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2.4: Phasenverschiebung


Die letzte Transformationsform, die wir bei der grafischen Darstellung trigonometrischer Funktionen diskutieren werden, ist die Phasenverschiebung oder horizontale Verschiebung. Dies gilt auch für die Phasenverschiebung.
Betrachten wir eine allgemeine Gleichung von:
[y=A sin (B x+C)+D
]die Konstante (C) beeinflusst die Phasenverschiebung oder horizontale Verschiebung der Funktion. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Zeichnen Sie mindestens eine Periode der gegebenen Funktion: (quad y=sin (x+pi)) Achten Sie darauf, wichtige Punkte entlang der (x)- und (y)-Achse anzugeben.
Untersuchen wir diese Funktion anhand einer Wertetabelle.

Betrachten wir nun einen Graphen von (y=sin (x+pi)) im Vergleich zum Standardgraphen von (y=sin x)

Beachten Sie, dass, wenn wir den Standardgraphen von (y=sin x) nehmen und ihn entlang der (x)-Achse um einen Abstand von (pi,) nach hinten ziehen, wir den Graphen von (y =sin (x+pi)) Das liegt daran, dass zu jedem (x)-Wert (pi) hinzugefügt wird, um den (x)-Wert zu erhalten, der ein bestimmtes (y) erzeugt ) -Wert, müssten wir (pi) subtrahieren. Hier ist ein Beispiel:

In der obigen Tabelle sehen wir die Standardwerte (x) und (y) für den Graphen der Sinusfunktion. In der folgenden Tabelle fügen wir eine Spalte hinzu, die den Wert anzeigt, den (x) haben müsste, damit (x+pi) die Standardwerte ist:

Hier ist eine Grafik dieser Werte:

Dies ist derselbe Graph von (y=sin(x+pi)), den wir auf der vorherigen Seite gesehen haben, aber an verschiedenen Punkten auf der (x)-Achse verankert. Jeder Graph wäre eine korrekte Antwort auf eine Frage, die nach mindestens einer Periode des Graphen von (y=sin (x+pi)) fragt.
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:

Beispiel 2
Zeichnen Sie mindestens eine Periode der gegebenen Funktion: (y=sin left(x+frac{pi}{3} ight)) Achten Sie darauf, wichtige Punkte entlang der (x) und ( y) Achsen.
In diesem vereinfachten Beispiel müssen wir uns eigentlich nur um eine Transformation kümmern - die Phasenverschiebung. Beachten Sie, dass Amplitude, Periode und vertikale Verschiebung weggelassen wurden. Wenn Sie einen Sinus- oder Cosinus-Graphen mit Phasenverschiebung betrachten, können Sie den Funktionsgraphen gut starten, indem Sie den neuen Startpunkt des Graphen bestimmen. Im vorherigen Beispiel haben wir gesehen, wie die Funktion (y=sin(x+pi))

verschoben den Graphen um (pi) nach links und machte den neuen Startpunkt der Sinuskurve (-pi)

Bei der grafischen Darstellung der Standard-Sinuskurve sind wir im Allgemeinen an den Quadrantenwinkeln interessiert, die das Maximum, Minimum und Nullpunkt des Diagramms erzeugen. Bei der grafischen Darstellung der Funktion (y=sinleft(x+frac{pi}{3} ight),) wollen wir wissen, welche Werte von (x) die Quadrantenwinkel ergeben, wenn wir (frac{pi}{3}) zu ihnen.

Um den neuen Startpunkt zu bestimmen, wollen wir also die Lösung der Gleichung (x+frac{pi}{3}=0)
[qquad egin{array}{r}
x+frac{pi}{3}=0
-frac{pi}{3}-frac{pi}{3}
x=-frac{pi}{3}
end{array}
]

Dies ist der neue Ausgangspunkt für den Graphen (y=sin left(x+frac{pi}{3} ight) .) Da dieser Graph eine Standardperiode hat, ist der "Sprung" zwischen jedem der Quadrantenwinkel werden
(frac{pi}{2} .) Um eine Periode einer typischen trigonometrischen Funktion darzustellen, benötigen wir mindestens fünf Quadrantenwinkelwerte. Wenn unser neuer Startpunkt also (-frac{pi}{3}) ist, dann ist der nächste kritische Wert entlang der (x)-Achse:
[-frac{pi}{3}+frac{pi}{2}=-frac{2 pi}{6}+frac{3 pi}{6}=frac{ pi}{6}
]Dann wären die nachfolgenden kritischen Werte:
[egin{array}{c}
frac{pi}{6}+frac{pi}{2}=frac{pi}{6}+frac{3 pi}{6}=frac{4 pi}{6 }=frac{2 pi}{3}
frac{4 pi}{6}+frac{3 pi}{6}=frac{7 pi}{6}
frac{7 pi}{6}+frac{3 pi}{6}=frac{10 pi}{6}=frac{5 pi}{3}
end{array}
]

Die fünf kritischen Werte entlang der (x)-Achse sind also:
[-frac{2 pi}{6}, frac{pi}{6}, frac{4 pi}{6}, frac{7 pi}{6} ext { und } frac{10 pi}{6}
]oder in reduzierter Form:
[-frac{pi}{3}, frac{pi}{6}, frac{2 pi}{3}, frac{7 pi}{6} ext { und } frac{5 pi}{3}
]Um die Funktion grafisch darzustellen, würden wir diese Werte entlang der (x)-Achse platzieren und die Standard-Quadranten-(y)-Werte so darstellen, dass sie mit ihnen übereinstimmen:

