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4.4: Multiplikation von Brüchen - Mathematik


Brüche von Brüchen

Wir wissen, dass ein Bruch einen Teil einer ganzen Menge darstellt. Zum Beispiel können zwei Fünftel einer Einheit repräsentiert werden durch

(dfrac{2}{5}) des Ganzen ist schattiert.

Eine natürliche Frage ist, was ist ein Bruchteil einer Bruchzahl oder was ist ein Bruchteil eines Bruchs? Was zum Beispiel (dfrac{2}{3}) von (dfrac{1}{2})?

Wir können eine Antwort auf diese Frage vorschlagen, indem wir (dfrac{2}{3}) von (dfrac{1}{2}) anhand eines Bildes untersuchen.

Lassen Sie uns zunächst (dfrac{1}{2}) darstellen.

(dfrac{1}{2}) des Ganzen ist schattiert.

Teile dann jeden der (dfrac{1}{2}) Teile in 3 gleiche Teile.

Jeder Teil ist (dfrac{1}{6}) des Ganzen.

Nun nehmen wir (dfrac{2}{3}) der Einheit (dfrac{1}{2}).

(dfrac{2}{3}) von (dfrac{1}{2}) ist (dfrac{2}{6}), was sich auf (dfrac{1}{ 3}).

Multiplikation von Brüchen

Nun fragen wir, welche Rechenoperation ((+, -, imes,div)) (dfrac{2}{6}) aus (dfrac{2}{3}) von ergibt (dfrac{1}{2})?

Beachten Sie, dass, wenn wir in den Brüchen (dfrac{2}{3}) und (dfrac{1}{2}) die Zähler miteinander und die Nenner zusammen multiplizieren, wir genau (dfrac {2}{6}).

(dfrac{2 cdot 1}{3 cdot 2} = dfrac{2}{6})

Dies reduziert sich wie zuvor auf (dfrac{1}{3}).

Anhand dieser Beobachtung können wir Folgendes vorschlagen:

Das Wort "von" bedeutet übersetzt die arithmetische Operation "Zeiten".
Um zwei oder mehr Brüche zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Zähler miteinander und dann die Nenner miteinander. Reduzieren Sie ggf.

(dfrac{ ext{Zähler 1}}{ ext{Nenner 1}} cdot dfrac{ ext{Zähler 2}}{ ext{Nenner 2}} = dfrac{ ext{Zähler 1} }{ ext{Nenner 1}} cdot dfrac{ ext{Zähler 2}}{ ext{Nenner 2}})

Musterset A

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch.

(dfrac{3}{4} cdot dfrac{1}{6} = dfrac{3 cdot 1}{4 cdot 6} = dfrac{3}{24})

(= dfrac{egin{array} {c} {^1} {cancel{3}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{24}} {^{8}} end{array}} = dfrac{1}{8})

Daher

(dfrac{3}{4} cdot dfrac{1}{6} = dfrac{1}{8})

Das bedeutet, dass (dfrac{3}{4}) von (dfrac{1}{6}) (dfrac{1}{8}) ist, also (dfrac{ 3}{4}) von (dfrac{1}{6}) einer Einheit ist (dfrac{1}{8}) der ursprünglichen Einheit.

Musterset A

(dfrac{3}{8} cdot 4). Schreiben Sie 4 als Bruch, indem Sie (dfrac{4}{1}) schreiben.

(dfrac{3}{8} cdot dfrac{4}{1} = dfrac{3 cdot 4}{8 cdot 1} = dfrac{12}{8} = dfrac{egin {array} {c} {^3} {cancel{12}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{8}} {^2} end{ Array}} = dfrac{3}{2})

(dfrac{3}{8} cdot 4 = dfrac{3}{2})

Das bedeutet, dass (dfrac{3}{8}) von 4 ganzen Einheiten (dfrac{3}{2}) von einer ganzen Einheit ist.

Musterset A

(dfrac{2}{5} cdot dfrac{5}{8} cdot dfrac{1}{4} = dfrac{2 cdot 5 cdot 1}{5 cdot 8 cdot 4 } = dfrac{egin{array} {c} {^1} {cancel{10}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{160}} {^{16}} end{array}} = dfrac{1}{16})

Das bedeutet, dass (dfrac{2}{5}) von (dfrac{5}{8}) von (dfrac{1}{4}) einer ganzen Einheit (dfrac {1}{16}) der Originaleinheit.

Übungsset A

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch.

(dfrac{2}{5} cdot dfrac{1}{6})

Antworten

(dfrac{1}{15})

Übungsset A

(dfrac{1}{4} cdot dfrac{8}{9})

Antworten

(dfrac{2}{9})

Übungsset A

(dfrac{4}{9} cdot dfrac{15}{16})

Antworten

(dfrac{5}{12})

Übungsset A

((dfrac{2}{3}) (dfrac{2}{3}))

Antworten

(dfrac{4}{9})

Übungsset A

((dfrac{7}{4}) (dfrac{8}{5}))

Antworten

(dfrac{14}{5})

Übungsset A

(dfrac{5}{6} cdot dfrac{7}{8})

Antworten

(dfrac{35}{48})

Übungsset A

(dfrac{2}{3} cdot 5)

Antworten

(dfrac{10}{3})

Übungsset A

((dfrac{3}{10}) (10))

Antworten

(dfrac{15}{2})

Übungsset A

(dfrac{3}{4} cdot dfrac{8}{9} cdot dfrac{5}{12})

Antworten

(dfrac{5}{18})

Multiplizieren von Brüchen durch Aufteilen gemeinsamer Faktoren

Wir haben gesehen, dass wir, um zwei Brüche miteinander zu multiplizieren, Zähler miteinander multiplizieren, dann Nenner zusammen und dann gegebenenfalls auf die niedrigsten Terme reduzieren. Die Reduktion kann mühsam sein, wenn die Zahlen in den Brüchen groß sind. Beispielsweise,

(dfrac{9}{16} cdot dfrac{10}{21} = dfrac{9 cdot 10}{16 cdot 21} = dfrac{90}{336} = dfrac{45} {168} = dfrac{15}{28})

Wir vermeiden den Reduktionsprozess, wenn wir gemeinsame Faktoren aufteilen Vor wir multiplizieren.

(dfrac{9}{16} cdot dfrac{10}{21} = dfrac{egin{array} {c} {^3} {cancel{9}} end{array} }{egin{array} {c} {cancel{16}} {^8} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^5} { abbrechen{10}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{21}} {^7} end{array}} = dfrac{3 cdot 5}{8 cdot 7} = dfrac{15}{56})

Teilen Sie 3 in 9 und 21 und teilen Sie 2 in 10 und 16. Das Produkt ist ein Bruch, der auf die niedrigsten Terme reduziert wird.

Gewusst wie: Der Prozess der Multiplikation durch Aufteilen gemeinsamer Faktoren

Um Brüche durch Austeilen gemeinsamer Faktoren zu multiplizieren, dividieren Sie Faktoren, die sowohl einem Zähler als auch einem Nenner gemeinsam sind. Der aufzuteilende Faktor kann in jedem Zähler und jedem Nenner vorkommen.

Musterset A

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch.

