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1.1: Vorspiel zu den Grundlagen der Algebra - Mathematik


Seit Jahren arbeiten Ärzte und Ingenieure daran, künstliche Gliedmaßen wie diese Hand für Menschen herzustellen, die sie brauchen. Dieses spezielle Produkt ist jedoch anders, da es mit einem 3D-Drucker entwickelt wurde. Als Ergebnis kann es so gedruckt werden, wie Sie Wörter auf ein Blatt Papier drucken. Dies macht die Herstellung des Gliedes kostengünstiger und schneller als herkömmliche Verfahren.

Biomedizinische Ingenieure arbeiten daran, Organe zu entwickeln, die eines Tages Leben retten könnten. Wissenschaftler der NASA entwickeln Möglichkeiten, mit 3D-Druckern auf dem Mond oder Mars zu bauen. Bauherren haben sogar ganze Gebäude mit einem 3D-Drucker konstruiert. Die Technologie und der Einsatz von 3D-Druckern hängt von der Fähigkeit ab, die Sprache der Algebra zu verstehen. Ingenieure müssen in der Lage sein, Beobachtungen und Bedürfnisse in der natürlichen Welt in komplexe mathematische Befehle zu übersetzen, die einem Drucker Anweisungen geben können. In diesem Kapitel werden Sie die Sprache der Algebra wiederholen und Ihre ersten Schritte zur Arbeit mit algebraischen Konzepten unternehmen.


Beweisen Sie, dass 1+1=2 [Duplikat]

Ich habe einmal gelesen, dass einige Mathematiker einen sehr langen Beweis von $1+1=2$ geliefert haben.

Können Sie sich eine Möglichkeit vorstellen, die mathematische Strenge zu erweitern, um einen langen Beweis für diese Gleichung zu präsentieren? Ich bitte nicht um einen Beweis, sondern um einen Umriss, was man in Betracht ziehen würde, um die Herleitung so lang wie möglich zu machen.

BEARBEITEN: Es scheint, dass der Beweis, von dem ich gehört habe, eine Standardreferenz ist, die hier mehrmals angegeben wurde :) Ich habe angegeben, dass der Beweis selbst für mich weniger nützlich ist als eine Gliederung, da ich nur "Physik-Mathematik" kenne. Kann jemand kurz skizzieren, was in dem Beweis vor sich geht? Eine Übersicht, die ich Abschnitt für Abschnitt in Wikipedia nachschlagen kann, um zumindest ein Gefühl dafür zu bekommen, was für einen solchen Beweis erforderlich sein könnte?


Grundlagen der Mathematik

Mathematik ist die Wissenschaft der Quantität. Traditionell gab es zwei Zweige der Mathematik, Arithmetik und Geometrie, die sich mit zwei Arten von Größen befassten: Zahlen und Formen. Die moderne Mathematik ist reicher und beschäftigt sich mit einer größeren Vielfalt von Objekten, aber Arithmetik und Geometrie sind immer noch von zentraler Bedeutung.

Grundlagen der Mathematik ist das Studium der grundlegendsten Konzepte und der logischen Struktur der Mathematik mit Blick auf die Einheit des menschlichen Wissens. Zu den grundlegendsten mathematischen Konzepten gehören: Zahl, Form, Menge, Funktion, Algorithmus, mathematisches Axiom, mathematische Definition, mathematischer Beweis.

Der Leser kann sich berechtigterweise fragen, warum überhaupt Mathematik in diesem Band vorkommt. Ist Mathematik nicht ein zu enges Fach? Ist die Philosophie der Mathematik nicht von eher spezialisiertem Interesse, umso mehr im Vergleich zu den breiten humanistischen Fragen der eigentlichen Philosophie, Themen wie dem Guten, dem Wahren und dem Schönen?

Es gibt drei Gründe, die Mathematik in einem Band zur allgemeinen Philosophie zu diskutieren:

  1. Die Mathematik hat im wissenschaftlichen Denken seit jeher eine besondere Rolle gespielt. Die abstrakte Natur mathematischer Objekte stellt philosophische Herausforderungen, die ungewöhnlich und einzigartig sind.
  2. Grundlagen der Mathematik ist ein Fach, das seit jeher einen ungewöhnlich hohen technischen Anspruch aufwies. Aus diesem Grund haben viele Denker vermutet, dass die Grundlagen der Mathematik als Modell oder Muster für die Grundlagen anderer Wissenschaften dienen können.
  3. Die Philosophie der Mathematik hat als hochgradig gegliedertes Prüffeld gedient, in dem Mathematiker und Philosophen gleichermaßen untersuchen können, wie verschiedene allgemeine philosophische Lehren 13 in einem spezifischen wissenschaftlichen Kontext wirken.

Der Zweck dieses Abschnitts ist es, die Rolle der Logik in den Grundlagen der Mathematik aufzuzeigen. Wir beginnen mit einigen Bemerkungen zur Geometrie von Euklid. Anschließend beschreiben wir einige moderne formale Theorien für die Mathematik.

Die Geometrie von Euklid

Über dem Tor zu Platons Akademie erschien eine berühmte Inschrift:

In der Posterioren Analytik [13] legte Aristoteles die Grundlagen der wissenschaftlichen Methode fest. 14 Das Wesen der Methode besteht darin, ein Wissensgebiet mit Hilfe primitiver Konzepte, Axiome, Postulate, Definitionen und Theoreme logisch zu organisieren. Die meisten Beispiele von Aristoteles für diese Methode stammen aus der Arithmetik und Geometrie [1,7,9].

Die methodologischen Ideen des Aristoteles haben die Struktur und Gliederung von Euklids monumentaler Geometrieabhandlung, den Elementen [8], entscheidend beeinflusst. Euklid beginnt mit 21 Definitionen, fünf Postulaten und fünf gemeinsamen Begriffen. Danach sind die restlichen Elemente eine ausgeklügelte deduktive Struktur, die aus Hunderten von Aussagen besteht. Jeder Satz wird durch seine eigene Demonstration gerechtfertigt. Die Demonstrationen haben die Form von Syllogismenketten. In jedem Syllogismus werden die Prämissen so identifiziert, dass sie aus den Definitionen, Postulaten, gemeinsamen Begriffen und zuvor demonstrierten Aussagen stammen. In Buch I der Elemente zum Beispiel ist die Demonstration von Satz 16 (``in jedem Dreieck, wenn eine der Seiten erzeugt wird, der äußere Winkel größer als der innere und der entgegengesetzte Winkel'') eine Kette von Syllogismen mit Postulat 2, Common Notion 5 und Proposition 3, 4 und 15 (``Wenn sich zwei Geraden schneiden, machen sie die vertikalen Winkel einander gleich''), die als Prämissen auftreten. Es stimmt, dass die Syllogismen von Euklid nicht immer strikt den aristotelischen Vorlagen entsprechen. Die Standards der Strenge sind jedoch sehr hoch, und der Einfluss von Aristoteles ist offensichtlich.

Die Logik des Aristoteles und die Geometrie des Euklid werden allgemein als überragende wissenschaftliche Errungenschaften des antiken Griechenlands anerkannt.

Formale Theorien für die Mathematik

Eine formale Theorie für die Geometrie

Mit dem Aufkommen der Infinitesimalrechnung im 17. und 18. Jahrhundert entwickelte sich die Mathematik sehr schnell und ohne logische Grundlagen. Euklids Geometrie galt noch immer als Vorbild logischer Strenge, als leuchtendes Beispiel dafür, wie eine gut organisierte wissenschaftliche Disziplin idealerweise aussehen sollte. Aber die produktiven Mathematiker der Aufklärung wie Leonhard Euler zeigten fast kein Interesse daran, die Infinitesimalrechnung auf eine ähnlich solide Grundlage zu stellen. Erst in der letzten Hälfte des 19. Jahrhunderts begannen Wissenschaftler, sich ernsthaft mit diesem grundlegenden Problem zu befassen. Die daraus resultierende Krise hatte weitreichende Folgen. Auch die Geometrie von Euklid selbst wurde kritisch hinterfragt. Geometer wie Moritz Pasch entdeckten, was sie als Lücken oder Ungenauigkeiten in den Elementen ansahen. Große Mathematiker wie David Hilbert traten in den Kampf ein.

Ein Ergebnis all dieser grundlegenden Aktivitäten war eine gründliche Überarbeitung der Geometrie, diesmal als Sammlung formaler Theorien innerhalb der Prädikatenkalküle. Entscheidende Erkenntnisse lieferte Alfred Tarski. Wir skizzieren Tarskis formale Theorie für die euklidische 15 ebene Geometrie. 16

Als seine primitiven Prädikate nimmt Tarski (``Punkt''), (``Zwischen''), (``Entfernung''), (``Identität''). Die Atomformeln , , , und bedeuten `` ist ein Punkt'', `` liegt zwischen und '', ``der Abstand von bis ist gleich dem Abstand von '' bzw. `` ist identisch mit ''' . Andere geometrische Objekte als Punkte, wie Liniensegmente, Winkel, Dreiecke, Kreise usw., werden mit Hilfe der Grundelemente behandelt. Zum Beispiel besteht der Kreis mit Mittelpunkt und Radius aus allen Punkten, so dass gilt.

In der Geometrie gelten zwei Punkte und als identisch, wenn der Abstand zwischen ihnen null ist. Tarski drückt dies mit einem Axiom aus

Insgesamt präsentiert Tarski zwölf Axiome sowie eine zusätzliche Sammlung von Axiomen, die die Idee ausdrücken, dass eine Linie stetig ist. Die vollständige Aussage von Tarskis Axiomen für die euklidische ebene Geometrie findet sich in [10, Seiten 19-20]. Seien wir die formale Theorie, die auf Tarskis Axiomen basiert.

Bemerkenswerterweise hat Tarski gezeigt, dass dies vollständig ist. Das bedeutet, dass für jede rein geometrische 17 Aussage entweder oder ein Satz von ist. Wir sehen also, dass die Axiome von ausreichen, um alle Ja/Nein-Fragen der euklidischen ebenen Geometrie zu beantworten. Wenn wir dies mit dem Vollständigkeitssatz von Gödel kombinieren, finden wir, dass dies entscheidbar ist: Es gibt einen Algorithmus 18, der eine beliebige Aussage der ebenen euklidischen Geometrie als Eingabe akzeptiert und ``wahr'' ausgibt, wenn die Aussage wahr ist, und `` false'' wenn es falsch ist. Dies ist ein Triumph der modernen Grundlagenforschung.

Eine formale Theorie für die Arithmetik

Unter Arithmetik verstehen wir Grundschularithmetik, also das Studium der positiven ganzen Zahlen , , , . zusammen mit den bekannten Operationen Addition ( ) und Multiplikation ( ). Dieser Teil der Mathematik ist offensichtlich grundlegend, stellt sich jedoch als überraschend kompliziert heraus. Im Folgenden schreiben wir einige der Axiome auf, die in eine formale Theorie der Arithmetik einfließen. 19

Unsere primitiven Prädikate für die Arithmetik sind (``Zahl''), (``Addition''), (``Multiplikation''), (``Identität''). Die Atomformeln , , , bedeuten `` ist eine Zahl'', `` '', `` '' bzw. `` ''. Unsere Axiome verwenden die Prädikate , , , um zu behaupten, dass für jede gegebene Zahl und die Zahlen und immer existieren und eindeutig sind. Wir werden auch Axiome haben, die einige bekannte arithmetische Gesetze ausdrücken:


Vertretungsgesetze: wenn und eine Zahl ist, dann ist eine Zahl usw.
Kommutativgesetze: und .
Assoziativgesetze: und .
Verteilungsrecht: .
Vergleichsrecht: wenn und nur wenn, für einige , oder .
Einheitsrecht: .
Sei die durch die obigen Primitiven und Axiome spezifizierte formale Theorie.

Es ist bekannt, dass es ausreicht, viele bekannte arithmetische Tatsachen abzuleiten. Zum Beispiel kann, um sicher zu sein, umständlich ausgedrückt werden als oder

Andererseits sind die Axiome von keineswegs erschöpfend. Sie können durch andere Axiome ergänzt werden, die die sogenannte mathematische Induktion oder das Prinzip der kleinsten Zahl ausdrücken: Wenn es eine Zahl mit einer wohldefinierten Eigenschaft gibt, dann gibt es unter allen Zahlen mit dieser Eigenschaft eine kleinste. Die resultierende formale Theorie ist insofern bemerkenswert mächtig, als ihre Theoreme praktisch alle bekannten arithmetischen Fakten umfassen. Aber es ist nicht so mächtig, wie man es sich wünschen könnte. Tatsächlich ist jede formale Theorie, die einschließt, notwendigerweise entweder inkonsistent 22 oder unvollständig. Es besteht also keine Hoffnung, genügend Axiome aufzuschreiben oder einen Algorithmus zu entwickeln, um alle arithmetischen Tatsachen zu entscheiden. Dies ist eine Variante des berühmten Unvollständigkeitssatzes von Gödel von 1931 [5,22]. Es gibt mehrere Methoden, mit dem Unvollständigkeitsphänomen umzugehen, und dies ist ein derzeit aktives Forschungsgebiet der Grundlagen der Mathematik.

Der Kontrast zwischen der Vollständigkeit der formalen Geometrie und der Unvollständigkeit der formalen Arithmetik ist auffallend. Beide Seiten dieser Dichotomie sind von offensichtlichem philosophischen Interesse.

Eine formale Theorie der Mengen

Eines der Ziele der modernen logischen Forschung besteht darin, eine einzige formale Theorie zu entwickeln, die die gesamte Mathematik vereint. Eine solche Theorie unterliegt notwendigerweise dem Gödel-Unvollständigkeitsphänomen, weil sie nicht nur sondern auch einbezieht.

Ein Ansatz für eine vereinheitlichte Mathematik besteht darin, Arithmetik direkt in die Geometrie einzubetten, indem ganze Zahlen mit gleichmäßig verteilten Punkten auf einer Linie identifiziert werden. Diese Idee war den alten Griechen bekannt. Ein anderer Ansatz besteht darin, Geometrie arithmetisch und algebraisch zu erklären, mit Hilfe von Koordinatensystemen, wie Breiten- und Längengrad auf einer Karte. Diese Idee geht auf den Mathematiker und Philosophen René233 Descartes aus dem 17. Jahrhundert und den Mathematiker Karl Weierstrass aus dem 19. Jahrhundert zurück. Beide Ansätze führen im Wesentlichen zu derselben formalen Theorie, die als Arithmetik zweiter Ordnung bekannt ist. 23 Diese Theorie umfasst beides und ist für den Großteil der modernen Mathematik angemessen. Die Entscheidung, ob man die Geometrie fundamentaler als die Arithmetik macht oder umgekehrt, scheint also vor allem Geschmackssache zu sein.

Ein ganz anderer Zugang zu einer einheitlichen Mathematik ist die Mengenlehre. Dies ist ein eigentümlicher Ansatz des 20. Jahrhunderts. Es basiert auf einem sehr einfach aussehenden Konzept: Sets. Bemerkenswerterweise führt dieses eine Konzept direkt zu einer riesigen Struktur, die die gesamte moderne Mathematik umfasst.

Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Wir verwenden manchmal informelle Notationen, um anzugeben, dass es sich um eine Menge von Elementen handelt , , . Die Anzahl der Elemente einer Menge kann beliebig groß oder sogar unendlich sein. Ein Grundprinzip der Mengenlehre ist, dass eine Menge durch ihre Elemente bestimmt wird. Somit sind zwei Mengen genau dann identisch, wenn sie die gleichen Elemente haben. Dieses Prinzip ist als Extensionalität bekannt. Zum Beispiel wird die Menge als dieselbe Menge angesehen, weil die Elemente gleich sind, obwohl sie in einer anderen Reihenfolge geschrieben sind.

Ein Großteil der Komplexität der Mengenlehre ergibt sich aus der Tatsache, dass Mengen Elemente anderer Mengen sein können. Zum Beispiel ist die Menge ein Element der Menge und unterscheidet sich von der Menge .

Für eine formale Mengentheorie verwenden wir drei Primitive: (``Menge''), (``Identität''), (``Element''). Die atomaren Formeln , , bedeuten `` ist eine Menge'', `` ist identisch mit '' bzw. `` ist ein Element von ''. Eine der Grundregeln der Mengenlehre ist, dass nur Mengen Elemente haben können. Dies wird als Axiom ausgedrückt. Außerdem gibt es ein Extensionalitätsaxiom

Der mengentheoretische Ansatz der Arithmetik basiert auf den nicht-negativen ganzen Zahlen , , , , . Diese Nummern sind mit bestimmten Sätzen gekennzeichnet. Wir identifizieren uns nämlich mit der leeren Menge , mit , mit , mit usw. Im Allgemeinen identifizieren wir die Zahl mit der Menge der kleineren Zahlen . Unter den Axiomen von ist ein Axiom der Unendlichkeit, das die Existenz der unendlichen Menge behauptet. Man kann die Menge verwenden, um zu zeigen, dass eine Theorie äquivalent zu enthält. Danach kann man den Ideen von Descartes und Weierstrass folgen, um zu sehen, dass auch eine Theorie äquivalent zu ist. Es stellt sich heraus, dass auch der Rest der modernen Mathematik innerhalb von emuliert werden kann. Dazu gehört eine ausgeklügelte Theorie unendlicher Mengen, die viel größer sind als .

Der mengentheoretische Zugang zu Arithmetik und Geometrie ist zugegebenermaßen etwas künstlich. Die Idee, die gesamte Mathematik auf ein einfaches Konzept, Mengen, zu gründen, hat jedoch eine starke Anziehungskraft ausgeübt. 24 Die Implikationen dieser Idee sind noch nicht vollständig verstanden und Gegenstand aktueller Forschung.


  • . dass die sechs Permutationen des Vektors (1,2,3) ein regelmäßiges Sechseck im 3D-Raum bilden, die 24 Permutationen von (1,2,3,4) ein abgestumpftes Oktaeder in vier Dimensionen bilden, und beide sind Beispiele für permutohedra?
  • . dass Ostomachion eine mathematische Abhandlung ist, die Archimedes über ein 14-teiliges Kachelpuzzle ähnlich dem Tangram zugeschrieben wird?
  • . dass einige Funktionen als unendliche Summe trigonometrischer Polynome geschrieben werden können und dass diese Summe die Fourier-Reihe dieser Funktion genannt wird?
  • . dass die Identitätselemente für arithmetische Operationen die einzigen zwei ganzen Zahlen verwenden, die weder zusammengesetzte noch Primzahlen sind, 0 und 1?
  • . dass bis April 2010 nur 35 gerade Zahlen gefunden wurden, die nicht die Summe zweier Primzahlen sind, die sich jeweils in einem Twin-Prime-Paar befinden? ref
  • . der Piphilologie-Datensatz (das Merken von Ziffern von Pi) beträgt 70000 ab März 2015?
  • . dass Menschen die Parität von Null deutlich langsamer erkennen als andere ganze Zahlen, unabhängig von Alter, gesprochener Sprache oder ob das Symbol oder Wort für Null verwendet wird?

1.1: Vorspiel zu den Grundlagen der Algebra - Mathematik

Grundlagen der Mathematik Text

Der Text My Foundations of Mathematics wurde im März 2008 von Wiley veröffentlicht. Antworten auf alle Probleme werden Dozenten zur Verfügung gestellt, die den Text über den Verlag übernehmen. Hier ist ein Link zur Seite des Herausgebers: http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470085010.html.

Grundlagen der Mathematik

Dieser Text wird Mathematikstudenten im zweiten Studienjahr das Verständnis und die Fähigkeiten vermitteln, die zum Lesen und Nachdenken über Mathematik und zum Verfassen von Beweisen erforderlich sind. Aber sie will mehr tun, als nur mit den vielen aktuellen Texten zu konkurrieren. Ich beabsichtige, die erfolgreichsten Lehren aus der Kalkülreform -Bewegung auf diesen beweisorientierten Kurs anzuwenden.

