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8.4: Radikalgleichungen lösen


Lernziele

  • Radikale Gleichungen lösen
    • Quadratwurzeln in Gleichungen isolieren und nach einer Variablen auflösen
    • Identifizieren Sie fremde Lösungen für Radikalgleichungen
  • Quadratwurzeln und Vervollständigung des Quadrats zur Lösung radikaler Gleichungen
    • Verwenden Sie Quadratwurzeln, um quadratische Gleichungen zu lösen
    • Vervollständige das Quadrat, um eine quadratische Gleichung zu lösen
  • Verwenden der quadratischen Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen
    • Schreiben Sie eine quadratische Gleichung in Standardform und identifizieren Sie die Werte von ein, B, und C in einer quadratischen Gleichung in Standardform.
    • Verwenden Sie die Quadratische Formel, um alle reellen Lösungen zu finden.
    • Lösen Sie Anwendungsprobleme, die die Verwendung der Quadratischen Formel erfordern.

Eine grundlegende Strategie zum Lösen von Radikalgleichungen besteht darin, zuerst den Radikalterm zu isolieren und dann beide Seiten der Gleichung hochzuheben, um das Radikal zu entfernen. (Der Grund für die Verwendung von Potenzen wird gleich klar.) Dies ist die gleiche Art von Strategie, die Sie zum Lösen anderer, nicht-radikaler Gleichungen verwendet haben – ordnen Sie den Ausdruck neu an, um die gewünschte Variable zu isolieren, und lösen Sie dann die resultierende Gleichung .

Lösungen für radikale Gleichungen

Die Lösungen von (x^2=a) heißen Quadratwurzeln von a.

  • Wenn a positiv ist, ist a > 0, (+sqrt{a},-sqrt{a}). (-sqrt{a}) ist die negative Quadratwurzel von a.
  • Wenn a negativ ist, a < 0, hat (x^2=a) keine Lösungen.
  • Wenn a null ist, a = 0, hat (x^2=a) eine Lösung: a = 0

Um die Bedeutung des Konzepts klar zu machen, dass, wenn a negativ ist, a < 0, (x^2=a) keine Lösungen hat, werden wir es in Worten umformulieren. Wenn Sie wie in diesem Beispiel eine negative Zahl unter einem Quadratwurzelzeichen haben,

(sqrt{-3})

Es wird keine reellen Zahlenlösungen geben.

Es gibt zwei Schlüsselideen, die Sie verwenden werden, um Radikalgleichungen zu lösen. Die erste ist, dass wenn (

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=

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). (Mit dieser Eigenschaft können Sie beide Seiten einer Gleichung quadrieren und sicher sein, dass die beiden Seiten immer noch gleich sind.) Die zweite ist, dass, wenn die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl x wird quadriert, dann bekommst du x: (

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=x). (Mit dieser Eigenschaft können Sie die Radikale aus Ihren Gleichungen „entfernen“.)

Beginnen wir mit einer Radikalgleichung, die Sie in wenigen Schritten lösen können:(sqrt{x}-3=5).

Beispiel

Lösen. (sqrt{x}-3=5)

[reveal-answer q=”946356″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”946356″]Addiere 3 zu beiden Seiten, um den variablen Term auf der linken Seite der Gleichung zu isolieren.

(egin{array}{r}sqrt{x}-3,,,=,,,5unterstrichen{+3,,,,,, ,+3}end{array})

Sammeln Sie ähnliche Begriffe.

(sqrt{x}=8)

Quadrieren Sie beide Seiten, um das Radikal zu entfernen, da (

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=x). Achte auch darauf, die 8 zu quadrieren! Dann vereinfachen.

(egin{array}{r}

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=

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x=64end{array})

Antworten

(sqrt{x}-3=5)

[/versteckte-Antwort]

Um Ihre Lösung zu überprüfen, können Sie 64 durch ersetzen x in der ursprünglichen Gleichung. Ist (8−3=5).

Beachten Sie, wie Sie gleiche Begriffe kombiniert und dann beide quadriert haben Seiten der Gleichung in diesem Problem. Dies ist eine Standardmethode zum Entfernen eines Radikals aus einer Gleichung. Es ist wichtig, ein Radikal auf einer Seite der Gleichung zu isolieren und so weit wie möglich zu vereinfachen Vor quadrieren. Je weniger Terme vor dem Quadrieren vorhanden sind, desto weniger zusätzliche Terme werden beim Quadrieren erzeugt.

Im obigen Beispiel ist nur die Variable x war unter dem Radikalen. Manchmal müssen Sie eine Gleichung lösen, die mehrere Terme unter einem Radikal enthält. Befolgen Sie die gleichen Schritte, um diese zu lösen, aber achten Sie auf einen kritischen Punkt – quadrieren Sie beide Seiten einer Gleichung, nicht individuell Bedingungen. Beobachten Sie, wie die nächsten beiden Probleme gelöst werden.

Beispiel

Lösen. (x+8). Beide Seiten quadrieren, um das Radikal zu entfernen.

(

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=

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)

(

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=x+8). Vereinfache nun die Gleichung und löse nach x.

(egin{array}{r}x+8=9x=1end{array})

Überprüfe deine Antwort. 1 für ersetzen x in der ursprünglichen Gleichung eine wahre Aussage ergibt, also ist die Lösung richtig.

(egin{array}{r}sqrt{1+8}=3sqrt{9}=33=3end{array})

Antworten

(sqrt{x+8}=3).

[/versteckte-Antwort]

Im folgenden Video zeigen wir, wie man einfache Radikalgleichungen löst.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Beispiel

Lösen. (1+sqrt{2x+3}=6)

[reveal-answer q="479262″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”479262″]Beginnen Sie, indem Sie 1 von beiden Seiten abziehen, um den Radikalterm zu isolieren. Dann quadrieren Sie beide Seiten, um das Binomial vom Radikal zu entfernen.

(egin{array}{r}1+sqrt{2x+3}-1=6-1sqrt{2x+3}=5,,,,,,, ,,,

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=

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,,,end{array})

Vereinfache die Gleichung und löse nach x.

(egin{array}{r}2x+3=252x=22x=11end{array})

Überprüfe deine Antwort. Ersetzen von 11 für x in der ursprünglichen Gleichung eine wahre Aussage ergibt, also ist die Lösung richtig.

(egin{array}{r}1+sqrt{2(11)+3}=61+sqrt{22+3}=61+sqrt{25}=6 1+5=66=6end{array})

Antworten

(1+sqrt{2x+3}=6).

[/versteckte-Antwort]

Radikale Gleichungen lösen

Befolgen Sie die folgenden vier Schritte, um Radikalgleichungen zu lösen.

  1. Isolieren Sie den radikalen Ausdruck.
  2. Beide Seiten der Gleichung quadrieren: Wenn (x^{2}=y^{2}).
  3. Sobald das Radikal entfernt ist, lösen Sie nach dem Unbekannten auf.
  4. Überprüfen Sie alle Antworten.

