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6.5: Verwenden der Nullprodukteigenschaft - Mathematik Math


https://www.applestemhomeschool.com/module/topic/258

Algebra (brauche schnell Hilfe)

19. Eine Modellrakete wird von einem Dach in ein großes Feld geschossen. Die Flugbahn der Rakete kann durch die Gleichung y=0,006x^2+10.1x+5 modelliert werden, wobei x die horizontale Entfernung in Metern vom Startpunkt auf dem Dach und y die Höhe in Metern von ist die Rakete über dem Boden. Wie weit horizontal von ihrem Startpunkt wird die Rakete landen?
A.168,83 m
B.5,00 m²
C.84,17 m
D.168,34 m

20. Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung? -7x^2+6x+3=0
A. eine Lösung
B. zwei Lösungen
C. keine Lösungen
D. unendlich viele Lösungen
Wenn Sie den Rest der Einheit 8 Lektion 2 Semester B Prüfung für Algebra auf Connexus haben, lassen Sie es mich bitte wissen

17.
naja wenn x = 0, das funktioniert
und wenn 3x +1 = 0, funktioniert das

18. Nun, ich weiß bereits, dass x = 0 und x = -1/3 funktionieren, aber
18 x^2 + 6 x + 0 = 0
x = [ -6 +/- Quadrat (36 - 0) ] / 36
x = [ -6 +/-6 ] /36
x = 0/36 oder x = -12/36
aber das wussten wir

19. habe gerade gelernt, quadratisch zu lösen. Was ist also x, wenn y = 0 ist? (der große, nicht der vor dem Start.)

wenn 0, eine Lösung (Parabel-Scheitelpunkt berührt nur die x-Achse)
wenn negativ, komplexe Lösungen, keine reell
wenn positiv, zwei reelle

Danke Damon für die Hilfe! Können Sie alle Antworten in einer Nachricht auflisten, damit ich nicht verwirrt bin und die falsche Antwort eingegeben habe?


PCC SLC-Ressourcen für Mathematik

Wenn das Produkt zweier Zahlen null ist, muss mindestens eine der Zahlen im Produkt null sein. Dies ist eine für Null eindeutige Eigenschaft, wenn z. B. zwei Zahlen mit z .

Beim Lösen einer Formgleichung:

Der nächste Schritt im Prozess besteht darin, Folgendes anzugeben:

Wir lösen dann die beiden neuen Gleichungen getrennt und geben unsere Lösungen oder Lösungsmengen an. Beispielsweise:

Die Lösungen sind (-frac<7><4>) und (frac<9><2> ext<.>) Die Lösungsmenge ist (<-frac<7><4 >, frac<9><2>> ext<.>)

Wir müssen häufig einige vorbereitende Schritte ausführen, bevor wir die Zero-Product-Eigenschaft aufrufen. Speziell:

  1. Erweitere beide Seiten der Gleichung vollständig.
  2. Addiere und/oder subtrahiere zu/von beiden Seiten der Gleichung, sodass eine Seite der Gleichung null ist. Der nächste Schritt wird einfacher, wenn Sie sicherstellen, dass der Term zweiten Grades ((ax^2)) einen positiven Koeffizienten hat.
  3. Faktorisieren Sie die von Null verschiedene Seite der Gleichung.
  4. Wir sind jetzt so eingestellt, dass wir die Zero-Product-Eigenschaft aufrufen.
Beispiel 12.3.1 .

Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft, um (4x^2=4x+15 ext<.>) zu lösen.

Die Lösungen sind (frac<5><2>) und (-frac<3><2> ext<.>) Die Lösungsmenge ist (left< 2>, -frac<3><2> ight> ext<.>)

Beispiel 12.3.2.

Verwenden Sie die Nullprodukt-Eigenschaft, um ((x+6)(x-2)=-16 ext<.>) zu lösen.

Die Lösung ist (-2 ext<.>) Die Lösungsmenge ist (<-2> ext<.>)

Beispiel 12.3.3 .

Verwenden Sie die Nullprodukt-Eigenschaft, um ((x+4)(4x-5)=(7x+10)(3x-2) ext<.>) zu lösen.

Die Lösungen sind (0) und (-frac<5><17> ext<.>) Die Lösungsmenge ist (left<0, -frac<5><17> ight > ext<.>)

Beispiel 12.3.4 .

Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft, um (2-x^2=(2-x)^2 ext<.>) zu lösen.

Die Lösung ist (1 ext<.>) Die Lösungsmenge ist (<1> ext<.>)

Übungen Übungen

Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft, um jede quadratische Gleichung zu lösen. Geben Sie die Lösungen zu jeder Gleichung sowie den Lösungssatz zu jeder Gleichung an.

Wir beginnen damit, dass wir jeden der Faktoren von der linken Seite der Gleichung gleich Null setzen.

Die Lösungen sind (-frac<8><3>) und (frac<7><5> ext<.>)

Die Lösungsmenge ist (left<-frac<8><3>, frac<7><5> ight> ext<.>)

Wir beginnen damit, dass wir jeden der Faktoren von der linken Seite der Gleichung gleich Null setzen.

Die Lösungen sind (0) und (6 ext<.>)

Wir beginnen damit, die rechte Seite der Gleichung auf Null zu setzen und dann die linke Seite der Gleichung zu faktorisieren.

Die Lösungen sind (5) und (-2 ext<.>)

Wir beginnen damit, die rechte Seite der Gleichung auf Null zu setzen und dann die linke Seite der Gleichung zu faktorisieren.

Wir beginnen damit, dass wir die linke Seite der Gleichung erweitern, die rechte Seite der Gleichung null machen und dann die linke Seite der Gleichung faktorisieren.