Die grafische, symbolische und numerische Verstärkung von Konzepten in Reformkalkültexten hat die Intuition und Problemlösungsfähigkeit von Mathematikstudenten unterstützt. Die konzeptionellen Fragen dieser Texte bringen die Schüler über die Computer- und Symbolmanipulation hinaus, ohne zu allgemeinen abstrakten Fragen oder stark symbolischen Fragen zu springen. Mathematikstudenten im zweiten Jahr, die aus Problemlösungskursen hervorgehen, würden entsprechend von einer tieferen Intuition über Definitionen und abstrakte Konzepte profitieren. Sie werden dann besser in der Lage sein, mathematische Texte zu lesen, Beweise zu formulieren und theoriebasierte Fragen zu beantworten. Mein Text wird diesen Übergang durch die Reihenfolge der Themen und durch die Erklärungen, Beispiele und Probleme erleichtern. Während ich Intuition aufbauen werde, werde ich die letztendliche Erwartung nicht verringern, dass die Schüler Mathematik verstehen und Beweise auf dem Niveau erfolgreicher Mathematikstudiengänge schreiben.

Eine zunehmende Zahl von mathematischen Fakultäten hat auf die Schwierigkeiten, die typische Mathematikstudiengänge in den Oberstufenkursen haben, reagiert, indem sie einen Kurs zur Einführung von Beweisen und mathematischen Grundstrukturen verlangen. Während viele Texte diesem Bedarf bereits Rechnung tragen, weisen sie verschiedene Mängel auf. Fast überall wird in diesen Texten davon ausgegangen, dass Studierende neue Konzepte und Definitionen schneller aufnehmen können als meiner Erfahrung nach durchschnittliche Hauptfächer. In diesen Büchern wird beispielsweise erwartet, dass die Schüler ein Konzept in Beweisen im Abschnitt zur Einführung des Konzepts verwenden.

Diese Texte weisen auch verschiedene andere Mängel auf. Die meisten vernachlässigen es, zu erklären, wie man mathematische Definitionen versteht und wie man mathematische Texte liest. Sie verwenden zu oft umgangssprachliche Formulierungen für Definitionen, Theoreme und Probleme, die schwächere Schüler als irreführend empfinden. Schließlich erklären einige Texte nicht ausreichend klar, wie Beweise erstellt und geschrieben werden.

Ich bin zuversichtlich, dass ich einen hervorragenden Text schreiben kann, der den Schülern hilft, die mathematische Sprache zu verstehen, ihre Intuition zu entwickeln und Beweise zu schreiben. Ich habe viel über das Schreiben von Texten gelernt, indem ich zuerst einen unveröffentlichten Mathematiktext der Geisteswissenschaften verfasste und anschließend Der geometrische Standpunkt: Ein Überblick über die Geometrien, veröffentlicht von Addison, Wesley und Longman (1998). Darüber hinaus haben meine Diplomausbildung in mathematischer Logik und meine langjährige Lehrtätigkeit in Mathematik meine Fähigkeit zur Erklärung logischer Sprache und Beweisformate geschärft. Ich habe gelernt, die Intuition der Schüler aufzubauen, sodass ich Konzepte verständlich einführen kann. Rezensenten meines Geometrietextes stellten fest, wie gut seine innovativen Probleme die Intuition der Schüler stärkten.

Studenten brauchen oft Hilfe beim Übergang von problembasierten Kursen zu beweisbasierten Kursen, insbesondere abstrakte Algebra und Analysis. Ein Gründungs- oder Übergangskurs ist die häufigste Antwort auf dieses Bedürfnis.Während die besseren Mathematik-Hauptfächer diesen Übergang ohne weiteres schaffen, verlassen sich viele Mathematik-Fakultäten auf Grundkurse, um mehr Studenten zum Erfolg zu verhelfen.

Die Studenten, die einen Grundkurs belegen, haben im Allgemeinen einige problembasierte College-Kurse absolviert – zwei oder drei Semester Mathematik und vielleicht Lineare Algebra oder Differentialgleichungen – normalerweise mit wenig oder keinem Schwerpunkt auf Beweisen. Da viele Gymnasien die Zahl der im Geometrieunterricht gelehrten Beweise auf ein Minimum reduziert haben, kann ein Grundkurs die erste Begegnung eines Schülers mit mathematischen Beweisen sein. Darüber hinaus lesen die Studierenden in Problemlösungskursen häufig den Text nicht, geschweige denn verstehen oder verwenden formale mathematische Definitionen. In der Tat trüben viele Intuitionstexte das Wasser, indem sie Intuitionen benennen, z. die Ableitung ist die Steigung der Tangente als Definitionen. Daher erleben Schüler mathematische Definitionen oft als seltsam formulierte Notation und nicht als außergewöhnlich klare und prägnante Schlüssel zum Nachweis von Ergebnissen. Da sie gleichzeitig Proofformate erlernen und Proofstrategien entwickeln müssen, während sie sich mit neuen Konzepten auseinandersetzen, stoßen sie auf erhebliche Frustration. Ich denke sogar, dass es gut für die Fähigkeiten und das Engagement der Mathematikfakultät spricht, dass so viele Studenten in Grundkursen erfolgreich sind.

Die Lehrveranstaltungen der Fakultät sind in der Regel Ph.D. Mathematiker ohne formale Ausbildung in Logik. Sie arbeiten hart, um ihren Schülern zu helfen, brauchen aber einen Text, der den Übergang unterstützt. Sie verlassen sich darauf, dass der Text neue Konzepte, Definitionen und die Konventionen des Schreibens von Beweisen klar erklärt und illustriert. Sie betonen den Beweis von Theoremen und behandeln die elementare Mengenlehre. Oftmals fügen einzelne Fachbereiche weitere Anforderungen hinzu, wie zum Beispiel die Einführung der diskreten Mathematik oder die Bereitstellung eines Vorsprungs in der realen Analysis oder Algebra.

Einer der meistverkauften Texte, Ein Übergang zu Advanced Mathematics von Smith, Eggen und St. Andre, herausgegeben von Brooks Cole, ist in vielerlei Hinsicht erfolgreich. Es deckt das gesamte Kernmaterial mit einer Vielzahl von Problemen vieler Arten ab. Es hebt auch die verschiedenen Proof-Formate hervor. Meine Kollegen und ich waren jedoch aus mehreren Gründen damit unzufrieden. Die enzyklopädische Darstellung von Eigenschaften in der elementaren Logik und Mengenlehre macht es den Studierenden schwer, nützliche von zufälligen Eigenschaften zu unterscheiden. Die trockene Präsentation von Mathematik ohne Motivation oder Verbindungen konnte meine Studenten nicht begeistern. Sie dachten, der Kurs sei ein Warteraum, bevor sie die richtigen Dinge lernen durften. Wie andere Texte vermittelt es keine Intuitionen über neue Definitionen, Notationen und Konzepte und erwartet, dass die Schüler dieses neue Material sofort in Beweise integrieren.

Einer der ältesten Texte, So lesen und schreiben Sie Beweise von Solow und herausgegeben von Wiley, erfüllt gut, was der Titel sagt. 1983 habe ich es erfolgreich als Ergänzung zu einem Kurs zur linearen Algebra mit Schwerpunkt auf Beweisen eingesetzt. (In diesem Kurs versuchen wir nicht mehr, Beweistechniken zu vermitteln.) Als Text für einen Grundlagenkurs würde er sich jedoch kaum qualifizieren, da er weder Mengenlehre noch andere mathematische Inhalte behandelt.

Das Buch Kapitel eins von Schumacher und veröffentlicht von Addison Wesley, verwendet einen entschieden anderen Ansatz als andere Texte. Es werden bewusst keine Beweise für die Ergebnisse geliefert, so dass die Schüler ihren eigenen Text konstruieren müssen. Als Nachschlagewerk für Studierende ist es daher leider nicht brauchbar. Ein Kollege hat es für einen kleinen diskussionsbasierten Abschnitt unseres Grundlagenkurses verwendet. Sie dachte, dass es für dieses Format und die Klassengröße einigermaßen gut funktionierte. Ich vermute, dass nur wenige Professoren eine solche Studienstruktur wählen würden. Ich bezweifle, dass dieser Text gut zu einem Standardkurs oder zu typischeren Klassengrößen passen würde.

Ich habe gerade fertig mit Die Grundlagen der höheren Mathematik von Fletcher und Patty und veröffentlicht von Brooks Cole. Meine Kollegen sagten mir, dass es der beste verfügbare Text sei, besser als der Text von Smith, Eggen und St. Andre. Obwohl ich vieles davon mag und die Schüler es im Allgemeinen besser lesen als Smiths Text, finde ich viele Aspekte davon frustrierend. Tatsächlich hat mich meine Enttäuschung über diesen Text schließlich dazu gebracht, vorzuschlagen, einen Text zu schreiben. Es betont nicht genug Beweisformate und geht im Kapitel über Beweise nicht darauf ein, wie man Eindeutigkeit beweist. Es versäumt es, die verschiedenen Themen, die es präsentiert, zu motivieren oder miteinander in Beziehung zu setzen. Die Probleme sind qualitativ ungleichmäßig. Das Material zum Auswahlaxiom und seinen Äquivalenten ist zu kurz, um den Schülern zu helfen, die Verwendung dieser ausgeklügelten Werkzeuge zu verstehen. Zu oft schreiben die Autoren Definitionen und Probleme in verwirrender Umgangssprache. Einige der biographischen Skizzen verzerren die Geschichte, am ungeheuerlichsten die Biographie von Evariste Galois.

Die Texte Einführung in die Mathematik Strukturen und Mathematik machen von Galovich und herausgegeben von Harcourt Brace und Jovanovich sind sehr gut, aber der erste ist für viele Studienrichtungen zu anspruchsvoll, und der zweite, schlankere, lässt zu viele Themen aus.

Ich hatte nicht die Gelegenheit, den allerneuesten Text zu verwenden Mathematische Beweise: Ein Übergang zur fortgeschrittenen Mathematik von Chartrand, Polimeni und Zhang und veröffentlicht von Addision Wesley. Es führt mengentheoretische Ideen vor Beweisformaten ein und scheint gute klare Diskussionen über Beweise zu geben. Beginnend mit dem Kapitel über Äquivalenzrelationen scheint es jedoch auf das übliche Format zurückzufallen, Beweise zu erwarten, während Studierende gleichzeitig Konzepte lernen. Außerdem stellt es Beziehungen vor Funktionen, obwohl die Schüler mit Funktionen viel vertrauter sind. Schließlich geht es überhaupt nicht auf das Axiom der Wahl ein, ein Thema, das meiner Meinung nach in einem Grundlagentext sorgfältig behandelt werden sollte.

Mein Text wird alle bekannten Themen aus den vielen aktuellen Texten beinhalten. Der wichtigste pädagogische Unterschied zu anderen Texten wird die Reihenfolge der Themen in Teil I sein. (Siehe Inhaltsverzeichnis unten.) Die Schüler müssen mit neuen Notationen und Definitionen arbeiten, bevor sie Eigenschaften beweisen können, die sie betreffen. Deshalb schlage ich vor, die Beweise auf das zweite Kapitel zu verschieben. Das erste Kapitel führt in die Sprache der Mathematik, Logik, Mengen und Zahlen ein. Es wird den Schülern die Möglichkeit geben, Definitionen zu verwenden und zu schreiben, Beispiele und Gegenbeispiele zu finden und Vermutungen anzustellen. Dieser Ansatz bietet auch eine größere Vielfalt von Eigenschaften, die im folgenden Kapitel über Beweise zu beweisen sind. Die große Vielfalt an Beweisübungen, darunter „Gliederungsbeweise“, bei denen die Studierenden fehlende Schritte ergänzen, werden das Zusammenspiel von Intuition und Format stärken. Ich beende das Beweiskapitel mit einer allgemeinen Diskussion über das Erstellen und Schreiben von Beweisen, einschließlich guter Beweisführung, häufiger Fehler und der Rolle von Beispielen und Illustrationen.

Ich schlage vor, das Kapitel über Beziehungen auf das Kapitel über Funktionen zu verschieben. Obwohl Funktionen formal ein Sonderfall von Relationen sind, denken Mathematikstudenten bereits über Funktionen im Allgemeinen nach, während sie nur vereinzelte Beispiele von Relationen kennengelernt haben. So können die Studierenden auf ihrem Funktionsverständnis aufbauen, um ihre Intuition auf die abstrakten Eigenschaften von Relationen vorzubereiten.

Das Lernen der Schüler konzentriert sich auf die Problemstellungen. Ich werde eine große Auswahl verschiedener Probleme und Schwierigkeitsgrade enthalten, genug für zwei Aufgaben zu Materialien, die Schülern schwer fallen. Tatsächlich verdienen einige Abschnitte, auf die ich in der Einleitung hinweisen werde, mehr als eine Unterrichtsstunde. Pädagogisch denke ich, dass die Schüler von dieser absichtlichen zusätzlichen Zeit profitieren, um hartes Material zu synthetisieren. Ich werde Übungen zum Lesen von Mathematik einschließen, eine Fähigkeit, die in einigen Texten versucht wird, anzusprechen.

Ich würde erwarten, dass ein Dozent, der diesen Text verwendet, den gesamten Teil I durchführt. Ein Semesterkurs könnte mindestens ein Kapitel in Teil II oder wesentliche Teile von zwei oder mehr enthalten. Ich werde jedes Kapitel in Teil II schreiben, um als nützliches Nachschlagewerk für Studenten zu dienen, deren Kurs dieses Thema nicht behandelt hat. Der gesamte Text dient als langfristiger Nachschlagewerk, wobei die wichtigen Definitionen und Theoreme klar im Text angegeben sind und kleinere als Übungen platziert werden.

Andere vorgeschlagene Merkmale dieses Textes verdienen einige Erwähnung.

Dieser Text wird historische Perspektiven und biographische Skizzen aus ihrem intrinsischen Interesse und aus pädagogischen Gründen einbeziehen. Zum Beispiel helfen die Einschränkungen der Syllogismen des Aristoteles, die Notwendigkeit von Quantoren zu erklären, um die Feinheiten des mathematischen Denkens zu handhaben.

Viele zukünftige Doktoranden benötigen eine Referenz, die eine klare Darstellung des Axioms der Wahl, Zorns Lemma und des Well-Ordering-Prinzips enthält. Kapitel 5 wird sie sorgfältig erklären und ihre Verwendung in Beweisen veranschaulichen, obwohl ich es so schreiben werde, dass der Lehrer dieses Material bei der Präsentation des Rests des Kapitels leicht weglassen kann.

Während Axiomatik, Metamathematik und Philosophie der Mathematik ungewöhnliche Themen in einem Grundstudium sind, gehören sie meiner Meinung nach in den Text, insbesondere als Referenz. Der axiomatische Ansatz hat die aktuelle Präsentation und Praxis in Algebra, Geometrie und Analysis geprägt. Darüber hinaus informieren die Ergebnisse der Metamathematik unser Verständnis darüber, was Mathematik und Informatik können und was nicht. Fragen nach mathematischer Existenz, Wahrheit und Anwendbarkeit beschäftigen jeden Mathematikinteressierten nach wie vor, auch wenn die philosophischen Kämpfe längst verblasst sind. Neben einer kurzen Beschreibung der Stärken, Schwächen und Attraktivität traditioneller philosophischer Positionen werde ich kurze Diskussionen über den pädagogischen Konstruktivismus und die kognitive Psychologie einschließen. Meine Schüler finden dieses Material interessant und eine wertvolle Gelegenheit, über Mathematik nachzudenken.

Die letzten drei Kapitel konzentrieren sich auf besondere Bedürfnisse. An einigen Schulen werden in den Grundkurs spezielle Themen aufgenommen, um zu vermeiden, dass ein weiterer Kurs erforderlich ist, insbesondere für zukünftige Mathematiklehrer der Sekundarstufe. Das Kapitel über diskrete Mathematik wird diesem Bedürfnis gerecht. Die größte Schwierigkeit für Studenten der Abstrakten Algebra besteht darin, formal beim Beweis abstrakter Eigenschaften vorzugehen. Das Algebra-Kapitel bietet eine Brücke mit bekannten Beispielen. Die Schüler werden Vermutungen anstellen und einfache Beweise führen. Studenten der Analysis haben oft mit den ausgeklügelten Definitionen und Beweistechniken zu kämpfen. Als Vorbereitung wird das Analysekapitel eine analytische Intuition aufbauen, um Näherungen in exakte Werte umzuwandeln, bevor formale Definitionen und Delta-Epsilon-Beweise eingeführt werden.


EIN lokal endlich Poset ist eines, in dem jedes abgeschlossene Intervall

Die Glieder der Inzidenzalgebra sind die Funktionen F Zuweisung zu jedem nichtleeren Intervall [a, b] ein Skalar F(ein, B), die aus dem entnommen ist Ring von Skalaren, ein kommutativer Ring mit Eins. Auf dieser zugrunde liegenden Menge definiert man punktweise Addition und Skalarmultiplikation, und "Multiplikation" in der Inzidenzalgebra ist eine Faltung definiert durch

Eine Inzidenzalgebra ist genau dann endlichdimensional, wenn die zugrunde liegende Poset endlich ist.

Zugehörige Konzepte Bearbeiten

Eine Inzidenzalgebra ist in der Tat analog zu einer Gruppenalgebra, sowohl die Gruppenalgebra als auch die Inzidenzalgebra sind Spezialfälle einer Kategorienalgebra, analog definiert sind Gruppen und Posets besondere Arten von Kategorien.

Obere Dreiecksmatrizen Bearbeiten

Betrachten wir den Fall einer partiellen Ordnung ≤ über einer beliebigen n-elementigen Menge S . Wir zählen S auf als S1, …, Sn , und zwar so, dass die Aufzählung mit der Ordnung ≤ auf S kompatibel ist, d.h. SichSJ impliziert ichJ , was immer möglich ist.

Dann kann man sich Funktionen f wie oben, von Intervallen bis zu Skalaren, als Matrizen vorstellen EINij , wo EINij = F(Sich, SJ) wann immer ichJ , und EINij = 0 sonst. Da wir S entsprechend der üblichen Ordnung auf den Indizes der Matrizen angeordnet haben, erscheinen sie als obere Dreiecksmatrizen mit einem vorgegebenen Nullmuster, das durch die unvergleichbaren Elemente in S unter ≤ bestimmt wird.

Die Inzidenzalgebra von ist dann isomorph zur Algebra der oberen Dreiecksmatrizen mit diesem vorgeschriebenen Nullmuster und beliebigen (einschließlich möglicherweise Null) Skalareinträgen überall sonst, wobei die Operationen gewöhnliche Matrixaddition, Skalierung und Multiplikation sind. [1]

Das multiplikative Identitätselement der Inzidenzalgebra ist das Deltafunktion, definiert von

Das Zeta-Funktion einer Inzidenzalgebra ist die konstante Funktion ζ(ein, B) = 1 für jedes nichtleere Intervall [a, b]. Multiplizieren mit ζ ist analog zur Integration.

Man kann zeigen, dass ζ in der Inzidenzalgebra (bezüglich der oben definierten Faltung) invertierbar ist. (In der Regel ein Mitglied h der Inzidenzalgebra ist genau dann invertierbar, wenn h(x, x) ist invertierbar für alle x.) Die multiplikative Inverse der Zetafunktion ist die Möbius-Funktion μ(a, b) jeder Wert von μ(a, b) ist ein ganzzahliges Vielfaches von 1 im Basisring.

Die Möbius-Funktion lässt sich auch induktiv durch folgende Beziehung definieren:

Multiplizieren mit μ ist analog zur Differentiation und heißt Möbius-Inversion.

Das Quadrat der Zeta-Funktion zählt die Anzahl der Elemente in einem Intervall:

Ein Poset ist begrenzt wenn es kleinste und größte Elemente hat, die wir 0 bzw. 1 nennen (nicht zu verwechseln mit 0 und 1 des Skalarrings). Das Euler-Charakteristik eines beschränkten endlichen Poset ist μ(0,1). Der Grund für diese Terminologie ist folgender: Wenn P hat eine 0 und 1, dann μ(0,1) ist die reduzierte Euler-Charakteristik des simplizialen Komplexes, dessen Seiten Ketten in P <0, 1>. Dies kann mit dem Satz von Philip Hall gezeigt werden, der den Wert von μ(0,1) auf die Anzahl der Ketten der Länge i.