Identifizieren Sie überflüssige Lösungen

Das Befolgen von Regeln ist wichtig, aber auch die Mathematik, die vor Ihnen liegt, ist wichtig – insbesondere beim Lösen radikaler Gleichungen. Werfen Sie einen Blick auf dieses nächste Problem, das eine potenzielle Falle zeigt, wenn beide Seiten quadriert werden, um das Radikal zu entfernen.

Beispiel

Lösen. (sqrt{a-5}=-2)

[reveal-answer q="798652″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”798652″]Quadrieren Sie beide Seiten, um den Term (a–5) aus dem Radikal zu entfernen.

(

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=

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)

Schreiben Sie die vereinfachte Gleichung und lösen Sie nach ein.

(egin{array}{r}a-5=4a=9end{array})

Überprüfen Sie nun die Lösung, indem Sie (a=9) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Es wird nicht überprüft!

(egin{array}{r}sqrt{9-5}=-2sqrt{4}=-22 e -2end{array})

Antworten

Keine Lösung.

[/versteckte-Antwort]

Sehen Sie sich das an – die Antwort (a=9) erzeugt keine wahre Aussage, wenn sie wieder in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird. Was ist passiert?

Überprüfen Sie das ursprüngliche Problem: (−2) und erinnern Sie sich daran, dass die Hauptquadratwurzel einer Zahl nur positiv. Dies bedeutet, dass kein Wert für ein ergibt einen Radikalausdruck, dessen positive Quadratwurzel (−2) ist! Das haben Sie vielleicht gleich bemerkt und sind zu dem Schluss gekommen, dass es dafür keine Lösungen gibt ein.

Falsche Werte der Variablen, wie sie beispielsweise beim Quadrieren eingeführt werden, heißen Fremdlösungen. Überflüssige Lösungen können wie die echte Lösung aussehen, aber Sie können sie identifizieren, da sie keine wahre Aussage erzeugen, wenn sie wieder in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. Dies ist einer der Gründe, warum die Überprüfung Ihrer Arbeit so wichtig ist – wenn Sie Ihre Antworten nicht überprüfen, indem Sie sie wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, führen Sie möglicherweise überflüssige Lösungen in das Problem ein.
Im nächsten Videobeispiel lösen wir radikalere Gleichungen, die überflüssige Lösungen haben können.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Sehen Sie sich das folgende Problem an. Beachten Sie, dass das ursprüngliche Problem (

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+8x+16=x+10). Das Quadrieren beider Seiten kann eine überflüssige Lösung eingeführt haben.

Beispiel

Lösen. (x+4=sqrt{x+10})

[reveal-answer q=”705028″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”705028″]Quadrieren Sie beide Seiten, um den Term (x+10) aus dem Radikal zu entfernen.

(

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=

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)

Vereinfachen und lösen Sie nun die Gleichung. Kombiniere ähnliche Terme und faktoriere dann.

(egin{array}{r}left( x+4 ight)left( x+4 ight)=x+10

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+8x+16=x+10

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+8x-x+16-10=0,,,,,,,,,,,,,,

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+7x+6=0,,,,,,,,,,,,,,links( x+6 echts)links( x+ 1 ight)=0,,,,,,,,,,,,,,end{array})

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null und lösen Sie nach auf x.

(egin{array}{c}left( x+6 ight)=0,, ext{or},,left( x+1 ight)=0x=- 6 ext{ oder }x=-1end{array})

Überprüfen Sie nun beide Lösungen, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Da (x=−6) eine falsche Aussage liefert, ist es eine Fremdlösung.

(egin{array}{l}-6+4=sqrt{-6+10},,,,,,,,-2=sqrt{4} ,,,,,,,,-2=2 ext{FALSCH!}\-1+4=sqrt{-1+10} ,,,,,,,,,,,,,,,3=sqrt{9},,,,, ,,,,,,,,,,3=3 ext{WAHR!}end{array})

Antworten

(x=−1) ist die einzige Lösung

[/versteckte-Antwort]

Beispiel

Lösen. (4+sqrt{x+2}=x)

[reveal-answer q=”568479″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”568479″]Isolieren Sie den Radikalterm.

(sqrt{x+2}=x-4)

Quadrieren Sie beide Seiten, um den Term (x+2) aus dem Radikal zu entfernen.

(

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=

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)

Vereinfachen und lösen Sie nun die Gleichung. Kombiniere ähnliche Terme und faktoriere dann.

(egin{array}{l}x+2=

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-8x+16,,,,,,,,,,,0=

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-8x-x+16-2,,,,,,,,,,,0=

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Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[6]/div[3]/p[7]/span[3], line 1, Spalte 2

-9x+14,,,,,,,,,,,0=left( x-7 ight)left( x-2 ight)end {Anordnung})

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null und lösen Sie nach auf x.

(egin{array}{c}left( x-7 ight)=0 ext{ oder }left( x-2 ight)=0x=7 ext{ oder }x=2 end{array})

Überprüfen Sie nun beide Lösungen, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Da (x=2) eine falsche Aussage erzeugt, ist es eine Fremdlösung.

(egin{array}{r}4+sqrt{7+2}=74+sqrt{9}=74+3=77=7 ext{WAHR !}4+sqrt{2+2}=24+sqrt{4}=24+2=26=2 ext{FALSCH!}end {Array})

Antworten

(x=7) ist die einzige Lösung.

[/versteckte-Antwort]

Im letzten Videobeispiel lösen wir eine Radikalgleichung mit einem Binomialterm auf einer Seite.

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Quadratwurzeln und Vervollständigung des Quadrats

Quadratische Gleichungen können auf viele Arten gelöst werden. Im vorherigen Abschnitt haben wir die Idee eingeführt, dass Lösungen für Radikalgleichungen im Allgemeinen anhand dieser Tatsachen gefunden werden können:

Lösungen für quadratische Gleichungen

Die Lösungen von (x^2=a) heißen Quadratwurzeln von a.

  • Wenn a positiv ist, ist a > 0, (+sqrt{a},-sqrt{a}). (-sqrt{a}) ist die negative Quadratwurzel von a.
  • Wenn a negativ ist, a < 0, hat (x^2=a) keine Lösungen.
  • Wenn a null ist, a = 0, hat (x^2=a) eine Lösung: a = 0

Eine Abkürzung für (-sqrt{a}) ist (pm) wird oft als „positiv oder negativ“ gelesen. Wenn es als Operation (Addition oder Subtraktion) verwendet wird, wird es als „Plus oder Minus“ gelesen.

Beispiel

Lösen Sie mit der Quadratwurzeleigenschaft. (x^{2}=9)

[reveal-answer q=”793132″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”793132″]Da eine Seite einfach (x^{2}) ist, können Sie die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, um zu erhalten x Auf der einen Seite. Vergessen Sie nicht, sowohl positive als auch negative Quadratwurzeln zu verwenden!

