Artikel

2.7: Sätze und Vermutungen über Primzahlen


Wir haben bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Hier stellt sich natürlich die Frage: Können wir abschätzen, wie viele Primzahlen weniger als eine gegebene Zahl gibt? Der Satz, der diese Frage beantwortet, ist der Primzahlensatz. Wir bezeichnen mit (pi(x)) die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene positive Zahl (x). Viele Mathematiker arbeiteten an diesem Theorem und vermuteten viele Schätzungen, bevor Tschebyschew schließlich feststellte, dass die Schätzung (x/log x) ist. Der Primzahlensatz wurde schließlich 1896 bewiesen, als Hadamard und Poussin unabhängige Beweise lieferten. Bevor wir den Primzahlensatz aufstellen, stellen und beweisen wir ein Lemma mit Primzahlen, das in den kommenden Kapiteln verwendet wird.

Lemma

Sei (p) eine Primzahl und (minmathbb{Z^+}). Dann ist die höchste Potenz von (p), die (m!) teilt, [sum_{i=1}^inftyleft[frac{m}{p^i} ight]]

Unter allen ganzen Zahlen von 1 bis (m) gibt es genau (left[frac{m}{p} ight]) ganze Zahlen, die durch (p) teilbar sind. Diese sind (p,2p,...,left[frac{m}{p} ight]p). Ähnlich sehen wir, dass es (left[frac{m}{p^i} ight]) ganze Zahlen gibt, die durch (p^i) teilbar sind. Als Ergebnis ist die höchste Potenz von (p), die (m!) dividiert,

[sum_{igeq 1}ileft{left[frac{m}{p^i} ight]-left[frac{m}{p^{i+1}} rechts] ight}=sum_{igeq 1} left[frac{m}{p^i} ight]]

Der Primzahlensatz

Sei (x>0) dann [pi(x)sim x/log x]

Dieser Satz sagt also, dass Sie nicht alle Primzahlen kleiner als (x) finden müssen, um ihre Zahl zu ermitteln. Es reicht aus, (x/log x) für große (x) auszuwerten, um zu finden eine Schätzung für die Anzahl der Primzahlen. Beachten Sie, dass ich erwähnt habe, dass (x) groß genug sein muss, um diese Schätzung verwenden zu können.

Mehrere andere Sätze wurden über Primzahlen bewiesen. viele große Mathematiker haben sich Problemen genähert, die mit Primzahlen zusammenhängen. Es gibt noch viele offene Probleme, von denen wir einige erwähnen wollen.

Zwillingsprimum-Vermutung

Es gibt unendlich viele Primpaare (p) und (p+2).

Goldbachs Vermutung

Jede gerade positive ganze Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

Die (n^2+1)-Vermutung

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form (n^2+1), wobei (n) eine positive ganze Zahl ist.

Polignac-Vermutung

Für jede gerade Zahl (2n) gibt es unendlich viele Paare von aufeinanderfolgenden Primzahlen, die sich um (2n) unterscheiden.

Opperman-Vermutung

Gibt es immer eine Primzahl zwischen (n^2) und ((n+1)^2)?


Ich schließe mich Martins Empfehlung von Pomerance & Crandall an.

Auf der Popularisierungsebene haben wir Bücher wie die von George P. Loweke Die Lehre der Primzahlen und David Wells Primzahlen: Die mysteriösesten Zahlen der Mathematik.

Irgendwo in der Mitte ist Ribenboims Kleines Buch der größeren Primzahlen.

Auf einem fortgeschritteneren Niveau gibt es Bücher wie Fine & Rosenberger's Zahlentheorie: Eine Einführung über die Verteilung von Primzahlen und David Cox Primzahlen der Form $x^2 + ny^2$: Aus Fermat, Klassenkörpertheorie und komplexer Multiplikation. Das ist im computergestützten Katalog Ihrer Bibliothek möglicherweise etwas schwierig zu suchen, und es setzt viel Wissen über fortgeschrittene Algebra voraus.

Das sind übrigens alles Bücher, die ich schon mal aus einer Bibliothek ausgeliehen habe. Wenn ich Sie wäre, würde ich nur beiläufig in der Nähe von QA 240 in Ihrer Universitätsbibliothek und 510 in Ihrer öffentlichen Bibliothek stöbern.


4 Antworten 4

Unter Annahme der Polignac-Vermutung werden wir immer zwei Primzahlen $(c,d)$ finden können, so dass

(der Abstand zwischen $a$ und $b$ entlang der $x$-Achse ist gleich dem Negativen des Abstands zwischen $c$ und $d$) und

($a$ und $b$ und $c$ und $d$ enden mit den gleichen Ziffern).

Dies definiert ein gleichschenkliges Trapez, das immer ein zyklisches Viereck ist (ein Viereck, so dass ein Kreis mit seinen 4 Ecken gezeichnet werden kann.

