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Doppelintegrale Teil 1 (Übungen) - Mathematik


Verwenden Sie in den Übungen 1 und 2 die Mittelpunktsregel mit (m = 4) und (n = 2), um das Volumen des von der Oberfläche (z = f(x,y)) begrenzten Festkörpers abzuschätzen. die vertikalen Ebenen (x = 1), (x = 2), (y = 1) und (y = 2) und die horizontale Ebene (x = 0).

1) (f(x,y) = 4x + 2y + 8xy)

Antworten:
(27)

2) (f(x,y) = 16x^2 + frac{y}{2})

Schätzen Sie in den Aufgaben 3 und 4 das Volumen des Festkörpers unter der Oberfläche (z = f(x,y)) und über dem rechteckigen Bereich ab R indem eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwendet wird und die Abtastpunkte die unteren linken Ecken der Unterrechtecke der Partition sind.

3) (f(x,y) = sin x - cos y), (R = [0, pi] imes [0, pi])

Antworten:
(0)

4) (f(x,y) = cos x + cos y), (R = [0, pi] imes [0, frac{pi}{2}])

5) Benutze die Mittelpunktregel mit (m = n = 2), um (iint_R f(x,y) ,dA abzuschätzen, wobei die Werte der Funktion F auf (R = [8,10] imes [9,11]) sind in der folgenden Tabelle angegeben.

(j)
(x)99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8
Antworten:
(21.3)

6) Die Werte der Funktion (f) auf dem Rechteck (R = [0,2] imes [7,9]) sind in der folgenden Tabelle angegeben. Schätzen Sie das Doppelintegral (iint_R f(x,y),dA) ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwenden. Wählen Sie die Abtastpunkte als die oberen rechten Ecken der Unterquadrate von R.

(y_0 = 7)(y_1 = 8)(y_2 = 9)
(x_0 = 0)10.2210.219.85
(x_1 = 1)6.739.759.63
(x_2 = 2)5.627.838.21

7) Die Tiefe eines Kinderpools von 1,2 m x 1,2 m, gemessen in Abständen von 1 m, ist in der folgenden Tabelle angegeben.

  1. Schätzen Sie das Wasservolumen im Schwimmbecken ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwenden. Wählen Sie die Abtastpunkte unter Verwendung der Mittelpunktregel auf (R = [0,4] imes [0,4]).
  2. Finden Sie die durchschnittliche Tiefe des Schwimmbeckens.
    (j)
    (x)01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52
Antworten:
A. 28 ( ext{ft}^3)
B. 1,75 Fuß

8) Die in Abständen von 1 Fuß gemessene Tiefe eines 3 x 3 Fuß großen Lochs im Boden ist in der folgenden Tabelle angegeben.

  1. Schätzen Sie das Volumen des Lochs ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 3) verwenden und die Abtastpunkte als die oberen linken Ecken der Unterquadrate von (R).
  2. Finden Sie die durchschnittliche Tiefe des Lochs.
    (j)
    (x)0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

9) Die Niveaukurven (f(x,y) = k) der Funktion (f) sind im folgenden Graphen angegeben, wobei (k) eine Konstante ist.

  1. Wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2) an, um das Doppelintegral (iint_R f(x,y),dA) abzuschätzen, wobei (R = [0,2,1] imes [0, 0,8]).
  2. Schätzen Sie den Mittelwert der Funktion (f) auf (R).

Antworten:
A. 0,112
B. (f_{ave} 0,175); hier (f(0.4,0.2) ≃ 0.1), (f(0.2,0.6) ≃− 0.2), (f(0.8,0.2) ≃ 0.6) und (f(0.8,0.6) ≃ 0,2)

10) Die Niveaukurven (f(x,y) = k) der Funktion (f) sind im folgenden Graphen angegeben, wobei (k) eine Konstante ist.

  1. Wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2) an, um das Doppelintegral (iint_R f(x,y),dA) abzuschätzen, wobei (R = [0,1,0.5] imes [0,1, 0,5]).
  2. Schätzen Sie den Durchschnittswert der Funktion F auf (R).

11) Der unter der Oberfläche (z = sqrt{4 - y^2}) und über dem rechteckigen Bereich( R = [0,2] imes [0,2]) liegende Festkörper ist im folgende Grafik. Berechnen Sie das Doppelintegral (iint_Rf(x,y)), wobei (f(x,y) = sqrt{4 - y^2}) ist, indem Sie das Volumen des entsprechenden Festkörpers bestimmen.

