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5.6: Anwendungsprobleme mit Exponential- und Logarithmusfunktionen


Lernziele

In diesem Abschnitt werden Sie:

  1. Überprüfen Sie Strategien zum Lösen von Gleichungen, die sich aus Exponentialformeln ergeben
  2. Lösung von Anwendungsproblemen mit Exponentialfunktionen und logarithmischen Funktionen

STRATEGIEN ZUR LÖSUNG VON GLEICHUNGEN, DIE EXPONENTE ENTHALTEN

Bei der Lösung von Anwendungsproblemen, die exponentielle und logarithmische Funktionen beinhalten, müssen wir der Position der Variablen in der Gleichung große Aufmerksamkeit schenken, um die richtige Lösung der Gleichung zu bestimmen. Wir untersuchen das Lösen von Gleichungen, die Exponenten enthalten.

Angenommen, wir haben eine Gleichung in der Form: Wert = Koeffizient (Basis) Exponent

Wir betrachten vier Strategien zum Lösen der Gleichung:

STRATEGIE A: Wenn Koeffizient, Basis und Exponent alle bekannt sind, müssen wir nur den Ausdruck für Koeffizient(Basis) auswerten Exponent seinen Wert zu bewerten.

STRATEGIE B: Wenn die Variable der Koeffizient ist, werten Sie den Ausdruck aus für (Basis) Exponent. Dann wird es eine lineare Gleichung, die wir durch Division lösen, um die Variable zu isolieren.

STRATEGIE C: Wenn die Variable im Exponenten ist, verwenden Sie Logarithmen, um die Gleichung zu lösen.

STRATEGIE D: Wenn die Variable nicht im Exponenten, sondern in der Basis ist, verwenden Sie Wurzeln, um die Gleichung zu lösen.

Im Folgenden untersuchen wir jede Strategie mit einem oder zwei Anwendungsbeispielen.

STRATEGIE A: Wenn Koeffizient, Basis und Exponent alle bekannt sind, müssen wir nur den Ausdruck für Koeffizient(Basis) auswertenExponent seinen Wert zu bewerten.

Beispiel (PageIndex{1})

Angenommen, der Kurs einer Aktie steigt mit einer Rate von 7% pro Jahr und er steigt mit dieser Rate weiter. Wenn der Wert einer Aktie dieser Aktie jetzt 43 US-Dollar beträgt, ermitteln Sie den Wert einer Aktie dieser Aktie in drei Jahren.

Lösung

Sei (y) = der Wert der Aktie nach (t) Jahren: (y = ab^t)

Das Problem sagt uns, dass (a) = 43 und (r) = 0,07, also (b = 1+ r = 1+ 0,07 = 1,07)

Daher ist die Funktion (y = 43(1.07)^t).

In diesem Fall wissen wir, dass (t) = 3 Jahre ist, und wir müssen (y) auswerten, wenn (t) = 3.

Nach Ablauf von 3 Jahren beträgt der Wert dieser einen Aktie dieser Aktie

[y=43(1.07)^{3}=$ 52.68 onumber]

STRATEGIE B: Wenn die Variable der Koeffizient ist, werten Sie den Ausdruck aus für (Basis) Exponent. Dann wird es eine lineare Gleichung, die wir durch Division lösen, um die Variable zu isolieren.

Beispiel (PageIndex{2})

Der Wert eines Neuwagens nimmt nach dem Kauf ab. Angenommen, der Wert des Autos verliert nach einem exponentiellen Zerfallsmodell. Angenommen, der Wert des Autos beträgt am Ende von 5 Jahren 12000 USD und sein Wert ist um 9 % pro Jahr gesunken. Finden Sie den Wert des Autos im Neuzustand heraus.

Lösung

Sei (y) der Wert des Autos nach (t) Jahren: (y = ab^t), (r) = -0,09 und (b = 1+r = 1+( -0,09) = 0,91)

Die Funktion ist (y = a(0.91)^t)

In diesem Fall wissen wir, dass, wenn (t) = 5, dann (y) = 12000; Ersetzen dieser Werte ergibt

[12000 = a(0.91)^5 onumber]

Wir müssen für den Anfangswert a den Kaufpreis des Neuwagens auflösen.

Erste Auswertung (0.91)5 ; löse dann die resultierende lineare Gleichung, um (a) zu finden.

[ 1200 = a(0,624) keine Zahl ]

(a=frac{12000}{0,624} = $ 19.230,77); Der Wert des Autos betrug im Neuzustand 19.230,77 US-Dollar.

STRATEGIE C: Wenn die Variable im Exponenten ist, verwenden Sie Logarithmen, um die Gleichung zu lösen.

Beispiel (PageIndex{3})

Ein Nationalpark hat im Jahr 2016 eine Population von 5000 Hirschen. Naturschützer sind besorgt, da der Hirschbestand um 7% pro Jahr zurückgeht. Wenn die Population in dieser Geschwindigkeit weiter abnimmt, wie lange wird es dann dauern, bis die Population nur noch 3000 Hirsche beträgt?

Lösung

Sei (y) die Anzahl der Hirsche im Nationalpark (t) Jahre nach dem Jahr 2016: (y = ab^t)

(r) = -0.07 und (b = 1+r = 1+(-0.07) = 0.93) und die Anfangspopulation ist (a) = 5000

Die exponentielle Zerfallsfunktion ist (y = 5000(0.93)^t)

Um herauszufinden, wann die Bevölkerung 3000 sein wird, setze (y) = 3000 . ein

[ 3000 = 5000(0,93)^t onumber]

Als nächstes dividieren Sie beide Seiten durch 5000, um den Exponentialausdruck zu isolieren

[egin{array}{l}
frac{3000}{5000}=frac{5000}{5000}(0,93)^{2}
0,6=0,93^{t}
end{array} onumber]

Schreiben Sie die Gleichung in logarithmischer Form um; Verwenden Sie dann die Änderung der Basisformel zur Auswertung.

[t=log_{0.93}(0.6) onumber]

(t = frac{ln(0,6)}{ln(0,93)}=7,039) Jahre; Nach 7.039 Jahren gibt es 3000 Hirsche.

Hinweis: In Beispiel (PageIndex{3}) mussten wir die Antwort auf mehrere Dezimalstellen genau angeben, um genau zu bleiben. Die Auswertung der ursprünglichen Funktion mit einem gerundeten Wert von (t) = 7 Jahre ergibt einen Wert nahe 3000, aber nicht genau 3000.

[y=5000(0.93)^{7}=3008.5 ext { Hirsch } onumber]

Die Verwendung von (t) = 7,039 Jahren ergibt jedoch einen Wert von 3000 für die Hirschpopulation

[ y=5000(0,93)^{7,039}=3000,0016 approx 3000 ext {Hirsch} onumber]

Beispiel (PageIndex{4})

Ein auf YouTube gepostetes Video hatte anfangs 80 Aufrufe, sobald es veröffentlicht wurde. Die Gesamtzahl der Aufrufe bis heute ist exponentiell gemäß der exponentiellen Wachstumsfunktion (y = 80e^{0,2t}) gestiegen, wobei (t) die Zeit in Tagen seit der Veröffentlichung des Videos darstellt. Wie viele Tage dauert es, bis 2500 Personen dieses Video angesehen haben?