Die Lösungen sind (-frac<5><4>) und (frac<1><8> ext<.>)

Die Lösungsmenge ist (left<-frac<5><4>, frac<1><8> ight> ext<.>)

Wir beginnen damit, die rechte Seite der Gleichung auf Null zu setzen und dann die linke Seite der Gleichung zu faktorisieren.

Die Lösungen sind (0) und (frac<1><2> ext<.>)

Die Lösungsmenge ist (left<0, frac<1><2> ight> ext<.>)

Wir beginnen damit, dass wir die linke Seite der Gleichung erweitern, die rechte Seite der Gleichung null machen und dann die linke Seite der Gleichung faktorisieren.


5.3: Hin und Her (15 Minuten)

Aktivität

Diese Aktivität baut auf die Vervollständigung des Quadrats auf. Die Schüler schreiben eine Gleichung der Form ((xh)^2 + (yk)^2 = r^2) um und setzen sie in die Form (x^2 + y^2 + ax +by + c = 0 ) . Dann wird ihnen eine Gleichung für einen Kreis präsentiert, in der die quadrierten Binome erweitert wurden. Die Schüler schreiben 2 perfekte quadratische Trinome in faktorisierter Form um und bestimmen dann den Mittelpunkt und den Radius des Kreises.

  1. Hier ist die Kreisgleichung: ((x-2)^2+(y+7)^2=10^2)
    1. Was sind Mittelpunkt und Radius des Kreises?
    2. Wenden Sie die Verteilungseigenschaft auf die quadrierten Binomiale an und ordnen Sie die Gleichung so um, dass eine Seite 0 ist. Dies ist die Form, in der viele Kreisgleichungen geschrieben werden.
    1. Wie können Sie diese Gleichung umschreiben, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu finden?
    2. Was sind Mittelpunkt und Radius des Kreises?

    Schülerantwort

    Lehrer mit einer gültigen geschäftlichen E-Mail-Adresse können hier klicken, um sich zu registrieren oder sich für den kostenlosen Zugang zu Student Response anzumelden.

    Bist du bereit für mehr?

    Im dreidimensionalen Raum gibt es 3 Koordinatenachsen, die (x)-Achse, die (y)-Achse und die (z)-Achse. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r) .

    Schülerantwort

    Lehrer mit einer gültigen geschäftlichen E-Mail-Adresse können hier klicken, um sich zu registrieren oder sich anzumelden, um kostenlosen Zugang zu Extension Student Response zu erhalten.

    Vorweggenommene Missverständnisse

    Die Schüler können Schwierigkeiten haben, zu entscheiden, ob die Koordinaten der Kreismittelpunkte positiv oder negativ sind. Ermutigen Sie sie, die Gleichung in der Form ((x-h)^2+(y-k)^2=r^2) umzuschreiben. Erinnere sie daran, dass wir subtrahieren die Koordinaten des Mittelpunkts vom gegebenen Punkt ((x,y)), um den Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Punkt zu erhalten.

    Aktivitätssynthese

    Bitten Sie die Schüler, die Kreisgleichung aus der zweiten Aufgabe so umzuordnen, dass auf einer Seite der Gleichung eine 0 steht: (x^2+6x+y^2-10y-30=0) . Zeigen Sie diese 3 Formen dieser Gleichung für alle sichtbar an und betonen Sie, dass dies alles äquivalente Gleichungen sind und daher denselben Kreis darstellen:

    Der Zweck der Diskussion besteht darin, Verbindungen zwischen verschiedenen Formen der Gleichung herzustellen, um die Vervollständigung des Quadrats vorzubereiten. Fragen Sie die Schüler:

    • „In welcher Form ist es am einfachsten, Mittelpunkt und Radius des Kreises zu finden?“ (Der erste.)
    • „Vergleiche und kontrastiere die zweite und dritte Form.“ (Jede Form enthält die Terme (x^2) , (6x) , (y^2) und ( ext-10y) , aber die konstanten Terme sind unterschiedlich.)
    • „Wie können Sie von der ersten in die zweite Form übergehen?“ (Verteilen Sie die beiden Sätze von quadrierten Binomialen.)
    • „Wie kommst du von der zweiten in die dritte?“ (Kombiniere ähnliche Begriffe.)
    • „Wie kommst du von der zweiten in die erste?“ (Schreiben Sie die perfekten quadratischen Trinome in quadrierte Binome um und schreiben Sie 64 in 8 2 um.)

    Die Bedeutung der Null in der Mathematik

    Das Konzept der Null scheint um 520 n. Chr. mit dem indischen Aryabhata entstanden zu sein, der ein Symbol, das er “kha” nannte, als Platzhalter benutzte. Brahmagupta, einem anderen indischen Mathematiker, der im 5. Andere Mathematiker wie al-Khwarizmi und Leonardo Fibonacci erweiterten die Verwendung der Null. Im Mittelalter, um die frühen 1200er Jahre, war dieses Konzept in der westlichen Gesellschaft angekommen.

    Wie wichtig ist Null? Es ist die Zahl, um die sich die negativen Zahlen links davon ins Unendliche erstrecken und die positiven Zahlen rechts davon. Es ist weder positiv noch negativ. Aus diesem Grund ist die Null ein Dreh- und Angelpunkt bei Thermometern und der Ursprungspunkt für Personenwaagen und die Koordinatenachse.

    Null ist auch wichtig, wenn Sie an Sets denken. Eine leere oder Nullmenge ist eine Menge, die keine Elemente enthält.

    Null ist so wichtig, dass jede der mathematischen Operationen spezielle Regeln hat, die Eigenschaften genannt werden, die ihre Verwendung mit anderen ganzen Zahlen regeln.