Antworten:
(2pi)

12) Der unter der Ebene (z = y + 4) und über dem rechteckigen Bereich (R = [0,2] imes [0,4]) liegende Körper ist in der folgenden Grafik dargestellt. Bewerten Sie das Doppelintegral (iint_R f(x,y),dA), wobei (f(x,y) = y + 4), indem Sie das Volumen des entsprechenden Festkörpers bestimmen.

Berechnen Sie in den Aufgaben 13 - 20 die Integrale durch Umkehren der Integrationsreihenfolge.

13) (displaystyle int_{-1}^1left(int_{-2}^2 (2x + 3y + 5),dx ight) space dy)

Antworten:
(40)

14) (displaystyle int_0^2left(int_0^1 (x + 2e^y + 3),dx ight) space dy)

15) (displaystyle int_1^{27}left(int_1^2 (sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y}),dy ight) space dx)

Antworten:
(frac{81}{2} + 39sqrt[3]{2})

16) (displaystyle int_1^{16}left(int_1^8 (sqrt[4]{x} + 2sqrt[3]{y}),dy ight) space dx)

17) (displaystyle int_{ln 2}^{ln 3}left(int_0^1 e^{x+y},dy ight) space dx)

Antworten:
(e - 1)

18) (displaystyle int_0^2left(int_0^1 3^{x+y},dy ight) space dx)

19) (displaystyle int_1^6left(int_2^9 frac{sqrt{y}}{y^2},dy ight) space dx)

Antworten:
(15 - frac{10sqrt{2}}{9})

20) (displaystyle int_1^9 left(int_4^2 frac{sqrt{x}}{y^2},dy ight),dx)

Bewerten Sie in den Übungen 21 - 34 die iterierten Integrale, indem Sie die Integrationsreihenfolge wählen.

21) (displaystyle int_0^{pi} int_0^{pi/2} sin(2x)cos(3y),dx space dy)

Antworten:
(0)

22) (displaystyle int_{pi/12}^{pi/8}int_{pi/4}^{pi/3} [cot x + an(2y)],dx space dy)

23) (displaystyle int_1^e int_1^e left[frac{1}{x}sin(ln x) + frac{1}{y}cos (ln y) ight ] ,dx space dy)

Antworten:
((e − 1)(1 + sin 1 − cos 1))

24) (displaystyle int_1^e int_1^e frac{sin(ln x)cos (ln y)}{xy} ,dx space dy)

25) (displaystyle int_1^2 int_1^2 left(frac{ln y}{x} + frac{x}{2y + 1} ight),dy space dx)

Antworten:
(frac{3}{4}ln left(frac{5}{3} ight) + 2b space ln^2 2 - ln 2)

26) (displaystyle int_1^e int_1^2 x^2 ln(x),dy space dx)

27) (displaystyle int_1^{sqrt{3}} int_1^2 y space arctan left(frac{1}{x} ight) ,dy space dx)

Antworten:
(frac{1}{8}[(2sqrt{3} - 3) pi + 6 space ln 2])

28) (displaystyle int_0^1 int_0^{1/2} (arcsin x + arcsin y),dy space dx)

29) (displaystyle int_0^1 int_0^2 xe^{x+4y},dy space dx)

Antworten:
(frac{1}{4}e^4 (e^4 - 1))

30) (displaystyle int_1^2 int_0^1 xe^{x-y},dy space dx)

31) (displaystyle int_1^e int_1^e left(frac{ln y}{sqrt{y}} + frac{ln x}{sqrt{x}} ight) ,dy space dx)

Antworten:
(4(e - 1)(2 - sqrt{e}))

32) (displaystyle int_1^e int_1^e left(frac{x space ln y}{sqrt{y}} + frac{y space ln x}{sqrt{x }} ight),dyspace dx)

33) (displaystyle int_0^1 int_1^2 left(frac{x}{x^2 + y^2} ight),dy space dx)

Antworten:
(-frac{pi}{4} + ln left(frac{5}{4} ight) - frac{1}{2} ln 2 + arctan 2)

34) (displaystyle int_0^1 int_1^2 frac{y}{x + y^2},dy space dx)

Ermitteln Sie in den Übungen 35 - 38 den Mittelwert der Funktion über die gegebenen Rechtecke.

