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4.3: Quadratische Funktionen - Mathematik


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Erkennen Sie die Eigenschaften von Parabeln.
  • Verstehe, wie der Graph einer Parabel mit ihrer quadratischen Funktion zusammenhängt.
  • Bestimmen Sie den minimalen oder maximalen Wert einer quadratischen Funktion.
  • Lösen Sie Probleme mit dem minimalen oder maximalen Wert einer quadratischen Funktion.

Gebogene Antennen, wie die in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigten, werden häufig verwendet, um Mikrowellen und Radiowellen zu fokussieren, um Fernseh- und Telefonsignale sowie Satelliten- und Raumfahrzeugkommunikation zu übertragen. Der Querschnitt der Antenne hat die Form einer Parabel, die durch eine quadratische Funktion beschrieben werden kann.

Abbildung (PageIndex{1}): Eine Reihe von Satellitenschüsseln. (Kredit: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

In diesem Abschnitt werden wir quadratische Funktionen untersuchen, die häufig Probleme mit Flächen- und Projektilbewegungen modellieren. Die Arbeit mit quadratischen Funktionen kann weniger komplex sein als die Arbeit mit Funktionen höheren Grades, daher bieten sie eine gute Gelegenheit für eine detaillierte Untersuchung des Funktionsverhaltens.

Merkmale von Parabeln erkennen

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine U-förmige Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Ein wichtiges Merkmal des Graphen ist, dass er einen Extrempunkt hat, der als bezeichnet wird Scheitel. Öffnet sich die Parabel, stellt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen dar, bzw Mindestwert der quadratischen Funktion. Wenn sich die Parabel nach unten öffnet, stellt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt im Graphen dar, oder der Maximalwert. In beiden Fällen ist der Scheitelpunkt ein Wendepunkt im Graphen. Der Graph ist auch symmetrisch mit einer vertikalen Linie, die durch den Scheitelpunkt gezogen wird, genannt Symmetrieachse. Diese Funktionen sind in Abbildung (PageIndex{2}) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{2}): Graph einer Parabel, der zeigt, wo sich die Schnittpunkte von (x) und (y), der Scheitelpunkt und die Symmetrieachse befinden.

Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die (y)-Achse schneidet. Die (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die (x)-Achse schneidet. Falls sie existieren, repräsentieren die (x)-Achsenabschnitte die Nullen, oder Wurzeln, der quadratischen Funktion, die Werte von (x) mit (y=0).

Beispiel (PageIndex{1}): Identifizieren der Eigenschaften einer Parabel

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse, die Nullstellen und den (y)-Achsenabschnitt der in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigten Parabel.

Abbildung (PageIndex{3}).

Lösung

Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt des Graphen. Wir können sehen, dass der Scheitelpunkt bei ((3,1)) liegt. Da sich diese Parabel nach oben öffnet, ist die Symmetrieachse die vertikale Linie, die die Parabel am Scheitelpunkt schneidet. Die Symmetrieachse ist also (x=3). Diese Parabel schneidet die (x)-Achse nicht, hat also keine Nullstellen. Es schneidet die (y)-Achse bei ((0,7)), also ist dies der (y)-Achsenabschnitt.

Verstehen, wie die Graphen von Parabeln mit ihren quadratischen Funktionen zusammenhängen

Das allgemeine Form einer quadratischen Funktion stellt die Funktion in der Form dar

[f(x)=ax^2+bx+c onumber]

wobei (a), (b) und (c) reelle Zahlen sind und (a eq 0). Wenn (a>0), öffnet sich die Parabel nach oben. Wenn (a<0), öffnet sich die Parabel nach unten. Wir können die allgemeine Form einer Parabel verwenden, um die Gleichung für die Symmetrieachse zu finden.

Die Symmetrieachse ist definiert durch (x=−frac{b}{2a}). Wenn wir die quadratische Formel (x=frac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a}) verwenden, um (ax^2+bx+c=0) ) für die (x)-Achsenabschnitte, oder Nullstellen, finden wir, dass der Wert von (x) auf halbem Weg zwischen ihnen immer (x=−frac{b}{2a}) ist, die Gleichung für die Symmetrieachse.

Abbildung (PageIndex{4}) repräsentiert den Graphen der quadratischen Funktion, geschrieben in allgemeiner Form als (y=x^2+4x+3). In dieser Form gilt (a=1), (b=4) und (c=3). Wegen (a>0) öffnet sich die Parabel nach oben. Die Symmetrieachse ist (x=−frac{4}{2(1)}=−2). Dies ist auch deshalb sinnvoll, weil wir aus dem Graphen sehen können, dass die vertikale Linie (x=−2) den Graphen in zwei Hälften teilt. Der Scheitelpunkt liegt immer entlang der Symmetrieachse. Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt der Scheitelpunkt am tiefsten Punkt des Graphen, in diesem Fall ((−2,−1)). Die (x)-Achsenabschnitte, die Punkte, an denen die Parabel die (x)-Achse schneidet, liegen bei ((−3,0)) und ((−1,0)).

Abbildung (PageIndex{4}): Graph einer Parabel, der zeigt, wo die (x)-Achsenabschnitte, Scheitelpunkt und Symmetrieachse für die Funktion (y=x^2+4x+3) liegen.

Das Standardform einer quadratischen Funktion stellt die Funktion in der Form dar

[f(x)=a(x−h)^2+k onumber]

wobei ((h, k)) der Scheitelpunkt ist. Da der Scheitelpunkt in der Standardform der quadratischen Funktion zu sehen ist, wird diese Form auch als bezeichnet Eckenform einer quadratischen Funktion.

Wie bei der allgemeinen Form ist die Parabel für (a>0) nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Wenn (a<0), öffnet sich die Parabel nach unten und der Scheitel ist ein Maximum. Abbildung (PageIndex{5}) repräsentiert den Graphen der quadratischen Funktion, geschrieben in Scheitelpunktform als (y= -3(x+2)^2+4). Da (x-h=x+2) in diesem Beispiel (h= -2) ist. In dieser Form gilt (a=-3), (h=-2) und (k=4). Wegen (a<0) öffnet sich die Parabel nach unten. Der Scheitelpunkt liegt bei ((−2, 4)).

Abbildung (PageIndex{5}): Graph einer Parabel, der zeigt, wo der Scheitelpunkt und die Symmetrieachse für die Funktion (y=-3(x+2)^2+4) liegen.

Die Scheitelpunktform ist nützlich, um zu bestimmen, wie der Graph aus dem Graphen von (y=x^2) transformiert wird. Abbildung (PageIndex{6}) ist der Graph dieser Grundfunktion.

Abbildung (PageIndex{6}): Graph von (y=x^2).

Bei (h>0) verschiebt sich der Graph nach rechts und bei (h<0) verschiebt sich der Graph nach links. In Abbildung (PageIndex{5}), (h<0), ist der Graph also um 2 Einheiten nach links verschoben. Der Betrag von (a) gibt die Dehnung des Graphen an. Wenn (|a|>1), verschiebt sich der einem bestimmten (x)-Wert zugeordnete Punkt weiter von der (x)-Achse, so dass der Graph schmaler zu werden scheint und es eine vertikale Dehnung gibt . Aber wenn (|a|<1), verschiebt sich der einem bestimmten (x)-Wert zugeordnete Punkt näher an die (x)-Achse. Der Graph scheint breiter zu werden, tatsächlich gibt es jedoch eine vertikale Komprimierung. In Abbildung (PageIndex{5}), (|a|>1), wird der Graph schmaler. Da (a<0) wird der Graph an der (x)-Achse gespiegelt. Bei (k>0) verschiebt sich der Graph nach oben, bei (k<0) verschiebt sich der Graph nach unten. In Abbildung (PageIndex{5}), (k>0), ist der Graph also um 4 Einheiten nach oben verschoben.