    Die Additionseigenschaft von null besagt, dass immer dann, wenn null zu einer ganzen Zahl addiert wird oder umgekehrt, die Summe die ganze Zahl ist. Beispiel: Ben hatte 3 Äpfel und Sara hatte keinen. Wenn sie ihre Äpfel kombinieren würden, wie viele wären es dann insgesamt?

    Die Subtraktionseigenschaft von Null besagt, dass immer dann, wenn Null von einer ganzen Zahl subtrahiert wird, die Differenz die ganze Zahl ist, und wenn eine ganze Zahl von sich selbst subtrahiert wird, ist die Differenz Null.

    Die Multiplikationseigenschaft von Null ähnelt der Additionseigenschaft insofern, als es egal ist, in welcher Reihenfolge Sie die Operation auf die ganze Zahl ausführen. Eine ganze Zahl multipliziert mit Null ist also gleich Null und umgekehrt.

    Interessant ist die Divisionseigenschaft von Null. Wenn Null durch eine ganze Zahl geteilt wird, ist der Quotient Null. Dies ist dasselbe wie zu sagen “Teilen Sie Null in x Gruppen und wie viele Elemente werden in jeder Gruppe sein?” Die Antwort ist natürlich Null. Sie können jedoch keine ganze Zahl durch Null teilen, da Sie keine sinnvolle Umkehrung finden können. Können Sie x Münzen in Gruppen von Nullen aufteilen? Unmöglich! Deshalb haben Mathematiker einen speziellen Begriff für x/0, sie nennen ihn unendlich.

    Null ist sehr wichtig für seinen Platzhalterwert. Wenn Sie eine Zahl wie zweihundertvier haben, wie schreiben Sie sie, damit Sie verstehen, dass die Zahl keine Zehner hat? Sie können es nicht als 24 schreiben, weil das eine ganz andere Zahl ist.

    Eine nette Sache beim Umgang mit Zehnerpotenzen: 10 zum Quadrat = 100. Beachten Sie, dass der Exponent 2 angibt, wie viele Nullen in der ausgeschriebenen Form der Zahl vorhanden sind. Wenn Sie zwei Zahlen multiplizieren, die Zehnerpotenzen sind, entspricht die Anzahl der Nullen in der Antwort der Summe der Nullen in den Faktoren. Zum Beispiel, 2000 multipliziert mit 300 ergibt 600.000 oder 6 mit 5 Nullen dahinter.

    Wenn Sie Zahlen wie 6934 auf die nächste Zehn aufrunden, setzen Sie eine Null an die Stelle der Einer. 6934 auf die nächsten Zehn gerundet ergibt 6930.

    Wenn Sie eine Zahl mit einer Dezimalzahl schreiben, müssen Sie nicht weiter Nullen rechts von der Dezimalstelle setzen. Die Dezimalzahl .033 (dreiunddreißig Tausendstel) ist immer noch dreiunddreißig Tausendstel, wenn Sie sie .03300000 schreiben. Warum all diese zusätzlichen Nullen schreiben? Aber die Null an der Zehntelstelle ist extrem wichtig, da sie die Zehntelstelle hält, indem sie zeigt, dass es keine Zehntel in der Dezimalstelle gibt.

    Ob Sie es Null, Null oder Null nennen, Null hat einen wichtigen Platz in der Mathematik.


    6.5 Polynomgleichungen

    Wir haben viel Zeit damit verbracht, zu lernen, wie man Polynome faktorisiert. Wir werden uns nun polynomielle Gleichungen ansehen und sie, wenn möglich, durch Faktorisieren lösen.

    Eine polynomische Gleichung ist eine Gleichung, die einen polynomischen Ausdruck enthält. Der Grad der Polynomgleichung ist der Grad des Polynoms.

    Polynomgleichung

    EIN Polynomgleichung ist eine Gleichung, die einen polynomischen Ausdruck enthält.

    Das Grad der Polynomgleichung ist der Grad des Polynoms.

    Wir haben bereits Polynomgleichungen ersten Grades gelöst. Polynomgleichungen ersten Grades sind lineare Gleichungen von der Form a x + b = c . ax + b = c .

    Wir werden nun Polynomgleichungen vom Grad zwei lösen. Eine Polynomgleichung zweiten Grades wird als quadratische Gleichung bezeichnet. Nachfolgend sind einige Beispiele für quadratische Gleichungen aufgeführt:

    Die letzte Gleichung scheint die Variable nicht quadriert zu haben, aber wenn wir den Ausdruck auf der linken Seite vereinfachen, erhalten wir n 2 + n . n 2 + n .

    Quadratische Gleichung

    Eine Gleichung der Form a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 wird als quadratische Gleichung bezeichnet.

    Um quadratische Gleichungen zu lösen, benötigen wir andere Methoden als die, die wir bei der Lösung linearer Gleichungen verwendet haben. Wir werden uns hier eine Methode ansehen und dann mehrere andere in einem späteren Kapitel.

    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft

    Wir werden zunächst einige quadratische Gleichungen lösen, indem wir die Nullprodukteigenschaft verwenden. Die Zero Product Property besagt, dass, wenn das Produkt zweier Mengen Null ist, mindestens eine der Mengen Null ist. Die einzige Möglichkeit, ein Produkt gleich Null zu erhalten, besteht darin, mit Null selbst zu multiplizieren.

    Null-Produkt-Eigenschaft

    Wir verwenden nun die Nullprodukteigenschaft, um eine quadratische Gleichung zu lösen.

    Beispiel 6.44

    So lösen Sie eine quadratische Gleichung mit der Nullprodukteigenschaft

    Löse: ( 5 n − 2 ) ( 6 n − 1 ) = 0 . ( 5 n − 2 ) ( 6 n − 1 ) = 0 .

