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4.1: Systeme durch Graphik lösen - Mathematik


In diesem Abschnitt stellen wir eine grafische Technik zur Lösung von Systemen zweier linearer Gleichungen in zwei Unbekannten vor. Wie wir im vorigen Kapitel gesehen haben, liegt ein Punkt, der eine Gleichung erfüllt, auf dem Graphen der Gleichung. Wenn wir einen Punkt suchen, der zwei Gleichungen erfüllt, dann suchen wir einen Punkt, der auf den Graphen beider Gleichungen liegt; das heißt, wir suchen nach einem Schnittpunkt.

Betrachten Sie zum Beispiel die beiden Gleichungen:

[egin{aligned} x-3 y &=-9 2 x+3 y &=18 end{aligned} onumber ]

was heißt a lineares Gleichungssystem. Die Gleichungen sind lineare Gleichungen, weil ihre Graphen Linien sind, wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt. Beachten Sie, dass sich die beiden Linien in Abbildung (PageIndex{1}) im Punkt ((3,4)) schneiden. Daher sollte der Punkt ((3,4)) beide Gleichungen erfüllen. Lass uns das Prüfen.

Ersetzen Sie (3) für (x) und (4) für (y).

[egin{aligned} x-3 y &=-9 3-3(4) &=-9 3-12 &=-9 -9 &=-9 end{aligned} keine Nummer ]

Ersetzen Sie (3) für (x) und (4) für (y).

[egin{ausgerichtet} 2 x+3 y &=18 2(3)+3(4) &=18 6+12 &=18 18 &=18 end{ausgerichtet} onumber ]

Daher erfüllt der Punkt ((3,4)) beide Gleichungen und wird als Lösung des Systems bezeichnet.

Lösung eines linearen Systems

Ein Punkt ((x,y)) heißt Lösung eines Systems zweier linearer Gleichungen genau dann, wenn er beide Gleichungen erfüllt. Da ein Punkt eine Gleichung genau dann erfüllt, wenn er auf dem Graphen der Gleichung liegt, müssen wir zur grafischen Lösung eines linearen Gleichungssystems den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den gegebenen Gleichungen bestimmen.

Versuchen wir es mit einem Beispiel.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse das folgende Gleichungssystem: [3x+2y =12 y =x+1 label{system1}]

Lösung

Wir suchen den Punkt ((x,y)), der beide Gleichungen erfüllt; das heißt, wir suchen den Punkt, der auf dem Graphen beider Gleichungen liegt. Daher besteht der logische Ansatz darin, die Graphen beider Linien zu zeichnen und dann den Schnittpunkt zu identifizieren.

Bestimmen wir zunächst die (x)- und (y)-Achsenabschnitte von (3x +2y = 12).

Um den (x)-Achsenabschnitt zu finden, sei (y = 0).

[egin{aligned} 3 x+2 y &=12 3 x+2(0) &=12 3 x &=12 x &=4 end{aligned} onumber ]

Um den (y)-Achsenabschnitt zu finden, sei (x = 0).

[egin{aligned} 3 x+2 y &=12 3(0)+2 y &=12 2 y &=12 y &=6 end{aligned} onumber ]

Daher ist der (x)-Achsenabschnitt ((4,0)) und der (y)-Achsenabschnitt ((0,6)). Diese Achsenabschnitte sind in Abbildung (PageIndex{2}) eingezeichnet und die Linie (3x +2y = 12) wird durch sie gezogen.

Vergleichen wir die zweite Gleichung (y = x + 1) mit der Steigungsabschnittsform (y = mx + b), so sehen wir, dass die Steigung (m = 1) und der Schnittpunkt (( 0,1)). Zeichnen Sie den Achsenabschnitt ((0,1)), gehen Sie dann (1) nach oben und nach rechts (1) und zeichnen Sie dann die Linie (siehe Abbildung (PageIndex{3})).

Wir versuchen den Punkt zu finden, der auf beiden Linien liegt, also zeichnen wir beide Linien in das gleiche Koordinatensystem und beschriften jede mit ihrer Gleichung (siehe Abbildung (PageIndex{4})). Es scheint, dass sich die Linien im Punkt ((2,3) schneiden, was ((x,y) = (2 ,3)) zur Lösung von System im Beispiel (PageIndex{1}) macht. (siehe Abbildung (PageIndex{4})).

Prüfen: Um zu zeigen, dass ((x,y) = (2 ,3)) eine Lösung von System ef{system1} ist, müssen wir zeigen, dass wir wahre Aussagen erhalten, wenn wir (2) durch (x ) und (3) für (y) in beiden Gleichungen des Systems ef{system1}.

Einsetzen von (2) für (x) und (3) für (y) in (3x +2y = 12) erhalten wir:

[egin{aligned} 3 x+2 y &=12 3(2)+2(3) &=12 6+6 &=12 12 &=12 end{aligned} onumber ]

Somit erfüllt ((2,3)) die Gleichung (3x +2y = 12).

Indem wir (2) für (x) und (3) für (y) in (y = x + 1) einsetzen, erhalten wir:

[egin{array}{l}{y=x+1} {3=2+1} {3=3}end{array} onumber ]

Somit erfüllt ((2,3)) die Gleichung (y = x + 1).

Da ((2,3)) beide Gleichungen erfüllt, ist ((2,3)) eine Lösung des Systems ef{system1}.

Übung (PageIndex{1})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned} 2 x-5 y &=-10 y &=x-1 end{aligned} onumber ]

Antworten

((5,4))

Beispiel (PageIndex{2})

Löse das folgende Gleichungssystem: [3x-5y =-15 2x+y =-4 label{system2}]

Lösung

Wir suchen wieder den Punkt, der beide Gleichungen des Systems ef{system2} erfüllt. Daher müssen wir den Punkt finden, der auf den Graphen beider Linien liegt, die durch die Gleichungen des Systems ef{system2} dargestellt werden. Der Ansatz besteht darin, beide Linien grafisch darzustellen und dann die Koordinaten des Schnittpunkts anzunähern. Bestimmen wir zunächst die (x)- und (y)-Achsenabschnitte von (3x−5y = −15).

Um den (x)-Achsenabschnitt zu finden, sei (y = 0).

[egin{ausgerichtet} 3 x-5 y &=-15 3 x-5(0) &=-15 3 x &=-15 x &=-5 end{ausgerichtet} keine Nummer ]

Um den (y)-Achsenabschnitt zu finden, sei (x=0).

[egin{ausgerichtet} 3 x-5 Jahre &=-15 3(0)-5 Jahre &=-15 -5 Jahre &=-15 Jahre &=3 end{ausgerichtet} keine Nummer ]

Daher ist der (x)-Achsenabschnitt ((−5,0)) und der (y)-Achsenabschnitt ((0,3)). Diese Achsenabschnitte sind in Abbildung (PageIndex{5}) eingezeichnet und die Linie (3x−5y = −15) wird durch sie gezogen.

Als nächstes bestimmen wir die Achsenabschnitte der zweiten Gleichung (2x + y = −4).

Um den (x)-Achsenabschnitt zu finden, sei (y = 0).

[egin{aligned} 2 x+y &=-4 2 x+0 &=-4 2 x &=-4 x &=-2 end{aligned} onumber ]

Um den (y)-Achsenabschnitt zu finden, sei (x = 0).

[ egin{aligned} 2 x+y &=-4 2(0)+y &=-4 y &=-4 end{aligned} onumber ]

Daher ist der (x)-Achsenabschnitt ((−2,0)) und der (y)-Achsenabschnitt ((0,−4)). Diese Achsenabschnitte sind in Abbildung (PageIndex{6}) eingezeichnet und die Linie (2x + y =−4) wird durch sie gezogen.

Um die Lösung von System ef{system2} zu finden, müssen wir beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem zeichnen und die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmen. Im Gegensatz zu Beispiel (PageIndex{1}) müssen wir uns in diesem Fall mit einer Annäherung dieser Koordinaten begnügen. Es scheint, dass die Koordinaten des Schnittpunktes ungefähr ((−2.6,1.4)) sind (siehe Abbildung (PageIndex{7})).

Prüfen: Da wir nur eine Näherung der Lösung des Systems haben, können wir nicht erwarten, dass die Lösung in jeder Gleichung genau überprüft wird. Wir hoffen jedoch, dass die Lösung ungefähr prüft.

Setze ((x,y)=(−2.6,1.4)) in die erste Gleichung des Systems ef{system2} ein.

