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13.1: Funktionen mehrerer Variablen - Mathematik


Unser erster Schritt besteht darin, zu erklären, was eine Funktion von mehr als einer Variablen ist, beginnend mit Funktionen von zwei unabhängigen Variablen. Dieser Schritt umfasst das Identifizieren der Domäne und des Umfangs solcher Funktionen und das Erlernen, wie man sie grafisch darstellt. Wir untersuchen auch Möglichkeiten, die Graphen von Funktionen in drei Dimensionen mit Graphen bekannterer planarer Funktionen in Beziehung zu setzen.

Funktionen von zwei Variablen

Die Definition einer Funktion zweier Variablen ist der Definition einer Funktion einer Variablen sehr ähnlich. Der Hauptunterschied besteht darin, dass wir nicht die Werte einer Variablen den Werten einer anderen Variablen zuordnen, sondern geordnete Variablenpaare einer anderen Variablen zuordnen.

Definition: Funktion zweier Variablen

EIN Funktion von zwei Variablen (z=(x,y)) bildet jedes geordnete Paar ((x,y)) in einer Teilmenge (D) der reellen Ebene ( m I!R^2) auf a . ab eindeutige reelle Zahl (z). Die Menge (D) heißt der Funktionsbereich. Der Bereich von (f) ist die Menge aller reellen Zahlen (z), die mindestens ein geordnetes Paar ((x,y)∈D) haben, so dass (f(x,y)=z ) wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Die Bestimmung des Bereichs einer Funktion von zwei Variablen beinhaltet die Berücksichtigung eventuell vorhandener Bereichseinschränkungen. Lass uns mal sehen.

Beispiel (PageIndex{1}): Domänen und Bereiche für Funktionen zweier Variablen

Finden Sie die Domäne und den Bereich jeder der folgenden Funktionen:

  1. (f(x,y)=3x+5y+2)
  2. (g(x,y)=sqrt{9−x^2−y^2})

Lösung

A. Dies ist ein Beispiel für eine lineare Funktion in zwei Variablen. Es gibt keine Werte oder Kombinationen von (x) und (y), die bewirken, dass (f(x,y)) undefiniert ist, also ist der Definitionsbereich von (f) ( m I !R^2). In der Set-Builder-Notation geschrieben, könnte dies geschrieben werden als ({ (x, y) | x in m I!R, y in m I!R }).

Um den Bereich zu bestimmen, wählen Sie zuerst einen Wert für z. Wir müssen eine Lösung für die Gleichung (f(x,y)=z,) oder (3x−5y+2=z.) finden. Eine solche Lösung erhält man, indem man zuerst (y=0 ), was die Gleichung (3x+2=z) ergibt. Die Lösung dieser Gleichung ist (x=dfrac{z−2}{3}), was das geordnete Paar (left(dfrac{z−2}{3},0 ight)) ergibt als Lösung der Gleichung (f(x,y)=z) für jeden Wert von (z). Daher ist der Bereich der Funktion alle reellen Zahlen oder ((-infty, infty)).

B. Damit die Funktion (g(x,y)) einen reellen Wert hat, muss die Größe unter der Quadratwurzel nicht negativ sein:

[ 9−x^2−y^2≥0. keine Nummer]

Diese Ungleichung kann geschrieben werden in der Form

[ x^2+y^2≤9. keine Nummer]

Daher ist der Definitionsbereich von (g(x,y)) ({(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9}). Der Graph dieser Punktmenge kann als eine im Ursprung zentrierte Scheibe mit Radius 3 beschrieben werden. Die Domäne umfasst den Randkreis, wie in der folgenden Grafik gezeigt.

Um den Bereich von (g(x,y)=sqrt{9−x^2−y^2}) zu bestimmen, beginnen wir mit einem Punkt ((x_0,y_0)) auf dem Rand des Gebietes, die durch die Beziehung (x^2+y^2=9) definiert ist. Daraus folgt, dass (x^2_0+y^2_0=9) und

[ egin{align*} g(x_0,y_0) &=sqrt{9−x^2_0−y^2_0} [5pt]&=sqrt{9−(x^2_0+y^2_0) }[5pt]&=sqrt{9−9}[5pt]&=0. end{ausrichten*}]

Wenn (x_0^2+y_0^2=0) (also (x_0=y_0=0)), dann

[ egin{align*} g(x_0,y_0)&=sqrt{9−x^2_0−y^2_0}[5pt]&=sqrt{9−(x^2_0+y^2_0) }[5pt]&=sqrt{9−0}=3. end{ausrichten*}]

Dies ist der Maximalwert der Funktion. Bei einem beliebigen Wert c zwischen (0) und (3) können wir eine ganze Menge von Punkten innerhalb des Definitionsbereichs von (g) finden, so dass (g(x,y)=c:)

[egin{align*} sqrt{9−x^2−y^2}&=c [5pt] 9−x^2−y^2&=c^2 [5pt] x^2 +y^2&=9−c^2. end{ausrichten*}]

Da (9−c^2>0) beschreibt dies einen Kreis mit Radius (sqrt{9−c^2}) um den Ursprung zentriert. Jeder Punkt auf diesem Kreis erfüllt die Gleichung (g(x,y)=c). Daher kann der Bereich dieser Funktion in Intervallnotation als ([0,3].) geschrieben werden.

Übung (PageIndex{1})

Finden Sie den Definitionsbereich und den Bereich der Funktion (f(x,y)=sqrt{36−9x^2−9y^2}).

Hinweis

Bestimmen Sie die Menge der geordneten Paare, die den Radikand nicht negativ machen.

Lösung

Der Definitionsbereich ist ({(x, y) | x^2+y^2≤4 }) der durch die Ungleichung (x^2+y^2≤4) definierte schattierte Kreis mit a Kreis mit Radius (2) als Rand. Der Bereich ist ([0,6].)

Grafische Darstellung von Funktionen zweier Variablen

Angenommen, wir möchten die Funktion (z=(x,y)) grafisch darstellen. Diese Funktion hat zwei unabhängige Variablen ((x) und (y)) und eine abhängige Variable ((z)). Wenn wir eine Funktion (y=f(x)) einer Variablen grafisch darstellen, verwenden wir die kartesische Ebene. Wir können jedes geordnete Paar ((x,y)) in der Ebene grafisch darstellen, und jedem Punkt in der Ebene ist ein geordnetes Paar ((x,y)) zugeordnet. Bei einer Funktion aus zwei Variablen wird jedes geordnete Paar ((x,y)) im Bereich der Funktion auf eine reelle Zahl (z) abgebildet. Daher besteht der Graph der Funktion (f) aus geordneten Tripeln ((x,y,z)). Der Graph einer Funktion (z=(x,y)) zweier Variablen heißt Fläche.

Um das Konzept des Plottens einer Menge geordneter Tripel zum Erhalten einer Fläche im dreidimensionalen Raum besser zu verstehen, stellen Sie sich das ((x,y))-Koordinatensystem flach vor. Dann ist jedem Punkt im Definitionsbereich der Funktion f ein eindeutiger (z)-Wert zugeordnet. Ist (z) positiv, dann liegt der graphische Punkt oberhalb der (xy)-Ebene, ist (z) negativ, dann liegt der graphische Punkt unterhalb der (xy)-Ebene. Die Menge aller graphisch dargestellten Punkte wird zur zweidimensionalen Fläche, die der Graph der Funktion (f) ist.

