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Seeburger-Kalkül3-13.7-2.-Grad-Taylor-Polynom mit Fläche Beispiel 1B


Seeburger-Kalkül3-13.7-2.-Grad-Taylor-Polynom mit Fläche Beispiel 1B

Mathe 172 - Infinitesimalrechnung II

Ihr endgültiger Kursprozentsatz P wird dann bestimmt durch:

Keine der Prüfungs-, Hausaufgaben- oder Abschnittsnoten darf "fallengelassen" werden.

Der Kursprozentsatz wird anhand der folgenden Skala in eine Buchstabennote umgerechnet:

Das Math Learning Center (MLC - Wil 1-112) bietet auch während der Woche kostenlose Nachhilfe an.
Kompetente Tutoren (einschließlich aktueller M172-Lehrer) stehen gemäß der
folgenden Zeitplan

Corinne Casolara hält auch M172-Prüfungssitzungen vor der Prüfung nach folgendem Zeitplan ab:

Übliche Stundenprüfungen sind geschlossene Bücher, keine Notizen und keine elektronischen Geräte.

Die Abschlussprüfung ist umfassend, hat aber einen begrenzten Umfang.
Die genauen Inhalte werden später im Semester bekannt gegeben.

Richtlinien zu Quizfragen und/oder Hausaufgaben, die Ihre Abschnittsnote bilden
wird Ihnen von Ihrem Dozenten mitgeteilt.

Prüfungstermin und Raumplan: (vorbehaltlich)

Unten ist eine Liste zusätzlicher Hausaufgabenprobleme aus dem Lehrbuch. Sie ähneln Webwork-Aufgabenfragen und (noch wichtiger) sind SEHR Indikator für Prüfungsfragen. Obwohl sie nicht benotet sind
Es ist sehr wichtig, dass Sie das Material kennen.


Seeburger-Kalkül3-13.7-2.-Grad-Taylor-Polynom mit Fläche Beispiel 1B

Zurück im Kapitel über Limits haben wir Methoden gesehen, um mit den folgenden Limits umzugehen.

In der ersten Grenze, wenn wir (x = 4) eingesteckt hätten, würden wir 0/0 erhalten und in der zweiten Grenze, wenn wir in Unendlich „eingesteckt“ würden, würden wir (/<-infty > ) (denken Sie daran, dass sich ein Polynom genauso verhält wie seine größte Potenz, wenn (x) ins Unendliche geht). Beide heißen unbestimmte Formen. In beiden Fällen gibt es konkurrierende Interessen oder Regeln und es ist nicht klar, was sich durchsetzen wird.

Im Fall von 0/0 stellen wir uns normalerweise einen Bruch mit einem Zähler von Null als Null vor. Wir neigen jedoch auch dazu, Brüche, bei denen der Nenner gegen Null geht, im Grenzfall als Unendlich zu betrachten oder gar nicht zu existieren. Ebenso neigen wir dazu, an einen Bruch zu denken, bei dem Zähler und Nenner eins sind. Also, was wird gewinnen? Oder wird keiner gewinnen und alle „stornieren“ und das Limit wird einen anderen Wert erreichen?

Im Fall von (/<-infty >) haben wir ähnliche Probleme. Wenn der Zähler eines Bruchs gegen Unendlich geht, neigen wir dazu zu denken, dass der ganze Bruch gegen Unendlich geht. Wenn der Nenner im Grenzbereich gegen Unendlich geht, neigen wir dazu, den Bruch als Null zu betrachten. Wir haben auch den Fall eines Bruchs, bei dem Zähler und Nenner gleich sind (ohne das Minuszeichen zu beachten) und so erhalten wir möglicherweise -1. Auch hier ist nicht klar, welche davon gewinnen wird, wenn einer von ihnen gewinnen wird.

Bei der zweiten Grenze gibt es das weitere Problem, dass Unendlich keine Zahl ist und wir sie daher nicht einmal wie eine Zahl behandeln sollten. Die meiste Zeit wird es sich einfach nicht so verhalten, wie wir es erwarten würden, wenn es eine Zahl wäre. Um dies etwas genauer zu untersuchen, lesen Sie den Abschnitt „Typen der Unendlichkeit“ im Kapitel „Extras“ am Ende dieses Dokuments.

Dies ist das Problem bei unbestimmten Formen. Es ist einfach nicht klar, was in der Grenze passiert. Es gibt auch andere Arten von unbestimmten Formen. Einige andere Arten sind,

Diese alle haben konkurrierende Interessen oder Regeln, die uns sagen, was passieren soll, und es ist einfach nicht klar, welche der Interessen oder Regeln sich durchsetzen werden. Das Thema dieses Abschnitts ist der Umgang mit solchen Limits.

Wie bereits erwähnt, wissen wir bereits, wie man mit einigen Arten von unbestimmten Formen umgeht. Für die beiden obigen Grenzwerte arbeiten wir sie wie folgt.

Im ersten Fall haben wir einfach faktorisiert, storniert und das Limit genommen und im zweiten Fall haben wir ein () sowohl vom Zähler als auch vom Nenner und nahm das Limit. Beachten Sie auch, dass sich in diesen Fällen keine der konkurrierenden Interessen oder Regeln durchgesetzt haben! Das ist oft der Fall.