Die Scheitelpunktform und die allgemeine Form sind äquivalente Methoden zum Beschreiben derselben Funktion. Wenn wir nach (h) und (k) in Bezug auf (a, b,|) und (x) auflösen wollen, können wir die allgemeine Form erweitern und gleich der Scheitelpunktform setzen. In beiden Formen repräsentiert (a) denselben Wert.

[egin{align*} a(x−h)^2+k &= ax^2+bx+c [5pt] ax^2−2ahx+(ah^2+k)&=ax^2+ bx+c end{ausrichten*} ]

Damit die linearen Terme gleich sind, müssen die Koeffizienten gleich sein.

[–2ah=b ext{, also } h=−dfrac{b}{2a}. keine Nummer]

Dies ist das Symmetrieachse haben wir früher definiert.

Wenn wir die konstanten Terme gleich setzen, erhalten wir:

[egin{align*} ah^2+k&=c k&=c−ah^2 &=c−aleft(Big(dfrac{b}{2a}Big)^2 ight) &=c−dfrac{b^2}{4a}. end{ausrichten*}]

In der Praxis ist es jedoch normalerweise einfacher, sich daran zu erinnern, dass (k) der Ausgabewert der Funktion ist, wenn die Eingabe (h) ist, also (f(h)=k).

Definitionen: Formen quadratischer Funktionen

EIN quadratische Funktion ist eine Funktion vom Grad zwei. Der Graph einer quadratischen Funktion ist a Parabel.

  • Das generelle Form einer quadratischen Funktion ist (f(x)=ax^2+bx+c), wobei (a), (b) und (c) reelle Zahlen sind und (a eq 0 ).
  • Das Standardform oder Scheitel Form einer quadratischen Funktion ist (f(x)=a(x−h)^2+k).
  • Das Scheitel ((h,k)) liegt bei [h = -dfrac{b}{2a},;k=f(h)=fleft(dfrac{−b}{2a} ight ). keine Nummer]

Schreiben Sie eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, dann allgemeine Form

Geben Sie einen Graphen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form an.

  1. Identifizieren Sie die horizontale Verschiebung der Parabel; dieser Wert ist (h). Identifizieren Sie die vertikale Verschiebung der Parabel; dieser Wert ist (k).
  2. Ersetzen Sie (h) und (k) durch die Werte der horizontalen und vertikalen Verschiebung. in der Funktion (f(x)=a(x–h)^2+k).
  3. Ersetzen Sie (x) und (f(x)) durch die Werte eines beliebigen Punktes außer dem Scheitelpunkt des Parabelgraphen.
  4. Lösen Sie nach dem Koeffizienten (a) auf.
  5. Wenn sich die Parabel öffnet, ist (a>0). Wenn sich die Parabel nach unten öffnet, gilt (a<0), da dies bedeutet, dass der Graph an der (x)-Achse gespiegelt wurde.
  6. Erweitern und vereinfachen Sie das Schreiben in allgemeiner Form.

Beispiel (PageIndex{2}): Schreiben der Gleichung einer quadratischen Funktion aus dem Graphen

Schreiben Sie eine Gleichung für die quadratische Funktion (g) in Abbildung (PageIndex{7}) als Transformation von (f(x)=x^2), erweitern Sie die Formel und vereinfachen Sie die Terme zu schreibe die Gleichung in allgemeiner Form.

Abbildung (PageIndex{7}): Graph einer Parabel mit ihrem Scheitelpunkt ((-2, -3)).

Lösung

Wir können sehen, dass der Graph von (g) der Graph von (f(x)=x^2) nach links 2 und 3 nach unten verschoben ist, was eine Formel in der Form (g(x)=a (x+2)^2–3).

Durch Ersetzen der Koordinaten eines Punktes auf der Kurve, z. B. ((0,−1)), können wir nach dem Streckfaktor auflösen.

[egin{align*} −1&=a(0+2)^2 - 3 2&=4a a&=frac{1}{2} end{align*}]

In Standardform lautet das algebraische Modell für diesen Graphen (g(x)=dfrac{1}{2}(x+2)^2 -3).

Um dies in allgemeiner polynomischer Form zu schreiben, können wir die Formel erweitern und Terme vereinfachen.

[egin{align*} g(x)&=dfrac{1}{2}(x+2)^2−3 &=dfrac{1}{2}(x+2)(x +2)−3 &=dfrac{1}{2}(x^2+4x+4)−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x+2−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x−1 end{align*}]

Beachten Sie, dass die horizontalen und vertikalen Verschiebungen des Basisgraphen der quadratischen Funktion die Position des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen; der Scheitel wird von Dehnungen und Kompressionen nicht beeinflusst.

(PageIndex{1})

In Abbildung (PageIndex{8}) wurde der quadratischen Bahn eines Basketballs ein Koordinatengitter überlagert. Finden Sie eine Gleichung für den Weg der Kugel. Macht der Schütze den Korb?

Abbildung (PageIndex{8}): Stoppen Sie das bewegte Bild eines Jungen, der einen Basketball in einen Korb wirft, um die parabolische Kurve zu zeigen, die er macht.
(Kredit: Änderung der Arbeit von Dan Meyer)

Antworten

Der Pfad geht durch den Ursprung und hat einen Scheitelpunkt bei ((−4, 7)), also (h(x)= -frac{7}{16}(x+4)^2+7). Um den Schuss zu machen, müsste (h(−7.5)) ungefähr 4 sein, aber (h(–7.5){approx}1.64), unter dem Korb; er schafft es nicht.

Bestimmen Sie bei einer gegebenen quadratischen Funktion in allgemeiner Form den Scheitelpunkt der Parabel.

  1. Identifizieren Sie (a), (b) und (c).
  2. Finden Sie (h), die (x)-Koordinate des Scheitelpunkts, indem Sie (a) und (b) in (h= -frac{b}{2a}) einsetzen.
  3. Finden Sie (k), die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts, indem Sie (k=f(h)=fleft(−frac{b}{2a} ight)) auswerten.

Beispiel (PageIndex{3}): Ermitteln des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion

Finden Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion (f(x)=2x^2–6x+7). Schreiben Sie das Quadrat in Standardform (Scheitelpunktform) um.

Lösung

Die horizontale Koordinate des Scheitelpunkts ist bei

[egin{align*} h&=–dfrac{b}{2a} [5pt] &=-dfrac{-6}{2(2)} [5pt] &=dfrac{6 }{4} [5pt] &=dfrac{3}{2}.end{align*}]

Die vertikale Koordinate des Scheitelpunkts ist bei

[egin{align*} k&=f(h) [5pt] &=fleft(dfrac{3}{2} ight) [5pt] &=2left(dfrac{ 3}{2} ight)^2−6left(dfrac{3}{2} ight)+7 [5pt] &=dfrac{5}{2}. end{ausrichten*}]

Beim Umschreiben in die Standardform ist der Dehnungsfaktor derselbe wie der (a) im ursprünglichen Quadrat:

[f(x)=ax^2+bx+c onumber f(x)=2x^2−6x+7 onumber]

Mit den (h)- und (k)-Werten des Scheitelpunkts schreiben Sie um als

[f(x)=2left(x - dfrac{3}{2} ight)^2+dfrac{5}{2}. keine Nummer]

Analyse

Ein Grund, warum wir den Scheitelpunkt der Parabel möglicherweise identifizieren möchten, ist, dass dieser Punkt uns darüber informiert, was der maximale oder minimale Wert der Funktion ((k)) ist und wo er im Bereich vorkommt ((h) ).

(PageIndex{2})

Gegeben sei die Gleichung (g(x)=13+x^2−6x), schreibe die Gleichung in allgemeiner Form und dann in Standardform.