Beispiel (PageIndex{2}): Graphische Darstellung von Funktionen zweier Variablen

Erstellen Sie ein Diagramm jeder der folgenden Funktionen:

  1. (g(x,y)=sqrt{9−x^2−y^2})
  2. (f(x,y)=x^2+y^2)

Lösung

A. Im Beispiel (PageIndex{2}) haben wir bestimmt, dass der Definitionsbereich von (g(x,y)=sqrt{9−x^2−y^2}) ({(x, y)∈R^2∣x^2+y^2≤9}) und der Bereich ist ({z∈R^2∣0≤z≤3}). Wenn (x^2+y^2=9) gilt (g(x,y)=0). Daher wird jeder Punkt auf dem Kreis mit dem Radius (3), der im Ursprung in der (xy)-Ebene zentriert ist, auf (z=0) in (R^3) abgebildet. Wenn (x^2+y^2=8), dann (g(x,y)=1,), also jeder Punkt auf dem Kreis mit dem Radius (2sqrt{2}) zentriert um Ursprung in der (xy)-Ebene wird auf (z=1) in (R^3) abgebildet. Wenn (x^2+y^2) näher an Null kommt, nähert sich der Wert von (z) (3). Wenn (x^2+y^2=0), dann (g(x,y)=3). Dies ist der Ursprung in der (xy)-Ebene Wenn (x^2+y^2) gleich einem anderen Wert zwischen (0) und (9) ist, dann gilt (g(x ,y)) entspricht einer anderen Konstanten zwischen (0) und (3). Die durch diese Funktion beschriebene Fläche ist eine im Ursprung zentrierte Halbkugel mit dem Radius (3) wie in der folgenden Grafik gezeigt.

B. Diese Funktion enthält auch den Ausdruck (x^2+y^2). Setzt man diesen Ausdruck mit verschiedenen Werten beginnend bei Null gleich, erhält man Kreise mit zunehmendem Radius. Der minimale Wert von (f(x,y)=x^2+y^2) ist null (erreicht wenn (x=y=0.). Wenn (x=0), wird die Funktion (z=y^2), und wenn (y=0), dann wird die Funktion (z=x^2). Dies sind Querschnitte des Graphen und sind Parabeln. Erinnern Sie sich an Einleitung zu Vektoren im Raum, dass der Name des Graphen von (f(x,y)=x^2+y^2) a . ist Paraboloid. Der Graph von (f) erscheint im folgenden Graphen.

Beispiel (PageIndex{3}): Muttern und Schrauben

Eine Gewinnfunktion für einen Hardwarehersteller ist gegeben durch

[f(x,y)=16−(x−3)^2−(y−2)^2, onumber]

wobei (x) die Anzahl der pro Monat verkauften Muttern (gemessen in Tausend) und (y) die Anzahl der pro Monat verkauften Schrauben (gemessen in Tausend) ist. Der Gewinn wird in Tausend Dollar gemessen. Skizzieren Sie einen Graphen dieser Funktion.

Lösung

Diese Funktion ist eine Polynomfunktion in zwei Variablen. Der Definitionsbereich von (f) besteht aus ((x,y))-Koordinatenpaaren, die einen nichtnegativen Gewinn ergeben:

[ egin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 &≥ 0 [5pt] (x−3)^2+(y−2)^2 &≤ 16. end{ausrichten*}]

Dies ist eine Scheibe mit Radius (4) zentriert bei ((3,2)). Eine weitere Einschränkung ist, dass sowohl (x) als auch (y) nichtnegativ sein müssen. Wenn (x=3) und (y=2, quad f(x,y)=16.) Beachten Sie, dass jeder Wert nicht ganzzahlig sein kann; zum Beispiel ist es möglich, in einem Monat (2,5) Tausend Nüsse zu verkaufen. Die Domäne enthält daher Tausende von Punkten, sodass wir alle Punkte innerhalb der Platte berücksichtigen können. Für jedes (z<16) können wir die Gleichung (f(x,y)=16:) lösen

[ egin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 &=z [5pt] (x−3)^2+(y−2)^2 &= 16-z. end{ausrichten*}]

Da (z<16,) wir wissen, dass (16−z>0,) gilt, beschreibt die vorherige Gleichung einen Kreis mit Radius (sqrt{16−z}) um den Punkt ((3 ,2)). Deswegen. der Bereich von (f(x,y)) ist ({z∈mathbb{R}|z≤16}.) Der Graph von (f(x,y)) ist auch a Paraboloid, und dieses Paraboloid zeigt nach unten, wie gezeigt.

Pegelkurven

Wenn Wanderer auf schroffen Wegen wandern, können sie eine topografische Karte verwenden, die zeigt, wie steil die Wege wechseln. EIN topografische Karte enthält gekrümmte Linien, die als Konturlinien bezeichnet werden. Jede Höhenlinie entspricht den Punkten auf der Karte mit gleicher Höhe (Abbildung (PageIndex{6})). Eine Höhenkurve einer Funktion zweier Variablen (f(x,y)) ist einer Höhenlinie auf einer topographischen Karte völlig analog.

Definition: Pegelkurven

Gegeben eine Funktion (f(x,y)) und eine Zahl (c) im Bereich von (f), ist eine Niveaukurve einer Funktion zweier Variablen für den Wert (c) definiert die Menge von Punkten sein, die die Gleichung (f(x,y)=c.) erfüllen

Zurück zur Funktion (g(x,y)=sqrt{9−x^2−y^2}) können wir die Niveaukurven dieser Funktion bestimmen. Der Bereich von (g) ist das abgeschlossene Intervall ([0,3]). Zuerst wählen wir eine beliebige Zahl in diesem geschlossenen Intervall – sagen wir (c=2). Die zu (c=2) korrespondierende Niveaukurve wird durch die Gleichung

[ sqrt{9−x^2−y^2}=2.]

Zur Vereinfachung quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung:

[ 9−x^2−y^2=4.]

Multiplizieren Sie nun beide Seiten der Gleichung mit (−1) und addieren Sie (9) zu jeder Seite:

[ x^2+y^2=5.]

Diese Gleichung beschreibt einen im Ursprung zentrierten Kreis mit dem Radius (sqrt{5}). Die Verwendung von c-Werten zwischen (0) und (3) ergibt andere Kreise, die ebenfalls im Ursprung zentriert sind. Wenn (c=3), dann hat der Kreis den Radius (0), besteht also nur aus dem Ursprung. Abbildung (PageIndex{7}) ist ein Graph der Niveaukurven dieser Funktion entsprechend (c=0,1,2,) und (3). Beachten Sie, dass es in der vorherigen Ableitung möglich sein kann, dass wir zusätzliche Lösungen durch Quadrieren beider Seiten eingeführt haben. Dies ist hier nicht der Fall, da der Bereich der Quadratwurzelfunktion nicht negativ ist.

Ein Graph der verschiedenen Niveaukurven einer Funktion heißt a Konturkarte.

Beispiel (PageIndex{4}): Erstellen einer Konturkarte

Gegeben sei die Funktion (f(x,y)=sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}), bestimme die Pegelkurve, die (c=0) entspricht. Erstellen Sie dann eine Konturkarte für diese Funktion. Was sind die Domäne und der Bereich von (f)?

Lösung

Um die Niveaukurve für (c=0,) zu finden, setzen wir (f(x,y)=0) und lösen. Das gibt

(0=sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}).

Wir quadrieren dann beide Seiten und multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit (−1):

(4x^2+y^2−8x+4y−8=0.)

Nun ordnen wir die Terme neu an, indem wir die (x)-Terme und die (y)-Terme zusammenfügen und auf jeder Seite (8) hinzufügen:

(4x^2−8x+y^2+4y=8.)

Als nächstes gruppieren wir die Termpaare, die dieselbe Variable in Klammern enthalten, und faktorisieren (4) aus dem ersten Paar:

(4(x^2−2x)+(y^2+4y)=8.)

Dann vervollständigen wir das Quadrat in jedem Klammerpaar und fügen den richtigen Wert auf der rechten Seite hinzu:

(4(x^2−2x+1)+(y^2+4y+4)=8+4(1)+4.)

Als nächstes faktorisieren wir die linke Seite und vereinfachen die rechte Seite:

(4(x−1)^2+(y+2)^2=16.)

