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12.4: Das Kreuzprodukt


Lernziele

  • Berechnen Sie das Kreuzprodukt zweier gegebener Vektoren.
  • Verwenden Sie Determinanten, um ein Kreuzprodukt zu berechnen.
  • Finden Sie einen Vektor orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren.
  • Bestimmen Sie Flächen und Volumina mit Hilfe des Kreuzprodukts.
  • Berechnen Sie das Drehmoment einer gegebenen Kraft und eines Positionsvektors.

Stellen Sie sich einen Mechaniker vor, der einen Schraubenschlüssel dreht, um eine Schraube festzuziehen. Der Mechaniker übt am Ende des Schlüssels eine Kraft aus. Dies erzeugt eine Drehung oder ein Drehmoment, das die Schraube festzieht. Wir können Vektoren verwenden, um die vom Mechaniker aufgebrachte Kraft und den Abstand (Radius) von der Schraube bis zum Ende des Schraubenschlüssels darzustellen. Dann können wir das Drehmoment durch einen Vektor darstellen, der entlang der Rotationsachse ausgerichtet ist. Beachten Sie, dass der Drehmomentvektor sowohl zum Kraftvektor als auch zum Radiusvektor orthogonal ist.

In diesem Abschnitt entwickeln wir eine Operation namens Kreuzprodukt, die es uns ermöglicht, einen Vektor orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren zu finden. Die Berechnung des Drehmoments ist eine wichtige Anwendung von Kreuzprodukten, und wir untersuchen das Drehmoment später in diesem Abschnitt genauer.

Das Kreuzprodukt und seine Eigenschaften

Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation zweier Vektoren, die einen Skalar ergibt. In diesem Abschnitt führen wir ein Produkt zweier Vektoren ein, das einen dritten Vektor orthogonal zu den ersten beiden erzeugt. Überlegen Sie, wie wir einen solchen Vektor finden könnten. Seien (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) und (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) von Null verschiedene Vektoren. Wir wollen einen Vektor (vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩) finden, der sowohl zu (vecs u) als auch (vecs v) orthogonal ist – also ( vecs w) mit (vecs u ⋅ vecs w=0) und ( vecs v⋅ vecs w=0). Daher müssen (w_1), (w_2,) und (w_3) erfüllen

[u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3=0 label{eq1}]

[v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3=0. label{eq2} ]

Wenn wir die obere Gleichung mit (v_3) und die untere Gleichung mit (u_3) multiplizieren und subtrahieren, können wir die Variable (w_3) eliminieren, was ergibt

[(u_1v_3−v_1u_3)w_1+(u_2v_3−v_2u_3)w_2=0. keine Nummer]

Wenn wir wählen

[egin{align*} w_1 &=u_2v_3−u_3v_2 [4pt] w_2 &=−(u_1v_3−u_3v_1), end{align*}]

erhalten wir einen möglichen Lösungsvektor. Einsetzen dieser Werte in die ursprünglichen Gleichungen (Gleichungen ef{eq1} und ef{eq2}) ergibt

[w_3=u_1v_2−u_2v_1. keine Nummer]

Das heißt, Vektor

[vecs w=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩ onumber]

orthogonal zu (vecs u) und (vecs v) ist, was uns dazu führt, die folgende Operation zu definieren, die Kreuzprodukt.

Definition: Kreuzprodukt

Seien (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) und (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩.) Dann gilt Kreuzprodukt (vecs u×vecs v) ist Vektor

[egin{align} vecs u×vecs v &= (u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1) mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{ hat k} onumber [4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩. label{cross}end{align}]

Aus der Art und Weise, wie wir (vecs u×vecs v) entwickelt haben, sollte klar sein, dass das Kreuzprodukt sowohl zu (vecs u) als auch zu (vecs v) orthogonal ist. Es schadet jedoch nie zu überprüfen. Um zu zeigen, dass (vecs u×vecs v) orthogonal zu (vecs u) ist, berechnen wir das Skalarprodukt von (vecs u) und (vecs u×vecs v) .

[egin{align*} vecs u⋅(vecs u×vecs v) &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨u_2v_3−u_3v_2,−u_1v_3+u_3v_1,u_1v_2−u_2v_1⟩ [4pt] &=u_1(u_2v_3−u_3v_2)+u_2(−u_1v_3+u_3v_1)+u_3(u_1v_2−u_2v_1) [4pt]
&=u_1u_2v_3−u_1u_3v_2−u_1u_2v_3+u_2u_3v_1+u_1u_3v_2−u_2u_3v_1[4pt]
&=(u_1u_2v_3−u_1u_2v_3)+(−u_1u_3v_2+u_1u_3v_2)+(u_2u_3v_1−u_2u_3v_1) [4pt]
&= 0 end{ausrichten*}]

Auf ähnliche Weise können wir zeigen, dass das Kreuzprodukt auch orthogonal zu (vecs v) ist.

Beispiel (PageIndex{1}): Finden eines Cross-Products

Seien (vecs p=⟨−1,2,5⟩) und (vecs q=⟨4,0,−3⟩) (Abbildung (PageIndex{1})). Finden Sie (vecs p×vecs q).

Lösung

Setze die Komponenten der Vektoren in Gleichung ef{cross} ein:

[egin{align*} vecs p×vecs q &=⟨−1,2,5⟩×⟨4,0,−3⟩ [4pt] &= ⟨p_2q_3−p_3q_2,-(p_1q_3− p_3q_1),p_1q_2−p_2q_1⟩ [4pt] &= ⟨2(−3)−5(0),−(−1)(−3)+5(4),(−1)(0)−2 (4)⟩ [4pt] &= ⟨−6,17,−8⟩.end{align*}]

Übung (PageIndex{1})

Finden Sie (vecs p×vecs q) für (vecs p=⟨5,1,2⟩) und (vecs q=⟨−2,0,1⟩.) Drücken Sie die Antwort aus mit Standardeinheitsvektoren.

Hinweis

Verwenden Sie die Formel (vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k }.)

Antworten

(vecs p×vecs q = mathbf{hat i}−9mathbf{hat j}+2mathbf{hat k})

Obwohl es aus Gleichung ef{cross} nicht offensichtlich ist, ist die Richtung von (vecs u×vecs v) durch die Rechte-Hand-Regel gegeben. Wenn wir die rechte Hand mit den Fingern in Richtung (vecs u) ausstrecken, dann kräuseln wir die Finger zum Vektor (vecs v), der Daumen zeigt in Richtung des Kreuzprodukts, wie gezeigt in Abbildung (PageIndex{2}).

Beachten Sie, was dies für die Richtung von (vecs v×vecs u) bedeutet. Wenn wir die Rechte-Hand-Regel auf (vecs v×vecs u) anwenden, beginnen wir mit unseren Fingern in Richtung (vecs v) und krümmen dann unsere Finger in Richtung des Vektors (vecs u). In diesem Fall zeigt der Daumen in die entgegengesetzte Richtung von (vecs u×vecs v). (Versuch es!)

Beispiel (PageIndex{2}): Antikommutativität des Kreuzprodukts

Seien (vecs u=⟨0,2,1⟩) und (vecs v=⟨3,−1,0⟩). Berechnen Sie (vecs u×vecs v) und (vecs v×vecs u) und zeichnen Sie sie grafisch aus.

Lösung

Wir haben

(vecs u×vecs v=⟨(0+1),−(0−3),(0−6)⟩=⟨1,3,−6⟩)

(vecs v×vecs u=⟨(−1−0),−(3−0),(6−0)⟩=⟨−1,−3,6⟩.)

Wir sehen, dass in diesem Fall (vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u)) (Abbildung (PageIndex{4})) ist. Wir beweisen dies im Allgemeinen später in diesem Abschnitt.

