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1.7: Kombinatorische Zahlentheorie


Es gibt viele interessante Fragen, die zwischen Zahlentheorie und kombinatorischer Analysis liegen. in n Klassen unterteilt sind, dann enthält mindestens eine Klasse die Elemente (a), (b), (c) mit (a + b = c).

Bedenken Sie die Tatsache, dass, wenn wir die positiven ganzen Zahlen kleiner als (2^n) in (n)-Klassen aufteilen, indem wir 1 in Klasse 1, die nächste 2 in Klasse 2, die nächsten 4 in Klasse 3 usw. dann enthält keine Klasse die Summe von zwei ihrer Elemente. Alternativ könnten wir jede ganze Zahl m in der Form (2^k heta) schreiben, wobei ( heta) ungerade ist, und (m) in die (k)-te Klasse einordnen. Auch hier liegen die Zahlen kleiner als (2^n) in (n)-Klassen und wenn (m_1 = 2^k heta_1) und (m_2 = 2^k heta_2) in der Klasse (k) dann liegt (m_1 + m_2 = 2^k( heta_1 + heta_2)) in einer höher nummerierten Klasse. Die im Folgenden beschriebene kompliziertere Art der Verteilung von ganzen Zahlen ermöglicht es uns, 1, 2, ..., (dfrac{3^n−1}{2}) so in (n)-Klassen zu verteilen, dass keine Klasse hat eine Lösung von (a + b = c):

1 2 5
3 4 6
10 11 7
13 12 8
. .
. .

Andererseits besagt der Satz von Schur, dass wenn man die Zahlen 1, 2, 3, . , ([n! e]) in (n)-Klassen auf irgendeine Weise umwandeln, dann enthält mindestens eine Klasse eine Lösung von (a + b = c). Die Lücke zwischen den letzten beiden Aussagen offenbart ein interessantes ungelöstes Problem, nämlich kann man ([n! e]) in Schurs Ergebnis durch eine wesentlich kleinere Zahl ersetzen? Die ersten beiden Beispiele zeigen, dass wir sicherlich nicht bis (2n − 1) gehen können, und das letzte Beispiel zeigt, dass wir nicht bis zu (dfrac{3^n−1}{2}) gehen können. .

Wir geben nun eine Definition und machen einige Bemerkungen, um den Beweis des Satzes von Schur zu erleichtern.

Sei (T_0 = 1), (T_n = nT_{n−1} + 1). Das lässt sich leicht überprüfen

(T_n = n! (1 + dfrac{1}{1!} + dfrac{2}{2!} cdotcdotcdot + dfrac{1}{n!}) = [n!e ].)

Somit kann der Satz von Schur wie folgt umformuliert werden: Wenn 1, 2, ... , (T_n) in beliebiger Weise in (n)-Klassen unterteilt werden, enthält mindestens eine Klasse eine Lösung von (a + b = c). Wir beweisen dies, indem wir annehmen, dass die Zahlen 1, 2, ..., (T_n) auf n Wegen ohne Klasse klassifiziert wurden, die eine Lösung von (a + b = c) enthält und daraus einen Widerspruch erhalten. Beachten Sie, dass die Bedingung (a + b e c) bedeutet, dass keine Klasse die Differenz zweier ihrer Elemente enthalten kann.

Angenommen, eine Klasse, sagen wir (A), enthält Elemente (a_1 < a_2 < cdotcdotcdot). Unterschiede davon bilden wir wie folgt:

(b_1 = a_2 - a_1, b_2 = a_3 - a_1, b_3 = a_4 - a_1, ...)
(c_1 = b_2 - b_1, c_2 = b_3 - b_1, c_3 = b_4 - b_1, ...)
(d_1 = c_2 - c_1, d_2 = c_3 - c_1, d_3 = c_4 - c_1, ...)

usw. Wir bemerken, dass alle (b)s, (c)s, (d)s usw. Differenzen von (a)s sind und daher nicht in (A ).

Nun beginnen wir mit (T_n) Elementen. Wenigstens

(lfloor dfrac{T_n}{n} + 1 floor = T_{n - 1} + 1)

von diesen müssen in einer einzigen Klasse liegen, sagen wir (A_1). Wir bilden dann (T_{n - 1})(b)'s. Diese liegen nicht in (A_1) und liegen somit in den übrigen (n - 1)-Klassen. Wenigstens

(lfloor dfrac{T_{n - 1}}{n - 1} + 1 floor = T_{n - 1} + 1)

von ihnen müssen in einer einzigen Klasse liegen, sagen wir (A_2). Bilden Sie ihre (T_{n - 2})-Differenzen, die (c)'s. Diese ergeben (T_{n - 2})-Zahlen weder in (A_1) noch (A_2). Wenn man auf diese Weise fortfährt, erhält man (T_{n - 3}) Zahlen, die nicht in (A_1, A_2, A_3) enthalten sind. Auf diese Weise erhalten wir schließlich (T_0 = 1) Zahl, die nicht zu (A_1, A_2, ..., A_n) gehört. Aber alle gebildeten Zahlen gehören zu den Zahlen (1, 2, ..., T_n), also haben wir einen Widerspruch, der den Satz beweist.

Wir stellen ohne Beweis den Zusammenhang mit dem letzten Satz von Fermat fest. Ein natürlicher Ansatz für den Satz von Fermat wäre zu zeigen, dass (x^n + y^n = z^n) (mod (p)) modulo irgendein (p) unlösbar ist, vorausgesetzt (p ) dividiert (xcdot y cdot z). Mit dem Satz von Schur kann jedoch gezeigt werden, dass diese Methode versagen muss, und tatsächlich, wenn (p > n!e) dann (x^n +y^n = z^n) (mod (p)) hat eine Lösung mit (p) nicht einem Faktor von (xyz).

Etwas verwandt mit dem Satz von Schur ist ein berühmter Satz von Van der Waerden, den wir kurz untersuchen. In den frühen 1920er Jahren trat im Zusammenhang mit der Theorie der Verteilung quadratischer Residuen das folgende Problem auf. Stellen Sie sich vor, die Menge aller ganzen Zahlen sei auf irgendeine Weise in zwei Klassen unterteilt. Kann man behaupten, dass arithmetische Folgen beliebiger Länge gefunden werden können, ist mindestens eine dieser Klassen? Das Problem blieb trotz konzentrierter Bemühungen vieler herausragender Mathematiker mehrere Jahre lang ungelöst. Es wurde schließlich 1928 von Van der Waerden gelöst. Wie bei solchen Problemen nicht ungewöhnlich, bestand Van der Waerdens erster Schritt darin, das Problem allgemeiner und damit einfacher zu machen.

Van der Waerden hat folgendes bewiesen: Gegeben ganze Zahlen (k) und (ell), gibt es eine ganze Zahl (W = W(k, ell)), so dass wenn die Zahlen 1, 2, 3, ..., (W) beliebig in (k)-Klassen unterteilt werden, dann enthält mindestens eine Klasse l Terme in arithmetischer Folge. Den Beweis von Van der Waerden geben wir hier nicht. Sie ist extrem knifflig, schwer durchschaubar und führt nur zu einer phantastisch großen Schranke für W(k,l). Aus diesem Grund könnte der Leser das sehr lohnende ungelöste Problem betrachten, einen alternativen einfacheren Beweis dafür zu finden, dass (W(k, ell)) existiert und vernünftige Schranken dafür zu finden. Zur Funktion (W(k, ell)) werden wir etwas später noch etwas sagen.