Zuletzt dividieren wir beide Seiten durch (16):

[dfrac{(x−1)^2}{4}+dfrac{(y+2)^2}{16}=1. label{ellipseeq1}]

Diese Gleichung beschreibt eine Ellipse, die bei ((1,−2)) zentriert ist. Die Grafik dieser Ellipse erscheint in der folgenden Grafik.

Wir können die gleiche Ableitung für Werte von (c) kleiner als (4.) wiederholen. Dann wird Gleichung ef{ellipseeq1} zu

(dfrac{4(x−1)^2}{16−c^2}+dfrac{(y+2)^2}{16−c^2}=1)

für einen beliebigen Wert von (c).

Wenn wir die Funktion gleich (c) setzen, erhalten wir:

[sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2} = c onumber]

Wir quadrieren dann beide Seiten und multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit (−1):

(4x^2+y^2−8x+4y−8=-c^2.)

Nun ordnen wir die Terme neu an, indem wir die (x)-Terme und die (y)-Terme zusammenfügen und auf jeder Seite (8) hinzufügen:

(4x^2−8x+y^2+4y=8-c^2.)

Als nächstes gruppieren wir die Termpaare, die dieselbe Variable in Klammern enthalten, und faktorisieren (4) aus dem ersten Paar:

(4(x^2−2x)+(y^2+4y)=8-c^2.)

Dann vervollständigen wir das Quadrat in jedem Klammerpaar und fügen den richtigen Wert auf der rechten Seite hinzu:

(4(x^2−2x+1)+(y^2+4y+4)=8 - c^2 +4(1)+4.)

Als nächstes faktorisieren wir die linke Seite und vereinfachen die rechte Seite:

(4(x−1)^2+(y+2)^2=16 - c^2.)

Zuletzt teilen wir beide Seiten durch (16 - c^2):

[dfrac{4(x−1)^2}{16−c^2}+dfrac{(y+2)^2}{16−c^2}=1 onumber]

Abbildung (PageIndex{9}) zeigt eine Höhenlinienkarte für (f(x,y)) mit den Werten (c=0,1,2,) und (3). Bei (c=4,) ist die Niveaukurve der Punkt ((−1,2)).

Übung (PageIndex{4})

Finden und zeichnen Sie die Niveaukurve der Funktion (g(x,y)=x^2+y^2−6x+2y) entsprechend (c=15.)

Hinweis

Setze zuerst (g(x,y)=15) und vervollständige dann das Quadrat.

Lösung

Die Gleichung der Niveaukurve kann als ((x−3)^2+(y+1)^2=25,) geschrieben werden, was ein Kreis mit Radius (5) ist, der bei ((3, −1).)

Ein weiteres nützliches Werkzeug zum Verständnis der Graph einer Funktion zweier Variablen wird als vertikale Spur bezeichnet. Niveaukurven werden immer in der (xy)-Ebene grafisch dargestellt, aber wie der Name schon sagt, werden vertikale Spuren in den (xz-)- oder (yz-)-Ebenen grafisch dargestellt.

Definition: vertikale Spuren

Betrachten Sie eine Funktion (z=f(x,y)) mit Definitionsbereich (D⊆ m I!R^2). EIN vertikale Spur der Funktion kann entweder die Menge von Punkten sein, die die Gleichung (f(a,y)=z) für eine gegebene Konstante (x=a) löst oder (f(x,b)=z) für eine gegebene Konstante (y=b.)

Beispiel (PageIndex{5}): Vertikale Spuren finden

Finden Sie vertikale Spuren für die Funktion (f(x,y)=sin x cos y) entsprechend (x=−dfrac{π}{4},0,) und (dfrac{π }{4}) und (y=−dfrac{π}{4},0) und (dfrac{π}{4}).

Lösung

Setze zuerst (x=−dfrac{π}{4}) in die Gleichung (z=sin x cos y:)

(z=sin(−dfrac{π}{4})cos y=−dfrac{sqrt{2}cos y}{2}≈−0.7071cos y.)

Dies beschreibt einen Kosinusgraphen in der Ebene (x=−dfrac{π}{4}). Die anderen Werte von (z) erscheinen in der folgenden Tabelle.

Vertikale Spuren parallel zur (xz-Ebene) für die Funktion (f(x,y)=sin x cos y)
(C)Vertikale Spur für (x=c)
(−dfrac{π}{4})(z=−dfrac{sqrt{2}cos y}{2})
0(z=0)
(dfrac{π}{4})(z=dfrac{sqrt{2}cos y}{2})

Auf ähnliche Weise können wir die (y)-Werte in der Gleichung (f(x,y)) einsetzen, um die Spuren in der (yz)-Ebene zu erhalten, wie in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Vertikale Spuren parallel zur (yz)-Ebene für die Funktion (f(x,y)=sin x cos y)
(D)Vertikale Spur für (y=d)
(dfrac{π}{4})(z=dfrac{sqrt{2}sin x}{2})
0(z=sinx)
(−dfrac{π}{4})(z=dfrac{sqrt{2}sin x}{2})

Die drei Spuren in der (xz)-Ebene sind Kosinusfunktionen; die drei Spuren in der (yz)-Ebene sind Sinusfunktionen. Diese Kurven erscheinen in den Schnittpunkten der Fläche mit den Ebenen (x=−dfrac{π}{4},quad x=0,quad x=dfrac{π}{4}) und (y =−dfrac{π}{4},quad y=0,quad y=dfrac{π}{4}), wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Übung (PageIndex{5})

Bestimmen Sie die Gleichung der vertikalen Spur der Funktion (g(x,y)=−x^2−y^2+2x+4y−1) entsprechend (y=3) und beschreiben Sie ihren Graphen.

Hinweis

Setze (y=3) in die Gleichung (z=−x^2−y^2+2x+4y−1) und vervollständige das Quadrat.

Lösung

(z=3−(x−1)^2). Diese Funktion beschreibt eine sich nach unten öffnende Parabel in der Ebene (y=3).

Funktionen von zwei Variablen können einige auffallend aussehende Oberflächen erzeugen. Abbildung (PageIndex{11}) zeigt zwei Beispiele.

Funktionen von mehr als zwei Variablen

Bisher haben wir nur Funktionen von zwei Variablen untersucht. Es ist jedoch sinnvoll, einen kurzen Blick auf Funktionen von mehr als zwei Variablen zu werfen. Zwei solcher Beispiele sind

[ underbrace{f(x,y,z)=x^2−2xy+y^2+3yz−z^2+4x−2y+3x−6}_{ ext{ein Polynom in drei Variablen}} ]

und

[g(x,y,t)=(x^2−4xy+y^2)sin t−(3x+5y)cos t.]

In der ersten Funktion stellt ((x,y,z)) einen Punkt im Raum dar, und die Funktion (f) ordnet jeden Punkt im Raum einer vierten Größe zu, beispielsweise Temperatur oder Windgeschwindigkeit. In der zweiten Funktion kann ((x,y)) einen Punkt in der Ebene darstellen und (t) kann die Zeit darstellen. Die Funktion könnte einen Punkt in der Ebene zu einer gegebenen Zeit (t) auf eine dritte Größe (z. B. Druck) abbilden. Das Verfahren zum Ermitteln des Definitionsbereichs einer Funktion von mehr als zwei Variablen ist analog dem Verfahren für Funktionen von einer oder zwei Variablen.

Beispiel (PageIndex{6}): Domänen für Funktionen von drei Variablen

Finden Sie die Domäne jeder der folgenden Funktionen:

  1. (f(x,y,z)=dfrac{3x−4y+2z}{sqrt{9−x^2−y^2−z^2}})
  2. (g(x,y,t)=dfrac{sqrt{2t−4}}{x^2−y^2})

Lösung:

A. Für die zu definierende Funktion (f(x,y,z)=dfrac{3x−4y+2z}{sqrt{9−x^2−y^2−z^2}}) (und sei ein reeller Wert) müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

  1. Der Nenner kann nicht null sein.
  2. Der Radikand kann nicht negativ sein.

Die Kombination dieser Bedingungen führt zur Ungleichung

[9−x^2−y^2−z^2>0. onumber]

Verschieben der Variablen auf die andere Seite und Umkehren der Ungleichung ergibt den Bereich als

[Domäne(f)={(x,y,z)∈R^3∣x^2+y^2+z^2<9}, onumber]

die eine Kugel mit Radius (3) beschreibt, die im Ursprung zentriert ist. (Hinweis: Die Oberfläche des Balls ist nicht in dieser Domäne enthalten.)

