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5.7: Gleichungen mit Dezimalstellen - Mathematik


Wir können dieselbe Dezimalzahl von beiden Seiten einer Gleichung addieren oder subtrahieren, ohne die Lösung zu beeinflussen.

Beispiel 1

Löse nach x auf: x − 1,35 = −2,6.

Lösung

Um die Subtraktion von 1,35 rückgängig zu machen, addieren Sie 1,35 zu beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} x - 1,35 = -2,6 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} x - 1,35 + 1,35 = -2,6 + 1,35 ~ & extcolor{red}{ text{ Addieren Sie 1,35 zu beiden Seiten.}} x = -1,25 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } -2,6 + 1,35 = -1,25.} end{aligned} onumber ]

Ausübung

Lösen für x: (x+1,25=0,6)

Antworten

−0.65

Wir können immer noch beide Seiten einer Gleichung mit derselben Dezimalzahl multiplizieren, ohne die Lösung zu beeinflussen.

Beispiel 2

Lösen für x: (frac{x}{-0,35} = 4,2).

Lösung

Um die Division durch −0,35 rückgängig zu machen, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit −0,35.

[ egin{aligned} frac{x}{-0,35} = 4,2 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -0,35 left( frac{x}{-0,35} ight) = -0,35 (4,2) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren Sie beide Seiten mit } -0,35.} x = -1,470 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } - 0.35 (4.2) = -1.470.} end{ausgerichtet} onumber]

Ausübung

Lösen für ja: (frac{y}{0,37} = -1,52).

Antworten

−0.5624

Wir können immer noch beide Seiten einer Gleichung durch dieselbe Dezimalzahl dividieren, ohne die Lösung zu beeinflussen.

Beispiel 3

Lösen für x: (−1.2x = −4.08).

Lösung

Um die Multiplikation mit −1,2 rückgängig zu machen, dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch −1,2.

[ egin{aligned} -1.2x = -4.08 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} frac{-1.2x}{-1.2} = frac{-4.08}{ -1.2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten teilen durch } -1.2} x = 3.4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } -4.08/(-1.2)=3.4 .} end{ausgerichtet} onumber ]

Ausübung

Lösen für z: (-2,5z=1,4)

Antworten

−0.56

Kombinieren von Operationen

Manchmal müssen wir Operationen kombinieren.

Beispiel 4

Lösen für x: (−3.8x − 1.7 = −17.28).

Lösung

Um die Subtraktion von 1,7 rückgängig zu machen, addieren Sie 1,7 zu ​​beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} -3.8x-1.7=-17.28 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -3.8x-1.7+1.7=-17.28+1.7 ~ & extcolor{ red}{ ext{ Addiere 1,7 zu ​​beiden Seiten.}} -3,8x=-15,58 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } -17,28 + 1,7 = -15,58.} end{aligned} keine Nummer ]

Um die Multiplikation mit −3,8 rückgängig zu machen, dividieren Sie als nächstes beide Seiten der Gleichung durch −3,8.

[ egin{aligned} frac{-3.8x}{-3.8} = frac{-15.88}{-3.8} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten teilen durch } -3.8.} x = 4.1 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } -15.58/(-3.8) = 4.1.} end{aligned} onumber ]

Ausübung

Lösen für du: (-0,02u-3,2=-1,75).

Antworten

−72.5

Ähnliche Begriffe kombinieren Like

Das Kombinieren gleicher Terme mit Dezimalkoeffizienten erfolgt auf die gleiche Weise wie das Kombinieren gleicher Terme mit ganzzahligen Koeffizienten.

Beispiel 5

Vereinfachen Sie den Ausdruck: (−3,2x + 1,16x).

Lösung

Um diese gleichen Terme zu kombinieren, müssen wir die Koeffizienten addieren.

Um Koeffizienten mit ungleichen Vorzeichen zu addieren, subtrahieren Sie zuerst den Koeffizienten mit dem kleineren Betrag vom Koeffizienten mit dem größeren Betrag.

[egin{array}{r} 3.20 - 1.16 hline 2.04 end{array} onumber ]

Setzen Sie das Vorzeichen der Dezimalzahl mit dem größeren Betrag voran. Somit:

[−3,2+1,16 = −2,04.keine Zahl ]

Wir können nun ähnliche Terme wie folgt kombinieren:

[−3,2x + 1,16x = −2,04xkeine Zahl ]

Ausübung

Vereinfachen: (-1,185t+3,2t)

Antworten

2.015T

Beim Lösen von Gleichungen müssen wir manchmal ähnliche Terme kombinieren.

Beispiel 6

Löse die Gleichung nach x: (4,2 − 3,1x + 2x = −7,02).

Lösung

Kombiniere ähnliche Terme auf der linken Seite der Gleichung.

[ egin{aligned} 4.2-3.1x+2x=-7.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 4.2 - 1.1x = -7.02 ~ & extcolor{red}{ text{ Kombiniere ähnliche Begriffe: } -3.1x + 2x = -1.1x.} 4.2 - 1.1x - 4.2 = -7.02 - 4.2 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahiere 4.2 von beiden Seiten.}} -1.1x = -11.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahieren: } -7.02 - 4.2 = -11.22.} frac{-1.1x}{-1.1} = frac{-11.22 }{-1.1} ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere beide Seiten durch } -1.1.} x = 10.2 ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere: } -11.22/(-1.1 ) = 10.2.} end{ausgerichtet} onumber ]

Somit ist die Lösung der Gleichung 10.2.

Prüfen

Wie bei allen Gleichungen können wir unsere Lösung überprüfen, indem wir unsere Antwort in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

[ egin{aligned} 4.2 - 3.1x +2x = -7.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 4.2 - 3.1(10.2) + 2(10.2) = -7.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersetze 10.2 für } x.} 4.2 - 31.62 + 20.4 = -7.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 3.1(10.2) = 31.62, ~ 2( 10.2) = 20.4.} -27.42 + 20.4 = -7.02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Reihenfolge der Operationen: Hinzufügen, von links nach rechts.}} ~ & extcolor{red}{ ~ 4.2 - 31,62 = -27,42.} -7,02 = -7,02 ~ & extcolor{red}{ ext{ Add: } -27,42 + 20,4 = -7,02.} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile eine wahre Aussage ist, ist die Lösung x = 10,2 Schecks.

Ausübung

Lösen für R: (-4,2 + 3,6r - 4,1r = 1,86)

Antworten

−12.12

Verwenden der Verteilungseigenschaft

Manchmal müssen wir beim Lösen von Gleichungen die Verteilungseigenschaft verwenden.

Verteilungseigenschaft

Seien a, b und c beliebige Zahlen. Dann,

[a(b + c) = ab + ac.keine Zahl ]

Beispiel 7

Löse die Gleichung nach x: (−6.3x − 0.4(x − 1.2) = −0.86).

Lösung

Wir verteilen zuerst das −0,4-fache jedes Termes in Klammern und kombinieren dann gleiche Terme.

[ egin{aligned} -6,3x - 0,4(x-1,2) = -0,86 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -6,3x-0,4x+0,48 = -0,86 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteilen. Beachten Sie, dass } -0.4(-1.2)=0.48.} -6.7x+0.48=-0.86 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ähnliche Begriffe kombinieren.}} end{aligned} onumber ]

Als nächstes subtrahiere 0,48 von beiden Seiten und dividiere dann beide Seiten der resultierenden Gleichung durch −6,7.

[ egin{aligned} -6,7x+0,48-0,48 = -0,86 - 0,48 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahiere 0,48 von beiden Seiten.}} -6,7x = -1,34 ~ & extcolor {red}{ ext{ Vereinfachen: } -0.86 - 0.48 = -1.34.} frac{-6.7x}{-6.7} = frac{-1.34}{-6.7} ~ & extcolor{red} { ext{ Beide Seiten dividieren durch } -6.7.} x = 0.2 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen: } -1.34/(-6.7)=0.2.} end{aligned} onumber ]

Ausübung

Lösen für x: ( −2,5x − 0,1(x − 2,3) = 8,03)

Antworten

−3

Rundungslösungen

Manchmal ist eine Näherungslösung ausreichend.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse die Gleichung (3.1x+ 4.6=2.5 − 2.2x) nach x. Runden Sie die Antwort auf das nächste Zehntel.