Unser nächstes Problem der kombinatorischen Zahlentheorie beschäftigt sich mit „nicht mittelnden“ Folgen. Wir nennen eine Folge (A: a_1 < a_2 < a_3 < cdotcdotcdot) nicht-mittelend, wenn sie nicht den Mittelwert zweier ihrer Elemente enthält, also (a_i + a_j e 2a_k) ((i e j)). Sei A(n) die Anzahl der Elemente in (A), die (n) nicht überschreiten. Das Hauptproblem besteht darin, abzuschätzen, wie groß (A(n)) sein kann, wenn (A) keine Mittelwertbildung ist. Wir können eine Folge ohne Mittelwertbildung bilden, indem wir mit 1, 2, ... beginnen und dann immer die kleinste Zahl nehmen, die die Bedingung für nichtmittelwertbildende Mengen nicht verletzt. Auf diese Weise erhalten wir 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, 31, ... Es ist eine interessante Tatsache, dass diese Folge mit der berühmten ternären Menge von Cantor verwandt ist. Tatsächlich überlassen wir es als Übung zu beweisen, dass diese Folge erhalten werden kann, indem man 1 zu jeder ganzen Zahl addiert, deren Darstellung in der Basis 3 nur Nullen und Einsen enthält. Diese Folge ist in dem Sinne maximal, dass keine neue Zahl in die Folge eingefügt werden kann, ohne ihren nicht-mittelwertbildenden Charakter zu zerstören. Dies sowie andere Tatsachen führten Szekeres (um 1930) zu der Vermutung, dass diese Menge so dicht war wie jede nicht durchschnittliche Menge. Für diese Menge kann die Zählfunktion leicht zu ( hicksim n^{log 2 / log 3}) abgeschätzt werden. Es war daher eine beträchtliche Überraschung, als Salem und Spencer (1942) bewiesen, dass man eine nichtmittelungsbildende Menge von ganzen Zahlen (le n) haben kann, die mindestens (n^{1 - c/sqrt{loglog n}}) Elemente.

Gegeben eine Zahl (x), geschrieben zur Basis zehn, entscheiden wir aufgrund der folgenden Regeln, ob (x) in (R) liegt.

Zuerst schließen wir (x) in eine Reihe von Klammern ein, wobei die erste Ziffer (von rechts nach links gezählt) in die erste Klammer, die nächsten beiden in die zweite Klammer, die nächsten drei in die dritte Klammer usw. Wenn die letzte nichtleere Klammer (die Klammer ganz links, die nicht ausschließlich aus Nullen besteht) keine maximale Anzahl von Stellen hat, füllen wir sie mit Nullen. Zum Beispiel die Zahlen

(a = 32653200200), (b = 100026000150600), (c = 1000866600290500)

würde eingeklammert werden

(a = (00003)(2653)(200)(20)(0),)
(b = (10002)(6100)(150)(60)(0),)
(c = (10008)(6600)(290)(50)(0),)

beziehungsweise. Angenommen, die Klammer (r^{ ext{th}}) in (x) enthält Ziffern ungleich Null, aber alle weiteren Klammern links sind 0. Nennen Sie die Zahl, die durch die Ziffern in (i^ { ext{th}}) Klammer (x_i), (i = 1, 2, ..., r - 2). Bezeichnen Sie außerdem mit (ar{x}) die Zahl, die durch die Ziffer in den letzten beiden Klammern zusammengenommen dargestellt wird, jedoch ohne die letzte Ziffer. Damit (x) zu (R) gehört, benötigen wir

  1. die letzte Ziffer von (x) muss 1 sein.
  2. (x_i) muss mit 0 beginnen für (i = 1, 2, ..., r - 2,)
  3. (x_1^2 + cdotcdotcdot x_{r - 2}^2 = ar{x}.)

Beachten Sie insbesondere, dass a (2) erfüllt, aber (1) und (3) verletzt, so dass (a) nicht in (R) ist; aber (b) und (c) erfüllen alle drei Bedingungen und sind in (R). Um (3) zu überprüfen, gilt nicht, dass (60^2 + 150^2 = 26100).

Als nächstes beweisen wir, dass keine drei ganzen Zahlen in (R) in arithmetischer Folge sind. Beachten Sie zunächst, dass, wenn zwei Elemente von 9R) eine unterschiedliche Anzahl von nichtleeren Klammern haben, ihr Durchschnitt (1) nicht erfüllen kann. Wir brauchen also nur Mittelwerte von Elementen von (R) zu betrachten, die die gleiche Anzahl nichtleerer Klammern haben. Aus (1) und (3) folgt, dass die beiden Elemente von (R) Klammer für Klammer für die ersten (r − 2) Klammern und auch für die letzten beiden Klammern zusammen gemittelt werden können. Somit ist in unserem Beispiel

(dfrac{1}{2} (60 + 50) = 55, dfrac{1}{2} (150 + 290) = 220,)
(dfrac{1}{2} (100026100 + 100086600) = 100056350,)
(dfrac{1}{2} (b + c) = (10005)(6350)(220)(55)(0))

Dies verletzt (3) und ist daher nicht in (R). Im Allgemeinen werden wir beweisen, dass, wenn (x) und (y) in (R) liegen, (ar{z} = dfrac{1}{2} (x + y)) gegen violate (3) und ist daher nicht in (R).

Da (x) und (y) in (R) liegen,

(ar{z} = dfrac{ar{x} + ar{y}}{2} = sum_{i = 1}^{r - 2} dfrac{x_i^2 + y_i^2 }{2}.)

Andererseits impliziert (z) in (R)

(ar{z} = sum_{i = 1}^{r - 2} z_i^2 = sum_{i = 1}^{r - 2} dfrac{(x_i + y_i)^2}{ 2}.)

Wenn also (z) in (R) liegt, dann

(sum_{i = 1}^{r - 2} dfrac{x_i^2 + y_i^2}{2} = sum_{i = 1}^{r - 2} dfrac{(x_i + y_i )^2}{2}.)

Daher

(sum_{i = 1}^{r - 2} dfrac{(x_i - y_i)^2}{2} = 0,)

was impliziert (x_i = y_i) für (i = 1, 2, ..., r - 2). Zusammen mit (1) und (2) impliziert dies, dass (x) und (y) nicht verschieden sind.

Die Sequenz von Szekeres beginnt mit 1, 2, 4, 5, 10, 11, ... Unsere Sequenz beginnt mit

100000, 1000100100, 1000400200, ....

Trotzdem sind die Terme dieser Folge letztendlich viel kleiner als die entsprechenden Terme der Szekeres-Folge. Wir schätzen nun ab, wie viele ganze Zahlen in (R) genau (r)-Klammern enthalten. Bei gegebenen (r)-Klammern können wir die erste Ziffer in jeder der (r - 2)-Klammern zu 0 machen. Wir können die ersten (r - 2)-Klammern beliebig auffüllen. Dies ist möglich in

(10^{0 + 1+ 2 + cdotcdotcdot + (r - 2)} = 10^{dfrac{1}{2} (r - 1)(r - 2)})

Wege. Die letzten beiden Klammern können so ausgefüllt werden, dass (1) und (3) erfüllt sind.

Um dies zu sehen, müssen wir nur überprüfen, dass die letzten beiden Klammern nicht überfüllt werden und dass die letzte Ziffer, die wir gleich 1 setzen, nicht gestört wird. Dies folgt aus der Ungleichung

((10^1)^2 + (10^2)^2 + cdotcdotcdot + (10^{r - 2})^2 < 10^{2(r - 1)}.)

Für ein gegebenes (n) sei (r) die ganze Zahl, die durch

[10^{dfrac{1}{2}r(r + 1)} le n < 10^{dfrac{1}{2}(r + 1)(r + 2)}.]

Da alle ganzen Zahlen mit höchstens (r)-Klammern (n) nicht überschreiten und (r)-Klammern bis zur Spezifikation in (10^{dfrac{1}{2} ( r - 2)(r - 1)}) Wege haben wir

[R(n)ge 10^{dfrac{1}{2} (r - 2)(r - 1)}]

Aus der rechten Seite von (7.1) haben wir

(r + 2 > sqrt{2 log n})

so dass (7.2) impliziert, dass

(R(n)ge 10^{dfrac{1}{2} (r - 2)(r - 1)} > 10^{log n - csqrt{log n}} > 10^ {(log n)(1 - c/sqrt{log n})})

wobei sich alle Logs auf Basis 10 befinden.