B. Damit die Funktion (g(x,y,t)=dfrac{sqrt{2t−4}}{x^2−y^2}) definiert ist (und ein reeller Wert ist), müssen zwei Bedingungen halten:

  1. Der Radikand kann nicht negativ sein.
  2. Der Nenner darf nicht null sein.

Da der Radikand nicht negativ sein kann, folgt daraus (2t−4≥0) und damit (t≥2). Da der Nenner nicht null sein kann, (x^2−y^2≠0) oder (x^2≠y^2), die in (y=±x) umgeschrieben werden können, sind dies die Gleichungen zweier Linien, die durch den Ursprung gehen. Daher ist der Definitionsbereich von (g)

[ Domäne(g)={(x,y,t)|y≠±x,t≥2}. keine Nummer]

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion (h(x,y,t)=(3t−6)sqrt{y−4x^2+4}).

Hinweis

Suchen Sie nach Werten, die Radikanden negativ oder Nenner gleich Null machen.

Lösung

[Domäne(h)={(x,y,t)inmathbb{R}^3∣y≥4x^2−4} onumber]

Funktionen von zwei Variablen haben Niveaukurven, die als Kurven in der (xy-Ebene.) dargestellt werden. Wenn die Funktion jedoch drei Variablen hat, werden die Kurven zu Flächen, sodass wir Niveauflächen für Funktionen von drei Variablen definieren können.

Definition: Ebene Oberfläche einer Funktion von drei Variablen

Gegeben eine Funktion (f(x,y,z)) und eine Zahl (c) im Bereich von (f), a ebene Fläche einer Funktion von drei Variablen ist definiert als die Menge von Punkten, die die Gleichung (f(x,y,z)=c.)

Beispiel (PageIndex{7}): Finden einer ebenen Fläche

Finden Sie die ebene Fläche für die Funktion (f(x,y,z)=4x^2+9y^2−z^2) entsprechend (c=1).

Lösung

Die ebene Fläche wird durch die Gleichung (4x^2+9y^2−z^2=1.) definiert. Diese Gleichung beschreibt ein Hyperboloid einer Schicht wie in Abbildung (PageIndex{12}) gezeigt.

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Gleichung der ebenen Fläche der Funktion

[ g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2−2x+4y−6z onumber]

entsprechend (c=2,) und beschreiben Sie die Fläche, wenn möglich.

Hinweis

Setze (g(x,y,z)=c) und vervollständige das Quadrat.

Lösung

((x−1)^2+(y+2)^2+(z−3)^2=16) beschreibt eine Kugel mit Radius (4) um den Punkt ((1,−2, 3).)

Zusammenfassung

  • Der Graph einer Funktion zweier Variablen ist eine Fläche in (mathbb{R}^3) und kann mit Hilfe von Pegelkurven und vertikalen Spuren untersucht werden.
  • Ein Satz von Höhenkurven wird als Konturkarte bezeichnet.

Schlüsselgleichungen

  • Vertikale Spur

(f(a,y)=z) für (x=a) oder (f(x,b)=z) für (y=b)

  • Ebene Oberfläche einer Funktion von drei Variablen

(f(x,y,z)=c)

Glossar

Konturkarte
ein Plot der verschiedenen Niveaukurven einer gegebenen Funktion (f(x,y))
Funktion von zwei Variablen
eine Funktion (z=f(x,y)), die jedes geordnete Paar ((x,y)) in einer Teilmenge (D) von (R^2) auf eine eindeutige reelle Zahl abbildet (z)
Graph einer Funktion zweier Variablen
eine Menge geordneter Tripel ((x,y,z)), die die Gleichung (z=f(x,y)) erfüllt, aufgetragen im dreidimensionalen kartesischen Raum
Niveaukurve einer Funktion zweier Variablen
die Menge von Punkten, die die Gleichung (f(x,y)=c) für eine reelle Zahl (c) im Bereich (f) erfüllt
ebene Fläche einer Funktion von drei Variablen
die Menge von Punkten, die die Gleichung (f(x,y,z)=c) für eine reelle Zahl (c) im Bereich von (f) erfüllt
Oberfläche
der Graph einer Funktion zweier Variablen, (z=f(x,y))
vertikale Spur
die Menge der geordneten Tripel ((c,y,z)), die die Gleichung (f(c,y)=z) für eine gegebene Konstante (x=c) löst oder die Menge der geordneten Tripel ((x,d,z)), das die Gleichung (f(x,d)=z) für eine gegebene Konstante (y=d) löst

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Teil A: Funktionen zweier Variablen, Tangentialapproximation und Optimierung

Wir beginnen diese Einheit, indem wir lernen, Funktionen mehrerer Variablen mithilfe von Graphen und Pegelkurven zu visualisieren. Anschließend werden wir partielle Ableitungen untersuchen. Diese werden in der Tangenten-Approximationsformel verwendet, die einer der Schlüssel zur Multivariablenrechnung ist. Es verbindet die geometrische und algebraische Seite des Themas und ist das höherdimensionale Analogon der Gleichung für die Tangente, die in der Einzelvariablenrechnung gefunden wird. Wir werden es in Teil B verwenden, um die Kettenregel zu entwickeln.

Wir werden unser Verständnis partieller Ableitungen auf die Lösung von Optimierungsproblemen ohne Beschränkungen anwenden. (In Teil C werden wir eingeschränkte Optimierungsprobleme lösen.)


Georgia Institute of Technology School of Mathematics | Georgia Institute of Technology | Atlanta, GA

Lineare Approximation und Taylor&rsquos-Theoreme, Lagrange-Vielfache und eingeschränkte Optimierung, multiple Integration und Vektoranalyse einschließlich der Theoreme von Green, Gauss und Stokes.

MATH 1502 ODER MATH 1512 ODER MATH 1555 ODER MATH 1504 ((MATH 1552 ODER MATH 15X2 ODER MATH 1X52) UND (MATH 1522 ODER MATH 1553 ODER MATH 1554 ODER MATH 1564 ODER MATH 1X53))

Thomas, Kalkül: Frühe Transzendentalen, (14. Aufl.)

Flussdiagramm, das die Lehrbuchauswahl für Herbst 2019 beschreibt.

Thema Textabschnitte Vorträge
Vektoren und Geometrie des Weltraums 12.2-12.6 3
Vektorbewertete Funktionen, Vektorrechnung, Tangenten, Bogenlänge, Bewegung im Raum 13.1-13.6 8
Funktionen mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, Gradienten, Extremwerte, Lagrange-Multiplikatoren, Satz von Taylor in mehreren Variablen 14.1-14.10 12
Doppel- und Dreifachintegrale 15.1-15.8 10
Vektoranalyse -- Linienintegrale, Oberflächenintegrale und die Theoreme von Green, Gauss und Stokes 16.1-16.8 10

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GT-Ressourcen für Mathematik

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13.1: Funktionen mehrerer Variablen - Mathematik

Einführung in die Berechnung von Funktionen mehrerer Variablen Berechnung von parametrisierten Kurven, Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen, Mehrfachintegrale, Vektorrechnung.

Voraussetzungen: Mathe 222. Die Schüler erhalten möglicherweise nicht sowohl Mathe 223 als auch Mathe 234

Mathematik 222 oder Vertiefungspraktikum

Differential- und Integralrechnung einer Variablen, Vektorarithmetik einschließlich Punkt- und Kreuzprodukten und Anwendungen auf die dreidimensionale analytische Geometrie.