Lösung

Sei (y) die Gesamtzahl der Aufrufe (t) Tage nach der ersten Veröffentlichung des Videos.
Wir haben gegeben, dass die exponentielle Wachstumsfunktion (y = 80e^{0,2t}) ist und wir wollen den Wert von (t) finden, für den (y) = 2500 ist. Ersetzen Sie (y) = 2500 in die Gleichung ein und verwende den natürlichen Logarithmus, um nach (t) aufzulösen.

[2500 = 80e^{0,12t} onumber]

Teilen Sie beide Seiten durch den Koeffizienten 80, um den Exponentialausdruck zu isolieren.

[egin{array}{c}
frac{2500}{80}=frac{80}{80} e^{0,12 t}
31,25=e^{0,12 t}
end{array} onumber]

Schreiben Sie die Gleichung in logarithmischer Form um

[ 0.12t = ln(31.25) onumber]

Teilen Sie beide Seiten durch 0,04, um (t) zu isolieren; Verwenden Sie dann Ihren Taschenrechner und seine natürliche Log-Funktion, um den Ausdruck auszuwerten und nach (t) aufzulösen.

[egin{array}{l}
mathrm{t}=frac{ln (31.25)}{0.12}
mathrm{t}=frac{3.442}{0.12}
mathrm{t} approx 28,7 ext{Tage}
end{array} onumber]

Dieses Video wird ungefähr 28,7 Tage nach seiner Veröffentlichung insgesamt 2500 Aufrufe haben.

STRATEGIE D: Wenn die Variable nicht im Exponenten, sondern in der Basis steht, verwenden wir Wurzeln, um die Gleichung zu lösen.
Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir nur Logarithmen verwenden, wenn die Variable im Exponenten steht.

Beispiel (PageIndex{5})

Ein Statistiker erstellt eine Website, um Sportstatistiken zu analysieren. Sein Geschäftsplan besagt, dass sein Ziel darin besteht, bis zum Ende von 2 Jahren (in 24 Monaten) 50.000 Follower zu sammeln. Er hofft, dass seine Website von einem Sportnachrichtendienst gekauft wird, wenn er dieses Ziel erreicht. Die anfängliche Benutzerbasis der Personen, die sich aufgrund von Pre-Launch-Werbung angemeldet haben, beträgt 400 Personen. Ermitteln Sie die monatliche Wachstumsrate, die erforderlich ist, wenn die Benutzerbasis nach 24 Monaten auf 50.000 Benutzer anwachsen soll.

Lösung

Sei (y) die Gesamtbenutzerbasis (t) Monate nach dem Start der Site.

Die Wachstumsfunktion für diesen Standort ist (y = 400(1+r)^t);

Wir kennen die Wachstumsrate (r) nicht. Wir wissen, dass, wenn (t) = 24 Monate, dann (y) = 50000 ist.

Ersetzen Sie die Werte von (y) und (t); dann müssen wir nach (r) auflösen.

[5000 = 400(1+r)^{24} onumber]

Teilen Sie beide Seiten durch 400, um zu isolieren (1+r)24 auf einer Seite der Gleichung

[egin{array}{l}
frac{50000}{400}=frac{400}{400}(1+r)^{24}
125=(1+r)^{24}
end{array} onumber]

Da die Variable in dieser Gleichung in der Basis ist, verwenden wir Wurzeln:

[egin{array}{l}
sqrt[24]{125}=1+r
125^{1 / 24}=1+r
1.2228 ungefähr 1+r
0,2228 ungefähr r
end{array} onumber]

Die Benutzerbasis der Website muss um 22,28% pro Monat steigen, um bis zum Ende von 24 Monaten 50.000 Benutzer zu sammeln.

Beispiel (PageIndex{6})

Ein Datenblatt zur Koffeinabhängigkeit des Johns Hopkins Medical Center besagt, dass die Halbwertszeit von Koffein im Körper zwischen 4 und 6 Stunden beträgt. Angenommen, die typische Halbwertszeit von Koffein im Körper beträgt für den Durchschnittsmenschen 5 Stunden und eine typische Tasse Kaffee enthält 120 mg Koffein.

  1. Schreiben Sie die Zerfallsfunktion.
  2. Finden Sie den Stundensatz, mit dem Koffein den Körper verlässt.
  3. Wie lange dauert es, bis nur noch 20 mg Koffein im Körper sind?
    www.hopkinsmedicine.org/psyc...fact_sheet.pdf

Lösung

A. Sei (y) die Gesamtmenge an Koffein im Körper (t) Stunden nach dem Trinken des Kaffees.

Die exponentielle Zerfallsfunktion (y = ab^t) modelliert diese Situation.

Die Anfangsmenge an Koffein beträgt (a) = 120.

Wir kennen weder (b) noch (r), aber wir wissen, dass die Halbwertszeit von Koffein im Körper 5 Stunden beträgt. Dies sagt uns, dass bei (t) = 5 die Hälfte der ursprünglichen Menge an Koffein im Körper verbleibt.

[egin{array}{l}
y=120 b^{t}
frac{1}{2}(120)=120 b^{5}
60=120 b^{5}
end{array} onumber]

Teilen Sie beide Seiten durch 120, um den Ausdruck (b^5) zu isolieren, der die Variable enthält.

[egin{array}{l}
frac{60}{120}=frac{120}{120} mathrm{b}^{5}
0.5=mathrm{b}^{5}
end{array} onumber]

Die Variable steht in der Basis und der Exponent ist eine Zahl. Verwenden Sie Wurzeln, um nach (b) aufzulösen:

[egin{array}{l}
sqrt[5]{0.5}=mathrm{b}
0,5^{1 / 5}=mathrm{b}
0,87=mathrm{b}
end{array} onumber]

Wir können nun die Zerfallsfunktion für die im Körper verbleibende Koffeinmenge (in mg) (t) Stunden nach dem Trinken einer Tasse Kaffee mit 120 mg Koffein schreiben

[y=f(t)=120(0,87)^{t} onumber]

B. Verwenden Sie (b = 1 + r), um die Zerfallsrate (r) zu finden. Da (b = 0,87 < 1) und die Menge an Koffein im Körper mit der Zeit abnimmt, ist der Wert von (r) negativ.

[egin{array}{l}
0,87=1+r
r=-0,13
end{array} onumber]

Die Zerfallsrate beträgt 13%; die Koffeinmenge im Körper sinkt um 13% pro Stunde.

C. Um den Zeitpunkt zu ermitteln, zu dem nur noch 20 mg Koffein im Körper verbleiben, setzen Sie (y) = 20 ein und lösen Sie nach dem entsprechenden Wert von (t) auf.

[egin{array}{l}
y=120(.87)^{t}
20=120(.87)^{t}
end{array} onumber]

Teilen Sie beide Seiten durch 120, um den Exponentialausdruck zu isolieren.