35)(f(x,y) = −x+2y), (R = [0,1] imes [0,1])

Antworten:
(frac{1}{2})

36) (f(x,y) = x^4 + 2y^3), (R = [1,2] imes [2,3])

37) (f(x,y) = sinh x + sinh y), (R = [0,1] imes [0,2])

Antworten:
(frac{1}{2}(2 space cosh 1 + cosh 2 - 3)).

38) (f(x,y) = arctan(xy)), (R = [0,1] imes [0,1])

39) Seien (f) und (g) zwei stetige Funktionen mit (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) für jedes (x ∈ [a,b]) und (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) für alle( y ∈ [c,d]). Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung wahr ist:

[m_1m_2(b-a)(c-d) leq int_a^b int_c^d f(x) g(y),dy dx leq M_1M_2 (b-a)(c-d).]

Verwenden Sie in den Übungen 40 - 43 die Eigenschaft v von Doppelintegralen und die Antwort aus der vorherigen Übung, um zu zeigen, dass die folgenden Ungleichungen wahr sind.

40) (frac{1}{e^2} leq iint_R e^{-x^2 - y^2} space dA leq 1), wobei (R = [0,1] mal [0,1])

41) (frac{pi^2}{144} leq iint_R sin x cos y space dA leq frac{pi^2}{48}), wobei (R = links[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight] imes left[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight ])

42) (0 leq iint_R e^{-y}space cos x space dA leq frac{pi}{2}), wobei (R = left[0, frac{ pi}{2} ight] imes left[0, frac{pi}{2} ight])

43) (0 leq iint_R (ln x)(ln y) ,dA leq (e - 1)^2), wobei (R = [1, e] imes [1, e ] )

44) Seien (f) und (g) zwei stetige Funktionen mit (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) für jedes (x ∈ [a,b]) und (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) für jedes (y ∈ [c,d]). Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung wahr ist:

[(m_1 + m_2) (b - a)(c - d) leq int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)| space dy space dx leq (M_1 + M_2)(b - a)(c - d)]

Verwenden Sie in den Übungen 45 - 48 die Eigenschaft v von Doppelintegralen und die Antwort aus der vorherigen Übung, um zu zeigen, dass die folgenden Ungleichungen wahr sind.

45) (frac{2}{e} leq iint_R (e^{-x^2} + e^{-y^2}) ,dA leq 2), wobei (R = [ 0,1] mal [0,1])

46) (frac{pi^2}{36}iint_R (sin x + cos y),dA leq frac{pi^2 sqrt{3}}{36}), wobei (R = [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}] imes [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}] )

47) (frac{pi}{2}e^{-pi/2} leq iint_R (cos x + e^{-y}),dA leq pi), wobei (R = [0, frac{pi}{2}] imes [0, frac{pi}{2}])

48) (frac{1}{e}leq iint_R (e^{-y} - ln x) ,dA leq 2), wobei (R = [0, 1] imes [ 0, 1])

In den Aufgaben 49 - 50 wird die Funktion (f) in Form von Doppelintegralen angegeben.

  1. Bestimmen Sie die explizite Form der Funktion (f).
  2. Bestimme das Volumen des Festkörpers unter der Oberfläche (z = f(x,y)) und über dem Bereich (R).
  3. Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f) auf (R).
  4. Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem (CAS), um (z = f(x,y)) und (z = f_{ave}) im gleichen Koordinatensystem darzustellen.

49) [T] (f(x,y) = int_0^y int_0^x (xs + yt) ds space dt), wobei ((x,y) in R = [0,1] imes [0 ,1])

Antworten:

A. (f(x,y) = frac{1}{2} xy (x^2 + y^2));
B. (V = int_0^1 int_0^1 f(x,y),dx space dy = frac{1}{8});
C. (f_{ave} = frac{1}{8});

D.

50) [T] (f(x,y) = int_0^x int_0^y [cos(s) + cos(t)] , dt space ds), wobei ((x,y) in R = [0,3] mal [0,3])

51) Zeigen Sie, dass, wenn (f) und (g) auf ([a,b]) bzw. ([c,d]) stetig sind, dann

(displaystyle int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)|dy space dx = (d - c) int_a^b f(x),dx)

(displaystyle + int_a^b int_c^dg(y),dy space dx = (b - a) int_c^dg(y),dy + int_c^d int_a^bf(x) ,dx space dy).