(egin{array}{l}x^{2}=9,,,x=pmsqrt{9},,,x=pm3end{array })

Antworten

(x=3) oder (-3))

[/versteckte-Antwort]

Beachten Sie, dass es hier einen Unterschied beim Lösen von (sqrt{9}) gibt. Für (sqrt{9}) möchten Sie nur die Rektor (nicht negative) Quadratwurzel. Das Negative der Hauptquadratwurzel ist (pm sqrt{9}). Sofern kein Symbol vor dem Wurzelzeichen steht, wird nur der nichtnegative Wert gesucht!

Im obigen Beispiel können Sie die Quadratwurzel beider Seiten leicht ziehen, da auf jeder Seite nur ein Term vorhanden ist. Bei einigen Gleichungen müssen Sie möglicherweise einige Arbeit leisten, um die Gleichung in diese Form zu bringen. Sie werden feststellen, dass dabei (x^{2}) isoliert wird.

Beispiel

Lösen. (10x^{2}+5=85)

[reveal-answer q=”637209″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”637209″]Wenn Sie versuchen, die Quadratwurzel beider Seiten der ursprünglichen Gleichung zu ziehen, haben Sie den Term (x^{2}) allein.

(10x^{2}+5=85)

Sie könnten jetzt die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, aber Sie hätten (sqrt{10}) als Koeffizienten und müssten durch diesen Koeffizienten dividieren. Das Dividieren durch 10, bevor Sie die Quadratwurzel ziehen, ist etwas einfacher.

(10x^{2}=80)

Jetzt haben Sie nur noch (x^{2}) auf der linken Seite, sodass Sie die Square Root-Eigenschaft problemlos verwenden können.

Achten Sie darauf, das Radikal wenn möglich zu vereinfachen.

(egin{array}{l}

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[7]/div[3]/p[8]/span, Zeile 1, Spalte 2

=8,,,x=pm sqrt{8},,,,,,=pm sqrt{(4)(2)}, ,,,,,=pm sqrt{4}sqrt{2},,,,,,=pm 2sqrt{2}end{array })

Antworten

(x=pm 2sqrt{2})

[/versteckte-Antwort]

Im folgenden Video zeigen wir weitere Beispiele zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen mit Quadratwurzeln.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Manchmal mehr als nur die x wird quadriert:

Beispiel

Lösen. (left(x–2 ight)^{2}–50=0)

[reveal-answer q="347487″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”347487″]Auch wenn Sie in dieser Phase die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, bleibt auf der linken Seite etwas übrig, mit dem Sie nicht arbeiten können. Beginnen Sie, indem Sie auf beiden Seiten 50 hinzufügen.

(left(x-2 ight)^{2}-50=0)

Da (left(x–2 ight)^{2}) eine quadrierte Größe ist, kannst du die Quadratwurzel beider Seiten ziehen.

(egin{array}{r}left(x-2 ight)^{2}=50,,,,,,,,,,x-2 =pmsqrt{50}end{array})

Isolieren x links müssen Sie auf beiden Seiten 2 hinzufügen.

Achten Sie darauf, das Radikal wenn möglich zu vereinfachen.

(egin{array}{l}x=2pm sqrt{50},,,,=2pm sqrt{(25)(2)},, ,,=2pm sqrt{25}sqrt{2},,,,=2pm 5sqrt{2}end{array})

Antworten

(x=2pm 5sqrt{2})

[/versteckte-Antwort]

In diesem Videobeispiel sehen Sie weitere Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Quadratwurzeln.

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Vervollständigen des Quadrats, um eine quadratische Gleichung zu lösen

Natürlich haben quadratische Gleichungen oft nicht das Format der obigen Beispiele. Die meisten werden haben x Bedingungen. Sie können den Ausdruck jedoch möglicherweise in ein quadriertes Binomial zerlegen – und wenn nicht, können Sie weiterhin quadrierte Binomie verwenden.

Einige der obigen Beispiele haben quadrierte Binome: (left(x–2 ight)^{2}) sind quadrierte Binome. Wenn Sie diese erweitern, erhalten Sie ein perfektes quadratisches Trinom.

Perfekte quadratische Trinome haben die Form (left(x+s ight)^{2}), oder sie haben die Form (left(x–s ight)^{2}). Lassen Sie uns ein perfektes quadratisches Trinom in ein quadriertes Binomial zerlegen.

Beispiel

Faktor (9x^{2}–24x+16).

[reveal-answer q=”844629″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”844629″]Beachten Sie zunächst, dass sowohl der (x^{2})-Term als auch der konstante Term perfekte Quadrate sind.

(egin{array}{l}9x^{2}=left(3x ight)^{2},,,16=4^{2}end{array})

Beachten Sie dann, dass der mittlere Term (ohne das Vorzeichen) zweimal das Produkt der Quadratwurzeln der anderen Terme ist.

(24x=2links(3x echts)links(4 echts))

Ein Trinom in der Form ((r–s)^{2}).

In diesem Fall wird der mittlere Term abgezogen, also subtrahiere R und S und quadrieren, um ((r–s)^{2}) zu erhalten.

(egin{array}{c},,,r=3xs=49x^{2}-24x+16=left(3x-4 ight)^{2} Ende{Array})

Antworten

(links(3x–4 echts)^{2})

[/versteckte-Antwort]

Sie können das Verfahren in diesem nächsten Beispiel verwenden, um Gleichungen zu lösen, bei denen Sie perfekte quadratische Trinome identifizieren, auch wenn die Gleichung nicht gleich 0 ist.

Beispiel

Lösen. (4x^{2}+20x+25=8)

[reveal-answer q=”538757″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a="538757″]Da gibt es ein x Begriff können Sie die Quadratwurzeleigenschaft nicht sofort verwenden (oder auch nach dem Addieren oder Teilen durch eine Konstante).

Beachten Sie jedoch, dass (left(2x ight)^{2}) und (2left(2x ight)left(5 ight))? Jawohl!

(4x^{2}+20x+25=8)

Ein Trinom in der Form (left(r+s ight)^{2}), also schreibe die linke Seite in ein quadriertes Binomial um.

((2x+5)^{2}=8)

Jetzt du kann Verwenden Sie die Quadratwurzeleigenschaft. Einige zusätzliche Schritte sind erforderlich, um zu isolieren x.

(egin{array}{r}2x+5=pm sqrt{8},,,,,,,,,,,,,, ,,2x=-5pm sqrt{8},,,,,x=-frac{5}{2}pm frac{1} {2}sqrt{8}end{array})

Vereinfachen Sie das Radikal, wenn möglich.

(egin{array}{l}x=-frac{5}{2}pm frac{1}{2}sqrt{4}sqrt{2}x=-frac {5}{2}pm frac{1}{2}(2)sqrt{2}x=-frac{5}{2}pm sqrt{2}end{array })

Antworten

(x=-frac{5}{2}pm sqrt{2})

[/versteckte-Antwort]

Eine Möglichkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, ist durch das Quadrat vervollständigen. Wenn Sie kein perfektes quadratisches Trinom haben, können Sie schaffen eine, indem man auf beiden Seiten der Gleichung einen konstanten Term hinzufügt, der ein perfektes Quadrat ist. Mal sehen, wie man diesen konstanten Begriff findet.

