Sie die möglichen Werte von a.

Antworten:
A. Der Graph von g(x) = ax² ist schmaler als der Graph von f(x) = x², wenn a > 1
B. Der Graph von g(x) = ax² ist breiter als der Graph von f(x) = x², wenn 0 < |a| < 1. Wir stellen jedoch auch fest, dass der Graph um die x-Achse gespiegelt wurde und daher a negativ sein muss. Dann wissen wir, dass -1 < a < 0 ist.

GRAFIK ANALYSIEREN Verwenden Sie in den Übungen 21–23 den Graphen.

Frage 21.
Wann nimmt jede Funktion zu?
Antworten:

Frage 22.
Wann nimmt jede Funktion ab?
Antwort: f nimmt ab, wenn g < 0. g nimmt ab, wenn x > 0

Frage 23.
Welche Funktion könnte den Punkt (-2, 3) beinhalten? Ermitteln Sie den Wert von a, wenn der Graph durch (-2, 3) geht.
Antworten:

Frage 24.
ARGUMENTATION
Ist der x-Achsenabschnitt des Graphen von y = x 2 immer 0? Rechtfertige deine Antwort.
Antworten:
Der x-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse und somit y = 0.
Ersetzen wir also y durch 0 in der gegebenen Funktion
0 = Axt 2
0 = x 2
0 = x
Dann bemerken wir, dass 0 der einzige x-Achsenabschnitt ist.

Frage 25.
ARGUMENTATION
Eine Parabel öffnet sich und geht durch (-4, 2) und (6, -3) hindurch. Woher wissen Sie, dass (-4, 2) nicht der Scheitelpunkt ist?
Antworten:

ABSTRAKTE BEGRÜNDUNG Bestimmen Sie in den Übungen 26–29, ob die Aussage immer, manchmal oder nie zutrifft. Erklären Sie Ihre Argumentation.
Frage 26.
Der Graph von f(x) = x 2 ist schmaler als der Graph von g(x) = x 2, wenn a > 0 ist.
Antworten:
Die gegebene Aussage ist manchmal wahr, weil der Graph f(x) = x 2 schmaler ist als der Graph von g(x) = x 2, wenn a > 1, breiter, wenn a < 1 und gleich breit von a = 1.

Frage 27.
Der Graph von f(x) = x 2 ist schmaler als der Graph von g(x) = x 2, wenn |a| >1.
Antworten:

Frage 28.
Der Graph von f(x) = x 2 ist breiter als der Graph von g(x) = x 2, wenn 0 < |a| <1.
Antworten:
Die gegebene Aussage ist manchmal wahr, weil der Graph f(x) = x 2 schmaler ist als der Graph von g(x) = x 2 wenn a > 1, breiter wenn -1< a < 0 oder 0 < a < 1.

Frage 29.
Der Graph von f(x) = x 2 ist breiter als der Graph von g(x) = dx 2, wenn |a | > |d| .
Antworten:

Frage 30.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Zeichnen Sie das gezeigte gleichschenklige Dreieck. Teilen Sie jedes Bein in acht kongruente Segmente. Verbinden Sie den höchsten Punkt eines Beins mit dem tiefsten Punkt des anderen Beins. Verbinden Sie dann den zweithöchsten Punkt des einen Beins mit dem zweittiefsten Punkt des anderen Beins. Setzen Sie diesen Vorgang fort. Schreiben Sie eine quadratische Gleichung, deren Graph die erscheinende Form modelliert.

Antworten:
Von der Elternfunktion y = x² ist die Transformation eine Spiegelung an der x-Achse, also haben wir y = -ax²
Um a zu finden, ersetzen Sie entweder (-6, -4) oder (6, -4)
-4 = -a(6)²
-4 = -36a
a = 1/9
y = -1/9x²

Frage 31.
EIN ARGUMENT MACHEN
Das Diagramm zeigt den parabolischen Querschnitt eines wirbelnden Wasserglases, wobei x und y in Zentimetern gemessen werden.

A. Wie breit ist die Mündung des Glases ungefähr?
B. Ihr Freund behauptet, dass die Rotationsgeschwindigkeit des Wassers zunehmen müsste, damit der Querschnitt um y = 0,1x 2 modelliert werden kann. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Werten Sie den Ausdruck aus, wenn n = 3 und x = −2 ist.
Frage 32.
n 2 + 5
Antworten:
n 2 + 5 = 3 2 + 5
= 9 + 5
= 14

Frage 33.
3x 2 – 9
Antworten:

Frage 34.
-4n 2 + 11
Antworten:
-4n 2 + 11 = -4(3) 2 + 11
= -4(9) + 11
= -36 + 11
= -25

Frage 35.
n + 2x 2
Antworten:

Lektion 8.2 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + c

Wesentliche Frage Wie beeinflusst der Wert von c den Graphen von f(x) = -ax 2 + c?

ERKUNDUNG 1

Graphische Darstellung von y = ax 2 + c
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen in derselben Koordinatenebene. Was fällt ihnen auf?

ERKUNDUNG 2

x-Achsenabschnitte von Graphen finden Graph
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Zeichnen Sie jede Funktion. Finden Sie die x-Achsenabschnitte des Graphen. Erklären Sie, wie Sie die x-Achsenabschnitte gefunden haben.

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 3.
Wie wirkt sich der Wert von c auf den Graphen von f(x) = ax 2 + c aus?
Antworten:

Frage 4.
Verwenden Sie einen Grafikrechner, um Ihre Antworten auf Frage 3 zu überprüfen.

Antworten:

Frage 5.
Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion der Form y = ax 2 + c. Beschreiben Sie mögliche Werte von a und c. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 1.
g(x) = x 2 – 5
Antworten:

Frage 2.
h(x) = x2 + 3
Antworten:

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 3.
g(x) = 2x 2 – 5
Antworten:

Frage 4.
h(x) = – (frac<1><4>)x 2 + 4
Antworten:

Frage 5.
Sei f(x) = 3x 2 – 1 und g(x) = f (x) + 3.
A. Beschreiben Sie die Transformation vom Graphen von f in den Graphen von g. Dann zeichnen Sie f und g in derselben Koordinatenebene.
B. Schreiben Sie eine Gleichung, die g in Bezug auf x darstellt.
Antworten:
g(x) = f(x) + 3
g(x) = (3x 2 – 1 )+ 3
= 3x 2 + 2

Frage 6.
Erklären Sie, warum in Beispiel 4 nur nichtnegative Werte von t verwendet werden.
Antworten:

Frage 7.
WAS IST, WENN?
Das Ei wird aus einer Höhe von 100 Fuß fallen gelassen. Nach wie vielen Sekunden landet das Ei auf dem Boden?
Antworten:
h = 0 und t = 2,5 s

Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + c 8.2 Aufgaben

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
WORTSCHATZ
Geben Sie den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse des Graphen von y = ax 2 + c an.
Antworten:
Der Graph von y = ax 2 + c hat eine Ecke von (0, c) und eine Symmetrieachse von x = 0

Frage 2.
SCHREIBEN
Wie vergleicht sich der Graph von y = ax 2 + c mit dem Graphen von y = ax 2 ?
Antworten:
y = Achse 2
y = ax2 + c
Der Graph der Funktion y = ax 2 + c ist der Graph der Funktion y = ax 2 nach oben mit c Einheiten übersetzt, wenn c > 0 und nach unten mit |c| Einheiten wenn c < 0

0Überwachung des Fortschritts und Modellierung mit Mathematik

Stellen Sie in den Übungen 3–6 die Funktion grafisch dar. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 3.
g(x) = x2 + 6
Antworten:

Frage 4.
h(x) = x2 + 8
Antworten:
Wir bemerken, dass beide Graphen Parabeln sind und den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 8 Einheiten nach oben übersetzt wird.

Frage 5.
p(x) = x 2 – 3
Antworten:

Frage 6.
q(x) = x 2 – 1
Antworten:
Wir bemerken, dass beide Graphen Parabeln sind und den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 1 Einheit nach oben übersetzt wird.

Stellen Sie in den Übungen 7–12 die Funktion grafisch dar. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 7.
g(x) = -x 2 + 3
Antworten:

Frage 8.
h(x) = -x 2 – 7
Antworten:
Wir bemerken, dass beide Graphen Parabeln sind und den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 7 Einheiten nach unten übersetzt wird.

Frage 9.
s(x) = 2x 2 – 4
Antworten:

Frage 10.
t(x) = -3x 2 + 1
Antworten:
Wir bemerken, dass beide Graphen Parabeln sind und den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 1 Einheit nach oben übersetzt wird.

Frage 11.
p(x) = – (frac<1><3>)x 2 – 2
Antworten:

Frage 12.
q(x) = (frac<1><2>)x 2 + 6
Antworten:
Wir bemerken, dass beide Graphen Parabeln sind und den gleichen Bereich und die gleiche Symmetrieachse haben. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Graphen besteht darin, dass der Graph der gegebenen Funktion der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 6 Einheiten nach oben übersetzt wird.

Beschreiben Sie in den Aufgaben 13–16 die Transformation vom Graphen von f in den Graphen von g. Dann zeichnen Sie f und g in derselben Koordinatenebene. Schreiben Sie eine Gleichung, die g in Bezug auf x darstellt.
Frage 13.
f(x) = 3x 2 + 4
g(x) = f(x) + 2
Antworten:

Frage 14.
f(x) = (frac<1><2>)x 2 + 1
g(x) = f(x) – 4
Antworten:
Wir bemerken, dass die Funktion g die um 4 verringerte Funktion f ist und ihr Graph daher um 4 Einheiten nach unten übersetzt wird.

Frage 15.
f(x) = – (frac<1><4>)x 2 – 6
g(x) = f(x) – 3
Antworten:

Frage 16.
f(x) = 4x 2 – 5
g(x) = f(x) + 7
Antworten:
Wir bemerken, dass die Funktion g die um 7 erhöhte Funktion f ist und ihr Graph daher um 7 Einheiten nach oben übersetzt wird.

Frage 17.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Vergleich der Diagramme.

Antworten:

Frage 18.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Zeichnen und Vergleichen von f(x) = x 2 und g(x) = x 2 – 10.

Antworten:
Der Fehler besteht darin, dass der Graph g(x) = x 2 – 10 der Graph von f(x) = x 2 ist, der um 10 Einheiten nach unten statt nach oben übersetzt wird.

Finden Sie in den Übungen 19–26 die Nullstellen der Funktion.
Frage 19.
y = x 2 – 1
Antworten:

Frage 20.
y = x 2 – 36
Antworten:
y = x 2 – 36
x 2 – 36 = 0
x 2 = 36
x = ±6

Frage 21.
f(x) = -x 2 + 25
Antworten:

Frage 22.
f(x) = -x 2 + 49
Antworten:
f(x) = -x 2 + 49
-x 2 + 49 = 0
-x 2 = -49
x = ±7

Frage 23.
f(x) = 4x 2 – 16
Antworten:

Frage 24.
f(x) = 3x 2 – 27
Antworten:
f(x) = 3x 2 – 27
3x 2 – 27 = 0
3x 2 = 27
x 2 = 9
x = ±3

Frage 25.
f(x) = -12x 2 + 3
Antworten:

Frage 26.
f(x) = -8x 2 + 98
Antworten:
f(x) = -8x 2 + 98
-8x 2 + 98 = 0
-8x 2 = -98
x = ±7/2

Frage 27.
MODELLIEREN MIT /MATHEMATIK
Ein Wasserballon wird aus einer Höhe von 144 Fuß abgeworfen.
A. Nach wie vielen Sekunden schlägt der Wasserballon auf dem Boden auf?
B. Angenommen, die Anfangshöhe wird um k Fuß angepasst. Wie wirkt sich das auf Teil (a) aus?
Antworten:

Frage 28.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Funktion y = -16x 2 + 36 repräsentiert die Höhe y (in Fuß) eines Apfels x Sekunden nach dem Fallen von einem Baum. Finden und interpretieren Sie die x- und y-Achsenabschnitte.
Antworten:
y = -16x 2 + 36
-16x 2 + 36 = 0
x 2 = 36/16
x = ±√9/4
x = ±3/2 = ±1,5
Die x-Achsenabschnitte sind also (-1.5, 0) und (1.5, 0)
x = -1,5 ist im Kontext des Problems nicht sinnvoll
x = 1,5 steht für 1,5 s, die Zeit, in der der Apfel den Boden berührt.
Um den y-Achsenabschnitt zu finden, setze x = 0 und löse nach y auf:
y = -16(0) + 36
y = 36
Der y-Achsenabschnitt ist (0, 36)
y = 36 entspricht 36 ft, der anfänglichen Höhe, in der der Apfel fallen gelassen wurde.

Skizzieren Sie in den Übungen 29–32 eine Parabel mit den gegebenen Eigenschaften.

Frage 29.
Die Parabel öffnet sich und der Scheitelpunkt ist (0, 3).
Antworten:

Frage 30.
Der Scheitelpunkt ist (0, 4) und einer der x-Achsenabschnitte ist 2.
Antworten:

Frage 31.
Die zugehörige Funktion steigt, wenn x < 0 ist und die Nullen -1 und 1 sind.
Antworten:

Frage 32.
Der höchste Punkt der Parabel ist (0, -5).
Antworten:

Frage 33.
SCHLUSSFOLGERUNGEN ZEICHNEN
Sie und Ihr Freund lassen gleichzeitig einen Ball fallen. Die Funktion h(x) = -16x 2 + 256 repräsentiert die Höhe (in Fuß) Ihres Balls nach x Sekunden. Die Funktion g(x) = -16x 2 + 300 repräsentiert die Höhe (in Fuß) des Balls deines Freundes nach x Sekunden.
A. Schreiben Sie die Funktion T(x) = h(x) – g(x). Was bedeutet T(x)?
B. Wenn dein Ball den Boden berührt, wie hoch ist der Ball deines Freundes? Verwenden Sie eine Grafik, um Ihre Antwort zu begründen.
Antworten:

Frage 34.
EIN ARGUMENT MACHEN
Ihr Freund behauptet, dass sich in der Gleichung y = ax 2 + c der Scheitelpunkt ändert, wenn sich der Wert von a ändert. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:
Nein, a bestimmt nur, wie schmal die Funktion ist und ob sie an der x-Achse gespiegelt wird (wenn a < 0). Wenn sich c jedoch ändert, ändert sich auch der Scheitelpunkt.

Frage 35.
MATHEMATISCHE VERBINDUNGEN
Die Fläche A (in Quadratfuß) einer quadratischen Terrasse wird durch A = x 2 dargestellt, wobei x die Länge einer Seite der Terrasse ist. Sie fügen der Terrasse 48 Quadratmeter hinzu, was eine Gesamtfläche von 192 Quadratmetern ergibt. Welche Maße hat die ursprüngliche Terrasse? Verwenden Sie eine Grafik, um Ihre Antwort zu begründen.
Antworten:

Frage 36.
WIE SIEHST DU ES?
Der Graph von f(x) = ax 2 + c wird gezeigt. Die Punkte A und B haben den gleichen Abstand vom Scheitelpunkt des Graphen von f. Welcher Punkt liegt näher am Scheitelpunkt des Graphen von f mit zunehmendem c?

Antworten:
Wenn c zunimmt, wird der Graph nach oben verschoben und somit nähert sich der Scheitelpunkt dem oberen Punkt A.

Frage 37.
ARGUMENTATION
Beschreiben Sie zwei algebraische Methoden, mit denen Sie die Nullstellen der Funktion f(t) = -16t 2 + 400 finden können. Überprüfen Sie Ihre Antwort grafisch.
Antworten:

Frage 38.
PROBLEME LÖSEN
Die Wasserwege von drei verschiedenen Gartenwasserfällen sind unten angegeben. Jede Funktion gibt die Höhe h (in Fuß) und den horizontalen Abstand d (in Fuß) des Wassers an.

Wasserfall 1 h = -3,1d 2 + 4,8
Wasserfall 2 h = -3.5d 2 + 1.9
Wasserfall 3 h = -1.1d 2 + 1.6
A. Welcher Wasserfall lässt Wasser vom höchsten Punkt fallen?
Antwort: Der konstante Term stellt die Anfangshöhe dar, also tropft von den drei Wasserfall 1 Wasser vom höchsten Punkt.
B. Welcher Wasserfall folgt dem schmalsten Pfad?
Antwort: Wasserfall 3 folgt dem engsten Weg
C. Welcher Wasserfall schickt Wasser am weitesten?
Antwort: Wasserfall 1 schickt Wasser am weitesten.

Frage 39.
SCHREIBEN VON GLEICHUNGEN
Zwei Eicheln fallen von einer Eiche zu Boden. Einer fällt 45 Fuß, der andere 32 Fuß.
A. Schreiben Sie für jede Eichel eine Gleichung, die die Höhe h (in Fuß) als Funktion der Zeit t (in Sekunden) darstellt.
B. Beschreiben Sie, wie die Graphen der beiden Gleichungen zusammenhängen.
Antworten:

Frage 40.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Eines von zwei klassischen Problemen in der Infinitesimalrechnung besteht darin, die Fläche unter einer Kurve zu finden. Nähern Sie die Fläche der Region, die von der Parabel und der x-Achse begrenzt wird. Zeigen Sie Ihre Arbeit.

Antworten:
Eine Möglichkeit, die Fläche anzunähern, besteht darin, die Parabel in ein Diagramm mit Gittern neu zu zeichnen und dann die Anzahl der Quadrate zu zählen. Beachten Sie, dass der Graph aufgrund der Reflexion in der x-Achse und der vertikalen Translation eine Gleichung von y = -x² + 4 hat.
In diesem Fall ist jedes Quadrat 1 Quadrateinheit, also beträgt die Fläche ungefähr 11 Quadrateinheiten.

Frage 41.
KRITISCHES DENKEN
Ein Querschnitt der parabolischen Oberfläche der gezeigten Antenne kann durch y = 0,012x 2 modelliert werden, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Die Antenne wird nach oben bewegt, sodass sich die Außenkanten der Schüssel 25 Fuß über der x-Achse befinden. Wo liegt der Scheitelpunkt des Querschnitts? Erklären.

Antworten:

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Frage 43.
–(frac<2a>)
Antworten:

Frage 45.
–(frac)
Antworten:

Lektion 8.3 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + bx + c

Wesentliche Frage Wie findet man den Scheitelpunkt des Graphen von f(x) = ax 2 + bx + c?

ERKUNDUNG 1

Vergleich von x-Achsenabschnitten mit dem Scheitelpunkt
Mit einem Partner zusammenarbeiten.
A. Skizzieren Sie die Graphen von y = 2x 2 – 8x und y = 2x 2 – 8x + 6.
B. Was fällt Ihnen an der x-Koordinate des Scheitelpunkts jedes Graphen auf?
C. Verwenden Sie den Graphen von y = 2x 2 – 8x, um seine x-Achsenabschnitte zu finden. Bestätigen Sie Ihre Antwort, indem Sie 0 = 2x 2 – 8x lösen.
D. Vergleichen Sie den Wert der x-Koordinate des Scheitelpunkts mit den Werten der x-Achsenabschnitte.

ERKUNDUNG 2

x-Achsenabschnitte finden
Mit einem Partner zusammenarbeiten.
A. Löse 0 = ax 2 + bx nach x durch Faktorisieren.
B. Was sind die x-Achsenabschnitte des Graphen von y = ax 2 + bx?
C. Kopieren und vervollständigen Sie die Tabelle, um Ihre Antwort zu überprüfen.

ERKUNDUNG 3

Deduktives Denken
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Vervollständigen Sie das folgende logische Argument.

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 4.
Wie findet man den Scheitelpunkt des Graphen von f(x) = ax 2 + bx + c?
Antworten:

Frage 5.
Finden Sie ohne graphische Darstellung den Scheitelpunkt des Graphen von f(x) = x 2 – 4x + 3. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch graphische Darstellung.
Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Finden Sie (a) die Symmetrieachse und (b) den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen.
Frage 1.
f(x) = 3x 2 – 2x
Antworten:

Frage 2.
g(x) = x2 + 6x + 5
Antworten:

Frage 3.
h(x) = – (frac<1><2>)x 2 + 7x – 4
Antworten:

Zeichnen Sie die Funktion. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Frage 4.
h(x) = 2x 2 + 4x + 1
Antworten:

Frage 5.
k(x) = x 2 – 8x + 7
Antworten:

Frage 6.
p(x) = -5x 2 – 10x – 2
Antworten:

Sagen Sie, ob die Funktion einen Minimalwert oder einen Maximalwert hat. Dann finde den Wert.
Frage 7.
g(x) = 8x 2 – 8x + 6
Antworten:
Zeichnen Sie die obige Funktion und zeichnen Sie y = x 2
g(x) = 8x 2 – 8x + 6
x = -b/2a
x = 8/2(8) = 1/2 = 0,5
Ersetze 0,5 für x und du erhältst 4 für y
dein Scheitel ist 0,5, 4
Symmetrieachsengleichung ist x – 0.5

Frage 8.
h(x) = – (frac<1><4>)x 2 + 3x + 1
Antwort: Maximalwert 10

Frage 9.
Die Kabel zwischen den beiden Türmen der Tacoma Narrows Bridge in Washington bilden eine Parabel, die durch y = 0,00016x 2 – 0,46x + 507 modelliert werden kann, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Wie hoch ist das Kabel am tiefsten Punkt über dem Wasser?
Antworten:
Gegeben,
Die Kabel zwischen den beiden Türmen der Tacoma Narrows Bridge in Washington bilden eine Parabel, die durch y = 0,00016x 2 – 0,46x + 507 modelliert werden kann, wobei x und y in Fuß gemessen werden.
x = -b/2a
= -(-0.37)/2(0.000098) = 1888
Ersetzen Sie nun x in der Gleichung durch 1888, um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu ermitteln.
y = 0,00016(1888) 2 – 0,46(1888) + 507 = 203
Das Kabel befindet sich an seinem unteren Punkt etwa 203 Fuß über dem Wasser.

Frage 10.
Welcher Ballon ist länger in der Luft? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Frage 11.
Welcher Ballon erreicht schneller seine maximale Höhe? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + bx + c 8.3 Aufgaben

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
WORTSCHATZ
Erklären Sie, wie Sie feststellen können, ob eine quadratische Funktion einen Maximalwert oder einen Minimalwert hat, ohne die Funktion grafisch darzustellen.
Antworten:
Die Gleichung einer quadratischen Funktion hat die Form ax2 + bx + c und wenn a < 0 dann hat die Funktion einen maximalen Wert, wenn a > 0 dann hat die Funktion einen minimalen Wert.

Frage 2.
VERSCHIEDENE WÖRTER, GLEICHE FRAGE
Betrachten Sie die quadratische Funktion f(x) = -2x 2 + 8x + 24. Was ist anders? Finden Sie „beide“ Antworten.

Antworten:
f(x) = -2x 2 + 8x + 24
a = -2 und b = 8
Die Symmetrieachse liegt bei x = -b/2a
x = -8/2(-2)
x = 2
Die andere Gleichung fragt nach dem y-Wert des Scheitelpunkts. Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt, können wir die y-Koordinate finden, indem wir x = 2
y = -2(2) 2 + 8(2) + 24
y = 32

Fortschrittsüberwachung und Modellierung mit Mathematik

Bestimmen Sie in den Übungen 3–6 den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und den y-Achsenabschnitt des Graphen.
Frage 3.

Antworten:
Der Scheitelpunkt ist (2, -1). Die Symmetrieachse ist x = 2.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen ist 1.

Frage 4.

Antworten:
Der Scheitelpunkt ist (-3, 2). Die Symmetrieachse ist x = -3.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen ist -1.

Frage 5.

Antworten:
Der Scheitelpunkt ist (-2, 0). Die Symmetrieachse ist x = -2.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen ist -3.

Frage 6.

Antworten:
Der Scheitelpunkt ist (-1, 1). Die Symmetrieachse ist x = -1.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen ist 5.