52) Zeigen Sie, dass (displaystyle int_a^b int_c^d yf(x) + xg(y),dy space dx = frac{1}{2} (d^2 - c^2) left(int_a^bf(x),dx ight) + frac{1}{2} (b^2 - a^2) left(int_c^dg(y),dy ight) ).

53) [T] Betrachten Sie die Funktion (f(x,y) = e^{-x^2-y^2}), wobei ((x,y) in R = [−1,1] imes [−1 ,1]).

  1. Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2,4,..., 10), um das Doppelintegral (I = iint_R e^{-x^2 - y^2} dA) abzuschätzen. Runden Sie Ihre Antworten auf die nächsten Hundertstel.
  2. Ermitteln Sie für (m = n = 2) den Mittelwert von F über die Region R. Runden Sie Ihre Antwort auf die nächsten Hundertstel.
  3. Verwenden Sie ein CAS, um im gleichen Koordinatensystem den Festkörper, dessen Volumen durch (iint_R e^{-x^2-y^2} dA) gegeben ist, und die Ebene (z = f_{ave}) darzustellen.
Antworten:

A. Für (m = n = 2), (I = 4e^{-0,5} approx 2,43)
B. (f_{ave} = e^{-0.5} simeq 0.61);

C.

54) [T] Betrachten Sie die Funktion (f(x,y) = sin (x^2) space cos (y^2)), wobei ((x,y in R = [−1,1] imes [−1,1]).

  1. Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2,4,..., 10), um das Doppelintegral (I = iint_R sin (x^2) cos (y^2) space dA . abzuschätzen ). Runden Sie Ihre Antworten auf die nächsten Hundertstel.
  2. Bestimmen Sie für (m = n = 2) den Mittelwert von (f) über die Region R. Runden Sie Ihre Antwort auf die nächsten Hundertstel.
  3. Verwenden Sie ein CAS, um im gleichen Koordinatensystem den Körper, dessen Volumen durch (iint_R sin(x^2) cos(y^2) space dA) und die Ebene (z = f_{ave }).

In den Aufgaben 55 - 56 werden die Funktionen (f_n) angegeben, wobei (n geq 1) eine natürliche Zahl ist.

  1. Finden Sie das Volumen der Körper (S_n) unter den Flächen (z = f_n(x,y)) und über dem Bereich (R).
  2. Bestimmen Sie die Grenze des Volumens der Festkörper (S_n), wenn (n) unbegrenzt zunimmt.

55) (f(x,y) = x^n + y^n + xy, space (x,y) in R = [0,1] imes [0,1])

Antworten:
A. (frac{2}{n + 1} + frac{1}{4})
B. (frac{1}{4})

56) (f(x,y) = frac{1}{x^n} + frac{1}{y^n}, space (x,y) in R = [1,2] mal [1,2])

57) Zeigen Sie, dass der Mittelwert einer Funktion (f) auf einem rechteckigen Gebiet (R = [a,b] imes [c,d]) (f_{ave} approx frac{1 }{mn} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)),wobei ((x_{ij}^* ,y_{ij}^*)) sind die Abtastpunkte der Partition von (R), wobei (1 leq i leq m) und (1 leq j leq n) sind.

58) Verwenden Sie die Mittelpunktregel mit (m = n), um zu zeigen, dass der Mittelwert einer Funktion (f) auf einem rechteckigen Gebiet (R = [a,b] imes [c,d]) wird angenähert durch

[f_{ave} approx frac{1}{n^2} sum_{i,j=1}^nf left(frac{1}{2} (x_{i=1} + x_i) , space frac{1}{2} (y_{j=1} + y_j) ight).]

59) Eine Isothermenkarte ist ein Diagramm, das Punkte mit der gleichen Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt für einen bestimmten Zeitraum verbindet. Verwenden Sie die obige Übung und wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2) an, um die Durchschnittstemperatur über dem in der folgenden Abbildung angegebenen Bereich zu ermitteln.

Antworten:
(56,5^{circ}) F; hier (f(x_1^*,y_1^*) = 71, space f(x_2^*, y_1^*) = 72, space f(x_2^*,y_1^*) = 40, space f( x_2^*,y_2^*) = 43), wobei (x_i^*) und (y_j^*) die Mittelpunkte der Teilintervalle der Partitionen von ([a,b]) und sind ([c,d]) bzw.