Dieser Kurs baut auf den Fähigkeiten aus Mathematik 221 und 222 auf. Diese Fähigkeiten werden erweitert und neue Fähigkeiten werden hinzugefügt und die resultierenden Werkzeuge werden auf neue Anwendungen angewendet. Als spezifische Fähigkeiten werden die Studierenden in der Lage sein:

Verwenden Sie parametrische, verbale und grafische Darstellungen einer Kurve im 2- oder 3-Raum
Differenzieren Sie Vektorfunktionen und finden Sie den Tangentenvektor an eine parametrisierte Kurve
Integrieren Sie eine Vektorfunktion und finden Sie die Bogenlänge und parametrisieren Sie in Bezug auf die Bogenlänge
Bestimmen Sie die Krümmung und den Normalenvektor, den Binormalenvektor und die Normalenebene zu einer Kurve
Berechnen Sie Geschwindigkeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung für die Bewegung im Raum und lösen Sie Anfangswertprobleme für die Bewegung im Raum
Verwenden Sie Graphen und Niveaukurven für Funktionen von zwei Variablen und Niveauoberflächen für Funktionen von drei Variablen
Bestimmen Sie Grenzen und Stetigkeit für Funktionen von zwei oder drei Variablen
Berechnen Sie partielle Ableitungen aller Ordnungen und verwenden Sie verschiedene Notationen, um eine partielle Ableitung auszudrücken
Begründen Sie den Austausch der Differentiationsreihenfolge mit dem Satz von Clairault
Verwenden Sie die Kettenregel und implizite Differentiation, um partielle Ableitungen zu finden
Testen Sie eine Lösung einer partiellen Differentialgleichung und finden Sie die Lösung eines Anfangswertproblems mit der allgemeinen Lösung
Finden Sie eine Gleichung für die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion von zwei Variablen an einem bestimmten Punkt
Verwenden Sie Linearisierung (Differentiale), um Werte von Funktionen mehrerer Variablen anzunähern
Finden Sie den Gradienten eines Skalarfeldes
Richtungsableitungen auswerten und die Richtung der maximalen Änderungsrate bestimmen
Finden Sie eine Gleichung für die Tangentialebene an eine ebene Fläche einer Funktion von drei Variablen an einem bestimmten Punkt
Verwenden Sie partielle Ableitungen, um kritische Punkte für Funktionen von zwei oder drei Variablen zu finden, und verwenden Sie Werkzeuge wie den Test der zweiten Ableitung, um diese Punkte zu klassifizieren
Finden Sie absolute Extrema für Funktionen von zwei oder drei Variablen auf geschlossenen, beschränkten Gebieten
Bilden Sie eine Riemann-Summe, um ein für eine Anwendung geeignetes Doppel- oder Dreifachintegral abzuleiten
Erstellen und bewerten Sie iterierte Integrale über 2- und 3-dimensionale Regionen
Austauschreihenfolge zur Auswertung iterierter Integrale
Integrale in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten einrichten und auswerten und Änderungen zwischen Koordinatensystemen verwenden, um Integrale auszuwerten
Berechnen Sie Masse, erste Momente und Massenmittelpunkt für eine 2- oder 3-dimensionale Region mit einer vorgeschriebenen Dichtefunktion
Erstellen und bewerten Sie Linienintegrale für ein Skalarfeld in Bezug auf die Bogenlänge oder eine Koordinatenvariable entlang einer stückweise glatten parametrisierten Kurve im 2- oder 3-Raum
Linienintegrale für ein Vektorfeld in Bezug auf die Bogenlänge erstellen und auswerten
Verwenden Sie partielle Ableitungen, um zu testen, ob ein Vektorfeld konservativ ist, und finden Sie eine potenzielle Funktion, wenn sie ist
Verwenden Sie eine Potentialfunktion, um ein Linienintegral entlang einer gegebenen Kurve auszuwerten
Verwenden Sie den Satz von Green in Formen, die Fluss und Zirkulation beinhalten
Berechnen Sie Curl und Divergenz eines Vektorfeldes im Raum

Drei Stunden Vorlesung pro Woche (entweder 50 Minuten MWF oder 75 Minuten TR) und eine Stunde Diskussionsteil.

Dieser Kurs trägt in erster Linie zum Wissen der Studierenden in Mathematik und/oder Grundlagenwissenschaften auf College-Niveau bei, bietet jedoch keine experimentellen Nachweise.
(Einige Laborübungen verwenden echte Daten aus Experimenten, aber sie werden dem Schüler zur Verfügung gestellt und nicht vom Schüler persönlich gemessen.)

Die Infinitesimalrechnung ist ein grundlegendes Werkzeug sowohl in den natur- und ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen, die der Student belegen wird, als auch in der beruflichen Anwendung. Auch wenn der praktizierende Ingenieur möglicherweise einen Taschenrechner oder Computer verwendet, um eine Berechnung durchzuführen, ist es wichtig, dass er/sie weiß, was die Technologie leisten soll und wie er feststellen kann, ob die Antwort angemessen ist.

Dieser Studiengang richtet sich an Studierende verschiedener ingenieurwissenschaftlicher Studiengänge. Der folgende Absatz beschreibt, wie der Studiengang zu den Bildungszielen der Hochschule beiträgt.

Die in diesem Kurs erlernten Fähigkeiten sind für den Erfolg in den meisten naturwissenschaftlichen und technischen Kursen, die der Student belegen wird, unerlässlich, und der Kurs verwendet Beispiele, die in diese Kurse einfließen. Darüber hinaus baut der Kurs ein Verständnis dafür auf, wie abstrakte Grundlagen konkrete Technologien unterstützen und sich häufig in diese weiterentwickeln.


13.1: Funktionen mehrerer Variablen - Mathematik

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Berechnung mehrerer Variablen - Tutorial mit Problemen, Lösungen, MCQ-Quiz - Teil III: Mehrere Integrale, Doppel- und Dreifachintegrale

Falls Sie einen Blick auf andere Tutorials werfen möchten, die wir zu Calculus of multiple variables haben:

Hier ist der Umriss dessen, was wir in diesem Tutorial behandeln werden

1. Mehrfachintegrale: Erweiterungen eines einzelnen Integrals auf zwei, drei oder mehr Dimensionen werden als Mehrfachintegrale bezeichnet.
2. Fläche einer Region: Berechnung der Fläche einer gegebenen Region unter Verwendung von Doppelintegralen.
3. Volumen unter einer Oberfläche: Berechnung des Volumens der Region unter Verwendung mehrerer Integrale.


Volumen einer Region, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Festkörpers.

Durchführen von Transformationen, die uns helfen, die Variablen in Doppel- und Dreifachintegralen zu ändern.