Antworten

(g(x)=x^2−6x+13) in allgemeiner Form; (g(x)=(x−3)^2+4) in Standardform.

Bestimmung des Bereichs und der Reichweite einer quadratischen Funktion

Eine beliebige Zahl kann der Eingabewert einer quadratischen Funktion sein. Daher ist der Definitionsbereich jeder quadratischen Funktion alle reellen Zahlen. Da Parabeln einen maximalen oder einen minimalen Punkt haben, ist die Reichweite eingeschränkt. Da der Scheitelpunkt einer Parabel entweder ein Maximum oder ein Minimum ist, besteht der Bereich aus allen (y)-Werten größer oder gleich der (y)-Koordinate am Wendepunkt oder kleiner oder gleich zur (y)-Koordinate am Wendepunkt, je nachdem ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet.

Bereich und Reichweite einer quadratischen Funktion

Die Domäne von any quadratische Funktion sind alles reelle Zahlen.

Der Bereich einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form (f(x)=ax^2+bx+c) mit positivem (a)-Wert ist (f(x) geq f left( − frac{b}{2a} ight)), oder ([ f(−frac{b}{2a}),∞ ) ) ; der Wertebereich einer allgemein geschriebenen quadratischen Funktion mit negativem (a)-Wert ist (f(x) leq f(−frac{b}{2a})), oder ((−∞, f(−frac{b}{2a})]).

Der Bereich einer quadratischen Funktion in Scheitelform (f(x)=a(x−h)^2+k) mit positivem (a)-Wert ist (f(x) geq k; ) ist der Bereich einer in Scheitelpunktform geschriebenen quadratischen Funktion mit einem negativen (a)-Wert (f(x) leq k).

Bestimmen Sie bei einer gegebenen quadratischen Funktion den Bereich und den Bereich.

  1. Identifizieren Sie den Definitionsbereich einer beliebigen quadratischen Funktion als alle reellen Zahlen.
  2. Bestimmen Sie, ob (a) positiv oder negativ ist. Wenn (a) positiv ist, hat die Parabel ein Minimum. Wenn (a) negativ ist, hat die Parabel ein Maximum.
  3. Bestimmen Sie den maximalen oder minimalen Wert der Parabel (k).
  4. Wenn die Parabel ein Minimum hat, ist der Bereich durch (f(x) geq k) oder (left[k,infty ight)) gegeben. Wenn die Parabel ein Maximum hat, ist der Bereich durch (f(x) leq k) oder (left(−infty,k ight]) gegeben.

Beispiel (PageIndex{4}): Bestimmung der Domäne und des Wertebereichs einer quadratischen Funktion

Finden Sie den Bereich und den Bereich von (f(x)=−5x^2+9x−1).

Lösung

Wie bei jeder quadratischen Funktion besteht der Definitionsbereich aus allen reellen Zahlen.

Da (a) negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten und hat einen Maximalwert. Wir müssen den Maximalwert ermitteln. Wir können damit beginnen, den (x)-Wert des Knotens zu ermitteln.

[egin{align*} h&=−dfrac{b}{2a} &=−dfrac{9}{2(-5)} &=dfrac{9}{10} end {ausrichten*}]

Der Maximalwert wird durch (f(h)) angegeben.

[egin{align*} fleft(dfrac{9}{10} ight)&=-5(dfrac{9}{10})^2+9(dfrac{9}{10} )-1 &= dfrac{61}{20}end{align*}]

Der Bereich ist (f(x)leqfrac{61}{20}), oder (left(−infty,frac{61}{20} ight]).

(PageIndex{3})

Finden Sie den Definitionsbereich und den Bereich von (f(x)=2left(x−frac{4}{7} ight)^2+frac{8}{11}).

Antworten

Die Domäne sind alle reellen Zahlen. Der Bereich ist (f(x)geqfrac{8}{11}), oder (left[frac{8}{11},infty ight)).

Bestimmung der Maximal- und Minimalwerte quadratischer Funktionen

Die Ausgabe der quadratischen Funktion am Scheitelpunkt ist der maximale oder minimale Wert der Funktion, abhängig von der Orientierung des Parabel. Wir können die maximalen und minimalen Werte in Abbildung (PageIndex{9}) sehen.

Abbildung (PageIndex{9}): Minimum und Maximum von zwei quadratischen Funktionen.

Es gibt viele reale Szenarien, in denen der maximale oder minimale Wert einer quadratischen Funktion ermittelt wird, wie z. B. Anwendungen, die Fläche und Umsatz betreffen.

Beispiel (PageIndex{5}): Ermitteln des Maximalwertes einer quadratischen Funktion

Ein Hinterhofbauer möchte einen rechteckigen Platz für einen neuen Garten in seinem eingezäunten Hinterhof einschließen. Sie hat 80 Fuß Drahtzaun gekauft, um drei Seiten zu umschließen, und sie wird einen Abschnitt des Hinterhofzauns als vierte Seite verwenden.

  1. Finden Sie eine Formel für die vom Zaun eingeschlossene Fläche, wenn die Seiten des Zauns senkrecht zum bestehenden Zaun die Länge (L) haben.
  2. Welche Abmessungen sollte sie ihren Garten machen, um die umschlossene Fläche zu maximieren?

Lösung

Lassen Sie uns ein Diagramm wie Figure (PageIndex{10}) verwenden, um die gegebenen Informationen aufzuzeichnen. Es ist auch hilfreich, eine temporäre Variable (W) einzuführen, um die Breite des Gartens und die Länge des Zaunabschnitts parallel zum Gartenzaun darzustellen.

Abbildung (PageIndex{10}): Diagramm des Gartens und des Hinterhofs.

A. Wir wissen, dass wir nur 25 Meter Zaun zur Verfügung haben und (L+W+L=80) oder einfacher (2L+W=80). Dies erlaubt uns, die Breite (W) durch (L) darzustellen.

[W=80−2L onumber]

Jetzt können wir eine Gleichung für den Bereich schreiben, den der Zaun umschließt. Wir wissen, dass die Fläche eines Rechtecks ​​Länge mal Breite ist, also width

[egin{align*} A&=LW=L(80−2L) A(L)&=80L−2L^2 end{align*}]

Diese Formel stellt die Fläche des Zauns in Bezug auf die variable Länge (L) dar. Die Funktion, in allgemeiner Form geschrieben, ist

[A(L)=−2L^2+80L onumber].

B. Das Quadrat hat einen negativen führenden Koeffizienten, sodass sich der Graph nach unten öffnet und der Scheitelpunkt den maximalen Wert für die Fläche darstellt. Beim Auffinden des Scheitelpunkts müssen wir vorsichtig sein, da die Gleichung nicht in Standardpolynomform mit abnehmenden Potenzen geschrieben ist. Aus diesem Grund haben wir die Funktion oben in allgemeiner Form umgeschrieben. Da (a) der Koeffizient des quadrierten Termes ist, gilt (a=−2), (b=80) und (c=0).

So finden Sie den Scheitelpunkt:

[egin{align*} h& =−dfrac{80}{2(−2)} qquad ext{ und }&k&=A(20) &=20 & ;;;; quad &=80(20)−2(20)^2 &&&=800 end{align*}]

Der Maximalwert der Funktion ist eine Fläche von 800 Quadratfuß, was bei (L=20) Fuß auftritt. Wenn die kürzeren Seiten 20 Fuß betragen, bleiben 40 Fuß Zaun für die längere Seite übrig. Um die Fläche zu maximieren, sollte sie den Garten so umschließen, dass die beiden kürzeren Seiten eine Länge von 20 Fuß haben und die längere Seite parallel zum bestehenden Zaun eine Länge von 40 Fuß hat.

