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8.1: Polynomaddition und -subtraktion (und Kombinieren ähnlicher Terme)


8.1: Polynomaddition und -subtraktion (und Kombinieren ähnlicher Terme)

Addition und Subtraktion von Polynomen

An den Polynomen können verschiedene Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden. Ein Polynom ist ein Ausdruck, in dem eine endliche Anzahl von Konstanten und Variablen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Exponenten kombiniert werden. Das Addieren und Subtrahieren von Polynomen ist nur das Addieren und Subtrahieren ihrer gleichen Terme. Die Summe zweier Monome heißt Binomial und die Summe dreier Monome heißt Trinom. Die Summe einer endlichen Anzahl von Monomen in x heißt Polynom in x. Die Koeffizienten der Monome in einem Polynom werden Koeffizienten des Polynoms genannt. Wenn alle Koeffizienten eines Polynoms Null sind, wird das Polynom Nullpolynom genannt. Mit Polynomen können mehrere Operationen durchgeführt werden.

Dies sind die Terme, deren Variablen sowie der Exponent gleich sind.

Beispiel: x -2x 7x sind alle die gleichen Begriffe, weil die Variablen alle x sind.

Beispiel: x -2y 5xy sind keine Begriffe, da die Variablen unterschiedlich sind.


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Ich werde diese Diskussion mit einer Rückwärtsanalogie beginnen – das heißt, ich werde die Analogie angeben, bevor ich Ihnen sage, wofür sie eine Analogie ist. Hier ist die Analogie:

Bill und Todd ziehen zusammen. Bill und Todd mögen gerahmte Hundefotos sehr. Bill bringt (7) gerahmte Fotos mit nur einem Hund darin und (4) gerahmte Fotos mit zwei Hunden in die neue Wohnung. Todd bringt (2) gerahmte Fotos in die Wohnung, auf denen nur ein Hund zu sehen ist, und (10) gerahmte Fotos, auf denen zwei Hunde zu sehen sind. Hier ist eine Frage an Sie: Wie viele gerahmte Fotos haben zwischen den beiden nur einen Hund und wie viele gerahmte Fotos haben zwei Hunde?

Diese Situation ist eine Analogie für dieses Algebraproblem: Bestimmen Sie die folgende Summe:

In der Analogie repräsentiert (x) ein Bild mit nur einem Hund darin und (x^2) repräsentiert ein Bild mit zwei Hunden darin. Zwischen Bill und Todd haben sie insgesamt (9) Fotos mit nur einem Hund und insgesamt (14) Fotos mit zwei Hunden. In ähnlicher Weise wird die algebraische Summe wie folgt vereinfacht.

Im Fotoszenario zählen wir im Grunde nur wie Objekte, indem wir die Anzahl der Fotos eines Hundes ((7+2)) und dann die Anzahl der Fotos mit zwei Hunden ((4+10)) addieren. Wir machen dasselbe im algebraischen Szenario, in diesem Fall sind die beiden Objekttypen (x) und (x^2 ext<,>) und wir addieren die Koeffizienten für jeden Objekttyp.

(7x) und (2x) heißen wie (4x^2) und (10x^2 ext<.>). jede auftretende Variable hat in allen gleichen Termen den gleichen Exponenten. Da wir den Exponenten nicht auf lineare oder konstante Terme schreiben, ist es klar zu sagen, dass alle konstanten Terme wie Terme mit allen anderen konstanten Termen sind und alle linearen Terme einer gegebenen Variablen wie Terme jedes anderen linearen Termes derselben Variable. Sehen wir uns einige Beispiele an.


Addition und Subtraktion von Polynomen

Die Summe zweier spezifischer Zahlen kann als dritte spezifische Zahl geschrieben werden. Bei gegebenen Zahlen 2 und 3 können wir ihre Summe als 2 + 3 oder als 5 schreiben.

Die Summe der Literalzahlen a und b kann lediglich als a + b angegeben werden. Die a und b heißen Bedingungen der Summe.

Terme mit identischen Literalfaktoren heißen wie Begriffe: 2abc , 3bac , - 10cba sind wie Begriffe. Andererseits sind 2abc und 3abd im Gegensatz zu Begriffen, da 2abc c als Faktor hat, 3abd nicht. Die numerischen Koeffizienten der Terme haben keinen Einfluss darauf, ob die Terme gleich oder ungleich sind.

