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2.4: Transformation nichtlinearer Gleichungen in separierbare Gleichungen


In Abschnitt 2.1 haben wir gefunden, dass die Lösungen einer linearen inhomogenen Gleichung

[y'+p(x)y=f(x)keine Zahl ]

haben die Form (y=uy_1), wobei (y_1) eine nichttriviale Lösung der Komplementärgleichung

[label{eq:2.4.1} y'+p(x)y=0]

und (u) ist eine Lösung von

[u'y_1(x)=f(x). onumber ]

Beachten Sie, dass diese letzte Gleichung separierbar ist, da sie umgeschrieben werden kann als

[u'={f(x)over y_1(x)}. onumber]

In diesem Abschnitt betrachten wir nichtlineare Differentialgleichungen, die anfangs nicht separierbar sind, aber auf ähnliche Weise gelöst werden können, indem ihre Lösungen in der Form (y=uy_1) geschrieben werden, wobei (y_1) geeignet ist gewählte bekannte Funktion und (u) erfüllt eine trennbare Gleichung. Wir sagen in diesem Fall, dass wir transformiert die gegebene Gleichung in eine trennbare Gleichung.

Bernoulli-Gleichungen

EIN Bernoulli-Gleichung ist eine Gleichung der Form

[label{eq:2.4.2} y'+p(x)y=f(x)y^r,]

wobei (r) eine beliebige reelle Zahl außer (0) oder (1) sein kann. (Beachte, dass Gleichung ef{eq:2.4.2} genau dann linear ist, wenn (r=0) oder (r=1) ist.) Wir können Gleichung ef{eq:2.4.2} in . umwandeln eine trennbare Gleichung durch Variation von Parametern: Wenn (y_1) eine nichttriviale Lösung von Gleichung ef{eq:2.4.1} ist, ergibt das Einsetzen von (y=uy_1) in Gleichung ef{eq:2.4.2}

[u'y_1+u(y_1'+p(x)y_1)=f(x)(uy_1)^r, onumber ]

was der trennbaren Gleichung entspricht

[u'y_1(x)=f(x)left(y_1(x) ight)^ru^r quad ext{or} quad {u'over u^r}=f(x) left(y_1(x) ight)^{r-1}, onumber]

da (y_1'+p(x)y_1=0).

Beispiel (PageIndex{1}):

Löse die Bernoulli-Gleichung

[label{eq:2.4.3} y'-y=xy^2.]

Da (y_1=e^x) eine Lösung von (y'-y=0) ist, suchen wir nach Lösungen der Gleichung ef{eq:2.4.3} in der Form (y=ue^x ), wo

[u'e^x=xu^2e^{2x} quad ext{oder äquivalent} quad u'=xu^2e^x. keine Nummer]

Variablen trennen ergibt

[{u'over u^2}=xe^x, onumber]

und Integration von Erträgen

[-{1over u}=(x-1)e^x+c. keine Nummer]

Somit,

[u=-{1over(x-1)e^x+c} onumber]

und

[y=-{1over x-1+ce^{-x}}. keine Nummer]

Abbildung (PageIndex{1}) zeigt das Richtungsfeld und einige Integralkurven der Gleichung ef{eq:2.4.3}.

Andere nichtlineare Gleichungen, die in separierbare Gleichungen umgewandelt werden können

Wir haben gesehen, dass die nichtlineare Bernoulli-Gleichung durch die Substitution (y=uy_1) in eine separierbare Gleichung umgewandelt werden kann, wenn (y_1) geeignet gewählt wird. Entdecken wir nun eine hinreichende Bedingung für eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung

[label{eq:2.4.4} y'=f(x,y)]

auf die gleiche Weise in eine trennbare Gleichung transformierbar sein. Einsetzen von (y=uy_1) in Gleichung ef{eq:2.4.4} ergibt

[u'y_1(x)+uy_1'(x)=f(x,uy_1(x)),keineZahl ]

was äquivalent zu ist

[label{eq:2.4.5} u'y_1(x)=f(x,uy_1(x))-uy_1'(x).]

Ob

[f(x,uy_1(x))=q(u)y_1'(x) onumber ]

für eine Funktion (q) wird aus Gleichung ef{eq:2.4.5}

[label{eq:2.4.6} u'y_1(x)=(q(u)-u)y_1'(x),]

was trennbar ist. Nachdem wir nach konstanten Lösungen (uequiv u_0) gesucht haben, so dass (q(u_0)=u_0), können wir die Variablen trennen, um zu erhalten

[{u'over q(u)-u}={y_1'(x)over y_1(x)}. keine Nummer]

Homogene nichtlineare Gleichungen

Im Text werden wir nur die am häufigsten untersuchte Klasse von Gleichungen betrachten, für die die Methode des vorherigen Absatzes funktioniert. Andere Arten von Gleichungen erscheinen in den Übungen (PageIndex{44})-(PageIndex{51}).