So können wir mit einigen davon umgehen. Was ist jedoch mit den folgenden beiden Grenzen.

Dies ist eine 0/0-unbestimmte Form, aber wir können diese nicht berücksichtigen. Die zweite ist eine (/) unbestimmte Form, aber wir können nicht einfach eine ()aus dem Zähler. Also, nichts, was wir in unserer Trickkiste haben, wird mit diesen beiden Limits funktionieren.

Hier kommt das Thema dieses Abschnitts ins Spiel.

Die Regel von L’Hospital

Angenommen, wir haben einen der folgenden Fälle,

wobei (a) eine beliebige reelle Zahl sein kann, unendlich oder negativ unendlich. In diesen Fällen haben wir

Die Regel von L'Hospital sagt uns also, dass wir bei einer unbestimmten Form 0/0 oder (/) nur den Zähler und den Nenner differenzieren und dann die Grenze.

Bevor ich mit Beispielen fortfahre, möchte ich auf die Schreibweise von „L’Hospital“ eingehen. Die modernere Schreibweise ist „L’Hôpital“. Als ich jedoch zum ersten Mal Infinitesimalrechnung lernte, verwendete mein Lehrer die Rechtschreibung, die ich in diesen Notizen verwende, und das erste Lehrbuch, in dem ich Infinitesimalrechnung unterrichtete, verwendete auch die Rechtschreibung, die ich hier verwende.

Auch, wie auf der Wikipedia-Seite für die Regel von L’Hospital vermerkt,

„Im 17. und 18. Jahrhundert wurde der Name häufig "l'Hospital" geschrieben, und er selbst hat seinen Namen so geschrieben. Die französische Schreibweise wurde jedoch geändert: Das stumme 's' wurde entfernt und durch den Zirkumflex über dem vorhergehenden Vokal ersetzt. Die frühere Schreibweise wird immer noch im Englischen verwendet, wo es keinen Zirkumflex gibt.“

Die Schreibweise, die ich hier verwendet habe, ist also eine akzeptable Schreibweise seines Namens, wenn auch nicht die moderne Schreibweise, und weil ich es gewohnt bin, es als "L'Hospital" zu buchstabieren, werde ich diese Schreibweise verwenden in diesen Anmerkungen.

  1. (displaystyle mathop limits_ frac<>)
  2. (displaystyle mathop limits_ frac <<5- 4 - 1>><<10 - t - 9>>)
  3. (displaystyle mathop limits_ frac<<<<f>^x>>>><<>>)

Wir haben also bereits festgestellt, dass dies eine 0/0-unbestimmte Form ist, also wenden wir einfach die Regel von L’Hospital an.

In diesem Fall haben wir auch eine 0/0-unbestimmte Form, und wenn wir wirklich gut faktorisieren könnten, könnten wir Zähler und Nenner faktorisieren, vereinfachen und den Grenzwert nehmen. Das wird jedoch mehr Arbeit sein, als nur die Regel von L’Hospital zu verwenden.

Dies war die andere Grenze, die wir uns angesehen haben, und wir wissen, dass es die unbestimmte Form (/) ist, also wenden wir die Regel von L’Hospital an.

Jetzt haben wir ein kleines Problem. Dieser neue Grenzwert ist ebenfalls eine unbestimmte Form von (/). Es ist jedoch nicht wirklich ein Problem. Wir wissen, wie man mit solchen Grenzen umgeht. Wenden Sie einfach die Regel von L’Hospital an.

Manchmal müssen wir die Regel von L’Hospital mehr als einmal anwenden.

Die Regel von L’Hospital funktioniert hervorragend bei den beiden unbestimmten Formen 0/0 und (<< pm ,infty >>/<< pm ,infty >>). Es gibt jedoch noch viel mehr unbestimmte Formen, wie wir zuvor gesehen haben. Schauen wir uns einige davon an und sehen wir, wie wir mit solchen unbestimmten Formen umgehen.

Wir beginnen mit der unbestimmten Form (left( 0 ight)left( < pm ,infty > ight)).

Beachten Sie, dass wir hier wirklich die rechte Grenze ausführen müssen. Wir wissen, dass der natürliche Logarithmus nur für positive (x) definiert ist und daher ist dies die einzige sinnvolle Grenze.

Im Limes erhalten wir nun die unbestimmte Form (left( 0 ight)left( < - infty > ight)). Die Regel von L’Hospital funktioniert nicht bei Produkten, sondern nur bei Quotienten. Wir können dies jedoch in einen Bruch verwandeln, wenn wir die Dinge ein wenig umschreiben.

Die Funktion ist dieselbe, nur umgeschrieben, und der Grenzwert hat jetzt die Form ( - /) und wir können jetzt die Regel von L’Hospital verwenden.

Nun, das ist ein Durcheinander, aber es räumt gut auf.

Im vorherigen Beispiel haben wir uns die Tatsache zunutze gemacht, dass wir ein Produkt von Funktionen immer als Quotienten schreiben können, indem wir einen der folgenden Schritte ausführen.