1. Ermitteln Sie das Volumen des Festkörpers unter der Ebene z = 2x + 4y und darüber
das Rechteck [3, 12] × [2, 4].
2. Finden Sie die Fläche des Dreiecks
R = <(x, y) :0xb,0ymx >
Verwenden Sie Doppelintegrale und zeigen Sie, dass dies die übliche Formel y = (Basis)(Höhe)/2 . ergibt
3 . Bestimme das Volumen des Tetraeders, das durch die Koordinatenebenen begrenzt wird
und die Ebene z = 6 − 2x − 3y.
4. Bestimmen Sie das Volumen des Festkörpers im ersten Oktanten, der durch die
Paraboloid z=9-x2-y2 und die xy-Ebene.
5. Lösen Sie das obige Problem mit Zylinderkoordinaten
6. Finden Sie eine Formel für die Fläche eines Kreises mit Radius a mit Doppelintegralen.
7. Finden Sie eine Formel für die Fläche eines Kreises mit dem Radius a unter Verwendung von Polarintegralen.
8. Finden Sie den Wert von -e-x2dx
9. Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Teils der Fläche z=9-x2, der im ersten Quadranten über dem Viertelkreis x2+y2=9 liegt.
10 .Finden Sie eine Formel für die Oberfläche einer Kugel vom Radius a.
Bestimmen Sie das Volumen des Festkörpers im ersten Oktanten, der durch die
Flächen y2+64z2=4 und y=x
13. Bestimmen Sie das Volumen der Kugel mit dem Radius a zentriert im Ursprung.
16. Finden Sie die kartesischen Koordinaten entsprechend dem Punkt (3,-7/6)
18. Ein Festkörper füllt den Bereich zwischen zwei konzentrischen Kugeln mit den Radien a und b, 0<a<b.
Die Dichte an jedem Punkt ist umgekehrt proportional zu seinem Quadrat der Entfernung von der Region. Finden Sie die Gesamtmasse.
19. Bestimmen Sie das Volumen des Festkörpers, der zwischen den Flächen x2+y2=a2 und x2+z2=a2 . eingeschlossen ist
22. Der Zylinder x2+z2=1 wird durch die Ebenen y=0 , z=0 und x=y geschnitten. Finden Sie die
Volumen der Region im ersten Oktanten.
26. Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer Platte, deren Dichte (x,y) konstant ist und durch die Kurven y=x2 und y=x+2 begrenzt wird.


Berechnung mehrerer Variablen

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Kurskalender.
LEC-Nr. THEMEN
1 Vektoren in R 2 und R 3
2 Skalarprodukt
3 Kreuzprodukt
4 Ebenen und Entfernungen
5 n-dimensionaler Raum
6 Zylinder- und Kugelkoordinaten
7 Funktionen
8 Grenzen
9 Die Ableitung
10 Mehr über Derivate
11 Höhere Ableitungen
12 Kettenregel
13 Implizite Funktionen
14 Parametrierte Kurven
15 Bogenlänge
16 Verschieben von Rahmen
17 Vektorfelder
18 Div Grad Curl und so weiter
19 Taylor-Polynome
20 Maxima und Minima: I
21 Maxima und Minima: II
22 Doppelintegrale
23 Inklusion Exklusion
24 Dreifachintegrale
25 Koordinatenänderung: I
26 Koordinatenänderung: II
27 Linienintegrale
28 Verteiler mit Begrenzung
29 Konservative Vektorfelder überarbeitet
30 Oberflächenintegrale
31 Fluss
32 Stokes-Theorem
33 Gauß-Theorem
34 Formen auf R n

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13.1: Funktionen mehrerer Variablen - Mathematik

Im vorherigen Abschnitt haben wir optimiert (d.h. fand die absoluten Extrema) eine Funktion auf einem Gebiet, das seine Grenze enthielt. Potentielle optimale Punkte im Inneren der Region zu finden ist im Allgemeinen nicht schlecht, wir mussten nur die kritischen Punkte finden und in die Funktion einbinden. Wie wir jedoch in den Beispielen gesehen haben, war das Finden potenzieller optimaler Punkte an der Grenze oft ein ziemlich langer und chaotischer Prozess.

In diesem Abschnitt werfen wir einen Blick auf eine andere Möglichkeit, eine Funktion unter bestimmten Randbedingungen zu optimieren. Die Einschränkung(en) können die Gleichung(en) sein, die die Grenze einer Region beschreiben, obwohl wir uns in diesem Abschnitt nicht auf diese Arten von Problemen konzentrieren, da diese Methode nur eine allgemeine Einschränkung erfordert und es nicht wirklich darauf ankommt, wo die Einschränkung kam aus.

Also, lass uns die Dinge einrichten. Wir wollen optimieren (d.h. finde den minimalen und maximalen Wert von) einer Funktion, (fleft( ight)), vorbehaltlich der Einschränkung (gleft( echts) = k). Again, the constraint may be the equation that describes the boundary of a region or it may not be. The process is actually fairly simple, although the work can still be a little overwhelming at times.

Method of Lagrange Multipliers

  1. Solve the following system of equations. [Start abla fleft( ight) & = lambda ,, abla gleft( ight) gleft( ight) & = kend]
  2. Plug in all solutions, (left( ight)), from the first step into (fleft( ight)) and identify the minimum and maximum values, provided they exist and ( abla g e vec<0>) at the point.

The constant, (lambda ), is called the Lagrange Multiplier.

Notice that the system of equations from the method actually has four equations, we just wrote the system in a simpler form. To see this let’s take the first equation and put in the definition of the gradient vector to see what we get.

[leftlangle <,,> ight angle = lambda leftlangle <,,> ight angle = leftlangle ,lambda ,lambda > ight angle ]

In order for these two vectors to be equal the individual components must also be equal. So, we actually have three equations here.

These three equations along with the constraint, (gleft( ight) = c), give four equations with four unknowns (x), (y), (z), and (lambda ).

Note as well that if we only have functions of two variables then we won’t have the third component of the gradient and so will only have three equations in three unknowns (x), (y), and (lambda ).

As a final note we also need to be careful with the fact that in some cases minimums and maximums won’t exist even though the method will seem to imply that they do. In every problem we’ll need to make sure that minimums and maximums will exist before we start the problem.

To see a physical justification for the formulas above. Let’s consider the minimum and maximum value of (fleft( ight) = 8 - 2y) subject to the constraint ( + = 1). In the practice problems for this section (problem #2 to be exact) we will show that minimum value of (fleft( ight)) is -2 which occurs at (left( <0,1> ight)) and the maximum value of (fleft( ight)) is 8.125 which occurs at (left( < - frac<<3sqrt 7 >><8>, - frac<1><8>> ight)) and (left( ><8>, - frac<1><8>> ight)).

Here is a sketch of the constraint as well as (fleft( ight) = k) for various values of (k).

First remember that solutions to the system must be somewhere on the graph of the constraint, ( + = 1) in this case. Because we are looking for the minimum/maximum value of (fleft( ight)) this, in turn, means that the location of the minimum/maximum value of (fleft( ight)), d.h. the point (left( ight)), must occur where the graph of (fleft( ight) = k) intersects the graph of the constraint when (k) is either the minimum or maximum value of (fleft( ight)).

Now, we can see that the graph of (fleft( ight) = - 2), d.h. the graph of the minimum value of (fleft( ight)), just touches the graph of the constraint at (left( <0,1> ight)). In fact, the two graphs at that point are tangent.

If the two graphs are tangent at that point then their normal vectors must be parallel, d.h. the two normal vectors must be scalar multiples of each other. Mathematically, this means,

[ abla fleft( ight) = lambda ,, abla gleft( Rechts)]

for some scalar (lambda ) and this is exactly the first equation in the system we need to solve in the method.

Note as well that if (k) is smaller than the minimum value of (fleft( ight)) the graph of (fleft( ight) = k) doesn’t intersect the graph of the constraint and so it is not possible for the function to take that value of (k) at a point that will satisfy the constraint.

Likewise, if (k) is larger than the minimum value of (fleft( ight)) the graph of (fleft( ight) = k) will intersect the graph of the constraint but the two graphs are not tangent at the intersection point(s). This means that the method will not find those intersection points as we solve the system of equations.

Next, the graph below shows a different set of values of (k). In this case, the values of (k) include the maximum value of (fleft( ight)) as well as a few values on either side of the maximum value.

Again, we can see that the graph of (fleft( ight) = 8.125) will just touch the graph of the constraint at two points. This is a good thing as we know the solution does say that it should occur at two points. Also note that at those points again the graph of (fleft( ight) = 8.125)and the constraint are tangent and so, just as with the minimum values, the normal vectors must be parallel at these points.

Likewise, for value of (k) greater than 8.125 the graph of (fleft( ight) = k) does not intersect the graph of the constraint and so it will not be possible for (fleft( ight)) to take on those larger values at points that are on the constraint.

Also, for values of (k) less than 8.125 the graph of (fleft( ight) = k) does intersect the graph of the constraint but will not be tangent at the intersection points and so again the method will not produce these intersection points as we solve the system of equations.