Die (y) -Werte für die Sinusfunktion beginnen bei Null, gehen bis zum Maximum, zurück durch Null bis zum Minimum und dann wieder zurück auf Null:

Das Verbinden dieser Punkte zu einer Sinuskurve erzeugt das folgende Diagramm:

Übungen 2.4
Ordne jede Funktion dem entsprechenden Graphen zu.
1. (quad y=cosleft(x-frac{pi}{4} ight))
2. (quad y=sinleft(x+frac{pi}{4} ight))
3. (quad y=cos x-1)
4. (quad y=sin x+1)
5. (quad y=sinleft(x-frac{pi}{4} ight))
6. (quad y=1-cos x)
7. (quad y=sin x-1)
8. (quad y=cosleft(x+frac{pi}{4} ight))

Skizzieren Sie für jede Funktion mindestens eine Periode. Achten Sie darauf, die wichtigen Werte entlang der (x)- und (y)-Achsen anzugeben.
9. (quad y=sinleft(x+frac{pi}{6} ight))
(10 . quad y=cosleft(x-frac{pi}{6} ight))
11. (quad y=cosleft(x-frac{pi}{3} ight))
12. (quad y=sinleft(x+frac{pi}{3} ight))
13. (quad y=sinleft(x-frac{3 pi}{4} ight) quad)

14. (quad y=cosleft(x+frac{3 pi}{4} ight))
15. (quad y=cosleft(x+frac{2pi}{3} ight) quad)

16. (quad y=sinleft(x-frac{2 pi}{3} ight))


Wie schreibt man eine Gleichung einer Sinusfunktion mit Amplitude 4, Periode pi, Phasenverschiebung pi/2 nach rechts und vertikaler Verschiebung um 6 Einheiten nach unten?

Die Amplitude dieser Funktion ist #a=1# . Um die Amplitude 4 zu machen, müssen wir #a# viermal so groß sein, also setzen wir #a=4# .

Unsere Funktion ist jetzt #y=4sinx# und sieht so aus:
Graph <(y-4sin(x))(x^2+y^2-0.075)=0 [-15, 15, -11, 5]>
Die Periode dieser Funktion – der Abstand zwischen den Wiederholungen – beträgt im Moment #2pi# mit #b=1# . Um die Periode #pi# zu machen, müssen wir die Wiederholungen doppelt so häufig machen, also brauchen wir #b=["normale Periode"]/["gewünschte Periode"] = (2pi)/pi = 2# .

Unsere Funktion ist jetzt #y=4sin(2x)# und sieht so aus:
Graph

Diese Funktion hat derzeit keine Phasenverschiebung, da #h=0# . Um eine Phasenverschiebung zu induzieren, müssen wir #x# um den gewünschten Betrag verschieben, der in diesem Fall #pi/2# nach rechts ist. Eine Phasenverschiebung nach rechts bedeutet ein positives #h# , also setzen wir #h=pi/2# .

Unsere Funktion ist jetzt #y=4sin[2(x-pi/2)]# und sieht so aus:
Graph <(y-4sin(2(x-pi/2)))((x-pi/2)^2+y^2-0.075)=0 [-15, 15, -11, 5]>
Schließlich hat die Funktion derzeit keine vertikale Verschiebung, da #k=0# . Um den Graphen um 6 Einheiten nach unten zu verschieben, setzen wir #k=-6# .


2.4 Phase 1B-Update

CLARK COUNTY, OHIO (4. FEBRUAR 2021) — Die Planung der COVID-19-Impfungen für den nächsten Teil der Phase 1b beginnt diese Woche in Clark County. Einzelpersonen 65 und älter sollten einen Termin mit einem der unten aufgeführten Anbieter vereinbaren.

Menschen, die entwicklungs- oder intellektuell behindert sind UND einen qualifizierenden Gesundheitszustand haben, sollten anrufen: (937) 346 – 0771 Clark County Board of Developmental Disability. Bei Fragen zur Teilnahme an dieser Gruppe rufen Sie bitte die oben angegebene Nummer an.

Qualifizierende gesundheitliche Bedingungen sind wie folgt:

Zerebralparese Spina bifida schwere angeborene Herzkrankheit, die eine Krankenhauseinweisung innerhalb des letzten Jahres erfordert schwerer Typ-1-Diabetes, die eine Krankenhauseinweisung innerhalb des letzten Jahres erfordert erbliche Stoffwechselerkrankungen einschließlich Phenylketonurie schwere neurologische Erkrankungen einschließlich Epilepsie, Hydrozephalie und Mikrozephalie schwere genetische Erkrankungen einschließlich Down-Syndrom, fragiles X-Syndrom, Prader-Willi-Syndrom, Turner-Syndrom und Muskeldystrophie, schwere Lungenerkrankung, einschließlich Asthma, das eine Krankenhauseinweisung innerhalb des letzten Jahres erforderte, und Mukoviszidose-Sichelzellanämie und Alpha- und Beta-Thalassämie und Patienten mit soliden Organtransplantationen.