Wenn wir diese beiden Tatsachen verwenden, können wir jeden Grenzwert in der Form (left( 0 ight)left( < pm ,infty > ight)) in einen Grenzwert in der Form 0/0 oder (<< pm ,infty >>/<< pm ,infty >>). Welche von diesen beiden wir nach dem Umschreiben erhalten, hängt davon ab, welche Tatsache wir beim Umschreiben verwendet haben. Eine der Umschreibungen ergibt 0/0 und die andere gibt (<< pm ,infty >>/<< pm ,infty >>). Es hängt alles davon ab, welche Funktion im Zähler bleibt und welche auf den Nenner verschoben wird.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.

Es hat also die Form (left( infty ight)left( 0 ight)). Das bedeutet, dass wir ihn als Quotienten schreiben müssen. Das Verschieben von (x) auf den Nenner hat im vorherigen Beispiel funktioniert, also versuchen wir es auch mit diesem Problem.

Wenn wir das Produkt auf diese Weise schreiben, erhalten wir ein Produkt, das die Form 0/0 im Grenzwert hat. Verwenden wir also die Regel von L’Hospital für den Quotienten.

Hmmmm…. Das scheint uns nicht weiter zu bringen. Mit jeder Anwendung der L’Hospital-Regel landen wir einfach bei einer anderen 0/0-unbestimmten Form und tatsächlich scheinen die Ableitungen immer schlechter zu werden. Beachten Sie auch, dass wir, wenn wir den Quotienten zurück in ein Produkt vereinfachen würden, am Ende entweder (left( infty ight)left( 0 ight)) oder (left( < - infty > right)left( 0 ight)) und das wird uns nichts nützen.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Begrenzung nicht durchgeführt werden kann. Es bedeutet nur, dass wir die falsche Funktion auf den Nenner verschoben haben. Verschieben wir stattdessen die Exponentialfunktion.

Beachten Sie, dass wir die Tatsache verwendet haben,

um den Quotienten etwas zu vereinfachen. Dies wird uns helfen, wenn es an der Zeit ist, einige Derivate zu nehmen. Der Quotient ist nun eine unbestimmte Form von ( - /) und nach der Regel von L’Hospital erhält man:

Wenn wir also mit einem Produkt (left( 0 ight)left( < pm ,infty > ight)) konfrontiert sind, können wir es in einen Quotienten umwandeln, der es uns ermöglicht, die L’Hospital-Regel zu verwenden. Wie wir im letzten Beispiel gesehen haben, müssen wir jedoch gelegentlich vorsichtig sein, wie wir dies tun. Manchmal können wir einen der beiden Quotienten verwenden und in anderen Fällen funktioniert nur einer.

Schauen wir uns nun die unbestimmten Formen an,

Diese können alle wie folgt behandelt werden, daher arbeiten wir nur an einem Beispiel.

Im Grenzwert ist dies die unbestimmte Form []. Wir werden den größten Teil dieses Problems tatsächlich für ein anderes Limit ausgeben. Definieren wir zunächst folgendes.

Wenn wir nun den natürlichen Logarithmus beider Seiten nehmen, erhalten wir

Schauen wir uns nun die folgende Grenze an.

Diese Grenze war nur ein Regelproblem von L’Hospital und wir wissen, wie man das macht. Was hat das mit unserem Limit zu tun? Nun merke zuerst, dass

und so könnte unser Limit geschrieben werden als:

Wir können nun das obige Limit verwenden, um dieses Problem zu lösen.

Mit der Regel von L’Hospital sind wir nun in der Lage, die Grenze einer Vielzahl von unbestimmten Formen zu ziehen, mit denen wir vor diesem Abschnitt nicht umgehen konnten.


Seeburger-Kalkül3-13.7-2.-Grad-Taylor-Polynom mit Fläche Beispiel 1B

Als wir zum ersten Mal über Reihenkonvergenz sprachen, erwähnten wir kurz eine stärkere Art der Konvergenz, haben aber nichts damit gemacht, weil wir keine Werkzeuge zur Verfügung hatten, mit denen wir Probleme damit bearbeiten könnten. Wir haben jetzt einige dieser Tools, daher ist es jetzt an der Zeit, über absolute Konvergenz im Detail zu sprechen.

Gehen wir zunächst auf die Definition der absoluten Konvergenz zurück.

Definition

Eine Reihe (displaystyle sum <> ) heißt absolut konvergent if (displaystyle sum > ight|> ) ist konvergent. Wenn (displaystyle sum <> ) ist konvergent und (displaystyle sum > ight|> ) divergent ist, nennen wir die Reihe bedingt konvergent.

Wir haben auch die folgende Tatsache über die absolute Konvergenz.

Wenn (displaystyle sum <> ) absolut konvergent ist, dann ist es auch konvergent.