Übung (PageIndex{2})

Angenommen, die Vektoren (vecs u) und (vecs v) liegen in der (xy)-Ebene (die (z)-Komponente jedes Vektors ist Null). Nehmen wir nun an, die (x)- und (y)-Komponenten von (vecs u) und die (y)-Komponente von (vecs v) seien alle positiv, während die ( x)-Komponente von (vecs v) ist negativ. Angenommen, die Koordinatenachsen sind in den üblichen Positionen ausgerichtet, in welche Richtung zeigt (vecs u×vecs v)?

Hinweis

Denken Sie an die Rechte-Hand-Regel (Abbildung (PageIndex{2})).

Antworten

Up (die positive (z)-Richtung)

Die Kreuzprodukte der Standardeinheitsvektoren (mathbf{hat i}), (mathbf{hat j}) und (mathbf{hat k}) können zur Vereinfachung einiger Berechnungen, also betrachten wir diese Kreuzprodukte. Eine einfache Anwendung der Definition zeigt, dass

[mathbf{hat i}×mathbf{hat i}=mathbf{hat j}×mathbf{hat j}=mathbf{hat k}×mathbf{hat k}= vecs 0.]

(Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, daher ergibt jedes dieser Produkte den Nullvektor, nicht den Skalar (0).) Es liegt an Ihnen, die Berechnungen selbst zu überprüfen.

Da das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu jedem dieser Vektoren orthogonal ist, wissen wir außerdem, dass das Kreuzprodukt von (mathbf{hat i}) und (mathbf{hat j}) parallel zu . ist (mathbf{hatk}). Ebenso ist das Vektorprodukt von (mathbf{hat i}) und (mathbf{hat k}) parallel zu (mathbf{hat j}), und das Vektorprodukt von (mathbf{hat j}) und (mathbf{hat k}) ist parallel zu (mathbf{hat i}).

Wir können die Rechte-Hand-Regel verwenden, um die Richtung jedes Produkts zu bestimmen. Dann haben wir

[egin{align*} mathbf{hat i}× mathbf{hat j} &=mathbf{hat k} [4pt]
mathbf{hat j} × mathbf{hat i} &=−mathbf{hat k} [10pt]
mathbf{hat j}×mathbf{hat k} &= mathbf{hat i} [4pt]
mathbf{hat k}×mathbf{hat j} &=−mathbf{hat i} [10pt]
mathbf{hatk}×mathbf{hat i} &=mathbf{hat j} [4pt]
mathbf{hat i} ×mathbf{hat k} &=−mathbf{hat j}. end{ausrichten*}]

Diese Formeln sind später praktisch.

Beispiel (PageIndex{3}): Kreuzprodukt von Standardeinheitsvektoren

Finden Sie (mathbf{hat i} ×(mathbf{hat j}×mathbf{hat k})).

Lösung

Wir wissen, dass (mathbf{hat j}×mathbf{hat k}=mathbf{hat i}). Daher ist (mathbf{hat i}×(mathbf{hat j}×mathbf{hat k})=mathbf{hat i}×mathbf{hat i}=vecs 0. )

Übung (PageIndex{3})

Finde ((mathbf{hat i}×mathbf{hat j})×(mathbf{hat k}×mathbf{hat i}).)

Hinweis

Denken Sie an die Rechte-Hand-Regel (Abbildung (PageIndex{2})).

Antworten

(−mathbf{hat i})

Wie wir gesehen haben, wird das Punktprodukt oft als bezeichnet Skalarprodukt weil es einen Skalar ergibt. Das Kreuzprodukt ergibt einen Vektor, daher wird es manchmal als . bezeichnet Vektorprodukt. Diese Operationen sind beide Versionen der Vektormultiplikation, haben jedoch sehr unterschiedliche Eigenschaften und Anwendungen. Lassen Sie uns einige Eigenschaften des Kreuzprodukts untersuchen. Wir beweisen nur einige davon. Beweise der anderen Eigenschaften werden als Übungsaufgaben belassen.

Eigenschaften des Kreuzprodukts

Seien (vecs u,vecs v,) und (vecs w) Vektoren im Raum und (c) ein Skalar.

  1. Antikommutative Eigenschaft: [vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u)]
  2. Verteilungseigenschaft: [vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w]
  3. Multiplikation mit einer Konstanten: [c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v)]
  4. Kreuzprodukt des Nullvektors: [vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0]
  5. Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst: [vecs v×vecs v=vecs 0]
  6. Skalartripelprodukt: [vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w]

Nachweisen

Für die Eigenschaft (i) wollen wir zeigen (vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u).) Wir haben

[egin{align*} vecs u×vecs v &=⟨u_1,u_2,u_3⟩×⟨v_1,v_2,v_3⟩ [4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−u_1v_3+u_3v_1,u_1v_2 −u_2v_1⟩ [4pt] &=−⟨u_3v_2−u_2v_3,−u_3v_1+u_1v_3,u_2v_1−u_1v_2⟩ [4pt] &=−⟨v_1,v_2,v_3⟩×⟨u_1,u_2,u_3⟩ [4pt] &=−(vecs v×vecs u).end{ausrichten*}]

Im Gegensatz zu den meisten Operationen, die wir gesehen haben, ist das Kreuzprodukt nicht kommutativ. Das macht Sinn, wenn wir an die Rechte-Hand-Regel denken.

Für Eigenschaft (iv). folgt dies direkt aus der Definition des Kreuzprodukts. Wir haben

[vecs u × vecs 0=⟨u_2(0)−u_3(0),−(u_2(0)−u_3(0)),u1(0)−u_2(0)⟩=⟨0,0, 0⟩=vecs 0. ]

Dann gilt nach Eigenschaft i. auch (vecs 0×vecs u=vecs 0). Denken Sie daran, dass das Skalarprodukt eines Vektors und des Nullvektors Skalar (0), wobei das Kreuzprodukt eines Vektors mit dem Nullvektor das Vektor (vecs 0).

Eigenschaft (vi). sieht aus wie die assoziative Eigenschaft, aber beachten Sie die Änderung der Operationen:

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=u⋅⟨v_2w_3−v_3w_2,−v_1w_3+v_3w_1,v_1w_2−v_2w_1⟩ [4pt]
&= u_1(v_2w_3−v_3w_2)+u_2(−v_1w_3+v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=u_1v_2w_3−u_1v_3w_2−u_2v_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2−u_3v_2w_1 [4pt]
&=(u_2v_3−u_3v_2)w_1+(u_3v_1−u_1v_3)w_2+(u_1v_2−u_2v_1)w_3 [4pt]
&=⟨u_2v_3−u_3v_2,u_3v_1−u_1v_3,u_1v_2−u_2v_1⟩⋅⟨w_1,w_2,w_3⟩ =(vecs u×vecs v)⋅vecs w.end{align*}]

(Platz)

Beispiel (PageIndex{4}): Verwendung der Eigenschaften des Kreuzprodukts

Berechnen Sie mit den Kreuzprodukteigenschaften ((2mathbf{hat i}×3mathbf{hat j})×mathbf{hat j}.)

Lösung

[egin{align*} (2mathbf{hat i}×3 mathbf{hat j})×mathbf{hat j} &=2(mathbf{hat i}×3mathbf {hat j})×mathbf{hat j} [4pt]
&=2(3)(mathbf{hat i}×mathbf{hat j})×mathbf{hat j} [4pt]
&=(6mathbf{hat k})×mathbf{hat j} [4pt]
&=6(mathbf{hat k}×mathbf{hat j}) [4pt]
&=6(−mathbf{hati})=−6mathbf{hati}. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{4})

Berechnen Sie mit den Eigenschaften des Kreuzprodukts ((mathbf{hat i}×mathbf{hat k})×(mathbf{hat k}×mathbf{hat j}).)