[egin{array}{l}
frac{20}{120}=frac{120}{120}left(0.87^{t} ight)
0,1667=0,87^{t}
end{array} onumber]

Schreiben Sie den Ausdruck in logarithmischer Form um und verwenden Sie die Basisänderungsformel

[egin{array}{l}
t=log_{0,87}(0,1667)
t=frac{ln (0,1667)}{ln (0,87)} approx 12,9 ext { Stunden}
end{array} onumber]

Nach 12,9 Stunden verbleiben 20 mg Koffein im Körper.

AUSDRUCKEN VON EXPONENTIALFUNKTIONEN IN DEN FORMEN y = abT und y = aekt

Nachdem wir nun unsere Fähigkeiten zum Lösen von Gleichungen entwickelt haben, wenden wir uns erneut der Frage zu, Exponentialfunktionen äquivalent in den Formen (y = ab^t) und (y = ae^{kt}) auszudrücken.

Wir haben bereits festgestellt, dass es bei der Form (y = ae^{kt}) einfach ist, (b) zu finden.

Beispiel (PageIndex{7})

Nehmen Sie für die folgenden Beispiele an, dass (t) in Jahren gemessen wird.

  1. Drücken Sie (y = 3500e^{0,25t}) in der Form (y = ab^t) aus und ermitteln Sie die jährliche prozentuale Wachstumsrate.
  2. Drücken Sie (y = 28000e^{-0,32t}) in der Form (y = ab^t) aus und ermitteln Sie die jährliche prozentuale Zerfallsrate.

Lösung

A. Drücken Sie (y = 3500e^{0,25t}) in der Form (y = ab^t) aus

[egin{array}{l}
y=a e^{k t}=a b^{t}
aleft(e^{k} ight)^{t}=a b^{t}
end{array} onumber]

Also (e^k=b)

In diesem Beispiel (b=e^{0,25} approx 1,284)

Wir schreiben die Wachstumsfunktion um als y = 3500(1.284T)

Um (r) zu finden, erinnere dich daran, dass (b = 1+r)
[egin{ausgerichtet}
&1.284=1+r
&0,284=mathrm{r}
end{ausgerichtet} onumber]

Die kontinuierliche Wachstumsrate beträgt (k) = 0,25 und die prozentuale jährliche Wachstumsrate beträgt 28,4% pro Jahr.

B. Drücken Sie (y = 28000e^{-0,32t}) in der Form (y = ab^t) aus

[egin{array}{l}
y=a e^{k t}=a b^{t}
aleft(e^{k} ight)^{t}=a b^{t}
end{array} onumber]

Also (e^k=b)

In diesem Beispiel (mathrm{b}=e^{-0,32} approx 0,7261)

Wir schreiben die Wachstumsfunktion um als y = 28000(0.7261T)

Um (r) zu finden, erinnere dich daran, dass (b = 1+r)
[egin{array}{l}
0.7261=1+r
0.2739=r
end{array} onumber]

Die kontinuierliche Zerfallsrate beträgt (k) = -0,32 und die jährliche prozentuale Zerfallsrate beträgt 27,39% pro Jahr.

Im Satz lassen wir das negative Vorzeichen bei der Angabe der jährlichen prozentualen Zerfallsrate weg, weil wir das Wort „Zerfall“ verwendet haben, um anzuzeigen, dass r negativ ist.

Beispiel (PageIndex{8})

  1. Drücken Sie (y = 4200 (1.078)^t) in der Form (y =ae^{kt}) aus
  2. Drücken Sie (y = 150 (0.73)^t) in der Form (y =ae^{kt}) aus

Lösung

A. Drücken Sie (y = 4200 (1.078)^t) in der Form (y =ae^{kt}) aus

[egin{array}{l}
mathrm{y}=mathrm{a} e^{mathrm{k} t}=mathrm{ab}^{mathrm{t}}
mathrm{a}left(e^{mathrm{k}} ight)^{mathrm{t}}=mathrm{ab}^{mathrm{t}}
e^{mathrm{k}}=mathrm{b}
e^{k}=1.078
end{array} onumber]

Also (mathrm{k}=ln 1.078 approx 0.0751)

Wir schreiben die Wachstumsfunktion um als (y = 3500e^{0.0751t})

B. Drücken Sie (y =150 (0.73)^t) in der Form (y = ae^{kt}) aus

[egin{array}{l}
y=a e^{k t}=a b^{t}
aleft(e^{k} ight)^{t}=a b^{t}
e^{k}=b
e^{k}=0,73
end{array} onumber]

Daher (mathrm{k}=ln 0,73 approx-0.3147)

Wir schreiben die Wachstumsfunktion um als (y = 150e^{-0.3147t})

EINE ANWENDUNG EINER LOGARITHMISCHEN FUNKTON

Angenommen, wir investieren heute 10.000 US-Dollar und möchten wissen, wie lange es dauert, bis ein bestimmter Betrag, z. B. 15.000 US-Dollar, erreicht ist. Die Zeit (t), die benötigt wird, um einen zukünftigen Wert (y) zu erreichen, ist eine logarithmische Funktion des zukünftigen Wertes: (t = g(y))

Beispiel (PageIndex{9})

Angenommen, Vinh investiert 10000 US-Dollar in eine Investition, die 5 % pro Jahr verdient. Er möchte wissen, wie lange es dauern würde, bis sich seine Investition auf 12.000 US-Dollar ansammelt, und wie lange es dauern würde, um auf 15.000 US-Dollar zu kommen.

Lösung

Wir beginnen damit, die exponentielle Wachstumsfunktion zu schreiben, die den Wert dieser Investition als Funktion der Zeit modelliert, seit die 10.000 US-Dollar ursprünglich investiert wurden

[y=10000(1.05)^{t} onumber]

Wir teilen beide Seiten durch 10000, um den Exponentialausdruck auf einer Seite zu isolieren.

[frac{y}{10000}=1,05^{t} onumber]

Als nächstes schreiben wir dies in logarithmischer Form um, um die Zeit als Funktion des akkumulierten zukünftigen Wertes auszudrücken. Wir verwenden die Funktionsnotation und nennen diese Funktion (g(y)).

[ extrm{t}= extrm{g}( extrm{y})=log_{1.05}left(frac{ extrm{y}}{10000} ight) onumber]

Verwenden Sie die Formel für die Änderung der Basis, um (t) als Funktion von (y) unter Verwendung des natürlichen Logarithmus auszudrücken:

[ extrm{t}= extrm{g}( extrm{y})=frac{ln left(frac{ extrm{y}}{10000} ight)}{ln (1,05 )} keine Nummer]

Mit dieser Funktion können wir nun Vinhs Fragen beantworten.

Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, bis der Wert dieser Investition 12.000 USD beträgt, setzen wir (y) = 12.000 USD in die Funktion (g) ein und berechnen (t):

[mathrm{t}=mathrm{g}(12000)=frac{ln left(frac{12000}{10000} ight)}{ln (1.05)}=frac{ln (1.2)}{ln (1.05)}=3.74 ext { Jahre } onumber]

Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, bis der Wert dieser Investition 15.000 US-Dollar beträgt, setzen wir (y) = 15.000 US-Dollar in die Funktion (g) ein und berechnen (t):

[mathrm{t}=mathrm{g}(15000)=frac{ln left(frac{15000}{10000} ight)}{ln (1.05)}=frac{ln (1.5)}{ln (1.05)}=8.31 ​​ ext { Jahre } onumber]

Bevor wir diesen Abschnitt beenden, untersuchen wir den Graphen der Funktion (mathrm{t}=mathrm{g}(mathrm{y})=frac{ln left(frac{mathrm{y}} {10000} echts)}{ln (1.05)}). Wir sehen, dass die Funktion die allgemeine Form der logarithmischen Funktionen hat, die wir in Abschnitt 5.5 untersucht haben. Aus den im Graphen aufgetragenen Punkten sehen wir, dass die Funktion (g) eine steigende Funktion ist, aber sehr langsam ansteigt.

Betrachten wir nur die Funktion (mathrm{t}=mathrm{g}(mathrm{y})=frac{ln left(frac{mathrm{y}}{10000} ight) }{ln (1.05)}), dann wäre der Funktionsbereich (y > 0), alle positiven reellen Zahlen und der Bereich für (t) wären alle reellen Zahlen.

Im Kontext dieses Investitionsproblems beträgt die Anfangsinvestition zum Zeitpunkt (t) = 0 (y) = 10.000 $. Negative Werte für die Zeit sind nicht sinnvoll. Auch Werte der Anlage, die unter dem Ausgangsbetrag von 10.000 US-Dollar liegen, sind für eine wertsteigernde Anlage nicht sinnvoll.

Daher haben die Funktion und der Graph in Bezug auf dieses Investitionsproblem
Domäne (y ≥ 10.000) und Bereich (t ≥ 0).

Die folgende Grafik beschränkt sich auf den Bereich und den Bereich, der für die Investition in dieses Problem praktisch sinnvoll ist.


Anwendungen von Exponential- und Log-Funktionen



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In dieser Lektion lernen wir

  • Wie berechnet man den Zinseszins (endlich)
  • Wie berechnet man den Zinseszins (kontinuierlich)
  • wie man exponentielle Wachstums- oder Zerfallswortprobleme löst

Zinseszins (endliche Anzahl von Berechnungen)

Zinseszins (kontinuierlich)

Probleme mit kontinuierlichen Zinseszinsen verwenden eine andere Gleichung als Probleme mit endlichen Zinseszinsen, aber die kontinuierliche Zinseszinsgleichung ist auch eine exponentielle Gleichung. Wir verwenden viele der gleichen Methoden zur Berechnung des kontinuierlichen Zinseszinses wie der endliche Zinseszins. Um den Zinseszins zu berechnen, können wir Logarithmen und Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen verwenden.

Exponentielles Wachstum und Verfall

Unter exponentiellem Zerfall versteht man eine exponentiell abnehmende Stoffmenge. Der exponentielle Zerfall ist eine Art von Exponentialfunktion, bei der anstelle einer Variablen in der Basis der Funktion der Exponent ist. Exponentieller Zerfall und exponentielles Wachstum werden bei der Kohlenstoffdatierung und anderen realen Anwendungen verwendet.

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5.6: Anwendungsprobleme mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

Der Zweck dieser Übung besteht darin, Maple zu verwenden, um Anwendungen von exponentiellen und logarithmischen Funktionen zu untersuchen. Diese werden verwendet, um viele Arten von Wachstum und Zerfall zu modellieren, zum Beispiel Bakterienwachstum und radioaktiver Zerfall. Dieses Labor beschreibt auch Anwendungen von exponentiellen und logarithmischen Funktionen zum Heizen und Kühlen und zur Medikamentendosierung

Trennen der Variablen und Integrieren (siehe Abschnitt 4.4 des Textes) haben wir

Bei exponentiellem Wachstum können wir die Absolutwertzeichen um , da es immer eine positive Größe ist, fallen lassen. Auflösen nach erhalten wir

die wir in der Form schreiben können, wobei eine beliebige positive Konstante ist.

wo ist eine Konstante. Dies ist die gleiche Gleichung wie beim exponentiellen Wachstum, außer dass sie ersetzt. Die Lösung ist

wo ist eine positive Konstante. Physikalisch ist die Menge an vorhandenem Material bei .

Radioaktivität wird oft als Halbwertszeit eines Elements ausgedrückt. Zum Beispiel beträgt die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 5730 Jahre. Diese Aussage bedeutet, dass für jede gegebene Probe von , nach 5730 Jahren, die Hälfte davon zerfallen ist. Wenn also die Halbwertszeit eines Elements Z Jahre beträgt, muss es so sein, dass und .

wo ist die Proportionalitätskonstante und die Temperatur der Umgebung. Mit einer Technik namens Trennung von Variablen ist es nicht schwer, die Lösung abzuleiten

Wo ist die Temperatur des Objekts bei .

Ein Problem für Ärzte ist die Tatsache, dass es für die meisten Medikamente eine Konzentration gibt, unterhalb der das Medikament unwirksam ist und eine Konzentration, oberhalb der das Medikament gefährlich ist. Somit möchte der Arzt die Konzentration erfüllen concentration

Dies bedeutet, dass die Anfangsdosis keine höhere Konzentration erzeugen darf und dass eine weitere Dosis verabreicht werden muss, bevor die Konzentration erreicht ist.

Manchmal müssen Sie experimentelle Daten verwenden, um den Wert von Konstanten in Modellen zu bestimmen. Angenommen, für ein bestimmtes Medikament wurden die folgenden Daten erhalten. Unmittelbar nach der Injektion beträgt die Konzentration 1,5 mg/ml (Milligramm pro Milliliter). Nach vier Stunden ist die Konzentration auf 0,25 mg/ml abgesunken. Aus diesen Daten können wir Werte von und wie folgt bestimmen. Der Wert von ist die Anfangskonzentration, also haben wir

Um den Wert von zu finden, müssen wir die Gleichung lösen

die wir durch das Einstecken und Verwenden der Daten erhalten. Maple-Befehle zum Auflösen, Definieren und Plotten der Funktion werden unten gezeigt.

  1. 1935 entwickelte Charles F. Richter von Cal Tech eine Skala zur Messung der Stärke von Erdbeben. Die Formel der Richterskala ist gegeben durch given

wobei die Stärke des Erdbebens ist, die Amplitude der größten seismischen Welle, gemessen auf einem Standard-Seismographen 100 Kilometer vom Epizentrum entfernt, und die Amplitude eines Referenzbebens mit einer Amplitude von 1 Mikrometer auf einem Standard-Seismographen im gleichen Abstand vom Epizentrum . A Um wie viel erhöht sich die Stärke eines Erdbebens, wenn sich die Amplitude eines Erdbebens verdreifacht?