[egin{ausgerichtet} 3 x-5 y &=-15 3(-2,6)-5(1,4) &=-15 -7,8-7 &=-15 -14,8 &=-15 end{ausgerichtet} onumber ]

Beachten Sie, dass ((x,y)=(−2.6,1.4)) nicht genau prüft, aber es ist ziemlich nah dran, eine wahre Aussage zu sein.

Setze ((x,y)=(−2.6,1.4)) in die zweite Gleichung des Systems ef{system2} ein.

[egin{ausgerichtet} 2 x+y=-4 2(-2,6)+1.4=-4 -5.2+1.4=-4 -3.8=-4 end{ausgerichtet} onumber ]

Beachten Sie auch hier, dass ((x,y)= (−2.6,1.4)) nicht genau überprüft, aber einer wahren Aussage ziemlich nahe kommt.

Notiz

Später in diesem Abschnitt werden wir lernen, wie Sie das Intersect-Dienstprogramm auf dem Grafikrechner verwenden, um eine viel genauere Annäherung an die tatsächliche Lösung zu erhalten. Dann zeigen wir in Abschnitt 4.2 und Abschnitt 4.3, wie Sie die genaue Lösung finden.

Übung (PageIndex{2})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned}-4 x-3 y &=12 x-2 y &=-2 end{aligned} onumber]

Antworten

((−2.7,−0.4))

Ausnahmefällen

In den meisten Fällen werden sich die Graphen von zwei Linien in genau einem Punkt schneiden. Aber es gibt zwei Ausnahmen von diesem allgemeinen Szenario.

Beispiel (PageIndex{3})

Löse das folgende Gleichungssystem: [2x+3y=62x+3y=-6 label{system3}]

Lösung

Lassen Sie uns jede Gleichung in eine Steigungsabschnittsform bringen, indem wir jede Gleichung nach (y) lösen.

Löse (2x +3y = 6) nach (y):

[egin{ausgerichtet} 2 x+3 y &=6 2 x+3 y-2 x &=6-2 x 3 y &=6-2 x dfrac{3 y}{ 3} &=dfrac{6-2 x}{3} y &=-dfrac{2}{3} x+2 end{ausgerichtet} onumber]

Löse (2x +3y =−6) nach (y):

[egin{ausgerichtet} 2 x+3 y &=-6 2 x+3 y-2 x &=-6-2 x 3 y &=-6-2 x dfrac{3 y}{3} &=dfrac{-6-2 x}{3} y &=-dfrac{2}{3} x-2 end{ausgerichtet} onumber]

Ein Vergleich von (y =(−2/3)x+2) mit der Steigungsabschnittsform (y = mx+b) sagt uns, dass die Steigung (m = −2/3) ist und sie- Schnittpunkt ist ((0,2)). Zeichnen Sie den Achsenabschnitt ((0,2)), gehen Sie dann (2) Einheiten nach unten und (3) Einheiten nach rechts und zeichnen Sie die Linie (siehe Abbildung (PageIndex{8})).

Ein Vergleich von (y =( −2/3)x − 2) mit der Steigungsabschnittsform (y = mx + b) sagt uns, dass die Steigung (m = −2/3) ist und sie- Achsenabschnitt ist ((0,−2)). Zeichnen Sie den Achsenabschnitt ((0 ,−2), gehen Sie dann (2) Einheiten nach unten und (3) nach rechts und zeichnen Sie die Linie (siehe Abbildung (PageIndex{9})).

Um die Lösung von System ef{system3} zu finden, zeichnen Sie beide Linien auf das gleiche Koordinatensystem (siehe Abbildung (PageIndex{10})). Beachten Sie, wie die Linien parallel erscheinen (sie schneiden sich nicht). Die Tatsache, dass beide Geraden die gleiche Steigung (−2/3) haben, bestätigt unsere Vermutung, dass die Geraden parallel sind. Beachten Sie jedoch, dass die Linien unterschiedliche (y)-Achsenabschnitte haben. Daher betrachten wir zwei parallele, aber unterschiedliche Linien (siehe Abbildung (PageIndex{10})), die sich nicht schneiden. Daher hat System ef{system3} keine Lösung.

Übung (PageIndex{3})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned} x-y &=3 -2 x+2 y &=4 end{aligned} onumber ]

Antworten

Keine Lösung.

Beispiel (PageIndex{4})

Löse das folgende Gleichungssystem: [x-y=3 -2 x+2 y=-6 label{system4}]

Lösung

Lösen wir beide Gleichungen nach (y).

Löse (x−y = 3) nach (y):

[egin{ausgerichtet} xy &=3 xyx &=3-x -y &=-x+3 -1(-y) &=-1(-x+3) y &=x-3 end{ausgerichtet} onumber ]

Löse (−2x +2y =−6) nach (y):

[egin{ausgerichtet}-2 x+2 y &=-6 -2 x+2 y+2 x &=-6+2 x 2 y &=2 x-6 dfrac{ 2 y}{2} &=dfrac{2 x-6}{2} y &=x-3 end{ausgerichtet} onumber ]

Beide Geraden haben die Steigung (m = 1), und beide haben den gleichen (y)-Achsenabschnitt ((0,−3)). Daher sind die beiden Zeilen identisch (siehe Abbildung (PageIndex{11})). System ef{system4} hat also unendlich viele Schnittpunkte. Jeder Punkt auf einer der Linien ist eine Lösung des Systems. Beispiele für Schnittpunkte (Lösungen, die beide Gleichungen erfüllen) sind ((0,−3)), ((1,−2)) und ((3,0)).

Alternative Lösung:

Ein viel einfacherer Ansatz ist zu beachten, dass wir, wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung (−2x +2y = −6) durch (−2) teilen, erhalten:

[egin{aligned} -2x+2y &= -6 quad {color {Red} ext { Zweite Gleichung im System }} ef{system4}. dfrac{-2 x+2 y}{-2} &= dfrac{-6}{-2} quad color {Rot} ext { Beide Seiten teilen durch }-2 dfrac{ -2 x}{-2}+dfrac{2 y}{-2} &= dfrac{-6}{-2} quad color {Rot} ext { Verteilen}-2 xy &= 3 quad color {Rot} ext { Vereinfachen. } end{ausgerichtet} onumber ]

Daher ist die zweite Gleichung im System ef{system4} identisch mit der ersten. Somit gibt es unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf einer der Geraden ist eine Lösung.

Übung (PageIndex{4})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned}-6 x+3 y &=-12 2 x-y &=4 end{aligned} onumber ]

Antworten

Es gibt unendlich viele Lösungen. Die Linien sind identisch, daher ist jeder Punkt auf beiden Linien eine Lösung.

Die Beispiele (PageIndex{1}), (PageIndex{2}), (PageIndex{3}) und (PageIndex{4}) führen uns zu folgendem Schluss.

Anzahl der Lösungen eines linearen Systems

Bei einem System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten gibt es nur drei Möglichkeiten:

  1. Es gibt genau eine Lösung.
  2. Es gibt keine Lösungen.
  3. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Systeme mit dem Grafikrechner lösen

Wir haben bereits Erfahrung mit der grafischen Darstellung von Gleichungen mit dem Grafikrechner. Wir haben auch den TRACE-Button verwendet, um Schnittpunkte zu schätzen. Der Grafikrechner verfügt jedoch über ein viel ausgefeilteres Werkzeug zum Auffinden von Schnittpunkten. Im nächsten Beispiel verwenden wir den Grafikrechner, um die Lösung von System ef{system1} von Beispiel (PageIndex{1}) zu finden.

Beispiel (PageIndex{5})

Verwenden Sie den Grafikrechner, um das folgende Gleichungssystem zu lösen: [3x+2y=12 y=x+1 label{system5} ]

Lösung

Um eine Gleichung in die einzugeben Y= Menü, muss die Gleichung zuerst nach (y) gelöst werden. Daher müssen wir zuerst (3x +2y = 12) nach (y) auflösen.

[egin{aligned} 3x+2y &=12 quad color {Rot} ext { Originalgleichung. } 2y &= 12-3x quad color {Rot} ext { Subtrahiere } 3x ext { von beiden Seiten der Gleichung. } dfrac{2y}{2} &= dfrac{12-3 x}{2} quad color {Rot} ext { Beide Seiten teilen durch } 2 y &= dfrac{12} {2}-dfrac{3 x}{2} quad color {Rot} ext { Auf der linken Seite vereinfachen. Rechts } y &= 6-dfrac{3}{2} x quad color {Rot} ext { Vereinfachen. } end{ausgerichtet}]

Wir können nun beide Gleichungen des Systems ef{system5} in die Y= Menü (siehe Abbildung (PageIndex{12})).