Die Differentialgleichung Gleichung ef{eq:2.4.4} heißt homogen wenn (x) und (y) in (f) so vorkommen, dass (f(x,y)) nur vom Verhältnis (y/x) abhängt; das heißt, Gleichung ef{eq:2.4.4} kann geschrieben werden als

[label{eq:2.4.7} y'=q(y/x),]

wobei (q=q(u)) eine Funktion einer einzelnen Variablen ist. Beispielsweise,

[y'={y+xe^{-y/x}over x}={yover x}+e^{-y/x} onumber]

und

[y'={y^2+xy-x^2over x^2}=left(yover x ight)^2+{yover x} -1 onumber]

haben die Form Gleichung ef{eq:2.4.7}, mit

[q(u)=u+e^{-u} quad ext{und} quad q(u)=u^2+u-1, onumber]

beziehungsweise. Die oben diskutierte allgemeine Methode kann auf Gleichung ef{eq:2.4.7} mit (y_1=x) (und damit (y_1'=1)) angewendet werden. Somit ergibt das Einsetzen von (y=ux) in Gleichung ef{eq:2.4.7}

[u'x+u=q(u), onumber]

und Trennung von Variablen (nach Prüfung auf konstante Lösungen (uequiv u_0) mit (q(u_0)=u_0)) ergibt)

[{u'over q(u)-u}={1over x}. onumber]

Bevor wir uns Beispielen zuwenden, weisen wir auf etwas hin, das Ihnen vielleicht schon aufgefallen ist: die Definition von homogene Gleichung Die hier angegebene Definition entspricht nicht der Definition in Abschnitt 2.1, wo wir gesagt haben, dass eine lineare Gleichung der Form

[y'+p(x)y=0keineZahl ]

ist homogen. Wir entschuldigen uns nicht für diese Inkonsistenz, da wir sie nicht historisch geschaffen haben, homogen wurde auf diese beiden inkonsistenten Weisen verwendet. Diejenige, die mit linearen Gleichungen zu tun hat, ist die wichtigste. Dies ist der einzige Abschnitt des Buches, in dem die hier definierte Bedeutung zutrifft.

Da (y/x) im Allgemeinen undefiniert ist, falls (x=0), betrachten wir Lösungen inhomogener Gleichungen nur auf offenen Intervallen, die den Punkt (x=0) nicht enthalten.

Beispiel (PageIndex{2})

Lösen

[label{eq:2.4.8} y'={y+xe^{-y/x}over x}.]

Einsetzen von (y=ux) in Gleichung ef{eq:2.4.8} ergibt

[u'x+u = {ux+xe^{-ux/x}over x} = u+e^{-u}. keine Nummer]

Vereinfachen und Trennen von Variablen ergibt

[e^uu'={1over x}. keine Nummer]

Integrieren ergibt (e^u=ln |x|+c). Daher (u=ln(ln|x|+c)) und (y=ux=xln (ln |x|+c)).

Abbildung (PageIndex{2}) zeigt ein Richtungsfeld und Integralkurven für Gleichung ef{eq:2.4.8}.

Beispiel (PageIndex{3})

A. Lösen

[label{eq:2.4.9} x^2y'=y^2+xy-x^2.]

B. Löse das Anfangswertproblem

[label{eq:2.4.10} x^2y'=y^2+xy-x^2, quad y(1)=2.]

Lösung a

Wir finden zuerst Lösungen von Gleichung ef{eq:2.4.9} auf offenen Intervallen, die (x=0) nicht enthalten. Wir können Gleichung ef{eq:2.4.9} umschreiben als

[y'={y^2+xy-x^2over x^2} onumber]

für (x) in einem solchen Intervall. Einsetzen von (y=ux) ergibt

[u'x+u ={ (ux)^2+x(ux)-x^2 over x^2} = u^2+u-1, onumber]

so

[label{eq:2.4.11} u'x=u^2-1.]