Für Personen, die 65 oder ältere Impfungen sind an diesen Standorten in Clark County erhältlich:

  1. Die CVS-Apotheke mit Sitz in 2565 E Main St vereinbart derzeit Termine online unter www.cvs.com oder über die CVS-App.
  1. Walgreens, 2609 E. Main St, plant Termine. Derzeit besteht die einzige Möglichkeit zur Planung darin, https://www.walgreens.com/findcare/vaccination/covid-19 . zu besuchen
  1. Das Rocking Horse Community Health Center in der 651 S. Limestone St. in Springfield wird den Impfstoff nur nach Vereinbarung zu unterschiedlichen Zeiten anbieten. Patienten mit Schaukelpferden haben Vorrang. Es werden gültige Ausweis- und Versicherungsdaten erhoben. Niemand wird aufgrund des Versicherungsstatus abgewiesen. Um Ihren Impftermin zu vereinbaren, rufen Sie 937-525-4521 an.
  1. Das New Carlisle Community Health Center in 106 N. Main St. in New Carlisle wird Termine telefonisch vereinbaren. Bitte rufen Sie 937-543-0310 an.
  1. Kroger-Apotheken in der Region Springfield – 2728 East Main Street, 965 North Bechtle Avenue und 2989 Derr Road – werden den Impfstoff ebenfalls anbieten. Kroger-Kunden werden ermutigt, www.kroger.com/ohiocovidvaccine zu besuchen oder unsere COVID-19-Impfstoff-Hotline unter 866-211-5320 anzurufen, um die neuesten Informationen zum Impfstoff zu erhalten.
  1. Discount Drug Mart mit Sitz in 7617 Dayton Springfield Rd, Fairborn OH 45324 besuchen Sie die Website unter Clinic.discount-drugmart.com/covid/ oder rufen Sie 937-863-0045 an
  1. Der Clark County Combined Health District wird in Zusammenarbeit mit Mercy Health am 5. Februar ab 8 Uhr morgens mit der Terminvereinbarung für qualifizierte Personen beginnen. Termine können mit CCCHD telefonisch unter 937-717-2439 oder unter www.ccchd.com vereinbart werden.

MEDIENKONTAKT: Kyle Trout, Clark County Combined Health District | (740) 409-1747


2-Phasen- und 4-Phasen-Stepper?

Dies ist wahrscheinlich wieder nur eine meiner dummen Fragen, aber wenn ich mir verschiedene Schrittmotoren anschaue, sehe ich einige als 2-Phasen, andere als 4-Phasen.

Ich muss nur fragen, was ist der Unterschied und warum willst du das eine über das andere? Das heißt, würden Sie eines für das Drehmoment oder die Geschwindigkeit auswählen?

Nichts über die beiden zu wissen, führt zu diesem Beitrag. Es scheint, als stelle ich in letzter Zeit viele dumme Fragen.

Aktiver Nutzer

Ich habe Motoren gesehen, die als das eine oder andere gekennzeichnet sind, aber ich kann keinen klaren Unterschied zwischen den beiden finden. Einige Dokumentationen scheinen sich austauschbar auf sie zu beziehen, obwohl ich einen Trend gefunden habe, unipolare 6-Draht-Motoren als "4-Phasen-Motoren" zu bezeichnen. Was sinnvoll sein kann, wenn man bedenkt, dass sie 4 Wicklungen haben (2 Wicklungen in vielen Fällen in zwei Hälften geteilt).

So. wie hilft dir das.. Vielleicht scheint es nicht so, als hätte Jgedde ziemlich viel Erfahrung mit Steppern, also können wir ihn vielleicht herauslocken.

Wenn ich es wäre, würde ich die 2-Phasen-Motoren verwenden, da alle Motoren, die ich verwendet habe, entweder mit "2 Phase" oder nur mit "Schrittmotor" gekennzeichnet sind.

Springt4

Globaler Moderator

Springt4

Globaler Moderator

Arvidj

Aktiver Nutzer

Kennyd

Aktiver Nutzer

Jgedde

Aktiver Nutzer

Lassen wir 5-Phasen-Stepper jetzt aus der Mischung, da sie ein ziemlich einzigartiges Produkt sind, das nur von wenigen Unternehmen hergestellt wird.

Okay, los gehts. Die überwiegende Mehrheit der Schrittmotoren hat zwei Wicklungen. Wenn die Wicklungen NICHT mittig angezapft sind, handelt es sich um einen bipolaren Schrittmotor. Wenn ja, ist es ein unipolarer Schrittmotor.

Bipolare Schrittmotoren werden auch als Zweiphasenmotoren bezeichnet. Sie haben die Vorteile von:
1) Fähigkeit zum Mikroschritt.
2) Mehr Drehmoment für eine gegebene Größe, da das gesamte verfügbare Kupfer (die Wicklungen) auf einmal verwendet wird.

Sie haben den Nachteil einer komplizierteren Antriebselektronik, da jeder Draht entweder angetrieben (+) oder (-) werden muss.

Unipolare Motoren, auch als 4-Phasen-Motoren bekannt, haben ebenfalls zwei Wicklungen, enthalten jedoch eine Mittelanzapfung. Jeder Mittelabgriff wird entweder separat herausgeführt (ein Sechsdrahtmotor) oder sie sind intern miteinander verbunden (ein 5-Drahtmotor). In jedem Fall werden sie im Allgemeinen gleich gefahren. Bei einem 6-Draht-Gehäuse werden die beiden Mittelabgriffe in der Regel extern miteinander verbunden.