    Lösung

    Löse: ( 3 m − 2 ) ( 2 m + 1 ) = 0 . ( 3 m − 2 ) ( 2 m + 1 ) = 0 .

    Löse: ( 4 p + 3 ) ( 4 p − 3 ) = 0 . ( 4 p + 3 ) ( 4 p − 3 ) = 0 .

    Wie man

    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft.

    1. Schritt 1. Setzen Sie jeden Faktor auf Null.
    2. Schritt 2. Lösen Sie die linearen Gleichungen.
    3. Schritt 3. Überprüfen.

    Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

    Die Nullprodukteigenschaft funktioniert sehr gut, um quadratische Gleichungen zu lösen. Die quadratische Gleichung muss faktorisiert werden, wobei die Null auf einer Seite isoliert ist. Wir müssen also unbedingt mit der quadratischen Gleichung in Standardform beginnen, a x 2 + b x + c = 0. ax2 + bx+c = 0 . Dann müssen wir den Ausdruck links faktorisieren.

    Beispiel 6.45

    So lösen Sie eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren

    Lösung

    Wie man

    Lösen Sie eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren.

    Bevor wir faktorisieren, müssen wir sicherstellen, dass die quadratische Gleichung in Standardform vorliegt.

    Beim Lösen quadratischer Gleichungen durch Faktorisieren werden alle Faktorisierungstechniken verwendet, die Sie in diesem Kapitel gelernt haben! Erkennen Sie das besondere Produktmuster im nächsten Beispiel?

    Beispiel 6.46

    Lösung

    Die Prüfung überlassen wir Ihnen.

    Im nächsten Beispiel wird die linke Seite der Gleichung faktorisiert, aber die rechte Seite ist nicht Null. Um die Zero Product Property zu verwenden, muss eine Seite der Gleichung null sein. Wir multiplizieren die Faktoren und schreiben dann die Gleichung in Standardform.

    Beispiel 6.47

    Löse: ( 3 x − 8 ) ( x − 1 ) = 3 x . ( 3 x − 8 ) ( x − 1 ) = 3 x .

    Lösung

    Lösen Sie: ( 2 m + 1 ) ( m + 3 ) = 1 2 m . ( 2 m + 1 ) ( m + 3 ) = 1 2 m .

    Im nächsten Beispiel erhalten wir beim Faktorisieren der quadratischen Gleichung drei Faktoren. Der erste Faktor ist jedoch eine Konstante. Wir wissen, dass Faktor nicht gleich 0 sein kann.

    Beispiel 6.48

    Lösung

    Die Zero Product Property gilt auch für das Produkt von drei oder mehr Faktoren. Wenn das Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. Wir können einige Gleichungen mit einem Grad größer als zwei lösen, indem wir die Nullprodukteigenschaft verwenden, genau wie wir quadratische Gleichungen gelöst haben.

    Beispiel 6.49

    Auflösen: 9 m 3 + 100 m = 60 m 2 . 9 m 3 + 100 m = 60 m 2 .

    Lösung

    Löse: 8 x 3 = 24 x 2 − 18 x . 8 x 3 = 24 x 2 − 18 x .

    Löse: 16 Jahre 2 = 32 Jahre 3 + 2 Jahre . 16 Jahre 2 = 32 Jahre 3 + 2 Jahre .

    Gleichungen mit Polynomfunktionen lösen

    Im weiteren Verlauf unseres Studiums von Polynomfunktionen wird es oft wichtig sein zu wissen, wann die Funktion einen bestimmten Wert hat oder welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Unsere Arbeit mit der Zero Product Property wird uns dabei helfen, diese Antworten zu finden.

    Beispiel 6.50

    Für die Funktion f ( x ) = x 2 + 2 x − 2 , f ( x ) = x 2 + 2 x − 2 ,

    Lösung

    Für die Funktion f ( x ) = x 2 − 2 x − 8 , f ( x ) = x 2 − 2 x − 8 ,

    Für die Funktion f ( x ) = x 2 − 8 x + 3 , f ( x ) = x 2 − 8 x + 3 ,

    Die Zero Product Property hilft uns auch zu bestimmen, wo die Funktion null ist. Ein Wert von x wo die Funktion 0 ist, wird eine Null der Funktion genannt.

    Null einer Funktion

    Beispiel 6.51

    Für die Funktion f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 8 , f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 8 , finde

    ⓐ die Nullstellen der Funktion, ⓑ alle x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion, ⓒ anyⓒ ja-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion

    Lösung

    ⓐ Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen wir herausfinden, wann der Funktionswert 0 ist.

    Für die Funktion f ( x ) = 2 x 2 − 7 x + 5 , f ( x ) = 2 x 2 − 7 x + 5 , finde

    ⓐ die Nullstellen der Funktion, ⓑ alle x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion, ⓒ anyⓒ ja-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion.

    Für die Funktion f ( x ) = 6 x 2 + 13 x − 15 , f ( x ) = 6 x 2 + 13 x − 15 , finde

    ⓐ die Nullstellen der Funktion, ⓑ alle x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion, ⓒ anyⓒ ja-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion.

    Durch polynomiale Gleichungen modellierte Anwendungen lösen

    Die Problemlösungsstrategie, die wir zuvor für Anwendungen verwendet haben, die in lineare Gleichungen übersetzen, funktioniert genauso gut für Anwendungen, die in polynomische Gleichungen übersetzen. Wir werden die Problemlösungsstrategie hier kopieren, damit wir sie als Referenz verwenden können.