Lösung

Wir müssen die Terme isolieren, die x auf einer Seite der Gleichung enthalten. Wir beginnen mit der Addition von 2,2x zu beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} 3.1x + 4.6 = 2.5 - 2.2x ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 3.1x + 4.6 + 2.2x = 2.5 - 2.2x + 2.2x ~ & extcolor{red}{ ext{ Add } 2,2x ext{ auf beiden Seiten.}} 5,3x + 4,6 = 2,5 ~ & extcolor{red}{ ext{ Terme kombinieren: } 3,1x + 2,2 x = 5,3x.} end{ausgerichtet{ onumber ]

Wir müssen die Terme isolieren, die x auf einer Seite der Gleichung enthalten. Wir beginnen mit der Addition von 2,2x zu beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} 5.3x + 4.6 - 4.6 = 2.5 - 4.6 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahiere 4.6 von beiden Seiten.}} 5.3x = -2.1 ~ & extcolor{red} { ext{ Vereinfachen: } 2.5 - 4.6 = -2.1.} end{aligned} onumber ]

Um den Effekt der Multiplikation mit 5,3 rückgängig zu machen, dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch 5,3.

[ egin{aligned} frac{5.3x}{5.3} = frac{-2.1}{5.3} ~ & extcolor{red}{ ext{Beide Seiten durch 5.3 dividieren.}} x approx -0.4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Lösung auf das nächste Zehntel runden.}} end{aligned} onumber ]

Um die Antwort auf das nächste Zehntel zu runden, müssen wir die Division um eine zusätzliche Stelle ausführen.

Da die „Testziffer“ größer oder gleich 5 ist, addieren Sie 1 zur Rundungsziffer und kürzen Sie.

Also −0,39 ≈ −0,4.

Somit ist –2,1/5,3 –0,39.

Ausübung

Lösen für x: (4,2x − 1,25 = 3,4+0,71x)

Antworten

1.33

Anwendungen

Schauen wir uns einige Anwendungen an, die Gleichungen mit Dezimalzahlen beinhalten. Der Einfachheit halber wiederholen wir die Anforderungen an Word-Problemlösungen.

Anforderungen an Word-Problemlösungen

  1. Ein Variablenwörterbuch einrichten. Sie müssen Ihre Leser wissen lassen, was jede Variable in Ihrem Problem darstellt. Dies kann auf verschiedene Weise erreicht werden:
    1. Aussagen wie „Lassen Sie P den Umfang des Rechtecks ​​darstellen“.
    2. Beschriften von unbekannten Werten mit Variablen in einer Tabelle.
    3. Kennzeichnen unbekannter Größen in einer Skizze oder einem Diagramm.
  2. Stellen Sie eine Gleichung auf. Jede Lösung eines Wortproblems muss eine sorgfältig ausgearbeitete Gleichung enthalten, die die Einschränkungen in der Problemstellung genau beschreibt.
  3. Löse die Gleichung. Sie müssen immer die im vorherigen Schritt aufgestellte Gleichung lösen.
  4. Beantworte die Frage. Dieser Schritt wird leicht übersehen. Das Problem könnte zum Beispiel nach Janes Alter fragen, aber die Lösung Ihrer Gleichung gibt das Alter von Janes Schwester Liz an. Stellen Sie sicher, dass Sie die ursprüngliche Frage beantworten, die im Problem gestellt wurde. Ihre Lösung sollte in einem Satz mit passenden Einheiten geschrieben werden.
  5. Zurückschauen. Es ist wichtig zu beachten, dass dieser Schritt nicht bedeutet, dass Sie einfach Ihre Lösung in Ihrer Gleichung überprüfen sollten. Schließlich ist es möglich, dass Ihre Gleichung die Situation des Problems falsch modelliert, sodass Sie eine gültige Lösung für eine falsche Gleichung haben. Die wichtige Frage lautet: „Macht Ihre Antwort basierend auf den Worten in der ursprünglichen Problemstellung einen Sinn?“

Beginnen wir mit einem rechteckigen Gartenproblem.

Beispiel 9

Molly muss ein rechteckiges Gartengrundstück von 200 Quadratmetern (200 m²) anlegen2). Wenn die Breite des Grundstücks 8,9 Meter beträgt, ermitteln Sie die Länge des Grundstücks auf das nächste Zehntelmeter genau.

Lösung

Wir werden dem folgen Anforderungen an Word-Problemlösungen.

1. Ein Variablenwörterbuch einrichten. Wir werden eine Skizze verwenden, um unsere Variablen zu definieren.

Beachten Sie, dass L repräsentiert die Länge des Rechtecks.

2. Eine Gleichung aufstellen. Die Fläche A eines Rechtecks ​​ergibt sich aus der Formel

[A = LW, onumber]

wo L und W repräsentieren die Länge und Breite des Rechtecks. Ersetze 200 für EIN und 8,9 für W in der Formel zu erhalten

[200 = L(8.9), onumber]

oder äquivalent,

[200 = 8,9L. onumber]

3. Löse die Gleichung. Teilen Sie beide Seiten der letzten Gleichung durch 8,9 und runden Sie dann Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

[ egin{aligned} frac{200}{8.9} = frac{8.9L}{8.9} ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere beide Seiten durch 8.9.}} 22.5 approx L ~ & extcolor{red}{ ext{ Auf das nächste Zehntel aufrunden.}} end{aligned} onumber ]

Um die Antwort auf das nächste Zehntel zu runden, müssen wir die Division um eine zusätzliche Stelle ausführen.

Da die „Testziffer“ größer oder gleich 5 ist, addieren Sie 1 zur Rundungsziffer und kürzen Sie.

Somit ist 200/8,9 ≈ 22,5.

4. Beantworte die Frage. Auf ein Zehntelmeter genau ist die Länge des rechteckigen Grundstücks L ≈ 22,5 Meter.

5. Zurückschauen. Wir haben L ≈ 22,5 Meter und W = 8,9 Meter. Multiplizieren Sie Länge und Breite, um die Fläche zu finden.

[ ext{Fläche} approx (22,5 ext{ m})(8,9 ext{ m}) ≈ 200,25 ext{ m}^2. onumber]

Beachten Sie, dass dies fast die genaue Fläche von 200 Quadratmetern ist. Die Abweichung ist darauf zurückzuführen, dass wir die Länge auf das nächste Zehntelmeter gerundet gefunden haben

Ausübung

Etas Hundeauslauf hat die Form eines Rechtecks ​​mit einer Fläche von 500 Quadratmetern. Wenn die Länge des Laufs 28 Fuß beträgt, ermitteln Sie die Breite des Laufs, korrekt auf das nächste Zehntel Fuß.

Antworten

17,9 Fuß

Beispiel 10

Kindertickets für den Zirkus werden für 6,75 US-Dollar verkauft. Der Boys and Girls Club von Eureka hat 1.000 US-Dollar zur Verfügung gestellt, um diese Tickets zu kaufen. Wie viele Tickets kann der Girls and Boys Club ungefähr kaufen?

Lösung

Wir werden dem folgen Anforderungen an Word-Problemlösungen.

1. Lass n stellen die Anzahl der Tickets dar, die vom Boys and Girls Club von Eureka gekauft wurden.

2. Beachten Sie, dass

[ egin{matrix} colorbox{cyan}{Preis pro Ticket} & ext{ mal } & colorbox{cyan}{Anzahl der Tickets} & ext{ ist } & colorbox{cyan}{Vollständiger Kaufpreis } 6.75 & . & N & = & 1.000 end{matrix} onumber ]

Daher lautet unsere Gleichung 6.75n = 1000.

3. Löse die Gleichung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 6,75.

[ egin{aligned} frac{6.75N}{6.75} = frac{1000}{6.75} ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere beide Seiten durch 6.75.}} N approx 148 ~ & extcolor{red}{ ext{ Auf nächste Einheit abschneiden.}} end{aligned} onumber ]

Schieben Sie den Dezimalpunkt an das rechte Ende des Divisors und den Dezimalpunkt im Dividenden um die gleiche Anzahl von Stellen.

Wir werden die Division an der Einheitenposition stoppen.

4. Der Boys and Girls Club kann 148 Tickets erwerben.

5. Lassen Sie uns die Kosten für 148 Tickets mit 6,75 USD pro Stück berechnen.

Bei 6,75 US-Dollar pro Stück kosten 148 Tickets also 999 US-Dollar. Da der Jungen- und Mädchenclub von Eureka 1.000 US-Dollar zur Verfügung hat, beachten Sie, dass der Club nicht mehr genug Geld für ein weiteres Ticket hat.