Hinweis

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

Antworten

(−mathbf{hatk})

Bisher haben wir uns in diesem Abschnitt mit der Richtung des Vektors (vecs u×vecs v) beschäftigt, aber nicht auf seine Größe eingegangen. Es stellt sich heraus, dass es einen einfachen Ausdruck für den Betrag von (vecs u×vecs v) gibt, der die Beträge von (vecs u) und (vecs v) und den Sinus des Winkels zwischen Ihnen.

Größe des Kreuzprodukts

Seien (vecs u) und (vecs v) Vektoren und (θ) der Winkel zwischen ihnen. Dann gilt (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ.)

Nachweisen

Seien (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) und (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) Vektoren, und (θ) bezeichne den Winkel zwischen ihnen. Dann

[ egin{align*} ‖vecs u×vecs v‖^2 &=(u_2v_3−u_3v_2)^2+(u_3v_1−u_1v_3)^2+(u_1v_2−u_2v_1)^2 [4pt]
&=u^2_2v^2_3−2u_2u_3v_2v_3+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_1−2u_1u_3v_1v_3+u^2_1v^2_3+u^2_1v^2_2−2u_1u_2v_1v_2+u_2_pt]
&=u^2_1v^2_1+u^2_1v^2_2+u^2_1v^2_3+u^2_2v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_2v^2_3+u^2_3v^2_1+u^2_3v^2_2+ u^2_3v^2_3−(u^2_1v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_3v^2_3+2u_1u_2v_1v_2+2u_1u_3v_1v_3+2u_2u_3v_2v_3) [4pt]
&=(u^2_1+u^2_2+u^2_3)(v^2_1+v^2_2+v^2_3)−(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2 [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2−(vecs u⋅vecs v)^2 [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2−‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2 cos^2θ [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2(1−cos^2θ) [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2(sin^2θ). end{ausrichten*} ]

Wenn wir Quadratwurzeln ziehen und beachten, dass (sqrt{sin^2θ}=sinθ) für (0≤θ≤180°,) gilt, erhalten wir das gewünschte Ergebnis:

[‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖‖vecs v‖ sin θ.]

Diese Definition des Kreuzprodukts ermöglicht es uns, das Produkt geometrisch zu visualisieren oder zu interpretieren. Es ist zum Beispiel klar, dass das Kreuzprodukt nur für Vektoren in drei Dimensionen definiert ist, nicht für Vektoren in zwei Dimensionen. In zwei Dimensionen ist es unmöglich, einen Vektor gleichzeitig orthogonal zu zwei nicht parallelen Vektoren zu erzeugen.

Beispiel (PageIndex{5}): Berechnung des Kreuzprodukts

Benutze Note, um den Betrag des Kreuzprodukts von (vecs u=⟨0,4,0⟩) und (vecs v=⟨0,0,−3⟩) zu bestimmen.

Lösung

Wir haben

[egin{align*} ‖vecs u×vecs v‖ &= ‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sinθ [4pt]
&=sqrt{0^2+4^2+0^2}⋅sqrt{0^2+0^2+(−3)^2}⋅sin{dfrac{π}{2}} [4pt]
&=4(3)(1)=12 end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{5})

Verwenden Sie Note, um den Betrag von (vecs u×vecs v) zu finden, wobei (vecs u=⟨−8,0,0⟩) und (vecs v=⟨0,2,0⟩ ).

Hinweis

Die Vektoren (vecs u) und (vecs v) sind orthogonal.

Antworten

16

Determinanten und das Kreuzprodukt

Die Verwendung der Gleichung ef{cross} zum Bestimmen des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist unkompliziert und präsentiert das Kreuzprodukt in der nützlichen Komponentenform. Die Formel ist jedoch kompliziert und schwer zu merken. Zum Glück haben wir eine Alternative. Wir können das Kreuzprodukt zweier Vektoren mit der Determinantennotation berechnen.

Eine (2×2)-Determinante ist definiert durch

[egin{vmatrix}a_1 & b_1a_2 & b_2end{vmatrix} =a_1b_2−b_1a_2.]

Beispielsweise,

[egin{vmatrix}3 & −25 & 1end{vmatrix} =3(1)−5(−2)=3+10=13.]

Eine (3×3)-Determinante wird durch (2×2)-Determinanten wie folgt definiert:

[egin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=a_1egin{vmatrix}b_2 & b_3c_2 & c_3end{vmatrix }−a_2egin{vmatrix}b_1 & b_3c_1 & c_3end{vmatrix}+a_3egin{vmatrix}b_1 & b_2c_1 & c_2end{vmatrix}.label{expandEqn}]

Gleichung ef{expandEqn} wird als Entwicklung der Determinante entlang der ersten Zeile bezeichnet. Beachten Sie, dass die Multiplikatoren jeder der (2×2)-Determinanten auf der rechten Seite dieses Ausdrucks die Einträge in der ersten Zeile der (3×3)-Determinante sind. Darüber hinaus enthält jede der (2×2)-Determinanten die Einträge der (3×3)-Determinante, die übrig bleiben würden, wenn Sie die Zeile und Spalte mit dem Multiplikator durchstreichen würden. Für den ersten Term rechts ist also (a_1) der Multiplikator, und die (2×2)-Determinante enthält die Einträge, die übrig bleiben, wenn Sie die erste Zeile und erste Spalte von (3× 3) Determinante. Ebenso ist für den zweiten Term der Multiplikator (a_2), und die Determinante (2×2) enthält die Einträge, die übrig bleiben, wenn Sie die erste Zeile und zweite Spalte der (3×3) bestimmend. Beachten Sie jedoch, dass der Koeffizient des zweiten Termes negativ ist. Der dritte Term kann auf ähnliche Weise berechnet werden.

Beispiel (PageIndex{6}): Verwenden der Expansion entlang der ersten Zeile zur Berechnung einer (3×3)-Determinante

Bewerten Sie die Determinante (egin{vmatrix}2 & 5 &−1−1 & 1 & 3−2 & 3 & 4end{vmatrix}).

Lösung

Wir haben

[egin{align*} egin{vmatrix}2 & 5 & −1−1 & 1 & 3−2 & 3 & 4end{vmatrix} &=2egin{vmatrix}1 & 33 & 4end{vmatrix}−5egin{vmatrix}−1 & 3−2 & 4end{vmatrix}−1egin{vmatrix}−1 & 1−2 & 3 end{vmatrix} [4pt]
&=2(4−9)−5(−4+6)−1(−3+2) [4pt]
&= 2(−5)−5(2)−1(−1)=−10−10+1 [4pt]
&=−19 end{align*}]

Übung (PageIndex{6})

Bewerte die Determinante (egin{vmatrix}1 & −2 & −13 & 2 & −31 & 5 & 4end{vmatrix}).

Hinweis

Erweitern Sie entlang der ersten Reihe. Vergessen Sie nicht, dass der zweite Term negativ ist!

Antworten

40

Technisch werden Determinanten nur in Form von Arrays reeller Zahlen definiert. Die Determinantennotation bietet jedoch ein nützliches mnemonisches Hilfsmittel für die Kreuzproduktformel.

Regel: Von einer Determinante berechnetes Kreuzprodukt

Seien (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) und (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) Vektoren. Dann ist das Kreuzprodukt (vecs u×vecs v) gegeben durch

[vecs u×vecs v=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix}=egin{vmatrix}u_2 & u_3v_2 & v_3end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix}u_1 & u_3v_1 & v_3end{ vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}u_1 & u_2v_1 & v_2end{vmatrix}mathbf{hat k}.]

Beispiel (PageIndex{7}): Verwenden der Determinantennotation, um (vecs p×vecs q) zu finden

Seien (vecs p=⟨−1,2,5⟩) und (vecs q=⟨4,0,−3⟩). Finden Sie (vecs p×vecs q).