Wenn die hinzuzufügenden Terme gleiche Terme sind, wie beispielsweise 5a und 7a , kann die Summe 5a + 7a durch Anwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation vereinfacht werden.

Mit dem Distributivgesetz der Multiplikation haben wir

Es ist wichtig zu erkennen, dass

und 5a - 3a = (5-3)a = 2a (nicht nur 2)

Wenn wir Polynome hinzufügen, kombinieren wir nur gleiche Terme in den Polynomen

Sehen wir uns an, wie unser Polynomial Solver dieses und ähnliche Probleme vereinfacht. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele Schritt für Schritt zu sehen.

Beispiel Addiere 3a - 5b und - 2a+2b

Lösung (3a - 5b) + (-2a + 3b) = 3a - 5b - 2a + 3b

Beispiel Addiere 3a - 2b + c und 6a + 4b - 5c

Lösung (3a + 2b + c) + (6a + 4b -5c) = 3a - 2b +c +6a + 4b -5c

Eine einfache Möglichkeit, die Summe der Polynome zu finden, besteht darin, die Polynome in Zeilen untereinander zu schreiben, so dass sich gleiche Terme in derselben Spalte befinden. Dies ist ähnlich der Zugabe von

Spezifische Zahlen, wenn wir bestimmte Zahlen in Zeilen schreiben, damit die Einheiten. Zehner, Hunderter usw. stehen in separaten Spalten.

Beispiel Finden Sie die Summe der folgenden Polynome

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp (2ab - 6c +d) + (3c - 5d) + (2d - 4ab + 4c) = -2ab + c - 2d

Sehen wir uns an, wie unser Polynomial Solver alle Lösungsschritte für dieses und ähnliche Probleme zeigt. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

Subtraktion von Polynomen

In algebraischer Sprache symbolisieren wir die Subtraktion von b von a durch a - b , was gleich a + (-b) ist. Das ist. um b von a zu subtrahieren, addieren wir das additive Inverse (das Negative) von b zu a .

Die additive Umkehrung von +6x ist –6x. Das heißt – (+6x) = –6x .

Der additive Kehrwert von –10y ist +10y. Das heißt, - (-10y) = + 10y

Wenn die zu subtrahierenden Terme wie Terme sind. die Differenz kann mit dem Distributivgesetz der Multiplikation vereinfacht werden.

Beispiel 1. Subtrahiere (3a) von (8a)

Um ein Polynom zu subtrahieren, das als bezeichnet wird Subtrahend, von einem anderen Polynom, genannt Minute, füge den Minuend zum additiven Inversen des Subtrahends hinzu und kombiniere ähnliche Terme.

Die additive Inverse eines Polynoms ist die additive Inverse jedes Termes im Polynom.

Subtraktion von Polynomen

Die additive Umkehrung von 5a - 6b + 8 ist -5a + 6b -8 Das heißt,

Beispiel Subtrahiere (3a - 5b) von (6a - 7b)

Lösung (6a - 7b) - (3a - 5b) = 6a - 7b - 3a + 5b

Sehen wir uns an, wie unser Polynomlöser dieses Problem Schritt für Schritt vereinfacht. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

Beispiel Subtrahiere (3a - 2b + 5) von (8a + 6b -2)

Lösung (8a + 6b -2) - (3a -2b +5) = 8a + 6b -2 -3a +2b -5

Wir können Polynome einfacher subtrahieren, indem wir sie in Zeilen schreiben. Schreiben Sie den Minuend in die erste Zeile und den Subtrahend in die zweite Zeile, sodass sich gleiche Terme in derselben Spalte befinden. Die additive Inverse eines Polynoms ist dasselbe Polynom mit geänderten Vorzeichen der Terme. Daher ändern wir die Vorzeichen jedes Termes im Subtrahend. Schreiben Sie die neuen Zeichen in Kreise über die ursprünglichen Zeichen und fügen Sie ähnliche Begriffe mit den neuen Zeichen hinzu.

Beispiel Von 7ab -2c +8 subtrahiere 8ab -5c +4

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

Sehen wir uns an, wie unser Polynomial Simplifier Schritt für Schritt Lösungen für dieses und ähnliche Probleme zeigt. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

Beispiel Subtrahiere 2x - 3y - 6 von 4x - 3y +10

Da 0 , y = 0 ist, muss dieser Term geschrieben werden.

Beispiel Subtrahiere 6ab + 2c -4 von 8ab -2b +3

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp


8.1: Polynomaddition und -subtraktion (und Kombinieren ähnlicher Terme)

Addieren und Subtrahieren von Polynomen

· Finden Sie das Gegenteil eines Polynoms.