Ausübung

Eintrittskarten für Erwachsene für den Zirkus kosten 12,25 USD pro Stück. Wenn der Club 1.200 US-Dollar für den Kauf von Eintrittskarten für Erwachsene reserviert hat, wie viele Eintrittskarten für Erwachsene können dann gekauft werden?

Antworten

97

Beispiel 11

Marta hat 20 Fuß dekorativen Zaun, den sie für die Umrandung eines kleinen runden Gartens verwenden wird. Finden Sie den Durchmesser des kreisförmigen Gartens, genau auf das nächste Hundertstel eines Fußes. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

Lösung

Die Formel für die Beziehung zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises lautet

[C = pi d onumber]

Die 20 Fuß dekorativen Zäune werden den Umfang des kreisförmigen Gartens ausmachen. Ersetzen Sie 20 für C und 3,14 für π.

[20 = 3,14dkeineZahl ]

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3,14.

[ egin{aligned} frac{20}{3.14} = frac{3.14d}{3.14} frac{20}{3.14} = d end{aligned} onumber]

Verschieben Sie den Dezimalpunkt an das Ende des Divisors und dann den Dezimalpunkt im Dividenden um die gleiche Anzahl Stellen (zwei Stellen) nach rechts. Beachten Sie, dass wir beim Dividenden zwei nachfolgende Nullen hinzufügen müssen.

Somit wird das Problem:

[ 314 overline{ )2000} onumber ]

Wir müssen auf das nächste Hundertstel runden. Dies erfordert, dass wir die Division um eine zusätzliche Stelle rechts von der Hundertstelstelle (d. h. bis zur Tausendstelstelle) führen.

Für den letzten Schritt müssen wir 6,369 auf das nächste Hundertstel runden. Im folgenden Schema haben wir die Hundertstelstelle (die „Rundungsziffer“) und die „Testziffer“, die der „Rundungsziffer“ folgt, eingerahmt.

Da die „Testziffer“ größer oder gleich 5 ist, addieren wir 1 zur „Rundungsziffer“ und kürzen dann. Daher beträgt der Durchmesser des Kreises auf das nächste Hundertstel eines Fußes ungefähr

[d ≈ 6,37 ext{ ft.} onumber ]

Ausübung

Dylan hat einen runden Hundestall mit einem Umfang von 30 Metern. Finden Sie den Radius des Stiftes, korrekt auf das nächste Zehntel eines Fußes. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

Antworten

15,9 Fuß

Übungen

Lösen Sie in den Übungen 1-16 die Gleichung.

1. (5,57x − 2,45x = 5,46)

2. (−0.3x − 6.5x = 3.4)

3. (−5,8x + 0,32 + 0,2x = −6,96)

4. (−2,2x − 0,8 − 7,8x = −3,3)

5. (−4,9x + 88,2 = 24,5)

6. (−0,2x − 32,71 = 57,61)

7. (0,35x − 63,58 = 55,14)

8. (−0,2x − 67,3 = 93,5)

9. (−10,3x + 82,4=0)

10. (−1.33x − 45.22 = 0)

11. (−12,5x + 13,5=0)

12. (44.15x − 8.83 = 0)

13. (7.3x − 8.9 − 8.34x = 2.8)

14. (0,9x + 4,5 − 0,5x = 3,5)

15. (−0,2x + 2,2x = 6,8)

16. (−7,9x + 2,9x = 8,6)


Lösen Sie in den Übungen 17-34 die Gleichung.

17. (6.24x − 5.2=5.2x)

18. (−0,6x + 6,3=1,5x)

19. (−0.7x − 2.4 = −3.7x − 8.91)

20. (3,4x − 4,89 = 2,9x + 3,6)

21. (−4.9x = −5.4x + 8.4)

22. (2,5x = 4,5x + 5,8)

23. (−2.8x = −2.3x − 6.5)

24. (1.2x = 0.35x − 1.36)

25. (−2,97x − 2,6 = −3,47x + 7,47)

26. (−8.6x − 2.62 = −7.1x + 8.54)

27. (−1.7x = −0.2x − 0.6)

28. (3.89x = −5.11x + 5.4)

29. (−1.02x + 7.08 = −2.79x)

30. (1,5x − 2,4=0,3x)

31. (−4.75x − 6.77 = −7.45x + 3.49)

32. (−1.2x − 2.8 = −0.7x − 5.6)

33. (−4,06x − 7,38 = 4,94x)

34. (−4,22x + 7,8 = −6,3x)


Lösen Sie in den Übungen 35-52 die Gleichung.

35. (2.3+0.1(x + 2.9) = 6.9)

36. (−6.37 + 6.3(x + 4.9) = −1.33)

37. (0.5(1.5x − 6.58) = 6.88)

38. (0,5(−2,5x −4,7) = 16,9)

39. (−6,3x − 0,4(x − 1,8) = −16,03)

40. (−2,8x + 5,08(x−4,84) = 19,85)

41. (2,4(0,3x + 3,2) = −11,4)

42. (−0,7(0,2x + 5,48) = 16,45)

43. (−0,8(0,3x + 0,4) = −11,3)

44. (7,5(4,4x + 7,88) = 17,19)

45. (−7,57 − 2,42(x + 5,54) = 6,95)

46. ​​(5.9 − 0.5(x + 5.8) = 12.15)

47. (−1.7 − 5.56(x + 6.1) = 12.2)

48. (−7,93 + 0,01(x + 7,9) = 14,2)

49. (4.3x − 0.7(x + 2.1) = 8.61)

50. (1,5x − 4,5(x + 4,92) = 15,6)

51. (−4.8x + 3.3(x−0.4) = −7.05)

52. (−1.1x + 1.3(x + 1.3) = 19.88)


Lösen Sie in den Übungen 53-58 die Gleichung.

53. (0,9(6,2x − 5,9) = 3,4(3,7x + 4,3) − 1,8)

54. (0.4(−4.6x+ 4.7) = −1.6(−2.2x+ 6.9)−4.5)

55. (−1.8(−1.6x + 1.7) = −1.8(−3.6x − 4.1))

56. (−3.3(−6.3x + 4.2) − 5.3=1.7(6.2x + 3.2))

57. (0.9(0.4x + 2.5) − 2.5 = −1.9(0.8x + 3.1))

58. (5.5(6.7x + 7.3) = −5.5(−4.2x + 2.2))


59. Stacy führt von ihrem Haus aus ein Geschäft und baut Vogelhäuser. Jeden Monat hat sie Fixkosten von 200 Dollar. Darüber hinaus entstehen für jedes Vogelhaus, das sie baut, zusätzliche Kosten von 3,00 USD. Wenn ihre Gesamtkosten für den Monat 296,00 USD betrugen, wie viele Vogelhäuser hat sie dann hergestellt?

60. Stella führt ein Geschäft von ihrem Haus aus, das Vorhänge herstellt. Jeden Monat hat sie Fixkosten von 175 Dollar. Darüber hinaus fallen für jeden von ihr hergestellten Vorhang zusätzliche Kosten von 2,75 USD an. Wenn ihre Gesamtkosten für den Monat 274,00 USD betrugen, wie viele Vorhänge hat sie dann hergestellt?

61. Ein Schreibwarenladen bietet Hefter für 1,50 US-Dollar pro Stück an. Ein Unternehmen kauft eine unbekannte Anzahl davon und die Gesamtkosten für den Kauf betragen 36,00 USD. Wie viele wurden gekauft?

62. Ein Schreibwarenladen bietet CD-Packs für 2,50 US-Dollar pro Stück an. Ein Unternehmen kauft eine unbekannte Anzahl davon und die Gesamtkosten für den Kauf betragen 40,00 USD. Wie viele wurden gekauft?

63. Julie macht von zu Hause aus ein Geschäft und stellt Tischdecken her. Jeden Monat hat sie Fixkosten von 100 US-Dollar. Darüber hinaus entstehen ihr für jede von ihr hergestellte Tischdecke zusätzliche Kosten von 2,75 US-Dollar. Wenn ihre Gesamtkosten für den Monat 221,00 USD betrugen, wie viele Tischdecken stellte sie dann her?

64. Stella führt von ihrem Haus aus ein Geschäft, das Steppdecken herstellt. Darüber hinaus entstehen ihr für jeden Quilt, den sie herstellt, zusätzliche Kosten von 1,75 US-Dollar. Wenn ihre Gesamtkosten für den Monat 280,50 US-Dollar betrugen, wie viele Quilts hat sie dann hergestellt?