Lösung

Wir stellen unsere Determinante auf, indem wir die Standardeinheitsvektoren über die erste Zeile, die Komponenten von (vecs u) in die zweite Zeile und die Komponenten von (vecs v) in die dritte Zeile setzen. Dann haben wir

[egin{align*} vecs p×vecs q &=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−1 & 2 & 54 & 0 & −3end{vmatrix}=egin{vmatrix}2 & 5 & −3end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix}− 1 & 54 & −3end{vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}−1 & 24 & 0end{vmatrix}mathbf{hat k} [4pt]
&= (−6−0)mathbf{hat i}−(3−20)mathbf{hat j}+(0−8)mathbf{hat k} [4pt]
&=−6mathbf{hat i}+17mathbf{hat j}−8mathbf{hat k}.end{align*}]

Beachten Sie, dass diese Antwort die Berechnung des Kreuzprodukts in Beispiel (PageIndex{1}) bestätigt.

Übung (PageIndex{7})

Verwenden Sie die Determinantennotation, um (vecs a×vecs b) zu finden, wobei (vecs a=⟨8,2,3⟩) und (vecs b=⟨−1,0,4⟩. )

Hinweis

Berechnen Sie die Determinante (egin{vmatrix}mathbf{hat i} mathbf{hat j} mathbf{hat k}8 & ​​2 & 3−1 & 0 & 4end{vmatrix }).

Antworten

(vecs a×vecs b = 8mathbf{hat i}−35mathbf{hat j}+2mathbf{hat k})

Verwenden des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt ist sehr nützlich für verschiedene Arten von Berechnungen, darunter das Finden eines Vektors orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren, das Berechnen von Flächen von Dreiecken und Parallelogrammen und sogar die Bestimmung des Volumens der dreidimensionalen geometrischen Form aus Parallelogrammen, die als a . bekannt sind parallelepiped. Die folgenden Beispiele veranschaulichen diese Berechnungen.

Beispiel (PageIndex{8}): Finden eines Einheitsvektors orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren

Seien (vecs a=⟨5,2,−1⟩) und (vecs b=⟨0,−1,4⟩). Finden Sie einen Einheitsvektor orthogonal zu (vecs a) und (vecs b).

Lösung

Das Kreuzprodukt (vecs a×vecs b) ist orthogonal zu den beiden Vektoren (vecs a) und (vecs b). Wir können es mit einer Determinante berechnen:

[egin{align*} vecs a×vecs b &=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}5 & 2 & −1 & −1 & 4end{vmatrix}=egin{vmatrix}2 & −1−1 & 4end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix} 5 & ​​−1 & 4end{vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}5 & 2 & −1end{vmatrix}mathbf{hat k} [4pt]
&=(8−1)mathbf{hat i}−(20−0)mathbf{hat j}+(−5−0)mathbf{hat k} [4pt]
&=7mathbf{hat i}−20mathbf{hat j}−5mathbf{hat k}.end{align*} ]

Normalisieren Sie diesen Vektor, um einen Einheitsvektor in die gleiche Richtung zu finden:

(|vecs a×vecs b|=sqrt{(7)^2+(−20)^2+(−5)^2}=sqrt{474}).

Also (leftlangledfrac{7}{sqrt{474}},dfrac{−20}{sqrt{474}},dfrac{−5}{sqrt{474}} ight angle) ist ein zu (vecs a) und (vecs b) orthogonaler Einheitsvektor.

Vereinfacht wird dieser Vektor zu (leftlangledfrac{7sqrt{474}}{474},dfrac{−10sqrt{474}}{237},dfrac{−5sqrt{474} }{474} echts angle).

Übung (PageIndex{8})

Finden Sie einen Einheitsvektor orthogonal zu (vecs a) und (vecs b), wobei (vecs a=⟨4,0,3⟩) und (vecs b=⟨1,1 ,4⟩.)

Hinweis

Normalisieren Sie das Kreuzprodukt.

Antworten

(leftlangledfrac{−3}{sqrt{194}},dfrac{−13}{sqrt{194}},dfrac{4}{sqrt{194}} ight angle ) oder vereinfacht als (leftlangledfrac{−3sqrt{194}}{194},dfrac{−13sqrt{194}}{194},dfrac{2sqrt{194 }}{97} echts angle)

Um das Kreuzprodukt zur Flächenberechnung zu verwenden, formulieren und beweisen wir den folgenden Satz.

Fläche eines Parallelogramms

Lokalisieren wir die Vektoren (vecs u) und (vecs v) so, dass sie benachbarte Seiten eines Parallelogramms bilden, dann ist die Fläche des Parallelogramms durch (‖vecs u×vecs v‖ ) (Abbildung (PageIndex{5})).

Nachweisen

Wir zeigen, dass der Betrag des Kreuzprodukts gleich der Basis mal Höhe des Parallelogramms ist.

[egin{align*} ext{Fläche eines Parallelogramms} &= ext{base} × ext{height} [4pt] &=‖vecs u‖(‖vecs v‖sin θ ) [4pt] &=‖vecs u×vecs v‖ end{align*}]

Beispiel (PageIndex{9}): Den Flächeninhalt eines Dreiecks ermitteln

Seien (P=(1,0,0),Q=(0,1,0),) und (R=(0,0,1)) die Eckpunkte eines Dreiecks (Abbildung ( Seitenindex{6})). Finden Sie seinen Bereich.

Lösung

Wir haben (vecd{PQ}=⟨0−1,1−0,0−0⟩=⟨−1,1,0⟩) und (vecd{PR}=⟨0−1,0− 0,1−0⟩=⟨−1,0,1⟩). Die Fläche des Parallelogramms mit benachbarten Seiten (vecd{PQ}) und (vecd{PR}) ist gegeben durch (∥vecd{PQ}×vecd{PR}∥):

[ egin{align*} vecd{PQ} imes vecd{PR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k} −1 & 1 & 0−1 & 0 & 1end{vmatrix} [4pt]
&=(1−0)mathbf{hat i}−(−1−0)mathbf{hat j}+(0−(−1))mathbf{hat k} [4pt]
&=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}+mathbf{hat k} [10pt]
∥vecd{PQ}×vecd{PR}∥ &=∥⟨1,1,1⟩∥ [4pt]
&=sqrt{1^2+1^2+1^2} [4pt]
&=sqrt{3}. end{ausrichten*} ]

Die Fläche von (ΔPQR) ist die Hälfte der Fläche des Parallelogramms oder (sqrt{3}/2, ext{units}^2).

Übung (PageIndex{9})

Bestimme die Fläche des Parallelogramms ( PQRS) mit Ecken ( P(1,1,0)), (Q(7,1,0)), (R(9,4,2) ) und ( S(3,4,2)).

Hinweis

Skizzieren Sie das Parallelogramm und identifizieren Sie zwei Vektoren, die benachbarte Seiten des Parallelogramms bilden.

Antworten

(6sqrt{13}, ext{Einheiten}^2)

Das dreifache Skalarprodukt

Da das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein Vektor ist, ist es möglich, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt zu kombinieren. Das Skalarprodukt eines Vektors mit dem Kreuzprodukt zweier anderer Vektoren heißt dreifaches Skalarprodukt weil das Ergebnis ein Skalar ist.

Definition: Dreifaches Skalarprodukt

Das dreifache Skalarprodukt der Vektoren (vecs u), (vecs v,) und (vecs w) ist

[ vecs u⋅( vecs v× vecs w).]