„Das Quadrat vervollständigen“ tut genau das, was es sagt – es nimmt etwas, das kein Quadrat ist, und macht es zu einem. Diese Idee lässt sich mit einem Flächenmodell des Binomials (x^{2}+bx) veranschaulichen.

In diesem Beispiel ist die Fläche des gesamten Rechtecks ​​durch (xleft(x+b ight)) gegeben.

Jetzt machen wir aus diesem Rechteck ein Quadrat. Teilen Sie zuerst das rote Rechteck mit Fläche bx in zwei gleiche Rechtecke mit jeweils der Fläche (bx).

Die roten Rechtecke bilden nun zwei Seiten eines Quadrats, die in Weiß dargestellt sind. Die Fläche dieses Quadrats ist die Länge der roten Rechtecke zum Quadrat, oder (

ParseError: ungültiges DekiScript (klicken Sie für Details)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[7]/div[7]/div[1]/p[7]/span , Zeile 1, Spalte 1

).

Hier kommt der coole Teil – sehen Sie, dass, wenn das weiße Quadrat zu den blauen und roten Regionen hinzugefügt wird, die gesamte Form jetzt auch ein Quadrat ist? Mit anderen Worten, Sie haben das Quadrat fertiggestellt! Durch Addition der Größe (x+frac{b}{2}).

Beachten Sie, dass die Fläche dieses Quadrats als quadriertes Binomial geschrieben werden kann: (left(x+frac{b}{2} ight)^{2}).

Einen Wert finden, der das Quadrat in einem Ausdruck vervollständigt

Um das Quadrat für einen Ausdruck der Form (x^{2}+bx) zu vervollständigen:

  • Identifizieren Sie den Wert von B;
  • Berechnen und addieren Sie (left(frac{b}{2} ight)^{2}).

Der Ausdruck wird zu (x^{2}+bx+left(frac{b}{2} ight)^{2}=left(x+frac{b}{2} ight)^{2} ).

Beispiel

Finden Sie die Zahl, die Sie zu (x^{2}+8x) addieren müssen, um daraus ein perfektes quadratisches Trinom zu machen.

[reveal-answer q=”691356″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”691356″]Erst identifizieren B wenn dies die Form (x^{2}+bx) hat.

(egin{array}{c}x^{2}+8x=8end{array})

Um das Quadrat zu vervollständigen, füge (left(frac{b}{2} ight)^{2}) hinzu.

(left(frac{b}{2} ight)^{2}=left(frac{8}{2} ight)^{2})

Vereinfachen.

(egin{array}{c}x^{2}+8x+left(4 ight)^{2}x^{2}+8x+16end{array})

Überprüfen Sie, ob das Ergebnis ein perfektes quadratisches Trinom ist. (left(x+4 ight)^{2}=x^{2}+4x+4x+16=x^{2}+8x+16), so ist es.

Antworten

Addieren von (x^{2}+8x) ein perfektes quadratisches Trinom.

[/versteckte-Antwort]

Beachte das (

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Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[7]/div[7]/div[2]/div/p[3] /span, Zeile 1, Spalte 1

) ist immer positiv, da es das Quadrat einer Zahl ist. Wenn Sie das Quadrat vervollständigen, addieren Sie immer einen positiven Wert.

Im folgenden Video zeigen wir weitere Beispiele, wie man einen konstanten Term findet, der ein Trinom zu einem perfekten Quadrat macht.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Sie können das Quadrat vervollständigen, um eine quadratische Gleichung zu lösen, die nicht durch Faktorisieren gelöst werden kann.

Beginnen wir damit, zu sehen, was passiert, wenn Sie das Quadrat in einer Gleichung vervollständigen. Beachten Sie im folgenden Beispiel, dass das Vervollständigen des Quadrats dazu führt, dass eine Zahl zu hinzugefügt wird beide Seiten der Gleichung – Sie müssen dies tun, um beide Seiten gleich zu halten!

Beispiel

Schreiben Sie (x^{2}+6x=8) um, sodass die linke Seite ein perfektes quadratisches Trinom ist.

[reveal-answer q=”539170″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”539170″]Diese Gleichung hat eine Konstante von 8. Ignoriere sie vorerst und konzentriere dich auf (x^{2}+bx), damit du B.

(egin{array}{r}x^{2}+6x=8=6end{array})

Um das Quadrat zu vervollständigen, füge (

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) zur linken Seite.

(

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=

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=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

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=9.)

Dies ist jedoch eine Gleichung, daher müssen Sie dieselbe Zahl zu der . hinzufügen Rechts Seite ebenso.

(x^{2}+6x+9=8+9)

Vereinfachen. Überprüfen Sie, ob die linke Seite ein perfektes quadratisches Trinom ist. (egin{array}{r}left(x+3 ight)^{2}=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9end{array} {r}), so ist es.

(egin{array}{r}x^{2}+6x+9=17x^{2}+6x+9=17(x+3)^{2}=17end{ Array})

Antworten

(x^{2}+6x+9=17)

[/versteckte-Antwort]

Können Sie sehen, dass das Vervollständigen des Quadrats in einer Gleichung der Vervollständigung des Quadrats in einem Ausdruck sehr ähnlich ist? Der Hauptunterschied besteht darin, dass Sie die neue Zahl (in diesem Fall (+9)) auf beiden Seiten der Gleichung hinzufügen müssen, um die Gleichheit zu wahren.

Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem Sie das Quadrat vervollständigen, um tatsächlich eine Gleichung zu lösen und einen Wert für die Variable zu finden.

Beispiel

Lösen. (x^{2}–12x–4=0)

[reveal-answer q=”903321″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”903321″]Da Sie das Trinom auf der linken Seite nicht faktorisieren können, verwenden Sie das Quadrat, um die Gleichung zu lösen.

Schreiben Sie die Gleichung mit der linken Seite in die Form (x^{2}+bx), vorbereiten, um das Quadrat zu vervollständigen. Identifizieren B.

(egin{array}{r}x^{2}-12x=4,,,,,,,,=-12end{array})

Überlegen Sie, welchen Wert Sie hinzufügen müssen, um das Quadrat zu vervollständigen. Hinzufügen (

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=

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=

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=36).

Addiere den Wert zu beide Seiten der Gleichung und vereinfachen.

(egin{array}{l}x^{2}-12x+36=4+36x^{2}-12x+36=40end{array})

Schreiben Sie die linke Seite in ein quadriertes Binomial um.

(left(x-6 ight)^{2}=40)

Verwenden Sie die Quadratwurzeleigenschaft. Denken Sie daran, sowohl die positive als auch die negative Quadratwurzel anzugeben, sonst verpassen Sie eine der Lösungen.

(x-6=pmsqrt{40})

Lösen für x indem Sie auf beiden Seiten 6 hinzufügen. Vereinfachen Sie nach Bedarf.