So, with these graphs we’ve seen that the minimum/maximum values of (fleft( ight)) will come where the graph of (fleft( ight) = k) and the graph of the constraint are tangent and so their normal vectors are parallel. Also, because the point must occur on the constraint itself. In other words, the system of equations we need to solve to determine the minimum/maximum value of (fleft( ight)) are exactly those given in the above when we introduced the method.

Note that the physical justification above was done for a two dimensional system but the same justification can be done in higher dimensions. The difference is that in higher dimensions we won’t be working with curves. For example, in three dimensions we would be working with surfaces. However, the same ideas will still hold. At the points that give minimum and maximum value(s) of the surfaces would be parallel and so the normal vectors would also be parallel.

Let’s work a couple of examples.

Before we start the process here note that we also saw a way to solve this kind of problem in Calculus I, except in those problems we required a condition that related one of the sides of the box to the other sides so that we could get down to a volume and surface area function that only involved two variables. We no longer need this condition for these problems.

Now, let’s get on to solving the problem. We first need to identify the function that we’re going to optimize as well as the constraint. Let’s set the length of the box to be (x), the width of the box to be (y) and the height of the box to be (z). Let’s also note that because we’re dealing with the dimensions of a box it is safe to assume that (x), (y), and (z) are all positive quantities.

We want to find the largest volume and so the function that we want to optimize is given by,

Next, we know that the surface area of the box must be a constant 64. So this is the constraint. The surface area of a box is simply the sum of the areas of each of the sides so the constraint is given by,

[2xy + 2xz + 2yz = 64hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>xy + xz + yz = 32]

Note that we divided the constraint by 2 to simplify the equation a little. Also, we get the function (gleft( ight)) from this.

The function itself, (fleft( ight) = xyz) will clearly have neither minimums or maximums unless we put some restrictions on the variables. The only real restriction that we’ve got is that all the variables must be positive. This, of course, instantly means that the function does have a minimum, zero, even though this is a silly value as it also means we pretty much don’t have a box. It does however mean that we know the minimum of (fleft( ight)) does exist.

So, let’s now see if (fleft( ight)) will have a maximum. Clearly, hopefully, (fleft( ight)) will not have a maximum if all the variables are allowed to increase without bound. That however, can’t happen because of the constraint,

Here we’ve got the sum of three positive numbers (remember that we (x), (y), and (z) are positive because we are working with a box) and the sum must equal 32. So, if one of the variables gets very large, say (x), then because each of the products must be less than 32 both (y) and (z) must be very small to make sure the first two terms are less than 32. So, there is no way for all the variables to increase without bound and so it should make some sense that the function, (fleft( ight) = xyz), will have a maximum.

This is not an exact proof that (fleft( ight)) will have a maximum but it should help to visualize that (fleft( ight)) should have a maximum value as long as it is subject to the constraint.

Here are the four equations that we need to solve.

There are many ways to solve this system. We’ll solve it in the following way. Let’s multiply equation (eqref) by (x), equation (eqref) by (y) and equation (eqref) by (z). This gives,

Now notice that we can set equations (eqref) and (eqref) equal. Dies gibt,

[Startlambda xleft( ight) & = lambda yleft( ight) lambda left( ight) - lambda left( ight) &= 0 lambda left( ight) & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>lambda = 0,,,,,,>,,,,,xz = yzend]

This gave two possibilities. The first, (lambda = 0) is not possible since if this was the case equation (eqref) would reduce to

Since we are talking about the dimensions of a box neither of these are possible so we can discount (lambda = 0). This leaves the second possibility.

Since we know that (z e 0) (again since we are talking about the dimensions of a box) we can cancel the (z) from both sides. This gives,

Next, let’s set equations (eqref) and (eqref) equal. Dies gibt,

[Startlambda yleft( ight) & = lambda zleft( ight) lambda left( ight) & = 0 lambda left( ight) & = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>lambda = 0,,,>,,,,yx = zxend]

As already discussed we know that (lambda = 0) won’t work and so this leaves,

We can also say that (x e 0)since we are dealing with the dimensions of a box so we must have,

Plugging equations (eqref) and (eqref) into equation (eqref) we get,

However, we know that (y) must be positive since we are talking about the dimensions of a box. Therefore, the only solution that makes physical sense here is

So, it looks like we’ve got a cube.

We should be a little careful here. Since we’ve only got one solution we might be tempted to assume that these are the dimensions that will give the largest volume. Anytime we get a single solution we really need to verify that it is a maximum (or minimum if that is what we are looking for).

This is actually pretty simple to do. First, let’s note that the volume at our solution above is,

Now, we know that a maximum of (fleft( ight)) will exist (“proved” that earlier in the solution) and so to verify that that this really is a maximum all we need to do if find another set of dimensions that satisfy our constraint and check the volume. If the volume of this new set of dimensions is smaller that the volume above then we know that our solution does give a maximum.

If, on the other hand, the new set of dimensions give a larger volume we have a problem. We only have a single solution and we know that a maximum exists and the method should generate that maximum. So, in this case, the likely issue is that we will have made a mistake somewhere and we’ll need to go back and find it.

So, let’s find a new set of dimensions for the box. The only thing we need to worry about is that they will satisfy the constraint. Outside of that there aren’t other constraints on the size of the dimensions. So, we can freely pick two values and then use the constraint to determine the third value.

Let’s choose (x = y = 1). No reason for these values other than they are “easy” to work with. Plugging these into the constraint gives,

[1 + z + z = 32hspace <0.25in> o hspace<0.25in>2z = 31hspace <0.25in> o hspace<0.25in>z = frac<<31>><2>]

So, this is a set of dimensions that satisfy the constraint and the volume for this set of dimensions is,

So, the new dimensions give a smaller volume and so our solution above is, in fact, the dimensions that will give a maximum volume of the box are (x = y = z = ,3.266)

Notice that we never actually found values for (lambda ) in the above example. This is fairly standard for these kinds of problems. The value of (lambda ) isn’t really important to determining if the point is a maximum or a minimum so often we will not bother with finding a value for it. On occasion we will need its value to help solve the system, but even in those cases we won’t use it past finding the point.

This one is going to be a little easier than the previous one since it only has two variables. Also, note that it’s clear from the constraint that region of possible solutions lies on a disk of radius (sqrt <136>) which is a closed and bounded region, ( - sqrt <136>le x,y le sqrt <136>), and hence by the Extreme Value Theorem we know that a minimum and maximum value must exist.

Here is the system that we need to solve.

[Start5 & = 2lambda x - 3 & = 2lambda y + & = 136end]

Notice that, as with the last example, we can’t have (lambda = 0) since that would not satisfy the first two equations. So, since we know that (lambda e 0)we can solve the first two equations for (x) and (y) respectively. This gives,

Plugging these into the constraint gives,

We can solve this for (lambda ).

Now, that we know (lambda ) we can find the points that will be potential maximums and/or minimums.

and if (lambda = frac<1><4>) we get,

To determine if we have maximums or minimums we just need to plug these into the function. Also recall from the discussion at the start of this solution that we know these will be the minimum and maximums because the Extreme Value Theorem tells us that minimums and maximums will exist for this problem.

Here are the minimum and maximum values of the function.

In the first two examples we’ve excluded (lambda = 0) either for physical reasons or because it wouldn’t solve one or more of the equations. Do not always expect this to happen. Sometimes we will be able to automatically exclude a value of (lambda ) and sometimes we won’t.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.

First note that our constraint is a sum of three positive or zero number and it must be 1. Therefore, it is clear that our solution will fall in the range (0 le x,y,z le 1) and so the solution must lie in a closed and bounded region and so by the Extreme Value Theorem we know that a minimum and maximum value must exist.

Here is the system of equation that we need to solve.

Let’s start this solution process off by noticing that since the first three equations all have (lambda ) they are all equal. So, let’s start off by setting equations (eqref) and (eqref) equal.