B 1989 wurde die San Francisco Bay Area durch ein Erdbeben der Stärke 7,1 schwer beschädigt. Die Schäden waren jedoch bei weitem nicht so groß wie die des großen Bebens von 1906, das auf eine Stärke von 8,3 geschätzt wurde. Wie ist das Verhältnis der Amplitude des Bebens von 1906 zu dem Beben von 1989?

C Die größte jemals gemessene Erdbebenstärke war 8,9 für ein Erdbeben in Japan im Jahr 1933. Bestimmen Sie das Verhältnis der Amplitude dieses Erdbebens zu der des Erdbebens von 1906 in San Francisco.


Eigenschaften von Logarithmen

Verwenden Sie die Eigenschaften von Logarithmen, um jeden logarithmischen Ausdruck zu verdichten. Schreiben Sie den Ausdruck als einfachen Logarithmus, dessen Koeffizient $1 .$ ist. Werten Sie nach Möglichkeit logarithmische Ausdrücke aus.
$log x+3 log y$

Sinn ergeben? Bestimmen Sie, ob jede Aussage "sinnvoll" oder "unsinnig" ist und begründen Sie Ihre Argumentation.
Ich habe $log _ <4>sqrt>$, indem man das Radikal mit einem rationalen Exponenten schreibt und dann die Quotientenregel anwendet, um $frac<1> <2>log _ <4>x-log _ <4>y zu erhalten.$

Widerlegen Sie jede Aussage in den Übungen 106-110$ durch
A. lassen Sie y gleich einer positiven Konstanten Ihrer Wahl sein, und
B. Verwenden eines grafischen Dienstprogramms, um die Funktion auf jeder Seite des Gleichheitszeichens grafisch darzustellen. Die beiden Funktionen sollten unterschiedliche Graphen haben, was zeigt, dass die Gleichung im Allgemeinen nicht wahr ist
$ln (x y)=(ln x)(ln y)$


Exponentielle und logarithmische Funktionen und Beispiele

1. Geben Sie ein Beispiel für eine Exponentialfunktion an. Wandeln Sie diese Exponentialfunktion in eine logarithmische Funktion um und zeichnen Sie dann den Graphen beider Funktionen.

2. Gegeben seien die folgenden Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, x und y:
Eine lineare Gleichung in einer Variablen
Eine lineare Gleichung in zwei Variablen
Eine quadratische Gleichung
Ein Polynom aus drei Termen
Eine Exponentialfunktion
Eine logarithmische Funktion
Vergleichen Sie alle geschriebenen Funktionen und notieren Sie ihre Unterschiede.

3. Zeichnen Sie einen Graphen aus den obigen Gleichungen.

4. Inwiefern wird Ihnen das Wissen um die grafische Darstellung dieser Funktionen Ihrer Meinung nach in Ihrer Karriere oder Ihrem Leben helfen?

© BrainMass Inc. brainmass.com 4. März 2021, 18:59 Uhr ad1c9bdddf
https://brainmass.com/math/basic-algebra/exponential-logarithmic-functions-examples-74815

Lösungszusammenfassung

Diese Lösung zeigt die grafische Darstellung verschiedener Arten von Funktionen und erklärt reale Anwendungen.


5.6: Anwendungsprobleme mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

In den vorherigen Abschnitten haben wir die Eigenschaften und Regeln sowohl für exponentielle als auch für logarithmische Funktionen kennengelernt. Wir haben gesehen, dass jede Exponentialfunktion als logarithmische Funktion geschrieben werden kann und umgekehrt. Wir haben Exponenten verwendet, um logarithmische Gleichungen zu lösen, und Logarithmen, um exponentielle Gleichungen zu lösen. Wir sind jetzt bereit, unsere Fähigkeiten zu kombinieren, um Gleichungen zu lösen, die reale Situationen modellieren, egal ob die Unbekannte in einem Exponenten oder in einem Logarithmus-Argument vorliegt.

Eine solche Anwendung findet sich in der Wissenschaft, um die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, bis die Hälfte des instabilen Materials in einer Probe einer radioaktiven Substanz zerfällt halbes Leben. Die folgende Tabelle listet die Halbwertszeit für einige der häufigeren radioaktiven Stoffe auf.

Substanz Benutzen Halbes Leben
Gallium-67 Nuklearmedizin 80 Stunden
Kobalt-60 Herstellung 5,3 Jahre
Technetium-99m Nuklearmedizin 6 Stunden
Americium-241 Konstruktion 432 Jahre
Kohlenstoff-14 archäologische Datierung 5.715 Jahre
Uran-235 Atomkraft 703.800.000 Jahre

Wir können sehen, wie stark die Halbwertszeiten dieser Substanzen variieren. Wenn wir die Halbwertszeit einer Substanz kennen, können wir die nach einer bestimmten Zeit verbleibende Menge berechnen. Wir können die Formel für den radioaktiven Zerfall verwenden:

Beispiel 13: Verwenden der Formel für den radioaktiven Zerfall, um die Menge einer Substanz zu bestimmen

Wie lange dauert es, bis zehn Prozent einer 1000-Gramm-Probe Uran-235 zerfallen sind?


College-Algebra-Probleme mit Antworten Beispiel 3: Exponentielle und logarithmische Funktionen

College-Algebra-Probleme zur logarithmischen und exponentiellen Funktion mit Antworten werden zusammen mit Lösungen am Ende der Seite vorgestellt.

  1. Die logarithmische Funktion f sei definiert durch f(x) = 2ln(2x - 1).
    a) Finden Sie das Gebiet von f.
    b) Finden Sie die vertikale Asymptote des Graphen von f.
  2. Die Exponentialfunktion h sei definiert durch h(x) = 2 + e x
    a) Bestimmen Sie den Bereich von h.
    b) Bestimmen Sie die horizontale Asymptote des Graphen von h.
  3. Die Bevölkerung der Stadt EIN ändert sich entsprechend der Exponentialfunktion
    A(t) = 2,9 (2) 0,11 t (Millionen)
    und die Bevölkerung der Stadt B ändert sich entsprechend der Exponentialfunktion
    B(t) = 1,7 (2) 0,17 t (Millionen)
    wobei t = 0 2009 entspricht.
    a) Welche Stadt hatte 2009 mehr Einwohner?
    b) Wann werden die Einwohnerzahlen der beiden Städte gleich groß sein?
  4. Finden Sie die Umkehrung der logarithmischen Funktion f definiert durch f(x) = 2 Log5 (2x - 8) + 3
  5. Finden Sie die Umkehrung der Exponentialfunktion h definiert durch h(x) = - 2*3 -3x + 9 - 4
  6. Löse die logarithmische Gleichung definiert durch
    ln(2x - 2) + ln(4x - 3) = 2 ln(2x)
  7. A, B und k in der Exponentialfunktion f gegeben durch
    f(x) = A ek x + B
    sind Konstanten. Finden Sie A, B und k, falls f(0) = 1 und f(1) = 2 und der Graph von f eine horizontale Asymptote y = -4 hat.