Das reduzierte Inzidenz Algebra besteht aus Funktionen, die zwei beliebigen Intervallen, die in einem angemessenen Sinne äquivalent sind, denselben Wert zuweisen, was normalerweise als Posets isomorph bedeutet. Dies ist eine Subalgebra der Inzidenzalgebra und enthält eindeutig das Identitätselement und die Zetafunktion der Inzidenzalgebra. Jedes Element der Algebra mit reduzierter Inzidenz, das in der Algebra mit größerer Inzidenz invertierbar ist, hat seine Umkehrung in der Algebra mit reduzierter Inzidenz. Somit ist die Möbius-Funktion auch in der Algebra mit reduzierter Inzidenz enthalten.

Algebren mit reduzierter Inzidenz wurden von Doubillet, Rota und Stanley eingeführt, um eine natürliche Konstruktion verschiedener Ringe von erzeugenden Funktionen zu erhalten. [2]


Mathematik (MATH)

Dieser Kurs richtet sich an Studierende des Algebra-Pfades (hauptsächlich vor MINT und vor dem Business), die ihre Mathematikkenntnisse und ihre Fähigkeiten in gewünschten Bereichen der Mathematik verbessern möchten. Die behandelten Themen werden eindeutig durch die anfängliche Einstufung des Studenten bestimmt. Zählt nicht zum Abschluss. Kann wiederholt werden. Die Benotung ist ABC/NC.

MATH 1510 College Algebra 4 s.h.

Dieser Kurs soll in erster Linie MINT-Studenten (zusammen mit MATH 1511) auf MATH 1570 oder 1571 und Wirtschaftsstudenten auf MATH 1552 vorbereiten. Die Themen umfassen reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen, lineare, quadratische, polynomische, exponentielle und logarithmische Funktionen, Grafiktechniken , Gleichungssysteme und Anwendungen. Der Studiengang erfüllt die allgemeinen Bildungsvoraussetzungen für Mathematik.
Voraussetzung: mindestens Level 30 im Mathematik-Einstufungstest oder Level 20 im Mathematik-Einstufungstest und gleichzeitige Einschreibung in MATH 1510C.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1510C College Algebra mit Co-Required Support 6 s.h.

Dieser Kurs ist in erster Linie dazu gedacht, MATH-Studenten (zusammen mit MATH 1511C) auf MATH 1570 oder 1571 und Wirtschaftsstudenten auf MATH 1552 vorzubereiten. Die Themen umfassen reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen, lineare, quadratische, polynomische, exponentielle und logarithmische Funktionen, Grafiktechniken , Gleichungssysteme und Anwendungen. Es beinhaltet die notwendige Unterstützung für Studenten, die während des Studiums der Hochschulalgebra eine Nachbesserung in Mathematik benötigen. Der Schwerpunkt wird auf die erforderlichen Fähigkeiten für die Hochschulalgebra sowie auf die Just-in-Time-Überprüfung durch den Einsatz geeigneter Technologie gelegt. Der Studiengang erfüllt die allgemeinen Bildungsvoraussetzungen für Mathematik.
Voraussetzung: YSU Mathe-Platzierungsstufe 20.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1511 Trigonometrie 3 s.h.

Dieser Kurs soll zusammen mit MATH 1510 in erster Linie MATH-Studenten auf MATH 1570 oder MATH 1571 vorbereiten. Zu den Themen gehören algebraische Struktur und Graphen trigonometrischer Funktionen und inverser trigonometrischer Funktionen, Winkelmessungen, ähnliche Dreiecke, trigonometrische Identitäten, Vektoren, komplexe Zahlen, Polar Koordinaten und das Lösen trigonometrischer Gleichungen mit Anwendungen.
Voraussetzung:Mathe-Einstufung Level 35 oder Mathe-Einstufungstest Level 20 mit erfolgreichem Abschluss von Mathe 1510 und Mathe 1510C und Einschreibung in Mathe 1511C.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1511C Trigonometrie mit zusätzlicher Unterstützung 4 s.h.

Dieser Kurs soll Studierende unterstützen, die während der Einschreibung in MATH 1511 (Trigonometrie) einen Nachholbedarf in Mathematik haben. Der Schwerpunkt wird auf die für die Trigonometrie erforderlichen Vorkenntnisse sowie die Just-in-Time-Überprüfung durch den Einsatz geeigneter Technologie gelegt. Zählt nicht zu einem Abschluss.
Voraussetzung: Mathe-Einstufungstest Level 20 mit erfolgreichem Abschluss von MATH 1510 und MATH 1510C und Einschreibung in MATH 1511.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1513 Algebra und transzendentale Funktion 5 s.h.

Funktionskonzepte einschließlich trigonometrischer, exponentieller und logarithmischer Funktionen. Anwendungsprobleme und grafische Darstellung. Ergänzende Themen.
Voraussetzung: Mathe-Einstufungslevel 45 oder höher.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1552 Angewandte Mathematik für das Management 4 s.h.

Anwenden von Funktionen, linearen Systemen, linearer Programmierung auf das Geschäft, einschließlich der Verwendung von Technologiemathematik der Finanzen und einer Einführung in Grenzen, Derivate und Integrale mit Geschäftsanwendungen. Keine Anrechnung für Studierende, die MATH 1570 oder MATH 1571 abgeschlossen haben.
Voraussetzung: MATH 1510 mit der Note "C" oder besser oder mindestens Level 45 im Mathematik-Einstufungstest.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1564 Grundlagen der Mittelschulmathematik 1 4 s.h.

Konzeptionelle Grundlagen von Themen aus Zahlentheorie, Operationen, Funktionen, Algebra und Datenanalyse. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen und Darstellungen, Problemlösung und Kommunikation mathematischer Argumentation. Umfasst forschungsbasierte Erfahrungen mit Manipulationen und Computertechnologie.
Voraussetzung: Stufe 35 im Mathematik-Einstufungstest.

MATH 1570 Angewandte Analysis 1 4 s.h.

Die Elemente der Differential- und Integralrechnung mit Schwerpunkt auf Anwendungen. Analytische Geometrie, Differenzierungs- und Integrationstechniken und Reihendarstellungen. Einführung in Differentialgleichungen, Transformationsrechnung und Fourier-Analyse. Dies ist ein Methodenkurs, der speziell für diejenigen geeignet ist, die angewandte Themen in der Mathematik benötigen.Gilt nicht für das Hauptfach Mathematik. Sowohl MATH 1552 als auch MATH 1570 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 1513 oder MATH 1510 und MATH 1511 mit der Note "C" oder besser, oder mindestens Level 70 im Mathematik-Einstufungstest.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1571 Calculus 1 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 1513, Mindestnote "C" oder MATH 1510 und MATH 1511, Mindestnote "C" in beiden Kursen oder mindestens Stufe 70 im Mathematik-Einstufungstest.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1571H Honours Calculus 1 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 1513, Mindestnote "C" oder MATH 1510 und MATH 1511, Mindestnote "C" in beiden Kursen oder mindestens Level 70 im Mathematik-Einstufungstest.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1572 Calculus 2 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: C oder besser in MATH 1571, 1571H oder 1581H.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1572H Honours Calculus 2 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 1571 ODER MATH 1581H Grad "C" oder besser.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1580H ehrt Biomathematik 1 2 s.h.

Zähltechniken, Wahrscheinlichkeit, Matrizen und lineare Systeme. Betonung der Rolle mathematischer Modelle bei der Erklärung und Vorhersage von Phänomenen in den Biowissenschaften.
Voraussetzung: Zulassung zum NEOMED-YSU-Programm.

MATH 1581H ehrt Biomathematik 2 4 s.h.

Grenzwerte, Ableitungen, Integrale Schwerpunkte Theorie, Beweise, nichtlineare Epsilonik, medizinische/Gesundheitsanwendungen. Entwickelt rigoros logarithmische/exponentielle Funktionen. Großprojekte zur Anwendung von Differentialgleichungen in der Medizin. MATH 1571 und MATH 1581H können in dieser Reihenfolge angerechnet werden. MATH 1581H kann Voraussetzung für MATH 1572 sein.
Voraussetzung: Zulassung zum YSU-BaccMed-Programm.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1585H ehrt beschleunigtes Rechnen 1 5 s.h.

Eine Reihe von Honours-Kursen in analytischer Geometrie und Analysis, die im Wesentlichen den gleichen Stoff wie MATH 1571, 1572, 2673 in zwei statt drei Semestern behandeln. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen und ihrer Anwendungen. Diese Sequenz wird höchstens einmal pro Studienjahr angeboten.
Voraussetzung: ACT Math Subscore von 32, AP Calculus Punktzahl von 4 oder höher oder mindestens eine Einheit High School Calculus mit einer Punktzahl von 28 oder höher bei der Einstufungsprüfung oder der Erlaubnis des Lehrers.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 1586H Honours Calculus Laboratory 1 1 s.h.

Einführung in die mathematische Modellierung von Themen der Infinitesimalrechnung. Betont den Einsatz von Technologien wie Computeralgebrasystemen, technischer Dokumentenverarbeitung und Grafiksoftware zur Problemlösung und Berichterstellung.
Voraussetzung: MATH 1571 oder gleichzeitig mit 1585H.

MATH 2623 Quantitative Reasoning 3 s.h.

Mathematikmodelle, die grundlegende Ideen in Mathematik und Statistik betonen und die Konzeptbildung eher als manipulative Fähigkeiten betonen.
Voraussetzung: Mindestens Mathematik-Einstufungsstufe 15 oder Mathematik-Einstufungsstufe 10 und Einschreibung in Mathematik 2623C.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2623C Quantitative Reasoning mit Co-Requisite Support 5 s.h.

Dieser Kurs soll Studierende unterstützen, die einen Nachholbedarf in Mathematik haben, während sie gleichzeitig in MATH 2623 (Quantitative Reasoning) eingeschrieben sind. Der Schwerpunkt wird auf die für MATH 2623 erforderlichen erforderlichen Fähigkeiten sowie auf die Just-in-Time-Überprüfung durch den Einsatz geeigneter Technologie gelegt. Zählt nicht zu einem Abschluss.
Voraussetzung: Mathematik-Praktikum Level 10 und Einschreibung in MATH 2623.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2623H ehrt Quantitative Reasoning 3 s.h.

Mathematikmodelle, die grundlegende Ideen in Mathematik und Statistik betonen und die Konzeptbildung eher als manipulative Fähigkeiten betonen.
Voraussetzung: mindestens Level 20 im Einstufungstest Mathematik oder Level 10 im Einstufungstest Mathematik und gleichzeitige Einschreibung in MATH 2623C.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2651 Mathematik für Erzieherinnen und Erzieher 1 3 s.h.

Eine konzeptionelle Entwicklung von Mathematikthemen, die dem heutigen Curriculum der Pre-K-Klasse 3 zugrunde liegen. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen, Problemlösung und Kommunikation der Mathematik. Enthält Unterrichtsaktivitäten, Manipulationen, Technologie und Aktivitäten, die für kleine Kinder entwicklungsgerecht sind.
Voraussetzung: Mindestens Mathematik-Praktikum Level 15 oder Mathematik-Praktikum Level 10 und Einschreibung in MATH 2651C.

MATH 2651C Erforderliche Förderung der Mathematik für frühkindliche Lehrkräfte 3 s.h.

Dieser Kurs soll Studenten unterstützen, die eine Nachbesserung in Mathematik benötigen, während sie gleichzeitig in MATH 2651 eingeschrieben sind. Der Schwerpunkt liegt auf den erforderlichen Fähigkeiten für Algebra, Zahlen und Operationen und Quantität sowie auf die Just-in-Time-Überprüfung durch die Einsatz geeigneter Technik. Zählt nicht zu einem Abschluss.
Voraussetzung: Stufe 10 Mathematik-Platzierung und Einschreibung in Mathematik 2651.

MATH 2652 Mathematik für Erzieherinnen und Erzieher 2 3 s.h.

Eine konzeptionelle Entwicklung von Mathematikthemen, die dem heutigen Curriculum der Pre-K-Klasse 3 zugrunde liegen. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen, Problemlösung und Kommunikation der Mathematik. Enthält Unterrichtsaktivitäten, Manipulationen, Technologie und Aktivitäten, die für kleine Kinder entwicklungsgerecht sind.
Voraussetzung: MATHE 2651.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2661 Mathematik für Grundschullehrer 1 4 s.h.

Eine konzeptionelle Entwicklung von Mathematikthemen, die dem heutigen Curriculum der Pre-K-Klasse 5 (Zahlen, Operationen und algebraisches Denken) zugrunde liegen. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen, Problemlösung und Kommunikation der Mathematik. Beinhaltet Manipulationen, Technologie und Unterrichtsaktivitäten, die entwicklungsgerecht für Kleinkinder und Grundschulkinder sind.
Voraussetzung: Mindestens Level 15 beim Einstufungstest Mathematik oder Level 10 beim Einstufungstest Mathematik und Einschreibung in MATH 2661C.

MATH 2661C Begleitende Unterstützung für Mathematik für Grundschullehrer 1 3 s.h.

Dieser Kurs soll Studenten unterstützen, die eine Nachbesserung in Mathematik benötigen, während sie gleichzeitig in MATH 2661 eingeschrieben sind. Der Schwerpunkt liegt auf den erforderlichen Fähigkeiten für Algebra, Zahlen und Operationen und Quantität sowie auf die Just-in-Time-Überprüfung durch die Einsatz geeigneter Technik.
Voraussetzung: Einschreibung in MATH 2661.

MATH 2662 Mathematik für Grundschullehrer 2 4 s.h.

Eine konzeptionelle Entwicklung von Mathematikthemen, die dem heutigen Curriculum der Pre-K-Klasse 5 zugrunde liegen (Dezimalzahlen, Verhältnisse, Prozente, Geometrie, Messung, Wahrscheinlichkeit und Statistik). Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen, Problemlösung und Kommunikation der Mathematik. Beinhaltet Manipulationen, Technologie und Unterrichtsaktivitäten, die entwicklungsgerecht für Kleinkinder und Grundschulkinder geeignet sind.
Voraussetzung: Mathematik 2661.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2665 Grundlagen der Mittelschulmathematik 2 4 s.h.

Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen und Darstellungen, Problemlösung und Kommunikation mathematischer Argumentation. Umfasst forschungsbasierte Erfahrungen mit Manipulationen und Computertechnologie.
Voraussetzung: Stufe 35 im Mathematik-Einstufungstest.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2670 Angewandte Analysis 2 5 s.h.

Die Elemente der Differential- und Integralrechnung mit Schwerpunkt auf Anwendungen. Analytische Geometrie, Differenzierungs- und Integrationstechniken und Reihendarstellungen. Einführung in Differentialgleichungen, Transformationsrechnung und Fourier-Analyse. Dies ist ein grundlegender Methodenkurs, der speziell für diejenigen geeignet ist, die angewandte Themen in der Mathematik benötigen. Gilt nicht für das Hauptfach Mathematik.
Voraussetzung: MATH 1570 Grad "C" oder besser.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2673 Calculus 3 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 1572 mit einem "C" oder besser.

MATH 2673H Honours Calculus 3 4 s.h.

Eine Abfolge integrierter Kurse in analytischer Geometrie und Analysis. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen mit Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 1572 mit einem "C" oder besser.

MATH 2686H ehrt beschleunigtes Rechnen 2 5 s.h.

Eine Reihe von Honours-Kursen in analytischer Geometrie und Analysis, die im Wesentlichen den gleichen Stoff wie MATH 1571, 1572, 2673 in zwei statt drei Semestern behandeln. Eine detaillierte Untersuchung von Grenzwerten, Ableitungen und Integralen von Funktionen einer oder mehrerer Variablen und ihrer Anwendungen. Diese Sequenz wird höchstens einmal pro Studienjahr angeboten.
Voraussetzung: "C" oder besser in MATH 1585H.
Gen Ed: Mathematik.

MATH 2687H Honours Calculus Laboratory 2 1 s.h.

Einführung in die mathematische Modellierung von Themen der Infinitesimalrechnung. Betont den Einsatz von Technologien wie Computeralgebrasystemen, technischer Dokumentenverarbeitung und Grafiksoftware zur Problemlösung und Berichterstellung.
Voraussetzung: MATH 1572 oder gleichzeitig mit MATH 1572H oder 1586H.

MATH 3702 Problemlösungsseminar für die Sekundarstufe Mathematik 3 s.h.

Problemlösungsansätze und -übungen mit Beispielen aus einem breiten Spektrum der Mathematik. Zu den Schwerpunkten gehören Probleme auf dem Niveau der Ohio Assessment for Educators (OAE)-Prüfung für integrierte Mathematik und Probleme, die für High-School-Wettbewerbe geeignet sind. Gilt nicht für das Haupt- oder Nebenfach Mathematik.
Voraussetzung: Beschränkt auf BCOE Majors mit MATH 1572, 1572H oder MATH 1585H oder Zustimmung des Dozenten.

MATH 3705 Differentialgleichungen 3 s.h.

Methoden und Theorie zum Lösen von Differentialgleichungen mit Anwendungen. Existenz, Einzigartigkeit. Gleichungen erster Ordnung. Lineare Gleichungen höherer Ordnung. Einführung in partielle Differentialgleichungen und Randwertprobleme, einschließlich der Laplace-Gleichung.
Voraussetzung: C oder besser in einem von MATH 2673, MATH 2673H oder MATH 2686H.

MATH 3705H ehrt Differentialgleichungen 3 s.h.

Methoden und Theorie zum Lösen von Differentialgleichungen mit Anwendungen. Existenz, Einzigartigkeit. Gleichungen erster Ordnung. Lineare Gleichungen höherer Ordnung. Einführung in partielle Differentialgleichungen und Randwertprobleme, einschließlich der Laplace-Gleichung.
Voraussetzung: MATH 2673 Klasse von "C" oder besser.

MATH 3715 Diskrete Mathematik 3 s.h.

Ein Kurs in diskreten mathematischen Strukturen zur Vorbereitung auf weiterführende Kurse. Zu den Themen gehören Mengenlehre, Funktionen und Beziehungen, Logik und Quantoren, Wahrheitstabellen und Boolesche Ausdrücke, Induktion und andere Beweistechniken sowie Graphen. Sowohl CSCI 3710 als auch MATH 3715 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 1572 oder MATH 1585H.

MATH 3718 Lineare Algebra und Diskrete Mathematik für Ingenieure 3 s.h.

Diese Einführung in die Lineare Algebra und Diskrete Mathematik behandelt folgende Themen: Lineare Gleichungssysteme, Logik und Beweis, Matrixalgebra, Determinanten, Vektorräume, Eigenwerte und Eigenvektoren, Mengenlehre und Zählen. Das Studium zählt nicht zum Hauptfach Mathematik. MATH 3718 und sowohl MATH 3715 als auch MATH 3720 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: "C" oder besser in MATH 1572.

MATH 3720 Lineare Algebra und Matrixtheorie 3 s.h.

Matrizen Matrixoperationen Anwendungen für lineare Transformationen.
Voraussetzung: MATH 1572 oder MATH 1585H.

MATH 3721 Abstrakte Algebra 1 4 s.h.

Einführung in die abstrakte Algebra zur Untersuchung grundlegender Konzepte der Gruppen- und Ringtheorie. Zu den Themen gehören Gruppen, Untergruppen, zyklische Gruppen, Permutationsgruppen, Nebenklassen, direkte Produkte, Homomorphismen, Faktorgruppen, Ringe, Integralbereiche und Polynomringe.
Voraussetzung: MATH 3715 und MATH 3720.

MATH 3745 Themen der mathematischen Modellierung 3 s.h.

In diesem Kurs werden die Studierenden mit Methoden der mathematischen Modellierung durch Anwendungen vertraut gemacht. Werkzeuge zum Entwickeln, Verfeinern, Testen und Präsentieren mathematischer Modelle werden diskutiert. Die behandelten Themen und durchgeführten Projekte können je nach Kursangebot variieren und sollen die Studierenden mit den Arten von Problemen vertraut machen, die von angewandten Mathematikern aus Wirtschaft, Regierung, Industrie oder Forschung modelliert werden. Der Kurs kann je nach vorgestellten Projekten oder Themen wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 2673 oder MATH 2686H oder Erlaubnis des Lehrers.