(egin{array}{l}x=6pm sqrt{40},,,,=6pm sqrt{4}sqrt{10},, ,,=6pm 2sqrt{10}end{array})

Antworten

(x=6pm 2sqrt{10})

[/versteckte-Antwort]

In diesem letzten Video lösen wir quadratischere Gleichungen, indem wir das Quadrat vervollständigen.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Sie haben vielleicht bemerkt, dass alle Beispiele zwei Lösungen haben, weil Sie beide Quadratwurzeln verwenden müssen. Hier ist ein weiteres Beispiel, das etwas anders ist.

Beispiel

Löse (x^{2}+16x+17=-47).

[reveal-answer q=”270245″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”270245″]Schreiben Sie die Gleichung so um, dass die linke Seite die Form (x^{2}+bx) hat. Identifizieren B.

(egin{array}{c}x^{2}+16x=-64=16end{array})

Hinzufügen (

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=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

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=64), zu beiden Seiten.

(egin{array}{l}x^{2}+16x+64=-64+64x^{2}+16x+64=0end{array})

Schreiben Sie die linke Seite als quadriertes Binomial.

(links(x+8 echts)^{2}=0)

Nimm die Quadratwurzeln von beiden Seiten. Normalerweise werden sowohl positive als auch negative Quadratwurzeln benötigt, aber 0 ist weder positiv noch negativ. 0 hat nur eine Wurzel.

(x+8=0)

Lösen für x.

(x=-8)

Antworten

(x=-8)

[/versteckte-Antwort]

Schauen Sie sich dieses Problem genauer an und Sie werden vielleicht etwas Bekanntes entdecken. Anstatt das Quadrat zu vervollständigen, addieren Sie 47 zu beiden Seiten der Gleichung. Die Gleichung (x^{2}+16x+64=0). Können Sie diese Gleichung durch Gruppierung faktorisieren? (Denken Sie an zwei Zahlen, deren Produkt 64 und deren Summe 16 ist).

Es kann natürlich als ((x+8)(x+8)=0) faktorisiert werden! Zu wissen, wie man das Quadrat vervollständigt, ist sehr hilfreich, aber es ist nicht immer die einzige Möglichkeit, eine Gleichung zu lösen.

Verwenden Sie die quadratische Formel, um quadratische Gleichungen zu lösen

Quadratische Formel

Sie können jede quadratische Gleichung lösen durch das Quadrat vervollständigen– einen Teil der Gleichung in ein perfektes quadratisches Trinom umschreiben. Wenn Sie das Quadrat nach der generischen Gleichung (x=frac{-bpm sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[8]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3

{2a}). Diese Gleichung ist als Quadratische Formel bekannt.

Diese Formel ist sehr hilfreich, um quadratische Gleichungen zu lösen, die schwer oder unmöglich zu faktorisieren sind, und ihre Verwendung kann schneller sein, als das Quadrat zu vervollständigen. Die Quadratische Formel kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung der Form (ax^{2}+bx+c=0) zu lösen.

Die Form (ax^{2}+bx+c=0) wird als Standardform einer quadratischen Gleichung bezeichnet. Bevor Sie eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel lösen, ist es lebenswichtig Stellen Sie sicher, dass die Gleichung in dieser Form vorliegt. If you don’t, you might use the wrong values for ein, B, or c, and then the formula will give incorrect solutions.

Beispiel

Rewrite the equation (3x+2x^{2}+4=5) in standard form and identify ein, B, und c.

[reveal-answer q=”489648″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”489648″]First be sure that the right side of the equation is 0. In this case, all you need to do is subtract 5 from both sides.

(egin{array}{c}3x+2x^{2}+4=53x+2x^{2}+4–5=5–5end{array})

Simplify, and write the terms with the exponent on the variable in descending order.

(egin{array}{r}3x+2x^{2}-1=02x^{2}+3x-1=0end{array})

Now that the equation is in standard form, you can read the values of ein, B, und c from the coefficients and constant. Note that since the constant 1 is subtracted, c must be negative.

(egin{array}{l}2x^{2},,,+,,,3x,,,-,,,1,,,=,,,0,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,ax^{2},,,,,,,,,,bx,,,,,,,,,,,,,,,,c\,,a=2,,,b=3,,,c=-1end{array})

Answer

(2x^{2}+3x–1=0;a=2,b=3,c=−1)

[/hidden-answer]

Beispiel

Rewrite the equation (2(x+3)^{2}–5x=6) in standard form and identify ein, B, und c.

[reveal-answer q=”585220″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”585220″]First be sure that the right side of the equation is 0.

(egin{array}{c}2left(x+3 ight)^{2}–5x=62(x+3)^{2}–5x–6=6–6end{array})

Expand the squared binomial, then simplify by combining like terms.

Be sure to write the terms with the exponent on the variable in descending order.

(egin{array}{r}2left(x^{2}+6x+9 ight)-5x-6=02x^{2}+12x+18–5x–6=02x^{2}+12x–5x+18–6=02x^{2}+7x+12=0end{array})

Now that the equation is in standard form, you can read the values of ein, B, und c from the coefficients and constant.

(egin{array}{l}2x^{2},,,+,,,7x,,,+,,,12,,,=,,,0,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,,,,,,,,,,,,,,,,,c\,,,,,,a=2,,,b=7,,,c=7end{array})

Answer

(2x^{2}+7x+12=0;,,a=2,b=7,c=12)

[/hidden-answer]

Solving a Quadratic Equation using the Quadratic Formula

The Quadratic Formula will work with irgendein quadratic equation, but only if the equation is in standard form, (ax^{2}+bx+c=0). To use it, follow these steps.

  • Put the equation in standard form first.
  • Identify the coefficients, ein, b, und c. Be careful to include negative signs if the bx oder c terms are subtracted.
  • Substitute the values for the coefficients into the Quadratic Formula.
  • Simplify as much as possible.
  • Use the (pm) in front of the radical to separate the solution into two values: one in which the square root is added, and one in which it is subtracted.
  • Simplify both values to get the possible solutions.

That’s a lot of steps. Let’s try using the Quadratic Formula to solve a relatively simple equation first; then you’ll go back and solve it again using another factoring method.

Beispiel

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}+4x=5).

[reveal-answer q=”296770″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”296770″]First write the equation in standard form.

(egin{array}{r}x^{2}+4x=5,,,x^{2}+4x-5=0,,,a=1,b=4,c=-5end{array})

Note that the subtraction sign means the constant c is negative.

(egin{array}{r}

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,,,+,,,4x,,,-,,,5,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,a

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[9]/div[1]/p[5]/span[2], line 1, column 2

,,,+,,,bx,,,+,,,c,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula. (x=frac{-bpm sqrt

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{2a})

(egin{array}{l}x=frac{-4pm sqrt

ParseError: colon expected (click for details)

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{2(1)}end{array})

Simplify, being careful to get the signs correct.

(x=frac{-4pmsqrt{16+20}}{2})

Simplify some more.

(x=frac{-4pm sqrt{36}}{2})

Simplify the radical: (sqrt{36}=6).