Antworten auf die obigen Fragen

    1. löse 2x - 1 > 0, um den Bereich zu finden: x > 1/2
    2. löse 2x - 1 v = 0, um die vertikale Asymptote zu finden: x = 1/2
    1. Bereich von h: (2, +unendlich)
    2. horizontale Asymptote: y = 2
    1. A(0) = 2,9 Millionen , B(0) = 1,7 Millionen, Stadt A hatte eine größere Bevölkerung.
    2. löse 2.9 (2) 0.11 t = 1.7 (2) 0.17 t auf, um t zu finden.
      nimm ln von beiden Seiten der Gleichung
      ln[ 2,9 (2) 0,11 t ] = ln[ 1,7 (2) 0,17 t ]
      ln(2,9) + 0,11t ln(2) = ln(1,7) + 0,17t ln(2)
      nach t auflösen:
      t = (ln1,7 - ln2,9) / (0,11ln2 - 0,17ln2) = 13 (auf die nächste Einheit angenähert)
      Die Größe der beiden Populationen wird 2009 + 13 = 2022 gleich sein.
      löse die Gleichung: x = 2 Log5 (2y - 8) + 3 für y, um die Umkehrung der Funktion zu erhalten.
      f -1 (x) = (1/2) 5 (x-3)/2 + 4
      Lösen Sie die Gleichung: x = - 2*3 -3y + 9 - 4 für y, um die Umkehrung der Funktion zu erhalten.
      h -1 (x) = (-1/3)Log3 [(x+4)/-2] + 3
      Schreiben Sie die gegebene Gleichung wie folgt um
      ln(2x - 2)(4x - 3) = ln(2x) 2
      Das obige ergibt die algebraische Gleichung
      (2x - 2) (4x - 3) = (2x) 2
      Löse die obige quadratische Gleichung nach x
      x = 3 und x = 1/2
      Überprüfen Sie die beiden Werte von x und nur x = 3 ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
      Horizontale Asymptote y = - 4 ergibt B = - 4.
      f(0) = A + B = 1
      was A = 5 ergibt, da B = - 4
      f(1) = 5e k - 4 = 2
      nach k auflösen, um zu erhalten: k = ln(6 / 5)

    Weitere Referenzen und Links


    5.6: Anwendungsprobleme mit Exponential- und Logarithmusfunktionen

    Der Zweck dieser Übung besteht darin, Maple zu verwenden, um Anwendungen von exponentiellen und logarithmischen Funktionen zu untersuchen. Diese werden verwendet, um viele Arten von Wachstum und Zerfall zu modellieren, zum Beispiel Bakterienwachstum und radioaktiver Zerfall. Dieses Labor beschreibt auch Anwendungen exponentieller und logarithmischer Funktionen zum Heizen und Kühlen sowie zur Medikamentendosierung

    Trennen der Variablen und Integrieren (siehe Abschnitt 4.4 des Textes) haben wir

    Bei exponentiellem Wachstum können wir die Absolutwertzeichen um , da es immer eine positive Größe ist, fallen lassen. Auflösen nach erhalten wir

    die wir in der Form schreiben können, wobei eine beliebige positive Konstante ist.

    wo ist eine Konstante. Dies ist die gleiche Gleichung wie beim exponentiellen Wachstum, außer dass sie ersetzt. Die Lösung ist

    wo ist eine positive Konstante. Physikalisch ist die Menge an vorhandenem Material bei .

    Radioaktivität wird oft als Halbwertszeit eines Elements ausgedrückt. Zum Beispiel beträgt die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 5730 Jahre. Diese Aussage bedeutet, dass für jede gegebene Probe von , nach 5730 Jahren, die Hälfte davon zerfallen ist. Wenn also die Halbwertszeit eines Elements Z Jahre beträgt, muss es so sein, dass und .

    wo ist die Proportionalitätskonstante und die Temperatur der Umgebung. Mit einer Technik namens Trennung von Variablen ist es nicht schwer, die Lösung abzuleiten

    Wo ist die Temperatur des Objekts bei .

    Ein Problem für Ärzte ist die Tatsache, dass es für die meisten Medikamente eine Konzentration gibt, unterhalb der das Medikament unwirksam ist und eine Konzentration, oberhalb der das Medikament gefährlich ist. Somit möchte der Arzt die Konzentration erfüllen concentration

    Dies bedeutet, dass die Anfangsdosis keine höhere Konzentration erzeugen darf und dass eine weitere Dosis verabreicht werden muss, bevor die Konzentration erreicht ist.

    Manchmal müssen Sie experimentelle Daten verwenden, um den Wert von Konstanten in Modellen zu bestimmen. Angenommen, für ein bestimmtes Medikament wurden die folgenden Daten erhalten. Unmittelbar nach der Injektion beträgt die Konzentration 1,5 mg/ml (Milligramm pro Milliliter). Nach vier Stunden ist die Konzentration auf 0,25 mg/ml abgesunken. Aus diesen Daten können wir Werte von und wie folgt bestimmen. Der Wert von ist die Anfangskonzentration, also haben wir

    Um den Wert von zu finden, müssen wir die Gleichung lösen

    die wir durch das Einstecken und Verwenden der Daten erhalten. Maple-Befehle zum Auflösen, Definieren und Plotten der Funktion werden unten gezeigt.


    LÖSUNG: Brauchen Sie Hilfe bei der Lösung dieses Problems, danke für Ihre Hilfe! Bestimmen Sie die Werte der Konstanten C und b, sodass die Kurve y = Cb^(x) die Punkte (4,3) und (5,6) enthält. Drücken Sie aus

    Gehen Sie zurück zur ersten ursprünglichen Gleichung (beide ist in Ordnung) und ersetzen Sie b durch 2, um Folgendes zu erhalten:
    erste ursprüngliche Gleichung von 3 = cb^4 wird:
    3 = c*2^4 was wird:
    3 = c*16
    dividiere beide Seiten dieser Gleichung durch 16 und erhalte:
    c = 3/16

    Ihre Lösung sollte sein, dass b = 2 und c = 3/16

    Ersetzen Sie c durch 3/16 und b durch 2 und x durch 4 in Ihrer ersten ursprünglichen Gleichung, um zu erhalten:
    y = cb^x wird:
    y = 3/16 *2^4 was wird:
    y = 3/16 * 16 was wird zu:
    y = 3
    Lösung wird in der ersten Gleichung als gut bestätigt, da y = cb^x zu y = 3 wird, wenn x = 4.

    Ersetzen Sie c durch 3/16 und b durch 2 und x durch 5 in Ihrer zweiten ursprünglichen Gleichung, um zu erhalten:
    y = cb^x wird:
    y = 3/16 * 2^5 was zu:
    y = 3/16 * 32 was wird zu:
    y = 6
    Lösung wird in der zweiten Gleichung als gut bestätigt, da y = cb^x zu y = 6 wird, wenn x = 5.