Bestimmen Sie in den Aufgaben 7–12 (a) die Symmetrieachse und (b) den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen.
Frage 7.
f(x) = 2x 2 – 4x
Antworten:

Frage 8.
y = 3x 2 + 2x
Antworten:
y = 3x 2 + 2x
Die Symmetrieachse bei a = 3 und b = 2
x = -b/2a
x = -1/3
Die Symmetrieachse ist -1/3
Verwenden Sie nun die Funktion, um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden
y = 3x 2 + 2x
y = 3(-1/3) 2 + 2(-1/3)
y = -1/3
Somit ist der Scheitelpunkt (-1/3, -1/3)

Frage 9.
y = -9x 2 – 18x – 1
Antworten:

Frage 10.
f(x) = -6x 2 + 24x – 20
Antworten:
Gegeben,
f(x) = -6x 2 + 24x – 20
a = -6 und b = 24
x = -b/2a
= -24/2(-6) = 2
Die Symmetrieachse ist x = 2, die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist also 2.
Verwenden Sie die Funktion, um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu ermitteln.
f(x) = -6x 2 + 24x – 20
= -6(2) 2 + 24(2) – 20
= -24 + 48 – 20
= 4
Scheitelpunkt ist (2, 4)

Frage 11.
f(x) = (frac<2><5>)x 2 – 4x + 14
Antworten:

Frage 12.
y = – (frac<3><4>) x 2 + 9x – 18
Antworten:
y = – (frac<3><4>) x 2 + 9x – 18
a = – (frac<3><4>) und b = 9
x = -b/2a
Ersetzen Sie – (frac<3><4>) für a und 9 für b
x = – 9/2(-(frac<3><4>))
x = 6
Somit ist die Symmetrieachse x = 6
y = – (frac<3><4>) (6) 2 + 9(6) – 18 = 9
Der Scheitelpunkt ist (6, 9)

Stellen Sie in den Übungen 13–18 die Funktion grafisch dar. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Frage 13.
f(x) = 2x 2 + 12x + 4
Antworten:

Frage 14.
y = 4x 2 + 24x + 13
Antworten:
a = 4 und b = 24
x = -b/2a
x = – 24/2(4) = -3
Die Symmetrieachse ist x = -3.
Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist y(-3)
y(-3) = 4(-3) 2 + 24(-3) + 13
= 36 – 72 + 13
= -23
Scheitelpunkt ist (-3, -23)
Finden von 2 weiteren Punkten im Diagramm mit y-Achsenabschnitt
y-Achsenabschnitt ist c = 13.
Damit geht die Parabel durch (0, 13).
Mit der Tatsache, dass die Symmetrieachse x = -3 ist, geht die Parabel durch (-6, 13)

Frage 15.
y = -8x 2 – 16x – 9
Antworten:

Frage 16.
f(x) = -5x 2 + 20x – 7
Antworten:
Der Definitionsbereich enthält alle möglichen x-Werte, die die Funktion annehmen kann und somit sind in diesem Fall alle reellen Werte R der Definitionsbereich.
Der Bereich enthält alle möglichen y-Werte, die die Funktion annehmen kann und wir beachten in diesem Fall, dass die Funktion nur Werte kleiner oder gleich 13 annimmt.

Frage 17.
y = (frac<2><3>)x 2 – 6x + 5
Antworten:

Frage 18.
f(x) = – (frac<1><2>)x 2 – 3x – 4
Antworten:
Der Definitionsbereich enthält alle möglichen x-Werte, die die Funktion annehmen kann und somit sind in diesem Fall alle reellen Werte R der Definitionsbereich.
Der Bereich enthält alle möglichen y-Werte, die die Funktion annehmen kann und wir beachten in diesem Fall, dass die Funktion nur Werte kleiner oder gleich 0,5 . annimmt
.

Frage 19.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Finden der Symmetrieachse des Graphen von y = 3x 2 – 12x + 11.

Antworten:

Frage 20.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler bei der grafischen Darstellung der Funktion f(x) = -x 2 + 4x + 3.

Antworten:
Die Formel für die Symmetrieachse ist falsch.
Die Formel sollte -b/2a . sein
Als Ergebnis ist die gesamte Lösung falsch.
Die Symmetrieachse ist
x = -b/2a
= – 4/2(1) = -2
f(-2) = (-2) 2 + 4(-2) + 3 = -1
Der Scheitelpunkt ist also (-2, -1)
Der y-Achsenabschnitt ist 3.
Die Punkte (0, 3) und (-4, 3) liegen also auf dem Graphen.

Bestimmen Sie in den Übungen 21–26, ob die Funktion einen Minimalwert oder einen Maximalwert hat. Dann finde den Wert.
Frage 21.
y = 3x 2 – 18x + 15
Antworten:

Frage 22.
f(x) = -5x 2 + 10x + 7
Antworten:
Da der führende Koeffizient negativ ist, hat die Funktion einen Maximalwert.
f(x) = -5x 2 + 10x + 7
Symmetrieachse:
x = -10/-10 = 1
f(x) = -5(1) 2 + 10(1) + 7
= 12
Maximalwert ist 12.

Frage 23.
f(x) = -4x 2 + 4x – 2
Antworten:

Frage 24.
y = 2x 2 – 10x + 13
Antworten:
Da der führende Koeffizient positiv ist, hat die Funktion einen Minimalwert.
y = 2x 2 – 10x + 13
Symmetrieachse ist x = 5/2
y = 2(5/2) 2 – 10(5/2) + 13 = 1/2
Mindestwert: 1/2

Frage 25.
y = – (frac<1><2>)x 2 – 11x + 6
Antworten:

Frage 26.
f(x) = (frac<1><5>)x 2 – 5x + 27
Antworten:
f(x) = (frac<1><5>)x 2 – 5x + 27
Da a>0 existiert der Minimalwert für die Funktion.
Der Minimalwert wird am Scheitelpunkt der Parabel erreicht.
x = –(frac<2a>)
x = (frac<25><2>)
y0 = f((frac<25><2>))
= (frac<1><5>)((frac<25><2>)) 2 – 5((frac<25><2>)) + 27
= -4.25
Der Mindestwert ist -4,25

Frage 27.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die gezeigte Funktion stellt die Höhe h (in Fuß) eines Feuerwerks t Sekunden nach dem Abfeuern dar. Das Feuerwerk explodiert an seinem höchsten Punkt.

A. Wann explodiert das Feuerwerk?
B. In welcher Höhe explodiert das Feuerwerk?
Antworten:

Frage 28.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Funktion h(t) = -16t 2 + 16t repräsentiert die Höhe (in Fuß) eines Pferdes t Sekunden nachdem es während eines Hindernislaufs springt.
A. Wann erreicht das Pferd seine maximale Höhe?
B. Kann das Pferd einen 3,5 Fuß hohen Zaun überwinden? Wenn ja, um wie viel?
C. Wie lange ist das Pferd in der Luft?
Antworten:
A. h(t) = -16t2 + 16t
t0 = –(frac<16><2(-16)>)
= 1/2
Pferd erreicht seine maximale Höhe bei t = 0,5s

B.
y0 = h(1/2)
= -16(1/2) 2 + 16(1/2)
= -4 + 8
= 4
Da der Maximalwert 4 Fuß beträgt, würde der Zaun um 0,5 Fuß frei werden.
C.
Sei t1 der Zeitpunkt, zu dem das Pferd den Boden berührt.
Dann ist h(t1) = 0 und t1 > 0
h(t1) = 0
-16t1 2 + 16t1 = 0
-16t(t1 – 1) = 0
t1 = 0 oder 1
Da t1 > 0 gilt
t1 = 1s

Frage 29.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Das Kabel zwischen zwei Türmen einer Hängebrücke kann durch die gezeigte Funktion modelliert werden, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Das Kabel befindet sich auf Straßenniveau in der Mitte zwischen den Türmen.

A. Wie weit ist der tiefste Punkt des Kabels von jedem gezeigten Turm entfernt?
B. Wie hoch ist die Straße über dem Wasser?
C. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der gezeigten Funktion.
Antworten:

Frage 30.
ARGUMENTATION
Finden Sie die Symmetrieachse des Graphen der Gleichung y = ax 2 + bx + c, wenn b = 0. Können Sie die Symmetrieachse finden, wenn a = 0 ist? Erklären.
Antworten:
x = –(frac<2a>)
wenn b = 0
x = 0
wenn a = 0
x = undefiniert wegen Division durch 0.
Tatsächlich gibt es keine Symmetrieachse, da die Gleichung linear wird.
y = bx + c

Frage 31.
AUF PRÄZISION SEIN
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist (3, -1). Ein Punkt auf der Parabel ist (6, 8). Finden Sie einen anderen Punkt auf der Parabel. Rechtfertige deine Antwort.
Antworten:

Frage 32.
EIN ARGUMENT MACHEN
Ihr Freund behauptet, dass es möglich ist, eine Parabel durch zwei beliebige Punkte mit unterschiedlichen x-Koordinaten zu zeichnen. Hat dein Freund recht? Erklären.
Antworten:
f(x) = ax2 + bx + c
Eine Parabel, die durch 2 Punkte verläuft, ergibt zwei lineare Gleichungen mit 3 Variablen, die erfüllt werden müssen.
Seien (x0, y0) und (x1, y1) zwei Punkte, durch die eine Parabel verläuft.
ax0 2 + bx0 + c = y0 – c
ax1 2 + b1 + c = y1 – c
Es gäbe also unendlich viele Parabeln, die durch die beiden Punkte gehen.

VERWENDUNG VON WERKZEUGEN Verwenden Sie in den Übungen 33–36 das Minimum- oder Maximum-Feature eines Grafikrechners, um den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen zu approximieren.
Frage 33.
y = 0.5x 2 + (sqrt<2x>) x – 3
Antworten:

Frage 34.
y = -6,2x 2 + 4,8x – 1
Antworten:
y = -6,2x 2 + 4,8x – 1
Maximales Feature ergibt Scheitelpunkt als (0.387, -0.071)

Frage 35.
y = -πx 2 + 3x
Antworten:

Frage 36.
y = 0,25x 2 – 5 2/3 x + 2
Antworten:

Frage 37.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Öffnung eines Flugzeughangars ist ein parabolischer Bogen, der durch die Gleichung y = -0,006x 2 + 1,5x modelliert werden kann, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Die Eröffnung eines zweiten Flugzeughangars ist in der Grafik dargestellt.

A. Welcher Flugzeughangar ist höher?
B. Welcher Flugzeughangar ist breiter?
Antworten:

Frage 38.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Ein Geschäft für Bürobedarf verkauft etwa 80 Grafikrechner pro Monat für jeweils 120 US-Dollar. Für jede Preissenkung um 6 US-Dollar erwartet das Geschäft, acht weitere Taschenrechner zu verkaufen. Der Erlös aus dem Verkauf des Taschenrechners wird durch die Funktion R(n) = (Einheitspreis) (verkaufte Einheiten) oder R(n) = (120 – 6n)(80 + 8n) angegeben, wobei n die Zahl von $6 . ist Preis sinkt.

A. Wie viel sollte das Geschäft verlangen, um den monatlichen Umsatz zu maximieren?
Antworten:
(120 – 6n) stellt den Einheitspreis dar, also müssen wir den Wert von n finden, wobei R das Maximum ist, das sich am Scheitelpunkt befindet.
R(n) = (120 – 6n)(80 + 8n)
R(n) = -48n² + 480n + 9600
x = -b/2a
a = -48 und b = 480
n = – 480/2(-48) = 5
R(n) = (120 – 6(5))(80 + 8(5)) = 10800
Der Scheitelpunkt ist bei (5, 10800)
p = 120 – 6(5)
p = 120 – 30 = 90

B. Unter Verwendung eines anderen Umsatzmodells erwartet das Geschäft, fünf weitere Taschenrechner für jede Preissenkung um 4 US-Dollar zu verkaufen. Welches Umsatzmodell führt zu einem höheren maximalen monatlichen Umsatz? Erklären.
Antworten:
R(n) = (120 – 4n)(80 + 5n)
R(n) = -20n² + 280n + 9600
n = -b/2a
a = -20 und b = 280
n = – 280/2(-20) = 7
R(n) = (120 – 4(7))(80 + 5(7)) = 10580
Der Scheitelpunkt ist bei (7, 10580)
Dies bedeutet, dass der maximale Umsatz 10580 US-Dollar beträgt, was weniger ist als der ursprüngliche Umsatz von 10800 US-Dollar.
Daher führt der ursprüngliche Umsatz zu einem höheren maximalen monatlichen Umsatz.

MATHEMATISCHE VERBINDUNGEN In den Übungen 39 und 40 (a) finden Sie den Wert von x, der die Fläche der Figur maximiert, und (b) finden Sie die maximale Fläche.
Frage 39.

Antworten:

Frage 40

Antworten:
Fläche des Trapezes = (frac<1><2>)(b1 + b2)h
A = (frac<1><2>)(12 – 4x + 12)(x + 2)
A = (frac<1><2>)(24 – 4x)(x + 2)
A = (frac<1><2>)(-4x² + 16x + 48)
A = -2x² + 8x + 24
Die maximale Fläche tritt am Scheitelpunkt auf und die x-Koordinate, die dies ergibt, ist x = –(frac<2a>)
a = -2, b = 8
x = –(frac<8><2(-2)>)
x = 2
A = -2(2)² + 8(2) + 24
A = 32 Quadratfuß

Frage 41.
SCHREIBEN
Vergleiche den Graphen von g(x) = x 2 + 4x + 1 mit dem Graphen von h(x) = x 2 – 4x + 1.
Antworten:

Frage 42.
WIE SIEHST DU ES?
Während eines Bogenschießenwettbewerbs schießt ein Bogenschütze einen Pfeil. Der Pfeil folgt dem gezeigten parabolischen Pfad, wobei x und y in Metern gemessen werden.

A. Wie hoch ist die Anfangshöhe des Pfeils?

Antworten:
Die Anfangshöhe ist der y-Achsenabschnitt mit y = 1,5
B. Schätzen Sie die maximale Höhe des Pfeils.
Antwort: Ungefähr 1,6 Meter
C. Wie weit fährt der Pfeil?
Antworten:
Finden Sie die x-Koordinate mit y = 0, die bei x = 90 . liegt
x = 90 Meter

Frage 43.
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch (3, 2), (4, 7) und (9, 2). Öffnet sich die Grafik nach oben oder unten? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Frage 44.
ARGUMENTATION
Was bedeutet f(-(frac<2a>)) darstellen? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:
Da x = –(frac<2a>) stellt die x-Koordinate des Scheitelpunkts dar, der f(-(frac<2a>)) ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.

Frage 45.
PROBLEME LÖSEN
Schreiben Sie eine Funktion der Form y = ax 2 + bx, deren Graph die Punkte (1, 6) und (3, 6) enthält.
Antworten:

Frage 46.
KRITISCHES DENKEN
Parabeln A und B enthalten die gezeigten Punkte. Identifizieren Sie die Eigenschaften jeder Parabel, wenn möglich. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Parabel A kann sich wie abgebildet nach oben oder unten öffnen, da es nur 2 Punkte gibt.

Parabel B kann sich nur öffnen und der Scheitelpunkt befindet sich aufgrund der Symmetrie bei (3, -4):

Frage 47.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Bei einem Basketballspiel schleudert eine Luftkanone T-Shirts in die Menge. Die Funktion y = – (frac<1><8>)x 2 + 4x repräsentiert den Weg eines T-Shirts. Die Funktion 3y = 2x – 14 repräsentiert die Höhe der Tribünen. In beiden Funktionen steht y für die vertikale Höhe (in Fuß) und x für die horizontale Entfernung (in Fuß). Auf welcher Höhe landet das T-Shirt auf der Tribüne?
Antworten:

Frage 48.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Eines von zwei klassischen Problemen in der Infinitesimalrechnung ist das Auffinden der Steigung einer Tangente an eine Kurve. Ein Beispiel für eine Tangente, die die Parabel nur an einem Punkt berührt, wird gezeigt.

Nähern Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von y = x 2 am Punkt (1, 1). Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:
Wenn wir die Gitterlinien als Richtlinie verwenden, können wir einen genauen Punkt finden, indem wir 1 Einheit nach oben und 1 Einheit nach rechts gehen, was bedeutet, dass die Steigung m = Anstieg / Lauf = 1
m = 1

Frage 49.
PROBLEME LÖSEN
Die Besitzer eines Hundeheims möchten seitlich an ihrem Gebäude einen rechteckigen Spielbereich einschließen. Sie haben k Meter Fechten. Wie groß ist die maximale Fläche des Außengehäuses in k? (Hinweis: Finden Sie die y-Koordinate des Scheitelpunkts des Graphen der Flächenfunktion.)

Antworten:

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Beschreiben Sie die Transformation(en) aus dem Graphen von f(x) = |x| zum Graphen der gegebenen Funktion.
Frage 50.
q(x) = |x + 6|
Antworten:
Der Graph wird um 6 nach links verschoben.

Frage 51.
h(x) = -0,5|x|
Antworten:

Frage 52.
g(x) = |x – 2| + 5
Antworten:
Der Graph wird um 2 nach rechts und um 5 nach oben verschoben.

Frage 53.
p(x) = 3|x + 1|
Antworten:

Quadratische Funktionen grafisch darstellen Lernfähigkeiten: Visuell lernen

8.1– 8.3 Was haben Sie gelernt?

Kernvokabular

Kernkonzepte
Abschnitt 8.1
Eigenschaften quadratischer Funktionen, p. 420
Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 Wenn a > 0, p. 421
Grafische Darstellung von f (x) = ax 2 Wenn a < 0, p. 421

Abschnitt 8.2
Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + c, p. 426

Abschnitt 8.3
Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + bx + c, p. 432
Maximal- und Minimalwerte, p. 433

Mathematische Praktiken

Frage 1.
Erklären Sie Ihren Plan zur Lösung von Aufgabe 18 auf Seite 423.
Antworten:

Frage 2.
Wie hilft Ihnen die grafische Darstellung einer Funktion in Übung 27 auf Seite 429 bei der Beantwortung der Fragen?
Antworten:

Frage 3.
Welche Definition und Eigenschaften des Graphen einer quadratischen Funktion haben Sie verwendet, um Aufgabe 44 auf Seite 438 zu beantworten?
Antworten:

Lernfähigkeiten: Visuell lernen

  • Zeichne ein Bild einer Wortaufgabe, bevor du ein verbalen Modell schreibst. Sie müssen kein Künstler sein.
  • Wenn Sie eine Bewertungskarte für eine Textaufgabe erstellen, fügen Sie ein Bild hinzu. Dies wird Ihnen helfen, sich an die Informationen zu erinnern, während Sie einen Test machen.
  • Stellen Sie sicher, dass Ihre Notizen visuell sauber sind, damit Sie sie leicht abrufen können

Quadratische Funktionen grafisch darstellen 8.1 – 8.3 Quiz

Identifizieren Sie die Eigenschaften der quadratischen Funktion und ihres Graphen.
Frage 1.

Antworten:
Die Parabel öffnet sich nach unten mit folgenden Eigenschaften
Scheitelpunkt ist (1, 4)
Symmetrieachse ist x = 1
Domäne ist (-∞, +∞)
Bereich: (-∞, 4]

Frage 2.

Antworten:
Die Parabel öffnet sich nach unten mit folgenden Eigenschaften
Scheitelpunkt ist (-2, 5)
Symmetrieachse ist x = -2
Domäne ist (-∞, +∞)
Bereich: [5, -∞)

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 3.
h(x) = -x 2
Antworten:

Der Graph der gegebenen Funktionen beinhaltet eine Spiegelung über die x-Achse der Elternfunktion f(x) = x 2

Frage 4.
p(x) = 2x 2 + 2
Antworten:

Frage 5.
r(x) = 4x 2 – 16
Antworten:

Frage 6.
b(x) = 8x 2
Antworten:

Frage 7.
g(x) = (frac<2><5>)x 2
Antworten:

Frage 8.
m(x) = – (frac<1><2>)x 2 – 4
Antworten:

Die vertikale Kompression um den Faktor 1/2
eine Spiegelung um die x-Achse
eine Verschiebung um 4 Einheiten nach unten

Beschreiben Sie die Transformation vom Graphen von f in den Graphen von g. Zeichnen Sie dann f und g in derselben Koordinatenebene. Schreiben Sie eine Gleichung, die g in Bezug auf x darstellt.
Frage 9.
f(x) = 2x 2 + 1 g(x) = f(x) + 2
Antworten:
Die Funktion g(x) = f(x) + 2 beinhaltet eine Addition von 2 zu f(x), daher beinhaltet g(x) eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben des Graphen von f(x).

g(x) = f(x) + 2
g(x) = 2x 2 + 1 + 2
g(x) = 2x 2 + 3

Frage 10.
f(x) = -3x 2 + 12 g(x) = f(x) – 9
Antworten:
Die Funktion g(x) = f(x) – 9 beinhaltet die Subtraktion von 9 zu f(x), daher beinhaltet g(x) eine Verschiebung um 9 Einheiten nach unten des Graphen von f(x)

Frage 11.
f(x) = (frac<1><2>)x 2 – 2 g(x) = f(x) – 6
Antworten:
Die Funktion g(x) = f(x) – 6 beinhaltet die Subtraktion von 6 zu f(x), daher beinhaltet g(x) eine Verschiebung um 6 Einheiten nach unten des Graphen von f(x)

g(x) = f(x) – 6
g(x) = (frac<1><2>)x 2 – 2-6 = (frac<1><2>)x 2 – 8

Frage 12.
f(x) = 5x 2 – 3 g(x) = f(x) + 1
Antworten:
Die Funktion g(x) = f(x) + 1 beinhaltet die Addition von 1 zu f(x), daher beinhaltet g(x) eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben des Graphen von f(x)

g(x) = f(x) + 1
g(x) = 5x 2 – 3 + 1
g(x) = 5x 2 – 2

Zeichnen Sie die Funktion. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Frage 13.
f(x) = -4x 2 – 4x + 7
Antworten:
x = -b/2a
= -(-4)/2(-4) = -1/2
f(-1/2) = -4(-1/2) 2 – 4(-1/2) + 7 = 8
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (-1/2, 8)

Die Domäne ist die Menge der reellen Zahlen.
Der Bereich ist (-∞, 8]

Frage 14.
f(x) = 2x 2 + 12x + 5
Antworten:
x = -b/2a
= -12/2(5) = -3
f(-3) = 2. (-3) 2 + 12(-3) + 5 = -13
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (-3, -13)

Die Domäne ist die Menge der reellen Zahlen.
Der Bereich ist [-13, +∞)

Frage 15.
y = x 2 + 4 x – 5
Antworten:
x = -b/2a
= -4/2(1) = -2
f(-2) = (-2) 2 + 4(-2) – 5 = -9
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (-2, -9)

Die Domäne ist die Menge der reellen Zahlen.
Der Bereich ist [-9, +∞)

Frage 16.
y = -3x 2 + 6x + 9
Antworten:
y = -3x 2 + 6x + 9
x = -b/2a
= -6/2(-3) = 1
f(1) = -3(1) 2 + 6(1) + 9 = 12
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (1, 12)

Die Domäne ist die Menge der reellen Zahlen.
Der Bereich ist (-∞, 12]

Sagen Sie, ob die Funktion einen Minimalwert oder einen Maximalwert hat. Dann finde den Wert.
Frage 17.
f(x) = 5x 2 + 10x – 3
Antworten:
f(x) = 5x 2 + 10x – 3
x = -10/10 = -1
f(x) = 5(-1) 2 + 10(-1) – 3
= -8
Mindestwert: -8

Frage 18.
f(x) = – (frac<1><2>)x 2 + 2x + 16
Antworten:
Da der führende Koeffizient negativ ist, enthält die Parabel einen Maximalwert
f(x) = – (frac<1><2>)x 2 + 2x + 16
x = -2/-1 = 2
f(x) = – (frac<1><2>)(2) 2 + 2(2) + 16 = 18
Maximalwert: 18

Frage 19.
y = -x2 + 4x + 12
Antworten:
y = -x2 + 4x + 12
Da a < 0 ist, existiert ein Maximalwert.
Der Maximalwert wird am Scheitelpunkt erreicht.
x0 = -b/2a
= – 4/2(-1)
= 2
y0 = y(2)
= -(2) 2 + 4(2) + 12
= -4 + 8 + 12
= 16

Frage 20.
y = 2x 2 + 8x + 3
Antworten:
y = 2x 2 + 8x + 3
x = -8/4
x = 2
y = 2(-2) 2 + 8(-2) + 3
y = -5
Mindestwert ist -5

Frage 21.
Die Entfernung y (in Fuß), die eine Kokosnuss nach t Sekunden fällt, ist durch die Funktion y = 16t 2 gegeben. Verwenden Sie eine Grafik, um zu bestimmen, wie viele Sekunden es dauert, bis die Kokosnuss 64 Fuß fällt.
Antworten:
y = 16t 2
16t2 = 64
t2 = 4
t = 2

Frage 22.
Die Funktion y = -16t 2 + 25 repräsentiert die Höhe y (in Fuß) eines Tannenzapfens t Sekunden nach dem Fallen von einem Baum.
A. Nach wie vielen Sekunden trifft der Tannenzapfen auf den Boden?
Antworten:
Der Tannenzapfen trifft den Boden bei y = 0
0 = -16t2 + 25
16t2 = 25
t2 = 25/16
t = 5/4 = 1,25 Sekunden

B. Ein zweiter Tannenzapfen fällt aus einer Höhe von 36 Fuß. Welcher Tannenzapfen trifft am kürzesten auf den Boden? Erklären.
Antworten:
Die Konstante 25 steht für die Anfangshöhe von 25 Fuß. Daher trifft der erste Tannenzapfen in kürzester Zeit auf den Boden.