Analyse

Dieses Problem könnte auch durch graphische Darstellung der quadratischen Funktion gelöst werden. Wir können sehen, wo die maximale Fläche auf einem Graphen der quadratischen Funktion in Abbildung (PageIndex{11}) auftritt.

Abbildung (PageIndex{11}): Graph der parabolischen Funktion (A(L)=-2L^2+80L)

Verwenden Sie bei einer Anwendung mit Einnahmen eine quadratische Gleichung, um das Maximum zu finden

  1. Schreiben Sie eine quadratische Gleichung für den Umsatz.
  2. Finden Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Gleichung.
  3. Bestimmen Sie den (y)-Wert des Knotens.

Beispiel (PageIndex{6}): Ermitteln des maximalen Umsatzes

Der Stückpreis eines Artikels beeinflusst sein Angebot und seine Nachfrage. Das heißt, wenn der Stückpreis steigt, wird die Nachfrage nach dem Artikel normalerweise sinken. Zum Beispiel hat eine lokale Zeitung derzeit 84.000 Abonnenten für eine vierteljährliche Gebühr von 30 US-Dollar. Marktforschungen haben ergeben, dass die Eigentümer 5.000 Abonnenten verlieren würden, wenn sie den Preis auf 32 US-Dollar erhöhen. Angenommen, Abonnements hängen linear mit dem Preis zusammen, welchen Preis sollte die Zeitung für ein vierteljährliches Abonnement berechnen, um ihren Umsatz zu maximieren?

Lösung

Der Umsatz ist der Geldbetrag, den ein Unternehmen einbringt. In diesem Fall kann der Umsatz durch Multiplikation der Preis pro Abo mal die Anzahl der Abonnenten, oder Menge. Wir können Variablen einführen, (p) für den Preis pro Abonnement und (Q) für die Menge, wodurch wir die Gleichung ( ext{Revenue}=pQ) erhalten.

Da sich die Anzahl der Abonnenten mit dem Preis ändert, müssen wir eine Beziehung zwischen den Variablen finden. Wir wissen, dass derzeit (p=30) und (Q=84.000) sind. Wir wissen auch, dass die Zeitung bei einem Preisanstieg auf 32 $ 5.000 Abonnenten verlieren würde, was ein zweites Wertepaar (p=32) und (Q=79mbox{,}000) ergibt. Daraus können wir eine lineare Gleichung finden, die die beiden Größen miteinander verbindet. Die Steigung wird

[egin{align*} m&=dfrac{79.000−84.000}{32−30} &=−dfrac{5.000}{2} &=−2.500 end{align*}]

Dies sagt uns, dass die Zeitung für jeden Dollar, den sie den Preis erhöhen, 2.500 Abonnenten verliert. Wir können dann nach dem (y)-Achsenabschnitt auflösen.

[egin{align*} Q&=−2500p+b & ext{Ersatz im Punkt $Q=84.000$ und $p=30$} 84.000&=−2500(30)+b & ext{ Auflösen nach $b$} b&=159.000 end{align*}]

Dies gibt uns die lineare Gleichung (Q=−2.500p+159.000) in Bezug auf Kosten und Teilnehmer. Wir kehren nun zu unserer Einnahmengleichung zurück.

[egin{align*} ext{Umsatz}&=pQ ext{Umsatz}&=p(−2.500p+159.000) ext{Umsatz}&=−2.500p^2+159.000p end{ausrichten*}]

Wir haben eine quadratische Funktion für den Umsatz als Funktion der Abonnementgebühr. Um den Preis zu ermitteln, der den Umsatz der Zeitung maximiert, können wir den Scheitelpunkt ermitteln.

[egin{align*} h&=−dfrac{159.000}{2(−2.500)} &=31,8 end{align*}]

Das Modell sagt uns, dass der maximale Umsatz erzielt wird, wenn die Zeitung 31,80 USD für ein Abonnement berechnet. Um den maximalen Umsatz zu ermitteln, werten wir die Umsatzfunktion aus.

[egin{align*} ext{maximaler Umsatz}&=−2.500(31,8)^2+159.000(31,8) &=2.528.100 end{align*}]

Analyse

Dies könnte auch gelöst werden, indem man das Quadrat wie in Abbildung (PageIndex{12}) graphisch darstellt. Wir können den maximalen Umsatz auf einem Graphen der quadratischen Funktion sehen.

Abbildung (PageIndex{12}): Graph der parabolischen Funktion

Bestimmung der (x)- und (y)-Achsenabschnitte einer quadratischen Funktion

Als Werkzeug, das uns hilft, Parabeln darzustellen, müssen wir Achsenabschnitte quadratischer Gleichungen finden. Denken Sie daran, dass wir den (y)-Achsenabschnitt eines Quadrats finden, indem wir die Funktion an einer Eingabe von Null auswerten, und wir finden die x-Achsenabschnitte an Stellen, an denen die Ausgabe Null ist. Beachten Sie in Abbildung (PageIndex{13}), dass die Anzahl der (x)-Achsenabschnitte je nach Lage des Graphen variieren kann.

Abbildung (PageIndex{13}): Anzahl der x-Achsenabschnitte einer Parabel.

Gegeben eine quadratische Funktion (f(x)) finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte

  1. Werte (f(0)) aus, um den (y)-Achsenabschnitt zu finden.
  2. Löse die quadratische Gleichung (f(x)=0), um die (x)-Achsenabschnitte zu finden.

Beispiel (PageIndex{7}): Ermitteln der (y)- und (x)-Achsenabschnitte einer Parabel

Finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte der quadratischen (f(x)=3x^2+5x−2).

Lösung

Den (y)-Achsenabschnitt finden wir durch Auswertung von (f(0)).

[egin{align*} f(0)&=3(0)^2+5(0)−2 &=−2 end{align*}]

Der (y)-Achsenabschnitt liegt bei ((0,−2)).

Für die (x)-Achsenabschnitte finden wir alle Lösungen von (f(x)=0).

[0=3x^2+5x−2keineZahl]

In diesem Fall kann das Quadrat faktorisiert werden, was die einfachste Lösungsmethode bietet.

[0=(3x−1)(x+2)keineZahl]

[egin{align*} 0&=3x−1 & 0&=x+2 x&= frac{1}{3} & ext{or} ;;;;;; ;; x&=−2 end{align*}]

Die (x)-Achsenabschnitte liegen bei ((frac{1}{3},0)) und ((−2,0)).

Analyse

Indem wir die Funktion graphisch darstellen, können wir bestätigen, dass der Graph die (y)-Achse bei ((0,−2)) schneidet. Wir können auch bestätigen, dass der Graph die (x)-Achse bei (Big(frac{1}{3},0Big)) und ((−2,0)) schneidet. Siehe Abbildung (PageIndex{14}).

Abbildung (PageIndex{14}): Diagramm einer Parabel.

Quadratische Elemente in Scheitelpunktform umschreiben

Im Beispiel (PageIndex{7}) wurde die quadratische Gleichung recht einfach durch Faktorisieren gelöst. Es gibt jedoch viele Quadrate, die nicht mit rationalen Zahlen faktorisiert werden können. Eine andere Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen besteht darin, zuerst das Quadrat in Scheitelpunktform umzuschreiben. Diese Methode wird auch als Lösen nach . bezeichnet das Quadrat vervollständigen.

Bestimmen Sie bei einer gegebenen quadratischen Funktion die (x)-Achsenabschnitte durch Umschreiben in Scheitelpunktform.

  1. Ersetze (a) und (b) in (h=−frac{b}{2a}).
  2. Setze (x=h) in die allgemeine Form der quadratischen Funktion ein, um (k) zu finden.
  3. Schreiben Sie das Quadrat in Scheitelpunktform um, indem Sie (h) und (k) verwenden.
  4. Lösen Sie auf, wenn die Ausgabe der Funktion Null ist, um die (x)-Achsenabschnitte zu finden.