Eine alte Vermutung war, dass (dfrac{A(n)}{n} o 0) für jede nichtmittelungsbildende Folge. Dies wurde erst vor kurzem (1954) von K. F. Roth bewiesen. Sein Beweis ist nicht elementar.

L. Moser hat eine ähnliche Technik verwendet, um untere Schranken für die Van-der-Waerden-Funktion (W(k, ell)) zu erhalten. Er bewies, dass (W(k, ell) > ell k^{log k}), dh er zeigte, wie man die Zahlen 1, 2, ..., ([ell k^ {log k}]) in (k)-Klassen so einteilen, dass keine Klasse 3 Terme in arithmetischer Folge enthält. Mit einer ganz anderen Methode haben Erdo(ddot{o})s und Rado gezeigt, dass (W(k, ell) > sqrt{2 ell k^{ell}}).

Erd(ddot{o})s hat die folgende Frage aufgeworfen: Wie viele ganze Zahlen (a_1 < a_2 < cdotcdotcdot < a_k le n) können maximal sein, so dass (2^k ) Summen verschiedener (a) sind alle verschieden? Die Potenzen von 2 zeigen, dass man (k + 1) (a) geben kann, die (2^k) nicht überschreiten, und man kann tatsächlich (k + 2) (a) 's unter (2^k) und erfüllt die erforderliche Bedingung. Andererseits sind alle beteiligten Summen kleiner als (kn), so dass

[2^k le kn,]

was impliziert

[k < dfrac{log n}{log 2} + (1 + o(1)) dfrac{log log n}{log 2}.]

Wir zeigen nun, wie Erd(ddot{o})s und Moser diese Schätzungen verbessert haben (Anmerkung des Herausgebers: Die aktuelle beste untere Schranke kann in I. Aliev, „Siegel's lemma and sum-distinct sets“, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), 59–66.) bis

[2^k < 4sqrt{k} n,]

was impliziert

[k < dfrac{log n}{log 2} + (1 + o(1)) dfrac{log log n}{2log 2}.]

Die Vermutung von Erd(ddot{o})s ist, dass

[k = dfrac{log n}{log 2} + o(1).]

Bezeichne die Summe der verschiedenen (a)'s durch (s_1, s_2, ..., s_{2^k}) und sei (A = a_1 + a_2 + cdotcdotcdot a_k) . Beachten Sie, dass die Durchschnittssumme (dfrac{A}{2}) ist, da wir jede Summe mit der Summe der komplementären Menge paaren können. Dies legt nahe, dass wir (sum_i (s_i - dfrac{A}{2})^2) schätzen.

Wir haben

(sum_i (s_i - dfrac{A}{2})^2 = sum dfrac{1}{2}(pm a_1 pm a_2 pm cdotcdotcdot pm a_k)^2 ,)

wobei die letzte Summe über die (2^k) möglichen Vorzeichenverteilungen läuft. Beim Quadrieren finden wir, dass alle Kreuzterme paarweise vorkommen, während jeder (a_i^2) (2^k)-mal vorkommt. Daher

(sum_i (s_i - dfrac{A}{2})^2 = 2^k sum a_i^2 < 2^{k - 2} n^2 k.)

Also die Anzahl der Summen (s_i), für die

(|s_i - dfrac{A}{2}|ge n sqrt{k})

darf (2^{k - 1}) nicht überschreiten. Da alle Summen verschieden sind, haben wir (2^{k - 1}) verschiedene Zahlen im Längenbereich (2n sqrt{k}). Dies ergibt (2^{k - 1} le 2n sqrt{k}) wie gefordert.

Sei (a_1 < a_2 < ...) eine unendliche Folge von ganzen Zahlen und definiere (f(n)) als die Anzahl der Lösungen von (n = a_i + a_j), wobei alle Lösungen einmal zählen. G. A. Dirac und D. J. Newman lieferten den folgenden interessanten Beweis dafür, dass (f(n)) ab einem bestimmten Stadium nicht konstant sein kann. Wenn (f(ell + 1) = f(ell + 2) = cdotcdotcdot) wäre

(dfrac{1}{2} (sum a^{a_k})^2 + sum z^{2a_k} = sum f(n) z^n)
(= P_{ell} (z) + adfrac{z^{ell + 1}}{1 - z}, (f(ell + 1) = a),)

wobei (P(z)) ein Polynom vom Grad (le ell) ist. Wenn (z o -1) auf der reellen Achse bleibt die rechte Seite beschränkt, aber die linke Seite geht gegen Unendlich, da beide Terme auf der linken Seite positiv sind und der zweite gegen Unendlich strebt. Dieser Widerspruch beweist den Satz.

Turan und und Erd(ddot{o})s vermuteten, dass wenn (f(n) > 0) für alle hinreichend großen (n) gilt, dann lim sup (f(n) = infty) aber das scheint sehr schwer zu beweisen. Eine noch stärkere Vermutung wäre, dass wenn (a_k > ck^2) dann lim sup (f(n) = infty) ist. Das bekannteste Ergebnis in dieser Richtung ist nur lim sup (f(n) ge 2).

Das haben Fuchs und Erdös kürzlich bewiesen

(sum_{k = 1}^{n} f(k) = cn + o(dfrac{n^{dfrac{1}{4}}{log n}))

ist unmöglich. Wenn (a_k = k^2) ist, kommt man auf das Problem der Gitterpunkte in einem Kreis mit dem Radius (n). Hier haben sich Hardy und Landau bewiesen

(sum_{k = 1}^n f(k) = pi n + o(n log n))

hält nicht. Obwohl nicht ganz so stark, ist das Ergebnis von Erd(ddot{o})s und Fuchs auf eine viel allgemeinere Situation anwendbar und viel einfacher (aber nicht sehr leicht) zu beweisen.

Sei (a_1 < a_2 < cdotcdotcdot) eine unendliche Folge von ganzen Zahlen. Erd(ddot{o})s vermutete, und G. Lorentz bewies, dass es eine Folge ({b_i}) der Dichte Null gibt, so dass jede ganze Zahl die Form (a_i + b_j) hat.

Ein interessantes ungelöstes Problem in dieser Richtung besteht darin, eine Folge (B) zu finden: (b_1 < b_2 < cdotcdotcdot) mit Zählfunktion (B(n) < dfrac{cn}{log n}), so dass jede ganze Zahl die Form (2^k + b_j) hat.

Seien (a_1 < a_2 < cdotcdotcdot < a_{2n}) (2n) ganze Zahlen im Intervall ([1,4n]) und (b_1 < b_2 < cdotcdot cdot < b_{2n}) die restlichen Zahlen im Intervall. Erd(ddot{o})s vermutete, dass es eine ganze Zahl (x) gibt, so dass die Anzahl der Lösungen von (a_i + x = b_j) mindestens (n) beträgt. Es ist recht einfach zu zeigen, dass es ein (x) gibt, so dass die Anzahl der Lösungen von (a_i + x = b_j) mindestens (dfrac{n}{2}) beträgt. Wir stellen lediglich fest, dass die Anzahl der Lösungen von (a_i + y = b_j) (4n^2) ist und dass es 8n mögliche Auswahlmöglichkeiten von (y) gibt, dh (−4n le y le 4n), (y e 0). Für einige (y_0) gibt es also mindestens (dfrac{n}{2}) (b)’s in (a_i + y_0) wie angegeben.

P. Scherk verbesserte die (dfrac{n}{2}) zu (n(2 - sqrt{2}) = .586n). Durch eine ganz andere Methode verbesserte L. Moser dies weiter auf (.712n). Auf der anderen Seite haben Selfridge, Ralston und Motzkin S.W.A.C. um die ursprüngliche Vermutung zu widerlegen und Beispiele gefunden zu haben, in denen keine Zahl mehr als (0,8n) mal als Differenz zwischen an (a) und (a) (b) darstellbar ist.