Berechnen eines dreifachen Skalarprodukts

Das dreifache Skalarprodukt von Vektoren

[ vecs u=u_1 mathbf{hat i}+u_2 mathbf{hat j}+u_3mathbf{hat k}]

[ vecs v=v_1mathbf{hat i}+v_2mathbf{hat j}+v_3mathbf{hat k}]

und

[ vecs w=w_1 mathbf{hat i}+w_2mathbf{hat j}+w_3mathbf{hat k}]

ist die Determinante der (3×3)-Matrix, die durch die Komponenten der Vektoren gebildet wird:

[ vecs u⋅( vecs v× vecs w)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix}. label{triple2}]

Nachweisen

Die Berechnung ist einfach.

[ egin{align*} vecs u⋅( vecs v× vecs w) &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_2w_3−v_3w_2,−v_1w_3+v_3w_1,v_1w_2−v_2w_1⟩[4pt] &=u_1(v_2w_3−v_3w_2)+u_2(−v_1w_3+v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=u_1(v_2w_3−v_3w_2)−u_2(v_1w_3−v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix}.end{align*} ]

Beispiel (PageIndex{10}): Berechnung des dreifachen Skalarprodukts

Seien (vecs u=⟨1,3,5⟩,,vecs v=⟨2,−1,0⟩) und (vecs w=⟨−3,0,−1⟩). Berechnen Sie das dreifache Skalarprodukt (vecs u⋅(vecs v×vecs w).)

Lösung

Wende Gleichung ef{triple2} direkt an:

[ egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=egin{vmatrix}1 & 3 & 52 & −1 & 0−3 & 0 & −1 end{vmatrix} [4pt]
&=1egin{vmatrix}−1 & 0 & −1end{vmatrix}−3egin{vmatrix}2 & 0−3 & −1end{vmatrix}+5egin{ vmatrix}2 & −1−3 & 0end{vmatrix} [4pt]
&=(1−0)−3(−2−0)+5(0−3) [4pt]
&=1+6−15=−8. end{ausrichten*} ]

Übung (PageIndex{10})

Berechnen Sie das dreifache Skalarprodukt (vecs a⋅(vecs b×vecs c),) mit (vecs a=⟨2,−4,1⟩, vecs b=⟨0,3,−1 ⟩) und (vecs c=⟨5,−3,3⟩.)

Hinweis

Platziere die Vektoren als Zeilen einer (3×3)-Matrix und berechne dann die Determinante.

Antworten

(17)

Wenn wir eine Matrix aus drei Vektoren erstellen, müssen wir auf die Reihenfolge achten, in der wir die Vektoren auflisten. Wenn wir sie in einer Matrix in einer Reihenfolge auflisten und dann die Zeilen neu anordnen, bleibt der Absolutwert der Determinante unverändert. Jedes Mal, wenn zwei Reihen ihre Plätze tauschen, ändert die Determinante jedoch das Vorzeichen:

(egin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=d quadquad egin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3a_1 & a_2 & a_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=−d quadquad egin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3a_1 & a_2 & a_3end{ vmatrix}=d quadquad egin{vmatrix}c_1 & c_2 & c_3_1 & b_2 & b_3a_1 & a_2 & a_3end{vmatrix}=−d)

Diese Tatsache zu überprüfen ist einfach, aber ziemlich chaotisch. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

[ egin{align*} egin{vmatrix}1 & 2 & 1−2 & 0 & 34 & 1 & −1end{vmatrix} &=egin{vmatrix}0 & 3 1 & −1end{vmatrix}−2egin{vmatrix}−2 & 34 & −1end{vmatrix}+egin{vmatrix}−2 & 04 & 1end{ vmatrix} [4pt]
&=(0−3)−2(2−12)+(−2−0) [4pt]
&=−3+20−2=15. end{ausrichten*} ]

Vertauschen der oberen beiden Reihen, die wir haben

[ egin{align*} egin{vmatrix}−2 & 0 & 31 & 2 & 14 & 1 & −1end{vmatrix} &=-2egin{vmatrix}2 & 11 & −1end{vmatrix}+3egin{vmatrix}1 & 24 & 1end{vmatrix} [4pt]
&=−2(−2−1)+3(1−8)[4pt]
&=6−21=−15. end{ausrichten*} ]

Das Umordnen von Vektoren in den Tripelprodukten ist äquivalent zum Umordnen der Zeilen in der Matrix der Determinante. Sei (vecs u=u_1mathbf{hat i}+u_2mathbf{hat j}+u_3mathbf{hat k}, vecs v=v_1mathbf{hat i}+v_2mathbf {hat j}+v_3mathbf{hat k},) und (vecs w=w_1mathbf{hat i}+w_2mathbf{hat j}+w_3mathbf{hat k} .) Hinweis anwendend, haben wir

[vecs u⋅(vecs v×vecs w)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix} ]

und

[vecs u⋅(vecs w×vecs v)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3w_1 & w_2 & w_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix}.]

Die Determinante für die Berechnung von (vecs u⋅(vecs w×vecs v)) erhalten wir durch Vertauschen der unteren beiden Reihen von (vecs u⋅(vecs v×vecs w).) Also) , (vecs u⋅(vecs v×vecs w)=−vecs u⋅(vecs w×vecs v).)

Wenn wir dieser Argumentation folgen und die verschiedenen Möglichkeiten untersuchen, wie wir Variablen im dreifachen Skalarprodukt austauschen können, führen wir zu den folgenden Identitäten:

[egin{align} vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=−vecs u⋅(vecs w×vecs v)[10pt]
vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=vecs v⋅(vecs w×vecs u)=vecs w⋅(vecs u×vecs v).end{align}]

Seien (vecs u) und (vecs v) zwei Vektoren in Standardlage. Wenn (vecs u) und (vecs v) keine skalaren Vielfachen voneinander sind, dann bilden diese Vektoren benachbarte Seiten eines Parallelogramms. Wir haben in Anmerkung gesehen, dass die Fläche dieses Parallelogramms (‖vecs u×vecs v‖) ist. Nehmen wir nun an, wir fügen einen dritten Vektor (vecs w) hinzu, der nicht in derselben Ebene wie (vecs u) und (vecs v) liegt, aber immer noch denselben Anfangspunkt hat. Dann bilden diese Vektoren drei Kanten von a parallelepiped, ein dreidimensionales Prisma mit sechs Flächen, die jeweils Parallelogramme sind, wie in Abbildung gezeigt. Das Volumen dieses Prismas ist das Produkt aus der Höhe der Figur und der Grundfläche. Das dreifache Skalarprodukt von (vecs u,vecs v,) und (vecs w) bietet eine einfache Methode zur Berechnung des Volumens des durch diese Vektoren definierten Parallelepipeds.

Volumen eines Parallelepipeds

Das Volumen eines Quaders mit benachbarten Kanten durch die Vektoren (vecs u,vecs v) und (vecs w) ist der Absolutwert des dreifachen Skalarprodukts (Abbildung (PageIndex{7} )):

[V=||vecs u⋅(vecs v×vecs w)||.]

Beachten Sie, dass, wie der Name schon sagt, das Dreifachskalarprodukt einen Skalar erzeugt. Die gerade vorgestellte Volumenformel verwendet den Absolutwert einer skalaren Größe.

Nachweisen

Die Grundfläche des Quaders ist gegeben durch (‖vecs v×vecs w‖.) Die Höhe der Figur ist gegeben durch (| ext{proj}_{vecs v×vecs w}vecs u|.) Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus Höhe und Grundfläche, also gilt

[egin{align*} V &=∥ ext{proj}_{vecs v×vecs w}vecs u∥‖vecs v×vecs w‖ [4pt]
&=∣∣dfrac{vecs u⋅(vecs v×vecs w)}{‖vecs v×vecs w‖}∣∣‖vecs v×vecs w‖ [4pt]
&=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|. end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{11}): Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds

Seien (vecs u=⟨−1,−2,1⟩,vecs v=⟨4,3,2⟩,) und (vecs w=⟨0,−5,−2⟩). Bestimme das Volumen des Quaders mit benachbarten Kanten (vecs u,vecs v) und (vecs w) (Abbildung (PageIndex{8})).