    Wie man

    Verwenden Sie eine Problemlösungsstrategie, um Textaufgaben zu lösen.

    1. Schritt 1. Lesen das Problem. Stellen Sie sicher, dass alle Wörter und Ideen verstanden werden.
    2. Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen.
    3. Schritt 3. Name wonach wir suchen. Wählen Sie eine Variable aus, um diese Menge darzustellen.
    4. Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung. Es kann hilfreich sein, das Problem in einem Satz mit allen wichtigen Informationen zu formulieren. Übersetzen Sie dann den englischen Satz in eine algebraische Gleichung.
    5. Schritt 5. Lösen die Gleichung mit geeigneten Algebra-Techniken.
    6. Schritt 6. Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.
    7. Schritt 7. Antworten die Frage mit einem vollständigen Satz.

    Wir beginnen mit einer Zahlenaufgabe, um das Übersetzen von Wörtern in eine Polynomgleichung zu üben.

    Beispiel 6.52

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlen ist 323. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Lösung

    Schritt 1. Lesen Sie das Problem.
    Schritt 2. Identifizieren wonach wir suchen. Wir suchen nach zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.
    Schritt 3. Name wonach wir suchen. Sei n = die erste ganze Zahl. n = die erste ganze Zahl.
    n + 2 = nächste aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahl n + 2 = nächste aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahl
    Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung. Formulieren Sie das Problem in einem Satz. Das Produkt der beiden aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen ist 323.
    n ( n + 2 ) = 323 n ( n + 2 ) = 323
    Schritt 5. Lösen Die gleichung. n 2 + 2 n = 323 n 2 + 2 n = 323
    Bringen Sie alle Begriffe beiseite. n 2 + 2 n − 323 = 0 n 2 + 2 n − 323 = 0
    Faktorisiere das Trinom. ( n − 17 ) ( n + 19 ) = 0 ( n − 17 ) ( n + 19 ) = 0
    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft.
    Lösen Sie die Gleichungen.
    n − 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19 n − 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19
    Es gibt zwei Werte für values n das sind Lösungen für dieses Problem. Es gibt also zwei Sätze von aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen, die funktionieren.
    Wenn die erste ganze Zahl n = 17 ist, n = 17 Wenn die erste ganze Zahl n = −19 ist, n = −19
    dann ist die nächste ungerade ganze Zahl dann ist die nächste ungerade ganze Zahl
    n + 2 n + 2 n + 2 n + 2
    17 + 2 17 + 2 − 19 + 2 − 19 + 2
    19 19 − 17 − 17
    17 , 19 17 , 19 − 17 , −19 − 17 , −19
    Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort.
    Die Ergebnisse sind aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen
    17 , 19 und -19 , -17 . 17 , 19 und -19 , -17 .
    17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓ 17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓
    Beide Paare von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sind Lösungen.
    Schritt 7. Antwort die Frage Die aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sind 17, 19 und −19, −17. − 19 , − 17 .

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlen ist 255. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Das Produkt von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden ganzen Zahlen ist 483 Finden Sie die ganzen Zahlen.

    Waren Sie überrascht von dem Paar negativer Ganzzahlen, das eine der Lösungen des vorherigen Beispiels ist? Das Produkt der beiden positiven ganzen Zahlen und das Produkt der beiden negativen ganzen Zahlen ergeben beide positive Ergebnisse.

    In einigen Anwendungen ergeben sich aus der Algebra negative Lösungen, die jedoch für die Situation nicht realistisch sind.

    Beispiel 6.53

    Ein rechteckiges Schlafzimmer hat eine Fläche von 117 Quadratmetern. Die Länge des Schlafzimmers beträgt vier Meter mehr als die Breite. Finden Sie die Länge und Breite des Schlafzimmers heraus.

    Lösung

    Schritt 1. Lesen Sie das Problem. Bei Problemen mit
    geometrische Figuren, eine Skizze kann Ihnen bei der Visualisierung helfen
    die Situation.
    Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. Wir suchen die Länge und Breite.
    Schritt 3. Name Wonach suchen Sie. Sei w = w = die Breite des Schlafzimmers.
    Die Länge beträgt vier Meter mehr als die Breite. w + 4 = w + 4 = die Länge des Gartens
    Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung.
    Formulieren Sie die wichtigen Informationen in einem Satz. Die Fläche des Schlafzimmers beträgt 117 Quadratmeter.
    Verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Rechtecks. A = l · w A = l · w
    Ersetzen Sie in den Variablen. 117 = ( w + 4 ) w 117 = ( w + 4 ) w
    Schritt 5. Lösen die Gleichung Verteile zuerst. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
    Holen Sie sich null auf einer Seite. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
    Faktorisiere das Trinom. 0 = w 2 + 4 w − 117 0 = w 2 + 4 w − 117
    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft. 0 = ( w 2 + 13 ) ( w − 9 ) 0 = ( w 2 + 13 ) ( w − 9 )
    Lösen Sie jede Gleichung. 0 = w + 13 0 = w − 9 0 = w + 13 0 = w − 9
    Seit w ist die Breite des Schlafzimmers nicht
    Sinn machen, dass es negativ ist. Wir eliminieren diesen Wert für w.
    −13 = w 9 = w −13 = w 9 = w
    w = 9 w = 9 Die Breite beträgt 9 Fuß.
    Finden Sie den Wert der Länge. w + 4 w + 4
    9 + 4 9 + 4
    13 Länge ist 13 Fuß.
    Schritt 6. Überprüfen Sie die Antwort.
    Ist die Antwort sinnvoll?


    Ja, das macht Sinn.
    Schritt 7. Antwort die Frage. Die Breite des Schlafzimmers beträgt 9 Fuß und
    die Länge beträgt 13 Fuß.