(dfrac{4}{5} cdot dfrac{5}{6})

(dfrac{egin{array} {c} {^2} {cancel{4}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{5}} {^1} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^1} {cancel{5}} end{array}}{egin{array} {c } {cancel{6}} {^1} end{array}} = dfrac{2 cdot 1}{1 cdot 3} = dfrac{2}{3})

Teile 4 und 6 durch 2
Teile 5 und 5 durch 5

Musterset A

(dfrac{8}{12} cdot dfrac{8}{10})

(dfrac{egin{array} {c} {^4} {cancel{8}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{12}} {^3} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^2} {cancel{8}} end{array}}{egin{array} {c } {cancel{10}} {^5} end{array}} = dfrac{4 cdot 2}{3 cdot 5} = dfrac{8}{15})

Teile 8 und 10 durch 2.
Teile 8 und 12 durch 4.

Musterset A

(8 cdot dfrac{5}{12} = dfrac{egin{array} {c} {^2} {cancel{8}} end{array}}{1} cdot dfrac{5}{egin{array} {c} {cancel{12}} {^3} end{array}} = dfrac{2 cdot 5}{1 cdot 3} = dfrac {10}{3})

Musterset A

(dfrac{35}{18} cdot dfrac{63}{105})

(dfrac{egin{array} {c} {^{^1}} {^{cancel{7}}} {cancel{35}} end{array}}{egin {array} {c} {cancel{18}} {^2} end{array}} dfrac{egin{array} {c} {^7} {cancel{63}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{105}} {^{cancel{21}}} {^{^3}} end{array}} = dfrac{1 cdot 7}{2 cdot 3} = dfrac{7}{6})

Musterset A

(dfrac{13}{9} cdot dfrac{6}{39} cdot dfrac{1}{12})

(dfrac{egin{array} {c} {^1} {cancel{13}} end{array}}{9} cdot dfrac{egin{array} {c} {^ {^1}} {^{cancel{2}}} {cancel{6}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{39}} {^{cancel{3}}} {^{^1}} end{array}} cdot dfrac{1}{egin{array} {c} {cancel{12}} {^6} end{array}} = dfrac{1 cdot 1 cdot 1}{9 cdot 1 cdot 6} = dfrac{1}{54})

Übungsset B

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch.

(dfrac{2}{3} cdot dfrac{7}{8})

Antworten

(dfrac{7}{12})

Übungsset B

(dfrac{25}{12} cdot dfrac{10}{45})

Antworten

(dfrac{25}{54})

Übungsset B

(dfrac{40}{48} cdot dfrac{72}{90})

Antworten

(dfrac{2}{3})

Übungsset B

(7 cdot dfrac{2}{49})

Antworten

(dfrac{2}{7})

Übungsset B

(12 cdot dfrac{3}{8})

Antworten

(dfrac{9}{2})

Übungsset B

((dfrac{13}{7}) (dfrac{14}{26}))

Antworten

1

Übungsset B

(dfrac{16}{10} cdot dfrac{22}{6} cdot dfrac{21}{44})

Antworten

(dfrac{14}{5})

Multiplikation gemischter Zahlen

Gemischt multiplizieren Zahlen
Um eine Multiplikation mit gemischten Zahlen durchzuführen, ist es praktisch, jede gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umzuwandeln und dann zu multiplizieren.

Musterset C

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch. Wandle unechte Brüche in gemischte Zahlen um.

(1 dfrac{1}{8} cdot 4 dfrac{2}{3})

Wandle jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.

(1 dfrac{1}{8} = dfrac{8 cdot 1 + 1}{8} = dfrac{9}{8})

(4 dfrac{2}{3} = dfrac{4 cdot 3 + 2}{3} = dfrac{14}{3})

(dfrac{egin{array} {c} {^3} {cancel{9}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{8}} {^4} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^7} {cancel{14}} end{array}}{egin{array} {c } {cancel{3}} {^1} end{array}} = dfrac{3 cdot 7}{4 cdot 1} = dfrac{21}{4} = 5 dfrac{1 }{4})

Musterset C

(16 cdot 8 dfrac{1}{5})

Wandeln Sie (8 dfrac{1}{5}) in einen unechten Bruch um.

(8 dfrac{1}{5} = dfrac{5 cdot 8 + 1}{5} = dfrac{41}{5})

(dfrac{16}{1} cdot dfrac{41}{5}).

Es gibt keine gemeinsamen Faktoren zum Aufteilen.

(dfrac{16}{1} cdot dfrac{41}{5} = dfrac{16 cdot 41}{1 cdot 5} = dfrac{656}{5} = 131 dfrac{1 }{5})

Musterset C

(9 dfrac{1}{6} cdot 12 dfrac{3}{5})

Wandle in unechte Brüche um.

(9 dfrac{1}{6} = dfrac{6 cdot 9 + 1}{6} = dfrac{55}{6})

(12 dfrac{3}{5} = dfrac{5 cdot 12 + 3}{5} = dfrac{63}{5})

(dfrac{egin{array} {c} {^{11}} {cancel{55}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{6}} {^2} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^{21}} {cancel{63}} end{array}}{egin{ array} {c} {cancel{5}} {^1} end{array}} = dfrac{11 cdot 21}{2 cdot 1} = dfrac{231}{2} = 115 dfrac{1}{2})

Musterset C

(egin{array} {rcl} {dfrac{11}{8} cdot 4 dfrac{1}{2} cdot 3 dfrac{1}{8}} & = & {dfrac{11 }{8} cdot dfrac{egin{array} {c} {^3} {cancel{9}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{2 }} {^1} end{array}} cdot dfrac{egin{array} {c} {^5} {cancel{10}} end{array}}{egin{ array} {c} {cancel{3}} {^1} end{array}}} {} & = & {dfrac{11 cdot 3 cdot 5}{8 cdot 1 cdot 1} = dfrac{165}{8} = 20 dfrac{5}{8}} end{array})

Übungsset C

Führen Sie die folgenden Multiplikationen durch. Wandle unechte Brüche in gemischte Zahlen um.

(2 dfrac{2}{3} cdot 2 dfrac{1}{4})

Antworten

6

Übungsset C

(6 dfrac{2}{3} cdot 3 dfrac{3}{10})

Antworten

22

Übungsset C

(7 dfrac{1}{8} cdot 12)

Antworten

(85dfrac{1}{2})

Übungsset C

(2 dfrac{2}{5} cdot 3 dfrac{3}{4} cdot 3 dfrac{1}{3})

Antworten

30

Potenzen und Wurzeln von Brüchen

Musterset D

Ermitteln Sie den Wert jedes der folgenden Punkte.

((dfrac{1}{6})^2 = dfrac{1}{6} cdot dfrac{1}{6} = dfrac{1 cdot 1}{6 cdot 6} = dfrac{1}{36})

Musterset D

(sqrt{dfrac{9}{100}}). Wir suchen eine Zahl, nennen wir sie ?, so dass bei der Quadratur (dfrac{9}{100}) entsteht.

((?)^2 = dfrac{9}{100})

Wir wissen das

(3^2 = 9) und (10^2 = 100)

Wir versuchen es mit (dfrac{3}{10}). Seit

((dfrac{3}{10})^2 = dfrac{3}{10} cdot dfrac{3}{10} = dfrac{3 cdot 3}{10 cdot 10} = dfrac{9}{100})

(sqrt{dfrac{9}{100}} = dfrac{3}{10})

Musterset D

(4dfrac{2}{5} cdot sqrt{dfrac{100}{121}})

(dfrac{egin{array} {c} {^2} {cancel{22}} end{array}}{egin{array} {c} {cancel{5}} {^1} end{array}} cdot dfrac{^2}{cancel{10}} = dfrac{egin{array} {c} {cancel{11}} {^1} end{array}}{egin{array} {c} {} {} end{array}} = dfrac{4}{1} = 4)

(4 dfrac{2}{5} cdot sqrt{dfrac{100}{121}} = 4)

Übungsset D

Ermitteln Sie den Wert jedes der folgenden Punkte.