(x=frac{-4pm 6}{2})

Separate and simplify to find the solutions to the quadratic equation. Note that in one, 6 is added and in the other, 6 is subtracted.

(egin{array}{c}x=frac{-4+6}{2}=frac{2}{2}=1\text{or}x=frac{-4-6}{2}=frac{-10}{2}=-5end{array})

Answer

(x=1,,, ext{or},,,-5)

[/hidden-answer]

You can check these solutions by substituting (−5) into the original equation.

(egin{array}{r}x=-5x^{2}+4x=5,,,,,left(-5 ight)^{2}+4left(-5 ight)=5,,,,,25-20=5,,,,,5=5,,,,,end{array})

You get two true statements, so you know that both solutions work: (-5). You’ve solved the equation successfully using the Quadratic Formula!

The power of the Quadratic Formula is that it can be used to solve irgendein quadratic equation, even those where finding number combinations will not work.

In teh following video, we show an example of using the quadratic formula to solve an equation with two real solutions.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Most of the quadratic equations you’ve looked at have two solutions, like the one above. The following example is a little different.

Beispiel

Use the Quadratic Formula to solve the equation (x^{2}-2x=6x-16).

[reveal-answer q=”998241″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”998241″]Subtract 6x from each side and add 16 to both sides to put the equation in standard form.

(egin{array}{l}x^{2}-2x=6x-16x^{2}-2x-6x+16=0x^{2}-8x+16=0end{array})

Identify the coefficients ein, B, und c. (a=1). Since (a=1,b=-8,c=16)

(egin{array}{r}

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,,,-,,,8x,,,+,,,16,,,=,,,0downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,downarrow,,,,,,,,,,,,,,,,,,a

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[9]/div[2]/p[5]/span[2], line 1, column 2

,,,+,,,bx,,,+,,,,c,,,,=,,,0end{array})

Substitute the values into the Quadratic Formula.

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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{2a}x=frac{-(-8)pm sqrt

ParseError: colon expected (click for details)

Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[9]/div[2]/p[7]/span[2], line 1, column 6

{2(1)}end{array})

Vereinfachen.

(x=frac{8pm sqrt{64-64}}{2})

Since the square root of 0 is 0, and both adding and subtracting 0 give the same result, there is only one possible value.

(x=frac{8pm sqrt{0}}{2}=frac{8}{2}=4)

Answer

(x=4)

[/hidden-answer]

Again, check using the original equation.

(egin{array}{r}x^{2}-2x=6x-16,,,,,left(4 ight)^{2}-2left(4 ight)=6left(4 ight)-1616-8=24-16,,,,,,8=8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,end{array})

In the following video we show an example of using the quadratic formula to solve a quadratic equation that has one repeated solution.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

In this video example we show that solutions to quadratic equations can have rational answers.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Applying the Quadratic Formula

Quadratic equations are widely used in science, business, and engineering. Quadratic equations are commonly used in situations where two things are multiplied together and they both depend on the same variable. For example, when working with area, if both dimensions are written in terms of the same variable, you use a quadratic equation. Because the quantity of a product sold often depends on the price, you sometimes use a quadratic equation to represent revenue as a product of the price and the quantity sold. Quadratic equations are also used when gravity is involved, such as the path of a ball or the shape of cables in a suspension bridge.

A very common and easy-to-understand application is the height of a ball thrown at the ground off a building. Because gravity will make the ball speed up as it falls, a quadratic equation can be used to estimate its height any time before it hits the ground. Note: The equation isn’t completely accurate, because friction from the air will slow the ball down a little. For our purposes, this is close enough.

Beispiel

A ball is thrown off a building from 200 feet above the ground. Its starting velocity (also called initial velocity) is (−10) feet per second. (The negative value means it’s heading toward the ground.)

The equation (h=-16t^{2}-10t+200) can be used to model the height of the ball after T seconds. About how long does it take for the ball to hit the ground?

[reveal-answer q=”704677″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”704677″]When the ball hits the ground, the height is 0. Substitute 0 for h.

(egin{array}{c}h=-16t^{2}-10t+200=-16t^{2}-10t+200-16t^{2}-10t+200=0end{array})

This equation is difficult to solve by factoring or by completing the square, so solve it by applying the Quadratic Formula, (a=−16,b=−10), and (c=200).

(t=frac{-(-10)pm sqrt

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[10]/div[1]/p[6]/span, line 1, column 7

{2(-16)})

Vereinfachen. Be very careful with the signs.

(egin{array}{l}t=frac{10pm sqrt{100+12800}}{-32},,=frac{10pm sqrt{12900}}{-32}end{array})

Use a calculator to find both roots.

T is approximately (3.24).

Consider the roots logically. One solution, (3.24) seconds, must be when the ball hits the ground.

Answer

The ball hits the ground approximately (3.24) seconds after being thrown.

[/hidden-answer]

The area problem below does not look like it includes a Quadratic Formula of any type, and the problem seems to be something you have solved many times before by simply multiplying. But in order to solve it, you will need to use a quadratic equation.

Beispiel

Bob made a quilt that is 4 ft ( imes) 5 ft. He has 10 sq. ft. of fabric he can use to add a border around the quilt. How wide should he make the border to use all the fabric? (The border must be the same width on all four sides.)

[reveal-answer q=”932211″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”932211″]Sketch the problem. Since you don’t know the width of the border, you will let the variable x represent the width.

In the diagram, the original quilt is indicated by the red rectangle. The border is the area between the red and blue lines.

Since each side of the original 4 by 5 quilt has the border of width x added, the length of the quilt with the border will be (4+2x).

(Both dimensions are written in terms of the same variable, and you will multiply them to get an area! This is where you might start to think that a quadratic equation might be used to solve this problem.)

You are only interested in the area of the border strips. Write an expression for the area of the border.

Area of border = Area of the blue rectangle minus the area of the red rectangle

Area of border(=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–left(4 ight)left(5 ight))

There are 10 sq ft of fabric for the border, so set the area of border to be 10.

(10=left(4+2x ight)left(5+2x ight)–20)

Multiply (left(4+2x ight)left(5+2x ight)).

(10=20+8x+10x+4x^{2}–20)

Vereinfachen.

(10=18x+4x^{2})

Subtract 10 from both sides so that you have a quadratic equation in standard form and can apply the Quadratic Formula to find the roots of the equation.

(egin{array}{c}0=18x+4x^{2}-10\text{or}4x^{2}-102left(2x^{2}+9x-5 ight)=0end{array})

Factor out the greatest common factor, 2, so that you can work with the simpler equivalent equation, (2x^{2}+9x–5=0).

(egin{array}{r}2left(2x^{2}+9x-5 ight)=0\frac{2left(2x^{2}+9x-5 ight)}{2}=frac{0}{2}2x^{2}+9x-5=0end{array})

Use the Quadratic Formula. In this case, (c=−5).

(egin{array}{l}x=frac{-bpm sqrt

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[10]/div[2]/p[20]/span[1], line 1, column 3

{2a}x=frac{-9pm sqrt

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[10]/div[2]/p[20]/span[2], line 1, column 3

{2(2)}end{array})

Vereinfachen.