Nachweisen

Beachten Sie zunächst, dass (left| <> echts|) ist entweder () oder es ist ( - ) je nach Vorzeichen. Das bedeutet, dass wir dann sagen können,

[0 le + links| <> echts| le 2links| <> echts|]

Da wir nun annehmen, dass (sum > ight|> ) ist dann konvergent, dann (sum <2left| <> ight|> ) ist auch konvergent, da wir nur die 2 aus der Reihe herausrechnen können und das 2-fache eines endlichen Wertes immer noch endlich ist. Dies erlaubt uns jedoch, den Vergleichstest zu verwenden, um zu sagen, dass (sum left( <+ links| <> ight|> ight) ) ist ebenfalls eine konvergente Reihe.

und so (sum <> ) ist die Differenz zweier konvergenter Reihen und ist somit auch konvergent.

Diese Tatsache ist einer der Gründe, warum die absolute Konvergenz eine „stärkere“ Art der Konvergenz ist. Absolut konvergente Reihen sind garantiert konvergent. Konvergente Reihen können jedoch absolut konvergent sein oder nicht.

Schauen wir uns kurz einige Beispiele für absolute Konvergenz an.

  1. (displaystyle sumlimits_^infty ight)>^n>>>> )
  2. (displaystyle sumlimits_^infty ight)>^>>><<>>> )
  3. (displaystyle sumlimits_^infty ><<>>> )

Dies ist die alternierende harmonische Reihe und wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass es sich um eine konvergente Reihe handelt, also brauchen wir das hier nicht zu überprüfen. Sehen wir uns also an, ob es sich um eine absolut konvergente Reihe handelt. Dazu müssen wir die Konvergenz von prüfen.

Dies ist die harmonische Reihe und wir wissen aus dem Integraltestabschnitt, dass sie divergent ist.

Daher ist diese Reihe nicht absolut konvergent. Sie ist jedoch bedingt konvergent, da die Reihe selbst konvergiert.

In diesem Fall lassen Sie uns einfach zuerst die absolute Konvergenz überprüfen, denn wenn sie absolut konvergent ist, müssen wir uns nicht die Mühe machen, die Konvergenz zu überprüfen, da wir dies kostenlos erhalten.

Diese Reihe ist durch den (p)-Reihentest konvergent und somit ist die Reihe absolut konvergent. Beachten Sie, dass dies auch bedeutet, dass es sich um eine konvergente Reihe handelt.

In diesem Teil müssen wir ein wenig vorsichtig sein. Erstens ist dies KEINE abwechselnde Serie und daher können wir keine Tools aus diesem Abschnitt verwenden.

Was wir hier tun, ist zuerst noch einmal auf absolute Konvergenz zu prüfen, da dies auch Konvergenz ergibt. Dies bedeutet, dass wir die Konvergenz der folgenden Reihe überprüfen müssen.

Dazu müssen wir das beachten

[ - 1 le sin n le 1hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace<0.25in>left| ight| le1]

durch den (p)-Reihentest konvergiert und somit durch den Vergleichstest wissen wir auch, dass

Daher ist die ursprüngliche Reihe absolut konvergent (und damit konvergent).

Schließen wir diesen Abschnitt ab, indem wir ein Thema zusammenfassen, das wir zuvor gesehen haben. Als wir zum ersten Mal die Konvergenz von Reihen im Detail diskutierten, stellten wir fest, dass wir uns Reihen nicht als unendliche Summe vorstellen können, da einige Reihen unterschiedliche Summen haben können, wenn wir ihre Terme neu anordnen. Tatsächlich haben wir zwei Neuanordnungen einer Alternating Harmonic-Reihe gegeben, die zwei verschiedene Werte ergab. Wir haben diesen Abschnitt mit der folgenden Tatsache abgeschlossen:

Fakten

Gegeben sei die Reihe (displaystyle sum <> ),

    Wenn (displaystyle sum <> ) absolut konvergent ist und sein Wert (s) ist, dann ist jede Umordnung von (sum <> ) hat auch den Wert (s).

Nachdem wir nun die Werkzeuge zur Bestimmung der absoluten und bedingten Konvergenz in der Hand haben, können wir dazu noch einige Bemerkungen machen.

Erstens, wie wir oben in Beispiel 1a gezeigt haben, ist eine alternierende Harmonische bedingt konvergent, und unabhängig davon, welchen Wert wir wählen, gibt es eine Neuordnung von Termen, die diesen Wert ergibt. Beachten Sie auch, dass diese Tatsache uns nicht sagt, was diese Neuordnung sein muss, sondern nur, dass sie existiert.

Als nächstes haben wir in Beispiel 1b gezeigt, dass

ist absolut konvergent und unabhängig davon, wie wir die Terme dieser Reihe neu anordnen, erhalten wir immer den gleichen Wert. Tatsächlich kann gezeigt werden, dass der Wert dieser Reihe


2 Antworten 2

Umbrale Beziehungen überschatten die der grundlegenden Binomialtransformation und enthüllen die zugrunde liegenden Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik (wie Leibnitz selbst vorhergesagt hat – siehe H. Davis "Theory of Linear Operators"):

[Edit 17. Juni 2021: Eine etwas andere Einführungspräsentation gibt es hier bei MO.]

ICH) Die Umbral-Notation ist kurz und suggestiv (mit freundlicher Genehmigung von Blissard und Zeitgenossen):

$ displaystyle (a.)^n= a_n $ (umbrale Variable und Herabsetzen des hochgestellten Zeichens).