Beispiel (PageIndex{8}): Ermitteln der (x)-Achsenabschnitte einer Parabel

Finden Sie die (x)-Achsenabschnitte der quadratischen Funktion (f(x)=2x^2+4x−4).

Lösung

Wir müssen auflösen, wann die Ausgabe Null ist:

[0=2x^2+4x−4. keine Nummer]

Da das Quadrat in diesem Fall nicht leicht faktorierbar ist, lösen wir nach den Achsenabschnitten auf, indem wir das Quadrat zunächst in Scheitelpunktform umschreiben.

[f(x)=a(x−h)^2+k onumber]

Wir wissen, dass (a=2). Dann lösen wir nach (h) und (k) auf.

[egin{align*} h&=−dfrac{b}{2a} & k&=f(−1) &=−dfrac{4}{2(2)} & &=2(−1 )^2+4(−1)−4 &=−1 & &=−6 end{ausrichten*}]

Jetzt können wir in Scheitelpunktform umschreiben.

[f(x)=2(x+1)^2−6keineZahl]

Wir sind bereit zu lösen, wann die Ausgabe Null sein wird.

[egin{ausrichten*} 0&=2(x+1)^2−6 6&=2(x+1)^2 3&=(x+1)^2 x+1&={ pm}sqrt{3} x&=−1{pm}sqrt{3} ca. 0,73 mbox{ oder } -2,73 end{align*}]

Der Graph hat (x)-Achsenabschnitte bei ((−1−sqrt{3},0)) und ((−1+sqrt{3},0)). Beachten Sie, dass die (x)-Werte irrationale Zahlen sind.

Analyse

Wir können unsere Arbeit überprüfen, indem wir die gegebene Funktion auf einem grafischen Dienstprogramm graphisch darstellen und eine Approximation der (x)-Achsenabschnitte beobachten. Siehe Abbildung (PageIndex{15}).

Abbildung (PageIndex{15}): Graph einer Parabel mit folgenden x-Achsenabschnitten: ((-2.73, 0)) und ((0.73, 0)).

(PageIndex{4})

In (PageIndex{2}), haben wir den Scheitelpunkt und die allgemeine Form für die Funktion (g(x)=13+x^2−6x) gefunden. Finden Sie nun die (y)- und (x)-Achsenabschnitte (falls vorhanden).

Antworten

(y)-Achsenabschnitt bei ((0, 13)), keine (x)-Achsenabschnitte

Beispiel (PageIndex{9}): Lösen einer quadratischen Gleichung mit der quadratischen Formel

Finden Sie die Nullstellen von (f(x)=x^2 +x+2). Wir setzen (f(x)=0) und lösen: (x^2+x+2=0).

Lösung

Beginnen wir mit der quadratischen Formel: (x=frac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a}).

Bei Anwendung der quadratischen Formel identifizieren wir die Koeffizienten (a), (b) und (c). Für die Gleichung (x^2+x+2=0) gilt (a=1), (b=1) und (c=2). Wenn wir diese Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

[egin{align*} x&=dfrac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a} &=dfrac{−1{pm}sqrt{1^ 2−4⋅1⋅(2)}}{2⋅1} &=dfrac{−1{pm}sqrt{1−8}}{2} &=dfrac{−1{ pm}sqrt{−7}}{2} &=dfrac{−1{pm}isqrt{7}}{2} end{align*}]

Die Lösungen der Gleichung sind (x=frac{−1+isqrt{7}}{2}) und (x=frac{−1-isqrt{7}}{2} ) oder (x=−frac{1}{2}+frac{isqrt{7}}{2}) und (x=frac{-1}{2}−frac{i sqrt{7}}{2}). Da es keine reellwertigen Lösungen der Gleichung gibt, gibt es auch keine reellen Nullstellen. Der Graph dieser Parabel schneidet die (x)-Achse nicht.

Beispiel (PageIndex{10}): Anwenden des Scheitelpunkts und der x-Achsenabschnitte einer Parabel

Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit von 80 Fuß pro Sekunde von der Spitze eines 12 Meter hohen Gebäudes nach oben geworfen. Die Höhe des Balls über dem Boden kann durch die Gleichung (H(t)=−16t^2+80t+40) modelliert werden.

Wann erreicht der Ball die maximale Höhe?
Wie hoch ist die maximale Ballhöhe?
Wann trifft der Ball auf den Boden?

Die maximale Höhe erreicht die Kugel am Scheitelpunkt der Parabel.
[egin{align*} h &= −dfrac{80}{2(−16)} &=dfrac{80}{32} &=dfrac{5}{2} & =2,5 end{ausrichten*}]

Nach 2,5 Sekunden erreicht der Ball eine maximale Höhe.

Um die maximale Höhe zu ermitteln, bestimme die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel.
[egin{ausrichten*} k &=H(−dfrac{b}{2a}) &=H(2,5) &=−16(2,5)^2+80(2,5)+40 &=140 end{align*}]

Der Ball erreicht eine maximale Höhe von 140 Fuß.

Um herauszufinden, wann der Ball den Boden berührt, müssen wir bestimmen, wann die Höhe Null ist, (H(t)=0).

Wir verwenden die quadratische Formel.

[egin{align*} t & =dfrac{−80±sqrt{80^2−4(−16)(40)}}{2(−16)} & = dfrac{−80 ±sqrt{8960}}{−32} end{align*} ]

Da die Quadratwurzel nicht gut vereinfacht, können wir einen Taschenrechner verwenden, um die Werte der Lösungen anzunähern.

[t=dfrac{−80-sqrt{8960}}{−32} 5,458 ext{ oder }t=dfrac{−80+sqrt{8960}}{−32} ≈−0,458 ]

Die zweite Antwort liegt außerhalb des vernünftigen Bereichs unseres Modells, daher schließen wir, dass der Ball nach etwa 5,458 Sekunden den Boden berührt. Siehe Abbildung (PageIndex{16}).

Abbildung (PageIndex{16})

(PageIndex{5})

Ein Stein wird mit einer Geschwindigkeit von 96 Fuß pro Sekunde von der Spitze einer 30 Meter hohen Klippe mit Blick auf den Ozean nach oben geschleudert. Die Höhe des Gesteins über dem Ozean kann durch die Gleichung (H(t)=−16t^2+96t+112) modelliert werden.

  1. Wann erreicht der Fels die maximale Höhe?
  2. Was ist die maximale Höhe des Felsens?
  3. Wann trifft der Stein auf das Meer?
Antworten

A. 3 Sekunden
B. 256 Fuß
C. 7 Sekunden

Schlüsselgleichungen

  • allgemeine Form einer quadratischen Funktion: (f(x)=ax^2+bx+c)
  • die quadratische Formel: (x=dfrac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a})
  • Standard- oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: (f(x)=a(x−h)^2+k)

Schlüssel Konzepte

  • Eine Polynomfunktion zweiten Grades heißt quadratische Funktion.
  • Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Eine Parabel ist eine U-förmige Kurve, die sich nach oben oder unten öffnen kann.
  • Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht. Die Nullstellen oder (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die (x)-Achse schneidet. Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die (y)-Achse schneidet.
  • Quadratische Funktionen werden oft in allgemeiner Form geschrieben. Die Standard- oder Scheitelpunktform ist nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel leicht zu identifizieren. Beide Formen können aus einem Graphen geschrieben werden.
  • Der Scheitelpunkt kann entweder aus der allgemeinen Form oder der Standardform einer quadratischen Funktion gefunden werden.
  • Der Definitionsbereich einer quadratischen Funktion sind alle reellen Zahlen. Die Reichweite variiert je nach Funktion.
  • Der minimale oder maximale Wert einer quadratischen Funktion ist durch den (y)-Wert des Scheitelpunkts gegeben.
  • Der minimale oder maximale Wert einer quadratischen Funktion kann verwendet werden, um den Bereich der Funktion zu bestimmen und viele Arten von realen Problemen zu lösen, einschließlich Probleme, die Fläche und Umsatz betreffen.
  • Einige quadratische Gleichungen müssen mit der quadratischen Formel oder durch Vervollständigung des Quadrats gelöst werden.
  • Der Scheitelpunkt und die Achsenabschnitte können identifiziert und interpretiert werden, um reale Probleme zu lösen.