Addieren und Subtrahieren Polynome mag kompliziert klingen, aber es unterscheidet sich wirklich nicht viel von der Addition und Subtraktion, die Sie jeden Tag machen. Das Wichtigste ist, zu suchen und zu kombinieren wie Begriffe.

Sie können zwei (oder mehr) Polynome hinzufügen, wenn Sie algebraische Ausdrücke hinzugefügt haben. Sie können die Klammern entfernen und ähnliche Begriffe kombinieren.

Hinzufügen. (3B + 5) + (2B + 4)

(3B + 5) + (2B + 4) = 5B + 9

Ein rechteckiger Garten hat eine Seite mit einer Länge von x + 7 und ein weiteres mit einer Länge von 2x + 3. Finden Sie den Umfang des Gartens.

(x + 7) + (2x + 3) + (x + 7) + (2x + 3)

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist die Summe seiner Seitenlängen.

(x + 2x + x + 2x) + (7 + 3 + 7 + 3)

Gruppieren Sie nach ähnlichen Termen mit kommutativen und assoziativen Eigenschaften.

Der Umfang beträgt 6x + 20.

Das Verfahren ist das gleiche, wenn Sie Polynome hinzufügen, die negative Koeffizienten oder eine Subtraktion enthalten:

Hinzufügen. (-5x 2 – 10x + 2) + (3x 2 + 7x - 4)

-5x 2 + (-10x) + 2 + 3x 2 + 7x + (-4)

Schreibe die Subtraktion als Addition des Gegenteils um.

(-5x 2 + 3x 2 ) + (-10x + 7x) + (2 – 4)

Umgruppieren mit kommutativen und assoziativen Eigenschaften.

(−5x 2 – 10x + 2) + (3x 2 + 7x - 4) = −2x 2 – 3x – 2

Die obigen Beispiele zeigen die horizontale Addition von Polynomen, indem von links nach rechts entlang derselben Linie gelesen wird. Manche Leute organisieren ihre Arbeit stattdessen gerne vertikal, weil sie es einfacher finden, sicher zu sein, dass sie wie Begriffe kombiniert werden. Das folgende Beispiel zeigt diese „vertikale“ Methode zum Hinzufügen von Polynomen:

Hinzufügen. (3x 2 + 2x - 7) + (7x 2 – 4x + 8)

Schreiben Sie ein Polynom unter das andere und achten Sie darauf, dass Sie sich wie die Terme aneinanderreihen.

Kombinieren Sie ähnliche Begriffe und achten Sie dabei genau auf die Zeichen.

(3x 2 + 2x - 7) + (7x 2 – 4x + 8) = 10x 2 – 2x + 1

Manchmal können Sie in vertikaler Anordnung jeden Begriff unter einem ähnlichen Begriff anordnen, wie im obigen Beispiel. Aber manchmal ist es nicht so aufgeräumt. Wenn es nicht für jeden Begriff einen passenden ähnlichen Begriff gibt, gibt es leere Stellen in der vertikalen Anordnung.

Hinzufügen. (4x 3 + 5x 2 – 6x + 2) + (−4x 2 + 10)

Schreiben Sie ein Polynom unter das andere und richten Sie es wie Terme vertikal aus.

Lassen Sie über oder unter jedem Begriff ohne übereinstimmenden Begriff ein Leerzeichen.

Kombinieren Sie ähnliche Begriffe und achten Sie dabei genau auf die Zeichen.

(4x 3 + 5x 2 – 6x + 2) + (−4x 2 + 10) = 4x 3 + x 2 – 6x + 12

(4ein 2 + 5ein + 7) + (8ein + 2)

A) 9ein 2 + 8ein + 9

C) 12ein 2 + 5ein + 9

D) 4ein 2 + 13ein + 9

A) 9ein 2 + 8ein + 9

Falsch. 4ein 2 und 5ein können nicht kombiniert werden, da sie nicht wie Begriffe sind. Gruppiere nach ähnlichen Begriffen, um 4 . zu erhaltenein 2 + (5ein + 8ein) + (7 + 2). Die richtige Antwort ist 4ein 2 + 13ein + 9.

Falsch. Sie müssen zuerst nach ähnlichen Termen gruppieren, bevor Sie Koeffizienten hinzufügen. Umgruppieren ergibt 4ein 2 + (5ein + 8ein) + (7 + 2). Die richtige Antwort ist 4ein 2 + 13ein + 9.