65. Marta hat einen 18 m langen Zierzaun, den sie für die Umrandung eines kleinen runden Gartens verwenden wird. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

66. Trinity hat einen 14 m langen dekorativen Zaun, den sie für die Umrandung eines kleinen runden Gartens verwenden wird. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

67. Kindertickets für die Eiskapaden werden für 4,25 US-Dollar verkauft. Der YMCA von Sacramento hat 1.000 US-Dollar zur Verfügung gestellt, um diese Tickets zu kaufen. Wie viele Tickets kann der YMCA von Sacramento ungefähr kaufen?

68. Kindertickets für die Eiskapaden werden für 5 US-Dollar verkauft. Die Knights of Columbus haben 1.200 US-Dollar zur Verfügung gestellt, um diese Tickets zu kaufen. Wie viele Tickets können die Knights of Columbus ungefähr kaufen?

69. Ein Schreibwarenladen bietet Druckbleistifte für 2,25 Dollar pro Stück an. Ein Unternehmen kauft eine unbekannte Anzahl davon und die Gesamtkosten für den Kauf betragen 65,25 USD. Wie viele wurden gekauft?

70. Ein Schreibwarenladen bietet technische Vorlagen für 2,50 US-Dollar pro Stück an. Ein Unternehmen kauft eine unbekannte Anzahl davon und die Gesamtkosten für den Kauf betragen 60,00 USD. Wie viele wurden gekauft?

71. Marta hat 61 Fuß dekorativen Zaun, den sie für die Umrandung eines kleinen runden Gartens verwenden wird. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

72. Kathy hat 86 Fuß dekorativen Zaun, den sie für die Umrandung eines kleinen runden Gartens verwenden wird. Verwenden Sie π ≈ 3.14.

73. Kathy muss ein rechteckiges Gartengrundstück von 100 Quadratmetern (100 m²2). Wenn die Breite des Grundstücks 7,5 Meter beträgt, ermitteln Sie die Länge des Grundstücks auf das nächste Zehntelmeter genau.

74. Marianne muss ein rechteckiges Gartengrundstück von 223 Quadratmetern (223 m²2). Wenn die Breite des Grundstücks 8,3 Meter beträgt, ermitteln Sie die Länge des Grundstücks auf das nächste Zehntelmeter genau.

75. Kindertickets für die Stockcar-Rennen werden für 4,5 US-Dollar verkauft. Der Boys and Girls Club von Eureka hat $ 1.300 zur Verfügung gestellt, um diese Tickets zu kaufen. Wie viele Tickets kann der Boys and Girls Club von Eureka ungefähr kaufen?

76. Kindertickets für die Kinos werden für 4,75 US-Dollar verkauft. Der Lions Club von Alameda hat 800 US-Dollar für den Kauf dieser Tickets reserviert. Wie viele Tickets kann der Lions Club von Alameda ungefähr kaufen?

77. Ashley muss ein rechteckiges Gartengrundstück von 115 Quadratmetern (115 m²2). Wenn die Breite des Grundstücks 6,8 Meter beträgt, ermitteln Sie die Länge des Grundstücks auf das nächste Zehntelmeter genau.

78. Molly muss ein rechteckiges Gartengrundstück von 268 Quadratmetern (268 m²) anlegen2). Wenn die Breite des Grundstücks 6,1 Meter beträgt, ermitteln Sie die Länge des Grundstücks auf das nächste Zehntelmeter genau.


79. Rohes Inventar. Die US-amerikanischen Rohölbestände gingen in der Woche zum 19. Juni um 3,8 Millionen Barrel zurück. Wenn es in der folgenden Woche 353,9 Millionen Barrel gab, was waren dann die Rohölbestände vor dem Rückgang? rttnews.com 24.06.09

80. Undokumentiert. Im Jahr 2008 hatte Kalifornien 2,7 Millionen Einwohner ohne Papiere. Das ist doppelt so viele wie 1990. Wie viele Einwohner ohne Papiere lebten 1990 in Kalifornien? Zugehörige Pressezeiten-Standard 15.04.09

81. Diamanten leuchten. Das Brechungsindex n gibt an, wie oft sich eine Lichtwelle in einem bestimmten Medium langsamer ausbreitet als im Vakuum. Ein Diamant hat einen Brechungsindex von 2,4. Dies ist etwa eineinhalbmal größer als der Brechungsindex eines Zirkons. Welchen Brechungsindex hat ein Zirkon? Runden Sie Ihr Ergebnis auf das nächste Zehntel.


Antworten

1. 1.75

3. 1.3

5. 13

7. 339.2

9. 8

11. 1.08

13. −11.25

15. 3.4

17. 5

19. −2.17

21. 16.8

23. 13

25. 20.14

27. 0.4

29. −4

31. 3.8

33. −0.82

35. 43.1

37. 13.56

39. 2.5

41. −26.5

43. 45.75

45. −11.54

47. −8.6

49. 2.8

51. 3.82

53. −2.59

55. −2.9

57. −3

59. 32

61. 24

63. 44

65. 19,11 Fuß

67. 235 Karten

69. 29

71. 19,43 Fuß

73. 13,3 Meter

75. 288 Karten

77. 16,9 Meter

79. 357,7 Millionen Barrel

81. 1.9


Dezimalexponenten lösen

Dieser Artikel wurde von David Jia mitverfasst. David Jia ist akademischer Tutor und Gründer von LA Math Tutoring, einer privaten Nachhilfefirma mit Sitz in Los Angeles, Kalifornien. Mit über 10 Jahren Unterrichtserfahrung arbeitet David mit Schülern jeden Alters und jeder Schulstufe in verschiedenen Fächern sowie in der Studienberatung und Prüfungsvorbereitung für SAT, ACT, ISEE und mehr. Nachdem er beim SAT eine perfekte Punktzahl von 800 in Mathematik und eine Englischnote von 690 erreicht hatte, erhielt David das Dickinson-Stipendium der University of Miami, wo er mit einem Bachelor-Abschluss in Betriebswirtschaftslehre abschloss. Darüber hinaus hat David als Dozent für Online-Videos für Lehrbuchunternehmen wie Larson Texts, Big Ideas Learning und Big Ideas Math gearbeitet.

In diesem Artikel werden 10 Referenzen zitiert, die am Ende der Seite zu finden sind.

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Das Berechnen von Exponenten ist eine Grundfertigkeit, die die Schüler in der Präalgebra erlernen. Normalerweise sehen Sie Exponenten als ganze Zahlen und manchmal als Brüche. Selten sieht man sie als Dezimalzahlen. Wenn Sie einen Exponenten sehen, der eine Dezimalzahl ist, müssen Sie die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln. Dann gibt es eine Reihe von Regeln und Gesetzen bezüglich Exponenten, die Sie verwenden können, um den Ausdruck zu berechnen.


Probleme mit Dezimalwörtern lösen

Beispiel 1: Wenn 58 von 100 Schülern einer Schule Jungen sind, dann schreiben Sie eine Dezimalzahl für den Teil der Schule, der aus Jungen besteht.

Analyse: Wir können für den Teil der Schule, der aus Jungen besteht, einen Bruch und eine Dezimalzahl schreiben.

Beispiel 2: Ein Computer verarbeitet Informationen in Nanosekunden. Eine Nanosekunde ist ein Milliardstel einer Sekunde. Schreiben Sie diese Zahl als Dezimalzahl.

Analyse: Wir können ein Milliardstel als Bruch und dann als Dezimalzahl schreiben.

Antwort: Eine Nanosekunde, ein Milliardstel einer Sekunde, wird als 0,000000001 dezimal geschrieben.

Beispiel 3: Fünf Schwimmer nehmen an einem Wettbewerb teil. Vier der Schwimmer waren an der Reihe. Ihre Werte sind 9,8 s, 9,75 s, 9,79 s und 9,81 s. Welche Punktzahl muss der letzte Schwimmer erreichen, um den Wettkampf zu gewinnen?

Analyse: Wir müssen diese Dezimalstellen vom kleinsten zum größten ordnen. Dann müssen wir bestimmen, wie die geringste mit der Gewinnpunktzahl abschneidet.

Schritt 2: Die kleinste Dezimalstelle ist 9,75. Jetzt müssen wir feststellen, wie sich 9,75 mit der Gewinnpunktzahl vergleichen lässt.