Glossar

Symmetrieachse
eine vertikale Linie, die durch den Scheitel einer Parabel gezogen wird, um die die Parabel symmetrisch ist; definiert durch (x=−frac{b}{2a})

allgemeine Form einer quadratischen Funktion
die Funktion, die eine Parabel beschreibt, geschrieben in der Form (f(x)=ax^2+bx+c), wobei (a,b,) und (c) reelle Zahlen sind und (a ≠0)

Standardform einer quadratischen Funktion
die Funktion, die eine Parabel beschreibt, geschrieben in der Form (f(x)=a(x−h)^2+k), wobei ((h, k)) der Scheitelpunkt ist

Scheitel
der Punkt, an dem eine Parabel die Richtung ändert, entsprechend dem minimalen oder maximalen Wert der quadratischen Funktion

Eckenform einer quadratischen Funktion
ein anderer Name für die Standardform einer quadratischen Funktion

Nullen
in einer gegebenen Funktion die Werte von (x), bei denen (y=0), auch Wurzeln genannt


4.3: Quadratische Funktionen - Mathematik

Bevor wir mit diesem Abschnitt fortfahren, sollten wir beachten, dass das Thema der Lösung quadratischer Gleichungen in zwei Abschnitten behandelt wird. Dies geschieht zum Vorteil derjenigen, die das Material im Web ansehen. Dies ist ein langes Thema und um die Seitenladezeiten so gering wie möglich zu halten, wurde das Material in zwei Abschnitte unterteilt.

Also werden wir jetzt quadratische Gleichungen lösen. Zuerst die Standardform einer quadratischen Gleichung ist

Die einzige Voraussetzung hier ist, dass wir ein () in der Gleichung. Wir garantieren, dass dieser Term in der Gleichung vorhanden ist, indem wir (a e 0) fordern. Beachten Sie jedoch, dass es in Ordnung ist, wenn (b) und/oder (c) null sind.

Es gibt viele Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Vier davon werden wir in den nächsten beiden Abschnitten betrachten. Die ersten beiden Methoden werden nicht immer funktionieren, sind aber wahrscheinlich etwas einfacher zu verwenden, wenn sie funktionieren. In diesem Abschnitt werden diese beiden Methoden behandelt. Die letzten beiden Methoden funktionieren immer, erfordern jedoch oft etwas mehr Arbeit oder Aufmerksamkeit, um sie richtig zu machen. Wir werden diese Methoden im nächsten Abschnitt behandeln.

Lösen durch Factoring

Wie die Überschrift vermuten lässt, werden wir hier quadratische Gleichungen lösen, indem wir sie faktorisieren. Dazu benötigen wir folgende Tatsache.

Diese Tatsache nennt man die Nullfaktor-Eigenschaft oder Null-Faktor-Prinzip. Die Tatsache besagt nur, dass, wenn ein Produkt von zwei Termen null ist, mindestens einer der Terme zu Beginn null sein musste.

Beachten Sie, dass diese Tatsache NUR funktioniert, wenn das Produkt gleich Null ist. Betrachten Sie das folgende Produkt.

In diesem Fall gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass entweder (a) oder (b) 6 sein wird. Wir könnten zum Beispiel (a = 2) und (b = 3) haben. Missbrauchen Sie diese Tatsache also nicht!

Um eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren zu lösen, müssen wir zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung verschieben. Dies dient zwei Zwecken. Erstens bringt es die Quadrate in eine Form, die faktorisiert werden kann. Zweitens, und wahrscheinlich noch wichtiger, MÜSSEN wir eine Null auf einer Seite der Gleichung haben, um die Nullfaktoreigenschaft zu verwenden. Wenn wir auf einer Seite der Gleichung keine Null haben, können wir die Nullfaktoreigenschaft nicht verwenden.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Beachten Sie, dass an dieser Stelle davon ausgegangen wird, dass Sie das Factoring durchführen können und wir daher keine Details zum Factoring geben. If you need a review of factoring you should go back and take a look at the Factoring section of the previous chapter.

  1. ( - x = 12)
  2. ( + 40 = - 14x)
  3. ( + 12y + 36 = 0)
  4. (4 - 1 = 0)
  5. (3 = 2x + 8)
  6. (10 + 19z + 6 = 0)
  7. (5 = 2x)

Now, as noted earlier, we won’t be putting any detail into the factoring process, so make sure that you can do the factoring here.

First, get everything on side of the equation and then factor.

Now at this point we’ve got a product of two terms that is equal to zero. This means that at least one of the following must be true.

Note that each of these is a linear equation that is easy enough to solve. What this tell us is that we have two solutions to the equation, (x = 4) and (x = - 3). As with linear equations we can always check our solutions by plugging the solution back into the equation. We will check (x = - 3) and leave the other to you to check.

[egin ight)^2> - left( < - 3> ight) & mathop = limits^? 12 9 + 3 & mathop = limits^? 12 12 & = 12,,,,>end]

So, this was in fact a solution.

As with the first one we first get everything on side of the equal sign and then factor.

Now, we once again have a product of two terms that equals zero so we know that one or both of them have to be zero. So, technically we need to set each one equal to zero and solve. However, this is usually easy enough to do in our heads and so from now on we will be doing this solving in our head.

The solutions to this equation are,

To save space we won’t be checking any more of the solutions here, but you should do so to make sure we didn’t make any mistakes.

In this case we already have zero on one side and so we don’t need to do any manipulation to the equation all that we need to do is factor. Also, don’t get excited about the fact that we now have (y)’s in the equation. We won’t always be dealing with (x)’s so don’t expect to always see them.

So, let’s factor this equation.

In this case we’ve got a perfect square. We broke up the square to denote that we really do have an application of the zero factor property. However, we usually don’t do that. We usually will go straight to the answer from the squared part.

The solution to the equation in this case is,

We only have a single value here as opposed to the two solutions we’ve been getting to this point. We will often call this solution a double root or say that it has multiplicity of 2 because it came from a term that was squared.

As always let’s first factor the equation.

Now apply the zero factor property. The zero factor property tells us that,

Again, we will typically solve these in our head, but we needed to do at least one in complete detail. So, we have two solutions to the equation.

Now that we’ve done quite a few of these, we won’t be putting in as much detail for the next two problems. Here is the work for this equation.

Again, factor and use the zero factor property for this one.

This one always seems to cause trouble for students even though it’s really not too bad.

First off. DO NOT CANCEL AN (x) FROM BOTH SIDES. Do you get the idea that might be bad? It is. If you cancel an (x) from both sides, you WILL miss a solution so don’t do it. Remember we are solving by factoring here so let’s first get everything on one side of the equal sign.

Now, notice that all we can do for factoring is to factor an (x) out of everything. Doing this gives,

From the first factor we get that (x = 0) and from the second we get that (x = frac<2><5>). These are the two solutions to this equation. Note that if we’d canceled an (x) in the first step we would NOT have gotten (x = 0) as an answer!