MATH 3745H ehrt Themen der mathematischen Modellierung 3 s.h.

In diesem Kurs werden die Studierenden mit Methoden der mathematischen Modellierung durch Anwendungen vertraut gemacht. Werkzeuge zum Entwickeln, Verfeinern, Testen und Präsentieren mathematischer Modelle werden diskutiert. Die behandelten Themen und durchgeführten Projekte können je nach Kursangebot variieren und sollen die Studierenden mit den Arten von Problemen vertraut machen, die von angewandten Mathematikern aus Wirtschaft, Regierung, Industrie oder Forschung modelliert werden. Der Kurs kann je nach vorgestellten Projekten oder Themen wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 2673 oder MATH 2686H oder Erlaubnis des Lehrers.

MATH 3750 Geschichte der Mathematik 3 s.h.

Ein Überblick über die historische Entwicklung der Mathematik.
Voraussetzung: MATHE 3715.

MATH 3751 Realanalyse 1 4 s.h.

Einführung in die Eigenschaften des reellen Zahlensystems und in Metriken und metrische Eigenschaften, mit kritischer Analyse von Grenzen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integration und anderen grundlegenden Konzepten, die dem Kalkül zugrunde liegen.
Voraussetzung: MATH 3715 und einer von MATH 2673 oder MATH 2686H.

MATH 3767 Algebra/Geometrie für Mittelschullehrer 1 4 s.h.

MATH 3767, MATH 3768 ist ein integrierter, konzeptioneller und funktionszentrierter Ansatz für die Grundlagen der Algebra, Geometrie und Trigonometrie für Mathematikspezialisten in der mittleren Kindheit. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen und Darstellungen, Problemlösung und Kommunikation mathematischer Argumentation. Beinhaltet anfragebasierte Erfahrungen. MATH 3767 konzentriert sich auf konzeptionelle Grundlagen der Algebra und Teile der Koordinatengeometrie. Gilt nicht für das Hauptfach Mathematik.
Voraussetzung: Stufe 35 im Mathematik-Einstufungstest.

MATH 3768 Algebra/Geometrie für Mittelschullehrer 2 4 s.h.

MATH 3767 und MATH 3768 ist ein integrierter, konzeptioneller und funktionszentrierter Ansatz für die Grundlagen der Algebra, Geometrie und Trigonometrie für Mathematikspezialisten in der mittleren Kindheit. Der Schwerpunkt liegt auf mehreren Ansätzen und Darstellungen, Problemlösung und Kommunikation mathematischer Argumentation. Beinhaltet anfragebasierte Erfahrungen. MATH 3768 konzentriert sich auf synthetische, analytische und transformatorische Geometrie. Gilt nicht für das Hauptfach Mathematik.
Voraussetzung: MATH 2665 und Stufe 35 im Einstufungstest für Mathematik.

MATH 3795 Themen der Mathematik 2-3 s.h.

Das Studium eines mathematischen Themas oder die Entwicklung eines Spezialgebiets der Mathematik. Kann einmal wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 1570 oder MATH 1571 oder MATH 2623 oder MATH 2651.

MATH 4822 Abstrakte Algebra 2 3 s.h.

Eine Fortsetzung von MATH 3721 mit besonderem Schwerpunkt auf Feldern. Zusätzliche Themen in reiner oder angewandter Algebra.
Voraussetzung: MATH 3721 oder gleichwertig.

MATH 4823 Abstrakte Algebra 3 3 s.h.

Dieser Kurs führt in fortgeschrittene Themen der Feldtheorie ein. Themen können prinzipielle Idealdomänen, Irreduzibilität, Quotientenringe, algebraische Erweiterungen, endliche Körper, Teilungskörper und die Galois-Gruppe sein.
Voraussetzung: MATHE 4822.

MATH 4830 Grundlagen der Geometrie 3 s.h.

Die Entwicklung euklidischer und nichteuklidischer Geometrien aus Postulatsystemen.
Voraussetzung: MATHE 3715.

MATH 4832 Euklidische Transformationen 3 s.h.

Allgemeine Eigenschaften von Funktionen und Transformationen Isometrien und Transformationen der euklidischen Ebene die komplexe Ebene, ihre Geometrie und Unterfelder Transformations-, Analyse- und Vektoransätze zur euklidischen Geometrie Verbindungen zu anderen Zweigen der Mathematik und Anwendungen.
Voraussetzung: MATH 3720 und MATH 4830.

MATH 4855 Gewöhnliche Differentialgleichungen 3 s.h.

Ein zweiter Kurs in Differentialgleichungen mit Schwerpunkt auf nichtlinearen Problemen und qualitativen Methoden oder auf Randwertproblemen. Themen sind ausgewählt aus: Beweise für Fundamentalsätze, Phasenebenenanalyse, Grenzzyklen und das Poincare-Bendixon-Theorem, biologische Modelle, Stabilität über Liapunov-Funktionen, asymptotische Methoden und Randwertprobleme.
Voraussetzung: MATH 3705 und MATH 3720.

MATH 4857 Partielle Differentialgleichungen 3 s.h.

Einführung in partielle Differentialgleichungen (PDE) einschließlich Lösungstechniken und Anwendungen. Klassifikationen der Grundtypen von PDEs (hyperbolisch, parabolisch und elliptisch) und Abhängigkeit von Rand- und Anfangsbedingungen. Zu den Themen gehören Fourier-Reihen, integrale Transformationen (Fourier, Laplace) und Anwendungen in Schwingungen, Elektrizität, Wärmeübertragung, Flüssigkeiten oder andere ausgewählte Themen.
Voraussetzung: MATH 3705 und MATH 3720.

MATH 4869 Funktionen, Infinitesimalrechnung und Anwendungen für Mittelschullehrer 3 s.h.

Polynom- und Exponentialfunktionen, Grenzwerte, Ableitungen, Integrale und Anwendungen. Interpretation von Steigung und Fläche in Funktionsgraphen aus den angewendeten Einstellungen. Anwendungen von Grenzwerten bei der Ableitung geometrischer Formeln. Beziehungen zwischen Tabellen, Graphen und der symbolischen Darstellung von Funktionen.
Voraussetzung: MATH 3767 oder Zustimmung des Lehrers.

MATH 4870 Mathematikseminar für Mittelschullehrer 3 s.h.

Problemlösung aus einem breiten Spektrum von Mathematikthemen (Zahlensinn und Rechenalgebra, Funktionen und Infinitesimalrechnung und Geometriestatistik, Wahrscheinlichkeit und diskrete Mathematik), die darauf abzielen, zukünftige Mathematiklehrer der Mittelstufe darauf vorzubereiten, gemeinsame Kernstandards zu erfüllen. Kann 2 mal wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 2665, MATH 3767, MATH 3768, MATH 4869 und entweder STAT 2601 oder STAT 2625.

MATH 4875 Komplexe Variablen 3 s.h.

Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung, analytische Funktionen einer komplexen Variablen, Konturintegration, Taylor- und Laurent-Reihen, Residuen und Pole, konforme Abbildung.
Voraussetzung: MATH 3751 oder gleichwertig.

MATH 4880 Einführung in die Topologie 3 s.h.

Eine Einführung in die Grundbegriffe der allgemeinen Topologie: Kompaktheit, Verbundenheit und Stetigkeit in topologischen Räumen.
Voraussetzung: MATH 3721 und MATH 3751.

MATH 4882 Mathematische Biologie Forschung 1-3 s.h.

Einführung in die Forschung der mathematischen Biologie durch eine interdisziplinäre Auseinandersetzung mit einem Thema der Biologie und Mathematik. Darf einmal wiederholt werden. Die Benotung ist traditionell/PR. Auch als BIOL 4882 gelistet.
Voraussetzung: MATH 1571 oder Erlaubnis des Lehrers.

MATH 4882A Biomathematik Forschung Topologische Datenanalyse/Neurowissenschaften 1-2 s.h.

Interdisziplinäres und individualisiertes Studium eines Themas der Biologie und Mathematik. Studentisches Projekt, das gemeinsam von Fakultäten in Biologie und Mathematik betreut wird. Darf einmal wiederholt werden. Die Benotung ist traditionell/PR. Auch als BIOL 4882 gelistet.
Voraussetzung: MATH 3701, BIOL 3701, Senior Status und Erlaubnis des Departementsvorsitzenden.

MATH 4884 Mathematische Logik 3 s.h.

Eine Einführung in das Studium der Theorien in formalisierten Sprachen und in die Modelltheorie.
Voraussetzung: MATH 3721 oder PHIL 3719.

MATH 4896 Senior Undergraduate Research Project 2 s.h.

Individualisiertes Studium eines mathematischen Themas, das in einem schriftlichen Bericht und einer mündlichen Präsentation bei einem nationalen oder regionalen Treffen oder einem lokalen Seminar endet. Darf einmal wiederholt werden.
Voraussetzung: 24 s.h. der Mathematik für das Hauptfach Mathematik einschließlich MATH 3721 oder MATH 3751 und Genehmigung des Fachbereichsvorsitzenden.
Gen Ed: Schlussstein.

MATH 4897H Abschlussarbeit 2 s.h.

Individualisiertes Studium eines mathematischen Themas, das in einem schriftlichen Bericht und einer mündlichen Präsentation bei einem nationalen oder regionalen Treffen oder einem lokalen Seminar endet.
Voraussetzung: 24 s.h. der Mathematik für das Hauptfach Mathematik einschließlich MATH 3721 und MATH 3751 und Genehmigung des Fachbereichsvorsitzenden.

MATH 5821 Themen der Abstrakten Algebra 4 s.h.

Ein Kurs in abstrakter Algebra, der darauf abzielt, ein breites Verständnis des Themas zu entwickeln. Sowohl MATH 3721 als auch MATH 5821 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 3715 und MATH 3720.

MATH 5825 Advanced Linear Algebra 3 s.h.

Eine Studie über abstrakte Vektorräume, lineare Transformationen, Dualität, kanonische Formen, den Spektralsatz und innere Produkträume.
Voraussetzung: MATHE 3721.

MATH 5828 Zahlentheorie 3 s.h.

Eine Studie über Kongruenzen, diophantische Gleichungen, quadratische Reste, spezielle Zahlentheoriefunktionen und ausgewählte Anwendungen.
Voraussetzung: MATHE 3721.

MATH 5835 Einführung in die Kombinatorik und Graphentheorie 3 s.h.

Das Schubladenprinzip Permutationen, Kombinationen, das Binomialtheorem das Inklusions-Ausschluss-Prinzip Rekursionsbeziehungen Graphen und Digraphen, Pfade und Zyklen, Bäume, bipartite Graphen und Matchings.
Voraussetzung: MATH 3715 und MATH 3720.

MATH 5845 Operations Research 3 s.h.

Eine Einführung in das Operations Research mit Schwerpunkt auf mathematischen Methoden. Themen können sein: Lineare Programmierung, Sensitivitätsanalyse, Dualitätstheorie, Transportprobleme, Zuordnungsprobleme, Umschlagsprobleme und Netzwerkprobleme.
Voraussetzung: MATH 3715 und MATH 3720.

MATH 5851 Themen der Analysis 4 s.h.

Ein Kurs in Analyse mit dem Ziel, ein breites Verständnis des Themas zu entwickeln. Sowohl MATH 3751 als auch MATH 5851 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 2673 oder MATH 2686H und MATH 3720 und MATH 3715.

MATH 5852 Realanalyse 2 3 s.h.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionsfolgen und einige Folgefunktionen im n-Raum: Ableitungen in Vektorräumen, Mittelwertsatz, Taylorsche Formel, inverses Abbildungstheorem, implizites Abbildungstheorem.
Voraussetzung: MATH 3720 und MATH 3751 oder gleichwertig.

MATH 5860 Numerische Analyse 1 3 s.h.

Theorie und Techniken der numerischen Berechnung. Die Lösung einer einzelnen Gleichung, Interpolationsmethoden, numerische Differentiation und Integration, direkte Methoden zur Lösung linearer Systeme.
Voraussetzung: MATH 3720 und CSIS 2610 und MATH 2673, 2673H oder 2686H.

MATH 5861 Numerische Analyse 2 3 s.h.

Numerische Methoden von Anfangswertproblemen, Eigenwertproblemen, iterative Methoden für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme und Methoden mit kleinsten Quadraten, orthogonalen Polynomen und schnellen Fourier-Transformationen.
Voraussetzung: MATH 5860 oder gleichwertig.

MATH 5875 Komplexe Variablen 3 s.h.

Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung, analytische Funktionen einer komplexen Variablen, Konturintegration, Taylor- und Laurent-Reihen, Residuen und Pole, konforme Abbildung.
Voraussetzung: MATH 3751 oder gleichwertig.

MATH 5895 Ausgewählte Themen der Mathematik 2-3 s.h.

Das vertiefte Studium eines mathematischen Standardthemas oder die Entwicklung eines speziellen Gebietes der Mathematik. Kann zweimal wiederholt werden.
Voraussetzung: 24 s.h. der Mathematik anwendbar auf das Hauptfach Mathematik, einschließlich MATH 3721 oder MATH 3751.

MATH 6901 Mathematik-Workshop 1-6 s.h.

Intensives Studium und Tätigkeit in einem Thema mit Bezug zur Mathematik, ihren Anwendungen oder dem Mathematikunterricht. Kann wiederholt werden. Die Benotung ist S/U.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 6905 Fachhochschule für Mathematik 1 s.h.

Intensive Vorbereitung auf den Mathematikunterricht der Unterstufe mit formaler Unterweisung und Orientierung zu Unterrichtsthemen, evaluierten Präsentationen, betreutem Präsenzunterricht und wöchentlichen Lehrseminaren. Zu den Themen gehören Kursdesign, Richtlinien, Lehrpläne, Benotung von Unterrichtsproblemen Orientierung im Mathematics Assistance Center, spezifische Mathematikkurse auf niedrigerer Ebene, Online-Tutorialdienste. Von den wissenschaftlichen Hilfskräften im Fachbereich Mathematik und Statistik vorgeschrieben und semesterweise zu belegen ist die/der Studierende eine wissenschaftliche Hilfskraft. Die Benotung ist S/U.

MATH 6910 Advanced Engineering Mathematics 1 3 s.h.

Theorie und Lösungstechniken, die in technischen Anwendungen verwendet werden. Die Themen umfassen einen kurzen Überblick über gewöhnliche Differentialgleichungen und lineare Algebra-Vektorrechnung, Integralsätze, komplexe Analysis, Reihen, Residuentheorie, Potentialtheorie, spezielle Funktionen, Integraltransformationen, partielle Differentialgleichungen und Anwendungen in der mathematischen Modellierung.
Voraussetzung: MATHE 3705.

MATH 6911 Advanced Engineering Mathematics 2 3 s.h.

Theorie und Lösungstechniken, die in technischen Anwendungen verwendet werden. Die Themen umfassen einen kurzen Überblick über gewöhnliche Differentialgleichungen und lineare Algebra-Vektorrechnung, Integralsätze, komplexe Analysis, Reihen, Residuentheorie, Potentialtheorie, spezielle Funktionen, Integraltransformationen, partielle Differentialgleichungen und Anwendungen in der mathematischen Modellierung.
Voraussetzung: MATHE 6910.

MATH 6915 Mathematische Grundlagen 3 s.h.

Ordnungstheoretische und monadische Grundlagen der Mathematik: geordnete Strukturen Topologien Powerset-Operatoren einer Funktion Anwendungen auf Stetigkeit, Kompaktheit, Algebra, Logik und Analysis.
Voraussetzung: MATH 3721 Abstract Algebra I und MATH 3751 Real Analysis I oder Genehmigung des Studiengangskoordinators.

MATH 6922 Vertiefungsthemen in Gruppen- und Ringtheorie 3 s.h.

Eine Fortsetzung von MATH 5821 mit besonderem Schwerpunkt auf auf Mengen wirkenden Gruppen, dem Satz von Sylow und seinen Anwendungen, Ringhomomorphismen, Idealen und Polynomringen. MATH 4822 und MATH 6922 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 3721 oder MATH 5821.

MATH 6923 Advanced Topics in Field Theory 3 s.h.

In diesem Kurs werden die wichtigsten Ergebnisse der fortgeschrittenen Feldtheorie vorgestellt. Diese Ergebnisse umfassen Teilungsfelder, algebraische Erweiterungen, endliche Erweiterungen, zyklotomische Polynome und endliche Körper. MATH 4823 und MATH 6923 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 4822 oder MATH 6922.

MATH 6924 Galois-Theorie 3 s.h.

Eine Einführung in die Galois-Theorie mit besonderem Schwerpunkt auf der Galois-Gruppe, dem Fundamental Theorem der Galois-Theorie und radikalen Erweiterungen.
Voraussetzung: MATH 4823 oder MATH 6923.

MATH 6928 Fortgeschrittene Zahlentheorie 3 s.h.

Fortgeschrittenes Studium der Zahlentheorie: Theorie und Verteilung von Primzahlen, numerische Zahlentheorie und additive Zahlentheorie.
Voraussetzung: MATH 5828.

MATH 6930 Differentialgeometrie 3 s.h.

Klassische Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Tensoren.
Voraussetzung: MATH 5852.

MATH 6942 Advanced Operations Research 3 s.h.

Themen können Integer-Programmierung, fortgeschrittene lineare Programmierung, nichtlineare Programmierung, dynamische Programmierung, Warteschlangentheorie, Markov-Analyse, Spieltheorie und Vorhersagemodelle sein.
Voraussetzung: MATH 5845 und STAT 3743 Wahrscheinlichkeit und Statistik.

MATH 6955 Erweiterte Differentialgleichungen 3 s.h.

Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise nichtautonomer, nichtlinearer Gleichungen. Weitere Themen können fortgeschrittene lineare Systeme, partielle Differentialgleichungen und Integralgleichungen sein.
Voraussetzung: MATH 5852 und entweder MATH 3705 oder MATH 4855 oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 6957 Partielle Differentialgleichungen 3 s.h.

Eine Einführung in partielle Differentialgleichungen (PDE) und ihre Anwendungen. Die Klassifikation der Grundtypen linearer partieller Differentialgleichungen, die Entwicklung des Einflusses von Rand- und Anfangsbedingungen auf Lösungen, Erforschung und Anwendung von Lösungstechniken für PDEs und Explosionen in orthogonalen Funktionen werden vorgestellt.
Voraussetzung: MATH 3705 und MATH 3720 oder gleichwertig.

MATH 6965 Abstrakte Analyse 1 3 s.h.

Lebesgue-Integration und Messung auf der realen Linie. Allgemeine Maßtheorie und Funktionalanalyse, einschließlich des Radon-Nikodym-Theorems, des Fubini-Theorems, des Hahn-Banach-Theorems, des geschlossenen Graphen- und offenen Abbildungssatzes und der schwachen Topologie.
Voraussetzung: MATH 5852 und entweder MATH 4880 oder MATH 6915 oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 6975 Komplexanalyse 1 3 s.h.

Analytische und meromorphe Funktionen einer komplexen Variablen, Konturintegration, Theorem von Cauchy-Goursat, Taylor- und Laurent-Reihen, Reste und Pole, konforme Abbildung. Sowohl MATH 5875 als auch MATH 6975 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 3751 Real Analysis I, oder Erlaubnis des Koordinators für den Studienabschluss.

MATH 6980 Topologie 1 3 s.h.

Grundbegriffe topologischer Räume und Abbildungen zwischen ihnen, einschließlich Kompaktheit, Verbundenheit und Kontinuität. Sowohl MATH 4880 als auch MATH 6980 werden nicht angerechnet.
Voraussetzung: MATH 3721 Abstract Algebra I und MATH 3751 Real Analysis I oder Genehmigung des Studiengangskoordinators.

MATH 6981 Topologie 2 3 s.h.

Trennen, Metrisieren, Verdichten. Weitere Themen werden aus Punktmengentopologie, Fuzzy-Topologie, algebraische Topologie, kombinatorische Topologie, topologische Algebra ausgewählt.
Voraussetzung: MATH 4880 oder MATH 6980 oder Genehmigung des Studiengangskoordinators.