    Ein rechteckiges Schild hat eine Fläche von 30 Quadratmetern. Die Länge des Schildes beträgt einen Fuß mehr als die Breite. Finden Sie die Länge und Breite des Schildes heraus.

    Ein rechteckiger Innenhof hat eine Fläche von 180 Quadratmetern. Die Breite der Terrasse beträgt drei Meter weniger als die Länge. Finden Sie die Länge und Breite der Terrasse heraus.

    Wir werden diese Formel im nächsten Beispiel verwenden.

    Beispiel 6.54

    Das Segel eines Bootes hat wie abgebildet die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse wird 17 Fuß lang sein. Die Länge einer Seite wird 7 Fuß kürzer sein als die Länge der anderen Seite. Finden Sie die Längen der Seiten des Segels.

    Lösung

    Schritt 1. Lesen Sie das Problem
    Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. Wir suchen die Längen der
    Seiten des Segels.
    Schritt 3. Name Wonach suchen Sie.
    Eine Seite ist 7 weniger als die andere.
    Sei x = x = Länge einer Seite des Segels.
    x − 7 = x − 7 = Länge der anderen Seite
    Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung. Da dies ein
    rechtwinkliges Dreieck können wir den Satz des Pythagoras verwenden.
    a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
    Ersetzen Sie in den Variablen. x 2 + ( x − 7 ) 2 = 17 2 x 2 + ( x − 7 ) 2 = 17 2
    Schritt 5. Lösen Die gleichung
    Vereinfachen.
    x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 289 x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 289
    2 x 2 − 14 x + 49 = 289 2 x 2 − 14 x + 49 = 289
    Es ist eine quadratische Gleichung, also erhalten Sie auf einer Seite Null. 2 x 2 − 14 x − 240 = 0 2 x 2 − 14 x − 240 = 0
    Faktorieren Sie den größten gemeinsamen Faktor. 2 ( x 2 - 7 x - 120 ) = 0 2 ( x 2 - 7 x - 120 ) = 0
    Faktorisiere das Trinom. 2 ( x − 15 ) ( x + 8 ) = 0 2 ( x − 15 ) ( x + 8 ) = 0
    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft. 2 ≠ 0 x − 15 = 0 x + 8 = 0 2 ≠ 0 x − 15 = 0 x + 8 = 0
    Lösen. 2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
    Seit x eine Seite des Dreiecks ist, x = −8 x = −8 nicht
    Sinn ergeben.
    2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
    Finden Sie die Länge der anderen Seite.
    Wenn die Länge einer Seite ist
    dann ist die Länge der anderen Seite



    8 ist die Länge der anderen Seite.
    Schritt 6. Überprüfen Sie die antwort im problem
    Machen diese Zahlen Sinn?

    Schritt 7. Antwort die Frage Die Seiten des Segels sind 8, 15 und 17 Fuß.

    Justine möchte ein Deck in Form eines rechtwinkligen Dreiecks in die Ecke ihres Gartens legen. Die Länge einer Seite des Decks ist 7 Fuß länger als die andere Seite. Die Hypotenuse ist 13. Finden Sie die Längen der beiden Seiten des Decks.

    Ein Meditationsgarten hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Bein von 7 Fuß. Die Hypotenuse ist um eins länger als das andere Bein. Finden Sie die Länge der Hypotenuse und des anderen Beins.

    Das nächste Beispiel verwendet die Funktion, die die Höhe eines Objekts als Funktion der Zeit angibt, wenn es aus 80 Fuß über dem Boden geschleudert wird.

    Beispiel 6.55

    Dennis wird seinen Gummibandball von der Spitze eines Campusgebäudes nach oben werfen. Wenn er den Gummibandball aus 80 Fuß über dem Boden wirft, modelliert die Funktion h ( t ) = −16 t 2 + 64 t + 80 h ( t ) = −16 t 2 + 64 t + 80 die Höhe, h, des Balls über dem Boden als Funktion der Zeit, T. Finden:

    ⓐ die Nullstellen dieser Funktion, die uns sagen, wann der Ball den Boden berührt, ⓑ wann sich der Ball 80 Fuß über dem Boden befindet, ⓒ die Höhe des Balls bei t = 2 t = 2 Sekunden.

    Lösung

    ⓐ Die Nullstellen dieser Funktion werden durch Lösen von h(t) = 0 gefunden. h(t) = 0. Dies wird uns sagen, wann der Ball den Boden berührt.

    ⓑ Der Ball befindet sich 80 Fuß über dem Boden, wenn h(t) = 80 ist. h(t) = 80.

    Genevieve wird einen Stein von oben auf einen Pfad mit Blick auf das Meer werfen. Wenn sie den Felsen aus 160 Fuß über dem Ozean nach oben wirft, modelliert die Funktion h ( t ) = −16 t 2 + 48 t + 160 h ( t ) = −16 t 2 + 48 t + 160 die Höhe, h, des Gesteins über dem Ozean als Funktion der Zeit, T. Finden:

    ⓐ die Nullstellen dieser Funktion, die uns sagen, wann das Gestein auf den Ozean trifft, ⓑ wann sich das Gestein 160 Fuß über dem Meer befindet, ⓒ die Höhe des Gesteins bei t = 1,5 t = 1,5 Sekunden.

    Calib wird seinen Glücksgroschen von seinem Balkon auf ein Kreuzfahrtschiff werfen. Wenn er den Penny aus 128 Fuß über dem Boden nach oben wirft, modelliert die Funktion h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 128 h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 128 die Höhe, h, des Pennys über dem Ozean als Funktion der Zeit, T. Finden:

    ⓐ die Nullen dieser Funktion, wenn der Penny auf den Ozean trifft, ⓑ wenn der Penny 128 Fuß über dem Ozean liegt, ⓒ die Höhe des Pennys bei t = 1 t = 1 Sekunde, wenn der Penny sein wird an seinem höchsten Punkt.