Wenn $a = b mod 10 $ gilt, gilt das obige Argument wahrscheinlich immer noch, aber ich habe keinen Beweis gefunden.

Hier ist eine lose Intuition, um Sie davon zu überzeugen, dass es genauso schwer ist wie die Zwillingsprimus-Vermutung. Vor allem, um Sie davon zu überzeugen, dass es keinen Sinn hat, es zu beweisen oder zu widerlegen:

Höchstens so hart wie die Zwillings-Prime-Vermutung:
Nehmen Sie zwei Primzahlen $p_1,p_2$. Wenn die Zwillings-Primzahl-Vermutung wahr ist, ist es vernünftig zu erwarten, dass für gerade $2k geq 2$ und $n mod 10$ unendlich viele Primpaare $(q_1,q_2)$ mit $q_2-q_1 = 2k$ und $q_1 equiv n pmod<10>$. 1 Dann können wir für jedes gegebene $p_1,p_2$, das nicht kongruent mod $10$ ist, zwei andere Primzahlen finden, um ein Trapez zu bilden. Dies kümmert sich zumindest um den Fall, dass $p_1,p_2$ nicht deckungsgleich sind.

Mindestens so schwer wie die Zwillings-Prime-Vermutung:
Vier Punkte mit den Koordinaten $(x_i,y_i)$ sind konzyklisch, wenn $egin 1 & x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 1 & x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 1 & x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 1 & x_4 & y_4 & x_4^2 + y_4^2 end = 0$ Dies ergibt für jedes Primpaar $(p_1,p_2)$ eine Gleichung vom Grad $4$ in zwei Primzahlen $q_1,q_2$ (und ihre Reste mod $10$). Aktuelle Methoden beweisen noch lange nicht, dass es tatsächlich eine Lösung gibt, wir können nicht einmal zeigen, dass die Gleichung vom Grad 1 (!) $q_2-q_1-2k = 0$ für jedes $k$ eine Lösung hat.

1 Allerdings erschien vor einigen Jahren ein Artikel mit einigen Berechnungen, der darauf hindeutet, dass die Verteilung des Rests von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen mod einer gegebenen ganzen Zahl nicht einheitlich ist. Trotzdem.


Goldbachs Vermutung

Dies ist ein weiteres einfach formuliertes Problem. Goldbachs Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als zwei als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann. Dies gilt sicherlich für kleinere Zahlen: 4 = 2 + 2, 8 = 5 + 3, 20 = 13 + 7, aber es ist nicht für alle geraden Zahlen bewiesen.

Forscher, die mit Computern des 21. Jahrhunderts und gut gestalteten Programmen ausgestattet sind, haben die Vermutung für gerade Zahlen bis zu 4.000.000.000.000.000.000 bestätigt. Dies ist ein ziemlich guter Beweis für die Vermutung, aber in der Mathematik reicht es nicht aus, zu sagen, dass eine Vermutung für alle Zahlen gilt, die kleiner als eine lächerlich hohe endliche Schranke sind, um zu sagen, dass sie für alle Zahlen gilt.


MAT 112 Antike und Gegenwartsmathematik

Es war relativ einfach zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Satz 10.4.1). Um zu einem neuen mathematischen Ergebnis zu kommen, ist oft viel Studium, Forschung und Einsicht erforderlich. Ideen entstehen, Schritte in Richtung eines Beweises werden unternommen, und manchmal müssen diese Ideen optimiert werden. In diesem Prozess ist es möglich, eine für wahr gehaltene, aber nicht formal bewiesene Aussage zu entwickeln. Eine solche Aussage heißt a Vermutung und ist in der Mathematik oft als ein . bekannt offenes Problem. Wir schließen diesen Abschnitt mit einer wichtigen Vermutung über Primzahlen ab. Obwohl die Aussage der Vermutung leicht verständlich ist und Computerexperimente kein Gegenbeispiel gefunden haben, wissen wir nicht, ob sie wahr ist.

Einen Überblick über die Zwillings-Primzahl-Vermutung geben wir im Video in Abbildung 10.5.1. Weitere Details werden unten gegeben.

Wir beginnen mit der Definition von Zwillingsprimzahlen.

Definition 10.5.2.
Beispiel 10.5.3 . Zwillingsprimas.

Die ersten vier Primzahlzwillingspaare sind

Aufgabe 10.5.4. Erkenne Zwillingsprimzahlen.

Bestimme, ob (89) Teil eines Zwillingsprimepaares ist oder nicht.

Aufgabe 10.5.5. Erkenne Zwillingsprimzahlen.

Bestimme, ob (137) Teil eines Zwillingsprimepaares ist oder nicht.

Die Twin-Prime-Vermutung ist die Behauptung, dass es unendlich viele Primzahl-Zwillingspaare gibt.

Vermutung 10.5.6. Zwillingsprimum-Vermutung.

Es gibt unendlich viele Primzahlen (p) so dass (p + 2) auch prim ist.