Eine weitere Reihe interessanter Probleme der kombinatorischen Zahlentheorie dreht sich um das von A. Scholz eingeführte Konzept der Additionskette. Eine Additionskette für (n) ist eine Menge von ganzen Zahlen (1 = a_0 < a_1 < cdotcdotcdot < a_r = n) so dass jedes Element (a_p) als Summe geschrieben werden kann (a_{sigma} + a_{ au}) der vorhergehenden Elemente der Kette. Zum Beispiel für (n = 666)

1, 2, 4, 8, 16, 24, 40, 80, 160, 320, 640, 664, 666

bilde eine Kette mit (r = 12); das gleiche gilt für

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 324, 648, 666.

Auf jeden Fall müssen wir (a_1 = 2) und (a_2 = 3) oder 4 haben. Unter der Länge (ell = ell(n)) versteht Scholtz das kleinste (ell) für die es eine Additionskette (a_0, a_1, ..., a_{ell} = n) gibt.

Scholtz erklärte folgendes:

(m + 1 le ell(n) le 2m) für (2^m + 1 le n le 2^{m + 1}) ((m ge 1));
(ell(ab) le ell(a) + ell(b);)
(ell (2^{m + 1} - 1) le m + ell (m + 1).)

Die ersten beiden davon sind leicht zu beweisen. Das dritte würden wir als falsch vermuten. Scholtz vermutete, dass ersteres verbessert werden könnte und stellte die Frage, ob

(1 le ext{lim sup}_{n o infty} dfrac{ell(n)}{log_2 n} le 2)

könnte verbessert werden.

Im Folgenden beweisen wir (1) und skizzieren einen Beweis aufgrund von A. Brauer, dass

(ell(n) hicksim log_2 n.)

Angenommen, ganze Zahlen werden zur Basis 2 geschrieben und wir suchen eine Additionskette für sagen wir 10110110. Wir könnten die Kette bilden

1, 10, 100, 101, 1010, 1011, 10110, 101100, 101101, 1011010,
1011011, 10110110, 101101100, 101101101.

Dabei „kostet“ jede Ziffer höchstens zwei Elemente in der Kette, so dass (ell < 2 log_2 n). Da die linke Seite der Ungleichung von (1) trivial ist, liefert die oben vorgeschlagene Methode einen Beweis von (1).

Brauers Idee ist es, zunächst einen großen Zahlenvorrat aufzubauen und bei Gelegenheit zu nutzen. Angenommen, (n) ist ungefähr (2^m). Wir beginnen mit der Kette 1, 2, ..., (2^r), wobei (r) später bestimmt wird. Wir können nun die Ziffern von (n) in (m/r)-Blöcke mit (r)-Ziffern in jedem Block aufteilen. Nehmen wir zum Beispiel an,

(n = (101)(110)(010)(101)(111))

Hier (m = 15), (r = 3).

Ausgehend von unserem Bestand an allen 3-stelligen Zahlen können wir wie folgt vorgehen:

1, 10, 100, (underline{101}), 1010, 10100, 101000, (underline{101110}),
1011100, 10111000, 101110000, (underline{101110010}), ...

wobei wir zwischen den unterstrichenen Stufen verdoppeln und an den unterstrichenen Stufen die entsprechende Zahl aus unserem Vorrat hinzufügen, um (n) aufzubauen. In diesem Fall benötigen wir (2^3 + 2^{15} + 5) Schritte. Im Allgemeinen würde die Anzahl der Schritte für eine Zahl unter (2^m) ungefähr (2^r + m + dfrac{m}{c}) betragen. Durch geeignete Wahl von (r) könnten wir (2^r + dfrac{m}{r}) im Vergleich zu (m) beliebig klein machen. Tatsächlich bewies Brauer mit dieser Idee im Allgemeinen

(ell(n) < log_2 n {1 + dfrac{1}{loglog n} + dfrac{2 log 2}{(log n)^{1 - log 2}} }.)


Carl Pomerance

Die Funktion der Summe der richtigen Teiler, BC&ndashMIT Zahlentheorie-Seminar, 15. September 2015.

Die erste Funktion, Cal State Chico Kolloquium, 5. Februar 2016.

Die erste Funktion, Dartmouth-Kolloquium, 26. Mai 2016.

The CRM Aisenstadt Chair Lectures, 8.&ndash12. Dezember 2014, Montréacuteal.
Die Reichweiten einiger bekannter Funktionen, 8. Dezember 2014.
Die erste Funktion, 11. Dezember 2014.
Einvernehmliche Nummern, 12. Dezember 2014

Briefe des Meisters: meine Korrespondenz mit Paul Erdős,
Vortrag bei History of Mathematics Special Interest Group der Mathematical Association of America,
Gemeinsame Mathematiktreffen, San Antonio, TX, 10. Januar 2015.
Hier sind einige Musterbriefe, die gegen Ende des Gesprächs besprochen werden.

Zufallszahlentheorie,
Vortrag bei Random Roads: Eine Feier zum 70. Geburtstag von Joel Spencer, NYU, 30. April 2016.

Das erste dynamische System (mit einem kurzen Feature),
Sommerschule über fraktale Geometrie und komplexe Dimensionen, Cal Poly San Luis Obispo, 27. Juni 2016.

Warum die ABC-Vermutung, Kummer-Klassen und anabelsche Geometrie, U. Vermont, 10.-11. September 2016.

Euklidische Primzahlgeneratoren, Dartmouth Number Theory Seminar, 4. Oktober 2016 und Integers Conference, U. West Georgia, 6. Oktober 2016.
Euklidische Primzahlgeneratoren, West Coast Number Theory Conference, Pacific Grove, CA, Dezember 2016.

Was wir über Addition und Multiplikation noch nicht wissen, Undergraduate Lecture Series, Michigan State U., 11. Oktober 2016.

Primalitätsprüfung: damals und heute,
Feiern 75 Jahre Mathematik der Computer, ICERM, 1. und 3. November 2018, Providence.

Was wir über Addition und Multiplikation noch nicht wissen,
Trjitzinsky Lecture 1, U. Illinois Urbana-Champaign, 27. November 2018.
Zufallszahlentheorie,
Trjitzinsky Lecture 2, U. Illinois Urbana-Champaign, 28. November 2018.
Primalitätsprüfung: damals und heute,
Trjitzinsky Vortrag 3, U. Illinois Urbana-Champaign, 29. November 2018.

Glasbys zyklotomische Ordnungsvermutungby,
West Coast Number Theory Conference, Asilomar, 16. und 20. Dezember 2019.

Die erste Funktion,
Bay Area Mathematical Adventures, Santa Clara U., 31. Januar 2020.

Ist 73 die beste Zahl?,
MAA Golden Section Meeting, Mills College, 29. Februar 2020.

Symmetrische Primzahlen,
CANT, New York City (via Zoom), 3. Juni 2020.

Praktische Zahlen,
Webseminar zur Zahlentheorie (via Zoom), 13. August 2020.

Aliquotsequenzen,
Unsolved Problems Conference: Das lebendige Erbe der Mathematik von Richard Guy feiernd,
University of Calgary (via Zoom), 2. Oktober 2020.

Nenner von Bernoulli-Zahlen,
Dartmouth Number Theory Seminar (via Zoom), 25. Mai 2021.


Offene Probleme - Graphentheorie und Kombinatorik

Die meisten Seiten in diesem Verzeichnis wurden bisher noch nicht erstellt. Dies ist meist eine Liste einiger bekannter Probleme, für die später detailliertere Seiten geschrieben werden. Seine Zugänglichkeit in diesem frühen Stadium ist ein Plädoyer für beigesteuertes Material, um seine Entwicklung zu beschleunigen. Die Themengliederung folgt grob den vier Bänden von Die Kunst der Kombinatorik in Entwicklung von D.B. Westen. Daher sind die vier Hauptüberschriften Extremale Graphentheorie, Struktur von Graphen, Ordnung und Optimierung sowie Anordnungen und Methoden.
Alternativ finden Sie unten eine direkte Suche mit freundlicher Genehmigung von Google. Der bereitgestellte Code funktioniert nicht mehr wie er sollte, wurde jedoch geändert, um in der Domäne www.math.uiuc.edu zu suchen. Daher gibt es normalerweise einige Seiten zurück, die Sie nicht interessieren, aber es findet auch Problemseiten unter dieser, die Ihren Suchbegriff enthalten.