Frage 23.
Die gezeigte Funktion modelliert die Höhe (in Fuß) eines Softballs t Sekunden nachdem er in einer Unterhandbewegung geworfen wurde. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich. Finden Sie die maximale Höhe des Softballs.

Antworten:
h(t) = = -16t 2 + 32t + 2
x0 = -b/2a
= – 32/2(-16)
= 1
y0 = h(x0)
= -16(1) 2 + 32(1) + 2
= -16+ 32 + 2
= 18
Für das gegebene Problem gilt die Domäne von dem Punkt, an dem der Softball geworfen wird, bis er den Boden berührt.
h(t) = 0
-16t 2 + 32t + 2 = 0
8t 2 – 16t – 1 = 0
t = (4 + 3√2)/4
Somit ist die Domäne [0, (4 + 3√2)/4]
Am Scheitelpunkt erreicht der Softball die maximale Höhe. Somit beträgt die maximale Höhe 18 Fuß und nach Erreichen dieser Höhe trifft der Softball auf den Boden.
Somit ist der Bereich [0, 18]
Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen R.
Die maximale Höhe beträgt 18 Fuß.
Somit ist der Bereich (-∞, 18]

Lektion 8.4 Grafische Darstellung von f(x) = a(x – h) 2 + k

Wesentliche Frage Wie kann man den Graphen von f(x) = a(x – h) 2 beschreiben?

ERKUNDUNG 1

Graphische Darstellung von y = a(x − h) 2 Wenn h > 0
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen in derselben Koordinatenebene. Wie wirkt sich der Wert von h auf den Graphen von y = a(x – h) 2 aus?

ERKUNDUNG 2

Graphische Darstellung von y = a(x − h) 2 Wenn h < 0
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen in derselben Koordinatenebene. Wie wirkt sich der Wert von h auf den Graphen von y = a(x – h) 2 aus?

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 3.
Wie kann man den Graphen von f(x) = a(x – h) 2 beschreiben?
Antworten:

Frage 4.
Beschreiben Sie ohne grafische Darstellung den Graphen jeder Funktion. Verwenden Sie einen Grafikrechner, um Ihre Antwort zu überprüfen.

A. y = (x – 3) 2
B. y = (x + 3) 2
C. y = -(x – 3) 2
Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Bestimmen Sie, ob die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.
Frage 1.
f(x) = 5x
Antworten:
Gegebene Funktion
f(x) = 5x
f(-x) = 5(-x)
f(-x) = -5x
Damit ist die Funktion ungerade

Frage 2.
g(x) = 2x
Antworten:
Gegebene Funktion
g(x) = 2x
g(-x) = 2(-x) = -2x
Damit ist die Funktion ungerade

Frage 3.
h(x) = 2x 2 + 3
Antworten:
Gegebene Funktion
h(x) = 2x 2 + 3
h(-x) = 2(-x) 2 + 3
= 2x 2 + 3
Damit ist die Funktion gerade.

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 4.
g(x) = 2(x + 5) 2
Antworten:

Frage 5.
h(x) = -(x – 2) 2
Antworten:

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 6.
g(x) = 3(x – 1) 2 + 6
Antworten:

Frage 7.
h(x) = (frac<1><2>)(x + 4) 2 – 2
Antworten:

Frage 8.
Betrachten Sie die Funktion g in Beispiel 3. Graph f(x) = g(x) – 3
Antworten:

Frage 9.
WAS IST, WENN?
Der Scheitelpunkt ist (3, 6). Schreiben und zeichnen Sie eine quadratische Funktion, die den Pfad modelliert.
Antworten:

Grafische Darstellung von f(x) = a(x – h) 2 + k 8.4 Aufgaben

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
WORTSCHATZ
Vergleichen Sie den Graphen einer geraden Funktion mit dem Graphen einer ungeraden Funktion.
Antworten:
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Frage 2.
OFFENES ENDE
Schreiben Sie eine quadratische Funktion, deren Graph eine Ecke von (1, 2) hat.
Antworten:
f(x) = a(x – 1) 2 + 2
Gleichung muss einen Scheitelpunkt bei (1, 2) haben

Frage 3.
SCHREIBEN
Beschreiben Sie die Transformation vom Graphen von f(x) = ax 2 in den Graphen von g(x) = a(x – h) 2 + k.
Antworten:
Der Graph von g ist eine horizontale Translation h Einheiten rechts, wenn h positiv ist oder |h| Einheiten übrig, wenn h negativ ist und eine vertikale Verschiebung k Einheiten nach oben, wenn k positiv ist oder |k| Einheiten nach unten, wenn k negativ des Graphen von f ist.

Frage 4.
WELCHER GEHÖRT NICHT?
Welche Funktion gehört nicht zu den anderen drei? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
f(x) = a(x – 2) 2 + 4 gehört nicht dazu, da es der einzige Graph ist, der keine vertikale Dehnung oder Schrumpfung aufweist.

Fortschrittsüberwachung und Modellierung mit Mathematik

Bestimmen Sie in den Übungen 5–12, ob die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.
Frage 5.
f(x) = 4x + 3
Antworten:

Frage 6.
g(x) = 3x 2
Antworten:
Gegebene Funktion
g(x) = 3x 2
g(-x) = 3(-x) 2
g(-x) = 3x 2
Auch

Frage 7.
h(x) = 5x + 2
Antworten:

Frage 8.
m(x) = 2x 2 – 7x
Antworten:
m(x) = 2x 2 – 7x
m(-x) = 2(-x) 2 – 7(-x)
m(-x) = 2x 2 + 7x
Weder

Frage 9.
p(x) = -x 2 + 8
Antworten:

Frage 11.
n(x) = 2x 2 – 7x + 3
Antworten:

Frage 12.
r(x) = -6x 2 + 5
Antworten:
Um zu bestimmen, ob eine Funktion ungerade oder gerade ist, sollten Sie x durch -x ersetzen.
1. Wenn r(-x) = -r(x) ist die Funktion ungerade
2. Wenn r(-x) = r(x) ist die Funktion gerade
r(x) = -6x 2 + 5
r(-x) = -6(-x) 2 + 5
r(-x) = -6x 2 + 5
Also r(-x) = r(x)
Auch

Bestimmen Sie in den Übungen 13–18, ob die vom Graphen dargestellte Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.
Frage 13.

Antworten:
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Die Funktion ist also gerade.

Frage 14.

Antwort: Der Graph ist weder gerade noch ungerade, da er weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch ist.

Frage 15.

Antworten:
Der Graph ist weder gerade noch ungerade, da er nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist.

Frage 16.

Antwort: Der Graph ist gerade, weil er symmetrisch zur y-Achse ist.

Frage 17.

Antworten:
Der Graph ist symmetrisch zum Ursprung. Die Funktion ist also ungerade.

Frage 18.

Antworten:
Der Graph ist weder gerade noch ungerade, da er nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist.

Bestimmen Sie in den Aufgaben 19–22 den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse des Funktionsgraphen.
Frage 19.
f(x) = 3(x + 1) 2
Antworten:

Frage 20.
f(x) = (frac<1><4>)(x – 6) 2
Antworten:
f(x) = (frac<1><4>)(x – 6) 2
Finden Sie die Symmetrieachse und den Scheitelpunkt:
Da h = 6, ist die Symmetrieachse x = 6 und der Scheitel ist (6, 0)

Frage 21.
y = – (frac<1><8>)(x – 4) 2
Antworten:

Frage 22.
y = -5(x + 9) 2
Antworten:
y = -5(x + 9) 2
Finden Sie die Symmetrieachse und den Scheitelpunkt:
Da h = -9, ist die Symmetrieachse x = -9 und der Scheitel ist (-9, 0)

Zeichnen Sie in den Übungen 23–28 die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 23.
g(x) = 2(x + 3) 2
Antworten:

Frage 24.
p(x) = 3(x – 1) 2
Antworten:
Gegebene Funktion,
p(x) = 3(x – 1) 2
Symmetrieachse: x = 1
Scheitelpunkt: (1, 0)
Punkt 1: (0, 3)
Punkt 2: (2, 3)

Der Graph ist eine Verschiebung nach rechts um 1 Einheit und eine vertikale Dehnung um den Faktor 3 der Elternfunktion.

Frage 25.
r(x) = (frac<1><4>)(x + 10) 2
Antworten:

Frage 26.
n(x) = (frac<1><4>)(x – 6) 2
Antworten:
Gegebene Funktion,
n(x) = (frac<1><4>)(x – 6) 2
Symmetrieachse: x = 6
Scheitelpunkt: (6, 0)
Punkt 1: (3, 3)
Punkt 2: (9, 3)

Der Graph ist eine Verschiebung nach rechts um 6 Einheiten und eine vertikale Schrumpfung um den Faktor 1/3 der Elternfunktion.

Frage 27.
d(x) = (frac<1><5>)(x – 5) 2
Antworten:

Frage 28.
q(x) = 6(x ​​+ 2) 2
Antworten:
Gegebene Funktion,
q(x) = 6(x ​​+ 2) 2
Symmetrieachse: x = -2
Scheitelpunkt: (-2, 0)
Punkt 1: (-3, 6)
Punkt 2: (-1, 6)

Der Graph ist eine Verschiebung nach links um 2 Einheiten und eine vertikale Dehnung um den Faktor 6 der Elternfunktion.

Frage 29.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler bei der Bestimmung, ob die Funktion f(x) = x 2 + 3 gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Antworten:

Frage 30.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Finden des Scheitelpunkts des Funktionsgraphen.

Antworten:
Da h = -8, wird die Elternfunktion um 8 Einheiten nach links verschoben, der Scheitelpunkt ist also (-8, 0) nicht (0, -8)

Bestimmen Sie in den Aufgaben 31–34 den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse des Funktionsgraphen.
Frage 31.
y = -6(x + 4) 2 – 3
Antworten:

Frage 32.
f(x) = 3(x – 3) 2 + 6
Antworten:
Gegeben,
f(x) = 3(x – 3) 2 + 6
Scheitelpunkt: (3, 6)
Symmetrieachse: x = 3

Frage 33.
f(x) = -4(x + 3) 2 + 1
Antworten:

Frage 34.
y = -(x – 6) 2 – 5
Antworten:
y = -(x – 6) 2 – 5
Scheitelpunkt: (6, -5)
Symmetrieachse: x = 6

Vergleichen Sie in den Übungen 35–38 die Funktion mit ihrem Graphen.
Frage 35.
y = -(x + 1) 2 – 3
Antworten:

Frage 36.
y = – (frac<1><2>)(x – 1) 2 + 3
Antworten:
y = – (frac<1><2>)(x – 1) 2 + 3
Diese Gleichung gehört zu Graph A, weil es der einzige Graph mit einem Scheitelpunkt von (1, 3) und einer Spiegelung an der x-Achse ist.

Frage 37.
y = (frac<1><3>)(x – 1) 2 + 3
Antworten:

Frage 38.
y = 2(x + 1) 2 – 3

Antworten:
Gegeben,
y = 2(x + 1) 2 – 3
Diese Gleichung gehört zu Graph B, weil es der einzige Graph mit einem Scheitelpunkt von (-1, -3) und einer vertikalen Dehnung um den Faktor 2 ist.

Zeichnen Sie in den Übungen 39–44 die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 39.
h(x) = (x – 2) 2 + 4
Antworten:

Frage 40.
g(x) = (x + 1) 2 – 7
Antworten:
g(x) = (x + 1) 2 – 7
Symmetrieachse: x = -1
Scheitelpunkt: (-1, -7)
Punkt 1: (0, -6)
Punkt 2: (-2, -6)

Frage 41.
r(x) = 4(x – 1) 2 – 5
Antworten:

Frage 42.
n(x) = -(x + 4) 2 + 2
Antworten:
Gegeben,
n(x) = -(x + 4) 2 + 2
Symmetrieachse: x = -4
Scheitelpunkt: (-4, 2)
Punkt 1: (-5, 1)
Punkt 2: (-3, 1)

Frage 43.
g(x) = – (frac<1><3>)(x + 3) 2 – 2
Antworten:

Frage 44.
r(x) = (frac<1><2>)(x – 2) 2 – 4
Antworten:
r(x) = (frac<1><2>)(x – 2) 2 – 4
Symmetrieachse: x = 2
Scheitelpunkt: (2, -4)
Punkt 1: (0, -2)
Punkt 2: (4, -2)

In den Aufgaben 45–48 sei f(x) = (x − 2) 2 + 1. Verbinde die Funktion mit ihrem Graphen.
Frage 45.
g(x) = f(x – 1)
Antworten:

Frage 46.
r(x) = f(x + 2)
Antworten:
Gegeben,
f(x) = (x – 2)² + 1
r(x) = f(x + 2)
r(x) umschreiben:
r(x) = x² + 1
Mit einer Grafik abgleichen:
Die Funktion r(x) gehört zu Graph C, weil es der einzige Graph mit einem Scheitelpunkt bei (0, 1) ist

Frage 47.
h(x) = f(x) + 2
Antworten:

Antworten:
f(x) = (x – 2)² + 1
p(x) = f(x) – 3
p(x) umschreiben:
p(x) = (x – 2)² – 2
Mit einer Grafik abgleichen:
Die Funktion p(x) gehört zu Graph D, weil es der einzige Graph mit einer Ecke bei (2, -2) ist

In den Übungen 49–54, Graph g.
Frage 49.
f(x) = 2(x – 1) 2 + 1 g(x) = f(x + 3)
Antworten:

Frage 50.
f(x) = -(x + 1) 2 + 2 g(x) = (frac<1><2>)f(x)
Antworten:
g(x) = (frac<1><2>)f(x)
(frac<1><2>)(-(x + 1) 2 + 2) = –(frac<1><2>)(x + 1) 2 + 1.
In gegebener Funktion g(x) = –(frac<1><2>)(x + 1) 2 + 1
A. eine vertikale Kontraktion um den Faktor (frac<1><2>)
B. eine vertikale Verschiebung um 1 Einheit nach unten
C. Spiegelung um die x-Achse
D. horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach rechts von der Elternfunktion y = ax 2

Frage 51.
f(x) = -3(x + 5) 2 – 6 g(x) = 2f(x)
Antworten:

Frage 52.
f(x) = 5(x – 3) 2 – 1 g(x) = (x) – 6
Antworten:
Gegeben,
f(x) = 5(x – 3) 2 – 1
g(x) = f(x) – 6
Der Graph von g ist eine vertikale Translation um 6 Einheiten nach unten vom Graphen von f.

Frage 53.
f(x) = (x + 3) 2 + 5 g(x) = f(x – 4)
Antworten:

Frage 54.
f(x) = -2(x – 4) 2 – 8 g(x) = -f(x)
Antworten:
f(x) = -2(x – 4) 2 – 8
g(x) = -f(x)

Frage 55.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Höhe (in Metern) eines Vogels, der taucht, um einen Fisch zu fangen, wird durch h(t) = 5(t – 2,5) 2 dargestellt, wobei t die Anzahl der Sekunden nach Beginn des Tauchgangs ist.

A. Grafik h.
B. Der Tauchgang eines anderen Vogels wird durch r(t) = 2h(t) dargestellt. Grafik r.
C. Vergleichen Sie die Grafiken. Welcher Vogel beginnt seinen Tauchgang aus größerer Höhe? Erklären.
Antworten:

Frage 56.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Ein Kicker schlägt einen Fußball. Die Höhe (in Yards) des Fußballs wird durch f(x) = – (frac<1><9>)(x – 30) 2 + 25 dargestellt, wobei x der horizontale Abstand ( in Yards) von der Torlinie des Kickers.
A. Grafik f. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Antworten:
f(x) = – (frac<1><9>)(x – 30) 2 + 25
Bereich: 15 ≤ x ≤ 45
Bereich: 0 ≤ f(x) ≤ 25

B. Beim nächsten Ballbesitz schlägt der Kicker den Fußball. Die Höhe des Fußballs wird durch g(x) = f (x + 5) dargestellt. Grafik g. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Antworten:
g(x) = f(x + 5)
Domäne: 10 ≤ x ≤ 40
Bereich: 0 ≤ f(x) ≤ 25

C. Vergleichen Sie die Grafiken. Bei welchem ​​Ballbesitz stochert der Kicker näher an seine Torlinie? Erklären.
Antworten:
Der Graph von g(x) ist eine Verschiebung von 5 Einheiten nach links von f(x). Der Kicker tritt beim zweiten Mal näher an seine Torlinie.

Schreiben Sie in den Aufgaben 57–62 eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, deren Graph den gegebenen Scheitelpunkt hat und durch den gegebenen Punkt geht.
Frage 57.
Scheitelpunkt: (1, 2) geht durch (3, 10)
Antworten:

Frage 58.
Scheitelpunkt: (-3, 5) geht durch (0, -14)
Antworten:
Scheitelpunktform ist
f(x) = a(x – h) 2 + k
f(x) = a(x + 3) 2 + 5
-14 = a(0 + 3) 2 + 5
-14 = a(3) 2 + 5
9a + 5 = -14
9a = -14 – 5
9a = -19
a = -19/9
f(x) = -19/9(x + 3) 2 + 5

Frage 59.
Scheitelpunkt: (-2, -4) geht durch (-1, -6)
Antworten:

Frage 60.
Scheitelpunkt: (1, 8) geht durch (3, 12)
Antworten:
Scheitelpunktform ist
f(x) = a(x – h) 2 + k
f(x) = a(x – 1) 2 + 8
12 = a(3 – 1) 2 + 8
12 = a(2) 2 + 8
4a + 8 = 12
4a = 12 – 8
4a = 4
a = 1
f(x) = 1(x – 1) 2 + 8

Frage 61.
Scheitelpunkt: (5, -2) geht durch (7, 0)
Antworten:

Frage 62.
Scheitelpunkt: (-5, -1) geht durch (-2, 2)
Antworten:
Scheitelpunktform ist
f(x) = a(x – h) 2 + k
f(x) = a(x + 5) 2 – 1
2 = a(-2 + 5) 2 – 1
2 = a(3) 2 – 1
9a – 1 = 2
9a = 3
a = 1/3
f(x) = 1/3(x + 5) 2 – 1

Frage 63.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Ein Teil einer Achterbahnbahn hat die Form einer Parabel. Schreiben und zeichnen Sie eine quadratische Funktion, die diesen Teil der Achterbahn mit einer maximalen Höhe von 90 Fuß modelliert, dargestellt durch einen Scheitelpunkt von (25, 90), der durch den Punkt (50, 0) verläuft.

Antworten:

Frage 64.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Eine Fackel wird von einem Boot aus gestartet und bewegt sich in einer parabolischen Bahn, bis sie das Wasser erreicht. Schreiben und zeichnen Sie eine quadratische Funktion, die den Weg des Areals mit einer maximalen Höhe von 300 Metern modelliert, dargestellt durch einen Scheitelpunkt von (59, 300), der am Punkt (119, 0) im Wasser landet.
Antworten:
f(x) = a(x – h) 2 + k
h = 59 und k = 300
f(x) = a(x – 59) 2 + 300
Da (119, 0) auf der Funktion liegt, erhalten wir die Werte in Funktion
0 = a(119 – 59) 2 + 300
0 = 3600a + 300
a = -300/3600 = -1/12
f(x) = -1/12(x – 59) 2 + 300
Schritt 1: Zeichnen Sie die Symmetrieachse: h = 59, Symmetrieachse ist x = 59.
Schritt 2: Zeichnen Sie den Scheitelpunkt: Scheitelpunkt ist (h, k) = (59, 300)
Schritt 3: Zeichnen Sie 2 weitere Koordinaten. Wir erhalten, dass (119, 0) auf dem Graphen liegt.
Wenn wir die y-Koordinate für x = 29 finden, erhalten wir, dass (29, 225) auf dem Graphen liegt.
Schritt 4: Zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte.

Schreiben Sie in den Übungen 65–68 die quadratische Funktion in Scheitelpunktform um.
Frage 65.
y = 2x) 2 – 8x + 4
Antworten:

Frage 66.
y = 3x 2 + 6x – 1
Antworten:
Gegeben,
y = 3x 2 + 6x – 1
x = -b/2a
x = -6/6
x = -1
y = 3(-1) 2 + 6(-1) – 1
y = 3 – 6 – 1
y = -4
Scheitelpunkt: (-1, -4)
f(x) = a(x – h) 2 + k
y = a(x + 1) 2 – 4
-1 = a(0 + 1) 2 – 4
-1 = ein – 4
a = -1 + 4
a = 3
f(x) = 3(x + 1) 2 – 4

Frage 67.
f(x) = -5x) 2 + 10x + 36
Antworten:

Frage 68.
f(x) = -x 2 + 4x + 2
Antworten:
Gegeben,
f(x) = -x 2 + 4x + 2
x = -b/2a
x = -4/2(-1)
x = -2
y = -(-2) 2 – 4(-2) + 2
y = -4+8+2
y = 6
Scheitelpunkt: (-2, 6)
f(x) = a(x – h) 2 + k
y = a(x + 2) 2 + k
2 = a(0 + 2) 2 + 6
2 = 4a + 6
4a + 6 = 2
a = -1
f(x) = -(x + 2) 2 + 6

Frage 69.
ARGUMENTATION
Kann eine Funktion symmetrisch zur x-Achse sein? Erklären.
Antworten:
Eine Funktion kann nicht um die x-Achse symmetrisch sein, da sie den vertikalen Linientest nicht bestehen würde.