Dies ist die erste (und einzige) Vermutung, die Ihnen in diesem Kurs begegnen wird. Es ist wichtig, Vermutungen und Sätze zu unterscheiden. Sowohl Vermutungen als auch Theoreme sind Aussagen. Während Theoreme wahre Aussagen sind, hat für eine Vermutung noch niemand entschieden, ob sie wahr oder falsch ist. Sobald durch einen Beweis festgestellt wird, dass eine Vermutung wahr ist, wird sie zu einem Theorem. Siehe auch die Behandlung dieses Themas im Vorwort in Unterabschnitt 4.

Kontrollpunkt 10.5.7 . Sind das Vermutungen, Definitionen oder Theoreme?

Es würde den Rahmen dieses Kurses sprengen, zu versuchen, die Zwillings-Primzahl-Vermutung zu beweisen. Trotzdem ist es interessant zu sehen, ob es Zwillingsprimzahlen gibt (sonst wäre die Vermutung falsch und nicht von großem Interesse).

Aufgabe 10.5.8. Zähle Zwillingsprimzahlenpaare.

Wie viele Primzahl-Zwillingspaare gibt es bis zu (100) ?

Mit Tabelle 10.2.4 erhalten wir, dass die Zwillingsprimzahlpaare bis (100) sind:

Es scheint, dass es weniger Zwillingsprimzahlen gibt als es Primzahlen gibt. Zählen Sie in Checkpoint 10.5.9 die Anzahl der Primzahlen und Zwillingsprimzahlen bis zu einer gegebenen natürlichen Zahl.

Prüfpunkt 10.5.9. Zähle Primzahlen und Zwillingsprimzahlenpaare.

Vor kurzem wurden Fortschritte beim Beweis der Zwillingsprimzahl-Vermutung (Vermutung 10.5.6) erzielt. 2013 gelang Yitang Zhang [10] ein großer Durchbruch, indem er bewies, dass es unendlich viele Primzahlen (p) und (q) gibt, so dass (p-qle 70.000.000 ext<.>)

Bald darauf wurde dies erheblich verbessert, so dass nun bekannt ist, dass es unendlich viele Primzahlen (p) und (q) gibt, so dass (pqle 246 ext<.>) Wenn bewiesen ist, dass es gibt unendlich viele Primzahlen (p) und (q), so dass (pqle 2 ext<,>) die Zwillingsprimzahlvermutung bewiesen ist.

Wir beenden diesen Abschnitt mit einem Lied über die Zwillings-Primzahl-Vermutung in Abbildung 10.5.10.


"Wie ein Shakespeare-Sonett, das die Essenz der Liebe einfängt, oder ein Gemälde, das die Schönheit der menschlichen Form hervorhebt, die weit mehr als nur oberflächlich ist, reicht Eulers Gleichung bis in die Tiefen des Daseins."

Der Stanford-Mathematiker Keith Devlin schrieb diese Worte über die Gleichung links in einem Essay von 2002 mit dem Titel "The Most Beautiful Equation". Aber warum ist Eulers Formel so atemberaubend? Und was bedeutet es überhaupt?

Erstens stellt der Buchstabe "e" eine irrationale Zahl (mit unendlichen Ziffern) dar, die mit 2,71828 beginnt. Entdeckt im Kontext des kontinuierlichen Zinseszinses, bestimmt es die Geschwindigkeit des exponentiellen Wachstums, von der der Insektenpopulationen über die Akkumulation von Interesse bis hin zum radioaktiven Zerfall. In der Mathematik weist die Zahl einige sehr überraschende Eigenschaften auf, wie zum Beispiel &ndash, um die mathematische Terminologie zu verwenden &mdash ist gleich der Summe der Umkehrung aller Fakultäten von 0 bis unendlich. Tatsächlich durchdringt die Konstante "e" die Mathematik und taucht scheinbar aus dem Nichts in einer Vielzahl wichtiger Gleichungen auf.

Als nächstes stellt "i" die sogenannte "imaginäre Zahl" dar: die Quadratwurzel von minus 1. Sie wird daher genannt, weil es in Wirklichkeit keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert werden kann, um eine negative Zahl zu erzeugen (also negativ Zahlen haben keine reellen Quadratwurzeln). Aber in der Mathematik gibt es viele Situationen, in denen man gezwungen ist, die Quadratwurzel eines Negativs zu ziehen. Der Buchstabe "i" wird daher als eine Art Stellvertreter verwendet, um Stellen zu markieren, an denen dies getan wurde.

Pi, das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, ist eine der beliebtesten und interessantesten Zahlen in der Mathematik. Wie "e" scheint es plötzlich in einer Vielzahl von mathematischen und physikalischen Formeln aufzutauchen. Was macht Pi so besonders?]

Alles zusammengenommen ergibt die Konstante "e" potenziert mit dem imaginären "i" multipliziert mit pi gleich -1. Und, wie in Eulers Gleichung zu sehen ist, ergibt die Addition von 1 0. Es scheint fast unglaublich, dass all diese seltsamen Zahlen &mdash und sogar eine, die nicht echt ist &mdash, sich so einfach kombinieren lassen. Aber es ist eine bewiesene Tatsache.