    Medien

    Greifen Sie auf diese Online-Ressource zu, um zusätzliche Anweisungen zu erhalten und mit quadratischen Gleichungen zu üben.

    Abschnitt 6.5 Übungen

    Übung macht den Meister

    Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft

    Lösen Sie in den folgenden Übungen.

    Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

    Lösen Sie in den folgenden Übungen.

    Gleichungen mit Polynomfunktionen lösen

    Lösen Sie in den folgenden Übungen.

    Finden Sie in den folgenden Übungen für jede Funktion: ⓐ die Nullstellen der Funktion ⓑ die x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion ⓒ the ja-Achsenabschnitt des Graphen der Funktion.

    Durch quadratische Gleichungen modellierte Anwendungen lösen

    Lösen Sie in den folgenden Übungen.

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlen ist 143. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlen ist 195. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Ganzzahlen ist 168. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Ganzzahlen ist 288. Finden Sie die Ganzzahlen.

    Die Fläche eines rechteckigen Teppichs beträgt 28 Quadratmeter. Die Länge beträgt drei Meter mehr als die Breite. Finden Sie die Länge und Breite des Teppichs heraus.

    Eine rechteckige Stützmauer hat eine Fläche von 15 Quadratmetern. Die Höhe der Mauer beträgt zwei Meter weniger als ihre Länge. Bestimmen Sie die Höhe und Länge der Wand.

    Die Fläche einer Pinnwand beträgt 55 Quadratmeter. Die Länge beträgt vier Fuß weniger als das Dreifache der Breite. Ermitteln Sie die Länge und Breite eines schwarzen Brettes.

    Ein rechteckiger Carport hat eine Fläche von 150 Quadratmetern. Die Breite des Carports beträgt fünf Meter weniger als das Doppelte seiner Länge. Ermitteln Sie die Breite und Länge des Carports.

    Ein Wimpel hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Hypotenuse von 10 Fuß. Die Länge einer Seite des Wimpels ist zwei Fuß länger als die Länge der anderen Seite. Finden Sie die Länge der beiden Seiten des Wimpels.

    Ein Buntglasfenster hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist 15 Fuß. Ein Bein ist drei mehr als das andere. Finden Sie die Längen der Beine.

    Ein reflektierender Pool hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei ein Bein an der Wand eines Gebäudes entlang verläuft. Die Hypotenuse ist 9 Fuß länger als die Seite entlang des Gebäudes. Die dritte Seite ist 7 Fuß länger als die Seite entlang des Gebäudes. Finden Sie die Längen aller drei Seiten des reflektierenden Pools.

    Ein Ziegengehege hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Ein Bein des Geheges ist gegen die Seite der Scheune gebaut. Das andere Bein ist 4 Fuß mehr als das Bein gegen die Scheune. Die Hypotenuse ist 8 Fuß höher als das Bein entlang der Scheune. Finde die drei Seiten des Ziegengeheges.

    Juli wird in ihrem Garten eine Modellrakete starten. Wenn sie die Rakete startet, modelliert die Funktion h ( t ) = −16 t 2 + 32 t h ( t ) = −16 t 2 + 32 t die Höhe, h, der Rakete über dem Boden als Funktion der Zeit, T. Finden:

    ⓐ die Nullen dieser Funktion, die uns sagen, wann die Rakete am Boden sein wird. ⓑ die Zeit, zu der sich die Rakete 16 Fuß über dem Boden befindet.

    Gianna wird einen Ball aus dem obersten Stockwerk ihrer Mittelschule werfen. Wenn sie den Ball aus 48 Fuß über dem Boden wirft, modelliert die Funktion h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 48 h ( t ) = −16 t 2 + 32 t + 48 die Höhe, h, des Balls über dem Boden als Funktion der Zeit, T. Finden:

    ⓐ die Nullstellen dieser Funktion, die uns sagt, wann der Ball den Boden berührt. ⓑ die Zeit(en), zu der der Ball sich 48 Fuß über dem Boden befindet. ⓒ die Höhe des Balls bei t = 1 t = 1 Sekunde, wenn der Ball seinen höchsten Punkt erreicht.

    Schreibübungen

    Erklären Sie, wie Sie eine quadratische Gleichung lösen. Wie viele Antworten erwarten Sie für eine quadratische Gleichung?

    Geben Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung an, die eine GCF hat und keine der Lösungen der Gleichung null ist.

    Selbstüberprüfung

    ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

    ⓑ Glauben Sie, dass Sie nach Durchsicht der Checkliste insgesamt gut auf den nächsten Abschnitt vorbereitet sind? Warum oder warum nicht?

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      • Autoren: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
      • Herausgeber/Website: OpenStax
      • Buchtitel: Intermediate Algebra 2e
      • Erscheinungsdatum: 6. Mai 2020
      • Ort: Houston, Texas
      • Buch-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
      • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-5-polynomial-equations

      © 21.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


      6.5: Verwenden der Nullprodukteigenschaft - Mathematik Math

      Diese Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen ist Ihnen vielleicht bekannt. Denken Sie daran, dass wir, bevor wir versuchen, eine quadratische Gleichung zu lösen, diese in die Standardform bringen müssen:

      Sobald die Gleichung in Standardform ist, versuchen Sie, sie zu faktorisieren. Wenn Sie sich beim Factoring nicht sicher sind, lesen Sie die Factoring-Hinweise . Nach dem Factoring wenden wir die Nullprodukteigenschaft an.