Doppelintegrale Teil 1 (Übungen) - Mathematik

Vorlesungsbeschreibung

Dieser Videovortrag, Teil der Reihe Infinitesimal-Videos: Integration von Prof. , hat derzeit keine detaillierte Beschreibung und den Titel der Videovorlesung. Wenn Sie diesen Vortrag gesehen haben und wissen, worum es geht, insbesondere welche Themen der Mathematik behandelt werden, helfen Sie uns bitte, indem Sie dieses Video mit Ihrem Vorschlag kommentieren Bezeichnung und Titel. Vielen Dank von,

- Das CosmoLearning-Team

Kursverzeichnis

  1. Summationsnotation
  2. Das definitive Integral: Die Definition verstehen
  3. Näherung eines bestimmten Integrals mit Rechtecken
  4. Trapezregel zur Approximation eines bestimmten Integrals
  5. Simpson-Regel zur Approximation eines bestimmten Integrals
  6. Simpsons Regel und Fehlergrenzen
  7. Berechnung eines bestimmten Integrals mit Riemann-Summen (Teil 1)
  8. Berechnung eines bestimmten Integrals mit Riemann-Summen (Teil 2)
  9. Grundlegende Integrationsformeln
  10. Grundlegende Stammbaum-Beispiele: Unbestimmtes Integral
  11. Weitere grundlegende Integrationsprobleme
  12. Einfaches Beispiel für ein bestimmtes Integral
  13. Unbestimmtes Integral: U-Substitution
  14. Bestimmtes Integral: U-Substitution
  15. Mehr Integration durch U-Substitution (Teil 1)
  16. Mehr Integration durch U-Substitution (Teil 2)
  17. Integration mit inversen trigonometrischen Funktionen
  18. Integration nach Teilen: Unbestimmtes Integral
  19. Integration nach Teilen: Bestimmtes Integral
  20. Beispiele für unbestimmte/bestimmte Integrale
  21. Integration nach Teilen: Zweimal mit IBP
  22. Integration nach Teilen: Ein "Loopy"-Beispiel
  23. Trigonometrische Integrale: Teil 1 von 6
  24. Trigonometrische Integrale: Teil 2 von 6
  25. Trigonometrische Integrale: Teil 3 von 6
  26. Trigonometrische Integrale: Teil 4 von 6
  27. Trigonometrische Integrale: Teil 5 von 6
  28. Trigonometrische Integrale: Teil 6 von 6
  29. Trigonometrische Substitution (Teil 1)
  30. Trigonometrische Substitution (Teil 2)
  31. Trigonometrische Substitution (Teil 3)
  32. Trigonometrische Substitution (Teil 4)
  33. Trigonometrische Substitution (Teil 5)
  34. Partielle Brüche: Zerlegen einer rationalen Funktion
  35. Partielle Brüche: Koeffizienten einer partiellen Bruchzerlegung
  36. Partielle Brüche: Problem
  37. Partielle Brüche: Problem mit einer rationalisierenden Substitution
  38. Berechnung von Doppelintegralen über rechteckige Bereiche
  39. Berechnung von Doppelintegralen über allgemeine Bereiche Region
  40. Umkehren der Integrationsreihenfolge (Teil 1)
  41. Umkehren der Integrationsreihenfolge (Teil 2)
  42. Finden von Gebieten in Polarkoordinaten
  43. Doppelintegral mit Polarkoordinaten (Teil 1)
  44. Doppelintegral mit Polarkoordinaten (Teil 2)
  45. Doppelintegral mit Polarkoordinaten (Teil 3)
  46. Dreifache Integrale
  47. Dreifachintegrale in Kugelkoordinaten
  48. Linienintegrale
  49. Lösen von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung
  50. Auffinden von Schwerpunkten/Massenschwerpunkten (Teil 1)
  51. Auffinden von Schwerpunkten/Massenschwerpunkten (Teil 2)
  52. Unechte Integrale: Einführung
  53. Unsachgemäße Integrale: Verwendung der L'Hospitals-Regel
  54. Unechte Integrale: Unendlichkeit in der oberen und unteren Grenze
  55. Unsachgemäße Integrale: Unendliche Diskontinuität an einem Endpunkt
  56. Unechte Integrale: Unendliche Diskontinuität in der Mitte des Intervalls
  57. Rotationsvolumina: Scheiben-/Waschmaschinen-Methode und rotierende Bereiche um eine horizontale Linie
  58. Rotationsvolumina: Scheiben-/Waschmaschinen-Methode und rotierende Bereiche um eine vertikale Linie
  59. Umdrehungszahlen: Scheiben-/Waschmaschinen-Methode (Forts.)
  60. Arbeitsprobleme: Finden Sie die Arbeit, um einen mit Wasser gefüllten Tank zu leeren