Auswählen 6:ZStandard aus dem ZOOM-Menü, um die in Abbildung (PageIndex{13}) gezeigten Grafiken zu erzeugen.

Die Frage lautet nun: „Wie berechnen wir die Koordinaten des Schnittpunktes?“ Schauen Sie auf Ihr Taschenrechnergehäuse direkt über der TRACE-Schaltfläche in der oberen Reihe der Schaltflächen, wo Sie das Wort CALC sehen, das in derselben Farbe wie das gemalt ist 2. Schlüssel. Drücken Sie die 2. Taste, dann die TRACE-Taste, die das BERECHNUNG Menü in Abbildung (PageIndex{14}).

Notiz

Wenn der Rechner "Erste Kurve", "Zweite Kurve" fragt, wenn nur zwei Kurven auf dem Bildschirm angezeigt werden, kann das nervig erscheinen. Stellen Sie sich jedoch die Situation vor, in der drei oder mehr Kurven auf dem Bildschirm angezeigt werden. Dann machen diese Fragen Sinn. Sie können Ihre Auswahl von „Erste Kurve“ oder „Zweite Kurve“ ändern, indem Sie den Cursor mit den Auf- und Ab-Pfeiltasten zu einer anderen Kurve bewegen.

Auswählen 5: schneiden. Das Ergebnis ist in Abbildung (PageIndex{15}) dargestellt. Der Rechner hat den Cursor auf die Kurve (y =6−(3/2)x) gesetzt (siehe obere linke Ecke Ihres Bildschirms), und in der unteren linken Ecke fragt der Rechner Sie, ob Sie verwenden möchten die ausgewählte Kurve als „Erste Kurve“. Antworten Sie mit „Ja“, indem Sie die Taste drücken EINTRETEN Taste.

Der Rechner reagiert wie in Abbildung (PageIndex{16}) gezeigt. Der Cursor springt auf die Kurve (y = x + 1) (siehe obere linke Ecke Ihres Sichtfensters) und in der unteren linken Ecke fragt Sie der Rechner, ob Sie die ausgewählte Kurve als „Zweite Kurve“ verwenden möchten .“ Antworten Sie mit „ja“, indem Sie die . drücken EINTRETEN Schlüssel wieder.

Der Rechner reagiert wie in Abbildung (PageIndex{17} gezeigt) und fragt Sie nach „Raten“. Lassen Sie in diesem Fall den Cursor stehen und drücken Sie die EINTRETEN Drücken Sie die Taste erneut, um dem Taschenrechner zu signalisieren, dass Sie die aktuelle Cursorposition schätzen.

Das Ergebnis des Pressens EINTRETEN auf die „Rate“-Frage in Abbildung (PageIndex{17}) zeigt Abbildung (PageIndex{18}), wo der Rechner nun eine Annäherung an die Koordinaten des Schnittpunktes am unteren Rand liefert bottom des Sichtfensters. Beachten Sie, dass der Rechner den Cursor auf den Schnittpunkt in Abbildung (PageIndex{17}) gesetzt hat und meldet, dass die ungefähren Koordinaten des Schnittpunkts ((2,3)) sind.

Notiz

Wenn wir in späteren Abschnitten den Schnittpunkt zweier Graphen mit mehr als einem Schnittpunkt untersuchen, wird das Schätzen wichtiger. In diesen zukünftigen Fällen müssen wir den Cursor mit den Links- und Rechtspfeiltasten in die Nähe des Schnittpunkts bewegen, den der Taschenrechner finden soll.

Melden Sie Ihre Lösung bei Ihren Hausaufgaben. Befolgen Sie beim Berichten Ihrer Lösung auf Ihrem Hausaufgabenpapier die Richtlinien für die Einreichung von Taschenrechnern aus Kapitel 3, Abschnitt 2. Machen Sie eine genaue Kopie des Bildes, das in Ihrem Anzeigefenster angezeigt wird. Beschriften Sie Ihre Achsen (x) und (y). Geben Sie am Ende jeder Achse den entsprechenden Wert von (mathrm{Xmin}, mathrm{Xmax}, mathrm{Ymin}) und (mathrm{Ymax}) in das . Ihres Taschenrechners ein FENSTER Speisekarte. Verwenden Sie ein Lineal, um die Linien zu zeichnen und jede mit ihren Gleichungen zu beschriften. Schließlich beschriften Sie den Schnittpunkt mit seinen Koordinaten (siehe Abbildung (PageIndex{19})). Sofern nicht anders angegeben, melden Sie immer jede einzelne Ziffer, die auf Ihrem Taschenrechner angezeigt wird.

Übung (PageIndex{5})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned} 2 x-5 y &=9 y &=2 x-5 end{aligned} onumber ]

Antworten

((2,-1))

Manchmal müssen Sie die Parameter im FENSTER Menü so, dass der Schnittpunkt im Ansichtsfenster sichtbar ist.

Beispiel (PageIndex{6})

Verwenden Sie den Grafikrechner, um eine ungefähre Lösung des folgenden Systems zu finden: [y=-dfrac{2}{7} x+7 y=dfrac{3}{5} x-5 label{system6} ]

Lösung

Jede Gleichung des Systems ef{system6} ist bereits nach (y) gelöst, also können wir direkt fortfahren und sie in die Y= Menü, wie in Abbildung (PageIndex{20}) gezeigt. Auswählen 6:ZStandard von dem ZOOMEN Menü, um das in Abbildung (PageIndex{21}) gezeigte Bild zu erzeugen.

Offensichtlich befindet sich der Schnittpunkt rechts außerhalb des Bildschirms, also müssen wir den Wert von (mathrm{Xmax}) erhöhen (setze (mathrm{Xmax}=20)) wie in shown gezeigt Abbildung (PageIndex{22}). Sobald Sie diese Änderung in (mathrm{Xmax}) vorgenommen haben, drücken Sie die GRAPH um das in Abbildung (PageIndex{23}) gezeigte Bild zu erzeugen.

Nachdem der Schnittpunkt im Sichtfenster sichtbar ist, drücken Sie 2. BERECHNUNG und wählen Sie 5: schneiden aus dem Menü BERECHNUNG (siehe Abbildung (PageIndex{24})). Drücken Sie dreimal hintereinander auf die EINTRETEN Taste, um auf „Erste Kurve“, „Zweite Kurve“ und „Raten“ zu reagieren. Der Rechner antwortet mit dem Bild in Abbildung (PageIndex{25}). Somit ist die Lösung von System ef{system6} näherungsweise ((x,y) ≈ (13.54837,3.1290323)).

(color {Rot}Warnung!)

Ihr Rechner ist eine Näherungsmaschine. Es ist sehr wahrscheinlich, dass Ihre Lösungen an den letzten (2-3) Stellen geringfügig von der in Abbildung (PageIndex{25}) dargestellten Lösung abweichen.

Melden Sie Ihre Lösung bei Ihren Hausaufgaben:

Befolgen Sie beim Berichten Ihrer Lösung in Ihrer Hausaufgabe die Richtlinien für die Einreichung von Taschenrechnern aus Kapitel 3, Abschnitt 2. Beschriften Sie schließlich den Schnittpunkt mit seinen Koordinaten (siehe Abbildung (PageIndex{26})). Sofern nicht anders angegeben, melden Sie immer jede einzelne Ziffer, die auf Ihrem Taschenrechner angezeigt wird.

Übung (PageIndex{6})

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[egin{aligned} y &= dfrac{3}{2} x+6 y &= -dfrac{6}{7} x-4end{aligned} onumber ]

Antworten

((-4.2,-0.4))


Gewusst wie: Lösen Sie ein Gleichungssystem durch grafische Darstellung

Dieses Video zeigt dem Betrachter, wie man simultane Gleichungen mit einem Graphen oder "Graphen" löst, wie es genannt wird. Dies geschieht, indem zuerst beide Gleichungen so umgeordnet werden, dass y das Objekt beider Gleichungen ist. Die Gleichungen können dann durch Substitution gelöst werden – das Video behandelt dies nicht. Der nächste Schritt besteht darin, beide Linien auf dem Diagramm zu zeichnen. Dies kann durch Ersetzen unterschiedlicher Werte von x erfolgen, um die y-Koordinaten zu erhalten. Die Lösung der linearen Gleichung sollte der Punkt sein, an dem sich die beiden Geraden kreuzen.
Weitere Informationen zum Lösen simultaner Gleichungen mithilfe eines Graphen finden Sie im Video.