Binomialfaltung einfach ausdrücken:

$ displaystyle (a. + b.)^ = sum_^ inom ein_ B_ $ (achten Sie darauf, $(a.+b.)^0=a_0b_0$ und $(a.+b.)^1=a_0b_1+a_1b_0$ auszuwerten), $ displaystyle e^= sum_ a_n frac ,$

Eine genauere Schreibweise ist die Verwendung von $langle a.^n angle = a_n$, um eindeutig anzugeben, wann die Absenkungsoperation oder die Auswertung einer Kerngröße durchgeführt werden soll. Z.B.,

$langle a.^n a.^m angle=langle a.^ angle=a_ e a_n a_m= langle a.^n anglelangle a.^m angle$

$ e exp[langleln(1+a.x) angle]=exp left[ sum_ langlefrac angle ight]=expleft[sum_ frac ight] .$

II) Dasselbe gilt für umbralized ops, was eine prägnante Spezifikation und Ableitung vieler Beziehungen ermöglicht, insbesondere zwischen speziellen Funktionen. Ein Großteil der Umbralkalküle besteht darin, diese Operationen für spezielle Sequenzen zu definieren, wie zum Beispiel das fallende $(x)_=x!/(x-n)!$ und steigende Fakultäten $(x)_<ar>=(x+n-1)!/(x-1)!$ und Bell-Polynome $phi_n(x)$ .

$ (:AB:)^n = A^n B ^n$ (Defn. für ordnungserhaltende Exponentiation für beliebige Operatoren)

Von $xD x^ = n x^$ , es ist einfach abzuleiten

III) Umbrale kompositorische inverse Paare ermöglichen eine einfache Ableitung von kombinatorischen Identitäten und offenbaren Assoziationen zwischen verschiedenen Wiederholungen von Operatorkalkülen.

Sehen Sie sich an, wie dies die Exponentiation des Distributivoperators $:xD:^n=x^nD^n$ mit der Umbral-Absenkung von Hochstellungen verbindet. Die fallenden Fakultäten und Bell-Polynome sind ein inverses Kernpaar, d. h. $phi_n((x).)=x^n=(phi.(x))_n$ . Dies spiegelt sich in den Funktionen $log(1+t)$ und $e^t-1$ wider und definieren ihre z.B.f.s $e^$ und $e^$ , da es sich um regelmäßige Kompositionsinversen handelt und die unteren Dreiecksmatrizen, die die Koeffizienten für die Polynome (die Stirling-Zahlen der ersten und zweiten Art) enthalten, multiplikative Inversen sind, so dass wir zwischen vielen Wiederholungen wechseln können, um viele Formeln zu finden und in Beziehung zu setzen. Für das Derivat op rep,

wir haben also eine Verbindung zur umbralen Absenkung von Indizes

NS) Die verallgemeinerte Taylor-Reihe oder der Verschiebungsoperator ist das Herzstück der Umbralkalküle:

(z.B. dieser Eintrag zu einer Klasse von Differentialoperatoren und ein weiterer zu den Bernoulli-Polynomen) mit Spezialfällen

$ e^<-(1-q.(x))D_y>y^ |_ = (1-(1-q.(x)))^ ,$ ergibt eine Gauß-Newton-Interpolation von $q_n(x)$ (Schatten der Binomialbeziehungen).

Es kann oft verwendet werden, um interessante kombinatorische Beziehungen zwischen Operatoren leicht aufzudecken. Ein einfaches Beispiel:

$ e^ f(x) = e^ f(x) = e^ <(e^t-1):xD:>f(x) = f(e^x) .$ Sie könnten sogar $t$ umbralisieren, um die Faa di Bruno-Formel zu erhalten. Versuchen Sie, einige Op-Beziehungen mit den Laguerre-Polynomen zu entdecken (Hinweis – siehe $:Dx:^n= D^nx^n$ . Vgl. Diff-Ops und konfluente hypergeometrische Fkten.).

Als weiteres Beispiel (hinzugefügt im Mai 2015) für das Zusammenspiel zwischen Differentialoperatoren, Umbralkalkül und endlichen Differenzen sind die Beziehungen für die Bell-Polynome zu beachten

und wenden Sie diese Operatoren auf $x^m$ , $e^ . an$ und $x^s$ . (Die S(n,k) sind die Stirlingzahlen zweiter Art.)

Ich habe die Potenzmonome $x^n$ und ihre zugehörigen Anhebungs- und Absenkungsoperationen, $x$ und $D_x$ verwendet, aber diese Beziehungen werden durch die Anhebungs- und Absenkungsoperationen aller Umbralsequenzen $p_n(x)$ wie überschattet dass $R p_n(x) = p_(x)$ und $L p_n(x) = n p_(x)$ . (Shadows of Lie und Quantenmechanik auch hier.)

V) (Hinzugefügt im Sept. 2020): Die verallgemeinerte Chu-Vandermonde-Identität für die diskrete Faltung von Binomialkoeffizienten – integraler Bestandteil des Verständnisses der Eigenschaften konfluenter hypergeomerischer Funktionen und ihrer Diff-Op-Reps – lässt sich leicht aus dem Umbral-Sheffer-Kalkül ableiten.