MATH 6990 Selbstständiges Studium 1-3 s.h.

Studieren Sie unter der Aufsicht eines Mitarbeiters. Kann wiederholt werden.
Voraussetzung: Zustimmung des Studiengangskoordinators.

MATH 6995 Spezialthemen 1-3 s.h.

Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters.

MATH 6995N Spezialthemen Advanced Linear Algebra 2 1-3 s.h.

Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden.
Voraussetzung: Genehmigung des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters.

MATH 6995P Spezialthemen Fortgeschrittene Themen der Graphentheorie 1-3 s.h.

Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters.

MATH 6995R Spezialthemen Künstlerische Mathematik 1-3 s.h.

Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden. 3 s.h.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters.

MATH 6995S Spezialthemen der Darstellungstheorie 1-3 s.h.

Spezielle Themen. Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden. 3 s.h.. Von den Mitarbeitern ausgewählte Fachthemen. Kann bis zu 12 Semesterwochenstunden wiederholt werden.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators und des Fachbereichsleiters.

MATH 6996 Mathematisches Projekt 1-3 s.h.

Individuelles Forschungsprojekt, das in einem schriftlichen Bericht oder einer Arbeit gipfelt, jedoch nicht so breit angelegt wie eine Abschlussarbeit. Kann einmal wiederholt werden, wenn das zweite Projekt in einem anderen Bereich der Mathematik liegt.

MATH 6999 Abschlussarbeit 3 ​​s.h.

Ein Studierender kann sich für sechs Semesterwochenstunden in einem Semester oder für drei Semesterwochenstunden in zwei Semestern immatrikulieren.

MATH 7005 Fortgeschrittene Themen in der kategorialen Topologie 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot. Implementiert Ideen aus MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 und untersucht kategoriale Methoden in der Topologie und verwandten konkreten Kategorien. Betonung aktueller Literatur und offene Fragen. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 oder gleichwertig oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 7015 Vertiefungsthemen in Grundlagen der Topologie 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot, setzt Ideen aus MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 um und untersucht die Grundlagen der Topologie aus verschiedenen Blickwinkeln (algebraisch, kategorial, logisch, Ordnungstheorie, Potenzsatztheorie, Mengentheorie usw.). Betonung aktueller Literatur und offene Fragen. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 oder gleichwertig oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 7025 Fortgeschrittene Themen in der allgemeinen Topologie 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot, setzt Ideen aus MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 um und untersucht verschiedene Themen der Punktmengentopologie. Betonung aktueller Literatur und offene Fragen. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 6980, MATH 6981 oder gleichwertig oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 7035 Fortgeschrittene Themen in der gitterbewerteten Topologie 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot. Implementiert Ideen aus MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 und untersucht die Topologie vom Standpunkt gitterwertiger (unscharfer) Teilmengen. Betonung aktueller Literatur und offene Fragen. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 6915, MATH 6980, MATH 6981 oder gleichwertig oder Erlaubnis des Studiengangskoordinators.

MATH 7045 Fortgeschrittene Themen der Topologischen Analyse 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot. Implementiert Ideen aus MATH 6915, MATH 6965, MATH 6966, MATH 6980, MATH 6981 und untersucht die Überschneidung zwischen Topologie und abstrakter Analyse (topologische Spiele, topologische Gruppen, getrennte versus gemeinsame Kontinuität usw.). Betonung aktueller Literatur und offene Fragen. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: MATH 6915, MATH 6965, MATH 6980, MATH 6981 oder gleichwertig oder Genehmigung des Studiengangskoordinators.

MATH 7055 Seminar in Topologie und Abstrakter Analysis 3 s.h.

Der Inhalt variiert mit jedem Angebot. Setzt Ideen aus MATH 6915, MATH 6930, MATH 6965, MATH 6980, MATH 6981, MATH 6984 um und fokussiert auf aktuelle Forschungsaktivitäten der Seminarteilnehmer. Von den immatrikulierten Studierenden wird erwartet, dass sie jeden Monat des Semesters mindestens eine große Präsentation halten. Kann mit Zustimmung des Studiengangskoordinators wiederholt werden.
Voraussetzung: Erlaubnis des Studiengangskoordinators.


1. Der Hintergrund der mathematischen Forschungen von Descartes

Als die mathematischen Forschungen von Descartes im frühen 17. Jahrhundert begannen, beschäftigten sich die Mathematiker mit der Frage nach den geeigneten Methoden für den geometrischen Beweis und insbesondere nach den Kriterien zur Identifizierung von Kurven, die den genauen und strengen Standards der Geometrie entsprachen und die daher in der geometrischen Probleme lösen. Diesen Fragen wurde für praktizierende Mathematiker eine zusätzliche Dringlichkeit verliehen, als 1588 Commandinos lateinische Übersetzung von Pappus Sammlung (frühes viertes Jahrhundert n. Chr.) wurde veröffentlicht. Im Sammlung Pappus beruft sich auf die uralte Praxis der Geometrie, indem er normative Aussagen darüber macht, wie geometrische Probleme zu lösen sind. Die Leser der frühen Neuzeit schenkten Pappus' Vorschlägen besondere Aufmerksamkeit, (1) wie ein Mathematiker die Kurven konstruieren sollte, die beim geometrischen Beweis verwendet werden, und (2) wie ein Geometer die Methoden der Analyse und Synthese bei der geometrischen Problemlösung anwenden sollte. Die Konstruktion von Kurven wird in 1.1 behandelt und die Analyse und Synthese in Abschnitt 1.2 weiter unten.

1.1 Die Konstruktion von Kurven und die Lösung geometrischer Probleme

Pappus' Behauptungen bezüglich der richtigen Methoden zum Konstruieren geometrischer Kurven werden in Begriffen der alten Klassifikation geometrischer Probleme formuliert, die er berühmt in Buch III der Sammlung:

Die Alten sagten, dass es drei Arten von geometrischen Problemen gibt, und dass einige als eben bezeichnet werden, andere als fest und andere als linienartig, und diejenigen, die durch gerade Linien und den Umfang eines Kreises gelöst werden können, werden zu Recht als eben bezeichnet, weil die Linien durch Mittel, mit denen diese Probleme gelöst werden, haben ihren Ursprung in der Ebene. Aber solche Probleme, die durch die Annahme eines oder mehrerer Kegelschnitte in der Konstruktion gelöst werden müssen, werden als massiv bezeichnet, weil für ihre Konstruktion die Oberflächen von festen Figuren, nämlich Kegel, verwendet werden müssen. Es verbleibt eine dritte Art, die als linienartig bezeichnet wird. Denn bei ihrer Konstruktion werden andere Linien als die eben erwähnten vorausgesetzt, die einen unbeständigen und veränderlichen Ursprung haben, wie etwa Spiralen und die Kurven, die die Griechen nennen tetragonizousas [&ldquosquare-making&rdquo], die wir &ldquoquandrantes&rdquo und Conchoiden und Cissoids nennen, die viele erstaunliche Eigenschaften haben (Pappus 1588, III, §7 Übersetzung von Bos 2001, 38).

Wir bemerken in den obigen Ausführungen, dass Pappus seine Klassifikation geometrischer Probleme auf die Konstruktion der zur Lösung eines Problems notwendigen Kurven gründet: Wird ein Problem durch eine durch Lineal und Zirkel konstruierbare Kurve gelöst, so ist es eben, wenn ein Problem gelöst ist durch eine durch Kegelschnitt konstruierbare Kurve, ist sie massiv, und wenn ein Problem durch eine Kurve gelöst wird, die eine kompliziertere Konstruktion erfordert, die einen „unkonstanten und veränderlichen Ursprung&rdquo&rdquo hat, ist sie linienförmig. Obwohl es sich um eine scheinbar einfache Anweisung zur Klassifizierung geometrischer Probleme handelte, blieb in Pappus' Text eine Unklarheit darüber, ob die sogenannten durchgezogenen und linienartigen Probleme und Probleme, die die Konstruktion von Kegelschnitten und komplizierteren Kurven erforderten, wie die Spirale, tatsächlich lösbar waren durch echt geometrische Methoden. Das heißt, es gab eine Mehrdeutigkeit und damit eine offene Frage für Mathematiker der frühen Neuzeit, ob Probleme, die nicht durch Lineal- und Zirkelbau gelöst werden konnten, den strengen Standards der Geometrie genügten. (Zur Sonderstellung der Konstruktionen mit Lineal und Zirkel in der griechischen Mathematik siehe Heath (1921) und Knorr (1986). Hilfreiche Übersichten über die historische Entwicklung der griechischen Mathematik finden sich in Klassikern wie Merzbach und Boyer (2011) und Band 1 von Kline (1972).)

Einige Beispiele sollen verdeutlichen, worum es hier geht. Das Problem der Winkelhalbierung eines gegebenen Winkels wird zu den planaren Problemen gezählt, weil, wie von Euklid in Elemente I.9, um das Liniensegment zu konstruieren, das einen gegebenen Winkel in zwei gleiche Teile teilt, konstruieren wir (mit dem Zirkel) drei Kreise mit gleichem Radius und verbinden dann (mit dem Lineal) den Scheitel des Winkels mit dem Punkt, an dem die Kreise schneiden (Euklid 1956, Band I, 264&ndash265). Beachten Sie hier, dass Kurven verwendet werden, um die Lösung zu generieren, um einen Punkt zu konstruieren, der die Lösung des Problems liefert, nämlich indem wir die Kreise konstruieren, identifizieren wir einen Punkt, der es uns ermöglicht, die Kurve zu halbieren. (Bei Ortskurvenproblemen wie dem Pappus-Problem sind die konstruierten Kurven selbst die Lösung des Problems. Siehe Abschnitt 3 unten.) Das Problem der Dreiecksdreieckung hingegen wurde als linienartig angesehen Problem, denn seine Lösung erforderte die Konstruktion von Kurven wie der Spirale, die mit Lineal und Zirkel nicht konstruierbar waren. Das vielleicht berühmteste unter den linienähnlichen Problemen ist die Quadratur des Kreises für diejenigen, die dieses Problem für lösbar hielten. Die Lösung erforderte die Konstruktion einer Kurve wie der Quadratrix, eine Kurve, die von den Alten vorgeschlagen wurde, um genau dieses Problem zu lösen (daher erhielt die Kurve ihren Namen). Sicherlich könnte die Erzeugung solcher Kurven beschrieben werden Archimedes beschreibt die Erzeugung der Spirale bekanntermaßen in Definition 1 seines Spiralen und Pappus beschreibt die Erzeugung der Quadratrix in Buch IV des Sammlung. Allerdings galten diese Beschreibungen gerade deshalb als &ldquor komplizierter, weil sie über den Schnittpunkt von Kurven hinausgehen, die durch Lineal- und Zirkelkonstruktion erzeugt werden. Nach Archimedes wird die Spirale beispielsweise dadurch erzeugt, dass ein Liniensegment gleichmäßig um einen bestimmten Punkt bewegt wird, während der Weg eines Punktes verfolgt wird, der sich selbst gleichmäßig entlang des Liniensegments bewegt. Und nach Pappus wird die Quadratrix durch die gleichförmigen Bewegungen zweier Liniensegmente erzeugt, wobei sich ein Segment um den Mittelpunkt eines bestimmten Kreises und das andere durch einen Quadranten des Kreises bewegt. (Vgl. Bos 2001, 40&ndash42 für die Details dieser beiden Konstruktionen.) In ähnlicher Weise wurde die Konstruktion von Kegelschnitten als komplizierter angesehen: Eine der anerkannten Techniken zur Konstruktion eines Kegelschnitts erforderte das Schneiden eines Kegels in einer bestimmten Weise, was wiederum , ging über die Betrachtung von sich kreuzenden Kurven hinaus, die mit Lineal und Zirkel konstruierbar waren.

Im Sammlung, gibt Pappus kein sicheres Urteil darüber ab, ob die Kegelschnitte und die &ldquor komplizierteren&rdquo-Kurven den strengen Anforderungen der geometrischen Konstruktion genügen und damit im Bereich der Geometrie zulässig sind. Im Fall der Kegelschnitte stützt er sich auf den Kommentar von Apollonius und berichtet über die Nützlichkeit dieser Kurven für die Synthese (oder Beweise) einiger Probleme (Pappus, 116). Zu behaupten, dass eine Kurve nützlich ist, ist jedoch etwas ganz anderes als zu behaupten, dass sie mit korrekten geometrischen Methoden konstruiert werden kann (wie wir weiter unten deutlicher sehen werden). Darüber hinaus führt Pappus im Fall der Quadratrix die Beschreibung der Kurve in Buch IV des Sammlung, und fährt dann sofort damit fort, die üblichen Einwände gegen die Beschreibung der Kurve zu identifizieren, z. B. dass es a petitio principii in der Definition der Kurve, ohne zu kommentieren, ob diese Einwände überwunden werden können. Obwohl den Alten bekannt war, dass Kegelschnitte und andere komplizierte Kurven verwendet werden können, um herausragende Probleme zu lösen, war es den Mathematikern der frühen Neuzeit nicht klar, ob die Alten diese Lösungen für wirklich geometrisch hielten. Mit anderen Worten, es war aus Pappus&rsquos nicht klar Sammlung ob diese Kurven bei der geometrischen Problemlösung zulässig waren und ob daher feste Probleme (wie die Ermittlung der mittleren Proportionen zwischen gegebenen Liniensegmenten) oder linienartige Probleme (wie die Dreiteilung eines Winkels und die Quadratur des Kreises) echte geometrische Lösungen hatten.

Folglich, nach der Veröffentlichung von Commandino&rsquos Übersetzung der Sammlung, Mathematiker der frühen Neuzeit widmeten sich verstärkt der Frage, ob und warum diese Kurven bei der geometrischen Problemlösung verwendet werden sollten. Die Spirale und die Quadratrix standen in solchen Diskussionen im Vordergrund, weil sie, wie oben erwähnt, verwendet werden könnten, um einige der berühmteren herausragenden geometrischen Probleme anzugehen, nämlich die Winkeldreiteilung und die Quadratur des Kreises. [2] Zum Beispiel in seiner zweiten und erweiterten (1589) Ausgabe von Euklid&rsquos Elemente (das erstmals 1574 veröffentlicht wurde) sowie in seinem Geometria-Praktiken (1604) diskutiert Christoph Clavius ​​den Status der Quadratrix. Akzeptieren der Einwände gegen die Beschreibung der Quadratrix, die von Pappus in der Sammlungliefert Clavius ​​eine seiner Meinung nach „eigentlich geometrische&rdquo Konstruktion der Kurve, die ihre Verwendung bei der geometrischen Problemlösung und insbesondere bei der Lösung des Problems der Quadratur des Kreises legitimieren würde. Seine Konstruktion ist punktuell: Wir beginnen mit einem Quadranten eines Kreises (wie in Pappus' Beschreibung), aber anstatt sich auf den Schnittpunkt von sich gleichmäßig bewegenden Segmenten zu verlassen, um die Kurve zu beschreiben, fährt Clavius ​​fort, indem er zuerst die Schnittpunkte zwischen Segmenten identifiziert, die sich halbieren der Quadrant und Segmente, die den Bogen des Quadranten halbieren. Das heißt, wir identifizieren die mehreren Schnittpunkte von Segmenten, die mit Lineal und Zirkel konstruierbar sind, und verbinden dann, um die Quadratrix zu erzeugen, die (beliebig vielen) Schnittpunkte, die entlang der gesuchten Kurve gleichmäßig verteilt sind. Um die Quadratrix nach der Methode von Clavius ​​zu konstruieren, gehen wir daher immer noch über die grundlegenden Lineal- und Zirkelkonstruktionen hinaus (das Verbinden der Punkte kann in diesem Fall nicht durch Lineal erfolgen, wie im Fall der Bisektion), aber man muss nicht die gleichzeitigen Bewegungen von Linien, wie es Pappus&rsquos Konstruktion erfordert. (Siehe Bos 2001, 161&ndash162 für Clavius&rsquos Konstruktion der Quadratrix und vergleichen Sie mit Pappus&rsquos Konstruktion auf Bos 2001, 40&ndash42. Für Descartes&rsquo-Beurteilung von Clavius&rsquos punktweiser Konstruktion siehe Abschnitt 3.3 unten.)

Laut Clavius' Kommentar von 1589 war diese punktweise Konstruktion der Quadratrix gegenüber der von Pappus eine Verbesserung, weil sie genauer war: Da man durch die punktweise Konstruktion beliebig viele Punkte entlang der Kurve identifizieren konnte, konnte man die Quadratrix mit größeren Präzision, als wenn man den Schnittpunkt zweier sich bewegender Geraden berücksichtigen müsste. Um seinen Fall zu untermauern, verbindet Clavius ​​seine punktweise Konstruktion der Quadratrix mit der punktweisen Konstruktion von Kegelschnitten, die vom &ldquogroßen Geometer&rdquo Apollonius vorgeschlagen wurden, und behauptet, &ldquor, wenn nicht jemand die gesamte Lehre der Kegelschnitte als nutzlos und ungeometrisch zurückweisen will&rdquo, die von Apollonius vorgeschlagen wurde, &ldquoone ist gezwungen„ unsere gegenwärtige Beschreibung der [Quadratrix] als vollständig geometrisch zu akzeptieren (zitiert in Bos 2001, 163). Doch in seinem späteren Geometria-Praktiken (1604) mildert Clavius ​​seine Einschätzung sowohl der Quadratrix als auch der Kegelschnitte. Er behauptet, dass diese komplizierteren Kurven durch punktuelle Methoden konstruiert werden könnten, die eine größere Genauigkeit bieten, aber die so erzeugten Kurven würden nicht mehr als absolut geometrisch dargestellt. Stattdessen wurden sie als &ldquogenauer&ldquo &ldquoleichter&rdquo und geometrisch &ldquoin gewisser Weise&rdquo dargestellt (Bos 2001, 164&ndash5).

In seinem Ergänzung der Geometrie (1593) geht Françccedilois Viégravete auch auf die herausragenden Probleme der Geometrie ein, die durch Kurven lösbar waren, die mit Lineal und Zirkel nicht konstruiert werden konnten. Er behauptet, dass zumindest einige dieser Probleme mit geeigneten geometrischen Mitteln gelöst werden könnten, indem er als sein Postulat annahm, dass das sogenannte Neusis-Problem gelöst werden könnte. Das heißt, er nahm an, dass es bei gegebenen zwei Geraden, einem Punkt (O) und einer Strecke (a), möglich sei, eine Gerade durch (O) zu ziehen, die die beiden Geraden in den Punkten (A ) und (B) mit (AB = a) (Bos 2001, 167&ndash168). Im Ergänzung, zeigt Viète, dass wir, sobald wir als grundlegendes geometrisches Postulat akzeptieren, dass das Neusis-Problem lösbar ist, mit legitimen geometrischen Mitteln die Probleme der Dreiteilung eines gegebenen Winkels und der Konstruktion der beiden Mittelwerte zwischen zwei gegebenen Geradensegmenten lösen können. Insbesondere und vor allem generieren wir diese Lösungen, ohne auf die Konstruktion von Kegelschnitten oder Kurven höherer Ordnung wie der Spirale oder Quadratrix angewiesen zu sein (Bos 2001, 168).

Das Neusis-Postulat war ein mächtiges Werkzeug in Viégravetes Problemlösungsarsenal: Indem er annahm, dass das Neusis-Problem gelöst werden könnte, erweiterte er den Bereich akzeptabler geometrischer Konstruktionen über Lineal und Zirkel hinaus. Es blieben jedoch Fragen über die Annehmbarkeit dieser Annahme als Postulat, da Viégravete die Konstruktion des Neusis-Problems nicht detailliert beschreibt, sondern einfach behauptet, dass das Neusis-Postulat für seine Leser nicht schwer zu akzeptieren sein sollte. Mit dieser Annahme wich er deutlich von den antiken Geometern ab, für die das Neusis-Problem nur durch Kurven gelöst werden konnte, die mit Lineal und Zirkel nicht konstruierbar waren. Zum Beispiel hat Pappus die Konstruktion der Neusis zu einem soliden Problem gemacht und es mit Hilfe von Kegelschnitten in Buch IV der Sammlung, und Nikomedes machte die Konstruktion der Neusis zu einem linienähnlichen Problem und entwickelte das Cissoid zu seiner Lösung. (Siehe Bos 2001, 53&ndash54 für die Lösung von Pappus– und 30&ndash33 für die Nicomedes&rsquo-Lösung. Siehe auch Pappus 1986, 112&ndash114 für die Klassifizierung der Neusis als verkauftes Problem.)