Let’s work another type of problem here. We saw some of these back in the Solving Linear Equations section and since they can also occur with quadratic equations we should go ahead and work on to make sure that we can do them here as well.

Okay, just like with the linear equations the first thing that we’re going to need to do here is to clear the denominators out by multiplying by the LCD. Recall that we will also need to note value(s) of (x) that will give division by zero so that we can make sure that these aren’t included in the solution.

The LCD for this problem is (left( ight)left( <2x - 4> ight)) and we will need to avoid (x = - 1) and (x = 2) to make sure we don’t get division by zero. Here is the work for this equation.

[eginleft( ight)left( <2x - 4> ight)left( <>> ight) & = left( ight)left( <2x - 4> ight)left( <1 - frac<5><<2x - 4>>> ight) 2x - 4 & = left( ight)left( <2x - 4> ight) - 5left( ight) 2x - 4 & = 2 - 2x - 4 - 5x - 5 0 & = 2 - 9x - 5 0 & = left( <2x + 1> ight)left( ight)end]

So, it looks like the two solutions to this equation are,

Notice as well that neither of these are the values of (x) that we needed to avoid and so both are solutions.

In this case the LCD is (x - 1) and we will need to avoid (x = 1) so we don’t get division by zero. Here is the work for this problem.

[eginleft( ight)left( <>> ight) & = left( ><>> ight)left( ight) left( ight)left( ight) + 3 & = 4 - x + 2x - 3 + 3 & = 4 - x + 3x - 4 & = 0 left( ight)left( ight) & = 0end]

So, the quadratic that we factored and solved has two solutions, (x = 1) and (x = - 4). However, when we found the LCD we also saw that we needed to avoid (x = 1) so we didn’t get division by zero. Therefore, this equation has a single solution,

Before proceeding to the next topic we should address that this idea of factoring can be used to solve equations with degree larger than two as well. Consider the following example.

The first thing to do is factor this equation as much as possible. In this case that means factoring out the greatest common factor first. Here is the factored form of this equation.

[egin5xleft( <- x - 2> ight) & = 0 5xleft( ight)left( ight) & = 0end]

Now, the zero factor property will still hold here. In this case we have a product of three terms that is zero. The only way this product can be zero is if one of the terms is zero. This means that,

[egin5x & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = 0 x - 2 & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = 2 x + 1 & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = - 1end]

So, we have three solutions to this equation.

So, provided we can factor a polynomial we can always use this as a solution technique. The problem is, of course, that it is sometimes not easy to do the factoring.

Square Root Property

The second method of solving quadratics we’ll be looking at uses the square root property,

There is a (potentially) new symbol here that we should define first in case you haven’t seen it yet. The symbol “( pm )” is read as : “plus or minus” and that is exactly what it tells us. This symbol is shorthand that tells us that we really have two numbers here. One is (p = sqrt d ) and the other is (p = - sqrt d ). Get used to this notation as it will be used frequently in the next couple of sections as we discuss the remaining solution techniques. It will also arise in other sections of this chapter and even in other chapters.

This is a fairly simple property to use, however it can only be used on a small portion of the equations that we’re ever likely to encounter. Let’s see some examples of this property.

There really isn’t all that much to these problems. In order to use the square root property all that we need to do is get the squared quantity on the left side by itself with a coefficient of 1 and the number on the other side. Once this is done we can use the square root property.

This is a fairly simple problem so here is the work for this equation.

So, there are two solutions to this equation, (x = pm 10). Remember this means that there are really two solutions here, (x = - 10) and (x = 10).

Okay, the main difference between this one and the previous one is the 25 in front of the squared term. The square root property wants a coefficient of one there. That’s easy enough to deal with however we’ll just divide both sides by 25. Here is the work for this equation.

In this case the solutions are a little messy, but many of these will do so don’t worry about that. Also note that since we knew what the square root of 25 was we went ahead and split the square root of the fraction up as shown. Again, remember that there are really two solutions here, one positive and one negative.

This one is nearly identical to the previous part with one difference that we’ll see at the end of the example. Here is the work for this equation.

So, there are two solutions to this equation : (z = pm frac<7><2>i). Notice as well that they are complex solutions. This will happen with the solution to many quadratic equations so make sure that you can deal with them.

This one looks different from the previous parts, however it works the same way. The square root property can be used anytime we have something squared equals a number. That is what we have here. The main difference of course is that the something that is squared isn’t a single variable it is something else. So, here is the application of the square root property for this equation.

Now, we just need to solve for (t) and despite the “plus or minus” in the equation it works the same way we would solve any linear equation. We will add 9 to both sides and then divide by a 2.

Note that we multiplied the fraction through the parenthesis for the final answer. We will usually do this in these problems. Also, do NOT convert these to decimals unless you are asked to. This is the standard form for these answers. With that being said we should convert them to decimals just to make sure that you can. Here are the decimal values of the two solutions.

In this final part we’ll not put much in the way of details into the work.

[egin ight)^2> & = - 81 3x + 10 & = pm ,9,i 3x & = - 10 pm ,9,i x & = - frac<<10>> <3>pm 3,iend]

So we got two complex solutions again and notice as well that with both of the previous part we put the “plus or minus” part last. This is usually the way these are written.

As mentioned at the start of this section we are going to break this topic up into two sections for the benefit of those viewing this on the web. The next two methods of solving quadratic equations, completing the square and quadratic formula, are given in the next section.


-- Quadratics - PureMaths 1 - RP AS & A Level Mathematics

Welcome to this short ‘insights video’ where learners can better understand how to solve quadratic equations using the ‘completing the square’ technique. This technique can solve ‘perfect square’ quadratic equations like this.

. where the coefficient of the squared term is ‘one’. However, equations do not always appear in this form, for example in the following equation the squared term coefficient is two.

but, the equation can be rearranged like this…

. So, leaving the rest of the equation alone, learners can use the ‘completing the square’ technique to solve the ‘x squared plus two x’ part within the brackets first. An important mistake learners often make is to correctly solve this, but then, forget to replace this back into the original quadratic equation to score full marks.

Simple geometry can help students visualise how the completing the square technique works.

. If our ‘general formula’ is to solve x squared plus b times x. Learners can think of this equation as two rectangles and we need to find out the area!

The first rectangle is x wide by x height. It’s area represents the x2 part of the equation, and is a square. The second rectangle is b long and x wide. It’s area represents the b times x part of the equation. Now the learners could rearrange these shapes like this…

And if we were to ‘complete the square’ it would look like this…

So, the total area is easy to work out. It’s x plus b over two all squared. But we don't want the blue square - it’s not part of our equation. So we have to subtract b over two, times b over two. Which is b squared over four. So, the answer to the general solution becomes.

Then learners can replace this general solution back in their original equation within the brackets. And because it only contains one x function now the original quadratic equation is easy to rearrange.

I hope this short insights video has been useful to you to help explain to your learners the types of equations ‘completing the square’ solves and a very visual way to explain how to use the ‘completing the square’ method.


5.1 Quadratic Functions

Curved antennas, such as the ones shown in Figure 1, are commonly used to focus microwaves and radio waves to transmit television and telephone signals, as well as satellite and spacecraft communication. The cross-section of the antenna is in the shape of a parabola, which can be described by a quadratic function.

In this section, we will investigate quadratic functions, which frequently model problems involving area and projectile motion. Working with quadratic functions can be less complex than working with higher degree functions, so they provide a good opportunity for a detailed study of function behavior.

Recognizing Characteristics of Parabolas

The graph of a quadratic function is a U-shaped curve called a parabola . One important feature of the graph is that it has an extreme point, called the vertex . If the parabola opens up, the vertex represents the lowest point on the graph, or the minimum value of the quadratic function. If the parabola opens down, the vertex represents the highest point on the graph, or the maximum value . In either case, the vertex is a turning point on the graph. The graph is also symmetric with a vertical line drawn through the vertex, called the axis of symmetry . These features are illustrated in Figure 2.