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Durch Graphik lösen

Geometrisch besteht ein lineares System aus zwei Geraden, wobei eine Lösung ein Schnittpunkt ist. Um dies zu veranschaulichen, zeichnen wir das folgende lineare System mit einer Lösung von (3, 2):

Schreiben Sie zunächst die Gleichungen in Steigungs-Achsen-Form um, damit wir sie leicht grafisch darstellen können.

Als nächstes ersetzen Sie diese Formen der ursprünglichen Gleichungen im System, um ein sogenanntes äquivalentes System zu erhalten. Ein System, das aus äquivalenten Gleichungen besteht, die denselben Lösungssatz teilen. . Äquivalente Systeme teilen sich den gleichen Lösungssatz.

Wenn wir beide Geraden auf derselben Achsenmenge grafisch darstellen, können wir sehen, dass der Schnittpunkt tatsächlich (3, 2) ist, die Lösung des Systems.

Zusammenfassend bestehen die in diesem Abschnitt beschriebenen linearen Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit jeweils zwei Variablen. Eine Lösung ist ein geordnetes Paar, das einem Punkt entspricht, an dem sich die beiden Geraden in der rechtwinkligen Koordinatenebene schneiden. Daher können wir lineare Systeme lösen, indem wir beide Linien auf demselben Achsensatz grafisch darstellen und den Punkt bestimmen, an dem sie sich kreuzen. Achten Sie beim Zeichnen der Linien darauf, einen guten Maßstab zu wählen und verwenden Sie ein Lineal, um die Linie durch die Punkte zu ziehen. Genauigkeit ist hier sehr wichtig. Die Schritte zum Lösen linearer Systeme unter Verwendung der grafischen Methode Ein Mittel zum Lösen eines Systems durch grafische Darstellung der Gleichungen auf demselben Achsensatz und Bestimmen, wo sie sich schneiden. sind im folgenden Beispiel skizziert.

Beispiel 2: Lösen Sie grafisch auf: < x − y = − 4 2 x + y = 1 .

Schritt 1: Schreiben Sie die linearen Gleichungen in Steigungsabschnittsform um.

Schritt 2: Schreiben Sie das äquivalente System und zeichnen Sie die Linien auf demselben Achsensatz.

Schritt 3: Verwenden Sie den Graphen, um den Punkt zu schätzen, an dem sich die Linien schneiden, und prüfen Sie, ob er das ursprüngliche System löst. In der obigen Grafik scheint der Schnittpunkt (−1, 3) zu sein.

Beispiel 3: Durch grafisches Auflösen lösen: < 2 x + y = 2 − 2 x + 3 y = − 18 .

Lösung: Wir lösen zunächst jede Gleichung nach ja um ein äquivalentes System zu erhalten, bei dem die Linien in Form von Steigungsabschnitten vorliegen.

Zeichnen Sie die Linien und bestimmen Sie den Schnittpunkt.

Beispiel 4: Grafisch lösen: < 3 x + y = 6 y = − 3 .

Die grafische Methode zur Lösung linearer Systeme ist nicht ideal, wenn die Lösung aus Koordinaten besteht, die keine ganzen Zahlen sind. In den kommenden Abschnitten wird es genauere algebraische Methoden geben, aber vorerst besteht das Ziel darin, die bei der Lösung von Systemen beteiligte Geometrie zu verstehen. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Lösungen eines Systems dem oder den Punkten entsprechen, an denen sich die Graphen der Gleichungen schneiden.

Versuche dies! Durch grafisches Auflösen lösen: < − x + y = 6 5 x + 2 y = − 2 .

Videolösung


4.1: Systeme durch Graphik lösen - Mathematik

Lineare Gleichungssysteme: Graphik (Seite 2 von 7)

Wenn Sie Gleichungssysteme (linear oder anderweitig) lösen, finden Sie in Bezug auf die mit den Gleichungen verwandten graphischen Linien alle Schnittpunkte dieser Linien.

Für zweivariable lineare Gleichungssysteme gibt es dann drei mögliche Lösungstypen der Systeme, die drei verschiedenen Typen von Graphen zweier Geraden entsprechen.

Diese drei Fälle werden im Folgenden veranschaulicht:

Der erste Graph oben, "Fall 1", zeigt zwei verschiedene nicht parallele Linien, die sich an genau einem Punkt kreuzen. Dies wird als "unabhängiges" Gleichungssystem bezeichnet, und die Lösung ist immer etwas x,ja -Punkt.

Unabhängiges System:
ein Lösungspunkt

Das zweite obige Diagramm, "Fall 2", zeigt zwei verschiedene parallele Linien. Da sich parallele Geraden nie kreuzen, kann es keinen Schnittpunkt geben, dh für ein Gleichungssystem, das sich als parallele Geraden darstellt, kann es keine Lösung geben. Dies wird als "inkonsistentes" Gleichungssystem bezeichnet und hat keine Lösung.

Unabhängiges System:
eine Lösung und
ein Schnittpunkt

Inkonsistentes System:
keine Lösung und
kein Schnittpunkt

Das dritte Diagramm oben, "Fall 3", scheint nur eine Linie zu zeigen. Eigentlich ist es dieselbe Linie, die zweimal gezogen wird. Diese "zwei" Linien, die wirklich dieselbe Linie sind, "schneiden" sich an jedem Punkt ihrer Länge. Dies wird als "abhängiges" System bezeichnet, und die "Lösung" ist die gesamte Zeile.

Unabhängiges System:
eine Lösung und
ein Schnittpunkt

Inkonsistentes System:
keine Lösung und
kein Schnittpunkt

Abhängiges System:
die lösung ist die
ganze Zeile

Dies zeigt, dass ein Gleichungssystem eine Lösung haben kann (eine bestimmte x,ja -Punkt), überhaupt keine Lösung oder eine unendliche Lösung (alle Lösungen der Gleichung). Sie werden nie ein System mit zwei oder drei Lösungen haben, es wird immer eine, keine oder unendlich viele sein.

Wahrscheinlich ist die erste Methode, die Sie zum Lösen von Gleichungssystemen sehen werden, das "Auflösen durch grafische Darstellung". Achtung: Sie müssen diese Probleme mit Vorsicht nehmen. Die einzige Möglichkeit, die Lösung aus dem Graphen zu finden, ist WENN Du zeichnest ein sehr ordentliches Achsensystem, WENN Du zeichnest sehr saubere Linien, WENN die Lösung ist zufällig ein Punkt mit schönen ganzzahligen Koordinaten, und WENN die Linien sind nicht annähernd parallel. Copyright & Kopie Elizabeth Stapel 2003-2011 Alle Rechte vorbehalten


Wenn sich die Linien beispielsweise in einem flachen Winkel kreuzen, kann es fast unmöglich sein, zu erkennen, wo sich die Linien kreuzen.

Und wenn der Schnittpunkt kein ordentliches Paar ganzer Zahlen ist, sind alle Wetten falsch.

(Kannst du am Anschauen erkennen, dass die angezeigte Lösung Koordinaten hat?
von (&ndash4.3, &ndash0.95) ? Nein? Dann siehst du meinen Punkt.)

Auf der positiven Seite, da sie gezwungen sein werden, Ihnen schöne, saubere Lösungen für Probleme mit der "grafischen Darstellung" zu geben, werden Sie in der Lage sein, die richtigen Antworten zu erhalten solange du sehr ordentlich grafierst. Zum Beispiel:

    Lösen Sie das folgende System grafisch auf.

2x &ndash 3ja = &ndash2
4
x + ja = 24

Ich weiß, dass ich eine ordentliche Grafik brauche, also schnappe ich mir mein Lineal und fange an. Zuerst löse ich jede Gleichung nach " ja= ", damit ich leicht grafisch darstellen kann:

2x &ndash 3ja = &ndash2
2x + 2 = 3ja
(2/3)x + (2/3) = ja

4x + ja = 24
ja = &ndash4x + 24

Die zweite Linie lässt sich einfach mit der Steigung und dem Achsenabschnitt darstellen, aber ich benötige ein T-Diagramm für die erste Linie.