Kursbeschreibung


In diesem Kurs hält Instructor Patrick für Infinitesimalrechnung 60 Videovorträge über Integralrechnung. Einige der behandelten Themen sind: Unbestimmte Integrale, Bestimmte Integrale, Trigonometrische Integrale, Trigonometrische Substitution, Partielle Brüche, Doppelintegrale, Dreifachintegrale, Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Linienintegrale, Schwerpunkte/Massenschwerpunkte, Unechte Integrale, Rotationsvolumina, Arbeit und vieles mehr.


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Anwendung des Doppelintegral-Quiz

Die von einem Objekt zurückgelegte Entfernung beträgt

Doppelintegral seiner Beschleunigung

Doppelintegral seiner Geschwindigkeit

Doppelintegral seiner Kraft

Doppelintegral seines Momentums

Erklärung: Wir wissen, dass
x(t) = &int&inta(t) dtdt.

Bestimmen Sie die Entfernung, die ein Auto mit einer Beschleunigung von a(t)=t 2 + t zurücklegt, wenn es sich von t = 0 sek zu t = 10 sek bewegt, wenn die Geschwindigkeit eines Autos bei t = 0 sek 40 km/h beträgt .

Erklärung: Konstante automatisch hinzufügen
Wir wissen das,

Bestimmen Sie die Entfernung, die ein Auto mit einer Beschleunigung von a(t)=Sin(t) zurücklegt, wenn es sich von t = 0 sek nach t = &pi/2 sek bewegt, wenn die Geschwindigkeit eines Autos bei t = 0 sek 10 km . beträgt /Std.

Erklärung: Konstante automatisch hinzufügen
Wir wissen das,

Bestimmen Sie die Entfernung, die ein Auto mit Beschleunigung zurücklegt, gegeben durch a(t)=t 2 &ndash t, wenn es sich von t = 0 sek zu t = 1 sek bewegt, wenn die Geschwindigkeit eines Autos bei t = 0 sek 10 km/h beträgt .


Test: Doppel- und Dreifachintegrale - 1

Der Wert von dxdy ändert die Integrationsreihenfolge ist

Das Volumen des Ellipsoids ist

abc kubische Einheiten

abc kubische Einheiten

Die durch die Kurve y = &psi(x), x-Achse und die Linien x = l , x = m(l <m ) begrenzte Fläche ist gegeben durch

Das in Kugelkoordinaten ausgedrückte Volumen eines Objekts ist gegeben durch sin &phi dr d&phi d&theta. Der Wert des Integrals ist

dx dy ist gleich

Unter Verwendung der Transformation x + y = u, y = v. Der Wert von Jacobi (J) für das Integral ist

Die durch die Parabel begrenzte Fläche y 2 = 4ax und die Gerade x + y = 3a ist

Betrachten Sie den in der Abbildung gezeigten schattierten Dreiecksbereich P, welchen Wert hat ?

Wir nehmen an x ​​+ 2 = t 2 dx = 2t dt

Zu bewerten über dem Bereich A begrenzt durch die Kurve r = r1, r = r2 und die Geraden &theta = &theta1, &theta = &theta​2, wir integrieren zuerst

r zwischen Grenzen r = r1 und r = r2 &theta als Konstante behandeln

&theta zwischen den Grenzen &theta = &theta1 und &theta2 r als Konstante behandeln

So ändern Sie die kartesische Ebene (x, y, z) in sphärische Polarkoordinaten (r, , )

x = r sin &thgr; sin &phi, y = r cos&thgr; cos &phi, z = r cos &thgr;

x = r sin &thgr; cos &phi, y = r cos &thgr; sin &phi, z = r cos &thgr;

x = r sin cos phi, y = r sin the sin , z = r cos

r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , tan&theta = y/x, &phi = arccos(z/&radic(x 2 +y 2 +z 2 ) )

Um einen Punkt von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten umzuwandeln, verwenden Sie Gleichungen

r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , tan&theta = y/x, &phi = arccos(z/&radic(x 2 +y 2 +z 2 ) )

Wenn das Tripelintegral über den durch die Ebenen 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0 begrenzten Bereich gegeben ist, dann ist die Funktion &lambda(x) &ndash &pi(x, y)

wobei V die durch die Ebene begrenzte Region ist 2x + y + z = 4 x = 0, y = 0, z = 0

Wie groß ist die Gesamtmasse des Würfels zwischen den Grenzen 0&le x&le 1, 0&le y&le 1, 0 &lez &le1 an einem durch xyz gegebenen Punkt?