    Lösen von exponentiellen und logarithmischen Gleichungen

    Bewerten und vereinfachen Sie algebraische Ausdrücke, zum Beispiel: Produkte/Quotienten von Polynomen, logarithmischen Ausdrücken und komplexen Brüchen und lösen und zeichnen Sie lineare, quadratische, exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen sowie lösen und zeichnen Sie Gleichungs- und Ungleichungssysteme.

    Anwendungen von Funktionen

    Nichtlineare Gleichungen

    Bestimmen, verwenden und/oder interpretieren Sie minimale und maximale Werte über ein bestimmtes Intervall eines Graphen einer polynomischen, exponentiellen oder logarithmischen Funktion.

    • Funktionsfamilien weisen Eigenschaften und Verhaltensweisen auf, die darstellungsübergreifend erkannt werden können. Funktionen können transformiert, kombiniert und zusammengesetzt werden, um neue Funktionen in mathematischen und realen Situationen zu erstellen.
    • Mathematische Funktionen sind Beziehungen, die jedes Mitglied einer Menge (Domäne) einem eindeutigen Mitglied einer anderen Menge (Bereich) zuordnen, und die Beziehung ist über Darstellungen hinweg erkennbar.
    • Zahlen, Maße, Ausdrücke, Gleichungen und Ungleichungen können mathematische Situationen und Strukturen in vielen äquivalenten Formen darstellen.
    • Muster weisen Beziehungen auf, die erweitert, beschrieben und verallgemeinert werden können.
    • Beziehungen und Funktionen sind mathematische Beziehungen, die mithilfe von Wörtern, Tabellen, Grafiken und Gleichungen dargestellt und analysiert werden können.
    • There are some mathematical relationships that are always true and these relationships are used as the rules of arithmetic and algebra and are useful for writing equivalent forms of expressions and solving equations and inequalities.
    • Algebraic properties, processes and representations
    • Exponential functions and equations
    • Polynomial functions and equations
    • Quadratic functions and equations
    • Represent a polynomial function in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the solution of the associated polynomial equation to each representation.
    • Represent a quadratic function in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the solution of the associated quadratic equation to each representation.
    • Represent exponential functions in multiple ways, including tab les , graphs, equations, and contextual situations, and make connections among representations relate the growth/decay rate of the associated exponential equation to each representation.

    Ziele

    In this lesson, students will write and solve exponential and logarithmic equations. Students will: [IS.2 - Struggling Learners]

    1. convert to and from exponential and logarithmic form.
    2. use the change of base formulas with the common logarithm and natural logarithm.
    3. solve real-world application problems using exponential and logarithmic equations.
    4. identify the domain and range of exponential and logarithmic functions.
    5. identify characteristics of the graphs of exponential and logarithmic functions.
    6. translate from one representation of an exponential or logarithmic function to another representation.
    7. identify what happens to the graph of an exponential or logarithmic function when the parameters change.

    Essential Questions

    1. How can we determine if a real-world situation should be represented by a quadratic, polynomial, or exponential function?
    2. How do you explain the benefits of multiple methods of representing exponential functions (tables, graphs, equations, and contextual situations)?

    Wortschatz

    1. Asymptote: A line such that a point, tracing a given curve and simultaneously receding to an infinite distance from the origin, approaches indefinitely near to the line a line such that the perpendicular distance from a moving point on a curve to the line approaches zero as the point moves off an infinite distance from the origin. [IS.1 - Struggling Learners]
    2. Exponential Equation: An equation in the form of y=ax an equation in which the unknown occurs in an exponent, for example, 9 (x + 1) = 243.
    3. Logarithmic Equation: An equation in the form of y=logax , where x=ay the inverse of an exponential equation.
    4. Domain: The set of all x-values or input values for an equation.
    5. Bereich: The set of all ja-values or output values for an equation.
    6. Common Logarithm: Logarithm with base 10 if ein = 10 x , then log ein = x.
    7. Natural Logarithm: Logarithm with base e also ln, Napierian logarithm, Euler logarithm. The base, e, is approximately 2.71828.

    Dauer

    120&ndash180 minutes/2&ndash3 class periods [IS.3 - All Students]

    Prerequisite Skills

    Materialien

    1. Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet (M-A2-4-2_Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet.docx)
    2. Lesson 2 Exit Ticket (M-A2-4-2_ Lesson 2 Exit Ticket.docx)
    3. Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes (M-A2-4-2_Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes and KEY.docx)
    4. Graphing Practice Worksheet (M-A2-4-2_Graphing Practice Worksheet.docx)
    5. graph paper

    Related Unit and Lesson Plans

    Related Materials & Resources

    The possible inclusion of commercial websites below is not an implied endorsement of their products, which are not free, and are not required for this lesson plan.

    1. Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet (M-A2-4-2_Solving Exponential and Logarithmic Applications Worksheet.docx)
    2. Lesson 2 Exit Ticket (M-A2-4-2_ Lesson 2 Exit Ticket.docx)
    3. Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes (M-A2-4-2_Graphing Exponential and Logarithmic Function Notes and KEY.docx)
    4. Graphing Practice Worksheet (M-A2-4-2_Graphing Practice Worksheet.docx)
    5. graph paper

    Formative Assessment

    1. The Think-Pair-Share activity (Part 2) uses the Graphing Practice Worksheet. Students can evaluate their own and their partners&rsquo understanding of ways to accurately and appropriately represent logarithmic functions graphically. Remind students to apply the principles they already know about functions to make sure their graphs have one and only one ja-value for each x. [IS.10 - Struggling Learners]
    2. The Lesson 2 Exit Ticket includes a growth/decay model of a real-world application of logarithms and requires student understanding of how to use logarithms as tools to represent a practical problem. Ask students to consider the reasonableness of their answers before completing the work.

    Suggested Instructional Supports

    Students will be learning about solving exponential and logarithmic equations. Solving equations is such an important aspect in making predictions about different situations. Students will be evaluated through observation, exit tickets, and an assessment. Students will also be learning about graphing exponential and logarithmic functions. Graphs are important visuals of functions. Students will be evaluated through observation, exit tickets, and an assessment.

    Students will be interested in today&rsquos lesson because many students at this age like crime shows and mysteries. Exponential and logarithmic functions occur in many realistic situations.

    Students will work in pairs today as well as on their own. They will write notes, which they will use to complete the lesson&rsquos tasks.

    Students will be able to reflect and revisit the problems they do during the class review. Students will then take that information and revise their thought-processes on the next task. You will be walking around while students are working and give them feedback throughout this time.

    Students will be able to evaluate themselves when they check their work with a partner. Their peers might be able to give them some more insight on their understanding.

    This lesson is tailored to collaboration, in which students are grouped at similar ability levels or different ability levels. There is also an extension problem for students who need more practice or for students who work quicker than their peers.

    This lesson has several parts and each part has either individual work or partner work. We will go over each problem and discuss the problems as a class. The discussions will transition the class from activity to activity.

    Consider the following steps with regard to vocabulary for struggling learners:

    1. Use of a graphic organizer (e.g., Frayer Model, Verbal Visual Word Association, Concept Circles).
    2. Introduce new vocabulary using student friendly definitions and examples and non-examples.
    3. Review words with students.
    4. Provide opportunities for students to apply the new/reviewed terms.