Das ja-intercept is the point at which the parabola crosses the ja-Achse. Das x-intercepts are the points at which the parabola crosses the x-Achse. If they exist, the x-intercepts represent the zeros , or roots , of the quadratic function, the values of x x at which y = 0. y = 0.

Beispiel 1

Identifying the Characteristics of a Parabola

Determine the vertex, axis of symmetry, zeros, and y - y - intercept of the parabola shown in Figure 3.


The following illustration shows all of the differences we're referring to in these equations, for the quadratic sequence: (6,11,18,27,38,51 dots )


Looking at this, and the Formel we saw above, each of the equations is: [egin 2a = 2 3a + b = 5 a+b+c = 6 end] We can see that the values that we use, the ones we've boxed in the illustration, are always the first on each row.

Using each of these equations, in the order they're stated here, we can find each of the three coefficients (a), (b) and (c).

This is best explained in the following Lernprogramm, watch it now.

Tutorial: Formula for the (n^>) term

In the following tutorial we learn the method for finding the formula for the n-th term of a quadratic sequence.


Converting from standard form to vertex form

Converting a quadratic equation from standard form to vertex form involves a technique called completing the square. Refer to the completing the square for a detailed explanation. Generally, it involves moving the constant to the other side of the equation and finding a constant that allows us to write the right hand side of the equation in a form resembling vertex form, applying that constant to the left side of the equation, then shifting the constant on the left side back to the right side.

Convert y = 3x 2 + 9x + 4 to vertex form:

This is our equation in vertex form, which tells us that the vertex is at (, ), and also that our parabola opens upwards, since a (3 in this case) is positive.

To convert from vertex form to standard form, we simply expand vertex form. We can confirm that our above equation in vertex form is the same as the original equation in standard form by expanding it:

Expanding our equation in vertex form yields the same equation we started with in standard form, so we've confirmed that our conversion to vertex form was correct.


Chapter 6 Quadratic Functions

The models we have explored so far, namely, linear, exponential, and logarithmic are functions, that is, always increasing or always decreasing on their domains. (Remember that we used power functions as models in the first quadrant only.) In this chapter, we investigate problems where the output variable may change from increasing to decreasing, or vice versa. The simplest sort of function that models this behavior is a quadratic function, one that involves the square of the variable.

Around 1600, Galileo began to study the motion of falling objects. He used a ball rolling down an inclined plane or ramp to slow down the motion.

Galileo had no accurate way to measure time clocks had not been invented yet. So he used water running into a jar to mark equal time intervals. After many trials, Galileo found that the ball traveled (1) unit of distance down the plane in the first time interval, (3) units in the second time interval, (5) units in the third time interval, and so on, as shown in the figure, with the distances increasing through odd units of distance as time went on.

As you can see in Table278, the total distance traveled by the ball is proportional to the square of the time elapsed, (s = kt^2 ext<.>) Galileo found that this relationship held no matter how steep he made the ramp. Plotting the height of the ball as a function of time, we obtain a portion of the graph of a quadratic function.

Investigation 4 Height of a Baseball

Suppose a baseball player pops up, that is, hits the baseball straight up into the air. The height, (h ext<,>) of the baseball (t) seconds after it leaves the bat can be calculated using a formula from physics. This formula takes into account the initial speed of the ball ((64) feet per second) and its height when it was hit ((4) feet). The formula for the height of the ball (in feet) is

Evaluate the formula to complete the table of values for the height of the baseball.

Graph the height of the baseball as a function of time. Plot data points from your table, then connect the points with a smooth curve.

What are the coordinates of the highest point on the graph? When does the baseball reach its maximum height, and what is that height?

Use the formula to find the height of the baseball after (dfrac<1><2>) second.

Check that your answer to part (4) corresponds to a point on your graph. Approximate from your graph another time at which the baseball is at the same height as your answer to part (4).

Use your graph to find two times when the baseball is at a height of (64) feet.

Use your graph to approximate two times when the baseball is at a height of (20) feet. Then use the formula to find the actual heights at those times.

Suppose the catcher catches the baseball at a height of (4) feet, before it strikes the ground. At what time was the ball caught?

Use your calculator to make a table of values for the equation (h = -16t^2 + 64t + 4) with TblStart = (0) and (Delta)Tbl (= 0.5 ext<.>)

Use your calculator to graph the equation for the height of the ball, with window settings egin Text amp = 0, ampamp ext = 4.5, ampamp ext = 5 ext amp = 0, ampamp ext = 70, ampamp ext = 5 end

Verwenden Sie die intersect command to verify your answer part (7): Estimate two times when the baseball is at a height of (20) feet.

Verwenden Sie die intersect command to verify your answer to part (8): At what time was the ball caught if it was caught at a height of (4) feet?


Lösung

When you graph these four equations, only two different parabolas are shown. This is because the first three equations are equivalent, and so all produce the same graph. We can see the equivalence as follows:

If we multiply the factors given in the first equation, we’ll get the second equation:

Similarly, if we multiply out the perfect square and combine like terms in the third equation, we also get the second one:

The fourth function produces a different graph. We can see that the difference between it and $y_2$ is just 4, so that graph is 4 units below the other one.

The vertex is $(1, ­-4)$ which is most visible in $y_3$ since the vertex occurs at the point where the squared portion is zero.

The $y$-­intercept is $(0, ­-3)$, which is visible as the constant in $y_2$ since the other terms are 0 when you plug in $x = 0­$.

The $x$-­intercepts are $(3,0)$ and $(-­1, 0)$, which are most visible in $y_1$ since you can find the roots of the polynomial using the zero­factor property and thus the intercepts correspond to the zeros of each factor.

Note: each of these problems has many possible answers. We’re including three possible answers for each one, to demonstrate the type of variability you might expect to see in a class. Asking students for three possible answers is a great extension for students - it gets them thinking about the effects of the different parts of the equation.

The following have a vertex at $(­-2,-­5)$ : $ egin y &= (x + 2)^2 - 5 y &= ­-(x + 2)^2 - 5 y &= 3(x + 2)^2 - 5 end $

The following have a $y$-­intercept of $(0,-­6)$ : $ egin y &= x^2 - 6 y &= x^2 + 13x - 6 y& = 2x^2 - 6 end $

The following have $x$-­intercepts of $(3,0)$ and $(5,0)$: $ egin y &= (x - 3)(x - 5) y &= 2(x - 3)(x - 5) y &= -­7(x - 3)(x - 5) end $

The following have $x$-intercepts at the origin and $(-­4,0)$: $ egin y &= x(x + 4) y &= 12x(x + 4) y &= ­-x(x + 4) end $

The following go through the points $(-­4,2)$ and $(1, 2)$: $ egin y &= (x + 4)(x - 1) + 2 y &= 2(x + 4)(x - 1) + 2 y &= ­ - frac12 (x + 4)(x - 1) + 2 end $ (Note: students will likely need to experiment quite a bit to find an equation that satisfies these constraints.)


Das Parabel defined by: [y = x^2+2x-3] has (y)-intercept at: [egin0,-3end] Where (-3) is the only term without an (x) in the Parabel's equation.

This can be seen on this parabola's graph:

We can see that (y=x^2+2x-3) cuts the (y)-axis at the point (egin0,-3 end).

This can be confirmed algebraically we can find the (y)-intercept using the fact that when the curve cuts the (y)-axis: (x=0), so replacing (x) by (0) in the Parabel's equation leads to: [y = 0^2+2 imes 0-3 = -3] So the (y)-intercept is (egin0,-3 end).


D - y intercepts of the graph of a quadratic function

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