Lösen von Gleichungssystemen durch graphische Darstellung - Problem 1

Um ein Gleichungssystem grafisch zu lösen, stellen Sie jede Gleichung grafisch dar und identifizieren Sie den Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems – hier sind die x- und y-Werte der beiden Gleichungen gleich. Überprüfen Sie die Lösung, indem Sie die Werte in jede Gleichung einsetzen. Wenn die Gleichungen wahr sind, also die beiden Seiten der Gleichungen gleich sind, dann ist die Lösung richtig.

Dies ist das Gleichungssystem, das ich grafisch lösen soll. Das bedeutet, dass ich beide Linien grafisch darstellen und herausfinden muss, wo sie sich kreuzen. Das Problem forderte mich jetzt auch auf, meine Lösung zu überprüfen. Sobald ich also den Punkt gefunden habe, den ich für richtig halte, werde ich diese Werte wieder in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob ich Gleichheiten erhalte.

Also machen wir's. Das erste, was ich tun werde, weil ich eine visuelle Person bin, die Farbe mag, werde ich festlegen, dass diese erste Gleichung in Rot und die zweite Gleichung in Blau dargestellt werden. Das kann mir vielleicht helfen, den Überblick zu behalten, welche Linie welche ist. Okay, für diese Linie werde ich den ersten Punkt am y-Achsenabschnitt bei 4 setzen, von dort aus zähle ich die Steigung 1 über 1 hoch.

Mein erster Punkt liegt am y-Schnittpunkt bei 4, von dort aus zähle ich die Steigung, die 1 über 1 ist. Ich werde ein paar verschiedene Punkte in beide Richtungen machen, damit ich sicherstellen kann, dass mein Diagramm funktioniert sei präzise. Nochmals, Leute, es ist absolut wichtig, dass Sie beim Lösen von Systemen durch grafische Darstellungen genau sind, sonst erhalten Sie den falschen Schnittpunkt, die falsche Antwort. Okay, da ist meine rote Linie.

Meine nächste Zeile ist ein bisschen anders. Ich möchte meinen ersten Punkt auf den y-Achsenabschnitt von 1 setzen, von dort aus zähle ich die Steigung 4 über 1 nach rechts. Also los geht's, beginnend bei 1 ist mein erster Punkt. Von dort aus zähle ich aufwärts 4, richtig 1. 1, 2, 3, 4 richtig 1. 1, 2, 3, 4 richtig 1. 1, 2, 3, 4 richtig oops 1, 2, 3, 4 richtig 1 ok. Machen Sie ein paar Punkte, damit Sie sicherstellen können, dass Ihr Diagramm richtig ist. Verwenden Sie Ihr Lineal absolut, unbedingt, um zu zeichnen und dann herauszufinden, wo sich die Linien kreuzen.

Der springende Punkt beim Lösen eines Gleichungssystems ist die Suche nach der Lösung. Die Lösung ist der Punkt, an dem sich die Linien kreuzen, oder sie schneiden sich und schneiden bedeutet kreuzen. Schauen wir uns hier den Punkt an, an dem sich diese Linien kreuzen, 1, 2, 2, 3, 4, 5 (1,5). Ich denke, das ist meine Antwort. Lassen Sie uns die Substitution noch einmal überprüfen, um sicherzustellen, dass dies richtig ist.

Zuerst möchte ich in der roten Gleichung sehen, ob meine y-Zahl gleich meiner x-Zahl plus 4 ist. Stimmt es also, dass 5 gleich 1 plus 4 ist? Ja, sie sind gleich gut, also funktioniert das in der ersten Gleichung, aber um eine Lösung zu sein, muss es in beiden funktionieren, also bin ich noch nicht fertig mit dem Überprüfen. Schauen wir uns die blaue Gleichung an. Mal sehen, ob ich eine Gleichheit erhalte, wenn ich meinen Standpunkt einsetze, den ich für richtig halte. Stimmt es, dass 5 gleich 4 mal 1 plus 1 ist? Ja, süß, großartig, das sagt mir, dass ich es richtig gemacht habe, da der Punkt eine Lösung für diese beiden ursprünglichen Gleichungen ist. Das ist gut, denn ich mag es nicht, Grafiken zu erstellen und ich möchte diesen Typen nicht noch einmal machen müssen.

Stellen Sie sicher, dass Sie beim ersten Mal genau sind. Ich spiele hier nicht, Sie müssen Millimeterpapier verwenden und Sie müssen ein Lineal verwenden, sonst bekommen Sie diese nicht, um beide richtig auszuchecken.


Lösen von Gleichungssystemen durch graphische Darstellung - Konzept

Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, die dieselben Variablen enthalten. Gleichungssysteme durch graphische Darstellung lösen ist eine Methode, um den Punkt zu finden, der eine Lösung für beide (oder alle) Originalgleichungen ist. Neben dem Lösen von Gleichungssystemen durch graphische Darstellung umfassen andere Methoden zum Finden der Lösung von Gleichungssystemen Substitution, Elimination und Matrizen.

Ein Gleichungssystem in Ihrem Algebra-Eins-Kurs wird zwei verschiedene Gleichungen mit zwei Variablen beinhalten. Eine Möglichkeit, sie zu lösen oder den Punkt zu finden, der eine Lösung in beiden Gleichungen ist, besteht darin, sie grafisch darzustellen und zu suchen, wo sich die Linien kreuzen.
Was also bei Ihren Hausaufgaben passieren wird, ist, dass Sie zwei Linien erhalten, Sie müssen beide grafisch darstellen und herausfinden, wo sie sich kreuzen, wonach das Problem fragt.
Einige Dinge sind zu beachten: Die meisten Leute können als Erstes am effektivsten grafisch darstellen, wenn die Linien in der Form y=mx+b vorliegen. Sie beginnen beim y-Achsenabschnittsgraphen die Steigung von dort. Für viele Leute ist dies die einfachste Methode, Grafiken zu erstellen, aber Sie können auch Achsenabschnitte verwenden oder eine Wertetabelle erstellen, wenn Sie kein guter Grafiker sind. Denken Sie auch daran, dass Sie nach dem Punkt suchen, an dem sich die Linien kreuzen. Sie müssen also genau sein, wenn Ihr Lehrer Ihnen nicht gesagt hat, dass Sie Millimeterpapier verwenden sollen. Denn wenn Sie Ihr Diagramm betrachten und versuchen zu zählen, wo sich die Linien kreuzen, und wenn Sie nur Notizbuchpapier haben, werden Sie nicht sehr genau sein. Bitte stellen Sie daher bitte sicher, dass Sie für diese Probleme Millimeterpapier verwenden.
In der gleichen Weise müssen Sie ein Lineal verwenden, es führt kein Weg daran vorbei. Wenn Sie die richtige Antwort erhalten möchten, müssen Ihre Linien präzise sein, sie müssen genau genau gerade sein. Wenn Sie all das können, sind Sie in der Lage, Probleme zu lösen, bei denen Sie Gleichungssysteme grafisch darstellen und die Lösung finden.


Lass uns anfangen

Lassen Sie uns untersuchen, wie Sie die Lösung eines Systems linearer Gleichungen grafisch bestimmen. Sie lernen die verschiedenen möglichen Lösungsszenarien kennen und wie Sie diese Lösung überprüfen können.

TEKS-Standards und Erwartungen der Studenten

A(3) Lineare Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen. Der Student wendet die mathematischen Prozessstandards an, wenn er Graphen von linearen Funktionen, Schlüsselmerkmalen und verwandten Transformationen verwendet, um Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme mit und ohne Technologie auf vielfältige Weise darzustellen und zu lösen. Vom Schüler wird erwartet:

A(3)(F) zeichne Systeme zweier linearer Gleichungen in zwei Variablen auf der Koordinatenebene und bestimme die Lösungen, falls sie existieren

A(3)(G) Schätzen Sie grafisch die Lösungen von Systemen zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen in realen Problemen

Ressourcenziel(e)

Bestimmen Sie grafisch die Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Wesentliche Fragen

Wie viele Lösungen können Sie für ein lineares Gleichungssystem haben und welche sind das?

Wie sehen die Lösungen eines linearen Gleichungssystems grafisch aus?


Lane ORCCA (2020–2021): Offene Ressourcen für Community College Algebra

We have learned how to graph a line given its equation. In this section, we will learn what a system von two linear equations is, and how to use graphing to solve such a system.

Subsection 5.1.1 Solving Systems of Equations by Graphing

Example 5.1.1 .