C) 12ein 2 + 5ein + 9

Falsch. 4 . kann man nicht kombinierenein 2 und 8ein weil sie keine Begriffe sind. Gruppiere nach ähnlichen Begriffen, um 4 . zu erhaltenein 2 + (5ein + 8ein) + (7 + 2). Die richtige Antwort ist 4ein 2 + 13ein + 9.

D) 4ein 2 + 13ein + 9

Richtig. Gruppiere nach ähnlichen Begriffen, um 4 . zu erhaltenein 2 + (5ein + 8ein) + (7 + 2), das ist 4ein 2 + 13ein + 9.

Das Gegenteil eines Polynoms finden

Wenn Sie Polynome subtrahieren, addieren Sie das Gegenteil, wie Sie es bei reellen Zahlen getan haben. Wie findet man das Gegenteil eines Polynoms? Denken Sie daran, dass das Gegenteil von 3 − 3 ist und das Gegenteil von − 3 3. Genauso wie das Gegenteil einer Zahl durch Multiplikation der Zahl mit − 1 gefunden wird, können wir das Gegenteil eines Polynoms finden, indem wir es mit − 1 multiplizieren .

Finde das Gegenteil von 9x 2 + 10x + 5.

( − 1)(9x 2 + 10x + 5)

Finden Sie das Gegenteil, indem Sie mit − 1 multiplizieren.

( − 1)9x 2 + ( − 1)10x + ( − 1)5

Verteile − 1 auf jeden Term im Polynom.

− 9x 2 + (-10x) + ( − 5)

Multiplizieren Sie jeden Koeffizienten mit − 1.

Das Gegenteil von 9x 2 + 10x + 5 ist -9x 2 – 10x – 5.

Schreiben Sie die Addition eines negativen Termes als Subtraktion um.

Seien Sie vorsichtig, wenn das Polynom bereits negative Werte oder Subtraktionen enthält.

Finde das Gegenteil von 3P 2 – 5P + 7.

Finden Sie das Gegenteil, indem Sie mit -1 multiplizieren.

Ändern Sie die Subtraktion, um das Gegenteil zu addieren.

(-1)3P 2 + (-1)(-5)P + (-1)7

Verteile -1 auf jeden Term im Polynom und multipliziere jeden Koeffizienten mit -1.

Schreiben Sie die Addition eines negativen Termes als Subtraktion um.

Das Gegenteil von 3P 2 – 5P + 7 ist -3P 2 + 5P – 7.

Beachten Sie, dass Sie beim Finden des Gegenteils eines Polynoms das Vorzeichen von . ändern jeder Term im Polynom.

Finden Sie das Gegenteil des Polynoms.

A) -8ein 3 – 3ein – 2

C) 8ein 3 + 3ein + 2

D) -8ein 3 + 3ein + 2

A) -8ein 3 – 3ein – 2

Falsch. Bei jedem Begriff muss das Vorzeichen geändert werden. Die richtige Antwort ist -8ein 3 + 3ein + 2.

Falsch. Bei jedem Begriff muss das Vorzeichen geändert werden. Die richtige Antwort ist -8ein 3 + 3ein + 2.

C) 8ein 3 + 3ein + 2

Falsch. Bei jedem Begriff muss das Vorzeichen geändert werden. Die richtige Antwort ist -8ein 3 + 3ein + 2.

D) -8ein 3 + 3ein + 2

Richtig. Bei jedem Begriff muss das Vorzeichen geändert werden, daher lautet die Antwort -8ein 3 + 3ein + 2.

Subtrahieren von Polynomen

So wie das Subtrahieren von reellen Zahlen dem Addieren des Gegenteils entspricht, können Sie Polynome subtrahieren, indem Sie das Gegenteil des zweiten Polynoms addieren. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Subtrahieren. (fünfzehnx 2 + 12x + 20) – (9x 2 + 10x + 5)

(15x 2 + 12x + 20) + (-9x 2 – 10x – 5)

Ändern Sie die Subtraktion, um das Gegenteil zu addieren. Vorsichtig sein das Vorzeichen ändern jeder Begriff!

(15x 2 + -9x 2 ) + (12x – 10x) + (20 – 5)

Neugruppieren, um ähnliche Begriffe zu finden.