Hinweis: Hier ist eine Diskussion der Notation für die Anzahl der Knoten und die Anzahl der Kanten eines Graphen g.


  • Kapitel 1. Kompositionen und Partitionen
  • Kapitel 2. Arithmetische Funktionen
  • Kapitel 3. Verteilung von Primzahlen
  • Kapitel 4. Irrationale Zahlen
  • Kapitel 5. Kongruenzen
  • Kapitel 6. Diophantine Gleichungen
  • Kapitel 7. Kombinatorische Zahlentheorie
  • Kapitel 8. Geometrie der Zahlen

Dieses Buch, das nur die Vertrautheit mit den elementarsten Konzepten der Arithmetik (Teilbarkeitseigenschaften, größter gemeinsamer Teiler usw.) voraussetzt, ist eine erweiterte Version einer Vorlesungsreihe für Doktoranden zur elementaren Zahlentheorie. Themen sind: Kompositionen und Partitionen Arithmetische Funktionen Primzahlenverteilung Irrationale Zahlen Kongruenzen Diophantine Gleichungen Kombinatorische Zahlentheorie und Geometrie der Zahlen. Drei Aufgabenabschnitte (die sowohl Übungen als auch ungelöste Probleme beinhalten) vervollständigen den Text.


Das große Missverständnis über die Lotterie

Alle Kombinationen in der Lotterie haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, da es nur eine Möglichkeit gibt, den Jackpot zu gewinnen.

Bedeutet das also, dass 5-10-15-20-25-30 gleich wahrscheinlich ist? Nun ja. Das liegt daran, theoretisch:

P(5-10-15-20-25-30) = Eine Möglichkeit, den Jackpot zu gewinnen / Alle möglichen Kombinationen

Die gleichen Berechnungen gelten für 1-2-3-4-5-6 oder 2-4-6-8-10-12. Es gilt für alle Kombinationen.

Folglich glauben viele Menschen und Experten gleichermaßen, dass die Lotterie keine Voreingenommenheit hat.

Dieser Glaube muss korrigiert werden.

Fragen Sie sich, sind Sie bereit, Ihr Geld auf das 5-10-15-20-25-30- oder das 37-38-39-40-41-42-Ticket zu setzen?

Aber hier ist die Sache, wenn Sie fest aufstehen und sagen, dass diese Kombinationen genauso wahrscheinlich sind wie alle anderen Kombinationen in der Lotterie, warum sich dann Sorgen machen?

Liegt es daran, dass das Bauchgefühl viel stärker ist als die Logik? 14

Vertraust du deinem “gut” oder deiner “logic?”

Entweder vertraust du deiner Berechnung nicht oder dein Wahrscheinlichkeitsverständnis basiert auf einem schwachen Fundament.

Sie sehen, eine Strategie, die auf einem „Bauchgefühl“ basiert, sollte der mathematischen Argumentation nicht überlegen sein.

Die Realität, diese geraden sequentiellen Kombinationen, geraden Vielfachen und alle Kombinationen mit ziemlich beobachtbaren Mustern, alle diese Kombinationen werden als “ betrachtetungewöhnlich,”Zufälle,” und “Selten” Ereignisse.

In der Mathematik sind all diese scheinbar „seltsamen und“ überraschend” Ereignisse müssen stattfinden, weil eine zufällige Lotterie dem Diktat der Gesetz der wirklich großen Zahlen. 15 , 16

Während also die Kombination 1-2-3-4-5-6 möglich ist, müssen Sie verstehen, dass Ihre Fähigkeit, den Jackpot zu gewinnen, eingeschränkt ist, da Sie eine wirklich große Anzahl von Gelegenheiten benötigen, um Ihren Traum zu verwirklichen. In der Lotterie bedeutet dies, dass Sie Millionen von Ziehungen benötigen, um diese unwahrscheinliche Kombination zu treffen.

Und genau so liegt man falsch, wenn man Lotto spielt.

Natürlich kann Ihr Bauchgefühl Sie retten, aber es ist auch das gleiche Bauchgefühl, das Sie am Gewinnen hindert. Das liegt daran, dass Sie nur die Spitze des Eisbergs sehen.

Die Wahrheit ist, dass es in Ihrem Spiel Millionen der schlechtesten Kombinationen gibt, und Sie haben wahrscheinlich Ihr Geld in einer davon verschwendet.

Wie gesagt, es ist am besten zu wissen, warum Dinge passieren und warum Dinge nicht passieren.

Lassen Sie mich nun dieses “Bauchgefühl”-Ding in mathematischen Begriffen erklären, während Sie weiter unten fortfahren.

Kombinationen werden nicht gleich erstellt

Sie müssen verstehen, dass eine Kombination eine Zusammensetzung von Zahlen ist.

Der beste Weg, um Komposition zu erklären, ist durch kombinatorische Muster.

Mit der Wahrscheinlichkeitstheorie können wir die beste Gruppe von den schlechtesten trennen.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für kombinatorische Muster in einem Lotto 6/49-System.

Eine Kombination, die aus allen geraden Zahlen besteht, kann nur einmal in 100 Ziehungen vorkommen, während eine ausgewogene ungerade und gerade Kombination 33 Mal in 100 Ziehungen vorkommen kann.

Wenn wir wissen wollen, wie diese beiden Gruppen bei 1000 Ziehungen auftreten, müssen wir nur die Zahl mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren.

Wie Sie sehen, treten 3-ungerade-3-gerade-Kombinationen häufiger auf als eine 6-gerade-Kombination.

Wie verstehen wir nun den Unterschied zwischen den beiden Kombinationen?

Es ist einfach. Abweichung existiert. In der Statistik ist eine Varianz ein Maß dafür, wie weit die möglichen Ergebnisse einer Entscheidung gestreut sind. 17

Ok, das Konzept der Varianz mag zu technisch klingen, daher ist es nicht einfach.

Lassen Sie mich Ihnen eine bessere Erklärung anbieten.

Der Schlüssel ist zu verstehen, dass Quoten und Wahrscheinlichkeit zwei verschiedene Begriffe mit zwei verschiedenen Gleichungen sind. 18 , 19

Die Wahrscheinlichkeit ist das Maß der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, während sich die Quoten auf das Verhältnis von Erfolg zu Misserfolg beziehen.

Einfach ausgedrückt haben wir keine Kontrolle über die Gewinnwahrscheinlichkeit. Aber wir haben die Macht, bessere Quoten zu wählen.

Es gibt 4.655.200 Möglichkeiten, 3-ungerade-3-gerade Kombinationen zu kombinieren. 333 von 1000 Ziehungen bringen Ihnen also einen Vorteil von 1 bis 4,6 Millionen anstelle von 1 bis 14 Millionen.

Das bedeutet, dass pro 100 Versuche, die Sie im Lotto spielen, ungefähr 33 dieser Versuche Gelegenheiten sind, die Gewinnkombination zu erreichen.

Im Vergleich dazu erhalten Sie bei 6-gerade-Kombinationen eine Quote von 1 zu 134.596, aber beachten Sie, dass dieser Vorteil bei 1000 Ziehungen nur neunmal auftreten wird.

Das heißt, wenn Sie 2-4-6-8-10-12 spielen, dann erwarten Sie, dass Ihre Chance, den Jackpot zu gewinnen, nur alle 100 Mal kommt, wenn Sie spielen.

Als Lottospieler glaube ich nicht, dass Sie bereit sind, Geld auszugeben und dann sehen, wie Ihr Geld für die meisten Ziehungen den Bach runter geht. Sie möchten sicherlich mehr Wert auf Ihr Geld legen, indem Sie sich für eine Kombination entscheiden, die ein besseres Verhältnis von Erfolg zu Misserfolg bietet.