Frage 70.
WIE SIEHST DU ES?
Der Graph einer quadratischen Funktion wird gezeigt. Bestimmen Sie, welche Symbole verwendet werden sollen, um die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion zu vervollständigen. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Da der Graph einen Scheitelpunkt von (-2, -3) hat, muss die Gleichung y = a(x + 2) 2 – 3 . lauten
da h = -2 und k = -3

Beschreiben Sie in den Aufgaben 71–74 die Transformation vom Graphen von f in den Graphen von h. Schreiben Sie eine Gleichung, die h in Bezug auf x darstellt.
Frage 71.
f(x) = -(x + 1)) 2 – 2
h(x) = f(x) + 4
Antworten:

Frage 72.
f(x) = 2(x – 1)) 2 + 1
h(x) = f(x – 5)
Antworten:
gegeben,
f(x) = 2(x – 1)) 2 + 1
h(x) = f(x – 5)
Der Graph von h(x) ist eine horizontale Verschiebung nach rechts 5 Einheiten des Graphen von f(x)
y = 2(x – 6) 2 + 1

Frage 73.
f(x) = 4(x – 2)) 2 + 3
h(x) = 2f(x)
Antworten:

Frage 74.
f(x) = -(x + 5)) 2 – 6
h(x) = (frac<1><3>)f(x)
Antworten:
Gegeben,
f(x) = -(x + 5)) 2 – 6
h(x) = (frac<1><3>)f(x)
Der Graph von h(x) ist eine vertikale Schrumpfung um den Faktor 1/3 des Graphen von f(x)
y = –(frac<1><3>)(x + 5) 2 – 2

Frage 75.
ARGUMENTATION
Der Graph von y = x 2 wird 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten übersetzt. Schreiben Sie eine Gleichung für die Funktion in Eckpunktform und in Standardform. Beschreiben Sie die Vorteile des Schreibens der Funktion in jedem Formular.
Antworten:

Frage 76.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antworten.
A. Jedes konstante Vielfache einer geraden Funktion ist gerade.
Antworten:
Sei f(x) eine gerade Funktion.
Sei g(x) = af(x)
g(-x) = af(-x)
Da f eine gerade Funktion ist, erhalten wir
g(-x) = af(x)
= g(x)
Somit ist g eine gerade Funktion.
B. Jedes konstante Vielfache einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Antworten:
Sei f(x) eine ungerade Funktion.
Sei g(x) = af(x)
g(-x) = af(-x)
Da f eine gerade Funktion ist, erhalten wir
g(-x) = a(-f(x))
= -g(x)
g ist also eine ungerade Funktion.
C. Die Summe oder Differenz zweier gerader Funktionen ist gerade.
Antworten:
Sei f, h eine gerade Funktion.
Sei g(x) = f(x) + ah(x)
g(-x) = f(-x) + ah(-x)
Da f, h gerade Funktionen sind.
Sei g(x) = f(x) + ah(x)
g(-x) = f(-x) + ah(-x)
g(x) = f(x) + ah(x) = g(x)
Also ist g eine gerade Funktion

D. Die Summe oder Differenz zweier ungerader Funktionen ist ungerade.
Antworten:
Sei f, h eine ungerade Funktion.
Sei g(x) = f(x) + ah(x)
g(-x) = f(-x) + ah(-x)
Da f, h gerade Funktionen sind.
Sei g(x) = f(x) + ah(x)
g(-x) = -f(x) + a(-h(x)) = -g(x)
Also ist g eine ungerade Funktion

e. Die Summe oder Differenz einer geraden Funktion und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Antworten:
f(x) = x²
h(x) = x
g(x) = f(x) + h(x)
f(1) = h(1) = 1,
g(1) = 2 ≠ -g(-1) = 0
Also ist g keine ungerade Funktion

Frage 77.
VERGLEICH DER FUNKTIONEN
Ein Querschnitt eines Vogelbades kann durch y = (frac<1><81>)(x – 18) 2 – 4 modelliert werden, wobei x und y in Zoll gemessen werden. Die Grafik zeigt den Querschnitt eines anderen Vogelbades.

A. Welches Vogelbad ist tiefer? Erklären.
B. Welches Vogelbad ist breiter? Erklären.
Antworten:

Frage 78.
ARGUMENTATION
Vergleichen Sie die Graphen von y = 2x 2 + 8x +8 und y = x 2, ohne die Funktionen graphisch darzustellen. Wie kann Factoring Ihnen helfen, die Parabeln zu vergleichen? Erklären.
Antworten:
y = 2x 2 + 8x +8
y = 2(x2 + 4x+4)
y = 2(x+2)(x+2)
y = 2(x+2)²
Der Graph ist eine Verschiebung nach links um 2 Einheiten und eine vertikale Dehnung um den Faktor 2 des Graphen y = x 2

Frage 79.
EIN ARGUMENT MACHEN
Ihr Freund sagt, dass alle Absolutwertfunktionen wegen ihrer Symmetrie gerade sind. Hat dein Freund recht? Erklären.
Antworten:

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Löse die Gleichung.
Frage 80.
x(x – 1) = 0
Antworten:
Gegeben,
x(x – 1) = 0
x = 0 oder x – 1 = 0
x = 0 oder x = 1

Frage 81.
(x + 3)(x – 8) = 0
Antworten:

Frage 82.
(3x – 9)(4x + 12) = 0
Antworten:
Gegeben,
(3x – 9)(4x + 12) = 0
3x – 9 = 0 oder 4x + 12 = 0
3x = 9 oder 4x = -12
x = 3 oder x = -3

Lektion 8.5 Verwenden des Abfangformulars

Wesentliche Frage Was sind einige der Eigenschaften des Graphen von f(x) = a(x – p)(x – q)?

ERKUNDUNG 1

Verwenden von Nullen zum Schreiben von Funktionen
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Jeder Graph repräsentiert eine Funktion der Form f(x) = (x – p)(x – q) oder f(x) = -(x – p)(x – q). Schreiben Sie die Funktion, die von jedem Graphen dargestellt wird. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 2.
Was sind einige der Eigenschaften des Graphen von f(x) = a(x – p)(x – q)?
Antworten:

Frage 3.
Betrachten Sie den Graphen von f(x) = a(x – p)(x – q).

A. Ändert das Ändern des Vorzeichens eines die x-Achsenabschnitte? Ändert das Ändern des Vorzeichens von a den y-Achsenabschnitt? Erklären Sie Ihre Argumentation.
B. Ändert eine Änderung des Wertes von p die x-Achsenabschnitte? Ändert eine Änderung des Wertes von p den y-Achsenabschnitt? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Zeichnen Sie die quadratische Funktion. Beschriften Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die x-Schnittpunkte. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
Frage 1.
f(x) = (x + 2)(x – 3)
Antworten:

Frage 2.
g(x) = -2(x – 4)(x + 1)
Antworten:

Frage 3.
h(x) = 4x 2 – 36
Antworten:

Finden Sie die Null(en) der Funktion.
Frage 4.
f(x) = (x – 6)(x – 1)
Antworten:
f(x) = (x – 6)(x – 1)
(x – 6)(x – 1) = 0
x² – 6x -x + 6 = 0
x – 6 = 0 oder x – 1 = 0
x = 6 oder x = 1

Frage 5.
g(x) = 3x 2 – 12x + 12
Antworten:
Gegeben,
g(x) = 3x 2 – 12x + 12
3x 2 – 12x + 12 = 0
3x 2 – 12x + 12 = 0
3( x 2 – 4x + 4) = 0
x 2 – 4x + 4 = 0

Frage 6.
h(x) = x(x 2 – 1)
Antworten:
Gegeben,
h(x) = x(x 2 – 1)
x(x 2 – 1) = 0
x = 0 oder x 2 – 1 = 0
x = 0 oder x = 1

Verwenden Sie Nullen, um die Funktion grafisch darzustellen.
Frage 7.
f(x) = (x – 1)(x – 4)
Antworten:

Frage 8.
g(x) = x 2 + x – 12
Antworten:

Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Standardform, deren Graph die gegebene(n) Bedingung(en) erfüllt.
Frage 9.
x-Achsenabschnitte: -1 und 1
Antworten:

11. geht durch (0, 0), (10, 0) und (4, 12)
Antworten:

Frage 12.
geht durch (-5, 0), (4, 0) und (3, -16)
Antworten:

Verwenden Sie Nullen, um die Funktion grafisch darzustellen.
Frage 13.
g(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 3)
Antworten:

Frage 14.
h(x) = x 3 – 6x 2 + 5x
Antworten:

Frage 15.
Die Nullstellen einer kubischen Funktion sind -3, -1 und 1. Der Graph der Funktion geht durch den Punkt (0, -3). Schreiben Sie die Funktion.
Antworten:

Verwenden von Intercept Form 8.5-Übungen

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
VERVOLLSTÄNDIGEN SIE DEN SATZ
Die Werte p und q sind __________ des Graphen der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q).
Antworten:
Die Werte p und q sind x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q).

Frage 2.
SCHREIBEN
Erklären Sie, wie Sie den maximalen oder minimalen Wert einer quadratischen Funktion finden, wenn die Funktion in Form eines Achsenabschnitts angegeben wird.
Antworten:
Das Abfangformular lautet:
f(x) = a(x – p)(x – q)
x = (p+q)/2
Ersetzen Sie die x-Koordinate in die Funktion, um die y-Koordinate zu finden, die den maximalen oder minimalen Wert darstellt.

Fortschrittsüberwachung und Modellierung mit Mathematik

Bestimmen Sie in den Aufgaben 3–6 die x-Achsenabschnitte und die Symmetrieachse des Funktionsgraphen.
Frage 3.

Antworten:

Frage 4.

Antworten:
y = -2(x – 2)(x – 5)
x – Achsenabschnitte der Parabel in Achsenabschnittsform sind gegeben p = 2 und q = 5 given
Symmetrieachse ist
x = (p + q)/2
= (2 + 5)/2 = 7/2 = 3.5

Frage 5.
f(x) = -5(x + 7)(x – 5)
Antworten:

Frage 6.
g(x) = (frac<2><3>) x(x + 8)
Antworten:
g(x) = (frac<2><3>) x(x + 8)
x – Achsenabschnitte der Parabel in Achsenabschnittsform sind p = 0 und q = -8
Symmetrieachse ist
x = (p + q)/2
= (0 – 8)/2 = -4

Zeichnen Sie in den Aufgaben 7–12 die quadratische Funktion. Beschriften Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die x-Achsenabschnitte. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
Frage 7.
f(x) = (x + 4)(x + 1)
Antworten:

Frage 8.
y = (x – 2)(x + 2)
Antworten:
y = (x – 2)(x + 2)
Schritt 1: Die Achsenabschnitte der Parabel sind p = 2 und q = -2.
Somit liegen die Punkte (2, 0) und (-2, 0) auf dem Graphen.
Schritt 2:
Die Symmetrieachse ist
x = (p + q)/2
x = 2 + (-2)/2 = 0
Symmetrieachse auftragen, x = 0
Schritt 3: Suchen und plotten Sie den Scheitelpunkt. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist y(0)
y(0) = (0 – 2)(0 + 2) = -4
Der Scheitelpunkt ist also (0, -4)
Schritt 4: Zeichnen Sie eine Parabel durch Scheitelpunkt und x-Schnittpunkte.

Wir können im Graphen sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist [-4, ∞)

Frage 9.
y = -(x + 6)(x – 4)
Antworten:

Frage 10.
h(x) = -4(x – 7)(x – 3)
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind 7 und 3. Zeichnen Sie die Punkte (7, 0) und (3, 0)
Schritt 2: Zeichnen Sie die Symmetrieachse:
x = (7 + 3)/2 = 5
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist 5. Ermitteln Sie den y-Wert des Scheitelpunkts durch Ersetzen von 5 durch x
h(5) = -4(5 – 7)(5 – 3)
= -4(-2)(2) = 16
Der Scheitelpunkt ist also (5, 16)

Wir können im Graphen sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist (-∞, 16]

Frage 11.
g(x) = 5(x + 1)(x + 2)
Antworten:

Frage 12.
y = -2(x – 3)(x + 4)
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind 3 und -4.
Zeichnen Sie die Punkte (3, 0) und (-4, 0)
Schritt 2:
Zeichnen Sie die Symmetrieachse x = 3 + (-4)/2 = -0.5
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -0,5.
f(-0,5) = -2(-0,5 – 3)(-0,5 + 4) = 24,5
Der Scheitelpunkt ist also (-0.5, 24.5)

Zeichnen Sie in den Aufgaben 13–20 die quadratische Funktion. Beschriften Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die x-Achsenabschnitte. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
Frage 13.
y = x 2 – 9
Antworten:

Frage 14.
f(x) = x 2 – 8x
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind 0 und 8.
Zeichnen Sie die Punkte (0, 0) und (8, 0)
Schritt 2:
Zeichnen Sie die Symmetrieachse x = 0 + 8/2 = 4
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist 4
f(4) = (4) 2 – 8(4) = -5
Der Scheitelpunkt ist also (4, -16)

Wir können im Graphen sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist [-16, ∞)

Frage 15.
h(x) = -5x 2 + 5x
Antworten:

Frage 16.
y = 3x 2 – 48
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind 4 und -4.
Zeichnen Sie die Punkte (4, 0) und (-4, 0)
Schritt 2:
Zeichnen Sie die Symmetrieachse x = 4 + (-4)/2 = 0
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist 0
f(0) = 3(0) 2 – 48 = -48
Der Scheitelpunkt ist also (0, -48)

Wir können im Diagramm sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist [-48, ∞)

Frage 17.
q(x) = x2 + 9x + 14
Antworten:

Frage 18.
p(x) = x 2 + 6x – 27
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind -9 und 3.
Zeichnen Sie die Punkte (-9, 0) und (3, 0)
Schritt 2:
Zeichnen Sie die Symmetrieachse x = -9 + 3/2 = -3
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -3
f(-3) = (-3) 2 + 6(-3) – 27 = -36
Der Scheitelpunkt ist also (-3, -36)

Wir können in der Grafik sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist [-36, ∞)

Frage 19.
y = 4x 2 – 36x + 32
Antworten:

Frage 20.
y = -2x 2 – 4x + 30
Antworten:
In der Funktion f(x) = a(x – p)(x – q)
Schritt 1: Die x-Achsenabschnitte sind 3 und -5.
Zeichnen Sie die Punkte (3, 0) und (-5, 0)
Schritt 2:
Zeichnen Sie die Symmetrieachse x = 3 + (-5)/2 = -1
Schritt 3:
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -1
f(-1) = -2(-1) 2 – 4(-1) + 30 = 32
Der Scheitelpunkt ist also (-1, 32)

Wir können im Graphen sehen, dass der Bereich aus allen reellen Zahlen besteht, R und der Bereich ist (-∞, 32]

Finden Sie in den Übungen 21–30 die Nullstelle(n) der Funktion.
Frage 21.
y = -2(x – 2)(x – 10)
Antworten:

Frage 22.
f(x) = (frac<1><3>)(x + 5)(x – 1)
Antworten:
f(x) = (frac<1><3>)(x + 5)(x – 1)
(frac<1><3>)(x + 5)(x – 1) = 0
x + 5 = 0 oder x – 1 = 0
x = -5 oder x = 1

Frage 23.
g(x) = x 2 + 5x – 24
Antworten:

Frage 24.
y = x 2 – 17x + 52
Antworten:
Gegeben,
y = x 2 – 17x + 52
x 2 – 17x + 52 = 0
x 2 – 4x – 13x + 52 = 0
x(x – 4) – 13(x – 4) = 0
(x – 4)(x – 13) = 0
x – 4 = 0 oder x – 13 = 0
x = 4 oder x = 13

Frage 25.
y = 3x 2 – 15x – 42
Antworten:

Frage 26.
g(x) = -4x 2 – 8x – 4
Antworten:
g(x) = -4x 2 – 8x – 4
-4x 2 – 8x – 4 = 0
(x + 1) 2 = 0
x + 1 = 0
x = -1

Frage 27.
f(x) = (x + 5)(x 2 – 4)
Antworten:

Frage 28.
h(x) = (x 2 – 36)(x – 11)
Antworten:
h(x) = (x 2 – 36)(x – 11)
(x 2 – 36)(x – 11) = 0
(x + 6)(x – 6)(x – 11) = 0
x + 6 = 0 oder x – 6 = 0 oder x – 11 = 0
x = -6 oder 6 oder 11

Frage 29.
y = x 3 – 49x
Antworten:

Frage 30.
y = x 3 – x 2 – 9x + 9
Antworten:
y = x 3 – x 2 – 9x + 9
x 3 – x 2 – 9x + 9 = 0
x 2 (x – 1) -9(x – 1) = 0
(x – 1)(x² – 9) = 0
(x – 1)(x – 3)(x + 3) = 0
x – 1 = 0 oder x – 3 = 0 oder x + 3 = 0
x = 1 oder x = 3 oder x = -3

Vergleichen Sie in den Übungen 31–36 die Funktion mit ihrem Graphen.
Frage 31.
y = (x + 5) (x + 3)
Antworten:

Frage 32.
y = (x + 5)(x – 3)
Antworten:
y = (x + 5)(x – 3)
(x + 5)(x – 3) = 0
x + 5 = 0 oder x – 3 = 0
x = -5 oder x = 3

Frage 33.
y = (x – 5)(x + 3)
Antworten:

Frage 34.
y = (x – 5)(x – 3)
Antworten:
y = (x – 5)(x – 3)
(x – 5)(x – 3) = 0
x – 5 = 0 oder x – 3 = 0
x = 5 oder x = 3

Frage 35.
y = (x + 5)(x – 5)
Antworten:

Frage 36.
y = (x + 3) (x – 3)
Antworten:
y = (x + 3) (x – 3)
(x + 3)(x – 3) = 0
x + 3 = 0 oder x – 3 = 0
x = -3 oder x = 3

Verwenden Sie in den Übungen 37–42 Nullen, um die Funktion grafisch darzustellen.
Frage 37.
f(x) = (x + 2)(x – 6)
Antworten:

Frage 38.
g(x) = -3(x + 1)(x + 7)
Antworten:
g(x) = -3(x + 1)(x + 7)
x = 0
y = -3(0 + 1)(0 + 7) = -21
x = -1 und x = -7
Wir zeichnen die Punkte (0, -21), (-1, 0), (-7, 0) und verbinden sie, um die Parabel zu skizzieren.

Frage 39.
y = x 2 – 11x + 18
Antworten:

Frage 40.
y = x 2 – x – 30
Antworten:
Gegeben,
y = x 2 – x – 30
x = 0
y = 0 2 – 0 – 30 = -30
x 2 – x – 30 = 30
x 2 + 5x – 6x – 30 = 0
(x + 5)(x – 6) = 0
x + 5 = 0 oder x – 6 = 0
x = -5 oder x = 6

Frage 41.
y = -5x 2 – 10x + 40
Antworten:

Frage 42.
h(x) = 8x 2 – 8
Antworten:
h(x) = 8x 2 – 8
x = 0
y = 8(0) 2 – 8 = -8
8x 2 – 8 = 0
8(x 2 – 1) = 0
8(x + 1)(x – 1) = 0
x + 1 = 0 oder x – 1 = 0
x = -1 oder x = 1

FEHLERANALYSE Beschreiben und korrigieren Sie in den Übungen 43 und 44 den Fehler beim Finden der Nullstellen der Funktion.
Frage 43.

Antworten:

Frage 44.

Antworten:
y = (x + 4) (x 2 – 9)
(x + 4) (x + 3) (x – 3) = 0
x + 4 = 0 oder x + 3 = 0 oder x – 3 = 0
x = -4 oder x = -3 oder x = 3
Der Fehler lag darin, die Gleichung x 2 – 9 = 0 falsch zu lösen. Sie wurde als lineare Gleichung behandelt, ist jedoch eine quadratische Gleichung, die entweder direkt mit der Quadratwurzelmethode oder durch Faktorisieren des Ausdrucks und Anwenden der Nullprodukteigenschaft gelöst werden kann.

Schreiben Sie in den Aufgaben 45–56 eine quadratische Funktion in Standardform, deren Graph die gegebene(n) Bedingung(en) erfüllt.
Frage 45.
Scheitelpunkt: (7, -3)
Antworten:

Frage 46.
Scheitelpunkt: (4, 8)
Antworten:
f(x) = a(x – h)² + k
V(h, k) = (4, 8)
h = 4, k = 8
f(x) = a(x – 4)² + 8
a = 1
f(x) = 1(x – 4)² + 8
f(x) = (x – 4)² + 8 = x² – 8x + 24

Frage 47.
x-Achsenabschnitte: 1 und 9
Antworten:

Frage 48.
x-Achsenabschnitte: -2 und -5
Antworten:
Gegeben,
x-Achsenabschnitte: -2 und -5
f(x) = a[x – (-2)][x – (-5)]
f(x) = a(x + 2)(x + 5)
a = 1
f(x) = 1(x + 2)(x + 5)
f(x) = (x + 2) (x + 5)
= x² + 5x + 2x + 10
= x² + 7x + 10

Frage 49.
geht durch (-4, 0), (3, 0) und (2, -18)
Antworten:

Frage 50.
geht durch (-5, 0), (-1, 0) und (-4, 3)
Antworten:
f(x) = a[x – (-5)][x – (-1)]
f(x) = a(x + 5)(x + 1)
a(-4 + 5)(-4 + 1) = 3
-3a = 3
a = -1
f(x) = -1(x + 5)(x + 1)
f(x) = -(x² + x + 5x + 5)
– x² – 6x – 5

Frage 51.
geht durch (7, 0)
Antworten:

Frage 52.
geht durch (0, 0) und (6, 0)
Antworten:
Die Punkte der Parabel (0, 0) und (6, 0)
f(x) = a[x – 0][x – 6]
f(x) = ax(x – 6)
a=1
f(x) = x(x – 6)
f(x) = x² – 6x

Frage 53.
Symmetrieachse: x = -5
Antworten:

Frage 54.
y nimmt zu, wenn x zunimmt, wenn x < 4 y abnimmt, wenn x zunimmt, wenn x > 4 ist.
Antworten:
Die Symmetrieachse einer quadratischen Funktion mit Gleichung der Form
f(x) = a(x – p)(x – q)
x = (p + q)/2
Das Verhalten des Graphen ändert sich bei x = 4. Dies bedeutet, dass die Symmetrieachse x = 4/
x = (p + q)/2 = 4
f(x) = -2(x)(x – 8)
f(x) = -2x² + 16x

Frage 55.
Reichweite: y ≥ -3
Antworten:

Frage 56.
Bereich: y ≤ 10
Antworten:
Die Funktion f(x) = ax² + x hat einen Bereich von
y ≥ c falls a > 0 oder
y ≤ c falls a < 0
Dies bedeutet, dass in der gegebenen Funktion a > 0 und c = 10
f(x) = -2x² + 10

Schreiben Sie in den Aufgaben 57–60 die quadratische Funktion, die durch den Graphen dargestellt wird.
Frage 57.

Antworten:

Frage 58.

Antworten:
Für den gegebenen Graphen sind die x-Achsenabschnitte 1 und 7.
p = und q = 7
f(x) = a(x – 1)(x – 7)
Um den Wert von a zu finden, ersetzen Sie die x- und y-Werte des Punktes auf der Parabel (6, 5).
5 = a(6 – 1)(6 – 7)
5 = ein. 5. -1
5 = -5a
a = -1

Frage 59.

Antworten:

Frage 60.

Antworten:
Für den gegebenen Graphen sind die x-Achsenabschnitte 6 und 10.
p = 6 und q = 10
f(x) = a(x – 6)(x – 10)
Um den Wert von a zu finden, ersetzen Sie die x- und y-Werte des Punktes auf der Parabel (6, 5).
-2 = a(8 – 6)(8 – 10)
-2 = ein. 2. -2
-2 = -4a
a = 1/2

Verwenden Sie in den Übungen 61–68 Nullen, um die Funktion darzustellen.
Frage 61.
y = 5x(x + 2)(x – 6)
Antworten:

Frage 62.
f(x) = -x(x + 9)(x + 3)
Antworten:
Die Funktion vollständig und die Nullen sind: 0, -9, -3.
Zeichnen Sie die entsprechenden Punkte: (-9, 0), (-3, 0), (0, 0)
Um die Form des Diagramms zu bestimmen, suchen Sie die Punkte zwischen den Nullen und zeichnen Sie sie.

Frage 63.
h(x) = (x – 2)(x + 2)(x + 7)
Antworten:

Frage 64.
y = (x + 1)(x – 5)(x – 4)
Antworten:
Die Funktion vollständig und die Nullen sind: -1, 5, 4
Zeichnen Sie die entsprechenden Punkte: (-1, 0), (4, 0), (5, 0)
Um die Form des Diagramms zu bestimmen, suchen Sie die Punkte zwischen den Nullen und zeichnen Sie sie ein.

Frage 65.
f(x) = 3x 3 – 48x
Antworten:

Frage 66.
y = -2x 3 + 20x 2 – 50x
Antworten:
y = -2x 3 + 20x 2 – 50x
y = -2x(x 2 – 10x + 25)
y = -2x(x – 5)(x – 5)
Zeichnen Sie die entsprechenden Punkte ein: (0, 0), (5, 0)
Um die Form des Diagramms zu bestimmen, finden Sie die Punkte zwischen den Nullen und zeichnen Sie sie ein

Frage 67.
y = -x 3 – 16x 2 – 28x
Antworten:

Frage 68.
g(x) = 6x 3 + 30x 2 – 36x
Antworten:
Gegeben,
g(x) = 6x 3 + 30x 2 – 36x
g(x) = 6x(x 2 + 5x – 6)
g(x) = 6x(x – 1)(x + 6)
Die Funktion vollständig und die Nullen sind: 0, 1, -6
Zeichnen Sie die entsprechenden Punkte: (-6, 0), (0, 0), (1, 0)
Um die Form des Diagramms zu bestimmen, finden Sie die Punkte zwischen den Nullen und zeichnen Sie sie ein

Schreiben Sie in den Übungen 69–72 die kubische Funktion, die durch den Graphen dargestellt wird.
Frage 69.