((dfrac{1}{8})^2)

Antworten

(dfrac{1}{64})

Übungsset D

((dfrac{3}{10})^2)

Antworten

(dfrac{9}{100})

Übungsset D

(sqrt{dfrac{4}{9}})

Antworten

(dfrac{2}{3})

Übungsset D

(sqrt{dfrac{1}{4}})

Antworten

(dfrac{1}{2})

Übungsset D

(dfrac{3}{8} cdot sqrt{dfrac{1}{9}})

Antworten

(dfrac{1}{8})

Übungsset D

(9 dfrac{1}{3} cdot sqrt{dfrac{81}{100}})

Antworten

(8 dfrac{2}{5})

Übungsset D

(2 dfrac{8}{13} cdot sqrt{dfrac{169}{16}})

Antworten

(8 dfrac{1}{2})

Übungen

Verwenden Sie für die folgenden sechs Probleme die Diagramme, um jeden der folgenden Teile zu finden. Verwenden Sie Multiplikation, um Ihr Ergebnis zu überprüfen.

Übung (PageIndex{1})

(dfrac{3}{4}) von (dfrac{1}{3})

Antworten

(dfrac{1}{4})

Übung (PageIndex{2})

(dfrac{2}{3}) von (dfrac{3}{5})

Übung (PageIndex{3})

(dfrac{2}{7}) von (dfrac{7}{8})

Antworten

(dfrac{1}{4})

Übung (PageIndex{4})

(dfrac{5}{6}) von (dfrac{3}{4})

Übung (PageIndex{5})

(dfrac{1}{8}) von (dfrac{1}{8})

Antworten

(dfrac{1}{64})

Übung (PageIndex{6})

(dfrac{7}{12}) von (dfrac{6}{7})

​​​​​​

Suchen Sie bei den folgenden Problemen jedes Teil, ohne ein Diagramm zu verwenden.

Übung (PageIndex{7})

(dfrac{1}{2}) von (dfrac{4}{5})

Antworten

(dfrac{2}{5})

Übung (PageIndex{8})

(dfrac{3}{5}) von (dfrac{5}{12})

Übung (PageIndex{9})

(dfrac{1}{4}) von (dfrac{8}{9})

Antworten

(dfrac{2}{9})

Übung (PageIndex{10})

(dfrac{3}{16}) von (dfrac{12}{15})

Übung (PageIndex{11})

(dfrac{2}{9}) von (dfrac{6}{5})

Antworten

(dfrac{4}{15})

Übung (PageIndex{12})

(dfrac{1}{8}) von (dfrac{3}{8})

Übung (PageIndex{13})

(dfrac{2}{3}) von (dfrac{9}{10})

Antworten

(dfrac{3}{5})

Übung (PageIndex{14})

(dfrac{18}{19}) von (dfrac{38}{54})

Übung (PageIndex{15})

(dfrac{5}{6}) von (2 dfrac{2}{5})

Antworten

2

Übung (PageIndex{16})

(dfrac{3}{4}) von (3 dfrac{3}{5})

Übung (PageIndex{17})

(dfrac{3}{2}) von (2 dfrac{2}{9})

Antworten

(dfrac{10}{3}) oder (3 dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{18})

(dfrac{15}{4}) von (4 dfrac{4}{5})

Übung (PageIndex{19})

(5 dfrac{1}{3}) von (9 dfrac{3}{4})

Antworten

52

Übung (PageIndex{20})

(1 dfrac{13}{15}) von (8 dfrac{3}{4})

Übung (PageIndex{21})

(dfrac{8}{9}) von (dfrac{3}{4}) von (dfrac{2}{3})

Antworten

(dfrac{4}{9})

Übung (PageIndex{22})

(dfrac{1}{6}) von (dfrac{12}{13}) von (dfrac{26}{36})

Übung (PageIndex{23})

(dfrac{1}{2}) von (dfrac{1}{3}) von (dfrac{1}{4})

Antworten

(dfrac{1}{24})

Übung (PageIndex{24})

(1 dfrac{3}{7}) von (5 dfrac{1}{5}) von (8 dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{25})

(2 dfrac{4}{5}) von (5 dfrac{5}{6}) von (7 dfrac{5}{7})

Antworten

126

Suchen Sie bei den folgenden Problemen nach den Produkten. Unbedingt reduzieren.

Übung (PageIndex{26})

(dfrac{1}{3} cdot dfrac{2}{3})

Übung (PageIndex{27})

(dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2})

Antworten

(dfrac{1}{4})

Übung (PageIndex{28})

(dfrac{3}{4} cdot dfrac{3}{8})

Übung (PageIndex{29})

(dfrac{2}{5} cdot dfrac{5}{6})

Antworten

(dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{30})

(dfrac{3}{8} cdot dfrac{8}{9})

Übung (PageIndex{31})

(dfrac{5}{6} cdot dfrac{14}{15})

Antworten

(dfrac{7}{9})

Übung (PageIndex{32})

(dfrac{4}{7} cdot dfrac{7}{4})

Übung (PageIndex{33})

(dfrac{3}{11} cdot dfrac{11}{3})

Antworten

1

Übung (PageIndex{34})

(dfrac{9}{16} cdot dfrac{20}{27})

Übung (PageIndex{35})

(dfrac{35}{36} cdot dfrac{48}{55})

Antworten

(dfrac{28}{33})

Übung (PageIndex{36})

(dfrac{21}{25} cdot dfrac{15}{14})

Übung (PageIndex{37})

(dfrac{76}{99} cdot dfrac{66}{38})

Antworten

(dfrac{4}{3})

Übung (PageIndex{38})

(dfrac{3}{7} cdot dfrac{14}{18} cdot dfrac{6}{2})

Übung (PageIndex{39})

(dfrac{4}{15} cdot dfrac{10}{3} cdot dfrac{27}{2})

Antworten

12

Übung (PageIndex{40})

(dfrac{14}{15} cdot dfrac{21}{28} cdot dfrac{45}{7})

Übung (PageIndex{41})

(dfrac{8}{3} cdot dfrac{15}{4} cdot dfrac{16}{21})

Antworten

(7dfrac{13}{21}) oder (dfrac{160}{21})

Übung (PageIndex{42})

(dfrac{18}{14} cdot dfrac{21}{35} cdot dfrac{36}{7})

Übung (PageIndex{43})

(dfrac{3}{5} cdot 20)

Antworten

12

Übung (PageIndex{44})

(dfrac{8}{9} cdot 18)

Übung (PageIndex{45})

(dfrac{6}{11} cdot 33)

Antworten

18

Übung (PageIndex{46})

(dfrac{18}{19} cdot 38)

Übung (PageIndex{47})

(dfrac{5}{6} cdot 10)

Antworten

(dfrac{25}{3}) oder (8dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{48})

(dfrac{1}{9} cdot 3)

Übung (PageIndex{49})

(5 cdot dfrac{3}{8})

Antworten

(dfrac{15}{8} = 1 dfrac{7}{8})

Übung (PageIndex{50})

(16 cdot dfrac{1}{4})

Übung (PageIndex{51})

(dfrac{2}{3} cdot 12 cdot dfrac{3}{4})

Antworten

6

Übung (PageIndex{52})

(dfrac{3}{8} cdot 24 cdot dfrac{2}{3})

Übung (PageIndex{53})