Lösung

Wir haben

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=egin{vmatrix}−1 & −2 & 14 & 3 & 2 & −5 & − 2end{vmatrix} [4pt]
&= (−1)egin{vmatrix}3 & 2−5 & −2end{vmatrix}+2egin{vmatrix}4 & 2 & −2end{vmatrix}+egin {vmatrix}4 & 3 & −5end{vmatrix} [4pt]
&=(−1)(−6+10)+2(−8−0)+(−20−0) [4pt]
&=−4−16−20 [4pt]
&=−40.end{ausrichten*}]

Somit ist das Volumen des Parallelepipeds (|−40|=40) Einheiten3

Übung (PageIndex{11})

Bestimme das Volumen des Parallelepipeds, das durch die Vektoren (vecs a=3mathbf{hat i}+4mathbf{hat j}−mathbf{hat k}, vecs b=2mathbf{ hat i}−mathbf{hat j}−mathbf{hat k},) und (vecs c=3mathbf{hat j}+mathbf{hat k}.)

Hinweis

Berechnen Sie das dreifache Skalarprodukt, indem Sie eine Determinante finden.

Antworten

(8) Einheiten3

Anwendungen des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt taucht in vielen praktischen Anwendungen in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften auf. Lassen Sie uns hier einige dieser Anwendungen untersuchen, einschließlich der Idee des Drehmoments, mit der wir diesen Abschnitt begonnen haben. Andere Anwendungen werden in späteren Kapiteln gezeigt, insbesondere bei unserer Untersuchung von Vektorfeldern wie Gravitations- und elektromagnetischen Feldern (Einführung in die Vektorrechnung).

Beispiel (PageIndex{12}): Verwendung des Dreifachskalarprodukts

Zeigen Sie mit dem dreifachen Skalarprodukt, dass die Vektoren (vecs u=⟨2,0,5⟩,vecs v=⟨2,2,4⟩) und (vecs w=⟨1,−1, 3⟩) sind koplanar – d. h. zeigen Sie, dass diese Vektoren in derselben Ebene liegen.

Lösung

Beginnen Sie mit der Berechnung des dreifachen Skalarprodukts, um das Volumen des Parallelepipeds zu finden, das durch (vecs u,vecs v,) und (vecs w) definiert ist:

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=egin{vmatrix}2 & 0 & 52 & 2 & 41 & −1 & 3end {vmatrix} [4pt]
&=[2(2)(3)+(0)(4)(1)+5(2)(−1)]−[5(2)(1)+(2)(4)(−1) +(0)(2)(3)] [4pt]
&=2−2 =0. end{ausrichten*}]

Das Volumen des Parallelepipeds beträgt (0) Einheiten3, also muss eine der Dimensionen null sein. Daher liegen die drei Vektoren alle in derselben Ebene.

Übung (PageIndex{12})

Are the vectors (vecs a=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}−mathbf{hat k}, vecs b=mathbf{hat i}−mathbf{hat j}+mathbf{hat k},) and (vecs c=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}+mathbf{hat k}) coplanar?

Hinweis

Calculate the triple scalar product.

Antworten

No, the triple scalar product is (−4≠0,) so the three vectors form the adjacent edges of a parallelepiped. They are not coplanar.

Example (PageIndex{13}): Finding an Orthogonal Vector

Only a single plane can pass through any set of three noncolinear points. Find a vector orthogonal to the plane containing points (P=(9,−3,−2),Q=(1,3,0),) and (R=(−2,5,0).)

Lösung

The plane must contain vectors (vecd{PQ}) and (vecd{QR}):

(vecd{PQ}=⟨1−9,3−(−3),0−(−2)⟩=⟨−8,6,2⟩)

(vecd{QR}=⟨−2−1,5−3,0−0⟩=⟨−3,2,0⟩.)

The cross product (vecd{PQ}×vecd{QR}) produces a vector orthogonal to both (vecd{PQ}) and (vecd{QR}). Therefore, the cross product is orthogonal to the plane that contains these two vectors:

[egin{align*} vecd{PQ}×vecd{QR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−8 & 6 & 2−3 & 2 & 0end{vmatrix}[4pt]
&=0mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}−16mathbf{hat k}−(−18mathbf{hat k}+4mathbf{hat i}+0mathbf{hat j})[4pt]
&=−4mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}+2mathbf{hat k}. end{ausrichten*}]

We have seen how to use the triple scalar product and how to find a vector orthogonal to a plane. Now we apply the cross product to real-world situations.

Sometimes a force causes an object to rotate. For example, turning a screwdriver or a wrench creates this kind of rotational effect, called torque.

Definition: Torque

Torque, (vecs au) (the Greek letter tau), measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. Let (vecs r) be a vector with an initial point located on the axis of rotation and with a terminal point located at the point where the force is applied, and let vector (vecs F) represent the force. Then torque is equal to the cross product of (r) and (F):

[vecs au=vecs r×vecs F.]

See Figure (PageIndex{9}).

Think about using a wrench to tighten a bolt. The torque τ applied to the bolt depends on how hard we push the wrench (force) and how far up the handle we apply the force (distance). The torque increases with a greater force on the wrench at a greater distance from the bolt. Common units of torque are the newton-meter or foot-pound. Although torque is dimensionally equivalent to work (it has the same units), the two concepts are distinct. Torque is used specifically in the context of rotation, whereas work typically involves motion along a line.

Example (PageIndex{14}): Evaluating Torque

A bolt is tightened by applying a force of (6) N to a 0.15-m wrench (Figure (PageIndex{10})). The angle between the wrench and the force vector is (40°). Find the magnitude of the torque about the center of the bolt. Round the answer to two decimal places.

Lösung:

Substitute the given information into the equation defining torque:

[ egin{align*} ‖vecs τ‖ &=|vecs r×vecs F| [4pt]
&=‖vecs r‖∥vecs F∥sinθ [4pt]
&=(0.15, ext{m})(6, ext{N})sin 40° [4pt]
&≈0.58, ext{N⋅m.} end{align*}]

Übung (PageIndex{14})

Calculate the force required to produce (15) N⋅m torque at an angle of (30º) from a (150)-cm rod.

Hinweis

(‖vecs τ‖=15) N⋅m and (‖vecs r‖=1.5) m

Antworten

(20) N

Schlüssel Konzepte

  • The cross product (vecs u×vecs v) of two vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is a vector orthogonal to both (vecs u) and (vecs v). Its length is given by (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ,) where (θ) is the angle between (vecs u) and (vecs v). Its direction is given by the right-hand rule.
  • The algebraic formula for calculating the cross product of two vectors,

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩), is

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}.)

  • The cross product satisfies the following properties for vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w), and scalar (c):

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

(vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w)

(c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v))

(vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0)

(vecs v×vecs v=vecs 0)

(vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w)

  • The cross product of vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is the determinant (egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix})
  • If vectors (vecs u) and (vecs v) form adjacent sides of a parallelogram, then the area of the parallelogram is given by (|vecs u×vecs v|.)
  • The triple scalar product of vectors (vecs u, vecs v,) and (vecs w) is (vecs u⋅(vecs v×vecs w).)
  • The volume of a parallelepiped with adjacent edges given by vectors (vecs u,vecs v), and (vecs w) is (V=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|.)
  • If the triple scalar product of vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w) is zero, then the vectors are coplanar. The converse is also true: If the vectors are coplanar, then their triple scalar product is zero.
  • The cross product can be used to identify a vector orthogonal to two given vectors or to a plane.
  • Torque (vecs τ) measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. If force (vecs F) is acting at a distance (displacement) (vecs r) from the axis, then torque is equal to the cross product of (vecs r) and (vecs F: vecs τ=vecs r×vecs F.)