Antworten:

Frage 70.

Antworten:
Aus dem Graphen sind die x-Achsenabschnitte -3, 0, 2
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
f(x) = a(x – (-3))(x – 0)(x – 2)
f(x) = a(x + 3)(x)(x – 2)
Verwenden Sie den anderen Punkt (-1, -36), um den Wert von a . zu finden
-36 = a(-1 + 3)(-1)(-1 – 2)
-36 = 6a
a = -6
f(x) = -6(x + 3)(x)(x – 2)
= -6x 3 -6x 2 + 36x

Frage 71.

Antworten:

Frage 72.

Antworten:
Aus dem Graphen sind die x-Achsenabschnitte 1, 3, 6.
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
f(x) = a(x – 1)(x – 3)(x – 6)
Verwenden Sie den anderen Punkt (5, -40), um den Wert von a . zu finden
-40 = a(5 – 1)(5 – 3)(5 – 6)
-40 = -8a
a = 5
f(x) = 5(x – 1)(x – 3)(x – 6)
f(x) = 5x³ + -50x² + 135x – 90

Schreiben Sie in den Aufgaben 73–76 eine kubische Funktion, deren Graph die gegebene(n) Bedingung(en) erfüllt.
Frage 73.
x-Achsenabschnitte: -2, 3 und 8
Antworten:

Frage 74.
x-Achsenabschnitte: -7, -5 und 0
Antworten:
Verwenden Sie für die x-Achsenabschnitte die Achsenabschnittsform:
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
a = 1
f(x) = 1(x – (-7))(x – (-5))(x – 0)
f(x) = (x + 7)(x + 5)(x)
f(x) = x² + 12x² + 35x

Frage 75.
geht durch (1, 0) und (7, 0)
Antworten:

Frage 76.
geht durch (0, 6)
Antworten:
Beachten Sie, dass das Gegebene kein x-Achsenabschnitt ist
Da wir eine kubische Funktion benötigen, benötigen wir 3 Achsenabschnitte.
Der Einfachheit halber verwenden wir (-1, 0), (1, 0) und (2, 0)
Bei den x-Achsenabschnitten verwenden Sie die Achsenabschnittsform:
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
f(x) = a(x – (-1))(x – 1)(x – 2)
Verwenden Sie den anderen Punkt (0, 6), um den Wert von a zu finden:
6 = a(0 + 1)(0 – 1)(0 – 2)
6 = 2a
a = 3
f(x) = 3(x + 1)(x – 1)(x – 2)
f(x) = 3x³ – 6x² – 3x + 6

In den Aufgaben 77–80 sind alle Nullstellen einer Funktion angegeben. Verwenden Sie die Nullen und den anderen angegebenen Punkt, um eine quadratische oder kubische Funktion zu schreiben, die durch die Tabelle dargestellt wird.
Frage 77.

Antworten:

Frage 78.

Antworten:
Verwenden Sie für die x-Achsenabschnitte die Achsenabschnittsform:
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
Die x-Achsenabschnitte sind -3 und 4.
p = -3 und q = 4
f(x) = a(x +3)(x-4)
-72 = a(1 +3)(1-4)
-72 = -12a
a = 6
Daher ist die Gleichung der quadratischen Funktion, deren Graph gegeben ist
f(x) = 6(x ​​+ 3)(x – 4)

Frage 79.

Antworten:

Frage 80.

Antworten:
Bei den x-Achsenabschnitten (-8, -3, 0) verwenden Sie die Achsenabschnittsform:
f(x) = a(x – p)(x – q)(x – r)
f(x) = a(x – (-8))(x – (-3))(x – 0)
f(x) = a(x +8)(x + 3)(x)
-36 = a(-6 + 8)(-6 + 3)(-6)
-36 = 36a
a = 1
f(x) = -1(x +8)(x + 3)(x)
f(x) = -x³ – 11x² + 24x

Skizzieren Sie in den Übungen 81–84 eine Parabel, die die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Frage 81.
x-Achsenabschnitte: -4 und 2 Bereich: y ≥ -3
Antworten:

Frage 82.
Symmetrieachse: x = 6 durchläuft (4, 15)
Antworten:
Die Parabelgleichung sei y = a(x – h)² + k
x = 6, h = 6
Die Parabel geht durch (4, 15).
15 = a(4 – 6)² + k
15 = 4a + k
a = 1
15 = 4 + k
k = 11

Frage 83.
Bereich: y ≤ 5 Durchläufe (0, 2)
Antworten:

Frage 84.
x-Achsenabschnitt: 6 y-Achsenabschnitt: 1 Bereich: y ≥ -4
Antworten:

Frage 85.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Satellitenschüsseln sind wie Parabeln geformt, um Signale optimal zu empfangen. Der Querschnitt einer Satellitenschüssel kann durch die gezeigte Funktion modelliert werden, wobei x und y in Fuß gemessen werden. Die x-Achse stellt die Oberseite der Öffnung der Schale dar.

A. Wie breit ist die Satellitenschüssel?
B. Wie tief ist die Satellitenschüssel?
C. Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Standardform, die den Querschnitt einer 1,80 m breiten und 1,5 m tiefen Satellitenschüssel modelliert.
Antworten:

Frage 86.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Der Schuss eines professionellen Basketballspielers wird durch die gezeigte Funktion modelliert, wobei x und y in Fuß gemessen werden.

A. Macht der Spieler den Schuss? Erklären.
Antworten:
Der Spieler macht den Schuss, wenn der Punkt (3, 0) auf der Parabel liegt.
0 = –(frac<1><20>)(3² – 19(3) + 48)
0 = –(frac<1><20>)(9 – 57 + 48)
0 = 0
Ja, er wird den Schuss machen

B. Der Basketballspieler gibt einen weiteren Schuss vom Punkt (13, 0) ab und macht den Schuss. Der Schuss geht auch durch die Spitze (10, 1.4). Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Standardform, die die Schussbahn modelliert.
Antworten:
Zwei Achsenabschnitte sind gegeben (3, 0) und (13, 0)
y = a(x – p)(x – q)
y = a(x – 3)(x – 13)
Verwenden Sie den anderen Punkt (10, 1.4), um den Wert von a . zu finden
1,4 = a(10 – 3)(10 – 13)
1,4 = -21a
a = –(frac<1><15>)
f(x) = –(frac<1><15>) (x – 3)(x – 13)
f(x) = –(frac<1><15>) (x² – 16x + 39)

VERWENDUNG DER STRUKTUR Vergleichen Sie in den Übungen 87–90 die Funktion mit ihrem Graphen.
Frage 87.
y = -x2 + 5x
Antworten:

Frage 88.
y = x 2 – x – 12
Antworten:
Das Gegebene ist eine quadratische Funktion, also entweder A oder D.
Einsetzen von x = 0 ist der y-Achsenabschnitt
y = (0) 2 – 0 – 12 = -12
Dies entspricht Diagramm A.

Frage 89.
y = x 3 – 2x 2 – 8x
Antworten:

Frage 90.
y = x 3 – 4x 2 – 11x + 30
Antworten:
Das Gegebene ist eine kubische Funktion. Also entweder B oder C.
Einsetzen von x = 0 ist der y-Achsenabschnitt
y = x 3 – 4x 2 – 11x + 30
y = (0) 3 – 4(0) 2 – 11(0) + 30 = 30
Dies entspricht Diagramm B.

Frage 91.
KRITISCHES DENKEN
Schreiben Sie eine quadratische Funktion, die durch die Tabelle dargestellt wird, wenn möglich. Wenn nicht, erklären Sie warum.

Antworten:
Es ist nicht möglich, eine durch die Tabelle dargestellte quadratische Funktion zu schreiben. Da -5 und 1 die x-Achsenabschnitte sind, ist die Symmetrieachse x = -2. Die Punkte (-3, 12) und (-1, 4) haben den gleichen horizontalen Abstand von der Symmetrieachse, so dass beide, wenn sie auf der Parabel liegen, die gleiche y-Koordinate haben.

Frage 92.
WIE SIEHST DU ES?
Die Grafik zeigt den parabolischen Bogen, der das Dach eines Kongresszentrums trägt, wobei x und y in Fuß gemessen werden.

A. Der Bogen kann durch eine Funktion der Form f(x) = a(x – p)(x – q) dargestellt werden. Schätzen Sie die Werte von p und q.
Antworten:
Aus dem Diagramm sind die x-Achsenabschnitte 75 und 425.
p = 75 und q = 425
B. Schätzen Sie die Breite und Höhe des Bogens. Erklären Sie, wie Sie mit Ihrer Höhenschätzung a berechnen können.
Antworten:
Die Breite ist der Abstand zwischen den 2 x-Achsenabschnitten
Breite = |75 – 425|
Breite = 350 Fuß
Die Höhe beträgt ungefähr 60 Fuß
Da die Höhe der Position des Scheitelpunkts entspricht, können wir ihn als zusätzlichen Punkt verwenden, um den Wert von a zu ermitteln.

ANALYSIEREN VON GLEICHUNGEN In den Übungen 93 und 94
(a) schreibe die quadratische Funktion in Achsenabschnittsform um und
(b) Zeichnen Sie die Funktion mit einer beliebigen Methode. Erklären Sie die Methode, die Sie verwendet haben.
Frage 93.
f(x) = -3(x + 1) 2 + 27
Antworten:

Frage 94.
g(x) = 2(x – 1) 2 – 2
Antworten:
Der Scheitelpunkt ist bei (h, k) und
g(x) = 2(x – 1) 2 – 2
g(x) = 2(x 2 – 2x + 1) – 2
g(x) = 2x 2 – 4x + 2 – 2
g(x) = 2x 2 – 4x
g(x) = 2(x)(x – 2)
Die x-Achsenabschnitte der gegebenen Funktion sind 0 und 2.
Zeichnen Sie die Punkte (0, 0) und (2, 0)

Frage 95.
SCHREIBEN
Kann eine quadratische Funktion mit genau einer reellen Nullstelle in Achsenabschnittsform geschrieben werden? Erklären.
Antworten:

Frage 96.
EIN ARGUMENT MACHEN
Ihr Freund behauptet, dass jede quadratische Funktion in Standardform und in Scheitelpunktform geschrieben werden kann. Hat dein Freund recht? Erklären.
Antwort: Mein Freund hat recht
Jede quadratische Funktion kann in Scheitelpunktform geschrieben werden.
y = a(x² – 2hx + h²) + k
b = -2ahx
c = h² + k
Jede quadratische Funktion kann in Standardform geschrieben werden. Wenn eine quadratische Funktion in Standardform vorliegt, kann das Quadrat vervollständigt werden, damit es in die Scheitelpunktform umgewandelt werden kann.

Frage 97.
PROBLEME LÖSEN
Schreiben Sie die durch den Graphen dargestellte Funktion in Form eines Achsenabschnitts.

Antworten:

Frage 98.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Skizzieren Sie den Graphen jeder Funktion. Erklären Sie Ihr Vorgehen.
ein. f(x) = (x 2 – 1)(x 2 – 4)
b. g(x) = x(x 2 – 1)(x 2 – 4)
Antworten:

Frage 99.
ARGUMENTATION
Sei k eine Konstante. Finden Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = kx 2 – k 2 x – 2k 3 in Bezug auf k.
Antworten:

PROBLEME LÖSEN Schreiben Sie in den Aufgaben 100 und 101 ein System aus zwei quadratischen Gleichungen, deren Graphen sich an den gegebenen Punkten schneiden. Erklären Sie Ihre Argumentation.
Frage 100.
(-4, 0) und (2, 0)
Antworten:
Bei den x-Achsenabschnitten (-4, 2) verwenden Sie die Achsenabschnittsform:
y = a(x – p)(x – q)
y = a(x – (-4))(x – 2)
y = a(x + 4)(x – 2)
y = a(x² + 2x – 8)
Um 2 Gleichungen zu finden, sei a ein beliebiger konstanter Wert außer 0
y = x² + 2x – 8
y = -x² – 2x + 8

Frage 101.
(3, 6) und (7, 6)
Antworten:

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Das Streudiagramm zeigt die Fettmenge x (in Gramm) und die Kalorienzahl y in 12 Burgern in einem Fastfood-Restaurant.

Frage 102.
Wie viele Kalorien hat der Burger mit 12 Gramm Fett?
Antworten:
Aus der obigen Grafik sehen wir, dass ein Burger mit 12 Gramm Fett ungefähr 300 Kalorien enthält.

Frage 103.
Wie viel Gramm Fett enthält der Burger mit 600 Kalorien?
Antworten:

Frage 104.
Was passiert tendenziell mit der Kalorienzahl, wenn die Grammzahl an Fett zunimmt?
Antwort: Mit zunehmender Grammzahl an Fett steigt auch die Kalorienzahl.

Bestimmen Sie, ob die Folge arithmetisch, geometrisch oder keines von beiden ist. Erklären Sie Ihre Argumentation.
Frage 105.
3, 11, 21, 33, 47, . . .
Antworten:

Frage 106.
-2, -6, -18, -54, . . .
Antworten:
-6/-2 = -18/-6….. geometrische Folge

Frage 107.
26, 18, 10, 2, -6, . . .
Antworten:

Frage 108.
4, 5, 9, 14, 23, . . .
Antworten:
5 – 4 ≠ 9 – 5 keine arithmetische Folge
5/4 ≠ 9/5 nicht geometrische Folge

Lektion 8.6 Vergleichen von linearen, exponentiellen und quadratischen Funktionen

Wesentliche Frage Wie kann man die Wachstumsraten von linearen, exponentiellen und quadratischen Funktionen vergleichen?

ERKUNDUNG 1

Vergleich von Geschwindigkeiten
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Drei Autos fahren gleichzeitig los. Die zurückgelegte Strecke in t Minuten beträgt y Meilen. Vervollständigen Sie jede Tabelle und skizzieren Sie alle drei Diagramme in derselben Koordinatenebene. Vergleichen Sie die Geschwindigkeiten der drei Autos. Welches Auto hat eine konstante Geschwindigkeit? Welches Auto beschleunigt am meisten? Erklären Sie Ihre Argumentation.

ERKUNDUNG 2

Vergleich von Geschwindigkeiten

Mit einem Partner zusammenarbeiten. Analysieren Sie die Geschwindigkeiten der drei Autos über die angegebenen Zeiträume. Die zurückgelegte Strecke in t Minuten beträgt y Meilen. Welches Auto überholt schließlich die anderen?

Kommunizieren Sie Ihre Antwort

Frage 3.
Wie kann man die Wachstumsraten von linearen, exponentiellen und quadratischen Funktionen vergleichen?
Antworten:

Frage 4.
Welche Funktion hat eine Wachstumsrate, die letztendlich viel größer ist als die Wachstumsraten der anderen beiden Funktionen? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:

Überwachung der Fortschritte

Zeichnen Sie die Punkte ein. Sagen Sie, ob die Punkte eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen.
Frage 1.
(-1, 5), (2, -1), (0, -1), (3, 5), (1, -3)
Antworten:

Frage 3.
(-3, 5), (0, -1), (2, -5), (-4, 7), (1, -3)
Antworten:

Frage 4.
Sagen Sie, ob die Wertetabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt.

Antworten:

Frage 5.
Sagen Sie, ob die Wertetabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt. Dann schreiben Sie die Funktion.

Antworten:

Frage 6.
Vergleichen Sie die Websites in Beispiel 4, indem Sie die durchschnittlichen Änderungsraten von Tag 0 bis Tag 10 berechnen und interpretieren.
Antworten:

Frage 7.
WAS IST, WENN?
Die Bevölkerung von Tinyville nahm jedes Jahr um 8 % zu. In welchem ​​Jahr waren die Einwohnerzahlen ungefähr gleich?
Antworten:

Vergleich von linearen, exponentiellen und quadratischen Funktionen 8.6 Übungen

Vokabel- und Kernkonzept-Check

Frage 1.
SCHREIBEN
Nennen Sie drei Arten von Funktionen, mit denen Sie Daten modellieren können. Beschreiben Sie die Gleichung und den Graphen jedes Funktionstyps.
Antworten:

Frage 2.
SCHREIBEN
Wie können Sie entscheiden, ob Sie eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion verwenden, um einen Datensatz zu modellieren?
Antworten:
Wenn aufeinanderfolgende y-Werte eine konstante erste Differenz aufweisen, muss eine lineare Funktion verwendet werden, um einen Datensatz zu modellieren.
Wenn aufeinanderfolgende y-Werte eine konstante zweite Differenz aufweisen, muss eine quadratische Funktion verwendet werden, um einen Datensatz zu modellieren.
Wenn aufeinanderfolgende y-Werte ein gemeinsames Verhältnis haben, muss eine Exponentialfunktion verwendet werden, um einen Datensatz zu modellieren.

Frage 3.
WORTSCHATZ
Beschreiben Sie, wie Sie die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion y = f(x) zwischen x = a und x = b ermitteln.
Antworten:

Frage 4.
WELCHER GEHÖRT NICHT?
Welcher Graph gehört nicht zu den anderen drei? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Der dritte Graph von links gehört nicht zur Gruppe. Dies liegt daran, dass die drei anderen Graphen Parabeln sind, die Graphen von quadratischen Funktionen sind. Der dritte Graph beinhaltet eine Exponentialfunktion.

Fortschrittsüberwachung und Modellierung mit Mathematik

Bestimmen Sie in den Übungen 5–8, ob die Punkte eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen.
Frage 5.

Antworten:

Frage 6.

Antworten:
Der Graph ist eine von links nach rechts abfallende Kurve, daher muss er eine Exponentialfunktion beinhalten.
Beachten Sie auch, dass die y-Werte 16, 8, 4, … sind, was ein übliches Verhältnis von 1/2 anzeigt.

, Frage 7.

Antworten:

Frage 8.

Antworten:
Die Punkte einer geraden Linie.
Beachten Sie auch, dass für jede Erhöhung des Wertes von x um 1 Einheit der Wert von y um 3 Einheiten erhöht wird.
Somit stellen die Punkte eine lineare Funktion dar.

Zeichnen Sie in den Übungen 9–14 die Punkte ein. Sagen Sie, ob die Punkte eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen.
Frage 9.
(-2, -1), (-1, 0), (1, 2), (2, 3), (0, 1)
Antworten:

Frage 10.
( 0, (frac<1><4>)), (1, 1), (2, 4), (3, 16), (-1, (frac<1><16> ))
Antworten:

Die Punkte scheinen eine Exponentialfunktion darzustellen.

Frage 11.
(0, -3), (1, 0), (2, 9), (-2, 9), (-1, 0)
Antworten:

Frage 12.
(-1, -3), (-3, 5), (0, -1), (1, 5), (2, 15)
Antworten:
Der Punkt scheint eine quadratische Funktion mit einer Symmetrieachse von x = -1 . darzustellen

Frage 13.
(-4, -4), (-2, -3.4), (0, -), (2, -2.6), (4, -2)
Antworten:

Frage 14.
(0, 8), (-4, 0.25), (-3, 0.4), (-2, 1), (-1, 3)
Antworten:

Bestimmen Sie in den Übungen 15–18, ob die Wertetabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt.
Frage 15.

Antworten:

Frage 16.

Antworten:
Die aufeinanderfolgenden y-Werte haben ein gemeinsames Verhältnis von 5.
Daher stellt die Wertetabelle eine Exponentialfunktion dar.

Frage 17.

Antworten:

Frage 18.

Antworten:
Die y-Werte in der Tabelle haben:
Erster Unterschied: 2,5, 3,5, 4,5, 5, 5,5
Zweiter Unterschied: 1, 1, 1
Die y-Werte haben eine gemeinsame 2. Differenz, daher stellt die Wertetabelle eine quadratische Funktion dar.

Frage 19.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Ein Student fährt mit der U-Bahn zu einer öffentlichen Bibliothek. Die Tabelle zeigt die Entfernungen d (in Meilen), die der Schüler in t Minuten zurücklegt. Die Zeit t sei die unabhängige Variable. Geben Sie an, ob die Daten durch eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion modelliert werden können. Erklären.

Antworten:

Frage 20.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Ein Geschäft verkauft maßgeschneiderte runde Teppiche. Die Tabelle zeigt die Kosten c (in Dollar) von Teppichen mit einem Durchmesser von d Fuß. Der Durchmesser d sei die unabhängige Variable. Geben Sie an, ob die Daten durch eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion modelliert werden können. Erklären.

Antworten:
Da zweite Differenzen für aufeinanderfolgende x-Werte konstant sind, können Daten als quadratische Funktion modelliert werden.
Erster Unterschied: 49,7, 63,9, 78,1
Zweiter Unterschied: 14.2, 14.2

Bestimmen Sie in den Übungen 21–26, ob die Daten eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen. Dann schreiben Sie die Funktion.
Frage 21.
(-2, 8), (-1, 0), (0, -4), (1, -4), (2, 0), (3, 8)
Antworten:

Frage 22.
(-3, 8), (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 0.5)
Antworten:
/>
Die Daten haben keinen konstanten ersten oder zweiten Unterschied.
Beachten Sie, dass es ein übliches Verhältnis von 0,5 gibt, das Sie multiplizieren können, um den nächsten y-Wert zu erhalten. Daher müssen die Daten eine Exponentialfunktion mit einer Basis von 0,5 oder 1/2 darstellen.
f(x) = a . (1/2) x
Verwenden Sie einen beliebigen Punkt, sagen wir (0, 1), um den Wert von a . zu finden
1 = ein. (1/2) 0
1 = ein. 1
a = 1
Die Funktion, die die gegebenen Daten modelliert, ist also f(x) = (1/2) x

Frage 23.

Antworten:

Frage 24.

Antworten:
Die Daten haben keinen konstanten ersten oder zweiten Unterschied.
Beachten Sie, dass es ein gemeinsames Verhältnis von 2 gibt, das Sie multiplizieren können, um den nächsten y-Wert zu erhalten. Daher müssen die Daten eine Exponentialfunktion mit der Basis 2 darstellen.
f(x) = a . (2) x
Verwenden Sie einen beliebigen Punkt, sagen wir (0, 5), um den Wert von a . zu finden
5 = ein. (2) 0
5 = ein. 1
a = 5
Somit ist die Funktion, die die gegebenen Daten modelliert, f(x) = 5 . 2 x

Frage 25.

Antworten:

Frage 26.

Antworten:
Beachten Sie, dass der Graph Punkte zeigt, die eine Linie bilden, daher müssen die Daten eine lineare Funktion darstellen.
Der Graph zeigt, dass die Funktion y-Achsenabschnitt -2 ist.
f(x) = mx + b
f(x) = mx – 2
Verwenden Sie einen beliebigen Punkt, sagen wir (1, -4), um den Wert von m . zu finden
-4 = m(1) – 2
-4 = m – 2
m = -4 + 2
m = -2
Ersetzen Sie nun den obigen Wert
f(x) = -2x – 2

Frage 27.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler bei der Bestimmung, ob die Tabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt.

Antworten:

Frage 28.
FEHLERANALYSE
Beschreiben und korrigieren Sie den Fehler beim Schreiben der durch die Tabelle dargestellten Funktion.