Durch die Kurven y 2 = x 3 und x 2 = y 3 begrenzte Fläche ist

Der Wert von (x+y+z) dzdydx ist

Durch Ändern der Integrationsreihenfolge in der Wert ist

Durch die Änderung der Variablen x(u, v) = uv, y(u, v) = u/v ist Doppelintegral, der Integrand f(x, y) ändert sich zu . Dann ist (u,v)

Das durch die Ebene begrenzte Volumen des Tetraeders und die Koordinatenebenen sind gleich

Hier
Sei u = x/a, v = y/b , w = z/c
Dann ist dx = a du, dy = b dv, dz = c dw
Also, erforderliches Volumen
V = abc du dv dw
wobei u + v + w &le 1, u ,v ,w &ge 0
Daher


Daher ist die richtige Antwort (d)

Der Wert von Integral dxdy ist


Math H53: Ehrt Multivariablen-Rechnung

Sprechzeiten des Ausbilders: Reguläre Sprechzeiten: Dienstag 4:30-5:30 Uhr und Donnerstag 2-3:30 Uhr. Überprüfen Sie die BKurse "Syllabus" auf die Zoom-ID. Senden Sie mir jederzeit Fragen oder fragen Sie nach alternativen Sprechzeiten.

Abschlussprüfung: Überprüfen Sie den Zeitplan für die Abschlussprüfungen der UC Berkeley

Voraussetzungen: Mathematik 1B oder gleichwertig.

Text: Die Haupttexte für diesen Kurs sind Vektorrechnung von Michael Corral ([Co]) und Hinweise zur Multivariablenrechnung von Kain und Herodes ([CH]). Studierende sollten sich für zusätzliche Übungen und/oder alternative Präsentationen des Materials frei in anderen Büchern nachschlagen. Wikipedia hat auch viele tolle Artikel zu den jeweiligen Themen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie die relevanten Abschnitte der Notizen lesen, da die Vorlesungen die Notizen ergänzen und nicht ersetzen sollen und wir viel Stoff zu behandeln haben.

Benotung: Ihre Hausaufgabennote (hw) ist der Durchschnitt aller Hausaufgaben, mit der niedrigsten Note. Ihre Prüfungsnote (Prüfungen) wird nach dem Maximum der folgenden drei Schemata berechnet: (0.2)MT1 + (0.2)MT2 + (0.4)F (0.2)MT1 + (0.6)F (0.2)MT2 + (0.6) F. Abschließend wird Ihre Gesamtnote als Maximum aus: (0,2)hw + (0,8)Prüfungen, (0,3)hw + (0,7)Prüfungen berechnet.

Webseite: Im Moment ist die einzige Website diese Seite, http://math.berkeley.edu/

dcorwin/mathh53s21.html. Ich werde bKurse für Lösungen und andere nicht öffentliche Informationen verwenden, wie zum Beispiel Buchauszüge, Prüfungen und meine Telefonnummer.