(dfrac{5}{18} cdot 10 cdot dfrac{2}{5})

Antworten

(dfrac{10}{9} = 1 dfrac{1}{9})

Übung (PageIndex{54})

(dfrac{16}{15} cdot 50 cdot dfrac{3}{10})

Übung (PageIndex{55})

(5 dfrac{1}{3} cdot dfrac{27}{32})

Antworten

(dfrac{9}{2} = 4 drac{1}{2})

Übung (PageIndex{56})

(2 dfrac{6}{7} cdot 5 dfrac{3}{5})

Übung (PageIndex{57})

(6 dfrac{1}{4} cdot 2 dfrac{4}{15})

Antworten

(dfrac{85}{6} = 14 drac{1}{6})

Übung (PageIndex{58})

(9dfrac{1}{3} cdot dfrac{9}{16} cdot 1 dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{59})

(3 dfrac{5}{9} cdot 1 dfrac{13}{14} cdot 10 dfrac{1}{2})

Antworten

72

Übung (PageIndex{60})

(20 dfrac{1}{4} cdot 8 dfrac{2}{3} cdot 16 dfrac{4}{5})

Übung (PageIndex{61})

((dfrac{2}{3})^2)

Antworten

(dfrac{4}{9})

Übung (PageIndex{62})

((dfrac{3}{8})^2)

Übung (PageIndex{63})

((dfrac{2}{11})^2)

Antworten

(dfrac{4}{121})

Übung (PageIndex{64})

((dfrac{8}{9})^2)

Übung (PageIndex{65})

((dfrac{1}{2})^2)

Antworten

(dfrac{1}{4})

Übung (PageIndex{66})

((dfrac{3}{5})^2 cdot dfrac{20}{3})

Übung (PageIndex{67})

((dfrac{1}{4})^2 cdot dfrac{16}{15})

Antworten

(dfrac{1}{15})

Übung (PageIndex{68})

((dfrac{1}{2})^2 cdot dfrac{8}{9})

Übung (PageIndex{69})

((dfrac{1}{2})^2 cdot (dfrac{2}{5})^2)

Antworten

(dfrac{1}{25})

Übung (PageIndex{70})

((dfrac{3}{7})^2 cdot (dfrac{1}{9})^2)

Suchen Sie für die folgenden Probleme jeden Wert. Reduzieren Sie die Antworten auf die niedrigsten Begriffe oder konvertieren Sie in gemischte Zahlen

Übung (PageIndex{71})

(sqrt{dfrac{4}{9}})

Antworten

(dfrac{2}{3})

Übung (PageIndex{72})

(sqrt{dfrac{16}{25}})

Übung (PageIndex{73})

(sqrt{dfrac{81}{121}})

Antworten

(dfrac{9}{11})

Übung (PageIndex{74})

(sqrt{dfrac{36}{49}})

Übung (PageIndex{75})

(sqrt{dfrac{144}{25}})

Antworten

(dfrac{12}{5} = 2 dfrac{2}{5})

Übung (PageIndex{76})

(dfrac{2}{3} cdot sqrt{dfrac{9}{16}})

Übung (PageIndex{77})

(dfrac{3}{5} cdot sqrt{dfrac{25}{81}})

Antworten

(dfrac{1}{3})

Übung (PageIndex{78})

((dfrac{8}{5})^2 cdot sqrt{dfrac{25}{64}})

Übung (PageIndex{79})

((1 dfrac{3}{4})^2 cdot sqrt{dfrac{4}{49}})

Antworten

(dfrac{7}{8})

Übung (PageIndex{80})

((2 dfrac{2}{3})^2 cdot sqrt{dfrac{36}{49}} cdot sqrt{dfrac{64}{81}})

Übungen zur Überprüfung

Übung (PageIndex{81})

Wie viele Tausend in 342.810?

Antworten

2

Übung (PageIndex{82})

Finde die Summe von 22, 42 und 101.

Übung (PageIndex{83})

Ist 634.281 durch 3 teilbar?

Antworten

Jawohl

Übung (PageIndex{84})

Ist die ganze Zahl 51 prim oder zusammengesetzt?

Übung (PageIndex{85})

Reduziere (dfrac{36}{150}) auf die niedrigsten Terme

Antworten

(dfrac{6}{25})


Brüche: Gemischte Zahlen multiplizieren

Die verschiedenen unten aufgeführten Ressourcen sind auf denselben Standard (5NF04) ausgerichtet, der dem CCSM (Common Core Standards For Mathematics) entnommen wurde, wie das oben gezeigte Fraktionsarbeitsblatt.

Wenden Sie das bisherige Verständnis der Multiplikation an und erweitern Sie es, um einen Bruch oder eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren.

  • Interpretieren Sie das Produkt (ein/B) x Q als Teile einer Partition von Q hinein B gleiche Teile äquivalent, als Ergebnis einer Folge von Operationen ein x Q ÷ B. Verwenden Sie beispielsweise ein visuelles Bruchmodell, um (2/3) x 4 = 8/3 anzuzeigen, und erstellen Sie einen Story-Kontext für diese Gleichung. Machen Sie dasselbe mit (2/3) x (4/5) = 8/15. (Im Allgemeinen (a/b) x (c/d) = ac/bd.)
  • Bestimmen Sie die Fläche eines Rechtecks ​​mit Bruchseitenlängen, indem Sie es mit Einheitsquadraten der entsprechenden Einheitsbruchseitenlängen kacheln, und zeigen Sie, dass die Fläche die gleiche ist wie durch Multiplikation der Seitenlängen. Multiplizieren Sie gebrochene Seitenlängen, um Flächen von Rechtecken zu finden, und stellen Sie Bruchprodukte als rechteckige Flächen dar.

Beispiel/Anleitung

Arbeitsblatt

Ähnlich wie in der obigen Auflistung sind die folgenden Ressourcen auf verwandte Standards im Common Core For Mathematics ausgerichtet, die zusammen das folgende Lernergebnis unterstützen:

Anwenden und Erweitern des bisherigen Verständnisses von Multiplikation und Division, um Brüche zu multiplizieren und zu teilen


Multiplizieren nach drei Brüchen





Sie können diese drei Fragen zur Multiplikation von Brüchen immer im Internet finden. Löse mehr Fragen und Übung wird dich besser machen.
Wenn Sie Fragen zum Inhalt dieses Artikels haben, können Sie unten einen Kommentar hinterlassen.


5/8 x 2/3 = ?
Multiplizieren Sie beide Zähler und multiplizieren Sie beide Nenner den
5/8 x 2/3 = 5 x 2 8 x 3 = 10/24

Vereinfachen Sie den resultierenden Bruch mit GCD
GCD für Zähler und Nenner finden
gcd_tools(10, 24) = 2
Dividiere Zähler und Nenner durch GCD
10 24 = 10 ÷ 2 24 ÷ 2 = 5 12
5/8 x 2/3 = 5/12

Multiplikationsrechner für Brüche

Der Bruchmultiplikationsrechner ist ein Schlüsselwerkzeug für Lehrer, Eltern und Schüler, um Schritt-für-Schritt-Arbeiten zu erstellen, um die Berechnung schnell zu verstehen, die Hausaufgaben zu lösen, die Klassenaufgaben zu lösen, das Antwortschlüsseldokument für summative und formative Bewertungen vorzubereiten oder sofort zu überprüfen die gesamte Berechnung für die vom Benutzer eingegebenen Eingabewerte.