Antworten:
Der Fehler liegt in der ersten Zeile der Lösung nach a.
Die Operation hätte zusätzlich sein sollen
f(x) = a(x + 2)(x – 1)
Mit dem Punkt (-3, 4) den Wert von a . ermitteln
4 = a(-3 + 2)(-3 – 1)
4 = 4a
a = 1
f(x) = 1(x + 2)(x – 1)
f(x) = x² + x – 2

Frage 29.
ARGUMENTATION
Die Tabelle zeigt die Anzahl der Personen, die die ersten fünf Fußballspiele an einer High School besucht haben.

ein. Zeichnen Sie die Punkte ein. Das Spiel g sei die unabhängige Variable.
b. Kann eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion diese Situation darstellen? Erklären.
Antworten:

Frage 30.
MODELLIEREN MIT MATHEMATIK
Die Tabelle zeigt die Atemfrequenzen y (in Liter Luft pro Minute) eines Radfahrers mit unterschiedlicher Geschwindigkeit x (in Meilen pro Stunde).

ein. Zeichnen Sie die Punkte ein. Die Geschwindigkeit x sei die unabhängige Variable. Bestimmen Sie dann den Funktionstyp, der diese Situation am besten repräsentiert.
Antworten:

Obwohl sich die Punkte einer Linie annähern, gibt es bei Verwendung der obigen Tabelle keinen gemeinsamen Unterschied, aber zwischen aufeinanderfolgenden Punkten besteht ein gemeinsames Verhältnis von etwa 1,11, sodass die Lösung durch eine Exponentialfunktion dargestellt wird.
b. Schreiben Sie eine Funktion, die die Daten modelliert.
y = ab x
Das gemeinsame Verhältnis ist 1,11 also b = 1,11
Verwenden Sie einen der Punkte, sagen Sie (20, 51.4)
51,4 = a(1.11) 20
ein ≈ 6.38
Die Exponentialfunktion ist also
f(x) = 6,38(1,11) x
c. Ermitteln Sie die Atemfrequenz eines Radfahrers, der 18 Meilen pro Stunde fährt. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.
Antworten:
Ersetzen Sie x = 18 für 18 mph
f(18) = 6,38(1,11) 18
f18) = 41,7 Liter Luft pro Minute

Frage 31.
ANALYSE DER ÄNDERUNGSRATEN
Die Funktion f(t) = -16t 2 + 48t + 3 repräsentiert die Höhe (in Fuß) eines Volleyballs t Sekunden nachdem er in die Luft geschossen wurde.
ein. Kopiere und vervollständige die Tabelle.

b. Plotten Sie die geordneten Paare und zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte.
c. Beschreiben Sie, wo die Funktion zu- und abnimmt.
D. Finden Sie die durchschnittliche Änderungsrate für jedes 0,5-Sekunden-Intervall in der Tabelle. Was fällt Ihnen an den durchschnittlichen Änderungsraten bei steigender Funktion auf? abnehmend?
Antworten:

Frage 32.
BEZIEHUNGEN ANALYSIEREN
Die Einwohnerzahl der Stadt A betrug 1970 3000. Die Einwohnerzahl der Stadt A nahm jedes Jahrzehnt um 20 % zu. Sei x die Anzahl der Jahrzehnte seit 1970. Die Grafik zeigt die Bevölkerung von Stadt B.

ein. Vergleichen Sie die Einwohnerzahlen der Städte, indem Sie die durchschnittlichen Veränderungsraten von 1990 bis 2010 berechnen und interpretieren.
Antworten:
Stadt A kann modelliert werden mit y = a(1 + r) t
wobei a = 3000, r = 0,2
y = 3000(1.2) t
1990 (t = 2): 3000(1,2) 2 = 4320
Bei 2010 (t = 4): 3000(1,2) 4 = 6221
Die durchschnittliche Änderungsrate = (6221 – 4320)/4 – 2 = 950,5
Bevölkerung von Stadt B basierend auf dem Diagramm are
1990 (t = 2): y = 5000
Bei 2010 (t = 4): y = 6500
Durchschnittliche Änderungsrate = (6500 – 5000)/4 – 2 = 750
Die durchschnittlichen Veränderungsraten sind die Bevölkerungswachstumsrate von 1990 bis 2010.
b. Sagen Sie voraus, welche Stadt nach 2020 mehr Einwohner haben wird. Erklären Sie.
Antworten:
Basierend auf den Veränderungsraten wird Stadt A nach 2030 eine größere Bevölkerung haben.

Frage 33.
BEZIEHUNGEN ANALYSIEREN
Drei Organisationen sammeln Spenden für einen guten Zweck. Organisation A beginnt mit einer Spende, und die Anzahl der Spenden vervierfacht sich stündlich. Die Tabelle zeigt die Anzahl der von Organisation B gesammelten Spenden. Die Grafik zeigt die Anzahl der von Organisation C gesammelten Spenden.

ein. Welche Art von Funktion repräsentiert die Anzahl der von Organisation A gesammelten Spenden? B? C?
b. Ermitteln Sie die durchschnittlichen Änderungsraten jeder Funktion für jedes 1-Stunden-Intervall von t = 0 bis t = 6.
c. Bei welcher Funktion steigt die durchschnittliche Änderungsrate am schnellsten? Was sagt Ihnen das über die Spendenzahlen der drei Organisationen?
Antworten:

Frage 34.
VERGLEICH DER FUNKTIONEN
Es werden die Zimmerkosten für zwei verschiedene Resorts angezeigt.

ein. Für welche Urlaubsdauer kostet jedes Resort ungefähr das gleiche?
Antworten:
Erstellen Sie eine Tabelle, in der die beiden Resorts verglichen werden. Die Bedingungen von Blue Water erhöhen sich um 112, beginnend mit t = 3, während die Bedingungen von Seewind um einen Faktor von 1,1 steigen:
/>
Aus der Tabelle ergibt ein Urlaub von 9 Tagen den Preis.
b. Angenommen, das Blue Water Resort berechnet $1450 für die ersten drei Nächte und $105 für jede weitere Nacht. Wäre das Sea Breeze Resort jemals teurer als das Blue Water Resort? Erklären.
Antworten:
/>
Ja, ab 13 Tagen Urlaub ist der Preis für Meeresbrise höher als für blaues Wasser.
c. Angenommen, das Sea Breeze Resort berechnet $1200 für die ersten drei Nächte. Für jede weitere Nacht erhöht sich der Aufpreis um 10 %. Wäre Blue Water Resort jemals teurer als Sea Breeze Resort? Erklären.
Antworten:
/>
Nein, die Preise von Sea Breeze werden für alle Urlaube immer höher sein als blaues Wasser.

Frage 35.
ARGUMENTATION
Erklären Sie, warum die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit einer linearen Funktion konstant ist und die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit einer quadratischen oder exponentiellen Funktion nicht konstant ist.
Antworten:

Frage 36.
WIE SIEHST DU ES?
Ordne jedem Graphen seine Funktion zu. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
ein. Der Graph ist eine Gerade, also lautet die Funktion: Funktion D
b. Der Graph ist ein exponentieller Zerfall, also b < 0, was Funktion C ist.
c. Der Graph ist ein exponentielles Wachstum, also b > 0, was Funktion B ist.
D. Der Graph ist eine Parabel, also ist die Funktion Funktion A.

Frage 37.
KRITISCHES DENKEN
In den geordneten Paaren unten werden die y-Werte in Bezug auf n angegeben. Sagen Sie, ob die geordneten Paare eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen. Erklären.
(1, 3n – 1), (2, 10n + 2), (3, 26n),
(4, 51n – 7), (5, 85n – 19)
Antworten:

Frage 38.
VERWENDUNG DER STRUKTUR
Schreiben Sie eine Funktion mit konstanten Sekundendifferenzen von 3.
Antworten:
Wenn die zweite Differenz konstant ist, muss es sich um eine quadratische Funktion handeln.
Der erste Unterschied sei: 1, 4, 7, 10
Daher ist eine mögliche Sequenz mit dem ersten oben gezeigten Unterschied
0, 1, 5, 12, 22
Finden Sie eine quadratische Funktion, die durchläuft:
(0, 0), (1, 1), (2, 5), (3, 12), (4, 22)
Wählen Sie 3 beliebige Punkte:
(0, 0), (1, 1), (2, 5)
Verwenden Sie das Modell y = ax² + bx + c
Bei (0, 0): 0 = a(0)² + b(0) + c
c = 0
Bei (0, 0): 0 = a(1)² + b(1) + c
a + b + c = 1
Bei (2, 5): 0 = a(2)² + b20) + c
4a + 2b + c = 5
Ersetzen Sie c = 0
a + b + c = 1
a + b = 1
4a + 2b = 5
Lösen von a und b, a = 1,5, b = -0,5 -
y = 1,5x² – 0,5x

Frage 39.
KRITISCHES DENKEN
Reicht der Graph einer Menge von Punkten aus, um zu bestimmen, ob die Punkte eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellen? Rechtfertige deine Antwort.
Antworten:

Frage 40.
GEDANKEN PROVOZIEREN
Finden Sie vier verschiedene Muster in der Abbildung. Bestimmen Sie, ob jedes Muster eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt. Schreiben Sie für jedes Muster ein Modell.

Antworten:
In einem gegebenen Muster, das n entspricht, ist die Anzahl der Knoten mit dem x-ten Abstand von der Wurzel gegeben durch
f(x) = 2x-1
wobei x N ∩ [1, n]
Somit repräsentiert jedes Muster eine Exponentialfunktion mit gemeinsamem Faktor 2.

Frage 41.
EIN ARGUMENT MACHEN
Funktion p ist eine Exponentialfunktion und Funktion q ist eine quadratische Funktion. Ihr Freund sagt, dass die Funktion q nach etwa x = 3 immer einen größeren y-Wert hat als die Funktion p. Hat dein Freund recht? Erklären.

Antworten:

Frage 42.
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Die Tabelle zeigt den Betrag, den ein Einwohner der Vereinigten Staaten (in Milliarden Dollar) jedes Jahr für Haustiere oder haustierbezogene Produkte und Dienstleistungen über einen Zeitraum von 5 Jahren ausgibt. Das Jahr x sei die unabhängige Variable. Finden Sie mithilfe von Technologie eine Funktion, die die Daten modelliert. Wie haben Sie das Modell ausgewählt? Sagen Sie voraus, wie viel Einwohner im Jahr 7 für Haustiere oder haustierbezogene Produkte und Dienstleistungen ausgeben werden.

Antworten:
Durch Zeichnen des Punktes mit einem grafischen Dienstprogramm scheint eine Parabel zu den Daten zu passen, so dass wir die quadratische Funktion verwenden.

Mit dem grafischen Dienstprogramm lautet das Modell:
y = -0,4143x² + 6,166x + 46,98

Aufrechterhaltung der mathematischen Fähigkeiten

Werten Sie den Ausdruck aus.
Frage 43.
(sqrt<121>)
Antworten:

Frage 44.
(sqrt [ 3 ]< 125 >)
Antwort: 5

Frage 45.
(sqrt [ 3 ]< 512 >)
Antworten:

Frage 46.
(sqrt [ 5 ]< 243 >)
Antwort: 3

Finden Sie das Produkt.
Frage 47.
(x + 8)(x – 8)
Antworten:

Frage 48.
(4J + 2)(4J – 2)
Antworten:
Gegeben,
(4J + 2)(4J – 2)
4y(4y – 2) + 2(4y – 2)
16y² – 8y + 8y – 4
16y² – 4

Frage 49.
(3a – 5b)(3a + 5b)
Antworten:

Frage 50.
(-2r + 6s)(-2r – 6s)
Antworten:
Gegeben,
(-2r + 6s)(-2r – 6s)
-2r(-2r – 6s) + 6s(-2r – 6s)
4r² + 12r – 12r – 36s²
4r² – 36s²

Darstellung quadratischer Funktionen Leistungsaufgabe: Asteroid Aim

8.4–8.6 Was haben Sie gelernt?

Kernvokabular

Kernkonzepte

Mathematische Praktiken

Frage 1.
Wie können Sie Ihre Antwort in Übung 64 auf Seite 448 mithilfe von Technologie bestätigen?
Antworten:

Frage 2.
Wie haben Sie die Struktur der Gleichung in Aufgabe 85 auf Seite 457 verwendet, um das Problem zu lösen?
Antworten:

Frage 3.
Beschreiben Sie, warum Ihre Antwort im Kontext der Daten in Übung 20 auf Seite 466 sinnvoll ist.
Antworten:

Leistungsaufgabe: Asteroid Asteroid

Apps brauchen viel Zeit zum Entwerfen und Programmieren. Eine in Entwicklung befindliche App ist ein Spiel, in dem Spieler Laser auf Asteroiden schießen. Sie erhalten Punkte basierend auf der Anzahl der Treffer pro Schuss. Der Designer möchte Ihr Feedback. Glauben Sie, dass die Schüler das Spiel mögen werden und es spielen wollen? Welche Änderungen würden es verbessern?
Antworten auf diese und weitere Fragen finden Sie unter

Antworten:

Graphische Darstellung quadratischer Funktionen Kapitelrückblick

8.1 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 (S. 419–424)

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 1.
p(x) = 7x 2
Antworten:
Die Funktion y = ax 2 wird aus der Elternfunktion y = x 2 durch verschiedene Transformationen abgeleitet: vertikale Streckung (|a| > 1) oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion q(x) = 7x 2
wir haben eine vertikale Dehnung um den Faktor 7 der Elternfunktion y = x 2

Frage 2.
q(x) = (frac<1><2>)x 2
Antworten:
Die Funktion y = ax 2 wird aus der Elternfunktion y = x 2 durch verschiedene Transformationen abgeleitet: vertikale Streckung (|a| > 1) oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion q(x) = (frac<1><2>)x 2
wir haben eine vertikale Dehnung um den Faktor (frac<1><2>) der Elternfunktion y = x 2

Frage 3.
g(x) = – (frac<3><4>)x 2
Antworten:
Die Funktion y = ax 2 wird aus der Elternfunktion y = x 2 durch verschiedene Transformationen abgeleitet: vertikale Dehnung (|a| > 1) oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion g(x) = – (frac<3><4>)x 2
wir haben eine vertikale Dehnung um den Faktor (frac<3><4>) der Elternfunktion y = x 2

Frage 4.
h(x) = -6x 2
Antworten:
Die Funktion y = ax 2 wird aus der Elternfunktion y = x 2 durch verschiedene Transformationen abgeleitet: vertikale Streckung (|a| > 1) oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion h(x) = – 6x 2
wir haben eine vertikale Dehnung um den Faktor 6 der Elternfunktion y = x 2

Frage 5.
Identifizieren Sie die Eigenschaften der quadratischen Funktion und ihres Graphen.

Antworten:
Aus dem Graphen können wir sehen, dass sich die quadratische Funktion nach oben öffnet und der Scheitelpunkt ist (1, -3)
Außerdem ist die Symmetrieachse x=1 und die Punkte im Diagramm sind (0, -1) und (2, -1)
Dieses Diagramm ist eine vertikale Verschiebung um 3 Einheiten nach unten und eine horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach rechts.

8.2 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + c (S. 425–430)

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 6.
g(x) = x2 + 5
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse
In der gegebenen Funktion g(x) = x 2 + 5 haben wir eine vertikale Verschiebung von 5 Einheiten nach oben von der Elternfunktion y = x²

Frage 7.
h(x) = -x 2 – 4
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Reflexion um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion h(x) = -x 2 – 4
A. eine vertikale Verschiebung um 4 Einheiten nach unten
B. Spiegelung an der x-Achse der Elternfunktion y = x²

Frage 8.
m(x) = -2x 2 + 6
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Reflexion um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion m(x) = -2x 2 + 6
A. eine vertikale Dehnung um den Faktor 2
B. vertikale Verschiebung um 6 Einheiten nach oben
C. Spiegelung an der x-Achse der Elternfunktion y = x²

Frage 9.
n(x) = (frac<1><3>)x 2 – 5
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Reflexion um die x-Achse.
In der gegebenen Funktion n(x) = (frac<1><3>)x 2 – 5
A. eine vertikale Kontraktion um den Faktor (frac<1><3>)
B. vertikale Verschiebung um 5 Einheiten nach unten
C. Spiegelung an der x-Achse der Elternfunktion y = x²

8.3 Grafische Darstellung von f(x) = ax 2 + bx + c (S. 431–438)

Zeichnen Sie die Funktion. Beschreiben Sie die Domäne und den Bereich.
Frage 10.
y = x 2 – 2x + 7
Antworten:
Der Funktionsbereich sind alle reellen Zahlen.
Schreiben wir einen Graphen in der Form y = x 2 – 2x + 7
x 2 – 2x + 1 + 6
= (x – 1) 2 + 6
(x – 1) 2 ist immer ≥ , der Bereich ist also y ≥ 6

Frage 11.
f(x) = -3x 2 + 3x – 4
Antworten:
Zuerst zeichnen wir die Funktion und finden die Symmetrieachse
x = (frac<-b><2a>)
= -3/2(-3) = 1/2 = 0.5

Frage 12.
y = (frac<1><2>)x 2 – 6x + 10
Antworten:
Schritt 1: Symmetrieachse finden:
x = (frac<-b><2a>)
x = –(–6)/2 . 1/2 = 6
Schritt 2: Finden Sie den Scheitelpunkt.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist 6, also finden Sie die y-Koordinate durch Auflösen nach f(6):
f(6) = (frac<1><2>)(6)² – 6(6) + 10
= -8
Somit liegt der Scheitelpunkt bei (6, -8)
Schritt 3: Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt, um zwei weitere Punkte im Diagramm zu finden.
Bei c = 10 ist der y-Achsenabschnitt 10, daher geht die Parabel durch den Punkt (0, 10).
Die Symmetrieachse ist x = 6
Daher muss der Punkt (12, 10) auch auf dem Graphen liegen.
Schritt 4: Zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte.
Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
Der Bereich ist [-8, +∞)

Frage 13.
Die Funktion f(t) = -16t 2 + 88t + 12 repräsentiert die Höhe (in Fuß) eines Kürbisses t Sekunden nachdem er von einem Katapult abgeschossen wird. Wann erreicht der Kürbis seine maximale Höhe? Wie hoch darf der Kürbis maximal sein?
Antworten:
Die Flugbahn des Kürbisses ist eine Parabel, so dass die Zeit, die der Kürbis benötigt, um die maximale Geschwindigkeit zu erreichen, tatsächlich die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel ist und die maximale Höhe die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist.
f(t) = -16t2 + 88t + 12
f(t) = -16(t 2 + 2 . t . (frac<11><4>)+ ((frac<11><4>))² – (( frac<11><4>))² – (frac<3><4>))
f(t) = -16((t – (frac<11><4>))² – (frac<133><16>))
f(t) = -16(t – (frac<11><4>))² + 133
f(t) = -16(t – 2,75)² + 133
Pumpkin erreicht nach dem Start eine Höchstgeschwindigkeit von 2,75 Sekunden und die maximale Höhe beträgt 133 Fuß.

8.4 Grafische Darstellung von f(x) = a(x − h) 2 + k (S. 441–448)

Bestimmen Sie, ob die Funktion gerade, ungerade oder keines davon ist.
Frage 14.
w(x) = 5 x
Antworten:
Funktion ist gerade, wenn f(-x) = f(x) und Funktion ist ungerade, wenn f(-x) = -f(x)
Also ersetzen wir x durch w(x) mit -x
w(-x) = 5 -x = (frac<1><5 x >)
Beachten Sie, dass w(-x) nicht gleich -w(x) = -5 x oder w(x) ist
Die Funktion w(x) ist also weder ungerade noch gerade.

Frage 15.
r(x) = -8x
Antworten:
Funktion ist gerade, wenn f(-x) = f(x) und Funktion ist ungerade, wenn f(-x) = -f(x)
Also ersetzen wir x durch r(x) mit -x
r(-x) = -8(-x) = 8x
Beachten Sie, dass r(-x) gleich r(x) ist, also ist die Funktion r(x) eine ungerade Funktion.

Frage 16.
h(x) = 3x 2 – 2x
Antworten:
Funktion ist gerade, wenn f(-x) = f(x) und Funktion ist ungerade, wenn f(-x) = -f(x)
Also ersetzen wir x durch h(x) mit -x
h(-x) =3(-x) 2 – 2(-x) = 3x 2 + 2x
Beachten Sie, dass h(-x) nicht gleich -h(x) oder h(x) ist
Die Funktion w(x) ist also weder ungerade noch gerade.

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 17.
h(x) = 2(x – 4) 2
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse
In der gegebenen Funktion h(x) = 2(x – 4) 2 gilt
– eine vertikale Dehnung um den Faktor 2
– 4 Verschiebeeinheit rechts von der Elternfunktion y = x²

Frage 18.
g(x) = (frac<1><2>)(x – 1) 2 + 1
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse
In der gegebenen Funktion g(x) = (frac<1><2>)(x – 1) 2 + 1 gilt
– eine vertikale Dehnung um den Faktor (frac<1><2>)
– Verschiebung der Elternfunktion um 1 Einheit nach oben y = x²

Frage 19.
q(x) = -(x + 4) 2 + 7
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse
In der gegebenen Funktion q(x) = -(x + 4) 2 + 7 gilt
– Reflexion über die x-Achse
– eine Verschiebung um 4 Einheiten nach links
– Verschiebung um 7 Einheiten nach oben der Elternfunktion y = x²

Frage 20.
Betrachten Sie die Funktion g(x) = -3(x + 2) 2 – 4. Graph h(x) = g(x = 1).
Antworten:
Die Funktion y = a(x-h)² + k hat Scheitelpunkt als (h, k) und ist durch verschiedene Transformationen aus der Elternfunktion y = x² abgeleitet: vertikale Verschiebung von |k| Einheiten, horizontal von |h| Einheiten, vertikale Dehnung oder Kontraktion (0 < |a| < 1) und Spiegelung um die x-Achse
In der gegebenen Funktion g(x) = -3(x + 2) 2 – 4 haben wir
– Reflexion über die x-Achse
– vertikale Dehnung um den Faktor 3
– eine Verschiebung um 2 Einheiten nach links
– 4 Einheiten nach unten verschieben

Frage 21.
Schreiben Sie eine quadratische Funktion, deren Graph die Ecke (3, 2) hat und durch den Punkt (4, 7) geht.
Antworten:
Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion ist
y = a(x – h)² + k
wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist.
Es ist gegeben, dass der Scheitel (3, 2)
y = a(x – 3)² + 2
Wenn der Graph den Punkt (4, 7) durchläuft. Wir können einen Punkt in die Gleichung einfügen, um a . zu erhalten
7 = a(4 – 3)² + 2
7 – 2 = a . 1
a = 5
Daher ist die Gleichung, die den gegebenen Knoten und Punkt erfüllt,
y = 5(x – 3)² + 2

8.5 Abfangformular verwenden (S. 449–458)

Zeichnen Sie die quadratische Funktion. Beschriften Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die x-Achsenabschnitte. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
Frage 22.
y = (x – 4)(x + 2)
Antworten:
0 = (x – 4) (x + 2)
x – 4 = 0 oder x + 2 = 0
x = 4 oder x = -2
Die y-Koordinaten sind y = 0
Die x-Achsenabschnitte sind 4 und -2
Die Symmetrieachse ist gegeben durch x = (4 + (-2))/2 = 1
Der Scheitelpunkt ist also (1, -9)
Außerdem sind alle reellen Zahlen und der Bereich, wie wir an y from -9 . sehen können

Frage 23.
f(x) = -3(x + 3)(x + 1)
Antworten:
Gegeben,
f(x) = -3(x + 3)(x + 1)
0 = -3(x+3)(x+1)
x + 3 = 0 oder x + 1 = 0
x = -3 oder x = – 1
Die y-Koordinaten sind y = 0
Die x-Achsenabschnitte sind -3 und -1
Die Symmetrieachse ist gegeben durch x = (-3 + (-1))/2 = -2
Der Scheitelpunkt ist also (-2, 3)
Außerdem sind alle reellen Zahlen und der Bereich alle reellen Zahlen, wie wir aus sehen können ist y 3

Frage 24.
y = x 2 – 8x + 15
Antworten:
y = x 2 – 8x + 15
0 = x 2 – 8x + 15
(x – 5) (x – 3) = 0
x – 5 = 0 oder x – 3 = 0
x = 5 oder x = 3
Die y-Koordinaten sind y = 0
Die x-Achsenabschnitte sind 5 und 3
Die Symmetrieachse ist gegeben durch x = (5 + 3)/2 = 4
Der Scheitelpunkt ist also (4, -1)
Außerdem sind alle reellen Zahlen und der Bereich alle reellen Zahlen, wie wir aus sehen können ist y ≥ -1

Verwenden Sie Nullen, um die Funktion grafisch darzustellen.
Frage 25.
y = -2x 2 + 6x + 8
Antworten:
y = -2x 2 + 6x + 8
0 = -2x 2 + 6x + 8
0 = -2(x – 4)(x + 1)
x – 4 = 0 oder x + 1 = 0
x = 4 oder x = -1
Die Symmetrieachse ist gegeben durch x = (-1 + 4)/2 = 1,5

Frage 26.
f(x) = x 2 + x – 2
Antworten:
f(x) = x 2 + x – 2
0 = x 2 + x – 2
0 = (x – 1)(x + 2)
x = 1 oder x = -2
Die Symmetrieachse ist gegeben durch x = (1 – 2)/2 = -0.5

Frage 27.
f(x) = 2x 2 – 18x
Antworten:

Frage 28.
Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Standardform, deren Graph durch (4, 0) und (6, 0) geht.
Antworten:
Wir können quadratische Gleichungen in Form eines Faktorprodukts schreiben
f(x) = (x – 4)(x – 6)
wobei (4, 0) und (6, 0) Nullstellen sind
Die Gleichung lautet also f(x) = x² – 10x + 24

8.6 Vergleich von linearen, exponentiellen und quadratischen Funktionen (S. 459−468)

Frage 29.
Sagen Sie, ob die Wertetabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt. Dann schreiben Sie die Funktion.