6-gerade-Kombination3-ungerade-3-gerade-Kombination
134.596 Wege zu gewinnen4.655.200 Gewinnmöglichkeiten
13.849.220 Wege zum Scheitern9.328.616 Wege zum Scheitern
1 Gewinnchance bei 104 Versuchen33 Gewinnchancen bei 100 Versuchen
NIEDRIGE ERFOLGSQUOTE HOHE ERFOLGSQUOTE
Keine kluge Wahl Eine intelligente Wahl

Wie Sie sehen, geht es bei einer mathematischen Strategie darum, ein besseres Verhältnis von Erfolg zu Misserfolg zu wählen. Sie benötigen Mathematik, um alle möglichen Optionen zu kennen, um die richtige Wahl zu treffen.

Merken

Ihr Ziel ist es, im Lotto zu gewinnen, und das erste, was Sie wissen sollten, bevor Sie spielen, ist, das Verhältnis von Erfolg zu Misserfolg zu kennen und den besten auszuwählen. Sie können die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit nicht ändern und Sie können die Gewinnchancen der Lotterie nicht schlagen, aber als Lottospieler haben Sie die Macht, die richtige Wahl zu treffen und zu wissen. Selbst die Entscheidung, nicht zu spielen, ist eine Strategie für sich.

Einfach ausgedrückt führen falsche Kombinationen zu Geldverschwendung.

Die richtige Wahl der Kombination führt zu einem guten Schuss im Lotto.

Dank kombinatorischer Mathematik und Wahrscheinlichkeitstheorie, denn wir wissen, ob Sie auf dem richtigen Weg sind oder nicht.

Lassen Sie mich Ihnen eine andere Möglichkeit geben, es zu erklären.

Deshalb werden Kombinationen nicht gleich erstellt

Lassen Sie mich dies anhand der Verwendung von zwei einfachen Murmeln in einem Glas erklären. Die gelben und roten Farbmurmeln repräsentieren die Kombinationsarten in der Lotterie.

Wie Sie sehen, waren die gelben Murmeln den fünf roten Murmeln zahlenmäßig überlegen. Die Wahrscheinlichkeit erklärt, dass Sie, wenn Sie mit geschlossenen Augen zufällig eine Murmel aus einem Glas nehmen, eher eine gelbe erhalten.

Ihre zweite und dritte Auswahl werden wahrscheinlich wieder gelbe Murmeln sein, da die Wahrscheinlichkeit tendiert, dass die gelben Murmeln häufiger ausgewählt werden als die roten.

P(gelb) = 95/100 oder 0,95

P(rot) = 5/100 oder 0,05

Angenommen, wir setzen die Anzahl der Murmeln in jedem Versuch zurück, werden die gelben Murmeln 95 Mal alle 100 Ziehungen ausgewählt. Dann werden die roten Murmeln nur fünfmal in je 100 Ziehungen gezogen.

Erwartete Häufigkeit (gelbe Kugel) = 100 x 0,95 = 95 Mal

Erwartete Häufigkeit (rote Kugel) = 100 x 0,05 = 5 mal

Wenn Sie also Ihr Geld auf die rote Kugel setzen, dann liegen Sie bei den meisten Ziehungen zu 95 % falsch.

Das gleiche Wahrscheinlichkeitsprinzip gilt in einem Zufallsspiel wie der Lotterie. We use mathematics to help us make the right decision for the majority of the time.

Here’s something for you to remember:

It’s the ratio of success to failure that matters, not the probability per se. You cannot control the underlying probability, but you have the power to choose better odds. The role of mathematics is to help you identify the things you don’t have control over to focus on the things you can do easily.

Let me give you solid evidence that, indeed, your choice of combination matters.

Odd/Even combinations

Let’s group 49 numbers in two sets.

We have 25 odd numbers and 24 even numbers. The two sets represent the 49 balls of a Lotto 6/49 game.

Out of these two sets, we can produce the following types of combinations:

Each odd/even pattern holds a certain number of possible combinations. Their total represents all the possible combinations in a lotto 6/49 game, which is 13,983,816. And the sum of all their probabilities should equal 1.

From the table above, we see that the best group in a lotto 6/49 game is the 3-odd-3-even. This group will give you 33 ways to win the jackpot in 100 draws.

And accordingly, those combinations which consist of either all-even or all-odd numbers will only give you one opportunity to match the jackpot combination every 100 draws.Hence, these two groups are the worst.

Noticeably, some groups are neither best nor worst. These combinations are considered the middle ones.

Remember

Choosing a 3-odd-3-even combination instead of 6-even (e.g., 2-4-6-8-10-12) WILL NOT increase your chances of winning because all combinations have the same probability. You should not choose 2-4-6-8-10-12 because the 0-odd-6-even pattern has fewer ways to win and have more ways to fail. It would be best to choose 3-odd-3-even because it gives you the best ratio of success to failure.

The following tables below should guide all lotto 6/49 players on what combinations to play in a lottery draw.

Recommended Combinations

Middle Type Combinations

Combinations to Avoid

Actual ODD-EVEN Pattern Frequency Versus Theoretical Calculation

I have shown that combinations are not created equally. Now, let’s prove it by comparing our calculation with the actual lottery results.

As I said, we use probability to measure how likely a group will occur in a given number of draws. So by multiplying the probability value by a certain number of draws, we get the expected frequency.

Expected frequency = Probability X number of draws

And to prove that our theoretical calculation is correct, the expected frequency should closely match the actual frequency.

Now, let’s see how our theoretical calculations fare with the real-world scenario below:

Australian Saturday Lotto
734 draws from January 7, 2006, to February 1, 2020

Can you notice the close match between expected frequency and actual frequency?

Take note that probability is simply a guide. Don’t expect that values will perfectly match. Sometimes they do.

And as you see, the above table proves that combinatorial groups don’t have equal probability.

Of course, a probability analysis applies to the Australian lottery and all lottery systems. Let’s move on to other lottery systems to prove our point further.

U.S Powerball
449 draws from October 7, 2015, to February 5, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Powerball must start on October 7, 2015, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/69 format.

If you notice, both theoretical probability and the actual lottery results agree that combinatorial groups have different probabilities. And we can prove it again and again.

The succeeding tables below should speak for themselves.

Euro Millions
1,276 draws from April 16, 2004, to February 4, 2020

Euro Jackpot
410 draws from March 23, 2012, to January 31, 2020

Irish Lotto
461 draws from September 5, 2015, to February 5, 2020

U.S. Mega Millions
237 total draws From October 31, 2017, to February 4, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Mega Millions must start on October 31, 2017, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/70 format.

UK Lottery
449 draws from October 10, 2015 to February 5, 2020

Low/High Combinations

Aside from odd and even, numbers can be grouped into low and high. Let’s group 49 numbers into two sets:

Out of these two sets, our probability analysis shows that winning numbers tend to be evenly distributed in the entire number field as the majority of the winning combinations consist of 3 numbers from the lower set and three numbers from the higher set.

Similarly, players are encouraged to stay away from a group that consists of purely low numbers or purely high numbers.

Remember

Choosing a 3-low-3-high combination instead of a 6-low combination (e.g., 1-2-3-4-5-6) WILL NOT increase your chances of winning because all combinations are equally likely. You should avoid 1-2-3-4-5-6 because a 6-low-0-high pattern has fewer ways to win and more ways to fail. I recommend choosing 3-low-3-high because it offers the best ratio of success to failure.

Below are the tables showing all the groups we can produce from the two sets of numbers.

Recommended Combinations

Middle Patterns

Worst Patterns

Actual LOW-HIGH Pattern Frequency Versus Theoretical Calculation

Again, both theoretical calculation and the actual lottery results agree that some groups perform better than others.

Take a look at the following tables below:

Australian Saturday Lotto
734 draws from January 7, 2006, to February 1, 2020

U.S Powerball
449 draws from October 7, 2015, to February 5, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Powerball must start on October 7, 2015, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/69 format.