Schlüsselgleichungen

  • The cross product of two vectors in terms of the unit vectors

[vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}]

Glossar

cross product

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k},) where (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩)

determinant

a real number associated with a square matrix

parallelepiped

a three-dimensional prism with six faces that are parallelograms

torque

the effect of a force that causes an object to rotate

triple scalar product

the dot product of a vector with the cross product of two other vectors: (vecs u⋅(vecs v×vecs w))

Vektorprodukt

the cross product of two vectors

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Cross product calculator

Das cross product calculator is had been used to calculate the 3D vectors by using two arbitrary vectors in cross product form, you don&rsquot have to use the manual procedure to solve the calculations you just have to just put the input into the cross product calculator to get the desired result. The method of solving the calculation in the cross product calculator is very simple you don&rsquot have to be worried about solving your questions.


Exercises 12.4

Ex 12.4.1 Find the cross product of $langle 1,1,1 angle$ and $langle 1,2,3 angle$. (answer)

Ex 12.4.2 Find the cross product of $langle 1,0,2 angle$ and $langle -1,-2,4 angle$. (answer)

Ex 12.4.3 Find the cross product of $langle -2,1,3 angle$ and $langle 5,2,-1 angle$. (answer)

Ex 12.4.4 Find the cross product of $langle 1,0,0 angle$ and $langle 0,0,1 angle$. (answer)

Ex 12.4.5 Two vectors $u$ and $v$ are separated by an angle of $pi/6$, and $|u|=2$ and $|v|=3$. Find $|u imesv|$. (answer)

Ex 12.4.6 Two vectors $u$ and $v$ are separated by an angle of $pi/4$, and $|u|=3$ and $|v|=7$. Find $|u imesv|$. (answer)

Ex 12.4.7 Find the area of the parallelogram with vertices $(0,0)$, $(1,2)$, $(3,7)$, and $(2,5)$. (answer)

Ex 12.4.8 Find and explain the value of $(ich imes j) imes k$ and $(ich + j) imes (ich - j)$.

Ex 12.4.9 Prove that for all vectors $u$ and $v$, $(u imesv)cdotv=0$.

Ex 12.4.10 Prove Theorem MISSING XREFN(thm:cross product properties(.

Ex 12.4.11 Define the triple product of three vectors, $x$, $y$, and $z$, to be the scalar $x cdot (y imes z)$. Show that three vectors lie in the same plane if and only if their triple product is zero. Verify that $langle 1, 5, -2 angle$, $langle 4, 3, 0 angle$ and $langle 6, 13, -4 angle$ are coplanar.


Fleming's &ldquoright-hand rule&rdquo and cross-product of two vectors

I have been throwing around hand gestures for the past hour in a feeble attempt at trying to solve this question involving a cross product of two vectors $a$ x $b$. So far, I haven't found any satisfactory explanation on the internet as to how this rule is supposed to help me find out whether the components of $a$ and $b$ are positive, negative or zero. E.g., James Stewart explains it as though it is obvious (it isn't):

If the fingers of your right hand curl through the angle $ heta$ from $a$ to $b$, then your thumb points in the direction of $n$

What does he mean by "curl"? Sorry if this is a dumb question but I am getting really frustrated trying to use this "rule" to solve what is seemingly a really elementary question. I imagine it would be more intuitive if someone could just "show" me how to do it, but since that is not possible, if anyone could offer an explanation that is more helpful than the above, I would appreciate it.

(This question is specifically in reference to Exercise #4, Chapter 9.4 in Stewart's Single-variable calculus book, 4th edition.)

The figure shows a vector a in the xy-plane and a vector $b$ in the direction of $k$. Their lengths are $||a|| = 3$ and $||b|| = 2$. a) find $||a$ x $b||$ b) Use the right-hand rule to decide whether the components of a x b are positive, negative or zero


12.4: The Cross Product

A proportion is simply a statement that two ratios are equal. It can be written in two ways: as two equal fractions a/b = c/d or using a colon, a:b = c:d. The following proportion is read as "twenty is to twenty-five as four is to five."

In problems involving proportions, we can use cross products to test whether two ratios are equal and form a proportion. To find the cross products of a proportion, we multiply the outer terms, called the extremes, and the middle terms, called the means.

Here, 20 and 5 are the extremes, and 25 and 4 are the means. Since the cross products are both equal to one hundred, we know that these ratios are equal and that this is a true proportion.

We can also use cross products to find a missing term in a proportion. Here's an example. In a horror movie featuring a giant beetle, the beetle appeared to be 50 feet long. However, a model was used for the beetle that was really only 20 inches long. A 30-inch tall model building was also used in the movie. How tall did the building seem in the movie?

First, write the proportion, using a letter to stand for the missing term. We find the cross products by multiplying 20 times x, and 50 times 30. Then divide to find x. Study this step closely, because this is a technique we will use often in algebra. We are trying to get our unknown number, x, on the left side of the equation, all by itself. Since x is multiplied by 20, we can use the "inverse" of multiplying, which is dividing, to get rid of the 20. We can divide both sides of the equation by the same number, without changing the meaning of the equation. When we divide both sides by 20, we find that the building will appear to be 75 feet tall.

Note that we're using the inverse of multiplying by 20-that is, dividing by 20, to get x alone on one side.


12.4: The Cross Product

Understanding Proportions

· Determine whether a proportion is true or false.

· Find an unknown in a proportion.

· Solve application problems using proportions.

A true proportion is an equation that states that two ratios are equal. If you know one ratio in a proportion, you can use that information to find values in the other equivalent ratio. Using proportions can help you solve problems such as increasing a recipe to feed a larger crowd of people, creating a design with certain consistent features, or enlarging or reducing an image to scale.

For example, imagine you want to enlarge a 5-inch by 8-inch photograph to fit a wood frame that you purchased. If you want the shorter edge of the enlarged photo to measure 10 inches, how long does the photo have to be for the image to scale correctly? You can set up a proportion to determine the length of the enlarged photo.

Determining Whether a Proportion is True or False

A proportion is usually written as two equivalent fractions. For example:

Notice that the equation has a ratio on each side of the equal sign. Each ratio compares the same units, inches and feet, and the ratios are equivalent because the units are consistent, and is equivalent to .

Proportions might also compare two ratios with the same units. For example, Juanita has two different-sized containers of lemonade mix. She wants to compare them. She could set up a proportion to compare the number of ounces in each container to the number of servings of lemonade that can be made from each container.

Since the units for each ratio are the same, you can express the proportion without the units:

When using this type of proportion, it is important that the numerators represent the same situation – in the example above, 40 ounces for 10 servings – and the denominators represent the same situation, 84 ounces for 21 servings.

Juanita could also have set up the proportion to compare the ratios of the container sizes to the number of servings of each container.

Sometimes you will need to figure out whether two ratios are, in fact, a true or false proportion. Below is an example that shows the steps of determining whether a proportion is true or false.

Is the proportion true or false?

The units are consistent across the numerators.

The units are consistent across the denominators.

Write each ratio in simplest form.

Since the simplified fractions are equivalent, the proportion is true.

Identifying True Proportions

To determine if a proportion compares equal ratios or not, you can follow these steps.

1. Check to make sure that the units in the individual ratios are consistent either vertically or horizontally. For example, or are valid setups for a proportion.

2. Express each ratio as a simplified fraction.

3. If the simplified fractions are the same, the proportion is true if the fractions are different, the proportion is false.

Sometimes you need to create a proportion before determining whether it is true or not. An example is shown below.