Antworten:
Wir können sehen, dass in den aufeinanderfolgenden y-Werten jeder nachfolgende y-Wert durch 4 geteilt wird.
Die Tabelle stellt also eine Exponentialfunktion dar.
Schreiben Sie die Gleichung in der Form f(x) = a . b x , wobei b das allgemeine Verhältnis ist.
Wir können auch sehen, dass die Funktion y-Achsenabschnitte 123 ist,
y = 128 . bx,
8 = 128 . b 2 ,
b = 1/4
f(x) = 128 . (1/4) x ,

Frage 30.
Der Saldo y (in Dollar) Ihres Sparkontos nach t Jahren wird durch y = 200(1.1)t dargestellt. Das Anfangsguthaben des Kontos Ihres Freundes beträgt 250 USD und das Guthaben erhöht sich jedes Jahr um 20 USD. (a) Vergleichen Sie die Kontostände, indem Sie die durchschnittlichen Änderungsraten von t = 2 bis t = 7 berechnen und interpretieren. (b) Sagen Sie voraus, welches Konto nach 10 Jahren einen höheren Kontostand aufweisen wird. Erklären.
Antworten:
mittlere Änderungsraten von t = 2 bis t = 7
t(7) – t(2)/7 – 2 = 29,55
Das Guthaben meines Freundes wird gegeben von
y = 20t + 250
t(7) – t(2)/7 – 2 = (250 + 140 – 250 + 40)/5
= 100/5 = 200
Mein Sparkonto hat mehr Geld und wächst schneller als das Sparkonto meines Freundes.

Graphische Darstellung von quadratischen Funktionen Kapitel Test

Zeichnen Sie die Funktion. Vergleichen Sie den Graphen mit dem Graphen von f(x) = x 2 .
Frage 1.
h(x) = 2x 2 – 3
Antworten:
Die Funktion h(x) = 2x² – 3 beinhaltet eine vertikale Dehnung um den Faktor 2 und eine Verschiebung um 3 Einheiten nach unten der Funktion f(x) = x 2

Frage 2.
g(x) = –(frac<1><2>)x 2
Antworten:
Die Funktion g(x) = –(frac<1><2>)x 2 beinhaltet eine Spiegelung an der x-Achse und eine vertikale Kontraktion um den Faktor (frac<1><2> ) der Funktion f(x) = x 2

Frage 3.
p(x) = (frac<1><2>)(x + 1) 2 – 1
Antworten:
Die Funktion p(x) = (frac<1><2>)(x + 1) 2 – 1 beinhaltet:
ich. eine horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach links
ii. eine vertikale Kontraktion um den Faktor (frac<1><2>) und
iii. eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten

Frage 4.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion f.

A. Finden Sie den Bereich, den Bereich und die Nullstellen der Funktion.
Antworten:
Domain: Alle reellen Zahlen
Bereich: y ≤ 8
Die Nullstellen auch die x-Achsenabschnitte: 3, 7
B.Schreiben Sie die Funktion f in Standardform.
Antworten:
Verwenden Sie die Scheitelpunktform:
y = (x-h)² + k
Am Scheitelpunkt (h, k) = (5, 8)
y = (x-5)² + 8
Ersetzen Sie einen der Achsenabschnitte, um Folgendes zu finden:
0 = a(3-5)² + 8
0 = 4a + 8
4a = -8
a = -2
y = -2(x-5)² + 8
y -2x 2 + 20x – 42
C. Vergleichen Sie den Graphen von f mit dem Graphen von g(x) = x 2 .
Antworten:
Unter Verwendung der Scheitelpunktform ist der Graph von f(x) der Graph von g(x):
– Gespiegelt in der x-Achse
– Vertikal um den Faktor 2 gestreckt
– Vertikal um 8 Einheiten nach oben verschoben
– Horizontal um 5 Einheiten nach rechts verschoben.
D. Graph h(x) = f (x – 6).
Antworten:
Der Graph von h(x) ist der Graph von f(x), der horizontal um 6 Einheiten nach rechts verschoben ist, sodass die Achsenabschnitte (9, 0) und (13, 0) sind.
Der Scheitelpunkt liegt jetzt bei (11, 8)

Verwenden Sie Nullen, um die Funktion grafisch darzustellen. Beschreiben Sie die Domäne und den Umfang der Funktion.
Frage 5.
f(x) = 2x 2 – 8x + 8
Antworten:
f(x) = 2x 2 – 8x + 8
y = 2x 2 – 8x + 8
y = 2(x-2)(x-2)
y = 2(x-2) 2
Somit ist der x-Achsenabschnitt der gegebenen Funktion 2 und die Symmetrieachse ist x = 2.
y = 2(2) 2 – 8(2) + 8
y = 8 – 16 + 8
y = 0
Somit liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (2, 0)

Frage 6.
y = -(x + 5)(x – 1)
Antworten:
x = (-5+1)/2 = -2
Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel eine x-Koordinate von -2 hat.
y = -(x + 5)(x – 1)
y = -(-2+5)(-2-1)
y = -(3)(-3)
y = 9
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (-2, 9)

Frage 7.
h(x) = 16x 2 – 4
Antworten:
Gegeben,
h(x) = 16x 2 – 4
Schreiben Sie die gegebene Funktion in Intercept-Form, um zu haben:
h(x) = 16(x 2 – 1/4)
h(x) = 16(x – 1/2)(x + 1/2)
Die Symmetrieachse ist x = (-0.5+0.5)/2 = 0
Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel eine x-Koordinate von 0 hat.
y = 16(0) – 4
y = 0 – 4
y = -4
Daher liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei (0, -4)

Sagen Sie, ob die Wertetabelle eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion darstellt. Erklären Sie Ihre Argumentation. Dann schreiben Sie die Funktion.
Frage 8.

Antworten:
Unter den gegebenen y-Werten, die aufeinander folgen, kann der nächste y-Wert gefunden werden, indem 2 mit dem vorherigen y-Wert multipliziert wird.
Daher stellt die Wertetabelle eine Exponentialfunktion dar.
Die Exponentialfunktion kann als f(x) = a geschrieben werden. b x

wobei b das gemeinsame Verhältnis ist.
Somit ist die vorläufige Gleichung der Funktion, die die gegebene Wertetabelle repräsentiert
f(x) = a . b x
Verwenden Sie den Punkt (0, 8), um den Wert von a zu finden:
8 = ein. 2 0
8 = a(1)
8 = a
Daher ist die Funktion, die die gegebene Wertetabelle repräsentiert, f(x) = 8 . 2 x
Entspricht also der Funktion f(x) = 2³ . 2x+3

Frage 9.

Antworten:
/>
Da die zweite Differenz konstant ist, ist die Funktion quadratisch.
Beachten Sie, dass die y-Werte in Bezug auf den Punkt (0, 0) symmetrisch sind. Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel (0, 0)
j = ein. x 2
Verwenden Sie den Punkt (0, 8), um den Wert von a zu finden:
-2 = ein. 1 2
-2 = a(1)
-2 = a
Daher lautet die Gleichung der quadratischen Funktion y = -2 x 2

Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Standardform, deren Graph die gegebenen Bedingungen erfüllt. Erklären Sie den von Ihnen verwendeten Prozess.
Frage 10.
geht durch (-8, 0), (-2, 0) und (-6, 4)
Antworten:
Bei gegebenen x-Achsenabschnitten (-8, -2) verwenden Sie die Achsenabschnittsform:
f(x) = a(x – p)(x – q)
Ersetzen Sie die Achsenabschnitte und vereinfachen Sie:
f(x) = a(x – (-8))(x – (-2))
f(x) = a(x + 8)(x+2)
Verwenden Sie den anderen Punkt (-6, 4), um den Wert von a zu finden:
4 = a(-6 + 8)(-6 + 2)
4 = -8a
Also die Funktion
f(x) = -1/2(x + 8)(x + 2)
f(x) = -1/2x² – 5x – 8

Frage 11.
geht durch (0, 0), (10, 0) und (9, -27)
Antworten:
Bei gegebenen x-Achsenabschnitten (0, 10) verwenden Sie die Achsenabschnittsform
f(x) = a(x – p)(x – q)
f(x) = a(x – 0)(x – 10)
f(x) = a(x)(x – 10)
Verwenden Sie den anderen Punkt (9, -27), um den Wert von a zu finden:
-27 = a(9)(9 – 10)
-27= -9a
a = 3
Daher ist die Funktion
f(x) = 3(x)(x – 10)
f(x) = 3x² – 30x

Frage 12.
ist gerade und hat eine Spannweite von y ≥ 3
Antworten:
Das Quadrat ist gerade, wenn es um die y-Achse symmetrisch ist, also ist die Symmetrie die y-Achse.
Der Bereich impliziert, dass sich die Parabel nach oben öffnet und der Scheitelpunkt bei (0, 3) liegt
Verwenden Sie die Scheitelpunktform:
y = a(x – h)² + k
Am Scheitelpunkt (h, k) = (0, 3)
y = a(x – 0)² + 3
Sei a = 1
y = (1)(x – 0)² + 3
y = x² + 3

Frage 13.
geht durch (4, 0) und (1, 9)
Antworten:
Lass die Parabel in der Form sein
y = ax² + bx
Stelle 2 Gleichungen mit den Punkten auf
At(4, 0): 0 = 16a + 4b
Bei (1, 9): 9 = a + b
b = 9 –a
0 = 16a + 4(9 –a)
0 = 16a + 36 – 4a
-12a = 36
a = -3
b = 9 – (-3)
y = -3x² + 12x

Frage 14.
Die Tabelle zeigt die Entfernungen d (in Meilen), die die Erde nach t Sekunden auf ihrer Bahn um die Sonne zurücklegt. Sei die Zeit t die unabhängige Variable. Geben Sie an, ob die Daten durch eine lineare, eine exponentielle oder eine quadratische Funktion modelliert werden können. Erklären. Schreiben Sie dann eine Funktion, die die Daten modelliert.

Antworten:
Die ersten Differenzen sind konstant bei 19, sodass die Funktion linear ist.
Verwenden Sie 2 beliebige Punkte,
(t1, d1) → (1, 19)
(t2, d2) → (2, 38)
Verwenden Sie die Punkt-Steigungs-Formel:
y – y1 = m(x – x1)
t – t1 = m(t – t1)
m = (d2-d1)/(t2-t1) = (38-19)/2-1 = 19
d – 19 = 19(t – 1)
d – 19 = 19t – 19
d = 19t

Frage 15.
Du spielst mit einem Freund Tennis. Der Weg des Tennisballs nach einem Aufschlag kann durch die Funktion y = -0,005x 2 + 0,17x + 3 modelliert werden, wobei x die horizontale Entfernung (in Fuß) von der Stelle ist, an der Sie den Ball schlagen, und y die Höhe ist (in Fuß) des Balls.
A. Was ist die maximale Höhe des Tennisballs?
Antworten:
Die maximale Höhe ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts.
x = -b/2a
wobei a = -0,005 und b = 0,17
x = –(frac<0,07><2(-0,005)>) = 17
Die y-Koordinate ist
y = -0,005(17)² + 0,17(17) + 3
y = 4,445

B. Sie stehen 30 Fuß vom Netz entfernt, das 3 Fuß hoch ist. Wird der Ball das Netz räumen? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Antworten:
Der Ball wird das Netz löschen, wenn bei x = 30 die Höhe y größer als 3 Fuß ist.
y = 0,005(30)² + 0,17(30) + 3
y = 3,6 ft
Da 3,6 Fuß > 3 Fuß beträgt, wird der Ball das Netz passieren.

Frage 16.
Finden Sie Werte von a, b und c, sodass die Funktion f(x) = ax 2 + bx + c (a) gerade, (b) ungerade und (c) weder gerade noch ungerade ist.
Antworten:
A. Die Funktion ist gerade, wenn sie erfüllt:
f(-x) = f(x)
a(-x)² + b(-x) + c = ax 2 + bx + c
Axt 2 – bx + c = Axt 2 + bx + c
Damit diese Gleichung wahr ist, können wir b = 0 lassen, sodass a und c einen beliebigen Wert haben.
Eine mögliche Antwort ist a = 1, b = 0, c = 2
B.
Die Funktion ist ungerade, wenn sie erfüllt:
f(-x) = -f(x)
a(-x)² + b(-x) + c = -(ax 2 + bx + c)
Axt 2 – bx + c = -ax 2 – bx – c
Damit diese Gleichung wahr ist, können wir a = c = 0 lassen, sodass b ein beliebiger Wert sein kann.
Eine mögliche Antwort ist a = 0, b = 1, c = 0
C.
Die Funktion ist weder ungerade noch gerade, wenn a, b und c nicht Null sind
Eine mögliche Antwort ist: a = 1, b = 2, c = 3

Frage 17.
Betrachten Sie die Funktion f(x) = x 2 + 4. Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von x = 0 bis x = 1, von x = 1 bis x = 2 und von x = 2 bis x = 3. bemerken Sie die durchschnittlichen Änderungsraten, wenn die Funktion ansteigt?
Antworten:
Konstruiere eine Tabelle aus x = 0 und x = 3
/>
Vergleichen Sie die Änderungsrate mit der durchschnittlichen Änderungsrate
= f(b) – f(a)/b-a
Von t = 0 bis t = 1:
(5-4)/1-0 = 1
Von t = 1 bis t = 2:
(8-5)/2-1 = 3
Von t = 2 bis t = 3:
(13-8)/3-2 = 5
Mit zunehmender Funktion nimmt auch die Änderungsrate zu.

Kumulative Bewertung quadratischer Funktionen grafisch darstellen

Frage 1.
Welche Funktion wird durch den Graphen dargestellt?

Antworten:
Im Diagramm können wir sehen, dass der Scheitelpunkt (0, 0) ist.
Somit hat die Parabel die Form f(x) =ax 2
Da (2, -2) auf dem Graphen liegen,
f(2) = -2
Axt 2 = -2
a = -1/2
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 2.
Finden Sie alle Zahlen zwischen 0 und 100, die im Bereich der unten definierten Funktion liegen. (HSF-IF.A.3)
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = f(n – 1) + f(n – 2)
Antworten:
Die rekursive Regel ist die Fibonacci-Folge, bei der jeder Term die Summe der vorherigen Terme ist.
Verwenden Sie die rekursive Regel, bis der Term größer als 100 ist, wenn er nicht enthalten ist:
f(1) = 1
f(2) = 1
f(3) = f(2) + f(1) = 1 + 1 = 2
f(4) = f(3) + f(2) = 2 + 1 = 3
f(5) = f(4) + f(3) = 3 + 2 = 5
f(6) = f(5) + f(4) = 5 + 3 = 8
f(7) = f(6) + f(5) = 8 + 5 = 13
f(8) = f(7) + f(6) = 13 + 8 = 21
f(9) = f(8) + f(7) = 21 + 13 = 34
f(10) = f(9) + f(8) = 34 + 21 = 55
f(11) = f(10) + f(9) = 55 + 34 = 89
f(12) = f(11) + f(10) = 89 + 55 = 144
Daher sind die Zahlen zwischen 0 und 100: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 und 89.

Frage 3.
Die Funktion f(t) = -16t 2 + v0t + s0 stellt die Höhe (in Fuß) eines Balls t Sekunden dar, nachdem er von einer anfänglichen Höhe s0 (in Fuß) mit einer anfänglichen vertikalen Geschwindigkeit v0 (in Fuß pro Sekunde) geworfen wurde. Der Ball erreicht seine maximale Höhe nach (frac<7><8>) Sekunde, wenn er mit einer anfänglichen vertikalen Geschwindigkeit von ______ Fuß pro Sekunde geworfen wird.
Antworten:
Die maximale Höhe entspricht dem Scheitelpunkt mit der x-Koordinate x = -b/2a
t = – v0/2(-16)
7/8 = v0/32
v0 = 28
Somit beträgt die Anfangsgeschwindigkeit 28 Fuß/s.

Frage 4.
Klassifizieren Sie jedes Gleichungssystem nach der Anzahl der Lösungen.

Antworten:
Wandeln Sie jede Gleichung in eine Steigungsabschnittsform um und vergleichen Sie dann die Steigungen und Abschnitte, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen.
System A:
Die Steigungen sind negativ reziprok, also senkrecht.
Daher gibt es 1 Lösung.
Das System ist konsistent.
System B:
y = –(frac<7><4>)x + 3
y = (frac<7><8>)x + (frac<3><2>)
Die Pisten sind unterschiedlich, so dass sie sich kreuzen. Daher gibt es 1 Lösung.
Das System ist konsistent.
System C:
y = –(frac<1><2>)x – (frac<1><2>)
y = –(frac<5><2>)x – (frac<1><2>)
Die Pisten sind unterschiedlich und kreuzen sich. Daher gibt es 1 Lösung.
Das System ist konsistent.
System D:
y = -3x + 5
y = -3x + 5
Die 2 Gleichungen sind die gleiche Linie. Daher gibt es unendlich viele Lösungen.
Das System ist konsistent.
System E:
y = 2x + 3/2
y = 2x + 3/2
Die 2 Gleichungen sind die gleiche Linie. Daher gibt es unendlich viele Lösungen.
Das System ist konsistent.
System F:
Die Gleichungen haben die gleiche Steigung. Daher gibt es keine Lösung.
Das System ist inkonsistent.

Frage 5.
Ihr Freund behauptet, dass quadratische Funktionen zwei, eine oder keine reellen Nullstellen haben können. Unterstützen Sie die Behauptung Ihres Freundes? Verwenden Sie Grafiken, um Ihre Antwort zu begründen.
Antworten:
Ja, er hat recht.
Es gibt 2 reelle Nullstellen, wenn der Graph die x-Achse schneidet. Es gibt nur 1 reelle Null, wenn der Graph die x-Achse berührt.
Es gibt keine echte Null, wenn der Graph die x-Achse nicht schneidet/berührt.

Frage 6.
Welches Polynom repräsentiert die Fläche (in Quadratfuß) des schattierten Bereichs der Figur?

Antworten:
Jede Seite des schattierten Bereichs ist x – a.
A = (x – a)²
Verwenden des Quadrats der Binomialdifferenz
A = x² – 2ax + a²
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 7.
Betrachten Sie die Funktionen, die durch die Tabellen dargestellt werden.

A. Klassifizieren Sie jede Funktion als linear, exponentiell oder quadratisch.
Antworten:
Für p(x):
Die ersten Unterschiede sind: -12, -12, -12
Da die ersten Differenzen konstant sind, ist sie linear.
Für r(x):
Die ersten Unterschiede sind: 15, 25, 35
Die zweiten Unterschiede sind: 10, 10
Da die zweiten Differenzen konstant sind, ist sie quadratisch.
Für s(x):
Es gibt ein gemeinsames Verhältnis von 1/2
Somit ist die Funktion exponentiell.
Für t(x):
Die ersten Unterschiede sind: -8, -16, -24
Die zweiten Unterschiede sind: -8, -8
Da die zweiten Differenzen konstant sind, ist sie quadratisch.

B. Ordnen Sie die Funktionen vom kleinsten zum größten nach den durchschnittlichen Änderungsraten zwischen x = 1 und x = 3.
Antworten:
Vergleichen Sie die Änderungsrate mit der durchschnittlichen Änderungsrate = f(b) – f(a)/b-a
p(x) = -40-(-16)/3-1 = -12
r(x) = 40-0/3-1 = 40/2 = 20
s(x) = 18-(72)/3-1 = -27
t(x) = -5-3/3-1 = -4
Vergleichen Sie die absoluten Werte der Änderungsrate, die Reihenfolge vom kleinsten zum größten ist: t(x), p(x), r(x), s(x)

Frage 8.
Vervollständigen Sie jede Funktion mit den Symbolen + oder – , damit der Graph der quadratischen Funktion die gegebenen Bedingungen erfüllt.

Antworten:
A. Verwenden Sie die Scheitelpunktform:
y = a(x-h)² + k
wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist
f(x) = 5(x-(-3))² + 4
f(x) = 5(x + 3)² + 4
B. Verwenden Sie das Abfangformular:
y = a(x-p)(x-q)
g(x) = -(x-2)(x-(-8))
g(x) = -(x-2)(x+8)
C. Der Bereich impliziert, dass sich die Parabel nach oben öffnet und die y-Koordinate -6 . beträgt
h(x) = 3x² – 6
D. Der Bereich impliziert, dass sich die Parabel nach unten öffnet und die y-Koordinate 4 beträgt.
Daher haben die beiden Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen:
j(x) = -4(x+1)(x-1)

Frage 9.
Die Grafik zeigt die Beträge y (in Dollar), die ein Schiedsrichter für das Schiedsrichtern von x High-School-Volleyballspielen verdient.

A. Stellt der Graph eine lineare oder nichtlineare Funktion dar? Erklären.
Antwort: Der Graph repräsentiert eine lineare Funktion.

B. Beschreiben Sie den Funktionsbereich. Ist die Domäne diskret oder stetig?
Antwort: Die Domäne ist die Menge der natürlichen Zahlen im Kontext mit dem gegebenen Problem und ist diskret, da die Anzahl der Spiele ganze Zahlen sein muss.

C. Schreiben Sie eine Funktion, die die Daten modelliert.
Antworten:
(x1, y1) → (2, 90)
(x2, y2) → (4, 180)
y – y1 = m(x – x1)
m = 45
Ersatz:
y – 90 = 45(x – 2)
y – 90 = 45x – 90
y = 45x

D. Kann der Schiedsrichter genau $500 verdienen? Erklären.
Antworten:
Nein, denn 500 ist kein Vielfaches von 45 wie oben gezeigt.

Frage 10.
Welche Ausdrücke entsprechen (b -5 ) -4 ?

Antworten:
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Quadratische Gleichungen grafisch darstellen



Beispiele, Lösungen, Videos, Arbeitsblätter und Aktivitäten, mit denen Algebra-Schüler lernen, wie man quadratische Gleichungen grafisch darstellt.

Die folgende Abbildung zeigt, wie eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form grafisch dargestellt wird. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Lösungen zur grafischen Darstellung quadratischer Gleichungen zu erhalten.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Wir freuen uns über Ihr Feedback, Kommentare und Fragen zu dieser Site oder Seite. Bitte senden Sie Ihr Feedback oder Ihre Anfragen über unsere Feedback-Seite.


Gelöste Fragen

Zeichnen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen und geben Sie ihre Art der Lösungen an.

Zeichnen Sie den Graphen für die Funktion y =  x 2  − 9x + 20

Geben wir einige zufällige Werte von x an und finden die Werte von y.

Um die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel zu finden, können wir die Formel x = -b/2a . verwenden

Durch Anwendung von x = 9/2 erhalten wir den Wert von y.

Der Graph der gegebenen Parabel schneidet die x-Achse an zwei verschiedenen Punkten. Daher hat es reale und ungleiche Wurzeln.

Zeichnen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen und geben Sie ihre Art der Lösungen an.


Ressourcen für höhere Mathematik

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1. Über quadratische Graphen

  • Sind U-förmige Kurven
  • y = ax² + bx + c ⇒ Wenn a > 0 dann ist der Wendepunkt ein Minimum ⇒ bekannt als a ‘Happy Parabel
  • y = ax² + bx + c ⇒ Wenn a < 0 dann ist der Wendepunkt ein Maximum ⇒ bekannt als a ‘Traurige Parabel
  • Identifizieren Sie, ob entweder eine Max- oder Min-Form
  • Bestimme den y-Achsenabschnitt x mache x = 0 und löse nach y
  • Finde die Wurzeln ⇒ mache y = 0 und löse nach x
  • Finden Sie die Symmetrieachse
  • Finden Sie die Koordinaten des Wendepunkts
  • Für weitere Übungen/Arbeitsblätter klicken Sie bitte auf unsere N5 Maths-Website Quadratische Grafiken HIER verlinken.