4.4: Multiplikation von Brüchen - Mathematik

Brüche multiplizieren
Wussten Sie, dass Sie ZEICHNEN können, um Brüche zu multiplizieren?

Die Regel zum Multiplizieren von Brüchen besagt, dass man über die Zähler (obere der Brüche) und auch über die Nenner (untere der Brüche) multipliziert.

Denken Sie dann immer daran, Ihre Antworten in den niedrigsten Ausdrücken anzugeben (dh sie auf den kleinsten gleichen Bruch oder eine gemischte Zahl zu reduzieren).

3 x 4 = 12
4 . 9 . 36
Wenn wir nun Zähler und Nenner dieser Antwort durch 12 teilen, erhalten wir die reduzierte Antwort von. 1
3

*Eigentlich dürfen Sie die Reduzierung VOR dem Multiplizieren durchführen, wenn es eine Zahl gibt, die sich aus dem oberen und dem unteren Teil teilt.

Im obigen Problem sehe ich zum Beispiel, dass im oberen und unteren Abschnitt des Problems eine 4 multipliziert wird. Da ich weiß, dass 4/4 = 1 ist, ist dies ein Common Factor, den ich jetzt statt am Ende aufteilen kann. Dadurch habe ich das Problem,
3 x 1 = . aber warte, da ist noch etwas anderes dieses Problem versteckt
1 . 9

Siehst du, dass man an dieser Stelle auch eine 3 von oben und von unten teilen kann?

Wenn wir den gemeinsamen Faktor von 3 sehen und ihn im ersten Bruch aus dem Zähler dividieren und im zweiten Bruch aus dem Nenner dividieren, erhalten wir.

1 x 1 = 1
1 . 3 . 3

Ein ziemlich interessanter Aspekt der Bruchmultiplikation ist, dass Sie die Bruchmultiplikation ZEICHNEN können.

Nehmen wir nun an, wir möchten 3/4 von 2/3 veranschaulichen (das bedeutet 3/4 x 2/3). Wir nehmen einfach unser Quadrat und schneiden es in Drittel und schattieren 2 dieser Drittel.

Jetzt schneiden wir das gleiche Quadrat mit VERTIKALEN Scheiben in VIERTEL und schattieren 3 dieser Viertel.

Um nun wirklich die Antwort auf 3/4 von 2/3 zu SEHEN, müssen Sie nur nach der Überlappung suchen. Sie sehen, dass der gelbe Teil zwei Drittel des gesamten Quadrats ausmacht, und wir haben diesen gelben Teil in Viertel geschnitten und 3 dieser Viertel schattiert. Der rot unterlegte gelbe Abschnitt besteht aus 6 Rechtecken der gesamten 12 Rechtecke im Quadrat.

Mit anderen Worten, die Multiplikation mit den Zählern ergibt die Anzahl der überlappt Abschnitte und die Multiplikation über die Nenner ergibt den gesamt Abschnitte im Quadrat.

Rufen Sie Ihr Malprogramm aus Ihrer "Zubehör"-Datei auf und versuchen Sie, die folgenden Fraktionsprodukte zu ZEICHNEN.

Seien Sie so kreativ wie möglich und drucken Sie sie aus, wenn Sie möchten, wenn Sie fertig sind. ( Schreiben Sie die Antwort unbedingt auf Ihre Zeichnung)


Wie man Brüche dividiert und multipliziert

Dieser Artikel wurde von Grace Imson, MA mitverfasst. Grace Imson ist Mathematiklehrerin mit über 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist derzeit Mathematiklehrerin am City College of San Francisco und war zuvor in der Matheabteilung der Saint Louis University tätig. Sie hat Mathematik in der Grund-, Mittel-, Ober- und Oberstufe unterrichtet. Sie hat einen MA in Pädagogik mit Spezialisierung auf Verwaltung und Aufsicht von der Saint Louis University.

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Um Brüche zu multiplizieren, musst du nur die Zähler und Nenner multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen. Um Brüche zu teilen, müssen Sie nur Zähler und Nenner eines der Brüche umdrehen, das Ergebnis mit dem anderen Bruch multiplizieren und vereinfachen. Wenn Sie wissen möchten, wie Sie Brüche im Handumdrehen dividieren und multiplizieren, folgen Sie einfach diesen Schritten.


Lerne, zwei Brüche zusammenzuzählen

Da Sie nur Brüche lernen, erscheinen sie im Moment wahrscheinlich sehr kompliziert. Denken Sie jedoch daran, dass (zu diesem Zeitpunkt) ein Bruch nur eine Zahl ist und daher addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann. Glücklicherweise ist das Addieren von zwei Brüchen nicht annähernd so schwierig, wie Sie vielleicht denken. Hier ist ein wirklich einfaches Beispiel für den Anfang:

Beispiel:

Wie können wir diese beiden Brüche addieren? Da sie einen "gemeinsamen Nenner" haben (die untere Zahl ist gleich), können wir die oberen Zahlen einfach wie folgt addieren:

Leider werden nicht alle Brüche so einfach zu addieren sein. Um zwei Brüche zu addieren, musst du zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Wir können nicht einfach 1/3 zu 1/5 addieren, weil sie nicht den gleichen Nenner haben. Die Antwort ist definitiv NICHT 2/8, also machen Sie diesen Fehler nicht.

Nehmen wir an, wir haben ein Problem wie dieses: (frac<1> <3>+ frac<1> <6>= ?). Wie lösen wir das, wenn wir nicht nur die Zähler (die obersten Zahlen) addieren können? Welche Zahl soll unten stehen? Nun, der Trick besteht darin, einen oder beide Brüche umzuschreiben, damit sie den gleichen Nenner haben! Ist (frac<1><3>) nicht wirklich dasselbe wie (frac<2><6>)?

Da 1/3 = 2/6 ist, können wir ersetzen, ohne den Wert zu ändern:

Jetzt können wir einfach die Zähler (obere Zahlen) zusammenzählen:

Was ist, wenn es nicht so einfach ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden? Eine Möglichkeit, einen gemeinsamen Nenner zu finden, besteht darin, die beiden Nenner zu multiplizieren und zu verwenden. Im vorherigen Beispiel würde das bedeuten, 18 als gemeinsamen Nenner zu verwenden. Hier ist ein Beispiel:

Beispiel für einen gemeinsamen Nenner

Welchen gemeinsamen Nenner können wir verwenden? Wir können nicht einfach einen der Nenner ändern, damit er dem anderen gleicht, also müssen wir beide ändern. Wir finden einen, indem wir die Nenner miteinander multiplizieren. Wenn wir (4*5) multiplizieren, erhalten wir einen gemeinsamen Nenner von 20. Also müssen wir beide Brüche mit 20 am unteren Ende umschreiben. Dazu multiplizieren wir (frac<1><4>*frac<5><5>) und dann (frac<2><5>*frac<4><4 >). Da wir die Brüche mit Termen multiplizieren, die 1 entsprechen, haben wir den Wert von nichts geändert - wir haben nur unsere Brüche umgeschrieben, um einen gemeinsamen Nenner zu haben.

Gibt es eine einfachere Methode, Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren? Sie wetten. Es wird Kreuzmultiplikation genannt und ist wirklich nur eine automatisierte Version von dem, was wir gerade gemacht haben. Zuerst multiplizieren Sie die obere Zahl links mit der unteren Zahl rechts und die obere Zahl rechts mit der unteren Zahl links. Sehen Sie, warum es Kreuzmultiplikation genannt wird? Das Bild unten zeigt, wie Sie beginnen können, (frac<3><7>+frac<1><2>) hinzuzufügen, indem Sie (3*2) und (7*1) kreuzen. Danach addieren Sie die beiden Ergebnisse.