Binomiale Sheffer-Sequenzen von Polynomen (BSP) haben z.B.f.s der Form

wobei $h(t)$ und invertierbar ist und im Ursprung verschwindet. Dies impliziert

$e^ <(x+y)h(t)>= e^ = e^e^ = e^e^ = e^,$ folgt also der Akkumulationseigenschaft $(B.(x)+B.(y))^n = B_n(x+y).$ Die Stirling-Polynome erster Art, $ST1_n(x) = (x)_n $ , sind ein BSP mit $h(t)=ln(1+t)$ und


Einführung

Optimierungsprobleme, die in komplexen naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen auftreten, beinhalten oft Simulationen, deren Auswertung rechenintensiv ist (mehrere Minuten bis Stunden oder mehr pro Auswertung). Die Simulationen sind normalerweise nichtlinear und wir haben keine analytische Beschreibung der Funktion f ( ( ), die die Parametereingaben x ∈ D ⊂ R n auf Simulationsausgaben abbildet. Der Rechenaufwand begrenzt die Anzahl der Auswertungen, die wir während der Optimierung vornehmen können. Ein weit verbreiteter Ansatz, um diese Schwierigkeit zu mildern, ist die Verwendung einer schnell zu bewertenden Ersatzmodell, s ( x ) , stellvertretend für die Simulation [1]: f ( x ) = s ( x ) + e ( x ) , wobei e ( x ) die Differenz zwischen der wahren Funktion und dem Ersatzmodell bezeichnet. Wir passen ein Ersatzmodell an, das auf einem Satz vorevaluierter Parameter-Funktionswerte-Paare basiert und verwenden es während der Optimierungssuche, wodurch die Anzahl der Abfragen auf die teure Simulation reduziert wird. Typen von Surrogatmodellen umfassen Gaußsche Prozessmodelle [2], radiale Basisfunktionen [3], multivariate adaptive Regressionssplines [4] und polynomiale Regressionsmodelle [5].

Polynommodelle haben mehrere Vorteile, wie z. B. eine einfache Darstellung und ihre einfache Erstellung und Verwendung, sie haben jedoch ein schlechtes Extrapolationsverhalten und sind in ihrer Fähigkeit, mit Singularitäten umzugehen, stark eingeschränkt. Diese Nachteile können ihre Wirksamkeit bei der Darstellung von Elementen der Physik in vielen Anwendungen verringern. Wegen dieser Nachteile wendet man sich Modellen zu, die auf rationalen Funktionen (Quotienten von Polynomen) basieren, deren Fähigkeit, Singularitäten auf natürliche Weise über ihre Pole zu erfassen, sie erheblich leistungsfähiger als Polynome machen kann [6], [7]. Leider können rationale Approximationen numerisch fragil sein und neigen dazu, falsche Singularitäten aufzuweisen. Darüber hinaus ist nicht immer klar, wie die geeignete Kombination aus Zähler- und Nennergrad auszuwählen ist.

In diesem Artikel untersuchen wir den Nutzen rationaler Approximationen als Ersatzmodelle. Wir schlagen zwei Methoden zur Berechnung multivariater rationaler Näherungen vor r ( x ) = p ( x ) q ( x ) . Der erste Ansatz basiert auf den univariaten Methoden von [8], [9] und bietet eine robuste und effiziente Methode zur Berechnung der Koeffizienten von p ( x ) und q ( x ) . Obwohl es versucht, die Neigung zu reduzieren, dass das resultierende r ( x ) unerwünschte Singularitäten enthält, indem es Ideen aus der linearen Algebra verwendet, um den Grad von q ( x ) zu minimieren, tut es das nicht Garantie dass r ( x ) im Parameterbereich polfrei ist.

Der zweite Ansatz verwendet eine eingeschränkte Optimierungsformulierung, die strukturelle Einschränkungen für r(x) enthält, um das Fehlen von Polen in D zu erzwingen. Diese Einschränkungen werden durch Anwendungen motiviert, die beispielsweise in Hochenergiephysik (HEP)-Simulationen auftreten. Obwohl er rechenaufwendiger ist als der erste Ansatz, ermöglicht uns der zweite Ansatz, zu garantieren, dass die berechnete Approximation für kastenförmige Parameterdomänen frei von Polen ist, was im Zusammenhang mit der Berechnung von Ersatzmodellen zur Verwendung bei der Optimierung entscheidend sein kann. Insbesondere die garantierte Polfreiheit stellt sicher, dass nachfolgende Optimierungsprobleme mit unseren rationalen Näherungen wohldefiniert sind.

Die Literatur zur rationalen Approximation ist zu umfangreich, um sie hier umfassend abzudecken, wir verweisen den Leser auf Standardtexte wie [10, Kap. V], [11, Kap. 5] und [12, Kap. 23–27] für die Geschichte und Grundbegriffe. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit multivariaten Modellen. Die multivariate rationale Approximation wurde von Cuyt und Co-Autoren ausführlich untersucht [13], [14] insbesondere haben Cuyt und Yang kürzlich praktische Fehlergrenzen entwickelt [15].