      Die Nullprodukt-Eigenschaft

      Wenn AB = 0, dann A = 0 oder B = 0. Das heißt, wenn wir zwei Dinge miteinander multiplizieren und 0 erhalten, muss einer davon 0 sein.

      Um die Produkteigenschaft null anzuwenden, setzen wir jeden Faktor gleich null und lösen nach der Variablen auf.

      Hier ist ein Beispiel: x 2 - 2x - 15 = 0

      Da die Gleichung bereits in Standardform vorliegt, muss im ersten Schritt Folgendes berücksichtigt werden:

      Wenden Sie nun die Nullprodukteigenschaft an. Das Setzen von x - 5 = 0 und x + 3 = 0 ergibt die Antworten x = 5 und x = -3.

      Lösen Sie jede der folgenden Punkte durch Faktorisieren und Verwenden der Nullprodukteigenschaft.

      Da die Gleichung bereits in Standardform vorliegt, ist der erste Schritt die Faktorisierung. Beachten Sie, dass wir eine Differenz von Quadraten haben:

      Wenden Sie nun die Produkteigenschaft null an und setzen Sie jeden der Faktoren gleich null.

      Wir haben nun zwei lineare Gleichungen zu lösen.

      Da die Gleichung nicht in der Standardform vorliegt, besteht der erste Schritt darin, sie in die Standardform zu bringen. Subtrahiere 43x und 40 von beiden Seiten dieser Gleichung. Dabei erhalten wir:

      Jetzt, da die Gleichung in Standardform ist, faktoriere das Trinom.

      Wenden Sie als Nächstes die Produkteigenschaft null an und setzen Sie jeden der Faktoren auf null.


      Beispiel

      Lösung

      Dieses Bild zeigt die Schritte zum Lösen von 3 p (10 p + 7) = 0. Der erste Schritt besteht darin, die Nullprodukteigenschaft zu verwenden, um jeden Faktor gleich 0, 3p = 0 oder 10 p + 7 = 0 zu setzen. Der nächste Schritt ist Lösen beider Gleichungen, p = 0 oder p = negativ 7/10. Überprüfen Sie abschließend die Lösungen, indem Sie die Antworten in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

      Es mag scheinen, dass es im nächsten Beispiel nur einen Faktor gibt. Denken Sie jedoch daran, dass (^<2>) (left(y-8 ight)left(y-8 ight)) bedeutet.


      Kommutative Eigenschaft - Definition mit Beispielen

      Die Kommutativeigenschaft besagt, dass die Zahlen, mit denen wir arbeiten, von ihrer Position verschoben oder vertauscht werden können, ohne dass sich dies auf die Antwort auswirkt. Die Eigenschaft gilt für Addition und Multiplikation, jedoch nicht für Subtraktion und Division.

      Zusatz
      Subtraktion
      Multiplikation
      Einteilung

      Die obigen Beispiele zeigen deutlich, dass wir die Kommutativeigenschaft auf Addition und Multiplikation anwenden können. Wir können jedoch keine Kommutativeigenschaft auf Subtraktion und Division anwenden. Wenn Sie die Position von Zahlen bei der Subtraktion oder Division verschieben, ändert sich das gesamte Problem.

      Therefore, if a and b are two non-zero numbers, then:

      The commutative property of addition is:

      The commutative property of multiplication is:

      In short, in commutative property, the numbers can be added or multiplied to each other in any order without changing the answer.

      Let us see some examples to understand commutative property.

      Example 1: Commutative property with addition

      Myra has 5 marbles, and Rick has 3 marbles. How many marbles they have in total?

      To find the answer, we need to add 5 and 3.

      Hence, we can see whether we add 5 + 3 or 3 + 5, the answer is always 8.

      Beispiel 2: Commutative property with subtraction.

      Alvin has 12 apples. He gives 8 apples to his sister. How many apples are left with Alvin?

      Here, we subtract 8 from 12 and get the answer as 4 apples. However, we cannot subtract 12 from 8 and get 8 as the answer.

      Beispiel 3: Commutative property with multiplication.

      Sara buys 3 packs of buns. Each pack has 4 buns. How many buns did she buy?

      Here, if we multiply 3 by 4 or 4 by 3, in both cases we get the answer as 12 buns.

      So, the commutative property holds for multiplication.

      So, commutative property holds true for multiplication.

      Beispiel 4: Commutative property with division.

      If you have to divide 25 strawberries to 5 kids, each kid will receive 5 strawberries. However, if you have to divide 5 strawberries amongst 25 children, every kid will get a tiny fraction of the strawberry. Therefore, we cannot apply the commutative property with the division.


      6.5: Use the Zero Product Property - Mathematics

      Here are the steps required for Solving Quadratics by Factoring:

      Schritt 1: Write the equation in the correct form. To be in the correct form, you must remove all parentheses from each side of the equation by distributing, combine all like terms, and finally set the equation equal to zero with the terms written in descending order.
      Schritt 2: Use a factoring strategies to factor the problem.
      Schritt 3: Use the Zero Product Property and set each factor containing a variable equal to zero.
      Schritt 4: Solve each factor that was set equal to zero by getting the x on one side and the answer on the other side.

      Beispiel 1 &ndash Solve: x 2 + 16 = 10x

      Beispiel 2 &ndash Solve: 18x 2 – 3x = 6

      Beispiel 3 &ndash Solve: 50x 2 = 72

      Beispiel 4 &ndash Solve: x(2x – 1) = 3

      Beispiel 5 &ndash Solve: (x + 3)(x – 5) = 𔃅


      Schau das Video: Zero-Product Property (November 2021).