One office has 3 printers for 18 computers. Another office has 20 printers for 105 computers. Is the ratio of printers to computers the same in these two offices?

Identify the relationship.

Write ratios that describe each situation, and set them equal to each other.

Check that the units in the numerators match.

Check that the units in the denominators match.

Simplify each fraction and determine if they are equivalent.

Since the simplified fractions are not equal (designated by the sign), the proportion is not true.

The ratio of printers to computers is not the same in these two offices.

There is another way to determine whether a proportion is true or false. This method is called “finding the cross product” or “cross multiplying”.

To cross multiply, you multiply the numerator of the first ratio in the proportion by the denominator of the other ratio. Then multiply the denominator of the first ratio by the numerator of the second ratio in the proportion. If these products are equal, the proportion is true if these products are not equal, the proportion is not true.

This strategy for determining whether a proportion is true is called cross-multiplying because the pattern of the multiplication looks like an “x” or a criss-cross. Below is an example of finding a cross product, or cross multiplying.

In this example, you multiply 3 • 10 = 30, and then multiply 5 • 6 = 30. Both products are equal, so the proportion is true.

Below is another example of determining if a proportion is true or false by using cross products.


Huge Halo: MCC Update Is Out Now, Adds Series X Enhancements, Cross-Play, And Brings Halo 4 To PC

A big update for Halo: The Master Chief Collection has landed, and it is substantial.

By Eddie Makuch on November 18, 2020 at 9:53AM PST

While Halo Infinite might have been delayed to 2021, Halo: The Master Chief Collection is still going strong and getting new updates. The latest one has arrived, and it's a big one, bringing with it Series X/S updates and cross-play, while Halo 4 has arrived on PC.

This is a very large update, weighing in at more than 41.53 GB on Xbox One. The Steam version is around 25.4 GB and the Microsoft Store/Game Pass for PC edition is no larger than 47.95 GB.

The big-ticket item is the Series X/S enhancements, which include up to 4K/120fps for those with compatible screens and devices. You'll be able to get 120fps support in campaign and multiplayer on both next-gen consoles, while 4K is limited to the Series X version Series S runs at 1080p. You also get improvements to split-screen multiplayer and the ability to change the field of view settings, which is not often available in console games. Read more about the next-gen updates here.

Additionally, the update brings cross-play to The Master Chief Collection across Xbox and PC. Players can choose their preferred input device when launching the game after the update, and this can be changed at any time.

This new update also brings Halo 4 to PC for the first time through The Master Chief Collection. This is an especially big deal because it is the sixth and final game in the collection on PC, following Halo: Reach, Halo: Combat Evolved, Halo 2, Halo 3, and Halo 3: ODST. (343 has said it has no plans to incorporate the most recent game, Halo 5: Guardians, into MCC.) You can buy each game individually or through a bundle. It's also available through Xbox Game Pass.

What's more, Season 4 is now underway in The Master Chief Collection. This includes more than 70 new cosmetic items to unlock, including new weapon and vehicle skins.

The new MCC update also fixes a number of issues across each game, so you can expect a better experience the next time you log in. You can see the full patch notes below, as posted on the Halo website.

As for when we may see more of Halo Infinite, it probably won't be soon. Microsoft has ruled out a new video at The Game Awards in December, but we will get a high-level update on the game soon.


Law of Independent Assortment

Mendel’s law of independent assortment states that genes do not influence each other with regard to the sorting of alleles into gametes, and every possible combination of alleles for every gene is equally likely to occur. Independent assortment of genes can be illustrated by the dihybrid cross, a cross between two true-breeding parents that express different traits for two characteristics. Consider the characteristics of seed color and seed texture for two pea plants, one that has wrinkled, green seeds (rryy) and another that has round, yellow seeds (RRYY). Because each parent is homozygous, the law of segregation indicates that the gametes for the wrinkled–green plant all are ry, and the gametes for the round–yellow plant are all RY. Therefore, the F1 generation of offspring all are RrYy (Figure 8.10).

Figure 8.10 A dihybrid cross in pea plants involves the genes for seed color and texture. The P cross produces F1 offspring that are all heterozygous for both characteristics. The resulting 9:3:3:1 F2 phenotypic ratio is obtained using a Punnett square.

In pea plants, purple flowers (P) are dominant to white (p), and yellow peas (Y) are dominant to green (y). What are the possible genotypes and phenotypes for a cross between PpYY und ppYy pea plants? How many squares would you need to complete a Punnett square analysis of this cross?

The possible genotypes are PpYY, PpYy, ppYY, and ppYy. The former two genotypes would result in plants with purple flowers and yellow peas, while the latter two genotypes would result in plants with white flowers with yellow peas, for a 1:1 ratio of each phenotype. You only need a 2 × 2 Punnett square (four squares total) to do this analysis because two of the alleles are homozygous.

The gametes produced by the F1 individuals must have one allele from each of the two genes. For example, a gamete could get an R allele for the seed shape gene and either a Y or a y allele for the seed color gene. It cannot get both an R and an R allele each gamete can have only one allele per gene. The law of independent assortment states that a gamete into which an R allele is sorted would be equally likely to contain either a Y or a y allele. Thus, there are four equally likely gametes that can be formed when the RrYy heterozygote is self-crossed, as follows: RY, rY, Ry, und ry. Arranging these gametes along the top and left of a 4 × 4 Punnett square gives us 16 equally likely genotypic combinations. From these genotypes, we find a phenotypic ratio of 9 round–yellow:3 round–green:3 wrinkled–yellow:1 wrinkled–green. These are the offspring ratios we would expect, assuming we performed the crosses with a large enough sample size.

The physical basis for the law of independent assortment also lies in meiosis I, in which the different homologous pairs line up in random orientations. Each gamete can contain any combination of paternal and maternal chromosomes (and therefore the genes on them) because the orientation of tetrads on the metaphase plane is random (Figure 8.11).

Figure 8.11 The random segregation into daughter nuclei that happens during the first division in meiosis can lead to a variety of possible genetic arrangements.


Assumptions of the 9:3:3:1 ratio

Both the product rule and the Punnett Square approaches showed that a 9:3:3:1 phenotypic ratio is expected among the progeny of a dihybrid cross such as Mendel&rsquos RrYy &mal RrYy. In making these calculations, we assumed that:

  1. both loci assort independently
  2. one allele at each locus is completely dominant and
  3. each of four possible phenotypes can be distinguished unambiguously, with no interactions between the two genes that would alter the phenotypes.

Deviations from the 9:3:3:1 phenotypic ratio may indicate that one or more of the above conditions has not been met. Modified ratios in the progeny of a dihybrid cross can therefore reveal useful information about the genes involved.

Linkage is one of the most important reasons for distortion of the ratios expected from independent assortment. Linked genes are located close together on the same chromosome. This close proximity alters the frequency of allele combinations in the gametes. We will return to the concept of linkage in Chapter 7. Deviations from 9:3:3:1 ratios can also be due to interactions between genes. These interactions will be discussed in the remainder of this chapter. For simplicity, we will focus on examples that involve easily scored phenotypes, such as pigmentation. Nevertheless, keep in mind that the analysis of segregation ratios of any markers can provide insight into a wide range of biological processes they represent.


Informed Compliance Publications, Directives, and Handbooks

CBP has a number of Informed Compliance Publications (ICPs) in the "What Every Member of the Trade Community Should Know About: . " series. As of the date of this posting, the subjects listed are available for reading or downloading. The first date shown is the original publication date. The subsequent dates, if any, show the revisions. Please note: The "Additional Information" sections in some of the older ICPs were correct at the time of publication, but may no longer be current.

Additionally, CBP publishes several Directives and Handbooks, which provide guidance to the public on a variety of trade-related matters.


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