Was sind Primzahlen und warum sind sie für das moderne Leben so wichtig?

Wenn Sie die High School abgeschlossen haben und diesen Artikel lesen, wissen Sie wahrscheinlich zumindest Folgendes über Primzahlen: Primzahlen sind die Menge aller Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst gleichmäßig geteilt werden können, ohne eine andere gerade Division möglich. Zahlen wie 2, 3, 5, 7 und 11 sind alle Primzahlen. Was weniger Leute wissen, ist, warum diese Zahlen so wichtig sind und wie die mathematische Logik dahinter zu lebenswichtigen Anwendungen in der modernen Welt geführt hat.

Hier ist etwas Cooles über Primzahlen: Mathematiker haben gezeigt, dass absolut jede ganze Zahl als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden kann, nur Primzahlen und sonst nichts. Beispielsweise:

Um 222 zu erhalten, versuchen Sie es mit 2 * 3 * 37

123.228.940? Warum, das ist nur 2 * 2 * 5 * 23 * 79 * 3391

Diese Regel, die als Primfaktorzerlegungsregel bezeichnet wird, wird auch anders genannt: der Fundamentalsatz der Arithmetik. Es macht Sinn, wenn wir darüber nachdenken, was Primzahlen sind, Zahlen, die nicht weiter auseinander gezogen werden können. Wenn wir also versuchen, eine beliebige Zahl in zwei Zahlen zu zerlegen, diese dann, wenn möglich, in zwei Zahlen zu zerlegen usw., werden wir schließlich nur noch mit Primzahlen übrig bleiben.

Das alles mag wie eine coole mathematische Kuriosität erscheinen. Aber es wird durch eine einfache zusätzliche Tatsache wichtig: Soweit die besten Mathematiker und Informatiker feststellen konnten, ist es völlig unmöglich, eine wirklich effiziente Formel zu finden, um große Zahlen in Primzahlen zu zerlegen.

Das heißt, wir haben Möglichkeiten, große Zahlen in Primzahlen zu zerlegen, aber wenn wir versuchen, dies mit einer 200-stelligen Zahl oder einer 500-stelligen Zahl zu tun, verwenden wir dieselben Algorithmen, die wir verwenden würden, um eine 7-stellige Zahl zu faktorisieren, die fortschrittlichste der Welt Supercomputer brauchen immer noch absurd viel Zeit, um fertig zu werden. Zeitskalen, die länger sind als die Entstehung des Planeten und z äußerst große Zahlen, länger als das Alter des Universums selbst.

Es gibt also eine funktionale Grenze für die Größe der Zahlen, die wir in Primzahlen zerlegen können, und diese Tatsache ist für die moderne Computersicherheit absolut unerlässlich. So ziemlich alles, was Computer leicht tun können, ohne dass es leicht rückgängig gemacht werden kann, ist für die Computersicherheit von Interesse. Moderne Verschlüsselungsalgorithmen nutzen die Tatsache aus, dass wir leicht zwei große Primzahlen nehmen und sie miteinander multiplizieren können, um eine neue, supergroße Zahl zu erhalten, dass aber kein bisher entwickelter Computer diese supergroße Zahl nehmen und schnell herausfinden kann, in welche zwei Primzahlen eingegangen ist Ich mach das.

Diese Sicherheit auf mathematischer Ebene ermöglicht die sogenannte Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel oder Verschlüsselung, bei der wir uns keine Gedanken über die Veröffentlichung eines Schlüssels zur Verwendung bei der Verschlüsselung von Übertragungen machen müssen, da der bloße Besitz dieses Schlüssels (eine sehr große Zahl) niemandem helfen wird. um die erstellte Verschlüsselung rückgängig zu machen. Um die Verschlüsselung rückgängig zu machen und die Nachricht zu lesen, benötigen Sie die Primfaktoren des für die Verschlüsselung verwendeten Schlüssels — und wie wir gesehen haben, können Sie das nicht einfach selbst herausfinden.

Damit umgehen wir das Kernparadoxon der Verschlüsselung: Wie kommuniziert man sicher die ersten Spezifika, die man braucht, um überhaupt eine sichere Kommunikation aufzubauen? In der Public-Key-Kryptographie, die das Rückgrat der Computerverschlüsselung darstellt, können wir dies umgehen, da die Besonderheiten der sicheren Kontaktaufnahme selbst nicht sicher sein müssen. Ganz im Gegenteil — Menschen posten in der Regel Links zu ihren öffentlichen Schlüsseln in sozialen Medien, damit möglichst viele Menschen Nachrichten für sie verschlüsseln können. Obwohl es mittlerweile einige Verschlüsselungsalgorithmen gibt, die die Primfaktorzerlegung nutzen, heißt der historisch bedeutendste und immer noch konzeptionelle Bauplan für dieses Gebiet RSA.