Diese haben einen großen Vorteil. Fahrkomfort. Die Mittelabgriffe sind mit der (+) Versorgung verbunden. Die verbleibenden Drähte (mit den Enden jeder Wicklung verbunden) werden nacheinander mit (-) verbunden, um den Motor zu bewegen. ABCD ist CW, DCBA ist CCW.

Natürlich könnte die Polarität umgekehrt werden, wenn (-) mit den Mittelabgriffen verbunden ist, aber die Verwendung von (+) Common macht die Ausgangsstufe einfacher, da Open-Collector-Transistoren oder Open-Drain-FETs ohne Pegelübersetzungsschaltung verwendet werden können. OK. Ich werde zu kompliziert.

Bei jedem Schrittmotor übersteigt das Haltemoment bei angelegter Leistung das Laufmoment erheblich. In einer Arretierung mit sich nicht bewegendem Rotor wird der Schrittmotor sein Nenndrehmoment "halten". Mit anderen Worten, es wird einem Zurückdrehen widerstehen, bis das Nenndrehmoment erreicht ist.

Das Laufdrehmoment ist eine andere Sache. Das maximal erreichbare Laufdrehmoment beträgt im Allgemeinen das 0,63-fache des Nennhaltedrehmoments (falls jemand neugierig ist, warum ich es erklären kann). Das verfügbare Drehmoment fällt mit steigender Drehzahl ab.

OK, warum also Schrittmotoren verwenden?

Nehmen wir an, Sie haben einen einfachen Bürsten- oder bürstenlosen DC-Serviomotor und möchten 7,2 Grad bewegen. Wenn Sie den Strom hochfahren, beginnt sich der Motor zu bewegen. Wenn Sie sich Ihrem Ziel nähern, wird der Motor langsamer und Sie kommen an Ihr Ziel. Geschieht dies von selbst? NÖ. Sie benötigen eine Art Positionsmessgerät (Encoder, Resolver, Pot usw.), um dem Controller mitzuteilen, dass Sie dort sind. Außerdem benötigen Sie einen Regelalgorithmus. Was passiert nun, wenn die Last versucht, Sie in eine andere Position zurückzutreiben? Nun, das Drehmoment muss gedrosselt werden, um die Position zu halten. Dies kann zu einer effizienten Lösung führen, da Strom (Drehmoment) nur dann entnommen wird, wenn er benötigt wird. Außerdem kann im Grunde eine unendliche Auflösung erhalten werden.

Geben Sie Stepper ein. Sie müssen 7,2 Grad verschieben. Nehmen wir an, Sie haben einen 1,8-Grad-Schrittmotor (200 Rasten). Treten Sie einfach viermal (4 x 1,8 = 7,2 Grad) und Sie haben sich um 7,2 Grad bewegt. Keine Aufregung, kein Muss. Wenn Sie den Strom weiterlaufen lassen, nachdem Sie 7,2 Grad erreicht haben, wird der Motor einem Zurücktreiben durch sein Nenndrehmoment widerstehen. Der Nachteil? Sie ziehen Strom, um die Position beizubehalten, auch wenn der Motor kein Drehmoment liefert, um dem Zurücktreiben entgegenzuwirken.


Frage 2

Graph in 2.a Für eine Funktion der Form y = a cos(bx + c) ist die Amplitude durch den Maximalwert der Funktion gegeben. In Graph 2.a gilt:
Amplitude: = |a| = 4
Wir reproduzieren den Graphen von 1.a unten und beachten Folgendes:
Eine Periode = 3 π/ 2
Phasenverschiebung: Sie ist die Verschiebung zwischen den Graphen von y = a cos(bx) und y = a cos(bx + c) und wird durch - c / b definiert.
Im Graphen von 2.a ist die Phasenverschiebung gleich 3 kleine Teilungen nach rechts.
1 kleine Division = π / 8
Phasenverschiebung = 3 π / 3 = 3 π / 8


Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) in den Graphen in 2.a . zu schreiben
|a| = 4, daher a =

4 sei a = 4
1 Periode = 3 π/ 2 = 2π / b (angenommen b > 0). Also b = 4 / 3
Phasenverschiebung = 3 π / 8 = - c / b
Daher c = - b 3 π / 8 = - π / 2
y = 4 cos (4 x / 3 - π / 2)

Grafik in 2.b
Amplitude: = |a| = 3
Eine Periode = 1 (Länge der x-Achse eines Zyklus)
Phasenverschiebung = 1 / 2 (halbe Einheit nach rechts)
Mit den oben gefundenen Ergebnissen schreiben wir nun eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) in den Graphen in 2.b
|a| = 3, daher a =

3 sei a = 3
1 Periode = 1 = 2π / b (angenommen b > 0). Also b = 2 π
Phasenverschiebung = 1 / 2 = - c / b
Daher c = - b / 2 = - π
y = 3 Sünde ( 2 π x - π)

Grafik in 2.c
Amplitude: = |a| = 40
1 kleine Division = (π / 2) / 4 = π / 8
1 Periode = 8 Divisionen
Daher 1 Periode = 8 π / 8 = π
Phasenverschiebung = 3 Divisionen (nach rechts) = 3 π / 8 = 3π / 8
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) in den Graphen in 2.c . zu schreiben
|a| = 40, daher a =

40 sei a = 40
1 Periode = π = 2π / b (angenommen b > 0). Also b = 2
Phasenverschiebung = 3π / 8 = - c / b
Daher c = - 3π b / 8 = - 3π / 4
y = 40 cos (2 x - 3π / 4)
Stellen Sie als Übung jede der oben gefundenen Funktionen graphisch dar und vergleichen Sie die erhaltenen Graphen mit den oben angegebenen Graphen.