Im obigen Problem addieren wir die Ergebnisse, nachdem wir (3*2) und (7*1) multipliziert haben. Das ergibt (6+7), was (13) entspricht. Das wird die oberste Zahl der Antwort sein! Um die unterste Zahl zu erhalten, multiplizieren Sie einfach die unteren Zahlen miteinander und das ist alles. Die endgültige Antwort lautet also (13/14).

Hier sind ein paar weitere Beispiele, bei denen ich kreuze, um Brüche zu addieren:


Multiplikationsgeschichten

In dieser Einheit erkunden die Schüler die verschiedenen Situationstypen, auf die Multiplikation angewendet werden kann. Insbesondere beschäftigen sie sich mit Raten-, Vergleichs- und Array-Problemen.

  • Stellen Sie verschiedene Arten von Textaufgaben.
  • Erklären Sie ihr mathematisches Denken bei der Lösung von Problemen.
  • Verwenden Sie eine Vielzahl von Geräten, um ihre Lösungen zu modellieren.

Das Grundkonzept der Multiplikation ist wegen seiner Praktikabilität (Wie viel kosten 4 Eiscremes zu je 2 $) und seiner Effizienz (es ist schneller 4 x 2 zu bestimmen als 2 + 2 + 2 + 2 zu berechnen) ein wichtiges. Multiplikation wird in vielen verschiedenen Situationen verwendet. Hier betrachten die Schüler die Multiplikation als einen kurzen Weg, um das Ergebnis der wiederholten Addition gleicher Mengen zu finden. Sie tun dies, indem sie Ratenprobleme, Vergleichsprobleme und Array-Probleme lösen.

Ein Ratenproblem beinhaltet eine Aussage von „so viele von einer Menge für so viele von einer anderen Menge“. Alle Multiplikationssituationen enthalten irgendeine Form von Rate, aber auf dieser Ebene handelt es sich bei den Problemen normalerweise um gleiche Mengen oder Messungen. Nehmen Sie dieses Beispiel:

„Lena kauft sechs Tüten Kekse. Jede Tüte enthält vier Kekse. Wie viele Kekse kauft sie insgesamt?“

Dies ist ein Problem mit gleichen Mengen, das die Rate „vier Kekse für jede Tüte“ enthält. Ein Messratenproblem sieht normalerweise so aus:

„Die Kumara-Pflanze von Hone wächst jede Woche fünf Zentimeter, nachdem sie sprießt. Wie lang wird seine Pflanze nach sechs Wochen sein?“

Die Rate in Hones Problem beträgt „fünf Zentimeter für jede Woche“. Vergleichsprobleme betreffen die Beziehung zwischen zwei Größen. Beispielsweise:

„Mins Wohnblock hat drei Etagen. Anshuls Block hat 12 Stockwerke. Wie viel höher ist Anshuls Block als der von Min?“

Eine additive Antwort ist 12 – 3 = 9 Stockwerke. Eine multiplikative Antwort ist 4 x 3 = 12, also ist der Block von Anshul viermal höher als der von Min. Ein Array ist eine Struktur aus Zeilen und Spalten. Dieser Schokoladenblock hat beispielsweise zwei Reihen zu je fünf Stück (2 x 5 oder 5 x 2).

Ein Array ist eine Struktur aus Zeilen und Spalten. Dieser Schokoladenblock hat beispielsweise zwei Reihen zu je fünf Stück (2 x 5 oder 5 x 2).

Array-Aufgaben können den Schülern helfen, die Kommutativität der Multiplikation zu erkennen, z. B. dass 5 x 2 = 2 x 5. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Faktoren beeinflusst das Produkt (die Antwort) bei der Multiplikation nicht.

Neben dem Nachdenken über Multiplikation in einer Vielzahl von Situationen werden die Schüler ermutigt, eine Vielzahl von Materialien zu verwenden, um die Probleme zu lösen. Die Verwendung verschiedener Materialien kann den Schülern helfen, die multiplikative Struktur zu erkennen, die einer Vielzahl von Problemen gemeinsam ist, und ihnen helfen, ihr Verständnis auf Situationen zu übertragen, die für sie neu sind.

Diese Einheit kann differenziert werden, indem die bereitgestellten Gerüste variiert werden, um die Lernmöglichkeiten für eine Reihe von Lernenden zugänglich zu machen. Beispielsweise:

  • akzeptieren, dass die Schüler bei Bedarf Zählstrategien zur Lösung multiplikativer Probleme verwenden
  • Lassen Sie die Schüler bei Bedarf Materialien oder Diagramme verwenden, um ihr Denken zu unterstützen
  • arbeiten in kleinen Gruppen mit Schülern, die zusätzliche Unterstützung benötigen, und lösen gemeinsam Probleme.

Konzentrieren Sie sich auf vertraute Kontexte, die multiplikative Situationen beinhalten, um die Interessen und Erfahrungen der Schüler anzusprechen und das Engagement zu fördern. Beispiele können sein:

  • Reihen von Schülern in Kapa Haka-Gruppen
  • Sammeln von Beuteln mit Pipi oder anderen Schalentieren
  • Mannschaften von Studenten, die in Waka Ama . Rennen fahren
  • Brotlaibe für eine Schul- oder Gemeindeveranstaltung
  • Personengruppen, die in Vans, Autos oder Bussen reisen
  • Bündel von Harakeke zum Weben vorbereiten.
  • Ineinandergreifende Würfel
  • Perlen auffädeln
  • Nummernspur
  • Millimeterpapier
  • Zehnseitige Würfel (oder normale Würfel)
  • Kopiermeister Eins, Zwei und Drei

Einstieg

  1. Leiten Sie die Sitzung ein, indem Sie die Schüler bitten, zuerst mehrere gleiche Gruppenaufgaben zu bearbeiten und sie dann zu bitten, ihre eigenen Probleme zu stellen. Beispielsweise:
    • Es gibt 8 Autos. Jeder hat 2 Personen darin. Wie viele Personen sind es insgesamt?
    • Es gibt 6 Fischschüsseln. Jede Schüssel enthält 4 Goldfische. Wie viele Goldfische gibt es insgesamt?
    • Es gibt 7 Tische. Jeder Tisch hat 3 Beine. Wie viele Beine insgesamt?
  2. Die Studierenden können diese und ähnliche „gleiche Mengen“-Probleme darstellen mit:
    • Türme aus ineinandergreifenden Würfeln
    • Einfädeln von Perlen
    • springt auf den Zahlenstrahl
    • ineinander greifende Würfel auf einer Zahlenbahn
    • Zeichnen Sie ein Bild, um die Anzahl der Tische und die entsprechende Anzahl von Beinen anzuzeigen.
  3. Hinweis: Es ist wichtig, die Beispiele (wo möglich) mit der Struktur der wiederholten Addition äquivalenter Mengen als Multiplikation zu verknüpfen. For example: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 or 7 x 4 = 28. Discuss what the numbers 4, 7, and 28 refer to and what the operations symbols + and x refer to. The multiplication symbols can be thought of as meaning ‘of’. For example, 7 x 4 = 20 means seven sets of four.
  4. Now ask the students to make up word problems using the problem structure above with different answers. For example, “Write a multiplication problem with an answer of 24”.
  5. Use several sets of ice-cream containers (all with the same number of items in them) with the contents of each covered except for one. Ask the students to write story problems for each example.
    • What strategy do the students use to solve the problems?
    • Do they try to count the contents of each ice-cream container by ones that is those that are visible and those that are concealed?
    • Do they use skip counting, e.g. 3, 6, 9, …, or repeated addition, e.g. 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9, …?
    • Do they apply multiplication facts, e.g. 5 x 3 = 15 so 6 x 3 = 18 (3 more)?
  6. Be aware that students’ choice of strategy depends on the connection between the conditions of each problem and the number resources that they have available. Expect that strategies of individual students will be variable.