2. Polynome und Quadrate – Arbeitsblätter

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Bitte verwenden Sie sie regelmäßig zur Überprüfung vor Prüfungen, Tests und der Abschlussprüfung. Klare, leicht verständliche, schrittweise erarbeitete Lösungen für alle unten aufgeführten Arbeitsblätter sind im Online-Studienpaket verfügbar.

Arbeitsblätter
___________________________
Thema
__________________________________
Antworten
________
Anstand
_______________________________________________
Prüfungspraxis für grundlegende Fähigkeiten 2Quadratische TheorieAntworten
Prüfungspraxis für grundlegende Fähigkeiten 4PolynomeAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 6Quadratische UngleichungenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 7Den Platz vervollständigenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 13 Quadratische Formel (N5 Mathematik)Antworten
Grundlegende Fähigkeiten 14Synthetische AbteilungAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 33Verwendung des DiskriminantenAntworten
Höhere PrüfungsfragenPolynomeAntworten
Höhere PrüfungsfragenQuadratikAntworten
Höhere PrüfungsfragenPolynome und QuadratikAntworten
Arbeitsblatt 1Den Platz vervollständigenAntwortenMaths4Everyone.com wurde freundlicherweise über die TES-Website geteilt
Arbeitsblatt 2Das Quadrat vervollständigen - FortgeschrittenAntwortenMaths4Everyone.com wurde freundlicherweise über die TES-Website geteilt

3. Polynome und Quadratik – Videos, Theorieleitfäden und Mindmaps

Vielen Dank an die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der nachstehenden hervorragenden Ressourcen. Bitte verwenden Sie sie regelmäßig zur Überprüfung vor Prüfungen, Tests und der Abschlussprüfung.

Larbert Mathe-Videos
_____________________________
maths180.com Videos
___________________________
HSN-Theorie-Leitfaden
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Gedächniskarten
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Einführung - PolynomeDen Platz vervollständigenPolynome & Quadratische Theorie (HSN)Polynome und Quadratik (HSN)
Dividierende PolynomeDiskriminierend Polynome und Quadratik
Faktorisieren von PolynomenUngleichungen Polynome
Faktorisieren von Funktionen aus GraphenSchnittpunkt von Parabeln und Linien Quadratik
Finden unbekannter KoeffizientenVerwendung des Diskriminanten
Gleichungen lösen
Quadratische Skizzen Quadrat

4. Höhere mathematische Grundfertigkeiten

Vielen Dank an Herrn G. Rennie für die kostenlose Bereitstellung der nachstehenden hervorragenden Ressourcen. Die Essential Skills Worksheets können für allgemeine Wiederholungen, Hausaufgaben, Vertiefung eines Themas oder Vorbereitung auf Prüfungen, Tests und Prüfungen verwendet werden.

Essenzielle Fähigkeiten
__________________
Thema
________________________________
Antworten
________
Essenzielle Fähigkeiten
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Thema
_________________________
Antworten
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PrüfungsübungsbroschürePrüfungsheft mit AntwortenAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 17Graphen abgeleiteter FunktionenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 1Median eines DreiecksAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 18Logarithmische GleichungenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 2Senkrechte WinkelhalbierendeAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 19Trig-Identitäten nachweisenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 3Höhe eines DreiecksAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 20Verwandte GrafikenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 4Gleichung einer Tangente an eine KurveAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 21SkalarproduktAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 5Stationäre PunkteAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 22Weitere DifferenzierungAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 6Quadratische UngleichungenAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 23Weitere IntegrationAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 7Den Platz vervollständigenAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 24Wiederholung: Aufeinanderfolgende BegriffeAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 8Tangential an einen KreisAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 25DifferentialgleichungAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 9Schnittpunkt von Linien und KreisenAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 26Bestimmte IntegraleAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 10AbschnittsformelAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 27Zusammengesetzte FunktionenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 11Trigger-FormelAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 28Inverse FunktionenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 12Verwandte WinkelAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 29Winkel zwischen Linie und x-AchseAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 13Trigonale Gleichungen (Doppelwinkelformel)AntwortenGrundlegende Fähigkeiten 30Winkel zwischen VektorenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 14Synthetische AbteilungAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 31Natürliche LogarithmenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 15Grenze einer WiederholungsbeziehungAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 32Protokolle: Verbinden von 2 VariablenAntworten
Grundlegende Fähigkeiten 16Die WellenfunktionAntwortenGrundlegende Fähigkeiten 33Verwendung des DiskriminantenAntworten

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5. Arbeitsblätter für höhere Mathematikprüfungen nach Thema

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Die Arbeitsblätter nach Themen sind eine fantastische Lernressource, da es sich um aktuelle Prüfungsfragen aus der Vergangenheit handelt. Klare, leicht verständliche, Schritt-für-Schritt-Lösungen für alle neuen CfE Higher Maths-Fragen unten sind im Online-Studienpaket verfügbar.

Nummer
______
Thema
___________________________
Antworten
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Nummer
______
Thema
___________________________
Antworten
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1Kreise Antworten21PolynomeAntworten
2Kreise (alt höher)Ans enthalten22Polynome (alt höher)Ans enthalten
3Differenzierung - 1Antworten23QuadratikAntworten
4Differenzierung - 2Antworten24Quadratik (alt höher)Ans enthalten
5Differenzierung (Optimierung)Antworten25Wiederholungsbeziehungen - 1Antworten
6Differenzierung (alt höher)Ans enthalten26Wiederholungsbeziehungen - 2Antworten
7Exponential- und Ampere-LogsAntworten27Wiederholungsbeziehungen (alt höher)Ans enthalten
8Exponential- und Ampere-Logs (alt höher)Ans enthalten28Gerade Linien - 1Antworten
9FunktionenAntworten29Gerade Linien - 2Antworten
10Funktionen und GrafikenAntworten30Gerade Linien (alt höher)Ans enthalten
11Funktionen (alt höher)Ans enthalten31Trigonale Formeln und Gleichungen - 1Antworten
12Weitere BerechnungenAntworten32Trigonale Formeln und Gleichungen - 2Antworten
13Weiteres Kalkül (alt höher)Ans enthalten33Trig-Additionsformel (alt höher)Ans enthalten
14FunktionsgraphenAntworten34Trig-Graphen & Ampere-Gleichungen (alt höher)Ans enthalten
15Graphen von Funktionen (alt höher)Ans enthalten35VektorenAntworten
16Integration - 1Antworten36Vektoren (alt höher)Ans enthalten
17Integration - 2Antworten37WellenfunktionAntworten
18Integration - Fläche unter einer KurveAntworten38Wellenfunktion (alt höher)Ans enthalten
19Integration (alt höher)Ans enthalten39Vorläufige Revision SpezialAntworten
20Polynome und QuadratikAntworten

6. Higher Maths Past & Practice Papers nach Thema

Vielen Dank an die SQA für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Fragen und Antworten sind nach Themen geordnet, damit Sie leichter nachschlagen können. Klare, leicht verständliche, Schritt-für-Schritt-Lösungen für alle unten aufgeführten Fragen sind im Online-Studienpaket verfügbar.

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7. Videos für höhere Mathematik, Theorieleitfäden, Mindmaps und Arbeitsblätter

Dutzende von Higher Maths Videos bieten qualitativ hochwertigen Unterricht nach Themen. Ebenfalls enthalten sind ausgezeichnete Theorieleitfäden, Mind Maps und Revisionsarbeitsblätter mit aktuellen Prüfungsfragen für höhere Mathematik. Bitte klicken Sie auf unsere neuen Videos zu Höhere Mathematik und Arbeitsblätter, die nach Themen geordnet sind.

8. Higher Maths Past & Practice Papers

Vielen Dank an die SQA für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Klare, leicht verständliche, schrittweise erarbeitete Lösungen für alle unten aufgeführten CfE-Hochschularbeiten sind im Online-Studienpaket verfügbar.

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9. 40 Fragen und Antworten zu höherer Mathematik ohne Taschenrechner

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Beginnen Sie mit diesen Fragen, um Ihr Selbstvertrauen aufzubauen. Wenn Sie fertig sind, möchten Sie vielleicht zum 200 Prüfungsfragen für höhere Mathematik Überprüfen Sie im nächsten Abschnitt Ihre Antworten. Wenn du nicht weiterkommst, bitte deinen Lehrer immer so schnell wie möglich um Hilfe. Klare, leicht verständliche, Schritt-für-Schritt-Lösungen für alle unten aufgeführten 40 Fragen sind im Online-Studienpaket verfügbar.

Prüfungsfragen
_______________________
Antworten
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Blatt A - 10 FragenAntworten
Blatt B - 10 FragenAntworten
Blatt C - 10 FragenAntworten
Blatt D - 10 FragenAntworten
Ganze Broschüre zum DruckenAntworten

10. 200 Fragen und Antworten zu Höhere Mathematik

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Bitte versuchen Sie, so viele Fragen wie möglich zu beantworten und überprüfen Sie Ihre Antworten. Wenn du nicht weiterkommst, bitte deinen Lehrer immer so schnell wie möglich um Hilfe. Das Online-Studienpaket enthält klare, leicht verständliche, schrittweise erarbeitete Lösungen für alle 200 unten aufgeführten Fragen.

Prüfungsfragen
_____________________
Antworten
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Prüfungsfragen 1 - 20Antworten
Prüfungsfragen 21 - 40Antworten
Prüfungsfragen 41 - 60Antworten
Prüfungsfragen 61 - 80Antworten
Prüfungsfragen 81 - 100Antworten
Prüfungsfragen 101 - 120Antworten
Prüfungsfragen 121 - 140Antworten
Prüfungsfragen 141 - 160Antworten
Prüfungsfragen 161 - 180Antworten
Prüfungsfragen 181 - 200Antworten
Ganze Broschüre zum DruckenAntworten

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11. Übungsprüfungsunterlagen A bis H – Answers Included

Vielen Dank an die SQA und die Larkhall Academy für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Bitte verwenden Sie sie regelmäßig zur Überprüfung vor Prüfungen, Tests und der Abschlussprüfung. Im Online-Studienpaket sind klare, leicht verständliche Schritt-für-Schritt-Lösungen für die Praxispapiere A bis E verfügbar.

Übungspapier
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Papier 1
_____________
Papier 2
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Papiere 1 & 2
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Antworten
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Papier APapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier BPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier CPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier DPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier EPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier FPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier GPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Papier HPapier 1Papier 2Papiere 1 & 2Antworten
Vorläufiges SpecialFragen Fragen & AntwortenAntworten
Vorläufiges SpecialWeihnachtsthema Fragen & AntwortenAntworten

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12. 264 SQA-Prüfung Multiple-Choice-Fragen und -Antworten

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Multiple-Choice-Fragen sind in erster Linie C-Level-Fragen und ein großartiger Ausgangspunkt für Ihre Überarbeitung. Wenn du nicht weiterkommst, bitte deinen Lehrer immer so schnell wie möglich um Hilfe.

Fragen
__________
Jahr
______
Multiple-Choice-Prüfung
__________________
Multiple-Choice-Prüfung
__________________
Multiple-Choice-Prüfung
__________________
1 - 202015Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
21 - 402014Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
41 - 602013Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
61 - 802012Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
81 - 1002011Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
101 - 1202010Nur FragenFragen & AntwortenNur Antworten
121 - 264GemischtNur FragenFragen & AntwortenNur Antworten


13. Checklisten für höhere Mathematikprüfungen

Vielen Dank an die SQA und die Autoren für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Dies sind fantastische Checklisten, um Ihr Wissen in Höhere Mathematik zu bewerten. Bitte versuchen Sie diese regelmäßig zur Überarbeitung vor Prüfungen, Vorprüfungen und der Abschlussprüfung zu verwenden.

Beschreibung
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Verknüpfung
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Danksagung
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Kursbeschreibung Höhere MathematikHIER
SQA Higher Maths Examensformeln ListeHIERMit freundlicher Genehmigung von SQA
Checkliste 1 - Gesamter Kurs der höheren Mathematikprüfung
HIERMit freundlicher Genehmigung von Zeta Maths
Checkliste 2 - Liste der höheren mathematischen Formeln, die in der Prüfung nicht gegeben werdenHIER
Checkliste 3 - Gesamter Kurs für die Prüfung in Höhere MathematikHIER
Checkliste 4 – Prüfungsbogen für Prüfungen in Höhere MathematikHIER
Checkliste 5 - Einseitiger Zusammenfassungsleitfaden Einheit 1 (HSN)HIERMit freundlicher Genehmigung von HSN
Checkliste 6 - Einseitiger Zusammenfassungsleitfaden Einheit 2 (HSN)HIERMit freundlicher Genehmigung von HSN
Checkliste 7 - Einseitiger Zusammenfassungsleitfaden Einheit 3 ​​(HSN)HIERMit freundlicher Genehmigung von HSN

14. Alte höhere Mathematik-Prüfungsfragen nach Thema

Vielen Dank an die SQA für die kostenlose Bereitstellung der unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen. Die Arbeitsblätter nach Themen sind eine fantastische zusätzliche Lernressource.

Thema
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Themenname
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Verknüpfung
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Anmerkungen
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Thema 1KreiseHIERAntworten enthalten
Thema 2DifferenzierungHIERAntworten enthalten
Thema 3Exponential- und LogarithmenHIERAntworten enthalten
Thema 4FunktionenHIERAntworten enthalten
Thema 5Weitere BerechnungenHIERAntworten enthalten
Thema 6FunktionsgraphenHIERAntworten enthalten
Thema 7IntegrationHIERAntworten enthalten
Thema 8PolynomeHIERAntworten enthalten
Thema 9QuadratikHIERAntworten enthalten
Thema 10WiederholungsbeziehungenHIERAntworten enthalten
Thema 11Gerade LinieHIERAntworten enthalten
Thema 12Trigonale AdditionsformelnHIERAntworten enthalten
Thema 13Trigogramme und GleichungenHIERAntworten enthalten
Thema 14VektorenHIERAntworten enthalten
Thema 15WellenfunktionHIERAntworten enthalten

15. Higher Maths Lehrbuchlösungen Math

Vielen Dank an die AHS für die Bereitstellung der nachstehenden Lehrbuchlösungen für Heinemann Höhere Mathematik. Diese werden sich als äußerst nützlich erweisen, um Ihr Wissen in Höhere Mathematik zu verbessern. Bitte beachten Sie, dass es gelegentlich zu Rechenfehlern kommen kann.

Thema
______________
Themenname
____________________
Thema 1Gerade Linie1A1B1D1E1F1G1I1K1M1N1O1O
Thema 2Funktionen und Grafiken 12A2B2C2D2F2G2I
Thema 3Funktionen und Diagramme 2 3A3C3K3N3O3P
Thema 4Wiederauftreten5A5B5B5C5D5F5H5I
Thema 5Differenzierung6A6C6D6E6F6G6H6I6J6L6M6N6O6P6Q6R6S
Thema 6Polynome7B7C7D7E7F7G7H7I7J
Thema 7Quadratik8C8D8E8F8H8I8J8 TAUSEND
Thema 8Integration9G9 STUNDEN9I9L9N9P9Q
Thema 9Trigonometrie11B11C11D11E11F11G11H
Thema 10Kreise12B12D12F12H12J12K12L
Thema 11Vektoren13A13C13D13E13F13G13I13K13L13M13N13O13P13Q13R13S13U
Thema 12Weitere Berechnungen14B14C14C14E14G14H14I14J14K
Thema 13Exp's & Logs15C15D15E15F15G15H15I15I15J15K15L
Thema 14Wellenfunktion16A16C16D16E16F16G16H

16. Higher Maths Theory Guides

Vielen Dank an HSN für die kostenlose Bereitstellung der hervorragenden Higher Maths Theory Guides für alle. Diese werden sich als fantastische Ressource erweisen, um Ihnen zu helfen, Ihr Verständnis der Höheren Mathematik zu festigen.

Theorieführer
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Thema
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Verknüpfung
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Theorieführer 1Alle Themen Einheit 1 Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 2Alle Themen Einheit 1 - Zusammenfassungsleitfaden auf einer Seite (HSN)HIER
Theorieführer 3Alle Themen Einheit 2 Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 4Alle Themen Einheit 2 - Zusammenfassungsleitfaden auf einer Seite (HSN)HIER
Theorieführer 5Alle Themen Einheit 3 ​​Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 6Alle Themen Einheit 3 ​​- Zusammenfassungsleitfaden auf einer Seite (HSN)HIER
Theorieführer 7Alle Themen Einheiten 1,2 & 3 Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 8Kreistheorie (HSN)HIER
Theorieführer 9Differenzierungstheorie (HSN)HIER
Theorieführer 10Exponential- und Logarithmentheorie (HSN)HIER
Theorieführer 11Funktionen und Graphentheorie (HSN)HIER
Theorieführer 12Weitere Analysis-Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 13Graphs Transformations Theorie (Bewegung und Reflexion)HIER
Theorieführer 14Übersichtsblatt für Graphs-TransformationenHIER
Theorieführer 15Integrationstheorie (HSN)HIER
Theorieführer 16Polynome & Quadratische Theorie (HSN)HIER
Theorieführer 17Sequenztheorie (HSN)HIER
Theorieführer 18Geradentheorie (HSN)HIER
Theorieführer 19Trigonometrietheorie (HSN)HIER
Theorieführer 19Vektorentheorie (HSN)HIER
Theorieführer 20Wellenfunktionstheorie (HSN)HIER

17. Mindmaps für höhere Mathematik

Vielen Dank an die Autoren für die Bereitstellung der hervorragenden Ressourcen unten. Diese werden sich als eine fantastische Ressource erweisen, um Sie bei der Vorbereitung auf Prüfungen, Tests und die Abschlussprüfung zu unterstützen.

Mindmap
____________
Thema
____________________________
Mindmap
___________
Thema
____________________________
Mindmap 1Kreis 1 Mindmap 16Polynome und Quadratik
Mindmap 2Kreis 2Mindmap 17Polynome
Mindmap 3Zusammengesetzte FunktionenMindmap 18Quadratik
Mindmap 4Formel für zusammengesetzte WinkelMindmap 19Wiederholungsbeziehungen 1
Mindmap 5Differenzierung (Vorbereitung)Mindmap 20Wiederholungsbeziehungen 2
Mindmap 6Unterscheidung 1Mindmap 21Gerade Linien 1
Mindmap 7Differenzierung 2Mindmap 22Gerade Linien 2
Mindmap 8Differenzierung (weiter)Mindmap 23Trigonometrie 1
Mindmap 9Funktionen und GrafikenMindmap 24Trigonometrie 2
Mindmap 10GraphtransformationenMindmap 25Vektoren 1
Mindmap 11Integration (Vorbereitung auf)Mindmap 26Vektoren 2
Mindmap 12Integration 1Mindmap 27Vektoren 3
Mindmap 13Integration 2Mindmap 28Wellenfunktion 1
Mindmap 14Logs und Exponentialwerte 1Mindmap 29Wellenfunktion 2
Mindmap 15Logs und Exponentialfunktionen 2

18. Higher Maths Practice Unit Assessments – Lösungen enthalten

Vielen Dank an die Autoren, die die unten aufgeführten hervorragenden Ressourcen für alle frei zur Verfügung stellen. Bitte verwenden Sie sie regelmäßig zur Überprüfung vor Prüfungen, Tests und der Abschlussprüfung.

Einheit
_________
Papier
____________
Lösungen
___________
Teil einsÜbung ALösungen
Teil einsÜbung BLösungen
Einheit zweiÜbung ALösungen
Einheit zweiÜbung BLösungen
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Quadratische Gleichungen mit Faktorisierung grafisch darstellen

wobei a , b und c alle reelle Zahlen sind und a &ne 0 .

Wenn wir 0 durch y ersetzen, erhalten wir eine quadratische Funktion

Die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet, sind die Lösungen der Gleichung a x 2 + b x + c = 0 . Das heißt, wenn das Polynom ax 2 + bx + c zu ( x &minus p ) ( x &minus q ) faktorisiert werden kann, wissen wir durch die Nullprodukteigenschaft, dass wenn ( x &minus p ) ( x &minus q ) = 0 ist, entweder (x &minus p) = 0 oder (x &minus q) = 0. Dann sind p und q die Lösungen der Gleichung a x 2 + b x + c = 0 und damit die x -Achsenabschnitte der quadratischen Gleichung.

Da die x-Koordinate des Scheitels einer Parabel genau der Mittelpunkt der x-Achsenabschnitte ist, ist die x-Koordinate des Scheitels p &thinsp + &thinsp q 2 .

Sie können die x-Koordinate des Scheitelpunkts verwenden, um die y-Koordinate zu finden.

Jetzt haben Sie den Scheitelpunkt und 2 andere Punkte auf der Parabel (nämlich die x-Achsenabschnitte). Sie können diese drei Punkte verwenden, um den Graphen zu skizzieren.

Zeichnen Sie die Funktion y = x 2 &minus 8 x + 12 mit Faktorisierung.

Vergleichen Sie die Gleichung mit der Standardform y = a x 2 + b x + c . Da der Wert von a positiv ist, öffnet sich die Parabel.

Faktorisiere das Trinom, x 2 &minus 8 x + 12 . Identifizieren Sie 2 Zahlen, deren Summe &minus 8 ist und das Produkt 12 ist. Die Zahlen sind &minus 2 und &minus 6 . Das heißt, x 2 &minus 8 x + 12 = (x &minus 2) (x &minus 6).

x 2 &minus 8 x + 12 = 0 &rArr ( x &minus 2 ) ( x &minus 6 ) = 0

Nach der Produkteigenschaft Null ist also entweder ( x &minus 2 ) = 0 oder ( x &minus 6 ) = 0 . Dann sind die Wurzeln der Gleichung 2 und 6.

Daher sind die x-Achsenabschnitte der Funktion 6 und 2 .

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist der Mittelpunkt der x-Achsenabschnitte. Hier ist also die x-Koordinate des Scheitelpunkts 2 &thinsp + &thinsp 6 2 = 4 .

Ersetzen Sie x = 4 in der Gleichung y = x 2 &minus 8 x + 12, um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden.

Das heißt, die Koordinaten des Scheitelpunkts sind (4, &minus 4).

Jetzt haben wir 3 Punkte ( 4 , &minus 4 ) , ( 2 , 0 ) und ( 6 , 0 ), die auf der Parabel liegen. Zeichnen Sie die Punkte ein. Verbinden Sie sie durch eine glatte Kurve und verlängern Sie die Parabel.

Zeichnen Sie die Funktion y = &minus x 2 &minus 2 x + 8 mit Faktorisierung.

Vergleichen Sie die Gleichung mit der Standardform y = a x 2 + b x + c . Da der Wert von a positiv ist, öffnet sich die Parabel.

Faktorisiere das Trinom, &minus x 2 &minus 2 x + 8 .

&minus x 2 &minus 2 x + 8 = &minus 1 ( x 2 + 2 x &minus 8 )

Faktorisieren Sie den Ausdruck in Klammern. Identifizieren Sie 2 Zahlen, deren Summe 2 ist und das Produkt &minus 8 ist. Die Zahlen sind 4 und &minus 2 . Das heißt, x 2 + 2 x &minus 8 = (x + 4) (x &minus 2).

Dann wird die gegebene Funktion y = &minus (x + 4) (x &minus 2).

y = 0 impliziert also nach der Nullprodukteigenschaft x + 4 = 0 oder x &minus 2 = 0 .

Daher sind die x-Achsenabschnitte des Graphen &minus 4 und 2 .

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel ist der Mittelpunkt der x-Achsenabschnitte. Hier ist also die x-Koordinate des Scheitelpunkts &minus 4 &thinsp + &thinsp 2 2 = &minus 1 .

Ersetzen Sie x = &minus 1 in der Gleichung y = &minus x 2 &minus 2 x + 8, um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden.

Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind also (&minus 1, 9).

Jetzt haben wir 3 Punkte ( &minus 1 , 9 ) , ( &minus 4 , 0 ) und ( 2 , 0 ) die auf der Parabel liegen. Zeichnen Sie die Punkte ein. Verbinden Sie sie durch eine glatte Kurve und verlängern Sie die Parabel.