(x=frac{-9pm sqrt{121}}{4}=frac{-9pm 11}{4})

Find the solutions, making sure that the (pm) is evaluated for both values.

(egin{array}{c}x=frac{-9+11}{4}=frac{2}{4}=frac{1}{2}=0.5\text{or}x=frac{-9-11}{4}=frac{-20}{4}=-5end{array})

Ignore the solution (x=−5), since the width could not be negative.

Answer

The width of the border should be 0.5 ft.

[/hidden-answer]

In this last video, we show how to use the quadratic formula to solve an application involving a picture frame.

A YouTube element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: pb.libretexts.org/ba/?p=144

Zusammenfassung

A common method for solving radical equations is to raise both sides of an equation to whatever power will eliminate the radical sign from the equation. But be careful—when both sides of an equation are raised to an even power, the possibility exists that extraneous solutions will be introduced. When solving a radical equation, it is important to always check your answer by substituting the value back into the original equation. If you get a true statement, then that value is a solution; if you get a false statement, then that value is not a solution.

Completing the square is used to change a binomial of the form (

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[11]/p[2]/span[1], line 1, column 2

+bx+

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), which can be factored to (

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Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.04:_Solving_Radical_Equations), /content/body/div[11]/p[2]/span[3], line 1, column 1

) to both sides of the equation to maintain equality. The Square Root Property can then be used to solve for x. With the Square Root Property, be careful to include both the principal square root and its opposite. Be sure to simplify as needed.

Quadratic equations can appear in different applications. The Quadratic Formula is a useful way to solve these equations, or any other quadratic equation! The Quadratic Formula, (" class="latex mathjax).


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Radical equations and functions Calculator

Beispiel

Solved Problems

Difficult Problems

Solved example of radical equations and functions

Any expression to the power of $1$ is equal to that same expression

Moving the term $1$ to the other side of the equation with opposite sign

Moving the term $x^2$ to the other side of the equation with opposite sign

Moving the term $4x$ to the other side of the equation with opposite sign

Factor the polynomial $y^2+3y$. Add and subtract $left(frac<2> ight)^2$, replacing $b$ by it's value $3$

Now, we can factor $y^2+3x+frac<9><4>$ as a squared binomial of the form $left(x+frac<2> ight)^2$

We need to isolate the dependent variable $y$, we can do that by subtracting $-frac<9><4>$ from both sides of the equation

Removing the variable's exponent

We need to isolate the dependent variable $y$, we can do that by subtracting $frac<3><2>$ from both sides of the equation

As in the equation we have the sign $pm$, this produces two identical equations that differ in the sign of the term $sqrt<-x^2-4x+frac<5><4>>$. We write and solve both equations, one taking the positive sign, and the other taking the negative sign


Questions

Add or subtract the rational expressions. Simplify your answers whenever possible.

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-8-4/”>Answer Key 8.4


Solving Radical Equations - Concept

Adding and subtracting rational expressions is similar to adding fractions. When adding and subtracting rational expressions, we find a common denominator and then add the numerators. To find a common denominator, factor each first. This strategy is especially important when the denominators are trinomials.

You guys are going to be working on solving radical equations. What that means is that you're going to have a square root and an equal sign. So I'm just going to tell you just one sentence that's going to help you know how to do these.
What you need to do is isolate the square root sign and then square both sides of the equals. If you can remember that, and if that makes sense in your head, you'll be able to do these really well. Let me tell you one more time. What you need to do is undo or isolate anything that's, you're going to isolate the square root by undoing anything that was happening to it like if it was being multiplied by something or divided by something, or adding subtracting whatever. Isolate the square root sign and then square both sides of the equals. From there you solve for x. It sounds pretty easy, you'll see your teacher is going to throw us some tricks at you. You can do it. Just make sure you're being really careful with isolating the square root before you square both sides of the equation.


MathHelp.com

You may be wondering why I didn't check my solution. I have to check my solutions for equations where I've squared, or where I've raised both sides of the equation to some other even degree. Wieso den?

Because squaring and the like get rid of minus signs, which can create solutions that don't actually exist. But the solution process in the exercise above involved cubing, which preserves minus signs. This is why I didn't need to check.

(Note: If your instructor wants you to check, and show your check, for every exercise, regardless of the index of the radical(s) involved, then checking every time is "the right way" for that class. If you're not sure what you're supposed to do, ask now, before the next test.)

Solve the equation:

I note that the "plus one" on the left-hand side of the equation is outside of the cube root. I'll need to move it over to the right-hand side of the equation before I cube both sides.

This solution involved cubing, not squaring, so I don't (technically) need to check my solution. Meine Antwort ist:

Solve the equation:

Since this is a fourth root, I'll raise both sides to the fourth power. (Also, since this is an even-index root, I'll definitely need to check my answer.)

The original equation was a fourth root, and the solving process involved my raising both sides of the equation to the fourth power (in particular, to an even power). So I'll have to check my answers. Here's one of the checks:

The left-hand side (LHS) ended up equalling the right-hand side (RHS), so this solution checks. (I'll leave the check of the other solution for you.) My answer is:

By the way, graphing does indicate that both solutions are valid. If we regard the left- and right-hand sides of the original equation as being their own functions, we get:

It's kinda hard to see, so we zoom in on that middle section until we're sure that we can see that there are two intersection points (and thus that there are two solutions to the original equation):

If you're wondering about why the graph of the radical side is split into three pieces, it's because we can't have negatives inside a fourth root. The graph only exists where the argument of the radical, being the polynomial x 4 + 4x 3 &ndash x , is non-negative. This occurs in three pieces, being where the graph of the argument is at or above the x -axis:

Don't be shy about using your graphing calculator to confirm (or correct) your solutions.

You may or may not be required to show solutions graphically, but if you have a graphing calculator (so drawing the graphs is just a matter of quickly punching a few buttons), you can use the graphs to check your work on tests.

Since cube roots can have negative numbers inside them, you don't tend to have the difficulty with them regarding checking the answers that you did with square roots. However, you will have those difficulties with fourth roots, sixth roots, eighth roots, etc namely, any even-index root. Be careful, and remember to check your solutions when the index requires it. And remember that you square (or cube, or whatever) sides of an equation, not the individual terms.

You can use the Mathway widget below to practice solving radical equations. Try the entered exercise, or type in your own exercise. Then click the button and select "Solve for x" to compare your answer to Mathway's.

(Click "Tap to view steps" to be taken directly to the Mathway site for a paid upgrade.)


8.4: Solving Radical Equations

Solving Radical Equations

· Solve equations containing radicals.

· Recognize extraneous solutions.

· Solve application problems that involve radical equations as part of the solution.

An equation that contains a radical expression is called a radical equation. Solving radical equations requires applying the rules of exponents and following some basic algebraic principles. In some cases, it also requires looking out for errors generated by raising unknown quantities to an even power.