(15x 2 + 12x + 20) – (9x 2 + 10x + 5) = 6x 2 + 2x + 15

Wenn Polynome viele Terme enthalten, kann man leicht den Überblick über die Vorzeichen verlieren. Achten Sie darauf, sie richtig zu übertragen, insbesondere wenn Sie einen negativen Term subtrahieren.

Subtrahieren. (14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10)

(14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) + (-7x 3 – 5x 2 + 8x – 10)

Schreiben Sie um, indem Sie das Gegenteil hinzufügen.

14x 3 + 3x 2 + (-5)x + 14 + (-7)x 3 + (-5)x 2 + 8x +(-10)

Möglicherweise möchten Sie alle Subtraktionen so umschreiben, dass das Gegenteil hinzugefügt wird.

14x 3 + (-7)x 3 + 3x 2 + (-5)x 2 + (-5)x + 8x + 14 + (-10)

Gruppieren Sie, um ähnliche Begriffe zusammenzufassen.

7x 3 + (-2)x 2 + 3x + 4

(14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10) = 7x 3 – 2x 2 + 3x + 4

Komplexe Probleme, wie das obige, können mit dem vertikalen Ansatz (siehe unten) leichter gelöst werden. Wie auch immer Sie Polynome kombinieren möchten, liegt ganz bei Ihnen – der entscheidende Punkt besteht darin, ähnliche Terme zu identifizieren und in der Lage zu sein, sie genau zu organisieren.

Subtrahieren. (14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10)


Addieren und Subtrahieren von Polynomen

In diesen Lektionen werden wir uns anschauen, wie man Polynome addiert und subtrahiert.

Das folgende Diagramm zeigt Beispiele für das Addieren und Subtrahieren von Polynomen. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Lösungen zum Addieren und Subtrahieren von Polynomen zu erhalten.

Hinzufügen von Polynomen

Das Hinzufügen von Polynomen beinhaltet das Kombinieren gleicher Terme.

Beispiel:
Addiere die Polynome 5x – 2 + y und –3y + 5x + 2

Lösung:
5x – 2 + j + (–3y + 5x + 2)
= 5x + 5x + y – 3y – 2 + 2
= 10x – 2y

Beispiel:
Finden Sie die Summe von –7x 3 y + 4x 2 y 2 – 2 und 4x 3 y + 1 – 8x 2 y 2

Lösung:
–7x 3 Jahre + 4x 2 Jahre 2 – 2 + 4x 3 Jahre + 1 – 8x 2 Jahre 2
= –7x 3 Jahre + 4x 3 Jahre + 4x 2 Jahre 2 – 8x 2 Jahre 2 – 2 + 1
= –3x 3 Jahre – 4x 2 Jahre 2 – 1

Subtrahieren von Polynomen

Um Polynome zu subtrahieren, denken Sie daran, das Zeichen – auf alle Terme in Klammern zu verteilen.

Beispiel:
Vereinfachen –4x + 7 – (5x – 3)

Lösung:
–4x + 7 – (5x – 3)
= –4x + 7 – 5x + 3
= –9x + 10

Beispiel:
Vereinfachen (5x 2 + 2) – (– 4x 2 + 7) + (– 3x 2 – 5)

Lösung:
(5x 2 + 2) – (– 4x 2 + 7) + (– 3x 2 – 5)
= 5x 2 + 2 + 4x 2 – 7 – 3x 2 – 5
= 5x 2 + 4x 2 – 3x 2 + 2 – 7 – 5
= 6x 2 – 10

Wie man Polynome addiert und subtrahiert?

  1. (4x 2 + 8x - 7) + (2x 2 - 5x - 12)
  2. (5 + 24 Jahre 3 - 7 Jahre 2 ) + (-6 Jahre 3 + 7 Jahre 2 + 5)
  3. (t 2 - t + 5) + (7t 2 - 4t - 20)

Um Subtraktion in Addition umzuwandeln, müssen wir das Gegenteil oder die additive Umkehrung addieren. 2. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe. 3. Schreiben Sie in absteigender Reihenfolge.