Antwort: Der letzte Schwimmer muss eine Punktzahl von weniger als 9,75 s erreichen, um zu gewinnen.

Beispiel 4: Um einen Miniatur-Eiswagen zu bauen, benötigen Sie Reifen mit einem Durchmesser zwischen 1,465 cm und 1,472 cm. Funktioniert ein Reifen mit einem Durchmesser von 1,4691 cm? Erkläre warum oder warum nicht.

Analyse: Wir müssen diese Dezimalzahlen vergleichen und ordnen, um dieses Problem zu lösen. Insbesondere müssen wir feststellen, ob die dritte Dezimalstelle zwischen den ersten beiden liegt.

Schritt 1: Beginnen wir damit, eine Dezimalstelle in ihrer ursprünglichen Reihenfolge unter die andere zu schreiben. Wir werden einen Pfeil neben 1.4691 platzieren, damit wir seinen Wert verfolgen können.

Schritt 2: Ordnen wir nun diese Dezimalzahlen von der kleinsten zur größten.

Schritt 3: Jetzt müssen wir feststellen, ob die dritte Dezimalstelle (gekennzeichnet durch den Pfeil) zwischen den ersten beiden liegt.

Antwort: Ein Reifen mit einem Durchmesser von 1,4691 cm funktioniert, da 1,4691 zwischen 1,465 und 1,472 liegt.

Beispiel 5: Ellen wollte die folgenden Artikel kaufen: Einen DVD-Player für 49,95 US-Dollar, einen DVD-Halter für 19,95 US-Dollar und eine persönliche Stereoanlage für 21,95 US-Dollar. Hat Ellen genug Geld, um alle drei Artikel zu kaufen, wenn sie 90 Dollar bei sich hat?

Analyse: Der Satz genug Geld sagt uns, dass wir die Summe der drei Items schätzen müssen. Wir schätzen die Summe, indem wir jede Dezimalstelle auf die nächste Zahl runden. Wir müssen dann unsere geschätzte Summe mit 90 US-Dollar vergleichen, um zu sehen, ob sie genug Geld hat, um diese Gegenstände zu kaufen.

Antwort: Nein, denn durch Runden jeder Dezimalstelle auf die nächste Eins erhalten wir eine Schätzung von $92 und Ellen hat nur $90 bei sich.

Beispiel 6: Haben wir in Beispiel 5 über- oder unterschätzt? Erkläre deine Antwort.

Analyse: Um festzustellen, ob die Schätzung in Beispiel 5 eine Über- oder Unterschätzung ist, müssen wir ihre Schätzung mit der tatsächlichen Summe vergleichen.

Antwort: In Beispiel 5 ist die Schätzung von 92 $ zu hoch angesetzt, da sie mehr als 91,85 $ beträgt, den Geldbetrag, den Ellen benötigt, um diese Artikel zu kaufen.

Beispiel 7: Wie groß ist die kombinierte Dicke dieser fünf Unterlegscheiben: 0,008, 0,125, 0,15, 0,185 und 0,005 cm?

Analyse: Der Satz kombinierte Dicke sagt uns, dass wir diese fünf Dezimalstellen addieren müssen, um ihre Summe zu erhalten.

Antwort: Die kombinierte Dicke dieser fünf Unterlegscheiben beträgt 0,473 cm.

Beispiel 8: Melissa kaufte in einem Geschäft Lebensmittel im Wert von 39,46 US-Dollar. Die Kassiererin gab ihr 1,46 Dollar Wechselgeld von einem 50-Dollar-Schein. Melissa warf der Kassiererin einen wütenden Blick zu. Was hat die Kassiererin falsch gemacht?

Analyse: Wir müssen die Differenz schätzen, um zu sehen, ob der Kassierer einen Fehler gemacht hat.

Schätzung: $1,46 ist viel kleiner als die geschätzte Differenz von $10,00. Also muss die Kassiererin Melissa das falsche Wechselgeld gegeben haben.

Beispiel 9: Wie viel Wechselgeld sollte Melissa in Beispiel 8 von der Kassiererin bekommen? T

Analyse: Wir müssen die Differenz von 50 $ und 39,46 $ finden.

Beispiel 10: Wenn von einem 3 Fuß langen Stück Isolierband 0,037 Fuß abgeschnitten werden, wie lang ist dann das Klebeband? .46

Analyse: Wir müssen subtrahieren: 10 - 0,037 und drücken Sie die Antwort mit den richtigen Einheiten aus.

Antwort: 10 Fuß - 0,037 Fuß = 9,963 Fuß

Zusammenfassung: In dieser Lektion haben wir gelernt, wie man Textaufgaben mit Dezimalzahlen löst. Wir haben die folgenden Fähigkeiten verwendet, um diese Probleme zu lösen: Dezimalzahlen lesen und schreiben, Dezimalzahlen vergleichen und ordnen, Dezimalsummen und -differenzen schätzen und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren.

Übungen

Anleitung: Lesen Sie jede Frage unten. Sie können Papier und Bleistift verwenden, um diese Probleme zu lösen. Klicken Sie einmal in ein ANTWORTFELD, geben Sie Ihre Antwort ein und klicken Sie dann auf EINGABE. Nachdem Sie auf EINGABE geklickt haben, wird im ERGEBNISFELD eine Meldung angezeigt, ob Ihre Antwort richtig oder falsch ist. Um von vorne zu beginnen, klicken Sie auf LÖSCHEN.


Brüche und gemischte Zahlen

Aufgabe 546: Die relativen Größen von Planeten und anderen Objekten Die Schüler verwenden proportionale Informationen, um die relativen Skalen von Planeten und großen Monden im gesamten Sonnensystem zu bestimmen. [Note: 3-5 | Themen:Skalenanteil] [Hier klicken]

Aufgabe 493: Spaß mit Zahnrädern und Brüchen Die Schüler lernen, wie einfache Brüche verwendet werden, um Zahnräder und Getriebezüge zu beschreiben, die die Geschwindigkeit reduzieren oder erhöhen. [Note: 4-7 | Themen: Einfache Brüche multiplizieren] [Hier klicken]

Aufgabe 465: Vergleich von Planeten, die andere Sterne umkreisen Die Schüler verwenden einfache Bruchrechnungen, um die relativen Größen mehrerer neuer Planeten zu bestimmen, die kürzlich von der Kepler-Mission entdeckt wurden, und vergleichen diese Größen mit denen von Jupiter und der Erde. [Note: 3-5 | Themen: Maßstabsmodelle Proportionen Brüche] [Hier klicken]

Aufgabe 464: Große Monde und kleine Planeten Die Schüler arbeiten mit einer maßstabsgetreuen Zeichnung von 26 großen Monden im Sonnensystem und untersuchen zusammen mit einer Übung zur Verwendung einfacher Brüche die relativen Größen der Monde im Vergleich zur Erde. [Note: 3-5 | Themen: Maßstabsmodelle Proportionen Brüche] [Hier klicken]

Problem 347: Mehr molekularer Wahnsinn! Die Schüler zählen die Anzahl der Atome in einem Ciprofloaxcin-Molekül, um seine chemische Formel und Masse zu bestimmen. [Note: 3-5 | Themen: Multiplikation zählen] [Hier klicken]

Problem 297: Atome – wie süß sie sind! Eine einfache Zählaktivität basiert auf Atomen in einem Zuckermolekül. Die Schüler berechnen Verhältnisse und Prozentsätze verschiedener Atomtypen im Molekül. [Note: 4-8 | Themen: Prozentzahl der Zählverhältnisse] [Hier klicken]

Aufgabe 242: Atome in Molekülen zählen Die Schüler zählen die Anzahl der Atome in einem einfachen Molekül und berechnen einige grundlegende Brüche, Prozentsätze und Massen. sie vervollständigen auch die chemische Formel für die Verbindung. [Note: 3-6 | Themen: ganze Zahlen ähnliche Dinge zählen Brüche Prozentsätze ] [Hier klicken]

Problem 230: Galaxienentfernungen und gemischte Brüche- Die Schüler verwenden die relativen Entfernungen zu nahe gelegenen Galaxien, ausgedrückt in gemischten Zahlen, um die Entfernungen zwischen ausgewählten Galaxien zu bestimmen. [Note: 3-5 | Themen: Grundlegende Bruchmathematik] [Hier klicken]