Fabiana and David are running at constant speeds in parallel lanes on a track. David starts out ahead of Fabiana, but Fabiana is running faster. We want to determine when Fabiana will catch up with David. Let's start by looking at the graph of each runner's distance over time, in Figure 5.1.2.

Each of the two lines has an equation, as discussed in Chapter 4. The line representing David appears to have (y)-intercept ((0,4)) and slope (frac<4><3> ext<,>) so its equation is (y=frac<4><3>t+4 ext<.>) The line representing Fabiana appears to have (y)-intercept ((0,0)) and slope (2 ext<,>) so its equation is (y=2t ext<.>)

When these two equations are together as a package, we have what is called a :

The large left brace indicates that this is a collection of two distinct equations, not one equation that was somehow algebraically manipulated into an equivalent equation.

As we can see in Figure 5.1.2, the graphs of the two equations cross at the point ((6,12) ext<.>) It's important to check to see if this is correct, because when making a hand-drawn graph, it would be easy to be off by a little bit. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((6,12)) into each equation:

So we have checked that ((6,12)) is indeed the solution for the system.

We refer to the point ((6,12)) as the to this system of linear equations. To denote the , we write (<(6,12)> ext<.>) But it's much more valuable to interpret these numbers in context whenever possible: it took (6) seconds for the two runners to meet up, and when they met they were (12) meters up the track.

Example 5.1.3 .

Determine the solution to the system of equations graphed in Figure 5.1.4.

The two lines intersect where (x=-3) and (y=-1 ext<,>) so the solution is the point ((-3,-1) ext<.>) We write the solution set as (<(-3,-1)> ext<.>)

Remark 5.1.5 .

In Example 5.1.1, we stated that the solution was the point ((6,12) ext<.>) It makes sense to write this as an ordered pair when we're given a graph. In some cases when we have no graph, particularly when our variables are not (x) and (y ext<,>) it might not be clear which variable “comes first” and we won't be able to write an ordered pair. Nevertheless, given the context we can write meaningful summary statements.

Checkpoint 5.1.6 .

Now let's look at an example where we need to make a graph to find the solution.

Example 5.1.7 .

Solve the following system of equations by graphing:

Notice that each of these equations is written in slope-intercept form. The first equation, (y=frac<1><2>x+4 ext<,>) is a linear equation with a slope of (frac<1><2>) and a (y)-intercept of ((0,4) ext<.>) The second equation, (y=-x-5 ext<,>) is a linear equation with a slope of (-1) and a (y)-intercept of ((0,-5) ext<.>) We'll use this information to graph both lines.

The two lines intersect where (x=-6) and (y=1 ext<,>) so the solution of the system of equations is the point ((-6,1) ext<.>) We write the solution set as (<(-6,1)> ext<.>)

Example 5.1.9 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in standard form, we'll graph each one by finding the intercepts. Recall that to find the (x)-intercept of each equation, replace (y) with (0) and solve for (x ext<.>) Similarly, to find the (y)-intercept of each equation, replace (x) with (0) and solve for (y ext<.>)

For our first linear equation, we have:

So the intercepts are ((-12,0)) and ((0,4) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=-9 ext<.>) Notice that this (x) value falls between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((-9,1) ext<.>)

For our second linear equation, we have:

So the intercepts are (left(frac<3><2>,0 ight)) and ((0,1) ext<.>) Let's find a checkpoint for this line by choosing (x=6 ext<.>) Notice that this (x) value does not fall between the (x)-coordinates of the two intercepts we've already found. However, the two intercepts are pretty close together, so when that's the case, it's best to pick a value on one side of an intercept, just not too far away. Next, we plug that value in for (x) and solve for (y ext<:>)

So the checkpoint is ((6,-3) ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the intercepts and checkpoint, and connecting these points:

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((-3,3) ext<.>) Again, it's important to check to verify that this solution is correct. To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((-3,3)) into each equation:

So we have checked that ((-3,3)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(-3,3)> ext<.>)

Example 5.1.11 .

A college has a north campus and a south campus. The north campus has (18<,>000) students, and the south campus has (4<,>000) students. In the past five years, the north campus lost (4<,>000) students, and the south campus gained (3<,>000) students. If these trends continue, in how many years would the two campuses have the same number of students? Write and solve a system of equations modeling this problem.

Since all the given student counts are in the thousands, we make the decision to measure student population in thousands. So for instance, the north campus starts with a student population of (18) (thousand students).

The north campus lost (4) thousand students in (5) years. So it is losing students at a rate of (frac<4 ext< thousand>><5 ext< year>> ext<,>) or (frac<4><5>,frac< ext>< ext> ext<.>) This rate of change should be interpreted as a negative number, because the north campus is losing students over time. So we have a linear model with starting value (18) thousand students, and a slope of (-frac<4><5>) thousand students per year. Mit anderen Worten,

where (y) stands for the number of students in thousands, and (t) stands for the number of years into the future.

Similarly, the number of students at the south campus can be modeled by (y=frac<3><5>t+4 ext<.>) Now we have a system of equations:

We will graph both lines using their slopes and (y)-intercepts.

According to the graph, the lines intersect at ((10,10) ext<.>) So if the trends continue, both campuses will have (10<,>000) students (10) years from now. We will leave it up to you to check this solution.

Example 5.1.13 .

Solve the following system of equations by graphing:

Since both line equations are given in point-slope form, we can start by graphing the point indicated in each equation and use the slope to determine the rest of the line.

For our first equation, (y=3(x-2)+1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((2,1)) and the slope is (3 ext<.>)

For our second equation, (y=-frac<1><2>(x+1)-1 ext<,>) the point indicated in the equation is ((-1,-1)) and the slope is (-frac<1><2> ext<.>)

Now we can graph each line by plotting the points and using their slopes.

It appears that the solution of the system of equations is the point of intersection of those two lines, which is ((1,-2) ext<.>) To check, we can substitute the values of (x) and (y) from the point ((1,-2)) into each equation:

So we have checked that ((2,-1)) is indeed the solution for the system. We write the solution set as (<(2,-1)> ext<.>)

Subsection 5.1.2 Special Systems of Equations

Recall that when we solved linear equations in one variable, we had two special cases. In one special case there was no solution and in the other case, there were infinitely many solutions. When solving systems of equations in two variables, we have two similar special cases.

Example 5.1.15 . Parallel Lines.

Let's look at the graphs of two lines with the same slope, (y=2x-4) and (y=2x+1 ext<:>)

For this system of equations, what is the solution? Since the two lines have the same slope they are and will never intersect. This means that there is no solution to this system of equations. We write the solution set as (emptyset ext<.>)

The symbol (emptyset) is a special symbol that represents the , a set that has no numbers in it. This symbol is nicht the same thing as the number zero. Das Nummer of eggs in an empty egg carton is zero whereas the empty carton itself could represent the empty set. The symbols for the empty set and the number zero may look similar depending on how you write the number zero. Try to keep the concepts separate.

Example 5.1.17 . Coinciding Lines.

Next we'll look at the other special case. Let's start with this system of equations:

To solve this system of equations, we want to graph each line. The first equation is in slope-intercept form and can be graphed easily using its slope of (2) and its (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>)

The second equation, (6x-3y=12 ext<,>) can either be graphed by solving for (y) and using the slope-intercept form or by finding the intercepts. If we use the intercept method, we'll find that this line has an (x)-intercept of ((2,0)) and a (y)-intercept of ((0,-4) ext<.>) When we graph both lines we get Figure 5.1.18.

Now we can see these are actually the gleich line, or . To determine the solution to this system, we'll note that they overlap everywhere. This means that we have an infinite number of solutions: alle points that fall on the line. It may be enough to report that there are infinitely many solutions. In order to be more specific, all we can do is say that any ordered pair ((x,y)) satisfying the line equation is a solution. In set-builder notation, we would write (<(x,y)mid y=2x-4> ext<.>)

Remark 5.1.19 .

In Example 5.1.17, what would have happened if we had decided to convert the second line equation into slope-intercept form?

This is the literally the same as the first equation in our system. This is a different way to show that these two equations are equivalent and represent the same line. Any time we try to solve a system where the equations are equivalent, we'll have an infinite number of solutions.

Warning 5.1.20 .

Notice that for a system of equations with infinite solutions like Example 5.1.17, we didn't say that jeden point was a solution. Rather, every point that falls on that line is a solution. It would be incorrect to state this solution set as “all real numbers” or as “all ordered pairs.”