A basic strategy for solving radical equations is to isolate the radical term first, and then raise both sides of the equation to a power to remove the radical. (The reason for using powers will become clear in a moment.) This is the same type of strategy you used to solve other, non-radical equations—rearrange the expression to isolate the variable you want to know, and then solve the resulting equation.

There are two key ideas that you will be using to solve radical equations. The first is that if , then . (This property allows you to square both sides of an equation and remain certain that the two sides are still equal.) The second is that if the square root of any nonnegative number x is squared, then you get x: . (This property allows you to “remove” the radicals from your equations.)

Let’s start with a radical equation that you can solve in a few steps: .

Add 3 to both sides to isolate the variable term on the left side of the equation.

Square both sides to remove the radical, since . Make sure to square the 8 also! Then simplify.

x = 64 is the solution to .

To check your solution, you can substitute 64 in for x in the original equation. Does ? Yes—the square root of 64 is 8, and 8 − 3 = 5.

Notice how you combined like terms and then squared both sides of the equation in this problem. This is a standard method for removing a radical from an equation. It is important to isolate a radical on one side of the equation and simplify as much as possible Vor squaring. The fewer terms there are before squaring, the fewer additional terms will be generated by the process of squaring.

In the example above, only the variable x was underneath the radical. Sometimes you will need to solve an equation that contains multiple terms underneath a radical. Follow the same steps to solve these, but pay attention to a critical point—square both sides of an equation, not individual terms. Watch how the next two problems are solved.

Notice how the radical contains a binomial: x + 8. Square both sides to remove the radical.

. Now simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 1 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

Begin by subtracting 1 from both sides in order to isolate the radical term. Then square both sides to remove the binomial from the radical.

Simplify the equation and solve for x.

Check your answer. Substituting 11 for x in the original equation yields a true statement, so the solution is correct.

is the solution for .

Solving Radical Equations

Follow the following four steps to solve radical equations.

1. Isolate the radical expression.

2. Square both sides of the equation: If x = ja then x 2 = ja 2 .

3. Once the radical is removed, solve for the unknown.

Incorrect. Check your answer. If you substitute into the equation, you get , or . This is not correct. Remember to square both sides and then solve for x. The correct answer is .

Incorrect. It looks like you squared both sides but ignored the +22 underneath the radical. Remember to include the entire binomial when you square both sides then solve for x. The correct answer is .

Correct. Squaring both sides, you find becomes , so and .

Incorrect. It looks like you only squared the left side of the equation. Remember to square both sides: , which becomes . Now solve for x. The correct answer is .

Following rules is important, but so is paying attention to the math in front of you—especially when solving radical equations. Take a look at this next problem that demonstrates a potential pitfall of squaring both sides to remove the radical.

Square both sides to remove the term ein – 5 from the radical.

Write the simplified equation, and solve for ein.

Now check the solution by substituting ein = 9 into the original equation.

Look at that—the answer ein = 9 does not produce a true statement when substituted back into the original equation. What happened?

Check the original problem: . Notice that the radical is set equal to −2, and recall that the principal square root of a number can only be positive. This means that no value for ein will result in a radical expression whose positive square root is −2! You might have noticed that right away and concluded that there were no solutions for ein. But why did the process of squaring create an answer, ein = 9, that proved to be incorrect?

The answer lies in the process of squaring itself. When you raise a number to an even power—whether it is the second, fourth, or 50 th power—you can introduce a false solution because the result of an even power is always a positive number. Think about it: 3 2 and (−3) 2 are both 9, and 2 4 and (−2) 4 are both 16. So when you squared −2 and got 4 in this problem, you artificially turned the quantity positive. This is why you were still able to find a value for ein—you solved the problem as if you were solving ! (The correct solution to is actually “no solution.”)

Incorrect values of the variable, such as those that are introduced as a result of the squaring process are called extraneous solutions. Überflüssige Lösungen können wie die echte Lösung aussehen, aber Sie können sie identifizieren, da sie keine wahre Aussage erzeugen, wenn sie wieder in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. Dies ist einer der Gründe, warum die Überprüfung Ihrer Arbeit so wichtig ist – wenn Sie Ihre Antworten nicht überprüfen, indem Sie sie wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, führen Sie möglicherweise überflüssige Lösungen in das Problem ein.

Sehen Sie sich das folgende Problem an. Beachten Sie, wie das ursprüngliche Problem lautet, aber nachdem beide Seiten quadriert wurden, wird es zu . Das Quadrieren beider Seiten kann eine überflüssige Lösung eingeführt haben.


So lösen Sie Radikalgleichungen mit Fremdlösungen

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Eine radikale Gleichung ist eine Gleichung, die eine Quadratwurzel, Kubikwurzel oder eine andere höhere Wurzel der Variablen im ursprünglichen Problem enthält. „Radikal“ ist der Begriff, der für das Symbol >> verwendet wird, daher wird das Problem als „Radikalgleichung“ bezeichnet. [1] X Recherchequelle Um eine radikale Gleichung zu lösen, müssen Sie die Wurzel eliminieren, indem Sie sie isolieren, quadrieren oder in Würfel schneiden und dann vereinfachen, um Ihre Antwort zu finden. Dieses Verfahren kann jedoch Antworten erzeugen, die aufgrund des Quadrierungsvorgangs richtig erscheinen, es aber nicht sind. Diese werden Fremdlösungen genannt. Sie müssen lernen, die überflüssigen Lösungen zu identifizieren und zu verwerfen.


Radikale Gleichungen lösen

Eine radikale Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable unter einem Quadratwurzelzeichen erscheint. (Im Moment kümmern wir uns nur um Quadratwurzeln, nicht um Kubikwurzeln oder andere interessante Dinge.) Die allgemeine Technik zum Lösen einer Radikalgleichung ist: Isolieren Sie das Quadratwurzelzeichen (und was auch immer darunter ist) auf einer Seite der Gleichung. Dann beide Seiten quadrieren. Sie sollten am Ende eine Gleichung erhalten, die mit normalen Methoden gelöst werden kann.

Beide Seiten quadrieren: ( x + 2 ) 2 = 3 2

Lösen Sie die Gleichung: x + 2 = 9

Überprüfen Sie immer Ihre Lösung:

Daher ist 7 die Lösung der Gleichung.

Berechnen Sie die Quadratwurzel allein auf einer Seite, indem Sie 5 von beiden Seiten subtrahieren.

Das Ergebnis ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung, die durch Faktorisieren gelöst werden kann.

Wichtiger Hinweis: Der Schritt, bei dem wir beide Seiten quadrieren, kann einige "fremde Lösungen" einführen. Sie muss Gültigkeit der Lösungen prüfen.

12 ( 21 ) + 4 + 5 = ? 21 256 + 5 = ? 21 21 = 21

Also die erste Lösung überprüft.

12 (1) + 4 + 5 = ? 1 16 + 5 = ? 1 9 &ne 1

Also die zweite Lösung nicht Kasse. Daher ist x = 1 die Fremdlösung. Die einzig gültige Lösung ist x = 21 .

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