  1. (4x 2 + 8x - 7) - (2x 2 - 5x - 12)
  2. (6x 4 + 3x 3 - 1) - (4x 3 - 5x + 9)
  3. (1,5 Jahre 3 + 4,8 Jahre 2 + 12) - ( 3 Jahre - 1,7 Jahre 2 + 2 Jahre)

Beispiele für das Addieren und Subtrahieren von Polynomen

Addieren und Subtrahieren von Polynomen

Das Addieren von Polynomen und das Subtrahieren von Polynomen ist im Wesentlichen das Kombinieren ähnlicher Terme von Polynomausdrücken. Beim Addieren und Subtrahieren von Polynomen können diese entweder vertikal angeordnet oder nach Graden gruppiert werden. Vor dem Addieren und Subtrahieren von Polynomen ist die Kenntnis des Polynomvokabulars wichtig. Das Multiplizieren von Monomen und Binomen ist eine andere Art der Operation mit Polynomen.

  1. (4x 2 - 3x + 2) + (5x 2 + 2x - 7)
  2. (5x 3 + 7x 2 - x) + (8x 3 + 4x - 5)
  3. (8x 2 + 2x) - (10x 2 + 2x - 9)
  4. -(6x 3 - 4x) - (2x 3 + x 2 -2x)

Addieren und Subtrahieren von Polynomen

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10.4 Mit Klammern in algebraischen Ausdrücken arbeiten

Manchmal verwenden wir Klammern, um Begriffe in algebraischen Ausdrücken zu gruppieren.

Wenn wir das durch ersetzen, dann auf die gleiche Weise:

Wir können wiederholte Addition verwenden, um jede Multiplikation zu berechnen, also:

Wir müssen die Klammern entfernen, bevor wir die gleichen Begriffe sammeln und den Ausdruck vereinfachen können:

Start &phantom<000>2 mal (x + y) &= (x + y) + (x + y) &= x + y + x + y &= x + x + y + y &= 2x + 2y end

Ausgearbeitetes Beispiel 10.7: Entfernen von Klammern durch wiederholtes Hinzufügen

. Ersetzen Sie die durch . Entfernen Sie dann die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck.

Schritt 2: Verwenden Sie wiederholte Addition, um diese Multiplikation zu berechnen.

Start &phantom<000>4 imes (a + b) &= (a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b) end

Schritt 3: Entfernen Sie die Klammern.

Start &phantom<000>4 mal (a + b) &= (a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b) &= a + b + a + b + a + b + a + b end

Schritt 4: Sammeln Sie die gleichen Begriffe und vereinfachen Sie.

Übung 10.6: Klammern entfernen und vereinfachen

Entfernen Sie die Klammern durch wiederholtes Hinzufügen und vereinfachen Sie dann.

Minuszeichen vor Klammern

Bisher haben wir nur mit Klammern gearbeitet, die ein positives Vorzeichen haben. Wenn vor einer Klammer ein negatives Vorzeichen steht, wirkt sich dies auf alle Terme innerhalb der Klammer aus.

Wir können es wie folgt vereinfachen:

Wenn wir also eine Klammer mit einem negativen Vorzeichen entfernen, ändern wir die Vorzeichen aller Terme innerhalb der Klammer. Hier sind einige Beispiele:

Arbeitsbeispiel 10.8: Klammern mit negativen Vorzeichen entfernen

Entfernen Sie die Klammern und vereinfachen Sie dann den folgenden Ausdruck:

Schritt 1: Verwenden Sie wiederholte Addition, um die Multiplikation der Klammern zu berechnen.

Start &phantom<000>2(4m + n)-(5m+3n) &= (4m+n) + (4m+n) - (5m+3n) end

Schritt 2: Entfernen Sie die Klammern. Wenn vor einer Klammer ein negatives Vorzeichen steht, ändern Sie die Vorzeichen aller Terme innerhalb der Klammer.

Start &phantom<000>2(4m + n)-(5m+3n) &= (4m+n) + (4m+n) - (5m+3n) &=4m+n+4m+n -5m-3n ende

Schritt 3: Sammeln Sie die gleichen Begriffe und vereinfachen Sie.

Aufgabe 10.7: Klammern mit negativen Vorzeichen entfernen und vereinfachen

Entfernen Sie die Klammern und vereinfachen Sie dann.

Wenn wir die Vorzeichen der Terme in einer Klammer mit einem negativen Vorzeichen ändern, multiplizieren wir jeden Term mit 1. Sie werden nächstes Jahr mehr darüber erfahren.


Wie können wir Polynome hinzufügen?

Die Addition von Polynomen ist einfach. Beim Hinzufügen von Polynomen fügen wir einfach ähnliche Terme hinzu. Wir können Spalten verwenden, um die richtigen Terme in einer komplizierten Summe zusammenzubringen. Beachten Sie bei der Addition von Polynomen zwei Regeln.