    Instructional Procedures

    &ldquoToday we are going to learn how exponential and logarithmic equations are used to solve real-world applications. Who can tell me what the most basic exponential equation is and what each part of the equation means?&rdquo [IS.4 - Struggling Learners][ja = ab x oder ja = ab x + k ein &ne 0 (initial value) B is greater than 0 and &ne 1 (multiplier: describes a percentage increase or decrease) and k = asymptote (a value that the function gets close to but never touches)]

    Exponential and logarithmic functions are used in the real world. Most notably, exponential functions are used in population growth, interest, and bacterial growth. Logarithmic functions are used to measure light and sound intensity, as well as measuring magnitudes of earthquakes. Review how to convert back and forth from exponential form to logarithmic form since students will be doing this when graphing logarithmic equations.

    &ldquoToday we are going to learn how to graph exponential and logarithmic functions without the use of a calculator. We will begin with the equation, make a table of values with a few points, and sketch the graph.&rdquo

    &ldquoSuppose we have the exponential function, y=3x we can use a table of values to graph the function.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos fill in our table.&rdquo Using a projector or interactive whiteboard, display the following chart: [IS.5 - Struggling Learners]

    3 x

    3 &minus2

    &minus2, .11 (point A)

    3 &minus1

    &minus1, .33 (point B)

    3 0

    3 1

    1, 3 (point D)

    3 2

    2, 9 (point E)

    &ldquoNow, we can create our graph.&rdquo Display the following graph:

    &ldquoNotice that the graph approaches a horizontal asymptote of ja = 0&rdquo

    &ldquoNow, let&rsquos graph a logarithmic function!&rdquo

    &ldquoSince a logarithmic function is the inverse of an exponential function, we simply graph the exponential function that is the inverse, draw the line of symmetry, ja = x, and plot the reverse coordinates for each point on the exponential function. An illustration will make this process easier to understand.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos take our exponential function from before, y=3x. The inverse of this function is log3x .&rdquo

    &ldquoLet&rsquos look at our table from before and insert another column for the ordered pair containing the reversed coordinates.&rdquo [IS.6 - Struggling Learners]

    3 x

    Coordinates for log3x

    3 &minus2

    3 &minus1

    3 0

    3 1

    3 2

    &ldquoWe will now graph the points for the logarithmic function.&rdquo Display the following graph:

    &ldquoNow we simply have to connect the points of the logarithmic function. Note the vertical asymptote of x = 0.&rdquo

    &ldquoBefore we can get to the application problems, we have to learn about a few formulas. Let&rsquos say we have to solve 5x = 50. What do we do to solve for x?&rdquo (divide both sides by 5) &ldquoDivision is the inverse of multiplication. So what is the inverse of exponents?&rdquo (logarithms)

    &ldquoIf we have a problem like 2 x &ndash 1 = 8, we can simply rewrite 8 as 2 3 and then set the exponents equal to each other and solve for x.&rdquo

    &ldquoBut what if we don&rsquot have the same bases to work with? We can take the logarithm of each side of the equation.&rdquo Put the following formulas on the board and do the examples as a whole class.

    &ldquoRemember that ln refers to the natural logarithm, not the base 10 logarithm. It&rsquos important to keep in mind that these are two different bases. The base of the natural logarithm is approximately 2.71828 and is quite useful in many fields of mathematics.&rdquo

    &ldquoWhen we write log without a base next to it, it is the Common Log, base 10.&rdquo [IS.7 - Struggling Learners]

    &ldquoLet&rsquos try some examples.&rdquo Examples should be worked out together as a class. Note that there are multiple ways to solve these equations.

    1. 2 x = 10 Answer for number 1:

    x=log10log2 2. 2 x = 10 Work for number 2: log2x=log10 xlog2=log10 x=log10log2 3. 5 x = 45 Work for number 3: log5x=log45 xlog5=log45 x=log45log5 4. 8 x -1 = 100 Work for number 4: log8x - 1=log100 (x-1)log8=log100 x-1=log100log8 x=log100log8 + 1 5. 6 2 x + 3 = 50 Work for number 5: log62x+3=log50 2x+3log6=log50 2x+3=log50log6 2x=log50log6-3 x=log50log6-32

    &ldquoLet&rsquos look at a natural logarithm example. Suppose we have the exponential equation: 4e3x + 5 = 10. We can use the natural logarithm to solve the equation, since we have e as a base. The base of the natural logarithm, e, operates in the same way as base 10. A logarithm is the inverse of an exponential function. Log (1000) = 3 because 10 3 = 1000. In the same way, e 3 &asymp 20.08553, so ln (20.08553) &asymp 3.&rdquo Work through with students: [IS.8 - Struggling Learners]

    &ldquoIf we are given a logarithm and asked to evaluate, we can use the change of base formula. We can also convert the logarithm to another base.&rdquo

    &ldquoLet&rsquos explore how to evaluate a logarithm in terms of common logarithms using the change of base formula first .&rdquo (Review this concept as a class.)

    *For all positive numbers B, C, und M, wo B &ne 1 and C &ne 1.

    &ldquoFor example, take this logarithm.&rdquo

    &ldquoNow, we can also convert this logarithm to another base. Let&rsquos convert it to base 6.&rdquo Work through with students:

    &ldquoNow we are going to get into some fun problems. We will do an example as a class, then you will solve a few problems in groups.&rdquo

    Give the following problem.

    Aunt Helen likes drinking tea, but she is specific about the temperature at which she drinks it. She boiled the water (100 o C) and poured it over the tea leaves. Five minutes later she came back and the tea was 65 o . Aunt Helen keeps her house at a cool 20 o . Write an equation that represents the temperature of Aunt Helen&rsquos tea.

    &ldquoFirst we need to determine what we know. We know that at time T = 0 (the time at which the water has come to a boil), ja(the temperature of the tea) is 100 and that when T = 5 (the number of minutes it has been left to sit after it came to a boil), ja is 65. What else do we know from the problem?&rdquo (Room temperature is 20 o , which is the asymptote, since nothing will cool down more than room temp.) &ldquoWe will substitute the first point into an exponential equation and first solve for ein. Then we will substitute the second point and solve for B. This will tell us the percentage rate at which the tea cools per minute.&rdquo Work through with students:

    &ldquoWe can use this equation to make predictions. Let&rsquos say Aunt Helen only likes to drink her tea when it is 50 Ö . How long will she have to wait to drink her tea?&rdquo

    50 = 80(0.8913) T + 20
    30 = 80(0.8913) T
    0.375 = 0.8913 T

    &ldquoNow we have to use the change of base formula to solve for T.&rdquo

    T = log 0.375 ÷ log 0.8913 or ln 0.375 ÷ ln 0.8913 &asymp 8.5 minutes [IS.9 - Struggling Learners]


    Schau das Video: 1 Grundlagen Exponential- und Logarithmusfunktionen (November 2021).