Over the next three days the students are exposed to a variety of different types of story problems. They are encouraged to model the problems using different equipment and explain their answers to others. They think about the most efficient ways of solving the problems. It is important that students are provided with opportunities to build up multiplication facts to 10 and then to 20. Some students may solve these problems without equipment, using the number knowledge they have available.

Rate problems

  1. On the first day work through several measurement rate problems. It is good if students notice that the situations are structurally similar to the ‘equal sets’ problems from the previous session. Measurement quantities, especially time, are more intangible than ‘bags of’ or ‘packets of’ in equal sets situations. Acting out problems can support students to see the common structure.
  2. Use these measurement rate situations:
    [Name] can write her name in 10 seconds. How long does he/she take to write his/her name four times?
    You might select a student to role play writing their name and use an analogue clock (less battery) and/or stacks of cubes to track the time in seconds

[Name] drinks four cups of water each day. How many cups does he/she drink in one week?
Use plastic cups to build up the equal sets of four cups that are involved in this problem. Use another material to track the number of days.

[Name] sews five buttons on every shirt. How many buttons does he/she need for eight shirts?

[Name] puts three spoons of Milo in each cup. How many spoons of Milo does he/she need for 10 cups?

Multiplicative comparison

  1. On the second day of exploration use PowerPoint One to expose your students to comparison situations. The first preference of students may be to look for additive relationships. For example, here is a correct additive response to the question on Slide One.
    How much taller is Jill’s apartment block than Jack’s apartment block?
    S: Jill’s apartment block has 12 floors and Jack’s has four floors. Jill’s block is eight floors higher.

    Students may not offer a ‘times as many’ multiplicative answer. If that occurs pose this problem:
    Jill says that her apartment block is three time higher than Jack’s block. I wonder what she means?
  2. Slides Two and Three shows the additive and multiplicative comparisons that can be made.
    Look for students to note the inverse relationships:
    S: Jack’s apartment block is eight floors less (shorter) than Jill’s.
    S: Jack’s apartment block is one third of the height of Jill’s.
  1. Work through the other slides of PowerPoint One looking to see if students identify the common structure of finding difference (additive) and finding the scale factor (multiplicative).
    contains many multiplicative comparison problems. Some problems are in the form where the relationship is required while others require application of a given scale factor. Students are also encouraged to write equations to represent the situations. Let the students solve the problems, with the support of materials like counters if they need it. After a suitable time share the answers as a class.
  2. Do your students:
    • Recognise the meaning of “times as many.”?
    • Represent the situations correctly with materials?
    • Identify the scale factor and the set to be scaled?
    • Record the equations correctly?
  1. On the third day of exploration work through several array problems based on situations in which there are equal groups. When modelling arrays, it may be helpful to talk about the lines across as ‘rows’ and the lines up and down as ‘columns’. Teams with the same number of members in each are often used during the school day.
    Pose problems such as:
    The students are lined up in 3 teams for sport. Each team has 6 members. How many students are there altogether?
    Encourage the students to draw representations of problems like this using three rows (one for each team) and six columns (one for each team member). Alternatively, use the students as the objects in the problem. If students draw the situation as three columns of six it opens discussion of the commutative property since 6 x 3 = 3 x 6.
  2. Other problems you might use include:
    • A tray of eggs has five rows and six columns.How many eggs are in the tray altogether?
    • The carpark has four rows. Ten cars park in each row. How many cars can be parked altogether?
    • A chocolate block has six columns, with four pieces in each column. How many pieces are in the whole block?
    • A ‘Connect Four’ board has seven columns, with six holes in each column. How many counters can fit on the whole array?
  3. The students can model these and other array problems with
    • pegboards: pegs on a pegboard can be used to illustrate arrays in multiplication.
      For the problem above this could be talked about as 3 rows of 6 pegs or 3 sixes,
      or 3 rows of 6, or 3 x 6 = 18
      By turning the pegboard a quarter turn, the array still has a total of 18 pegs.
      This could be talked about as 6 columns of 3 pegs or 3 rows of 6 pegs or 6 threes
      or 6 columns of 3 or 6 X 3 + 18.
    • interlocking cubes
    • colouring grid paper
    • diagrams.
    contains some problems related to arrays. Encourage your students to record an equation for each array, to show how they found the total number of objects.

On the final day of the unit we play a game called Array Trap in which the students use graph paper to plot arrays.
For this activity you will need

  • a sheet of graph paper for each player (At least 30 x 20 squares)
  • 3 x ten-sided dice - each side has a different digit on it (You can use 3 x standard 1-6 dice, but the facts are limited)
  • different coloured felt pens
  1. Roll the dice and choose two, for example 8 and 2
  2. Mark out a rectangle of that size, for example 8 rows of 2, or 2 columns of 8 or a different pair of factors with the same area, for example, four columns of four.
  3. Write the multiplication basic fact in the rectangle, for example 8 x 2 = 16 or 2 x 8 = 16
  4. Players take turns until one player is trapped. That is, they are unable to find space for the array they have rolled.

Discuss strategies for the game such as:

  • Placing large arrays near the edge to maximise the space available for more arrays.
  • Renaming the factors so the array fits a given space

At school this week we have been solving multiplication problems. Here is an example of one we have worked on:

There are 6 fish bowls. Each bowl contains 4 goldfish. How many goldfish are there altogether?

At home this week I would like your child to make up two more multiplication problems for us to solve in maths.


4.4: Multiplication of Fractions - Mathematics

If two fractions have different numerators and denominators it is difficult to determine which fraction is larger. It is easier to determine which is larger if both fractions have the same denominator.

Multiply the numerator and denominator of one fraction by the same number so both fractions will have the same denominator. For example, if 5/12 and 1/3 are being compared, 1/3 should be multiplied by 4/4. It does not change the value of 1/3 to be multiplied by 4/4 (which is equal to 1) because any number multiplied by 1 is still the same number. After the multiplication (1/3 * 4/4 = 4/12), the comparison can be made between 5/12 and 4/12.

You may have to multiply both fractions by different numbers to produce the same denominator for both fractions. For example if 2/3 and 3/4 are compared, we need to multiply 2/3 by 4/4 to give 8/12 and multiply 3/4 by 3/3 to give 9/12. The fraction 3/4 which is equal to 9/12 is larger than 2/3 which is equal to 8/12.

The fraction with the larger numerator is the larger fraction if the denominators are the same.


4.4: Multiplication of Fractions - Mathematics

One of the areas most frustrating for teachers and students alike is the study of fractions, specifically operations with fractions. Year after year, students learn and forget how to add, subtract, multiply and divide with fractions. The main reason students have difficulties with fractions is that they seem to want to memorize formulas or algorithms instead of understanding them.

Manipulatives, when used to introduce concepts about fractions, help students understand the ideas about fractions. Pattern blocks and fraction blocks have many uses in learning mathematical concepts, but they are especially useful in learning about fractions.