  • Hausaufgaben werden regelmäßig vergeben (siehe Lehrplan) und sind um 23 Uhr auf Gradescope fällig. Ich gewähre Verlängerungen unter vernünftigen Umständen, aber Sie müssen mit mir sprechen so früh wie möglich. Je länger Sie warten, desto weniger flexibel werde ich sein.
  • Sie können zusammenarbeiten, um Hausaufgabenprobleme zu lösen, aber Sie müssen Ihre Lösungen in eigenen Worten aufschreiben, um eine Anrechnung zu erhalten. Bitte kopieren Sie insbesondere keine Antworten aus dem Internet oder Lösungshandbüchern. Da ein Hauptzweck der Hausaufgaben darin besteht, Sie auf die Prüfungen vorzubereiten, ermutige ich Sie, jedes Problem selbst zu prüfen (z. B. mindestens dreißig Minuten), bevor Sie es mit anderen besprechen. Eine andere nützliche Praxis ist, wenn Sie bei einem Problem nicht weiterkommen, kommen Sie zu den Bürozeiten und bitten Sie um einen Hinweis. Je mehr Sie selbst herausfinden, desto besser verstehen Sie den Stoff und desto besser werden Sie sowohl bei den Prüfungen als auch bei Ihren zukünftigen Aufgaben abschneiden, die möglicherweise abstrakte Algebra erfordern.
  • Sie können alle Ergebnisse aus den Anmerkungen zitieren, sofern nicht anders angegeben.
  • Es gelten die üblichen Erwartungen und Verfahren für akademische Integrität an der UC Berkeley. Ein Täuschen bei einer Prüfung führt zu einer Nichtbenotung und wird dem Studiensekretariat der Universität gemeldet. Bitte lass mich das nicht antun.
  • Bitte lassen Sie es mich eher früher als später wissen, wenn Sie eine Unterkunft im Zusammenhang mit dem Disabled Student Program (DSP) benötigen. Ich bin mehr als glücklich, Vorkehrungen zu treffen, aber es hilft wirklich, wenn Sie es mir lieber früher als später sagen.
  • Gemäß den Richtlinien der Universität liegt es in Ihrer Verantwortung, den Dozenten bis zum Ende der zweiten Unterrichtswoche (31. Januar) über Terminkonflikte aufgrund von religiösen oder außerschulischen Aktivitäten schriftlich zu informieren und eine Lösung für diese Konflikte vorzuschlagen.

Zusätzliche Ressourcen (werden bei Bedarf in BKursen verfügbar sein):

  • Kalkül: Frühe Transzendentalen von James Stewart, bezeichnet mit [S]
  • Calculus Band II von Tom Apostol, bezeichnet mit [A]
  • div grad curl und so weiter von H. M. Schey, bezeichnet mit [dgcaat]
  • Linienintegrale und Satz von Green von Jeremy Orloff, bezeichnet mit [O]

Kursüberblick: Unten ist der grobe Kursplan aufgeführt. Je nach Kursverlauf kann es im Laufe des Semesters zu geringfügigen Änderungen kommen.


Über die Berechnung der Grenzen von Integralen (Teil 1)

Angenommen, $a, x$ und $y$ sind drei reelle Zahlenkonstanten und $t$ ist eine reelle Variable. Definiere nun die komplexe Zahl $z = -y + i(a+x-t)$ und betrachte ein Integral der Form $int_^ z ext< >tanh (pi z) log (z^2 + a^2) dz$ für einige reelle Funktionen $f$ und $g$.

Offensichtlich ist $dz = -i dt$ und somit ein Integral über $t$. Angenommen, es wird sichergestellt, dass der Bereich von $t$, über den die Integration durchgeführt wird, so ist, dass der Integrand keinen seiner Pole oder Verzweigungspunkte/Schnitte des Integranden trifft.

Jetzt möchte ich $lim_ berechnen [int_^ z ext< > anh (pi z) log (z^2 + a^2) dz] $

Offensichtlich ist dieses Integral nicht machbar, dass ich einfach das Integral machen und dann am Ende den Grenzwert nehmen kann.

Erstens, wenn es wahr ist, dass $lim_ f(x,y) = lim_ g(x,y) $ kann ich dann ohne weitere Analyse sofort schlussfolgern, dass der Grenzwert des Integrals $ ist?

Kann ich sagen, erweitere den Integranden $z ext< > anh(pi z) log(z^2 +a^2)$ in einer Taylor-Reihe in $x$ und $y$ und führe dann die Integration auf der konstanten Term so erhalten und dann den Grenzwert nehmen? (weil jeder Term der Reihe mit einer Potenz von $x$ und/oder $y$ ungleich null im Endeffekt absterben wird)

Kann ich die $x,y ightarrow 0$-Grenze auch separat auf die Grenzen des Integranden setzen und so vermeiden, das volle Integral mit den vollen $f$ und $g$ zu berechnen?

Hätte ich einfach $z = i(a-t)$ im Integranden von Anfang an ersetzen können?


Schau das Video: Doppelintegral, jetzt wirds schwieriger, mit Funktion als Gebietsbeschränkung, Mathe by Daniel Jung (November 2021).