List 5.1.21 . A summary of the three types of systems of equations and their solution sets

If two linear equations have different slopes, the system has one solution.

If the linear equations have the same slope with different (y)-intercepts, the system has no solution.

If two linear equations have the same slope and the same (y)-intercept (in other words, they are equivalent equations), the system has infinitely many solutions. This solution set consists of all ordered pairs on that line.

Exercises 5.1.3 Exercises

Warmup and Review

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<4>x+5 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=<5>x+2 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+6 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (y=-x+3 ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<6x> <7>+5 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= -frac<8x> <7>- 10 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <10>- 3 > ext<.>)

Find the line’s slope and (y)-intercept.

A line has equation (displaystyle< y= frac <2>- 10 > ext<.>)

Graph the equation (y=-3x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<1><4>x ext<.>)

Graph the equation (y=frac<2><3>x+4 ext<.>)

Graph the equation (y=-2x+5 ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Solve the linear equation for (y ext<.>)

Checking Solutions for System of Equations

Decide whether ((1,-2)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((3,5)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((4,1)) is a solution to the system of equations:

Decide whether ((5,-3)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:

Decide whether (left(<<2>>>,<<2>>> ight)) is a solution to the system of equations:


4.1: Solving Systems by Graphing - Mathematics

Graphing Systems of Linear Equations

· Solve a system of linear equations by graphing .

· Determine whether a system of linear equations is consistent or inconsistent .

· Determine whether a system of linear equations is dependent or independent.

· Determine whether an ordered pair is a solution of a system of equations.

· Solve application problems by graphing a system of equations.

Recall that a linear equation graphs as a line, which indicates that all of the points on the line are solutions to that linear equation. There are an infinite number of solutions. If you have a system of linear equations, the solution for the system is the value that makes all of the equations true. For two variables and two equations, this is the point where the two graphs intersect. The coordinates of this point will be the solution for the two variables in the two equations.

The solution for a system of equations is the value or values that are true for alle equations in the system. The graphs of equations within a system can tell you how many solutions exist for that system. Look at the images below. Each shows two lines that make up a system of equations.

If the graphs of the equations intersect, then there is one solution that is true for both equations.

If the graphs of the equations do not intersect (for example, if they are parallel), then there are no solutions that are true for both equations.

If the graphs of the equations are the same, then there are an infinite number of solutions that are true for both equations.

When the lines intersect, the point of intersection is the only point that the two graphs have in common. So the coordinates of that point are the solution for the two variables used in the equations. When the lines are parallel, there are no solutions, and sometimes the two equations will graph as the same line, in which case we have an infinite number of solutions.

Some special terms are sometimes used to describe these kinds of systems.

The following terms refer to how many solutions the system has.

o When a system has one solution (the graphs of the equations intersect once), the system is a consistent system of linear equations and the equations are independent.

o When a system has no solution (the graphs of the equations don’t intersect at all), the system is an inconsistent system of linear equations and the equations are independent.

o If the lines are the same (the graphs intersect at all points), the system is a consistent system of linear equations and the equations are dependent. That is, any solution of one equation must also be a solution of the other, so the equations depend on each other.

The following terms refer to whether the system has any solutions at all.

o The system is a consistent system of linear equations when it has solutions.

o The system is an inconsistent system of linear equations when it has no solutions.

We can summarize this as follows:

o A system with one or more solutions is consistent.

o A system with no solutions is inconsistent.

o If the lines are different, the equations are independent linear equations.

o If the lines are the same, the equations are dependent linear equations.

Using the graph of ja = x und x + 2ja = 6, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines intersect at one point. So the two lines have only one point in common, there is only one solution to the system.

Because the lines are not the same the equations are independent.

Because there is just one solution, this system is consistent.

The system is consistent and the equations are independent.

Using the graph of ja = 3.5x + 0.25 and 14x – 4ja = -4.5, shown below, determine how many solutions the system has. Then classify the system as consistent or inconsistent and the equations as dependent or independent.

The lines are parallel, meaning they do not intersect. T here are no solutions to the system.

The lines are not the same, the equations are independent.

There are no solutions. Therefore, this system is inconsistent.

The system is inconsistent and the equations are independent.

Which of the following represents abhängig equations and consistent systems?

Falsch. The two lines in this system have the same slope, but different values for B. This means the lines are parallel. The lines don’t intersect, so there are no solutions and the system is inconsistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

Falsch. The two lines in this system have different slopes and different values for B. This means the lines intersect at one point. Since there is a solution, this system is consistent. And because the lines are not the same, the equations are independent. The correct answer is C.

Richtig. The two lines in this system are the same can be rewritten as . Since there are many solutions, this system is consistent. The lines are identical so the equations are dependent.

Falsch. The two lines in this system have different slopes and the same value for B. This means the lines intersect at one point—the ja-intercept. Recall that intersecting lines have one solution and therefore the system is consistent. Because the lines are not the same the equations are independent. The correct answer is C.

From the graph above, you can see that there is one solution to the system ja = x und x + 2ja = 6. The solution appears to be (2, 2). However, you must verify an answer that you read from a graph to be sure that it’s not really (2.001, 2.001) or (1.9943, 1.9943).

One way of verifying that the point does exist on both lines is to substitute the x- and ja-values of the ordered pair into the equation of each line. If the substitution results in a true statement, then you have the correct solution!

Is (2, 2) a solution of the system ja = x und x + 2ja = 6?

(2, 2) is a solution of ja = x.

(2, 2) is a solution of x + 2ja = 6.

Since the solution of the system must be a solution to alle the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 2 for x and 2 for ja in each equation.

(2, 2) is a solution to the system.

Since (2, 2) is a solution of each of the equations in the system, (2, 2) is a solution of the system.

ichs (3, 9) a solution of the system ja = 3x and 2xja = 6?

(3, 9) is a solution of ja = 3x.

(3, 9) is nicht a solution of 2xja = 6.

Since the solution of the system must be a solution to alle the equations in the system, check the point in each equation. Substitute 3 for x and 9 for ja in each equation.

(3, 9) is not a solution to the system.

Since (3, 9) is not a solution of one of the equations in the system, it cannot be a solution of the system.

Is (−2, 4) a solution of the system ja = 2x and 3x + 2ja = 1?

( − 2, 4) is not a solution of ja = 2x.

( − 2, 4) is not a solution of 3x + 2ja = 1.

Since the solution of the system must be a solution to alle the equations in the system, check the point in each equation. Substitute −2 for x and 4 for ja in each equation.

(−2, 4) is not a solution to the system.

Since ( − 2, 4) is not a solution to either of the equations in the system, ( − 2, 4) is not a solution of the system.

Remember, that in order to be a solution to the system of equations, the value of the point must be a solution for both equations. Once you find one equation for which the point is false, you have determined that it is not a solution for the system.

Which of the following statements is true for the system 2xja = −3 and ja = 4x – 1?

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it ist a solution of the system

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is nicht a solution of the system

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it ist a solution of the system

D) (2, 7) is nicht a solution of either equation, so it is nicht a solution to the system

A) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it ist a solution of the system

Falsch. If the point were a solution of one equation but not the other, then it is nicht a solution of the system. In fact, the point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

B) (2, 7) is a solution of one equation but not the other, so it is nicht a solution of the system

Falsch. The point (2, 7) is a solution of both equations, so it is a solution of the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

C) (2, 7) is a solution of both equations, so it ist a solution of the system

Richtig. Substituting 2 for x and 7 for ja gives true statements in both equations, so the point is a solution to both equations. That means it is a solution to the system. The two lines are not identical, so it is the only solution.

D) (2, 7) is nicht a solution of either equation, so it is nicht a solution to the system

Falsch. Substituting 2 for x and 7 for ja gives true statements in both equations, so the point lies on both lines. This means it is a solution to both equations. It is also the only solution to the system.

Graphing as a Solution Method

You can solve a system graphically. However, it is important to remember that you must check the solution, as it might not be accurate.

Find all solutions to the system jax = 1 und ja + x = 3.

First, graph both equations on the same axes.

The two lines intersect once. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (1, 2).

Read the point from the graph as accurately as possible.

(1, 2) is a solution of ja – x = 1.

(1, 2) is a solution of ja + x = 3.

Check the values in both equations. Substitute 1 for x and 2 for ja. (1, 2) is a solution.