Dennoch, so Viégravete, blieben Legitimitätsfragen, wenn ein Problem nicht durch neusis gelöst werden konnte. Weder die Spirale noch die Quadratrix-Kurven, die Archimedes bzw. Pappus zur Quadratur des Kreises benutzten, ließen sich auf die gleiche offensichtliche und &bdquounschwere&rdquo Weise wie die Neusis konstruieren. Viégravete scheint zuzugeben, dass die punktförmige Konstruktion der Quadratrix, wie sie von Clavius ​​präsentiert wird, tatsächlich genauer war als andere Konstruktionen der Kurve, aber diese größere Präzision legitimiert, so Viégravete, ihren Status als echt geometrisch nicht. Tatsächlich stützten sich solche präzisen Beschreibungen auf Instrumente und damit auf die mechanischen Künste und waren als solche nicht geometrisch. Darüber hinaus behauptete Viégravete, dass Kurven, die nicht durch den Schnitt von Kurven konstruiert wurden, wie die archimedische Spirale, im Allgemeinen „nicht nach wahrem Wissen beschrieben“ wurden (Bos 2001, 177). Daher waren diese Kurven genau wie die Quadratrix nicht legitim geometrisch, was das Problem der Quadratur des Kreises für Viégravete ein offenes Problem ließ.

1.2 Geometrische Analyse und Algebra

Viètes Programm zur geometrischen Problemlösung hatte eine zusätzliche Bedeutung: Indem Viète die Lösung des Neusis-Problems als sein Postulat annahm, konnte er die geometrische Konstruktion mit seiner algebraischen Analyse geometrischer Probleme verknüpfen und zeigen, dass kubische Gleichungen eine genuin geometrische Lösung haben ( dh dass die Wurzeln kubischer Gleichungen unter Berücksichtigung sich schneidender geometrischer Kurven konstruiert werden könnten). Viète&rsquos veranschaulicht die Verschmelzung von Algebra und geometrischer Problemlösung in der Mathematik der Frühen Neuzeit und veranschaulicht darüber hinaus eine einflussreiche Art der Interpretation von Pappus&rsquos Behauptungen in der Mathematik Sammlung darüber, wie ein Mathematiker die Methoden der Analyse und Synthese bei der geometrischen Problemlösung anwenden sollte.

Wie oben erwähnt, kommentiert Pappus&rsquos die zweifache Analysemethode (Auflösung) und Synthese (Zusammensetzung) in dem Sammlung fand bei den Lesern der Frühen Neuzeit große Beachtung. Und wie bei seinen Ausführungen zur Konstruktion geometrischer Kurven gab es in seiner Diskussion Mehrdeutigkeiten, die zu unterschiedlichen Interpretationen der Methode und ihrer Anwendung auf geometrische Probleme motivierten. Hier ist ein Teil dessen, was Pappus in Buch VII der Sammlung:

Die Analyse ist nun der Weg von dem Gesuchten, als wäre es durch seine Folgen festgestellt, zu etwas, das durch Synthese festgestellt wird. Das heißt, wir nehmen in der Analyse das Gesuchte als erreicht an und suchen nach dem, woraus es folgt, und wieder nach dem, was davor kommt, bis wir durch diese Regression auf eines der Dinge stoßen die bereits bekannt sind oder den Rang eines ersten Prinzips einnehmen. Wir nennen diese Art von Methode &ldquoAnalyse&rdquo, als ob wir sagen wollten Anapalin-Lyse (Reduzierung nach hinten). In der Synthese nehmen wir durch Umkehrung an, was zuletzt in der Analyse erreicht wurde, als sei es bereits erreicht, und indem wir nun das, was vorher folgte, als Präzedenzfall in die natürliche Ordnung setzen und aneinander anpassen, erreichen wir das Ende der Konstruktion des Gesuchten. Dies nennen wir „Synthese&rdquo (Pappus, 82&ndash83).

Einige der Richtlinien, die Pappus hier anbietet, scheinen einfach zu sein. Die Mathematikerin nimmt das Gesuchte zunächst als erreicht an, bis sie durch die Analyse zu etwas bereits Bekanntem gelangt. Dann kehrt der Mathematiker die Schritte um und legt durch Synthese „in natürlicher Ordnung&rdquo die Deduktion fest, die vom Bekannten zum Gesuchten führt. Es gibt jedoch Unklarheiten in Pappus' Diskussion. Am wichtigsten ist vielleicht, dass nicht klar ist, wie die Umkehrung der Analyseschritte einen Beweis oder eine Synthese eines angegebenen Problems bieten könnte, da die Ableitungen der Analyse auf Bedingungen beruhen (wenn (x), dann (y)) in der Erwägung, dass eine Umkehrung bikonditionale ((x) iff (y)) erfordern würde, um eine Synthese zu erreichen (siehe Guicciardini 2009, 31&ndash38 für weitere Interpretationsprobleme im Zusammenhang mit Pappus' Bemerkungen für mehr über Analyse und Synthese in der Renaissance siehe den Klassiker Hintikka und Remes 1974, die Aufsätze in Otte und Panza 1997 und Panza 2007). Ungeachtet der Unklarheiten gab es für Viegravete und andere Mathematiker der Frühen Neuzeit einen Aspekt der Diskussion, der unglaublich wichtig war: Pappus macht deutlich, dass die Antike über eine Analysemethode verfügte, und viele Mathematiker der Frühen Neuzeit versuchten, diese Methode aus der Antike in Einklang zu bringen die von ihnen verwendeten algebraischen Methoden der geometrischen Analyse.

Schon vor dem Ende des 16. Jahrhunderts verwendeten Mathematiker Algebra bei der Analyse geometrischer Probleme, aber das Programm Viète details markiert einen bedeutenden Schritt nach vorn. Einerseits in seinem Isagoge [Einführung in die analytische Kunst] von 1591, das im Rahmen eines größeren Projekts zur Wiederherstellung der antiken Analyse (mit dem Titel Buch der restaurierten mathematischen Analysis oder der neuen Algebra) führt Viète eine Notation ein, die es ihm erlaubt, Größen allgemein zu behandeln. Die von ihm verwendeten wörtlichen Symbole (Konsonanten und Vokale, je nachdem, ob die Variable in der Gleichung unbekannt oder unbestimmt war) stellen Größen im Allgemeinen dar und geben nicht an, ob es sich um arithmetische Größen (Zahlen) oder geometrische Größen (wie Liniensegmente oder Winkel) handelt. . Damit kann er arithmetische Operationen allgemein auf Größen angewandt darstellen. Zum Beispiel stellt (A + B) die Addition zweier Größen dar und gibt nicht an, ob (A) und (B) Zahlen sind (in diesem Fall stellt die Addition einen Zählvorgang dar) oder geometrische Objekte ( in diesem Fall stellt die Addition die Kombination zweier Liniensegmente dar) (siehe Viégravete 1591, 11&ndash27 zur Bedeutung von Viète&rsquos &ldquoneuer Algebra&ldquo für die Mathematik der Frühen Neuzeit siehe Bos 2001, Kap. 8 Mahoney 1973, Kap. 2 und Pycior 1997, Kap. 1 ).

Andererseits wurde die von Viégravete vorgeschlagene algebraische, symbolische Analyse geometrischer Probleme als erster Schritt in einem dreistufigen Prozess angeboten, der eine geometrische Lösung liefern könnte. Die drei Phasen waren: (1) Zetetik, die die algebraische Analyse (oder Elaboration) eines Problems beinhaltete (2) Poristik, die die Beziehungen zwischen den Größen unter Berufung auf die Proportionstheorie klärte (siehe Giusti 1992 über die Bedeutung der Proportionstheorie für die Mathematik von Viégravete) und (3) Exegetik, die die echte geometrische Lösung (oder den Beweis) des Problems bot. Um den Zusammenhang zwischen den Phasen von . besser zu verstehen Zetetik und Exegetik, die grob den alten Stufen der Analyse und Synthese entsprechen, betrachten das Problem der Identifizierung zweier mittlerer Proportionen. Geometrisch stellt sich das Problem wie folgt dar:

In dieser zetetischen Analysestufe wird das geometrische Problem in das algebraische Problem der Lösung einer kubischen Gleichung in Standardform (d. h. einer kubischen Gleichung, die keinen quadratischen Term enthält) transformiert. Für Viégravete muss jedoch die echte Lösung des Problems auf der Stufe der Exegetik geliefert werden, die den geometrischen Aufbau und damit die Synthese oder den Beweis bietet. [3] Und hier liefert das Neusis-Postulat die Garantie, dass eine solche Lösung gefunden werden kann: Unter der Annahme, dass das Neusis-Problem gelöst ist, können wir die Kurve konstruieren, die die beiden obigen kubischen Gleichungen erfüllt (dh wir können die Wurzeln von . konstruieren die Gleichungen) und konstruieren dabei die gesuchten mittleren Proportionen. Mit anderen Worten, es gab eine angenommene Äquivalenz in Viégravete's Programm zwischen dem Lösen eines algebraischen Problems, das das Identifizieren der Wurzeln spezifizierter kubischer Gleichungen erforderte, und dem Lösen eines geometrischen Problems, das die Konstruktion einer Kurve erforderte. Wir sehen dies auch in seiner Behandlung der Winkeldreiteilung: Das Winkel-Dreiteilungs-Problem zu lösen bedeutet, zwei kubische Standardgleichungen zu lösen, die Viègravete in seiner algebraischen Ausarbeitung des geometrischen Problems offenbart (vgl. Bos 2001, 173&ndash176). Tatsächlich können wir unter der Annahme des Neusis-Postulats jede kubische Standardformgleichung lösen, und da zu dieser Zeit bereits bekannt war, dass alle Gleichungen vierten Grades auf kubische Standardformeln reduzierbar sind, lieferte Viète mit seiner Heirat der Algebra und Geometrie in seinem 1594 Ergänzung war ein Programm, das alle linienartigen Probleme löste, die sich in Form von kubischen und quartischen Gleichungen ausarbeiten ließen.

So mächtig das Programm von Viégravete auch war, für praktizierende Mathematiker blieben Fragen offen.Sollten wir, wie Viégravete forderte, das Neusis-Postulat als „nicht schwierig“ und damit als grundlegendes Konstruktionsprinzip der Geometrie akzeptieren? Und sollten wir Viégravete folgen, wenn wir behaupten, dass andere Kurven, die in der Geometrie eine erhebliche Problemlösungskraft aufwiesen, wie die Spirale und die Quadratrix, nicht legitim geometrisch seien, weil sie nicht mit Neusis konstruiert werden könnten? Darüber hinaus gab es Fragen über die Verbindung, die Viète zwischen Algebra und Geometrie geschmiedet hat. Insbesondere für Descartes stellte sich die Frage, ob zwischen den in Gleichungen ausgedrückten Lösungen algebraischer Probleme und den Lösungen geometrischer Probleme, die die Konstruktion von Kurven erforderten, eine tiefere, grundlegendere Verbindung hergestellt werden kann. Diese Fragen wurden für Descartes jedoch erst Anfang der 1630er Jahre vollständig gelöst, nachdem er mehr als ein Jahrzehnt lang Probleme in Geometrie und Algebra untersucht hatte.


1.1: Vorspiel zu den Grundlagen der Algebra - Mathematik

Grundlagen der Datenanalyse
Kursleiter: Jeff Phillips (E-Mail) | Sprechzeiten: TBA (und direkt nach dem Unterricht)
TAs: TBA
Herbst 2021 | Dienstag, Donnerstag 10:45 - 12:05 Uhr
? Zoom/YouTube ?
Katalognummer: CS/DS 3190 01
und trifft sich mit COMP 5960 01 (Mittelwert für Nicht-SoC-Absolventen und nicht immatrikulierte Studierende)
Google Kalender aller Vorlesungen & Sprechstunden

Lehrplan Beschreibung:
Dieser Kurs bietet eine Einführung in die computergestützte Datenanalyse, wobei der Schwerpunkt auf den mathematischen Grundlagen liegt, aber einige grundlegende Erfahrungen mit Analysetechniken vermittelt werden. Ziel wird es sein, mehrere Kernthemen, die das Rückgrat moderner Datenanalysethemen bilden, sorgfältig zu entwickeln und zu erforschen, darunter Machine Learning, Data Mining, Künstliche Intelligenz und Visualisierung. Dazu gehören einige Hintergrundinformationen zu Wahrscheinlichkeit und linearer Algebra und dann verschiedene Themen wie Bayes-Regel und ihre Verbindung zur Inferenz, lineare Regression und ihre polynomialen und hochdimensionalen Erweiterungen, Hauptkomponentenanalyse und Dimensionsreduktion sowie Klassifikation und Clustering. Wir werden uns auch auf moderne PAC (wahrscheinlich ungefähr korrekt) und Kreuzvalidierungsmodelle zur Algorithmusbewertung konzentrieren.
Einige dieser Themen werden oft sehr kurz am Ende einer Wahrscheinlichkeits- oder Linearen Algebra-Klasse behandelt und dann oft als Wissen in fortgeschrittenen Data-Mining- oder Machine-Learning-Klassen angenommen. Diese Klasse füllt diese Lücke. Das geplante Tempo wird näher an CS3130 oder Math2270 als an den 5000-stufigen fortgeschrittenen Datenanalysekursen liegen.

Wir werden Python in der Klasse verwenden, um grundlegende Konzepte zu demonstrieren und zu untersuchen. Aber das Programmieren wird nicht das Hauptaugenmerk sein.
Der ehemalige TA Hasan Poormahmood hat ein kurzes Python-Tutorial zum Laden, Manipulieren, Verarbeiten und Plotten von Daten in Python in Colab erstellt. Hier ist das Python-Notizbuch, damit Sie es mitverfolgen können.

Buch: Mathematische Grundlagen der Datenanalyse (v1.0)
Eine kostenlose Version (v0.6) ist kostenlos und online als pdf verfügbar. Die Formatierung und Seitennummerierung wurde aktualisiert und die Schrift wurde in der Version 1.0 punktuell verbessert. Einige Inhalte werden auch in v1.0 hinzugefügt, aber es hat keinen Einfluss auf den Teil, der in diesem Kurs behandelt wird.
Weitere externe Online-Ressourcen sind unten aufgeführt.

Videos: Der Vortrag wird persönlich gehalten.
Wie schon seit mehreren Jahren werden wir die Vorträge voraussichtlich auch live streamen (auf YouTube). Einzelheiten folgen.

Voraussetzungen:
Die offiziellen Voraussetzungen sind CS 2100, CS 2420 und Math 2270. Diese dienen dazu, eine gewisse, sehr grundlegende mathematische Reife (CS 2100) sicherzustellen, ein grundlegendes Verständnis für das Speichern und Bearbeiten von Daten mit einiger Effizienz (CS2420) und Grundlagen von Lineare Algebra und hohe Dimensionen (MATH 2270).
Wir benötigen als zusätzliche Voraussetzung CS 3130 (oder Math 3070), um eine gewisse Vertrautheit mit Wahrscheinlichkeit sicherzustellen.
Einige Vorlesungen werden der linearen Algebra und der Wahrscheinlichkeit gewidmet sein, jedoch in einem schnellen Tempo und einem Fokus auf die Dateninterpretation dieser Domänen. Ich verstehe, dass die Schüler jetzt auf verschiedene Weise Hintergrundwissen in der Datenanalyse erhalten. Wenden Sie sich an den Dozenten, wenn Sie der Meinung sind, dass Sie ohne diese Voraussetzungen auskommen.
Dieser Kurs ist eine Voraussetzung für CS 5350 (Maschinelles Lernen) und CS 5140 (Data Mining) und ist Teil einer neuen Data Science-Pipeline.

Zeitplan:

Datum Kapitel Video ? Thema Abtretung
Mo 8.23 YouTube Klassenübersicht
Mi 8.25 Kanal 1 - 1,2 YouTube Wahrscheinlichkeitsprüfung: Stichprobenraum, Zufallsvariablen, Unabhängigkeit (colab) HW1 aus
Mo 8.30 Kanal 1.3 - 1.6 YouTube Wahrscheinlichkeitsprüfung: PDFs, CDFs, Erwartung, Varianz, gemeinsame und marginale Verteilungen Quiz 0
Mi 9.01 Kanal 1,7 YouTube Bayes-Regel: MLEs und Log-Likelihoods
Mo 9.06 TAG DER ARBEIT
Mi 9.08 Kanal 1,8 YouTube Bayes-Regel: Bayessches Denken
Mo 9.13 Kanal 2.1 - 2.2 YouTube Konvergenz: Zentraler Grenzwertsatz und Schätzung (colab) Quiz 1
Mi 9.15 Kanal 2,3 YouTube Konvergenz: PAC-Algorithmen und Konzentrationsmessung HW 1 fällig
Mo 9.20 Kanal 3.1 - 3.2 YouTube Lineare Algebra-Überprüfung: Vektoren, Matrizen, Multiplikation und Skalierung
Mi 9.22 Kanal 3.3 - 3.5 YouTube Lineare Algebra Review: Normen, Lineare Unabhängigkeit, Rang und Numpy (colab) HW 2 aus
Mo 9.27 Kanal 3.6 - 3.8 YouTube Lineare Algebra-Überprüfung: Invers, Orthogonalität Quiz 2
Mi 9.29 Kanal 5.1 YouTube Lineare Regression: erklärende & abhängige Variablen (colab)
Mo 10.04 Kanal 5.2-5.3 YouTube Lineare Regression: multiple Regression (colab), polynomiale Regression (colab)
Mi 10.06 Kanal 5,4 YouTube Lineare Regression: Überanpassung und Kreuzvalidierung (colab) HW 2 fällig
Mo 10.11 HERBSTFERIEN
Mi 10.13 HERBSTFERIEN
Mo 10.18 Kanal 5 YouTube Lineare Regression: Mini-Review + Slack Quiz 3
Mi 10.20 Kanal 6.1 - 6.2 YouTube Gradient Descent: Funktionen, Minimum, Maximum, Konvexität & Gradienten HW 3 aus
Mo 10.25 Kanal 6,3 YouTube Gradient Descent: algorithmisch & Konvergenz (colab)
Mi 10.27 Kanal 6,4 YouTube Gradientenabstieg: Anpassung von Modellen an Daten und stochastischer Gradientenabstieg
Mo 11.01 Kanal 7,1 - 7,2 YouTube Dimensionsreduktion: SVD Quiz 4
Mi 11.03 Kanal 7,2 - 7,3 YouTube Dimensionsreduktion: Rang-k-Approximation und Eigenwerte (colab) HW 3 fällig
Mo 11.08 Kanal 7,4 YouTube Dimensionsreduktion: Leistungsmethode (Colab) HW 4 aus
Mi 11.10 Kanal 7,5 - 7,6 YouTube Dimensionsreduktion: PCA, Zentrierung (colab) und MDS (colab)
Mo 11.15 Ch 8.1 YouTube Clustering: Voronoi-Diagramme + aufgabenbasiertes Clustering (colab)
Mi 11.17 Ch 8.3 YouTube Clustering : k-means Quiz 5
Mo 11.22 Ch 8.4, 8.7 YouTube Clustering : EM, Mischung von Gauß'schen, Mean-Shift HW 4 fällig
Mi 11.24 Ch 9.1 YouTube Klassifizierung : Lineare Vorhersage
Mo 11.29 Ch 9.2 YouTube Klassifizierung : Perceptron-Algorithmus HW 5 aus
Mi 12.01 Ch 9.3 YouTube Klassifizierung : Kernel und SVMs Quiz 6
Mo 12.06 Kanal 9,4 - 9,5 YouTube Klassifizierung : Neuronale Netze
Mi 12.08 YouTube Semesterrückblick
Fr 12.04 HW 5 fällig
Fr 12.17 ABSCHLUSSPRÜFUNG überschneidet sich mit (10:30 - 12:30 Uhr) (trainieren)

Klassenorganisation: Die Klasse wird über diese Webseite und Canvas ausgeführt. Der Zeitplan, die Notizen und die Links werden hier gepflegt. Alle Hausaufgaben werden über Canvas abgegeben.