Aufgabe 229: Ordnungszahlen und Brüche multiplizieren- Die Schüler verwenden ein Stück des Periodensystems der Elemente, um die Identität von Atomen basierend auf numerischen Hinweisen herauszufinden, die als gemischte Zahlen ausgedrückt werden. [Note: 3-5 | Themen: Grundlegende Bruchmathematik gemischte Zahlen.] [Hier klicken]

Aufgabe 217: Fraktionen und Chemie- Die Schüler studieren einfache chemische Gleichungen, indem sie einfache Proportionen und gemischte Zahlen verwenden. [Note: 3-6 | Themen: Grundlegende mathematische Brüche.] [Hier klicken]

Aufgabe 216: Atomfraktionen- Die Schüler untersuchen die Energieleitern eines Atoms und berechnen anhand von Unterschieden zwischen gemischten Zahlen die Energie, die ein Elektron beim Auf- und Absteigen der Leiter gewinnt oder verliert. [Note: 3-6 | Themen: Grundlegende Bruchmathematik] [Hier klicken]

Aufgabe 215: Mehr Atomfraktionen- Die Schüler untersuchen die Energieleitern eines Atoms und berechnen anhand von Unterschieden zwischen gemischten Zahlen die Energie, die ein Elektron beim Auf- und Absteigen der Leiter gewinnt oder verliert. [Note: 3-6 | Themen: Grundlegende Bruchmathematik] [Hier klicken]

Aufgabe 214: Atomfraktionen III- Die Schüler untersuchen die Energieleitern eines Atoms und berechnen anhand von Unterschieden zwischen gemischten Zahlen die Energie, die ein Elektron beim Auf- und Absteigen der Leiter gewinnt oder verliert. [Note: 3-6 | Themen: Grundlegende Bruchmathematik] [Hier klicken]

Problem 180: Planeten, Brüche und Skalen- Die Schüler arbeiten mit relativen Planetenvergleichen, um die tatsächlichen Größen der Planeten unter Berücksichtigung des Erddurchmessers zu bestimmen. [Note: 4-6| Themen: Maßstabsmodelle Dezimalbrüche Brüche] [Hier klicken]

Aufgabe 165: Brüche im Raum - Die Schüler erforschen die vielen Möglichkeiten, wie einfache Brüche beim Studium der Planetenbewegung auftauchen. [Note: 3-5 | Themen: Arbeiten mit Bruchrechnungen] [Hier klicken]

Problem 166: Die Dollars und Cents der Forschung - Studenten arbeiten mit Dollarbeträgen, Stundenlohnsätzen und Prozentsätzen, um verschiedene Modelle der Kosten wissenschaftlicher Forschung aus der Sicht des einzelnen Wissenschaftlers zu untersuchen. [Note: 4-6 | Themen: Prozentsätze, Dezimalmathematik, einfache Sätze (z. B. Dollar/Stunde)] [Hier klicken]

Aufgabe 174: Eine Frage des Timings - Die Schüler untersuchen Saturn-Satelliten, um grafisch zu berechnen, wie oft sie sich aufstellen werden. [Note: 3-6| Themen: Maßstabsmodell Zeitberechnung Brüche Arbeiten mit Linealen und Zirkeln] [Hier klicken]

Aufgabe 163: Zeitintervalle - Die Schüler berechnen Zeitintervalle zwischen einer Reihe von astronomischen Ereignissen, von Millisekunden bis zu Jahren. [Note: 3-5 | Themen: Zeitberechnungen Einheitenumrechnungen Dezimalmathematik] [Hier klicken]

Problem 151: Zeitzonen-Mathematik - Die Schüler lernen Zeitzonen kennen und führen einfache Uhrberechnungen mit den gängigen Zeitzonen der USA und Europas durch. [Note: 3-5 | Themen: Zeiteinheiten Addition, Subtraktion] [Hier klicken]

Aufgabe 37: Zeitzonenmathematik. Die Schüler erfahren mehr über die Zeitzonen auf der ganzen Welt und warum es wichtig ist, den Überblick zu behalten, wenn Sie ein astronomisches Phänomen sehen. Eine Reihe einfacher Zeitberechnungen lehrt die Schüler, von einer Zeitzone in eine andere umzurechnen. [Note: 5 - 7 | Themen: Zeitzonen-Mathematik] [Hier klicken] Zum Seitenanfang springen


5.7: Gleichungen mit Dezimalstellen - Mathematik

Dieser Abschnitt enthält einige Beispiele, die präzise mathematische Abfrageergebnisse in MySQL zeigen. Diese Beispiele demonstrieren die Prinzipien, die in Abschnitt 12.22.3, „Ausdrucksbehandlung“ und Abschnitt 12.22.4, „Rundungsverhalten“, beschrieben sind.

Beispiel 1 . Zahlen werden nach Möglichkeit mit ihrem genauen Wert wie angegeben verwendet:

Bei Gleitkommawerten sind die Ergebnisse ungenau:

Eine andere Möglichkeit, den Unterschied zwischen der Handhabung von genauen und ungefähren Werten zu erkennen, besteht darin, eine kleine Zahl mehrmals zu einer Summe hinzuzufügen. Betrachten Sie die folgende gespeicherte Prozedur, die 0,0001 zu einer Variablen 1.000 Mal hinzufügt.

Die Summe für d und f sollte logisch 1 sein, aber das gilt nur für die Dezimalrechnung. Die Gleitkommaberechnung führt zu kleinen Fehlern:

Beispiel 2 . Multiplication is performed with the scale required by standard SQL. That is, for two numbers X1 und X2 that have scale S1 und S2 , the scale of the result is S1 + S2 :

Beispiel 3 . Rounding behavior for exact-value numbers is well-defined:

Rounding behavior (for example, with the ROUND() function) is independent of the implementation of the underlying C library, which means that results are consistent from platform to platform.

Rounding for exact-value columns ( DECIMAL and integer) and exact-valued numbers uses the “ round half away from zero ” rule. A value with a fractional part of .5 or greater is rounded away from zero to the nearest integer, as shown here:

Rounding for floating-point values uses the C library, which on many systems uses the “ round to nearest even ” rule. A value with a fractional part exactly half way between two integers is rounded to the nearest even integer:

Beispiel 4 . In strict mode, inserting a value that is out of range for a column causes an error, rather than truncation to a legal value.

When MySQL is not running in strict mode, truncation to a legal value occurs:

However, an error occurs if strict mode is in effect:

Beispiel 5 : In strict mode and with ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO set, division by zero causes an error, not a result of NULL .

In nonstrict mode, division by zero has a result of NULL :

However, division by zero is an error if the proper SQL modes are in effect:

Beispiel 6 . Exact-value literals are evaluated as exact values.

Approximate-value literals are evaluated using floating point, but exact-value literals are handled as DECIMAL :

Beispiel 7 . If the argument to an aggregate function is an exact numeric type, the result is also an exact numeric type, with a scale at least that of the argument.

Consider these statements:

The result is a double only for the floating-point argument. For exact type arguments, the result is also an exact type:

The result is a double only for the floating-point argument. For exact type arguments, the result is also an exact type.


MathHelp.com

Solve 7x + 2 = &ndash54

The variable is on the left-hand side (LHS) of the equation. It is currently multiplied by seven, and then it has a two added to it. I need to undo the "times seven" and the "plus two".

There is no rule about which "undo" operation I should do first. However, if I first divide through by 7 , I'm definitely going to create fractions. Personally, I prefer to avoid fractions if possible, so I almost always do any plus / minus before any times / divide. I might end up having to deal with fractions anyway, but at least I can put them off until closer to the end of my work.

Starting with the "plus two" first, I'll subtract two from either side of the equation. Only then will I divide through by the seven. My work looks like this:

By doing the plus / minus first, I avoided fractions. As you can see, the answer doesn't involve fractions, so I did myself a favor by doing the dividing-through last. My solution is:

Formatting your homework and showing your work in the manner I have done above is, in my experience, fairly universally acceptable. However (warning!), it is also a good idea to clearly rewrite your final answer at the end of each exercise, as shown (in purple) above. Don't expect your grader to take the time to dig through your work and try to figure out what you probably meant your answer to be. Format your work so as to make your meaning clear.