  • Regel 1: Nehmen Sie bei der Addition immer gleiche Begriffe zusammen.
  • Regel 2: Die Vorzeichen aller Polynome bleiben gleich.

Addiere beispielsweise 2x 2 + 3x +2 und 3x 2 - 5x -1

  • Schritt 1: Anordnung des Polynoms in Standardform. In diesem Fall liegen sie bereits in ihren Standardformen vor.
  • Schritt 2: Ähnliche Terme in den obigen beiden Polynomen sind:
    2x 2 und 3x 2 3x und -5x 2 und -1.
  • Schritt 3: Berechnungen mit gleichen Vorzeichen:

Gleiche Terme sind Terme, deren Variablen zusammen mit ihren Exponenten gleich sind. Zum Beispiel sind 2x, 7x, -2x usw. alle wie Variablen.

Im Gegensatz zu den Bedingungen

Im Gegensatz zu Ausdrücken sind Ausdrücke, deren entweder Variablen, Exponenten oder beide Variablen und Exponenten nicht gleich sind. Zum Beispiel sind 2, 7x 2 , -2y 2 usw. alle ungleiche Variablen.


61 Addieren und Subtrahieren von Polynomen

  1. Vereinfachen:
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie (Abbildung).
  2. Subtrahieren:
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie (Abbildung).
  3. Auswerten: Wenn
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie (Abbildung).

Identifizieren Sie Polynome, Monome, Binomiale und Trinome

In Ausdrücken auswerten, vereinfachen und übersetzen haben Sie gelernt, dass ein Term eine Konstante oder das Produkt einer Konstanten und einer oder mehrerer Variablen ist. Wenn es von der Form ist wo ist eine Konstante und eine ganze Zahl ist, wird sie als Monom bezeichnet. Ein Monom oder eine Summe und/oder Differenz von Monomen wird als Polynom bezeichnet.

Polynom —Ein Monom oder zwei oder mehr Monome, kombiniert durch Addition oder Subtraktion

monomial —Ein Polynom mit genau einem Term

Binomial — Ein Polynom mit genau zwei Termen

Trinom —Ein Polynom mit genau drei Termen

Hier einige Beispiele für Polynome:

Polynom
Monom
Binomial
Trinomial

Beachten Sie, dass jedes Monom, Binomial und Trinom auch ein Polynom ist. Sie sind spezielle Mitglieder der Familie der Polynome und haben daher spezielle Namen. Wir verwenden die Wörter „monomial“, „binomial“ und „trinomial“, wenn wir uns auf diese speziellen Polynome beziehen, und nennen den Rest einfach „Polynome“.

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist:

Polynom Anzahl der Begriffe Typ
3 Trinomial
1 Monom
5 Polynom
2 Binomial
1 Monom

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist.

Bestimmen Sie, ob jedes Polynom ein Monom, Binomial, Trinom oder ein anderes Polynom ist.

Bestimmen Sie den Grad der Polynome

In diesem Abschnitt werden wir mit Polynomen arbeiten, die in jedem Term nur eine Variable haben. Der Grad eines Polynoms und der Grad seiner Terme werden durch die Exponenten der Variablen bestimmt.

Ein Monom, das keine Variable, sondern nur eine Konstante hat, ist ein Sonderfall. Der Grad einer Konstanten ist – es hat keine Variable.

Der Grad eines Termes ist der Exponent seiner Variablen.

Der Grad einer Konstanten ist

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad aller seiner Terme.

Sehen wir uns an, wie dies funktioniert, indem Sie sich mehrere Polynome ansehen. Wir gehen Schritt für Schritt vor, beginnend mit Monomen und gehen dann zu Polynomen mit mehr Termen über.

Denken Sie daran: Jede Basis, die ohne Exponenten geschrieben wird, hat einen implizierten Exponenten von

Bestimme den Grad der folgenden Polynome:

Der Exponent von ist ein. Der Abschluss ist 1.
Der höchste Grad aller Terme ist 3. Der Abschluss ist 3
Der Grad einer Konstanten ist 0. Der Grad ist 0.
Der höchste Grad aller Terme ist 2. Der Abschluss ist 2.
Der höchste Grad aller Terme ist 1. Der Abschluss ist 1.