Vergleich von Frequenzbereichs- und Zeitbereichsmethoden für die aeromechanische Analyse

Die instationäre Strömung um eine oszillierende Plattenkaskade und die durch einen einzelnen schwingungsbelasteten Verdichterrotor wurden rechnerisch untersucht, um die Vorhersagefähigkeit von zwei Low-Fidelity-Frequenzverfahren im Vergleich zu einem High-Fidelity-Zeitbereichslösungsverfahren für Aeroelastizität zu untersuchen. Die Berechnungslösungen demonstrieren die Fähigkeiten der Frequenzbereichsverfahren im Vergleich zu den nichtlinearen Zeitbereichslösungsverfahren beim Erfassen kleiner Störungen in der instationären Strömung. Sie zeigen auch den großen Vorteil einer signifikanten CPU-Zeitersparnis durch die Frequenzverfahren gegenüber der nichtlinearen Zeitmethode. Vergleiche zweier unterschiedlicher Frequenzverfahren, nichtlineare Harmonische und Phasenlösungsverfahren, zeigen, dass diese Verfahren aufgrund der Unterschiede in der numerischen und physikalischen Konditionierung zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. Die mit dem Phasenlösungsverfahren erhaltenen Ergebnisse stimmen besser mit der nichtlinearen Zeitbereichslösung überein. Dies liegt daran, dass sowohl beim nichtlinearen Zeitbereichsverfahren als auch beim Phasenlösungsverfahren im Frequenzbereich die gleiche numerische und physikalische Konditionierung verwendet wird.

1. Einleitung

Das aerodynamische Design der Beschaufelung verwendet seit langem stationäre Strömungsverfahren, da sie hocheffizient und robust sind [1–3]. Die stationären Lösungsverfahren können für Designanwendungen einfach mit Optimierungstechniken oder inversen Ansätzen automatisiert werden [4, 5]. Selbst in einem detaillierten Entwurfsstadium wird für die Vorhersage der Beschaufelungsaerodynamik weithin nach der Lösung der stationären Strömungsgleichungen anstelle der instationären Strömungsgleichungen gesucht. Dies liegt daran, dass bei vielen aerodynamischen Konstruktionsanwendungen die Unstetigkeit im Strömungsfeld insbesondere in seinem Konstruktionsarbeitspunkt normalerweise gering ist. Infolgedessen wird die zeitgemittelte Strömungslösung nicht stark von den Unstetigkeitsstörungen beeinflusst. Tatsächlich haben die aktuellen aerodynamischen Schaufel- und Tragflächenkonstruktionen eine hohe aerodynamische Leistung unter Verwendung des stationären Strömungsmodells erreicht. Die Lösung instationärer Strömungsgleichungen ist viel kostspieliger und erfordert erhebliche Computerressourcen [6–8].

Es gibt viele Fälle, in denen die instationären Kräfte erhebliche Auswirkungen haben, die nicht ignoriert werden können. Beispielsweise sind die Auswirkungen auf Schaufelvibration, Geräuschentwicklung, Ermüdung oder Ausfälle von Schaufeln sehr wichtig. Da moderne mehrreihige Turbomaschinenkomponenten typischerweise mit hoher Belastung und kompakteren strukturellen Konfigurationen konstruiert werden, werden diese instationären Effekte in ihnen verstärkt. Wenn die Luftbelastung erhöht wird, müssen die mechanische Integrität der Schaufeln, das aerodynamische Geräusch und die Vibrationsbelastungsniveaus sorgfältig untersucht werden, da die Schaufeln anfälliger für strömungsinduzierte Vibrationsprobleme sind. In letzter Zeit wurden große Fortschritte bei der Rechenleistung und den numerischen Methoden für instationäre Strömungen gemacht. In einer multidisziplinären Designumgebung besteht jedoch immer die Notwendigkeit, effiziente und schnelle Vorhersagemethoden zu entwickeln. Dies liegt daran, dass es unpraktisch ist, eine aeromechanikbezogene Designoptimierung basierend auf kostspieligen Lösungsverfahren mit instationärer Strömung durchzuführen, wenn man bedenkt, dass eine Designoptimierung in einem iterativen Prozess durchgeführt wird. Infolgedessen wurde in den letzten Jahren viel Forschung betrieben, um effiziente numerische Ansätze zu entwickeln, die in der Lage sind, die wichtigsten instationären Merkmale, die für die interessierenden technischen Probleme relevant sind, zu erfassen und gleichzeitig die Lösungszeit auf ein akzeptables Niveau für den Einsatz im Routinedesign zu reduzieren. Eine der frühesten Methoden sind die zeitlinearisierten harmonischen Frequenzbereichsmethoden, die für aeromechanische Anwendungen von Turbomaschinen weit verbreitet sind [9, 10]. Bei diesen Verfahren wird die instationäre Strömungsgleichung als eine stationäre Gleichung und eine Störungsgleichung betrachtet. Die instationäre Störung der Strömungslösung wird in einer Fourier-Reihe dargestellt. Die Gültigkeit dieser Methoden wird durch die lineare Annahme eingeschränkt, die häufig Lösungsdivergenzverhalten für stark nichtlineare Strömungen zeigt.