Unsere rationalen Approximationen sind Kleinste-Quadrate-Modelle, die wie unten beschrieben nichtlinear oder linearisiert formuliert werden können. Unser erster Ansatz ist eine Erweiterung der Algorithmen für das in [8], [9], [16] vorgestellte linearisierte Problem. Das nichtlineare Problem ist ein Beispiel für a trennbar nichtlineares Kleinste-Quadrate-Problem, und Algorithmen dafür nutzen diese Struktur oft aus. Beispiele sind der Gauss-Newton-Algorithmus von Golub und Pereyra [17] und der Full-Newton-Algorithmus von Borges [18]. Der sogenannte „AAA“-Algorithmus von [19] ist eine besonders interessante, kürzlich entwickelte Alternative zu herkömmlichen Methoden für rationale Least-Squares-Probleme, da er jedoch derzeit nur im univariaten Kontext funktioniert, werden wir ihn hier nicht weiter untersuchen. Natürlich sind Least-Squares-Approximationen nicht die einzige Art von rationalen Modellen. Aktuelle interessante Arbeiten zu anderen rationalen Modellen als einfachen Least-Squares-Approximationen umfassen den rationalen Minimax-Approximationsalgorithmus von [20].

Einer der Vorteile eines Ansatzes der kleinsten Quadrate zur rationalen Approximation besteht darin, dass er von Natur aus robust gegenüber Rauschen in den anzupassenden Daten ist. Cuyt, Salazar Celis und Co-Autoren [21], [22], [23] haben einen alternativen Ansatz zur rationalen Approximation angesichts verrauschter oder unsicherer Daten entwickelt, der als Eingabe eine Reihe von Unsicherheitsintervallen für jedes Datum verwendet und löst dann ein lineares oder quadratisches Programmierproblem, um eine rationale Funktion zu finden, die alle Unsicherheitsintervalle durchläuft. Unsere Methode unterscheidet sich von diesem Ansatz und ist für unsere Anwendung besser geeignet. In unserem Kontext ist nicht klar, wie die Unsicherheitsintervalle für diese alternative Methode konstruiert werden sollen. Darüber hinaus erfordert es im Vergleich zu unserem auf linearer Algebra basierenden Ansatz zusätzlichen Aufwand (Lösung eines Optimierungsproblems), ohne die polfreie Garantie zu liefern, die unsere semi-infinite Optimierung bietet.

Unser semi-infinite Optimierungsansatz ist eine multivariate Form der rationalen Approximation mit beschränktem Nenner, die im univariaten Kontext ausführlich untersucht wurde, siehe z. B. [24], [25]. In [25] beweisen die Autoren die Existenz der besten (einheitlichen) rationalen Approximationen mit einer unteren Schranke des Nenners und beschränkten Nennerkoeffizienten. Die Autoren präsentieren auch einen Differentialkorrekturalgorithmus mit eingeschränktem Nenner und zeigen, dass er unter bestimmten Bedingungen konvergiert. In [24] betrachtet der Autor sowohl untere als auch obere Schranken des Nenners. Er zeigt, dass diese Schranken konvexen Beschränkungen der Nennerkoeffizienten entsprechen, und zeigt damit die Existenz einer besten Lösung. Unsere Formulierung des Constrained-Denominator-Problems mit semi-infinite Optimierung bietet eine andere Perspektive als diese frühere Arbeit. Abgesehen davon, dass es praktisch ist, kann es auch theoretische Einsichten liefern, obwohl wir dies hier nicht im Detail untersuchen. Zum Beispiel könnten wir durch den Aufruf semi-infinite Optimalitätsbedingungen (siehe z. B. [26]) im Prinzip notwendige Bedingungen für optimale polfreie rationale Approximationen erhalten. Dies würde eine offene Frage aus [24] bezüglich der Charakterisierung der besten eingeschränkten rationalen Näherungen teilweise beantworten.

Unsere Arbeit ist motiviert durch Simulationen zur Untersuchung komplexer physikalischer Phänomene, insbesondere in der Hochenergiephysik. Simulationen werden oft verwendet, um reale Experimente zu leiten, um „interessante“ Physik zu finden oder um zu überprüfen, ob Modelle, die aus dem physikalischen Verständnis abgeleitet wurden, mit Experimenten übereinstimmen [27]. Diese Simulationen (sowie physikalische Experimente) sind jedoch im Allgemeinen ressourcenintensiv (rechnerisch oder anderweitig) [28]. Eine einzelne Simulation kann auf einem modernen Supercomputer viele Stunden Rechenzeit erfordern, wodurch die Anzahl der realistisch durchführbaren Simulationsläufe begrenzt wird.

Dies schränkt Anwendungen stark ein, die eine umfassende Parameterraumerkundung erfordern. Unser Ziel ist es, die kostspieligen Simulationen durch rationale Näherungen zu ersetzen, die viel billiger auszuwerten sind. Insbesondere wollen wir eine Zielfunktion über einen Raum von Modellparametern konstruieren und numerisch optimieren, der als Fehlanpassung zwischen experimentellen Daten und Simulationsvorhersagen definiert ist.