For those unfamiliar with pattern blocks, the basic set consists of 6 shapes:

In recent years, fraction blocks have become available to supplement the basic pattern blocks. The additional shapes are:

For the purpose of studying fractions, we will be using the double hexagon, the hexagon, the chevron, the trapezoid, the blue rhombus and the triangle.

Have students work in pairs with the blocks. Have the students discover the relationships between these 6 blocks:

  • how many green blocks are equivalent to a blue block, or a red block, or a black block, or a yellow block, or a pink block?
  • how many red blocks are equivalent to a yellow block, or a pink block?
  • how many blue blocks are equivalent to a black block, or a yellow block, or a pink block?
  • How many black blocks are equivalent to a pink block?

We will use the pink double hexagon as the unit 1.

Each student should have an outline of this form to use with the blocks. The teacher should have this outline on an overhead to work along with the students.

Lesson 1-Equivalent Fractions

Have the students cover the form with yellow blocks. What fraction of the whole does 1 yellow block represent? (1/2) Write this fraction down on the overhead, the blackboard or chart paper for future reference.

Clear the outline. Have them cover the outline with black blocks. What fraction of the whole does 1 black block represent? (1/3) 2 black blocks? (2/3) 3 black blocks? 3/3 Write these fractions down.

Clear the outline. Have them cover the outline with red blocks. What fraction of the whole does 1 red block represent? (1/4) 2 red blocks? (2/4) 3 red blocks? (3/4) 4 blocks (4/4) Write these fractions down.

Which of these 4 fractions is the same as 1/2? Ask students to show this on their outline. Ask a student to show it on the overhead.

Clear the outline. Have the students cover the outline with blue blocks. What fraction of the whole does 1 blue block represent? (1/6) 2 blue blocks? (2/6) 3 blue blocks? (3/6) 4 blue blocks? (4/6) 5 blue blocks? (5/6) 6 blue blocks? (6/6) Write these fractions down.

Which of these fractions is the same as 1/2? Ask students to show and explain this using their blocks.

Which of these fractions is the same as 1/3? 2/3? Ask students to show and explain this using their blocks.

Clear the outline. Have the students cover the outline with green blocks. What fraction of the whole does 1 green block represent? (1/12) . 12 green blocks? (12/12) Write these fractions down.

Have the students show and list all fractions equivalent to 1/2.

Have the students show and list all fractions equivalent to 1/4, 3/4, 1/3, 2/3, 1, etc.

Have students list all fractions smaller (but greater than 0) than 1/2.

Have students list all fractions greater (but smaller than 1) than 1/2.

Have students list from smallest to greatest all the fractions which can be represented by the blocks (up to 1).

If the outline represents 1, show 1 1/2 using yellow blocks, or red blocks.

Show 2 1/4 using a variety of blocks.

This lesson allows students to understand and become familiar with equivalent fractions and the order of fractions.

Lesson 2-Addition of Fractions

  • start with 2 different blocks
  • ask what fraction of the whole it represents
  • exchange the blocks with "equivalents".

Lesson 3-Subtraction of Fractions

When students are comfortable with addition, they can then proceed with subtraction.

The principle is the same as for addition - the idea of equivalent fractions.

Lesson 4-Multiplication of Fractions

Cover the outline with 1 yellow block. Tell students you only want 1/2 of that block. How can they show that? (They could replace the yellow block with 2 red blocks and take one of these away). Now,what fraction of the whole outline does this block represent? (1/4)

Next write the following equation on the board: 1/2 x 1/2 = 1/4 and show with the blocks that this is what was just done.

Repeat using a yellow block but wanting 1/3 of the block. (The yellow block will be replaced with 3 blue blocks and one of them will be kept). What fraction of the whole outline does this block represent? (1/6)

Write the equation on the board (1/2 x 1/3 = 1/6) and show this with the blocks. Continue with (1/3 x 1/2 = 1/6).

Next write a new equation on the board (1/4 x 1/3 = ) and ask students to show and explain how they can solve this using the blocks.

Keep the equations on the board. Some students may discover that there is a pattern when it comes to multiplying fractions (multiplying the numerators and multiplying the denominators).

Many lessons can be used to develop these concepts, eventually using fractions with numerators larger than 1 and using fractions greater than 1.

Don't forget to always show the link between the blocks and the symbols.

Lesson 5- Division of Fractions

Yes! Pattern blocks can be used to show the concept of division of fractions.

Write the following equation on the board: 1/2 / 1/2 = . Indicate that this is not the same as 1/2 x 1/2. Cover the outline with 1 yellow block representing the first 1/2. Next pick up a second yellow block representing the second 1/2 and ask the following question: How many of this block would fit in the block on the outline? (1) Write the answer at the end of the equation. The question represents this particular concept of fraction.

Try another 1/2 / 1/4 = . Cover the outline with 1 yellow block to represent 1/2 and pick up a red block to represent 1/4. How many of this red block does it take to cover the yellow block? (2). Write the answer at the end of the equation.

Try 4 or 5 more. Students will become very good at this. Keep writing the equations and the answers on the board. The pattern is not so obvious but students may realize that by inverting the second fraction, they can find the answer.

What is important here is that students understand what it means when we divide fractions. It will help them visualize the kind of answer they should be getting, to estimate the answer. This is a very valuable tool.

At any time during the lessons, please allow time for students to express their thinking and concerns about what they are learning.

All of these "lessons" require more than one math period.

The outline can be made by tracing around one pink piece and photocopying it for the students and making an overhead for the teacher.

Pattern blocks are sold in buckets. Three buckets are the minimum number of buckets a classroom should have to ensure that students have enough of the pieces needed. Fraction blocks (the 2 new shapes) are sold separately. Blocks can be stored in Ziploc type bags, one bag for each pair of students (this saves a lot of class time).

Pattern blocks and fraction blocks can be purchased through Exclusive Educational Products (www.exclusiveeducational.ca), Spectrum (www.spectrumed.com) and other places.

Also available are pattern blocks for use on the overhead projector, magnetic fraction blocks (containing all the shapes needed for fractions) and binders of activities related to pattern blocks (French and English) these activities relate to problem solving, geometry, perimeter, area, fractions, etc. These binders include activities for K-8. In particular the binder called Fraction Blocks (French and English) is devoted exclusively to fractions. These binders are available through Exclusive Educational Products (www.exclusiveeducational.ca).

The use of the pattern blocks and fraction blocks to teach understanding of concepts related to fractions limits the fractions which can be used. But this is not necessarily a disadvantage. If students understand the concepts using these fractions, they will be able to make the connections to other fractions.

According to the Saskatchewan Mathematics Curriculum:

students should be able to add and subtract fractions with like denominators using manipulatives and pictures in grades 5 and 6

students should be able to add and subtract fractions with unlike denominators using denominators using manipulatives and pictures in grades 7 and 8

students should be able to multiply fractions using manipulatives and pictures in grades 7 and 8

students should be able to divide fractions using manipulatives and pictures in grades 7 and 8.

Only in grades 8 and 9 will students be expected to divide fractions using symbols only.

You can even evaluate students' knowledge of fractions using manipulatives.

As a test, hand out a sheet with problems involving fractions and let the students use the pattern blocks. Have the students' draw the outline of the blocks they have used to solve the problems.

What you will be assessing is the students' understanding of the concepts involved with fractions and operations.

Other ways of evaluating students' understanding using blocks can be devised. You may wish to share some of your ideas about teaching and assessing by sending them to this web site. Don't be shy!


Schau das Video: Multiplizieren von Brüchen. Flipped Classroom.. Phil Stangl (November 2021).