In jüngster Zeit wurden fortschrittliche Frequenzdomänen wie nichtlineare harmonische und Phasenlösungsmethoden entwickelt, die einerseits effizient für eine instationäre Strömungslösung für die Aeromechanik sind und andererseits ohne großen zusätzlichen Aufwand zur Optimierung des Beschaufelungsdesigns verwendet werden können. Eine neuere Methode, die Phasenlösungsmethode [11-13], bietet eine unkomplizierte einfache Methode zur Modellierung instationärer Störungen. Bei diesen Verfahren werden die instationären Strömungsgleichungen mit einer einzigen periodischen Instationalität an zwei oder drei unterschiedlichen Phasen einer Instationsperiode gelöst. Unter Verwendung dieses Ansatzes kann die gleiche Recheneffizienz wie bei einem herkömmlichen zeitlinearisierten Verfahren erreicht werden. Während die anderen zeitlinearisierten harmonischen Verfahren die gesamte Strömungslösung in einer Fourier-Reihe ausdrücken, basiert dieses Verfahren darauf, die instationären Strömungsgleichungen in einen Satz stationärer Gleichungen in einer Reihe von Phasen einer Unstetigkeitsperiode umzuwandeln. Durch die Verwendung dieses Verfahrens kann das gleiche Lösungsverfahren für stationäre Strömungen, das für das aerodynamische Design verwendet wird, für das aeromechanische Design verwendet werden. Daher kann die Aeroelastizität eines Blattes in einem Designoptimierungsprozess optimiert werden, um sowohl die Aerodynamik als auch die Aeromechanik gleichzeitig zu überprüfen. Kürzlich haben Valero et al. [14] entwickelten eine parallele Designoptimierungsmethode auf einer Phasenlösungsmethode, die von Rahmati et al. [15] in Verbindung mit einem kommerziellen FEA-Solver für Blattstrukturdynamik.

Validierungen und Verifikationen sind entscheidend, um unser Vertrauen in die numerischen Methoden und damit die Schlussfolgerungen, die aus diesen numerischen Ergebnissen gezogen werden, zu gewinnen. Es ist nicht das Ziel dieser Studie, die Frequenzbereichsmethode für sehr komplexe Konfigurationen anzuwenden. Über die Anwendung verschiedener Frequenzbereichsverfahren für komplexe mehrreihige Turbomaschinen wurde bereits berichtet [16, 17]. Dieses Papier konzentriert sich auf zwei relativ einfache Fälle, die Strömung um eine oszillierende 3D-Flachplattenkaskade und durch einen schwingungsbehafteten Verdichterrotor, um die Gültigkeit und Wirksamkeit von drei Berechnungsmethoden zu demonstrieren und zu vergleichen. Ziel ist es, die Bedeutung der numerischen Diffusionen und physikalischen Konditionierung auf die Berechnungsergebnisse hervorzuheben. Obwohl beim Phasenlösungsverfahren die gleiche numerische und physikalische Konditionierung wie beim nichtlinearen Zeitbereichsverfahren verwendet wird, ist dies beim nichtlinearen harmonischen Verfahren nicht der Fall.

Eine kurze Beschreibung der maßgeblichen Gleichungen und der Zeit- und Frequenzbereichsmethoden wird im nächsten Abschnitt gegeben, gefolgt von der Vorhersage der Strömung über eine Schwingplatte und der Strömung durch einen einzelnen Verdichterrotor mit verschiedenen Methoden. Diese Fälle werden bereitgestellt, um die Fähigkeit verschiedener numerischer Verfahren auf der Grundlage des Frequenzbereichsverfahrens bei der Vorhersage instationärer Strömungen im Vergleich zum Zeitbereich zu überprüfen. Es wird auch verwendet, um zu zeigen, dass es wichtig ist, sowohl Frequenz- als auch Zeitbereichslösungsverfahren unter Verwendung derselben numerischen und physikalischen Konditionierung zu entwickeln. Wenn die nichtlineare High-Fidelity-Zeitbereichslösung mit der Low-Fidelity-Frequenzdomäne verglichen wird, kann man dadurch konsistent den Unterschied in der Modelltreue ohne Interferenz durch numerische Unterschiede finden.

2. Fließmodellierungsformulierung

2.1. Strömungsbestimmende Gleichungen

Die instationären Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen in einer Integralform eines zylindrischen Koordinatensystems können durch die folgende Form beschrieben werden:


Theorie des RC-Phasenschieberoszillators

RC-Phasenverschiebungsoszillator ist der gefragteste Oszillator wegen seiner ausgezeichneten Frequenzstabilität. Bei einem breiten Lastbereich kann es eine reine Sinuswelle ausgeben.