Egal, ob Sie Ihre Kreditkarteninformationen an Amazon übermitteln, sich bei Ihrer Bank anmelden oder eine manuell verschlüsselte E-Mail an einen Kollegen senden, wir verwenden ständig Computerverschlüsselung. Und das bedeutet, dass wir ständig Primzahlen verwenden und uns auf ihre ungeraden numerischen Eigenschaften verlassen, um die Lebensweise des Cyber-Zeitalters zu schützen. Es ist keine bedeutungslose akademische Suche, das Bemühen, Primzahlen besser zu verstehen, da praktisch die gesamte moderne Sicherheit auf den derzeitigen Grenzen dieses Verständnisses beruht.

Das soll nicht heißen, dass es keine Fortschritte bei der Faktorisierung großer Zahlen gegeben hat. Im Jahr 2009 vernetzten Forscher mehrere hundert Computer miteinander und verbrachten etwa 2.000 Jahre für einen einzelnen Computer, indem sie fortschrittliche Faktorisierungsalgorithmen verwendeten, um die “RSA-768”-Zahl —, also eine Zahl mit 232 Stellen, zu faktorisieren von der RSA-Gruppe als Factoring-Herausforderung aufgestellt. Der Nachweis, dass es möglich war, die 768-Bit-Verschlüsselung in nicht-universalen Hitzetod-Zeitskalen zu knacken, ist für die Sicherheitswelt natürlich inakzeptabel, und so wurde der Standard jetzt auf RSA-1024 verschoben, wobei Zahlen mit 309 Ziffern verwendet werden.

1024-Bit-Verschlüsselung sollte immer noch vor jedem sicher sein, der keine Zeitmaschine besitzt, soweit wir wissen, — obwohl im Internet Gerüchte über geheime Quantencomputerprojekte bei der NSA oder anderswo kursieren, die sogar durchkauen können 2048-Bit-Verschlüsselung, als ob es nichts wäre. Es gibt jedoch absolut keine Beweise dafür, dass so etwas existiert.

Primzahlen sind cool. Wie Carl Sagan im Roman so eloquent betont Kontakt, hat ihr Status als grundlegendster Baustein aller Zahlen eine gewisse Bedeutung, die selbst die Bausteine ​​unseres Verständnisses des Universums sind. In diesem Buch entscheiden sich Außerirdische dafür, eine lange Reihe von Primzahlen als Beweis dafür zu senden, dass ihre Botschaft intelligent und nicht natürlichen Ursprungs ist, da Primzahlen eine Sache sind, die sich aufgrund von Unterschieden in Psychologie, Lebensstil oder Evolutionsgeschichte nicht ändern kann. Egal wie eine fortgeschrittene außerirdische Lebensform aussieht oder denkt, wenn sie die Welt um sie herum versteht, hat sie mit ziemlicher Sicherheit das Konzept einer Primzahl.

Deshalb betrachten viele Mathematiker die Zahlentheorie als ein bisschen wie die Archäologie. Das Gefühl besteht nicht darin, neue Technologien zu erfinden, sondern die logischen Grundlagen des Universums aufzudecken, die sein Verhalten überall und zu allen Zeiten beschreiben.

Sehen Sie sich unsere ExtremeTech Explains-Serie an, um eine ausführlichere Berichterstattung über die heißesten Tech-Themen von heute zu erhalten.


2.7: Sätze und Vermutungen über Primzahlen

medv ist nicht nur Topcoder-Mitglied, sondern auch Dozent an der Kybernetik-Fakultät der Kiewer Nationaluniversität.

Primzahlen und ihre Eigenschaften wurden von den antiken griechischen Mathematikern ausführlich untersucht. Tausende von Jahren später verwenden wir häufig die verschiedenen Eigenschaften von ganzen Zahlen, die sie entdeckt haben, um Probleme zu lösen. In diesem Artikel werden wir einige Definitionen, bekannte Theoreme und Zahleneigenschaften überprüfen und einige damit verbundene Probleme betrachten.

Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl, die durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die anderen ganzen Zahlen, größer als 1, sind zusammengesetzt. Coprime Ganzzahlen sind eine Menge von Ganzzahlen, die keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 oder -1 haben.

Der Grundsatz der Arithmetik:
Jede positive ganze Zahl kann im Wesentlichen nur auf eine Weise in Primzahlen geteilt werden. Der Ausdruck „im Wesentlichen in eine Richtung“ bedeutet, dass wir die Reihenfolge der Faktoren nicht als wichtig erachten.

Eins ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. Einer ist nicht zusammengesetzt, weil er nicht zwei verschiedene Teiler hat. Wenn eine Primzahl ist, dann hat beispielsweise Zahl 6 zwei verschiedene Darstellungen als Produkt von Primzahlen: 6 = 2 * 3 und 6 = 1 * 2 * 3. Dies würde dem fundamentalen Satz der Arithmetik widersprechen.