So, we’ve got two possibilities here. Let’s start off with by assuming that (z = 0). In this case we can see from either equation (eqref) or (eqref) that we must then have (lambda = 0). From equation (eqref) we see that this means that (xy = 0). This in turn means that either (x = 0) or (y = 0).

So, we’ve got two possible cases to deal with there. In each case two of the variables must be zero. Once we know this we can plug into the constraint, equation (eqref), to find the remaining value.

[Startz = 0,,,x = 0 & : & Rightarrow hspace<0.25in>y = 1 z = 0,,,y = 0 & : & Rightarrow hspace<0.25in>x = 1end]

So, we’ve got two possible solutions (left( <0,1,0> ight)) and (left( <1,0,0> ight)).

Now let’s go back and take a look at the other possibility, (y = x). We also have two possible cases to look at here as well.

This first case is(x = y = 0). In this case we can see from the constraint that we must have (z = 1) and so we now have a third solution (left( <0,0,1> ight)).

The second case is (x = y e 0). Let’s set equations (eqref) and (eqref) equal.

Now, we’ve already assumed that (x e 0) and so the only possibility is that (z = y). However, this also means that,

Using this in the constraint gives,

So, the next solution is (left( <3>,frac<1><3>,frac<1><3>> ight)).

We got four solutions by setting the first two equations equal.

To completely finish this problem out we should probably set equations (eqref) and (eqref) equal as well as setting equations (eqref) and (eqref) equal to see what we get. Dies gibt,

Both of these are very similar to the first situation that we looked at and we’ll leave it up to you to show that in each of these cases we arrive back at the four solutions that we already found.

So, we have four solutions that we need to check in the function to see whether we have minimums or maximums.

So, in this case the maximum occurs only once while the minimum occurs three times.

Note as well that we never really used the assumption that (x,y,z ge 0) in the actual solution to the problem. We used it to make sure that we had a closed and bounded region to guarantee we would have absolute extrema. To see why this is important let's take a look at what might happen without this assumption Without this assumption it wouldn’t be too difficult to find points that give both larger and smaller values of the functions. For example.

With these examples you can clearly see that it’s not too hard to find points that will give larger and smaller function values. However, all of these examples required negative values of (x), (y) and/or (z) to make sure we satisfy the constraint. By eliminating these we will know that we’ve got minimum and maximum values by the Extreme Value Theorem.

Before we proceed we need to address a quick issue that the last example illustrates about the method of Lagrange Multipliers. We found the absolute minimum and maximum to the function. However, what we did not find is all the locations for the absolute minimum. For example, assuming (x,y,zge 0), consider the following sets of points.

Every point in this set of points will satisfy the constraint from the problem and in every case the function will evaluate to zero and so also give the absolute minimum.

So, what is going on? Recall from the previous section that we had to check both the critical points and the boundaries to make sure we had the absolute extrema. The same was true in Calculus I. We had to check both critical points and end points of the interval to make sure we had the absolute extrema.

It turns out that we really need to do the same thing here if we want to know that we’ve found all the locations of the absolute extrema. The method of Lagrange multipliers will find the absolute extrema, it just might not find all the locations of them as the method does not take the end points of variables ranges into account (note that we might luck into some of these points but we can’t guarantee that).

So, after going through the Lagrange Multiplier method we should then ask what happens at the end points of our variable ranges. For the example that means looking at what happens if (x=0), (y=0), (z=0), (x=1), (y=1), and (z=1). In the first three cases we get the points listed above that do happen to also give the absolute minimum. For the later three cases we can see that if one of the variables are 1 the other two must be zero (to meet the constraint) and those were actually found in the example. Sometimes that will happen and sometimes it won’t.

In the case of this example the end points of each of the variable ranges gave absolute extrema but there is no reason to expect that to happen every time. In Example 2 above, for example, the end points of the ranges for the variables do not give absolute extrema (we’ll let you verify this).

The moral of this is that if we want to know that we have every location of the absolute extrema for a particular problem we should also check the end points of any variable ranges that we might have. If all we are interested in is the value of the absolute extrema then there is no reason to do this.

Okay, it’s time to move on to a slightly different topic. To this point we’ve only looked at constraints that were equations. We can also have constraints that are inequalities. The process for these types of problems is nearly identical to what we’ve been doing in this section to this point. The main difference between the two types of problems is that we will also need to find all the critical points that satisfy the inequality in the constraint and check these in the function when we check the values we found using Lagrange Multipliers.

Let’s work an example to see how these kinds of problems work.

Note that the constraint here is the inequality for the disk. Because this is a closed and bounded region the Extreme Value Theorem tells us that a minimum and maximum value must exist.

The first step is to find all the critical points that are in the disk (d.h. satisfy the constraint). This is easy enough to do for this problem. Here are the two first order partial derivatives.

[Start & = 8x & & Rightarrow hspace<0.25in>,,,8x = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,x = 0 & = 20y & & Rightarrow hspace<0.25in>20y = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,y = 0end]

So, the only critical point is (left( <0,0> ight)) and it does satisfy the inequality.

At this point we proceed with Lagrange Multipliers and we treat the constraint as an equality instead of the inequality. We only need to deal with the inequality when finding the critical points.

So, here is the system of equations that we need to solve.

[Start8x & = 2lambda x 20y & = 2lambda y + & = 4end]

From the first equation we get,

If we have (x = 0) then the constraint gives us (y = pm ,2).

If we have (lambda = 4) the second equation gives us,

[20y = 8yhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,y = 0]

The constraint then tells us that (x = pm ,2).

If we’d performed a similar analysis on the second equation we would arrive at the same points.

So, Lagrange Multipliers gives us four points to check :(left( <0,2> ight)), (left( <0, - 2> ight)), (left( <2,0> ight)), and (left( < - 2,0> ight)).

To find the maximum and minimum we need to simply plug these four points along with the critical point in the function.

In this case, the minimum was interior to the disk and the maximum was on the boundary of the disk.

The final topic that we need to discuss in this section is what to do if we have more than one constraint. We will look only at two constraints, but we can naturally extend the work here to more than two constraints.

We want to optimize (fleft( ight)) subject to the constraints (gleft( ight) = c) and (hleft( ight) = k). The system that we need to solve in this case is,

[Start abla fleft( ight) & = lambda abla gleft( ight) + mu abla hleft( ight) gleft( ight) & = c hleft( ight) & = kend]

So, in this case we get two Lagrange Multipliers. Also, note that the first equation really is three equations as we saw in the previous examples. Let’s see an example of this kind of optimization problem.

Verifying that we will have a minimum and maximum value here is a little trickier. Clearly, because of the second constraint we’ve got to have ( - 1 le x,y le 1). With this in mind there must also be a set of limits on (z) in order to make sure that the first constraint is met. If one really wanted to determine that range you could find the minimum and maximum values of (2x - y) subject to ( + = 1) and you could then use this to determine the minimum and maximum values of (z). We won’t do that here. The point is only to acknowledge that once again the possible solutions must lie in a closed and bounded region and so minimum and maximum values must exist by the Extreme Value Theorem.

Here is the system of equations that we need to solve.

First, let’s notice that from equation (eqref) we get (lambda = 2). Plugging this into equation (eqref) and equation (eqref) and solving for (x) and (y) respectively gives,

[Start0 & = 4 + 2mu x & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>x = - frac<2> 4 & = - 2 + 2mu y & hspace <0.1in>& Rightarrow hspace<0.5in>y = frac<3>end]

Now, plug these into equation (eqref).

So, we have two cases to look at here. First, let’s see what we get when (mu = sqrt <13>). In this case we know that,

Plugging these into equation (eqref) gives,

Let’s now see what we get if we take (mu = - sqrt <13>). Here we have,

Plugging these into equation (eqref) gives,

and there’s a second solution.

Now all that we need to is check the two solutions in the function to see which is the maximum and which is the minimum.


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