Phasenschieberschaltung:

Um dem Signal eine gewünschte Phasenverschiebung zu verleihen, wird das RC-Phasenverschiebungsnetzwerk als einfaches Widerstands-Kondensator-Netzwerk verwendet. Je nach Anforderung können Sie diesen Oszillator entweder als einstufiges RC-Phasenschiebernetzwerk oder als dreistufiges Phasenschiebernetzwerk verwenden. Wie in der Abbildung unten gezeigt, eilt die Ausgangsspannung in einem einstufigen Netzwerk der Eingangsspannung um einen Winkel von weniger als 90 ° voraus. Phasenverschiebungsnetzwerkdiagramm

Wie wir für anhaltende Schwingungen wissen, ist eine Phasenverschiebung von 180 o erforderlich, aber durch die Verwendung eines einpoligen RC-Netzwerks erreichen wir eine Phasenverschiebung von weniger als 90 o . Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir ein dreistufiges RC-Phasenverschiebungsnetzwerk, bei dem jede Stufe eine Phasenverschiebung von 60 ° ergab und insgesamt 180 ° am Ausgang erhalten wurden. Aus diesem Grund wird ein dreistufiges RC-Phasenschiebernetzwerk im Vergleich zu einem einstufigen RC-Phasenschiebernetzwerk bevorzugt. Das Schaltbild dieser Phasenschiebernetzwerke ist oben angegeben.

Phasenwinkel:

Der Betrag der tatsächlichen Phasenverschiebung in der Schaltung hängt von der Kondensator und Widerstand. Für die erforderliche Schwingungsfrequenz sei C die Kapazität, F die Betriebsfrequenz und R der Widerstand. Dann kann die kapazitive Reaktanz wie folgt berechnet werden:

xC = 1 / 2∏ FK … (1)

Die effektive Impedanz der Schaltung kann durch die Gleichung angegeben werden:

Z = √ (R 2 + XC 2 )

Und der Phasenwinkel des RC-Netzwerks kann wie folgt angegeben werden:

ɸ = tan -1 (XC / R)


Vorwort

Dieses Buch basiert auf 40 Jahren Arbeit mit, Bewertung, Prüfung, Verwendung und Erlernen einer breiten Palette von optischen dimensionalen Messtechniken und Produkten. Die Anwendungen reichen von Konsumgütern wie der Elektronik über das Messen von Zahnrädern und Blechen in der Automobilindustrie bis hin zum Messen von Schaufelblättern von Turbinentriebwerken. Während dieser Zeit musste ich sowohl verstehen, was eine Technik messen kann und was nicht, als auch welche Anwendungen auf andere Weise einfacher oder kostengünstiger zu messen wären. Ich habe festgestellt, dass für viele Anwendungen die etablierte Theorie und Berechnungen zeigen, dass das eine oder andere optische Messverfahren geeignet ist. Aus praktischen Gründen der Umgebung, Messbeschränkungen oder kommerzieller Verfügbarkeit kann dieses Verfahren jedoch ohne weitere Arbeit oder Entwicklung keine praktikable Lösung sein. Ich habe versucht, das praktische Wissen aus der praktischen Erfahrung zu erfassen, das für andere nützlich ist, die später versuchen, einen ähnlichen Messbedarf zu lösen. In vielen Fällen waren die Erkenntnisse und Diagramme das Ergebnis eines Kollegen, der in mein Büro kam, um zu fragen, wie eine Messung durchgeführt wird, und der daraus resultierenden Diskussion an einem Whiteboard.

Hinter der Funktionsweise vieler dieser optischen Messmethoden steckt viel Theorie, Mathematik und Wissenschaft, die alle in den Veröffentlichungen, auf die in diesem Buch verwiesen wird, ausführlich behandelt wurden. Das Ziel dieses Buches ist es nicht, den Leser zu einem Experten für Messtechnik, Optik oder einer dieser Methoden zu machen, sondern vielmehr das praktische Wissen zu vermitteln, das den erfolgreichen Einsatz von optischen Messwerkzeugen für einen Messbedarf in der Produktionsfertigung ermöglicht. Ich ermutige diejenigen Leser, die an einer eingehenderen Analyse der Funktionsweise dieser Methoden interessiert sind, die vielen ausgezeichneten Referenzen zu lesen, die am Ende jedes Kapitels zitiert werden.

Dieses Buch ist in zwei Hauptabschnitte gegliedert. Die ersten sechs Kapitel bieten grundlegende, funktionierende Erklärungen zur Funktionsweise der einzelnen optischen Messverfahren. Die Kapitel sind nach den grundlegenden Messmechanismen gegliedert, darunter Lichtintensitätsänderungen, zweidimensionale Bildgebung, Triangulation, strukturierte Lichtmuster, Interferenzmuster, optischer Fokus, Lichteigenschaften wie Polarisation und Hybridverfahren mit mechanischen oder anderen Messwerkzeugen . Die vorgestellten grundlegenden Erläuterungen enthalten nicht unbedingt alle Details, die für den Aufbau Ihres eigenen Produkts erforderlich sind, oder alle Variationen in der Art und Weise, wie das Verfahren in der Vergangenheit angewendet wurde, sondern stellen die grundlegenden Arbeitsprinzipien jedes Verfahrens dar. Mit diesen Erläuterungen schließe ich einige Einblicke in die Einschränkungen sowie Anwendungsfehler ein, die es zu vermeiden gilt.

Kapitel 7 beginnt die zweite Hälfte des Buches, die optische Messmethoden aus der Perspektive realer Anwendungen betrachtet und von relativ groben Messungen auf der Zentimeterskala bis hin zu sehr feinen Messungen auf der Nanometerskala arbeitet. Ich fasse die wichtigsten Anwendungsannahmen für jeden Messbereich in einer Tabelle zusammen und ordne die relative Fähigkeit jedes optisch dimensionalen Messverfahrens, diese Anwendungsannahmen auf praktischer Basis basierend auf meiner Erfahrung zu berücksichtigen. Daher ist Kapitel 7 ein zusammenfassendes Kapitel, um die Bühne für die Diskussion von realen Anwendungen zu schaffen.