Satz von Euklid:
Es gibt keine größte Primzahl.

Um dies zu beweisen, betrachten wir nur n Primzahlen: p1, p2, …, pn. Aber kein Primzahl Pi teilt die Zahl

also kann N nicht zusammengesetzt sein. Dies widerspricht der Tatsache, dass die Menge der Primzahlen endlich ist.

Übung 1. Reihenfolge ein ist rekursiv definiert:


Beweisen Sie, dass ai und aj, i ¹ j relativ prim sind.

Hinweis: Beweisen Sie, dass an+1 = a1a2…an + 1 und verwenden Sie den Satz von Euklid.

Übung 2. Fermazahlen Fn (n ≥ 0) sind positive ganze Zahlen der Form


Beweisen Sie, dass Fi und Fj, i ≠ j relativ prim sind.

Hinweis: Beweisen Sie Fn +1 = F0F1F2…Fn + 2 und verwenden Sie den Satz von Euklid.

Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen:
Für zwei beliebige positive teilerfremde ganze Zahlen a und b gibt es unendlich viele Primzahlen der Form a + n*b, wobei n > 0 ist.

Versuchsteilung:
Die Probedivision ist die einfachste aller Faktorisierungstechniken. Es stellt eine Brute-Force-Methode dar, bei der wir versuchen, n durch jede Zahl i zu teilen, die nicht größer als die Quadratwurzel von n ist. (Warum müssen wir keine Werte testen, die größer als die Quadratwurzel von n sind?) Die Prozedur factor gibt die Faktorisierung der Zahl n aus. Die Faktoren werden in einer Zeile gedruckt, getrennt durch ein Leerzeichen. Die Zahl n darf höchstens einen Faktor enthalten, der größer als n ist.

Betrachten Sie ein Problem, das Sie auffordert, die Faktorisierung der ganzen Zahl g(-231 < g <231) in der Form

g = f1 x f2 x … x fn oder g = -1 x f1 x f2 x … x fn

wobei fi eine Primzahl größer als 1 ist und fi fj für i < j.

Für g = -192 lautet die Antwort beispielsweise -192 = -1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3.

Um das Problem zu lösen, reicht es aus, eine Probedivision wie im Funktionsfaktor gezeigt zu verwenden.

Sieb von Eratosthenes:
Der effizienteste Weg, alle kleinen Primzahlen zu finden, wurde von dem griechischen Mathematiker Eratosthenes vorgeschlagen. Seine Idee war, eine Liste von positiven ganzen Zahlen nicht größer als n zu erstellen und nacheinander die Vielfachen von Primzahlen kleiner oder gleich der Quadratwurzel von n auszustreichen. Nach diesem Vorgang bleiben nur noch Primzahlen in der Liste.

Das Verfahren zum Finden von Primzahlen gen_primes verwendet ein Array primes[MAX] als Liste von ganzen Zahlen. Die Elemente dieses Arrays werden so gefüllt, dass


Am Anfang markieren wir alle Zahlen als Primzahlen. Dann markieren wir für jede Primzahl i (i ≥ 2), nicht größer als √MAX, alle Zahlen iich, ich(i + 1), … als zusammengesetzt.

Wenn beispielsweise MAX = 16 ist, enthält das Array 'primes' nach dem Aufruf von gen_primes die nächsten Werte:

ich0123456789101112131415
Primzahlen[i]1111010100010100

Goldbachs Vermutung:
Für jede ganze Zahl n (n ≥ 4) existieren zwei Primzahlen p1 und p2 mit p1 + p2 = n. In einem Problem müssen wir möglicherweise die Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Paare (p1, p2) finden, die die Bedingung in der Vermutung für eine gegebene gerade Zahl n (4 n 2 15) erfüllen. (Das Wort „im Wesentlichen“ bedeutet, dass für jedes Paar (p1, p2) p1 ≤p2 gilt.)

Für n = 10 haben wir beispielsweise zwei solcher Paare: 10 = 5 + 5 und 10 = 3 + 7.

Um dies zu lösen, da n 215 = 32768, füllen wir ein Array primes[32768] mit der Funktion gen_primes. Wir interessieren uns für Primzahlen, nicht größer als 32768.

Die Funktion FindSol(n) findet die Anzahl verschiedener Paare (p1, p2), für die n = p1 + p2 ist. Da p1 ≤ p2 gilt, gilt p1 ≤ n/2. Um das Problem zu lösen, müssen wir also die Anzahl der Paare (i, n – i) finden, sodass i und n – i Primzahlen sind und 2 ≤ i ≤ n/2.