Solve &ndash5x &ndash 7 = 108

In this equation, the variable (on the left-hand side) is multiplied by a minus five, and then a seven is subtracted from it. In hopes (as always!) of avoiding fractions, I'll add seven to either side of the equation first. Only then will I divide through by the minus five. My work looks like this:

I've shown my work neatly. Now I'll clearly rewrite my solution at the end of my work:

Solve 3x &ndash 9 = 33

The variable (on the left-hand side of the equation) is multiplied by a three, and then a nine is subtracted from it. I'll take care of the nine first, and then the three:

In this case, again, my solution has no fractions:

Solve 5x + 7x = 72

In this equation, I have two terms on the left-hand side that contain variables. So my first step is to combine these "like terms" on the left. Then I can solve:

Even though it might initially have looked more complicated, this is actually a one-step equation. I'll solve by dividing through by twelve:

Solve 4x &ndash 6 = 6x

In this equation, I've got terms with variables on either side of the equation. To solve, I need to get those variable terms all on one side of the equation.

There is no rule saying which of the two terms I should move, the 4x or the 6x . However, I've learned from experience that, to avoid negative coefficients on my variables, I should move the x term with the smaller coefficient. That means, in this case, that I'll subtract the 4x from the left-hand side over to the right-hand side:

And now I have a one-step equation, which I'll solve by dividing through by two:

In the above exercise, the variable (in my working) ended up on the right-hand side of the equation. Das ist vollkommen in Ordnung. The variable is not "required" to end up on the left-hand side of the equation we're just used to seeing it there. So the result " &ndash3 = x " is perfectly okay, and means exactly the same thing as " x = &ndash3 ".

However (warning!), I have heard that some instructors insist that the variable be placed on the left-hand side of the equation in the final answer. (No, I'm not making this up.) So, even though the " &ndash3 = x " is perfectly valid in the working, those instructors will count this as "wrong" if you leave the answer this way. If you have any doubts about your instructor's formatting preferences, ask now.

Solve 8x &ndash 1 = 23 &ndash 4x

In this equation, I've got variables on either side of the equation, and also loose numbers on either side. I need to get the variable terms on one side, and the loose numbers on the other side. Because I'd like to avoid negative coefficients on my variables, I'll be moving the smaller of the two terms namely, the &ndash4x that's currently on the right-hand side. To get the loose numbers on the side opposite the variable terms, I'll be moving the &ndash1 that's currently on the left-hand side. There is no particular "right" order for doing these steps since they're both a matter of adding, people usually do them together in one step. I'll do the variable terms first, and then the loose numbers:

At this point, I've got a one-step equation which requires one division to solve:


The Decimal Expansionof All Fractions (1/d)from 1/2 through 1/70

What we'll confirm further below (in detail) is that the digit '9' (often a string of many nines) is a key factor in understanding repeating decimal fractions: Because for many of them, the number of digits which repeat are the same as the smallest string of nines which can be divided evenly by the denominator, and that quotient will equal the repeating digit(s)! Stating this in algebraic terms: For each 1/p (where p is a prime number, but nicht 2 or 5), then for k = 1,2,3. n, [(10^k)-1]/p = das repeating digits for that fraction, when there is no remainder k also indicates the number of digits that repeat. This is quite easy to show by way of example: Starting with 1/3, for k = 1: (10^1)-1=9 , and 9/3 = 3. Done. The single repeating digit is 3. Für 1/7 , it's obvious that 9/7 has a remainder, as does 99/7 (and for k=3, 4 or 5 as well). But when we use (10^6)-1=999999 , we arrive at the integer only quotient of 142857 (999999 / 7 = 142857). Unlike 1/3, the fraction 1/7 is a special case where k = p - 1, and we call the digits which repeat a cyclic number . Für 1/11, k = 2, since 11 divides evenly into 99. Note: There must be two repeating digits in this case (since k=2), and they are: 09. Likewise, for 1/13, at k = 6, we find that 999999 / 13 = 76923, but there must be 6 repeating digits they are: 076923.

EIN Cyclic Number is a k-digit-long integer, that when multiplied by 2, 3, 4 . up to k will result in the same k digits in a different order. It will also have the characteristic that multiplying those digits by k + 1will produce a string of k nines (). Example: Multiplying 0588235294117647 (16 digits) by 16, produces: 9411764705882352 rotating through 8 digits in this case. But if we multiply this number by k + 1 = 17, the result is a string of 16 nines: 9999999999999999.

0.020408163265306122448979591836734693877551
Odd: 42 digits instead of only 6. (1/7 times 1/7)
Reason: 999999 is not evenly divisible by 49,
but (10^42 - 1) is! (See "Observations. " section below.)

At first glance, this curious fraction produces some unexpected digits:
02, 04, 08, 16, 32 . aber breaks bei 653 (no 64) yet picks up
again with: 06, 12, 24, 48 . breaks again mit 9795 (instead
of 96). only to see 9, 18 und 36 follow, but then a 73 (not a 72). EIN
visitor to this page pointed out how this is easily explained as the result
of summing various fractions together:

0.02
0.0004
0.000008
0.00000016
0.0000000032
0.000000000064
0.00000000000128
0.0000000000000256
0.000000000000000512
0.00000000000000001024
----------------------
0.02040816326530612224

In this manner, our curious fraction can be thought of as the sum of successive
powers of 0.02:
1/49
= Infinite sum of [ 1/50 + 1/(50^2) + 1/(50^3) + 1/(50^4) + 1/(50^5) . . . ]

In order to reach the point where our results start to repeat only the first two
digits (02), we have to carry out the summation to the inverse of the 26th
power of 50 which gives us the following sum:
0.02040816326530612244897959183673469387755102 02712064 .

Fraction Exact Decimal Equivalent oder Repeating Decimal Expansion
1 / 2 0.5
1 / 3 0.333333333333333333 (Only 1 repeating digit)
1 / 4 0.25
1 / 5 0.2
1 / 6 0.166666666666666666 ( 1/2 times 1/3)
1 / 7 0.142857142857 142857 (6 repeating digits)
1 / 8 0.125
1 / 9 0.111111111111111111 (1/3 times 1/3) or (1/3)^2
1 / 10 0.1
1 / 11 0.090909090909090909 (Only 2 repeating digits)
1 / 12 0.083333333333333333 [(1/2)^2 times 1/3]
1 / 13 0.076923076923 076923 (Only 6 repeating digits)
1 / 14 0.07142857142857142857 ( 1/2 times 1/7)
1 / 15 0.066666666666666666 ( 1/5 times 1/3)
1 / 16 0.0625
1 / 17 0. 0588235294117647 (16 digits)
1 / 18 0.055555555555555555 [ 1/2 times (1/3)^2]
1 / 19 0. 052631578947368421 (18 digits)
1 / 20 0.05
1 / 21 0.047619047619 047619 (1/3 times 1/7)
1 / 22 0.0454545454545454545 (1/2 times 1/11)
1 / 23 0. 0434782608695652173913 (22 digits)
1 / 24 0.041666666666666666 [(1/2)^3 times 1/3]
1 / 25 0.04
1 / 26 0. 0 384615384615 384615 ( 1/2 times 1/13)
1 / 27 0.037037037037037 037 [ (1/3)^3 ] (3 digits)
1 / 28 0. 03 571428571428 571428 [(1/2)^2 times 1/7]
1 / 29 0.0344827586206896551724137931 (28 digits)
1 / 30 0.033333333333333333 (1/2 * 1/5 times 1/3)
1 / 31 0.032258064516129 032258064516129 (Only 15 digits)
1 / 32 0.03125
1 / 33 0.030303030303030303 (1/3 times 1/11)
1 / 34 0. 02941176470588235 ( 1/2 times 1/17 )
1 / 35 0. 0 285714285714 285714 ( 1/5 times 1/7)
1 / 36 0.027777777777777777 [(1/2)^2 times (1/3)^2]
1 / 37 0.027027027027027 027 (Only 3 repeating digits)
1 / 38 0. 0 263157894736842105 (1/2 times 1/19)
1 / 39 0.025641025641 025641 (1/3 times 1/13)
1 / 40 0.025
1 / 41 0.0243902439 02439 (Only 5 repeating digits)
1 / 42 0. 0238095238095 238095 ( 1/6 times 1/7)
1 / 43 0.023255813953488372093 (Only 21 digits)
1 / 44 0.022727272727272727 [(1/2)^2 times 1/11]
1 / 45 0.022222222222222222 [1/5 times (1/3)^2]
1 / 46 0.02173913043478260869565 (1/2 times 1/23)
1 / 47 0.0212765957446808510638297872340425531914893617
(46 digits)
1 / 48 0. 0208 3333333333333 3 [(1/2)^4 times 1/3]
1 / 49
1 / 50 0.02
1 / 51 0.0196078431372549 0196078431372549 (1/3 times 1/17)
1 / 52 0. 01 923076923076 923076 [(1/2)^2 times 1/13]
1 / 53 0.0188679245283 0188679245283 (Only 13 digits)
1 / 54 0. 0 185185185185185 185 [ 1/2 times (1/3)^3]
1 / 55 0. 0 1818181818181818 18 ( 1/5 times 1/11)
1 / 56 0. 017 857142857142 857142 [(1/2)^3 times 1/7]
1 / 57 0.017543859649122807 017543859649122807 (1/3 times 1/19)
1 / 58 0.01724137931034482758620689655 (1/2 times 1/29)
1 / 59 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
(58 digits)
1 / 60 0.016666666666666666 [(1/2)^2 * 1/5 times 1/3]
1 / 61 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
(60 digits)
1 / 62 0. 0 161290322580645 161290322580645 ( 1/2 times 1/31)
1 / 63 0.015873015873 015873 [(1/3)^2 times 1/7]
1 / 64 0.015625
1 / 65 0. 0 153846153846 153846 ( 1/5 times 1/13)
1 / 66 0. 0 1515151515151515 15 ( 1/2 * 1/3 times 1/11)
1 / 67 0. 014925373134328358208955223880597
(Only 33 digits)
1 / 68 0. 01 4705882352941176 4705882352941176
[(1/2)^2 times 1/17]
1 / 69 0. 0144927536231884057971 ( 1/3 times 1/23 )
1 / 70 0. 0 142857142857 142857 ( 1/2 * 1/5 times 1/7)
I decided to add the following for some curious minds:
1 / 81 0. 012345679012345679 [ (1/9)^2 or: (1/3)^4 ] (Only 9 repeating digits) (Note: "8" is missing.)
1 / 9801 [ (1/99)^2] All 2-digit numbers from 00 through 99 repeat! (Except: "98" is missing.)
1/998001 [(1/999)^2] All 3-digit numbers from 000 through 998 repeat! (Except: "998" is missing.)