Benotung: Es gibt eine Abschlussprüfung mit 20% der Note. Hausaufgaben werden mit 60 % der Note bewertet. Es wird 5 Hausaufgaben geben und die niedrigste kann fallen gelassen werden. Quizfragen werden mit 20 % der Note bewertet. Es wird 6 oder 7 geben (das erste, Quiz 0, ist weniger Punkte wert).

Die Hausaufgaben bestehen normalerweise aus einem Satz analytischer Probleme und manchmal werden leichte Programmierübungen in Python durchgeführt. Wenn Python verwendet wird, werden wir normalerweise zuerst die Beispiele in der Klasse durcharbeiten.


Verspätung: Um die volle Punktzahl für eine Aufgabe zu erhalten, muss sie bis zum Beginn des Unterrichts, insbesondere um 10:30 Uhr, über Canvas eingereicht werden. Sobald die Frist um 10:30 Uhr versäumt wird, verlieren diejenigen, die zu spät abgegeben werden, 10 %. Alle weiteren 24 Stunden bis zur Wende werden weitere 10 % abgezogen. Das heißt, eine Hausaufgabe mit 30 Stunden Verspätung im Wert von 10 Punkten hat 2 Punkte verloren. Sobald die benotete Aufgabe zurückgegeben wird oder 48 Stunden vergangen sind, erhalten alle noch nicht abgegebenen Aufgaben eine 0.


Akademische Verhaltensrichtlinie: Die Utah School of Computing hat eine Richtlinie zu akademischem Fehlverhalten, die von allen registrierten Studenten verlangt, ein Bestätigungsformular zu unterschreiben. Dieses Formular muss vor der Benotung der Hausaufgaben unterschrieben im Sekretariat abgegeben werden.

Diese Klasse hat die folgende Zusammenarbeitsrichtlinie:
Bei Aufgaben können die Schüler Antworten mit jedem besprechen, einschließlich Problemansatz, Beweise und Code. Aber alle Schüler müssen ihren eigenen Code, Beweise und Zuschreibungen schreiben. Wenn Sie bei den Hausaufgaben mit einem anderen Schüler in dem Maße zusammengearbeitet haben, dass Sie erwarten, dass Ihre Antworten ähnlich aussehen, müssen Sie erklären, inwieweit Sie bei den Hausaufgaben mitgearbeitet haben. Schüler, deren Hausaufgaben zu ähnlich erscheinen und die die Zusammenarbeit nicht erklärt haben, erhalten eine 0 für diese Aufgabe.

Hier sind ein paar andere Bücher, die einen Teil des Materials behandeln, aber auf einem fortgeschritteneren Niveau:
ML verstehen | Grundlagen der Datenwissenschaft | Einführung in das statistische Lernen


Quelle : Die Entstehung des logischen Empirismus (1996) publiz. Garland Publishing Inc. Die gesamte Hilbert-Auswahl für hier wiedergegebene Serien, abzüglich einiger unwesentlicher mathematischer Formalitäten.

Es ist mir eine große Ehre und zugleich eine Notwendigkeit, meine Überlegungen zu den Grundlagen der Mathematik, die hier vor fünf Jahren eines Tages dargelegt wurden und die mich seither ständig aufs intensivste beschäftigen, zu ergänzen und weiterzuentwickeln. Mit dieser neuen Begründung der Mathematik, die wir treffend als Beweistheorie bezeichnen können, verfolge ich ein wesentliches Ziel, denn ich möchte die Fragen nach den Grundlagen der Mathematik in der Form, in der sie stellen sich nun, indem sie jeden mathematischen Satz in eine konkret darstellbare und streng ableitbare Formel umwandeln und damit mathematische Definitionen und Schlüsse so umgestalten, dass sie unerschütterlich sind und dennoch ein adäquates Bild der ganzen Wissenschaft liefern. Ich glaube, dass ich dieses Ziel mit meiner Beweistheorie vollständig erreichen kann, auch wenn noch viel Arbeit zu leisten ist, bis sie vollständig entwickelt ist.

Ebensowenig wie jede andere Wissenschaft kann die Mathematik allein durch die Logik begründet werden, vielmehr muss uns als Bedingung für den Gebrauch logischer Schlüsse und die Durchführung logischer Operationen schon etwas in unserem Vorstellungsvermögen gegeben sein, gewisse außerlogische konkrete Gegenstände die intuitiv als unmittelbare Erfahrung vor dem Denken vorhanden sind. Wenn logische Schlüsse zuverlässig sein sollen, müssen diese Gegenstände in allen ihren Teilen vollständig überblickt werden können, und die Tatsache, dass sie vorkommen, sich voneinander unterscheiden, aufeinander folgen oder aneinander hängen, ist unmittelbar, Intuitiv gegeben ist, zusammen mit den Objekten, etwas, das weder auf etwas anderes reduziert werden kann noch einer Reduktion bedarf. Dies ist die philosophische Grundposition, die ich für die Mathematik und überhaupt für alles wissenschaftliche Denken, Verstehen und Kommunizieren als Voraussetzung halte. Und insbesondere in der Mathematik betrachten wir die konkreten Zeichen selbst, deren Gestalt nach der von uns angenommenen Auffassung unmittelbar, klar und erkennbar ist. Dies ist das Mindeste, was vorausgesetzt werden muss, dass kein wissenschaftlicher Denker darauf verzichten kann, und daher muss jeder daran festhalten, bewusst oder nicht.

Ich werde nun den Grundgedanken meiner Beweistheorie vorstellen.

Alle Sätze, die die Mathematik konstituieren, werden in Formeln umgewandelt, so dass die eigentliche Mathematik zu einem ganzen Formelinventar wird. Diese unterscheiden sich von den gewöhnlichen Formeln der Mathematik nur dadurch, dass neben den gewöhnlichen Zeichen die logischen Zeichen

∀ (x) (∃x) impliziert und oder nicht für alle es gibt

kommen auch in ihnen vor. Bestimmte Formeln, die als Bausteine ​​für das formale Gebäude der Mathematik dienen, werden Axiome genannt. Ein Beweis ist ein Array, das unserer Wahrnehmungsintuition von Schlüssen nach dem Schema als solches gegeben werden muss

wobei jede der Prämissen, d. h. die Formeln Š und Š ⇒ Ý im Array entweder ein Axiom oder direkt von einem Axiom durch Substitution ist, oder aber mit der Endformel einer früher auftretenden Inferenz übereinstimmt im Beweis oder ergibt sich daraus durch Substitution. Eine Formel heißt beweisbar, wenn sie entweder ein Axiom oder die Endformel eines Beweises ist.

Die Axiome und beweisbaren Sätze, das heißt die Formeln, die sich aus diesem Verfahren ergeben, sind Kopien der Gedanken, die die übliche Mathematik in ihrer bisherigen Entwicklung konstituieren.

Durch das hier skizzierte Programm ist die Auswahl der Axiome für unsere Beweistheorie bereits angedeutet, wir ordnen sie wie folgt an.

I. Implikationsaxiome,
II. Axiome über & und v
III. Axiome der Negation,

A (Widerspruchsprinzip)

EIN)) ⇒ EIN (Prinzip der doppelten Negation).

Die Axiome der Gruppen I, II und III sind nichts anderes als die Axiome der Aussagenkalküle. Aus 11 und 12 folgt insbesondere die Formel

und weiter das logische Prinzip der ausgeschlossenen Mitte,

NS. Das logische E-Axiom

Hier e(EIN) steht für ein Objekt, dessen Satz EIN(ein) gilt sicherlich, wenn es für irgendein Objekt gilt, nennen wir e die logische e-Funktion. Um die Rolle der logischen E-Funktion zu verdeutlichen, machen wir die folgenden Bemerkungen.

Im formalen System wird die e-Funktion auf drei Arten verwendet.

1. Mit e kann "all" und "there exist" definiert werden, und zwar wie folgt:

Hier steht der Doppelpfeil ( ⇔ ) ​​für eine Kombination zweier Implikationsformeln statt dessen verwenden wir fortan das "Äquivalenzzeichen" ≡ .

Aufgrund dieser Definition liefert das e-Axiom IV 13 die logischen Beziehungen, die für den universellen und den existenziellen Quantor gelten, also ist such

EIN(ein)) (Prinzip der ausgeschlossenen Mitte).

2. Wenn ein Satz Y von einem und nur einem Objekt gilt, dann ist e( Y ) das Objekt davon Y (ein) hält.

Die e-Funktion ermöglicht uns somit, t-Proposition wie Y (ein), wenn es nur von einem Objekt gilt, um zu erhalten

3. Darüber hinaus übernimmt e die Rolle der Wahlfunktion, d. h. im Fall EIN(ein) gilt von mehreren Objekten, e( Y ) ist jemand der Objekte ein davon Y (ein) hält.

Neben diesen rein logischen Axiomen gibt es folgende spezifisch mathematische Axiome.

V. Gleichheitsaxiome
VI. Axiome der Zahl

Hier ein' bezeichnet die folgende Zahl und die ganzen Zahlen 1, 2, 3, . . . kann in der Form 0', 0'', 0''' geschrieben werden.

Für die Zahlen der zweiten Zahlenklasse und der höheren Zahlenklassen von Cantor müssen die entsprechenden Induktionsaxiome hinzugefügt werden, sie müssten jedoch in Übereinstimmung mit Cantors Theorie zu einem Schema zusammengefasst werden.

Schließlich brauchen wir noch explizite Definitionen, die die Begriffe der Mathematik einführen und Axiomencharakter haben, sowie bestimmte Rekursionsaxiome, die sich aus einem allgemeinen Rekursionsschema ergeben. Bevor wir die Formulierung dieser Axiome diskutieren, müssen wir zunächst die Regeln aufstellen, die den Gebrauch von Axiomen im Allgemeinen regeln. Denn in meiner Theorie wird die inhaltliche Schlußfolgerung durch die Manipulation von Zeichen nach Regeln ersetzt. Auf diese Weise erreicht die axiomatische Methode jene Verlässlichkeit und Vollkommenheit, die sie erreichen kann und muß, wenn sie zum Grundinstrument aller theoretischen Forschung werden soll.

Zunächst gelten die folgenden Bestimmungen.

Für mathematische Variablen verwenden wir immer lateinische Kleinbuchstaben in Kursivschrift, aber für konstante mathematische Objekte (spezifische Funktionen) griechische Kleinbuchstaben.

Für variable Atomsätze (unbestimmte Formeln) verwenden wir immer lateinische Großbuchstaben, aber für konstante Atomsätze griechische Großbuchstaben, z.

n(ein) [ein ist eine Zahl der zweiten Zahlenklasse].

Bezüglich des Substitutionsverfahrens gelten die folgenden allgemeinen Konventionen.

Für aussagenhafte Variablen dürfen wir nur Formeln ersetzen, d. h. Arrays, die aus elementaren Formeln mit Hilfe der logischen Zeichen aufgebaut sind

Die elementaren Formeln sind die Formelvariablen, ggf. mit Argumenten

angehängt, und die Zeichen für konstante Aussagen, wie

mit den zugehörigen Argumentstellen gefüllt.

Eine mathematische Variable kann durch jedes beliebige Array ersetzt werden. Wenn jedoch eine mathematische Variable in einer Formel vorkommt, muss immer die konstante Aussage, die angibt, welche Art die Variable ist, gefolgt vom Implikationszeichen vorangestellt werden, z.

Diese Konvention bewirkt, dass doch nur Substituenten in Betracht kommen, die gewöhnliche Zahlen oder Zahlen der zweiten Zahlenklasse sind. In den Axiomen V und VI sind die Sätze Z(ein) und Z(B), die vorangehen sollten, wurden der Kürze halber weggelassen.

Deutsche Groß- und Kleinbuchstaben haben einen Bezug und werden nur zur Übermittlung von Informationen verwendet.

Die mathematischen Variablen sind von zweierlei Art: (1) die primitive Variablen und (2) die variabel sortiert.

1. Während nun in der gesamten Arithmetik und Analysis die gewöhnliche ganze Zahl als einzige primitive Variable ausreicht, ist jeder der transfiniten Zahlenklassen von Cantor eine primitive Variable zugeordnet, die sich über genau die Ordinalzahlen dieser Klasse erstreckt. Jeder primitiven Variablen entspricht daher ein Satz, der angibt, um welche Art es sich handelt. Dieser Satz ist implizit durch Axiome gekennzeichnet.

Jeder primitiven Variablen ist eine Art von Rekursion zugeordnet, mit der wir Funktionen definieren, deren Argument diese primitive Variable ist. Die mit der zahlentheoretischen Variablen verbundene Rekursion ist "quotordinary recursion", mit der die t-Funktion von t zahlentheoretischer Variable n definiert wird, wenn wir angeben, welchen Wert sie für hat n = 0 und wie der Wert für n' ergibt sich daraus für n. Die Verallgemeinerung der gewöhnlichen Rekursion ist die transfinite Rekursion sie beruht auf dem allgemeinen Prinzip, dass der Wert der Funktion für einen Wert der Variablen durch die vorhergehenden Werte der Funktion bestimmt wird.

2. Aus den primitiven Variablen leiten wir weitere Arten von Variablen ab, indem wir logische Verknüpfungen auf die mit den primitiven Variablen verknüpften Sätze anwenden, zum Beispiel zu Z. Die so definierten Variablen werden Variablensortierungen genannt, und die sie definierenden Sätze werden Sortiersätze genannt, für jede dieser Variablen wird ein neues besonderes Zeichen eingeführt. Also die Formel

bietet die einfachste Instanz einer Variablensortierung. Diese Formel definiert die Sortierung der Funktionsvariablen ("eine-Funktion sein"). Ein weiteres Beispiel ist die Formel

es definiert das "eine-Funktion-einer-Funktion sein" das Argument g ist die neue Funktion-einer-Funktionsvariable.

Um die höheren Variablensortierungen zu erzeugen, müssen wir die Sortieraussagen selbst mit Indizes versehen, wodurch ein Rekursionsverfahren möglich wird.

Wir können nun charakterisieren, was durch explizite Definitionen und durch Rekursionsaxiome zu verstehen ist: Eine explizite Definition ist eine Äquivalenz oder Identität, die auf ihrer linken Seite das zu definierende Zeichen trägt (griechischer Großbuchstabe oder Kleinbuchstabe) entlang mit bestimmten Variablen als Argumente und hat auf der rechten Seite ein Array, in dem nur diese Argumente als freie Variablen vorkommen und in dem keine Vorzeichen für Konstanten außer den bereits eingeführten vorkommen.

Entsprechend sind die Rekursionsaxiome Formelsysteme, die dem rekursiven Verfahren nachempfunden sind.

Dies sind die allgemeinen Grundlagen meiner Theorie. Um Sie mit ihrer Anwendung vertraut zu machen, möchte ich einige Beispiele für bestimmte Funktionen anführen, wie sie durch Rekursion definiert werden.

Wenn wir nun beginnen, die Mathematik zu konstruieren, werden wir zunächst die elementare Zahlentheorie ins Visier nehmen und erkennen, dass wir ihre Wahrheiten durch inhaltliche intuitive Betrachtungen gewinnen und beweisen können. Die Formeln, die uns bei diesem Ansatz begegnen, dienen nur der Informationsvermittlung. Buchstaben stehen für Ziffern und eine Gleichung informiert uns darüber, dass zwei Zeichen für dasselbe stehen.

Anders in der Algebra. In der Algebra betrachten wir die mit Buchstaben gebildeten Ausdrücke als eigenständige Objekte, und die in der Algebra enthaltenen Sätze der Zahlentheorie werden durch sie formalisiert. Wo wir Zahlen hatten, haben wir jetzt Formeln, die ihrerseits konkrete Gegenstände sind, die ihrerseits von unserer Wahrnehmungsintuition betrachtet werden, und die Ableitung einer Formel aus einer anderen nach bestimmten Regeln tritt an die Stelle des zahlentheoretischen Beweises nach Inhalt.

Damit geht die Algebra bereits beträchtlich über die Jahrhunderttheorie hinaus. Auch die Formel 1 + a = a + 1 zum Beispiel, in der a eine echte zahlentheoretische Variable ist, gibt in der Algebra nicht mehr nur Auskunft über etwas Inhaltliches, sondern ist ein gewisser formaler Gegenstand, eine beweisbare Formel, was an sich bedeutet nichts und deren Beweis sich nicht auf den Inhalt stützen kann, sondern die Berufung auf das Induktionsaxiom erfordert.

Die inhaltlich verifizierbaren Formeln 1 + 3 = 3 + 1 und 1 + 7 = 7 + 1 lassen sich aus der obigen algebraischen Formel nur durch ein Beweisverfahren, wie z Pro ein, d. h. durch die Verwendung einer Substitutionsregel.

Daher enthält auch die elementare Mathematik erstens Formeln, denen inhaltliche Mitteilungen endlicher Sätze (hauptsächlich numerische Gleichungen oder Ungleichungen oder komplexere aus diesen zusammengesetzte Mitteilungen) entsprechen und die wir die reellen Vorschläge der Theorie, und zweitens Formeln, die - ebenso wie die Zahlen der inhaltlichen Zahlentheorie - an sich nichts bedeuten, sondern lediglich Dinge sind, die unseren Regeln unterliegen und als die ideale Objekte der Theorie.

Diese Überlegungen zeigen, dass, um zu der Vorstellung von Formeln als Idealsätze, wir brauchen nur in natürlicher und konsequenter Weise die Entwicklungslinie zu verfolgen, die die mathematische Praxis bisher bereits verfolgt hat. Und dann ist es für uns natürlich und konsequent, fortan nicht nur die mathematischen Variablen zu behandeln, sondern auch die logischen Zeichen v, & usw. und die logischen Variablen, nämlich die Aussagenvariablen, EIN, B, C, . . ., ebenso wie die Zahlen und Buchstaben in der Algebra und auch als Zeichen zu betrachten, die an sich nichts bedeuten, sondern lediglich Bausteine ​​für ideale Aussagen sind.

Wir haben in der Tat einen dringenden Grund, den formalen Gesichtspunkt der Algebra auf die gesamte Mathematik auszudehnen. Denn sie ist das Mittel, um uns von einer grundsätzlichen Schwierigkeit zu befreien, die sich bereits in der elementaren Zahlentheorie bemerkbar macht. Wieder nehme ich als Beispiel die Gleichung

wenn wir es als die Weitergabe der Informationen ansehen wollten, die

wo ein für eine beliebige Zahl steht, dann könnte diese Mitteilung nicht negiert werden, da die Aussage, dass es eine Zahl gibt ein für die

hold hat keine endliche Bedeutung, man kann ja nicht alle Zahlen ausprobieren. Wenn wir also die finitistische Haltung einnehmen, könnten wir die Alternative nicht anwenden, nach der eine Gleichung wie die obige, in der eine unspezifizierte Zahl vorkommt, entweder für jede Zahl erfüllt ist oder durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden kann. Denn als Anwendung des "Prinzips der ausgeschlossenen Mitte" hängt diese Alternative im Wesentlichen von der Annahme ab, dass es möglich ist, die Behauptung zu negieren, dass die fragliche Gleichung immer gilt.

Aber wir können weder auf das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte noch auf irgendein anderes Gesetz der aristotelischen Logik verzichten, das in unseren Axiomen zum Ausdruck kommt, da die Konstruktion der Analyse ohne sie unmöglich ist.

Nun kann die grundlegende Schwierigkeit, der wir hier gegenüberstehen, durch die Verwendung von idealen Sätzen vermieden werden. Denn wenn wir an die reellen Sätze die idealen anhängen, erhalten wir ein Satzsystem, in dem alle einfachen Regeln der aristotelischen Logik gelten und alle üblichen Methoden der mathematischen Schlußfolgerung gültig sind. So wie beispielsweise die negativen Zahlen in der elementaren Zahlentheorie unverzichtbar sind und die moderne Zahlentheorie und Algebra erst durch die Kummer-Dedekind-Ideale möglich werden, so wird die wissenschaftliche Mathematik nur durch die Einführung von Idealsätzen möglich.