Eulersche Totient-Funktion
Die Anzahl der positiven ganzen Zahlen, nicht größer als n und relativ prim mit n, entspricht der Eulerschen Totient-Funktion φ (n). In Symbolen können wir sagen, dass

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt φ § = p – 1 und φ (pa) = p a * (1 – 1/p) für jedes a.
Wenn m und n teilerfremd sind, dann gilt (m * n) = φ (m) * φ (n).
Wenn n = , dann kann die Euler-Funktion mit der Formel gefunden werden:
φ (n) = n * (1 – 1/p 1) * (1 – 1/p 2) * … * (1 – 1/p k)

Die Funktion fi(n) findet den Wert von φ(n):

Um beispielsweise φ(616) zu finden, müssen wir das Argument faktorisieren: 616 = 23 * 7 * 11. Dann erhalten wir mit der Formel:

φ(616) = 616 * (1 – 1/2) * (1 – 1/7) * (1 – 1/11) = 616 * 1/2 * 6/7 * 10/11 = 240.

Angenommen, Sie haben ein Problem, bei dem Sie für eine gegebene ganze Zahl n (0 < n 109) aufgefordert werden, die Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als n und relativ prim zu n zu finden. Für n = 12 haben wir beispielsweise 4 solcher Zahlen: 1, 5, 7 und 11.

Die Lösung: Die Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner als n und relativ prim zu n ist gleich φ(n). In diesem Problem brauchen wir also nichts weiter zu tun, als die Totient-Funktion von Euler auszuwerten.

Oder stellen Sie sich ein Szenario vor, in dem Sie aufgefordert werden, eine Funktion Answer(x, y) zu berechnen, wobei x und y beide Ganzzahlen im Bereich [1, n], 1 ≤ n ≤ 50000 sind. Wenn Sie Answer(x, y) kennen, dann kannst du leicht Answer(kx, ky) für jede ganze Zahl k. In dieser Situation möchten Sie wissen, wie viele Werte von Antwort(x, y) Sie vorberechnen müssen. Die Funktion Answer ist nicht symmetrisch.

Wenn beispielsweise n = 4 ist, müssen Sie 11 Werte vorberechnen: Antwort(1, 1), Antwort(1, 2), Antwort(2, 1), Antwort(1, 3), Antwort(2, 3), Antwort(3, 2), Antwort(3, 1), Antwort(1, 4), Antwort(3, 4), Antwort(4, 3) und Antwort(4, 1).

Die Lösung hier besteht darin, res(i) die minimale Anzahl von Answer(x, y) für die Vorberechnung sein zu lassen, wobei x, y Î<1, …, i> ist. Es ist offensichtlich, dass res(1) = 1 ist, denn wenn n = 1 ist, reicht es, Antwort(1, 1) zu kennen. Teilen Sie uns res(i) mit. Für n = i + 1 müssen wir also Antwort(1, i + 1), Antwort(2, i + 1), … , Antwort(i + 1, i + 1), Antwort(i + 1, 1) finden , Antwort(i + 1, 2), … , Antwort(i + 1, i).

Die Werte Answer(j, i + 1) und Answer(i + 1, j), j Î<1, …, i + 1>, können aus bekannten Werten gefunden werden, wenn GCD(j, i + 1) > 1, dh wenn die Zahlen j und i + 1 keine gemeinsamen Primzahlen sind. Wir müssen also alle Werte Answer(j, i + 1) und Answer(i + 1, j) kennen, für die j und i + 1 teilerfremd sind. Die Anzahl solcher Werte beträgt 2 * φ (i + 1), wobei φ eine Eulersche Totient-Funktion ist. Wir haben also eine Rekursion, um ein Problem zu lösen:

res(1) = 1,
res(i + 1) = res(i) + 2 * j (i + 1), i > 1

Der Totient-Satz von Euler:
Wenn n eine positive ganze Zahl ist und a zu n teilerfremd ist, dann ist a φ (n) º 1 (mod n).

Der kleine Satz von Fermat:
Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt für jede ganze Zahl a, die zu n teilerfremd ist,

Dieser Satz kann auch wie folgt formuliert werden: Wenn p eine Primzahl und a zu p teilerfremd ist, dann

Der kleine Satz von Fermat ist ein Spezialfall des Totient-Satzes von Euler, wenn n eine Primzahl ist.

Die Anzahl der Teiler:
Wenn n = , dann ist die Anzahl seiner positiven Teiler gleich

Für einen Beweis sei A i die Menge der Teiler . Jeder Teiler der Zahl n kann als Produkt x1 * x2 * … * x k dargestellt werden, wobei xi Î Ai. Als |Ai| = ai + 1, wir haben

Möglichkeiten verschiedene Produkte zu bekommen x1 * x2 * … * xk.

Um zum Beispiel die Anzahl der Teiler für 36 zu finden, müssen wir sie zuerst faktorisieren: 36 = 2² * 3². Mit der obigen Formel erhalten wir den Teilerbetrag für 36. Er entspricht (2 + 1) * (2 + 1) = 3 * 3 = 9. Es gibt 9 Teiler für 36: 1, 2, 3, 4 , 6, 9, 12, 18 und 36.