Nach Betrachtung hat diese Gleichung die konstanten Lösungen (uequiv1) und (uequiv-1). Daher sind (y=x) und (y=-x) Lösungen von Gleichung ef{eq:2.4.9}. Wenn (u) eine Lösung von Gleichung ef{eq:2.4.11} ist, die nicht die Werte (pm 1) auf einem bestimmten Intervall annimmt, ergibt die Trennung von Variablen

[{u'over u^2-1}={1over x}, onumber]

oder, nach einer Teilbruchexpansion,

[{1over 2}left[{1over u-1}-{1over u+1} ight]u'= {1over x}. onumber]

Mit 2 multiplizieren und Erträge integrieren

[lnleft|u-1over u+1 ight| =2 ln |x|+k,keineZahl]

oder

[left|{u-1over u+1} ight|=e^kx^2, onumber]

was gilt, wenn

[label{eq:2.4.12} {u-1over u+1}=cx^2 ]

wobei (c) eine beliebige Konstante ist. Auflösen nach (u) ergibt

[u ={1+cx^2over 1-cx^2}. onumber]

Deswegen

[label{eq:2.4.13} y=ux={x(1+cx^2)over 1-cx^2}]

ist eine Lösung von Gleichung ef{eq:2.4.10} für eine beliebige Wahl der Konstanten (c). Setzen von (c=0) in Gleichung ef{eq:2.4.13} ergibt die Lösung (y=x). Die Lösung (y=-x) kann jedoch nicht aus Gleichung ef{eq:2.4.13} erhalten werden. Somit sind die Lösungen von Gleichung ef{eq:2.4.9} auf Intervallen, die (x=0) nicht enthalten, (y=-x) und Funktionen der Form Gleichung ef{eq:2.4 .13}.

Die Situation ist komplizierter, wenn (x=0) das offene Intervall ist. Beachten Sie zunächst, dass (y=-x) die Gleichung ef{eq:2.4.9} auf ((-infty,infty)) erfüllt. Wenn (c_1) und (c_2) beliebige Konstanten sind, ist die Funktion

[label{eq:2.4.14}y=left{egin{array}{ll} {frac{x(1+c_{1}x^{2})}{1-c_{1 }x^{2}},}&{a

ist eine Lösung der Gleichung ef{eq:2.4.9} auf ((a,b)), wobei

[a=left{egin{array}{cl}- {1oversqrt{c_1}}&mbox{ if }c_1>0, -infty&mbox{ if }c_1le 0, end{array} ight. quad ext{und} quad b=left{egin{array}{cl} {1oversqrt{c_2}}&mbox{ if }c_2>0, infty&mbox{ wenn }c_2le 0. end{array} ight. onumber]

Wir überlassen es Ihnen, dies zu überprüfen. Beachten Sie dazu, dass, wenn (y) eine Funktion der Form Gleichung ef{eq:2.4.13} ist, (y(0)=0) und (y'(0)=1 ).

Abbildung (PageIndex{3}) zeigt ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für Gleichung ef{eq:2.4.9}.

Lösung b

Wir könnten (c) erhalten, indem wir die Anfangsbedingung (y(1)=2) in Gleichung ef{eq:2.4.13} aufstellen und dann nach (c) auflösen. Es ist jedoch einfacher, Gleichung ef{eq:2.4.12} zu verwenden. Wegen (u=y/x) impliziert die Anfangsbedingung (y(1)=2) (u(1)=2). Setzt man dies in Gleichung ef{eq:2.4.12} ein, erhält man (c=1/3). Daher ist die Lösung von Gleichung ef{eq:2.4.10}

[y={x(1+x^2/3)over 1-x^2/3}. onumber]

Das Gültigkeitsintervall dieser Lösung ist ((-sqrt3,sqrt3)). Das größte Intervall, für das Gleichung ef{eq:2.4.10} eine eindeutige Lösung hat, ist jedoch ((0,sqrt3)). Um dies zu sehen, beachte aus Gleichung ef{eq:2.4.14}, dass jede Funktion der Form

[label{eq:2.4.15} y=left{egin{array}{ll} {frac{x(1+cx^{2})}{1-cx^{2}}, }&{a

ist eine Lösung von Gleichung ef{eq:2.4.10} auf ((a,sqrt3)), wobei (a=-1/sqrt c) falls (c>0) oder ( a=-infty) falls (cle0). Warum widerspricht dies nicht Satz 2.3.1?

Abbildung (PageIndex{4}) zeigt mehrere Lösungen des Anfangswertproblems Gleichung ef{eq:2.4.10}. Beachten Sie, dass diese Lösungen auf ((0,sqrt{3})) zusammenfallen.

In den letzten beiden Beispielen konnten wir die angegebenen Gleichungen explizit lösen. Dies ist jedoch nicht immer möglich, wie Sie in den Übungen sehen werden.


Schau das Video: 2 ligninger med 2 ubekendte (Dezember 2021).