(1, 2) is the solution to the system y – x = 1 and

Since (1, 2) is a solution for each of the equations in the system, it is the solution for the system.

How many solutions does the system ja = 2x + 1

and −4x + 2ja = 2 have?

First, graph both equations on the same axes.

The two equations graph as the same line. So every point on that line is a solution for the system of equations.

The system ja = 2x + 1 and −4x + 2ja = 2 has an infinite number of solutions.

Which point is the solution to the system xja = −1 and 2xja = − 4? The system is graphed correctly below.

Falsch. Substituting ( − 1, 2) into each equation, you find that it is a solution for 2xja = − 4, but not for xja = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Falsch. Substituting ( − 4, − 3) into each equation, you find that it is a solution for xja = − 1, but not for 2xja = − 4. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Richtig. Substituting ( − 3, − 2) into each equation shows this point is a solution for both equations, so it is the solution for the system.

Falsch. Substituting ( − 1, − 1) into each equation, you find that it is neither a solution for 2xja = − 4, nor for xja = − 1. This means it cannot be a solution for the system. The correct answer is ( − 3, − 2).

Graphing a Real-World Context

Graphing a system of equations for a real-world context can be valuable in visualizing the problem. Let’s look at a couple of examples.

In yesterday’s basketball game, Cheryl scored 17 points with a combination of 2-point and 3-point baskets. The number of 2-point shots she made was one greater than the number of 3-point shots she made. How many of each type of basket did she score?

x = the Nummer of 2-point shots made

ja = the Nummer of 3-point shots made

Assign variables to the two unknowns – the number of each type of shots.

2x = the points from 2-point baskets

3ja = the points from 3-point baskets

Calculate how many points are made from each of the two types of shots.

The number of points Cheryl scored (17) =

the points from 2-point baskets + the points from 3-point baskets.

Write an equation using information given in the problem.

The number of 2-point baskets (x) = 1 + the number of 3-point baskets (ja)

Write a second equation using additional information given in the problem.

Now you have a system of two equations with two variables.

Graph both equations on the same axes.

The two lines intersect, so they have only one point in common. That means there is only one solution to the system.

The point of intersection appears to be (4, 3).

Read the point of intersection from the graph.

Check (4, 3) in each equation to see if it is a solution to the system of equations.

(4, 3) is a solution to the equation.

Cheryl made 4 two-point baskets and 3 three-point baskets.

Andres was trying to decide which of two mobile phone plans he should buy. One plan, TalkALot, charged a flat fee of $15 per month for unlimited minutes. Another plan, FriendFone, charged a monthly fee of $5 in addition to charging 20¢ per minute for calls.

To examine the difference in plans, he made a graph:

If he plans to talk on the phone for about 70 minutes per month, which plan should he purchase?

Look at the graph. TalkALot is represented as ja = 15, while FriendFone is represented as

The number of minutes is listed on the x-Achse. Wann x = 70, TalkALot costs $15, while FriendFone costs about $19.

Andres should buy theTalkALot plan.

Since TalkALot costs less at 70 minutes, Andres should buy that plan.

Note that if the estimate had been incorrect, a new estimate could have been made. Regraphing to zoom in on the area where the lines cross would help make a better estimate.

Paco and Lisel spent $30 going to the movies last night. Paco spent $8 more than Lisel.

Ob P = the amount that Paco spent, and L = the amount that Lisel spent, which system of equations can you use to figure out how much each of them spent?

Falsch. P + 8 = L reads: “Lisel spent $8 more than Paco.” The correct system is:

Richtig. The total amount spent (P + L) is 30, so one equation should be P + L = 30. Paco spent 8 dollars more than Lisel, so L + 8 will give you the amount that Paco spent. This can be rewritten P = L + 8.

Falsch. P + 30 = L reads: “Lisel spent $30 more than Paco.” The correct system is:

Falsch. L + 30 = P reads: “Paco spent $30 more than Lisel.” The correct system is:

A system of linear equations is two or more linear equations that have the same variables. You can graph the equations as a system to find out whether the system has no solutions (represented by parallel lines), one solution (represented by intersecting lines), or an infinite number of solutions (represented by two superimposed lines). While graphing systems of equations is a useful technique, relying on graphs to identify a specific point of intersection is not always an accurate way to find a precise solution for a system of equations.


Watch our free video on how to solve Systems of Equations by Graphing. This video shows how to solve problems that are on our free Graphing Systems of Equations worksheet that you can get by submitting your email above.

Watch the free Solving Systems of Equations by Graphing video on YouTube here: How to Solve Systems of Equations by Graphing

Video Transcript:

This video is about solving systems of equations by graphing. You can get the worksheet we use in this video for free by clicking on the link in the description below.

The first problem in our solving systems of equations by graphing worksheet gives us y equals 2x minus 3 and then y equals negative 3x plus 2. We’re looking for the solution of these two equations and the system that they make. What that means is we are looking for the point of intersection of the two equations. For example this isn’t the answer but for example if we had our graph here and we had one equation that went this way and the other equation that when you graphed it went like this, the solution to that equation would be the point of intersection. It’s the point that satisfies both equations, which would be the point that the two equations cross.

In order to solve systems of equations by graphing you have to graph both equations and then you have to find the point of intersection on the graph and then that coordinate will be your answer. In order to find the point of intersection we have to first graph both equations these equations are written in slope-intercept form, which means you can use the slope and you can use the y-intercept to graph them.

In the case of the first one we know that slope-intercept form is y equals MX plus B, we know M is the slope because it’s always with the X and we know that B is the y-intercept. In the case of this equation M which is the slope is 2 and then B which is the y-intercept is negative 3, and we’re going to graph this equation in red. We have the y-intercept of negative 3 and the slope of 2. We will go down to negative 3 for the y-intercept, which is right here and then we will follow the slope which is 2 or the rise over the run, which is 2 over 1. You go up 2 and then over 1. We’ll start at our y-intercept and we’ll go up 2 over 1 I’ll go up 2 over one and so on.

Then we have to do the same thing for y equals negative 3x plus two. We have to find the slope and the y-intercept and then graph it. In this case the slope is negative 3 and then the y-intercept is positive 2. We’re going to start our y-intercept which is 2. We go up to 2 and then we’re going to graph with our slope which is negative 3. Negative 3 over 1 or down 3 and then over 1. We’ll start at our point we’ll go down 1 2 3 over 1 down 1 2 3 over 1 and we’ll graph then once we have a couple points we can go ahead and connect them. This is our second equation which is in blue.

Now the solution to our system here is going to be the point of intersection, which is right here. It’s the only point that would be true for both equations or that would satisfy the system. This point here is X is 1 Y is negative 1. Our solution to the system of equations is x equals 1 and y equals negative 1. And then in coordinates it would be 1 negative 1 and that’s the solution.

Number three on the solving systems by graphing worksheet gives us our system which in this case is y equals 4x plus 3 and the second equation is y equals negative x minus 2. We have to do the same thing we did in the other problem. We’re going to go ahead and we’re going to find the slope and the y-intercept for each equation. The slope for y equals 4x plus 3 is 4 and then the y-intercept is positive 3 and then for the second equation we have y equals negative x minus 2. Our slope is even though it’s negative x what that’s like saying is that it’s actually like saying negative 1x. It’s not written but there is a one right there. That’s really negative 1x and then our y-intercept is negative two.

We’re going to go ahead and graph these. I’m gonna graph the first one in red. Our y-intercept for the first one is 3. We will go to our y axis and we’ll plot 3 and then the slope is 4. We will go up 4 and then over 1. We’ll go up 1 2 3 4 over 1 4 over 1 would be right here you could also go backwards so we’ll go down 1 2 3 4 and then this way. You can go in the negative direction and then you can go ahead and graph that equation or draw our line.

I should say then we’re gonna do the same thing for the blue equation which is y equals negative x minus 2. We’ll start at negative 2 which is right here our slope is negative 1x. We will go down 1 this time and then over 1. We’re going to go down 1 over 1 down 1 over 1 which goes in this direction and then you can always go backwards. You go up and left instead of down and right we’ll go this way. And then once we have our points plotted we can go ahead and draw our line.

And then once again in order to solve systems of equations by graphing you have to find the point of intersection between the equations. Our point of intersection is right there. It’s the spot where the two lines cross, in this case that would be negative 1 negative 1. X is negative 1 Y is negative 1. The solution X would be negative 1 Y would be negative 1 and in the terms of coordinates the solution would be negative 1 negative 1.


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