Hier ist ein weiteres Problem zum Nachdenken: Für eine gegebene positive ganze Zahl n (0 < n < 231) müssen wir die Anzahl solcher m finden, dass 1 m ≤ n, GCD(m, n) ≠ 1 und GCD(m, n ) m. Für n = 6 haben wir beispielsweise nur eine solche Zahl m = 4.

Die Lösung besteht darin, von n die Anzahl der Zahlen zu subtrahieren, mit ihr (sein Betrag ist gleich φ(n)) und den Betrag seiner Teiler teilerfremd zu sein. Aber die Zahl 1 ist gleichzeitig mit n teilerfremd und ein Teiler von n. Um die Differenz zu erhalten, müssen wir also 1 addieren. Wenn n = eine Faktorisierung von n ist, hat die Zahl n (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1) Teiler. Die Lösung des Problems für ein gegebenes n ist also gleich

n – φ(n) – (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1) + 1

Übungsraum:
Möchten Sie einige dieser Theorien in die Praxis umsetzen? Probieren Sie diese Probleme aus dem Topcoder-Archiv aus:


Baker, R., Weingartner, A.: Einige Anwendungen des doppelten großen Siebes. Mo.-Fr. Mathematik. 170, 261–304 (2013)

Cai, Y.C.: Über eine diophantische Ungleichung mit Primzahlen. Acta Math. Sünde. 39, 733–742 (1996). (auf Chinesisch)

Cai, Y.C.: Über eine diophantische Ungleichung mit Primzahlen III. Acta Math. Sünde. Engl. Ser. 15, 387–394 (1999)

Cai, Y.C.: Eine ternäre diophantische Ungleichung mit Primzahlen. Int. J. Zahlentheorie 14, 2257–2268 (2018)

Cao, X.D., Zhai, W.G.: Eine diophantische Ungleichung mit Primzahlen. Acta Math. Sünde. 45, 361–370 (2002). (auf Chinesisch)

Garaev, M.Z.: Zum Waring-Goldbach-Problem mit kleinem nicht ganzzahligen Exponenten. Acta Arith. 108, 297–302 (2003)

Graham, S.W., Kolesnik, G.: Van der Corput’s Method of Exponential Sums. Cambridge University Press, Cambridge (1991)

Hua, L.K.: Einige Ergebnisse in der additiven Primzahltheorie. Q. J. Math. 9, 68–80 (1938)

Heath-Brown, D.R.: Der Primzahlensatz von Pjateckiǐ-Šapiro. J. Zahlentheorie 16, 242–266 (1983)

Ivic, A.: Die Riemann Zeta-Funktion. Wiley, New York (1985)

Kumchev, A.: Eine diophantische Ungleichung mit Primzahlen. Acta Arith. 89, 311–330 (1999)

Kumchev, A., Nedeva, T.: Über eine Gleichung mit Primzahlen. Acta Arith. 83, 117–126 (1998)

Piatetski-Shapiro, I.I.: Zu einer Variante des Waring-Goldbach-Problems. Matte. Sbornik 30, 105–120 (1952). (auf Russisch)

Tolev, D.I.: Über eine diophantische Ungleichung mit Primzahlen. Acta Arith. 61, 289–306 (1992)

Vinogradov, I.M.: Darstellung einer ungeraden Zahl als Summe von drei Primzahlen. Dokl. Akad. Nauk SSSR 15, 61–64 (1937)

Zhai, W.G., Cao, X.D.: Auf einer diophantischen Ungleichung über Primzahlen. Erw. Mathematik. 32, 63–73 (2003). (auf Chinesisch)

Zhai, W.G., Cao, X.D.: Auf einer diophantischen Ungleichung über Primzahlen(II). Mo.-Fr. Mathematik. 150, 173–179 (2007)


LITERATURVERZEICHNIS

Abrams, Joshua (2001). Mathematische Modellierung. Online unter www.meaningfulmath.org/modeling.

Becker, Jerry &. Shimada, Shigeru (1997). Der offene Ansatz: ein neuer Vorschlag für den Mathematikunterricht. Reston, VA: Nationaler Rat der Mathematiklehrer.

Bildungsentwicklungszentrum (2000). Verbundene Geometrie. Chicago, Ill: Everyday Learning Corporation.

Zentrum für Bildungsentwicklung (2001). Mathematische Methoden: Themen der diskreten und Präkaklus-Mathematik. Armonk, NY: Es wird Zeit.

Matveyev, S (2000, November/Dezember). Bekämpfung von verdrehten Reifen. Quantum, 8㪤.

Sowder, Larry und Guershon Harel (1998, November). Begründungen von Schülertypen. Mathematiklehrer, 670𤲓.

Ein Teil der Diskussion über Conjectures Are Not Theorems wurde von Mathematical Modeling: Teaching the Open-ended Application of Mathematics © Joshua Abrams 2000 übernommen und mit Genehmigung verwendet.

Übersetzungen mathematischer Formeln für die Webdarstellung wurden von tex4ht erstellt.