Bestimme den Grad der folgenden Polynome:

Bestimme den Grad der folgenden Polynome:

Das Arbeiten mit Polynomen ist einfacher, wenn Sie die Begriffe in absteigender Gradreihenfolge auflisten. Wenn ein Polynom auf diese Weise geschrieben wird, spricht man von der Standardform. Betrachten Sie die Polynome in (Abbildung). Beachten Sie, dass sie alle in Standardform geschrieben sind. Gewöhnen Sie sich an, den Begriff mit dem höchsten Grad zuerst zu schreiben.

Monome addieren und subtrahieren

In der Sprache der Algebra haben Sie Ausdrücke vereinfacht, indem Sie ähnliche Begriffe kombiniert haben. Das Addieren und Subtrahieren von Monomen ist dasselbe wie das Kombinieren ähnlicher Terme. Gleiche Terme müssen dieselbe Variable mit demselben Exponenten haben. Denken Sie daran, dass beim Kombinieren ähnlicher Terme nur die Koeffizienten kombiniert werden, niemals die Exponenten.

Hinzufügen:

Kombiniere ähnliche Begriffe.

Hinzufügen:

Hinzufügen:

Subtrahieren:

Kombiniere ähnliche Begriffe.

Subtrahieren:

Subtrahieren:

Vereinfachen:

Kombiniere ähnliche Begriffe.

Merken, und sind nicht wie Begriffe. Die Variablen sind nicht gleich.

Hinzufügen:

Hinzufügen:

Addieren und Subtrahieren von Polynomen

Das Addieren und Subtrahieren von Polynomen kann man sich als einfaches Addieren und Subtrahieren ähnlicher Terme vorstellen. Suchen Sie nach ähnlichen Begriffen – solchen mit denselben Variablen mit demselben Exponenten. Die Kommutativeigenschaft ermöglicht es uns, die Begriffe neu anzuordnen, um ähnliche Begriffe zusammenzusetzen. Es kann auch hilfreich sein, ähnliche Begriffe zu unterstreichen, einzukreisen oder einzurahmen.

Finden Sie die Summe:

Identifizieren Sie ähnliche Begriffe.
Ordnen Sie die gleichen Begriffe neu an.
Kombiniere ähnliche Begriffe.

Finden Sie die Summe:

Finden Sie die Summe:

Klammern sind Gruppierungssymbole. Wenn wir wie in (Abbildung) Polynome hinzufügen, können wir den Ausdruck ohne Klammern umschreiben und dann ähnliche Terme kombinieren. Aber wenn wir Polynome subtrahieren, müssen wir sehr vorsichtig mit den Vorzeichen sein.

Finde den Unterschied:

Verteilen und identifizieren Sie ähnliche Begriffe.
Ordne die Begriffe neu.
Kombiniere ähnliche Begriffe.

Finde den Unterschied:

Finde den Unterschied:

Subtrahieren: aus

Verteilen und identifizieren Sie ähnliche Begriffe.
Ordne die Begriffe neu.
Kombiniere ähnliche Begriffe.

Subtrahieren: aus

Subtrahieren: aus

Bewerten Sie ein Polynom für einen gegebenen Wert

In der Sprache der Algebra haben wir Ausdrücke ausgewertet. Da Polynome Ausdrücke sind, befolgen wir die gleichen Verfahren zum Bewerten von Polynomen – ersetzen Sie den gegebenen Wert für die Variable in das Polynom und vereinfachen Sie dann.

Auswerten Wenn

3 für ersetzen
Vereinfachen Sie den Ausdruck mit dem Exponenten.
Multiplizieren.
Vereinfachen.
Ersetze −1 für
Vereinfachen Sie den Ausdruck mit dem Exponenten.
Multiplizieren.
Vereinfachen.

Auswerten: Wenn

Auswerten: Wenn

Das Polynom gibt die Höhe eines Objekts an Sekunden nach dem Fallenlassen von a Fuß hohe Brücke. Finden Sie die Höhe nach Sekunden.

3 für ersetzen
Vereinfachen Sie den Ausdruck mit dem Exponenten.
Multiplizieren.
Vereinfachen.

Das Polynom gibt die Höhe einer Kugel in Fuß an Sekunden nachdem es in die Luft geworfen wurde, aus einer Anfangshöhe von Fuß. Finden Sie die Höhe nach Sekunden.

Das Polynom gibt die Höhe eines Balls in Fuß an Sekunden nachdem es in die Luft geworfen wurde, aus einer Anfangshöhe von Fuß. Finden Sie die Höhe nach Sekunden.


Schau das Video: A Addition och subtraktion med huvudräkning (November 2021).