Euro Millions
1,276 draws from April 16, 2004, to February 4, 2020

Euro Jackpot
410 draws from March 23, 2012, to January 31, 2020

Irish Lotto
461 draws from September 5, 2015, to February 5, 2020

U.S. Mega Millions
237 draws from October 31, 2017, to February 4, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Mega Millions must start on October 31, 2017, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/70 format.

UK Lottery
449 draws from October 10, 2015, to February 5, 2020

The Problem With Two Separate Analysis

Probability analysis can be problematic and quite confusing.

For example, a combination such as 1-2-3-4-5-6 consists of 3-odd-3-even numbers. According to our odd/even analysis, such a combination is considered one of the best ones.

But we know it’s not true because conversely, from our low/high analysis, a combination made of purely low numbers possesses an inferior probability.

There should be a better method. Fortunately, there is, and you are about to discover advanced ideas on combinatorics in the next section.


A nonstandard technique in combinatorial number theory

In Di Nasso (2015) and Luperi Baglini (2012) it has been introduced a technique, based on nonstandard analysis, to study some problems in combinatorial number theory. In this paper we review such a technique and we present three of its applications: the first one is a new proof of a known result regarding the algebra of β N , namely that the center of the semigroup ( β N , ⊕ ) is N the second one is a generalization of a theorem of Bergelson and Hindman on arithmetic progressions of length three the third one regards the study of which polynomials in several variables with integers coefficients have a monochromatic solution for every finite coloring of N . We will study this last application in more detail: we will prove some algebraical properties of the set P of such polynomials and we will present a few examples of nonlinear polynomials in P .

In the first part of the paper we will recall the main results of the nonstandard technique that we want to use, which is based on a characterization of ultrafilters by means of nonstandard analysis.


1.7: Combinatorial Number Theory

Questions based on various concepts of number theory and different types of number are quite frequently asked in programming contests. In this article, we discuss some famous facts and algorithms:

  1. All 4 digit palindromic numbers are divisible by 11.
  2. If we repeat a three-digit number twice, to form a six-digit number. The result will will be divisible by 7, 11 and 13, and dividing by all three will give your original three-digit number.
  3. A number of form 2 N has exactly N+1 divisors. For example 4 has 3 divisors, 1, 2 and 4.
  4. To calculate sum of factors of a number, we can find the number of prime factors and their exponents. Let p1, p2, … pk be prime factors of n. Let a1, ein2, .. ak be highest powers of p1, p2, .. pk respectively that divide n, i.e., we can write n as n = (p1 ein1 )*(p2 ein2 )* … (pk eink ).
  5. For a product of N numbers, if we have to subtract a constant K such that the product gets its maximum value, then subtract it from a largest value such that largest value-k is greater than 0. If we have to subtract a constant K such that the product gets its minimum value, then subtract it from the smallest value where smallest value-k should be greater than 0 Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of 2 primes.s: Perfect numbers are those numbers which are equal to the sum of their proper divisors. Example: 6 = 1 + 2 + 3: Are those numbers that cannot form a palindrome when repeatedly reversed and added to itself. For example 47 is not a Lychrel Number as 47 + 74 = 121 : Any odd integer greater than 5 can be expressed as a sum of an odd prime (all primes other than 2 are odd) and an even semiprime. A semiprime number is a product of two prime numbers. This is called Lemoine’s conjecture. : According to the theorem, no three positive integers a, b, c satisfy the equation, for any integer value of n greater than 2. For n = 1 and n = 2, the equation have infinitely many solutions.

Number Theory Algorithms

GCD and LCM

Prime Factorization and Divisors :

Fibonacci Numbers:

Catalan Numbers :

Modular Arithmetic :

Euler Totient Function:

nCr Computations :

Prime numbers and Primality Tests :

Sieve Algorithms :

Divisibility and Large Numbers :

Above facts are contributed by Yash Kodesia. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article and mail your article to [email protected] See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.

Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more facts about Number Theory.

Attention reader! Don&rsquot stop learning now. Get hold of all the important mathematical concepts for competitive programming with the Essential Maths for CP Course at a student-friendly price. To complete your preparation from learning a language to DS Algo and many more, please refer Complete Interview Preparation Course.


  1. Front Matter: cover page, preface.
  2. Chapter 1: Lecture 1.
  3. Chapter 2: Sections 1-2 cover Lecture 2. The remainder covers Lecture 3.
  4. Chapter 3: Lecture 4 and most of Lecture 5.
  5. Chapter 4: end of Lecture 5 and all of Lecture 6.
  6. Chapter 5: Lecture 7.
  7. Chapter 6: Lecture 8.
  8. Chapter 7: Lecture 9.
  9. Chapter 8: Lecture 10.

Homework assignments will be posted here soon after every lecture, and are due next lecture. The assignments consist of solutions of an exercises component and a (bonus) proofreading component. It is not mandatory to solve all exercises in each assignment.

The proofreading component will add at most 5% to the final grade, and will be graded separately. It includes reading the relevant material and suggesting corrections of typographic, grammatical, and mathematical errors as well as suggestions for improvements (if applicable). (Particularly helpful students would be acknowledged at the end of this page.)

  1. Eeach week, in rotation, two students will check the assignments, write comments, and provide a grade.
  2. The grade will not be out of 100, but rather one of three categories: C (fail), B (ok), A (excellent), and A+ (exceptional). A+ should really mean exceptional. Excessive use (say, more than 10%) of this grade would request a re-grading.
  3. The exercise assignment should be graded separately from the proofreading assignment.
  4. Each of the two graders will check about half of the questions, across all assignments handed.
  5. The graders will not hand out their own assignment. Their grade will be determined by the lecturer, according to the quality of their checking, commenting, and grading.
  6. The graders will collect the proofreading comments into a single file (deciding among contradicting suggestions, possibly by consulting those suggesting them) and hand to the lecturer.
  7. The graders will hand everything to the lecturer in the day of the lecture the latest. The lecturer will, after examination, put them in his mailbox for distribution. (Expected: Mondays.)

Graders: Neta Atzmon and Gil Goffer.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 2, Sections 1-2 (see above).
    • Solve Exercises 1.7, 1.14, 2.2.
  2. Second option: Solve the follwing challenge and email your solution directly to me:
    • Challenge 1. Find an elementary proof for Theorem 2.1 (in Chapter 2, the Full Compactness Theorem).

Graders: Lubna Abu-Rmaileh and Aviv Eshed.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 2, Sections 3-6 (see above).
    • Solve Exercises 3.15, 3.16, 4.5, 4.11.
  2. Second option: Solve Challenge 1 above (see update there).

Graders: Myriam Goor and Jonathan Rosenskii.

Due: Wednesday, 23.4, 12:00, in my mailbox.

Graders: Ayelet Gottlieb and Anna Hoffmann.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 3 (from the paragraph preceding Definition 4.5 on page 24 to the end of the section) and the available part of Chapter 4.
    • Solve Exercises 4.8, 5.2, 6.8 in Chapter 3 and Exercise 1.4 in Chapter 4.
    • Read the following Problem, the discussion there, and the answer. If anything there is unclear, post your question as a comment there and it will be answered. (You may wish to create a MathOverflow user, but I think you can post questions even without being a user.)
  2. Second option: Solve any of the following two challenge problems

Challenge 2: Often, more general theorems are Einfacher to prove. The reason is that by abstracting out unnecessary properties, our attention is focused on the relevant ones. Could it be that the following general Finite Products Theorem proved in Chapter 4 has a digestible elementary proof?

Theorem. For each moving semigroup S, every finite coloring of S has a monochromatic FP set.

The challenge is to discover such a proof. It may be a very hard challenge, or it may lead to a more general (than just containing a moving semigroup) assumption that may, in turn, lead to a relatively simple elementary proof. It would probably be a noteworthy (and definitely publishable--unless this was solved already) achievment to solve this challenge. You may wish to consult Baumgartner's elementary proof of Hindman's Theorem for inspiration, and do some web search first.
Update: It may be better to assume, instead of "moving", that there are elements ein1, ein2. in S such that the intersection of all sets FP(an, einn+1. ) for all natural numbers n is empty. This assumption is more general than assuming the semigroup contains a moving semigroup (subchallenge: find an elementary proof for the last assertion).