Allerdings ist an die Anwendung der Methode der idealen Elemente immer eine einzige Bedingung geknüpft, und zwar der Konsistenzbeweis, denn die Erweiterung durch die Addition idealer Elemente ist nur dann legitim, wenn dadurch kein Widerspruch entsteht im alten engeren Bereich zustande gekommen ist, dh wenn die Relationen, die sich für die alten Objekte ergeben, wenn die idealen Objekte eliminiert werden, im alten Bereich gültig sind.

In der gegenwärtigen Situation ist dieses Problem der Konsistenz jedoch einer Behandlung vollkommen zugänglich. Denn es geht darum zu zeigen, dass es uns bei der Einführung idealer Objekte unmöglich ist, zwei logisch widersprüchliche Aussagen zu erhalten, Y und

Y. Nun, wie ich oben bemerkte, die logische Formel

folgt aus den Axiomen der Negation. Wenn wir darin den Satz Y durch . ersetzen EIN und die Ungleichung 0 ≠ 0 für B, wir erhalten

Und wenn wir diese Formel haben, können wir die Formel 0 # 0 aus Y und ableiten

Y. Um die Konsistenz zu beweisen, brauchen wir daher nur zu zeigen, dass 0 ≠ 0 nach den geltenden Regeln als Endformel eines Beweises nicht aus unseren Axiomen erhalten werden kann, also 0 ≠ 0 keine beweisbare Formel ist. Und das ist eine Aufgabe, die grundsätzlich ebenso im Bereich der Anschauung liegt wie in der inhaltlichen Zahlentheorie etwa die Aufgabe, die Irrationalität von sqrt(2) zu beweisen, also zu beweisen, dass es unmöglich ist, zwei Zahlen zu finden ein und B die die Beziehung a 2 = 2b 2 erfüllt, ein Problem, bei dem gezeigt werden muss, dass es unmöglich ist, zwei Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft darzustellen. Dementsprechend geht es für uns darum zu zeigen, dass es unmöglich ist, einen Beweis einer bestimmten Art zu erbringen. Aber ein formalisierter Beweis ist wie eine Zahl ein konkretes und überschaubares Objekt. Es kann von Anfang bis Ende kommuniziert werden. Dass die Endformel die geforderte Struktur hat, nämlich " 0 ≠ 0 ", ist auch eine konkret feststellbare Eigenschaft des Beweises. Der Beweis kann in der Tat gegeben werden, und dies gibt uns eine Rechtfertigung für die Einführung unserer Idealsätze. Gleichzeitig erkennen wir, dass wir damit auch die Lösung eines längst drängenden Problems, nämlich des Beweises der Konsistenz der arithmetischen Axiome, haben.

Wo immer die axiomatische Methode angewendet wird, obliegt es uns, die Konsistenz der Axiome zu beweisen. In der Geometrie und den physikalischen Theorien gelingt dieser Beweis durch eine Reduktion auf die Konsistenz der arithmetischen Axiome. Diese Methode versagt offensichtlich bei der Arithmetik selbst. Indem sie diesen wichtigen letzten Schritt durch die Methode der idealen Elemente ermöglicht, bildet unsere Beweistheorie den notwendigen Grundstein des axiomatischen Systems.

Der letzte Test jeder neuen Theorie ist ihr Erfolg bei der Beantwortung bereits existierender Fragen, für deren Beantwortung die Theorie nicht speziell geschaffen wurde. Sobald Cantor seine ersten transfiniten Zahlen, die so genannten Zahlen der zweiten Zahlenklasse, entdeckt hatte, stellte sich die Frage, ob man mit diesem transfiniten Zählen tatsächlich die in anderen Zusammenhängen bekannten, aber nicht aufzählbaren Elemente von Mengen aufzählen könnte gewöhnlicher Sinn. Als erstes und wichtigstes Set dieser Art kam das Liniensegment in Frage. Diese Frage, ob sich die Punkte des Geradensegments, also die reellen Zahlen, mit den Zahlen der zweiten Zahlenklasse aufzählen lassen, ist das berühmte Kontinuumsproblem, das von Cantor formuliert, aber nicht gelöst wurde. In meinem Aufsatz "On the infinite" (1925) habe ich gezeigt, wie dieses Problem durch unsere Beweistheorie einer erfolgreichen Behandlung zugänglich wird.

Um zu zeigen, dass diese Kontinuumshypothese von Cantor ein ganz konkretes Problem der gewöhnlichen Analysis darstellt, erwähne ich weiter, dass sie wie folgt als Formel ausgedrückt werden kann:

wo, um abzukürzen, haben wir gesetzt

In dieser Formel kommt noch der Satz vor n, die der primitiven Variablen der zweiten Zahlenklasse zugeordnet ist. Dies kann aber vermieden werden, da die Zahlen der zweiten Zahlenklasse bekanntlich durch Wohlordnungen der Zahlenfolge dargestellt werden können, also durch bestimmte Funktionen, die zwei zahlentheoretische Variablen haben und die Werte 0 . annehmen und 1-in der Weise, dass der fragliche Satz die Form eines Satzes rein über Funktionen annimmt.

Die Grundzüge dieser Beweistheorie von mir habe ich schon bei verschiedenen Gelegenheiten dargelegt, in Kopenhagen [1922], hier in Hamburg [1922], in Leipzig [1922] und in Münster [1925] inzwischen ist viel gerügt worden gefunden und Einwände aller Art sind dagegen erhoben worden, was ich alles für so ungerecht halte, wie es nur sein kann. Einige dieser Punkte möchte ich nun erläutern.

Poincaréacute hat schon verschiedene Aussagen gemacht, die vor allem meinen Ansichten widersprechen, er hat die Möglichkeit eines Konsistenzbeweises für die arithmetischen Axiome von vornherein verneint und behauptet, die Konsistenz der Methode der mathematischen Induktion könne nur durch die induktive Methode selbst bewiesen werden. Aber wie meine Theorie zeigt, kommen bei der Begründung der Arithmetik zwei unterschiedliche rekursiv vorlaufende Methoden ins Spiel, nämlich zum einen die intuitive Konstruktion der ganzen Zahl als Zahl (der umgekehrt auch die Zerlegung einer beliebigen gegebenen Zahl oder die Zerlegung eines konkret gegebenen Arrays, das so konstruiert ist, wie es eine Zahl ist), d. h. inhaltliche Induktion, und andererseits die eigentliche formale Induktion, die auf dem Induktionsaxiom basiert und durch die allein die mathematische Variable kann ihre Rolle im formalen System spielen.

Poincaréacute kommt zu seiner irrigen Überzeugung, indem er nicht zwischen diesen beiden völlig unterschiedlichen Induktionsmethoden unterscheidet. Bedauerlicherweise hatte Poincaréacute, der ideenreichste und fruchtbarste Mathematiker seiner Generation, ein entschiedenes Vorurteil gegen Cantors Theorie, das ihn daran hinderte, sich eine gerechte Meinung von Cantors großartigen Vorstellungen zu bilden. Poincaréacute mußte unter diesen Umständen meine Theorie ablehnen, die übrigens damals nur in ihren völlig unzureichenden Anfangsstadien existierte. Aufgrund seiner Autorität übte Poincaréacute oft einen einseitigen Einfluss auf die jüngere Generation aus.

Meine Theorie wird aus unterschiedlichen Gründen von den Anhängern der Grundlagentheorie von Russell und Whitehead abgelehnt, die Principia Mathematica als definitiv zufriedenstellende Grundlage für die Mathematik.

Die Grundlagentheorie von Russell und Whitehead ist eine allgemeine logische Untersuchung von weitem Umfang. Aber die Grundlage, die es für die Mathematik liefert, beruht zunächst auf dem Axiom der Unendlichkeit und dann auf dem sogenannten Reduzierbarkeitsaxiom, und beide Axiome sind echte inhaltliche Annahmen, die nicht durch einen Konsistenzbeweis gestützt werden, sondern Annahmen deren Gültigkeit in der Tat zweifelhaft bleibt und die meine Theorie jedenfalls nicht verlangt.

In meiner Theorie hat Russells Reduzierbarkeitsaxiom sein Gegenstück in der Regel für den Umgang mit Funktionsvariablen. Aber Reduzierbarkeit wird in meiner Theorie nicht vorausgesetzt, sondern als kompensierbar anerkannt: Die Durchführung der Reduktion wäre nur dann erforderlich, wenn ein Widerspruchsbeweis gegeben wäre, und dann nach meiner Beweistheorie dies Reduktion würde immer gelingen.

Was nun die jüngsten Untersuchungen anbelangt, so freut es mich sicherlich am meisten, dass die Stiftungsforschung wieder so rege Anerkennung und Interesse gefunden hat. Wenn ich über den Inhalt und die Ergebnisse dieser Untersuchungen nachdenke, kann ich jedoch deren Tendenz, die ich empfinde, größtenteils nicht zustimmen. vielmehr sind sie weitgehend der Zeit hinterher, als kämen sie aus einer Zeit, in der Cantors majestätische Ideenwelt noch nicht entdeckt worden war.

Darin sehe ich auch den Grund, warum diese neueren Untersuchungen tatsächlich vor den großen Problemen der Grundlagentheorie stehen bleiben, etwa der Frage nach der Konstruktion von Funktionen, dem Beweis oder der Widerlegung der Cantorschen Kontinuumshypothese, der Frage ob alle mathematischen Probleme lösbar sind und ob Konsistenz und Existenz für mathematische Objekte äquivalent sind.

Von der heutigen Literatur über die Grundlagen der Mathematik nimmt die von Brouwer vertretene und als Intuitionismus bezeichnete Lehre den größten Teil ein. Nicht aus Neigung zur Polemik, sondern um meine Ansichten klar auszudrücken und irreführende Auffassungen meiner eigenen Theorie zu vermeiden, muss ich mich mit gewissen Behauptungen Brouwers genauer auseinandersetzen.

Brouwer erklärt (wie Kronecker zu seiner Zeit), dass Existenzaussagen an sich bedeutungslos sind, es sei denn, sie enthalten auch die Konstruktion des für ihn behaupteten existierenden Objekts, sie sind wertloses Skript, und ihre Verwendung führt dazu, dass die Mathematik zu ein Spiel.

Das Folgende mag als Beispiel dienen, das zeigt, dass ein bloßer Existenzbeweis, der mit der logischen e-Funktion durchgeführt wird, keineswegs ein Stück wertloses Skript ist.

Um eine Bemerkung von Gauß zu rechtfertigen, dass es für die Analysis überflüssig sei, über die mit sqrt(-1) gebildeten gewöhnlichen komplexen Zahlen hinauszugehen, führten Weierstrass und Dedekind Untersuchungen durch, die auch zur Formulierung und zum Beweis bestimmter Sätze führten. Vor einiger Zeit habe ich einen allgemeinen Satz (1896) über algebraische Formen aufgestellt, der eine reine Existenzaussage ist und von Natur aus nicht in eine Aussage über die Konstruierbarkeit umgewandelt werden kann. Allein durch die Verwendung dieses Existenzsatzes habe ich die langwierige und unklare Argumentation von Weierstrass und die hochkomplizierten Berechnungen von Dedekind vermieden und zusätzlich. Ich glaube, erst mein Beweis deckt den inneren Grund für die Gültigkeit der von Gauß angedeuteten und von Weierstraß und Dedekind formulierten Behauptungen auf.

Aber selbst wenn man mit der Konsistenz nicht zufrieden wäre und weitere Skrupel hätte, müsste man zumindest die Bedeutung des Konsistenzbeweises als allgemeine Methode anerkennen, endliche Beweise aus Beweisen allgemeiner Sätze zu erhalten - etwa über den Charakter des Fermatschen Satzes -, dass erfolgt über die e-Funktion.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten für den großen Satz von Fermat einen Beweis gefunden, in dem die logische Funktion e verwendet wird. Daraus könnten wir dann auf folgende Weise einen endlichen Beweis machen.

Nehmen wir an, Zahlen

Erfüllt die Fermat-Gleichung

gegeben sind, könnten wir diese Gleichung auch als beweisbare Formel erhalten, indem wir dem Verfahren, mit dem wir feststellen, daß die Zahlen a v + b v und c v übereinstimmen, die Form eines Beweises geben. Andererseits hätten wir nach unserer Annahme einen Beweis der Formel

erhält man durch Substitution und Inferenz. Daher beides

wäre nachweisbar. Dies kann aber, wie der Konsistenzbeweis endlich zeigt, nicht der Fall sein.

Die genannten Beispiele sind jedoch nur willkürlich ausgewählte Sonderfälle. Tatsächlich ist die Mathematik voll von Beispielen, die Brouwers Behauptungen über Existenzaussagen widerlegen.

Wie steht es nun wirklich um den Vorwurf, die Mathematik würde zum Spiel verkommen?

Die Quelle reiner Existenzsätze ist das logische c-Axiom, von dem wiederum die Konstruktion aller idealen Sätze abhängt. Und inwiefern war das so ermöglichte Formelspiel erfolgreich? Dieses Formelspiel ermöglicht es, den gesamten Gedankeninhalt der Mathematikwissenschaft einheitlich auszudrücken und so weiterzuentwickeln, dass gleichzeitig die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Aussagen und Tatsachen deutlich werden. Die universelle Forderung, dass jede einzelne Formel dann für sich selbst interpretierbar ist, ist keineswegs vernünftig, im Gegenteil, eine Theorie ist ihrem Wesen nach so, dass wir nicht inmitten irgendwelcher Argumente auf Intuition oder Bedeutung zurückgreifen müssen . Was der Physiker gerade von einer Theorie verlangt, ist, dass bestimmte Aussagen aus Naturgesetzen oder Hypothesen allein durch Schlüsse, also auf der Grundlage eines reinen Formelspiels, ohne Anführung von Fremdüberlegungen abgeleitet werden. Nur bestimmte Kombinationen und Konsequenzen der physikalischen Gesetze können experimentell überprüft werden – so wie in meiner Beweistheorie nur die reellen Sätze direkt verifizierbar sind. Der Wert reiner Existenzbeweise besteht gerade darin, dass die einzelne Konstruktion durch sie eliminiert wird und viele verschiedene Konstruktionen unter einen Grundgedanken subsumiert werden, so dass nur das für den Beweis Wesentliche deutlich hervortritt Kürze und Ökonomie des Denkens sind die raison d'étre von Existenzbeweisen. Tatsächlich waren reine Existenztheoreme die wichtigsten Meilensteine ​​in der historischen Entwicklung unserer Wissenschaft. Aber solche Überlegungen beunruhigen den frommen Intuitionisten nicht.

Das von Brouwer so missbilligte Formelspiel hat neben seinem mathematischen Wert eine wichtige allgemeine philosophische Bedeutung. Denn dieses Formelspiel wird nach bestimmten Regeln durchgeführt, bei denen die Technik unseres Denkens ausgedrückt wird. Diese Regeln bilden ein geschlossenes System, das entdeckt und definitiv festgelegt werden kann. Die Grundidee meiner Beweistheorie ist nichts anderes, als die Tätigkeit unseres Verstandes zu beschreiben, die Regeln zu protokollieren, nach denen unser Denken tatsächlich abläuft. Das Denken ist übrigens eine Parallele zum Sprechen und Schreiben: Wir bilden Aussagen und stellen sie hintereinander.Wenn irgendeine Gesamtheit von Beobachtungen und Phänomenen es verdient, Gegenstand einer ernsthaften und gründlichen Untersuchung zu sein, so ist es diese, denn schließlich gehört es zur Aufgabe der Wissenschaft, uns von Willkür, Gefühl und Gewohnheit zu befreien und schützen uns vor dem Subjektivismus, der sich bereits in Kroneckers Ansichten niedergeschlagen hat und, wie mir scheint, im Intuitionismus seinen Höhepunkt findet.

Die schärfste und leidenschaftlichste Herausforderung des Intuitionismus ist diejenige, die er an die Gültigkeit des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte wirft, im einfachsten Fall an die Gültigkeit der Folgerungsweise, nach der für jede Aussage, die eine zahlentheoretische Variable ist entweder die Behauptung für alle Werte der Variablen richtig oder es existiert eine Zahl, für die sie falsch ist. Das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte ist eine Folge des logischen c-Axioms und hat noch nie den geringsten Fehler verursacht. Zudem ist es so klar und nachvollziehbar, dass ein Missbrauch ausgeschlossen ist. Insbesondere das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte ist nicht im Geringsten für das Auftreten der bekannten Paradoxien der Mengenlehre verantwortlich, sondern diese Paradoxien sind lediglich auf die Einführung unzulässiger und bedeutungsloser Begriffe zurückzuführen, die automatisch von meinem ausgeschlossen werden Beweistheorie. Existenzbeweise, die mit Hilfe des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte durchgeführt werden, sind in der Regel wegen ihrer überraschenden Kürze und Eleganz besonders attraktiv. Das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte vom Mathematiker zu nehmen, wäre dasselbe, dem Astronomen das Fernrohr oder dem Boxer den Gebrauch seiner Fäuste zu verbieten. Existenzaussagen und das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte zu verbieten, bedeutet, die Wissenschaft der Mathematik ganz aufzugeben. Denn was würden die elenden Überreste, die vereinzelten, unvollständigen und beziehungslosen Ergebnisse, die die naiven Intuitionisten ohne den Gebrauch des logischen E-Axioms erzielten, im Vergleich mit der ungeheuren Ausdehnung der modernen Mathematik bedeuten? Die Sätze der Funktionentheorie, wie die Theorie der konformen Abbildung und die Fundamentalsätze der Theorie der partiellen Differentialgleichungen oder der Fourier-Reihen - um nur einige Beispiele aus unserer Wissenschaft herauszugreifen, sind in meinem Sinne lediglich Idealsätze pro und benötigen das logische E-Axiom für ihre Entwicklung.

Unter diesen Umständen wundert es mich, dass ein Mathematiker daran zweifeln sollte, dass das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte als Folgerungsweise strikt gültig ist. Umso mehr erstaunt es mich, dass sich, wie es scheint, inzwischen eine ganze Gemeinschaft von Mathematikern konstituiert hat, die dasselbe tun. Am meisten erstaunt mich, dass selbst in mathematischen Kreisen die Suggestionskraft eines einzelnen Menschen, noch so voller Temperament und Erfindungsreichtum, die unwahrscheinlichsten und exzentrischsten Wirkungen zu entfalten vermag.

Nicht einmal die Skizze meines Beweises von Cantors Kontinuumshypothese ist unkritisch geblieben. Ich möchte daher einige Bemerkungen zu diesem Beweis machen. .

Aus meinem Vortrag werden Sie erkennen, dass es der Konsistenzbeweis ist, der den effektiven Umfang meiner Beweistheorie bestimmt und im Allgemeinen ihren Kern ausmacht. Die Methode von W. Ackermann erlaubt noch eine weitere Erweiterung. Für die Grundlagen der gewöhnlichen Analysis ist sein Ansatz so weit entwickelt, dass nur noch die Aufgabe des rein mathematischen Endlichkeitsbeweises übrig bleibt. Ich möchte schon jetzt sagen, was das Endergebnis sein wird: Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft. Um sie zu gründen, brauche ich nicht Gott, wie Kronecker, oder die Annahme einer besonderen Fähigkeit unseres Verstandes, die auf das Prinzip der mathematischen Induktion eingestellt ist, wie Poincaréacute oder die Urintuition von Brouwer, oder endlich wie Russell und Whitehead, Axiome der Unendlichkeit, Reduzierbarkeit oder Vollständigkeit, die tatsächlich tatsächliche, inhaltliche Annahmen sind, die nicht durch Konsistenzbeweise kompensiert werden können.

Ich möchte noch anmerken, dass P. Bernays wieder mein treuer Mitarbeiter war. Er hat mich nicht nur ständig beratend unterstützt, sondern auch eigene Ideen und neue Sichtweisen eingebracht, so dass ich dies unsere gemeinsame Arbeit nennen möchte. Wir beabsichtigen, in Kürze eine ausführliche Darstellung der Theorie zu veröffentlichen.


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