In Abschnitt 2 legen wir unsere Notation fest und beschreiben die Arten von Modellen, die wir generieren werden. In Abschnitt 3 entwickeln wir eine Methode zur Konstruktion rationaler Modelle auf der Grundlage der linearen Algebra. Dieser Ansatz ist flexibel und einfach zu implementieren, hat jedoch den Nachteil, dass Singularitäten vorhanden sein können. Obwohl Singularitäten in manchen Kontexten akzeptabel sind, müssen wir im Allgemeinen Singularitäten in bestimmten Bereichen des Parameterraums verhindern, da sie in unserem Optimierungsverfahren eine unbeschränkte Zielfunktion verursachen können, die nicht akzeptabel ist. In Abschnitt 4 beschreiben wir einen separaten Ansatz basierend auf semi-infinite Optimierung, der es uns ermöglicht, dieses Ziel zu erreichen. In Abschnitt 5 präsentieren wir einige numerische Ergebnisse, und in Abschnitt 6 beschreiben wir unsere Anwendung in der Hochenergiephysik und zeigen die überlegene Leistung unserer polfreien rationalen Approximationen gegenüber polynomiellen Approximationen und rationalen Approximationen mit Polen. In Abschnitt 7 fassen wir unsere wichtigsten Ergebnisse zusammen und diskutieren mögliche Wege für weitere Forschungen.


Abstrakt

Diese Studie fördert die Literatur über unternehmerische Leidenschaft, die nicht erklären kann, wann und wie sich die Erfahrung von Leidenschaft auf die Leistung auf Unternehmensebene auswirkt, indem sie den Fokus auf die Teamebene verlagert und die Mechanismen und Eventualitäten untersucht, die dieser Beziehung zugrunde liegen. Auf der Grundlage der Identitätskontrolltheorie und der Literatur über neue Lebenszyklusphasen von Ventures stellen wir Theorien auf und testen, dass die unternehmerische Leidenschaft des Teams (TEP) die Leistung des neuen Venture-Teams über Beziehungskonflikte beeinflusst und dass dieser Mechanismus unterschiedlich ist, je nachdem, ob der Leidenschaftsfokus des Teams darauf ausgerichtet ist die Entwicklungsphase des Unternehmens. Basierend auf Umfragedaten und Start-up-Wettbewerbsergebnissen von 86 New-Venture-Teams kommen wir zu dem Schluss, dass eine Voraussetzung dafür ist, dass ein Team von den Erfahrungen von TEP profitieren kann, dass seine Leidenschaftsorientierung zumindest die unternehmerischen Aktivitäten widerspiegelt, die für die spezifische Entwicklung erforderlich sind Phase, in der das Unternehmen tätig ist. Implikationen für Forschung und Praxis werden diskutiert.


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Dieses Papier beschreibt eine hochgradig genaue Methode zur Berechnung von Integralen über gekrümmten Oberflächen mit Begrenzungen. Bei Datenpositionen, die willkürlich über die Oberfläche verteilt sind, erzeugt der Algorithmus zusammen mit einer funktionalen Beschreibung der Oberfläche und ihrer Begrenzung übereinstimmende Quadraturgewichte. Dies erweitert die früheren Methoden der Autoren zur Integration über die Oberfläche einer Kugel und über beliebig geformte glatte geschlossene Oberflächen, indem auch Domänengrenzen berücksichtigt werden. Der Kernansatz besteht wiederum darin, RBF-FD-Approximationen (Radial Basis Function Generated Finite Difference) für gekrümmte Flächendreiecke zu kombinieren, die zusammen die Vollfläche bilden. Die bereitgestellten Beispiele umfassen sowohl gekrümmte als auch flache Domänen. Im sehr speziellen Fall von Knoten mit gleichem Abstand über ein regelmäßiges Intervall in 1-D bietet das Verfahren eine neue Möglichkeit, die klassischen Gregory-Verbesserungen der Trapezregel zu verbessern.

Major, United States Air Force, supported by the Department of Defense and the Office of Naval Research's Atmospheric Propagation Sciences of High Energy Lasers and the Air Force Office of Scientific Research's Radial Basis Functions for Numerical Simulation . The views expressed in this article are those of the authors and do not reflect the official policy or position of the United States Air Force, Department of Defense, or U.S. Government.


5 CONCLUSIONS

In this paper an efficient surrogate modeling technique for quantifying uncertainties in the material and geometry of high-frequency and optical devices was presented. The proposed method is based on gPC to achieve spectral convergence. Through a combination with conformal maps we were able to enlarge the region of analyticity. This led to an improved convergence rate, which was numerically demonstrated for two benchmark problems. In particular, the approach showed significant gains in either accuracy or computational cost, requiring only minor modifications of an existing code. Due to orthogonality of the proposed basis, stochastic moments as well as Sobol indices can be directly obtained from the coefficients. It is worth noting that this technique can also be combined with other techniques for convergence acceleration such as adjoint-error correction, sparse-grids and (adjoint-based) adaptivity for the multivariate case. 11