Challenge 3: Find a characterization, in terms of properties of the semigroup S, of the property there is a nonprincipal idempotent in &beta(S)S.

Update: Challenge 3 was solved by Neil Hindman and me. The solution will hopefully be added to the book at some point.

Due: Wednesday, 7.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Or Dagmi and Asher Patinkin.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 4 (whatever not read in the previous week).
    • Solve Exercises 1.10, 2.4, 3.4, 3.8.
  2. Second option: Solve any of the above challenges, or the following one.

Challenge 4. Lassen N be the additive semigroup of natural numbers. Is the semigroup &beta(N)N moving? Does it contain a moving subsemigroup?
Update: Second part solved by Alexander Shamov, in the positive.

Due: Monday, 12.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Yaron Harel and Sigal Rotem.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 5.
    • Solve Exercises 1.9, 2.6, 2.12.
  2. Second option: Make progress on any of the above challenges.

Due: Monday, 26.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Neta Atzmon and Gil Goffer.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 6.
    • Solve Exercises 2.1, 2.4, 2.6, 2.7.
  2. Second option: Make progress on any of the above unsolved challenges.

Due: Monday, 2.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 7.
    • Solve Exercises 1.3, 2.5, 3.6.
  2. Second option: Obviously, Schur's equation x+y-z=0 has a solution x,y,z in A for every FS set EIN.

Challenge 5: Characterize the linear homogeneous equations with integer coefficients that have solutions in every FS set EIN.

Due: Monday, 9.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 8.
    • Solve Exercises 2.3, 2.8.
  2. Second option: Make progress on a challenge.

Due: Monday, 16.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Myriam Goor and Jonathan Rosenskii.

The role of this assignment is to demonstrate your ability to come up with, and consider, problems of the nature studied in the course. A starting point may be any of the yet unsolved challenges posted above or below. You may also read and use any related literature. In particular, you may consider the book of Hindman and Strauss - some of the problems you come up with may be solved. It is fine not to consider outside literature if you do not wish to do so.

Summarize your attacks on the problems, alternative problems you tried, and if unsuccessful, what where the obstacles. You may begin with easy variations of the problems you are considering, and make them harder until you fail to solve them (write down which variations you tried, ordered from easy to hard, and sketch the solutions for those you solved). Write down any insight that came to you during your concentrated efforts.

You may discuss matters in groups, but write separately. The assignments should not exceed 4 pages of text, unless you see a clear need (in such a case, provide a brief explanation at the beginning why you needed more than 4 pages).

The weight of this assignment (and the estimated time needed for it) is equivalent to that of two earlier assignments.

Challenge 6: We begin with some definitions. A family F of sets is partition regular if, for each EIN in F and each partition A=B U C, we have that B is in F oder C is in F.

Lassen S1(F) be the statement: For all EIN1,A2. in F, there are elements ein1 in EIN1, ein2 in EIN2, . such that the set <>1,a2. > is in F.

  1. A partition regular family F so dass S1(F) holds
  2. A set EIN in F und
  3. A finite coloring of [A] 2 ,

Remark: This is posed as Conjecture 1.19 in my paper Superfilters, Ramsey theory, and van der Waerden's Theorem (with N. Samet, an alumni WIS student!), available here. But we didn't think about this. This may be solvable. In that paper, there is a simpler reformulation (you just need to prove that F is not "weakly Ramsey"/"strongly Ramsey", as defined in Definition 1.6 there.)

Due: (Originally, Thursday, 24.7.14.) Due to the war, you may postpone your submission due as much as reasonably needed. Just notify me by mail in case you do so.


Number Theory and Combinatorics

This page contains a list of ideas for DRP projects, but is by no means exhaustive.

Thema: Generating Functions
Suggested Text: generatingfunctionology, Herbert S. Wilf
Suggested Background: MATH 1301 (Accelerated Single-Variable Calculus II)
Beschreibung: Using the idea of Taylor series but only requiring basic algebra, generating functions prove to be one of the most effective methods of understanding sequences of numbers in combinatorics and number theory. For example, there is a simple (non-recursive) formula for the Fibonacci numbers that one can very quickly prove! Generating functions give wide-ranging methods that allow one to prove surprising binomial and combinatorial identities that would be otherwise difficult to prove or even discover in the first place.

Thema: Irrationality and Transcendence
Suggested Text: An Introduction to Number Theory, Ivan Niven, Herbert Zuckerman, & Hugh Montgomery, and Transcendental Numbers, M. Ram Murty & Purusottam Rath
Suggested Background: MATH 3300 (Abstract Algebra) is a prerequisite for the more advanced transcendence theory material
Beschreibung: Irrational numbers are real numbers which cannot be expressed as the quotient (n/m) of two integers (where (m) is non-zero). Transcendental numbers are real numbers which are not the roots of any polynomial of a single-variable whose coefficients are rational. Famously, both (e) and (pi) are transcendental, but proving this is extremely non-trivial. In general, transcendentality is difficult to prove (it is known that at least one of (e+pi) and (ecdot pi) are transcendental, but neither has been proven so). However, it ends up that almost all real numbers are transcendental!

Thema: Basic Analytic Number Theory
Buch: Introduction to Analytic Number Theory, Tom Apostol
Suggest Background: MATH 1301 (Accelerated Single-Variable Calculus II)
Beschreibung: One of the fundamentally fascinating aspects of number theory is the interplay between the discrete and the continuous. While it is difficult to determine when exactly a prime number occurs, the prime number theorem tells us that the number of primes less than or equal to (x) is approximately (x/log x) for (x) sufficiently large. This tells us that although many of the quantities we may wish to know about prime numbers (such as how many there are up to a given point) may be better studied by understanding continuous approximations to them. As a result, we can use basic calculus techniques to understand prime numbers much better.

Thema: Elliptic Curves
Buch: Rational Points on Elliptic Curves, Joseph H. Silverman & John Tate
Suggested Background: MATH 3300 (Abstract Algebra), MATH 3800 (Theory of Numbers)
Beschreibung: Elliptic curves have become one of the most exciting fields of study in recent years. Fundamentally, elliptic curves are simply the solution set of (y^2 = x^3 + ax + b), which would appear to not be much more difficult to understand than conic sections. However, it turns out that they contain a breadth of number theoretic information, being fundamental to Andrew Wiles’s proof of Fermat’s Last Theorem. Additionally, they have proved useful in a variety of other areas, such as cryptography. A reading program in this area would entail learning the basics, giving the student an understanding of both the difficulty and depth of this area, and allowing them to see why so many mathematicians have become fascinated with these objects.

Thema: (p)-adic Analysis
Suggested Text: (p)-adic Numbers – An Introduction, Fernando Q. Gouvea
Suggested Background: MATH 3100 (Introduction to Analysis) or MATH 3300 (Abstract Algebra)
Beschreibung: (p)-adic analysis represents a different approach to correcting the failings of the field of rational numbers, with a resulting theory that looks wildly different from the classical analysis of the real line. The (p)-adic reals (for each prime (p)) are nevertheless rich objects of study, both from an analytic point of view, as well as an algebraic one.

Thema: Probabilistic Methods in Combinatorics and Number Theory
Buch: The Probabilistic Method, Noga Alon & Joel H. Spencer
Suggested Background: Familiarity with graph theory
Beschreibung: Using basic probability, it is possible to prove a number of results in graph theory and number theory that would be extremely difficult to prove otherwise. In order to show that certain types of graphs exist for example, one could directly construct such graphs however, by making a collection of graphs into a probability space and proving that such a graph exists with non-zero probability, this existence proof may only take a few lines. One of the reasons for Erdős’s impressive mathematical abilities is the mastery of this method. In a directed reading program, a student would be able to come familiar with the basic ideas of this technique and gain some understanding as to when certain problems may be particularly susceptible to it.


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