Here's a fun online calculator: https://mathsisfun.com/calculator-precision.html which you can set to 3000 decimal places, then enter 1/998001 to see that every 3-digit number (except "998") will appear!

General Rule of Exact Decimal Equivalents

    Note that all the fractions comprised of a power of 1/2 (1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, etc.) have exact decimal equivalents. (This may seem more like binary math, instead of 'decimal' fractions! But dividing '1' by powers of two, gives us digits similar to successive powers of 5 such as: 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, etc.) As a matter of fact, every fraction that has an exact decimal equivalent consists only of powers of 1/2, or the Produkt of 1/5 times a power of 1/2 or some multiple of these fractions (such as 3 times 1/4 = 3/4 = 0.75) there is no other way for an exact decimal equivalent to exist. Also note that 2 und 5 are the only prime factors of 10. More examples: 1/20 = 0.05, 1/50 = 0.02 and 1/100 = 0.01.


Large and Small

So, our Decimal System lets us write numbers as large or as small as we want, using the decimal point. Digits can be placed to the left or right of a decimal point, to show values greater than one or less than one.

Das decimal point is the most important part of a Decimal Number. Without it we are lost, and don't know what each position means.

17 591
On the left of the decimal point is a
whole number (such as 17)
As we move further left,
every place gets 10 times bigger.
The first digit on the right means
tenths (1/10).
As we move further right,
every place gets 10 times smaller
(one tenth as big).


Explore the Decimal Subtraction Worksheets in Detail

Browse through this extensive range of decimal subtraction using number lines worksheets featuring exercises to comprehend number lines and increments, drawing hops, plugging in missing decimals, writing the subtraction statements, usage of the ruler model and a lot more.

Introduce children to decimal subtraction using base ten block models with this set of worksheets. Featured here are exercises to comprehend base ten blocks, writing the subtraction sentence, then subtracting decimals by moving units from one mat to the other.

Supplement your core instructions in subtracting decimals vertically with this set of 85+ worksheets. Classified based on place values, these decimal column subtraction worksheets provide exercises with/without the borrowing concept.

Add more variety to the decimal subtraction exercises with this set of printables that provide grids to serve the purpose. Strengthen the subtraction skills of the children by helping them visualize the place values using grids.

Practice subtraction of decimals horizontally in accordance with the place values of the decimal numbers with this collection of decimal row subtraction worksheets.

These decimal line up subtraction worksheets teach vertical alignment of decimal numbers according to their place values ranging from tenths to millionths and then to subtract them.


Problem Solving

Problem 377: Deep Impact: Approaching Comet Hartley-2
Students use data for the brightness of Comet Hartley-2 measured by the Deep Impact spacecraft to create a linear equation for its approach distance, and use the inverse-square law to estimate its brightness on October 13, 2010. [Grade: 8-10 | Topics: linear modeling from data inverse-square law] [Click here]

Problem 238: Satellite Drag and the Hubble Space Telescope Satellite experience drag with the atmosphere, which eventually causes them to burn up in the atmosphere. Students study various forecasts of the altitude of the Hubble Space Telescope to estimate its re-entry year. [Grade: 6-8 | Topics: interpreting graphical data predicting trends] [Click here]

Problem 211: Where Did All the Stars Go?- Students learn why NASA photos often don't show stars because of the way that cameras take pictures of bright and faint objects. [Grade: 6-8| Topics: multiplication division decimal numbers.] [Click here]

Problem 124 The Moon's Atmosphere! Students learn about the moon's very thin atmosphere by calculating its total mass in kilograms using the volume of a spherical shell and the measured density. [Grade: 8-10 | Topics:volume of sphere, shell density-mass-volume unit conversions] [Click here]

Problem 95 A Study on Astronaut Radiation Dosages in Space - Students will examine a graph of the astronaut radiation dosages for Space Shuttle flights, and estimate the total dosages for astronauts working on the International Space Station. [Grade level: 9-11 | Topics:Graph analysis, interpolation, unit conversion] [Click here]

Problem 83 Luner Meteorite Impact Risks - In 2006, scientists identified 12 flashes of light on the moon that were probably meteorite impacts. They estimated that these meteorites were probably about the size of a grapefruit. How long would lunar colonists have to wait before seeing such a flash within their horizon? Students will use an area and probability calculation to discover the average waiting time. [Grade level: 8-10 | Topics: arithmetic unit conversions surface area of a sphere ] [Click here]

Problem 74 A Hot Time on Mars - The NASA Mars Radiation Environment (MARIE) experiment has created a map of the surface of mars, and measured the ground-level radiation background that astronauts would be exposed to. This math problem lets students examine the total radiation dosage that these explorers would receive on a series of 1000 km journeys across the martian surface. The students will compare this dosage to typical background conditions on earth and in the International Space Station to get a sense of perspective [Grade level: 6-8 | Topics: decimals, unit conversion, graphing and analysis ] [Click here]

Problem 71 Are the Van Allen Belts Really Deadly? - This problem explores the radiation dosages that astronauts would receive as they travel through the van Allen Belts enroute to the Moon. Students will use data to calculate the duration of the trip through the belts, and the total received dosage, and compare this to a lethal dosage to confront a misconception that Apollo astronauts would have instantly died on their trip to the Moon. [Grade level: 8-10 | Topics: decimals, area of rectangle, graph analysis] [Click here]

Problem 68 An Introduction to Space Radiation - Read about your natural background radiation dosages, learn about Rems and Rads, and the difference between low-level dosages and high-level dosages. Students use basic math operations to calculate total dosages from dosage rates, and calculating cancer risks. [Grade level: 6-8 | Topics: Reading to be Informed decimals, fractions, square-roots] [Click here]

Problem 66 Background Radiation and Lifestyles - Living on Earth, you will be subjected to many different radiation environments. This problem follows one person through four different possible futures, and compares the cumulative lifetime dosages. [Grade level: 6-8 | Topics: fractions, decimals, unit conversions] [Click here]

NASA’s STEAM Innovation Lab is a think tank with an emphasis on space science content applications.


Dezimalstellen

Decimal numbers are made up of a whole number part, a decimal (or fraction) part, and the decimal point.

The place values to the right of the decimal point of the number shown above are given below:

The proper way to read a decimal number is to (1) read the whole number part, (2) read the decimal point as the word "and", and (3) read the decimal part.

What is the correct way to read the following number?
63.174

Select the number that matches the word:
seven and twenty-nine ten-thousandths


Schau das Video: Regn plus og minus med decimaltal (November 2021).