Die verbleibenden fünf Kapitel ziehen Informationen aus realen Anwendungsbeispielen, die ich im Laufe der Jahre veröffentlicht habe, um die Überlegungen zu veranschaulichen, die meine Kollegen und ich bei der Suche nach einer Lösung für einen Produktionsmessbedarf ausgewertet haben. Die Anwendungen wurden repräsentativ für den in Kapitel 7 diskutierten Messbereich (von grob bis fein) ausgewählt und zeigen anhand von Experimenten und erweiterten Qualifizierungstests, was funktioniert und was nicht. Diese Anwendungsbeispiele schließen die Einsatzmöglichkeiten der diskutierten optischen Messtechnologien keineswegs aus. Selbst kleine Anwendungsänderungen können das Ergebnis der Evaluierungen verändern. Der in diesen Kapiteln dargestellte Evaluierungsprozess soll den Benutzern als Orientierungshilfe für ihre eigenen Evaluierungen dienen.

Für jedes High-Tech-Werkzeug entstehen ständig neue Verbesserungen, und die optische Messtechnik bildet da keine Ausnahme. Meiner Erfahrung nach kann der Zeitraum zwischen der Entwicklung einer neuen Methode (oder einer Variation einer bestehenden Methode) im Bereich der Messtechnik und ihrer kommerziellen Nutzung 10 bis 20 Jahre betragen. Messtechnische Werkzeuge wie Endmaße, Messschieber, elektronische Lehren und Koordinatenmessgeräte sind bewährte und bekannte Messwerkzeuge, die seit langem im Einsatz sind und noch lange verwendet werden. Ich hoffe, dass dieses Buch Anwendern von Messsystemen dabei hilft, Anwendungen zu finden, bei denen optische Messtechnik dabei helfen kann, die Geschwindigkeit oder einen anderen Leistungsparameter zu erreichen, der ihren Anforderungen entspricht und möglicherweise den Fertigungsstand verbessert.


Phasenverschiebung

Im Allgemeinen können Wechselstromkreise Widerstände, Induktivitäten und (oder) Kondensatoren enthalten. Die Impedanz, dargestellt durch den Buchstaben "Z", gemessen in Ohm, ist der gesamte Widerstand, den ein Stromkreis dem Wechselstromfluss bietet, sie ist eine Kombination aus Widerstand R und Reaktanz X, Z = R + jX, Abbildung 1.

Abbildung 1: Impedanzdiagramm

Da in Wechselstromkreisen reaktive Komponenten vorhanden sind, können Spannung und Strom möglicherweise nicht gleichzeitig die gleichen Amplitudenspitzen erreichen, sie weisen im Allgemeinen einen Unterschied in der Zeitsteuerung auf. Diese Zeitdifferenz wird als Phasenverschiebung, f, 0 ≤ f ≤ 90 bezeichnet und in Winkelgraden gemessen.

Eine Schaltung, die nur Widerstände enthält, wird als Widerstandsschaltung bezeichnet. Es gibt keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom in einer Widerstandsschaltung, Φ = 0 , Abbildung 2a. Der Strom ist "In-Phase" mit der Spannung.

Abbildung 2a: V-I-Beziehung der Schaltung R

Kondensatoren und Induktivitäten werden als reaktive Komponenten bezeichnet, bei denen Spannung und Strom "außer Phase" zueinander sind. In einem Induktor eilt die Spannung dem Strom um 90 voraus, Φ = 90 , Abbildung 2b in einem Kondensator eilt die Spannung dem Strom um 90 nach, Φ = -90 , Abbildung 2c.

Abbildung 2b: V-I-Beziehung der Schaltung L

Abbildung 2c: V-I-Beziehung des Schaltkreises C

Ein Stromkreis, der Induktivitäten und (oder) Kondensatoren enthält, wird als Blindstromkreis bezeichnet und kann in Induktiver Stromkreis, X ., klassifiziert werdenL > XC, und kapazitive Schaltung, XC > XL.

Abbildung 3a zeigt eine induktive Schaltung, die aus R und L in Reihe besteht. Da der Induktor einer Stromänderung entgegenwirkt und Energie aus der Stromversorgung in Form eines Magnetfelds speichert, wird die Induktorspannung vL führt den Induktorstrom iL by 90 and leads the Power Supply Voltage v by a Phase Angle Φ.

Figure 3a: V-I Relationship of the Circuit RL

Figure 3b shows a Capacitive Circuit that consists of R and C in series. As the Capacitor opposes a change in Voltage and stores energy from the Power Supply in the form of an Electric Field, the Capacitor Voltage vC lags the Capacitor Current iC by 90 and lags the Power Supply Voltage v by a Phase Angle Φ.


Answers

1. Boiling. Heat is being added to the water to get it from the liquid state to the gas state.

2. Freezing. Heat is exiting the system in order to go from liquid to solid. Another way to look at it is to consider the opposite process of melting. Energy is consumed (endothermic) to melt ice (solid to liquid) so the opposite process (liquid to solid) must be exothermic.

3. Sweating. Heat is consumed to evaporate the moisture on your skin which lowers your temperature.


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